LICEO B. RUSSELL – A.S. 2010/2011 – Ho raccolto alcuni problemi

LICEO B. RUSSELL – A.S. 2010/2011 –
PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
Ho raccolto alcuni problemi più o meno casualmente con il solo scopo di averne un buon numero a disposizione
tra cui scegliere.
Quasi tutti i problemi sono presi da
• Matematica controluce - Algebra 1 - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Etas
• Matematica -Algebra 1A- Persano, Riboldi, Zanoli - Juvenilia
• Format - 5: equazioni e sistemi di primo grado - Paravia
• Problemi suggeriti da Raffaella Manara
• Suggerimenti di colleghi, ormai non più attribuibili personalmente.
Alcuni testi li ho sintetizzati per pigrizia, ma dovrebbero essere comprensibili. Molte soluzioni sono opera mia,
quindi possono essere sbagliate.
Inoltre:
• Fin dai primi esercizi si utilizzano espressioni letterali, ma pensando che non siano ancora stati definiti
i monomi (e quindi neanche le operazioni tra monomi e polinomi).
• In molti problemi è necessaria la risoluzione di equazioni. Nella maggior parte dei casi si tratta però
di equazioni cosı̀ semplici che la loro risoluzione può precedere una reale trattazione della teoria delle
equazioni. In alternativa, se necessario, si possono anticipare i due principi di equivalenza delle equazioni
per poi farne una trattazione più seria e completa successivamente.
• In qualche problema può venire spontaneo l’uso di sistemi di equazioni. Come sopra, non è affatto
necessario avere già introdotto i sistemi. Il metodo per sostituzione è talmente intuitivo che non necessita
di molte teorie per essere usato nei problemi.
Date: November 5, 2010.
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PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
1. L’insieme N
Dimostrazioni in N: proprietà delle operazioni, multipli e divisori
Prerequisiti.
• L’insieme N e le sue operazioni.
• Le proprietà delle operazioni (in particolare: commutativa, associativa e distributiva).
• La definizione di multiplo (e di divisore utilizzando il concetto di multiplo).
In tutta questa sezione, parlando di numero si intende sempre numero naturale.
Un esercizio che ci serve per le successive dimostrazioni:
Esercizio 1. Utilizzando la proprietà distributiva o la definizione di prodotto, dimostra che se a ∈ N, allora
2·a+3·a=5·a
e
a+2·a=3·a
Dopo avere fatto notare, prima con esempi, che un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b
se esiste n ∈ N tale che a = n · b si possono fare una serie di esercizi.
Esercizio 2. Dimostra che 0 è multiplo di ogni numero.
Esercizio 3. Scrivi l’insieme dei multipli di 0.
Esercizio 4. Scrivi l’insieme dei multipli di 1.
Esercizio 5. Trova un numero che sia multiplo di esattamente 4 numeri, un numero che sia multiplo di esattamente 5 numeri e un numero non nullo che sia multiplo di almeno 10 numeri.
Fissato un qualsiasi n ∈ N trova un numero che sia multiplo di esattamente n numeri.
Esercizio 6. Dimostra che la somma di due numeri pari è pari (ovvero che l’insieme di due numeri pari è chiuso
rispetto alla somma).
Esercizio 7. Stabilisci se la seguente affermazione è corretta, dimostrandola in caso positivo, e fornendo un
controesempio in caso negativo: L’insieme dei numeri dispari è chiuso rispetto alla somma.
Esercizio 8. L’affermazione dell’esercizio precedente in realtà è sempre falsa: dimostra che la somma di due
numeri dispari è pari.
Esercizio 9. Dimostra che la somma o la differenza di due numeri divisibili per 5 è ancora divisibile per 5.
Esercizio 10. Dimostra che se a = b + c e n divide due numeri tra a, b e c, allora divide anche il terzo. Viceversa
se n divide b, ma non divide c, allora n non divide a.
Utilizza quanto appena dimostrato per stabilire se 400 è divisibile per 13 e se 204 è divisibile per 17.
Esercizio 11. Dimostra che la somma di un numero naturale con il suo doppio, il suo triplo e il suo quadruplo
è un numero divisibile per 10.
Esercizio 12. Dimostra che la somma di due numeri consecutivi è dispari. Più in generale: dimostra che la
somma di un numero pari e un numero dispari è dispari.
Esercizio 13. Considera le seguenti affermazioni:
a) La somma di tre numeri consecutivi è multiplo di 3.
b) La somma di quattro numeri consecutivi è multiplo di 4.
Dimostrale se sono vere e fornisci un controesempio se sono false.
Esercizio 14. La somma di 5 numeri consecutivi è 2010. Trova il più grande di tali numeri.
Esercizio 15. Sapendo che la somma di 4 numeri pari consecutivi è 212, trova i 4 numeri.
Esercizio 16. Sapendo che 156 = 12 · 13, calcola il quoziente della divisione tra 156 e 2, 3, 4, 12, 13, 26, 39, 52.
Esercizio 17. Utilizzando la proprietà distributiva sviluppa il prodotto (a + b)(c + d).
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Esercizio 18. Dimostra che il prodotto di due numeri pari è pari.
Esercizio 19. Dimostra che il prodotto di due numeri dispari è dispari.
Esercizio 20. Dimostra che il prodotto di tre numeri consecutivi è multiplo di 6.
Esercizio 21. Dimostra che il quadrato di un numero naturale n supera di una unità il prodotto del numero
precedente con il successivo di n. (n2 = (n − 1)(n + 1) + 1.) Utilizzando questa proprietà, calcola 112 , 162 ,
99 · 101.
Esercizio 22. Dimostrare la formula che calcola la somma dei primi n numeri
S(n) =
S(n) + S(n) =
=
1 + 2 + 3 + ··· + n
1 + 2 + 3 · · · + n − 1 + n+
+ n + n − 1 + ··· + 2 + 1
n(n + 1)
n(n + 1)
2
Utilizza poi tale formula per calcolare la somma dei numeri da 201 e 301.
2S(n) =
n(n + 1)
⇒
S(n) =
Esercizio 23. Trova la formula per la somma dei primi n numeri pari.
Dimostrazioni in N: numeri primi
Prerequisiti. Oltre alle conoscenze della sezione precedente:
• I numeri primi.
• La scomposizione in fattori primi.
In questa sezione tutti i numeri si intendono naturali.
Esercizio 24. Dimostra che esistono infiniti numeri primi.
Esercizio 25. Dimostra che se un numero è divisibile per un primo p, allora il suo quadrato è divisibile per p2 .
In particolare il quadrato di un numero pari è divisibile per 4.
Esercizio 26. Dimostra la formula (n − 1)(n + 1) = n2 − 1.
Utilizzando la formula precedente dimostra che n2 − 1 non è mai un numero primo, qualsiasi sia n ∈
{x ∈ N | x > 3}.
Cosa succede se n = 2?
Esercizio 27. Dimostra che se p è un numero primo dispari, allora p2 + 1 non è primo.
Cosa succede se p = 2?
Esercizio 28. Quanti e quali divisori ha il numero 12 = 22 · 3?
Ripensando all’esempio precedente quanti e quali divisori hanno il numero pn e il numero pn · q m , dove p e q
sono numeri primi e n e m numeri naturali.
Esercizio 29. Se un numero è divisibile per 2 e per 3, allora è anche divisibile per 2 · 3 = 6. E’ altrettanto vero
che se un numero è divisibile per 2 e per 4 è anche divisibile per 2 · 4 = 8? (controesempio).
Esercizio 30. E’ vero che sostituendo qualsiasi numero primo p alla formula p2 + p + 41 si ottiene sempre un
numero primo? (naturalmente no: se p = 41 il numero della formula è 412 + 41 + 41 = 41 · (41 + 2) = 41 · 43.)
Se questo fosse vero cosa avremmo meravigliosamente trovato?
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PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
Problemi e dimostrazioni in N: la notazione decimale.
Prerequisiti. Oltre ai prerequisiti delle sezioni precedenti è necessaria la conoscenza della notazione del sistema
decimale e quindi del concetto di cifra.
Tutti i numeri di questa sezione sono naturali.
Esercizio 31. Dimostra che la somma di un numero n di due cifre con il numero che ottengo invertendo le cifre
di n è divisibile per 11.
Esercizio 32. Dimostra che un numero palindromo di quattro cifre è divisibile per 11. E se il numero è
palindromo di 5 cifre è ancora divisibile per 11 ?
Esercizio 33. Dimostra il criterio di divisibilità per 5 per un numero di quattro cifre.
Esercizio 34. Dimostra il criterio di divisibilità per 3 per un numero di quattro cifre.
Esercizio 35. Individua e dimostra un criterio di divisibilità per 11 per un numero di tre cifre e per un numero
di quattro cifre.
Esercizio 36. Di un numero di tre cifre si sa che la prima cifra supera di 2 la terza e la seconda cifra è inferiore
di 1 rispetto al doppio della terza. Sapendo inoltre che la somma delle cifre è 9, determina il numero.
Problemi in N: mcm e MCD
Esercizio 37. Persano, Riboldi p. 215 n.121. Si desidera rivestire completamente una parete rettangolare
di 630cm per 420cm con dei quadrati di sughero, senza tagliarne nessuno e in modo che essi siano il più grande
possibile. Che dimensione devono avere i quadrati? Quanti ne servono?
Sol: M CD(630, 420) = 210
Esercizio 38. Persano, Riboldi p. 215 n.122. Un pasticciere ha sfornato 36 babà, 90 cannoli, 72 bignè, 54
crostatine. Vuole confezionare vassoi uguali con il max numero possibile di ogni numero di ogni tipo di pasticcino.
Quanti vassoi può preparare? Quanti pasticcini di ogni tipo conterrà ogni vassoio?
Sol: M CD(36, 90, 72, 54) = 18 vassoi. 2 baba, 5 cannoli...
Esercizio 39. Persano, Riboldi p. 215 n.123. A, B, C devono prendere una medicina rispettivamente ogni
2 ore, ogni 3 ore e ogni 4 ore. Tutti e tre hanno preso la medicina alle 9; quando riprenderanno la medicina
assieme?
Sol: mcm(2, 3, 4) = 12; alle 9 + 12 = 21 ore.
Esercizio 40. Persano, Riboldi p. 366 n.8. A e B sono molto occupati al lavoro. A ha un giorno libero ogni
9, B ogni 6. Se oggi sono entrambi liberi, tra quanti giorni saranno ancora liberi nello stesso giorno? Se oggi è
libero A e domani B, tra quanti giorni saranno liberi assieme?
Sol: mcm(9, 6) = 18. Tra 18 giorni saranno liberi assieme. 9n = 6m + 1-multiplo di 3, non multiplo di 3...
mai.
Problemi in N: contare gli elementi
Esercizio 41. Determina il numero di divisori di 8, 16 e 1024 = 210 . Determina poi il numero di divisori di 12
di 24 e di 72 = 23 · 32 .
Sol: D(pn ) = n + 1, D(pn q m ) = (n + 1)(m + 1)
Esercizio 42. Olimpiadi 2008. Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre che contengono una e una sola
volta la cifra 5 ed essa è la cifra più grande presente nel numero?
Sol: 3 · 4 · 52 + ·53 = 425.
Esercizio 43. Olimpiadi 2008. Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra i due numeri
5 e 7 che siano minori o uguali a 1000?
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Sol: 1000 : 5 = 200, quindi 5 · 1, 5 · 2, ..., 5 · 200. Poi 1000 : 7 = 142, 8.., quindi 7 · 1, 7 · 2, ..., 7 · 142. Poi
1000 : 35 = 28, 5.., quindi 35 · 1, 35 · 2, ..., 35 · 28 sono stati contati due volte. Infine 200 + 142 − 28 = 314.
Problemi in N: equazioni e sistemi
Esercizio 44. Le donne di una biblioteca sono il triplo degli uomini. Calcola quanti sono gli uomini sapendo
che, se ci fossero 20 donne in meno, queste sarebbero la metà degli uomini.
Esercizio 45. La somma di due numeri è 40. Se al secondo si aggiunge 2 si ottiene il doppio del primo. Quanto
valgono i due numeri?
Esercizio 46. Determina quanto vale quel numero che è uguale al suo doppio diminuito di 1.
Esercizio 47. La somma di due numeri è 20 e la loro differenza è 4. Trova i due numeri.
Esercizio 48. Una corda viene divisa in 4 parti in modo che ogni parte ottenuta sia 5 m più corta della
precedente. Sapendo che la corda è lunga 95 m, quanto misura ogni parte cosı̀ ottenuta?
Esercizio 49. Persano, Riboldi p. 366 n.7. A compra la moto da B per 500 euro e la rivende a C per
600. Poi la ricompra da C per 700, ma non ancora soddisfatto la rivende a D per 800. A ci guadagna o perde e
quanto?
Sol: Guadagna 200 euro.
Esercizio 50. Olimpiadi 2008. A e B festeggiano il loro onomastico in pizzeria con i loro amici. Alla fine
della cena il conto viene diviso in parti uguali e ciascuno dovrebbe pagare 12 euro. Gli amici di A e B decidono
però di pagare la cena ad A e B, quindi il conto viene diviso solamente tra gli amici i quali pagano 16 euro a
testa. Quanti sono gli amici di A e B?
Sol: Conto = 12 · n = 16 · (n − 2), quindi n = 8 e gli amici sono 6.
Esercizio 51. Manara. Un edicolante per 4 settimane vende in media 276 copie di una rivista di enigmistica.
La quinta settimana viene fatta una vendita promozionale con un gadget allegato alla rivista, e la media delle
vendite calcolate su tutte le cinque settimane si alza a 285 riviste per settimana. Quante copie ha venduto
l’edicolante nella settimana di promozione?
Sol: 321
Esercizio 52. Manara. Si vuole modificare una pista di pattinaggio quadrata trasformandola in una rettangolare, avente un lato lungo 2m meno di quello del quadrato, e l’altro lato 6m in più . In questo modo il perimetro
della vasca rettangolare ottenuta è di 112m.
a) L’area della nuova pista è aumentata o diminuita rispetto a quella della pista esistente? Di quanto?
b) Se vogliamo trasformare la stessa pista in un rettangolo, sempre diminuendo un lato di 2m, di quanto
possiamo aumentare l’altro se vogliamo che l’area non aumenti di più di 20m2 ?
Sol: a) aumentata di 92m2 . b) non più di 3m.
Esercizio 53. Format p.28. Individua i successivi due termini della successione che inizia con 9, 15, 21, 27, 33, 39.
Individua poi una formula per individuare l’n-esimo della successione . Verifica se i numeri 759 o 762 appartengono alla succesione e in caso positivo determina quale posto occupano.
Sol: 3 · (2n + 1). Quindi 6n + 3 = 759 ⇒ 6n = 756 ⇒ n = 126; 6n + 3 = 762 ⇒ 6n = 759 ⇒ no
(pari-dispari).
Esercizio 54. Format p.28. Un test è formato da 30 domande. Il punteggio p è dato assegnando +2 per ogni
risposta esatta e −1 per ogni risposta non fornita o sbagliata. Scrivi una formula che fornisca il il punteggio
in funzione del numero x di risposte esatte. Determina quindi il punteggio max e min e il numero minimo di
domande a cui si deve rispondere per ottenere la sufficienza se essa si ottiene con il 50% del punteggio massimo.
Sol: p = 2x − 1(30 − x) = 3x − 30; max 60, min −30. 50% del mex =30, quindi 3x − 30 = 30 ⇒ 3x = 60, ⇒
x = 20.
Esercizio 55. Format p.28. Due fratelli hanno rispettivamente 9 e 15 anni. In quale momento della loro vita
hanno avuto un la metà degli anni dell’altro?
Sol: 9 − x =
1
(15 − x), x = 3, quindi tre anni fa.
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PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
Esercizio 56. Il muratore pigro. Un signore si rivolge ad un muratore che ha la fama di lavorare bene, ma di
essere alquanto pigro. Per tutelare entrambe le parti, il signore ed il muratore si accordano nel seguente modo:
il muratore riceverà 50 soldi per ogni giorno che lavora, ma ne perderà 70 per i giorni che non lavora. Dopo 48
giorni il lavoro è finito, ma il muratore non percepisce nessun compenso.
Quanti giorni ha lavorato il muratore sui 48 trascorsi?
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2. L’insieme Q
Dimostrazioni nell’insieme Q
Prerequisiti. Oltre ai prerequisiti delle sezioni precedenti :
• La definizione e le operazioni in Q.
• La definizione di numero irrazionale.
Esercizio 1. Dimostra, senza usare nessuna formula, che 0, 9̄ = 1
Esercizio 2. Scrivi il numero razionale 1, 23̄ coma frazione senza utilizzare nessuna formula.
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Esercizio 3. Dimostra, utilizzando la definizione di quoziente, che : = · .
2 5
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Esercizio 4. Dimostra, utilizzando la definizione di quoziente, che in generale che se a, b, c, d sono numeri
a c
a d
naturali non nulli, allora : = · .
b d
b c
√
Esercizio 5. Dimostra che 2 è un numero irrazionale.
A quali altri numeri si può immediatamente estendere la dimostrazione?
√
Perché la stessa dimostrazione non può valere per esempio per 4, che in effetti è un numero razionale?
Problemi nell’insieme Q. Percentuali
Prerequisiti. Oltre ai prerequisiti delle sezioni precedenti, la scrittura delle percentuali in forma di frazione.
Esercizio 6. Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone?
Esercizio 7. Se ad un numero razionale si aggiunge il suo doppio e si toglie la sua terza parte si ottiene 22.
Qual è il numero?
Esercizio 8. Le dimensioni di un rettangolo sono di 21 e 8 cm. Determina sul lato maggiore AB un punto P
tale che l’area del quadrato di lato P B superi di 189 cm2 l’area del quadrato di lato AP (Determina cioè la
misura di AP o di P B).
Esercizio 9. Se si diminuisce il lato di un quadrato di 2 unità e si aumenta il lato consecutivo di 6 unità si
ottiene un rettangolo il cui perimetro misura 120 unità. Quanto misura l’area del rettangolo?
Esercizio 10. In un triangolo ABC il lato AB supera di 4 unità il lato BC e e questo a sua volta supera AC
di 7 unità. Sapendo che il perimetro del triangolo è di 48 unità determina la misura dei tre lati. Utilizzando poi
la formula di Erone:
p
Area(ABC) = p(p − AB)(p − AC)(p − BC),
dove p indica il semiperimetro del triangolo, determina l’area del triangolo.
Esercizio 11. In un triangolo rettangolo la somma di un cateto e dell’ipotenusa è di 18 cm e lo stesso cateto è
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dell’ipotenusa.
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• Determina la misura dei cateti e dell’ipotenusa (usa il teorema di Pitagora).
• Determina l’area del triangolo.
• Determina la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.
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Esercizio 12. Si vuole conficcare un palo nel terreno. Ad ogni colpo il palo affonda di della sua lunghezza;
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dopo 4 colpi la parte emersa del palo è 1 m. Calcola la lunghezza del palo.
Esercizio 13. Per la cena di classe è stato chiesto in pizzeria di poter occupare un unico tavolo. Il proprietario
ha proposto questa soluzione: Unendo tre tavoli e un tavolino, che è metà di un tavolo, avete una tavolata lunga
6, 65 metri e penso che basti. Quanto misura la lunghezza di un tavolo?
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PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
Esercizio 14. Format p.28. Un negoziante acquista 12 cartoni, ognuno contenente 16 barattoli di marmellata,
a 12 euro e 80 centesimi a cartone. Poiché alcuni cartoni cadono e k barattoli si rompono, il negoziante rivende
ogni barattolo a di marmellata a 1 euro e mezzo. Scrivi una formula che esprima il guadagno g in funzione del
numero k di barattoli invendibili, nell’ipotesi che tutti gli altri barattoli siano venduti. Stabilisci qual è il numero
max di barattoli che si possono rompere affinché il negoziante non risulti necessariamente in perdita.
Sol: Spesa acquisto=12 · 12, 80 = 153, 60. Tot barattoli=12 · 16 = 192, barattoli vendibili=192 − k. Quindi
g = 1, 50 · (192 − k) − 153, 60 = 134, 40 − 1, 50k = 0 se k = 89, 6. Al max si possono rompere 89 barattoli.
Esercizio 15. Format p.28. Il volume di un palloncino gonfiabile aumenta costantemente di 40cm3 al secondo.
All’inizio il volume è di 20cm3 ; scrivi la formula che esprima quanto è il volume V dopo t secondi. Dopo quanti
secondi il volume è di 2 litri? Quando scoppierà il palloncino se si sa che al max può espandersi fino a 3 litri?
Sol: V = 20 + 40t; 20 + 40t = 2000 ⇒ t = 49, 5; 20 + 40t = 3000 ⇒ t = 74, 5;
Esercizio 16. Manara. Due amici sono rappresentanti di ditte che producono playstation. Luca ha, per
contratto, uno fisso di 500 euro e una provvigione di 5 euro per ogni playstation che piazza; lo dice a Paolo, che si
preoccupa, dicendo: Allora mi trattano male! Io ricevo solo 280 euro di fisso e 5.50 euro per ogni playstation che
piazzo. Però Luca lo convince che, se riescono a piazzare al completo le loro forniture di playstation, che hanno lo
stesso numero di pezzi, i loro trattamenti sono equivalenti. Quante playstation hanno da piazzare Luca e Paolo?
Chi dei due ha il contratto più conveniente, se non raggiungono l’obiettivo di piazzare l’intero quantitativo?
Sol: 440, Luca
Esercizio 17. Manara. Dopo le prime quattro verifiche di matematica Carlo ha la media del 6, 5. Dopo la
quinta verifica, torna a casa deluso, dicendo Ho studiato tantissimo perché volevo arrivare alla media del 7, invece
ho sbagliato tutto, e mi trovo con la media del 6.
a) Che voto avrebbe dovuto prendere Carlo nella quinta verifica per portarsi alla media del 7, e quale voto
invece ha preso?
b) Di quanto, al massimo, Carlo avrebbe potuto migliorare la sua media (se 10 è il voto massimo delle
verifiche)?
Sol: a) 9; 4. b)di 0,7, arrivando a 7,2
Esercizio 18. Format p.28. Per preparare un roast-beef occorrono: 25 minuti per ogni chilo del suo peso per
cuocerlo nel forno e 15 minuti per rosolarlo. Scrivi una formula che esprima il tempo t di cottura in funzione del
peso p del pezzo di carne. Determina quindi quanto tempo occorre per cuocere un pezzo che pesi un chilo e tre
etti e quanto dovrebbe pesare al max la carne se si hanno a disposizione solamente 30 minuti.
Sol: t = 15 + 25p; t = 15 + 25 · 1, 3 = 47, 5 cioè 47 min e 30 sec. 30 = 15 + 25p, 25p = 15 p = 0, 6 chili.
Esercizio 19.
a) Durante i saldi acquisto una maglia a 72 euro. Sapendo che è stata scontata del 10%, qual era il prezzo
iniziale.
b) Decido poi di acquistare anche un paio di pantaloni che inizialmente costava 125 euro, ma che io ho
pagato solo 100 euro. Qual è la percentuale di sconto che ho avuto?
Esercizio 20. Al primo test di un concorso provinciale si presentano un certo numero di candidati. Di questi il
20% supera il test, mentre 4000 vengono respinti. Determinare quante persone si erano presentate.
Esercizio 21. Un commerciante acquista dalla fabbrica un certo numero di capi di vestiario. Oltre alla spesa
dell’acquisto deve pagare il 20% di tasse sul prezzo di acquisto. Il commerciante calcola che vendendo ciascun
capo a 12 euro avrà un guadagno di 1, 20 euro per ogni capo venduto. Quanto ha pagato ogni capo, senza tenere
conto delle tasse?
Esercizio 22. Format p.28. Il prezzo di un certo prodotto è di 6 euro e 9 centesimi. Sappiamo che sul prodotto
è stata applicata una tassa del 16%; qual è il suo prezzo al netto delle tasse?.
16
x = 6, 09, x = 5, 25.
Sol: x +
100
Esercizio 23. Format p.28. Un elettrodomestico è stato pagato 352 euro dopo uno sconto del 25%; qual era
il prezzo di listino?
25
x.
Sol: 352 = x −
100
Esercizio 24. Format p.28. Dopo un aumento dell’8% il costo di iscrizione a una palestra è passato a 70 euro
e 20 cent. Qual era il suo costo in precedenza?
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Esercizio 25. Maddalena vuole depositare 60.000 euro in banca. Ha a disposizione due differenti possibilità.
In una banca forniscono un interesse del 2, 1 % l’anno, ma il deposito ha un costo annuale di 50 euro; in una
seconda banca forniscono ivece un interesse del 2 % l’anno.
a) Determina quanti soldi avrebbe Maddalena depositando i soldi per un anno in ciascuna delle due banche.
Quale delle due banche è più conveniente per Maddalena?
b) Alla fine Maddalena decide di utilizzare entrambe le banche, depositando parte dei soldi nella prima banca
e la parte rimanente nella seconda. Cosı̀ facendo dopo un anno Maddalena ha 61.180 euro. Determina
qual è la cifra depositata in ciascuna banca.
Esercizio 26. Format p.28. Viene acquistato un appartamento pagandolo in tre rate: viene pagato subito
1
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del prezzo; dopo sei mesi vengono pagati i
di quanto rimane da pagare e dopo un anno si salda il debito
5
3
pagando 64 00 euro. Qual è il prezzo dell’appartamento?
Esercizio 27. Manara. Un’azienda dolciaria produce diversi tipi di cioccolato. Su quattro di questi tipi la
percentuale media di cacao nel composto è del 36%, ma con il quinto prodotto, cioccolato extra fondente, la
percentuale media sale al 43, 2%. Qual è la percentuale di cacao nel quinto tipo di cioccolato?
Sol: 72%.
Esercizio 28. Format p.28. In un libretto di risparmi ci sono 2 750 euro. 500 euro sono stati versati quando
è stato aperto il libretto e il resto è stato versato in rate di 250 euro al mese. In quanti mesi è stata accumulata
la cifra tot senza tenere conto degli interessi?
Esercizio 29. In un rombo viene aumentata del 20 % la lunghezza di una diagonale, e viene diminuita del 20 %
la lunghezza dell’altra diagonale. L’area del nuovo rombo è uguale a quella del rombo iniziale? Se si hanno
variazioni, di quanto varia in percentuale rispetto a quella del rombo iniziale?
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PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
3. Polinomi
Prerequisiti. La definizione di monomio e polinomio.
Esercizio 1. Scrivi tutti i possibili monomi di grado 4 in forma normale a coefficiente numerico 2 nelle variabili
x e y.
Esercizio 2. Scrivi un monomio nelle variabili x e y, di grado 5 rispetto a x e di grado non nullo rispetto a y,
avente coefficiente numerico uguale al suo grado complessivo.
Esercizio 3. Vero o Falso Correggi le affermazioni false in modo che diventino vere:
• Due monomi simili hanno lo stesso grado.
• Due monomi con lo stesso grado sono simili.
• Due monomi opposti hanno lo stesso grado.
• Due monomi opposti sono simili.
• Il quoziente tra due monomi opposti non nulli vale zero.
Esercizio 4. Esamina i seguenti quesiti, prova ad intuire la risposta e a verificarla con esempi numerici. Esamina
poi la situazione in generale dimostrando la loro correttezza o falsità.
a) Se in un rettangolo raddoppio l’altezza e dimezzo la base, l’area resta invariata?
b) Se in un rettangolo aumento del 10% l’altezza e diminuisco del 10% la base, l’area resta invariata?
Se si hanno delle variazioni di area, determina di quanto varia in percentuale.
Esercizio 5. Considera tre agenzie di cambio. Ieri tutte le tre agenzie avevano lo stesso cambio mentre oggi si
verifica la seguente situazione: nella prima agenzia il tasso aumenta del 5% al mattino e diminuisce del 5% al
pomeriggio, nella seconda agenzia succede il viceversa e nella terza il tasso resta invariato.
A fine giornata in quale agenzia si ha il tasso maggiore e qual è la differenza in percentuale rispetto al tasso
di ieri?
Esercizio 6. Considera un foglio di carta rettangolare e con esso costruisci la superficie laterale di un parallelepipedo piegando il foglio in quattro, prima rispetto ad un lato e poi rispetto all’altro. I volumi dei due
parallelepipedi sono uguali?
Esercizio 7. Se aumentiamo la base di un rettangolo del 30% e la sua altezza del 50% di quanto aumenta in
percentuale l’area?
Esercizio 8. Fare il disegno...
Considera due quadrati congruenti. Nel primo inscrivi un cerchio e nel secondo inscrivi 4 cerchi congruenti.
Considera quindi la parte di quadrato non compresa nei due cerchi. In quale dei due casi tale parte ha area
maggiore?
Esercizio 9. Sia
(x + 1)3 − (x − 1)3 − (x + 1)(x2 − x + 1) + (x − 1)(x2 + x + 1)
il primo membro di una equazione che risulta essere una identità. Senza svolgere calcoli significativi , ma attribuendo opportuni valori all’incognita, stabilisci quale dei seguenti è il secondo membro dell’equazione. Giustifica la risposta.
• 6x2
• 4x2
• 4x2 + 2x
Sol: basta sostituire x = −1
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4. Disequazioni
Esercizio 1. Manara p.407. Per un certo lavoro una ditta ha pattuito un compenso di 2550 euro e per iniziare
chiede al cliente almeno un terzo dell’importo. Quanto può versare il cliente?
Esercizio 2. Manara p.407. Una compagnia telefonica offre ai suoi clienti due tipi di tariffe. La tariffa A
prevede solo una spesa fissa di 87.50 euro al mese. La tariffa B prevede una spesa fissa di 45 euro al mese più
un costo do 0, 25 euro per ogni telefonata. Quante telefonate si devono fare affinché sia più conveniente la prima
offerta?
Esercizio 3. Manara p.407. In un magazzino di vendita si pratica uno scoto del 20% se la spesa supera 500
euro. Carla acquista un elettrodomestico che costa 280 euro e un tavolo da 96 euro; vuole poi acquistare delle
sedie che costano 35 euro l’una. Quante sedie deve acquistare per potere usufruire dello sconto?
Esercizio 4. In un rettangolo un lato è lungo 2 cm in più dell’altro. Come deve essere la lunghezza del lato
minore se si vuole che l’area del rettangolo ottenuto aumentando di 2 cm ciascuno dei due lati sia almeno 30 cm2
in più dell’area del rettangolo iniziale?
Esercizio 5. Per quali valori reali di x esiste un triangolo di lati x + 3, 2x + 1 e x + 7?
Esercizio 6. Inventa un problema che abbia come insieme delle soluzioni l’insieme {x ∈ R | x > 3}.
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PROBLEMI E DIMOSTRAZIONI ALGEBRICHE
5. Problemi strani e vari
Esercizio 1. Format p.28 – Giochi matematici Russi. Tre amici stavano cacciando nella taiga quando due
di loro, passando un torrente a guado, bagnarono la custodia delle cartucce; i tre amici si divisero le cartucce
asciutte equamente. Trascorso un po’ di tempo, ognuno dei tre aveva sparato 4 colpi, e il numero totale di
cartucce rimaste era uguale al numero che ognuno di loro aveva avuto dopo la divisione. Quante cartucce si
earno suddivisi.
Sol: bello il contesto nei giochi in Russia! 3(x − 4) = x, x = 6. Si erano divisi 18 cortucce.
Esercizio 2. Format p.28 – Liber Abaci, Fibonacci XIII sec. Un uomo pregò Giove affinché gli raddoppiasse i denai che aveva in tasca e in compenso avrebbe fatto un’offerta di 8 scudi. Ottenne la grazia e versò
l’offerta. Pregò allora Venere per la stessa grazia: la ottenne e versò gli 8 scudi. Infine pregò Mercurio per la
stessa grazia: la ottenne anche questa volta e versò gli 8 scudi. Cosı̀ si ritrovò possessore di nulla. Quanti scudi
aveva in principio?
Sol: I: x scudi. Dopo G: 2x − 8. Dopo V: 2(2x − 8) − 8 = 4x − 24. Dopo M: 2(4x − 24) − 8 = 8x − 56. Quindi
all’inizio: 7 scudi.
Esercizio 3. Format p.28 – Liber Abaci, Fibonacci XIII sec. Un padre distribuisce tra i suoi figli i denari
di una borsa. Al primo figlio dà una lira il settimo di ciò che gli rimane, al secondo dà due lire e il settimo di ciò
che gli rimane, al terzo dà due lire e il settimo di ciò che gli rimane e cosı̀ via fino a distribuire tutti i suoi denari.
A questo punto risultò che ogni figlio aveva avuto la stessa quantità di denari. Quanti erano i figli e quante lire
aveva nella borsa?
1
12
6
6
+
(x − 1). Se ricevono la stessa cifra deve essere x = 36.
Sol: al primo figlio dà + x, al secondo
7
7
7
49
Quindi ogni figlio riceve 6 lire e 6n = 36, ci sono 6 figli.
Esercizio 4. Format p.28 – Peano (1858-1932. Un arabo morendo lasciò ai suoi tre figli 17 cammelli in
eredità e ordinò che la metà fosse data al primo figlio, la terza parte al secondo e la nona al terzo. I tre figli si
rivolsero al cadı̀ che venne con il proprio cammello che unı̀ agli altri. Cosı́ potè procedere alla divisione. Spiega
l’idea del cadı̀ e indica quanti cammelli riceve ciascun figlio.
Sol: 9, 6 e 2
Esercizio 5. Format p.28 – Liber Abaci, Fibonacci XIII sec. Un multiplo di 7.
Qual il pi piccolo numero che diviso per 2 dà resto1, diviso per 3 dà resto 2, per 4 dà resto 3, per 5 dà resto
4, per 6 dà resto 5, mentre è esattamente divisibile per 7?
Esercizio 6. Persano, Riboldi p. 374 n.1. 5 agricoltori hanno bisogno di 5 minuti per piantare 5 alberelli.
Quanti agricoltori servono per piantare 100 alberi in 100 minuti? E per piantare 200 alberi in 30 minuti?
Sol: 1 agric. 200 alberi in 200 min., quindi 7 agric 7 alb. in 1 min, quindi 7 agric 210 alb. in 30 min. Notare
che 6 agr. 6 alberi in 1 min, quindi 6 agric 180 alb in 30 min non bastano.
Esercizio 7. Persano, Riboldi p. 374 n.6. Quanti alberi ci stanno al max su due lati di un largo viale lungo
180 metri, posti a 15 metri di distanza uno dall’altro?
Sol: 180: 15=12; quindi ce ne stanno 13 per lato (da 0 a 180), quindi 26 in toto
Esercizio 8. Persano, Riboldi p. 374 n.17. A possiede un campo quadrato il cui lato misura un numero
intero di metri e la cui area espressa in metri quadri è un numero compreso tra 1900 e 2000. A decide di dividere
il campo in parti uguali tra i suoi due figli. Quanti metri quadri riceverà ciascu figlio?
Sol: Sicuramente ricevono tra 950 e 1000 metri quadri, ma quanti? 1900 ≤ x2 ≤ 2000. Ora 432 = 1849,
44 = 1936, 452 = 2025. quindi x = 44. Ogni figlio riceve 22 · 44 = 968 metri quadri
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