S.Barbarino - Appunti di Fisica II

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Cap. 8
Calcolo del campo magnetico generato da sorgenti assegnate
e forze agenti su circuiti e particelle cariche in moto
8.1 - La corrente elettrica
Finora ci siamo occupati della definizione del campo magnetico considerando soltanto
una carica in moto o un allineamento di cariche in moto. Vogliamo estendere il problema nel
caso di distribuzioni generiche di cariche in moto; per far questo dobbiamo necessariamente
introdurre il concetto di corrente elettrica e le grandezze ad essa associate. Soprattutto
ci vogliamo correlare a quanto detto alla fine del capitolo precedente che il campo magnetico
é generato ed anche misurabile facilmente da un sistema neutro di cariche che, nella realtá,
é sostanzialmente un filo metallico ai capi del quale viene applicata una differenza di
potenziale e quindi un campo elettrico. Come vedremo in seguito, gli elettroni liberi del
metallo si mettono in moto dando appunto luogo ad un campo di induzione magnetica.
Come sappiamo una carica o una collezione di cariche in moto costituisce una corrente e
il processo con cui la carica é trasportata é detto conduzione.
Precisamente, si definisce intensitá di corrente elettrica I, la quantitá di carica
che passa per una data sezione di un conduttore nell’unitá di tempo. E, quindi, possiamo
scrivere:
I=
dQ
dt
(8.1.1)
dove Q = Q(t) é la carica netta trasportata nel tempo t. L’unitá di corrente, nel sistema
S.I. é l’ampere; 1 Ampere = 1 Coulomb
.
s
In un metallo la corrente é trasportata esclusivamente dagli elettroni, mentre gli ioni
positivi sono fissi nelle posizioni regolari del reticolo cristallino. Solo gli elettroni atomici
di valenza (i piú esterni) possono partecipare al processo di conduzione; gli altri elettroni
sono strettamente legati ai loro ioni.
In un elettrolita la corrente é trasportata da entrambi gli ioni positivi e negativi,
anche se generalmente predomina la conduzione dovuta ad un tipo di ioni. É importante
rilevare che ioni positivi e ioni negativi che si muovono in senso contrario contribuiscono
alla corrente nella stessa direzione.
8.2 - Densitá di corrente
Consideriamo un mezzo conduttore avente un solo tipo di portatori di cariche, con
carica q. Sia N il numero di questi portatori per unitá di volume. Trascuriamo il loro moto
termico disordinato e assegnamo la stessa velocitá di spostamento ~v a ciascun portatore.
8-1
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~v δt............................
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⊕
⊕
⊕
..........................
n
b · ~v δt
..........................
n
bda
fig.8.2-1
Nel tempo dt ciascun portatore percorre un tratto vdt. La carica dQ che attraversa
l’elemento di superficie da nel tempo dt é quella di tutti i portatori contenuti nel volume
dV = (b
n · ~v dt)da dove n
b é un versore normale all’area da. Ne segue che la corrente che
attraversa l’area da é:
dI =
Posto:
qN (~v · n
bdt)da
dQ
=
= N q~v · n
bda
dt
dt
(8.2.1)
J~ = N q~v
(8.2.2)
dI = J~ · n
bda
(8.2.3)
la (8.2.1) si scrive:
J~ prende il nome di vettore densitá di corrente. L’unitá di misura di J~ é A/m2 .
Integrando la (8.2.3) si ha:
Z
I=
J~ · n
bda
(8.2.4)
S
che rappresenta l’intensitá di corrente che attraversa la superficie S.
Se vi é piú di un tipo di portatore di carica, ciascun tipo porterá lo stesso contributo
di prima e si ha, in generale:
"
#
X
dI =
Ni qi~vi · n
bda
(8.2.5)
i
8-2
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dove la sommatoria é estesa a tutti i vari tipi di portatori.
8.3 - Teorema di continuitá o di conservazione della carica
Consideriamo una superficie chiusa arbitraria S. La corrente totale che entra nel
volume V é:
I
Z
~
~ · J~d3 r
I =− J ·n
bda = −
∇
(8.3.1)
V
S
Poiché la normale alla superficie S é orientata verso l’esterno di S e per convenzione
si vuole considerare positiva la corrente che entra, nell’equazione (8.3.1) é stato introdotto
il segno meno.
D’altra parte, per definizione di corrente elettrica, si ha:
Z
dQ
d
I=
ρd3 r
(8.3.2)
=
dt
dt V
Poiché abbiamo considerato un volume indipendente dal tempo, la derivata rispetto
al tempo opera solo su ρ e puó essere portata dentro l’integrale e poiché ρ dipende solo
dalle coordinate spaziali e dal tempo, la derivata totale diventa derivata parziale, quindi:
Z
∂ρ 3
I=
d r
(8.3.3)
V ∂t
Confrontando la (8.3.1) con la (8.3.3) si ha:
Z
Z
∂ρ 3
3
~
~
d r
∇ · Jd r =
−
V
V ∂t
che si puó scrivere:
Z V
∂ρ ~ ~ 3
+∇·J d r = 0
∂t
(8.3.4)
Data l’arbitrarietá di V la (8.3.4) comporta:
∂ρ ~ ~
+∇·J=0
∂t
(8.3.5)
La (8.3.5) prende il nome di equazione di continuitá.
8.4 - Forze su conduttori percorsi da corrente immersi in un campo magnetico
Generalizziamo, ora i risultati trovati alla fine del capitolo precedente.
Supponiamo che al posto della carica q2 si trovi un elemento di filo d~l percorso da
corrente I, si vuole capire come si possa generalizzare l’espressione della forza di Lorentz
~
F~ = q2 ~u × B.
8-3
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Prima di tutto osserviamo che se i portatori sono elettroni il vettore J~ é opposto al
vettore velocitá e quindi la corrente fluisce in senso opposto al moto degli elettroni. Quindi
nei conduttori metallici d~l é orientato secondo la corrente.
~ = q2 ~u × B,
~ se la carica é infinitesima, si scrive: dF~ = dq~u × B.
~
L’espressione F
Consideriamo un elemento di filo di lunghezza d~l e sezione A; il numero di cariche in
moto, con velocitá ortogonale alla sezione, contenute nell’elemento di volume Adl é N dlA
e quindi la carica dq é N Adlq.
Ne segue:
~
dF~ = N Adlq~v × B
(8.4.1)
che, sia nel caso di q > 0 o q < 0 si puó scrivere:
cioé:
~
dF~ = N Avqd~l × B
(8.4.2)
~
dF~ = Id~l × B
(8.4.3)
che prende il nome di seconda legge di Laplace.
La prima conseguenza della (8.4.3) é che: la forza che si esercita su un circuito
chiuso percorso da corrente ed immerso in un campo magnetico uniforme é
zero.
Infatti, consideriamo un circuito chiuso percorso da corrente I:
I ~ =
~
F
Id~l × B
(8.4.4)
C
~ é uniforme, si puó portare fuori dall’integrale e scrivere:
Se B

F~ = I 
I
C
in quanto
I

~ =0
d~l × B
(8.4.5)
d~l = 0 qualunque sia la forma del circuito C.
C
Il secondo problema della magnetostatica é quello di calcolare il campo prodotto
da un elemento di filo percorso da corrente.
Per questo consideriamo la formula:
1
kq
~
r
1
~ = ~v × γ
B
3
c2
(γ 2 x2 + y 2 ) 2
Consideriamo il caso non relativistico:
~ = 1 ~v × k q1~r
B
c2
r3
8-4
(8.4.6)
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Sia dq l’elemento di carica che genera il campo, si ha:
1
dq~r
~v × k 3
2
c
r
(8.4.7)
k
~l × ~r
N
Avqd
c2
r3
(8.4.8)
~ =
dB
ma dq al solito é: dq = N Adlq quindi:
~ =
dB
cioé:
k ~ ~r
Idl × 3
c2
r
che prende il nome di prima legge di Laplace.
Per un motivo che sará chiaro in seguito poniamo:
~ =
dB
c2 = (0 µ0 )−1
(8.4.9)
(8.4.10)
dove µ0 prende il nome di permeabilitá magnetica del vuoto.
Nel S.I., pertanto:
k
1
µ0
=
0 µ0 =
2
c
4π0
4π
(8.4.11)
Nel S.I., allora, la (8.4.9) si scrive:
µ0 ~ ~r
Idl × 3
4π
r
~ =
dB
(8.4.12)
L’unitá di misura di B é: W eber/m2 quando I si misura in Ampere. Il valore numerico
di µ0 é: µ0 = 4π · 10−7 Henry/m.
Nel sistema C.G.S. B si misura in Gauss. 1 Gauss=10−4 W eber/m2 .
8.5 - Campo magnetico prodotto da un filo rettilineo infinitamente lungo
percorso da corrente
Si consideri un lungo (infinitamente) filo rettilineo percorso da corrente I, orientato
secondo l’asse x di figura; su di esso si stacchi un elemento d~l e si calcoli il contributo di
esso nel punto P distante R dal filo per mezzo della formula (8.4.12).
Il campo magnetico risultante é ortogonale sia a d~l che a ~r.
~ =
dB
~r
µ0
Idlb
x× 3
4π
r
(8.5.1)
~ =
dB
µ0 dl
I sin θb
z
4π r 2
(8.5.2)
Dalla figura si ha:
sin θ = √
R
R2 + l 2
r 2 = l 2 + R2
8-5
(8.5.3)
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dB =
da cui:
µ0
B=
IR
4π
Z
µ0
dl
I
R
4π (R2 + l2 ) 32
+∞
−∞
dl
(R2 + l2 )
3
2
=
(8.5.4)
µ0 I
2π R
(8.5.5)
che rappresenta la legge di Biot e Savart ed é lo stesso di quello calcolato con la teoria
della relativitá.
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l.
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d~l
I
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.........
......
..
θ
~r
O•
x
R
~ uscente
B
•
P
fig.8.5-1
8.6 - Spira percorsa da corrente: calcolo dell’induzione magnetica sui punti
dell’asse
Il campo generato da un generico elemento infinitesimo della spira é:
~ =
dB
µ0 ~ ~r
Idl × 3
4π
r
(8.6.1)
~1 e
Consideriamo due elementi diametralmente opposti d~l1 e d~l2 eguali. I campi dB
~
dB2 da essi creati sono eguali in modulo e data la simmetria hanno la stessa inclinazione
~ 1 e dB
~ 2 sul piano della spira si elidono a vicenda.
rispetto all’asse z. Le componenti di dB
Il contributo totale nel punto P é dato dalla componente sull’asse z dei campi:
dBz = dB cos θ
8-6
(8.6.2)
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µ
e, poiché: dB = 4πo I dl2 , in quanto d~l ed ~r sono due vettori ortogonali, si ha:
r
dBz =
µ0 dl
I cos θ
4π r 2
z ..........
~2
dB
.........
(8.6.3)
~
dB
.......
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1
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0 ......... ..... ....
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2 ........
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....................................
θ
90
θ
• P (0, 0, z)
90 − θ
r
θ
d~l
O•
a
d~l1
I
fig.8.6-1
Dalla figura risulta che: cos θ =
√
a
e r = a2 + z 2 , quindi:
r
dBz =
µ0
a
I
dl
4π (a2 + z 2 ) 23
(8.6.4)
Integrando su tutta la lunghezza della spira, si ha:
Bz =
µ0
2πa2
I
4π (a2 + z 2 ) 32
8-7
(8.6.5)
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Per z=0 risulta Bz (z=0) =
µ0 1
I che corrisponde al valore massimo Bz max .
2 a
Induzione magnetica sull’asse di una spira (a=1)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
Bz
Bz max
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
........
... ....
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..............
−5
−4
−3
−2
−1
0
z
fig.8.6-2
8-8
1
2
3
4
5
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8.7 - Bobine di Helmholtz
Un dispositivo molto importante per generare campi magnetici abbastanza uniformi
almeno in una piccola zona dello spazio é costituito da un sistema di bobine opportunamente distanziate chiamate bobine di Helmholtz. Ci proponiamo di dimostrare che
quanto affermato é vero se le due bobine hanno raggio eguale e sono separate da una
~ in un punto dell’asse, equidistante dalle due
distanza tale che la derivata seconda di B,
bobine, sia nulla.
N spire
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.............................................................................................
........................................
a
2b
...
...
...
...
...
...
.......
...
P•
..
.......
..................................................................................................
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..................
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...............................
.............
........................................................... .....................................................................................
....................................................................................................
.............................................
N spire
z
O
fig.8.7-1
Calcoliamo l’induzione magnetica nel punto P , situato sull’asse comune, nell’ipotesi
che i versi della corrente nelle bobine siano concordi. Si ha:






1
N µ0 2
1
B(z) =
Ia
(8.7.1)
3 + h
i 32 

2
2

 (z 2 + a2 ) 2
2
(2b − z) + a
La derivata prima di Bz rispetto a z é:

1
dBz
N µ0 2  − 32 (a2 + z 2 ) 2 2z
+
=
Ia
 (z 2 + a2 )3
dz
2
dBz
N µ0 2
=
Ia
dz
2
(
−
3
2
2
a + (2b − z)
2
12

2(2b − z) 
[(2b − z)2 + a2 ]
3
3
2z
3
2(z − 2b)
5 −
2
2
2 (z + a ) 2
2 [(2b − z)2 + a2 ] 52
che si annulla per z = b.
8-9
)

(8.7.2)
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Calcoliamo, ora, la derivata seconda:
(
)
5
3
d2 Bz
3 2(z 2 + a2 ) 2 − 52 (z 2 + a2 ) 2 4z 2
µ0 N Ia2
=
−
dz 2
2
2
(z 2 + a2 )5


5
3
5
2
2 2
2
2 2
2 
− 2 (2b − z) + a
4(z − 2b)(2b − z)(−1) 
3 2 (2b − z) + a
µ0 N Ia
+
−
5
 2

2
[(2b − z)2 + a2 ]
2
2
2z
d Bz
3
1
5
= − µ0 N Ia2
5 −
2
dz
2
2 (z 2 + a2 ) 27
(z 2 + a2 ) 2
(
)
3
1
5
2(z − 2b)2
2
− µ0 N Ia
5 −
2
2 [(2b − z)2 + a2 ] 72
[(2b − z)2 + a2 ] 2
(8.7.3)
(8.7.4)
che per z = b (punto equidistante) si riduce a:
d2 Bz
3
1
5
2b2
1
5
2b2
2
= − µ0 N Ia
+
=
5 −
5 −
dz 2 (z=b)
2
2 (b2 + a2 ) 72
2 (b2 + a2 ) 72
(b2 + a2 ) 2
(b2 + a2 ) 2
2
2
3
b + a2 − 5b2 + b2 + a2 − 5b2
3
2a − 8b2
2
2
= − µ0 N Ia
= − µ0 N Ia
7
7
2
2
(b2 + a2 ) 2
(b2 + a2 ) 2
(8.7.5)
2
2
che si annulla per a = 4b ossia per 2b = a, quando, cioé, la distanza fra le due bobine é
eguale al raggio. Con tale distanza l’induzione magnetica nel punto intermedio é:
Bz (z=b)
che per b =
N µ0 2
Ia
=
2
1
3
(b2 + a2 ) 2
+
1
3
(b2 + a2 ) 2
(8.7.6)
a
diventa:
2
Bz (z=b)











N µ0 2
2
I
8 
Ia
=
= N µ0
3 

2
a 3

 5 a2 2 

52
4
(8.7.7)
Le bobine di Helmholtz hanno un ruolo importante nella ricerca scientifica, nella quale
sono frequentemente impiegate per produrre un campo magnetico relativamente uniforme
in una piccola regione dello spazio. Consideriamo il campo magnetico in un punto dell’asse
vicino al punto mediano fra le bobine. Il campo Bz (z) si puó sviluppare in serie di Taylor
1
intorno al punto z = a = b:
2
1
1
∂Bz
Bz (z) = Bz
a + z− a
+·····
(8.7.8)
2
2
∂z (z= 12 a)
8 - 10
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
a
Ora, per z =
il secondo termine della (8.7.8) é nullo, la derivata seconda é nulla
2
e, pertanto, l’unico termine diverso da zero é quello dalla derivata terza in poi. Si puó
dimostrare che la derivata terza calcolata nel punto z = a2 é nulla; quindi l’unico termine
diverso da zero é la derivata quarta. Pertanto:
Bz (z) = Bz
4 4
1
1
1
∂ Bz
+···
a +
z− a
2
24
2
∂z 4 (z= 12 a)
(8.7.9)
Se calcoliamo esplicitamente la derivata quarta, B(z) si puó esprimere come:
Bz (z) = Bz
a


144 

1 −
2
125
z−
a

a 4
2 

(8.7.10)
a a
Cosí nella regione in cui z − é minore di
, Bz (z) differisce da Bz a
2 meno di
2
10
1.15
.
10000
Per misurare i campi prodotti in laboratorio il W eber/m2 é una unitá di misura
piuttosto grande; pertanto per misurare B si usa il Gauss; 1 Gauss = 10−4 W eber/m2 .
Posto nella formula (8.7.7) µ = µ0 = 4π · 10−7 H/m, moltiplicando a per 10−2 e tutta
la frazione per 104 per passare da W eber/m2 a Gauss, si ha al centro della bobina di
Helmholtz:
Bz =
32πN I
5(3/2) a 10
dove I é espresso in Ampere, a in cm e B in Gauss.
8 - 11
(8.7.11)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
~ generato da una bobina cilindrica (solenoide)
8.8 - Campo B
Supponiamo di avere un filo avvolto strettamente per formare un cilindro circolare. Sia
n il numero di spire per unitá di lunghezza dell’avvolgimento e supponiamolo costante cioé
il filo é avvolto in maniera uniforme. Il percorso della corrente é, in effetti, elicoidale, ma se
le spire sono molte e molto compatte, possiamo trascurare questo fatto e considerare tutto
il solenoide equivalente ad un sistema di spire coassiali percorse da corrente. Possiamo
quindi servirci del risultato del paragrafo precedente per calcolare il campo in qualsiasi
punto P sull’asse del solenoide.
z............
.....
.... ... ... .
.. ... ...
...
... ...
..
.....
..
....
...
....
..
...
...
..
...
...
..
..
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1
...... ........
..
.
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.... ..... ............ ..............
........
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....... ....... ........
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. ....
... ........................
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.. .. ...
.. ......
...
... ....... .......
...
... ..................
........ .....
.. ..
.... .. ..............................
..
.. ...................
dz0
..
z.0 ......P •......................
.. ... ..... ...
... . . ...
2
. . ... ..
....... z
. .... .... ..
...... ...... •
... ...
O .... ...
..
..
..
....
..
..
..
..
..
...
..
..
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.................
..................
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..
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..
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...
..
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..
..
.
θ
I
I
....
......
...
...
..
..
.........
..
..
...
.
.......................
.........................................
..................................................
...................................................
......................................................................................
.. ....
.... .
.................................................
.................................................
.................................................
........................................................................................
.. ....
.... .
.................................................
..................................................
.................................................
.......................................................................................
.. ....
.... ..
.................................................
..................................................
........................................................................................
.
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.................................................
......................................................................................
.. ....
.... ..
.................................................
.................................................
..................................................
.......................................................................................
.. ....
.... .
.................................................
..................................................
.................................................
.......................................................................................
.. ....
.... .
..................................................
.................................................
..................................................
......................................................................................
.. ....
.... ..
.................................................
........................................................................................
.............................................
. ........................
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
L•
•
... •
.. •
... •
... •
... •
... •
... •
... •
... •
... •
.. •
........ •
.. •
. •
....
.......
...
..
...
..
..
...
...
..
..
....
θ
θ
a
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
dθ
fig.8.8-1
Consideriamo un punto P , sull’asse del solenoide, di coordinata z rispetto al centro O
assunto come origine. Consideriamo in esso il contributo da parte dell’anello di corrente
compreso fra i raggi che escono dal punto P e che formano con il ”lato” del solenoide
gli angoli θ e θ + dθ. Sia questo dz0 . La corrente che circola in tale elemento di spira é
dI = nIdz0 .
Applicando la formula (8.6.5) relativa alla spira percorsa da corrente, si ha:
dBz =
µ0
2πa2 dI
µ0
2πa2 nIdz0
=
4π [a2 + (z − z0 )2 ] 32
4π [a2 + (z − z0 )2 ] 32
(8.8.1)
Come variabile d’integrazione conviene usare l’angolo sotteso dalle spire elementari di
8 - 12
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
corrente rispetto al punto in cui si calcola il campo; per questo, sfruttiamo la relazione:
z0 − z = a cot θ
(8.8.2)
da cui dz0 , assunto in valore assoluto, risulta:
dz0 = a
Per cui:
1
dθ
sin2 θ
a2 nI
µ0
dBz =
2 a2 + a2 cot2 θ 32
Ricordando che 1 + cot2 θ =
dBz =
1
a 2
sin θ
dθ
1
, la (8.8.3) si scrive:
sin2 θ
µ0 a3 nI
1
µ0
dθ =
nI sin θdθ
2
2 a3 1 sin θ
2
sin3 θ
Integrando:
µ0
Bz =
nI
2
(8.8.3)
Z
θ2
sin θdθ =
θ1
µ0
nI (cos θ1 − cos θ2 )
2
(8.8.4)
(8.8.5)
Se il solenoide é molto lungo si puó porre θ1 = 0 e θ2 = 1800 , per cui:
Bz =
µ0
n2I = µ0 nI
2
(8.8.6)
Il risultato (8.8.6) é molto importante perché esso si utilizza quasi sempre nelle applicazioni pratiche in quanto, in molti casi, il raggio del solenoide é molto piú piccolo della
lunghezza (a << L). Esso indica che il campo é uniforme in tutti i punti dell’asse ed
ovviamente (se esso é infinitamente lungo) anche in qualsiasi altro punto interno.
Supponiamo di voler calcolare il campo in un punto situato ad una estremitá del
solenoide (θ1 = 900 ), supponendo peró che θ2 = 1800 ossia che il solenoide é molto lungo.
Risulta:
µ0
Bz (ad un estremo) =
nI
(8.8.7)
2
cioé il campo ad un estremo di un solenoide molto lungo é circa la metá del suo valore
massimo centrale.
É estremamente interessante calcolare il modulo di B sull’asse del solenoide in funzione
della distanza z dal centro sia nei punti interni che nei punti esterni.
Dalla figura (8.8-1) risulta:
L
−z
2
= a cot θ1 ;
L
+z
2
= a cot(1800 − θ2 ) = −a cot θ2
8 - 13
(8.8.8)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Da cui:
L
−z
cos θ1 = p
= v 2
u
2
1 + cot2 θ1
u
L
u
−z
t
2
a 1+
a2
L
+z
cot θ2
2
p
v
cos θ2 =
=−
u
2
1 + cot2 θ2
u
L
u
+z
t
2
a 1+
a2
cot θ1
(8.8.9)
(8.8.10)
Pertanto la (8.7.5) diventa:














L
L






−
z
+
z
µ0
2
2
v
Bz =
nI
+ v
u
u
2
2 

2


u
u


L
L


u
u


−
z
+
z


t
t


2
2



a 1 +
a 1+
2
2
a
a
(8.8.11)
Induzione magnetica sull’asse di un solenoide (L=20)
2.0
1.8
1.6
1.4
B
µo
nI
2
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
................................................................................................................
..............
.......
.......
.....
.....
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.....
..
......
.....
..........
.....
.............................................
..........
............
........................................................
0.0
−20
a=1
a = 10
−15
−10
−5
0
z
fig.8.8-2
8 - 14
5
10
15
20
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
La figura (8.8.2) mostra l’andamento di B in funzione di z nel caso in cui il raggio del
solenoide é molto piú piccolo della lunghezza e nel caso in cui esso é relativamente piccolo.
Come si puó osservare nel primo caso, alle estremitá del solenoide il campo é circa la metá
del valore massimo, cosa non vera nel secondo caso.
8 - 15
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
8.9 - Campo magnetico di tre solenoidi allineati
In certe situazioni sperimentali é importante porre un sistema (per esempio un gas)
in un campo magnetico che abbia una configurazione particolare. Per questo consideriamo
due casi: a) campo magnetico generato da tre solenoidi che presenta un avvallamento del
campo in una zona centrale e b) un campo magnetico di tipo esapolare.
Consideriamo un sistema di solenoidi come in figura (8.9-1).
d
L1
•
L2
d
L3
•
•
O2 ≡ O
O1
D
z
O3
D
Induzione magnetica sull’asse del sistema di solenoidi B(W b/m2 )
I1 = 100A, I2 = 1A, I3 = 100A, n1 = 1000, n2 = 1000, n3 = 1000,
L1 = 30 cm, L2 = 20 cm, L3 = 30 cm, d = 10 cm, a = 3 cm
0.15
0.10
0.05
.........................
.........................
.......
...
.......
...
..
..
...
...
..
...
...
..
.
...
.
...
.
.
...
...
.
...
..
.
...
...
.
.
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..
...
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...
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...
...
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...
.
...
.
..
...
.
...
.
...
...
.
....
.
.
........
.
.
........................................
......
0.00
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
z(m)
fig.8.9-1
L’espressione del campo di induzione magnetica generato da un solenoide di lunghezza
L, valutato sul proprio asse, é dato dalla seguente formula dove la coordinata z é riferita
8 - 16
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
all’origine posta nel centro del solenoide stesso.














L
L






−
z
+
z
µ0
2
2
v
Bz =
+ v
nI
u
u
2
2 

2


u
u


L
L


u
u


−
z
+
z


t
t


2
2



a 1 +
a
1
+
2
2
a
a
(8.9.1)
Se si desidera valutare l’espressione precedente rispetto ad un’origine diversa da quella
posta nel centro del solenoide é sufficiente aggiungere a z la distanza fra i due centri che
indichiamo con |D|




















L1
L1
−
(|D|
+
z)
+ (|D| + z)
µ0
2
2
v
nI
(Bz )1 =
+ v
u
u
2
2 

2


u
u


L
L1
1


u
u


−
(|D|
+
z)
+
(|D|
+
z)


t
t


2
2


a 1 +

a 1+
2
2
a
a















L
L

2




−
z
+
z
µ0
2
2
v
(Bz )2 =
nI
+ v
u
u
2
2 

2


u
u


L2
L2


u
u


−
z
+
z


t
t


2
2


a 1 +

a
1
+
2
2
a
a
















L
L
3
3




−
(z
−
|D|)
+
(z
−
|D|)
µ0
2
2
v
(Bz )3 =
nI
+ v
u
u
2
2 

2


u
u


L3
L3


u
u


−
(z
−
|D|)
+
(z
−
|D|)


t
t


2
2



a 1 +
a
1
+
2
2
a
a
essendo: |D| =
L1
L2
L3
L2
+
+d=
+
+d
2
2
2
2
8 - 17
(8.9.2)
(8.9.3)
(8.9.4)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Programma Matlab ’CAMPOMAGNETICOTRESOLENOIDI.m’
001
002
003
004
005
006
007
008
009
010
011
012
013
014
015
016
017
018
019
020
021
022
023
024
025
026
027
028
029
030
031
032
033
034
035
036
037
038
039
040
041
042
-
delete(get(0,’children’));
clear all;
close all;
%primo solenoide
mu0=4.*pi.*1e-7;
n1=1000;
n2=1000;
n3=1000;
I1=100;
I2=1;
I3=100;
L1=30e-2;
l1=L1./2;
L2=20e-2;
l2=L2./2;
L3=30e-2;
l3=L3./2;
a=3e-2;
d=10e-2;
D=l1+l2+d;
z=-(L1+d+l2+10e-2):0.01*(L1+d+l2+10e-2):+(L3+d+l2+10e-2);
%z=-60e-2:0.01.*60-2:+60e-2;
AA1=((l1-(z+D)).ˆ2)./a.ˆ2;
BB1=((l1+(z+D)).ˆ2)./a.ˆ2;
den11=a.*sqrt(1+AA1);
den12=a.*sqrt(1+BB1);
campo11=((l1-(z+D))./den11);
campo12=((l1+(z+D))./den12);
Bsol1=mu0.*n1.*I1./2.*(campo11+campo12);
%secondo solenoide
AA2=((l2-(z)).ˆ2)./a.ˆ2;
BB2=((l2+(z)).ˆ2)./a.ˆ2;
den21=a.*sqrt(1+AA2);
den22=a.*sqrt(1+BB2);
campo21=((l2-(z))./den21);
campo22=((l2+(z))./den22);
Bsol2=mu0.*n2.*I2./2.*(campo21+campo22);
%terzo solenoide
AA3=((l3-(z-D)).ˆ2)./a.ˆ2;
BB3=((l3+(z-D)).ˆ2)./a.ˆ2;
den31=a.*sqrt(1+AA3);
den32=a.*sqrt(1+BB3);
8 - 18
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
043
044
045
046
047
048
049
050
051
052
053
- campo31=((l3-(z-D))./den31);
- campo32=((l3+(z-D))./den32);
- Bsol3=mu0.*n3.*I3./2.*(campo31+campo32);
- Btot=Bsol1+Bsol2+Bsol3;
- plot(z,Btot)
- %Istruzioni per inserire i risultati in un file TEX
- B=[z;Btot];
- fid=fopen(’magneticoserse.tex’,’w’);
- fprintf(fid,’\n’);
- fprintf(fid,’%5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f\n’,B);
- fclose(fid);
8 - 19
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
8.10 - Campo magnetico di un esapolo
Un campo magnetico di tipo esapolare puó essere generato da un sistema di sei correnti
disposte secondo i vertici di un esagono regolare (da cui il nome esapolo) con correnti
alterne, come illustrato in figura (8.10-1).
y
1
√
b
3
−
b, +
2
2
!
•
⊗
(0, +b)
P
6
2
ρ
~
•
√
b
3
b, +
2
2
x
O
!
√
3
b
−
b, −
⊗
2
2
5
3
4
•
!
⊗
√
3
b
b, −
2
2
!
(0, −b)
fig.8.10-1
L’asse z esce dal foglio. I fili sono lunghi L. Il piano xy é il piano mediano dei fili.
I cerchietti pieni indicano il verso della corrente lungo l’asse z positivo, i cerchietti con le
croci il verso della corrente lungo l’asse z negativo.
Ci proponiamo di valutare il potenziale vettore generato dal sistema dei fili nel piano
xy all’interno di una circonferenza di raggio b. Cominciamo con il calcolare il potenziale
vettore generato da un filo di lunghezza L sull’asse del filo.
z
..
......
........
....
..
.
..
.
..
...
..
..
..
..
..
.
.......
......
....
..
................
.....
.......
dz ..........................................
...
...............
......
..
...............
..
.........
.
.. ....
......... ........... .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .... .. ..................................... .. .. .. .. ..............................
..
..... ........
.. ......
.. ......
. .......
.....
......
......
......
..
+L/2
R
I
−L/2
r
~
A
•
P
fig.8.10-2
8 - 20
x
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Z +L/2
Z +L/2
J~dv
µ0
Idz
µ0
dz
√
=
=
zb
=
I zb
0
|~r − ~r |
4π −L/2 R
4π
r2 + z 2
−L/2
s
2
r
L
L
L
L
4r 2
2
+ r +
+
1
+
2
2
µ0
µ0
2 r
L2 =
s
= I zb ln
=
I zb ln 2
2
4π
4π
L L
4r 2
L
L
2
−
+
1
+
(8.10.1)
− + r +
2
2
L2
2
2
!
r
L
4r 2
1+ 1+ 2
2
L
µ0
!
r
= I zb ln
4π
L
4r 2
−1 + 1 + 2
2
L
r
4r 2
Per L >> r possiamo sviluppare in serie di Taylor la quantitá 1 + 2 e scrivere:
L
r
4r 2
1 4r 2
r2
1+ 2 '1+
(8.10.2)
=
1
+
2
L
2 L2
L2
~ = µ0
A
4π
Z
Quindi:
~ r )(L>>r)
A(~
r2
2 1+ 2
µ0
L
2
'
I zb ln
4π
r
2 2
L
r2
Sempre per L >> r possiamo ancora porre 1 + 2 ' 1.
L
Ne segue:
~ r )(L>>r) ' µ0 I zb ln L
A(~
2π
r
(8.10.3)
(8.10.4)
~ r ) −→ +∞
Per L −→ +∞ =⇒ A(~
Applichiamo tale risultato al caso del nostro sistema di fili paralleli. Scriviamo le
formule per le distanze dai singoli fili al punto P , considerandoli a coppie.
d1P =
d2P
d3P
p
p
x2 + (y − b)2 ; d4P = x2 + (y + b)2
v
v
u
u
√ !2 √ !2 2
2
u
u
3
3
b
b
t
t
=
x−
b + y−
; d6P =
x+
b + y−
2
2
2
2
v
v
!2 u
u
√
√ !2 2
2
u
u
3
3
b
b
t
t
=
x−
b + y+
; d5P =
x+
b + y+
2
2
2
2
8 - 21
(8.10.5)
(8.10.6)
(8.10.7)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Quindi:
L
µ0
L
L
L
L
L
~
A(~r)(L>>r) '
I zb − ln
+ ln
+ ln
− ln
− ln
+ ln
(8.10.8)
2π
d1P
d4P
d2P
d5P
d3P
d6P
ossia:
~ r )(L>>r) ' µ0 I zb {+ ln d1P − ln d4P − ln d2P + ln d5P + ln d3P − ln d6P }
A(~
2π
~ r)(L>>r) ' µ0 I zb {+ ln [d1P · d5P · d3P ] − ln [d4P · d2P · d6P ]}
A(~
2π
d
·
d
·
d
µ
0
1P
5P
3P
~ r )(L>>r) '
A(~
I zb ln
2π
d4P · d2P · d6P
~ =∇
~ ×A
~
Valutiamo B
x
b
~ = ∂
B
∂x
0
∂A
= x
b
∂y
L’equazione delle linee di forza é:
zb ∂
∂ =
∂y ∂z 0
A ∂A
− yb
∂x
(8.10.9)
(8.10.10)
(8.10.11)
yb
(8.10.12)
b
yb
zb x
~ × d~s = Bx By 0 =
B
dx dy dz
=b
xBy dz − ybBx dz + zb (Bx dy − By dx) = 0
(8.10.13)
La proiezione nel piano xy é:
Bx dy − By dx = 0
(8.10.14)
∂A
∂A
dy = −
dx
∂y
∂x
(8.10.15)
ossia:
la cui soluzione é:
(
ln C1
ossia:
C1
d1P · d5P · d3P
d4P · d2P · d6P
d1P · d5P · d3P
d4P · d2P · d6P
8 - 22
2 )
2
=0
=1
(8.10.16)
(8.10.17)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————



√ !2 √ !2 2
2
2
3
3
b 
b 
x + (y − b)2  x +
b + y+
b + y+
x−
2
2
2
2



 =C
√ !2 √ !2 2
2
3
3
b 
b 
[x2 + (y + b)2 ]  x −
x+
b + y−
b + y−
2
2
2
2
(8.10.18)
Al variare di C l’equazione precedente rappresenta una curva ossia una linea di campo
magnetico. Per valutare il range di variazione della costante C osserviamo subito che essa
deve essere necessariamente maggiore di zero. In corrispondenza di C = 0 l’equazione non
rappresenta piú una curva continua ma un insieme dei seguenti punti:
√
b
3
x=−
b, y = −
2
2
(x = 0, y = b) ;
!
√
b
3
x=+
b, y = −
2
2
;
!
che rappresentano la traccia dei fili 1, 3 e 5.
Per C → ∞ l’equazione rappresenta l’insieme dei seguenti punti:
(x = 0, y = −b) ;
√
3
b
x=+
b, y = +
2
2
!
;
√
3
b
x=−
b, y = +
2
2
!
(8.10.19)
(8.10.20)
che rappresentano la traccia dei fili 4, 2 e 6.
Per C = 1 l’equazione é soddisfatta se il numeratore é eguale al denominatore ossia
se i doppi prodotti che figurano all’interno del singoli termini fattori o sono singolarmente
nulli o la loro somma si annulla. Essi sono:
−2yb = 0;
√
√
√
√
3xb + by = 0; − 3xb + by = 0; +2yb = 0; − 3xb − by = 0; + 3xb − by = 0
(8.10.21)
ossia:
−2yb = 0;
√
√
3xb + by = 0; − 3xb + by = 0;
che ammettono come soluzioni:
a) la retta y = 0 (asse x)
√
b) la retta di equazione y = −√ 3x che forma un angolo di 1200 con l’asse x
c) la retta di equazione y = + 3x che forma un angolo di 600 con l’asse x
Il piano é quindi diviso in sei settori.
8 - 23
(8.10.22)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Linee di campo dell’esapolo magnetico
C=1
C=1
C=0.98039
y
C=1.02
C=1.02
C=0.83
C=1.2
C=1.2
C=0.5
C=0.2
1
C=2
⊗
C=2
C=5
C=5
•
6
2
•
x
⊗
5
3
⊗
C=0.2
C=0.5
C=0.2
4
•
C=0.5
C=5
C=0.83
C=0.83
C=2
C=1.2
C=0.98039
C=0.98039
C=1.02
fig.8.10-3
8 - 24
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Programma Matlab ’Lineeesapolo.m’
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
-
delete(get(0,’children’));
clear all;
close all;
for C=1.02;
b=3;
for x=0:0.01:8;
delta=0.0001;
y=0;
for i=1:(b+4)./abs(delta);
d1=x.ˆ2+(y-b).ˆ2;
d5=(x+sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y+b./2).ˆ2;
d3=(x-sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y+b./2).ˆ2;
d4=x.ˆ2+(y+b).ˆ2;
d2=(x-sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y-b./2).ˆ2;
d6=(x+sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y-b./2).ˆ2;
F(i)=d1.*d5.*d3-C.*d4.*d2.*d6;
y=y+delta;
d1=x.ˆ2+(y-b).ˆ2;
d5=(x+sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y+b./2).ˆ2;
d3=(x-sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y+b./2).ˆ2;
d4=x.ˆ2+(y+b).ˆ2;
d2=(x-sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y-b./2).ˆ2;
d6=(x+sqrt(3)./2*b).ˆ2+(y-b./2).ˆ2;
G(i)=d1.*d5.*d3-C.*d4.*d2.*d6;
H(i)=F(i).*G(i);
if H(i)<0
[x y]
end
end
end
end
8 - 25
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Vogliamo ora esprimere esplicitamente le componenti del campo di induzione magnetica. Dalla formula (8.10.12) si ha:
∂A
∂A
~ =x
B
b
− yb
∂y
∂x
(8.10.23)
Calcoliamo la derivata prima rispetto a x del potenziale vettore scritto nella forma
(8.10.4)).
µ0
∂
L
∂
L
∂
L
∂
L
∂A
+
+
−
−
=
I −
ln
ln
ln
ln
∂x
2π
∂x
d1P
∂x
d4P
∂x
d2P
∂x
d5P
L
L
∂
∂
−
ln
+
ln
=
∂x
d3P
∂x
d6P
1 ∂
µ0
1 ∂
1 ∂
1 ∂
1 ∂
= I
[d1P ] −
[d4P ] −
[d2P ] +
[d5P ] +
[d3P ] −
2π
d1P ∂x
d4P ∂x
d2P ∂x
d5P ∂x
d3P ∂x
1 ∂
−
[d6P ]
d6P ∂x
(8.10.24)
Si ha:
i
∂ hp 2
∂
x
2
[d1P ] =
x + (y − b) = p
(8.10.25)
2
∂x
∂x
x + (y − b)2
√ !
3

v
x−
b
u
√ !2 2
u
2
∂ t
b 
∂
3
x−
[d2P ] =
b + y−
= v

u
√ !2 ∂x
∂x
2
2
2
u
t x − 3b + y − b
2
2
√
!
(8.10.26)
3
v

!2 u
x−
b
√
2
2
∂
∂ u
3
b 
t
[d3P ] =
x−
b + y+

= v
u
√ !2 ∂x
∂x
2
2
2
u
t x − 3b + y + b
2
2
i
∂
∂ hp 2
x
[d4P ] =
x + (y + b)2 = p
∂x
∂x
x2 + (y + b)2
√ !
v

3
u
x+
b
√ !2 2
u
2
∂
∂ t
3
b 
[d5P ] =
x+
b + y+

= v
u
√ !2 ∂x
∂x
2
2
u
t x + 3b + y +
2
8 - 26
(8.10.27)
(8.10.28)
b
2
2
(8.10.29)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
√ !
3

v
!2 x+
u
b
√
2
2
∂
∂ u
3
b 
t
x+
[d6P ] =
b + y−
= v

u
√ !2 ∂x
∂x
2
2
2
u
t x + 3b + y − b
2
2
(8.10.30)
Ne segue:

√ !


3


x
−
b

2
∂A
µ0 I 
x
x
By = −
− 2
−
=−
√ !2 2 +
∂x
2π L 
x2 + (y − b)2
x + (y + b)2

3
b



x−
b + y−

2
2
√ !
√ !
3
3
x+
b
b
x−
2
2
+
√ !2 √ !2 2 +
2 −
3
b
3
b
b + y+
b + y+
x+
x−
2
2
2
2

√ !


3


b
x+


2
−
√ !2 2 
b 
3


x+
b + y−

2
2 
(8.10.31)
Per scriverla in forma piú compatta effettuiamo la somma a due a due:
x
x
4bxy
− 2
= 2
2
2
+ (y − b)
x + (y + b)
[x + (y − b)2 ] [x2 + (y + b)2 ]
√ !
√ !
3
3
x−
b
x+
b
2
2
−
√ !2 √ !2 2 +
2 =
3
b
3
b
x−
b + y−
x+
b + y+
2
2
2
2
√ 2
√ 2
√ 3
− 3x b + 3y b + 3b − 2bxy

 =
=
!
√
2
√ !2 2
2
 x − 3b + y − b   x + 3b + y + b 
2
2
2
2
√
√
√
− 3x2 b + 3y 2 b + 3b3 − 2bxy
=h
√
2 i
2
(x2 + y 2 + b2 ) −
3xb + yb
x2
8 - 27
(8.10.32)
(8.10.33)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
√ !
√ !
3
3
x−
b
x+
b
2
2
√ !2 √ !2 2 −
2 =
3
b
3
b
x−
b + y+
x+
b + y−
2
2
2
2
√ 2
√ 2
√ 3
3x b − 3y b − 3b − 2bxy
(8.10.34)

 =
=
√ !2 √ !2 2
2
 x − 3b + y + b   x + 3b + y − b 
2
2
2
2
√ 2
√
√
3x b − 3y 2 b − 3b3 − 2bxy
=h
√
2 i
2
(x2 + y 2 + b2 ) −
3xb − yb
In definitiva:

√
√
√
µ0 I 
4bxy
− 3x2 b + 3y 2 b + 3b3 − 2bxy
∂A
h
i+h
By = −
=−
√
2 i +
2
∂x
2π L  (x2 + y 2 + b2 )2 − 4y 2 b2
2
2
2
(x + y + b ) −
3xb + yb

√ 2
√
√
3x b − 3y 2 b − 3b3 − 2bxy 
+ h
√
2 i
2
(x2 + y 2 + b2 ) −
3xb − yb 
(8.10.35)
oppure:

∂A
µ0 I 
4bxy
h
i +
By = −
=−
∂x
2π L  (x2 + y 2 + b2 )2 − 4y 2 b2
3
+ h
3
5
2
2
2 2


16b xy + 12b xy − 4bxy x + y + b
√
√
2 i h
2 i 
2
2
2
2
2
2
2
2
(x + y + b ) −
(x + y + b ) −
3xb + yb
3xb − yb
(8.10.36)
Calcoliamo, ora, la derivata prima rispetto a y del potenziale vettore scritto nella
forma (8.10.4) per la valutazione della componente del campo di induzione magnetica
lungo x.
∂A
µ0
∂
L
∂
L
∂
L
∂
L
=
I −
ln
+
ln
+
ln
−
ln
−
∂y
2π
∂y
d1P
∂y
d4P
∂y
d2P
∂y
d5P
∂
L
∂
L
−
ln
+
ln
=
∂y
d3P
∂y
d6P
µ0
1 ∂
1 ∂
1 ∂
1 ∂
1 ∂
= I
[d1P ] −
[d4P ] −
[d2P ] +
[d5P ] +
[d3P ] −
2π
d1P ∂y
d4P ∂y
d2P ∂y
d5P ∂y
d3P ∂y
1 ∂
−
[d6P ]
d6P ∂y
(8.10.37)
8 - 28
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Si ha:
i
∂
∂ hp 2
y−b
x + (y − b)2 = p
[d1P ] =
∂y
∂y
x2 + (y − b)2
(8.10.38)

v
b
!
u
√
2
2
y−
∂
3
∂ u
b 
2
t
x−
[d2P ] =
b + y−
= v

!
u
√
2
∂y
∂y
2
2
2
u
t x − 3b + y − b
2
2
(8.10.39)
v

b
u
√ !2 2
y+
∂
∂ u
3
b 
2
t
[d3P ] =
b + y+
x−

= v
!
u
√
2
∂y
∂y
2
2
2
u
t x − 3b + y + b
2
2
(8.10.40)
i
∂ hp 2
y+b
∂
[d4P ] =
x + (y + b)2 = p
∂y
∂y
x2 + (y + b)2
(8.10.41)
v

b
!
u
√
2
2
y+
∂
∂ u
b 
3
2
t
[d5P ] =
x+
b + y+

= v
!
u
√
2
∂y
∂y
2
2
2
u
t x + 3b + y + b
2
2
(8.10.42)
v

b
!
u
√
2
2
y−
∂
∂ u
3
b 
2
t
[d6P ] =
x+
b + y−

= v
!
u
√
2
∂y
∂y
2
2
2
u
t x + 3b + y − b
2
2
(8.10.43)
8 - 29
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Ne segue:






µ0 I 
∂A
y−b
y+b
Bx =
=
− 2
−
2
2
∂y
2π L 
x + (y − b)
x + (y + b)2





+
−
b
y+
2
√ !2 2 +
3
b
x+
b + y+
2
2





b


y−
2
!
√
2
2 
3
b 


x+
b + y−

2
2 
b
y−
2
√ !2 2 +
3
b
x−
b + y−
2
2
b
y+
2
√ !2 2 −
3
b
x−
b + y+
2
2
Per scriverla in forma piú compatta effettuiamo la somma a due a due:
y−b
y+b
− 2
=
2
2
x + (y − b)
x + (y + b)2
2by 2 − 2bx2 − 2b3
= 2
[x + (y − b)2 ] [x2 + (y + b)2 ]
b
b
y−
y+
2
2
−
√ !2 √ !2 2 +
2 =
b
b
3
3
x−
x+
b + y−
b + y+
2
2
2
2
√
−2 3bxy + bx2 − y 2 b + b3


=
√ !2 √ !2 2
2
 x − 3b + y − b   x + 3b + y + b 
2
2
2
2
b
b
y+
y−
2
2
√ !2 √ !2 2 −
2 =
3
b
3
b
x−
b + y+
x+
b + y−
2
2
2
2
√
2 3bxy + bx2 − y 2 b + b3


=
√ !2 √ !2 2
2
 x − 3b + y + b   x + 3b + y − b 
2
2
2
2
8 - 30
(8.10.44)
(8.10.45)
(8.10.46)
(8.10.47)
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
In definitiva, come dalle (9.A.2.32)÷(8.10.34):

√
∂A
µ0 I 
2by 2 − 2bx2 − 2b3
−2 3bxy + bx2 − y 2 b + b3
h
i+h
Bx =
=
√
2 i +
2
∂y
2π L  (x2 + y 2 + b2 )2 − 4y 2 b2
2
2
2
(x + y + b ) −
3xb + yb

√

2 3bxy + bx2 − y 2 b + b3
i
+ h
√
2
2
(x2 + y 2 + b2 ) −
3xb − yb 
(8.10.48)
Consideriamo, ora, l’approssimazione x2 + y 2 = ρ2 << b2 ossia consideriamo l’ andamento del campo in una zona prossima all’origine. Possiamo cioé porre:
1
' 1 + x + x2 + x3 + O(x4 )
1−x
1
' 1 − x + x2 − x3 + O(x4 )
1+x
(8.10.49)
(8.10.50)
I denominatori della (8.10.31) e della (8.10.44) si possono, allora, cosí approssimare:
2yb
ρ2
2
2
2
2
2
2
2
2
x + (y − b) = x + y + b − 2yb = ρ + b − 2yb = b 1 + 2 − 2
b
b
"
2
2
2 2
3 #
(8.10.51)
1
1
ρ
2y
ρ
2y
ρ
2y
' 2 1−
+
−
−
−
−
2
b
b2
b
b2
b
b2
b
ρ
2y
b2 1 + 2 −
b
b
ρ2
2yb
2
2
2
2
2
2
2
2
x + (y + b) = x + y + b + 2yb = ρ + b + 2yb = b 1 + 2 + 2
b
b
"
2
2
2 2
3 #
(8.10.52)
1
1
ρ
2y
ρ
2y
ρ
2y
' 2 1−
+
+
+
−
+
2
2
2
2
b
b
b
b
b
b
b
ρ
2y
b2 1 + 2 +
b
b
√ !2 2
√
3
b
3
1
x−
b + y−
= x2 + b2 − 3xb + y 2 + b2 − yb =
2
2
4
4
!
√
2
√
√
ρ
3x
y
=x2 + y 2 + b2 − 3xb − yb = ρ2 + b2 − 3xb − yb = b2 1 + 2 −
−
b
b
b

!
!2
√
√
1
1 
ρ2
3x y
ρ2
3x y
−
√ !2 2 ' b2 1 − b2 − b − b + b2 − b − b
3
b
x−
b + y−
2
2

!
√
3
ρ2
3x y 
−
−
−
b2
b
b
(8.10.53)
8 - 31
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
√
!2
2
√
3
1
= x2 + b2 + 3xb + y 2 + b2 + yb =
4
4
!
√
2
√
√
ρ
3x
y
=x2 + y 2 + b2 + 3xb + yb = ρ2 + b2 + 3xb + yb = b2 1 + 2 +
+
b
b
b

!
!2
√
√
2
2
ρ
1
1 
ρ
3x y
3x y
−
√ !2 2 ' b2 1 − b2 + b + b + b2 + b + b
3
b
x+
b + y+
2
2

!3
√
3x y 
ρ2
+
−
+
b2
b
b
3
x+
b
2
b
+ y+
2
(8.10.54)
√
!2
2
√
3
1
= x2 + b2 − 3xb + y 2 + b2 + yb =
4
4
!
√
2
√
√
3x
y
ρ
+
=x2 + y 2 + b2 − 3xb + yb = ρ2 + b2 − 3xb + yb = b2 1 + 2 −
b
b
b

!
!2
√
√
1
1 
ρ2
3x y
ρ2
3x y
−
√ !2 2 ' b2 1 − b2 − b + b + b2 − b + b
3
b
x−
b + y+
2
2

!3
√
ρ2
3x y 
−
−
+
b2
b
b
3
b
x−
2
b
+ y+
2
(8.10.55)
√
!2
2
√
3
1
= x2 + b2 + 3xb + y 2 + b2 − yb =
4
4
!
√
2
√
√
ρ
3x
y
=x2 + y 2 + b2 + 3xb − yb = ρ2 + b2 + 3xb − yb = b2 1 + 2 +
−
b
b
b

!
!2
√
√
1
1 
ρ2
3x y
ρ2
3x y
−
√ !2 2 ' b2 1 − b2 + b − b + b2 + b − b
3
b
x+
b + y−
2
2

!
√
3
ρ2
3x y 
+
−
−
b2
b
b
3
x+
b
2
b
+ y−
2
(8.10.56)
8 - 32
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
1
I termini fra parentesi della (8.10.31) a meno di 2 si scrivono a due a due, per
b
comoditá:
"
x 1−
"
−x 1 −
ρ2 2y
−
b2
b
ρ2 2y
+
b2
b
+
+
ρ2
2y
−
2
b
b
ρ2
2y
+
2
b
b
2
2
−
−
ρ2
2y
−
2
b
b
ρ2
2y
+
2
b
b
3 #
3 #
−
=
(8.10.57)
4xy 8xyρ2 16xy 3 12xyρ4
=
+
+
−
b
b2
b3
b5
!
!
!2
√
√
2
2
3
ρ
3x
y
ρ
3x
y
− x−
b 1 −
−
−
+
−
−
−
2
b2
b
b
b2
b
b
!3 
√
√ !
2
ρ
3x y 
3
−
−
−
+ x+
b ·
2
b
b
b
2

!
!2
√
√
2
2
ρ
3x
y
ρ
3x
y
+
· 1 −
+
+
+
+
−
b2
b
b
b2
b
b
!3 
√
√
√
2
3x y  √
2 3 2 2xy
3 2
ρ
−
+
+
= 3b −
x −
−
ρ +
2
b
b
b
b
b
b
√
√
√
√
4 3 2 2 4ρ2
3 4 3 3 2
3 2 6
+ 3 ρ x + 3 xy + 3 ρ +
x +
y + xy−
b√
b
b√
b √
b √ b
4 3
4xy
2 3
6 3
2 3x2 y 2
− 5 ρ 4 x2 − 5 ρ 4 − 5 ρ 4 x2 − 3 x4 −
−
b
b
b
b√
b3
12x3 y 2xy
6x3 y 2xy 3
4 3x2 y 2
− 3 − 5 ρ4 − 3 − 3 −
−
3
b
b
b
b
b
√
√
√
√
√
3 6 3 3 2 2
3 2 2
6 2
6 3 2 2
6 2
6 2
2 3 2 2
− 5 ρ − 3 ρ x − 3 ρ y − 3 ρ xy − 3 ρ x − 3 ρ xy − 2 ρ xy − 3 ρ y
b
b
b
b
b
b
b
b
(8.10.58)
√
8 - 33
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————

!
!2
√ !
√
√
2
2
ρ
y
ρ
y
3
3x
3x
x−
b 1 −
+
+
+
−
−
−
2
b2
b
b
b2
b
b

!3 
!
!2
√
√
√
√ !
2
2
2
ρ
ρ
ρ
3x y 
3
3x y
3x y
−
+
+
−
−
+
− x+
b 1 −
−
+
−
2
2
2
b
b
b
2
b
b
b
b
b
b
!3 
√
√
√
2
ρ
3x y  2 3 2 2xy √
3 2
−
+
−
=
x −
− 3b +
ρ −
2
b
b
b
b
b
b
√
√
√
√
3 4 3 3 2
3 2 6
4 3 2 2 4ρ2
− 3 ρ x + 3 xy − 3 ρ −
x −
y + xy+
b√
b
b√
b √
b √ b
4 3
4xy
2 3
6 3
2 3x2 y 2
+ 5 ρ 4 x2 − 5 ρ 4 − 5 ρ 4 x2 + 5 x4 +
−
b
b
b
b√
b3
12x3 y 2xy
6x3 y
2xy 3 4 3x2 y 2
− 3 − 5 ρ4 − 3 − 3 +
+
3
b
b
b
b
b
√
√
√
√
√
3 6 3 3 2 2
3 2 2
6 2
6 3 2 2
6 2
6 2
2 3 2 2
+ 5 ρ + 3 ρ x + 3 ρ y − 3 ρ xy + 3 ρ x − 3 ρ xy − 2 ρ xy + 3 ρ y
b
b
b
b
b
b
b
b
(8.10.59)
La somma totale al primo ordine é zero.
12xy
La somma totale al secondo ordine é
.
b
Pertanto fermandoci al secondo ordine, ne segue che la componente del campo lungo
y é:
By (ρ2 b) ' −
µ0 I 12
xy
2π L b3
(8.10.60)
Consideriamo, ora, la componente lungo l’asse x data dalla formula (9A.2.44) e calcoliamo i prodotti dello sviluppo fino al secondo ordine.
1
I termini fra parentesi della (9A.2.44) a meno di 2 si scrivono a due a due, per
b
comoditá:
"
2
2
2 #
ρ
2y
ρ
2y
(y − b) 1 −
−
+
−
−
b2
b
b2
b
"
2
2
2 #
ρ
2y
ρ
2y
(8.10.61)
−(y + b) 1 −
+
+
+
=
2
2
b
b
b
b
=−
4y 2 8y 2 ρ2
2ρ2 2ρ4
−
−
2b
+
− 3
b
b3
b
b
8 - 34
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————

!
!2 
√
√
2
2
ρ
ρ
b 
3x y
3x y 
− y−
1−
−
+
−
−
−
+
2
2
2
b
b
b
b
b
b

!
!2 
√
√
2
2
ρ
ρ
b 
3x y
3x y 
(8.10.62)
+
+
+ y+
1−
+
+
+
=
2
2
2
b
b
b
b
b
b
√
ρ4 3x2
y2
4 3xy 2 4y 2 2
ρ2
+
−
=
ρ
+
ρ
+
b
−
+
b3
b3
b
b3
b
b

!
!2 
√
√
2
2
b 
ρ
3x y
ρ
3x y 
y+
−
−
−
1−
+
+
+
2
2
2
b
b
b
b
b
b

!
!2 
√
√
2
2
b 
ρ
ρ
3x y
3x y 
(8.10.63)
− y−
+
+
1−
−
+
−
=
2
2
2
b
b
b
b
b
b
√
4xy 3 2 4y 2 ρ2
ρ4
y2
2y 2
ρ2
3x2
=−
−
ρ +
+b−
+ 3 +
+
b
b3
b3
b
b
b
b
La somma delle (8.10.61), (8.10.62), (8.10.63) risulta:
6x2
6y 2
+
(8.10.64)
b
b
Pertanto fermandoci al secondo ordine, ne segue che la componente del campo lungo
−
x é:
Bx (ρ2 b) '
µ0 I 6 2
2
x
−
y
2π L b3
(8.10.65)
Con queste approssimazioni valutiamo il modulo del campo di induzione magnetica.
Si ha:
q
µ0 I 6 p 2
B = Bx2 + By2 =
(x − y 2 )2 + 4x2 y 2 =
2π L b3
(8.10.66)
µ0 I 6 2
µ0 I 6 2
2
=
(x + y ) =
ρ
2π L b3
2π L b3
Il modulo del campo cresce con il quadrato della distanza dal centro di simmetria.
Grafichiamo ora le linee di forza con l’espressione del campo approssimato:
L’equazione delle linee di forza é:
b
yb
zb x
~ × d~s = Bx By 0 =
B
(8.10.67)
dx dy dz
=b
xBy dz − ybBx dz + zb (Bx dy − By dx) = 0
8 - 35
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
La proiezione nel piano xy é:
Bx dy − By dx = 0
(8.10.68)
(x2 − y 2 )dy = −2xydx
(8.10.69)
~ = Bρ ebρ + Bφ ebφ
B
(8.10.70)
ossia:
É conveniente, scrivere l’equazione (9A.2.68) in coordinate polari nel piano xy:
ebρ
~
B × d~s = Bρ
dρ
eφ
d~s = dρb
eρ + ρdφb
ebφ zb Bφ 0 = (Bρ ρdφ − Bφ dρ) = 0
ρdφ 0
x = ρ cos φ
Bρ = Bx cos φ + By sin φ
y = ρ sin φ
Bφ = −Bx sin φ + By cos φ
(8.10.71)
(8.10.72)
(8.10.73)
(8.10.74)
Bρ =ρ2 cos3 φ − ρ2 sin2 φ cos φ − 2ρ2 sin2 φ cos φ =
(8.10.75)
Bφ = − ρ2 cos2 φ sin φ + ρ2 sin3 φ − 2ρ2 sin φ cos2 φ =
(8.10.76
=ρ2 (cos 2φ cos φ − sin 2φ sin φ) = ρ2 cos 3φ
=ρ2 (− cos 2φ sin φ − sin 2φ cos φ) = −ρ2 sin 3φ
L’equazione (8.10.72) diventa:
ρ cos 3φdφ = − sin 3φdρ
(8.10.77)
L’equazione (9A.2.77) é separabile, nell’ipotesi che sin 3φ 6= 0:
−
Integrando:
da cui:
1
−
3
cos 3φ
1
dφ = dρ
sin 3φ
ρ
Z
Z
3 cos 3φ
1
dφ =
dρ + C0
sin 3φ
ρ
1
− ln |sin 3φ| = ln ρ + C
3
−1 (sin 3φ) 3 = Cρ
C
ρ = √
3
sin 3φ
(8.10.78)
(8.10.79)
(8.10.80)
(8.10.81)
(8.10.82)
mπ
(φ = 00 , 600 , 1200 , 1800 , 2400 , 3000 )
3
la componente del campo di induzione magnetica lungo ebφ é nulla ed il campo é diretto
radialmente.
Per sin 3φ = 0 ossia per 3φ = mπ =⇒ φ =
8 - 36
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Linee di campo dell’esapolo magnetico con le
formule approssimate (ρ2 b2 ) valide praticamente all’interno della circonferenza tratteggiata
C = 0.5, 1, 1.5, 2 dall’interno verso l’esterno
y
...
.......
.
.
.
.......
...
.
.
.
.
.
... ...
.
.
.
.
.
.............
..........
.
.............. 1 ⊗
.
.
...........
.................
.
.
.......................................................
... ................. ............... ..
• 6 .. .. .. .... .......... .. . . .. 2 •
. ... ........................ . ... ...
.
.
. .. ....... ..... ... .... ......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............ ....... ... ...... ... ................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
......... ...... ... ............. .. .... ........
.... .. ... .... ..... ..... ... .. ...
... ... .......... ......... .. .. .
⊗ 5 .. .. ............................... .. 3 ⊗
.. .. . .
. ... ..
.......................................................................
................ • .......................
.............
4
.. ...........
.... ..
.......
.. ....
.. ...
......
.. .
...
C=2
fig.8.10-4
8 - 37
x
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Programma Matlab ’Lineeesapoloapprox.m’
01
02
03
04
05
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
-
delete(get(0,’children’));
clear all;
close all;
phig=300.05:2:359.5;
phi=phig.*pi./180;
for C=1.5;
rho=C./abs(sin(3.*phi));
x=rho.*cos(phi);
y=rho.*sin(phi);
plot(x,y)
axis([-3 3 -3 3])
hold on
end
B=[x;y];
fid=fopen(’pippo.tex’,’w’);
fprintf(fid,’chi=\n’);
fprintf(fid,’%5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f %5.4f\n’,B);
fclose(fid);
8 - 38
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
8.11 - Forza fra fili percorsi da corrente
y ........
...
.....
........
........
....
1→2..........
....
..
..
......
..
......
.........
.
..
.
.
.....
.. .
...
......
..... ..........
.
.
.
.
..
.
.
.
.
...... 2→1
....
.....
...
.
......
.....
...
...
....
..
.....
.....
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
......
...
.....
..
.....
1..............
. .....
...
...............
............
...
.
.
.
.
....
.. ..........
......
.. .....
2
..
......
....................................
... .......
..... .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......................................................................................................
.
.
.
..
....
......
.....
.....
.....
......
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
......
.....
....
.....
....
......... ........
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
1→2 .................
.....
..
.....
......
.........
.
.
.
.....
... .
.....
.... ..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... 2→1
.....
.....
.
...........
....
......
.......
~
B
filo 1
filo 2
~
B
dF~
dl
I
I
a
x
~
B
z
~
B
fig.8.11-1
Siano due fili infinitamente lunghi indicati con 1 e 2 percorsi da corrente rispettivamente I1 e I2 . Il campo magnetico generato da un filo sull’altro é responsabile della forza
che agisce su questo ultimo. Ci proponiamo di calcolare tale forza.
Il campo magnetico generato dal filo 2 sul filo 1 é:
~ 2→1 = − µ0 I2 yb
B
2π a
(8.11.1)
Analogamente il campo generato dal filo 1 sul filo 2 é:
~ 1→2 = µ0 I1 yb
B
2π a
(8.11.2)
Ciascuno di questi campi sottopone un elemento del filo ad una forza data dalla
seconda legge di Laplace e precisamente:
~ 2→1 = I1 dl1
dF~1 = I1 d~l1 × B
Poiché zb × (−b
y) = x
b la (8.9.3) si scrive:
dF~1 =
µ0 I 2
[b
z × (−b
y )]
2π a
µ0 I 1 I 2
dl1 x
b
2π a
8 - 39
(8.11.3)
(8.11.4)
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Dividendo per dl1 si ottiene l’importante risultato che: la forza per unitá di
lunghezza che agisce su un filo conduttore posto nel campo di un altro filo
conduttore ad esso parallelo é:
µ0 I 1 I 2
dF
=
dl
2π a
(8.11.5)
La forza é repulsiva se le correnti hanno verso opposto; é attrattiva se le
correnti hanno lo stesso verso. É ovvio dimostrare che la forza sull’altro filo é uguale
in modulo ma opposta in verso a quella da noi calcolata.
8.12 - Momento meccanico esercitato su un circuito chiuso percorso da
corrente immerso in un campo magnetico uniforme
Precedentemente abbiamo determinato l’espressione della forza che agisce su un circuito chiuso percorso da corrente immerso in un campo magnetico esterno. Abbiamo visto
~ é uniforme tale forza risultante é nulla. In tali condizioni, anche se la forza totale
che se B
é nulla, sul circuito si eserciterá un momento meccanico che ci proponiamo di valutare. In
particolare ricaveremo una formula compatta che vale soltanto quando il campo magnetico esterno é uniforme.
Consideriamo un elemento d~l del circuito e sia dF~ la forza che agisce su di esso dovuta
al campo magnetico esterno. Il momento meccanico infinitesimo che agisce su tale elemento
é:
~
d~τ = ~r × dF~ = I~r × (d~l × B)
(8.12.1)
.
Il momento meccanico agente sull’intero circuito, allora, é:
I
~
~τ = I ~r × (d~l × B)
(8.12.2)
C
~ non sia uniforme la formula (8.10.2) non puó essere semplificata in
A meno che B
~ é uniforme, essa assume una forma compatta che é molto
alcuna maniera. Peró se B
semplice da applicare. Per questo, esplicitiamo la formula (8.12.2):
x
b
y
b
z
b
~ = dx dy dz = x
d~l × B
b (dyBz − By dz) + yb (dzBx − Bz dx) + zb (dxBy − Bx dy)
Bx By Bz (8.12.3)
Tenendo conto che: ~r = xb
x + yb
y + zb
z , si ha:
x
b
yb
zb
~
~ =
=
~r × dl × B
x
y
z
(dyBz − By dz) (dzBx − Bz dx) (dxBy − Bx dy) =x
b {y (dxBy − dyBx ) − z (dzBx − Bz dx)} + yb {z (dyBz − By dz) − x (dxBy − dyBx )} +
+b
z {x (dzBx − dxBz ) − y (dyBz − By dz)}
(8.12.4)
8 - 40
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Ne segue, quindi che:
I h
I
I
I
I
i
~
~
τx = I
~r × dl × B
= I yBy dx − I yBx dy − I zBx dz + I zBz dx (8.12.5)
x
C
C
C
C
C
I h
I
I
I
I
i
~
τy = I
= I zBz dy − I zBy dz − I xBy dx + I xBx dy (8.12.6)
~r × d~l × B
y
C
C
C
C
C
C
C
C
C
I h
I
I
I
I
i
~
τz = I
= I xBx dz − I xBz dx − I yBz dy + I yBy dz (8.12.7)
~r × d~l × B
z
C
Adesso, nell’ipotesi che il campo magnetico esterno sia uniforme, le componenti di esso si possono portare fuori dagli integrali e poiché:
I
I
I
xdx = ydy = zdz = 0
(8.12.8)
C
C
C
le componenti del momento meccanico diventano:
I
I
τx = IBy ydx + IBz zdx
τy = IBz
C
C
I
I
xdy
(8.12.10)
I
ydz
(8.12.11)
zdy + IBx
C
τz = IBx
(8.12.9)
I
C
xdz + IBy
C
C
Le (8.12.9), (8.12.10), (8.12.11) rappresentano le formule finali per il calcolo del momento meccanico che agisce su un circuito chiuso quando il campo magnetico esterno é
uniforme. Esse, tuttavia si possono scrivere in forma compatta applicando alcune trasformazioni.
Per far questo, enunciamo il seguente teorema:
Sia C una curva chiusa piana nel piano xy cioé una curva che non interseca se stessa
in alcun punto. Se R é la regione delimitata dalla curva C e se M e N sono due funzioni
continue di x e di y con derivate continue in R, si ha:
I
Z
I
Z
∂M
∂N
M dx = −
dxdy;
N dy =
dxdy
(8.12.12)
R ∂y
R ∂x
C
o che é lo stesso:
C
I
C
(M dx + N dy) =
Z R
8 - 41
∂N
∂M
−
∂x
∂y
dxdy
(8.12.13)
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L’equazione (8.10.13) prende il nome di Teorema di Green nel piano.
Come conseguenza
di questo teorema si ha che: l’area delimitata da una curva
I
1 (xdy − ydx). Infatti, applichiamo il teorema di Green ponendo M = −y,
chiusa C é 2
C
N = x. Allora per la (8.12.13):
Z Z
I
∂
∂
(xdy − ydx) =
(x) −
(−y) dxdy = 2
dxdy = 2A
∂y
R ∂x
R
(8.12.14)
C
essendo A l’area della superficie del circuito.
Ponendo M = y ed applicando la prima della (8.12.12) si ha:
I
Z
ydx = −
dxdy = −A
C
e dalla seconda delle (8.12.12), ponendo N = x:
I
Z
I
xdy =
dxdy = A = − ydx
C
(8.12.15)
R
R
(8.12.16)
C
In virtú di queste formule, consideriamo un spira qualsiasi posta nel piano xy; ció
significa porre z = 0 e dz = 0 nelle formule di τx , τy e τz . Si ha:
I
τx = IBy ydx = −IABy
(8.12.17)
C
τy = IBx
I
xdy = IABx
(8.12.18)
C
τz = 0
~ = Ab
che, ponendo A
z si possono scrivere in forma compatta come:
~ ×B
~
~τ = IA
(8.12.19)
(8.12.20)
~ = Ab
Se la spira giace in un piano qualunque si ha: A
n dove n
b é il versore ortogonale
al piano della spira.
Il momento esercitato su un circuito chiuso percorso da corrente é ortogonale sia alla
~ compare molto frequentedirezione del campo che a quella della normale. La quantitá IA
mente nella teoria magnetica e si chiama momento magnetico del circuito e si indica
col simbolo m
~ ed é indipendente dalla forma della spira.
Pertanto il momento meccanico si scrive:
~
~ ×B
~τ = m
(8.12.21)
Alcuni casi particolari, nel caso in cui la spira giace nel piano xy sono:
~ = Bb
1) Se B
z segue: ~τ = 0. In questo caso le forze magnetiche sono radiali o uscenti
o entranti.
~ = Bb
2) Se B
x segue: τx = 0 e τy 6= 0.
~
3) Se B = Bb
y segue: τy = 0 e τx 6= 0.
8 - 42
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8.13 - Forza agente su un piccolo circuito percorso da corrente posto in un
campo magnetico esterno non uniforme
Abbiamo precedentemente dimostrato che se un circuito (generico) percorso da corrente é posto in un campo magnetico uniforme, la forza meccanica che si esercita su tale
circuito é zero.
Vogliamo, ora, determinare l’espressione della forza quando il campo non é uniforme ed
in particolare esprimere la forza in forma compatta quando il circuito percorso da corrente
é piccolo in modo (come vedremo in dettaglio) che il campo non varii molto rapidamente.
~ r ) un campo magnetico esterno che agisce su un piccolo circuito percorso da
Sia B(~
~ in serie di Taylor intorno ad un generico punto O.
corrente. Sviluppiamo il modulo di B
Ricordiamo la formula di Taylor per una funzione a piú variabili:
!
1 ∂f
∂f
∂f
f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 ) +
∆x +
∆y +
∆z + · · · (8.13.1)
1! ∂x (x=x0 )
∂y (y=y0 )
∂z (z=z0 )
Ne segue:
+
~
~ 0 , y0 , z0 )+
B(x,
y, z) = B(x
!
~
~
~
∂B
∂B
∂B
(x − x0 ) +
(y − y0 ) +
(z − z0 ) + · · ·
∂x (x=x0 )
∂y (y=y0 )
∂z (z=z0 )
1
1!
(8.13.2)
La (8.13.2) suppone che il circuito é tanto piccolo da poter fermare lo sviluppo del
campo al primo ordine.
Assumendo l’origine nel punto O ≡ (x0 , y0 , z0 ) cioé ponendo x0 = y0 = z0 = 0, si ha:
1 ∂
~
~
B(x, y, z) = B(O) +
b + By yb + Bz zb)
x+
(Bx x
1! ∂x
x=0
(8.13.3)
1 ∂
1 ∂
+
(Bx x
b + By yb + Bz zb)
y+
(Bx x
b + By yb + Bz zb)
z
1! ∂y
1! ∂z
y=0
z=0
che si puó scrivere come:
~
~
~ x
B(x,
y, z) = B(O)
+ ~r · ∇B
~
r =0
~ y
x
b + ~r · ∇B
~
r=0
~ z
yb + ~r · ∇B
zb
(8.13.4)
i o
zb
(8.13.5)
~
r=0
Allora, la forza agente su un piccolo circuito percorso da corrente I e posto in un
campo magnetico dato dalla (8.13.4) é:
I I h
i I n
h i o
~
~
~
~
~
~ x
F =
Idl × B =
Idl × B(O) +
Id~l × ~r · ∇B
x
b +
~
r=0
C
+
I n
C
C
h ~ y
Id~l × ~r · ∇B
~
r=0
C
i o I n
h ~ z
yb +
Id~l × ~r · ∇B
~
r=0
C
8 - 43
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Il primo integrale a secondo membro della (8.13.5) é nullo in quanto rappresenta la
forza esercitata da un campo magnetico uniforme.
Proiettiamo la (8.13.5) sui tre assi coordinati:
I n
h i o
~
~
Fx =
Idl × ~r · ∇Bx
x
b +
~
r =0
+
I n
C
h ~ y
Id~l × ~r · ∇B
~
r=0
I n
i o
h ~ z
yb +
Id~l × ~r · ∇B
+
C
C
~
r=0
C
h ~ x
Id~l × ~r · ∇B
~
r =0
I n
i o
h ~ z
yb +
Id~l × ~r · ∇B
C
h ~ y
Id~l × ~r · ∇B
~
r=0
h ~ x
Id~l × ~r · ∇B
~
r =0
I n
i o
h ~ z
yb +
Id~l × ~r · ∇B
C
x
i o
zb
(8.13.7)
y
i o
x
b +
z
~
r=0
z
(8.13.6)
y
C
I n
i o
zb
i o
x
b +
~
r=0
y
Fz =
+
I n
C
h ~ y
Id~l × ~r · ∇B
I n
~
r=0
x
Fy =
I n
x
C
i o
zb
(8.13.8)
z
Ponendo d~l = dxb
x + dyb
y + dzb
z e ~r = xb
x + yb
y + zb
z le (8.13.6), (8.13.7), (8.13.8) si
scrivono:
I n
h io I n h io
~
~ z
Fx = I −dz ~r · ∇By
+ I dy ~r · ∇B
(8.13.9)
~
r=0
~
r =0
C
Fy =
I
C
Fz =
I
C
C
h ~ x
I dz ~r · ∇B
n
~
r=0
h ~ x
I −dy ~r · ∇B
n
io
~
r=0
I
+
C
io
+
n
h ~ z
I −dx ~r · ∇B
~
r=0
I
C
n h ~ y
I dx ~r · ∇B
~
r=0
io
(8.13.10)
io
(8.13.11)
che, esplicitate sono:
I
I
∂By
∂By
∂By
∂Bz
∂Bz
∂Bz
Fx = −Idz x
+y
+z
+ Idy x
+y
+z
(8.13.12)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
C
Fy =
I
Fz =
I
C
C
C
+
∂Bx
∂Bx
∂Bx
+y
+z
−Idy x
∂x
∂y
∂z
∂Bx
∂Bx
∂Bx
+y
+z
Idz x
∂x
∂y
∂z
I
C
+
∂Bz
∂Bz
∂Bz
+y
+z
−Idx x
∂x
∂y
∂z
I
C
8 - 44
(8.13.13)
∂By
∂By
∂By
+y
+z
(8.13.14)
Idx x
∂x
∂y
∂z
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
Le derivate che compaiono nelle (8.13.12), (8.13.13) e (8.13.14) si intendono calcolate
nel punto ~r = 0 e pertanto sono delle costanti che si possono portare fuori dagli integrali.
Tenendo conto che:
I
I
I
xdx = ydy = zdz = 0
(8.13.15)
C
C
C
le componenti delle forze sono:
I
I
I
I
∂By
∂By
∂Bz
∂Bz
Fx =
−Ixdz +
−Iydz +
Ixdy +
Izdy
∂x
∂y
∂x
∂z
C
∂Bx
Fy =
∂x
I
∂Bx
Fz =
∂x
I
C
∂Bx
Ixdz +
∂y
C
I
C
∂Bx
−Ixdy +
∂z
C
C
∂Bz
Iydz +
∂y
I
I
∂By
−Izdy +
∂y
C
C
∂Bz
−Iydx +
∂z
C
I
(8.13.16)
I
C
∂By
Iydx +
∂z
C
−Izdx
I
Izdx
(8.13.17)
(8.13.18)
C
Da quanto abbiamo visto nel paragrafo precedente, il momento magnetico di una
piccola spira si puó esprimere come:
I
1
m
~ = I ~r 0 × d~r 0
2
C
le cui componenti sono:
I
1
mx = I (ydz − zdy);
2
1
my = I
2
C
Ma:
I
xdz = −
C
Quindi:
I
zdx;
C
mx = I
1
mz = I
2
(zdx − xdz);
C
I
ydz = −
C
I
I
I
zdy;
C
I
ydx = −
C
my = I
(xdy − ydx)
C
C
ydz;
I
I
C
zdx;
I
(8.13.19)
xdy
C
mz = I
I
xdy
(8.13.20)
C
Si ha, quindi:
Fx = m y
∂By
∂By
∂Bz
∂Bz
− mx
+ mz
− mx
∂x
∂y
∂x
∂z
(8.13.21)
Fy = −my
∂Bx
∂Bx
∂Bz
∂Bz
+ mx
+ mz
− my
∂x
∂y
∂y
∂z
(8.13.22)
Fz = −mz
∂Bx
∂Bx
∂By
∂By
+ mx
− mz
+ my
∂x
∂z
∂y
∂z
(8.13.23)
8 - 45
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
che in forma compatta possono scriversi:
~ Bz − m
~ By
Fx = m
~ ×∇
~ ×∇
y
z
~ Bx − m
~
Fy = m
~ ×∇
~ ×∇
Bz
z
x
x
y
(8.13.24)
(8.13.25)
~
~ Bx
Fz = m
~ ×∇
By − m
~ ×∇
(8.13.26)
~ ×B
~ =∇
~ m
~ −m
~ ·B
~
F~ = m
~ ×∇
~ ·B
~ ∇
(8.13.27)
La formula generale risulta, quindi:
Poiché, come vedremo, per un’importante proprietá del campo magnetico, é sempre
~ ·B
~ = 0, si ha:
∇
~
~
~
~ ·B
F=∇ m
(8.13.28)
La (8.11.28) é una importante formula che ci permette di calcolare la forza che agisce
su un piccolo circuito posto in un campo magnetico disuniforme o (come vedremo) su una
particella di materia magnetizzata.
8 - 46
—————————— S.Barbarino - Appunti di Fisica II ——————————
8.14 - Moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme
Consideriamo una regione di spazio sede di un campo magnetico uniforme. Scegliamo
un sistema di riferimento cartesiano e, senza ledere le generalitá, orientiamo l’asse z secondo
~ = Bb
il campo magnetico. Sia esso B
z.
×
×
~v
×
...............................
..............
.........
........
........
.. .....
...... .........
..
...
.
.
.
×
×...........
.
.
.
................
....
... ...
..............
...
......................
.
... .........
.
.
.
.
.
.
.
.
.................
.
..........................
....... .
......................
.......................................
...
... ........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.........
..... ....
.
.
.
............
.
...
.
.
........
.
..
.
...
..
.
..
...........
.
..
.
..
.
.
.
.......................................................................................... ... .....
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
×
.... .. ....
.....
...
......
...
.
...
...
...
...
.
...
.
..
...
...
...
..
.....
...
...
..........................
.
...
.
.
.....
...
................
.....×
....
×
............
.....
.....
..........
......
.....
.
.
.
.
..........
......
.
.....
.......
.........
.......
.........
..................................................................................................
.
... .. ...
..............
........
q..................................
.. ..... ...
..............
........+
........... ..............
×
×
×B
×
~v
~r
~
F
•
+q
F~
×
×
F~
×
+
q
×
×
×
~v
×
×
×
fig.8.14-1
Consideriamo una particella di carica q e massa m che si muove con velocitá ~v in
questa regione. Sia ~r il vettore posizione istantaneo della particella. La forza alla quale
~ = q~v × B.
~
essa é soggetta da parte del campo magnetico é: F
Pertanto l’equazione del moto della particella é:
m
d2~r
~
= q~v × B
dt2
(8.14.1)
d~v
~
= q~v × B
dt
(8.14.2)
che si puó scrivere:
m
La (8.14.2) é equivalente alle seguenti equazioni scalari:
qB
vy
m
qB
v̇y = −
vx
m
v̇z = 0
v̇x =
8 - 47
(8.14.3)
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Dalla terza equazione deriva che la componente della velocitá lungo la direzione
del campo magnetico é una costante del moto. Ne segue, quindi, che se la componente iniziale della velocitá secondo il campo magnetico é nulla, il moto della particella
é piano e precisamente si svolge in un piano ortogonale alla direzione del campo. In
generale, comunque, si puó dire che il moto di una particella carica posta in un campo
magnetico uniforme é la composizione di un moto rettilineo uniforme lungo la direzione
del campo magnetico e di un moto piano su un piano ortogonale alla direzione del campo.
Ci proponiamo di studiare la traiettoria del moto piano.
Cominciamo con il considerare una caratteristica generale del moto di una particella
carica in un generico campo magnetico.
Riscriviamo l’equazione del moto (8.14.2):
m
d~v
~
= q~v × B
dt
Moltiplichiamo scalarmente a sinistra per il vettore velocitá ~v , ottenendo:
m~v ·
d~v
~
= q~v · ~v × B
dt
(8.14.4)
~ = 0 e ~v · d~v = 1 d |~v |2 la (8.14.4) comporta:
Poiché ~v · ~v × B
2 dt
dt
1 d 2
m v =0
2 dt
(8.14.5)
cioé: l’energia cinetica di una particella carica in moto in un campo magnetico
(uniforme o no) si mantiene costante durante il moto della particella.
Per studiare la traiettoria del moto piano consideriamo le prime due equazioni del
moto (8.14.3):
qB
vy
v̇x =
m
(8.14.6)
qB
v̇y = −
vx
m
Poniamo:
qB
= ωc
(8.14.7)
m
che prende il nome di frequenza di ciclotrone.
Moltiplicando la seconda equazione per −i le (8.14.6) diventano:
v̇x = ωc vy
−iv̇y = iωc vx
(8.14.8)
Sommando membro a membro, si ottiene l’equazione complessa:
v̇x − iv̇y = iωc (vx − ivy )
8 - 48
(8.14.9)
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Definendo la funzione complessa:
v − = vx − ivy
(8.12.10)
v̇ − = iωc v −
(8.14.11)
v − = Cei(ωc t)
(8.14.12)
l’equazione (8.14.9) diventa:
che ammette come soluzione:
dove C é una costante complessa che si puó scrivere:
C = Aeiφ
(8.14.13)
essendo A il modulo di C.
Applicando la formula di Eulero, si ha:
v − = A cos (ωc t + φ) + iA sin (ωc t + φ)
(8.14.14)
che comporta:
vx = A cos (ωc t + φ)
vy = −A sin (ωc t + φ)
(8.14.15)
dove A e φ sono due costanti da determinare in modo da soddisfare le condizioni iniziali.
Per t=0 si ha:
v0x = A cos φ,
v0y = −A sin φ
(8.14.16)
essendo v0x e v0y le componenti della velocitá all’istante iniziale t = 0.
Le (8.14.16) comportano:
tan φ = −
v0y
v0x
2
2
2
A2 = v0x
+ v0y
= v0⊥
(8.14.17)
essendo v0⊥ il modulo della componente della velocitá iniziale sul piano ortogonale alla
direzione del campo magnetico.
Riscriviamo, quindi, le (8.14.15) dopo aver sostituito ad A v0⊥
vx = v0⊥ cos (ωc t + φ)
vy = −v0⊥ sin (ωc t + φ)
(8.14.18)
dove φ é dato dalla prima delle (8.14.17).
Integrando rispetto al tempo le (8.14.18) si ha:
x=
v0⊥
sin (ωc t + φ) + C1
ωc
(8.14.19)
y=
v0⊥
cos (ωc t + φ) + C2
ωc
(8.14.20)
8 - 49
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dove C1 e C2 sono costanti da determinare per soddisfare le condizioni iniziali che si
ottengono ponendo, nella (8.14.19) e nella (8.14.20), t = 0.
v0⊥
x0 =
sin φ + C1
(8.14.21)
ωc
v0⊥
y0 =
cos φ + C2
(8.14.22)
ωc
da cui:
v0⊥
C1 = x 0 −
sin φ
(8.14.23)
ωc
v0⊥
cos φ
(8.14.24)
C2 = y 0 −
ωc
Sostituendo nella (8.14.19) e nella (8.14.20), le equazioni orarie del moto diventano:
v0⊥
v0⊥
x=
sin (ωc t + φ) + x0 −
sin φ
(8.14.25)
ωc
ωc
v0⊥
v0⊥
y=
cos (ωc t + φ) + y0 −
cos φ
(8.14.26)
ωc
ωc
Tenendo conto delle (8.14.16), la (8.14.25) e la (8.14.26) si possono scrivere:
v0⊥
v0y
x=
sin (ωc t + φ) + x0 +
(8.14.27)
ωc
ωc
v0⊥
v0x
y=
cos (ωc t + φ) + y0 −
(8.14.28)
ωc
ωc
che si possono scrivere:
v0y
v0⊥
x − x0 +
sin (ωc t + φ)
(8.14.29)
=
ωc
ωc
v0x
v0⊥
y − y0 −
=
cos (ωc t + φ)
(8.14.30)
ωc
ωc
Quadrando e sommando:
2 2
v0y
v0x
v2
x − x0 +
+ y − y0 −
= 0⊥
(8.14.31)
ωc
ωc
ωc2
La traiettoria é quindi una circonferenza di raggio
v0⊥
mv0⊥
R=
=
(8.14.32)
ωc
qB
e centro:
mv0y
mv0x
x0 +
,
y0 −
(8.14.33)
qB
qB
Il periodo del moto circolare é:
2π
m
T =
= 2π
(8.14.34)
ωc
qB
La traiettoria della particella é, quindi, una elica cilindrica che si sviluppa
nella direzione del campo magnetico. Il passo dell’elica é:
2πm
p = v0z T = v0z
(8.14.35)
qB
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8.15 - Il Galvanometro
1)
Il galvanometro é un apparecchio capace di misurare, o, almeno, segnalare la corrente
elettrica che fluisce in un conduttore.
Un galvanometro tarato in ampere (o nei suoi multipli o nei suoi sottomultipli dicesi
amperometro.
Il nome galvanometro é, piú spesso, riservato agli indicatori di corrente di maggior
sensibilitá; questi sono allora piuttosto adatti a servire da apparecchi di zero. Esso viene
inserito in serie nel circuito percorso dalla corrente in studio.
A•
i
f
•
B
N
R
•
Fe
S
C
•
fig.8.15-1
Galvanometro a circuito mobile
É il piú diffuso ed il piú comodo (fig.8.15-1) ed é chiamato galvanometro DeprezD’Arsonval dal nome dei suoi inventori. La corrente i é convogliata ad una bobina mobile
B che si trova fra le estremitá polari N − S di una potente calamita a ferro di cavallo.
L’azione del campo magnetico sulla bobina percorsa da corrente dá luogo ad un momento
meccanico τ (vedi formula 8.12.21) che fa ruotare la bobina B in un verso facilmente
determinabile con la stessa formula. Un nucleo di ferro F e, interno alla bobina ma senza
toccarla, aumenta l’azione della corrente.
Negli apparecchi piú sensibili la bobina é sostenuta da un filo f di torsione (fig.8.15-1).
1)
Eligio Perucca: Fisica Generale e Sperimentale, Tomo secondo pag. 763.
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Lo specchio R serve per misurare l’angolo di deviazione φ e quindi, tarato opportunamente, l’intensitá di corrente i.
Fine del Cap.8
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