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Fondamenti e didattica della matematica B
Contenuti del corso
20 gennaio 2007
Dipartimento di Matematica e Applicazioni
Università di Milano–Bicocca
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 1
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Fondamenti e didattica della matematica B – p. 2
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Bibliografia
Geometria
Proprietà delle figure geometriche: l’eguaglianza in
geometria, geometria metrica e geometria delle
similitudini
che cosa significa che due figure sono uguali?
Il testo principale del corso è
L’utilizzo della carta a quadretti come strumento per
l’insegnamento della geometria
come si può utilizzare la carta a quadretti per
introdurre concetti di geometria (anche ad un
livello non banale)
Ma spesso è difficile confinare la matematica in un solo
libro di testo. Potrà esservi richiesto di rivedere concetti
che già possedete (magari con uno spirito critico
diverso), può essere che strada facendo vi accorgiate di
dover rivedere qualcosa. . .
Misura di aree e volumi
Come variano aree e volumi?
In questo caso potranno venirvi incontro gli altri testi
consigliati
sarà mia cura di volta in volta suggerire dove trovare il
materiale adatto.
Simmetria
isometrie e loro proprietà
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M. Cazzola, Per non perdere la bussola, Ed.
Decibel-Zanichelli, 2001
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Proprietà delle figure geometriche
Quando facciamo geometria concentriamo l’attenzione
su particolari proprietà delle figure. Spesso le proprietà
che andiamo a considerare importanti sono diverse a
seconda del contesto.
Consideriamo ad esempio la seguente figura
Proprietà delle figure geometriche
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Proprietà delle figure geometriche
è un quadrato
Definizioni
il lato è lungo 5 quadretti
Spesso il primo passo da compiere è quello di dare delle
definizioni.
ha area 25
Proviamo a dare la definizione di quadrato:
ha quattro lati
Definizione – Chiamiamo quadrato un quadrilatero con
tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
ha quattro angoli retti
Quali di queste proprietà
sono riconoscibili anche in
questa figura?
Vi sarete accorti che molti di voi avranno pensato a
qualcosa di diverso.
Non sempre c’è un solo modo per definire qualcosa. . .
può succedere che due definizioni apparentemente
diverse siano in realtà equivalenti.
E quali in questa?
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Quadrati?
figura geometrica piana con 4 lati uguali
è una figura piana, è un poligono con 4 lati uguali e
4 angoli retti
Ancora sulle definizioni. . .
quadrilatero avente 4 lati uguali paralleli a 2 a 2, 4
angoli retti, 2 diagonali uguali
figura piana avente 4 lati uguali e gli angoli uguali (di
90◦ ), è un poligono regolare la cui area viene
misurata con A = l 2
poligono regolare con 4 lati uguali
poligono regolare con 4 lati uguali e perpendicolari
tra loro
figura geometrica con 4 lati uguali e diagonali uguali
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Diagonali
Proviamo a rispondere al seguente quesito:
Un quadrilatero ha . . . diagonali. Un pentagono ha
. . . diagonali. Un esagono ha . . . diagonali.
Diagonali
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
Un cubo ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . .
diagonali.
Una piramide a base esagonale ha . . . facce, . . .
vertici, . . . spigoli e . . . diagonali.
Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si
voglia chiamare “diagonale”!
Un triangolo non ha diagonali.
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Pentagoni
Quadrilateri
Un quadrilatero ha due diagonali.
Un pentagono ha cinque diagonali
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
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Esagoni
Diagonali di un poligono
Se assumiamo come definizione di diagonale
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
allora un poligono di n lati ha esattamente
n · ( n − 3)
2
Quante sono?
diagonali.
Un esagono ha
Se diamo una definizione diversa (cioè non equivalente)
di diagonale, questa formula potrebbe perdere di
significato.
6·3
2
diagonali
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Diagonale ???
Il caso tridimensionale
Consideriamo la seguente definizione
Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione
data nel caso bidimensionale
Definizione – La diagonale in un poligono è l’asse che
unisce due vertici; in un quadrilatero esistono due
diagonali.
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
cosa è un asse?
la definizione di asse dovrebbe farmi escludere i
lati del poligono
traduciamo ‘poligono’ con ‘poliedro’
abbiamo però due modi diversi di tradurre
l’espressione ‘non consecutivi’
che non appartengono allo stesso lato
che non appartengono alla stessa faccia
la parte “in un quadrilatero esistono due diagonali” è
rilevante per la definizione di diagonale?
Queste due possibilità danno origine a due definizioni
non equivalenti. . .
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Diagonali del cubo
Giusto o sbagliato?
Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di
diagonale in un poliedro
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti alla stessa faccia
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti allo stesso lato
Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o
quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso
utilizzare l’una piuttosto che l’altra.
Per questo prima di porre la domanda “quante sono le
diagonali di un cubo?” occorre specificare qual è il
quadro di riferimento.
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Quiz televisivi
Mi è capitato di sentire la seguente domanda
Qual è il numero massimo di angoli retti che
può avere un trapezio?
Quadrati
Questa è proprio una domanda a cui non si può dare
risposta se non si risolve l’ambiguità della definizione di
trapezio
un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati
paralleli
un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due
lati paralleli
Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e
entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a
seconda del contesto.
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Quadrati
Definizione – Chiamiamo quadrato un poligono con 4
lati uguali e 4 angoli retti.
Quadrati
Quando diamo la definizione di quadrato in realtà non
definiamo una figura, ma tante figure accomunate da
proprietà geometriche.
Definiamo una classe di figure geometriche.
La parola classe è presa in prestito dal capitolo delle
Relazioni di equivalenza.
Infatti quello che di fatto facciamo è di considerare
“uguali” (in altre parole equivalenti) tutte le figure che
rispondono alla nostra definizione.
Quando diamo una definizione (ad esempio di quadrato)
quello che ci interessa è identificare la classe di
similitudine delle figure che rispondono alla nostra
definizione.
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Trasformazioni del piano
Definizione – Una trasformazione del piano è una
corrispondenza biunivoca tra i punti del piano.
In altre parole una trasformazione del piano f associa
ad ogni punto P uno e un solo punto f ( P) (che possiamo
indicare con P′ )
e viceversa
ogni punto P′ del piano è il corrispondente di uno e un
solo punto P.
Geometria delle similitudini
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Corrispondenze biunivoche
Se A è l’insieme dei numeri naturali e B è l’insieme
dei numeri naturali pari, nella corrispondenza
biunivoca
Omotetie del piano
Una omotetia del piano è una trasformazione del piano
costruita in questa maniera
si fissa un punto O del piano
f (n) = 2 n
al numero naturale 4 corrisponde il numero
pari 8
il numero pari 2 è il corrispondente di 1
l’espressione 2 n esprime la regola che ci permette
di stabilire se due elementi sono l’uno il
corrispondente dell’altro.
Quando ho a che fare con oggetti geometrici la regola
deve essere espressa in termini geometrici.
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si fissa un parametro reale positivo k (k > 0)
Se P è un punto del piano per costruire P′ , l’immagine di
P, si traccia la semiretta che parte da O passante per P e
su questa semiretta si pone P′ tale che la distanza di O
da P′ sia k volte la distanza di O da P.
k=2
P
Q′
Q
P′
O
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Omotetie del piano
Omotetie
Se k = 1 ad ogni punto P del piano corrisponde P
stesso.
La trasformazione del piano per cui per ogni
punto P si ha f ( P) = P è detta trasformazione
identica (è anche detta identità).
Possiamo anche avvalerci dello strumento della carta a
quadretti
k=3
P′
Nella definizione data si è posto k > 0. Se infatti
avessimo ammesso il valore k = 0 la costruzione
geometrica descritta sarebbe ancora possibile, ma
ad ogni punto P del piano sarebbe associato il
punto O.
In questo caso non si avrebbe una
corrispondenza biunivoca.
P
O
Q
Q′
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Omotetie e figure geometriche
Se consideriamo una figura geometrica, possiamo
pensare di applicare l’omotetia a tutti i punti della figura
Omotetie e figure geometriche
Se consideriamo figure geometriche più semplici non
abbiamo bisogno di applicare l’omotetia a tutti i punti
della figura
k=2
B′
k=2
B
A′
A
O
L’immagine di un
segmento è un
segmento
(teorema di Talete)
O
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Poligoni
Omotetie
Considerando una omotetia di centro O e rapporto k:
Analogamente se consideriamo un poligono
k=3
C′
L’immagine di un
poligono è un poligono
l’immagine di un segmento AB è ancora un
segmento A′ B′
la lunghezza del segmento A′ B′ è pari a k volte
la lunghezza del segmento AB
D′
C
D
O
l’immagine di un poligono è un poligono con lo
stesso numero di lati
la misura di ogni lato del poligono viene
moltiplicata per k
ne consegue che il perimetro del poligono viene
moltiplicato per k
B′
B
A
A′
l’area del poligono viene moltiplicata per k2
I lati del poligono triplicano, l’area del poligono . . .
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Omotetie
Considerando una omotetia di centro O e rapporto k:
l’immagine di una retta è una retta
l’immagine di una circonferenza è una circonferenza
di lunghezza k volte la lunghezza della
circonferenza di partenza mentre l’area del
cerchio compreso è k2 volte l’area della figura di
partenza
[è
dati tre punti A, B e C, la misura dell’angolo ABC
Omotetie e similitudini
Le omotetie appartengono ad una classe più ampia di
trasformazioni: le similitudini.
Per le omotetie siamo stati in grado di esplicitare la
costruzione geometrica che permette (dati il punto O e la
costante reale positiva k) di costruire l’immagine di un
qualsiasi punto del piano.
Per le similitudini invece daremo una definizione
completamente astratta.
′ B′ C′
\
uguale alla misura dell’angolo A
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Fondamenti e didattica della matematica B – p. 36
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Similitudini
Similitudini
Si può dimostrare che la condizione sulle distanze e la
condizione sugli angoli sono in realtà equivalenti.
La definizione di similitudine può quindi essere data
mettendo una delle due condizioni oppure l’altra
indistintamente.
Definizione – Una similitudine è una trasformazione f
del piano che verifica le condizioni seguenti
Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate in
rapporto costante. Cioè possiamo trovare un
numero k tale che se la distanza di due punti P e Q
vale TOT, allora la distanza tra i loro corrispondenti
f ( P) e f ( Q) vale k · TOT .
Anche se la trasformazione f è stata definita in maniera
così astratta possiamo dalla definizione dedurne alcune
proprietà geometriche:
Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissino
tre punti A, B e C, l’angolo da questi individuato è
uguale all’angolo individuato dai loro corrispondenti
f ( A ), f ( B ) e f ( C ).
se tre punti A, B e C sono allineati, allora anche
f ( A), f ( B) e f (C ) sono allineati (per la condizione
sugli angoli)
l’immagine di una retta è una retta, l’immagine di un
segmento è un segmento, . . .
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Esempi
Similitudini
La condizione sulle distanze è una condizione di
proporzionalità tra segmenti.
Se abbiamo un segmento a e un segmento b, allora,
indicando con a′ e b′ le rispettive immagini, vale la
proporzione
Le omotetie sono similitudini
infatti le omotetie soddisfano sia la condizione sulle
distanze che la condizione sugli angoli
Ci sono però similitudini che non sono omotetie.
a′ : a = b′ : b
più precisamente
a′ : a = b′ : b = k
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Terminologia
A volte nei libri di testo il termine similitudine è utilizzato
con un significato diverso da quello che abbiamo dato fin
qui, ad esempio nella frase
Similitudini e relazioni di equivalenza
la similitudine è una relazione di equivalenza
ATTENZIONE:
fino ad ora abbiamo definito le similitudini come
“trasformazioni del piano . . . ”, ovvero come
“corrispondenze biunivoche . . . ”
le corrispondenze biunivoche non sono relazioni di
equivalenza
Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza.
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Figure simili
Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza.
È però vero che le similitudini ci permettono di definire
una relazione di equivalenza nell’insieme delle figure del
piano.
(una figura del piano è un qualsiasi insieme di punti del
piano)
Definizione – Due figure del piano si dicono simili se è
possibile costruire una similitudine del piano che manda
la prima figura nella seconda.
Relazione di equivalenza?
Dato un insieme A, una relazione su A è un qualsiasi
sottoinsieme di A × A
è una regola che, dati due elementi di A, mi
permette di decidere se “sono in relazione” o meno
aRb se e solo se ( a, b) appartiene al sottoinsieme di
A × A fissato
Una relazione è detta di equivalenza se è
riflessiva
simmetrica
transitiva
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Essere figure simili
Essere figure simili
simmetrica
se la figura a è simile alla figura b, allora la figura
b è simile alla figura a
se f è una similitudine che manda a in b allora,
essendo f una corrispondenza biunivoca,
possiamo considerare la corrispondenza inversa
di f : questa manda b in a
Se consideriamo l’insieme di tutte le figure del piano,
possiamo definire una relazione in questa maniera
aRb
se e solo se
a e b sono figure simili
È una relazione di equivalenza?
riflessiva
ogni figura del piano è in relazione con se stessa
la trasformazione identica è una similitudine che
manda ogni figura in se stessa
La proprietà simmetrica è strettamente legata al fatto che
l’inversa di una similitudine è una similitudine.
La proprietà riflessiva è strettamente legata al fatto che la
trasformazione identica è una similitudine.
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Essere figure simili
transitiva
se la figura a è simile alla figura b, e la figura b è
simile alla figura c, allora si deve avere che la
figura a è simile alla figura c
se f è una similitudine che manda a in b e g è
una similitudine che manda b in c, allora
possiamo considerare la composizione di f e g:
questa manda a in c
Gruppi
Abbiamo fatto il primo incontro con il concetto di gruppo
(concetto fondamentale in matematica).
Abbiamo osservato che la chiave perché la relazione
essere figure simili sia effettivamente una relazione di
equivalenza sta nel fatto che
la trasformazione identica è una similitudine
l’inversa di una similitudine è una similitudine
la composizione di due similitudini è una similitudine
La proprietà transitiva è strettamente legata al fatto che
la composizione di due similitudini è una similitudine.
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Queste tre proprietà sono le proprietà fondamentali
dell’oggetto matematico gruppo.
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Figure simili
Quadrati
Definizione – Due figure del piano si dicono simili se è
possibile costruire una similitudine del piano che manda
la prima figura nella seconda.
La geometria delle similitudini studia le proprietà in
comune a due figure simili.
La definizione
Definizione – Chiamiamo quadrato un poligono con 4
lati uguali e 4 angoli retti.
Individua una qualsiasi figura nella classe di similitudine
di questa:
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Figure simili
Definizione – Due figure del piano si dicono simili se è
possibile costruire una similitudine del piano che manda
la prima figura nella seconda.
Figure simili
Uno dei problemi che dovremo affrontare è quello di
capire quando due figure sono simili.
Avendo dato una definizione “astratta” di cosa sia una
similitudine, dobbiamo costruire gli strumenti.
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 51
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Poligoni
Scorciatoie
Data la nostra definizione di figure simili, per capire se
due figure sono simili occorre costruire una similitudine
(di tutto il piano) che mandi la prima figura nella
seconda.
Consideriamo due poligoni del piano. Se i due poligoni
sono simili, significa che esiste una corrispondenza
biunivoca di tutto il piano che manda il primo poligono nel
secondo.
Questo a volte può sembrare un problema di non facile
soluzione.
In particolare questa corrispondenza biunivoca di tutto il
piano farà corrispondere ad ogni vertice del primo
poligono uno e un solo vertice del secondo poligono, e
viceversa.
Quello di cui abbiamo bisogno sono delle scorciatoie
che ci permettano, date due figure, di stabilire se le figure
sono simili senza costruire esplicitamente una
similitudine.
Queste scorciatoie sono dette criteri di similitudine.
In altre parole la corrispondenza biunivoca del piano
induce una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due
poligoni.
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Fondamenti e didattica della matematica B – p. 54
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Poligoni
In altre parole, se indichiamo con A, B, C, D, . . . i vertici
del primo poligono, allora è possibile indicare i vertici del
secondo poligono con A′ , B′ , C ′ , D ′ , . . . in maniera tale
che A′ sia proprio il corrispondente di A nella
similitudine, e così via per gli altri vertici.
Questa corrispondenza biunivoca tra i vertici induce una
corrispondenza biunivoca tra i lati dei poligoni (al lato AB
del primo poligono corrisponde il lato A′ B′ del secondo
poligono, e così via).
Poligoni
Di nuovo se supponiamo che i due poligoni siano simili,
le proprietà delle similitudini ci dicono anche
se misuriamo l’angolo del primo poligono in A e
misuriamo l’angolo del secondo poligono in A′ ,
allora questi angoli sono uguali
e questo vale per qualunque vertice del poligono
si vada a scegliere
alla similitudine è associata una costante di
proporzionalità k, e questo implica che il rapporto tra
le misure dei lati
A′ B′
=k
AB
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e questo vale per qualunque lato del poligono si
vada a scegliere
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Poligoni
Rettangoli
Abbiamo cioè concluso che se due poligoni ( ABCD . . . e
A′ B′ C′ D ′ . . . sono simili), allora
Questi rettangoli sono simili?
1. gli angoli sono uguali (nel senso che l’angolo nel
vertice A è uguale all’angolo nel vertice A′ e così
via per gli altri vertici)
2. i lati sono in rapporto costante (nel senso che il
rapporto tra le misure di AB e A′ B′ è uguale al k
associato alla similitudine, e così via per gli altri lati)
ATTENZIONE: le condizioni 1 e 2 sono quindi
condizioni necessarie perché i due poligoni siano simili.
C
A
B
C′
A′
B′
In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A′ e
k = 2.
(NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorvianti
rispetto al problema)
Quello che ci serve sono invece condizioni sufficienti
per stabilire che due poligoni siano simili.
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D
D′
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 58
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Rettangoli
Due rettangoli sono simili se è possibile rigirarli in modo
che detta b la base del primo rettangolo e b′ la base del
secondo rettangolo; analogamente detta h l’altezza del
primo rettangolo e h′ l’altezza del secondo rettangolo,
valga la proporzione
b
h
= ′
′
b
h
CONSEGUENZA: due quadrati sono sempre simili.
Triangoli
Anche per i triangoli abbiamo delle scorciatoie
due triangoli sono simili se esiste una
corrispondenza tra gli angoli del primo triangolo e gli
angoli del secondo tale che gli angoli corrispondenti
sono uguali
due triangoli sono simili se esiste una
corrispondenza tra i lati del primo triangolo e i lati
del secondo triangolo tale che i lati corrispondenti
sono in proporzione
due triangoli sono simili se un angolo del primo è
uguale ad un angolo del secondo e i lati adiacenti a
questi due angoli sono in proporzione
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 59
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Triangoli rettangoli
Triangoli rettangoli
Dati due triangoli rettangoli
Per verificare se due triangoli rettangoli sono simili (una
volta poste le “lettere” come nel lucido precedente) è
sufficiente verificare una (una soltanto!) delle condizioni
seguenti
C′
C
γ′
γ
a
b
A
β
α
c
a′
b′
B A′
β = β′
γ = γ′
β′
α′
c′
b′ /b = a′ /a
B′
c′ /c = a′ /a
come possiamo stabilire se sono simili?
c′ /c = b′ /b
È utile ricordare il teorema di Pitagora
...
Teorema – a2 = b2 + c2
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 61
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Fondamenti e didattica della matematica B – p. 62
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Triangoli rettangoli
Osserviamo che le condizioni di tipo
Similitudine di triangoli rettangoli
Conseguenze
c′ /c = b′ /b
la similitudine di triangoli rettangoli mi permette di
stabilire se due segmenti sono o meno allineati
possono essere scritte invece
b/c = b′ /c′
C
Questo significa che possiamo attaccare al primo
triangolo il numero b/c e possiamo attaccare al secondo
triangolo il numero b′ /c′ (questi sono infatti due numeri
che dipendono dal singolo triangolo)
e concludere che due triangoli rettangoli sono simili se e
solo se il numero che gli attacco è uguale.
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 63
B
A
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 64
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Similitudine di triangoli rettangoli
Angoli retti
La similitudine di triangoli rettangoli mi permette di
costruire angoli retti “storti”
Gli angoli sulla sinistra sono la metà di un angolo retto.
Osserviamo ora i due segmenti
Accostandone due otteniamo perciò un angolo retto
α
β
β
α
Non conosciamo le misure degli angoli acuti dei triangoli,
le indichiamo perciò con α e β. Tutto quello che sappiamo
è che la somma delle misure α e β è di 90 gradi.
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 65
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Fondamenti e didattica della matematica B – p. 66
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Angoli retti
In altre parole noi sappiamo che α + β = 90◦
e vogliamo valutare la misura dell’angolo contrassegnato
dal punto di domanda
Esempio
Costruiamo un segmento perpendicolare al segmento
β ? α
Operando sulle misure si ottiene
180◦ − (α + β) = 180◦ − 90◦ = 90◦
Si tratta cioè di un angolo retto.
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 67
Utilizziamo i due triangoli
simili (sono uguali!)
e
che sono
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 68
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Angoli retti
Poligoni in posizioni “non standard”
Si tratta di disegnare i due triangolini l’uno vicino all’altro
in modo formino un angolo retto
Il saper costruire angoli retti “storti” ci permette di
sfruttare appeno le potenzialità della carta a quadretti e
disegniare esempi di poligoni “storti”
Triangoli rettangoli
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 69
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Fondamenti e didattica della matematica B – p. 70
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Poligoni in posizioni “non standard”
Triangoli isosceli
Poligoni in posizioni “non standard”
Trapezi rettangoli
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 71
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 72
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Poligoni in posizioni “non standard”
Rombi
Poligoni in posizioni “non standard”
Rettangoli
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 73
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Poligoni in posizioni “non standard”
Quadrati
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 75
Fondamenti e didattica della matematica B – p. 74
