Acceleratori di particelle
nella fisica delle alte energie
Stefano Passaggio
Lezioni per il corso di Fisica delle Particelle
Dottorato in Fisica – XXI Ciclo
A.A. 2007-2008
Introduzione
z Ragion d’essere degli acceleratori
Lo studio sperimentale dei nuclei e delle particelle elementari e
delle loro interazioni consiste in larga parte nello studio di
processi di collisione tra particelle ad energie sufficientemente
elevate (λ=h/p; s ) e/o con statistica sufficientemente grande
( σ ( s ); studio di processi di decadimento rari)
Un ingrediente fondamentale per questo settore della fisica
sperimentale è quindi costituito da apparati in grado di fornire
fasci continui o impulsati di particelle (cariche o neutre) di
energia e intensità opportune per il tipo di ricerca che ci si
propone di realizzare
In certi casi, come vedremo, diverse ragioni di carattere
cinematico e/o dinamico rendono necessaria (o quantomeno
preferibile) la disponibilità di due fasci da portare in collisione
uno contro l’altro (colliders), anziché di un solo fascio incidente
su un bersaglio fisso
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p-(anti)p cross-sections
e+e- annihilation
cross-section
-1
2
3
4
e.g.: produzione di SM Higgs
s [GeV]
La sezione d’urto
di annichilazione
non risonante
dipende da s
come 1/s
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Parton distribution functions
in the proton
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La natura mette in realtà a nostra disposizione delle sorgenti
naturali di particelle più o meno energetiche e/o intense
(sorgenti radioattive, raggi cosmici)
Per taluni studi, tali sorgenti (RC) sono le uniche disponibili…
Come vedremo, gli acceleratori attuali (e anche quelli concepibili in
futuro in base alle tecniche di accelerazione attualmente disponibili)
sono limitati in energia (fino ad oggi E(e±) ≤ 104.5 GeV [LEP2000],
E(p) ≤ 1.0 TeV [Tevatron]; nel futuro prossimo si raggiungeranno
energie E(p) = 7.0 TeV [LHC, a partire dal 2007], E(e±) ~ 500 GeV
[collider lineare di nuova generazione, non ancora approvato])
I raggi cosmici incidenti sull’atmosfera terrestre, viceversa, hanno
uno spettro in energia che raggiunge valori ≥ 1018 ÷ 1019 eV (ossia
106 ÷ 107 TeV), anche se con intensità molto piccole
Le limitazioni dei raggi cosmici come fasci naturali di particelle
energetiche in termini di intensità e di dispersione in energia e
direzione rendono comunque necessaria la costruzione di
“sorgenti artificiali” (acceleratori, accumulatori, colliders)
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Caratteristiche
z Energia o impulso del fascio o dei fasci (e loro dispersione)
z Intensità
Intensità istantanea (particelle per impulso o “bunch”), numero di
“bunches” accumulati (in un accumulatore/collider)
Luminosità (per i colliders, in unità di cm-2 s-1), Corrente media (mA)
R = L σ int dove R = numero di eventi per unità di tempo
σint = sezione d’urto di interazione (invariante per
boosts longitudinali)
In un collider con k bunches per fascio, frequenza di rivoluzione
dei bunches pari a f, N1 particelle per bunch in un fascio e N2
particelle per bunch nell’altro fascio, distribuzione gaussiana di
densità nei due fasci (dev. std. σx, σy nelle due direzioni trasv.):
L= f k
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N1 N 2
4π σ xσ y
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z Fattore di utilizzazione
“Duty cycle” (nel caso di un acceleratore impulsato, con fascio su
bersaglio fisso, è la frazione di tempo in cui l’acceleratore fornisce
particelle all’esperimento)
Intervallo temporale tra due “bunch crossings” consecutivi (nel caso
di un collider)
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Elementi fondamentali
z Una sorgente di ioni o elettroni
z Una camera a vuoto all’interno della quale le particelle si muovono
nel corso del processo di accelerazione e/o durante il periodo nel
quale restano accumulate (accumulatore/collider)
la qualità del vuoto è un elemento particolarmente critico nel caso
degli accumulatori/colliders, nei quali il o i fasci accumulati circolano
per un tempo lungo (dell’ordine di ore)
O.d.G.: 10-6 Torr per secondo di tempo di presenza delle particelle
nella camera a vuoto (10-11 Torr/giorno per un accumulatore)
z Un dispositivo di guida e focalizzazione, che di solito utilizza per
entrambi gli scopi dei campi magnetici, per mantenere le particelle
in prossimità di un’orbita o traiettoria di riferimento
z Un sistema di accelerazione, mediante campi elettrici (nella
maggior parte dei casi oscillanti), per accelerare le particelle ed
eventualmente compensare le perdite di energia (dovute
prevalentemente ad emissione di radiazione di sincrotrone)
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z Dispositivi di misura e correzione, per controllare l’intensità, la
posizione e le dimensioni del o dei fasci nel corso del processo di
accelerazione ed eventualmente del periodo in cui i fasci restano
accumulati e, se necessario, correggere automaticamente
posizione, dimensioni e dispersione in energia del o dei fasci
z Nel caso di acceleratori che producono un fascio da utilizzare su
bersaglio fisso, un bersaglio interno all’accumulatore o un sistema
che consenta l’estrazione del fascio e lo convogli su uno o più
bersagli esterni; nel caso di un collider il “bersaglio” e’ costituito
da un secondo fascio accumulato, circolante in senso opposto al
primo
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Classificazione ed evoluzione
z Acceleratori a tensione continua
Si applica una ddp (costante) elevata tra una sorgente di ioni e il
bersaglio (o, come ora avviene, l’ingresso di uno stadio di
accelerazione successivo)
L’acceleratore di questo tipo costruito da Cockroft e Walton nel
1932 (E = 600 keV) rappresenta il primo esemplare di acceleratore di
energia sufficiente per gli scopi della fisica nucleare, e consentì di
produrre la prima reazione di scissione di nuclei (p + Li → 2 He)
Principio di funzionamento: alimentatore di tensione AC
sistema di raddrizzatori a diodi
Caratteristiche e limiti: può fornire correnti continue di qualche mA
energia limitata (ddp max: ~ MV)
dispersione in energia abbastanza elevata
L’acceleratore di Cockroft e Walton viene oggi utilizzato come stadio
di ingresso di energia limitata (~ 750 keV) per acceleratori lineari
(che a loro volta possono costituire uno stadio di pre-accelerazione
per acceleratori circolari)
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All’incirca negli stessi anni in cui Cockroft e Walton svilupparono il loro
acceleratore, Van de Graaff realizzò un altro tipo di acceleratore a
tensione continua, basato sul trasporto e l’accumulo di carica su un
elettrodo metallico isolato
Caratteristiche e limiti: piccola dispersione in energia
fornisce una corrente continua o impulsata
energia limitata (ddp max: ~ 10 MV)
debole intensità di corrente (~ μA)
È possibile raddoppiare la ddp efficace per l’accelerazione sfruttando
un’idea proposta da Alvarez negli anni ’50: acceleratore Tandem
Caratteristiche e limiti: v. Van de Graaff (ddp efficace max: ~20÷30 MV)
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Cockroft-Walton
Van de Graaff
Tandem
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z Accelerazione mediante campi e.m. variabili nel tempo: principio e
motivazioni
L’energia raggiungibile con un acceleratore a tensione continua è
limitata da fenomeni di scarica
È possibile però evitare questo tipo di problemi utilizzando un campi
e.m. variabili nel tempo
G
G
G
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
descrive il campo elettrico
statico delle macchine di
Cockroft-Walton e
Van de Graaff
descrive un campo
variabile nel tempo
In particolare
G
G G
∂B
∇∧E =−
⇒
∂t
G
G G
d
v∫γ E ⋅ dl = − dt ∫Σ B ⋅ dS
Per accelerare una particella su un’orbita chiusa
sono necessari campi dipendenti dal tempo
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z Accelerazione mediante campi e.m. variabili nel tempo: betatrone
Doppio ruolo del campo magnetico:
G
G
G
G
G
G
dp
∂B
G
= q( E + v ∧ B)
∇∧E =−
∂t
dt
mantiene il fascio di particelle da accelerare su un’orbita circolare
G
dp
Δp
G G
= q v ∧ Borbit ⇒ p = q ρ Borbit ⇒ ΔBorbit =
dt
qρ
(per mantenere ρ costante)
variando nel tempo, accelera il fascio
G
G
G G
G G
dp
d
dp q ρ dBavg
qρ
= qE ; v∫ E ⋅ dl = − ∫ B ⋅ dS ⇒
=
⇒ Δp =
ΔBavg
C
Σ
ρ
ρ
2 dt
2
dt
dt
dt
Affinché il fascio venga accelerato a ρ = cost, deve essere:
ΔB
ΔBorbit = avg
2
Insensibile agli effetti
relativistici ⇒ OK per elettroni
S Difficile estrazione del fascio
S E d 300 MeV
S Affidabile e poco costoso
S
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z Accelerazione mediante campi e.m. variabili nel tempo:
accelerazione risonante
campo elettrico oscillante, in fase con il passaggio delle particelle
c il fascio presenta conseguentemente una struttura discontinua nella
coordinata longitudinale (“bunches”: gruppi di particelle vicine tra loro nella
coordinata longitudinale, separati da intervalli spopolati)
tre implementazioni fondamentali
c acceleratore lineare (LINAC): no B
traiettoria rettilinea
serie lineare di tubi di drift,
intervallati da “gap” acceleratrici
c (sincro)ciclotrone: B costante
traiettoria a spirale (ρ crescente)
elettrodi “a D”
frequenza di rivoluzione costante solo per
energie non relativistiche
c sincrotrone: B cresce ~ linearmente con E
traiettoria circolare (ρ costante)
una o più cavità acceleratrici, attraversate
ripetutamente dalle particelle
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Acceleratori lineari (LINAC)
c Le particelle devono essere schermate dal campo quando questo
è decelerante
c Acceleratori lineari per ioni (vengono attualmente utilizzati, nel
campo della fisica delle alte energie, come iniettori per
acceleratori circolari di alta energia)
c Struttura Wideroe (κ = 1; L < λ)
Ln
n
Ln = κ vn
v λ
T
=κ n
c 2
2
cresce al crescere di n
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n+1
dove: T = periodo
λ = lunghezza d'onda
κπ = sfasamento tra due gap successive
vn = velocità dello ione al centro della n-ma gap
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Se: L = lunghezza totale dell’acceleratore
K = energia cinetica finale
ΔK = guadagno in energia per gap (N = K/ΔK = numero di gaps)
m = massa del protone
A = numero atomico dello ione accelerato
L=
κ
ΔK
K3 λ
A mc 2 2
La lunghezza dei tubi di drift cresce al crescere della velocità, e
diventa proibitivamente grande abbastanza rapidamente
c e.g.: per un protone di en. cinetica K = 1 MeV (β = 4.6 10-2)
se νRF = 7 MHz
la particella percorrerà circa 1 m in mezzo ciclo RF
La via d’uscita da questo problema consiste nell’aumentare νRF, ma ad
alte νRF la struttura a tubi di drift aperti irradia una energia e.m.
sempre maggiore
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A sua volta, il problema della perdita di energia per emissione di
radiazione e.m. viene risolto racchiudendo la struttura a formare una
serie di cavità
Tali cavità possono essere disposte adiacenti una all’altra, e, scegliendo
κ = 2 (ossia gap tutte in fase tra loro), si ottiene che la corrente che
scorrerebbe nelle pareti divisorie tra una cavità e l’altra si annulla
Le pareti tra due cavità
adiacenti possono essere
eliminate
Modo π
(κ = 1)
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Modo 2π
(κ = 2)
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c Struttura Alvarez (κ = 2; frequenza ~ 102 ÷ 103 MHz; λ < L)
c Acceleratori lineari per elettroni
Già ad energie abbastanza piccole gli elettroni si muovono con β
praticamente uguale a 1 ⇒ la lunghezza dei tubi di drift rimane
costante
Per νRF sufficientemente elevate (e.g. νRF ~ 3 GHz), λ0~10 cm
L’idea fondamentale per particelle UR consiste nell’accelerare
queste ultime mediante onde e.m. progressive guidate
Onda stazionaria = sovrapposizione di due onde progressive (+z, -z)
Se la velocità di fase delle onde è uguale alla velocità delle particelle che
vengono “accelerate” l’onda che si propaga nella stessa direzione delle
particelle le “accelererà” in maniera continua (l’altra onda ha un effetto
medio nullo)
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Il problema è che i modi TM (con il campo elettrico parallelo alla
direzione di propagazione) in guide d’onda cilindriche o a sezione
rettangolare hanno velocità di fase sempre maggiore di c
Per ottenere una velocità di fase uguale alla velocità degli elettroni
(ve~c) il metodo più semplice consiste nell’utilizzare una cavità a sezione
variabile
Scegliendo i parametri a e b in maniera opportuna, la fase cambia da
cavità a cavità lungo l’acceleratore in maniera da dare una velocità di
fase efficace corrispondente a ve
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Il LINAC di Fermilab (400 MeV, protoni)
Side-coupled cavity LINAC
116 MeV → 401 MeV
Drift tube (Alvarez) LINAC
750 keV → 116 MeV
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Il LINAC di SLAC (e+e-)
Raffreddamento dei fasci mediante
radiazione di sincrotrone (necessita
di accumulatori ad anello)
Produce il fascio di e+
facendo collidere parte
del fascio originario di econ un opportuno bersaglio
SLC
SLC (SLAC Linear Collider)
Emax = 50 GeV (per fascio)
L = 2.5 1030 cm-2s-1
Può anche essere utiizzato come
stadio di iniezione per anelli di
accumulazione (PEP-II)
Ee- = 9 GeV
Collider
Ee+ = 3.1 GeV asimmetrico
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(Sincro)Ciclotrone
Nel limite NR
ωRF = ωrev
qBc 2 qB
=
E
M
Ekin
t
Principio di funzionamento del
focheggiamento verticale
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Uno dei primi ciclotroni
(Lawrence - 11” – 1 MeV)
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Il sincrociclotrone da 184” di Berkeley
340 MeV (protoni)
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Sincrotrone
c Facendo variare
β, or f (arb. units)
B
νRF
in maniera opportuna con E
l’orbita delle particelle rimane
stabile (ρ=cost), e le particelle
rimangono sincrone con la fase
del campo acceleratore
Bevatron
(Berkeley)
6 GeV
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ρ (arb. units)
B (arb. units)
E/Mc2 or time (arb.units)
Dato che l’orbita rimane stabile, il
campo magnetico necessario per
mantenere chiusa l’orbita deve
essere creato solo in corrispondenza
di essa
Ciò consente di realizzare macchine
acceleratrici di dimensioni anche
molto grandi (LEP, LHC: L ~ 27 km)
Il fascio di particelle viene
accelerato mediante una o più
cavità a RF (con questa geometria, l’effetto
betatronico fornisce un contributo assai minore, anche
se non completamente trascurabile)
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Bevatron (6 GeV)
Cockroft-Walton
(sorgente)
Alvarez linac
(iniettore)
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Sincrotrone: dinamica dei fasci
z Dato che le particelle compiono un numero molto elevato di rivoluzioni,
il problema di base è quello della stabilità dei fasci, ossia quello di
mantenere i fasci nella macchina con proprietà adeguate (intensità,
sezione trasversale) per tempi lunghi
Focheggiamento trasversale
c Correggere le inevitabili deviazioni dall’orbita ideale per particelle di
energia pari all’energia nominale del fascio, in modo da mantenere il
fascio su un’orbita stabile
c Ridurre il più possibile le dimensioni trasversali del fascio, specialmente
(per i collider) in corrispondenza delle regioni di interazione:
L= f k
N1 N 2
4π σ xσ y
Stabilità di fase (focheggiamento longitudinale, o in impulso)
c Il fatto che particelle di energie diverse possiedono frequenze di
rivoluzione diverse, in assenza di opportune condizioni, porterebbe ad
amplificare progressivamente lo sfasamento delle particelle dal picco
della tensione RF, finendo per distruggere la sincronia di accelerazione
e facendo così diminuire progressivamente l’ intensità del fascio
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Dinamica trasversale
z Sistema di riferimento
Focheggiamento
ρ = ρ(s) = raggio di curvatura (eventualmente locale)
r
x
R
y
s = lunghezza d’arco
(misurata sull’orbita)
tra un punto arbitrario
fissato Q dell’orbita
stessa e un punto
generico P di quest’ultima
(identifica la posizione di
P sull’orbita)
della traiettoria di riferimento (“orbita”, chiusa)
O
e distanza della stessa dall’asse y passante per
Q
il punto O(s)
s
ρ
= r(s) = distanza della traiettoria generica dall’asse y
P
passante per O(s)
= x(s) = r(s) – ρ(s) = coordinata radiale della traiettoria
Orbita
generica relativamente all’orbita
Assumiamo anche
= R(s,x,y) = raggio di curvatura (locale) della traiettoria
q>0
generica nel piano orizzontale
velocità diretta come l’asse s
= y(s) = coordinata ortogonale al piano dell’orbita
(coordinata “verticale”)
z Focheggiamento nel piano orizzontale (y=0)
R ( s , x, y ) =
p
;
qBy ( s, x, y )
R( s, x = 0, y = 0) = ρ ( s )
⎛ ∂By ⎞
ρ ( s)
∂R
dR ∂By
( s, x = 0, y = 0) =
( s, x = 0, y = 0) = −
⎜
⎟
∂x
dBy ∂x
By ( s, x = 0, y = 0) ⎝ ∂x ⎠ x =0
y =0
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Posto: B0 ( s ) By ( s, x = 0, y = 0)
n( s ) −
ρ ( s ) ⎛ ∂By ⎞
⎜
⎟ (indice di campo: dipende da s)
B0 ( s ) ⎝ ∂x ⎠ x =0
y =0
e omettendo per semplicità di notazione la dipendenza da s, l’ultima
espressione diventa:
∂R
( x = 0) = n
∂x
La condizione di stabilità dell’orbita nel piano orizzontale può essere
formulata come:
⎧< r ( x) per x > 0
R( x) ⎨
⎩> r ( x) per x < 0
Dato che, per x piccolo (x << ρ):
⎛ ∂R ⎞
R( x) = ρ + ⎜
⎟ x
x
∂
⎝
⎠ x =0
e dato che r = ρ + x, la condizione di focheggiamento nel piano
orizzontale diventa:
n <1
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N.B. in generale: n = n(s)
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
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Si noti che la condizione di focheggiamento orizzontale è soddisfatta
anche per n ≤ 0; per la precisione, quanto minore è n, tanto più “forte”
sarà l’effetto di focheggiamento orizzontale
Il caso n = 0 corrisponde in particolare alla condizione di campo omogeneo: si
parla allora di focheggiamento geometrico (nel piano orizzontale)
Se α è l’angolo di deviazione
dell’orbita generica da quella
di riferimento (nel punto in
cui avviene la deflessione), il
massimo scarto tra le due
orbite, per α << 1, vale αR
(dove R è il raggio dell’orbita,
supporta circolare)
La lunghezza d’onda dell’oscillazione
della traiettoria generica attorno a
quella di riferimento è uguale a 2πR
z Focheggiamento nel piano verticale (x=0)
Supponendo che:
Il campo magnetico non abbia componenti “s”
G
Nel piano dell’orbita di riferimento (y=0) sia: B ( s, x, y = 0) = By ( s, x)eˆ y
la forza di Lorentz sarà data da:
G
G G
F = qv ∧ B = − qvs By eˆx + qvs Bx eˆ y + q (vx By − v y Bx )eˆs
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Fy = qvs Bx
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La condizione di focheggiamento nel piano verticale è data da:
⎧< 0 per y > 0
Fy ⎨
⎩> 0 per y < 0
⇒
⎧< 0 per y > 0
Bx ⎨
⎩> 0 per y < 0
In quanto: vs > 0
q>0
⇒
∂ y Bx < 0
Per la seconda delle
hp formulate sopra
(Bx(y=0) = 0)
G G G
Ma da: ∇ ∧ B = 0 segue che: ∂ x By = ∂ y Bx , e quindi la condizione di
focheggiamento nel piano verticale diventa: ∂ x By < 0 , ovvero:
n>0
N.B. in generale: n = n(s)
Si noti infine che quanto maggiore è n, tanto più “forte” sarà
l’effetto di focheggiamento verticale
z Focheggiamento debole (B, n indipendenti da s)
In tali condizioni, entrambe le condizioni di focheggiamento (orizzontale
e verticale devono essere soddisfatte simultaneamente: y
0 < n <1
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S. Passaggio - Acceleratori di particelle
y
y
R
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Come già osservato, tale condizione è tuttavia una condizione di
focheggiamento debole in entrambi i piani
Si dimostra che la lunghezza d’onda delle oscillazioni dell’orbita generica
attorno a quella di riferimento (in entrambi i piani) sono sotto tali
condizioni sempre maggiori della lunghezza dell’orbita di riferimento
Inoltre, analogamente al caso del focheggiamento geometrico, lo scarto
massimo dell’orbita generica rispetto a quella di riferimento scala con
le dimensioni dell’orbita
Al crescere delle dimensioni della macchina
le dimensioni trasversali della camera a vuoto e
l’apertura dei magneti diventano molto grandi
(e i magneti diventano molto costosi)
All’inizio degli anni ’50 si stimava che l’energia
massima praticamente ottenibile con
sinrotroni a focheggiamento debole
fosse intorno ai 10 GeV
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S. Passaggio - Acceleratori di particelle
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z Focheggiamento forte (o “a gradiente alternato”)
Come si è visto, una condizione di focheggiamento forte nel piano
orizzontale (n << -1) è sinonimo di forte defocheggiamento nel piano
verticale, e viceversa (n >> 1)
Ciò nonostante, una sequenza di magneti caratterizzati
alternativamente da n << -1 e da n >> 1 può dar luogo a una
situazione complessivamente focheggiante in entrambi i piani
y
y
Se si apprestano opportune condizioni affinché ciò accada, è possibile
realizzare il campo magnetico necessario per:
ottenere un’orbita di riferimento chiusa
focalizzare attorno all’orbita di riferimento le traiettorie che si discostano
da quella ideale ( in entrambi i piani: orizzontale e verticale)
mediante l’impiego di magneti individualmente specializzati per l’una o
l’altra delle due funzioni indicate
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
33
Tali magneti sono, rispettivamente:
G
( x, y ) = By eˆy (uniforme in x e y )
B
dipoli:
assicurano che l’orbita di riferimento sia chiusa, ma non possiedono alcuna
funzione di focheggiamento (se non quella, molto debole, dovuta all’effetto di
focheggiamento geometrico nel piano orizzontale)
quadrupoli, rispettivamente con n << -1 e con n >> 1:
sono caratterizzati da un campo magnetico nullo sull’asse di simmetria (per
cui, a rigore: n = -∞ e n = +∞, rispettivamente); se disposti in maniera tale
che l’orbita di riferimento passi per tale asse, non hanno alcun effetto
sull’orbita di riferimento e svolgono soltanto una funzione di focheggiamento
(quando si consideri l’azione combinata di una successione di quadrupoli con
polarità alternate: il singolo quadrupolo, come già visto, focheggia in un piano
e defocheggia nel piano ortogonale)
s
:
x
s
:
x
Nuclei di ferro, sagomati come
iperboli equilatere nel piano x-y
G G
G
G
∇ ∧ B = 0 ⇒ B = −∇V
G
V ( x, y ) = axy ⇒ B ( x, y ) = −ayeˆx − axeˆy
B′ Caso focheggiante nel piano orizzontale
e defocheggiante nel piano verticale (n = -∞)
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∂By
∂x
=
∂Bx
= − a;
∂y
∂Bx ∂By
=
=0
∂x
∂y
Nel caso in figura: a < 0 (B’ > 0)
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
34
PEP-II
LER (e+: 3.1 GeV)
Sincrotroni
a gradiente
alternato
HER (e-: 9 GeV)
Quadrupoli
Dipoli
LEP (e+,e-: ~ 50 GeV)
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S. Passaggio - Acceleratori di particelle
35
Per discutere le condizioni sotto le quali uno schema di questo genere
possiede proprietà focheggianti in entrambi i piani trasversali, bisogna
innanzitutto:
specificare la struttura della successione di elementi magnetici lungo
l’orbita di riferimento
c tale struttura è tipicamente periodica, e consiste essenzialmente nella
ripetizione di una cella fondamentale, per cui si parla di “reticolo
magnetico”, o “magnetic lattice”
c la cella fondamentale costituita da dipoli e quadrupoli ha tipicamente la
struttura “FODO”, dove (con riferimento a uno dei due piani trasversali:
p.es. quello orizzontale):
F = quadrupolo Focheggiante
O = dipolo (dal punto di vista del focheggiamento equivale a un tratto di drift libero)
D = quadrupolo Defocheggiante
introdurre un linguaggio per la descrizione del moto nei due piani
trasversali, insieme con opportune approssimazioni
c Coordinate per descrivere il moto nei due piani trasversali (@ p fissato)
A.A. 2007-2008
dx
ds
dy
y; y ′ ds
Piano orizzontale: x; x′
Piano verticale:
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
36
c Considerando il moto (a p fissato) nelle coordinate orizzontali (x, x’), la
sola componente del campo magnetico che ci interessa è quella verticale
(By), il cui valore dipende (linearmente, in un quadrupolo) soltanto da x (il
moto nei due piani trasversali risulta così disaccoppiato)
~
c Se lo spessore l dei quadrupoli è piccolo rispetto al raggio di curvatura R
della traiettoria da essi indotto, il campo magnetico sulla traiettoria è
uniforme e il suo valore può quindi essere considerato come funzione
della coordinata xin della traiettoria all’ingresso nel quadrupolo
(approssimazione di lente sottile: xout = xin)
cost (se p è fissato)
By ( x) = B′x
p
ρ
B
(rigidità magnetica)
(
)
p = qBy ( x) R = qB′xR
q
l
θ =
R
R
qB′l
B′l
xin =
x
p
( B ρ ) in
Ovvero, tenendo conto dei segni:
′ − xin′ −
Δx′ xout
A.A. 2007-2008
B′l
xin
( Bρ )
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
37
c L’effetto di un quadrupolo sulle coordinate (x, x’) può quindi essere
rappresentato come:
⎛ 1 0⎞
⎛x⎞
⎜ 1
⎟⎛ x ⎞
=
⎜ x′ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠out ⎜⎜ − f 1 ⎟⎟ ⎝ x′ ⎠in
⎝
⎠
con l’identificazione: f ( Bρ )
B′l
(distanza focale)
f > 0 nel caso focheggiante
f < 0 nel caso defocheggiante
c In tale linguaggio, l’evoluzione di una traiettoria nello spazio di drift (o
di campo magnetico uniforme) di lunghezza L tra due quadrupoli
consecutivi è rappresentata da:
⎛x⎞
⎛ 1 L ⎞⎛ x ⎞
=
⎜ x′ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠out ⎝ 0 1 ⎠⎝ x′ ⎠in
c Tale linguaggio consente inoltre di esperimere l’evoluzione di una
traiettoria tra due punti qualsiasi dell’asse longitudinale s
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
38
⎛ x⎞
⎛ x⎞
M
s
s
=
(
,
)
1 2 ⎜
⎜ x′ ⎟
⎟
⎝ ⎠s2
⎝ x′ ⎠s1
dove M(s1,s2) è la matrice 2×2 che si ottiene moltiplicando tra loro le
matrici corrispondenti a tutti gli elementi magnetici (quadrupoli, dipoli,
spazi di drift) compresi tra s1 e s2:
M (s1 , s2 ) = ∏ M i
i
NB: det(M) = 1, dato che det(Mi) = 1 ∀i
c Per una cella FODO, con quadrupoli F e D aventi uguale modulo della
distanza focale f e con uguali spazi di drift L, la matrice M
corrispondente all’attraversamento della cella è:
M FODO
⎛1
⎛ 1 L ⎞⎜
=⎜
⎟⎜ 1
0
1
⎝
⎠⎜ f
⎝
0⎞
⎛ 1
1
L
⎛
⎞
⎟
⎜ 1
⎜
⎟
1 ⎟⎟ ⎝ 0 1 ⎠ ⎜⎜ −
⎠
⎝ f
⎛ L ⎛ L ⎞2
L2 ⎞
0 ⎞ ⎜1 − − ⎜ ⎟ 2 L + ⎟
f ⎝f⎠
f ⎟
⎟=⎜
1 ⎟⎟ ⎜
L
L ⎟
⎟⎟
1+
− 2
⎠ ⎜⎜
f
f ⎠
⎝
c In un sincrotrone, indicando con M la matrice che rappresenta il
trasporto su una rivoluzione completa, la condizione di stabilità per le
oscillazioni trasversali può essere espressa come la richiesta che la
quantità:
⎛x⎞
Mn⎜ ⎟
rimanga finita per n arbitrariamente grande
⎝ x′ ⎠in
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
39
Esprimendo la generica condizione iniziale mediante i due autovettori V1 e
V2 di M:
⎛x⎞
MVi = λiVi
⎜ x′ ⎟ = AV1 + BV2 ;
⎝ ⎠in
si ha che:
⎛ x⎞
M n ⎜ ⎟ = Aλ1nV1 + Bλ2nV2
⎝ x′ ⎠in
e quindi la condizione di stabilità è equivalente alla richiesta che λ1n e λ2n
non crescano con n
Poiché M ha determinante 1, i due autovalori sono uno il reciproco
dell’altro (λ2 = 1/λ1), ovvero:
⎧ λ1 = eiμ
dove μ è in generale un numero complesso
⎨
− iμ
⎩λ2 = e
La condizione necessaria affinché né λ1n né λ2n cresca con n è quindi che μ
sia reale
Vediamo ora come tale condizione si traduce in una richiesta su M e i suoi
parametri
Gli autovalori di M devono soddisfare: det( M − λ I ) = 0
ovvero: λ 2 − ( Tr M ) λ + det M = λ 2 − ( Tr M ) λ + 1 = 0 (det M = 1)
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
40
Tale equazione implica che sia: λ + λ −1 = Tr M
il che, nella notazione precedentemente adottata, si traduce in:
eiμ + e − iμ =2cos μ = Tr M
La condizione di stabilità (μ∈) si riscrive quindi nella forma:
1
Tr M ≤ 1
2
c Nel caso particolare di un reticolo costituito dalla ripetizione periodica
della cella FODO, usando l’espressione di M già ricavata sopra, tale
condizione diventa:
L
≤1
2f
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
41
Magneti
z Magneti convenzionali (a nucleo di ferro): B ≤ 2T
Dipolo
Quadrupolo
Sestupolo
A.A. 2007-2008
Magnete
a funzioni
combinate
(focheggiamento
debole)
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
42
z Magneti superconduttori
HERA
dipolo: B = 5T
LHC
dipoli: B = 8.3T
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
43
Dinamica trasversale
Oscillazioni di betatrone
pS
( Bρ ) q
z Equazioni del moto (a p fissato (p = pS): (Bρ)=cost)
(equazione di Hill)
Schematizzazione
sincrotrone a gradiente
alternato:
ρ(s), B’(s) cost. a tratti
Kx = Kx(s), in quanto
B’ = B’(s) e ρ = ρ(s)
1/ρ ≠ 0: dipoli
B’ ≠ 0: quadrupoli
Ky = Ky(s), in quanto
B’ = B’(s)
Focheggiamento
geometrico
Quando un quadrupolo
focheggia in x defocheggia in y,
e viceversa
ρ(s) = raggio di curvatura
z Equazione di Hill
dell’orbita (ideale: p = pS)
Simile all’equazione del moto di un oscillatore armonico, ma con una
“costante” di richiamo Ki(s) che dipende da s (i = x, y)
Per un acceleratore circolare, le Ki(s) sono periodiche:
A.A. 2007-2008
Ki(s + C) = Ki(s)
(C = lunghezza dell’orbita ideale)
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
44
z Soluzione generale dell’equazione di Hill
x( s ) = A w( s ) cos[ψ ( s ) + δ ]
Costanti di integrazione
(condizioni iniziali)
Simile alla soluzione del moto armonico, ma:
c Ampiezza dipendente da s
c Fase che non evolve linearmente con s
Determinazione di w(s) e ψ(s):
x′′ + K x x =
A (2 w′ψ ′ + wψ ′′)sin(ψ + δ ) +
+ A ( w′′ − wψ ′2 + K x w)cos(ψ + δ ) = 0
affinché w e ψ siano indipendenti da δ
2 w′ψ ′ + wψ ′′ = 0 ⇒ 2 ww′ψ ′ + w2ψ ′′ = ( w2ψ ′)′ = 0
w′′ − wψ ′2 + K x w = 0
w3 ( w′′ + K x w) = h 2
A.A. 2007-2008
h
ψ ′( s ) = 2
w (s)
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
h = costante di
integrazione
arbitraria
45
L’espressione trovata per x(s) può alternativamente essere scritta
nella forma:
x( s ) = w( s )( A1 cosψ ( s ) + A2 sinψ ( s ))
⎛
⎛
Ah ⎞
Ah ⎞
x′( s ) = ⎜ A1w′( s ) + 2 ⎟ cosψ ( s ) + ⎜ A2 w′( s ) − 1 ⎟ sinψ ( s )
w( s ) ⎠
w( s ) ⎠
⎝
⎝
da cui, posto:
s
h
ψ ( s ) ≡ ∫ 2 ds ⇒ ψ ( s0 ) = 0
w (s )
s0
x( s0 ) = x0
x′( s0 ) = x0′
w( s0 ) = w0
w′( s0 ) = w0′
si ottiene che:
x0
w0
x′ w − x w′
A2 = 0 0 0 0
h
A1 =
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
46
Sostituendo ora queste espressioni per A1,2 nelle espressioni di x(s)
e x’(s), si ottiene che:
x( s0 + C )
w w′
⎡
⎤
= ⎢ cos Δψ C − 0 0 sin Δψ C ⎥ x0 +
h
⎣
⎦
⎡ w02
⎤
+ ⎢ sin Δψ C ⎥ x0′
⎣ h
⎦
⎡ ⎛ w0 w0′ ⎞ 2
⎤
+
1
⎢ ⎜
⎥
⎟
h
⎝
⎠
sin Δψ C ⎥ x0
x′( s0 + C ) = − ⎢
2
w0
⎢
⎥
⎢
⎥
h
⎣
⎦
w w′
⎡
⎤
+ ⎢cos Δψ C + 0 0 sin Δψ C ⎥ x0′
h
⎣
⎦
dove si è imposto che sia w(s0+C) = w0 e w’(s0+C) = w’0, e dove si è
posto:
s0 + C
h
Δψ C ≡ ∫ 2 ds (avanzamento di fase su un’intera
w (s )
s0
rivoluzione)
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
47
Si noti che in tutte le espressioni ottenute la funzione w2(s) e la sua
derivata w(s)w’(s) scalano con la costante di integrazione arbitraria h
c Poiché ciò che si osserva è il moto della particella (e in particolare il suo
avanzamento di fase su un’intera rivoluzione ΔψC), la scelta di un diverso
valore di h conduce semplicemente a un diverso valore per la funzione
w2(s), scalato per un fattore di h
È quindi opportuno introdurre nuove variabili, dette “parametri di
Courant-Snyder”:
w2 ( s )
β(s) = “funzione di ampiezza”
β ( s) h
(rimuove la dipendenza
fittizia da h)
β′
1 d β ( s)
α ( s) −
=−
2 ds
2
1 + α 2 ( s)
γ ( s) β ( s)
dove β(s) deve soddisfare l’equazione:
2 ββ ′′ − β ′2 + 4 K x β 2 = 1
(la dipendenza da h scompare)
[ K x ] = [L]−2 ⇒ [ β ] = [L]
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
48
In termini dei parametri di Courant-Snyder la soluzione generale
dell’equazione del moto si scrive:
x( s ) = A β ( s ) cos(ψ ( s ) + δ )
([ A] = [L]1 2 )
dove nell’ampiezza si è riassorbita la dipendenza da h nella costante
di integrazione A, e dove:
1
ψ ′( s ) =
β (s)
Oltre a descrivere la dipendenza da s dell’ampiezza delle
oscillazioni, β(s) ha anche il significato di una lunghezza d’onda
locale (β(s) = λ)
L’avanzamento di fase tra due posizioni longitudinali qualsiasi s1 e s2
è quindi dato univocamente da:
s2
ds
β (s)
s1
cosicché il numero di oscillazioni per una rivoluzione completa è:
1
ds
ν=
“Tune” dell’accumulatore
2π v∫ β ( s )
Δψ ( s1 → s2 ) = ∫
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
49
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
50
z Invariante di Courant-Snyder
Nella soluzione dell’equazione del moto trovata poc’anzi:
x( s ) = A β ( s ) cos(ψ ( s ) + δ )
la costante A può essere espressa in termini di x(s) e x’(s) eliminando
le funzioni trigonometriche
Si noti infatti che la combinazione αx + βx’ e’ data da:
α ( s ) x( s ) + β ( s ) x′( s ) = − A β ( s ) sin(ψ ( s ) + δ )
per cui, quadrando e sommando le due espressioni per x e per αx + βx’
si ottiene:
A2 = γ ( s ) x 2 ( s ) + 2α ( s ) x( s ) x′( s ) + β ( s ) x '2 ( s )
Invariante di Courant-Snyder
Per una data traiettoria, il valore di A è fissato (non dipende da s) e
l’espressione dell’invariante di Courant-Snyder descrive, per ogni
posizione s, un’ellissi nel piano x’ vs x
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
51
Poiché β (e quindi anche α e γ) dipende da s, la forma e l’orientamento
dell’ellissi associata (per una data traiettoria: A fissato) ad ogni
posizione longitudinale s lungo l’orbita varieranno in funzione di s
ma...
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
52
Ad ogni attraversamento della stessa posizione longitudinale s, la
particella considerata (quella corrispondente alla traiettoria fissata)
si troverà (nel piano x’ vs x) sulla stessa ellissi
c in generale in punti diversi della stessa per diversi consecutivi
attraversamenti della posizione longitudinale s (a meno che il “tune”
dell’accumulatore non sia intero, condizione che però in generale si cerca
di evitare in quanto dà luogo a instabilità)
Tutte le ellissi associate a qualunque posizione longitudinale s, pur
avendo forma e orientazione diverse, hanno però tutte la stessa
area
c infatti l’area di un’ellissi descritta dall’equazione:
ax 2 + 2bxy + cy 2 = d
πd
è data da:
ac − b 2
che nel nostro caso diventa:
π A2
βγ − α 2
= π A2
Quindi l’area racchiusa all’interno della traiettoria di una certa
particella (non accelerata!) nel piano x’ vs x è costante
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
53
z Emittanza
Passando ora a considerare non più una singola particella, ma l’intero
fascio (o perlomeno un bunch del fascio), costituito da particelle con
traiettorie diverse (diversi valori di A e δ), ci chiediamo quale sia
l’estensione dell’area nello spazio x’ vs x occupata dal fascio stesso
Questa quantità è denominata emittanza ed è indicata di solito con il
simbolo ε
A differenza di β(s), che è definita univocamente dall’ottica
dell’accumulatore, l’emittanza è una proprietà del fascio (del modo in
cui esso è stato preparato, a partire dalla sorgente) ovvero più
precisamente della distribuzione dei valori di A e δ per le particelle
del fascio
c Nota: nel caso di un fascio di elettroni, l’emittanza è sostanzialmente
determinata dai processi di emissione di radiazione di sincrotrone
In pratica, il contorno del fascio nel piano x’ vs x (∀ s) può essere
considerato essere un’ellissi che racchiuderà al suo interno una
determinata frazione delle particelle del fascio
ε
= γ x 2 + 2α xx′ + β x′2
π
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
54
Per definire più precisamente la frazione di particelle del fascio
contenuta all’interno dell’ellissi di area ε, dobbiamo fare un’ipotesi
circa la forma della distribuzione delle particelle nel piano x’ vs x
Per una distribuzione gaussiana, che è la scelta naturale per un
fascio di elettroni (la radiazione di sincrotrone dà luogo a una
distribuzione di questo tipo se la pardita di particelle del fascio è
trascurabile) e costituisce una ragionevole approssimazione anche
nel caso di un fascio di particelle più pesanti:
x2
− 2
1
n( x) dx =
e 2σ dx
2πσ
poiché le traiettorie nel piano αx + βx’ vs x sono circolari (v. sopra),
la distribuzione sarà gaussiana anche nella coordinata αx + βx’, con la
stessa deviazione standard
n( x,α x + β x′) dx d (α x + β x′) =
1
2πσ 2
e
−
x 2 + (α x + β x′ ) 2
2σ 2
dx d (α x + β x′)
Se ora passiamo alle coordinate polari:
r 2 = x 2 + (α x + β x′) 2
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
55
La distribuzione diventa:
n(r ,θ )r dr dθ =
1
2πσ 2
e
−
r2
2σ 2
r dr dθ
Se definiamo un raggio a entro il quale sia contenuta una frazione F
delle particelle del fascio, allora:
F=
2π a
a
0 0
0
∫ ∫ nr dr dθ = ∫ e
−
r2
2σ 2
r dr
σ2
ovvero, risolvendo per a:
a 2 = −2σ 2 ln(1 − F )
Moltiplicando per β l’espressione dell’ellissi corrispondente
all’emittanza ε si trova:
βε
= x 2 + (α x + β x′) 2
π
e se questa emittanza è ora definita come l’area nel piano x’ vs x che
contiene una frazione fissata F delle particelle del fascio, allora
dovrà essere:
βε
= a2
π
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
56
ossia:
βε = πα 2 = −2πσ 2 ln(1 − F )
ovvero ancora:
ε =−
2πσ 2
β
ln(1 − F )
Una possibile scelta di F (v. PDG) è F=39%, per la quale si ha:
πσ 2
ε=
β
z Luminosità
L= f k
L= f k
A.A. 2007-2008
N1 N 2
4π σ xσ y
N1 N 2
4 ε x β x*ε y β y*
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
57
Dinamica longitudinale
Stabilità di fase - Oscillazioni di sincrotrone
z Schematizzazione del processo di accelerazione (LINAC o accelerazione
risonante per un sincrotrone)
Le particelle del fascio attraversano un certo numero di cavità risonanti
c Una lunga sequenza di cavità disposte lungo una traiettoria rettilinea nel
caso di un LINAC
c Eventualmente anche una sola cavità alla quale le particelle ritornano
ripetutamente grazie all’applicazione di un campo magnetico dipolare che
determina un’orbita chiusa nel caso di un sincrotrone
Ignorando per il momento la dinamica trasversale del fascio, ciò implica che
esiste una particella ideale che risponde perfettamente al piano di accelerazione
c Si tratta di quella particella che ad ogni istante di tempo possiede
esattamente l’energia e la posizione longitudinale lungo l’orbita ideale tali da
ricevere ad ogni attraversamento di una cavità l’esatta quantità di energia
per rimanere in perfetto accordo con il piano di accelerazione
c Il punto è che tale condizione è per definizione ideale: un fascio reale sarà
costituito ad ogni istante da una distribuzione di energie e posizioni
longitudinali
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
58
z Il problema che si pone è quindi un problema di stabilità
Sotto quali condizioni una particella che a un certo istante fissato t0 ha
energia E(t0) e posizione longitudinale s(t0) manterrà ad ogni successivo
istante t un’energia E(t) e una posizione longitudinale s(t) “prossime”
all’energia Es(t) e alla posizione longitudinale ss(t) della particella ideale?
Intuitivamente, ci possiamo aspettare che tale situazione si verifichi allorché
|E(t0) - Es(t0)| e |s(t0) - ss(t0)| sono sufficientemente piccoli
Tale condizione, che dobbiamo comunque rendere quantitativa, pur essendo
necessaria, non è tuttavia sufficiente
c come vedremo, affinché la situazione di stabilità enunciata sopra si
verifichi (per |E(t0) - Es(t0)| e |s(t0) - ss(t0)| sufficientemente piccoli) è
necessario che la posizione longitudinale della particella ideale soddifi un
opportuno criterio
Il principio che garantisce che, per un’opportuna scelta di ss(t0), esistano
valori di E(t0) e di s(t0) tali che la condizione di stabilità sia soddisfatta si
indica con il nome di principio di stabilità di fase
z Quando le condizioni per la stabilità del moto longitudinale sono
soddisfatte, le particelle prossime (in E, s) alla particella ideale
oscilleranno attorno ai valori Es, ss della particella ideale
Oscillazioni di sincrotrone
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
59
z Come già detto sopra, ignoreremo, nel seguito i gradi di libertà
trasversali (x,y) del moto delle particelle del fascio (già trattati, in
maniera autonoma, nella sezione precedente)
Ciò è possibile in virtù del fatto che la frequenza delle oscillazioni di
sincrotrone (longitudinali) è in generale molto più piccola di quella delle
oscillazioni di betatrone
z Per semplificare il discorso, esamineremo in dettaglio il caso di un
sincrotrone equipaggiato con una sola cavità a RF, che supporremo avere
uno spessore longitudinale infinitesimo
Sia V(t) = V sin ωRFt
la legge oraria con cui varia con t la d.d.p. tra le due estremità longitudinali
della cavità
Siano tS1, tS2, ..., tSn gli istanti(*) in cui la particella ideale attraversa la cavità
la prima volta, la seconda volta, ..., l’n-ma volta
La fase della d.d.p. nella cavità vista dalla particella ideale in corrispondenza
del suo n-mo attraversamento della cavità stessa sarà quindi:
ψ ns = ωRFtns
(*) In
conseguenza dell’ipotesi semplificatrice formulata in merito allo spessore longitudinale
infinitesimo della cavità, il tempo di attraversamento della cavità può essere trascurato
rispetto al periodo di oscillazione del campo nella cavità stessa
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
60
Indicando con ωR la pulsazione di rivoluzione della particella ideale, la scelta
di una pulsazione ωRF tale che:
ωRF = hωR
(dove h è una costante intera positiva) assicura che la particella ideale
attraversi la cavità acceleratrice sempre in corrispondenza della stessa fase
del campo elettrico(*) (modulo 2π) (da cui l’apice S per la particella ideale, o
“sincrona”)
Siano t1, t2, ..., tn gli istanti in cui una generica particella (non ideale)
attraversa la cavità la prima volta, la seconda volta, ..., l’n-ma volta, e sia
ψn = ωRFtn la fase della d.d.p. nella cavità vista da tale particella in
corrispondenza del suo n-mo attraversamento della cavità stessa
Indicando con τSn+1 l’intervallo temporale che intercorre tra l’n-mo e l’(n+1)-
mo attraversamento della cavità per la particella ideale (ossia il periodo di
rivoluzione della particella ideale), e con τn+1 = (τS+Δτ)n+1 l’analoga quantità per
una generica particella (non ideale), le fasi della d.d.p. per due
attraversamenti consecutivi della cavità per la particella generica saranno
S
legate tra loro dalla relazione: ψ n+1 = ψ n + ωRF (τ + Δτ ) n+1
⎛ Δτ ⎞
= ψ n + ωRFτ nS+1 + ωRFτ nS+1 ⎜ S ⎟
⎝ τ ⎠n+1
(*) In
un sincrotrone, la frequenza di rivoluzione della particella ideale (e con essa, anche la
frequenza di oscillazione del campo elettrico nella cavità acceleratrice) non è costante, ma varia
nel tempo come già indicato alla trasp. 25. Per semplificare la notazione, non indicheremo
esplicitamente la dipendenza temporale di ωRF, ma ne terremo comunque conto.
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
61
Indicando con TSn l’intervallo temporale che intercorre tra il primo e l’n-mo
attraversamento della cavità da parte della particella ideale, ossia:
n
T = ∑τ kS
S
n
⇒
k =2
TnS+1 = TnS + τ nS+1
risulta conveniente sfruttare la circostanza già menzionata che la fase della
d.d.p. per tutti gli attraversamenti della cavità da parte della particella
ideale è la stessa; a tale scopo, sostituiamo alla fase ψn la fase “ridotta” φn,
definita come:
φn ψ n − ωRFTnS
cosicché, per la particella ideale:
φns = ψ 1s ∀n
ossia φS non dipende da n
In termini della fase “ridotta” φn, la relazione tra le fasi della d.d.p. per due
attraversamenti consecutivi della cavità per la particella generica sarà
quindi:
⎛ Δτ ⎞
φn+1 = φn + ωRFτ nS+1 ⎜ S ⎟
⎝ τ ⎠ n+1
La condizione di sincronia ωRF = hωR assicura che la quantità ωRFτSn+1 non
dipenda da n (v. anche nota alla trasp. precedente) e sia un multiplo intero di
2π (“numero armonico”); viceversa, la quantità (Δτ/τS)n+1 dipende
effettivamente da n
A.A. 2007-2008
S. Passaggio - Acceleratori di particelle
62
La quantità (Δτ/τS)n+1, relativa alla particella generica, può essere espressa in
termini della differenza ΔEn+1 = En+1 – ESn+1 tra l’energia En+1 di tale particella
e l’energia ESn+1 della particella ideale
c Infatti, indicando con LS la lunghezza dell’orbita della particella ideale(*)
e con vS la sua velocità (supposta costante lungo l’orbita, oppure se ne
prende il valor medio), e con L, v le analoghe quantità per la particella
generica, si ha:
LS
S
τ = S
v
e quindi: Δτ ΔL Δv
=
−
τ S LS v S
dove ΔL = L – LS e Δv = v – vS
c Per quanto riguarda Δv, dall’espressione dell’impulso p = mcβγ della
particella, si ricava che: Δv
1 Δp
=
v S ( γ S )2 p S
dove le quantità con l’apice S si riferiscono alla particella ideale e si è
assunto che le deviazioni di L e p da LS e pS siano piccole rispetto a LS e
pS rispettivamente
(*) In
assenza di oscillazioni di betatrone (abbiamo già detto che in questa sede tratteremo i
gradi di libertà longitudinali in maniera disacoppiata da quelli trasversali)
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63
c Osserviamo a questo punto che, in generale, anche la quantità ΔL/LS
dipende dal valore di Δp
In un acceleratore circolare, l’orbita di una particella di impulso p ≠ pS
differisce da quella della particella ideale(*)
La distanza (nel piano trasversale orizzontale) dell’orbita della particella di
impulso p da quella della particella ideale (pS) è funzione della posizione
longitudinale s e si parametrizza attraverso una funzione D(s) (funzione di
dispersione in impulso) come verrà precisato nella trasparenza successiva
L’origine fisica di tale effetto risiede nel fatto che il campo-guida
dell’acceleratore circolare (quello uniforme a tratti dei suoi magneti dipolari)
deflette la traiettoria di una particella di impulso p > pS di un angolo inferiore
rispetto a quello per cui è deflessa la traiettoria della particella ideale (pS)
Scriviamo tale dipendenza come:
(*) Più
ΔL
Δp
α
=
LS
pS
(α = “momentum compaction
factor”)
Cogliamo l’occasione per aprire una parentesi e accennare al fatto che, oltre a
tale effetto (localizzato nei magneti dipolari dell’acceleratore), l’esistenza di
particelle di impulso p≠pS introduce effetti (localizzati negli elementi
focalizzanti del reticolo magnetico) analoghi alle aberrazioni cromatiche
nell’ottica convenzionale: la dipendenza del potere focalizzante dei quadrupoli
dall’impulso della particella ha come conseguenza una dipendenza dall’impulso
del “tune” delle oscillazioni trasversali (di betatrone); il parametro che
quantifica tale relazione è detto “cromaticità”, e la compensazione di tale
fenomeno è realizzata mediante l’inserimento di elementi non lineari
(sestupoli) nel reticolo magnetico (fin qui lineare) dell’acceleratore
precisamente, il moto generale di una particella di impulso longitudinale p ≠ pS è costituito
da oscillazioni di betatrone trasversali attorno a un’orbita di lunghezza L ≠ LS.
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64
c Più in dettaglio, per Δp/pS << 1, l’equazione del moto nella coordinata
trasversale orizzontale x per la generica particella di impulso p ≠ pS
differisce da quella della particella di impulso pS (v. trasp. 44) solo per la
comparsa di un termine non dipendente da x, che rende l’equazione non
omogenea:
⎡ 1
B′ ⎤
1 Δp
x′′ + ⎢ 2 +
x
=
ρ pS
( B ρ ) ⎥⎦
⎣ρ
dove ρ indica il raggio di curvatura (locale!) dell’orbita ideale, e:
pS
( Bρ ) q
Tale termine si annulla ( oltre che, come ci si può aspettare, per p = pS)
ovunque sia 1/ρ = 0: ciò significa che l’effetto di p ≠ pS sulla traiettoria trae
origine (in prima approx) solo dai tratti che passano attraverso i dipoli del
reticolo
c La soluzione generale di tale equazione sarà esprimibile come:
x( s ) = xh ( s ) + xi ( s )
soluzione generale dell’equazione
omogenea associata:
soluzione particolare dell’equazione
non omogenea
xh ( s ) = A β ( s ) cos(ψ ( s ) + δ )
scala con Δp/pS:
Δp
1
xi ( s ) = D( s ) S
(ψ ′( s ) =
)
p
β ( s)
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65
c La funzione D(s) (funzione di dispersione) è quindi una soluzione
particolare dell’equazione:
⎡ 1
B′ ⎤
1
D′′ + ⎢ 2 +
D
=
ρ
( B ρ ) ⎥⎦
⎣ρ
e non dipende quindi da p (nell’approx.: Δp/pS << 1)
c Si dimostra che esiste sempre una soluzione chiusa (D(s+LS) = D(s)) di
tale equazione, che indicheremo con DC(s)
c La soluzione particolare dell’equazione non omogenea in x che è
proporzionale a DC(s):
Δp
xi ( s ) = DC ( s ) S
p
rappresenterà quindi l’orbita (traiettoria di riferimento) della particella
di impulso p ≠ pS
c Il “momentum compaction factor” α si ottiene osservando che la
lunghezza LS dell’orbita ideale (p = pS) e la lunghezza L dell’orbita per
p ≠ pS sono esprimibili rispettivamente come:
⎫
⎪
Δp ⎞ ⎪⎪
⎛
DC
1 DC ( s )
ΔL ⎛ 1 DC ( s ) ⎞ Δp
(
)
D
s
C
S ⎟
α
ds
ds
⇒
=
⇒
=
=
⎜
⎬
⎜
⎟
p
LS ⎝ LS v∫ ρ ( s ) ⎠ p S
LS v∫ ρ ( s )
ρ
L = v∫ ⎜ 1 +
⎟ds ⎪
ρ (s) ⎟ ⎪
⎜
⎜
⎟ ⎪
Per Δp/pS << 1, α non dipende da p (per pS fissato),
⎝
⎠ ⎭
ma può dipendere da pS: α = α(pS) = α(γS)
LS = v∫ ds
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66
c In conclusione, mettendo insieme le due relazioni che esprimono
rispettivamente Δv e ΔL in termini di Δp, otteniamo infine che:
⎡
⎤
η (γ S ) ΔE
Δτ ⎢ 1
S ⎥ Δp
S Δp
=
− α (γ ) S = η (γ ) S = S 2 S
2
S
S
⎢
⎥p
τ
p
(β ) E
γ
(
)
⎣
⎦
dove:
vS
S
β c
1
η (γ S ) S 2 − α (γ S ) (slip factor)
(γ )
Il segno dello “slip factor” dipende dal valore dell’impulso pS della
particella ideale e determina le condizioni sotto le quali le particelle di
impulso p ≠ pS prossimo a p compiono oscillazioni di sincrotrone stabili
attorno a pS
c Il valore di γS per il quale si ha η(γS) = 0, ossia per il quale:
α (γ S ) =
1
(γ S ) 2
si indica con il simbolo γt
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Sincrotrone: synopsis
Per concludere, elenchiamo in maniera qualitativa i processi e i fenomeni
che entrano in gioco nella produzione di un fascio accumulato (per es. di
elettroni)
Suddivideremo tali fenomeni in tre categorie:
Processi fondamentali (a singola particella)
c sono responsabili in maniera primaria per le proprietà intrinseche di un
fascio accumulato
c si ottengono nell’approssimazione di particelle indipendenti (ogni
elettrone si muove come se gli altri elettroni non ci fossero)
Effetti collettivi (a singolo fascio)
c dovuti all’interazione, diretta o indiretta, tra le particelle appartenenti
allo stesso fascio
c interazioni tra gli elettroni di uno stesso bunch
c interazioni tra diversi bunch nello stesso fascio
Effetti a due fasci (per i collider)
c interazioni tra bunch appartenenti ai due fasci circolanti in un collider
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z Processi fondamentali (a singola particella)
Un breve impulso di elettroni viene iniettato in una camera a vuoto
immersa in un campo-guida magnetico più o meno circolare
Il campo magnetico possiede proprietà focheggianti, che guidano gli
elettroni verso un’orbita ideale e fanno loro compiere oscillazioni
trasversali (radiali e verticali) attorno alla traiettoria ideale chiusa
Durante ogni rivoluzione, gli elettroni perdono una (piccola) frazione
della loro energia tramite emissione di radiazione di sincrotrone;
tale perdita di energia viene compensata mediante un corrispondente
guadagno in energia fornita da una o più cavità a RF
c per un fascio di particelle più pesanti (per es. protoni), questo fenomeno
(e quelli ad esso associati: smorzamento e raffreddamento da radiazione)
sono sostanzialmente trascurabili
Il campo acceleratore oscillante raccoglie gli elettroni in bunches
circolanti, entro i quali i singoli elettroni oscillano in posizione
longitudinale e in energia relativamente a una particella ideale di
riferimento al centro del bunch (quella che possiede la fase ideale
relativamente al campo acceleratore)
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La combinazione di:
c perdita di energia per radiazione di sincrotrone
c guadagno di energia dalle cavità a RF
dà luogo a un lento smorzamento di tutte le ampiezze di oscillazione
(longitudinali e trasversali); il fascio si “raffredda”; la traiettoria di
ogni elettrone tende verso quella di un’ideale particella di
riferimento al centro del bunch, la quale (in condizioni di fascio
accumulato) si muove con energia costante lungo l’orbita di progetto
Lo smorzamento di tutte le ampiezze di oscillazione viene di fatto
arrestato dalla continua eccitazione delle oscillazioni da parte del
“rumore” nell’energia degli elettroni; l’origine di tale “rumore” risiede
sostanzialmente nella natura discontinua del processo di emissione di
radiazione (ossia nelle fluttuazioni quantistiche del processo di
perdita di energia)
In condizioni stazionarie, si raggiunge un equilibrio dinamico tra i due
processi di:
c eccitazione quantistica
c smorzamento radiativo
e si raggiunge così una distribuzione statisticamente stazionaria
delle ampiezze di oscillazione trasversali e delle fasi degli elettroni
in un bunch
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In tali condizioni, il bunch assume l’aspetto di un tratto di nastro
circolante, con una dimensione e una forma stazionarie, e una
distribuzione spaziale gaussiana sia nelle due coordinate
trasversali, sia in quella longitudinale
c La forma del bunch sarà diversa per ogni posizione azimutale lungo
l’orbita, in quanto le proprietà focheggianti del campo magnetico variano
da punto a punto; ma in condizioni stazionarie il bunch avrà la stessa
forma ad ogni successivo attraversamento della stessa posizione
azimutale
Per ogni coordinata esiste un’ampiezza di oscillazione massima al di
sopra della quale l’elettrone non rimane più catturato nel bunch;
l’intervallo di ampiezze stabili in ogni coordinata viene denominato
“apertura” (“aperture”)
c Quando qualche disturbo aumenta l’ampiezza per una qualsiasi coordinata
oltre il limite di apertura, il corrispondente elettrone viene perso dal
bunch
c Il limite di apertura per ogni coordinata può essere dovuto a:
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la presenza di un oggetto fisico (collimatore) che intercetta le
particelle con ampiezza eccessiva
l’esistenza di effetti non-lineari nelle forze di focheggiamento
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71
Se ci si limita all’approssimazione di particelle indipendenti, i
fenomeni “di disturbo” che possono dar luogo alla perdita di elettroni
accumulati come descritto sopra sono essenzialmente:
c lo scattering o la perdita di energia in collisioni con le molecole
del gas residuo nella camera a vuoto
lo scattering sul gas residuo può, in linea di principio, modificare
anche la forma del bunch accumulato (e aumentarne la dimensione
spaziale); tuttavia, per elettroni relativistici in presenza di pressioni
molto basse questo effetto è generalmente trascurabile
c larghe fluttuazioni statistiche nel fenomeno dell’eccitazione
quantistica delle ampiezze di oscillazione
z Effetti collettivi (a singolo fascio)
Quando il numero di elettroni in un bunch circolante è sufficientemente
elevato (tipicamente dell’ordine di 109) le interazioni tra gli elettroni di
uno stesso bunch, o tra bunch diversi dello stesso fascio, diventa
importante
Gli effetti più significativi hanno sono i seguenti
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Effetto Touschek
Due elettroni oscillanti all’interno dello stesso bunch possono subire
un mutuo scattering Coulombiano, che trasferisce parte dell’energia
di oscillazione di ciascun elettrone da una coordinata all’altra
c le nuove ampiezze di oscillazione nella seconda coordinata possono
trovarsi fuori dall’apertura dell’accumulatore (con conseguente perdita
dell’elettrone dal bunch), o comunque contribuire ad aumentare le
dimensioni del bunch
c Tale effetto è generalmente significativo solo a basse energie (energie
inferiori a 1 GeV circa)
Oscillazioni coerenti
Ogni elettrone in un bunch circolante produce campi
elettromagnetici nella camera a vuoto, i quali influenzano il moto
degli altri elettroni accumulati
c si osservi che l’interazione elettromegnetica diretta tra due elettroni in
un bunch decresce come 1/E2 ed è quindi trascurabile per anelli di
accumulazione di alta energia
c le interazioni collettive (indirette) tra gli elettroni di uno stesso fascio
possono dar luogo a oscillazioni coerenti instabili in cui tutti gli elettroni
di un bunch oscillano maniera collettiva con un’ampiezza che cresce
esponenzialmente col tempo
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c Anche in questo caso, la conseguenza è generalmente l’ aumento delle
dimensioni del bunch o la perdita di particelle dal bunch
Radiazione di sincrotrone coerente
L’interferenza costruttiva dei campi di radiazione degli elettroni in
un bunch può dar luogo a fenomeni di coerenza nella radiazione di
sincrotrone, che possono aumentare la perdita di energia dei singoli
elettroni
Per ottenere le alte densità di corrente richieste nei moderni
accumulatori è generalmente necessario che le instabilità coerenti siano
fortemente soppresse o comunque controllate.
I rimanenti effetti collettivi (incoerenti) contribuiscono, insieme con i
fenomeni a singola particella descritti sopra, a determinare le dimensioni
dei bunch
z Effetti a due fasci (collider)
Quando un elettrone nel fascio 1 passa attraverso un’intersezione
tra i due fasci risente del forte campo e.m. prodotto dal fascio 2;
questo campo macroscopico perturba le orbite di singola particella
degli elettroni nel fascio 1
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Per densità di correnti sufficientemente elevate, ciò dà luogo alle
cosiddette “instabilità soffici” (“soft”), per le quali si verifica una
crescita incoerente dell’ampiezza delle oscillazioni trasversali, e
quindi delle dimensioni del fascio
Le forze tra i due fasci accoppiano i modi di oscillazione coerenti dei
due fasci e possono produrre modi instabili nel sistema a due
fasci; anche in questo caso, le oscillazioni coerenti devono essere
soppresse al fine di ottenere un funzionamento stabile del collider
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