Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni 1. Per ognuna delle successive

Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni
1. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di N determinare A ∪ B, A ∩ B,
Ac e B c .
a) A = {x ∈ N | x + 3 = 0},
B = {x ∈ N | 3x = 6},
b) A = {x ∈ N | x < 15},
B = {x ∈ N | x < 23},
c) A = {x ∈ N | x > 2},
B = {x ∈ N | x ≤ 5},
d) A = {x ∈ N | x > 2},
B = {x ∈ N | x ≥ 4},
e) A = {x ∈ N | x < 4},
B = {x ∈ N | x < 25}.
2. Siano A = {x ∈ N : x è divisore di 12}, B = {x ∈ N : 4 < x < 8}, C = {1, 2, 4, 8, 16}
trovare i seguenti insiemi
a) A ∪ C
b) B ∩ C
c) A ∪ (B ∩ C)
d) C ∩ (A ∪ B)
e) (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)
f ) ((A ∩ B) ∪ C) ∩ (B ∪ C)
3. Sia A = {0, 3, 6, 9, 12} trovare un insieme X tale che
a) A ∩ X = A
b) A ∩ X = {3, 6}
c) A ∪ ∅ = X
d) A ∪ X = A
e) A ∪ X = ∅
f) A ∩ A = X
4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A ∪ B, A ∩ B,
Ac e B c .
a)
b)
c)
d)
A = {x ∈ Z
A = {x ∈ Z
A = {x ∈ Z
A = {x ∈ Z
: x = 2k + 1, k ∈ Z},
: x = 2k, k ∈ Z},
: x < 11},
: x2 < 5},
B
B
B
B
= {x ∈ Z
= {x ∈ Z
= {x ∈ Z
= {x ∈ Z
: |x| ≤ 5},
: |x| ≤ 3},
: x ≥ 7},
: x ≥ −1}.
5. Semplificare le seguenti espressioni quando A, B, C ⊂ X
a)
b)
c)
d)
(A ∪ (A ∩ B)) ∩ B
A ∪ ((B ∩ (A ∪ B)) ∩ (A ∪ (A ∩ B)))
A ∩ B ∩ (B ∪ C c )
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B)
6. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere
a)
b)
c)
d)
x ∈ A, A ⊂ B ⇒ x ∈ B
x ∈ B, A ⊂ B ⇒ x ∈ A
∅∈A
∅⊂A
7. Siano A = {x ∈ Z : |x| < 2}, B = {x ∈ Z : −1 < x < 3} determinare A × A,
(A ∩ B) × A e A × (A ∪ B).
8. Rappresentare i seguenti insiemi graficamente e poi mediante la proprietà caratteristica
(a) A = {8, 9, 10, 11}, B = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1}, C = {. . . , −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, };
1
(b) A = {−20, −19, −18, −17}, B = {−3, −2}, C = {. . . , −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . . . };
9. Rappresentare i seguenti insiemi graficamente e poi mediante elencazione
(a) A = {a ∈ N| a > 7}, B = {a ∈ P | 4 < a ≤ 10} con P insieme dei pari;
(b) A = {a ∈ Z| − 5 ≤ a < 6}, B = {a ∈ D| a ≤ 12} con D insieme dei dispari;
10. Dato A = [1, e) dire quale delle seguenti è vera o falsa
(a) 2 ∈ A
(b) 3 ∈ A
(c) 1 ∈ A
(d) 1 ∈
/A
11. Dato A = (−3.1, 8.5) dire quale delle seguenti è vera o falsa
(a) −3.1 ∈ A
(b) −3.1 ∈
/A
(c) −4 ∈ A
(d) A è un intorno di 0
√
12. Dato A = (−∞, 5] dire quale delle seguenti è vera o falsa
(a) −1310789547 ∈ A
(b) 1310789547 ∈ A
(c) 5 ∈
/A
(d)
√
5∈
/A
13. Scrivere in ordine crescente i seguenti numeri
√
3 2
(a) 11
, 5 , 0.3, 2, 0.17, 1.3
(b) −3.7, −5, e, π, − 12 , 1.3, 0, −0.7
Soluzioni:
1. a) A ∪ B = {2}, A ∩ B = ∅, Ac = N, B c = N \ {2}; b) A ∪ B = B, A ∩ B = A,
Ac = {x ∈ N | x ≥ 15}, B c = {x ∈ N | x > 22}; c) A ∪ B = N, A ∩ B = {3, 4, 5},
Ac = {1, 2}, B c = {x ∈ N | x > 5}; d) A ∪ B = A, A ∩ B = B, Ac = {x ∈ N| x ≤ 2},
B c = {1, 2, 3}; e) A ∪ B = B, A ∩ B = A, Ac = {x ∈ N| x ≥ 4}, B c = {x ∈ N| x > 24.54}.
2. a) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16}; b) ∅; c) {1, 2, 3, 4, 6, 12}; d) {1, 2, 4}; e) {6}; f ) C ∪ {6}.
3. a) A; b) {3, 6}; c) A; d) ∅; e) impossibile; f ) A.
4. a) A ∪ B = A ∪ {−4, −2, 0, 2, 4}, A ∩ B = {−5, −3, −1, 1, 3, 5}, Ac = {x ∈ Z : x =
2k, k ∈ Z}, B c = {x ∈ Z : |x| > 5}; b) A ∪ B = A ∪ {−3, −1, 1, 3}, A ∩ B = {−2, 0, 2},
Ac = {x ∈ Z : x = 2k + 1, k ∈ Z}, B c = {x ∈ Z : |x| > 3}; c) A ∪ B = Z,
A ∩ B = {7, 8, 9, 10}, Ac = {x ∈ Z : x ≥ 11}, B c = {x ∈ Z : x < 7}; d) A ∪ B = {x ∈
Z : x ≥ −2}, A ∩ B = {−1, 0, 1, 2}, Ac = {x ∈ Z : x2 ≥ 5}, B c = {x ∈ Z : x < −1}.
5. a) A ∩ B; b) A; c) A ∩ B; d) A ∪ B.
6. a) vera ; b) falsa ; c) scrittura non corretta; d) vera.
7. a) A × A = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)};
b) (A ∩ B) × A = {(0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)};
c) A × (A ∪ B) = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, −1),
(1, 0), (1, 1), (1, 2)}
8. (a) A = {a ∈ N| 7 < a < 12}, B = {a ∈ Z| − 6 < a < 2}, C = {a ∈ Z|a < 7}; (b)
A = {a ∈ Z| − 21 < a < −16}, B = {a ∈ Z| − 4 < a < −1}, C = {a ∈ Z| a = 2b, b ∈ Z}.
9. (a) A = {8, 9, 10, . . . }, B = {6, 8, 10}; (b) A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, . . . , 5}, B =
{1, 3, 5, 7, 9, 11}.
2
10. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F.
11. (a) F; (b) V; (c) F; (d) V.
12. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F.
√
3
13. (a) 0.17, 11
, 0.3, 25 , 1.3, 2; (b) −5, −3.7, −0.7, − 21 , 0, 1.3, e, π.
Esercizi su equazioni e disequazioni.
Risolvere le seguenti disequazioni e le equazioni che si ottengono sostituendo i simboli R con
=.
1. x + 5 > 0
Sol: x > −5;
2. 5 − x > 0
Sol: x < 5;
Sol.Eq.: x = −5;
Sol.Eq.: x = 5;
3. 3x + 7 > 0
Sol: x > − 37 ;
Sol.Eq.: x = − 37 ;
4. −x − 4 > 0
Sol: x < −4;
Sol.Eq.: x = −4;
5. 2x + 1 ≥ 0
Sol: x ≥ − 21 ;
Sol.Eq.: x = − 21 ;
6. 2x + 1 < 0
Sol: x < − 12 ;
Sol.Eq.: x = − 21 ;
7. −x > 0
Sol: x < 0;
8. 2x − 4 ≤ 0
Sol: x ≤ 2;
9. 3x + 4 − x + 1 < x − 6
10.
x
2
Sol.Eq.: x = 0;
Sol.Eq.: x = 2;
Sol: x < −11;
+ 13 + 34 x ≥ 45 x + 2
Sol: non ha soluzione;
11. x − 7 − 2x < 7 − x
Sol: ∀x ∈ R;
12. x + 7 + 2x ≤ 7 − x
Sol: x ≤ 0;
13. x2 − 3x + 2 < 0
14. 1 − x2 ≤ 0
Sol.Eq.: x = −11;
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol.Eq.: x = 0;
Sol: 1 < x < 2;
Sol.Eq.: x = 1 ∨ x = 2;
Sol: x ≤ −1 o x ≥ 1;
15. 2x2 − 3x + 1 ≥ 0
16. x2 + 5x > 0
Sol: x ≤
1
2
Sol.Eq.: x = −1 ∨ x = 1;
o x ≥ 1;
Sol.Eq.: x =
Sol: x < −5 o x > 0;
Sol: x 6= − 14 ;
18. 16x2 + 8x + 1 < 0
Sol: non ha soluzione;
Sol: x = 0;
20. −9x2 + 12x − 4 ≥ 0
21. x2 − x + 1 < 0
22. −2x2 + 3x − 2 < 0
23. 3x2 − 7x + 5 ≥ 0
1
2
∨ x = 1;
Sol.Eq.: x = −5 ∨ x = 0;
17. 16x2 + 8x + 1 > 0
19. x2 ≤ 0
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol.Eq.: x = − 41 ;
Sol.Eq.: x = − 14 ;
Sol.Eq.: x = 0;
Sol: x = 23 ;
Sol.Eq.: x = 32 ;
Sol: non ha soluzione;
Sol: ∀x ∈ R;
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol: ∀x ∈ R;
Sol.Eq.: Impossibile;
3
24. −1 + 5x − 7x2 ≥ 0
Sol: non ha soluzione;
25. 16x2 + 24x + 9 ≤ 0
Sol: x = − 34 ;
26. 5 + 4x + 3x2 > 0
Sol.Eq.: x = − 43 ;
Sol: ∀x ∈ R;
27. (x + 5)(6 − x) ≤ 0
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol: x ≤ −5 o x ≥ 6;
28. (x−2)(x+2)+(x+1)2 −1 < 0
Sol.Eq.: x = −5 ∨ x = 6;
Sol: −2 < x < 1;
29. (x − 2)(x + 2) − (x + 1)2 − 1 > 0
30. (x + 1)2 + (x − 1)2 ≤ 0
Sol.Eq.: x = −2 ∨ x = 1;
Sol: x < −3;
Sol.Eq.: x = −3;
Sol: non ha soluzione;
31. (x + 1)2 ≤ (x − 1)2
Sol: x ≤ 0;
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol.Eq.: x = 0;
Sol: x ≤ −2 o − 12 < x < 12 o x > 2;
Sol.Eq.: x = −2 ∨ x = − 21 ∨ x = 21 ∨ x = 2;
32. 4x4 − 17x2 + 4 > 0
33. 9x4 + 4x2 − 5 > 0
Sol: x < −
34. x4 − 2x2 − 8 ≤ 0
Sol.Eq.: Impossibile;
√
5
3
ox>
√
5
;
3
Sol.Eq.: x = −
√
5
3
∨ x=
√
5
;
3
Sol: − 2 ≤ x ≤ 2;
Sol.Eq.: x = −2 ∨ x = 2;
√
√
Sol: x ≤ − 3 o√
x = 0 o x =≥ 3; √
Sol.Eq.: x = − 3 ∨ x = 0 ∨ x = 3;
35. x4 − 3x2 ≥ 0
36. x4 + 8x2 + 15 ≤ 0
Sol: non ha soluzione;
37. x4 − x2 + 1 > 0
Sol: ∀x ∈ R;
38. x4 + 2x2 > 0
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol: ∀x, x 6= 0;
Sol.Eq.: x = 0;
√
√
√
4
39. x8 − 7x4 + 12 > 0
Sol: x √
<− 2o −√
3 < x < 4√
3 o x > 2√
Sol.Eq.: x = − 2 ∨ x = − 4 3 ∨ x = 4 3 ∨ x = 2;
√
√
√
√
40. x6 − 7x3 + 12 > 0
Sol: x < 3 3 o x > 3 4;
Sol.Eq.: x = 3 3 ∨ x = 3 4;
√
41. x8 − 2x7 − 3x6 ≥ 0 Sol: x ≤ −1 o x = 0 o x ≥ 3;
42. x10 − x6 ≥ 0
Sol: x ≤ −1 o x = 0 o x ≥ 1;
43.
x+5
x+6
<0
Sol: − 6 < x < −5;
44.
1−x
x
>0
Sol: 0 < x < 1;
45.
3−x
x+1
≥0
Sol: − 1 < x ≤ 3;
46.
7−x
4−3x
47. 2 +
≤0
1
x−1
48.
1
x
49.
3x2 +7x+4
x4 −2x2 −3
≥
Sol:
≥
1
x+1
1
2−x
≤0
4
3
Sol.Eq.: x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 3;
Sol.Eq.: x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1;
Sol.Eq.: x = −5;
Sol.Eq.: x = 1;
Sol.Eq.: x = 3;
< x ≤ 7;
Sol.Eq.: x = 7;
Sol: x < −1 o x = 0 o x > 1;
Sol.Eq.: x = 0;
Sol: 0 < x ≤ 1 o x > 2;
Sol.Eq.: x = 1;
√
√
Sol: − 3 < x ≤ − 43 o − 1 ≤ x < 3
Sol.Eq.: x = − 34 ∨ x = −1;
4
50.
10
x2 +1
51.
1
x
> 6 − x2
1
x−1
+
+
1
x−2
Sol: x < −2 o − 1 < x < 1 o x > 2;
Sol.Eq.: x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = 2;
≥0
Sol: 0 < x ≤ 1 −
Sol.Eq.: x = 1 −
√
3
60.
x3 − x2 + 3x − 2 > x
p
3
x(x2 − 1) > x − 1
√
4x2 − 1 < x − 3
√
2 − x2 > 2x − 1
√
3x − 1 ≥ 2
Sol:
√
1 − x2 < x
Sol:
√
1 − x2 > x
Sol:
√
3
64x3 − x > 4x − 3
√
3
8x3 − 7 < 2x − 1
61.
4−x2
x2 −1
62.
3x2 −x−2
6x2 −x−7
63.
1
x+2
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
≥0
−
3
√3
3
3
o 1<x≤1+
∨ x=1+
Sol: 1 < x < 2;
1
3
Sol: x <
o x > 1;
√
2
2
5
3
<1+
Sol.Eq.: x =
∨ x = 1;
Sol.Eq.: x = 1;
Sol.Eq.: x = 35 ;
< x ≤ 1;
−1≤x<
Sol.Eq.: x =
√
2
2
Sol: ∀x ∈ R;
Sol: −
1
2
√
2
;
2
√
Sol.Eq.: x =
2
;
2
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol.Eq.: x = − 21 ∨ x = 1;
<x<1
Sol.Eq.: x = −2 ∨ x = 2;
Sol.Eq.: x = − 32 ∨ x = 1;
Sol: x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2;
Sol.Eq.: x = −1 ∨ x = 1;
64. |x + 3| − 2 > 0,
Sol: x < −5 o x > −1;
65. 2 − |x − 2| ≥ 0,
Sol: 0 ≤ x ≤ 4;
66. x ≥ 2(|x| − 1),
1
3
Sol.Eq.: Impossibile;
Sol: −1 < x < − 32 ∨ 1 < x < 76 ;
1
4−x2
o x > 2;
Sol.Eq.: x = 1 ∨ x = 2;
Sol: non ha soluzione;
√
Sol: − 2 ≤ x < 1
x≥
√
3
3
√
3
;
3
Sol: − 2 ≤ x < −1 ∨ 1 < x ≤ 2;
<0
1
x−2
√
Sol: −
2
3
Sol.Eq.: x = −5 ∨ x = −1;
Sol.Eq.: x = 0 ∨ x = 4;
≤ x ≤ 2;
Sol.Eq.: x = − 32 ∨ x = 2;
67. x2 + 2|x| − 3 < 0,
Sol: − 1 < x < 1;
68. x2 − 2|x| − 3 > 0,
Sol: x < −3 o x > 3;
Sol.Eq.: x = −3 ∨ x = 3;
Sol: 3 < x < 5 e x 6= 4;
Sol.Eq.: x = 3 ∨ x = 4 ∨ x = 5;
69. |2x2 − 16x + 31| < 1,
70. (x + 1)2 < |x2 − 1|,
Sol: x < 0 e x 6= −1;
Sol.Eq.: x = −1 ∨ x = 1;
Sol.Eq.: x = −1 ∨ x = 0.
Esercisi sui sistemi di disequazioni
½
1.
½
2.
½
3.
5x − 1 < 0
2x + 8 < 0
Sol: x < −4;
x−3>1
x(x − 3) > 4
Sol: x > 4;
2x − 1 < x+1
3
x − 13 < 2
Sol: x < 45 ;
5
 2
 x + 22x + 40 < 0
3x + 15 ≥ 0
4.
 2
x + 3x ≤ 0
Sol: − 3 ≤ x < −2;
Esercizi su: equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali
Risolvere le seguenti equazioni
Esercizi
Soluzioni
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
x = e25
x = −1 ∨ x = 3
x = 1 + log(e − 1)
x=4
x=5
x = e ∨ x = e−3
x = −5
x = 11
x=0
x = −2
x = 21 p
x = ± log27 9 + 1
x=1
x=0
x = log 4 20
3 9
impossibile
1
x = 10
x=1 ∨ x=2
x = 1 ∨ x = 23
x=1
x=1
x = 23
x = 41
log x = 25
log3 (x2 − 2x) = 1
log(ex √
+ e) = 2
2 log10 3x = log10 (x2 − 4)
1
log x + 12 log(x − 1) = log 2 + 12 log 5
2
log3 x + 2 log2 x − 3 log x = 0
1
2x = 32
x+9
2 1−x = 14
22x+1 − 2x − 1 = 0
3x+4 = 9
12√3x = 127x−2
2
7 x −1 = 9
22−x − 23−x + 2x = 0
e2x + ex − 2 = 0
3x+1 + 3x−1 = 4x + 22x−1
6
+ 2x3+1 = 2x2−1 + 5
2x −1
1
log100 x =
√ −2
log(x − x − 1) = 0
2 log10 x + log10 3 = log10 (5x − 2)
log10 (10−x)
=2
log10 (4−x)
2 log2 x − log2 (3 − x2 ) + log2 (x2 + 1) = 0
1 + log10 (x − 1) = log10 5
log10 (2−x)
= 12
log (3+x2 )
10
Suggerimenti 6. t = log x; 9. t = 2x ; 13. t = 2x ; 14. t = ex ; 16. t = 2x ; nelle equazioni
5, 19, 21, 22 utilizzare prima le proprietà dei logaritmi.
6
Risolvere le seguenti disequazioni
Esercizi
Soluzioni
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
0<x<3
x>5
− 32 < x < − 23
3 < x < 13
1
≤ x < 1 ∨ x ≥ 10
100
x > 21
1
x < 17
x < −2
x ≥ log10 52
x ≥ log2 6 − 1
− log3 2 < x < 2
x < −2 ∨ x > 2
x < −2 ∨ x > 0
x ≤ −4 ∨ 0 < x < 2
log2 3 > log2 x
log 1 x < log 1 5
2
2
log 1 (1 − x) < log 1 (2x + 3)
4
4
log10 (x − 3) < 1
log10 x − log2 x + 1 ≥ 0
10
25x > 5
8x+2 > 324x+1
( 12 )x > 4
2x+1 ≥ 51−x
2x+1 ≥ 6
64 − 2 · 3x > 45 + 32−x
2
3x > 81
2
3x +2x ≥ 1
3−x −81
≤0
x+2
5
−25
x
15. 21−x + 2√1+x > 4
16. 21+x < 4x − 5 · 2x
17. log 1 (x2 − 8) > 0
∀x 6= 0
impossibile √
−3 < x < −2 2 ∨
√
2 2<x<3
1
∨ x>9
0 < x < 27
3
0 < x < 2√2
x>3
2
18. log23 x +√ log3 x − 6 > 0
2
19. log2 x+ 2xx +9 > 1
p
20.
log10 (x − 2) > 0
Suggerimenti 5. t = log10 x; 11. t = 3x ; 15. t = 2x ; 16. t = 2x ; 18. t = log3 x.
Esercizi sulle equazioni trigonometriche
Risolvere le seguenti equazioni trigonometriche
Esercizi
1. sin x =
2.
3.
4.
5.
6.
7.
√
2
2
sin x = − 21
sin x = 0
sin x = 1
sin x = 2√
cos x = 23
√
3 tan x = 1
Soluzioni
x = π4 + 2kπ ∨
x = 34 π + 2kπ, k ∈ Z
x = 76 π + 2kπ ∨ x = 11
π + 2kπ, k ∈ Z
6
x = kπ, k ∈ Z
x = π2 + 2kπ k ∈ Z
impossibile
x = π6 + 2kπ ∨ x = − π6 + 2kπ, k ∈ Z
x = π6 + kπ k ∈ Z
7
Esercizi sulle funzioni
1. Dire quali tra le seguenti relazioni tra A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d, e} sono delle
funzioni e in caso affermativo dire chi è f (A), se f è iniettiva oppure suriettiva.
a) f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c, f (4) = e
b) f (1) = b, f (3) = c, f (4) = d
c) f (1) = a, f (2) = b, f (3) = b, f (4) = d
d) f (1) = a, f (1) = e, f (2) = d, f (3) = c, f (4) = e
[Sol. a) è una funzione, f (A) = {a, b, c, e}, è iniettiva non è suriettiva; b) non è una
funzione, f (2) non è definito; c) è una funzione, f (A) = {a, b, d}, non è iniettiva non è
suriettiva; d) non è una funzione, ad 1 sono associati due valori. ]
2. Sia f : N −→ N, f (x) = x + 2. Dire se f è iniettiva, suriettiva, biettiva. [Sol. è iniettiva
non è suriettiva non è biettiva.]
3. Sia f : Q −→ Q, f (x) = 3x+2
. Dire se f è iniettiva, suriettiva, biettiva e calcolare
2
f (0), f (−1), f ( 23 ), se f è biettiva calcolarne l’inversa. [Sol. è biettiva, f (0) = 1, f (−1) =
− 21 , f ( 23 ) = 2, f −1 (x) = 2x−2
.]
3
4. Di ognuna delle seguenti funzioni f dire se è iniettiva, suriettiva, biettiva, monotona
(Suggerimento: confrontare f (n) con f (n + 1) per determinare il tipo di monotonia)
(a) f (x) = x2 + 5, f : N −→ N;
(b) f (x) = x2 + x + 1, f : N −→ N;
(c) f (x) = (x + 2)x, f : N −→ N;
(d) f (x) = (2x + 3)(x + 1), f : N −→ N;
(e) f (x) = x + x2 , f : N −→ N;
(f) f (x) = x3 − x2 , f : N −→ Z;
(g) f (x) = x5 , f : N −→ N;
[Sol. sono tutte iniettive, non suriettive, non biettive, monotone strettamente crescenti.]
5. Siano f, g : R −→ R determinare g ◦ f e f ◦ g
(a) f (x) = x + 2,
(b) f (x) = |x + 3|,
(c) f (x) =
x+1
,
x2 +1
g(x) = 5x, [g ◦ f (x) = 5x + 10, f ◦ g(x) = 5x + 2];
g(x) = x2 + 2, [g ◦ f (x) = x2 + 6x + 11, f ◦ g(x) = x2 + 5];
g(x) = 6 + x, [g ◦ f (x) =
6x2 +x+7
,
x2 +1
f ◦ g(x) =
x+7
];
x2 +12x+37
2
(d) f (x) = 2x ,
g(x) = x2 + x + 1, [g ◦ f (x) = 22x + 2x + 1, f ◦ g(x) = 2x +x+1 ];
¡ ¢x2 +x
¡ ¢2x2 +2x
¡ ¢x4 +x2
(e) f (x) = 23
,
g(x) = x2 , [g ◦ f (x) = 32
, f ◦ g(x) = 23
];
(f) f (x) = 2x ,
x
x
g(x) = 3x , [g ◦ f (x) = 32 , f ◦ g(x) = 23 ];
(g) f (x) = sin x,
g(x) = |x + 9|, [g ◦ f (x) = sin x + 9, f ◦ g(x) = sin |x + 9|];
(h) f (x) = cos x,
g(x) = x2 , [g ◦ f (x) = cos2 x, f ◦ g(x) = cos x2 ];
(i) f (x) = sin x,
g(x) = cos x, [g ◦ f (x) = cos(sin x), f ◦ g(x) = sin(cos x)];
8
(j) f (x) = ex ,
g(x) = sin x, [g ◦ f (x) = sin(ex ), f ◦ g(x) = esin x ];
(k) f (x) = x+2x ,
g(x) = | cos x|, [g◦f (x) = | cos(x+2x ), f ◦g(x) = | cos x|+2| cos x| ];
(l) f (x) = x + sin x,
g(x) = x2 + ex , [g ◦ f (x) = (x + sin x)2 + ex+sin x , f ◦ g(x) =
x2 + ex + sin(x2 + ex )];
(m) f (x) = ex + cos x,
g(x) = sin x + ex , [g ◦ f (x) = sin(ex + cos x) + ee
sin x+ex
f ◦ g(x) = e
+ cos(sin x + ex )];
(n) f (x) = log(x2 + 1),
log(4x2 + 4x + 2)];
x +cos x
,
g(x) = 2x + 1, [g ◦ f (x) = 2 log(x2 + 1) + 1, f ◦ g(x) =
6. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni f, g : D −→ R, D ⊂ R dire se sono: iniettive,
suriettive, biettive, monotone, pari, dispari.
(a) f (x) = 3x + 5, D = R,
(b) f (x) = x2 , D = R,
g(x) = x3 , D = R;
(c) f (x) = −x5 , D = R,
g(x) = x4 − 2, D = R;
¡ ¢x
g(x) = 13 − 2, D = R;
(d) f (x) = −3x , D = R,
(g)
(h)
(i)
1
,
|x|
D = R \ 0,
g(x) = |x2 − 1|, D = R;
¯
¯
¯
¯
g(x) = | − 2x + 1|, D = R;
f (x) = ¯log 1 x¯, D = R+ ,
2
½
½
0, x ∈ Z
x, x ≥ 1
, D = R;
, D = R,
g(x) =
f (x) =
2
1, x ∈ R \ Z
x , x<1

½
 1, x > 0
x + 1, x ≥ 0
0, x = 0 , D = R;
, D = R,
g(x) = segno(x) =
f (x) =
x3 ,
x<0

−1 x < 0
½
½
...
log x, x ≥ 1
, D = R;
, D = R,
g(x) = x|x| =
f (x) =
...
0,
x<1
(e) f (x) =
(f)
g(x) = −x + 10, D = R;
(j) f (x) = | cos x|, D = R,
g(x) = | sin x + 5|, D = R;
7. Se f (x) = x4 − 4x2 + 6x − 1, provare che f (3) = 62, f (0) = −1, f (−2) = −13.
8. Se f (x) = x3 − 3x2 + 1, provare che f (2) + 2f (0) = f (1).
9. Data f (x) = x2 , calcolare
10. Data f (x) =
x+1
,
x−1
f (b)−f (a)
,
b−a
con b 6= a. [Sol. b + a]
calcolare f (2x), 2f (x), f (x2 ), [f (x)]2 . [Sol.
2x+1 2x+2 x2 +1
,
,
,
2x−1 x−1 x2 −1
¡ x+1 ¢2
11. Data f (x) = ax , con a > 0, a 6= 1 provare che f (−x)f (x) − 1 = 0.
12. Data
 x
 3 − 1, −1 ≤ x < 0
tan x , 0 ≤ x < π
f (x) =
 x 2
π≤x≤6
x2 −2
√
provare che f (−1) = − 23 , f ( π2 ) = 1, f ( 23 π) = 3, f (4) = 27 .
13. Tra le seguenti funzioni dire quali sono pari e quali sono dispari
√
√
g(x) = 1 + x + x2 − 1 − x + x2 [dispari];
(a) f (x) = 12 (ax + a−x ) [pari]
9
x−1
]
(b) f (x) = log 1+x
[dispari]
1−x
g(x) = log(x4 +
√
1 + x2 ) [pari];
x
g(x) = x aax +1
[pari];
−1
√
g(x) = 1 + x4 − x2 [pari];
(d) f (x) = 4 − 2x4 + sin2 x [pari]
(c) f (x) = 2x3 − x [dispari]
g(x) = cos x − 2x4 [pari];
(e) f (x) = sin x + x [dispari]
quando a ∈ R, a > 0, a 6= 1.
Esercizi sui limiti di successioni
Calcolare i seguenti limiti di successioni.
1. limn→+∞ (5n3 + 2n + 3),
2. limn→+∞
3
,
n5 +2n
3. limn→+∞
n+3
,
2
4. limn→+∞
3n2 +1
,
n
5. limn→+∞
3n
,
5n
6. limn→+∞
2n +n2 +2
,
8
7. limn→+∞ en
8. limn→+∞
[0];
[+∞];
[+∞];
[0];
2 +n
¡ 1 ¢ n1
2
q
9. limn→+∞
[+∞];
[+∞];
,
[+∞];
,
[1];
n2
,
n+1
[+∞];
10. limn→+∞ sin n21+1 ,
[0];
2
11. limn→+∞ cos nn+7
3 ,
12. limn→+∞
3n5 +2n2
,
n5 +1
13. limn→+∞
−3n3 +n+8
,
n2 +1
14. limn→+∞
n+7
,
n4 +n2
[1];
[3];
[−∞];
[0];
15. limn→+∞ sin n1 ,
[0];
1
16. limn→+∞ cos n2 +n+1
,
17. limn→+∞ sin
√
n+1
,
1−n
[1];
[0];
18. limn→+∞ 3n2 sin n12 ,
[3];
19. limn→+∞ n2 tan n12 ,
[1];
20. limn→+∞
1
sin n
sin 2n
,
[1];
21. limn→+∞
2
tan2 n
1 ,
1−cos n
[8];
n +2
10
22. limn→+∞ nsin n2 cos n2 ,
¡
¢
23. limn→+∞ n2 1 − cos n1 ,
24. limn→+∞
2n(1−cos
1
sin n
25. limn→+∞
n2 +1
n+1
1
)
n
[2];
[ 12 ];
,
[1];
sin n1 ,
[1];
√
3
26. limn→+∞
n
,
log n
27. limn→+∞
n
,
en
28. limn→+∞
log n
,
n!
29. limn→+∞
log n3
,
n
30. limn→+∞
0.5n
,
n
31. limn→+∞
n log n
,
2n
32. limn→+∞
n2
,
n!
[+∞];
[0];
[0];
[0];
[0];
[0];
[0];
33. limn→+∞ (2n − n),
[+∞];
√
√
34. limn→+∞ ( 2n − n − 1),
[+∞];
√
√
35. limn→+∞ ( n2 + n − n2 + 1),
[ 12 ];
³ 2 ´3n
36. limn→+∞ nn2+n
,
[e3 ];
−1
³
37. limn→+∞ 1 −
38. limn→+∞
´√n
√2
n
¡ n+1 ¢2n
n
[ e12 ];
,
[e2 ];
,
Esercizi sui limiti di funzione
Calcolare i seguenti limiti di funzioni
1. limx→0
sin(2x)
,
x
[2];
2. limx→0
sin(2x)
,
sin(3x)
[ 23 ];
3. limx→0 x sin x1 ,
[0];
√
1−cos x
,
x
√
x−1
limx→1 x−1
,
4. limx→0
5.
[6 ∃];
[ 12 ];
√
6. limx→+∞ ( x2 + 4x + 1 − x),
2
2
[e];
2
[e2 ];
7. limx→−∞ ( x2x−1 )x ,
2
8. limx→+∞ ( xx2 +1
)x ,
−1
[2];
11
9. limx→+∞ x log x−1
,
x+1
[−2];
10. limx→+∞ ( log(2x)
)log x ,
log x
11. limx→+∞
[2];
log x+x2
,
x+ex
[0];
12. limx→+∞ (log(2x + 1) − log(x + 2)),
13.
√
2
limx→0 ( 1− x1−4x
),
2
[2];
14. limx→+∞ x(log(x + 3) − log x),
15. limx→0
e2x −1
,
3x
16. limx→0
ex −cos x
,
x2
17. limx→0
log(2−cos x)
,
sin2 x
19. limx→0
[ 12 ];
√3x−2 ,
2x2 +1
√
[− √32 ];
21. limx→+∞
[ 14 ];
1 √
,
x+1− x
q
22. limx→5
[ 32 ];
√
x+4−2
,
x
20. limx→+∞
[3];
[ 23 ];
2
18. limx→−∞
[log 2];
[+∞];
9x−6
,
4x+3
[ 32 ];
√
[2 5];
x−5
√ √ ,
x− 5
√
√
23. limx→+∞ ( 9x2 + 1 − 9x2 + 3x − 1),
24. limx→0
sin x+x
,
x
25. limx→+∞
27.
[2];
x2√
,
10+x x
sin2 x
,
tan x
√
x2 +2
limx→+∞ 3x−1
,
26. limx→0
[+∞];
[0];
1
28. limx→5− 10 x−5 ,
29. limx→0
[ 13 ];
[0];
log(x+1)+log(1−x)
,
x2
30. limx→0 (1 + x)tan x ,
31. limx→+∞
6x4 −x2
,
x−x3
[− 21 ];
[−1];
[1];
[−∞];
Esercizi sulle funzioni continue
Studiare la continuità delle seguenti funzioni f : A → R:
1. f (x) = 3sin x , A = R
2. f (x) = sin(ex+2 + x3 ), A = R
[Sol. f è continua in R];
[Sol. f è continua in R];
12
3. f (x) =
1
1
1+e 1−x
½
4. f (x) =
½
5. f (x) =
, A = R \ {1}
1
2− x2
0
[Sol. f è continua in R \ {1}];
x 6= 0
, A=R
x=0
[Sol. f è continua in R];
1
2− x x 6= 0
, A=R
0
x=0
[Sol. f è continua in R \ {0} non è continua in 0];
6. f (x) = log (| cos x| + 1) , A = R
[Sol. f è continua in R];
½ ex −1
x 6= 0
x
7. f (x) =
, A=R
[Sol. f è continua in R];
1
x=0
½ 2|x−1|
x 6= 0 ∧ x 6= 1
x2 −x3
8. f (x) =
, A=R
[Sol. f non è continua solo in 0 e 1];
1
x=0∨x=1
½ x
x 6= 0
|x|
9. f (x) =
, A=R
[Sol. f non è continua in 0, è continua in R \ {0}];
0 x=0
½
x sin x1 x 6= 0
10. f (x) =
, A=R
[Sol. f è continua in R];
0
x=0
11. f (x) = (ex + sin(3x))2 , A = R
[Sol. f è continua in R];
½ e2x −1
x>0
x
12. f (x) =
, A=R
[Sol. f è continua in R];
4
x + 2x + 2 x ≤ 0
½ 4 log(2x)
x > 21
2x−1
13. f (x) =
, A=R
[Sol. f è continua in R];
8x2 + 2x + 1 x ≤ 12
Esercizi sul metodo di bisezione
Per ognuna delle seguenti equazioni, calcolare con il metodo di bisezione una soluzione approssimata nell’intervallo I, suggerito di fianco, con un errore pari a 0.1.
1. x3 − x + 1 = 0,
I = [−2, −1],
2. 2x + 4x = 0,
I = [−1, 0],
3. 10x = 3 cos x,
I = [0, 1],
4. x4 + 12 x −
31
20
= 0,
Soluzione Approssimata: x = −1.3125;
Soluzione Approssimata: x = −0.1875;
Soluzione Approssimata: x = 0.4375;
I = [1, 1.5],
5. xx + 2x − 6 = 0,
I = [1, 3],
6. x4 − 4x − 1 = 0,
I = [−1, 0],
Soluzione Approssimata: x = 1.0625;
Soluzione Approssimata: x = 1.6875;
Soluzione Approssimata: x = −0.1875;
7. x log x − 1 = 0,
I = [1, 2],
Soluzione Approssimata: x = 1.8125;
8. cos x − 4x = 0,
I = [0, 1],
Soluzione Approssimata: x = 0.1875;
13
Esercizi sulle derivate
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
2
1) f (x) = 3x−4
x2 −1
2) f (x) = (sin x + cos x)2 − 2x
3) f (x) = x5 − 4x2 + 2x − 3
x
4) f (x) = 1−log
1+log
√
√ x √
5) f (x) = 2 x + 3 3 x + 4 4 x
6) f (x) = 4xx
7) f (x) = x sin x
ex
8) f (x) = sin
x
9) f (x) = √1x
10) f (x) = ex tan x2
q
3
2
11) f (x) = x + 2x
√
12) f (x) = 3 x2 + x + 1
+8x−3
f 0 (x) = −3x
(x2 −1)2
f 0 (x) = −4 sin2 x
f 0 (x) = 5x4 − 8x + 2
−2
f 0 (x) = x(1+log
x)2
1
1
1
0
√
f (x) = x + √
3 2 + √
4 3
x
x
f 0 (x) = 1−x4xlog 4
f 0 (x) = sin x + x cos x
x−cos x
f 0 (x) = ex sinsin
2x
f 0 (x) = − 2√1x3
f 0 (x) = ex (tan x2 + 2 cos12 x )
2
q
1
3
0
f (x) = 2x − 2 2x3
2x+1
f 0 (x) = √
3
2
2
12b) f (x) = log4 x2
13) f (x) = log(x3 − 2x + 5)
14) f (x) = sin(2x) − 3 cos x
15) f (x) = log(cos x + sin x)
x
16) f (x) = 2−cos
5−sin x
√
17) f (x) = xex + x
18) f (x) = ex √
log(sin x)
x− x
19) f (x) = x+√x
20) f (x) = ecos x sin x
q
p
√
21) f (x) = x + x + x
f 0 (x) = x2 log4 e
2 −2
f 0 (x) = x33x−2x+5
f 0 (x) = 2 cos(2x) + 3 sin x
x−sin x
f 0 (x) = cos
cos x+sin x
x+2 cos x−1
f 0 (x) = 5 sin(5−sin
x)2
x
x
√ +ex +1
f 0 (x) = xe
2 xe +x
f 0 (x) = ex (log(sin x) + cot x)
x√
f 0 (x) = √x(x+
x)2
f 0 (x) = ecos x (cos x −µsin2 x)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
f (x) = arctan 1+x
− arctan x
1−x
√
f (x) = ( x + √1x )10
1−tan x
f (x) = 1+tan
x
√
f (x) = arccos x1 + log(x + x2 + 1)
x
f (x) = arcsin √1−x
2 − arctan x
arcsin x
f (x) = arccos x
28) f (x) = (x2 + 1)
√
x
29) f (x) = (x + 1)tan x
3
0
f (x) =
(x +x+1)
1
q √
√
2 x+ x+ x
1+
√1 √
2 x+ x
¶
+
√ 1 √
4 x2 +x x
f 0 (x) = 0
√
f 0 (x) = 5( x + √1x )9 ( √1x − √1x3 )
2
2
f 0 (x) = − cos2 x(1+tan
= − (cos x+sin
x)2
x)2
|x|
1
0
√
√
f (x) = x2 x2 −1 + x2 +1
1
1
f 0 (x) = (1−x2 )√
− 1+x
2
1−2x2
arcsin
x+arccos
x
0
f (x) = √1−x2 (arccos x)2
√ h
√ i
x log(x2 +1)
2x x
√
+
f 0 (x) = (x2 + 1)
x2 +1
h 2 x
i
tan
x
log(x+1)
tan x
0
f (x) = (x + 1)
+ x+1
cos2 x
14
Esercizi sulle funzioni periodiche
Determinare il periodo di ognuna delle seguenti funzioni
[Sol. T = 32 π];
1. f (x) = 10 sin(3x),
[Sol. T = π2 ];
2. f (x) = tan(2x),
3. f (x) = 10 sin(2πx),
4. f (x) = cot x2 ,
[Sol. T = 1];
[Sol. T = 2π];
5. f (x) = 2 cos x−π
,
3
[Sol. T = 6π];
[Sol. T = 43 π];
6. f (x) = cot 2−3x
,
4
7. f (x) = − cos 1−2πx
,
3
¡
¢
8. f (x) = cot 2π
x ,
5
[Sol. T = 3];
[Sol. T = 25 ].
Esercizi sulle derivate di ordine superiore al primo
1. Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni
5
(a) f (x) = x 3 ,
(b) f (x) = log(sin x),
(e) f (x) = ex + e−x + 3,
(f) f (x) = log(x + 1),
√
(h) f (x) = x2 e2x ,
(i) f (x) = e
[Soluzioni: (a) f 000 (x) = − 10
27
2
cos x
(d) f 000 (x) = 2 3−2
,
cos4 x
1
√
3 4,
x
e
√
√
x(−3x+3 x+1)
8x3
x
,
,
√
x + 1,
(d) f (x) = tan x,
(g) f (x) = sin(2x) + cos x,
(l) f (x) = x sin x − cos x + x.
(b) f 000 (x) =
(e) f 000 (x) = ex − e−x ,
(g) f 000 (x) = −8 cos(2x) + sin x,
(i) f 000 (x) =
(c) f (x) =
2 cos x
,
sin3 x
(c) f 000 (x) =
(f) f 000 (x) =
3 √1
,
8 x5
2
,
(x+1)3
(h) f 000 (x) = 4e2x (4x2 + 8x + 3),
(l) f 000 (x) = −4 sin x − x cos x.]
2. Disegnare il grafico della funzione f 000 (x) quando f (x) = ex − x3 + 2x − 5.
3. In un moto rettilineo la posizione s di un punto materiale P in funzione del tempo è data
da s = s(t), dove la posizione s è misurata in metri e il tempo t è misurato in secondi.
Determinare l’espressione della velocità istantanea v(t) e dell’accelerazione istantanea a(t)
= s0 (t) e a(t) = dv
= s00 (t))
in funzione di t nei seguenti casi (si ricordi che v(t) = ds
dt
dt
(a) s(t) = 4 − t
(c) s(t) = 3t2 + 2t + 2
(b) s(t) = t2
3
(d) s(t) = t3 − t2
[Soluzioni: (a) v(t) = −1, a(t) = 0; (b) v(t) = 2t, a(t) = 2; (c) v(t) = 6t + 2, a(t) = 6;
(c) v(t) = t2 − 2t, a(t) = 2t − 2.]
Esercizi sulle equazioni delle rette tangenti
Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva y = f (x) nel punto di ascissa x0 nei seguenti
casi
15
1. f (x) = x3 − 2x2 + 4x − 5, x0 = 1
2. f (x) = 4x3 , x0 = −1
[Soluzione r : y = 3x − 5];
[Soluzione r : y = 12x + 8];
3. f (x) = 5x2 + 3x, x0 = 1
[Soluzione r : y = 13x − 5];
4. f (x) = 2x2 + 2x − 3, x0 = 1
5. f (x) = x2 + x1 , x0 = 2
6. f (x) =
7. f (x) =
x+2
,
x
√
[Soluzione r : y = 6x − 5];
[Soluzione r : 15x − 4y − 12 = 0];
x0 = −1
[Soluzione r : y = −2x − 3];
x − 2, x0 = 6
[Soluzione r : x − 4y + 2 = 0];
8. f (x) = sin x + cos x, x0 =
9. f (x) = x − cos x, x0 = 0
π
2
[Soluzione r : y = −x +
π
2
+ 1];
[Soluzione r : y = x − 1];
10. f (x) = log x, x0 = e
[Soluzione r : x − ey = 0];
√
11. f (x) = 3 x − 3, x0 = 3
[Soluzione r : x = 3];
p
12. f (x) = 3 (x + 2)2 , x0 = −2
[Soluzione r : x = −2];
13. f (x) = arcsin x, x0 = 1
[Soluzione r : x = 1];
Applicazioni di De L’Hôpital
I seguenti limiti possono essere calcolati utilizzando De L’Hôpital direttamente oppure dopo
averli ricondotti alle forme indeterminate 00 , ∞
∞
1) limx→1
x2 −1
x2 −3x+2
[−2]
2) limx→4
4) limx→−2
x2 +5x+6
x2 −4
[−4] 5) limx→1
7) limx→0+
tan x
1−cos x
[+∞] 8) limx→1
10) limx→+∞
x−1
2x+5
[ 12 ]
√x−4
x−2
√
√
x+1− 2
2
x −1
x3 −x2 −x+1
2x3 −3x2 +1
11) limx→+∞
13) limx→0+ x log x [0]
3) limx→1
x−1
√
3 x−1
[3]
2
]
8
6) limx→0
tan 3x
tan3 x
[+∞]
[ 23 ]
9) limx→0
sin(3x)
sin (2x)
[4]
ex
2x2 +1
[
√
[+∞]
12) limx→1+
[ 32 ]
log(x−1)
1
e x−1
[0]
¡
¢
14) limx→ π2 x − π2 tan x [−1] 15) limx→+∞ e−x (x2 − 1) [0]
Teoremi Rolle, Lagrange
1. Utilizzando il teorema di Rolle dire quale tra le seguenti funzioni ha, nell’intervallo [ π4 , 3π
],
4
un punto con retta tangente orizzontale
(a) f (x) = sin x
(c) f (x) = e2x+3
(b) f (x) = cos
√ x
(d) f (x) = x + 1
2. Dire quale tra le seguenti funzioni non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo
[−1, 1]
(a) f (x) = |x|
(c) f (x) = x2
(b) f (x) = cos x
(d) f (x) = x4 − 1
16
3. Se f soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [1, 3] e se f (1) = 2 e
f (3) = 5 allora esiste un punto x0 ∈ (1, 3) tale che la retta tangente a f in x0 ha come
coefficiente angolare
(a) − 32
(b) 32
(c) − 32
(d) 32
[Soluzioni 1. (a); 2. (a); 3. (d).]
STUDIO DI FUNZIONE
Fare lo studio completo delle seguenti funzioni:
√
1. f (x) = xe−x ;
√
2. f (x) = x3 − 8;
3. f (x) = e
√
x+18
4. f (x) =
x3
;
x3 +1
5. f (x) =
√ 1
;
4−x2
q
6. f (x) =
;
x−1
;
x+1
7. f (x) = x2 e−2x ;
log2 x;
√
9. f (x) = 1 − ex ;
8. f (x) =
10. f (x) =
1
x
x3 −3x
;
3x2 −10
11. f (x) = xex ;
2
12. f (x) = e−x ;
13. f (x) =
log2 x
;
x
14. f (x) =
x
;
log x
√
2x − x2 ;
√
16. f (x) = 4x − 4x2 − 1;
15. f (x) = x −
17. f (x) =
18. f (x) =
19. f (x) =
x3
;
1−x2
√
x+
√
1 − x;
x2 −3x+1
;
x
20. f (x) = x(x2 − x − 1);
21. f (x) = x3 − 3x2 ;
1
22. f (x) = xe x ;
17
23. f (x) =
x2 −3
;
x−2
24. f (x) =
x2
;
x2 +1
25. f (x) =
2 log x
;
x
26. f (x) =
27. f (x) =
√
√
1 + x2 ;
1 − ex ;
28. f (x) =
ex
;
ex −1
29. f (x) =
4x
;
(x+2)2
30. f (x) =
x2 +1
;
2−x2
31. f (x) = 14 x4 − 52 x2 + 49 ;
ESERCIZI SULLE FUNZIONI
• Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
1. Una funzione con dominio D = [0, 1] non può avere asintoti orizzontali.
2. Se limx→+∞ f (x) = +∞ ed esiste finito limx→+∞
obliquo.
f (x)
x
allora f (x) ha un asintoto
3. Se f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] allora f è crescente in [a, b].
4. Se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0 allora x0 è un punto di massimo per f .
5. Se f è continua in [a, b] e f (a) · f (b) > 0 allora esiste x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) = 0.
6. Se limx→2 f (x) = +∞ allora f ha una asintoto verticale.
[Soluzioni: 1. V; 2. F; 3. V; 4. V; 5. F; 6. V.]
• Individuare la risposta esatta
1. Quale tra le seguenti funzioni ha un asintoto verticale
1
(a) f (x) = √
x2 −1
(c) f (x) = x2 + 5
(b) f (x) = x21+1
(d) f (x) = log(x2 + 1)
2. Quale tra le seguenti funzioni ha un asintoto orizzontale
√
x
(a) f (x) = −x2 + 1
(b) f (x) = x2 +x+1
2
(c) f (x) = x +x+1
(d) f (x) = sin x
x
3. La funzione f (x) =
2−x2 +2x3
x2
ha come asintoto
(a) y = 2 − x
(c) y = −1 + 2x
18
(b) y = 2 + 2x
(d) y = 1 + 2x
6
2
1.5
4
1
2
0.5
-6
-4
-2
2
4
-4
6
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
-2
-1
-4
-1.5
-6
-2
(I)
(II)
Figure 1: Esercizi
4. Quale tra le seguenti funzioni ha il grafico in Figura 1(I)
x
(a) y = 3−x
x2
(c) y = 9−x
2
x
(b) y = 9−x
2
1
(d) y = 9−x2
[Soluzioni: 1. (a); 2. (b); 3. (c);4. (c).]
• Completare le risposte
1. Si consideri la funzione f (x) il cui grafico è mostrato nella Figura 1(II)
Dominio: D =
Immagine: Im(f ) =
f (x) < 0 per x ∈
f (x) > 0 per x ∈
Massimo assoluto in x0 =
limx→+∞ f (x) =
Intersezioni con asse x: A = ( , ), B = ( , )
19
Esercizi sul calcolo degli integrali
Calcolare i seguenti integrali indefiniti
R
R 2
4
1) x3 dx
[Sol: x4 + c];
2) √x x dx
3)
5)
7)
9)
11)
13)
15)
17)
19)
21)
23)
√
R√
5
3
x x3 dx
R
R
√
[Sol:
15
x
29
cos x sin3 x dx
[Sol:
1
4
(1 + x)4 dx
[Sol: 15 (x + 1)5 + c];
R 1√
x
R
R
R
log x dx
√ x
1−x2
cot x dx
x
x2 +1
R
R
R
R
dx
2
3
x14 + c];
4)
sin4 x + c];
6)
8)
p
log3 x + c];
[Sol: −
√
10)
1 − x2 + c];
12)
[Sol: log | sin x| + c];
dx
ex
2ex +5
[Sol:
15
dx
14)
[Sol:
1
2
log |1 + x2 | + c];
[Sol:
1
2
log(2ex + 5) + c]; 18)
sin( 2x
) dx
3
[Sol: − 32 cos( 2x
) + c];
3
1
cos2 (3x)
[Sol:
1
3
[Sol:
ex
2
dx
2
xex dx
16)
20)
tan(3x) + c];
2
22)
+ c];
24)
R
R
R
√ x
1−x4
dx
[Sol:
1
2
arcsin x2 + c];
26)
t = x2
27)
29)
31)
33)
R
R
R
R
1
1+9x2
R
sin2 x + c];
[Sol:
sin x cos4 x dx
[Sol: − 51 cos5 x + c];
R √
2 2x + 1 dx
R
R
R
R
R
R
R
R
R
p
(2x + 1)3 + c];
[Sol:
2
3
(1 + 2x2 ) x dx
[Sol:
1
(1
36
tan x dx
[Sol: − log | cos x| + c];
1
2x+1
dx
[Sol:
dx
[Sol: log | log x| + c];
8
1
x log x
1
2
1
2
+ 2x2 )9 + c];
log |2x + 1| + c];
cos(2x) dx
[Sol:
x2 sin x3 dx
[Sol: −
1
sin2 (3−x)
[Sol: cot(3 − x) + c];
dx
sin(2x) + c];
√
e√ x
x
√
cos x3
3
√
x
dx
[Sol: 2e
+ c];
+ c];
x
√ 1
2x−x2
dx
[Sol: − arcsin(1 − x) + c];
t=1−x
dx
[Sol:
1
3
arctan(3x) + c];
28)
sin2 x dx
[Sol:
sin3 x dx
[Sol: − cos x +
cot2 x dx
[Sol: − cot x − x + c];
x
2
−
sin x cos x
2
+ c];
cos3 x
3
R
1
4+x2
30)
+ c]; 32)
34)
sin2 x + cos2 x = 1
35)
1
2
sin x cos x dx
t=
25)
√
[Sol: 25 x2 x + c];
1
sin x cos x
dx
R
R
R
dx
[Sol:
36)
20
R
x
2
arctan x2 + c];
sin x cos x
2
cos2 x dx
[Sol:
cos3 x dx
[Sol: sin x −
1
sin x
[Sol: log | tan x2 | + c];
dx
t = tan x2
[Sol: log | tan x| + c]
1
2
√
log x
x
dx
sin x =
+
+ c];
sin3 x
3
2t
1+t2
[Sol: log2
√
x + c]
+ c];
Calcolare i seguenti integrali indefiniti
R
x
1
1) √9−9x2
dx
[Sol: arcsin
+ c];
3
3)
5)
7)
9)
11)
13)
15)
17)
19)
21)
23)
25)
27)
R
(x + 5) dx
R³
R
R
1
√
2 x
+ 3x2
(x+5)2
2
[Sol:
´
dx
[Sol:
√
+ c];
dx
[Sol:
√
2
5−3
√ 1−x
1−x2
dx
[Sol: 5 arcsin x − 3x + c];
R
R
R
R
R
R
R
R
R
√
7x x+8
√
x
dx
[Sol:
5
2x2
+ c];
R
8)
[Sol: 47 (x2 + 1)2 + c];
14)
3 tan2 x
cos2 x
[Sol: tan3 x + c];
16)
1
9x2 +1
dx
dx
sin x
cos x+5
ex +1
ex +x
[Sol:
dx
arctan(3x) + c];
dx
[Sol: log |ex + x| + c];
22)
√
[Sol: − 3 3 cos x + c];
24)
ex cos x+ex sin x
2
ex cos x dx
[Sol:
log x
x3
[Sol: −
dx
R
29)
R
30)
R
31)
32)
33)
34)
R
R
R
cos3 x
√
sin
x
x
√e x
1+e
3
√x
x2 +1
2 log x+1
4x2
√1
x+1
1
ex +1
+ c];
[Sol: x − 10 arctan x + c];
R
R
R
R
R
28)
dx
dx
dx
10x3 +10x+3
5x2 +5
3
3x+1
dx
dx
(5x2 + 2)7 x dx
e3x
e3x +5
dx
√
[Sol:
(x−1)5
5
21
√
+
+ c];
(tan2 x + 3) dx
[Sol: tan x + 2x];
x sin x dx
[Sol: − x cos x + sin x + c];
x4 log x dx
[Sol:
x5 log x
5
arctan x
1+x2
[Sol:
arctan2 x
2
dx
+ c];
2
log(e3x +5)
3
√
[Sol: log( x + 1) + c];
dx
[Sol: log
2
[Sol:
+ 2)8 + c];
1√
2(x+ x)
dx
R √
35) x x − 1 dx
1
(5x2
80
[Sol: − cos ex + c];
√
√
[Sol: 2[ x − log( x + 1)] + c];
¢
[Sol:
ex sin ex dx
dx
ex
ex +1
[Sol: x2 + 35 arctan x + c];
[Sol: log |3x + 1| + c];
√
√
[Sol: 2 log( x + 1) + 2 x − x + c];
¡
6
x2 −9
x2 +1
R
26)
arctan x + c];
[Sol: − cos x + 3ex + c];
√
√
[Sol: 2 sin x − 25 sin5 x + c];
√
[Sol: 2 1 + ex + c];
√ 2 3 √
(x +1)
[Sol:
− x2 + 1 + c];
3
dx
dx
√ 2−x
√
x( x+1)
+ c];
4
3
sin x + 3ex dx
R
18)
[Sol:
[Sol: ( x6 + x3 ) + c];
R
[Sol: − log | cos x + 5| + c]; 20)
dx
sin x
√
3
cos2 x
1
3
dx
(x5 + 3x2 ) dx
R
12)
7x(x2 + 1) dx
4
3x2 +3
R
10)
√
+ 16 x + c];
7x2
2
R
6)
x7 −3x3 −5
x3
− 3x −
R
4)
x + x3 + c];
x5
5
R
2)
(x−1)3
3
+ c];
−
x5
25
+ c];
+ c];
Calcolare i seguenti integrali definiti
R3
1) 0 2 dx
[Sol: 6];
3)
5)
7)
9)
11)
13)
15)
17)
19)
21)
23)
R1
−1
R1
−1
R2
[Sol: 0];
4)
(3x2 − 2x + 1) dx
[Sol: 4];
6)
[Sol: 0];
8)
[Sol: e5 − e2 ];
10)
[Sol: 0];
12)
dx
[Sol: e − e2 ];
14)
dx
[Sol: log 2];
16)
π
2
18)
2x
−3
dx
x2 +4
R0
3 +2x+5
ex
−1
(3x2 + 2) dx
R1
x5 dx
−1
R1
1
ex
1 x2
2
R1
1
0 1+x
Rπ
2
x cos x dx
R1
ex
0 1+e2x
R −3
0
1
x5 dx
R3
0
R2
2)
[Sol:
0
25)
27)
29)
31)
ex − 1 dx
R2
1
ex
1 x2
Rπ
2
0
R2
1
dx
Rπ
0
22)
[Sol: 2 − π2 ];
24)
√
e + e]; 26)
cos x sin(2x) dx [Sol: 23 ];
x3 +
R2
4
−2 4+x2
1
x2
−
1
4
dx
dx
28)
[Sol: 4];
30)
[Sol: π];
32)
−5x3 dx
[Sol: − 20];
1+x
x
[Sol: − e];
e
[Sol: − 23 ];
[Sol: −
[Sol: 23 ];
R1
[Sol: arctan e − π4 ]; 20)
dx
√ dx
25+3x
R log 2 √
− 1];
0
x dx
dx
(ex + cos x) dx
R log π
2
0
sin(ex )ex dx
R log √3
0
R −1
0
R e3
1
ex
1+e2x
[Sol: cos 1];
[Sol:
π
];
12
(2x + 1)3 dx
[Sol: 0];
√ dx
x 1+log x
[Sol: 2];
R −1
1
−2 x3
[Sol: − 38 ];
dx
R4
1√
0 1+ x
R √2
dx
[Sol: eπ − 1];
dx
[Sol: 4 − 2 log 3];
√ 1
1−x2
dx
[Sol: π4 ];
6x+3
0 x2 +3x+2
dx
[Sol: 3 log 3];
0
2
R1
R1
x2
0 (1+x2 )2
R2√
0
dx
t = arctan x
[Sol:
π−2
];
8
4x + 1 dx
[Sol:
13
];
3
[Sol:
√
5 5−1
];
3
R2 √
x x2 + 1 dx
0
Rπ
2
0
sin2 x cos x dx
[Sol: 13 ];
Calcolare i seguenti integrali impropri, che hanno o l’intervallo di integrazione illimitato, oppure
la funzione illimitata nel punto c
R +∞
R +∞
1) 0 e−x dx
[Sol: 1];
2) 1 xe−x dx
[Sol: 2e ];
3)
5)
7)
R +∞
1
1
x2 +1
R2
√ x
1
x2 −1
R1
√ 1
0
1−x2
dx
[Sol: π4 ];
√
dx, c = 1
[Sol:
dx, c = 1
[Sol: π2 ];
4)
3]; 6)
8)
22
R +∞
0
R e−1
0
Rπ
6
0
1
1+4x2
dx
[Sol: π4 ];
1
x log2 x
dx, c = 0
[Sol: 1];
cos x
√
sin x
dx, c = 0
[Sol:
√
2];
Esercizi sulle equazioni differenziali
Calcolare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali del primo ordine:
q 2
q 2
ex
ex
1. y 0 = x(y − y 3 ),
[Sol: y(x) = 0, y(x) = c+e
,
y(x)
=
−
2 ];
x2
c+ex
2. y 0 = −2y,
[Sol: y(x) = ce−2x ];
3. y 0 = xy , con x > 0
[Sol: y(x) = cx];
4. y 0 = y tan x ,con x ∈ (− π2 , π2 )
[Sol: y(x) =
5. y 0 = y log x,
[Sol: y(x) = cex log x−x ];
6. y 0 = y − x,
[Sol: y(x) = x + 1 − cex ];
7. y 0 =
1−y
,
x
8. y 0 =
1
x2
con x > 0
[Sol: y(x) = 1 + xc ];
− xy , con x > 0
[Sol: y(x) =
x
9. y 0 = − sin x+cos
y+
sin x
10. y 0 = −y − xy 2 ,
11. y 0 = 2xy(1 − 2y)
x
,
sin x
1
x
con x ∈ (0, π)
[Sol: y(x) =
(log x + c)];
[Sol: y(x) =
1
,
cex −x−1
[Sol: y(x) =
c
];
cos x
1
sin x
¡
x−1+
c
ex
¢
];
y(x) = 0; ]
1
, y(x)
2+ce−x2
= 0; ]
√
√
[Sol: y(x) = 2 + cex , y(x) = − 2 + cex ; ]
12. y 0 = 12 y − y1
¡
√ ¢
[Sol: y(x) = (cx + x2 )2 , y(x) = 0; ]
13. y 0 = x2 y + x2 y con x > 0
√
√
14. y 0 = xy
[Sol: y(x) = x2 + c, y(x) = − x2 + c; ]
p
p
1
[Sol: y(x) = 2(log |x| + c), y(x) = − 2(log |x| + c); ]
15. y 0 = xy
16. y 0 = cos x ·
√
y+1
[Sol: y(x) =
(sin x+c)2
4
− 1, y(x) = −1; ]
Calcolare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy associate ad equazioni differenziali del
primo ordine:
½ 0
y =y−1
1.
,
[Sol: y(x) = 1];
y(0) = 1
½ 0
y =y−1
2.
,
[Sol: y(x) = 1 + ex ];
y(0) = 2
½ 0
y = 2y
3.
,
[Sol: y(x) = 0];
y(0) = 0
½ 0
y = y2
1
,
[Sol: y(x) = 1−x
];
4.
y(0) = 1
½ 0 1+y2
y = 1+x2
5.
,
[Sol: y(x) = x];
y(0) = 0
23
½
6.
½
7.
½
8.
½
9.
½
10.
½
11.
½
12.
½
13.
½
14.
½
15.
½
16.
½
17.
½
18.
½
19.
½
20.
x
y 0 = e x−y
,
y(1) = 0
[Sol: y(x) =
y 0 = ex−y
,
y(0) = 2
[Sol: y(x) = log(ex + e2 − 1)];
y 0 = y + ex
,
y(0) = 0
ex −e
];
x
[Sol: y(x) = xex ];
y 0 = −(2 + sin x)y
,
y(0) = 1
[Sol: y(x) = e−2x+cos x−1 ];
2y
y 0 = − 1−x
2 + x
,
y(2) = 0
[Sol: y(x) =
2
x−1
x+1
³
x2
2
´
+ 2x + 2 log(x − 1) − 6 ];
¡
¢
[Sol: y(x) = tan arctan x + π4 ];
1+y
y 0 = 1+x
2
,
y(0) = 1
y 0 = −2xy + xe−x
y(1) = 0
2
[Sol: y(x) = e−x
,
y
y 0 = x log
− x log x
x
,
e2
y(e) = 2
y 0 = tan x · y +
y(0) = 0
1
cos x
y 0 = −y + cos x
,
y(0) = 12
y 0 = 2x−y
,
y(0) = 2
,
2
x2 −1
];
2
³ 2
´
[Sol: y(x) = log x − x2 + e2 ];
x
];
cos x
[Sol: y(x) =
[Sol: y(x) =
cos x+sin x
];
2
[Sol: y(x) = log2 (2x + 3)];
y 0 = x+1
y
,
y(−1) = 2
[Sol: y(x) =
y 0¡=¢tany x
,
y π3 = 1
[Sol: y(x) =
y 0 = x(1 + y 2 )
,
y(0) = 1
√
√2
3
x2 + 2x + 5];
sin x];
³
[Sol: y(x) = tan
3
−x
y 0 = 2y+x
x2 −1
,
y(0) = 0
[Sol: y(x) =
x−1
x+1
³
x2
2
x2
2
+
π
4
´
];
´
+ 2x + log(x − 1) ];
2
Calcolare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali del secondo ordine lineari a
coefficienti costanti:
1. y 00 − y = 0,
[Sol: y(x) = C1 ex + C2 e−x ];
2. y 00 − y 0 = 0,
[Sol: y(x) = C1 + C2 ex ];
3. y 00 = 0,
[Sol: y(x) = C1 + C2 x];
24
4. y 00 + y = 0,
[Sol: y(x) = C1 cos x + C2 sin x];
5. y 00 − 5y 0 + 6y = 0,
[Sol: y(x) = C1 e2x + C2 e3x ];
6. y 00 + 2y 0 + y = 0,
[Sol: y(x) = C1 e−x + C2 xe−x ];
7. y 00 − 2y 0 + 5y = 0,
8. y 00 + 3y 0 + 2y = 0,
9. y 00 + y 0 + y = x,
10. y 00 + y = x + 1,
11. y 00 − y = 2 sin x,
[Sol: y(x) = C1 ex cos(2x) + C2 ex sin(2x)];
[Sol: y(x) = C1 e−x + C2 e−2x ];
h
³√ ´
³ √ ´i
3
1
√
[Sol: y(x) = ex C1 cos 2 x + C2 sin 23 x + x − 1];
[Sol: y(x) = C1 cos x + C2 sin x + x + 1];
[Sol: y(x) = C1 ex + C2 e−x − sin x];
12. y 00 − 7y 0 + 12y = 6ex ,
[Sol: y(x) = C1 e3x + C2 e4x + ex ];
Calcolare la soluzione particolare delle seguenti equazioni differenziali del secondo ordine lineari
a coefficienti costanti:
1. y 00 + y 0 + y = x,
2. y 00 − y 0 + y = e2x ,
[Sol: y(x) = x − 1;]
[Sol: y(x) =
3. y 00 − 2y 0 + y = sin x + cos x,
4. y 00 − 2y 0 + y = cos x,
e2x
];
3
[Sol: y(x) =
cos x−sin x
];
2
[Sol: y(x) = − sin2 x ];
Calcolare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy associate ad equazioni differenziali del
secondo ordine:
 00
 y − 2y 0 + 2y = x2 − 2
2
y(0) = − 21
1.
,
[Sol: y(x) = −ex sin x + x2 + x − 12 ];
 0
y (0) = 0
 00
 y − 5y 0 = 3e2x
2x
y(0) = − 21
2.
,
[Sol: y(x) = e5x − 1 − e2 ];
 0
y (0) = 4
 00
 y −y =0
y(0) = 1
3.
,
[Sol: y(x) = 12 (ex + e−x )];
 0
y (0) = 0
 00
 y + y 0 − 6y = 0
y(0) = 2
4.
,
[Sol: y(x) = 85 e2x + 25 e−3x ];
 0
y (0) = 2
 00
 y −y =x
y(0) = 0
5.
,
[Sol: y(x) = 12 (ex − e−x ) − x];
 0
y (0) = 0
 00
 y ¡−¢2y 0 + 10y = 0
y π =0
6.
,
[Sol: y(x) = − 13 ex cos (3x)];
π
 0 ¡6π ¢
y 6 = e6
25
 00
 y − 6y 0 + 8y = 3x2 + 2x + 1
47 4x
13
y (0) = 0
7.
,
[Sol: y(x) = − 11
e2x + 64
e + 38 x2 + 16
x + 41
];
8
64
 0
y (0) = 1
 00
 y − y 0 − 2y = 0
y (0) = 0
8.
,
[Sol: y(x) = e2x − e−x ];
 0
y (0) = 3
 00
 y + y0 + y = 0
√
√
x
y (0) = 0
9.
,
[Sol: y(x) = 33 e− 2 sin( 23 x)];
 0
y (0) = 21
26