Termologia
Paolo Bagnaia - CTF - 3 - Esercizi di termologia e termodinamica
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1
Esercizio – Un cubetto di ghiaccio di 150 g alla temperatura di 0° C è gettato
i un recipiente,
in
i i t che
h contiene
ti
300 g di acqua alla
ll temperatura
t
t
di 50° C.
C Dato
D t il
calore latente di fusione del ghiaccio di 80 cal/g, trovare la temperatura finale.
————————————
Soluzione – Bilancio del calore assorbito e ceduto (m = mghiaccio
hi
i ; M = macqua):
Q gghiaccio = Qacqua
= mλ + mc(Tfin - To) = Mc(Tini - Tfin) ⇒
q
Tfin = (McTini - mλ - mcTo) / (Mc + mc) =
= (300×1×50 - 150×80) / (300+150) = 6.6 °C.
NB - Abbiamo fatto l’esercizio con unità “pericolose” : calorie,
gradi centigradi, grammi; tutto bene, ma attenzione ! se
non siete sicuri, passate subito alle unità standard MKS
(joule kelvin,
(joule,
kelvin Kg) !!!
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T
0
Tini
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2
Termodinamica
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3
Esercizio – Un recipiente di volume 820 cm3 contiene 2 g di O2 alla pressione
di 2 atm.
t Calcolare
C l l
l temperatura.
la
t
t
————————————
Soluzione –
nmoli = 2 / 32 = 0.0625;
0 0625;
O2
Dalla legge dei gas perfetti :
T = pV / (nR) = 2 × 1.01 × 105 × 820 × 10-6 / (0.0625 × 8.31) = 320 K = 47 °C.
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4
Esercizio – Un recipiente di volume 90 cm3 contiene 3.5 g di O2 alla
pressione
i
di 28 atm.
t Calcolare
C l l
l temperatura.
la
t
t
————————————
Soluzione –
nmoli = 3.5
3 5 / 32 = 0.109;
0 109;
O2
Dalla legge dei gas perfetti :
T = pV / (nR) = 28 × 1.01 × 105 × 90 × 10-6 / (0.109 × 8.31) = 281 K = 8 °C.
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5
Esercizio – Calcolare la velocità quadratica media dell’aria alla temperatura di
17 °C (supporre
(
l’ i una mistura
l’aria
i t
di peso molare
l
effettivo
ff tti 29 g/mole).
/ l )
————————————
Soluzione –
Dalla teoria cinetica :
⟨v 2 ⟩ =
3nRT
3 × 8.31× (273 + 17 )
=
= 500 m / s.
−3
M
29 × 10
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6
Esercizio – Trovare il rapporto tra la velocità quadratica media tra due
quantità
tità di gas alla
ll stessa
t
t
temperatura,
t
l prima
la
i
di He,
H la
l seconda
d di N2.
————————————
Soluzione – Dalla teoria cinetica :
⟨v 2 ⟩ =
⟨v 2 ⟩
He
⟨v ⟩
2
3nRT
⇒
M
=
mN2
mHe
28
=
= 2.65;
4
N2
La velocità q
quadratica media è maggiore
gg
per il g
p
gas He.
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7
Esercizio – Un recipiente sigillato di volume 4 litri contiene 5 g di N2 alla
t
temperatura
t
di 20 °C.
C Se
S la
l temperatura
t
t
viene
i
portata
t t a 40 °C,
C di quanto
t
aumenta la pressione ?
————————————
Soluzione –
p
2
nmoli = 5 / 28 = 0.178;
Dalla legge dei gas perfetti, a volume costante :
1
∆p = p2 - p1 = nRT2 / V - nRT1 / V = nR(T2 - T1) / V =
= 0.178 × 8.31 × (313 - 293) / .004 = 7396 N/m2 = 7396 Pa;
V
NB - Per calcolare la differenza di temperatura, non è necessario
(ma non è vietato) passare a K.
K
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8
Esercizio – Un gas compie un’espansione adiabatica, che raddoppia il
volume
l
e diminuisce
di i i
l temperatura
la
t
t
di un fattore
f tt
1 32 Dire
1.32.
Di se sii tratta
t tt di un
gas mono- oppure bi-atomico.
————————————
Soluzione – Dalla legge delle adiabatiche :
γ 1 = T V γ-1
γ 1 ⇒ T /T = (V / V )γ-1
γ1 ⇒
T1V1γ-1
2 2
1 2
2
1
p
γ = 1 + log(T1/T2) / log(V2 / V1) =
= 1 + log(1/1.32) / log(1/2) =
= 1.4 = 7/ 5 ⇒
biatomico.
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1
T2
T1
2
V
♠
9
Esercizio – Due quantità di gas, uno mono- e uno bi-atomico, hanno la stessa
t
temperatura
t
e lo
l stesso
t
volume.
l
S bi
Subiscono
entrambe
t
b una compressione
i
adiabatica, che ne dimezza il volume. Quale dei due gas è più caldo ?
————————————
Soluzione – Si applica la legge delle adiabatiche :
γ
γ
= pfinVfin
piniVini
γ
⎛ 2V
p
⎛V ⎞
= pfin ⎜ ini ⎟ ⇒ fin = ⎜⎜ ini
pini ⎝ Vini
⎝ 2 ⎠
γ
⎞
⎟⎟ = 2γ ⇒
⎠
pfin Tfin Vini 2Tfin
T
=
=
⇒ fin = 2γ −1 ⇒
pini Vfin Tini
Tini
Tini
Tfin;1 Tfin;1 Tini
2γ 1 −1 2γ 1 25 / 3
=
= γ −1 = γ = 7 / 5 = 1.203;
Tfin;2 Tini Tfin;2 2 2
22 2
È più caldo il gas monoatomico.
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p
1
2
T1
Ti
T2
i
V
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Esercizio – Un gas si trova alla temperatura di 17 C, pressione di 2×105 Pa,
volume
l
di 5 litri.
lit i Compie
C
i un’espansione
’
i
i b
isobara,
il cuii lavoro
l
è 200 J.
J Trovare
T
la temperatura finale.
————————————
Soluzione –
L = p (Vfin - Vini) ⇒
Vfin = Vini + L / p ⇒ Vfin / Vini = 1 + L / (p Vini);
p
p Vini / Tini = p Vfin / Tfin ⇒
Tfin = Tini Vfin / Vini = Tini [1 + L / (p Vini)] =
= 290 × [1 + 200 / (2 × 105 × 5 × 10-3 )] =
i
f
L
V
= 348 K = 75 ºC.
C
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♠ 11
Esercizio – Tre moli di un gas perfetto monoatomico inizialmente hanno la
pressione
i
di 3 atm
t ad
d il volume
l
di 40 litri.
lit i In
I seguito
it subiscono
bi
una trasfort f
mazione isoterma reversibile, che porta il gas al volume di 120 litri ed una
trasformazione isobara reversibile,
reversibile che porta il volume a 200 litri.
litri Calcolare :
a) il calore assorbito (o ceduto) dal gas nelle due trasformazioni;
b) la variazione di energia interna nelle due trasformazioni;
c) la variazione di entropia nelle due trasformazioni.
————————————
Soluzione –
p
1
2
3
[…continua…]
V
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♠ 12
Esercizio – Tre moli di un gas perfetto monoatomico inizialmente hanno la pressione di 3 atm ad il
g
subiscono una trasformazione isoterma reversibile,, che p
porta il g
gas al
volume di 40 litri. In seguito
volume di 120 litri ed una trasformazione isobara reversibile, che porta il volume a 200 litri. Calcolare :
a) il calore assorbito (o ceduto) dal gas nelle due trasformazioni;
p
b) la variazione di energia interna nelle due trasformazioni;
1
2
3
c) la variazione di entropia nelle due trasformazioni.
————————————
Soluzione –
T1 = T2 = p1V1/(nR) = (3 · 1.01 · 105 · 40 · 10−3)/(3 · 8.31) = 486 K;
p2 = p3 = nRT2/V2 = (3 · 8.31 · 486)/(120 · 10−3) = 1.01 · 105Pa = 1 atm;
T3 = p3V3/(nR) = (1.01 · 105 · 200 · 10−33)/(3 · 8.31) = 810 K;
a) Q12 = L12 = nRT1 ln (V2/V1) = 3· 8.31 · 486 · log 3 = 13310 J;
Q23 = ncp(T3 − T2) = 3 · 2.5 · 8.31(810 − 486) = 20193 J;
b) ∆U12 = ncv(T2 − T1) = 0;
∆U23 = ncv(T3 − T2) = 3 · 1.5 · 8.31(810 − 486) = 12116 J;
c) ∆S12 = Q12/T1 = 13310/486 = 27.4 J / K;
V
∆S23 = ∫dQ/T = ncp ∫ dT/T = ncp log (T3/T2) = 3· 2.5 · 8.31 log (810/486) =
= 31.84 J / K.
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Esercizio – Una centrale geotermica usa vapore che fuoriesce dal suolo ad
una temperatura
t
t
di 400 K e acqua di raffreddamento
ff dd
t alla
ll temperatura
t
t
di 300 K.
K
a) Si trovi il rendimento massimo di questa centrale.
b) Supponendo che il rendimento reale sia del 20% e che la centrale produca
energia elettrica al ritmo di 200 MW, si trovi la differenza tra la potenza di
questa centrale e quella che avrebbe una centrale con il rendimento ideale, a
parità di calore prelevato dalla sorgente calda.
c) Si trovi la variazione di entropia dell’universo che la centrale reale produce
ognii secondo
d (suggerimento:
(
i
t sii trovi
t i il calore
l
scambiato
bi t dalle
d ll due
d sorgenti
ti ognii
secondo).
————————————
Soluzione –
[ continua ]
[…continua…]
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♠ 14
Esercizio – Una centrale geotermica usa vapore che fuoriesce dal suolo ad una temperatura di 400 K e
q di raffreddamento alla temperatura
p
di 300 K.
acqua
a) Si trovi il rendimento massimo di questa centrale.
b) Supponendo che il rendimento reale sia del 20% e che la centrale produca energia elettrica al ritmo di
200 MW, si trovi la differenza tra la potenza di questa centrale e quella che avrebbe una centrale con il
rendimento ideale, a parità di calore prelevato dalla sorgente calda.
c) Si trovi la variazione di entropia dell’universo che la centrale reale produce ogni secondo
(suggerimento: si trovi il calore scambiato dalle due sorgenti ogni secondo).
————————————
Soluzione –
a) Il rendimento massimo è quello di una macchina termica ideale:
ηmax = 1− TF /TC = 1− 300/400 = 0.25.
b) La centrale reale sottrae alla sorgente calda, ogni secondo, un calore pari a:
QC = (P · 1)/η
/ reale = 200 · 106/0.20 = 109 J
Il lavoro fatto in un secondo da una centrale ideale vale:
Lrev = QC·η
ηmax = 109·0.25 = 250 MJ;
quindi la differenza di potenza tra la centrale ideale e quella reale è di:
∆P = 250 MW - 200 MW = 50 MW.
[…continua…]
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Esercizio – Una centrale geotermica usa vapore che fuoriesce dal suolo ad una temperatura di 400 K e
q di raffreddamento alla temperatura
p
di 300 K.
acqua
a) Si trovi il rendimento massimo di questa centrale.
b) Supponendo che il rendimento reale sia del 20% e che la centrale produca energia elettrica al ritmo di
200 MW, si trovi la differenza tra la potenza di questa centrale e quella che avrebbe una centrale con il
rendimento ideale, a parità di calore prelevato dalla sorgente calda.
c) Si trovi la variazione di entropia dell’universo che la centrale reale produce ogni secondo
(suggerimento: si trovi il calore scambiato dalle due sorgenti ogni secondo).
————————————
Soluzione –
[… continuazione…]
c) Troviamo il calore ceduto alla sorgente fredda in un secondo:
QF = QC − L = 109 − 2 · 108 = 8· 108 J.
L variazione
La
i i
di entropia
t i della
d ll centrale
t l è zero perché
hé essa è una macchina
hi
ciclica. Quindi dobbiamo considerare solo le variazioni di entropia (isoterme)
delle due sorgenti.
sorgenti In un secondo,
secondo tenendo presente che la sorgente calda
cede calore mentre la sorgente fredda assorbe calore, si ha :
∆Suniv = QF /TF − QC/TC = 8· 108/300 − 109/400 = 167 · 103 J/K.
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♠ 16
Fine
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