Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 24 ottobre 2011
Algoritmo Euclideo esteso
Vedremo ora che l’algoritmo Euclideo delle divisioni successive permette (con un’opportuna
“estensione”) di calcolare anche il valore di una delle coppie di coefficienti interi relativi x,y tali che
mcd(a,b)=ax+by.
A tale scopo, se n è il numero delle divisioni dell’algoritmo Euclideo, costruiamo (mediante i
quozienti qi delle divisioni) le 2 seguenti successioni di numeri interi ≥0:
s0 ,s1,…..,sn,sn+1 ; t0,t1,….,tn,tn+1
ponendo
s0=1, s1=0, si=si-2+si-1qi-1 (per ogni i>1);
t0=0, t1=1, ti=ti-2+ti-1qi-1 (per ogni i>1)
dove qi-1 è il quoziente della divisione numero (i-1) nell’algoritmo Euclideo.
Verifichiamo che vale la seguente eguaglianza per ogni i=1,2,…,n:
ri =(-1)i+1(asi+1-bti+1) (dove ri =resto della divisione numero i nell’algoritmo Euclideo).
Usiamo il principio di induzione (IIa forma). Per i=1 l’eguaglianza è vera, in quanto dalla prima
divisione dell’algoritmo Euclideo si ricava r1=a-bq1=(-1)1+1(a⋅s2-b⋅t2) (notare che per costruzione si
ha s2=1,t2=q1).
Supponiamo vera l’eguaglianza per tutti gli indici j<i, e dimostriamola per i (supponendo i>1).
Poiché per ipotesi è vera in particolare per j=i-2, i-1, si ricava (dalla divisione numero i):
ri = ri-2 – ri-1qi = (-1)i-1(asi-1-bti-1)-(-1)i( asi-bti)qi = a((-1)i-1si-1-(-1)isiqi)-b((-1)i-1ti-1-(-1)itiqi) =
= (-1)i+1(asi+1-bti+1)
il che dimostra che la tesi è vera anche per l’indice i (per dedurre l’ultima eguaglianza basta
distinguere i casi in cui i è pari o dispari e sfruttare la definizione dei termini si+1, ti+1)
In particolare, applicando l’eguaglianza dimostrata all’indice i=n-1 otteniamo
mcd(a,b) = rn-1 = (-1)n(asn-btn) = a(-1)nsn+b(-1)n+1tn
e basta porre
x=(-1)nsn, y=(-1)n+1tn
per avere una coppia di coefficienti interi relativi x, y tali che mcd(a,b)=ax+by .
Calcoliamo la complessità computazionale dell’algoritmo Euclideo delle divisioni successive
“esteso”, supponendo sempre a>b: poniamo x=L(a)≥y=L(b) .
Facciamo alcune osservazioni che saranno utili in seguito:
1) Dalla prima divisione dell’algoritmo Euclideo segue:
a=bq1+r1≥bq1≥q1 (perché b≥1)
dalla seconda divisione:
a>b=r1q2+r2≥r1q2≥q2
Così procedendo (o più formalmente ragionando per induzione) si ottiene che in generale qi≤a per
ogni i=1,…..,n .
2) Nelle successioni si, ti costruite nell’algoritmo Euclideo esteso, si ha:
si-1ti - siti-1 = (-1)i+1 per ogni i=1,….,n+1.
Ciò si dimostra usando il principio di induzione (Ia forma). Per i=1 è facile verificarlo, in quanto:
s0t1 – s1t0 = 1.
Supponiamolo vero per i e dimostriamolo per i+1; si ha:
siti+1 - si+1ti = si(ti-1+tiqi)-(si-1+siqi)ti= -(si-1ti - siti-1) = (-1)(-1)i+1= (-1)i+2 come si voleva.
In particolare per ogni i=1,….,n+1 il numero 1 è combinazione lineare di si, ti a coefficienti interi
relativi (precisamente per i pari si ha 1 = siti-1+ti(-si-1), mentre per i dispari si ha 1 = si(-ti-1)+tisi-1)
dunque (per una proprietà dei numeri coprimi) si, ti sono coprimi per ogni i=1,….,n+1.
3) Dall’eguaglianza ri =(-1)i+1(asi+1-bti+1) (dimostrata valida per ogni i=1,….,n) moltiplicando
ambo i membri per(-1)i+1 si ottiene (-1)i+1ri = asi+1-bti+1. In particolare per i=n si ha:
asn+1-btn+1 = (-1)n+1rn =0
dunque:
asn+1 = btn+1
Poiché sn+1, tn+1 sono numeri coprimi (per la 2)), e poiché sn+1btn+1, tn+1asn+1, si ha sn+1b, tn+1a
(per una proprietà dei numeri coprimi) e in particolare sn+1≤b<a, tn+1≤a.
Ma per costruzione si=si-2+si-1qi-1≥ si-1qi-1 ≥ si-1 ed analogamente ti≥ ti-1 (per ogni i=1,….,n+1),
ossia:
si≤ sn+1≤b<a, ti ≤tn+1≤a per ogni i=1,….,n+1.
In conclusione tutti i termini delle successioni si, ti sono ≤a .
Ricordando che :
si=si-2+si-1qi-1 ; ti=ti-2+ti-1qi-1 per ogni i>1
(oltre i termini s0,s1, t0, t1 predeterminati con valore costante) il calcolo di ognuno dei 2n termini
s2,….,sn+1,t2,….,tn+1 delle 2 successioni si ottiene da una somma ed un prodotto che coinvolgono
numeri ≤a (vedere tutte le osservazioni precedenti), quindi numeri di lunghezza binaria ≤x, e
conseguentemente ognuno di tali 2n termini è calcolabile con un algoritmo di complessità di ordine
O(x+x2)=O(x2).
Poiché abbiamo già visto che il numero n di divisioni dell’algoritmo Euclideo è di ordine O(x),
questa “estensione” dell’algoritmo Euclideo ha complessità di ordine O(x3): si conclude che
(avendo l’algoritmo Euclideo complessità di ordine O(x3)), questo algoritmo Euclideo esteso ha
complessità globale polinomiale di ordine O(x3+x3)=O(x3), come l’algoritmo Euclideo originale.
Nota: si può dimostrare che in effetti l’algoritmo Euclideo esteso ha complessità di ordine O(x2)
(con gli stessi metodi più “fini” che si usano per dimostrare che l’algoritmo Euclideo ha questa
complessità).
Minimo comune multiplo.
Dati 2 numeri naturali a,b, in modo simmetrico alla definizione di mcd(a,b), si può definire il
minimo comune multiplo mcm(a,b): è un numero naturale che è multiplo comune di a,b ed è
divisore di tutti i numeri naturali multipli comuni di a,b (in particolare è il minimo dei numeri
naturali multipli comuni di a,b).
Non è però necessario costruire un algoritmo per calcolarlo, ma basta usare il seguente risultato:
dati 2 numeri naturali a,b si ha mcm(a,b)=(ab)/mcd(a,b).
Infatti, posto d=mcd(a,b), dimostriamo che il numero naturale m=ab/d ha le proprietà che
caratterizzano il mcm(a,b).
Si ha ab/d=b(a/d)=a(b/d), dove a/d, b/d sono numeri naturali, quindi ab/d è multiplo comune di
a,b.
Se poi z è un numero naturale multiplo comune di a,b, allora az, bz, quindi (a/d)(z/d),
(b/d)(z/d); ma a/d, b/d sono coprimi (per un risultato sui numeri coprimi), dunque, (per un altro
risultato sui numeri coprimi) anche il prodotto (a/d)(b/d)=ab/d2 è divisore di z/d, da cui m=ab/d è
divisore di z.
Il risultato precedente implica che il calcolo del mcm(a,b) si può effettuare con un algoritmo di
complessità di ordine O(x3) dove x=L(a) (se a>b): basta utilizzare l’algoritmo di Euclide per
calcolare d=mcd(a,b) (complessità di ordine O(x3)), calcolare il prodotto ab (complessità di ordine
O(x2)) e la divisione ab/d (di complessità di ordine O((2x)2)=O(x2), perché L(ab)≤ L(a)+L(b) ≤
2L(a)=2x): se sommiamo le complessità delle varie fasi dell’algoritmo, si ottiene una complessità
globale di ordine O(x3) .
Il concetto di massimo comune divisore si può facilmente estendere al caso di un numero qualunque
r>1 di numeri naturali a1, a2, …, ar: il mcd(a1, a2, …, ar) è un numero naturale d divisore comune
di tutti gli ai e multiplo di tutti i naturali divisori comuni degli ai.
E’ facile verificare che mcd(a1, a2, …, ar)=mcd(mcd(a1, a2, …, ar-1),ar), quindi si può ricondurre
(con un procedimento iterativo) il calcolo del mcd al caso di 2 soli numeri naturali a,b.
Analoghe considerazioni si possono fare per la definizione e il calcolo del mcm(a1,a2….,ar).
Ovviamente se x è la massima lunghezza binaria degli ai, dovendosi effettuare (r-1) volte il calcolo
del massimo comune divisore, la complessità totale dell’algoritmo è di ordine O((r-1)x3).
Se il numero r è costante (indipendente da x), tale complessità è dunque di ordine O(x3). Se invece r
= f(x) è funzione di x allora ovviamente la complessità dipende da O(f(x)).
Analoghe considerazioni si possono fare per il minimo comune multiplo di r numeri naturali.
Numeri primi.
Per ogni numero naturale a, i numeri naturali 1,a sono ovviamente divisori di a, detti divisori
banali di a.
Un numero naturale p è detto numero primo se p>1 e se gli unici divisori naturali di p sono quelli
banali.
Lemma.
Se p, a1, a2, … ,an sono numeri naturali, con p numero primo, e se p(a1a2… an) allora pai per
qualche i=1,2,....,n.
Dimostrazione:
Per induzione su n (Ia forma).
Per n=1 la tesi è banale.
Supponiamo la tesi vera per n e dimostriamola per n+1.
Se p(a1a2… anan+1), dimostriamo che pai per qualche i=1,2,...,n,n+1.
Distinguiamo 2 casi:
- se pan+1 non vi è niente da dimostrare
- se p non è divisore di an+1 allora 1=mcd(p,an+1) (perché p è primo e p non è divisore di an+1),
dunque p,an+1 sono coprimi e, per una delle proprietà dei numeri coprimi, da p[(a1a2… an)an+1]
segue p(a1a2… an); per l’ipotesi induttiva si ha allora pai per qualche i=1,2,..,n, cioè la tesi.
Teorema di fattorizzazione unica.
Ogni numero naturale n>1 è fattorizzabile nel prodotto di un numero finito di numeri primi (al
limite con un solo fattore). Inoltre tale fattorizzazione è unica a meno dell’ordine dei fattori, nel
senso che se:
p1p2…..pr = q1q2…..qs
con pi , qj primi
si ha r=s, e (riordinando opportunamente i fattori) pi=qi per ogni i .
Dimostrazione:
Esistenza della fattorizzazione. Per assurdo sia non vuoto l’insieme S di tutti i numeri naturali >1
non fattorizzabili nel prodotto di un numero finito di numeri primi, e sia a il minimo in S.
In particolare a non è primo, e sia b un divisore naturale non banale di a:
a=bc
per un opportuno c numero naturale, con b≠1, b≠a quindi 1<b<a.
Simmetricamente si ha anche c≠1, c≠a quindi 1<c<a. Essendo a minimo in S si ha b,c∉S, ossia b,c
sono fattorizzabili nel prodotto di un numero finito di numeri primi, dunque lo è a, contraddizione.
Unicità della fattorizzazione. Sia p1p2…..pr = q1q2…..qs con pi , qj primi.
Poiché p1(q1q2…..qs) , per il Lemma si ha p1qi per qualche i=1,…,s, e (riordinando
opportunamente i fattori) possiamo supporre p1q1 . Essendo p1,q1 primi (quindi >1), si ha p1=q1.
Dividendo per p1 si ha p2…..pr = q2…..qs e si può iterare il procedimento ottenendo pi=qi per ogni i .
Resta da verificare che r=s: se per assurdo fosse (per esempio) r>s, si avrebbe, dopo s iterazioni del
processo precedente:
ps+1…..pr =1
contraddizione perché ogni pi>1 .
Corollario (Euclide).
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione. Per assurdo supponiamo finito l’insieme P di tutti i numeri primi e consideriamo il
seguente numero naturale >1:
a=( ∏ p )+1 .
p∈P
Per il Teorema di fattorizzazione unica, esiste un divisore primo p0∈P di a (basta scegliere come p0
un qualunque fattore primo nella fattorizzazione di a), da cui, essendo p0 ∏ p , si ottiene p01,
p∈P
contraddizione perché p0>1 .
