LE ONDE
Per capire cos’è un’onda immaginiamo di mettere un galleggiante nell'acqua. Come dobbiamo
intervenire per farlo muovere? Per fare ciò dobbiamo compiere un lavoro e quindi cedergli
un'energia (cinetica). Ma in che modo possiamo trasferire questa energia? Ad esempio possiamo
lanciare direttamente contro al galleggiante un sasso. In questo modo è il sasso che, oltre a portarsi
appresso la propria massa, trasporta l'energia. Il sasso lo possiamo in tal caso vedere sia come un
concentrato di massa e di energia. Il sasso quando colpirà il galleggiante gli cederà la sua energia..
…e anche la sua massa se vi rimane appiccicato!
Oppure per far muovere il galleggiante possiamo far cadere in acqua il sasso, questo produce una
perturbazione rappresentata da una serie di onde che si allargano in modo concentrico che dopo
qualche istante raggiungeranno il galleggiante mettendolo in movimento. In questo caso cedo
energia al galleggiante senza servirmi di un corpo che la trasporti in modo diretto. E' l'onda che
trasporta energia ma senza dar luogo ad alcun trasporto di materia. L’onda può essere pensata come
un’energia distribuita che riempie lo spazio in cui si muove. Attenzione, le singole molecole
d'acqua non sono state trascinate dall'onda. Ogni molecola investita dall'onda si è messa ad oscillare
in direzione perpendicolare a quella di propagazione e ha comunicato tale moto alle molecole
circostanti; alla fine, tale movimento oscillatorio ha raggiunto il galleggiante. E’ un po’ come la
“ola” che si fa negli stadi dove gli spettatori diventano protagonisti alzandosi in piedi e
abbassandosi, un settore per volta, con un movimento costante che lungo tutti gli spalti da appunto
l'impressione di un'unica grande onda.
Abbiamo così scoperto che in un’ onda l'energia può essere trasmessa a distanza senza che sia
necessaria la presenza di un corpo che la trasporti direttamente da un punto all’altro. Quindi:
Un’onda che si forma per oscillazione delle molecole del mezzo nel quale si propaga (come nel
caso delle onde del mare o delle onde sonore) viene detta meccanica perché le sue proprietà
possono essere studiate con le leggi della meccanica. Tali onde potranno propagarsi soltanto se il
mezzo è elastico. Invece, le onde che non vengono generate da un movimento di materia e che
perciò si possono diffondere anche nel vuoto assoluto si dicono elettromagnetiche.
Oltre che in base alla natura della loro propagazione, i moti ondulatori vengono classificati anche in
base alla modalità con cui questa avviene.
Un’onda viene così detta longitudinale (trasversale) se le oscillazioni da cui è generata avvengono
in avanti e indietro lungo (perpendicolarmente) la sua direzione di propagazione.
Pensiamo per un attimo alle onde del mare o alle onde che si propagano in una corda tesa. Possiamo
dire che tali onde le posso rappresentare in due modi:
Rappresentazione spaziale: è quello che otterrei fotografando l’onda. La foto farebbe riferimento
ad un istante ben preciso e la foto ne descriverebbe la forma precisando lo spostamento dei suoi
punti dalla posizione di riposo. Otterrei così un grafico che si chiama forma d’onda:
Rappresentazione temporale: scelgo una particella del mezzo in cui si propaga l’onda e vado a
vedere come nel tempo cambia lo spostamento dalla sua posizione di equilibrio:
INTERFERENZA DELLE ONDE
Ve lo ricordate l’esperimento con la molla Slinky? In particolare rammentate cosa succedeva
quando inviavamo, con una “sberletta” laterale alla molla, una cresta cioè un’onda impulsiva?
Questa, quando raggiungeva l’estremità della molla diventava una gola cioè si ribaltava e tornava
indietro. Quando inviavamo immediatamente una seconda cresta a incontrare la gola succedeva che
le due onde passavano l’una attraverso l’altra e dopo la collisione ciascuna proseguiva indisturbata.
Vale a dire che due onde, a differenza di quanto farebbero due oggetti materiali, come due palline,
possono propagarsi nella stessa regione di spazio senza disturbarsi a vicenda mantenendo il proprio
profilo e la propria velocità.
Non c’è nulla di strano in questo comportamento delle onde: immaginiamo cosa succederebbe, ad
esempio, se le onde sonore emesse da due persone mentre parlano si ostacolassero le une con le
altre, anziché comportarsi mantenendo una propria identità: non si capirebbe nulla di quello che
direbbero!
Tuttavia, con la molla Slinky, se avevamo fatto ben attenzione, avremmo notato che durante
l’intervallo di tempo in cui le onde passavano l’una attraverso l’altra l’oscillazione complessiva,
detta sovrapposizione delle onde, era la composizione delle singole oscillazioni; più esattamente
l’ampiezza complessiva, cioè lo spostamento dalla posizione di equilibrio era la somma algebrica
delle ampiezze delle singole onde (poi le onde si separavano proseguendo indisturbate nel loro
moto). Questa proprietà delle onde viene chiamata principio di sovrapposizione, inoltre diciamo
che:
def 1. Si chiama interferenza il risultato della sovrapposizione di due o più onde. Quando due onde
interferiscono, in ogni istante, le loro ampiezze si sommano con il loro segno
def 2. Due onde si dicono in fase quando raggiungono entrambe contemporaneamente la propria
ampiezza massima, la propria ampiezza nulla e la propria ampiezza minima (onda 1 e 2). Se ciò non
avviene le due onde si dicono sfasate (onde 1 e 3).
Quando due onde sono in fase danno luogo ad una cosiddetta interferenza costruttiva nel senso che
l’onda risultante che ne deriva avrà un’ampiezza doppia rispetto all’ampiezza delle singole onde.
Invece, due onde sfasate danno luogo ad un’interferenza distruttiva, vale a dire che l’onda risultante
avrà ampiezza nulla. In tal caso si arriva al risultato insolito e sconcertante che, ad esempio due
suoni o due fasci luminosi possono annullarsi a vicenda: suono+suono=silenzio; luce+luce=buio!!!
2
Vogliamo dimostrare che quando due onde sono in fase interferiscono costruttivamente cioè danno
luogo ad un'onda della stessa frequenza ma avente un'ampiezza pari alla somma delle ampiezze
delle singole onde. La dimostrazione grafica è evidente (vedi fig.c). Dimostriamolo
matematicamente. Abbiamo più volte osservato che un'onda è graficamente descrivibile mediante la
funzione seno.
(3) y = sen
Poiché la funzione seno ha un'ampiezza massima che vale 1, mentre un'onda nella realtà può avere
un'ampiezza A qualunque, devo modificare la (3) scrivendo:
(4) y = Asen
Un'onda è sempre generata da un corpo o da una carica elettrica che oscilla e il moto oscillatorio,
altro non è che un moto circolare visto di profilo. Allora l'angolo può essere scritto in funzione
della velocità angolare .
(5)
t
t
sostituendo la (5) nella (4) si ottiene:
(6) y= A sent
Essendo:
2
2f
T
si ricava così l'equazione della prima onda:
(7) y1 = Asen 2ft
Se nello stesso punto dello spazio si ha una seconda onda in fase con la prima essa verrà descritta
da:
(8) y2 = Asen 2ft
L'onda risultante sarà pertanto:
(9) y = y1+y2 = 2A sen 2ft
(fig.c, onde 1+2=4)
Se la seconda onda non è in fase con la prima ma ha rispetto ad essa una differenza di fase , o
come si dice è sfasata (fig.b), le due onde non interferiranno costruttivamente. In particolare se la
differenza di fase è di 180° o equivalentemente è di mezza lunghezza d'onda (onde in opposizione
di fase), sommandole si ha un'onda piatta cioè si annullano a vicenda. Se si tratta di due onde
sonore si giunge allo strano risultato che la somma di due rumori può dare il silenzio, se invece si
tratta di due onde luminose la somma di due fasci luminosi può dare oscurità (fig.c onde1+3=5).
Dimostriamolo matematicamente. Questa volta la seconda onda è descrivibile da:
(10) y2 = Asen (2ft+180°)
la funzione seno ha la seguente proprietà:
sen (+180°) = -sen pertanto:
(11) y2 = -Asen 2ft
e quindi:
3
y = y1 + y2 =0
INTERFERENZA DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Ci domandiamo a questo punto come si fa nella pratica ad osservare interferenza costruttiva o
distruttiva. Il primo problema da risolvere è quello di ottenere due onde che siano in fase o sfasate.
Tenendo presente il fatto che le due onde devono comunque avere la stessa frequenza ci sono due
possibilità:
1) Utilizzo per generare le due onde due corpi che oscillano con la stessa frequenza. Pensiamo ad
esempio a due radio sintonizzate sullo stesso canale radio
2) Utilizzo un unico generatore, faccio passare l'unica onde generata attraverso due fenditure che la
dividerà in due onde secondarie che ovviamente avranno la stessa frequenza dell'onda che le ha
generate. Le due onde si sovrappongono per il fenomeno della diffrazione.
3) Utilizzo un unico generatore e un dispositivo che riflette le onde; si sovrappone l’onda diretta
con quella riflessa.
Il secondo metodo è quello che fornisce i migliori risultati, soprattutto se si utilizzano onde
elettromagnetiche, come le onde luminose.
In laboratorio abbiamo osservato cosa succede quando sdoppiamo la luce emessa da una sola
sorgente laser per mezzo di due sottili fenditure poste ad una distanza d. Passando attraverso
ciascuna fenditura la luce subisce la diffrazione, inoltre la luce diffratta da una delle due fenditure si
sovrappone a quella diffratta dall'altra.
Nella regione di sovrapposizione le onde luminose interferiscono costruttivamente (luce intensa) nei
punti in cui esse giungono in fase mentre interferiranno distruttivamente (buio) là dove giungono
sfasate di mezza lunghezza d'onda. Ad esempio vediamo graficamente cosa succede sullo schermo.
Ripetendo la stessa costruzione per gli altri punti dello schermo si ricava che la luce sullo schermo è
pertanto una successione di frange scure e frange luminose equispaziate la cui intensità è descritte
dalla funzione:
4
I = Im cos2
Analisi quantitativa dell'interferenza dalla doppia fenditura.
Troviamo una formula che mi permetta di prevedere a quale distanza x =PPo dal centro dello
schermo si troveranno le frange luminose.
Dalla figura risulta che se d è la distanza tra le fenditure si avrà sullo schermo una frangia luminosa
quando il lato S1N, che rappresenta la differenza tra i cammini dei due raggi luminosi, o è nullo
oppure è uguale ad un multiplo intero di una lunghezza d'onda.
(1) S1N = n
(n=0,1,2..)
Per la proprietà dei triangoli rettangoli si ha che:
(2) S1N=dsen
Che sostituita nella (1):
(3) dsen = n
I due triangoli NS1S2 e PoPO sono simili e pertanto si ha che:
(4) sen = x/OP
dato che OP L si ha che:
(5) sen=x/L
che sostituita nell(3) fornisce:
(6) d
x
n
L
da cui:
(7 ) x
nL
d
5
Invece si avrà una frangia scura se S1N è un multiplo dispari di mezza lunghezza d'onda cioè
S1N = (n+1/2) da cui:
1
(8) d sen (n )
2
Nota: mentre la (3) è sempre valida, la (7) può essere utilizzata soltanto quando la distanza L tra lo schermo e
la fenditura è molto più grande della distanza tra le due fenditure.
Es1: Due fenditure distano 0.2
mm e lo schermo si trova ad una
distanza di 1 m. La terza
frangia luminosa (senza contare la
frangia centrale) è a 7.5 mm dal centro. Trovare la lunghezza d'onda della luce usata.
xd 7.5 x10 3 x 2 x10 4
500 x10 9 500nm
n
3x1
Es2: Una stazione radio opera ad una frequenza di 1500 KHz ed ha due antenne identiche verticali
distanti 400 m i cui elettroni oscillano in fase. In quale direzione l'intensità è massima e minima?
sen
n n
d
2
se n 0,1,2 0,30,90
da notare che per valori di n 3 danno valori del seno più grandi di + o -1 e quindi non sono
accettabili. I minimi sono per = 14.5°, 48.6°
Es3: (diffrazione) Un fascio laser (=633 nm)passa attraverso una sottile fenditura e si osserva la
figura di diffrazione ad una distanza di 6 metri. Si trova che la distanza tra i due minimi del primo
ordine è di 27 mm. Quanto è larga la fenditura?
(0.28mm)
6
