Matematica per i precorsi 3/ed - Giovanni Malafarina
Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl
Capitolo 2
Svolgimento degli esercizi proposti
1. Vi sono solo termini contenenti potenze di x, e tutti hanno coefficiente nume2
rico uguale a 1, perciò raccogliamo a fattore comune x :
x 4 + x 3 + x 2 = x 2 ( x 2 + x + 1)
Il trinomio fra parentesi non è ulteriormente scomponibile.
2. Vi è l’apparente difficoltà che gli esponenti contengono una lettera. Tuttavia
essa va considerata un parametro e vanno applicate le normali proprietà delle potenze per ottenere il quoziente della divisione fra ciascun termine e il termine che
si raccoglie a fattor comune (regola della sottrazione degli esponenti); per esempio, x 3n : x n = x 3n −n = x 2n .
Il raccoglimento totale è possibile, ma non risolve granché. Invece un raccoglimento parziale permette di avere una fattorizzazione più “compatta”.
Raccogliamo x n nei primi due addendi e lasciamo gli altri come sono:
x 3n + x n +1 + x 2 n + x = x n ( x 3n −n + x n +1− n ) + x 2n + x =
= x n ( x 2 n + x ) + x 2n + x =
Adesso è facile vedere che si può raccogliere il binomio x 2n + x :
= ( x 2n + x )( x n + 1)
3. Una rapida occhiata permette di identificare il termine da raccogliere, ossia il
binomio x + y :
2
( x + y)3 + x( x + y)2 + 5 y( x + y) = ( x + y ) ( x + y ) + x ( x + y ) + 5 y
A questo punto si può sviluppare l’espressione fra parentesi quadre, ma non fattorizzare ulteriormente.
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Svolgimento degli esercizi proposti – Capitolo 2
4. Raccogliamo parzialmente nei primi due addendi:
4 x 2 + 6ax − 2 x − 3a = 2 x ( 2 x + 3a ) − 2 x − 3a =
Raccogliamo “il segno meno” (cioè il fattore –1) negli ultimi due addendi:
= 2 x ( 2 x + 3a ) − ( 2 x + 3a ) =
Ora che i segni sono stati opportunamente manipolati possiamo raccogliere il binomio 2 x + 3a :
= ( 2 x + 3a )( 2 x − 1)
5. Nuovamente un raccoglimento parziale, questa volta doppio:
−6 x + ax − 12 + 2a = x ( −6 + a ) + 2 ( −6 + a ) =
Ora raccogliamo il binomio comune:
= ( x + 2 )( −6 + a ) = ( x + 2 )( a − 6 )
6. Questa volta il raccoglimento parziale conviene farlo negli addendi centrali:
x 2 − a2 + a2 x 2 − 1 =
= x 2 + a2 ( −1 + x 2 ) − 1 =
Riordinando i termini si vede chiaramente qual è la strada su cui proseguire, ossia
il raccoglimento di x 2 − 1 :
= x 2 − 1 + a 2 ( x 2 − 1) =
= ( x 2 − 1)(1 + a2 ) =
Il primo binomio è ulteriormente scomponibile (è una differenza di quadrati):
= ( x + 1)( x − 1) (1 + a2 )
7. Non ci sono termini di grado zero, perciò cominciamo con un raccoglimento
totale:
2 x6 + 2 x 5 + x 3 + x 2 =
= x 2 ( 2 x 4 + 2 x 3 + x + 1) =
Dentro alla parentesi individuiamo uno spiraglio per un raccoglimento parziale
nei primi due addendi:
= x 2 2 x 3 ( x + 1) + x + 1 =
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Svolgimento degli esercizi proposti – Capitolo 2
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Ora è facile, raccogliamo x + 1 dentro la quadra:
= x 2 ( x + 1) ( 2 x 3 + 1 )
8. Il binomio dato è facilmente identificabile come differenza di quadrati:
1 − x6 = (1 − x 3 )(1 + x 3 )
Vediamo, per chiarezza separatamente, se possiamo scomporre uno dei due binomi fattore, o entrambi.
Iniziamo da 1 − x 3 . Siamo nel caso del Paragrafo 2.4.1, sottocaso di n dispari. Applichiamo la (2.1) con A = 1 e B = x:
1 − x 3 = (1 − x ) (1 + x + x 2 )
Perfetto, lo abbiamo fattorizzato.
Passiamo a 1 + x 3 . Siamo nel caso del Paragrafo 2.4.2, sottocaso di n dispari. Applichiamo la (2.2) con A = 1 e B = x:
1 + x 3 = (1 + x ) (1 − x + x 2 )
E due. Non ci resta che riscrivere tutto insieme:
1 − x6 =
= (1 − x 3 )(1 + x 3 ) =
= (1 − x ) (1 + x + x 2 ) (1 + x ) (1 − x + x 2 )
9. Sembra complicato, ma non lo è. I primi tre termini sono fattorizzabili come
quadrato di binomio:
−6 x + x 2 + 9 − ( x 2 − 4 ) =
2
= ( x − 3) − ( x 2 − 4 ) =
2
2
A questo punto, allontanando magari il punto di vista (il foglio), vediamo che
siamo di fronte a una differenza di quadrati, anche se in senso lato. Cioè abbiamo
un’espressione del tipo A 2 − B2 , dove A = ( x − 3) , B = ( x 2 − 4 ) . Perciò applichiamo la regolina di fattorizzazione (somma dei termini per la loro differenza):
= ( x − 3) + ( x 2 − 4 ) ( x − 3) − ( x 2 − 4 ) =
= ( x 2 + x − 7 )( − x 2 + x + 1)
Eventualmente possiamo raccogliere il segno “meno” fuori dalla parentesi.
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Svolgimento degli esercizi proposti – Capitolo 2
10. Raccogliamo x 8 e applichiamo il prodotto notevole “quadrato di binomio”:
9 10
x − x8 =
4
9
= x8 x2 − 1 =
4
3
3
= x 8 x + 1 x − 1
2
2
11. Anche in questo caso è facile identificare la differenza di due quadrati:
2
4 ( x + 1) − 9a2 =
= 2 ( x + 1) + 3a 2 ( x + 1) − 3a =
= ( 2 x + 2 + 3a )( 2 x + 2 − 3a )
12. Siamo di fronte a un trinomio; vediamo subito che il primo e il terzo termine
1
sono due quadrati, rispettivamente di 2x 5 e di ; il secondo termine è il loro
2
doppio prodotto. Essendo preceduto dal segno “meno”, la scomposizione è:
4 x10 − 2 x 5 +
1
= 2x5 −
2
1
=
4
2
13. È l’opposto del binomio dell’Esercizio 8. La scomposizione è la stessa, fatto
salvo un segno “meno”:
x6 − 1 = − (1 − x ) (1 + x + x 2 ) (1 + x ) (1 − x + x 2 ) =
= ( x − 1)( x + 1) (1 + x + x 2 )(1 − x + x 2 )
14. Non è un esercizio semplicissimo, ma essendo un caso abbastanza tipico vale
la pena imparare un procedimento particolare.
Dal Paragrafo 2.4.2, sottocaso di n pari, sappiamo che x6 + 1 non è divisibile né
per x + 1 né per x − 1. Sappiamo però che x 3 + 1 lo è. Proviamo allora con un
trucco. Poniamo x 2 = t , per cui x6 = t 3 :
x6 + 1 →
( t 3 + 1)
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Scomponiamo questo binomio in t come abbiamo già visto nello svolgimento
dell’Esercizio 8:
t 3 + 1 = ( t + 1) ( t 2 − t + 1)
Ora torniamo all’espressione in x sostituendo “all’indietro”:
2
t 3 + 1 = ( t + 1 ) ( t 2 − t + 1 ) → x 6 + 1 = ( x 2 + 1 ) ( x 2 ) − x 2 + 1 =
= ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1)
15. Lo abbiamo già visto nell’Esempio 19, al quale rimandiamo:
8 x 2 − 2 x − 3 = ( 2 x + 1)( 4 x − 3)
16. Operiamo come per l’Esercizio 15: cerchiamo due numeri che addizionati
diano +5 e moltiplicati diano –14; sono evidentemente i numeri +7 e –2. Perciò:
2 x 2 + 5x − 7 = 2 x 2 + 7 x − 2 x − 7 =
= x ( 2x + 7 ) − ( 2x + 7 ) =
= ( 2 x + 7 )( x − 1)
17. Applichiamo il “trucco” usato nell’Esercizio 14; poniamo x 2 = t , a 2 = b.
125 x6 + a6 → 125t 3 + b3
Applichiamo la (2.2):
3
125t 3 + b3 = ( 5t ) + b3 =
= ( 5t + b ) ( 5t ) − 5bt + b2 = ( 5t + b ) ( 25t 2 − 5bt + b2 )
2
Sostituiamo all’indietro:
125t 3 + b3 = ( 5t + b ) ( 25t 2 − 5bt + b2 )
↓
125x + a = ( 5x + a 2 )( 25x 4 − 5a2 x 2 + a 4 )
6
6
2
18. La fattorizzazione del trinomio dato è una semplice “coppietta”: si tratta solo
di trovare due numeri che sommati diano –12 e moltiplicati diano +35:
x 2 − 12 x + 35 = ( x − 7 )( x − 5)
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19. Operiamo come per l’Esercizio 16: cerchiamo due numeri che addizionati
diano –5 e moltiplicati diano 4; sono evidentemente i numeri –1 e –4. Perciò:
4 x 2 − 5x + 1 = 4 x 2 − 4 x − x + 1 =
= 4 x ( x − 1) − ( x − 1) =
= ( x − 1)( 4 x − 1)
20. Riordiniamo il trinomio:
8 − 2 x − x2 =
= − x2 − 2x + 8 = − ( x2 + 2x − 8) =
Ricorriamo ancora alle “coppiette”:
= − ( x + 4 )( x − 2 )
21. Eseguiamo dei raccoglimenti parziali:
2 x 3 + x 2 y − x 2 + 2 xy + y 2 − y =
= x 2 ( 2 x + y − 1) + y ( 2 x + y − 1) =
= ( 2 x + y − 1) ( x 2 + y )
22. È un quadrinomio; se lo riordiniamo vediamo l’alternanza dei segni e ci accorgiamo che è fattorizzabile come cubo di binomio:
12 x − 48 x 2 + 64 x 3 − 1 = 64 x 3 − 48 x 2 + 12 x − 1 =
3
= ( 4 x − 1)
23. Possiamo applicare il Teorema del resto. Cercando i candidati troviamo che le
1
radici del polinomio sono , 2, − 1. Perciò:
2
2 x3 − 3x 2 − 3x + 2 =
1
= x − ( x − 2 )( x + 1) Q( x ) =
2
Eseguendo la divisione troviamo Q(x) = 2, pertanto:
1
= 2 x − ( x − 2 )( x + 1) =
2
= ( 2 x − 1)( x − 2 )( x + 1)
