La situazione attuale in Meccanica Quantistica di Erwin Schroedinger

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La situazione attuale in Meccanica Quantistica di Erwin Schroedinger
Traduzione dell’”articolo sul paradosso del gatto” di Schroedinger del 1935.
Introduzione
1. La Fisica dei Modelli
2. Statistica sulle Variabili di Modello in Meccanica Quantistica
3. Esempi di Predizioni Probabilistiche
4. La Teoria può basarsi su Insiemi Ideali?
5. Le Variabili sono davvero Sfuocate?
6. Il Dietro Front Deliberato del Punto di Vista Epistemologico
7. La Funzione Psi come Elenco di Speranze
8. Teoria della Misura, Parte Uno
9. La Funzione Psi come Descrizione di Stato
10. Teoria della Misura, Parte Due
11. Risoluzione del Risultato ad ”Intreccio” Dipendente dall’Intenzione dello
Sperimentatore
12. Un Esempio
13. Continuazione dell’Esempio: Tutte le Possibili Misure sono Inequivocabilmente
Intrecciate
14. Dipendenza Temporale dell’Intreccio. Considerazioni sul Ruolo Speciale del Tempo
15. Legge Naturale o Strumento di Calcolo?
Introduzione
Questo è il famoso articolo di Schroedinger del 1935 apparso su Die Naturwissenschaften.
Precedentemente, nello stesso anno apparve l’articolo, altrettanto famoso, di Einstein,
Podolsky, Rosen che motivò l’elaborato di Schroedinger.
Traduzione
1. La Fisica dei Modelli
Nella seconda metà del XIX secolo sorse, a causa del grande progresso nella teoria
cinetica dei gas e nella teoria meccanica del calore, un ideale della descrizione esatta della
natura che emerse come il meritato premio ad una lunga ricerca secolare e come il
coronamento di una lunga speranza millenaria; un ideale definito per ciò classico. Queste
sono le sue caratteristiche.
Possiamo fondare una rappresentazione basata sì sui dati sperimentali in proprio
possesso, ma senza ingabbiare l’intuizione e l’immaginazione di oggetti naturali, di cui
possiamo trattare il comportamento; di questa rappresentazione possiamo elaborare tutti i
dettagli in maniera esatta, in una maniera esatta molto più di quanto qualunque
esperienza, considerata necessariamente finita, possa mai convalidare. La
rappresentazione nella sua assoluta determinatezza rassomiglia ad un concetto
matematico o ad una figura geometrica che si può calcolare completamente a partire da
un certo numero di parti determinanti; per esempio, un lato di un triangolo e i due
angoli adiacenti, come parti determinanti, determinano tra l’altro il terzo angolo, gli altri
due lati, le tre altezze, il raggio del cerchio inscritto, e così via. La rappresentazione,
inoltre, differisce intrinsecamente da una figura geometrica sotto questo aspetto
importante, che essa è così nettamente determinata, proprio come una figura nelle tre
dimensioni spaziali, anche nel tempo visto come quarta dimensione. Perciò è sempre
questione (come è autoevidente) di un concetto che cambia nel tempo, che può assumere
differenti stati; in aggiunta, se uno stato, del necessario numero di parti determinanti,
diventa noto in un certo istante, allora sono anche date per quell’istante non solo tutte le
altre parti (come illustrato col triangolo), ma come tutte le parti, lo stato completo, per
ogni ulteriore dato istante; proprio come la caratteristica di un triangolo nella base
determina la caratteristica del triangolo al vertice. Fa parte della legge interna del concetto
che esso dovrebbe mutare in una data maniera, cioé, se lasciato a sé stesso in un dato
stato iniziale, esso dovrebbe passare con continuità attraverso una data sequenza di stati,
ciascuno dei quali viene raggiunto in un istante completamente determinato. Sia che sia
per sua natura, sia in virtù delle ipotesi, in entrambi i casi, come ho detto sopra, possiamo
costruire su fondamenta di intuizione e di immaginazione.
Naturalmente non dobbiamo pensare così alla lettera, che in questo modo si impara come
vanno le cose nel mondo reale. Per mostrare che noi non pensiamo questo, noi chiamiamo
il preciso aiuto mentale che abbiamo creato, immagine o modello. Con questa chiarezza
liberata dal senno di poi, che non si può raggiungere senza arbitrarietà, ci siamo
puramente assicurati che si può analizzare un’ipotesi completamente determinata alla
ricerca delle sue conseguenze, senza ammettere ulteriore arbitrarietà durante i tediosi
calcoli richiesti per derivare quelle conseguenze. Qui abbiamo un esplicito benservito e in
realtà otteniamo soltanto quello che avremmo potuto estrarre direttamente dai dati!
Almeno alla fine sappiamo dove sta l’arbitrarietà e dove deve avvenire il miglioramento in
caso di un disaccordo con l’esperienza: nell’ipotesi iniziale o nel modello. Per questo
dobbiamo essere sempre pronti. Se in molti e vari esperimenti gli oggetti naturali si
comportano come il modello, siamo felici e pensiamo che l’immagine si adatti alla realtà
nelle sue caratteristiche essenziali. Se, al contrario, gli oggetti naturali non si adattano al
modello, in un nuovo esperimento o in raffinamenti nelle tecniche di misura, non è detto
che non ci dobbiamo sentire felici. Al fondamento questo è il significato del portare
gradualmente la nostra rappresentazione, vale a dire il nostro pensiero, sempre più vicina
alla realtà.
Il metodo classico del modello preciso ha come scopo principale quello di mantenere
l’inevitabile arbitrarietà nettamente isolata dalle sue ipotesi, più o meno come nella cellula
il citoplasma isola il nucleoplasma, a causa del processo storico di adattamento di
un’esperienza continuativa . Forse il metodo si basa sull’assunzione che in qualche modo
lo stato iniziale determini in realtà in modo unico gli eventi susseguenti, o che un modello
completo, accordandosi con la realtà in completa esattezza, permetterebbe calcoli
predittivi dei risultati di ogni esperimento con esattezza completa. Forse d’altro canto è
questa assunzione a basarsi sul metodo. Resta peraltro del tutto probabile che
l’adattamento del pensiero all’esperienza sia un processo infinito e che un “modello
completo” sia una contraddizione nei termini, così come lo è il “più grande di tutti gli
interi”.
Una presentazione chiara di ciò che si intende per modello classico, per sue parti
determinanti, per suo stato è il fondamento per tutto ciò che segue. Soprattutto, non
devono essere confusi tra loro il concetto di modello determinato e il concetto di stato
determinato del modello. Meglio considerare un esempio. Il modello di Rutherford
dell’atomo di idrogeno consiste di due masse puntiformi. Come parti determinanti
potremmo per esempio usare le sei coordinate cartesiane dei due punti e le sei
componenti delle velocità dei due punti, misurate lungo gli assi coordinati, perciò dodici
parti determinanti in tutto. Invece di fare questa scelta potremmo anche scegliere: le
posizioni coordinate e le componenti delle velocità del centro di massa, più la
separazione tra i due punti, più due angoli che definiscono la direzione nello spazio
della retta che unisce i due punti, più le velocità scalari (= derivate rispetto al tempo) con
cui la separazione e i due angoli cambiano nel tempo: questo di nuovo porta il numero
delle parti determinanti a dodici. Non è parte del concetto “modello Rutherford dell’atomo
H” che le parti determinanti dovrebbero avere particolari valori numerici. Assegnando tali
valori numerici, noi arriviamo ad uno stato determinato del modello. La visione nitida
della totalità degli stati possibili, ancora tuttavia senza relazione tra di essi, costituisce “il
modello” o “il modello in qualsivoglia stato”. Il concetto di modello tuttavia assomma a
qualcosa di più della semplice elencazione: due punti in certe posizioni, dotati di certe
velocità. Nel concetto di modello risiede anche la conoscenza per ogni stato di come esso
cambierà nel tempo in assenza di interferenze esterne. (L’informazione di come una metà
delle parti determinanti cambierà nel tempo è davvero fornita dall’altra metà, ma come
cambierà questa altra metà deve essere determinato in maniera indipendente). Questa
conoscenza è implicita nelle ipotesi: i punti hanno le masse m, M e le cariche –e, +e e
perciò si attraggono l’una e l’altra con forza e^2/r^2 (legge di Coulomb, prodotto delle
cariche per l’inverso del quadrato della separazione), se la loro separazione è r.
Questi risultati, con valori numerici definiti per m, M ed e (ma non naturalmente per r),
appartengono alla descrizione del modello (non primieramente e soltanto a quello stato
definito). m, M ed e non sono parti determinanti. In antitesi, la separazione r lo è. Appare
come la settima parte nel secondo “insieme” nell’esempio introdotto sopra. E se noi
usiamo il primo insieme, r non è una tredicesima parte determinante, infatti possiamo
calcolarla (col teorema di Pitagora) a partire dalle sei coordinate cartesiane:
r = [(x1 – x2)^2+( y1 – y2)^2+( z1 – z2)^2]^(1/2).
Il numero di parti determinanti (che spesso vengono chiamate variabili in antitesi alle
costanti del modello come m, M, e) è illimitato. Dodici convenientemente scelte
determinano tutte le altre, ossia lo stato. Nessun gruppo di dodici parti determinanti ha il
privilegio di essere le parti determinanti. Altri esempi di importanti parti determinanti sono
specialmente: l’energia totale, le tre componenti del momento angolare rispetto al centro
di massa, l’energia cinetica dovuta al moto del centro di massa. Queste appena nominate
hanno, tuttavia, un carattere speciale: esse sono davvero variabili, cioè hanno differenti
valori in differenti stati, ma in ogni sequenza di stati, cioè quegli stati davvero visitati
dall’atomo nel corso del tempo, esse mantengono lo stesso valore. Per questo sono anche
chiamate costanti del moto, differente da costanti del modello.
2. Statistica sulle Variabili di Modello in Meccanica Quantistica
Nel perno centrale della meccanica quantistica contemporanea sta un credo, che forse
potrà sottostare a molti spostamenti di significato, ne sono convinto, o forse no che alla
fine cessa di essere il perno centrale. È questo: che i modelli con parti determinanti che
determinano in modo unico le altre parti, come fanno le parti determinanti classiche, non
rendono giustizia alla natura.
Possiamo pensare che per chiunque creda ciò i modelli classici abbiano finito di giocare un
ruolo, abbiano fatto il loro tempo. Ma non è così. Al contrario, piuttosto, usiamo
precisamente proprio loro, non solo per mostrare ciò che non è la nuova dottrina, ma
anche per descrivere la mutua determinazione diminuita che rimane dopo tutto tra le
stesse variabili degli stessi modelli come fossero ancora usate nella maniera primeva,
come segue:
A. Il concetto classico di stato va perso, in questo almeno che ad una ben scelta
metà di un insieme completo di variabili possono essere assegnati definiti valori
numerici; nell’esempio del modello di Rutherford per esempio le sei coordinate
cartesiane o le componenti della velocità (sono possibili anche altri
raggruppamenti). L’altra metà allora rimane completamente indeterminata, mentre
le parti in soprannumero possono mostrare gradi altamente variabili di
indeterminazione. In generale, di un insieme completo (per il modello di Rutherford,
dodici parti determinanti) tutto sarà noto solo con un certo grado di incertezza.
Possiamo tener traccia meglio del grado di incertezza seguendo la meccanica
classica e scegliendo variabili disposte in coppie delle cosiddette variabili
canonicamente coniugate. L’esempio più semplice è una coordinata spaziale x di
una massa puntiforme e la componente p_x nella stessa direzione dell’impulso (=
quantità di moto, massa per velocità). Una coppia siffatta vincola la precisione
reciprocamente con cui ciascuna può essere simultaneamente nota, in modo tale
che il prodotto della loro tolleranza o ampiezze di variazione (abitualmente indicate
mettendo una Delta davanti alla quantità) non può cadere al di sotto della
grandezza di una certa costante universale, così:
x px
h
2
Delta-x . Delta-p_x >= htagliata. (relazione di incertezza di Heisenberg)
B. Se anche in un solo istante dato non tutte le variabili sono determinate da qualcuna
di esse, allora naturalmente nessuna di loro è determinata in un momento
successivo comunque si ottengano i dati. Questo possiamo chiamarlo una rottura
della causalità, ma tenendo conto di A., non è nulla di essenzialmente nuovo. Se
uno stato classico non esiste in una qualche momento, difficilmente può cambiare
con causalità. Ciò che deve cambiare sono le statistiche o le probabilità,
queste inoltre con causalità. Variabili individuali nel frattempo possono diventare
più o meno incerte. Complessivamente si può dire che la precisione totale della
descrizione non cambia nel tempo, perché il principio di limitazione descritto in A.
rimane lo stesso in ogni momento.
Ora quale è il significato dei termini “incerto”, “statistica”, “probabilità”? Qui la
Meccanica Quantistica dà la seguente descrizione. Essa prende il controllo ciecamente
dal modello classico dell’intero infinito elenco di immaginabili variabili o parti
determinanti e proclama che ciascuna parte deve essere direttamente misurabile,
in realtà misurabile con precisione arbitraria, fin qui fino a quanto ne è coinvolta da
sola. Se mediante un ben scelto insieme vincolato di misure noi riusciamo a
guadagnare la conoscenza di un oggetto massima per quanto è possibile secondo A.,
allora l’apparato matematico della nuova teoria fornisce i mezzi per assegnare, per lo
stesso istante di tempo e per tutti i successivi, una distribuzione statistica
completamente determinata per ogni variabile, cioè, un’indicazione della frazione di
casi in cui l’insieme si verrà a trovare con questo o con quel valore, o dentro questo o
quel piccolo intervallo (che è ancora chiamato probabilità). La dottrina dice che questo
difatti è la probabilità di incontrare la variabile di pertinenza, se la misuriamo
nell’intervallo di tempo di pertinenza, con questo o quel valore. Con una singola prova
possiamo dare almeno un test approssimato della correttezza della predizione della
probabilità, cioè nel caso in cui essa sia relativamente acuta, vale a dire che dichiara
possibile solo un piccolo intervallo di valori. Per provarla accuratamente dobbiamo
ripetere l’intera prova ab ovo (cioè, incluse le misure preparatorie, orientative) molto
spesso e possiamo usare solo quei casi in cui le misure preparatorie danno
esattamente gli stessi risultati. Per questi casi, allora, la statistica di una particolare
variabile, calcolata in anticipo dalle misure preparatorie, deve essere confermata dalle
misure: questa è la dottrina.
Dobbiamo salvaguardare questa dottrina dalla critica che sia così difficile da esprimere:
questo fatto è più un problema di linguaggio. Ma emerge una differente critica. A fatica
un fisico dell’era classica avrebbe osato credere, nel pensare al modello, che le parti
determinanti siano misurabili sull’oggetto naturale. Solo conseguenze molto più remote
della rappresentazione era davvero aperte a prove sperimentali. E tutte le esperienze
puntavano verso una conclusione: molto prima che l’avanzamento delle arti
sperimentali avesse gettato un ponte sopra il grande abisso, il modello si sarebbe
sostanzialmente modificato adattandosi ai nuovi fatti. Adesso mentre la nuova teoria
proclama il modello classico incapace di specificare tutti i dettagli delle mutue
interrelazioni delle parti determinanti (al quale scopo i suoi creatori l’avevano
inteso), ciononostante essa considera il modello adatto a guidarci proprio nel
discriminare quali misure in base ai principi si possono fare sull’oggetto naturale
pertinente. Questo sarebbe sembrato a coloro i quali idearono la rappresentazione una
scandalosa estensione del loro modello di pensiero e una proscrizione senza scrupoli di
futuri sviluppi. Non ci sarebbe stata una prestabilita armonia di un tipo particolare se i
ricercatori dell’epoca classica, coloro i quali, come sentiamo oggi, non avevano alcuna
idea di cosa fosse veramente una misura, avessero continuato a darci
involontariamente come lascito uno schema guida
che rivelasse cosa sia
fondamentalmente misurabile per esempio nell’atomo di idrogeno!?
Spero più avanti di riuscire a chiarire come la dottrina dominante sia nata dall’angoscia.
Nel frattempo continuo a esporla.
3. Esempi di Predizioni Probabilistiche
Tutto ciò che è stato detto prima riguarda le parti determinanti di un modello classico, le
posizioni e le velocità di masse puntiformi, le energie i momenti angolari, ecc.. L’unica
caratteristica non classica è il fatto che sono predicibili solo le probabilità. Prendiamone
una vista più da vicino. Il trattamento ortodosso è sempre che, per il fatto che certe
misure eseguite ora e per il fatto che la predizione che ne scaturisce dei risultati che ci si
deve aspettare da altre misure seguenti da allora in poi o immediatamente o ad un certo
dato istante, noi guadagnamo la migliore possibile stima di probabilità permessa dalla
natura. Ora in cosa consiste davvero il problema? In casi importanti e tipici come segue.
Se misuriamo l’energia di un oscillatore di Planck, la probabilità di trovare per essa un
valore che sta tra E ed E’ non può possibilmente essere altro che zero a meno che tra E ed
E’ non giaccia almeno un valore della serie 3 pigreco htagliata nu, 7 pigreco htagliata nu, 9
pigreco htagliata nu,… Per qualunque intervallo non contenente nessuno di questi valori la
probabilità è zero. In parole povere: sono escluse altri risultati dalle misure. I valori sono
tutti i multipli dispari della costante del modello pigreco htagliata nu
htagliata = (costante di Planck) /2 pigreco, nu = frequenza dell’oscillatore.
Spiccano due elementi. Primo, non si tiene nessun conto di precedenti misure, queste
sono del tutto non necessarie. Secondo, l’asserzione non soffre certo di un’eccessiva
mancanza di precisione, del tutto al contrario è più acuta di qualunque altra reale misura si
possa fare.
Figura 1.
/|\
|
|M
.
.
O………….. F
.
.
.
Momento angolare. M è un punto materiale, O è un punto di riferimento geometrico. La
freccia vettoriale rappresenta il momento, quantità di moto (= massa per velocità) di M.
Allora il momento angolare è il prodotto della lunghezza della Freccia per la lunghezza OF.
Un altro tipico esempio è la grandezza del momento angolare. In Fig. 1 sia M una massa
puntiforme in moto, con il vettore che rappresenta, in grandezza e direzione, la quantità di
moto (massa per velocità). O è un punto arbitrario fisso nello spazio, diciamo l’origine
delle coordinate; perciò non un punto significativo dal punto di vista fisico, piuttosto un
punto di riferimento geometrico. Per grandezza del momento angolare di M intorno ad O
la Meccanica Classica intende il prodotto della lunghezza del vettore quantità di moto per
la lunghezza della normale OF. In Meccanica Quantistica la grandezza del momento
angolare è retta nello stesso modo dell’energia dell’oscillatore. Di nuovo la probabilità è
nulla per qualunque intervallo che non contiene qualche valore della seguente serie
htagliata(2)^(1/2), htagliata(2X3)^(1/2), htagliata(3X4)^(1/2), htagliata(4X5)^(1/2), …;
cioè, solo uno di questi valori è permesso. Di nuovo questo fatto è vero senza riferimento
alle misure precedenti. E noi prontamente concepiamo quanto importante sia questa
precisa asserzione, molto più importante del sapere quale di questi valori, o quale
probabilità per ciascuno di essi, potrebbe essere realmente pertinente al caso dato. Inoltre
è anche degno di nota qui che non c’è alcuna menzione del punto di riferimento:
comunque sia scelto otterremo un valore dalla serie. Questa asserzione sembra
irragionevole per il modello, perché la normale OF cambia continuamente a seconda di
come si sposta il punto O, se il vettore quantità di moto resta invariato. In questo esempio
vediamo come la Meccanica Quantistica usi davvero il modello per leggere quelle quantità
che possiamo misurare e per le quali ha senso predire dei risultati, ma trovi il modello
classico inadeguato per spiegare le relazioni tra queste quantità. Ora in entrambi gli
esempi non riusciamo a cogliere la sensazione che il contenuto essenziale di ciò che è
stato detto solo con una certa difficoltà può essere costretto nello stivaletto malese della
predizione di probabilità di trovare questo o quell’esito di misura per una variabile del
modello classico? Non riusciamo a cogliere l’impressione che qui ora trattiamo con
proprietà fondamentali di nuove classi di caratteristiche, che mantengono in comune con
quelle classiche solo il nome? E d’altro canto in nessun modo stiamo parlando qui di casi
eccezionali, piuttosto sono precisamente le asserzioni proprie veramente della nuova teoria
che hanno questo carattere. In realtà ci sono problemi quasi più del tipo per i quali il
modo di espressione è adatto. Ma essi non sono della stessa importanza. Inoltre di
nessuna importanza affatto sono quelli che sono impostati ingenuamente come esercizi in
classe. “Data la posizione dell’elettrone nell’atomo di idrogeno nell’istante t=0, trovare la
statistica della sua posizione in istanti successivi”. Nessuno si preoccupa di tali cose.
La grande idea sembra essere che tutte le asserzioni appartengono al modello intuitivo.
Ma le asserzioni utili sono scarsamente intuitive e gli aspetti intuitivi sono di poco valore.
4. La Teoria può basarsi su Insiemi Ideali?
Il modello classico gioca il ruolo di Proteo, il mitologico dio marino che assumeva
qualunque forma animale, in Meccanica Quantistica. Ciascuna delle sue parti determinanti
può diventare a seconda delle circostanze un oggetto di interesse e acquisire un certo
grado di realtà. Ma mai tutte le parti determinanti del modello classico insieme, ora sono
queste, ora sono quelle e in realtà sempre almeno metà dell’insieme completo di variabili
permesso da una piena rappresentazione dello stato momentaneo. Nel frattempo, cosa
dire delle altre? Abbiano esse allora nessuna realtà, forse (perdonate l’espressione) una
realtà sfuocata, oppure tutte quante siano sempre reali, ma sia solo, secondo il Teorema
A. del paragrafo 2, che sia esclusa la conoscenza simultanea di esse?
La seconda interpretazione è particolarmente attraente per coloro abituati al punto di
vista statistico che si formò nella seconda metà del precedente secolo, il XIX,
considerando che la teoria quantistica nacque, all’alba del XX secolo, da lì, da un
problema centrale nella teoria statistica del calore (Teoria dell’Irraggiamento del Calore di
Max Planck, dicembre, 1899). L’essenza di questa linea di pensiero è precisamente questa:
noi praticamente non conosciamo mai tutte le parti determinanti del sistema, solamente
un pugno di queste. Per descrivere un corpo reale in un dato istante non possiamo perciò
affidarci ad uno stato del modello, ma al cosiddetto insieme di Gibbs. Con ciò si intende
un insieme ideale, cioè puramente immaginato, di stati, che riflette accuratamente la
nostra conoscenza limitata del corpo reale. Si considera allora che il corpo si comporta
come fosse in un singolo stato arbitrariamente tratto da quell’insieme. Questa
interpretazione ha avuto i più estesi riconoscimenti per i risultati forniti. I trionfi più grandi
li ha dati in quei casi in cui non tutti gli stati dell’insieme conducevano allo stesso
comportamento osservabile. In tal modo il comportamento del corpo è ora questo, ora
quello, proprio come previsto (fluttuazioni termodinamiche). A prima vista si potrebbe
tentare di riferire le asserzioni sempre incerte della Meccanica Quantistica a un insieme
ideale di stati, dei quali uno del tutto specifico si applica in un’istanza concreta, ma non
sappiamo quale.
Che queste considerazioni non funzionino è mostrato nell’esempio del momento angolare,
un esempio tra i tanti. Immaginiamo in Fig. 1 che il punto M sia da collocare in varie
posizioni relativamente a O e combaci con vari vettori di quantità di moto, e di combinare
tutte queste possibilità in un insieme ideale. Allora si potrebbe davvero scegliere queste
posizioni e questi vettori in ogni caso in cui il prodotto della lunghezza del vettore per la
lunghezza della normale OF dà uno o l’altro dei valori accettabili, relativamente al
particolare punto O. Ma per un punto arbitrariamente differente O’, naturalmente,
capitano valori inaccettabili. Perciò appellarsi all’insieme non è di nessun aiuto. Un altro
esempio è l’energia dell’oscillatore. Prendiamo il caso in cui l’oscillatore abbia un valore
determinato molto piccato, per esempio il più basso, cioè 3 pigreco htagliata nu. La
separazione delle due masse puntiformi (che costituiscono l’oscillatore) allora appare
molto meno piccata. Per essere capaci di riferire questa asserzione a un collettivo
statistico di stati si dovrebbe richiedere che la distribuzione delle separazioni siano limitate
in modo molto netto, almeno verso i valori grandi, da quella separazione per la quale
l’energia potenziale da sola dovrebbe uguagliare o superare il valore 3 pigreco htagliata
nu. Ma questo non è ciò che accade, si incontrano separazioni arbitrariamente grandi,
persino con probabilità marcatamente ridotte. E questo non è un risultato del calcolo
meramente secondario, che potrebbe in qualche modo essere circoscritto, senza colpire al
cuore la teoria: insieme a molte altre questioni, il trattamento della radioattività da parte
della Meccanica Quantistica (Gamow) riposa su questo stato di cose. Potremmo andare
avanti indefinitamente con altri esempi. Si potrebbe notare che non c’era alcuna questione
riguardante le variazioni dipendenti dal tempo. Non sarebbe di alcun aiuto permettere al
modello di variare in maniera “non classica”, forse di “saltare”. Già per il singolo istante le
cose vanno male. In nessun momento esiste un insieme di stati classici del modello che si
accordi con la totalità delle asserzioni quantomeccaniche di quel momento. La stessa cosa
si può anche dire come segue: se io desiderassi ascrivere al modello in ogni istante uno
stato definito (semplicemente non noto esattamente a me), o (il che è lo stesso) a tutte
le parti determinanti definiti valori numerici (semplicemente non noti esattamente a me),
allora non esiste nessuna supposizione per come potrei immaginare questi valori numerici
che non andasse in conflitto con qualche parte di asserzioni teoriche quantiche.
Questo non è proprio ciò che uno si aspetterebbe, sentendo che i pronunciamenti della
nuova teoria sono sempre incerti a paragone di quelli classici.
5. Le Variabili sono davvero Sfuocate?
L’altra alternativa consiste nell’accordare realtà solo alle parti determinanti
momentaneamente nette o in termini più generali accordare a ciascuna variabile un tipo di
attuazione corrispondente alla statistica quantomeccanica di questa variabile proprio nel
momento attuale.
Che non sia impossibile esprimere il grado e il genere di sfuocamento di tutte le variabili
in un solo perfettamente chiaro concetto deriva subito dal fatto che la Meccanica
Quantistica come dato di fatto possiede e usa un tale strumento, la cosiddetta funzione
d’onda o funzione psi, detta anche vettore di sistema. Più avanti si dirà di più su di essa.
Che sia un costrutto matematico astratto, controintuitivo, è una preoccupazione che quasi
sempre si contrappone a futuri sviluppi di pensiero e che non porta nessun grande
messaggio. Per tutti gli eventi è un’entità presupposta che pone un’idea dello sfuocamento
di tutte le variabili in ogni momento proprio così chiaramente e fedelmente come fa il
modello classico di cui essa rende precisi i valori numerici. La sua equazione del moto, la
legge della sua variazione temporale, per quanto il sistema permanga indisturbato, non
perde una iota, anche, in chiarezza e determinazione, seguendo in tal modo il
comportamento delle equazioni del moto del modello classico. Così quest’ultimo potrebbe
essere direttamente sostituito dalla funzione psi, fino a quando lo sfuocamento è confinato
su scala atomica, non sottoposto a controllo diretto. Infatti la funzione ha fornito idee del
tutto intuitive e adatte, per esempio “la nuvola di elettricità negativa” attorno al nucleo,
ecc. Ma sorgono seri dubbi se si nota che l’incertezza tocca cose visibili e tangibili
macroscopicamente, per le quali il termine “sfuocato” sembra semplicemente sbagliato. Lo
stato di un nucleo radioattivo è presumibilmente sfuocato in un grado e modalità tale che
non è stabilito né l’istante di decadimento né la direzione in cui la particella alfa emessa
lascia il nucleo. All’interno del nucleo lo sfuocamento non ci dà fastidio. La particella
emergente, se si vuole spiegare in modo intuitivo, è descritta come una onda sferica che
emana con continuità in tutte le direzioni e che colpisce con continuità uno schermo
luminescente per tutta la sua estensione. Lo schermo tuttavia non mostra un bagliore
uniforme, più o meno costante, ma piuttosto si accende in un istante in un punto, oppure,
ad onor del vero, si accende ora qua, ora là, per cui è impossibile fare l’esperimento con
solo un singolo atomo radioattivo. Se al posto di uno schermo luminescente uno usa un
detector esteso spazialmente, fosse pure un gas che è ionizzato dalle particelle alfa, si
trova che le coppie di ioni si dispongono lungo colonne rettilinee, che proiettano
all’indietro verso il pezzo di materia radioattiva da cui proviene la radiazione alfa (Le tracce
di una camera a nebbia di Wilson, rese visibili dalle gocce di vapore condensate dagli ioni).
Si possono persino allestire delle situazioni del tutto assurde. Un gatto sia rinchiuso in una
camera d’acciaio, insieme ai seguenti dispositivi (che devono essere protetti dagli
interventi diretti del gatto): all’interno di un contatore Geiger c’è un minuscolo pezzetto di
sostanza radioattiva, così piccola, che forse nel trascorrere di un’ora uno degli atomi
decade, ma anche, con eguale probabilità, forse no; se capita, il tubo del contatore
registra una scarica e attraverso un marchingegno di collegamento di leve e snodi a relè
sblocca un martello che frantuma una piccola fiasca di vetro contenente acido cianidrico.
Se si lascia l’intero sistema a se stesso per un’ora, si potrebbe dire che il gatto vive ancora
se nel frattempo nessun atomo è decaduto. La funzione psi dell’intero sistema
esprimerebbe questo avendo in essa il gatto vivo e il gatto morto (scusate l’espressione)
mischiati o imbrattati in parti eguali.
È tipico di questi casi che un’indeterminazione originariamente ristretta al dominio atomico
si trasformi in una indeterminazione macroscopica, che può essere risolta per
osservazione diretta. Questo ci trattiene così dall’accettare in modo ingenuo un “modello
sfuocato” come valido per rappresentare la realtà. In se stesso esso non dovrebbe
incorporare alcunché di non chiaro o contraddittorio. C’è differenza tra una fotografia
mossa o fuori fuoco ed un’istantanea di un banco di nebbie e nuvole insieme.
6. Il Dietro Front Deliberato del Punto di Vista Epistemologico
Nella quarta sezione abbiamo visto che non è possibile agevolmente prendere il controllo
dei modelli e attribuire ciò nonostante determinati valori, alle variabili momentaneamente
sconosciute o non esattamente note, che noi semplicemente non conosciamo. Nella quinta
sezione abbiamo visto che persino l’indeterminazione non è un reale sfuocamento, perché
ci sono sempre dei casi in cui un’osservazione eseguita con facilità fornisce la conoscenza
mancante. Perciò cosa è rimasto? Da questo dilemma molto difficile la dottrina regnante
riscatta se stessa facendo ricorso all’epistemologia. Ci viene detto che non deve essere
fatta nessuna distinzione tra lo stato di un oggetto naturale e ciò che io conosco di lui, o
meglio ancora, ciò che io posso conoscere di lui se io finisco in qualche conflitto. In realtà,
così essi dicono, c’è intrinsecamente solo coscienza, osservazione, misura. Se mediante
esse io mi son procurato in un dato momento la miglior conoscenza sullo stato dell’oggetto
fisico che è possibile ottenere in accordo con le leggi di natura, allora posso mettere da
parte come non significative eventuali altre domande sullo “stato reale”, nella misura in
cui sono convinto che nessuna ulteriore osservazione può estendere la mia conoscenza di
esso, almeno, non senza un’equivalente diminuzione sotto altri aspetti (cioè modificandone
lo stato, vedi sotto).
Ora questo getta un po’ di luce sull’origine della proposizione che ho menzionato alla fine
della seconda sezione come qualcosa di portata molto vasta: che tutte le quantità del
modello sono misurabili da un punto di vista dei principi. Uno difficilmente può far
progressi con questo articolo di fede se si vede vincolato, nell’interesse della metodologia
fisica, a far intervenire in aiuto autoritario il summenzionato principio filosofico, che
nessuna persona assennata può negare di ritenere come il massimo protettore di ogni
empirismo.
La verosimiglianza delle cose si oppone alla contraffazione tramite un modello. Così ci si
libera di un realismo ingenuo e ci si appoggia direttamente sulla proposizione certa che in
realtà (per il fisico) dopo tutto ciò che si dice e ciò che si fa è solo osservazione, misura.
Così tutto il nostro pensiero fisico da allora in poi ha come sola base e come solo oggetto i
risultati delle misure che dal punto di vista dei principi si possono effettuare, poiché ora
dobbiamo esplicitamente non correlare più il nostro pensiero a qualunque genere di realtà
o di modello. Tutti i numeri che nascono dai nostri calcoli in fisica devono essere
interpretati come risultati di misure. Ma poiché non arriviamo certamente al mondo
cominciando a costruire la nostra scienza da zero, anzi piuttosto abbiamo l’abitudine a uno
schema di calcolo del tutto definito, dal quale in vista dei grandi progressi della Meccanica
Quantistica men che mai vorremmo esserne separati, vediamo noi stessi forzati a dettare
dalla scrivania quali misure sono per principio possibili, cioè, devono essere possibili per
sostenere adeguatamente il nostro sistema di calcolo. Ciò permette un valore acuto per
ciascuna singola variabile del modello (in verità per un “mezzo insieme” in blocco) e così
ciascuna singola variabile deve essere misurabile con precisione arbitraria. Noi non
possiamo essere soddisfatti con meno, poiché abbiamo perduto la nostra ingenuamente
realistica innocenza. Non abbiamo altro che il nostro schema di calcolo, che è la migliore
conoscenza possibile dell’oggetto. E se non potessimo fare ciò, allora davvero la
verosimiglianza della misura diventerebbe altamente dipendente dalla cura o dalla
sciatteria con cui si fa l’esperimento, quanto affanno si darebbe per formare se stesso.
Dovremmo continuare a dirgli quando distante potrebbe giungere se solo fosse
abbastanza bravo. Altrimenti si potrebbe seriamente temere che proprio là, dove noi
proibiamo ulteriori quesiti, là potrebbe ben esserci ancora qualcosa degno di conoscenza
su cui dovremmo interrogarci.
7. La Funzione Psi come Elenco di Speranze (matematiche)
Continuando ad esporre l’insegnamento ufficiale, volgiamoci alla già menzionata funzione
psi. Essa è ora lo strumento per predire la probabilità dei risultati di misura. In essa è
incorporata la somma momentaneamente conseguita della speranza teoricamente basata
sul futuro, qualcosa che giace in un catalogo. Essa è il ponte di relazione e
determinazione tra misura e misura, come era nella teoria classica per il modello e il suo
stato. Con quest’ultimo la funzione psi ha inoltre molto in comune. Essa è, dal punto di
vista dei principi, determinata da un numero finito di scelte misure adatte sul’oggetto, la
metà di quante erano richieste nella teoria classica. Così il catalogo delle speranze attese
è inizialmente compilato. Da quel momento in poi cambia col tempo, proprio come lo stato
del modello della teoria classica, in maniera unica e vincolata (“con causalità”):
l’evoluzione della funzione psi è governata da un’equazione differenziale alle derivate
t ). Questo corrisponde al moto
parziali (al primo ordine riguardo al tempo e risolta per
indisturbato del modello nella teoria classica. Ma questo va avanti solo fino a che uno di
nuovo non esegue una misura. Per ciascuna misura si richiede di attribuire alla funzione
psi (= il catalogo delle predizioni) una caratteristica, che cambia del tutto all’improvviso,
che dipende dal risultato di misura ottenuto, e che perciò non può essere
prevista; già solo da questo è del tutto chiato che questo secondo genere di
cambiamento della funzione psi non ha nulla a che vedere con l’ordinario sviluppo tra due
misure. Il cambiamento improvviso della misura collima strettamente con le questioni
discusse nella quinta sezione e ci occuperà ulteriormente per un bel po’; è il punto più
interessante dell’intera teoria. È precisamente il punto che pretende la rottura con il
realismo ingenuo. Per questo motivo non si può mettere la funzione psi direttamente al
posto del modello o dell’oggetto fisico. E davvero perché uno non potrebbe mai osare
imputare cambiamenti improvvisi imprevisti a oggetti fisici o a modelli, ma perché nel
punto di vista del realismo l’osservazione è un processo naturale come qualunque altro e
non può per se portare un’interruzione al flusso ordinato degli eventi di natura.
8. Teoria della Misura, Parte Uno
Il rigetto del realismo (ingenuo) ha conseguenze logiche. In generale, una variabile non
ha nessun valore definito prima che io la misuri; inoltre misurarla non significa accertare il
valore che ha. Ma allora cosa significa? Deve esserci ancora qualche criterio per sapere se
la misura è vera o falsa, se un metodo è buono o cattivo, accurato o non accurato, se
merita il nome di processo di misura o no. Qualunque giocare attorno ad uno strumento di
misura nelle vicinanze di un altro corpo, per mezzo del quale in qualche modo uno rileva
una lettura, difficilmente può definirsi una misura su quel corpo. Ora è del tutto chiaro: se
la realtà non determina il valore misurato, allora almeno il valore misurato deve
determinare la realtà: esso deve in realtà essere presente dopo la misura in quel senso
per cui esso solo viene ancora riconosciuto. Vale a dire, il criterio desiderato può essere
semplicemente questo: la ripetizione della misura deve dare lo stesso risultato. Con molte
ripetizioni posso provare l’accuratezza della procedura e mostrare che non sto
semplicemente giocando. È conforme che questo programma combaci esattamente col
metodo dello sperimentatore, al quale allo stesso modo il “valore vero” non è noto in
anticipo. Formuliamo questo punto essenziale come segue:
L’interazione sistematicamente preparata di due sistemi (l’oggetto da misurare
e l’apparato di misura) si dice una misura sul primo sistema, se una
caratteristica variabile direttamente sensibile del secondo (posizione di un
indicatore) è sempre riproducibile entro certi limiti di errore se il processo è
immediatamente ripetuto (sullo stesso oggetto, che nel frattempo non deve
essere esposto a nessuna influenza aggiuntiva).
Questa asserzione richiede una considerevole aggiunta di commento: non è sotto molti
aspetti una definizione senza difetti. La pratica è molto più complicata della matematica e
non è cosi facilmente catturabile in frasi forbite.
Prima della prima misura può essere stata fatta per essa dalla teoria quantistica una
arbitraria predizione. Dopo di essa la predizione funziona sempre: entro i limiti degli
errori di nuovo lo stesso risultato. Il catalogo delle speranze (= funzione psi) è perciò
cambiato dalla misura rispetto alla variabile da misurare. Se la procedura di misura è nota
in anticipo come affidabile, allora la prima misura di colpo riduce al speranza teorica
entro i limiti di errore nel valore trovato, senza nessun riguardo a cosa la speranza a priori
potesse essere stata. Questo è il tipico cambiamento ex abrupto della funzione psi
discusso sopra. Ma il catalogo delle speranze cambia in maniera imprevista non solo per la
variabile misurata stessa, ma anche per altre, in particolare per la sua “canonica
coniugata”. Se per esempio una predizione piuttosto stretta per l’impulso di una particella
e procede a misurare la sua posizione più esattamente di quanto sia compatibile col
Teorema A della seconda sezione, allora la predizione dell’impulso deve cambiare. Il
calcolo quantomeccanico inoltre tiene conto di questo automaticamente; non c’è nessuna
funzione psi di qualunque fatta che possa contraddire il Teorema A quando uno deduce da
esso le speranze combinate.
Poiché il catalogo delle speranze cambia radicalmente duante la misura, l’oggetto non è
più adatto per saggiare, nella loro piena estensione, le predizioni statistiche fatte prima;
almeno per la variabile misurata stessa, poiché ora il (quasi) medesimo valore si riprodurrà
più e più volte. Questo è il motivo per la prescrizione già data nella seconda sezione: uno
può davvero saggiare le predizioni di probabilità completamente, ma per questo uno deve
ripetere l’intero esperimento ab ovo. Il trattamento precedente dell’oggetto misurato (o di
uno identico ad esso) deve essere esattamente lo stesso come quello dato della prima
volta, affinché lo stesso catalogo delle speranze (= funzione psi) sia valido come prima
della prima misura. Allora uno la “ripete”. (Questa ripetizione significa ora qualcosa del
tutto diverso da prima!) Tutto questo deve essere fatto non due volte ma moltissime volte.
Allora la statistica predetta è stabilita: questo è ciò che dice la dottrina.
Si dovrebbe notare la differenza tra i limiti degli errori e la distribuzione dell’errore della
misura, da un canto, e la statistica predetta teoricamente, dall’altro canto. Essi non
hanno nulla a che fare gli uni con l’altra. Essi sono stabiliti dai due tipi del tutto differenti
di ripetizione appena discussi.
Qui c’è l’opportunità di approfondire in qualche modo la sopra tentata delimitazione di
misura. Ci sono strumenti di misura che rimangono fissi sulla lettura data dalla misura
appena fatta. Oppure l’ago indicatore potrebbe rimanere attaccato per qualche difetto.
Uno dovrebbe allora fare ripetutamente esattamente la stessa lettura e secondo le nostre
istruzioni questa sarebbe una misura accurata in maniera spettacolare. Inoltre questo
sarebbe vero non semplicemente per l’oggetto ma anche per lo strumento stesso! Per
stare coi piedi per terra manca ancora nella nostra un punto importante, ma che non
poteva prontamente venir stabilito prima, cioè in che cosa consiste la vera differenza tra
oggetto di misura e apparato di misura (che è l’ultima cosa su cui si fa la lettura, più
o meno superficiale). Abbiamo appena visto che l’apparato sotto certe circostanze, come
richiesto, deve essere riportato alla sua condizione iniziale neutra prima di rifare ogni
misura di controllo. Questo è ben noto agli sperimentali. Teoricamente il problema può
essere meglio espresso prescrivendo che per principio l’apparato dovrebbe essere
sottoposto all’identico trattamento precedente prima di ciascuna misura, in modo tale che
per lui ogni volta si applichi lo stesso catalogo delle speranze (= funzione psi), come esso
viene applicato all’oggetto. A sua volta per l’oggetto è proprio il modo opposto,
quanlunque interferenza è proibita quando sta per essere fatta una misura di controllo,
una “ripetizione del primo genere” (quella che porta alla statistica dell’errore). Questa è la
differenza caratteristica tra oggetto e apparato. Essa sparisce in una “ripetizione del
secondo genere” (quella che porta alle predizioni quantistiche). Qui la differenza tra i due
in realtà è del tutto insignificante.
Da ciò otteniamo ulteriormente che per una seconda misura uno può usare un apparato
costruito in modo simile e preparato in modo simile, non è necessario che sia
necessariamente lo stesso di prima; difatti questo qualche volta è fatto, come controllo
sul primo. Può davvero accadere che due apparati costruiti in maniera completamente
differente siano correlati l’uno all’altro che se uno misura con essi uno dopo l’altro
(ripetizione del primo genere!) le loro due indicazioni sono in correlazione uno a uno l’una
con l’altra. Essi allora misurano sull’oggetto essenzialmente la stessa variabile, cioè, la
stessa per una adatta calibratura delle scale.
9. La Funzione Psi come Descrizione di Stato
Il rigetto del realismo impone anche obblighi. Dal punto di vista del modello classico il
momentaneo contenuto di asserzioni della funzione psi è lungi dall’essere completo; esso
comprende solo circa il 50 percento di una descrizione completa. Dal nuovo punto di vista
esso deve essere completo per ragioni già dette alla fine della sesta sezione. Deve essere
impossibile aggiungere ad esso asserzioni aggiuntive corrette, senza cambiarlo in qualche
modo; altrimenti non si avrebbe il diritto di definire senza significato tutte le asserzioni che
ne estendono il contenuto.
E da lì segue che due cataloghi differenti, che si applicano allo stesso sistema sotto diverse
circostanze o in tempi diversi, possono ben parzialmente sovrapporsi, ma mai in modo tale
che uno è interamente contenuto dentro l’altro. Perché altrimenti esso sarebbe suscettibile
di completamento attraverso asserzioni aggiuntive corrette, cioè proprio attraverso ciò per
cui l’altro lo supera. La struttura matematica della teoria automaticamente soddisfa questa
condizione. Non c’è nessuna funzione psi che fornisce esattamente le stesse asserzioni di
un’altra o a maggior ragione di parecchie altre.
Perciò se un sistema cambia, sia per se stesso o a causa di misure, ci devono sempre
essere asserzioni che mancano nella nuova funzione che erano contenute nella vecchia.
Nel catalogo devono essere fatte non solo nuove iscrizioni, ma anche cancellazioni.
Tuttavia la conoscenza si può ben accrescere, ma non perdere. Perciò le cancellazioni
significano che le precedenti asserzioni corrette sono ora diventate scorrette.
Un’asserzione corretta può diventare scorretta solo se l’oggetto al quale si applica
cambia. Io considero accettabile esprimere questo ragionamento come segue:
Teorema 1: Se funzioni psi differenti sono in discussione il sistema si trova in stati
differenti.
Se uno parla solo di sistemi per i quali in generale è disponibile una funzione psi, allora
vale l’inverso di questo teorema:
Teorema 2: Per la stessa funzione psi il sistema è nello stesso stato.
L’inverso non segue dal Teorema 1 ma indipendentemente da esso, direttamente dalla
completezza o massimalità. Chiunque per lo stesso catalogo delle speranze volesse
ancora affermare che una differenza sia possibile, dovrebbe ammettere che esso (il
catalogo) non dia informazioni su tutte le questioni leggittime. Il linguaggio usato dalla
maggior parte degli autori implica la validità dei due teoremi di cui sopra. Naturalmente,
essi fondano un altro genere di nuova realtà, in un modo del tutto legittimo, io credo.
Inoltre non ci sono interpretazioni banalmente tautologiche, né puramente verbali del
concetto di “stato”. Senza la massimalità presupposta nel catalogo delle speranze,
cambiamenti nella funzione psi avverrebbero semplicemente raccogliendo nuova
informazione.
Dobbiamo far fronte ancora ad un’altra obiezione nella derivazione del Teorema 1. Uno
può argomentare che ciascuna asserzione individuale o pezzo di conoscenza, sotto esame
lì, è dopo tutto un’asserzione di probabilità, alla quale la categoria di corretto o di
scorretto non si applica in relazione qualsiasi ad un caso individuale, ma piuttosto in
relazione ad un fatto collettivo che viene in essere dal fatto che uno prepara il sistema in
un identico modo alcune migliaia di volte (per permettere poi che segua la stessa misura;
confronta la sezione ottava). Ciò ha un qualche senso, ma dobbiamo specificare tutti i
membri di questo collettivo che deve essere preparato in modo identico, perché a ciascuno
si applica la stessa funzione psi, lo stesso catalogo di asserzioni e non osiamo specificare
differenze che non sono specificate nel catalogo (confronta i fondamenti del Teorema 2).
Perciò il collettivo è fatto degli identici casi individuali. Se un’asserzione è sbagliata per
esso, allora il caso individuale deve essere cambiato, o altrimenti il collettivo sarebbe di
nuovo lo stesso.
10. Teoria della Misura, Parte Due
Dunque è stato precedentemente stabilito, settima sezione, e spiegato, ottava sezione,
che qualunque misura tiene in sospeso la legge che altrimenti governa la dipendenza
temporale della funzione psi e introduce in essa una cambiamento del tutto differente, non
governato da nessuna legge, ma piuttosto imposto dal risultato della misura. Però leggi di
Natura che differiscono da quelle abituali non possono applicarsi durante una misura,
poiché visto oggettivamente il processo di misura è un processo naturale come qualsiasi
altro e non può interrompere il corso naturale degli eventi. Poiché il processo di misura
interrompe proprio ciò della funzione psi, quest’ultima, come abbiamo detto nella settima
sezione,
non può servire, come il modello classico, come una rappresentazione
sperimentalmente verificabile di una realtà oggettiva. E anche nell’ultima sezione ha preso
forma qualcosa di simile.
Così, usando uno slogan per sottolineare l’enfasi, provo di nuovo a mettere in contrasto:
1) La discontinuità del catalogo delle speranze dovuta alla misura è inevitabile, perché se
un qualche significato deve ancora essere lasciato alla parola misura allora si deve
ottenere, da un buon processo di misura, il valore misurato. 2) Il cambiamento
discontinuo non è certamente governato dall’altrimenti valida legge causale, poiché tale
cambiamento dipende dal valore misurato, che non è predeterminato. 3) Il cambiamento
include anche, definitivamente, (a causa della “massimalità”) una qualche perdita di
conoscenza, ma la conoscenza non si può perdere e perciò l’oggetto deve cambiare, sia
lungo questi cambiamenti discontinui che anche, durante questi cambiamenti, in un modo
imprevisto, differente.
Cosa aggiunge tutto ciò? Che le cose non sono affatto semplici. È il punto più difficile e
quindi più interessante di tutta la teoria. Ovviamente noi dobbiamo cercare di
comprendere oggettivamente l’interazione tra l’oggetto misurato e l’apparato di misura. A
questo fine dobbiamo esporre alcune considerazioni in sé molto astratte.
Questo è il punto. Ognivolta che uno ha un catalogo delle speranze completo, una
conoscenza totale massima, una funzione psi, per due corpi completamente separati, o, in
parole meglio dette, per ciascuno di essi singolarmente considerato, allora uno ha
ovviamente anche quella per i due corpi compresi assieme, vale a dire, si immagina che
nessuno dei due singolarmente, ma invece piuttosto tutti e due assieme formano l’oggetto
di interesse al quale porre le nostre questioni sul futuro.
Ma l’inverso non è vero. La conoscenza massimale di un sistema come un tutto
non implica necessariamente la conoscenza totale di tutte le sue parti, persino
quando queste parti sono completamente separate l’una dall’altra e per il
momento non stanno influenzandosi l’una con l’altra. Così può capitare che una
parte di ciò che uno sa può appartenere alle relazioni o ai contratti esistenti tra i due
sottosistemi (ci limiteremo solo a due), come segue: se una particolare misura sul primo
sistema dà questo risultato, allora per una particolare misura sul secondo la speranza
statistica valida è la tale e tal’altra; ma se la misura in questione sul primo sistema
dovesse dare quel risultato, allora per il secondo vale qualche altra speranza; se dovesse
capitare un terzo risultato per il primo, allora si applicherebbe ancora un’altra speranza per
il secondo e così via, in un modo che fornisce la completa disgiunzione di tutti i possibili
risultati della misura che quel processo di misura specificatamente contemplato per il
primo sistema può dare. In questo modo, qualunque processo di misura affatto o, che poi
è la stessa cosa, qualunque variabile affatto del secondo sistema può essere legata al
valore non ancora noto di qualunque variabile del primo e naturalmente anche viceversa.
Se è questo il caso, se tali asserzioni condizionate si incontrano nel catalogo combinato,
allora non può essere possibilmente massimale rispetto ai sistemi individuali.
Poiché il contenuto di due cataloghi individuali massimali dovrebbero per se stessi bastare
per una catalogo massimale combinato, le asserzioni condizionate non si possono
aggiungere.
Queste predizioni condizionate, inoltre, non sono qualcosa che è caduto qui all’improvviso
dal cielo. Ci sono in ogni catalogo delle speranze. Se uno conosce la funzione psi e fa una
particolare misura e questa dà un particolare risultato, allora conosce di nuovo la funzione
psi, ecco tutto. È proprio questo per il caso in discussione, poiché il sistema combinato è
supposto consistere di due parti completamente separate, il problema ne emerge fuori un
po’ strano. Poiché così diventa significativo distinguere tra misure su un sottosistema e
misure sull’altro sottosistema. Questo fornisce a ciascuno pieno titolo a un catalogo
massimale privato; d’altro canto rimane possibile che una porzione della conoscenza
combinata ottenibile è, per così dire, sprecata per le asserzioni condizionate, che opera tra
i sottosistemi, cosicché le speranze private siano lasciate insoddisfatte, persino
quantunque il catalogo combinato sia massimale, cioè persino quantunque la funzione psi
del sistema combinato sia nota.
Facciamo una pausa per un momento. Questo risultato in tutta la sua astrattezza in realtà
dice: La migliore conoscenza possibile di un tutto non implica necessariamente lo stesso
per le sue parti. Traduciamo ciò nei termini della nona sezione: Il tutto è in uno stato
definito, le parti prese individualmente no.
“Come può essere? Sicuramente un sistema deve trovarsi in un qualche stato.” “No. Lo
stato è la funzione psi, la somma massimale di conoscenza. Non necessariamente procuro
ciò a me stesso. Potrei essere pigro. Allora il sistema non è in nessun stato.”
“D’accordo, ma allora la proibizione agnostica delle domande non è ancora in forza e nel
nostro caso posso dire a me stesso: il sottosistema è già in un qualche stato, solo che io
non so in quale.”
“Un momento. Sfortunatamente no. Non c’è nessun ‘io non so’, poiché come per il sistema
totale, io ho in mano la conoscenza massimale del sottosistema...”
L’insufficienza della funzione psi come sostituzione di modello riposa solo sul
fatto che non sempre la si ha. Se uno ce l’ha, allora significa per tutti che essa serve
come descrizione dello stato. Ma qualchevolta uno non ce l’ha, in casi in cui uno può
ragionevolmente aspettarsi di averla. E in questo caso, uno non osa postulare che “è in
realtà in stato particolare, uno che proprio non conosce”; il punto fermo scelto sopra
proibisce ciò. “Esso” è cioè una somma di conoscenza; e conoscenza, che nessuno
conosce, è niente.--Continuiamo. Che una porzione di conoscenza fluttuasse nella forma di asserzioni
condizionate disgiuntive tra i due sistemi può certamente non capitare se portiamo i due
da bande opposte del mondo e li giustapponiamo senza interazione. Poiché allora davvero
i due “non sanno” nulla uno dell’altro. Una misura su uno possibilmente non può fornire un
qualunque comprensione di ciò che ci si potrebbe aspettare dall’altro. Qualunque “groviglio
di predizioni” che può aver luogo può ovviamente soltanto andare indietro al fatto che i
due corpi in qualche istante precedente avevano formato in senso vero un sistema, cioè
che erano interagenti e hanno lasciato dietro di loro tracce su ciascun di essi. Se i due
corpi separati, ciascuno per se stesso a conoscenza massimale, entrano in una situazione
in cui si influenzano reciprocamente e si separano di nuovo allora capita regolarmente ciò
che ho chiamato proprio entanglement (groviglio, intreccio) della nostra conoscenza
sui due corpi. Il catalogo delle speranze combinato consiste inizialmente in una somma
logica dei cataloghi individuali; durante il processo si evolve con causalità secondo la legge
nota (qui non sta avvenendo ora nessun processo di misura). La conoscenza rimane
massimale, ma alla fine, se i due corpi sono di nuovo separati, essa non è di nuovo
suddivisa in una somma logica di conoscenze sui corpi individuali. Ciò che ancora rimane
di ciò può essere diventato meno che massimale, persino molto, molto meno. Notare la
grande differenza rispetto alla teoria del modello classico, dove naturalmente dalla
conoscenza degli stati iniziali e con l’interazione nota gli stati individuali finali sarebbero
esattamente noti.
Il processo di misura descritto nell’ottava sezione ora si adatta nettamente allo schema
generale, se lo applichiamo al sistema combinato, oggetto misurato + apparato di misura.
Avendo costruito così una rappresentazione oggettiva di questo processo, come quello di
qualsiasi altro, osiamo sperare di far luce, per evitare, se non del tutto almeno in parte, il
singolare salto della funzione psi. Perciò adesso un corpo è l’oggetto da misurare, l’altro
corpo è l’apparato di misura. Per eliminare ogni interferenza dall’esterno combiniamo
l’apparato per mezzo di un meccanismo incorporato che avvicini lentamente
automaticamente all’oggetto l’apparato di misura e in maniera analoga allontani
lentamente di nuovo i due corpi. Posponiamo la lettura stessa dello strumento, proprio
perché il nostro scopo immediato è investigare tutto ciò che può capitare
“oggettivamente”; ma per un uso futuro concediamo che i risultati siano registrati
automaticamente nell’apparato, come spesso è fatto davvero al giorno d’oggi.
Ora come stanno le cose, dopo aver fatto la misura in modo completamente automatico?
Possediamo, dopo tutto lo stesso come prima, un catalogo delle speranze massimale per il
sistema intero. Il risultato delle misure registrate non è naturalmente incluso qui. Come
l’apparato il catalogo è lungi dall’essere completo, non dicendo nulla affatto di dove la
penna registrante abbia lasciato la traccia. (Ricordiamoci del gatto avvelenato!). Ciò a cui
questo equivale è che la nostra conoscenza è evaporata dentro asserzioni condizionate: se
il segno è sulla linea 1, allora le cose sono così e lo stesso per l’oggetto misurato, se è
sulla linea 2, allora questo e quest’altro, se sulla linea 3, allora una terza cosa, ecc. Ora la
funzione psi dell’oggetto misurato ha fatto un salto? Si è evoluta ulteriormente secono la
legge naturale (secondo l’equazione differenziale alle derivate parziali)? No ad entrambe le
domande. Non più. È diventata intrecciata intasandosi, secondo la legge causale della
funzione psi combinata, con quella dello strumento di misura. Il catalogo delle
speranze dell’oggetto si è diviso in una disgiunzione condizionata di se di
cataloghi di speranze, come un Baedeker che uno ha preso a pezzi nella maniera
propria. Lungo ogni pezzo è anche data la probabilità che funzioni correttamente,
trascritto dall’originale catalogo delle speranze dell’oggetto. Ma chi risulti corretto, quale
pezzo del Baedeker dovrebbe guidare il viaggio attuale, risulta determinato solo da una
reale ispezione della registrazione.
E cosa succede se non guardiamo? Diciamo che stavamo registrando fotograficamente e
per nostra sfortuna la luce ha raggiunto la pellicola prima che potessimo svilupparla. O che
inavvertitamente abbiamo messo della carta nera invece della pellicola, nella macchina
fotografica. Allora davvero non soltanto non abbiamo appreso alcunché di nuovo dalla mal
eseguita misura, ma abbiamo anche sofferto di una perdita di conoscenza. Ciò non è
sorprendente. È solo naturale che all’esterno dell’interferenza quasi sempre saremo
depredati della conoscenza che uno ha del sistema. L’interferenza, se deve permettere che
la conoscenza sia riottenuta indietro in seguito, deve essere davvero guardinga.
Che cosa abbiamo conseguito con questa analisi? Primo, l’intuizione che penetra
all’interno della separazione disgiuntiva del catalogo delle speranze che ancora ha luogo
precisamente in maniera continua e è portata attraverso il conficcamento in un catalogo
combinato tra l’apparato e l’oggetto. Da questo amalgama l’oggetto può di nuovo essere
separato solo da un soggetto cosciente (vivente) che realmente prende cognizione del
risultato della misura. Una volta o l’altra deve accadere questo se ciò che si fa vogliamo
che sia considerata una misura, comunque è caro ai nostri cuori che ciò che doveva
preparare il processo fosse per tutto il più oggettivo possibile. E questa è la seconda
intuizione che abbiamo conseguito: non ha luogo, fino al momento dell’ispezione
diretta, che determina la disgiunzione, alcunché di discontinuo, o di salto. Uno è proclive
a chiamare ciò un’azione mentale, poiché l’oggetto è già fuori campo, non è più a lungo
interessato fisicamente: ciò che accade è già passato. Ma non sarebbe del tutto giusto dire
che la funzione psi dell’oggetto che cambia altrimenti secondo un’equazione differenziale
alle derivate parziali, indipendente dall’osservatore, dovrebbe ora cambiare in modalità
discontinua, a salti, a causa di un atto mentale. Poiché se è scomparso, non c’è più.
Qualunque cosa sia, non può più cambiare. È rinato, è ricostituito, è separato dalla
conoscenza intrecciata che uno ha, attraverso un atto di percezione, che come materia di
fatto non è un effetto fisico su un oggetto misurato. Dalla forma in cui la funzione psi era
nota ultimamente, alla nuova in cui riappare, non scorre nessun percorso continuo: va
invece nella annichilazione. Mettendo a contrasto le due forma, la cosa appare come un
salto. In verità qualcosa di importante capita nel frattempo, cioè l’influenza reciproca dei
due corpi, durante la quale l’oggetto non possiede nessun catalogo delle speranze privato
né ha pretesa alcuna oltre a ciò, perché non era indipendente
11. Risoluzione
Sperimentatore
del
Risultato
ad
”Intreccio”
Dipendente
dall’Intenzione
dello
Ritorniamo al caso generale di “entanglement”, senza avere proprio in vista il caso
speciale, appena considerato di processo di misura. Supponiamo che i cataloghi delle
speranze di due corpi A e B divengano intrecciati attraverso un’interazione transitoria. Ora
i corpi siano di nuovo separati. Allora posso prendere uno di essi, diciamo il B, e con
successive misure portare la mia conoscenza di esso, che era diventata meno che
massimale, di nuovo indietro alla massimale. Io sostengo: proprio appena riesco in ciò,
non prima, allora, primo, l’entanglement è immediatamente risolto, secondo, ho anche
ottenuto conoscenza massimale di A attraverso le misure su B, facendo uso delle relazioni
condizionate che erano in essere.
Poiché in primo luogo la conoscenza del sistema totale rimane sempre massimale, non
essendo in alcun modo danneggiata da misure buone e esatte. In secondo luogo:
asserzioni condizionate della forma “se per A ... allora per B B”. Poiché non è condizionata
e non si può aggiungere ad esa nulla affatto di rilvente su B. In terzo luogo: asserzioni
condizionate in senso inverso (se per B ... allora per A) si possono trasformare in
asserzione rispetto al solo A, poiché tutte le probabilità per B sono già note
incondizionatamente. L’entanglement è così completamente messo da parte e poiché la
conoscenza del sistema totale è rimasta massimale, può solo significare che lungo il
catalogo massimale di B viene la stessa cosa per A.
E non può succedere l’altra cosa, che A diventa conosciuto in modo massimale
indirettamente, attraverso misure su B, prima che lo sia B. Poiché allora tutte le
conclusioni funzionerebbero in senso inverso, cioé anche B lo sarebbe. I sistemi diventano
simultaneamente noti in senso massimale, come asserito. Incidentalmente, questo
sarebbe vero anche se uno non limitasse la misura solo a uno dei due sistemi. Ma il punto
interessante è precisamente questo , che uno può limitarla ad uno dei due; che per mezzo
suo può raggiungere la meta.
Quali misure su B e in quale sequenza debbano essere prese, è lasciato interamente alla
scelta arbitrari dello sperimentatore. Non ha necessità di scegliere variabili specifiche, per
essere capace di usarle in asserzioni condizionate. È libero di formulare un piano che lo
porterebbe alla conoscenza massimale di B, persino se non dovesse conoscere nulla
affatto di B. E non può fare nessun danno se porta questo piano a compimento. Se egli
chiede a se stesso dopo ciascuna misura se forse ha già raggiunto la sua meta, egli
risparmia a se stesso solo ulteriore e superflua fatica.
Che sorta di catalogo per A venga fuori in questo modo indiretto dipende ovviamente dai
valori misurati che si trovano per B (prima che l’entanglement sia completamente risolto:
non oltre o in seguito, nel caso la misura vada avanti in maniera superflua). Supponiamo
ora che in questo modo io abbia derivato un catalogo per A in un caso particolare, allora
posso guardare indietro e considerare se forse avrei potuto trovarne uno diverso se
avessi messo in atto un piano di misura diverso per B. Ma poiché dopotutto io non ho né
realmente toccato (interagito con) il sistema A, né nell’altro caso immaginato avrei potuto
toccarlo, l’asserzione dell’altro catalogo, qualunque possa essere, deve essere anche
corretta. Perciò devono essere interamente contenute nella prima, in quanto la prima è
massimale. Ma così è per la seconda. Perciò deve essere identica alla prima.
Abbastanza stranamente, la struttura matematica della teoria non soddisfa in nessun
modo automaticamente a questi requisiti. Peggio ancora, si possono allestire esempi in cui
questi requisiti sono necessariamente violati. È vero che in un qualsiasi esperimento uno
può realmente eseguire solo un gruppo di misure (sempre su B), per una volta che
è accaduto che l’entanglement è risolto e non si tende a ottenere niente più su
A con ulteriori misure su B. M a ci sono casi di entanglement nei quali sono
specificabili due definiti programmi, per i quali ciascuno 1) deve portare alla
risoluzione dell’entanglement, e 2) deve portare a un catalogo A al quale l’altro
(programma) potrebbe possibilmente non portare, qualunque siano i valori
misurati che possono saltar fuori in un caso o nell’altro. È semplicemente come
questo, che le due serie di cataloghi di A, che possono possibilmente nascere da
uno o dall’altro programma, sono nettamente separati e non hanno in comune
nessun singolo termine.
Questi sono casi messi in evidenza in modo particolare, nei quali le conclusioni
riposano sul modo così chiaramente esposto. In generale si deve riflettere più
attentamente. Se vengono proposti due programmi di misure su B, lungo le due
serie di cataloghi di A ai quali essi conducono, allora non è in nessun modo
sufficiente che le due serie abbiano uno o più termini in comune perché uno sia
in grado di dire: bene, sicuramente uno di questi salterà sempre fuori e così
sottolineare i requisiti come “presumibilmente soddisfatti”. Non è abbastanza .
Poiché davvero uno conosce la probabilità di ogni misura su B, considerata
come misura sul sistema intero, e sotto molte ripetizioni ab ovo ciascuna di
esse deve capitare con la frequenza assegnata ad essa. Perciò le due serie di
cataloghi si A dovrebbero corrispondere, membro a membro, e inoltre la
probabilità di ciascuna serie dovrebbe essere la stessa. E che non
semplicemente per questi due programmi ma anche per ciascuno degli
innumerevoli che uno può escogitare. Ma questo è completamente fuori
questione. Il requisito che il catalogo di A che uno ottiene dovrebbe sempre
essere lo stesso, senza riguardo a quale misura su B si ponga in essere, questo
requisito è pianamente e semplicemente mai verificato.
Ora vogliamo discutere un semplice esempio “esplicito, particolarmente piccante”.
12. Un Esempio
Per semplicità, consideriamo due sistemi con solo un grado di libertà. Cioè, ciascuno di
essi sarà specificato da una singola coordinata q e dal suo momento canonicamente
coniugato p. La rappresentazione classica sarebbe quella di una massa puntiforme che
possa muoversi solo lungo una linea retta, come le biglie di un pallottoliere, le sfere di
quei giochini con cui i bambini piccoli imparano a calcolare. p è il prodotto di massa per
velocità. Per il secondo sistema designamo con lettere maiuscole le due parti determinanti,
Q e P. Nella nostra considerazione astratta, non siamo affatto interessati se i due sono
“legati allo stesso filo”. Ma persino se lo fossero, potrebbe essere conveniente il caso di
non calcolare q e Q dallo stesso punto di riferimento. Allora l’equazione q = Q non
significa necessariamente coincidenza. I due sistemi potrebbero nonostante questa essere
completamente separati.
Nell’articolo citato (quello di Einstein, Podolsky, Rosen) si mostra che può nascere tra questi due
sistemi un entanglement, che in un particolare momento, può essere compattamente
mostrato con le due equazioni: q = Q e p = -P. Questo significa: io so, se la misura di q
sul sistema dà un certo valore, che una misura di Q eseguita immediatamente subito dopo
sul secondo sistema darà lo stesso risultato e viceversa; io so, inoltre, se una misura di p
sul primo sistema dà un certo valore, che una misura di P eseguita immediatamente
subito dopo sul secondo sistema darà il valore opposto e viceversa.
Una singola misura di q o p o Q o P scioglie l’entanglement e rende entrambi i sistemi
massimalmente noti. Una seconda misura sullo stesso sistema modifica solo le asserzioni
su di esso, ma non insegna nulla di più sull’altro. Perciò uno non può controllare entrambe
le equazioni in un singolo esperimento. Ma uno può ripetere l’esperimento ab ovo migliaia
di volte; ogni volta allestisce lo stesso entanglement; secondo il capriccio controlla una o
l’altra delle equazioni e trova confermata quella che momentaneamente è disposta ad
essere controllata. Assumiamo che tutto ciò è stato fatto.
Se per l’esperimento mille e unesimo uno soggiace al desiderio di fare un ulteriore
controllo e allora misura q sul primo sistema e P sul secondo ed ottiene: q = 4; P = 7; si
può dubitare che q = 4; p = -7; sarebbe stata una predizione corretta per il primo
sistema o Q = 4; P = 7; una corretta predizione per il secondo? Le predizioni
quantistiche non sono davvero mai soggette a verifica nel loro pieno contenuto in un
singolo esperimento; tuttavia sono ancora corrette, per il fatto che chiunque le conosca
non va incontro a smentite, qualunque sia la metà (del sistema intrecciato) che decide di
verificare.
Non c’è nessun dubbio su ciò. Qualunque misura è per il sistema corrispondente la prima.
Misure su sistemi separati non possono influenzarsi direttamente l’un l’altro, questa
sarebbe magia. Né può succedere a caso, se in migliaia di esperimenti si stabilisce che
misure verginali concordano.
Il catalogo di predizione q = 4, p = -7 sarebbe ovviamente iper massimale.
13. Continuazione dell’Esempio: Tutte le Possibili Misure sono Inequivocabilmente
Intrecciate
Ebbbene una predizione di tale grado è perciò impossibile secondo quanto insegna la
Meccanica Quantistica, che qui stiamo seguendo fino alle sue estreme conseguenze. Molti
miei amici rimangono rassicurati da questo fatto e intercalano con sollecitudine: che
risposta avrebbe dato un sistema allo sperimentatore se... – non ha niente a che vedere
con una misura reale e perciò, dal nostro fermo punto di vista epistemologico, non ci deve
riguardare.
Ma lasciate che una volta di più renda la materia più chiara. Focalizziamoci sul sistema
etichettato con le lettere minuscole q, p e chiamiamolo per brevità quello “piccolo”. Allora
le cose stanno come segue. Io posso indirizzare una delle due domande al sistema piccolo,
sia per q sia per p. Prima di fare così posso, se lo scelgo, procurarmi la risposta ad una di
queste domande con una misura sull’altro sistema completamente separato (che
considereremo come apparato ausiliario), o posso aver l’intenzione di prendermi cura di
ciò in seguito. Il mio sistema piccolo, come uno scolaro sotto esame, forse non sa se io ho
scelto di fare questo e con quale domanda o se intenda scegliere in seguito chi e quale
domanda sottoporre. Da esperimenti precedenti numerosi a volontà io so che il fanciullo
risponderà correttamente alla prima domanda che gli sottoporrò. Da ciò segue che in ogni
caso egli/esso conosce la risposta ad entrambe le domande. Che la risposta alla prima
domanda, che a me piace sottoporgli, lo stanchi così tanto e lo renda confuso tanto che le
successive risposte saranno senza valore alcuno, non cambia per niente alcunché di
questa conclusione. Nessun insegnante giudicherebbe altrimenti, se questa situazione si
ripetesse con migliaia di scolari di simile provenienza, per quanto egli potrebbe
meravigliarsi un sacco su che cosa, dopo aver risposto alla prima domanda, renda tutti gli
scolari così ottusi e ostinatamente stupidotti. Non gli verrebbe da pensare che l’aver egli,
l’insegnante, consultato un testo abbia dapprima suggerito allo scolaro la risposta corretta,
o persino, nel caso che l’insegnante scelga di consultare il testo dopo aver ottenuto la
risposta dallo scolaro, che la risposta dello scolaro abbia cambiato il testo del manuale a
favore dello scolaro.
Così il mio piccolo sistema conserva con prontezza una risposta del tutto definita alle
domande su q e su p nel caso che una o l’altra sia la prima ad essere direttamente
sottoposta a lui. Di questa predisposizione non si può cambiare neppure una iota anche se
forse vada a misurare la Q sul sistema ausiliario (all’interno della precedente analogia: se
l’insegnante cerca una domanda sul suo libro di testo e a causa di ciò anzi cancellasse con
una macchia di inchiostro la pagina dove si trovano le altre risposte). Il fisico
quantomeccanico sostiene che dopo una misura di Q sul sistema ausiliario il mio sistema
piccolo possiede una funzione psi nella quale “q è del tutto preciso, p è del tutto
indeterminato”. Ed ancora, come già detto sopra, neppure una iota è cambiata dal fatto
che il mio sistema piccolo ha anche pronta una risposta alla domanda p e anzi la stessa
come prima.
Ma la situazione è persino ancora peggio. Non solo il brillante allievo ha una risposta
pronta definita alle domande su q e su p, ma anche piuttosto ad altre migliaia e anzi
senza che io abbia la minima intuizione della tecnica di memoria per la quale egli è abile a
fare ciò. p e q non sono le sole variabili che posso misurare. Qualsivoglia combinazione di
esse, per esempio
p2
q2
anche corrisponde alla misura completamente determinata secondo la formulazione della
Meccanica Quantistica. Ora può essere mostrato che anche questa risposta si può ottenere
con una misura sul sistema ausiliario, cioè con una misura di
P2
Q2
e anzi le risposte sono proprio le stesse. Per le regole della Meccanica Quantistica questa
somma di quadrati si può prendere solo da un valore della serie
, 3 , 5 , 7 , ...
h
2
La risposta che il mio sistema piccolo ha pronta per la domanda su
p2
q2
(nel caso che questo dovesse essere la prima a cui lui è sottoposto) deve essere un
numero della serie di cui sopra. È proprio lo stesso con misure di
p2
a2 q2
dove a è una costante positiva arbitraria. In questo caso la risposta deve essere secondo
la Meccanica Quantistica un numero della seguente serie
a , 3 a , 5 a , 7 a , ...
Per ciascun valore numerico di a uno parte da una differente domanda e per ciascuna il
mio sistema piccolo possiede una risposta pronta estratta dalla serie (formata dal valore di
a in questione).
Più sbalorditivo è questo: queste risposte non possono neppure essere collegate l’una
all’altra nel modo dato dalle formule! Perché, supponiamo che q’ sia la risposta conservata
pronta per la domanda su q e che p’ sia la risposta tenuta pronta per la domanda su p,
allora la relazione
p '2
a2 q '2
a
un numero dispari
non può neppure valere per dati valori numerici di q’ e p’ e per un qualsiasi numero
positivo a. Questa non è un’operazione con numeri immaginati che uno non può
veramente accertare. Si può difatti ottenere due dei numeri, per esempio q’ e p’, uno con
misura diretta, l’altro con misura indiretta. E allora uno può (perdonate l’espressione)
convincere se stesso che l’espressione sopra, formata con i numeri q’ e p’ e un a
arbitrario non è un numero intero dispari.
La mancanza di intuizione nelle relazioni tra le varie risposte conservate in prontezza
(dentro la “memoria tecnica” del’allievo) è totale, un gap che non può essere colmato
forse da nessun nuovo tipo di Algebra della Meccanica Quantistica. tutta la stranezza sta
nella mancanza, poiché d’altro canto uno può mostrare che l’entanglement è già
unicamente determinato dai requisiti q = Q e p = -P. Se sappiamo che le coordinate sono
uguali e che gli impulsi sono uguali e opposti, allora segue dalla Meccanica Quantistica una
corrispondenza completamente determinata biunivoca di tutte le possibili misure su
entrambi i sistemi. Per ogni misura su quello “piccolo” ci si può procurare il risultato
numerico con una adatta misura predisposta su quello “grande” e ciascuna misura su
quello grande stipula il risultato che una particolare misura su quello piccolo dovrebbe
dare o ha dato. (Ovviamente nello stesso senso come sempre precedentemente: contano
solo le misure verginali su ciascun sistema). Non appena abbiamo portato i due sistemi
nella situazione in cui essi (detto brevemente) coincidono nelle coordinate e negli impulsi,
allora essi (detto brevemente) coincideranno anche riguardo a tutte le altre variabili.
Ma per quanto riguarda il caso in cui non conosciamo per niente affatto i valori numerici di
tutte queste variabili di un sistema correlato all’altro vicendevolmente, persino quantunque
per ciascun sistema si dovesse avere in prontezza una specifica risposta, allora per questo
caso, se lo vogliamo, possiamo apprendere la risposta dal sistema ausiliario e poi trovarla
sempre confermata dalla misura diretta.
Dovrebbe ora uno pensare a causa del fatto che ignoriamo tutto delle relazioni tra i valori
delle variabili conservate pronte in un sistema, che nessuna esista? che possa capitare
qualunque combinazione arbitraria di ampia variabilità? Questo significherebbe che tale
sistema di “un grado di libertà” avrebbe necessità non semplicemente di due numeri per
essere adeguatamente trattato, come nella meccanica classica, ma piuttosto di molti di
più, forse infiniti. Sarebbe allora ciò nondimeno strano che due sistemi concordino sempre
su tutte le variabili se concordano su due. Perciò uno dovrebbe constringersi alla seconda
ipotesi che questo sia dovuto alla nostra incapacità; dovremmo pensare come fatto pratico
che non siamo capaci di portare due sistemi in una situazione tale in cui essi coincidono
rispetto a due variabili, senza volenti o nolenti portare la coincidenza anche rispetto a tutte
le altre variabili, persino quantunque in se stesso non fosse stato necessario. Uno
dovrebbe aver fatto queste due ipotesi per non percepire come grande dilemma la
completa mancanza di intuizione delle interrelazioni dei valori di una variabile all’interno di
un sistema.
14. Dipendenza Temporale dell’Intreccio. Considerazioni sul Ruolo Speciale del Tempo
Forse non è superfluo ricordare che tutto ciò che è stato detto nella dodicesima e
tredicesima sezione riguardava un singolo istante. L’entanglement non è costante nel
tempo. Continua ad esserci un entanglement in corrispondenza biunivoca con tutte le
variabili, ma la disposizione cambia. Ciò significa: ad un istante successivo t uno può di
nuovo conoscere i valori di q o di p che allora ottiene con una misura sul sistema
ausiliario, ma le misure, che uno deve prendere proprio sul sistema ausiliario, sono
diverse. Quali debbano essere si può vedere con faiclità in casi semplici. Ora diventa
naturalmente un problema che riguarda le forze in gioco con ciascuno dei due sistemi.
Assumiamo che non ci sono forze in gioco. Per semplicità porremo che la massa di
ciascuno sia uguale e la indichiamo con m. Allora nel modello classico gli impulsi p e P
dovrebbero rimanere costanti, poiché sono ancora le masse moltiplicate le velocità e le
coordinate all’istante t, che saranno distinte con il pedice t,
qt, Qt ,
verrebbero calcolate da quelle iniziali, che d’ora innanzi indichiamo con q, Q, così:
qt
p
q
t, Qt
m
Q
P
m
t
Parliamo prima del sistema piccolo. Il modo più naturale di descriverlo dal punto di vista
classico all’istante t è in termini di coordinate e impulsi in questo istante, cioè, in termini di
q_t e p. Ma si può porcedere in modo diverso. Al posto di q_t uno può specificare q.
Anche esso è una “parte determinante all’istante t” e davvero in ogni istante t e di fatti
una parte che non cambia col tempo. Questo fatto è analogo al modo in cui io posso
specificare una certa parte determinante della mia persona, per esempio la mia età, o
attraverso il numero 48, che cambia col tempo e nel sistema corrisponde a specificare
q_t, o attraverso il numero 1887, che è normale nei documenti e che corrisponde a
specificare q. Ora secondo la precedente:
q
p
qt
m
t
Analogamente per il secondo sistema. Perciò noi prendiamo come parti determinanti per il
primo sistema
qt
e
p
t
m
p
per il secondo sistema
Qt
e
P
t
m
P.
Il vantaggio è che fra questi va avanti indefinitamente lo stesso entanglement:
qt
p
p
m
P
t
P
Qt
m
t
oppure risolto:
qt
Qt
p
P
Qt
2
P
2
m
t
.
Cosicché quello che cambia nel tempo è proprio questo: la coordinata del sistema “piccolo”
non viene accertata semplicemente con una misura di coordinata sul sistema ausiliario, ma
piuttosto con una misura dell’aggregato
P
m
t
.
Qui comunque uno non deve farsi l’idea che forse misura Q_t e P, perché non funziona
così. Piuttosto uno deve supporre, come deve sempre supporre in Meccanica Quantistica,
che c’è un processo di misura diretto per questo aggregato. Eccetto per questo
mutamento, ogni cosa detta nella dodicesima e tredicesima sezione si applica ad ogni
istante di tempo; in particolare esiste in tutti gli istanti l’entanglement biunivoco con tutte
le variabili insieme a questa perversa conseguenza.
Sarebbe ancora lo stesso modo se all’interno di ciascun sistema agisse una forza, eccetto
che allora che q_t e p sarebberero intrecciate con combinazioni molto più complicate di
Q_t e P.
Ho spiegato brevemente tutto ciò per poter fare le seguenti considerazioni. Che
l’entanglement debba cammbiare col tempo ci rende dopottutto un po’ pensierosi. Forse
che, affinché siano fatte valere le non gradite conseguenze, tutte le misure di cui stiamo
discutendo debbano essere completate in un tempo brevissimo, in realtà istantaneo, in un
tempo nullo? Potrebbe essere bandito questo fantasma riferendoci al fatto che le misure
impiegano un certo tempo? No. Per ciascun singolo esperimento uno ha bisogno di solo
una misura su ciascun sistema; importa solo quella verginale, tutte le altre successive
esclusa questa sarebbero senza effetto. Quanto possa durare la misura non ci deve perciò
interessare, poiché non ne abbiamo una seconda susseguente. Uno deve essere
puramente capace di così disporre le due misure verginali che forniscono i valori delle
variabili per lo stesso definito istante temporale, a noi noto in anticipo: noto in anticipo,
perché dopottutto dobbiamo indirizzare le misure alla coppia di variabili che sono
intrecciate dall’entanglement proprio in quell’istante.
15. Legge Naturale o Strumento di Calcolo?
Che il “tempo acuto” sia un’anomalia in meccanica quantistica e che inoltre, più o meno
indipendente da questo, lo speciale trattamento del tempo formi un serio ostacolo per
adattare la meccanica quantistica al principio di relatività è qualcosa che negli ultimi anni
io ho cercato di sollevare più e più volte, sfortunatamente senza essere capace di vedere
neppure l’ombra di una utile ipotesi di lavoro. In un panorama dell’intera situazione
contemporanea, come ho cercato di schizzare qui, si aggiunge per sovrammercato un
genere di nota del tutto differente in relazione alla così ardentemente cercata, ma non
ancora raggiunta, “relativizzazione” della meccanica quantistica.
La rimarchevole teoria della misura, l’apparente saltare da tutte le parti della funzione psi
e infine le “antinomie da entanglement”, tutto deriva dalla maniera semplice con cui i
metodi di calcolo della meccanica quantistica permettono a due sistemi separati
concettualmente di essere combinati assieme in uno solo; cosa per la quale i metodi
sembrano pianamente predestinati. Quando due sistemi interagiscono, le loro funzioni psi,
come abbiamo visto, non entrano in interazione, ma piuttosto cessano improvvisamente di
esistere e prende il loro posto una singola funzione psi che rappresenta i sistemi
combinati. Ciò consiste, per menzionarlo brevemente, dapprima semplicemente nel
prodotto delle due funzioni individuali; il quale, poiché ciascuna funzione dipende da
variabili l’una completamente differente dall’altra, è una funzione di tutte queste variabili,
ovvero “agisce in uno spazio di un numero di dimensioni più grande” dello spazio in cui
agivano le singole funzioni dei sistemi prima dell’interazione. Non appena i sistemi
cominciano a interagire, la funzione combinata cessa di essere un prodotto e inoltre non si
divide ulteriormente, non appena i due sistemi si sono di nuovo separati, in fattori che si
possano assegnare individualmente ai singoli sistemi. Così si ha a disposizione
momentaneamente (finché l’entanglement non si risolve tramite una reale osservazione) di
solo una descrizione comune dei due sistemi nello spazio a dimensioni più alte. Questa è la
ragione per cui la conoscenza dei sistemi individuali può declinare verso il più scarso o
persino a zero, mentre la conoscenza del sistema composto rimane con continuità
massimale. La conoscenza migliore possibile di un tutto non include la conoscenza migliore
possibile delle sue parti e questo è ciò che continua a tornare indietro, come un fantasma,
a perseguitarci.
Chiunque rifletta su questo deve dopo tutto trovarsi molto pensieroso per il seguente
fatto: l’unione concettuale di due o più sistemi in uno incontra grandi difficoltà non appena
cerca di introdurre il principio della relatività ristretta in meccanica quantistica. Già sette
anni fa P.A.M. Dirac trovò una impressionante soluzione relativistica semplice ed elegante
al problema di un singolo elettrone. Una serie di conferme sperimentali, caratterizzate
dalle parole chiave spin elettronico, elettrone positivo e creazione di coppia possono
togliere ogni dubbio alla correttezza di fondo della soluzione. Ma in primo luogo essa
tuttavia trascende molto fortemente il piano concettuale della meccanica quantistica (che
io ho tentato di rappresentare qui ) e in secondo luogo uno si imbatte in una resistenza
tenace cerca di andare oltre, secondo il prototipo della teoria non relativista, dalla
soluzione di Dirac al problema di molti elettroni. (Questo mostra di colpo che la soluzione
giace all’esterno del piano generale, nel quale, come menzionato, la combinazione di
sottosistemi è estremamente semplice). Non presumo che siano sufficienti i tentativi che
sono stati fatti in questa direzione. Che essi (qui Schroedinger si sta riferendo ai lavori di
Breit del 1929, di Moeller del 1931, di Dirac del 1932 e 1934, di Peierls del 1934, di
Heisenberg del 1934) abbiano raggiunto la meta lo metto in dubbio, prima di tutto perché
gli stessi autori non hanno rivendicato tale risultato.
Il problema si erge intrattabile allo stesso modo per un altro sistema, il campo
elettromagnetico. Le sue leggi sono “la relatività personificata”, essendo in generale
impossibile un trattamento non relativistico. Ancora, fu questo campo, che nei termini del
modello classico della radiazione termica fornì il primo pertugio alla teoria quantistica e fu
il primo sistema ad essere “quantizzato”. Che questo potette essere fatto con mezzi
semplici proviene dal fatto che qui le cose sono un pochino più facili, in quanto i fotoni, gli
“atomi di luce”, in generale non intergiscono direttamente l’uno con l’altro, ma solo
attraverso particelle cariche [ma questo vale, probabilmente, solo in prima
approssimazione vedi i lavori di Born e Infeld del 1934 e 1935. Questo è uno dei più
recenti risultati dell’elettrodinamica quantistica.]. Ad oggi non abbiamo ancora una vera
non controversa teoria quantistica del campo elettromagnetico. Uno può fare una lunga
strada nel costruire dei sottosistemi (la teoria della luce di Dirac), che però non ha ancora
raggiunto del tutto la meta.
I miei più calorosi ringraziamenti alle Industrie Chimiche Imperiali di Londra per l’agio
fornito per scrivere questo articolo.
Erwin Schroedinger
fine della traduzione
:-)
Orleo
P.S.: mi è parso opportuno iniziare il tema della Meccanica Quantistica con questo bello e
famoso articolo di Schroedinger. Adesso continueremo la trattazione della Meccanica
Quantistica più in dettaglio. Mi piacerebbe seguire l’impostazione data da Dirac, che mi è
più congeniale, però ho pensato che sia forse più adeguato seguire una via diciamo meno
astratta e più fenomenologica, per cui comincerò dall’impostazione data nell’ordine dal
Pauling e Wilson, dal filone americano, dal Messiah, dal Landau e per finire da Dirac.
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