27 novembre 2013
23. Computabilità
Scaletta
Cenni di computabilità
Stefano Mizzaro
Dipartimento di matematica e informatica
Università di Udine
http://www.dimi.uniud.it/mizzaro/
[email protected]
Programmazione, lezione 23
27 novembre 2013
Problemi, domande, risposte
Algoritmi, programmi, linguaggi di
programmazione
Algoritmi che calcolano funzioni
Funzioni computabili e non
Stefano Mizzaro - Computabilità
Cosa fa un programma?
Qual è la radice quadrata di 2345?
Qual è il massimo comun divisore di 234 e 36?
Problema = insieme di domande omogenee
Esempi:
Fornisce risposte a una classe di domande
Definizioni (1/2)
Fornisce risposte a domande
Programma per calcolare la radice quadrata di un
numero
Esempi:
3
sqrt(36)
P2 (mcd(X,Y))
mcd(12,4)
mcd(36,5)
P3 (…)
Stefano Mizzaro - Computabilità
Stefano Mizzaro
4
Definizioni (2/2)
Tutti i problemi
sqrt(12)
I1 = Quanto vale sqrt(341)?
I2 = Quanto vale mcd(48,36)?
Stefano Mizzaro - Computabilità
Problemi e domande
P1 (sqrt(N))
P1 = Calcolare sqrt(n)
P2 = Calcolare mcd(x,y)
Domanda (“istanza di un problema”)
Risolve problemi
Stefano Mizzaro - Computabilità
2
5
Risposta (a una domanda) = “soluzione di
un’istanza”
Soluzione di un problema = metodo generale
che permette di fornire in modo uniforme la
risposta a tutte le istanze di un problema =
Algoritmo risolvente
Stefano Mizzaro - Computabilità
6
1
27 novembre 2013
23. Computabilità
Algoritmi e programmi
Algoritmo
Problemi e
algoritmi
Tutti i problemi
P1 (sqrt(N))
sqrt(12)
P2 (mcd(X,Y))
sqrt(36)
mcd(12,4)
mcd(36,5)
P3 (…)
“Metodo”, “procedimento”, “sequenza di passi”
Astratto
Non si può toccare/vedere
Programma
Tutti gli algoritmi
Rappresentazione precisa di un algoritmo in un
certo linguaggio di programmazione
Per eseguire/comunicare un algoritmo bisogna
rappresentarlo!!
Stefano Mizzaro - Computabilità
a11
7
8
Problemi, algoritmi, programmi
A2 (alg. per P2)
…
Tutti i programmi
Progr. per a12
A3 (…)
Progr. per a22
a22
a21
A2 (alg. per P2)
mcd(36,5)
Tutti gli algoritmi
a12
a11
Progr. per a22
A1 (alg. per P1)
Tutti i programmi
Progr. per a12
P3 (…)
Tutti i problemi
A3 (…)
P2 (mcd(X,Y))
a22
mcd(12,4)
a21
sqrt(36)
a12
sqrt(12)
a11
a22
a21
Stefano Mizzaro - Computabilità
Tutti gli algoritmi
A1 (alg. per P1)
A2 (alg. per P2)
a12
A3 (…)
P1 (sqrt(N))
Algoritmi e
programmi
A1 (alg. per P1)
…
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9
Il calcolatore
Stefano Mizzaro - Computabilità
10
Calcolatore, programma e dati
Problema
È un:
Esecutore di algoritmi
rappresentati da programmi
mediante un linguaggio di programmazione
Algoritmo
Istanza
Esecutore universale di algoritmi
Un algoritmo va eseguito su dati
Programma
Es.: calcola sqrt(897)
Dati
Stefano Mizzaro - Computabilità
Stefano Mizzaro
11
Stefano Mizzaro - Computabilità
Calcolatore
Risultati
12
2
27 novembre 2013
23. Computabilità
Finitezza, univocità, effettività
Curiosità legittime…
Un programma/algoritmo deve essere:
Finito (# finito di istruzioni)
if (x == 0) return 1;
else if (x == 1) return
else if (x == 2) return
else if (x == 3) return
else if (x == 4) return
...
2;
3;
4;
5;
Univoco, non ambiguo (x = x + “un po’”)
Effettivo: deve esistere un calcolatore in grado di
eseguire le istruzioni
Ma con gli algoritmi si può fare tutto?
E se no, che cos’è che si può fare?
prossimaVincitaAlLotto()
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13
Per quali problemi esiste un algoritmo risolvente?
E quello che si può fare dipende dal
linguaggio di programmazione scelto?
A queste domande risponde la teoria della
computabilità (calcolabilità)
Approccio formale, matematico, preciso
Domande ancora poco precise, servono un paio
di altre definizioni
Stefano Mizzaro - Computabilità
Funzioni
4•
f
f
•
•9
•
• d
dominio
c•
• 64
5•
f
b•
Domini e codomini
3•
Funzione = legge che associa a un elemento di un
insieme (dominio) un elemento di un insieme
(codominio)
a•
14
3•
2•
codominio
• e
• 5
•
1•
codominio
dominio
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15
Stefano Mizzaro - Computabilità
Algoritmi calcolano funzioni
Quali funzioni?
Algoritmo per calcolare la radice quadrata
calcola la funzione che associa a un numero
la sua radice quadrata
Algoritmo di Euclide calcola la funzione che
dati 2 numeri restituisce il loro MCD
Sembra riduttivo, ma
Stefano Mizzaro
Funzioni f: R → R: analisi matematica
La teoria della computabilità si occupa delle
funzioni f: N → N
Parziali
Ad esempio programma con un ciclo infinito che
non dà nessun output
Funzione “non definita”
… codifica…
Stefano Mizzaro - Computabilità
16
17
Stefano Mizzaro - Computabilità
18
3
27 novembre 2013
23. Computabilità
Le funzioni f: N → N
Curiosità legittime…
f: N → N
f1
•
f3
•
f2
f4
•
•
Def.: Funzione calcolabile (computabile) = funzione
per cui esiste un algoritmo che la calcola
Ora, finalmente, possiamo porci una domanda
precisa:
Le funzioni f: N → N sono tutte calcolabili?
Data una qualsiasi funzione, esiste sempre un
algoritmo che la calcola?
Stefano Mizzaro - Computabilità
19
Stefano Mizzaro - Computabilità
No! Funzioni calcolabili e non
Il problema della terminazione (Halting
problem)
Funzioni
calcolabili
f2
•
f3
•
f4
•
21
Dati di
ingresso D
Calcolatore
Termina /
Non termina
Stefano Mizzaro - Computabilità
Stefano Mizzaro
23
22
Una soluzione?
Descrizione di
un algoritmo Ai
CiaoATutti termina
while(true) non termina
Stefano Mizzaro - Computabilità
Il problema della terminazione
Algoritmo A?
Trovare un algoritmo A in grado di dirci se un
qualsiasi algoritmo Ai su dati D termina.
(un algoritmo potrebbe non terminare perché
entra in un ciclo infinito)
Funzioni non
calcolabili
Stefano Mizzaro - Computabilità
20
No? Voglio un esempio…
f: N → N
f1
•
MCD: ok. Somma: ok. Radice quadrata:…ok.
Ma in generale?
Beh, potrei far eseguire Ai sui dati e
attendere
Se termina so che termina
Se dopo 2 ore non ha terminato… so che non
ha terminato in due ore… ma quanto devo
aspettare?!
Non va!
Teorema: A non esiste
Stefano Mizzaro - Computabilità
24
4
27 novembre 2013
23. Computabilità
Funzioni
calcolabili
f3 [...]
...
f2 [mcd(X,Y)]
f2 (21,63)
f2 (135,207)
Stefano Mizzaro - Computabilità
Programmi per
l'algoritmo di
Euclide
…
Tutti i programmi
Progr. per a12
A3 (…)
Progr. per a22
a22
a21
a12
Tutti gli algoritmi
Ufficio / Calcolatore
Impiegato / Processore
Diagramma di flusso / Programma
Programmi per
l'algoritmo a11
...
27
Stefano Mizzaro - Computabilità
28
Riassunto del corso
Introduzione alla programmazione
Programmazione strutturata
Accento sulla qualità
Stefano Mizzaro
mcd(36,5)
http://www.dimi.uniud.it/mizzaro/research/
papers/algoritmo.pdf
Capp. 3 e 4
Sostituite:
Programmi per
l'algoritmo a12
...
Tutti i programmi
Problemi, domande, risposte
Algoritmi, programmi, linguaggi di
programmazione
Algoritmi che calcolano funzioni
Funzioni computabili e non
Stefano Mizzaro - Computabilità
26
Riferimenti
Riassunto
mcd(12,4)
Stefano Mizzaro - Computabilità
...
a11
Tutti gli algoritmi
A1: gli
algoritmi
per P1
a12
144
A3: gli
... algoritmi
per P3
A2: gli
algoritmi
per P2
(Euclide)
f1 (144)
f1 [ N ]
f1 (27)
...
mcd(135,207)
27
P2(mcd(X,Y))
mcd(21,63)
Problemi,
algoritmi e
programmi 2
P3(...)
5
P1( N )
25
f1 (5)
Funzioni
calcolabili
f: N → N
Stefano Mizzaro - Computabilità
Tutti i problemi
f4
Funzioni
non calcolabili
Problemi
risolubili
Tutti i problemi
risolubili
f3
a11
f2
A1 (alg. per P1)
f1
Problemi
non risolubili
P3 (…)
f: N --> N
sqrt(36)
P4
sqrt(12)
P2
Tutti i problemi
P3
P1
P1 (sqrt(N))
Problemi
A2 (alg. per P2)
Problemi, algoritmi, programmi
P2 (mcd(X,Y))
Funzioni non calcolabili e
problemi non risolubili
29
Con il linguaggio Java
Non variabili inutili, lunghezza del codice, programmi
leggibili, non cicli inutili, …
TDA, OO, API
Cenni computabilità
Stefano Mizzaro - Computabilità
30
5
27 novembre 2013
23. Computabilità
1. La programmazione
strutturata (22h)
L’ABC della programmazione:
2. Tipi di dati astratti,
occultamento delle
informazioni (4h)
Espressioni
Strutture di controllo
Sviluppo incrementale
Array
Metodi
Ricorsione
Presenti in ogni linguaggio di programmazione
Stefano Mizzaro - Computabilità
31
Come fare programmi più grandi e
complicati…
…e comunque modificabili, estendibili,
comprensibili, …
Tipi di dati astratti, occultamento delle
informazioni
Concetti e realizzazione in Java
Verso l’OO (“Object Oriented”)
Stefano Mizzaro - Computabilità
3. I fondamenti della
programmazione OO (10h)
4. Le API del Java (10h)
Evoluzione dai TDA: oggetti, classi, istanze,
scambio messaggi
Eredità
Polimorfismo
La programmazione OO in Java
Classi astratte
Interfacce
Package
Stefano Mizzaro - Computabilità
32
Application Programming Interface
“Librerie”
Il programmatore di oggi deve conoscere
anche le API
Introduzione, cenni:
33
File, stringhe, utilità, …
Interfacce utente grafiche
Applet
Stefano Mizzaro - Computabilità
34
5. Teorie della computabilità
e della complessità (cenni, 2h)
Teoria matematiche (teoremi!)
Computabilità
Cos’è un programma?
“Cosa può fare un programma”?
È possibile scrivere un programma che …?
Ci sono linguaggi di programmazione più “potenti” di altri?
Cosa vuol dire “più potente”?
Complessità
Dato un problema, ci sono programmi più efficienti di altri
per risolverlo? (più veloci, che usano meno risorse, …)
Stefano Mizzaro - Computabilità
Stefano Mizzaro
35
6
