OPERAZIONI,
PROBLEMI ED ESPRESSIONI COMPLESSE
4. LA MOLTIPLICAZIONE
E’ un’operazione di addizione avente gli addendi uguali. La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme dei numeri N, cioè
l’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione perché è un’operazione che può essere sempre effettuata.
I termini della moltiplicazione sono:
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Proprietà
COMMUTATIVA - cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.
Es: 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 = 15
ASSOCIATIVA - il prodotto di tre o più fattori non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce il loro prodotto.
Es: 3 ⋅ 5 ⋅ 6 = 15 ⋅ 6 = 90
DISSOCIATIVA - il prodotto di due o più fattori non cambia se al posto di uno di essi si sostituiscono alcuni fattori il cui
prodotto è uguale al fattore sostituito.
Es: 12 ⋅ 5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60
DISTRIBUTIVA - il prodotto di un numero per una somma (o una differenza) si può ottenere facendo le moltiplicazioni
parziali dei termini della somma (o della differenza) per tale numero e poi addizionare (o sottrarre) i
prodotti ottenuti.
Es: 3( 2 + 5 ) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21
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Calcolo in colonna
Si moltiplicano tra loro le cifre partendo da destra e s’incolonnano i risultati parziali per essere sommati, spostando di un
ordine a ogni riga di calcolo le cifre da incolonnare.
La virgola e gli zeri vengono eliminati durante il calcolo e riposizionati nel risultato finale.
Es: 22, 34 ⋅ 570 = 12733, 8
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Calcolo rapido con utilizzo delle proprietà
Si cerca di ottenere il maggior numero di addendi che terminano per 0 o 5 in modo da facilitare il calcolo mentale.
Es: 5 ⋅ 2 ⋅ 6 = 10 ⋅ 6 = 60
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Calcolo per multipli di 10; 100; 1000
Si calcolano solo le cifre diverse da zero e gli zeri vengono riportati nel risultato, spostando se necessario la virgola verso
destra
Es: 5, 7 ⋅ 20000 = 114000, 0
5. LA DIVISIONE
E’ un’operazione che permette di associare due numeri separandole suddividendo il primo in quantità uguali quanto sono indicate
dal secondo. La divisione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri N, cioè l’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di
divisione perché è un’operazione che non può essere svolta quando il primo termine non è un multiplo del secondo.
I termini dell’addizione sono
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Proprietà
I NVARIANTIVA - il quoziente tra due numeri non cambia se a entrambi si moltiplica o divide una stessa quantità, diversa
da zero
Es: 15 : 3 = (15 ⋅ 2 ) : ( 3 ⋅ 2 ) = 30 : 6 = 5
DISTRIBUTIVA - il quoziente di un numero per una somma (o una differenza) si può ottenere facendo le divisioni
parziali dei termini della somma (o della differenza) per tale numero e poi addizionare (o sottrarre) i
quozienti ottenuti.
Es: ( 6 + 9 ) : 3 = ( 6 : 3) + ( 9 : 3) = 2 + 3 = 5
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Calcolo in colonna
Si riportano i resti parziali incolonnandoli sotto al dividendo in modo da effettuare le sottrazioni necessarie alle successive
divisioni.
Es: senza resto 4257, 2 : 58 = 73, 4
2794, 25 : 3, 7 = 755, 2027
con resto (si continua fino 2 o 3 decimali)
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Calcolo rapido con utilizzo delle proprietà
Si cerca di ottenere un divisore multiplo di 10 in modo da facilitare la divisione
Es: 18 : 5 = (18 ⋅ 2 ) : ( 5 ⋅ 2 ) = 36 :10 = 3, 6
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Calcolo per divisori di 10; 100; 1000
Si calcolano solo le cifre diverse da zero spostando la virgola verso sinistra
Es: 26 : 2000 = 0, 013
6. ESPRESSIONI ARITMETICHE COPLESSE
Le regole di procedimento generali sono:
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R EGOLA DELLE OPERAZIONI
Si risolvono le operazioni con questa sequenza:
1. le potenze e le proprietà; (se sono presenti)
2. le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui si trovano;
3. le somme e le sottrazioni nell’ordine in cui si trovano;
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R EGOLA DELLE PARENTESI
Si risolvono le parentesi con questa sequenza:
1. Tonde
2. Quadre
3. Graffe
ES:
{
}
45 − ⎡⎣18 + ( 2 ⋅ 7 ) ⋅ 2 : ( 32 : 8 ) ⎤⎦ : 5 + 20 − (10 ⋅ 2 ) =
= 45 − {[18 + 14 ⋅ 2 : 4 ] : 5 + 20} − 20 =
= 45 − {[18 + 28 : 4 ] : 5 + 20} − 20 =
= 45 − {[18 + 7 ] : 5 + 20} − 20 =
= 45 − {25 : 5 + 20} − 20 =
= 45 − {5 + 20} − 20 =
= 45 − 25 − 20 =
= 20 − 20 =
=0
7. PROBLEMI CON 4 OPERAZIONI
Il problema presenta le stesse impostazioni dei problemi semplici, aumentano solo la quantità di operazioni, che possono essere
risolte in un’unica espressione:
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FASE D’ANALISI - lettura e comprensione del testo.
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FASE DI FORMALIZZAZIONE - traduzione dei dati e delle incognite in termini matematici con impostazione risolutiva
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FASE DELL’ALGORITMO - impostazione, elaborazione e calcolo. L’algoritmo è la serie di operazioni matematiche che
mi permettono di risolvere il problema.
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FASE DI RISOLUZIONE - la risposta scritta viene omessa. Si devono cerchiare i risultati ottenuti risolvendo le
incognite e barrare i punti di domanda risolti.
PROBLEMA: Una signora ha acquistato 4 gonne a 23 € l’una, 1 camicia a 48 € e un paio di pantaloni; se paga con 4
biglietti da 50 € riceve di resto 28 €. Le è stato anche fatto uno sconto di 5 €; qual è il prezzo dei
pantaloni?
DISEGNO
(solo geometrico)
DATI
G = 23 € x 4
INCOGNITA
? =P
C = 48 € x 1
B = 50 € x 4
S=5€
R = 28 €
ALGORITMO
•
•
•
Calcolare il totale delle gonne
Calcolare il totale dei vestiti
Calcolare il prezzo dei pantaloni sottraendo il totale dei vestiti, dello sconto e del resto.
RISOLVO
INDICAZIONE
P=
P=
{( B ⋅ 4 ) − R − ⎡⎣(G ⋅ 4 ) + C ⎤⎦} + S
{( 50 ⋅ 4 ) − 28 − ⎡⎣( 23 ⋅ 4 ) + 48 ⎤⎦} + 5 =
= {200 − 28 − [ 92 + 48 ]} + 5 =
= {200 − 28 − 140} + 5 =
= {172 − 140} + 5 =
= 32 + 7 =
= 37€
CALCOLO
