Equazioni di II grado

Facoltà di Agraria
Equazioni di II grado
• Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale se è del tipo
ax 2 + bx + c = 0, , con a ≠ 0, a, b, c ∈ R
Esempio
L’equazione
3x2+2x-5=0
è una equazione di 2° grado scritta in forma normale (a=3, b=2 e c=-5)
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Soluzioni di un’equazione di II grado
• Le soluzioni di una equazione di 2° grado (dette anche zeri o radici)
sono sempre 2 e sono quei valori che sostituiti all’incognita x rendono
l’equazione una identità
Esempio
x=1 e x=2
sono soluzioni per l’equazione x2–3x+2=0
(infatti 12–3+2=0 e 22–6+2=0)
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Discriminante
• Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado,
e si indica con ∆, il numero
2
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Formula risolutiva di un’equazione di
II grado
Le soluzioni si ricavano applicando formula
2
x1, 2
− b ± b − 4 ac
=
2a
dove:
• Se ∆>0 le soluzioni sono 2 e distinte
• Se ∆=0 le soluzioni sono 2 coincidenti
• Se ∆<0 non esistono soluzioni reali
Esempio
2x 2 − 5x + 3 = 0
∆ = 25 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 > 0
2 soluzioni distinte
3
x1 =
5± 1
x1,2 =
=
2
2⋅2
x2 = 1
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Equazioni di secondo grado: interpretazione grafica
Risolvere un’equazione di secondo grado
ax2+bx+c=0
equivale a determinare (se esistono) le intersezioni con l’asse delle
ascisse della parabola di equazione
y=ax2+bx+c
 b b 2 − 4ac 
 .
con vertice V ≡  − ,−
4a 
 2a
Ricordiamo che
se a < 0 allora la parabola è "rivolta verso il basso"
se a > 0 allora la parabola è "rivolta verso l'alto"
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Contrariamente ad una equazione di primo grado che
ammette sempre un’unica soluzione, un’equazione di secondo
grado può non ammettere soluzioni o ammetterne due
(eventualmente coincidenti). La presenza o meno di soluzioni
reali dipende dal segno del discriminante
∆=b2-4ac
x1 ≡ x 2
∆<0
∆=0
x2
x1
∆>0
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Disequazioni di II grado
ax 2 + bx + c > 0,
ax 2 + bx + c < 0
a ≠ 0, a, b, c ∈ R
N.B.: Possiamo sempre fare riferimento ai casi in cui il
segno della disequazione è positivo.
Infatti se il segno della disequazione è negativo, basta
cambiare segno a tutti i termini e invertire poi il verso
della disequazione rendendolo positivo.
2
x
+ 2 x − 3 < 0 è equivalente a − x 2 − 2 x + 3 > 0)
(esempio:
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Disequazioni di II grado
2
ax + bx + c > 0,
a ≠ 0, a, b, c ∈ R
• Passo1: verificare se il segno di a è concorde
o meno con il segno della disuguaglianza;
• Passo2: determinare le radici reali x1 e x2 (se
esistono) dell’equazione di II grado associata,
utilizzando la formula:
ax 2 + bx + c = 0
x1, 2
−b± ∆
2
=
, con ∆ = b − 4ac
2a
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a > 0
∆>0 
a < 0
ax 2 + bx + c > 0 ⇒ x < x1 ∪ x > x2
ax 2 + bx + c > 0 ⇒ x1 < x < x2
a>0
x1
a<0
x2
x1
x2
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a > 0
∆=0 
a < 0
a>0
ax 2 + bx + c > 0 ⇒ ∀x ∈ R, x ≠ x1 = x2
ax 2 + bx + c > 0 ⇒ ∃x ∈ R
a<0
x1 = x2
°
x1 = x2
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a > 0
∆<0 
a < 0
a>0
ax 2 + bx + c > 0 ⇒ ∀x ∈ R
ax 2 + bx + c > 0 ⇒ ∃x ∈ R
a<0
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Disequazioni di secondo grado: interpretazione grafica
Risolvere una disequazione di secondo grado
ax2+bx+c ≥ 0
equivale a stabilire la posizione della parabola di equazione
y=ax2+bx+c
rispetto all’asse delle ascisse.
Le tre possibili alternative dipendono dal segno di ∆
x1 ≡ x 2
∆ < 0
∆ = 0
ax2+bx+c ≥ 0, a>0
x2
x1
∆ > 0
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Disequazioni di secondo grado: interpretazione grafica
Cioè:
x1
x2
x1 < x < x2
x < x2 oppure x > x1
Nessuna soluzione
x2
x1
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Sistemi di disequazioni
Date più disequazioni, ci proponiamo di trovare in
R le loro soluzioni comuni e cioè l’insieme
intersezione degli insiemi di soluzioni delle
singole disequazioni date
si dice allora che l’insieme delle disequazioni date
costituisce un sistema
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Sistemi di disequazioni
Quindi, risolvere un sistema significa determinare
l’insieme intersezione degli insiemi costituiti dalle
soluzioni delle singole disequazioni
Cioè, per risolvere un sistema bisogna:
• risolvere separatamente ciascuna delle disequazioni che
lo compongono;
• confrontare le soluzioni delle singole disequazioni;
• determinare le soluzioni comuni.
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Esempio 1
Risolvere il seguente sistema:
x + 2 > 0
 2
 x − 3x − 4 ≥ 0
• x + 2 > 0 ⇒ x > −2
• x 2 − 3x − 4 ≥ 0 :
2
x − 3 x − 4 = 0 ⇒ x1, 2
⇒ x ≤ −1 ∪ x ≥ 4
+ 3 ± 9 + 16
=
⇒ x1 = −1, x2 = 4
2
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 x > −2

 x ≤ −1 ∪ x ≥ 4
−2 −1
0
•
− 2 < x < −1 e x ≥ 4
4
•
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Esempio 2 (interpretazione grafica)
y=x2
y
20
10
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-10
y=3x-5
-20
 y ≤ x2

 y ≥ 3x − 5