Note di Fisica Matematica I

Note di
Fisica Matematica I: Meccanica
Razionale
1 Marzo, 2008
Note di
Fisica Matematica I
Le presenti NOTE di non vogliono in nessun modo essere un
testo ma un semplice ausilio per lo studio del corso, per questo
motivo la trattazione μe succinta. Anzi, μe opportuno approfondire
e studiare criticamente quanto svolto a lezione avvalendosi di testi
veri e propri. Tra i testi piμ
u noti si possono ricordare i seguenti:
- V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica. Editori Riuniti 1986.
- G. Dell'Antonio, Elementi di Meccanica. I: Meccanica Classica.
Liguori Editore 1996.
- G. Gallavotti, Meccanica Elementare, Ed. Boringhieri 1986.
- A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Ed. Boringhieri
1994.
Meno moderni ma sempre ricchi di interessanti spunti ed osservazioni sono i seguenti:
- T. Levi-Civita, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. Zanichelli,
Ristampa anastatica 1974 (ed. 1929)
- E. Mach, La Meccanica nel suo Sviluppo Storico-Critico, Ed.
Boringhieri 1992 (prima edizione del 1883)
Note di
Fisica Matematica I
Sommario
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2
Calcolo Vettoriale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.1 Operazioni sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori . . . . . .
1.1.3 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Derivata di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna
intrinseca, richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Risultante e momento risultante di un
sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Asse centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro
riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Sistemi di vettori applicati paralleli . . . . . . . . .
1.2.5 Sistemi di vettori applicati riducibili . . . . . . . . .
Cinematica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Velocitμa del moto di un punto. . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Classi¯cazione dei moti in base alla velocitμa
ed alla accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VIII
Sommario
2.1.4 Moti piani in coordinate polari. . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Esempi di moti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Moti traslatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Moti rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Moti rototraslatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto . . . . . . . . . .
2.2.6 Composizione di atti di moto: Teorema di
Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi . . . . . . . . . .
2.3.1 Velocitμa e accelerazione assolute e relative . . . .
2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto . . .
2.3.3 Precessioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Cinematica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Sistemi anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Spostamenti in¯nitesimi reali e virtuali . . . . . .
2.4.4 Sistemi a legami unilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche : : :
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica . .
3.1.1 Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Forze ¯ttizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del
moto incipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Forze posizionali e forze conservative . . . . . . . .
3.1.7 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Lavoro ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sommario
3.2.2 Appendice: Attrazione di una super¯cie
sferica ¾ omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Appendice: Attrazione di una corona sferica
omogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ¸ 0) . . .
3.3 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Densitμa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Baricentro di un sistema discreto di punti
materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Baricentro di un corpo, di una super¯cie e di
una linea materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Ellissoide d'inerzia e assi principali . . . . . . . . . .
3.3.6 Matrice d'inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Ellissoide centrale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Statica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1 Attrito e statica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Punto appoggiato su di una super¯cie . . . . . . .
4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una
super¯cie o su una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Commento sui sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Sistemi equivalenti di forze . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Condizioni necessarie per l'equilibrio di un
sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Postulato caratteristico dei solidi e su±cienza
delle equazioni cardinali della statica . . . . . . . .
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale . . . . . .
4.3.1 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Condizione generale d'equilibrio. Relazione
simbolica della Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Statica dei sistemi pesanti. Teorema di
Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Statica dei sinstemi olonomi: condizioni di
equilibrio in coordinate lagrangiane . . . . . . . . .
4.3.5 Complemento: metodo dei moltiplicatori di
Lagrange e calcolo delle reazioni . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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X
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Sommario
4.3.7 Calcolo delle reazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Nozione statica di stabilitμa dell'equilibrio . . . . . . . . . .
4.4.1 Stabilitμa per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo .
4.4.3 Stabilitμa per un sistema meccanico . . . . . . . . . .
4.5 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Nozione di equilibrio relativo . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Casi particolari notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Peso e attrazione terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Cenni di meccanica dei continui deformabili : : : : :
5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Fili °essibili ed inestendibili. De¯nizione e
postulato carattersitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione inde¯nite
dell'equilibrio dei ¯li. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Complementi: ¯lo soggetto ad un sistema di
forze parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Complementi: ¯lo teso su una super¯cie . . . . . .
5.2 Cinematica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . .
5.2.3 Equazioni di continuitμa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . .
5.2.5 Analisi dello strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Dilatazione cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Statica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Forze applicate e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui
deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Formule di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Equazioni inde¯nite dell'equilibrio . . . . . . . . . . .
5.3.5 Le equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dinamica: equazioni di®erenziali del moto : : : : : : : 163
6.1 Dinamica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.1 Dinamica del punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita . 164
6.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali 165
Note di
Fisica Matematica I
Sommario
6.1.4 Dinamica del punto soggetto a forze
dipendenti soltanto dalla velocitμa . . . . . . . . . . .
6.1.5 Comportamento dell'attrito durante il moto . .
6.1.6 Moto di un punto su una super¯cie priva di
attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Lavoro elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Corpo rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane . .
6.2.4 Lavoro virtuale e identitμa notevoli . . . . . . . . . . .
6.2.5 Energia cinetica o forza viva . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.6 Quantitμa di moto e momento della quantitμa
di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.7 Quantitμa di moto e momento delle quantitμa
di moto di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di
Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Generalitμa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Teoremi della quantitμa di moto e del
momento delle quantitμa di moto. Equazioni
cardinali della Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema
qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Principio di d'Alembert e relazione simbolica
della Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Equazioni di®erenziali del moto di un sistema
olonomo in coordinate lagrangiane . . . . . . . . . .
6.3.6 Dimostrazione della "su±cienza" delle
equazioni cardinali della Dinamica . . . . . . . . . .
6.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma . . . . . .
6.3.8 Funzione Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Calcolo Vettoriale
1.1 Operazioni sui vettori
1.1.1 Vettori
Nello spazio R3 due segmenti orientati si dicono equipollenti
quando hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso
verso. La relazione di equipollenza μe una relazione di equivalenza
(valgono le proprietμa ri°essiva, simmetrica e transitiva).
Sia V l'insieme dei segmenti in R3 modulo la relazione di
equipollenza. I suoi elementi si chiamano vettori e sono denotati nel seguente modo v. De¯niremo lunghezza (o modulo),
direzione e verso di un vettore come quelli di uno qualunque
dei suoi rappresentanti. Quindi, due vettori sono uguali se hanno
stessa lunghezza, direzione e verso. Il vettore nullo μe rappresentato da un qualunque segmento di lunghezza zero e viene denotato
come 0. Usualmente il modulo di un vettore v si denota come v
o anche jvj.
Scriveremo anche v = B ¡ A dove A e B sono gli estremi di un
qualunque segmento orientato rappresentante v.
De¯nizione 1.1. Uno spazio vettoriale su R μe un insieme non
vuoto V in cui sono de¯nite due operazioni, l'addizione e la moltiplicazione per un numero reale, tali che:
i. l'addizione μe associativa e commutativa;
ii. esiste un elemento neutro 0 2 V per l'operazione di addizione,
cio¶e tale che u + 0 = 0 + u = u per ogni u 2 V;
Note di
Fisica Matematica I
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1 Calcolo Vettoriale
iii.per ogni u 2 V esiste l'elemento opposto v 2 V tale che u+v =
0;
iv. esiste un elemento neutro 1 2 R per l'operazione di moltiplicazione, cio¶e tale che u1 = 1u = u per ogni u 2 V;
v. sussiste la proprietμa distributiva del prodotto rispetto alla somma:
¸(u + v) = ¸u + ¸v; 8u; v 2 V; 8¸ 2 R:
L'insieme V puμo essere strutturato come spazio vettoriale sui
reali introducendo in modo naturale la usuale somma tra segmenti
e il prodotto esterno come segue:
| dati due vettori u = B ¡ A e v = C ¡ B rappresentati da
due segmenti avente il secondo estremo del primo vettore coincidente con il primo estremo del secondo vettore. Si de¯nisce
somma tra i due vettori il vettore
u + v = (B ¡ A) + (C ¡ B) = C ¡ A
| dato un vettore u ed un numero reale ¸ si de¯nisce il prodotto
esterno il vettore ¸u avente la stessa direzione di u, verso
concorde con il verso di u se ¸ > 0 altrimenti verso opposto, e
modulo uguale al numero reale positivo j¸ju
Il vettore nullo coincide con il vettore neutro.
1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori
Considerato un sistema di coordinate cartesiani ortogonali (O; x; y; z),
tali da costituire una terna destra, introduciamo i versori ^³, ^´ e ^k
aventi verso e direzione concordi con gli assi coordinati. I versori
fondamentali costituiscono una base ortonormale dello spazio vettoriale V e ad ogni vettore v corrisponde in modo univoco una
terna di numeri reali vx , vy , vz , dette componenti del vettore,
tali che
v = vx^³ + vy^´ + vz ^k
μ immediato osservare che due vettori coincidono se, e solo
E
se, coincidono le componenti. Inoltre la somma tra vettori ed il
prodotto esterno puμo essere calcolato attraverso le loro componenti:
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Fisica Matematica I
1.1 Operazioni sui vettori
3
^ + (vx^³ + vy^´ + vz k)
^
u + v = (ux^³ + uy^´ + uz k)
= (ux + vx )^³ + (uy + vy )^´ + (uz + vz )^k
^ = (¸vx)^³ + (¸vy )^´ + (¸vz )^k
¸v = ¸(vx^³ + vy^´ + vz k)
1.1.3 Prodotto scalare
De¯nizione 1.2. Dati due vettori u e v si de¯nisce prodotto
scalare tra i due vettori la grandezza scalare
u ¢ v = uv cos(®)
dove ® μe l'angolo formato dai due vettori.
μ immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle
E
seguenti proprietμa
| commutativa: u ¢ v = v ¢ u
| distributiva: (u + v) ¢ w = u ¢ w + v ¢ w
| u ¢ v = 0 , (u = 0) _ (v = 0) _ (u ? v)
| ^³ ¢ ^³ = ^´ ¢ ^´ = k^ ¢ ^k = 1 e ^³ ¢ ^´ = ^³ ¢ k^ = ^´ ¢ k^ = 0
| se ux ; uy ; uz e vx; vy ; vz sono le componenti dei due vettori u e v
rispetto ad una base assegnata allora il prodotto scalare si puμo
calcolare come
u ¢ v = ux vx + uy vy + uz vz
In particolare
ux = u ¢ ^³; uy = u ¢ ^´ e uz = u ¢ k^
| il modulo di un vettore viene calcolato come
q
p
u = u ¢ u = u2x + u2y + u2z
1.1.4 Prodotto vettoriale
De¯nizione 1.3. Dati due vettori u e v si de¯nisce prodotto vettoriale tra i due vettori il vettore
w =u£v
ortogonale ad entrambi, avente verso tale che la terna u; v; w sia
destra e modulo
Note di
Fisica Matematica I
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1 Calcolo Vettoriale
ju £ vj = uvj sin(®)j
dove ® μe l'angolo formato dai due vettori.
μ immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle
E
seguenti proprietμa
| anti-commutativa: u £ v = ¡v £ u
| distributiva: (u + v) £ w = u £ w + v £ w
| u £ v = 0 , (u = 0) _ (v = 0) _ (u k v)
| ^³ £ ^³ = ^´ £ ^´ = ^k £ k^ = 0 e ^³ £ ^´ = ^k, ^´ £ k^ = ^³ e k^ £ ^³ = ^´
| se ux ; uy ; uz e vx; vy ; vz sono le componenti dei due vettori u e
v rispetto ad una base assegnata allora il prodotto vettoriale si
puμo calcolare come
¯
¯
¯ ^³ ^´ k
^ ¯¯
¯
¯
¯
u £ v = ¯¯ ux uy uz ¯¯ = (uy vz ¡ uz vy )^³ + (uz vx ¡ ux vz )^´ + (ux vy ¡ uy vx )k^
¯ vx vy vz ¯
| il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coicidente con l'area del parallelogramma di spigoli de¯niti dai due
vettori e avente entrambi il primo estremo in comune
| Si osserva che non vale la proprietμa associativa, infatti
¡^k = (^³ £ ^´) £ ^´ 6= ^³ £ (^´ £ ^´) = 0
A partire dall'operazione di prodotto vettoriale μe possibile
de¯nire la operazione di divisione tra vettori: dati due vettori u e
v ortogonali esiste almeno un vettore w tale che
u£w =v
^ dove ^³ e
Infatti, introduciamo la terna ortonormale destra (^³;^´; k)
^k sono scelti nel seguente modo
^³ =
u
v
e k^ =
u
v
e dove ^´ viene determinato in modo tale che la terna ^³, ^´ e k^ sia
destra:
v£u
^´ = k^ £ ^³ =
:
uv
Note di
Fisica Matematica I
1.1 Operazioni sui vettori
Di conseguenza
·
5
¸
u
v£u
v = vk^ = v^³ £ ^´ = v £
=u£w
u
uv
dove
w=
v£u
+ hu
u2
per ogni h 2 R.
1.1.5 Prodotto misto
De¯nizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si de¯nisce prodotto
misto tra i tre vettori la grandezza scalare
u£v¢w
dove le operazioni da eseguire sono, nell'ordine, il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare.
μ immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle
E
seguenti proprietμa
| il prodotto misto coincide con il volume, con segno, del parallelepipedo di spigoli u, v e w. Il veluome viene preso con segno
positivo se la terna dei tre vettori u, v e w μe destra, altrimenti
viene preso con segno negativo
| una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quindi
il prodotto misto soddisfa alla seguente propreitμa
u£v¢w =v£w¢u=w£u¢v
| il prodotto misto μe nullo se, e solo se, almeno un vettore μe nullo
oppure i tre vettori sono complanari:
u£v¢w =0
m
(u = 0) _ (v = 0) _ (w = 0) _ (u; v; w sono complanari)
| se ux ; uy ; uz , vx ; vy ; vz e wx ; wy ; wz sono le componenti dei tre
vettori u, v e w rispetto ad una base assegnata allora il prodotto
misto si puμo calcolare come
¯
¯
¯u u u ¯
¯ x y z¯
¯
¯
u £ v ¢ w = ¯¯ vx vy vz ¯¯
¯ wx wy wz ¯
Note di
Fisica Matematica I
6
1 Calcolo Vettoriale
1.1.6 Derivata di vettori
Consideriamo una funzione a valori vettoriali
u:R!V
che ad ogni valore della variabile indipendente t 2 R associa un
vettore u(t) 2 R. Assegnare la funzione u(t) equivale, dato un
sistema di riferimento ¯sso, ad assegnare le tre funzioni scalari
ux (t), uy (t) e uz (t) tali che
^
u(t) = ux (t)^³ + uy (t)^´ + uz (t)k:
Identi¯cando poi il vettore u con il punto P tale che u = P ¡O,
allora il vettore u(t) dipendente dalla variabile t si identi¯ca con
il punto P (t) individuato dalle coordinate x(t), y(t) e z(t) tali che
^
P (t) ¡ O = x(t)^³ + y(t)^´ + z(t)k:
Si de¯nisce derivata del vettore u(t) il vettore
u(t + h) ¡ u(t)
h!0
h
assumendo che tale limite esista ¯nito. In virtμ
u della linearitμa
del limite segue che tale derivata esiste se, e solo se, le tre funzioni ux (t), uy (t) e uz (t) sono derivabili e inoltre vale la seguente
relazione:
lim
du(t) dux (t)
duy (t)
duz (t) ^
=
^³ +
^´ +
k:
dt
dt
dt
dt
In modo elementare seguono le seguenti proprietμa:
- Regola di Leibniz: dati due funzioni a valori vettoriali u(t) e
v(t) e data una funzione f(t) a valori reali (supponendole tutte
derivabili) segue che
d[f(t)u(t)] df(t)
du(t)
=
u(t) + f (t)
dt
dt
dt
dv(t)
d[u(t) ¢ v(t)] du(t)
=
¢ v(t) + u(t) ¢
dt
dt
dt
d[u(t) £ v(t)] du(t)
dv(t)
=
£ v(t) + u(t) £
dt
dt
dt
Note di
Fisica Matematica I
1.1 Operazioni sui vettori
7
- La derivata di un vettore u(t) di modulo costante (ad esempio
un versore) μe normale al versore stesso:
du(t)
? u(t):
(1.1)
dt
La dimostrazione p
di questa proprietμa μe immediata, infatti ricordando che juj = u ¢ u allora derivando ambo i membri della
uguaglianza
se ju(t)j = costante )
costante = u ¢ u
segue che
du(t)
du(t)
du(t)
¢ u(t) + u(t) ¢
= 2u(t) ¢
dt
dt
dt
e da qui la tesi.
0=
1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami
Una curva ° nello spazio R3 puμo essere de¯nita mediante la sua
rappresentazione parametrica
° = f(x(t); y(t); z(t)); t 2 [t1 ; t2 ]g
dove x(t), y(t) e z(t) sono tre funzioni assegnate che supporremo
su±cientemente regolari, tipicamente assumiamo che esse siano di
classe C 2 e che inoltre sia
"
dx
dt
#2
"
dy
+
dt
#2
"
dz
+
dt
#2
6= 0:
Un caso particolare μe il caso, ben noto, di una curva de¯nita
nel piano attraverso la rappresentazione cartesiana
x ! y = f(x); x 2 [x1 ; x2 ]
dove f(x) μe una funzione assegnata e dove [x1 ; x2 ] μe un intervallo
assegnato. In questo caso la curva ° consiste in
n
o
° = (x; y) 2 R2 : x 2 [x1 ; x2]; y = f(x)
Questo caso, infatti, puμo essere visto come un caso particolare del
precedente in cui x = t, y = f (t) e z = 0.
Note di
Fisica Matematica I
8
1 Calcolo Vettoriale
Sulla curva ° si puμo introdurre un'origine O1 ed un verso di percorrenza positivo, si puμo inoltre calcolare la lunghezza s detta ascissa curvilinea, con segno, dell'arco di curva congiungente O1 con
un generico punto P (t) di coordinate (x(t); y(t); z(t)) attraverso
l'integrale
s = s(t) = §
v
"
#
Z tu
u dx(t0 ) 2
t
"
dy(t0 )
+
dt
dt
t0
#2
"
#2
dz(t0 )
+
dt0
dt
dove t0 μe il valore del parametro corrisponde a O1 e dove prenderemo il segno +, rispettivamente ¡, se P segue, rispettivamente
precede, O1 secondo il verso assegnato sulla curva.
La funzione t ! s(t) μe invertibile e, attraverso la sua funzione
inversa, t = t(s) μe possibile de¯nire la rappresentazione parametrica normale
° = f(x(s) = x[t(s)]; y(s) = y[t(s)]; z(s) = z[t(s)]); s 2 [s1 = s(t1 ); s2 = s(t2 )]g
tale che
"
dx
ds
#2
"
dy
+
ds
#2
"
dz
+
ds
#2
= 1:
Denotando con P (s) il punto di coordinate (x(s); y(s); z(s)) e
con P (s) ¡ O = x(s)^³ + y(s)^´ + z(s)k^ si puμo dimostrare che la
derivata
^t(s) = dP (s) = dP ^³ + dP ^´ + dP k^
ds
ds
ds
ds
μe un versore, detto versore tangente, tangente alla curva e diretto
secondo il verso assegnato.
La derivata del versore tangente, in virtμ
u di quanto dimostrato
nella (1.1), μe un vettore ortogonale al vettore ^t e si scrive come
d^t
1
= n
^
(1.2)
ds
½c
dove ½c μe un numero reale positivo, detto raggio di curvatura, e
dove n
^ μe un versore, detto versore normale. Dalla (1.2) segue che
μe possibile determinare ½c e n
^ attraverso le formule
¯ ¯¡1
¯ d^
t¯
½c = ¯¯¯ ¯¯¯
ds
e n
^ = ½c
d^t
:
ds
Note di
Fisica Matematica I
1.1 Operazioni sui vettori
9
1.1.8 Esercizi
Esercizio 1.1.8.1: Siano dati i vettori
^ b = ¡^³ + k;
^ c = 3^³ + ^´ ¡ k;
^
a = ^³ + 2^´ + k;
si domanda:
i. calcolare il prodotto scalare a ¢ b;
ii. calcolare il prodotto vettoriale d = a £ b;
iii. calcolare il modulo dei vettori a e b e, essendo questi ortogonali,
calcolare il modulo del loro prodotto vettoriale per mezzo della
formula
ja £ bj = ab sin ®;
veri¯care poi tale risultato calcolando il modulo del vettore d;
iv. calcolare i prodotti misti a ¢ b £ c e a £ b ¢ c e veri¯care che
sono uguali;
v. veri¯care la proprietμa distributiva per i vettori a; b; c:
a £ (b + c) = a £ b + a £ c;
vi. veri¯care che non vale la proprietμa associativa per i vettori
a; b; c:
a £ (b £ c) 6= (a £ b) £ c;
vii.essendo a e b ortogonali, trovare un vettore e tale che:
b = e £ a:
Esercizio 1.1.8.2: Siano dati i vettori:
^
a = 2^³ + 3^´ ¡ ^k; b = ¡2^³ + ^´ ¡ k;
si domanda:
i. dimostrare che sono tra loro ortogonali;
ii. trovare un vettore c0 tale che:
b = c0 £ a;
iii. trovare un vettore c di modulo uno tale che:
b = c £ a:
Note di
Fisica Matematica I
10
1 Calcolo Vettoriale
Esercizio 1.1.8.3: Determinare in R3 l'equazione della retta
individuata da 2 punti P1 e P2 distinti.
Esercizio 1.1.8.4: Determinare in R3 l'equazione del piano
individuato da 3 punti P1 , P2 e P3 distinti e non allineati.
Esercizio 1.1.8.5: Determinare in R3 l'equazione del piano
tangente ad una super¯cie regolare, di equazione f(x; y; z) = 0
per data f : R3 ! R, in un suo punto P0.
Esercizio 1.1.8.6: Introdurre una rappresentazione parametrica normale
s ! (x(s); y(s); z(s)) ; [x0 (s)]2 + [y0 (s)]2 + [z0 (s)]2 ´ 1;
della circonferenza di raggio R e poi determinarne il raggio di
curvatura mediante la formula
1
d
½c = q
dove 0 = :
ds
[x00 (s)]2 + [y 00 (s)]2 + [z 00 (s)]2
Esercizio 1.1.8.7: Data una curva regolare °, contenuta nel
piano (O; x; y) e avente rappresentazione cartesiana y = f (x), per
una f : R ! R data, provare che il raggio di curvatura puμo essere
determinato dalla formula
·
1+
½c =
³
´ ¸3=2
df 2
dx
¯ 2 ¯
¯d f ¯
¯ dx2 ¯
;
Facendo poi uso di questa formula calcolare nuovamente il raggio
di curvatura della circonferenza di raggio R.
1.2 Vettori applicati
De¯nizione 1.5. Diremo vettore applicato la coppia (A; v)
dove A denota un punto nello spazio e v un vettore.
1.2.1 Risultante e momento risultante di un sistema di vettori
applicati
De¯nizione 1.6. Dato un vettore applicato (A; v) ed un punto O
si chiama momento di polo O del vettore v applicato in A il
vettore
Note di
Fisica Matematica I
1.2 Vettori applicati
11
M(O) = (A ¡ O) £ v = v £ (O ¡ A):
De¯nizione 1.7. Dato un sistema § di vettori applicati
§ = f(A1; v1 ); (A2 ; v2 ); : : : ; (AN ; vN )g
si dirμa vettore risultante del sistema il vettore
R=
N
X
vs
s=1
Scelto poi un qualunque punto O si denota momento risultante
di polo O del sistema il vettore
M(O) =
N
X
s=1
vs £ (O ¡ As ):
Vale la seguente proprietμa:
Teorema 1.8. Dati due punti qualunque O e O 0 nello spazio si ha
che
M(O 0) = M(O) + R £ (O0 ¡ O):
Dimostrazione. La veri¯ca μe immediata:
M(O 0) =
N
X
s=1
vs £ (O 0 ¡ As ) =
N
X
s=1
vs £ [(O 0 ¡ O) + (O ¡ As )]
0
= R £ (O ¡ O) + M(O):
(1.3)
Da questa proprietμa segue che se il vettore risultante R μ
e
nullo allora il momento risultante μ
e indipendente dalla
scelta del polo, e viceversa.
De¯nizione 1.9. Dato un sistema § di vettori applicati avente
risultante R e momento risultante, rispetto ad un polo O, M(O),
chiameremo invariante la grandezza scalare
I = M(O) ¢ R:
Proprietμa tipica dell'invariante μe che esso non dipende dal
polo O. Infatti, siano dati due punti qualunque O e O 0, allora
dalla (1.3) segue che:
Note di
Fisica Matematica I
12
1 Calcolo Vettoriale
M(O 0 ) ¢ R = [R £ (O 0 ¡ O) + M(O)] ¢ R = M(O) ¢ R:
In particolare, l'invariante rappresenta la componente del momento risultante proiettata sull'asse avente direzione data
dal vettore risultante. Questa componente risulta costante ed
μe data da I=R dove R = jRj.
1.2.2 Asse centrale
Dato un sistema § di vettori applicati aventi vettore risultante R
non nullo cerchiamo il luogo geometrico dei punti O0 rispetto ai
quali il momento risultante M(O 0) μe parallelo al vettore risultante
R. Si dimostra che questo luogo geometrico μ
e una retta
avente la stessa direzione di R.
Infatti, ¯ssato un punto O generico introduciamo un sistema
di riferimento centrato in O e con (O; z) parallelo ed equiverso ad
^ In questo caso la (1.3) proiettata lungo gli assi x, y e z
R = Rk.
prende la forma delle seguenti tre equazioni scalari
Mx0 = Mx ¡ yR; My0 = My + xR; Mz0 = Mz
dove Mx ; My ; Mz sono le componenti di M(O), Mx0 ; My0 ; Mz0 sono
le componenti di M(O0 ) e dove x; y; z sono le coordinate di O 0 .
Scegliamo ora O 0 tale che Mx0 = My0 = 0, cio¶e
My
Mx
; y=
:
R
R
Il luogo cercato μe quindi una retta parallela al vettore risultante
R e passante per O0 di coordinate (¡My =R; Mx =R; z), z 2 R.
In particolare, il momento risultante calcolato per i punti
di tale retta risulta avere modulo minimo rispetto alla
scelta del polo; infatti per i punti appartenenti a tale retta la
componente ortogonale all'asse stesso μe nulla mentre, per ogni
punto, la componente parallela μe costante: Mz0 = Mz . Tale
grandezza μe detta momento minimo e coincide con jIj=R.
Nel caso notevole in cui I = 0 e R 6= 0 segue che M(O0 ) = 0
per tutti i punti appartenenti a tale retta; cio¶e
x=¡
Teorema 1.10. Quando R 6= 0 e l'invariante μ
e nullo
I =0
Note di
Fisica Matematica I
1.2 Vettori applicati
13
allora il luogo geometrico dei punti O0 rispetto ai quali il momento
risultante μe nullo M(O0 ) = 0 μe una retta, detta asse centrale,
parallela al vettore risultatnte R.
1.2.3 Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro riduzione
De¯nizione 1.11. Due sistemi di vettori applicati § e § 0 si dicono equivalenti quando hanno uguale vettore risultante e momento risultante rispetto ad un dato polo O:
R = R0 e 9O j M(O) = M0(O):
(1.4)
Dalla (1.3) segue che se la (1.4) μ
e vera per un polo O allora
μ
e vera per ogni polo.
Esempi:
i. un sistema § di vettori applicati ad un medesimo punto
§ = f(O; v1 ); (O; v2); : : : ; (O; vN )g
P
N
μe equivalente al loro risultante R =
s=1 vs applicato nel
medesimo punto;
ii. sono equivalenti tra loro due vettori equipollenti e applicati
sulla retta parallela ai vettori stessi.
De¯nizione 1.12. Diremo coppia ogni sistema formato da due
vettori applicati opposti (cio¶e paralleli e di verso opposto) (A; v)
e (B; ¡v). La distanza delle rispettive linee d'azione (cio¶e della
retta passante per il punto di applicazione del vettore e parallela al
vettore stesso) si dirμa braccio della coppia.
Essendo il vettore risultante di una coppia nullo allora il momento risultante μe indipendente dalla scelta del polo ed μe dato, in
modulo, dal prodotto tra il modulo di v e del braccio della coppia. Inoltre μe ovvio dimostrare che dato un vettore M si possono
costruire in¯nite coppie avente M come momento.
Vale il seguente risultato:
Teorema 1.13 (Formulazione geometrica del Teorema di
Mozzi). Un sistema di vettori applicati § avente invariante non
nullo I 6= 0 equivale sempre ad un sistema § 0 cosituito
da un vettore applicato e da una coppia. Nel caso in cui
l'invariante sia nullo I = 0 allora il sistema μe equivalente a:
Note di
Fisica Matematica I
14
1 Calcolo Vettoriale
| un unico vettore applicato (O 0; R) se e soltanto se R 6= 0,
dove R μe il vettore risultante di § e dove il punto di applicazione O0 μe un punto qualunque dell'asse centrale;
| alla sola coppia se e soltanto se R = 0 e M(O) 6= 0, dove
M(O) μe il momento risultante di § rispetto ad un dato polo O;
| al sistema nullo se, e soltanto se, R = M(O) = 0; in
quest'ultimo caso si dirμa anche che il sistema di vettori applicati
μe equilibrato.
Dimostrazione. Consideriamo, per primo, il caso in cui sia l'invariante
I nullo:
I = 0 () (R = 0) _ (M(O) = 0) _ (R ? M(O)):
Se M(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema elementare costituito dal solo vettore applicato (O; R); se M(O) 6= 0 e R = 0
allora esistono in¯nite coppie di momento M ed il sistema equivale
ad una di queste coppie; in¯ne se M(O) 6= 0, R 6= 0 e M(O) ? R
allora esiste un vettore w tale che
M(O) = R £ w
Sia ora O0 tale che O ¡ O 0 = w, per costruzione segue che
M(O 0) = M(O) + R £ (O 0 ¡ O) = M(O) ¡ R £ w = 0
e quindi il sistema equivale ad una unico vettore R applicato in
O0 .
Consideriamo ora il caso in cui l'invariante I sia non nullo e
denotiamo con M? (O) la componente perpendicolare a R e con
Mk(O) la componente non nulla (altrimenti l'invariante sarebbe
nullo) parallela a R:
M(O) = M? (O) + Mk (O)
Se M? (O) = 0 allora il sistema equivale ad un vettore applicato
(O; R) e alla coppia di momento Mk (O); se invece M? (O) 6= 0
allora, cambiando il polo O in modo opportuno, il sistema equivale
ad un vettore applicato (O0 ; R) e alla coppia di momento Mk (O)
dove O 0 e tale che
Mk (O) = R £ (O ¡ O 0):
Note di
Fisica Matematica I
1.2 Vettori applicati
15
1.2.4 Sistemi di vettori applicati paralleli
De¯nizione 1.14. Si dice sistema di vettori applicati paralleli un
sistema § di vettori applicati (As ; vs ), s = 1; 2; : : : ; N, dove
vs = vs ^a; s = 1; 2; : : : ; N
per un qualche versore ^a.
Osserviamo che per un sistema di vettori paralleli il vettore
risultante, quando non nullo, risulta essere parallelo al versore a^:
R=
N
X
vs ^a = R^a; R =
s=1
N
X
vs
s=1
Teorema 1.15. Un sistema § di vettori applicati paralleli μe equivalente ad un unico vettore o ad una coppia.
Dimostrazione. La dimostrazione μe immediata e segue dal fatto
che l'invariante
I = R ¢ M(O) =
=
Ã
N
X
s=1
!
Ã
N
X
s=1
vs ^a ¢ ^a £
"
!
vs ^a ¢
N
X
s=1
"
N
X
s=1
#
vs ^a £ (O ¡ As )
#
vs (O ¡ As ) = 0
μe nullo. Nel caso particolare in cui R 6= 0 allora segue, da quanto
detto, che il sistema equivale ad un unico vettore applicato in un
punto qualunque all'asse centrale; se invece R = 0 allora il sistema
μe equivalente ad una coppia di momento M(O).
Osserviamo che al variare della direzione a^ varia anche l'asse
centrale. Si dimostra che:
Teorema 1.16. Sia dato un sistema § di vettori applicati paralleli
(As ; vs ); vs = vs ^a; s = 1; : : : ; N:
Se R = R^a 6= 0 allora esiste un unico punto C, detto centro
dei vettori paralleli, tale che il sistema di vettori § μe equivalente all'unico vettore applicato (C; R) e tale che C non muta se
si cambia la direzione comune dei vettori stessi ma si conservano
Note di
Fisica Matematica I
16
1 Calcolo Vettoriale
i punti di applicazione e le lunghezze dei vettori. Assumendo O
l'origine del sistema di riferimento si ha che
PN
vs (As ¡ O)
:
R
Dimostrazione. La dimostrazione μe immediata: infatti C deve essere la soluzione della equazione M(C) = 0, che deve avere
soluzione indipendente da a^. Tale equazione ha la forma
C¡O =
0=
N
X
s=1
s=1
vs ^a £ (C ¡ As ) = ^a £
"
N
X
s=1
#
vs (C ¡ As )
che risulta soddisfatta indipendentemente da ^a se, e soltanto se,
0=
N
X
s=1
vs (C ¡ As )
da cui segue la tesi.
1.2.5 Sistemi di vettori applicati riducibili
Operazioni elementari
Dato un sistema di vettori applicati § chiameremo operazioni elementari le seguenti:
a) Composizione o decomposizione di vettori applicati: ossia la sostituzione di vettori, applicati nel medesimo punto, con
il loro risultante, e viceversa.
b) Scorrimento di vettori lungo la linea d'azione: ossia la
sostituzione sulla linea d'azione di un vettore applicato qualsiasi con un altro equipollente situato in un altro punto della
linea d'azione. Tale operazione equivale alla aggiunta o sopressione di due vettori direttamente opposti.
μ ovvio che un sistema di vettori § 0 ottenuta a partire da §
E
mediante una successione di operazioni elementari μe equivalente
al sistema iniziale; infatti le operazioni di composizione o decomposizione e di scorrimento non alterano i vettori caratteristici
di §. Vale anche il viceversa: cio¶e due sistemi equivalenti sono
riducibili l'uno all'altro mediante una successione di operazioni elementari.
Questa proprietμa discende dal seguente Teorema:
Note di
Fisica Matematica I
1.2 Vettori applicati
17
Teorema 1.17. Ogni sistema § di vettori applicati μe riducibile ad
un sistema § 0 costituito da due soli vettori applicati.
Dimostrazione. Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui § sia
costituito dai soli tre vettori applicati (A1; v1 ), (A2 ; v2 ) e (A3 ; v3 ).
Se, come caso particolare, le linee di azione di due vettori applicati, diciamo (A1 ; v1 ) e (A2 ; v2 ), sono incidenti in un punto A
allora mediante una operazione elementare di scorrimento e poi di
composizione segue che questi due vettori applicati sono riducibili
all'unico vettore (A; v1 + v2 ). Se poi i tre vettori applicati sono
paralleli e contenuti in un piano ¼, cio¶e A1; A2; A3 2 ¼ e vi = vi ^a
con ^a che giace in ¼, allora scomponendo v1 = v01 +v001 , con v01 e v001
non paralleli ad ^a, otteniamo un nuovo sistema di quattro vettori
applicati (A1 ; v01 ), (A2 ; v2 ), (A1; v001 ) e (A3; v3) costituito da due
coppie di vettori incidenti in un punto e quindi riducibile a due
vettori applicati. Rimane quindi da dimostrare il caso generale
in cui le linee di azione non sono tutte parallele tra loro e i punti
non appartenenti ad un unico piano o incidenti in un unico punto.
Sia ora r la retta intersezione tra il piano ¼, avente asse (A2; v2)
e passante per A1 , ed il piano ¼ 0, avente asse (A3 ; v3 ) e passante
per A1 , e sia A un qualunque punto appartenente a r e distinto da
A1 . Scomponiamo (A2 ; v2 ) lungo le linee AA2 e A1 A2 ottenendo
un nuovo sistema (A2 ; v02 ), (A2 ; v002 ) riducibile a (A2 ; v2 ); analogamente scomponiamo (A3 ; v3 ) lungo le linee AA3 e A1 A3 ottenendo
un nuovo sistema (A3 ; v03 ), (A3 ; v003 ) riducibile a (A3 ; v3 ). Facciamo
ora scorrere ciascuno di questi vettori applicati lungo le proprie linee d'azione in modo da ottenere il sistema costituito dai 5 vettori
applicati (A1; v1 ), (A1 ; v02 ), (A1 ; v03 ), (A; v002 ) e (A; v003 ) ridubili al
sistema costituito da due vettori applicati (A1; v1 + v02 + v03 ) e
(A; v002 + v003 ). Se il sistema μe costituito da n > 3 vettori applicati
allora, isolandone tre e riducendo questi a due, si riduce il sistema
a n¡1 vettori applicati seguendo lo schema appena descritto; ripetendo questo procedimento n ¡ 2 volte alla ¯ne si riduce il sistema
originario a due soli vettori applicati.
Segue il corollario:
Corollario 1.18. Ogni sistema equivalente ad un sistema nullo μe
riducibile ad un sistema assolutamente nullo, cio¶e costituito
solo da vettori nulli.
Note di
Fisica Matematica I
18
1 Calcolo Vettoriale
Dimostrazione. Il Corollario segue immediatamente dal Teorema
precedente, infatti i due vettori che costituiscono § 0 devono essere
equivalenti al sistema nullo, cio¶e devono costituire una coppia di
braccio nullo che puμo essere ridotta al vettore nullo.
Riducibilitμ
a di due sistemi equivalenti
Consideriamo due sistemi § e § 0 equivalenti tra loro e vogliamo
mostrare che μe possibile ridurre un sistema all'altro; per fare ciμo
~ costituito dai vettori applicati (A; ¡v),
introduciamo il sistema §
dove (A; v) μe un vettore del sistema §, e consideriamo il sistema
~ §0 )
riducibile a § 0 ottenuto da § 0 aggiungendo i sistemi § e §:
0
0
~
~
§ §§ : Il sistema §§ avrμa, per ipotesi, risultante e momento
risultante nullo e quindi, per il corollario, μe riducibile al sistema
~ 0)
assolutamente nullo. Quindi possiamo concludere che § §§
§ e da ciμo segue la tesi.
Note di
Fisica Matematica I
2
Cinematica
Si dice Cinematica quella parte della Meccanica che studia e discute in che modo, durante il moto, variano in rapporto al tempo i
caratteri geometrici delle ¯gure o sistemi di punti, concepiti come
rigidi oppure deformabili.
La nozione di moto, come quella di quiete, μe di natura relativa:
cio¶e l'asserire che un dato corpo C μe in moto o in quiete ha senso
preciso solo in quanto il corpo C si intende riferito ad un altro
determinato corpo C 0 e si constati che la posizione di C rispetto
a C 0 va variando nel tempo o, rispettivamente, si conserva inalterata. Perciμo in ogni considerazione cinematica, o piμ
u in generale
meccanica, μe necessario stabilire quale sia l'ente di riferimento.
2.1 Cinematica del punto
Consideriamo un punto P in moto rispetto ad una certa terna
di assi cartesiani ortogonale (O; x; y; z) destra. Ad ogni istante t
dell'intervallo di tempo in cui μe de¯nito il moto, il punto P occupa,
rispetto alla terna (O; x; y; z), una determinata posizione. Quindi,
in questo intervallo risulta de¯nito come un punto variabile in
funzione del tempo:
P ¡ O = P (t) ¡ O:
(2.1)
Questa equazione geometrica equivale alle equazioni scalari
x = x(t); y = y(t); z = z(t); t 2 [t0 ; t1];
Note di
Fisica Matematica I
(2.2)
20
2 Cinematica
nelle tre funzioni del tempo, che assumeremo in seguito di classe
C 2 , che designano le coordinate della posizione occupata da P
all'istante t in un sistema di riferimento ortogonale destro
(O; x; y; z). Le (2.1) o, indi®erentemente, le (2.2) si dicono equazioni
(¯nite) del moto nel punto P . Il luogo delle posizioni occupate da P durante il moto μe una serie di curve che si dice traiettoria del punto mobile e che ammette le (2.2) come equazioni
parametriche. Se la traiettoria μe un arco di curva piana o un
segmento di retta, il moto del punto si dice rispettivamente piano
o rettilineo.
Assegnata la traiettoria e de¯nita su questa una ascissa curvilinea s, l'equazione
s = s(t)
(2.3)
fornisce, per ogni generico istante t 2 [t0 ; t1 ], l'ascissa curvilinea
raggiunta in quell'istante sulla traiettoria dal punto P (sulla quale
μe assegnata una origine ed un verso positivo di percorrenza). Essa
de¯nisce la legge temporale, secondo cui si muove il dato punto
sulla traiettoria, detta equazione oraria del moto. Quindi il
moto del punto P μe noto quando si conoscono le equazioni parametriche (2.2) oppure quando si conoscono la traiettoria
P = P (s)
e la equazione oraria (2.3). Si puμo passare da una rappresentazione
all'altra; ad esempio, nota la traiettoria P = P (s) e la legge oraria
s = s(t) si ottiene la rappresentazione parametrica P = P (t) =
P [s(t)].
De¯nizione 2.1. Il moto di un punto P su una traiettoria data si
dice uniforme se l'ascissa curvilinea s(t) μe una funzione lineare
del tempo.
2.1.1 Velocitμ
a del moto di un punto.
De¯nizione 2.2. In un generico istante t si dirμa velocitμ
a (scalare)
di un punto mobile, secondo la equazione oraria s = s(t), la funzione s(t).
_
I moti uniformi
s(t) = v0 t + s0
sono caratterizzati dalla costanza della velocitμa (scalare).
Note di
Fisica Matematica I
2.1 Cinematica del punto
21
De¯nizione 2.3. Siano x(t); y(t); z(t) le componenti cartesiane
del punto P (t) durante il moto rispetto ad una terna (O; x; y; z)
ortogonale. Il vettore
v(t) = x(t)^
_ ³ + y(t)^
_ ´ + z(t)
_ k^
(2.4)
viene denominato velocitμ
a (vettoriale) del punto P all'istante
t.
Il vettore velocitμa vettoriale del punto P coincide quindi con la
derivata del vettore spostamento P (t) ¡ O:
d(P ¡ O)
dP
v(t) = P_ (t) =
=
dt
dt
Osservando che possiamo sempre scrivere P = P (t) = P [s(t)],
dove P (s) rappresenta la traiettoria del punto e s(t) la legge oraria,
allora laprecedente derivata si puμo anche calcolare come
v(t) =
dP [s(t)]
dP (s)
=
s(t)
_ = s(t)
_ ^t
dt
ds
(2.5)
dove ^t = dP
μe il versore tangente alla traiettoria orientato conds
cordemente con il verso positivo della traiettoria ed s μe la ascissa
curvilinea. Da qui segue che, in ogni istante, v ha modulo dato
dal valore assoluto js(t)j
_
della velocitμa scalare nel punto, μe diretto
secondo la tangente alla traiettoria nella posizione P (t), ed in¯ne
ha il verso di ^t, cio¶e il verso delle s crescenti, o il contrario, secondo
che s(t)
_ sia positiva o negativa.
Dalla (2.5) segue inoltre che
q
s(t)
_ = § x_ 2 (t) + y_ 2 (t) + z_ 2 (t) e s(t) =
Z
t
t0
s(¿
_ )d¿ + s0 (2.6)
dove si sceglie il segno + o ¡ a seconda che la velocitμa vettoriale
v abbia verso concorde o discorde con il versore ^t.
Il vettore velocitμa μe indipendente dal sistema di riferimento
scelto: se in luogo della terna (O; x; y; z) si sceglie la terna (O 0 ; x0 ; y0 ; z 0)
¯ssa rispetto alla precedente, allora le equazioni (2.2) del moto
cambiano ma la velocitμa vettoriale non varia, cosμ³ come non variano n¶e la forma geometrica della traiettoria n¶e la legge temporale
del moto. Ciμo si puμo ritenere evidente, dato il carattere intrinseco, rispetto al moto, della de¯nizione di velocitμa vettoriale.
Note di
Fisica Matematica I
22
2 Cinematica
Ogni moto a velocitμ
a vettoriale costante μ
e rettilineo ed
uniforme (a di®erenza dei moti uniformi caratterizzati dalla velocitμa scalare costante):
x(t) = vt + Cost:; y(t) = Cost:; z(t) = Cost:
(2.7)
dove si μe scelto il sistema di riferimento (O; x; y; z) tale che v =
(v; 0; 0); v costante. Le costanti che compaiono nelle (2.7) sono
determinate in base alle condizioni iniziali P (t0):
In generale: nota la posizione del punto P ad un dato istante
iniziale t0 e la velocitμa v(t) si puμo determinate il moto del punto:
P (t) = P (t0) +
Z
t
v(t)dt:
t0
2.1.2 Accelerazione
De¯nizione 2.4. Consideriamo il moto di un punto P sopra una
traiettoria prestabilita con equazione oraria qualsiasi s = s(t). Si
de¯nisce come accelerazione scalare del punto, lungo la traiettoria prestabilita, nell'istante t la funzione sÄ(t):
De¯nizione 2.5. De¯niamo la accelerazione vettoriale del punto
P (t), che μe una determinata funzione vettoriale del tempo, come:
d2 P
d2(P ¡ O)
dv
= 2 =
= xÄ^³ + yÄ^´ + zÄk^
(2.8)
dt
dt
dt2
dove x(t); y(t); z(t) sono le componenti cartesiane del punto P (t)
durante il moto de¯niti rispetto ad un sistema di riferimento
(O; x; y; z).
a(t) =
Dalla natura intrinseca, rispetto al moto, della de¯nizione di
accelerazione risulta senz'altro che le formule (2.8) restano valide
comunque si cambino gli assi di riferimento, purch¶e ¯ssi gli uni
rispetto agli altri.
Ricordando che
1
d^t
v = s_^t e
= n
^;
ds ½c
dove ½c designa il raggio di curvatura della traiettoria ed n
^ il vettore unitario diretto lungo la normale principale verso il centro di
curvatura otteniamo:
Note di
Fisica Matematica I
2.1 Cinematica del punto
d2 P [s(t)]
dv
d(s_^t)
d^t
=
=
= sÄ^t + s_
2
dt
dt
dt
dt
^
^
= att + an n
a=
dove at = sÄ e an =
s_ 2
½c
=
23
(2.9)
(2.10)
v2
.
½c
^
Introduciamo la terna destra, detta terna intrinseca, (^t; n
^; b)
con origine nel punto P e con versori ^t, versore tangente, n
^ , ver^ = ^t £ n
sore normale, e b
^ , versore binormale. Dalla (2.10) segue
che, ad ogni istante, μe nulla la componente della accelerazione secondo la binormale alla traiettoria, cioμe l'accelerazione appartiene ad ogni istante al piano osculatore della traiettoria
nella posizione occupata dal punto mobile in quell'istante.
Le sue componenti at e an si dicono, rispettivamente, accelerazione tangenziale e accelerazione normale o centripeta (si
2
noti che, essendo v½c sempre positivo, allora l'accelerazione centripeta μe sempre diretta verso il centro di curvatura).
I moti uniformi (s_ = Cost, cio¶e sÄ = 0) sono caratterizzati dall'annullarsi della accelerazione tangenziale. I moti rettilinei (1=½c = 0) sono caratterizzati dall'annullarsi della accelerazione normale. I moti rettilinei uniformi sono caratterizzati
dall'annullarsi identico della accelerazione.
2.1.3 Classi¯cazione dei moti in base alla velocitμ
a ed alla
accelerazione
Abbiamo la seguente situazione:
| Classi¯cazione in base alla velocitμ
a:
- moto diretto quando s_ > 0;
- moto retrogrado quando s_ < 0;
- moto uniforme quando s(t)
_ = v0 costante;
- moto rettilineo quando ^t = ^t0 costante;
- moto rettilineo e uniforme quando v = v0 costante;
- moto curvilineo quando ^t non μe costante.
| Classi¯cazione in base alla accelerazione:
2
- moto accelerato quando sÄ
_s > 0, ovvero ddts_ > 0 o, equivalentemente, jsj
_ crescente;
2
- moto ritardato quando sÄ
_ s < 0, ovvero ddts_ < 0 o, equivalentemente, jsj
_ decrescente;
Note di
Fisica Matematica I
24
2 Cinematica
- moto uniformemente vario quando sÄ = a0 costante;
- moto uniformemente accelerato quando sÄ
_ s > 0 ed sÄ =
a0 costante;
- moto uniformemente ritardato quando sÄ
_ s < 0 ed sÄ = a0
costante.
2.1.4 Moti piani in coordinate polari.
De¯nizione 2.6. Consideriamo il moto piano del punto P (t),
rispetto al sistema ortogonale (O; x; y), di equazioni x = x(t) e
y = y(t). Riferiamo questo stesso moto al sistema di coordinate
polari che ha come polo l'origine O, come semi-asse polare il semiasse positivo delle x e come verso positivo delle anomalie quello
dell'asse orientato x verso l'asse orientato y. Durante il moto, il
d di P saranno funzioni ben
modulo ½ = OP e l'anomalia μ = xOP
determinate del tempo e le
½ = ½(t); μ = μ(t)
(2.11)
si potranno dire equazioni del moto in coordinate polari.
La relazione tra le equazioni x = x(t); y = y(t) e le (2.11) μe
data da:
Viceversa:
½=
x = ½ cos μ; y = ½ sin μ:
(2.12)
q
(2.13)
x2 + y 2; μ = arctg(y=x):
μ opportuno osservare che la rappresentazione del moto del
E
moto in coordinate polari presenta, per la natura stessa delle coordinate polari, una singolaritμa in coorispondenza dell'origine. Infatti alla posizione P nell'origine O corrispono (coorispondenza
NON biunivoca!) ½ = 0 e μ qualunque.
Consideriamo il versore
P ¡O
^r =
;
½
^
orientato da O verso P , detto versore radiale, ed il versore h
normale a ^r, orientato rispetto alla retta OP come l'asse y rispetto
ad x, detto versore trasverso:
Note di
Fisica Matematica I
2.1 Cinematica del punto
25
^ = ¡ sin μ^³ + cos μ^´
^r = cos μ^³ + sin μ^´ e h
Se indichiamo con v½ e vμ le componenti di v rispetto ai due versori
allora si prova che:
^ v½ = ½;
_
v = v½^r + vμ h;
_ vμ = ½μ:
(2.14)
La v½ si dice velocitμ
a radiale e la vμ si dice velocitμ
a trasversa;
_μ si dice velocitμ
a angolare. La (2.14) si ottiene derivando il
vettore
P (t) ¡ O = ½(t)^r[μ(t)]
d
^
^r = h.
espresso in coordinate polari e tenendo conto che dμ
Mentre il punto P si muove, il raggio vettore P ¡ O descrive
un'area. Supponiamo di misurarla, a partire da un raggio iniziale
P0 ¡ O, positivamente nel senso in cui crescono le anomalie, negativamente nel verso opposto. Sia A(t) il valore che assume in un
generico istante t.
Teorema 2.7. Si dimostra che:
1
1
A_ = ½2 μ_ = (xy_ ¡ xy);
_
2
2
(2.15)
ed μe chiamata velocitμ
a areolare (o areale) del punto P rispetto
al centro O.
Dimostrazione. All'istante t il punto P ha coordinate polari μ(t)
e ½(t); all'istante t + ¢t le coordinate sono μ(t + ¢t) e ½(t + ¢t).
Chiameremo ¢μ = μ(t + ¢t) ¡ μ(t) e
½max = max ½(t + ¿ ); ½min = min ½(t + ¿ )
¿ 2[0;¢t]
¿ 2[0;¢t]
e
¢max μ = max [μ(t + ¿ ) ¡ μ(t)]:
¿ 2[0;¢t]
Sia ¢A = A(t+¢t)¡A(t), allora questa puμo essere calcolata come
1
¢A = ½2¢μ + R
2
Note di
Fisica Matematica I
(2.16)
26
2 Cinematica
dove 12 ½2 ¢μ rappresenta l'area di un settore circolare di raggio ½ e
angolo ¢μ. R rappresenta il resto che puμo essere stimato come
jRj ·
i
1h
(½max )2 ¡ (½min )2 ¢max μ:
2
Osservando che jRj = O(¢2 t), dividendo ambo i membri della
(2.16) per ¢t e passando al limite ¢t ! 0 segue il Teorema.
Sia (O; x; y; z) una terna ortogonale destra tale che il moto
avvenga nel piano (O; x; y); consideriamo il vettore
0
1
^³ ^´ k^
1
1
1
B
C
V = (P ¡ O) £ v = v £ (O ¡ P ) = det @ x y 0 A
2
2
2
x_ y_ 0
1
= (xy_ ¡ xy)
_ k^ = A_ ^k
2
dato dalla metμa del momento della velocitμ
a vettoriale del
punto mobile rispetto al centro O (¯sso). Si ha che la componente di V rispetto all'asse z coincide con la velocitμa areolare
(2.15) e individua, come perpendicolare al piano della traiettoria,
il piano in cui avviene il moto.
De¯nizione 2.8. De¯niamo
1
V = (P ¡ O) £ v
2
(2.17)
come velocitμ
a areolare vettoriale del punto dato mobile, rispetto
al centro O (¯sso).
Questa nuova de¯nizione ha il vantaggio di attribuire alla velocitμa areolare un signi¯cato intrinseco e, perciμo, indipendente
dalla scelta della terna di riferimento. Scalarmente la (2.17) ha
1
_
(xz
_ ¡ xz);
_ 12 (xy_ ¡ xy);
_
nelle quali si
componenti: 12 (yz_ ¡ yz);
2
riconoscono le velocitμa areolari, rispetto ad O, in senso scalare,
delle proiezioni ortogonali del punto P , rispettivamente sui piani
(O; y; z); (O; x; z) e (O; x; y).
Determiniamo ora l'accelerazione radiale e trasversa in un
moto piano (qualsiasi) denotate, rispettivamente, con a½ e aμ :
^
a = a½^r + aμ h
Note di
Fisica Matematica I
2.1 Cinematica del punto
27
date da
1 d 2_
a½ = ½Ä ¡ ½μ_2 ; aμ = 2½_μ_ + ½μÄ =
(½ μ):
½ dt
(2.18)
^e
Esse si ottengono derivando la giμa nota relazione v = v½^r + vμ h
d ^
osservando che dμ
h = ¡^r. In particolare, si osserva che aμ = 2½ AÄ
dove A_ μe la velocitμa areolare.
2.1.5 Esempi di moti
Consideriamo i seguenti esempi.
Moto dei gravi
Per grave intendiamo un corpo puntiforme pesante libero di muoversi
nello spazio e soggetto alla sola forza peso. Per studiarne il moto
scegliamo, per riferimento, una terna il cui asse delle (O; y) sia
verticale ed orientato verso l'alto, in modo che il piano (O; x; y)
risulti verticale. Avremo, come componenti della accelerazione di
gravitμa g : (0; ¡g; 0). Dalla Fisica μe ben noto che (ritorneremo
in seguito su questo punto) che a = g e quindi le coordinate del
punto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioni
xÄ = 0; yÄ = ¡g; zÄ = 0; che, integrate, danno:
1
x(t) = x0 + x_ 0 t; y(t) = ¡ gt2 + y_ 0t + y0; z(t) = z_0 t + z(2.19)
0
2
^ μe la velocitμa all'istante iniziale e P0 =
dove v0 = x_ 0^³ + y_0^´ + z_0 k
(x0 ; y0; z0) μe la posizione del punto all'istante iniziale. Si puμo,
senza perdere in generalitμa, collocare l'origine O del sistema in P0
e ruotare la terna d'assi intorno a y in modo che sia z_0 = 0 e
x_ 0 ¸ 0. Le (2.19) diventano:
1
x = x_ 0t; y = y_0 t ¡ gt2 ; z = 0; con x_ 0 ¸ 0:
(2.20)
2
Quindi risulta che il moto μe piano e nelle equazioni del moto si
puμo trascurare la componente z. Dalle (2.20) si ricava che:
v 2 = v02 ¡ 2g y_0 t + g 2t2
e v2 ¡ v02 = ¡2gy;
(2.21)
quindi: sono fra loro proporzionali l'incremento del quadrato
della velocitμ
a e la quota del punto mobile rispetto alla posizione iniziale.
Note di
Fisica Matematica I
28
2 Cinematica
Moti oscillatori
Se il punto P (t) si muove lungo la circonferenza x2 + y 2 = r 2
le equazioni del moto sono x = r cos μ e y = r sin μ dove μ(t)
μe l'anomalia del vettore P ¡ O rispetto all'asse orientato x. La
velocitμa ha componenti
x_ = ¡rμ_ sin μ e y_ = rμ_ cos μ
_ come si poteva prevedere dalla
e la sua intensitμa vale v = rjμj;
(2.14) essendo v½ = ½_ = 0: A±nch¶e il moto circolare sia uniforme
(cio¶e s(t)
_
= rμ_ = Cost) occorre, e basta, che μ_ sia costante; se
indicheremo ! = μ_ allora dovremmo avere μ(t) = !t + μ0, dove μ0
μe l'anomalia di P nell'istante t = 0. In questo caso l'accelerazione
diventa
a = xÄ^³ + yÄ^´ = ¡! 2 (P ¡ O) = ! 2 (O ¡ P ):
Si noti che l'accelerazione μe sempre diretta dal punto P verso il
centro del cerchio in quanto, trattandosi di un moto uniforme,
l'accelerazione deve risultare tutta centripeta.
De¯nizione 2.9. De¯niamo armonico il moto del tipo
x(t) = r cos(!t + μ0 )
(2.22)
dove r μe l'ampiezza, ! la frequenza e μ0 la fase iniziale.
Il moto armonico ha accelerazione che soddisfa alla seguente
equazione di®erenziale: xÄ = ¡! 2 x. I parametri r e μ0 sono determinati in base alle condizioni iniziali.
Moti centrali, moti Kepleriani e formula di Binet
De¯nizione 2.10. Il moto di un punto P si dice centrale se la
linea di azione dell'accelerazione a passa sempre per un punto O
¯sso, detto centro del moto. Si ha la seguente condizione vettoriale caratteristica dei moti centrali:
(P ¡ O) £ a = O;
cio¶e si annulla il momento dell'accelerazione rispetto ad O.
Note di
Fisica Matematica I
(2.23)
2.1 Cinematica del punto
29
Dalla (2.23) segue che la velocitμa areolare di ogni moto centrale
rispetto al centro O μe un vettore costante. Infatti: V = 12 (P ¡
O) £ v e
d
dP
f(P ¡ O) £ vg =
£ v + (P ¡ O) £ a = (P ¡ O) £(2.24)
a:
dt
dt
Quindi: il moto μe centrale se, e solo se, (P ¡O)£v = c, c denota un
vettore costante. Da quanto scritto in precedenza segue che ogni
moto centrale μ
e un moto piano. In particolare, scegliendo
il sistema di riferimento in modo che il moto avvenga nel piano
(O; x; y), cio¶e z = z_ = zÄ = 0, allora (P ¡O)£v ha due componenti
nulle, mentre la terza vale xy_ ¡ xy
_ = c costante.
Dalle (2.18) segue che i moti centrali, caratterizzati da aμ = 0,
devono soddisfare alla seguente equazione di®erenziale:
2½_μ_ + ½μÄ = 0 o ½2 μ_ = c:
(2.25)
In particolare si puμ
o dare alla accelerazione radiale a½ una
espressione puramente geometrica, cio¶e indipendente dalle
derivate di ½ e μ rispetto a t, e fare intervenire soltanto l'equazione
polare ½ = ½(μ) della traiettoria. Infatti, se c 6= 0 allora deve
necessariamente essere μ_ 6= 0 da cui si puμo, per il teorema della
funzione inversa, ricavare t = t(μ) e quindi ½ = ½(μ) = ½[t(μ)].
Ora, pensando ½ = ½(μ) si ottiene che
d½ _
μ
dμ
e, in virtμ
u della (2.25), segue che
½_ =
½_ =
d1=½
c d½
= ¡c
:
2
½ dμ
dμ
Derivando ulteriormente si ottiene che:
dμ d2 1=½
c2 d2 1=½
½Ä = ¡c
=
¡
dt dμ2
½2 dμ2
che, sostituite nella prima delle (2.18), dμa
c2
a½ = ¡ 2
½
(
1
d2
+ 2
½ dμ
à !)
1
½
che μe nota sotto il nome di formula di Binet.
Note di
Fisica Matematica I
(2.26)
30
2 Cinematica
2.1.6 Esercizi
Esercizio 2.1.6.1: Studiare il moto del punto P che si muove
con legge oraria
s(t) = t3 ¡ 2t2 + t; t ¸ 0
su una traiettoria ° nota ed assegnata. In particolare si chiede di
determinare per quali valori di t si ha un istante di arresto, quando
il moto μe diretto o retrogrado e quando il moto μe accelerato o
ritardato.
Esercizio 2.1.6.2: Due punti P1 e P2 si muovono su una stessa
retta AB orientata da B verso A e con origine in B. P1 μe all'istante
iniziale t = 0 fermo in B e si muove verso A con legge oraria
1
s1 (t) = a1 t2; a1 > 0:
2
P2 , per t = 0, passa in A con velocitμa v0 diretta verso B ed ha
legge oraria
1
s2 (t) = a2t2 ¡ v0 t + `; a2 > 0 e ` = jABj:
2
Studiare il moto di entrambi i punti e determinare come e quando
i due punti si incontrano.
Esercizio 2.1.6.3: Studiare il moto dell'estremo B di una biella
lunga ` (vincolato a muoversi lungo l'asse x) nota la legge μ = μ(t)
con cui si muove la manovella di lunghezza r < ` determinare, in
particolare, la velocitμa e l'accelerazione nel caso generale e poi nel
caso particolare μ(t) = !t con ! costante.
Esercizio 2.1.6.4: Un'asta AC lunga d puμo ruotare nel piano
(O; x; y) attorno al punto C di coordinate (0; ¡h) con legge data
μ = μ(t) e h > d. Dall'estremo A parte un ¯lo (°essibile e inestendibile) che, dopo essere passato per la carrucola posta in O,
porta appeso all'altro estremo un punto P (che, per e®etto del
peso, tiene sempre il ¯lo in tensione). Sapendo che il ¯lo μe lungo
` ¸ d+h, studiare il moto di P e determinare, in particolare, la velocitμa e l'accelerazione nel caso generale e poi nel caso particolare
μ(t) = !t con ! costante.
Note di
Fisica Matematica I
2.1 Cinematica del punto
31
Esercizio 2.1.6.5: Il punto P μe mobile sulla parabola y = Kx2 ,
K > 0, e la sua proiezione sull'asse x si muove con velocitμa ct
(c =costante positiva):
v(P ) = vx^³ + vy^´; vx = ct:
Studiare il moto di P sapendo che inizialmente μe in O; piμ
u precisamente si chiede:
i. la velocitμa v di P ;
ii. la velocitμa scalare s(t)
_ di P ;
iii. l'accelerazione a di P ;
iv. il versore tangente ^t ed il versore normale n
^ alla traiettoria di
P;
v. l'accelerazione normale e tangenziale;
vi. il raggio di curvatura;
vii.la velocitμa areolare avendo supposto introdotto un sistema di
coordinate polari con polo in O ed asse polare coincidente con
l'asse positivo delle ascisse;
_
viii.la velocitμa angolare μ.
Esercizio 2.1.6.6: Studiare il moto di un punto P = P (x; y; z)
sapendo che le coordinate di P sono, rispettivamente, date da:
a)
b)
c)
d)
8
>
< x(t) = C cos !t
y(t) = C sin !t ; C e ! costanti positive;
>
: z(t) = 0
³
´
8
1 2
>
x(t)
=
C
cos
at
+
!t
>
<
³2
´
y(t) = C sin 12 at2 + !t
>
>
:
z(t) = 0
8
>
< x(t) = C cos[A sin(!t)]
; C; a e ! costanti positive;
y(t) = C sin[A sin(!t)] ; C; A e ! costanti positive;
>
: z(t) = 0
8
>
< x(t) = Ct cos !t
y(t) = Ct sin !t ; C e ! costanti positive:
>
: z(t) = 0
Piμ
u precisamente si chiede:
i. la traiettoria di P ;
Note di
Fisica Matematica I
32
2 Cinematica
ii. la velocitμa v di P ;
iii. la velocitμa scalare s(t)
_ di P e la legge oraria s(t);
iv. l'accelerazione a di P ;
v. il versore tangente ^t ed il versore normale n
^ alla traiettoria di
P;
vi. l'accelerazione normale e tangenziale;
vii.il raggio di curvatura;
viii.la velocitμa areolare avendo supposto introdotto un sistema di
coordinate polari con polo in O e come asse polare l'asse (O; x);
_
ix. la velocitμa angolare μ.
Esercizio 2.1.6.7: Studiare il moto di un punto P = P (μ; ½)
nel piano sapendo che le coordinate polari di P sono, rispettivamente, date da:
a)
(
b)
(
c)
(
½(t) = R
; R; a e ! costanti positive;
μ(t) = 12 at2 + !t
½(t) = Ct
; C e ! costanti positive;
μ(t) = !t
½(t) = Ct +³½0
´ ; t ¸ 0; C; K e ½ costanti positive :
0
0
μ(t) = K1 ln Ct+½
½0
Piμ
u precisamente si domanda:
i. la traiettoria di P ;
ii. la velocitμa v di P ;
iii. la velocitμa scalare s(t)
_ di P e la legge oraria s(t);
iv. l'accelerazione a di P ;
v. la velocitμa areolare;
Esercizio 2.1.6.8: Studiare il moto di un punto P = P (x; y)
nel piano (O; x; y) sapendo che le coordinate di P sono due funzioni
periodiche di periodo T1 e T2 , cioμe:
x(t + T1) = x(t) e y(t + T2 ) = y(t);
8t:
Piμ
u precisamente si domanda:
i. dimostrare che il moto μe periodico se, e solo se, T1 e T2 sono
commensurabili tra loro, cio¶e
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
33
T1
n
=
2 Q;
T2
m
ed il periodo T del moto μe dato da T = mT1 = nT2 ;
ii. assumendo che sia x(t) = cos(!t) e y(t) = sin(−t) gra¯care
P (t) per diversi valori di ! e −;
iii. sempre nelle condizioni in ii. assumere ! = 1 e − = ¼=3:1415,
gra¯care P (t) per intervalli crescenti di t e osservare che la
traiettoria di P riempie progressivamente il quadrato [¡1; +1]£
[¡1; +1];
iv. sempre nelle condizioni in ii. dimostrare che quando ! e − non
sono commensurabili tra loro allora la traiettoria di P riempie
densamente il quadrato [¡1; +1] £ [¡1; +1].
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
Lo studio di sistemi materiali, costituiti da N punti materiali distinti, puμo essere e®ettuato, almeno in linea di principio, con gli
strumenti sviluppati nella sezione precedente. Di fatto questo procedura μe ine±cace quando il numero N di particelle μe grande, come
ad esempio il numero di molecole in un °uido o in un gas liberaμ quindi opportuno introdurre un modello descritmente mobili. E
tivo del sistema ¯sico che, in alcuni casi, permetta di studiare il
moto del sistema senza descrivere necessariamente il moto di ogni
particella costituente il sistema. Nell'ambito della meccanica che
studiamo in questo testo noi facciamo la seguente ipotesi di lavoro
che, in alcuni contesti, trova giusti¯cazione: noi assumiamo che i
sistemi materiali siano costituiti da uno o piμ
u corpi rigidi, non deformabili qualunque sia il loro moto e comunque siano sollecitati.
Con questa modellizzazione non μe ovviamente possibile studiare la
dinamica dei °uidi e dei gas (termodinamica e °uidodinamica) e
nemmeno le deformazioni dei solidi (teoria della elasticitμa).
2.2.1 Sistemi rigidi
De¯nizione 2.11. Diremo sistema rigido una ¯gura S che, durante il moto, conservi inalterate le mutue distanze dei suoi punti.
Cio¶e se P1 e P2 sono due punti qualsiasi di tale sistema S deve
essere che
Note di
Fisica Matematica I
34
2 Cinematica
P1P2 = r = Costante
(2.27)
durante il moto.
Osserviamo che la condizione (2.27) equivale alla identitμa
(P2 ¡ P1 ) ¢ (P2 ¡ P1) = r2
dove r μe indipendente dal tempo. Derivando ambo i membri si
trova la condizione equivalente di rigiditμ
a di un sistema:
(P2 ¡ P1 ) ¢
d(P2 ¡ P1)
= 0; 8P1; P2 2 S
dt
cioμe si ha la seguente de¯nizione equivalente. I moti rigidi di un
sistema di punti sono caratterizzati dalla circostanza che ad ogni
istante la velocitμ
a di due punti quali si vogliano del sistema
hanno la stessa componente secondo la congiungente dei
due punti.
Ai ¯ni dello studio del moto di un sistema rigido μe utile fare
la seguente osservazione di evidenza immediata. Dato un sistema
rigido S, un sistema di riferimento ¯sso (O; x; y; z) ed un sistema
di riferimento solidale (O0 ; x0; y 0; z 0 ) con il sistema S (solidale=le
coordinate dei punti di S sono costanti). Il moto di S μe noto se
μ
e nota l'evoluzione temporale di (O0 ; x0; y 0; z 0 ) rispetto a
(O; x; y; z). A quest'ultimo scopo basta che siano assegnati, in
funzione del tempo, l'origine O 0 e i tre versori fondamentali
0
^³0 ;^´0 ; k^ della terna solidale. In queste condizioni l'equazione del
moto del generico punto P di S μe fornita dalle
0
P = O 0 + x0^³0 + y 0^´0 + z 0k^
(2.28)
0
dove O 0 , ^³0 ;^´0 e ^k si intendono de¯niti in funzione di t con riferimento agli assi ¯ssi e le x0; y 0; z0 si intendono costanti.
La (2.28), proiettata sul sistema ¯sso, dμa:
8
0
0
0
>
< x = ® + ®1 x + ®2 y + ®3 z
y = ¯ + ¯ x0 + ¯ y 0 + ¯ z 0
1
2
3
>
: z = ° + ° x0 + ° y 0 + ° z 0
1
2
3
(2.29)
dove O0 ha componenti (®; ¯; °) e (®i ; ¯i ; °i ); i = 1; 2; 3; sono,
0
rispettivamente, i coseni direttori di ^³0 ;^´0; k^ , cioμe:
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
8
0
^
>
>^³ = ®1^³ + ¯1^´ + °1 k
<
^´0 = ® ^³ + ¯ ^´ + ° k^ ; dove
2
2
2
>
0
>
:^
k = ®3^³ + ¯3^´ + °3k^
35
®1 = ^³0 ¢ ^³; ¯1 = ^³0 ¢ ^´; °1 = ^³0 ¢ k^
®2 = ^´0 ¢ ^³; ¯2 = ^´0 ¢ ^´; °2 = ^´0 ¢ k^
0
0
0
®3 = ^k ¢ ^³; ¯3 = ^k ¢ ^´; °3 = ^k ¢ k^
Nelle (2.29) compaiono 12 funzioni del tempo, cio¶e le ®; ¯; ° e i
9 coseni direttori (®i ; ¯i ; °i ); i quali sono legati tra loro dalle 6
note relazioni in quanto ortonormali:
®i2 + ¯i2 + °i2 = 1; i = 1; 2; 3
e
®i ®j + ¯i ¯j + °i °j = 0; i; j = 1; 2; 3; i 6= j:
2.2.2 Moti traslatori
De¯nizione 2.12. Un moto rigido si dice traslatorio quando
ogni vettore P2 ¡ P1 , determinato da due punti in moto quali si
vogliano, si mantiene costante, non solo in lunghezza, come ogni
altro moto rigido, ma anche in direzione e verso.
0
In particolare i tre versori ^³0;^´0 ; ^k del riferimento solidale sono
costanti durante il moto (sia in verso che in direzione, oltre, come
μe ovvio, in lunghezza). Con una scelta particolare degli assi si ha
che le (2.29) diventano: x = x0 + ®(t); y = y 0 + ¯(t); z = z0 + °(t).
Risulta dunque che in un moto traslatorio le traiettorie dei
singoli punti sono uguali, sovrapponibili e percorse con la
medesima legge.
Un moto traslatorio μe caratterizzato dal fatto che tutti i punti
del sistema, istante per istante, hanno velocitμ
a uguali P_2 = P_1
(e quindi anche accelerazioni uguali). Quindi ogni moto traslatorio
μe caratterizzato da un certo vettore, funzione esclusiva del tempo,
che istante per istante, dμa la velocitμa comune, in quell'istante, a
tutti i punti del sistema mobile. Questo vettore dicesi velocitμ
a
del moto traslatorio ed identi¯ca, in modo univoco, il moto
traslatorio.
2.2.3 Moti rotatori
De¯nizione 2.13. Un moto rigido si dice rotatorio quando rimangono ¯ssi tutti i punti di una retta detta asse di rotazione.
Note di
Fisica Matematica I
36
2 Cinematica
Per realizzare un tale moto basta ¯ssare due punti dell'asse.
Preso nel sistema mobile S, fuori dall'asse di rotazione (che,
con una opportuna scelta del sistema di riferimento, coinciderμa
con l'asse (O; z)), un punto P , la perpendicolare P Q abbassata sull'asse si manterrμa di lunghezza costante e ortogonale
all'asse; cio¶e ogni punto di S, fuori dell'asse, si muoverμa sulla circonferenza del piano ortogonale a z, che ha il centro Q sull'asse
stesso.
La posizione del sistema stesso S, rotante intorno a z, risulta individuata, istante per istante, dalla posizione di un solo suo punto
P esterno all'asse di rotazione (sulla rispettiva traiettoria circolare) o, equivalentemente, dalla posizione di un semi-piano p uscente dall'asse e solidale con S. La posizione si potrμa individuare
c di p rispetto ad
assegnando, ad ogni istante, l'anomalia μ = ¼p
un determinato semipiano ¼ uscente da z e ¯sso.
Un moto rotatorio μe caratterizzato dal fatto che ad ogni istante tutti i punti di un sistema rigido animato di moto rotatorio
_ Sia (O; z) l'asse ¯sso
hanno la medesima velocitμ
a angolare μ.
^ detto
e ^k il corrispondente versore, de¯niamo il vettore ! = μ_k,
velocitμ
a angolare (vettoriale) del moto rotatorio, quel vettore
_
avente, ad ogni istante, modulo jμ(t)j,
la direzione dell'asse di roμ immediato
tazione e il verso rispetto a cui il moto appare destro. E
veri¯care che in un moto rotatorio, di velocitμa angolare !, la velocitμa v del punto P μe data da:
v(t) = ! £ (P ¡ O)
(2.30)
dove O μe un punto ¯sso dell'asse di rotazione. In particolare vale
anche il viceversa; quindi: i moti rotatori attorno all'asse passante per O e parallelo a ! sono tutti e soli i moti nei quali
la velocitμ
a dei punti P μ
e data dalla (2.30) dove ! ha direzione costante.
L'accelerazione a del punto P si decompone nelle componenti
tangenziale at e normale an . La seconda qui coincide con la accelerazione radiale centripeta a½ . Tenendo conto che s_ = ½μ_ e che
½ = r rimane costante nel moto rotatorio, segue che: a½ = ½μ_2 e
Ä In particolare, essendo
sÄ = ½μ.
_^
1
^t = v = μk £ (P ¡ O) = 1 k^ £ (P ¡ O) e n
^ = ¡ (P ¡ Q);
(2.31)
_
s_
½
½
μ½
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
37
si ha
a = at^t + a½ n
^ = ¡μ_2 (P ¡ Q) + μÄk^ £ (P ¡ O)
= ¡! 2(P ¡ Q) + !_ £ (P ¡ O);
(2.32)
dove Q μe la proiezione di P sull'asse di rotazione. Si noti che se
la velocitμa angolare μe costante (!_ = 0) allora ciascun punto P
del sistema si muove di moto circolare uniforme (con velocitμa che
varia da punto a punto proporzionalmente alla distanza dell'asse)
e il moto rigido si dice rotatorio uniforme. La (2.32) si ottiene
anche per semplice derivazione della (2.30) ricordando che ! e
(P ¡ Q) sono ortogonali e che
! £ [! £ (P ¡ O)] = ¡! 2 (P ¡ Q):
Le equazioni del moto si possono in¯ne scrivere come:
x = x0 cos μ ¡ y0 sin μ; y = x0 sin μ + y0 cos μ; z = z 0
dove si μe scelto come O = O 0 un punto qualsiasi dell'asse individ0
^
uato da !; z = z 0 =asse di rotazione (quindi k^ = k^ e ! = μ_k).
0
Inoltre gli assi x e x sono scelti come due semi-rette ortogonali a
z = z 0 , che giaciono rispettivamente nei due semi-piani p e ¼ che
de¯niscono l'anomalia μ.
2.2.4 Moti rototraslatori
De¯nizione 2.14. Si dice rototraslatorio ogni moto rigido composto da un moto traslatorio e di un moto rotatorio.
Se il moto traslatorio μe identi¯cato da un vettore v± e se il moto
traslatorio μe identi¯cato da un vettore velocitμa angolare ! e se O μe
un punto del suo asse di rotazione, allora la velocitμa di un generico
punto P appartenente al sistema S μe data da
v(P ) = v± + ! £ (P ¡ O):
(2.33)
Osserviamo che il nuovo moto μ
e ancora rigido, infatti dati due
punti generici P1 e P2 di velocitμa
v(P1 ) = v± + ! £ (P1 ¡ O); v(P2 ) = v± + ! £ (P2 ¡ O)
Note di
Fisica Matematica I
38
2 Cinematica
da cui segue che v(P2)¡v(P1 ) = !£(P2 ¡P1) e in¯ne [v(P2 ) ¡ v(P1 )]¢
(P2 ¡ P1 ) = 0:
Nel caso di ! e v± costanti allora il moto si dirμa rototraslatorio uniforme.
La (2.33) puμo essere espressa nella forma
v(P ) = v(O0 ) + ! £ (P ¡ O 0 )
(2.34)
dove
v(O0 ) = v± + ! £ (O 0 ¡ O);
O0 μe un punto solidale con il sistema rigido anche se non appartiene all'asse de¯nito da !. Quindi, in base alla (2.34), il dato
moto rototraslatorio risulta decomposto in un moto traslatorio di
velocitμa v(O 0) e in un moto rotatorio di velocitμa angolare ! intorno ad un asse trasportato (parallelamente a se stesso) da questo
moto traslatorio di velocitμa v(O0 ).
Per ogni moto rototraslatorio uniforme esiste una decomposizione propria, cio¶e del tipo (2.33) con O sull'asse, in cui la
velocitμa angolare del componente rotatorio risulta parallela alla
velocitμa del componente traslatorio:
v(P ) = v±k + ! £ (P ¡ −);
dove − = O +
! £ v±
; (2.35)
!2
v±k = componente di v± parallela ad !. Il moto de¯nito dalla
(2.35) viene chiamato elicoidale e (!; −) viene chiamato asse
del moto (con ovvio signi¯cato della notazione). In particolare:
componendo con un moto rotatorio uniforme un moto traslatorio
uniforme di direzione ortogonale all'asse di quello (cio¶e v±k = 0),
si ottiene un moto rotatorio uniforme avente la stessa velocitμa
angolare, intorno ad un asse parallelo al primitivo.
2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto
0
Consideriamo un sistema rigido S; siano ^³0;^´0 ; ^k i tre versori fondamentali di un sistema di riferimento (O 0; x0 ; y 0 ; z 0 ) solidale con
S. Quindi il moto di un punto P del sistema S μe descritto come:
0
P = O0 + x0^³0 + y0^´0 + z 0 k^ ; x0 ; y 0; z 0
costanti :
Note di
Fisica Matematica I
(2.36)
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
39
Teorema 2.15 (Teorema di Poisson). Siano dati due sistemi
di riferimento (O; x; y; z) e (O 0 ; x0 ; y0 ; z 0) in moto l'uno rispetto
all'altro. Si dimostra che esiste un unico vettore ! tale che valgano le seguenti (dette formule di Poisson):
0
0
d^³0
d^´0
dk^
= ! £ ^³0 ;
= ! £ ^´0 ;
= ! £ ^k ;
dt
dt
dt
(2.37)
dove la derivata viene e®ettuata rispetto all'osservatore (O; x; y; z).
μ su±ciente porre ! = p^³0 + q^´0 + rk^0 dove le comDimostrazione. E
ponenti p; q; r di ! rispetto al riferimento solidale sono scelte come
0
0
d^´0 ^0
dk^ 0
dk^ 0
d^³0 0
d^³0 0
d^´0
p(t) =
¢k =¡
¢ ^´ ; q(t) =
¢ ^³ = ¡ ¢ k^ ; r(t) =
¢ ^´ = ¡ ¢ ^³0 :
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Infatti
d^³0
=
dt
Ã
!
Ã
!
Ã
!
0
d^³0 0 0
d^³0 0 0
d^³0 ^0 ^0
¢ ^³ ^³ +
¢ ^´ ^´ +
¢ k k = r^´0 ¡ qk^ = ! £ ^³0
dt
dt
dt
come si puμo veri¯care in modo immediato. In modo analogo si ha
la validitμa delle altre due formule di Eulero. Abbiamo cosμ³ provato
l'esistenza di un tale vettore. Per provarne l'unicitμa supponiamo
che esista un altro vettore ! ? soddisfacente alla (2.37); quindi,
sottraendo membro a membro segue
0
(! ¡ !? ) £ ^³0 = (! ¡ ! ? ) £ ^´0 = (! ¡ ! ?) £ k^ = 0
da cui ! = ! ?.
Derivando rispetto al tempo t l'equazione geometrica (2.36) e
tenendo conto delle formule del Poisson otteniamo:
dP
dO0
=
+ ! £ (P ¡ O 0 ); 8P 2 S
dt
dt
(2.38)
dove O 0 puμo essere un punto qualsiasi del sistema. L'espressione
(2.38) μe caratteristica per la velocitμ
a dei punti di un corpo
rigido ed μe detta formula fondamentale della cinematica
rigida. Cosμ³, rispetto alla solita terna ¯ssa, un moto rigido risulta
determinato (a meno di opportune condizioni iniziali) quando,
prescelto nel sistema mobile un punto O 0 qualsiasi, si pre¯ssino
Note di
Fisica Matematica I
40
2 Cinematica
i vettori (dipendenti dal tempo) v0 = v(O0 ) e !. Questi due vettori si dicono vettori caratteristici del moto rigido rispetto al
polo o centro di riduzione O0 .
Se cambiamio l'origine O 0 nella (2.38) e prendiamo O00 6= O 0 al00
+!00 £(P ¡O 00 )
lora la (2.38) si modi¯ca nel seguente senso: v = dO
dt
00
dove ! = !, poich¶e il vettore !, in quanto fornisce, istante per istante, la velocitμa angolare del moto elicoidale tangente, ha carattere intrinseco al moto rigido dato, come emerge anche dalle
(2.37). Si puμo in¯ne osservare che ! non dipende nemmeno dalla
terna (O0 ; x0; y 0; z 0 ) solidale; infatti, dovendo la (2.38) sussistere anche per ! ? , riferito ad una nuova terna (anch'essa solidale rispetto
ad S), allora segue che
(P ¡ O) £ (! ¡ ! ? ) = 0
per ogni P e quindi ! = !? .
Un altro modo per derivare il vettore ! μe il seguente: riscriviamo
la (2.36) nel seguente modo:
x(t) = c(t) + A(t)y
0
1
0
1
0
1
Ox0
x1
y1
B C
B
C
B C
y2 A
dove x = @ x2 A ; c = @ Oy0 A ; y = @(2.39)
0
x3
y3
Oz
rappresentano, rispettivamente, le coordinate di P e O0 rispetto al
sistema centrato in O e ¯sso e le coordinate di P rispetto ad un
sistema di riferimento centrato in O 0 e solidale con il corpo rigido.
La matrice A μe la matrice che permette di passare da un sistema di
riferimento all'altro, quindi A μe una matrice ortogonale: A¡1 = AT .
Derivando la (2.39) e sostituendo ad y la relazione y = A¡1(x ¡ c),
si trova
T
_
_
[x(t) ¡ c(t)] = c(t)
_ + J(t)[x(t) ¡ c(t)]
x(t)
_
= c(t)
_ + A(t)y
= c(t)
_ + A(t)A
_ T . Osserviamo che J μe una matrice
dove abbiamo posto J = AA
antisimmetrica; infatti derivando la identitμa AAT = I si ha che
J = ¡J T e quindi possiamo scrivere
0
1
0
¡!3 !2
_ T =B
J = AA
¡!1 C
@ !3 0
A:
¡!2 !1 0
Ponendo ! = !1^³ + !2^´ + !3k^ allora la relazione x_ = c_ + J(x ¡ c)
equivale alla v(P ) = v(O 0) + ! £ (P ¡ O 0).
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
41
dO 0
La (2.38) diventa v = v0 +! £(P ¡O0 ) dove v0 = dt ; quindi la
distribuzione delle velocitμ
a nei vari punti di S all'istante
t ¯ssato μ
e la stessa che si avrebbe se il sistema fosse animato da un moto rototraslatorio uniforme, cio¶
e elicoidale,
in cui la velocitμa del generico punto P μe decomponibile in senso
improprio nel moto traslatorio di velocitμa v0 e nel moto rotatorio
di velocitμa angolare !, intorno all'asse per O 0 nella direzione di
!, trasportato parallelamente a se stesso con velocitμa traslatoria
v0 . Se poi diciamo atto di moto la distribuzione istantanea delle
velocitμa allora ogni atto di moto rigido μ
e elicoidale e l'asse del
moto elicoidale tangente si dice asse di Mozzi, avente coordinate
(x0 ; y0 ; z 0) determinate dalla condizione !kv0: Nel caso particolare in cui ! = 0 si ha un atto di moto traslatorio, quando invece
v0 ? ! si ha un atto di moto rotatorio e la direzione de¯nita da
(O 0 ; !) si dice asse istantaneo di rotazione.
Piμ
u precisamente, si ha che:
Teorema 2.16 (Teorema di Mozzi). Siano ! e v± = V(O) i
vettori caratteristici, sia I = v± ¢ ! l'invariante. Allora segue che:
i. se I 6= 0 allora lo stato cinetico μe elicoidale e l'asse di moto,
detto asse di Mozzi, ha punti che si muovono con velocitμa
I
!;
!2
ii. se I = 0 allora:
ii1.se ! 6= 0 lo stato cinetico μe rotatorio;
ii2.se ! = 0 e v± 6= 0 lo stato cinetico μe traslatorio;
ii3.se ! = 0 e v± = 0 lo stato cinetico μe nullo (cio¶e tutti i punti
hanno velocitμa nulla).
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sulla formula ¯ndamentale della cinematica rigida. Consideriamo inizialmente il caso in
cui I = 0. L'invariante μe nullo se:
- ! = 0 e v± = 0, allora in questo caso v(P ) = 0 per ogni punto
P del corpo rigido e lo stato cinetico μe nullo;
- ! = 0 e v± 6= 0, allora in questo caso v(P ) = v± 6= 0 per ogni
punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe traslatorio;
- ! 6= 0 e v± = 0, allora in questo caso v(P ) = ! £ (P ¡ O) per
ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe rotatorio;
Note di
Fisica Matematica I
42
2 Cinematica
- ! 6= 0 e v± 6= 0 con ! ? v± , allora esiste O 0 tale che v± =
! £ (O ¡ O 0 ) e in questo caso possiamo scrivere che
v(P ) = v± + ! £ (P ¡ O) = ! £ (O ¡ O 0 ) + +! £ (P ¡ O)
= ! £ (P ¡ O 0)
per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe rotatorio
con asse istantaneo di rotazione passante per O0 e parallelo a
!;
Consideriamo in¯ne il caso in cui I 6= 0, ovvero
! 6= 0; v± 6= 0 con ! 6? v±;
decomponendo v± = vk + v? lungo le direzioni parallela e perpendicolari a ! allora esiste O 0 tale che v? = ! £ (O ¡ O 0) e in questo
caso possiamo scrivere che
v(P ) = v± + ! £ (P ¡ O) = vk + ! £ (O ¡ O 0 ) + +! £ (P ¡ O)
= vk + ! £ (P ¡ O 0)
per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe elicoidale
con asse di Mozzi passante per O 0 e parallelo a !.
Derivando la (2.38) l'accelerazione viene scritta come:
d2 O0
+ !_ £ (P ¡ O0 ) + ! £ [! £ (P ¡ O 0 )]
dt2
d2 O0
=
+ !_ £ (P ¡ O0 ) ¡ ! 2 (P ¡ Q)
dt2
dove Q μe la proiezione di P sull'asse di rotazione. In questa espressione i primi due addendi del secondo membro costituiscono il
contributo della variabilitμ
a dei vettori caratteristici, mentre il terzo addendo dipende, esclusivamente, dal moto elicoidale
tangente e, perciμo, coincide con l'accelerazione che si avrebbe nel
caso di una rotazione uniforme intorno all'asse istantaneo
di rotazione.
a=
2.2.6 Composizione di atti di moto: Teorema di Mozzi
De¯nizione 2.17. Se, per un medesimo sistema di punti, si considerano due diversi atti di moto si dice moto composto tra i due
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
43
quello in cui ogni punto del sistema ha, come velocitμa, la somma
vettoriale delle velocitμa spettanti a quel medesimo punto nei due
atti di moto considerati.
Si ha che l'atto di moto composto di due atti di moto
rigidi μ
e rigido; infatti, siano v0 (P ) e v00 (P ) le velocitμa relative ai
due atti di moto e sia v(P ) = v0 (P ) + v00 (P ) la velocitμa relativa
all'atto di moto composto; siano dati due punti P1 e P2 qualunque
e appartenenti al sistema; allora sarμa
[v(P2 ) ¡ v(P1)] ¢ (P2 ¡ P1 ) =
= [(v0 (P2 ) + v00 (P2 )) ¡ (v0(P1) + v00 (P1))] ¢ (P2 ¡ P1 ) = 0
essendo
(v0(P2 ) ¡ v0(P1 )) ¢ (P2 ¡ P1 ) = 0 e (v00 (P2 ) ¡ v00 (P1 )) ¢ (P2 ¡ P1 ) = 0:
Se v00 , ! 0 e v000 , ! 00 sono i vettori caratteristici dei due atti di
moto componenti rispetto ad un medesimo polo O 0 , allora
i vettori caratteristici, rispetto allo stesso polo O0 , di un
atto di rigido composto si ottengono sommando vettorialmente gli omonimi vettori caratteristici dei moti componenti, rispetto a quel medesimo polo. Infatti:
v(P ) = v1 (P ) + v2(P ) = v0O + ! 0 £ (P ¡ O 0 ) + v00O + ! 00 £ (P ¡ O0 )
= (v0O + v00O ) + (! 0 + !00 ) £ (P ¡ O 0 )
Da ciμo segue che:
i. componendo due atti di moto traslatori si ottiene ancora
un atto di moto traslatorio;
ii. componendo due atti di moto rotatori, con assi istantanei
di rotazione concorrenti in un punto O 0, si ottiene un atto di
moto rotatorio avente asse istantaneo di rotazione pure concorrente in O 0 ed ha per velocitμa angolare la somma vettoriale
delle velocitμa angolari degli atti di moto rotatori componenti;
iii. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocitμa angolari ! 1 , !2 non opposte,
si ottiene un atto di moto rotatorio di velocitμa angolare
!1 + ! 2, il cui asse μe parallelo ad r1 , r2 , e giace nel piano della
striscia r1 ; r2, dividendola in parti inversamente proporzionali
Note di
Fisica Matematica I
44
2 Cinematica
a !1 ; !2 , internamente od esternamente, secondo che !1 , ! 2
siano di verso concorde o discorde. Infatti:
v(P ) = v1(P ) + v2 (P ) = !1 £ (P ¡ O1 ) + !2 £ (P ¡ O2 )
= (! 1 + !2 ) £ (P ¡ O)
dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 tali che O2 ¡ O1 μe
ortogonale a r2 , dove O μe tale che ! 1 £(O¡O1 ) = ! 2 £(O2 ¡O).
Piμ
u precisamente, introduendo un asse orientato avente origine
in O1 e diretto verso O2 in modo che sia O2 ¡ O1 = d^³, d > 0,
!j = !j^´, O ¡ O1 = x^³, allora l'equazione ! 1 £ (O ¡ O1) + ! 2 £
(O ¡ O2) = 0 diventa
x!1 + !2 (x ¡ d) = 0 che ha soluzione x = d
!2
:
!1 + !2
iv. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1 , r2 e di velocitμa angolari ! 1 , ! 2 opposte (cio¶e
!2 = ¡! 1 ), si ottiene un atto di moto traslatorio, in direzione ortogonale al piano della striscia r1 , r2 dei moti componenti ed ha per velocitμa il momento della coppia delle velocitμa
angolari !1 , ! 2 localizzate ciascuna lungo l'asse rispettivo. Infatti:
v(P ) = v1 (P ) + v2(P ) = ! 1 £ (P ¡ O1) ¡ ! 1 £ (P ¡ O2)
= ! 1 £ (O2 ¡ O1 )
che μe independente da P .
2.2.7 Angoli di Eulero
Un sistema rigido S μe determinato rispetto ad un sistema di riferimento ¯sso (O; x; y; z) se μe determinato il sistema di riferimento
solidale (O0 ; x0; y 0; z 0 ) rispetto a quello ¯sso. Per fare ciμo μe su±ciente determinare le coordinate di O0 (3 parametri) e i tre versori
0
^³0 ;^´0 ; k^ (9 parametri, di cui solo 3 indipendenti). Supponendo,
senza perdere in generalitμa, che O = O0 si utilizza il seguente
metodo di rappresentazione della terna solidale rispetto a quella
¯ssa.
Sia N la retta intersezione tra i piani (O; x; y) e (O; x0 ; y0 ) (supposti, per un momento, non complanari), perpendicolare a z e z 0 ,
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
45
d 0 appaia
passante per O = O 0 e orientata in modo che l'angolo zOz
d 0 , in (0; ¼), si dice
destro, detta linea dei nodi. L'angolo zOz
angolo di nutazione (designato con μ). Si dice poi angolo di
d (misurata nel
precessione, e si denota con Ã, l'anomalia xON
verso destro rispetto a z). In¯ne si dice angolo di rotazione
d 0 (misurata nel verso
propria, e si denota con Á, l'anomalia NOx
destro rispetto a z 0 ). I due angoli à e Á sono variabili ciascuno
nell'intervallo [0; 2¼), cio¶e sul toro S 1 . I tre angoli μ, Ã e Á cosμ³
de¯niti si chiamano angoli di Eulero.
Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O; x; y) e (O; x0; y 0)
coincidano allora l'angolo di nutazione μ corrisponde a 0 o a ¼ mentre la linea dei nodi N resta indeterminata (e quindi tali risultano
anche gli angoli à e Á). In ogni caso resta determinata la somma
d 0 e questa anomalia, insieme a μ = 0 o μ = ¼, deà + Á = xOx
termina la posizione del sistema di riferimento solidale rispetto a
quello assoluto.
Non μe inutile esprimere le formule di trasformazione delle coordinate tra i due sistemi in funzione di questi tre parametri. Se
(x; y; z) e (x0 ; y 0; z 0 ) sono le coordinate di un generico punto rispetto
ai due sistemi di riferimento allora varranno le formule di trasformazione:
8
0
0
0
>
< x = ®1 x + ¯1 y + °1 z
y = ® x0 + ¯ y 0 + ° z 0
2
2
2
>
: z = ® x0 + ¯ y 0 + ° z 0
3
3
3
(2.40)
dove
0
®1 = ^³ ¢ ^³0 ¯1 = ^³ ¢ ^´0 °1 = ^³ ¢ k^
0
®2 = ^´ ¢ ^³0 ¯2 = ^´ ¢ ^´0 °2 = ^´ ¢ ^k
0
®3 = k^ ¢ ^³0 ¯3 = ^k ¢ ^´0 °3 = k^ ¢ ^k
sono i coseni direttori degli assi del sistema (O; x0 ; y 0 ; z 0 ).
Osserviamo che il modo per passare da un sistema all'altro consiste nell'e®ettuare, nell'ordine:
i. una rotazione à attorno all'asse (O; z) in modo da portare l'asse
(O; x) sull'asse nodale (O; N);
ii. una rotazione μ attorno all'asse (O; N) in modo da portare
l'asse (O; z) sull'asse (O; z 0 );
Note di
Fisica Matematica I
46
2 Cinematica
iii. una rotazione ' attorno all'asse (O; z 0 ) in modo da portare
l'asse nodale (O; N) sull'asse (O; x0 ).
Osserviamo che se i due piani (O; x; y) e (O; x0; y 0) si sovrappongono allora μ = 0 (o μ = ¼) e la prima e la terza rotazione
sono e®ettuate attorno allo stesso asse e possono essere sostituire
da una rotazione dell'angolo à § '. Le formule di trasformazione
possono essere scritte in forma matriciale come
0 1
0
1
x
x0
B C
B 0C
@ y A = EÃμ' @ y A ; EÃμ' = EÃ Eμ E'
z
z0
(2.41)
dove
i. Eà de¯nisce una rotazione à attorno all'asse (O; z)
0
1
cos à ¡ sin à 0
B
C
Eà = @ sin à cos à 0 A ;
0
0
1
ii. Eμ de¯nisce una rotazione μ attorno all'asse (O; N )
0
1
10
0
B
C
Eμ = @ 0 cos μ ¡ sin μ A ;
0 sin μ cos μ
iii. E' de¯nisce una rotazione ' attorno all'asse (O; z 0)
0
1
cos ' ¡ sin ' 0
B
C
E' = @ sin ' cos ' 0 A :
0
0
1
E®ettuando i prodotti si ottiene in¯ne
0
1
®1 ¯1 °1
B
C
EÃμ' = @ ®2 ¯2 °2 A
®3 ¯3 °3
0
1
(cos à cos ' ¡ sin à cos μ sin ') (¡ cos à sin ' ¡ sin à cos μ cos ') (sin à sin μ)
B
C
= @ (sin à cos ' + cos à cos μ sin ') (¡ sin à sin ' + cos à cos μ cos ') (¡ cos à sin μ) A
(sin μ sin ')
(sin μ cos ')
(cos μ)
Note di
Fisica Matematica I
2.2 Cinematica dei sistemi rigidi
47
e, identi¯cando la (2.40) con la (2.41), si ottiene il risultato cercato:
cio¶e una parametrizzazione dei coseni direttori in funzione di tre
parametri indipendenti.
Determiniamo in¯ne l'espressione della velocitμa angolare ! nel
moto rigido istantaneo. Per determinare ! in funzione dei tre
parametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico di
rotazione puμo essere scritto come la composizione di tre stati cinetici di rotazione aventi asse passante per O:
^ + '_ k^0 :
! = Ã_ k^ + μ_N
Proiettando ! sulla terna solidale si ottiene
0
! = p^³0 + q^´0 + rk^
dove
^ = cos '^³0 ¡ sin '^´0
N
0 0
0
k^ = (^k ¢ ^³0 )^³0 + (k^ ¢ ^´0)^´0 + (^k ¢ k^ )^k = ®3^³0 + ¯3^´0 + °3 ^k
da cui segue
8
_
_
>
< p = μ cos ' + î3
= μ_ cos ' + Ã_ sin μ sin '
_ 3 = ¡μ_ sin ' + Ã_ sin μ cos '
q = ¡μ_ sin ' + ï
>
:
_ 3
r = '_ + ð
= '_ + Ã_ cos μ
(2.42)
2.2.8 Esercizi
Esercizio 2.2.8.1: Una lamina quadrata ABCD rigida di lato
` μe, all'istante considerato t, soggetta ai seguenti quattro stati
cinentici di rotazione (!; A), (!; B), (¡!; C) e (¡!; D), dove ! μe
normale alla lamina, nota che lo stato cinetico di rotazione (!; O1)
μe lo stato cinetico avente velocitμa angolare ! e asse istantaneo
di rotazione parallelo a ! e passante per O1. Studiare lo stato
cinetico risultante.
Esercizio 2.2.8.2: Il triangolo OAB, rettangolo, rigido, isoscele,
retto in O e con cateti lunghi `, ha, all'istante considerato t, il
cateto OB sull'asse (O; z) e l'altro cateto OA sul piano (O; x; y)
formante angoli uguali con gli assi (O; x) e (O; y). Del moto rigido
si conoscono all'istante t le velocitμa:
Note di
Fisica Matematica I
48
2 Cinematica
v(O) = vO^³ e v(B) = vBx^³ + vBy^´:
Sapendo inoltre che il vettore velocitμa angolare ! = p^³ + q^´ + r ^k
ha componente nulla lungo l'asse z (r = 0), si chiede:
i. il vettore velocitμa angolare del corpo rigido;
ii. la velocitμa del punto A;
iii. tipo di stato cinetico all'istante t.
Esercizio 2.2.8.3: All'istante considerato t un cubo rigido di
spigolo ` ha il vertice A nell'origine del sistema di riferimento ed i
lati AB , AC e AD lungo gli assi (O; x), (O; y) e (O; z) ed μe dotato
di due stati cinetici di rotazione (!1 = 3a^³; B) e (! 2 = 4a^k; D) e
di uno stato cinetico di traslazione di velocitμa v0^³; si domanda:
i. il vettore velocitμa angolare dello stato cinetico risultante;
ii. la velocitμa del vertice E opposto ad A;
iii. lo stato cinetico risultante;
iv. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidale
determinare l'equazione dell'asse di Mozzi.
Esercizio 2.2.8.4: All'istante considerato t un cubo rigido di
spigolo ` ha il vertice A nell'origine del sistema di riferimento ed i
lati AB , AC e AD lungo gli assi (O; x), (O; y) e (O; z); sapendo
che le velocitμa dei vertici B, E (di coordinate (`; `; 0)) e F (di
coordinate (`; `; `)) sono all'istante considerato t
^ v(E) = ¡v0^³ + vEy^´ e v(F ) = vFy^´ + vFz k;
^
v(B) = v0 k;
dove v0 μe noto e vEy , vFy e vFz sono da determinare, si domanda:
i. la condizione di rigiditμa;
ii. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidale
determinare l'equazione dell'asse di Mozzi;
iii. la velocitμa dei punti dell'asse di Mozzi.
Esercizio 2.2.8.5: Il triangolo rettangolo isoscele rigido ABC
retto in A ha, all'istante considerato, il vertice A nell'origine del
sistema di riferimento ed i cateti AB e AC, entrambi lunghi `,
lungo gli assi (O; y) e (O; z); sapendo che le velocitμa dei vertici
sono all'istante t
Note di
Fisica Matematica I
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi
49
v(A) = ¡K sin(−t)^³ + K cos(−t)k^
v(B) = vBy^´ + vBz ^k
^
v(C) = vFz k;
dove K e − sono noti e vBy , vCz e vCz sono da determinare, si
domanda:
i. la condizione di rigiditμa del triangolo;
ii. lo stato cinetico;
iii. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidale
determinare la velocitμa dei punti dell'asse di Mozzi;
iv. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidale
determinare l'equazione dell'asse di Mozzi.
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi
2.3.1 Velocitμ
a e accelerazione assolute e relative
Consideriamo due sistemi di riferimento (O; x; y; z) e (O 0 ; x0 ; y0 ; z 0)
dove assumeremo il secondo mobile rispetto al primo, il primo
sistema prende il nome di sistema di riferimento ¯sso o assoluto
mentre il secondo prende il nome di sistema di riferimento mobile
o relativo.
Vogliamo ora studiare il moto assoluto di un punto P rispetto
al primo riferimento se μe noto il moto relativo di P rispetto al
secondo e se μe noto il moto dell'osservatore mobile rispetto a quello
¯sso (e viceversa).
De¯nizione 2.18. Diremo moto di trascinamento il moto rigido
della terna mobile (O 0; x0; y 0; z 0 ) e dei punti solidali con essa rispetto
a quella ¯ssa.
Il moto assoluto di P μe dato dalla legge
P ¡ O = (O 0 ¡ O) + x0^³0 + y 0^´0 + z 0 ^k
0
(2.43)
dove x0 = x0 (t); y 0 = y 0 (t); z0 = z 0 (t) sono le equazioni del
0
moto relativo di P e dove i versori ^³0 , ^´0 e k^ si muovono rispetto
μ immediato provare che:
all'osservatore assoluto. E
Note di
Fisica Matematica I
50
2 Cinematica
Teorema 2.19. Se denotiamo con va (P ) e vr (P ) le velocitμa del
punto P rispetto al sistema ¯sso (velocitμ
a assoluta) e rispetto
al sistema mobile (velocitμ
a relativa) allora vale la seguente relazione:
va (P ) =
dP
= vr (P ) + v¿ (P )
dt
v¿ (P ) =
dO 0
+ ! £ (P ¡ O0 )
dt
dove
(2.44)
0
μe la velocitμ
a di trascinamento, v± = dO
e ! sono i vettori
dt
caratteristici del moto del sistema mobile, e
vr (P ) = x_ 0^³0 + y_ 0^´0 + z_ 0 ^k
0
μe l'espressione della velocitμ
a relativa.
Da ciμo segue che, in generale, ogni atto di moto assoluto
si ottiene componendo i due atti simultanei di moto relativo e di
moto di trascinamento.
Teorema 2.20. Se denotiamo con aa (P ) e ar (P ) le accelerazioni
del punto P rispetto al sistema ¯sso (accelerazione assoluta) e
rispetto al sistema mobile ( accelerazione relativa) allora sussiste la seguente relazione:
d2 P
= ar (P ) + a¿ (P ) + ac (P )
dt2
(2.45)
0
2 0
2 0
2^
d2 O 0
³
´
0d ^
0d ^
0d k
a¿ (P ) =
+x 2 +y 2 +z 2
dt2
dt
dt
dt
(2.46)
aa (P ) =
dove
μe l'accelerazione di trascinamento,
0
ar (P ) = xÄ0^³0 + yÄ0^´0 + zÄ0k^
μe l'accelerazione relativa e
8
<
0
9
³0
´0
d^k =
0 d^
0 d^
ac (P ) = 2 x_
+ y_
+ z_ 0
= 2! £ vr (P )
: dt
dt
dt ;
Note di
Fisica Matematica I
(2.47)
(2.48)
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi
51
μe l'accelerazione di Coriolis detta anche accelerazione complementare (sempre ortogonale all'asse del moto di trascinamento e alla velocitμa relativa).
Da quanto detto in precedenza si ha che l'accelerazione di trascinamento assume anche la forma
a¿ (P ) =
d2 O 0
+ !_ £ (P ¡ O 0 ) + ! £ [! £ (P ¡ O 0 )] (2.49)
dt2
2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto
Se un vettore v(t) μe riferito ad una terna (O; x; y; z) resta de¯nita
la derivata vettoriale di v come quel vettore che ha per componenti, rispetto alla terna ¯ssata, le derivate delle componenti di v.
Tale derivata non varia se calcolata rispetto ad un'altra terna solidale (o anche traslante) con la prima; essa varia, invece, quando
calcolata rispetto
³ ´ad una terna in moto rispetto a quella data. Denotiamo con dv
la derivata (assoluta) di v rispetto alla terna
dt
³
O
´
¯ssa (O; x; y; z) e con dv
la derivata (relativa) di v rispetto
dt O0
0
0 0 0
alla terna mobile (O ; x ; y ; z ). Possiamo supporre, al ¯ne del calcolo della derivata
vettoriale,
O = O0 . Sia P ¡ O = v, quindi i
³ ´
³ ´
e dv
non sono altro che la velocitμa assoluta e
due vettori dv
dt O
dt O0
relativa di P ; quindi, se ! designa la velocitμa angolare della terna
(O 0 ; x0 ; y0 ; z 0) rispetto alla terna (O; x; y; z), segue che:
Ã
dv
dt
!
O
=
Ã
dv
dt
!
0
O0
+ ! £ (P ¡ O ) =
Ã
dv
dt
!
O0
+ ! £ v(2.50)
si noti che le due derivate coincidono sempre e solo quando si
annulla ! £ v.
Dalla (2.50), applicata al vettore !, segue che:
Ã
d!
dt
!
O
=
Ã
d!
dt
!
;
O0
cio¶e nel moto di un sistema rigido la velocitμa angolare ha la stessa
derivata rispetto alla terna ¯ssa e a quella solidale con il sistema.
In particolare, osservando che la derivata di uno scalare μe indipendentente dalla terna di riferimento, segue che
Note di
Fisica Matematica I
52
2 Cinematica
Ã
dvers!
dt
!
O
=
Ã
dvers!
dt
!
;
O0
cio¶e:
Teorema 2.21. Se durante il moto di un sistema rigido l'asse di
moto ha direzione ¯ssa entro il sistema allora ha direzione
¯ssa nello spazio e viceversa.
La (2.50) permette inoltre di dimostrare il seguente: ogni moto
elicoidale uniforme ha, per qualsiasi centro di riduzione, vettori
caratteristici costanti rispetto agli assi mobili.
2.3.3 Precessioni regolari
Sia dato un sistema rigido S che ruota uniformemente intorno
ad un asse f solidale con esso; il quale, a sua volta, mantenendosi
solidale ed incidente ad un asse ¯sso p, ruoti uniformemente
intorno a quest'ultimo. Diremo precessione regolare il moto
assoluto di S, generato dal moto di trascinamento di f intorno a
p e dal moto relativo di S intorno a f (l'uno e l'altro moti relativi
uniformi). L'asse p, ¯sso nello spazio, si dice asse di precessione;
l'asse f, ¯sso nel corpo, asse di ¯gura; il punto O, comune ai due
assi, si dice polo della precessione.
Se ! 1 μe la velocitμa angolare di S intorno a f (vettore di
lunghezza costante e di direzione e verso costante rispetto al sistema rigido) e ! 2 quella di f intorno a p (vettore di lunghezza
costante e ¯sso nello spazio), allora la velocitμa angolare ! dell'atto
di moto rotatorio della precessione μe data ad ogni istante da
! = !1 + ! 2 e l'asse di istantanea rotazione passa per O.
Durante la precessione regolare il prodotto scalare ! 1 ¢ !2 rimane costante. Infatti, il parallelogramma, individuato da !1 e
!2 supposti applicati in O, pur ruotando uniformemente intorno
al suo lato disposto lungo la p, conserva inalterata la sua con¯gurazione. Inoltre la linea d'azione della velocitμa angolare ! della
precessione, cio¶e il rispettivo asse di moto, si mantiene inclinata
di un angolo costante tanto sulla p quanto sulla f . Infatti, se chiamiamo ' l'angolo formato dall'asse di ¯gura e l'asse di moto si
avrμa
Note di
Fisica Matematica I
2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi
cos ' =
53
q
p
! ¢ !1
!2 + ! 1 ¢ ! 2
= 1
; ! = ! ¢ ! = !12 + !22 + 2! 1 ¢ ! 2
!!1
!!1
costante. In modo analogo si prova che l'angolo formato dall'asse
di precessione e l'asse di moto μe costante.
Un esempio di precessione regolare μe fornito dal moto della
terra intorno al suo centro O. Infatti l'asse polare f non conserva (rispetto alle stelle ¯sse) direzione invariabile, bensμ³ ruota
a sua volta uniformemente intorno ad una retta p di direzione
¯ssa, passante per il centro terrestre O, ortogonale al piano
dell'eclittica.
2.3.4 Esercizi
Esercizio 2.3.4.1: Un punto P si muove con legge nota x1 =
x1 (t) su una retta (O1 ; x1 ) che a sua volta ruota nel piano (O; x; y)
attorno ad un asse normale a tale piano passante per O ´ O1 con
d . Studiare il moto di P
legge assegnata μ = μ(t), dove μ = xOx
1
rispetto all'osservatore O facendo uso dei Teoremi di composizione
delle velocitμa e delle accelerazioni. Discutere poi i casi particolari:
a)
(
b)
(
x_ 1(t) = c
; c e ! costanti positive;
_
μ(t)
=!
x1(t) = A cos(−t)
; A; − e ! costanti positive :
μ(t) = !t
Esercizio 2.3.4.2: Un punto P si muove lungo una circonferenza di raggio R e centro O1 con legge μ = μ(t), a sua volta la
circonferenza trasla nel piano con legge
a)
(
b)
(
x_ 1 (t) = ct
; c μe una costante;
y1 (t) = 0
x1 (t) = A cos(−t)
; A; e − costanti positive:
y1 (t) = 0
dove (x1 ; y1) sono le coordinate di O1 rispetto all'osservatore O.
Studiare il moto di P rispetto all'osservatore O facendo uso dei
Teoremi di composizione delle velocitμa e delle accelerazioni. Discutere poi il caso particolare μ_ = ! costante.
Note di
Fisica Matematica I
54
2 Cinematica
2.4 Cinematica dei sistemi
2.4.1 Sistemi olonomi
Si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero N
qualsiasi di punti Ps ; s = 1; 2; : : : ; N, i quali, anzich¶e liberamente
mobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati ad assumere istante
per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzioni di un numero n · 3N di parametri arbitari
q1 ; q2 ; : : : ; qn ed, eventualmente, del tempo:
Ps = Ps (q1; q2; : : : ; qn ; t); s = 1; 2; : : : ; N:
(2.51)
Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomenti
qh ed, eventualmente, t; che noi supporremo univalenti, ¯nite, continue e derivabili (¯no al II ± ordine almeno) entro un determinato
campo di valori per gli argomenti.
Ad un dato istante t le (2.51), al variare di qh entro il rispettivo
campo di valori, forniscono tutte e sole le possibili con¯gurazioni
μ manifesto che, se i vincoli
del sistema nell'istante considerato. E
dipendono dal tempo, le con¯gurazioni possibili del sistema in un
dato istante t1 non coincidono, in generale, con quelle relative ad
un istante diverso t2 .
Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righe
Ã
@x1 @y1 @z1
@xN @yN @zN
;
;
; :::;
;
;
@qh @qh @qh
@qh @qh @qh
!
; h = 1; : : : ; n;(2.52)
ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che la
con¯gurazione del sistema varia se, e solo se, variano le coordinate
lagrangiane (assumendo t ¯ssato) e si dice che n μe il grado di
libertμ
a del sistema. Quindi il grado di libertμa di un sistema
olonomo μe il numero di parametri essenziali da cui dipendono
le sue con¯gurazioni in un generico istante.
Se fra le 3N equazioni scalari, derivanti dalle (2.51), eliminiamo
le n coordinate lagrangiane otteniamo, nella ipotesi che la (2.52)
abbia rango n, 3N ¡ n equazioni indipendenti fra le xs ; ys ; zs ed,
eventualmente, il tempo:
fk (xs ; ys ; zs ; t) = 0;
k = 1; 2; : : : ; 3N ¡ n;
Note di
Fisica Matematica I
(2.53)
2.4 Cinematica dei sistemi
55
le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante per
istante, intercedono fra le posizioni simultanee dei singoli punti
del sistema. Esse si dicono vincoli o legami.
Viceversa, se un sistema di N punti μe soggetto a ` equazioni
indipendenti della forma (2.53) allora, risolvendo le (2.53) rispetto
ad ` delle 3N coordinate xs ; ys ; zs e assumendo come parametri
lagrangiani le rimanenti 3N ¡ `, si ottiene un sistema della forma
(2.51).
De¯nizione 2.22. Un sistema soggetto a vincoli della forma (2.53)
si dice olonomo. I parametri arbitrari q1; q2 ; : : : ; qn si chiamano
coordinate generali o lagrangiane del sistema.
De¯nizione 2.23. Se il tempo t non compare nelle (2.51) o,
equivalentemente, nelle (2.53), il sistema olonomo si dice a vincoli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dice
a vincoli dipendenti dal tempo o reonomi.
Vediamo alcuni esempi:
i. Una ¯gura rigida mobile su di un piano μe un sistema olonomo
con 3 gradi di libertμ
a, in quanto occorrono e bastano 2
parametri per individuare la posizione di un suo punto M nel
piano ed un ulteriore parametro per ¯ssare la sua orientazione
attorno ad M;
ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cerniera
μe un sistema olonomo con 4 gradi di libertμ
a, perchμe la posizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne occorrono e bastano per individuare le orientazioni delle 2 aste;
iii. Una sbarra nello spazio μe un sistema olonomo con 5 gradi di
libertμ
a. Per ¯ssare infatti la con¯gurazione di un tale sistema
basta conoscere la posizione di un suo punto P , che dipende
da tre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende da
due parametri (ad esempio l'angolo di nutazione e l'angolo di
precessione).
iv. Per un sistema rigido nello spazio i gradi di libertμ
a sono
6, cio¶e tanti quanti quelli di una terna di assi (solidale con
la ¯gura): tre parametri occorrono per ¯ssarne l'origine e tre
l'orientazione. Se il sistema ha un punto ¯sso allora il numero di gradi di libertμ
a si riduce a 3. Se il sistema ha un
Note di
Fisica Matematica I
56
2 Cinematica
asse ¯sso invece il numero di gradi di libertμ
a si riduce
a 1.
Il moto del sistema risulterμa de¯nito quando le coordinate lagrangiane del sistema sono assegnate in funzione del tempo. Le
equazioni
qh = qh (t); h = 1; 2; : : : ; n;
cui si dμa luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane. Per l'atto di moto del sistema, cio¶e per le
velocitμa vs = v(Ps ) dei suoi punti Ps , si ha, derivando le (2.51):
n
@Ps X
dPs
@Ps
=
+
q_h
vs =
dt
@t
h=1 @qh
s = 1; 2; : : : ; N:
(2.54)
Coordinate lagrangiane sovrabbondanti
Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane q1 ; q2 ; : : : ; qn
si impongono uno, o piμ
u, vincoli olonomi ulteriori allora questi si
traducono in una o piμ
u equazioni nelle qh (ed eventualmente nel
tempo):
fk (q1 ; q2; : : : ; qn ; t) = 0; k = 1; 2; : : : ; `0; `0 · n;
(2.55)
che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle qh . Il
nuovo sistema che si ottiene μe ancora olonomo e il suo grado di
libertμa si riduce a n ¡ `0 . In particolare per ogni possibile sistema
olonomo di N punti si possono assumere come coordinate sovrabbondanti le 3N coordinate cartesiane xs ; ys ; zs dei suoi N punti, le
quali, se n μe il grado di libertμa del sistema, risulteranno legate fra
di loro da ` = 3N ¡ n equazioni del tipo (2.53).
2.4.2 Sistemi anolonomi
Se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendenti
qh , si impone un ulteriore vincolo olonomo
f(q1 ; q2 ; : : : ; qn ; t) = 0;
(2.56)
questo implica una limitazione, non soltanto per le con¯gurazioni
del sistema, ma anche per i suoi spostamenti P
possibili. In partico@f
lare si ha il seguente vincolo di mobilitμ
a: nh=1 @q
q_h + @f
= 0,
@t
h
ottenuto derivando le (2.56).
Note di
Fisica Matematica I
2.4 Cinematica dei sistemi
57
Introduciamo il concetto di vincolo di mobilitμ
a espresso mediante una forma di®erenziale lineare del tipo:
n
X
ah dqh + bdt = 0;
(2.57)
h=1
o equivalentemente, essendo dqh = q_h dt,
n
X
ah q_h + b = 0;
h=1
dove le ah e b siano funzioni delle coordinate q1 ; q2; : : : ; qn ed,
eventualmente di t, comunque pre¯ssate, anche se la (2.57) non
sia deducibile per di®erenzazione da una relazione in termini ¯niti
(2.56) fra le qh ed, eventualmente, la t.
De¯nizione 2.24. Ogni vincolo di mobilitμa (2.57) non deducibile
per di®erenzazione da una relazione in termini ¯niti tra le qh ed,
eventualmente, t si dice anolonomo. Si dice omogeneo o no,
secondo che la funzione b μe o no identicamente nulla. Diremo poi
sistema anolonomo ogni sistema soggetto ad uno o piμ
u vincoli
anolonomi.
La di®erenza tra i vincoli olonomi e anolonomi risiede nel
fatto che questi ultimi non impongono alcuna limitazione alle
con¯gurazioni del sistema ma implicano soltanto delle restrizioni per gli spostamenti possibili del sistema, cio¶e per
la sua mobilitμa.
Interpretazione geometrica dei vincoli olonomi e anolonomi
Come si puμo facilmente osservare il sistema meccanico a n gradi
di libertμa ha vincoli olonomi indipendenti dal tempo se
l'insieme delle sue con¯gurazioni μe individuato da una sottovarietμa
regolare Vn , detto spazio delle con¯gurazioni, Vn £ R prende il
nome di spazio-tempo delle con¯gurazioni.
Esempio di vincolo di mobilitμ
a integrabile
Consideriamo un disco rigido mobile nel piano (O; x; y) che si mantenga sempre appoggiato all'asse (O; x) e che sia vincolato a
Note di
Fisica Matematica I
58
2 Cinematica
scorrere senza strisciare su quest'asse. Si possono assumere
quali parametri lagrangiani la coordinata ascissa x del centro C
del disco e l'angolo μ di rotazione. La condizione di puro rotolamento implica v¿ (K) = 0 dove K μe il punto di contatto tra il disco
e l'asse; v¿ (K) μe la velocitμa di trascinamento. Questa condizione
si traduce nella relazione
x_ + Rμ_ = 0
che rappresenta quindi un vincolo di mobilitμ
a omogeneo.
Questo μe immediatamente integrabile e dμa la relazione
x = ¡Rμ + x0
che rappresenta un vincolo olonomo. Osserviamo che se imponiamo al disco di rotolare senza strisciare su un piano senza pre¯ssare la traiettoria del punto di contatto allora il vincolo
di puro rotolamento si traduce in due vincoli di mobilitμ
a
non integrabili, cio¶
e anolonomi.
Vincoli propriamente anolonomi
μ possibile poi caratterizzare ulteriormente i vincoli anolonomi.
E
De¯nizione 2.25. Diremo propriamente anolonomo un sistema se i vincoli di mobilitμa (2.57), cui esso μe soggetto, sono tali
che non esista nemmeno una relazione
F (q1 ; q2 ; : : : ; qn ; t) = Cost:
(2.58)
il cui di®erenziale si possa porre sotto forma di una combinazione
lineare delle (2.57).
Esempio di sistema propriamente anolonomo
Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciare
su di un piano ¯sso. Si posso scegliere come coordinate lagrangiane
del nostro sistema i cinque parametri: x; y (coordinate della
proiezione del centro C della sfera sul piano) e μ; Ã; Á (angoli
di Eulero); ovviamente z = R. Ad ogni sistema di valori di questi
5 parametri corrisponde una posizione della sfera a contatto con
Note di
Fisica Matematica I
2.4 Cinematica dei sistemi
59
il piano z = 0. Se queste 5 coordinate sono funzioni del tempo si
ottengono le equazioni di un moto della sfera S a contatto con il
piano. Ma questo moto non μe, in generale, di puro rotolamento,
bensμ³ implica, istante per istante, uno strisciamento della sfera
sul piano. La condizione di puro rotolamento implica che deve essere costantemente nulla la velocitμa di trascinamento del punto
di contatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istante
tanto sul piano ¯sso quanto sulla sfera. Denotando con v± e ! i
vettori caratteristici del moto della sfera rispetto al suo centro C,
si dovrμa avere, ad ogni istante, che la velocitμa di trascinamento di
K sia nulla:
v¿ (K) = v± + ! £ (K ¡ C) = 0:
Scalarmente:
x_ ¡ RÂ = 0; y_ + R¼ = 0
(2.59)
dove ¼; Â; ½ sono le componenti di ! rispetto agli assi ¯ssi dove
¼ = μ_ cos à + Á_ sin μ sin Ã;  = μ_ sin à ¡ Á_ sin μ cos à (2.60)
da cui seguono, in particolare,
@Â
@¼
= ¡Â;
= ¼:
@Ã
@Ã
(2.61)
Le equazioni (2.59) sono le equazioni del vincolo di puro rotolamento ed esse non si possono integrare. Infatti esse si possono
scrivere come
(
x_ ¡ R sin à μ_ + R sin μ cos à Á_ = 0
y_ + R cos Ãμ_ + R sin μ sin à Á_ = 0
e la condizione necessaria a±nchμe le (2.59) siano integrabili implica
che siano veri¯cate le seguenti identitμa:
@(R sin μ cos Ã)
@(¡R sin Ã)
=
@μ
@Á
e
@(R sin μ sin Ã)
@(R cos Ã)
=
@μ
@Á
che risultano manifestamente non veri¯cate identicamente.
Inoltre, si puμo veri¯care che non esiste nessuna relazione (2.58) in
termini ¯niti, fra le coordinate lagrangiane x; y; μ; Á; Ã e il tempo,
la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lineare delle (2.59).
Note di
Fisica Matematica I
60
2 Cinematica
2.4.3 Spostamenti in¯nitesimi reali e virtuali
Spostamenti in¯nitesimi reali
Durante il moto del sistema olonomo soggetto alla (2.51) si ha che
la velocitμa del generico punto Ps vale
v(Ps ) =
n
X
@Ps
h=1
@qh
q_h +
@Ps
; s = 1; : : : ; N:
@t
Pertanto il di®erenziale dPs , che rappresenta lo spostamento in¯nitesimo reale del punto Ps , vale
dPs =
n
X
@Ps
h=1
@qh
dqh +
@Ps
dt; s = 1; : : : ; N:
@t
Spostamenti in¯nitesimi virtuali
De¯nizione 2.26. Diremo spostamenti virtuali di un sistema
olonomo gli ipotetici spostamenti (in¯nitesimi) che sono atti a far
passare il sistema da una qualsiasi sua con¯gurazione ad un'altra
(in¯nitamente vicina) relativa al medesimo istante.
Dato un sistema olonomo, lo spostamento subito da un suo
punto Ps in uno spostamento virtuale dell'intero sistema si indica con ±Ps e le sue componenti secondo gli assi si denotano con
±xs ; ±ys ; ±zs . Si trova per gli spostamenti virtuali, nel caso di un
sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane indipendenti,
l'espressione generale
±Ps =
n
X
@Ps
h=1
@qh
±qh
s = 1; 2; : : : ; N
(2.62)
che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) ±qh delle coordinate lagrangiane (anche se i
vincoli dipendono dal tempo).
Di fatto gli spostamenti (in¯nitesimi) sono una forma di®erenziale lineare rispetto alle n variabili q1 ; q2 ; : : : ; qn .
Componendo, a partire dalla stessa con¯gurazione del sistema,
due o piμ
u spostamenti virtuali, si ottiene ancora uno spostamento
virtuale.
Note di
Fisica Matematica I
2.4 Cinematica dei sistemi
61
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo si ha che gli spostamenti virtuali coincidono con i possibili spostamenti (in¯nitesimi)
reali. In generale questo non μe vero; infatti se denotiamo con dP
lo spostamento in¯nitesimo reale allora
dP =
n
X
@P
h=1
@qh
dqh +
che di®erisce da ±P per il termine
@P
dt
@t
@P
dt.
@t
Spostamenti virtuali dei sistemi anolonomi
Se il vincolo anolonomo era de¯nito mediante vincoli di mobilitμa
del tipo (2.57) allora sarμa considerato come spostamento virtuale ogni spostamento ipotetico che sia atto a far passare il sistema da una con¯gurazione C ad un'altra in¯nitamente vicina
C 0 , compatibile con lo stato dei vincoli al medesimo istante; con
l'ulteriore condizione che anche l'ipotetico spostamento
obbedisca a quei medesimi vincoli di mobilitμ
a che sono
imposti ad ogni moto e®ettivo del sistema. Cio¶e la variazione ±qh delle coordinate lagrangiane dovrμa essere tale che:
n
X
ah ±qh = 0:
(2.63)
h=1
Cio¶e, per un sistema anolonomo, gli spostamenti virtuali sono
dati dalle (2.62) dove i termini ±qh non sono piμ
u arbitari e indipendenti, bensμ³ devono soddisfare i vincoli di mobilitμa.
Spostamenti invertibili
Dalla (2.62) segue che un sistema olonomo, ad ogni istante e a partire da ogni con¯gurazione, ammette insieme con ogni suo spostamento virtuale ±Pi anche il suo opposto ¡±Pi ; cio¶e nei sistemi
olonomi tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili. Infatti se le ±qh soddisfano le (2.62) allora anche ¡±qh le soddisfano.
Spostamenti virtuali di un sistema rigido
I vincoli di rigiditμa sono espressi da equazioni della forma:
Note di
Fisica Matematica I
62
2 Cinematica
(xi ¡ x| )2 + (yi ¡ y| )2 + (zi ¡ z| )2 = cost; i; j = 1; : : : ; N:
e sono, manifestamente, olonomi e indipendenti dal tempo;
quindi in un sistema rigido gli spostamenti (in¯nitesimi) virtuali
non di®eriscono dagli spostamenti (in¯nitesimi) reali o e®ettivi.
Questi ultimi rientrano nel tipo
dP = dO0 + ^adμ £ (P ¡ O0 )
(2.64)
dove dO 0 rappresenta lo spostamento (in¯nitesimo) del centro di
riduzione e ^adμ la rotazione (in¯nitesima) attorno all'asse istantaneo passante per O 0 e, all'istante considerato t, avente verso e
direzione dati da a^; completamente arbitrari nel caso di un sistema
rigido libero. In tal caso la (2.64) fornisce la rappresentazione di
tutti gli spostamenti virtuali di un sistema rigido:
±P = ±O 0 + !0 £ (P ¡ O0 );
dove designamo ^a±μ con ! 0 .
Se il sistema rigido, invece che essere libero, ha un punto ¯sso,
conviene prendere tale punto come centro di riduzione O 0 ; quindi
il vettore caratteristico ±O0 μe sempre nullo. Il complesso di tutti
gli spostamenti virtuali si riduce quindi a
±P = !0 £ (P ¡ O0 ):
2.4.4 Sistemi a legami unilaterali
De¯nizione 2.27. Un sistema ad n gradi di libertμa
Ps = Ps (q1; : : : ; qn ; t); s = 1; 2; : : : ; N;
(2.65)
si dice soggetto a vincoli unilateri (di posizione), se le rispettive
coordinate lagrangiane debbono soddisfare ad un certo numero di
relazioni (dipendenti o no dal tempo) del tipo:
Áj (q1 ; q2 ; : : : ; qn ; t) · 0; j = 1; 2; : : : ; r:
(2.66)
Viceversa si dicono bilateri i vincoli olonomi considerati precedentemente.
Fra le con¯gurazioni, di cui μe suscettibile un sistema (2.65)
soggetto a vincoli unilateri, si dicono ordinarie quelle in cui le relazioni (2.66) sono soddisfatte tutte come vere disuguaglianze,
Note di
Fisica Matematica I
2.4 Cinematica dei sistemi
63
mentre si dicono con¯gurazioni di con¯ne quelle in cui almeno
una delle (2.66) μe soddisfatta per uguaglianza.
Un esempio tipico μe costituita da due punti P1 e P2 collegati
tra loro da un ¯lo inestendibile di lunghezza ¸: la relazione (2.66)
diventa
(x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1 )2 + (z2 ¡ z1)2 ¡ ¸2 · 0:
Quando la distanza tra i due punti μe minore di ¸ allora saremo
nel caso di con¯gurazioni ordinarie, quando la distanza μe invece
esattamente ¸ allora saremo nel caso di con¯gurazioni di con¯ne.
Estendendo ai sistemi a vincoli unilateri la de¯nizione di spostamento virtuale avremo che, per un sistema (2.65), sottoposto
ai vincoli (2.66), ogni spostamento virtuale, a partire dalla con¯gurazione
di coordinate lagrangiane q1; q2 ; : : : ; qn , sarμa dato da
P
@Pi
±qh ; s = 1; : : : ; N ; dove le variazioni ±qh delle co±Ps = nh=1 @q
h
ordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
Áj (q1 + ±q1 ; q2 + ±q2 ; : : : ; qh + ±qh ; t) · 0; j = 1; 2; : : : ; r;
ossia, a meno di in¯nitesi di ordine superiore al primo, alle
Áj (q1 ; q2 ; : : : ; qn ; t) + ±Áj = Áj (q1; q2 ; : : : ; qn ; t) +
n
X
@Áj
h=1
@qh
±qh (2.67)
· 0:
Da ciμo segue che, per ragioni di continuitμa, a partire da una con¯gurazione ordinaria, i vincoli unilaterali non impongono alcuna
limitazione di mobilitμa. Se, invece, si parte da una con¯gurazione
di con¯ne, cio¶e da una con¯gurazione in cui si annulla almeno una
delle Áj , ad es. Áj 0 , la corrispondente relazione (2.67) impone la
condizione
±Áj 0 =
n
X
@Áj 0
h=1
@qh
±qh · 0:
(2.68)
Segue che: i vincoli unilaterali implicano delle condizioni
per gli spostamenti virtuali soltanto a partire dalle condizioni di con¯ne. Piμ
u precisamente: purch¶e si parta da una
con¯gurazione ordinaria, per un sistema a vincoli unilateri tutti
gli spostamenti virtuali sono invertibili. Non cosμ³ se si muove da
una con¯gurazione di con¯ne, in particolare: a partire da una con¯gurazione di con¯ne, gli spostamenti virtuali sono in generale
Note di
Fisica Matematica I
64
2 Cinematica
non invertibili. Sono invertibili tutti e solo quelli che con ogni
relazione (2.66) soddisfatta per uguaglianza, soddisfano anche la
corrispondente ±Áj 0 = 0.
Ad esempio: un punto appoggiato al piano (¯sso) z = z0 deve
soddisfare alla relazione Á(x; y; z) · 0, dove Á(x; y; z) = z0 ¡ z:
La (2.68) assume la forma ±Á = ¡±z. Se prendiamo spostamenti
virtuali che lasciano il punto nel piano (cio¶e con ±x e ±y arbitrari
e con ±z = 0) allora questi sono invertibili poich¶e per questi si ha
±Á = 0. Se invece prendiamo spostamenti virtuali che ci spostano
il punto dal piano (cio¶e con ±z > 0) allora questi non sono invertibili.
2.4.5 Esercizi
Esercizio 2.4.5.1: Si consideri il sistema meccanico costituito
da un'asta rigida mobile nel piano (O; x; y) e soggetta al seguente
vincolo: la velocitμa del punto medio dell'asta deve essere parallela all'asta stessa (pattino). Dimostrare che questo vincolo μe
anolonomo, cio¶e tale vincolo di mobilitμa si traduce in una forma
di®erenziale lineare non integrabile.
Note di
Fisica Matematica I
3
Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
3.1.1 Forza
Assumeremo come primitivo il concetto di forza dove intenderemo
per forza ogni ente ¯sico capace di modi¯care il moto o
lo stato di quiete di un punto materiale rispetto ad un
dato osservatore e lo rappresenteremo matematicamente come
un vettore applicato (P; F) in cui P μe il punto di applicazione
μ possibile misurare la forza atdella forza e F μe un vettore. E
traverso un dinamometro, la direzione del dinamometro coincide
con la direzione della forza, ha verso opposto e l'elongazione del
dinamometro μe proporzionale alla intensitμa della forza.
Sovrapposizione degli e®etti di forze simultanee
Qualunque sia il numero delle forze agenti sopra un punto materiale (vettori applicati nel punto), esse sono sempre sostituibili,
nei riguardi del moto del punto, con un'unica forza, rappresentata
dalla loro risultante geometrica, che si dice forza totale applicata
al punto.
3.1.2 Leggi di Newton
Enunciamo ora le seguenti 3 leggi della Meccanica che hanno evidenza sperimentale. Queste leggi derivano, sostanzialmente, con
quelle poste da Newton (per una analisi delle leggi di Newton, della
Note di
Fisica Matematica I
66
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
de¯nizione di forza e di massa μe opportuno approfondire mediante
testi opportuni, ad es. E. Mach "La Meccanica nel suo sviluppo
Storico Critico").
I) Il Primo principio della Meccanica postula l'esistenza di almeno un riferimento (O; x; y; z), detto riferimento assoluto,
tale che un punto materiale che si trovi "lontano" dagli altri
oggetti dell'universo risulti sottoposto a forza nulla in tale sistema di riferimento. Per de¯nizione di forza segue che tale
punto sarμ
a in quiete rispetto a tale riferimento. Questo
riferimento si identi¯ca sperimentalmente con un riferimento
solidale con la terra in prima approssimazione; con precisione
maggiore sono assoluti i sistemi di riferimento solidali con il
Sole, con le stelle avente origine in una "stella ¯ssa" e con assi
orientati verso altre tre "stelle ¯sse", etc.. Si de¯niscono usualmente come forze assolute o vere le forze che agiscono su un
punto materiale osservato in questo riferimento.
II) Il Secondo principio della Meccanica postula l'esistenza
di una costante m > 0, caratteristica del punto materiale e
indipendente dal sistema di riferimento scelto, tale che
ma = F
dove a μe l'accelerazione del punto e F μe il vettore della forza
applicata sul punto misurate da uno stesso osservatore. Tale
equazione prende il nome di equazione di Newton. La costante
m prende il nome di massa (inerziale) del punto μe puμo essere
sperimentalmente misurata attraverso una massa-peso campione.
III)Il Terzo principio della Meccanica, detto anche principio
di azione e reazione, postula che dati due corpi puntiformi A
e B, se su A μe applicata una forza (A; F) dovuta a B allora su
B μe applicata la forza (B; ¡F) dovuta a A ed entrambe hanno
la stessa linea d'azione (cioμe sono passanti per la congiungente)
3.1.3 Forze ¯ttizie
Consideriamo due osservatori (O; x; y; z) e (O 0; x0 ; y0 ; z0 ) in moto
tra loro con moto qualsiasi e noto, dove il primo osservatore μe un
osservatore assoluto. Il secondo principio della Meccanica a®erma
che rispetto ai due osservatori sono valide le equazioni
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
67
ma = F e ma0 = F0
dove a e a0 sono le accelerazioni di un punto libero P rispetto
ai due osservatori e F e F0 sono le forze misurate su P dai due
osservatori, la forza (F; P ) sarμa la forza assoluta applicata in P .
Cerchiamo di studiare la relazione che lega F e F0 . Dal Teorema
di composizione delle accelerazioni segue che
F0 = F ¡ ma¿ (P ) ¡ mac (P ):
Il termine
F¿ (P ) = ¡ma¿ (P )
prende il nome di forza di trascinamento e dipende dalla posizione del punto e, eventualmente, dal tempo. Il termine
Fc (P ) = ¡mac (P )
prende il nome di forza di Coriolis o complementare e dipende
dalla velocitμa relativa del punto e, eventualmente, dal tempo.
Queste due forze prendono il nome di forze ¯ttizie.
In Dinamica μe consuetudine chiamare moto assoluto il moto
riferito ad una qualsiasi terna che conservi posizione invariata
rispetto al riferimento assoluto. Quando scriveremo
ma = F
(3.1)
senza speci¯care altro allora le grandezze vettoriali F e a si pensano misurate in tale riferimento. L'equazione fondamentale (3.1)
si conserva rigorosamente valida quando il moto del punto sia riferito ad una qualsiasi terna, aninamata da un moto traslatorio
uniforme rispetto al riferimento stellare poich¶e in tal caso
F¿ (P ) = Fc (P ) = 0. Tali terne si diranno terne inerziali o
galileiane. Ogni sistema di riferimento che si muove di moto
traslatorio uniforme rispetto al riferimento assoluto si dice inerziale.
3.1.4 Reazioni vincolari
Consideriamo un punto materiale P , comunque vincolato e sollecitato, e supponiamo di saper riconoscere le varie forze che
Note di
Fisica Matematica I
68
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
agirebbero su P se fosse libero, e indichiamone con (P; F) la
risultante, che chiameremo forza attiva o direttamente apμ ovvio che il moto del punto vincolato μe dovuto non
plicata. E
soltanto alla sollecitazione attiva, ma anche all'azione dei vincoli.
In particolare vale il seguente:
Postulato delle reazioni vincolari Per un punto materiale
comunque vincolato e sollecitato da forze, l'azione dei vincoli μ
e
sostituibile con quella di una forza aggiuntiva, che si dice
reazione o forza vincolare denotata con Á.
In virtμ
u di tale postulato l'equazione fondamentale della Dinamica diventa:
ma = F + Á:
(3.2)
Le azioni dei vincoli si manifestano quindi mediante forze; esse
perμo hanno proprietμa diverse dalle forze ordinarie applicate ai
corpi, usualmente denotate forze attive per distinguerle dalle
reazioni vincolari. Infatti, mentre nei problemi concreti le forze
attive sono, in generale, note, le reazioni vincolari sono incognite. Molto spesso perμo si conoscono i punti di applicazione delle
reazioni vincolari, che sono situati dove il vincolo agisce. Ad esempio le reazioni dovute a un punto ¯sso sono sul punto stesso,
quelle dovute ad un appoggio sui punti del corpo a contatto con
l'appoggio. Talvolta μe poi possibile prevedere la direzione e anche il verso della reazione vincolare; piμ
u precisamente assumiamo
valido il seguente postulato di evidenza sperimentale:
Postulato: La reazione vincolare applicata in un certo punto ha
direzione e verso opposto di uno spostamento (totalmente) proibito
di quel punto.
Per spostamento totalmente proibito da P a P 0 (in un intorno
di P ) si intende uno spostamento ipotetico, impedito dalla natura
dei vincoli e tale che lo porterebbe in P 0 , P non puμo avvicinarsi a
P 0 in nessun modo con spostamenti consentiti dai vincoli. Cosμ³,
ad esempio, per un punto materiale P appoggiato ad un piano
orizzontale gli spostamenti (totalmente) proibiti sono solo quelli
che porterebbero il punto P dentro al piano verticalmente, uno
spostamento di P verso il piano (ma non verticale) puμo essere
infatti realizzata mediante uno spostamente prima orizzontale (che
avvicina P a P 0 ) e poi verticale. In questo caso abbiamo che la
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
69
reazione vincolare μe necessariamente normale al piano e diretta
dal piano verso il punto, cio¶e μe determinata la direzione ed il
verso della reazione vincolare mentre rimane incognita
la intensitμ
a. Altri casi di notevole interesse sono il caso di un
punto vincolato ad un piano, dove la reazione μe normale al piano
ma di verso arbitrario, ed il caso di un punto ¯sso, dove tutti
gli spostamenti sono (totalmente) proibiti e quindi la reazione μe
completamente indeterminata.
Commento alle leggi della Dinamica
A dispetto del nome (leggi di Newton) queste leggi sono enunciate
in modo diverso da diversi autori e la stessa de¯nizione di forza e
massa viene data in modo diverso. Secondo alcuni autori (ad esempio Mach e poi Fasano-Marmi) la massa viene de¯nita a partire
dal concetto di accelerazione, la forza (vedi Fasano-Marmi) viene
de¯nita come ma, etc.. Qui si μe scelto di seguire la impostazione
di Gallavotti. Vogliamo anche ricordare l'impostazione proposta
da Gra± nella quale la prima legge della Dinamica coincide, essenzialmente, con la nostra de¯nizione di forza. Di interesse anche
la impostazione proposta da Romano.
3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente
De¯nizione 3.1. Si dice che un punto materiale μe in equilibrio,
o che le forze che lo sollecitanto si fanno equilibrio, quando l'azione
complessiva di queste forze μe tale da mantenere in quiete il
punto; cio¶e non determina sul punto, a partire dalla quiete, alcuna
variazione di velocitμa.
Dalla (3.2) risulta che per l'equilibrio di un punto, vale a dire
perch¶e esso abbia un'accelerazione costantemente nulla, occorre e
basta, che si annulli la forza attiva, se si tratta di un punto
libero, o la risultante della forza attiva e della reazione, se
si tratta di un punto vincolato. In quest'ultimo caso condizione
necessaria e su±ciente per l'equilibrio μe che la forza attiva sia
direttamente opposta alla reazione. Piμ
u precisamente:
Teorema 3.2. Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibrio
di un punto materiale μe che esista un sistema di reazioni vincolari,
Note di
Fisica Matematica I
70
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
compatibili con la natura dei vincoli, tale da equilibrare le forze
attive.
Legge del moto incipiente
Supponiamo che un punto P , ad un dato istante t0 , cominci a
muoversi a partire dalla quiete, sotto la sollecitazione di un forza
non nulla di vettore F. Dovendo essere
F(t0 )
v(t) ¡ v(t0 )
v(t)
= a(t0 ) = lim
= lim
t!t0
t!t0 t ¡ t0
m
t ¡ t0
segue, per continuitμa, che la direzione ed il verso del moto
nell'istante t immediatamente successivo a t0 coincidono
con quelli di F; in altri termini si ha che
v(t) =
F(t0 )
(t ¡ t0 ) + o(t ¡ t0 ):
m
3.1.6 Forze posizionali e forze conservative
Nella Meccanica, in generale, se consideriamo un punto P soggetto
a forze dovute alla presenza di altri corpi e al moto dell'osservatore
rispetto ad un riferimento inerziale si osserva che la forza (P; F)
ha vettore F che dipende, oltre che dalla posizione P del punto,
anche dal tempo t e dalla velocitμa v = P_ del punto stesso:
F = F(P; P_ ; t):
Noi, nel seguito, supporremo tale dipendenza regolare. Se il punto
fosse isolato e l'osservatore inerziale tale forza avrebbe vettore F =
0. Se, invece di un punto solo, consideriamo un sistema di N punti
Ps , s = 1; : : : ; N , soggetti alla forza dovuta alla presenza di altri
corpi, al moto dell'osservatore rispetto ad un riferimento inerziale e
alla mutua interazione tra i punti Ps si osserva che la forza (Ps ; Fs )
ha vettore Fs che dipende dalle posizioni dei punti, dal tempo e
dalle velocitμa dei punti:
Fs = Fs (P1; : : : ; Pn ; P_1; : : : ; P_N ; t) = Fs (Pr ; P_r ; t); r = 1; : : : ; N:
Se, in particolare, tutti i punti Pr , r =
6 s, sono ¯ssi rispetto al
riferimento in cui si sta considerando il moto (tra loro) allora si
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
71
avrμa Fs = Fs (Ps ; P_s ; t). Osserviamo poi che le forze tra i punti
Ps (e tra i punti e gli eventuali vincoli) dipendono e®ettivamente
dalle mutue posizioni Ps ¡Pr e dalle mutue velocitμa P_s ¡ P_r ; quindi
possiamo concludere che queste forze interne e le reazioni vincolari
non dipendono dall'osservatore.
Forze posizionali
De¯nizione 3.3. Una forza applicata nel punto P e di vettore F,
si dirμa posizionale se F μe esprimibile come vettore funzione di
P:
F = F(P ):
Ossia, indicando con Fx ; Fy ; Fz le componenti di F rispetto a tre
assi e con x; y; z le coordinate della posizione di P , sarμa:
Fx = Fx (x; y; z); Fy = Fy (x; y; z); Fz = Fz (x; y; z):
De¯nizione 3.4. La regione spaziale C, in cui μe de¯nita una forza
posizionale, si dice campo di forza. Un campo di forza si dice
si dice uniforme se la rispettiva forza μe costante (di direzione e
di intensitμa).
De¯nizione 3.5. Data una forza posizionale e quindi de¯nito un
campo di forza diremo linee di forze (o linee del campo) le curve
° che in ogni punto P risultano tangenti al vettore F della forza
applicato in P .
Si ha che per ogni punto passa una, ed una sola, linea di forza
(purch¶e la forza non sia nulla) e le linee di forza risultano de¯nite
come le curve integrali del sistema
dx
dy
dz
=
= :
Fx
Fy
Fz
Infatti, sia P = P (t) una rappresentazione paramentrica di tale
curva. Allora deve essere P_ (t) = ½F[P (t)] dove ½ > 0. Supponendo, per ¯ssare le idee, x(t)
_
6= 0, μe possibile esprimere (almeno
localmente) y = y(x) e z = z(x) ottenendo ½Fy = y_ = dy
x_ =
dx
Fy
dy
dy
dz
Fz
½Fx e quindi dx = Fx ; analogamente si trova dx = Fx .
dx
Note di
Fisica Matematica I
72
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
Forze conservative
Tra i campi di forza sono particolarmente interessanti quelli il cui
prodotto scalare F ¢ dP della forza F del campo, applicata in P ,
per un qualsiasi spostamento elementare dP = dx^³+dy^´+dz k^ del
punto di applicazione P μe il di®erenziale esatto di una funzione
U di P :
F ¢ dP = Fx (x; y; z)dx + Fy (x; y; z)dy + Fz (x; y; z)dz = dU:(3.3)
Tali campi di forza si dicono conservativi, e la funzione U(x; y; z),
che noi supporemo uniforme (=monodroma, cio¶e ad un sol valore),
¯nita, continua e derivabile, almeno ¯no al II ± ordine, in tutto il
campo, si dice potenziale del campo ed μe de¯nita a meno di una
costante additiva.
Scrivendo la (3.3) in forma esplicita
@U
@U
@U
dx +
dy +
dz
@x
@y
@z
e, notando che questa identitμa deve sussistere per qualsiasi scelta
dello spostamento elementare dx; dy; dz deve essere:
@U
@U
@U
; Fy =
; Fz =
cio¶e F = rU:
(3.4)
Fx =
@x
@y
@z
In particolare: la derivata del potenziale secondo una direzione qualsiasi non μ
e altro che la componente della forza
del campo secondo quella direzione.
Dalle (3.4) si trovano le tre relazioni:
Fx dx + Fy dy + Fz dz =
@Fy
@Fz @Fz
@Fx @Fx
@Fy
=
;
=
;
=
;
(3.5)
@z
@y
@x
@z
@y
@x
cio¶e l'esistenza di un potenziale implica condizioni restrittive
per le tre funzioni Fx ; Fy ; Fz di x; y; z: in altri termini una forza
posizionale F non μ
e in generale conservativa.
La condizione (3.5) μe sotto alcune condizioni pure su±ciente
per de¯nire una forza conservativa. Piμ
u precisamente:
Teorema 3.6. Condizione necessaria a±nch¶e una forza (P; F)
sia conservativa μe che essa sia posizionale e che la (3.5) sia veri¯cata. Condizione su±ciente a±nch¶e una forza (P; F) sia
conservativa μe che essa sia posizionale e che la (3.5) sia veri¯cata
su un dominio C semplicemente connesso.
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
73
Dimostrazione. Rimane da dimostrare la parte su±ciente: supponiamo, per semplicitμa, che il punto P si muova nel piano (O; x; y)
e che sia Fz ´ 0; quindi Fx = Fx (x; y), Fy = Fy (x; y) e la (3.5) si
riduce alla condizione
@Fy
@Fx
=
@y
@x
vera per ogni (x; y) 2 C nel piano. Il dominio C, essendo semplicemente connesso e piano, allora non contiene "buchi" e, per
¯ssare le idee, assumiamo sia del tipo C = [a1 ; a2 ] £ [b1; b2 ]. Sia
(x0 ; y0) 2 C ¯ssato e sia (x; y) 2 C qualunque, de¯niamo
U(x; y) =
Z
x
x0
Fx (»; y)d» +
Z
y
y0
Fy (x0; ´)d´
(3.6)
e proviamo che
@U
@U
= Fx e
= Fy :
@x
@y
La prima veri¯ca μe immediata. Per ciμo che riguarda la seconda
veri¯ca assumendo che Fx sia su±cientemente regolare1 in modo
da potere derivare sotto il segno di integrale; cosμ³ facendo si ottiene
che
Z x
@U Z x @Fx (»; y)
@Fy (»; y)
=
d» + Fy (x0 ; y) =
d» + Fy (x0; y)
@y
@y
@x
x0
x0
= Fy (x; y) ¡ Fy (x0; y) + Fy (x0 ; y) = Fy (x; y)
completando cosμ³ la dimostrazione. Nel caso generale in cui la
forza dipenda anche dalla variabile z il ragionamento puμo essere
facilmente esteso quando C = [a1 ; a2 ] £ [b1 ; b2] £ [c1 ; c2] e dove
prendiamo
U(x; y; z) =
Z
x
x0
1
Fx (»; y; z)d» +
Z
y
y0
Fy (x0 ; ´; z)d´ +
Z
z
z0
Fz (x0 ; y0; ³)d³:
Piμ
u precisamente si assume che, vedi Teorema 9.1 a pag. 257 del Giusti, la funzione
Fx (»; y) sia integrabile rispetto a » e di classe C 1 rispetto a y, inoltre assumiamo
esistano
¯che
¯ due funzioni g0 (x) e g1 (x) integrabili tali che jFx (»; ´)j · g1 (») e
¯ @Fx (»;´) ¯ · g1 (»).
@»
Note di
Fisica Matematica I
74
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
Osserviamo che questo caso, a di®erenza del caso in cui C μe
piano, non μe il piμ
u generale poich¶e nello spazio μe possibile avere
insiemi semplicemente connessi con "buchi". Osserviamo anche
che la dimostrazione fornita μe di tipo costruttivo, ovvero viene
fornita con la (3.6) l'espressione esplicita del potenziale.
In un campo di forze conservativo di potenziale U , si dicono
super¯ci equipotenziali le super¯ci de¯nite dalla condizione
U(x; y; z) = Cost:. Se al punto di applicazione della forza si fa
subire uno spostamento elementare dP sulla super¯cie equipotenziale allora, in quanto U si mantiene costante, F¢dP = 0, quindi la
F μe ortogonale a dP . Poich¶e ciμo vale qualunque sia lo spostamento
elementare dP sulla super¯cie equipotenziale, allora in un campo
conservativo le linee di forza sono le traiettorie ortogonali
alle super¯ci equipotenziali.
Esempi di campi conservativi
μ conservativo ogni campo uniforme. Se F μe il vettore della
i. E
forza (costante di intensitμa, verso e direzione) allora (con una
opportuna scelta degli assi) F = F ^k e F ¢ dP = F dz μe un
di®erenziale esatto, integrando si ottiene U = F z + U0, dove U0
μe una costante additiva arbitraria.
ii. La forza ha direzione ¯ssa e intensitμa dipendente esclusivamente
dalla distanza del punto di applicazione da un certo
piano ¯sso, ortogonale alla direzione della forza. Scelto questo
^ quindi
piano come piano di riferimento z = 0 allora F = Á(z)k,
F ¢ dP =
Á(z)dz μe un integrale esatto, integrando si ottiene
Rz
U(z) = z0 Á(¿ )d¿ + U0 .
iii. La forza μe, in ogni punto P , diretta verso un certo punto ¯sso
O ed ha intensitμ
a dipendente esclusivamente dalla distanza ½ = OP , del punto di applicazione dal centro O (forza
centrale):
1
F = Á(½)^r; ^r = (P ¡ O):
½
Il prodotto scalare F ¢ dP si puμo esprimere come prodotto delle
componenti F e di dP secondo la stessa direzione P ¡ O:
F ¢ dP = Á(½)^r ¢ d(½^r) = Á(½)^r ¢ [d½^r + ½d^r] = Á(½)d½
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
75
poich¶e ^r ? d^r. Quindi F ¢ dP = Á(½)d½ μe un di®erenziale esatto
e integrando si ottiene:
U(½) =
Z
½
½0
Á(¿ )d¿ + U0 :
Le super¯ci equipotenziali U(½) = Cost: sono le sfere concentriche in O: ½ = Cost:.
iv. Diamo un esempio di potenziale non univalente (=polidroma,
cio¶e a piμ
u valori) in due dimensioni. Immaginiamo introdotte le
coordinate polari e sia la forza (P; F) del campo, in un generico
punto del piano P , distinto dall'origine O, cosμ³ de¯nita: F ha
direzione normale al raggio vettore P ¡ O, verso delle anomalie crescenti, intensitμa k=½ con k costante. Abbiamo escluso
l'origine. Il prodotto scalare F ¢ dP = kdμ, e quindi kμ si puμo
considerare come potenziale del campo. Si noti che U non μ
e
funzione univalente del posto; infatti, partendo da un punto
P e girando attorno all'origine con continuitμa si torna a P con
U incrementato (o decrementato) di 2¼k. Osserviamo che, in
componenti cartesiane, si ha
Fx = k
x2
y
+ y2
e Fy = ¡k
x2
x
+ y2
e che la condizione (3.5) viene veri¯cata; osserviamo perμo che ciμo
vale sul dominio R2 ¡f(0; 0)g che non μe semplicemente connesso.
3.1.7 Lavoro
Sia (P; F) una forza variabile qualsiasi, cio¶e, per considerare il caso
piμ
u generale, dipendente dal tempo, dalla posizione del suo punto
di applicazione P , e della rispettiva velocitμa P_ . Sia de¯nito per il
punto P un moto qualsiasi
P = P (t) ossia x = x(t); y = y(t); z = z(t):
(3.7)
Pertanto, durante tale moto del punto di applicazione, il vettore
F = F[P_ (t); P (t); t]
risulta de¯nita come funzione esclusivamente del tempo.
Note di
Fisica Matematica I
76
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
De¯nizione 3.7. Diremo lavoro compiuto dalla forza (P; F) corrispondente al moto (3.7) del punto di applicazione fra due istanti
generici t1 e t2 , o dalla posizione P (t1) alla posizione P (t2), la
grandezza scalare:
Z
L=
t2
t1
F ¢ vdt =
Z
t2
t1
(Fx x_ + Fy y_ + Fz z)
_ dt;
(3.8)
dove, a secondo membro, compare un integrale de¯nito ordinario.
Da ciμo segue che, nel caso piμ
u generale, il lavoro dipende
dalla traiettoria e dalla legge oraria con cui la traiettoria
viene percorsa dal punto, inoltre il lavoro dipende anche
dal tempo t.
Lavoro delle forze posizionali
In questo caso non μe necessaria la conoscenza delle equazioni del
moto del punto di applicazione del punto P , ma basta conoscere
la traiettoria. Infatti, se
P = P (s);
ossia x = x(s); y = y(s); z = z(s)
(3.9)
sono le equazioni di tale traiettoria allora la forza posizionale ha
vettore
F = F(P )
che, mentre P percorre tale traiettoria, risulta de¯nito come funzione della sola variabile s. Tenendo presente che dP = vdt segue
che il lavoro compiuto dalla forza (F; P ) lungo la curva (3.9) fra
due punti generici P1 = P (s1 ) e P2 = P (s2 ) sarμa determinato
dall'integrale curvilineo
L=
Z
t2
t1
F ¢ vdt =
Z
°P1 ;P2
F ¢ dP =
Z
dL
(3.10)
°P1 ;P2
dove dL = F ¢ dP prende il nome di lavoro in¯nitesimo e dove
abbiamo operato il cambio di variabile t ! P (t), °P1 ;P2 μe la traiettoria percorsa dal punto P nell'intervallo [t1 ; t2 ]. Osservando che
v = s_^t e dP = ds^t allora si puμo esprimere il lavoro ¯nito L come
L=
Z
s2
s1
Ft ds =
Z
s2
s1
Ã
!
dx
dy
dz
Fx
+ Fy + Fz
ds
ds
ds
ds
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
77
dove Ft μe la componente del vettore della forza riguardo alla direzione tangente alla traiettoria in P nel verso delle s crescenti.
Dalla (3.10) si puμo dedurre che se si inverte il verso del cammino
del punto di applicazione, il lavoro di una forza posizionale cambia
verso.
Nel caso di forze posizionali μe allora evidente che il lavoro non
dipende esplicitamente dal tempo t, inoltre dalla (3.10) appare
anche evidente che il lavoro non dipende dalla legge oraria ma
solo dalla traiettoria.
Lavoro delle forze conservative
Per questa classe di forze posizionali si veri¯ca la circostanza che
per il calcolo del lavoro non si richiede nemmeno la conoscenza
della traiettoria del punto di applicazione della forza, ma basta ne
siano assegnati gli estremi P1 e P2 . Infatti:
dL = F ¢ dP = dU
dove U(x; y; z) rappresenta il potenziale. Integrando la (3.10), si
ottiene per il lavoro L lungo un qualsiasi cammino del punto di
applicazione da P1 (x1 ; y1 ; z1 ) a P2 (x2; y2 ; z2 ) il valore
L = U(x2:y2; z2 ) ¡ U (x1 ; y1; z1 ):
(3.11)
Pertanto abbiamo il seguente risultato.
Teorema 3.8. Qualunque sia il cammino descritto dal punto di
applicazione di una forza conservativa entro il suo campo, il lavoro
da essa compiuto μe uguale alla di®erenza di potenziale fra
la posizione di arrivo e quella di partenza del punto di
applicazione.
In particolare:
Corollario: Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo
una curva chiusa μe nullo.
Tale proprietμa μ
e caratteristica per le forze conservative (e
da alcuni autori μe posta come de¯nizione di forza conservativa).
Cio¶e se per una forza F il lavoro compiuto per un qualsiasi
Note di
Fisica Matematica I
78
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
cammino del punto di applicazione, fra due punti generici P1 e P2 di una certa regione spaziale C, dipende esclusivamente dalle posizioni estreme P1; P2 (e non dalla
traiettoria), la F μ
e conservativa. Infatti, sia P0 , di coordinate
(x0 ; y0; z0), ¯ssato e sia P , di coordinate (x; y; z), variabile in C;
possiamo quindi de¯nire la seguente funzione scalare univalente
U(x; y; z) = U (x; y; z) ¡ U (x0 ; y0; z0 ) = LP0 ;P
dove si μe scelta la costante adittiva del potenziale tale che U si
annulli in P0 . Dato P e dato lo spostamento in¯nitesimo dP abbiamo che tale relazione diventa, a meno di in¯nitesimi di ordine
superiore,
LP0 ;P + F ¢ dP = LP0 ;P + LP;P +dP = LP0 ;P +dP
= U(x + dx; y + dy; z + dz) = U(x; y; z) + dU
dove abbiamo usato il fatto che LP;P +dP = dL = F ¢ dP . Da ciμo
risulta che deve essere
F ¢ dP = dU
e quindi la forza μe conservativa.
Se consideriamo il lavoro di una forza come una forma di energia ¯sica, ceduta o eventualmente sottratta al suo punto di applicazione, constatiamo che questa energia μ
e complessivamente
nulla per un generico ciclo; vi μ
e dunque, nel senso accennato, conservazione di energia.
3.1.8 Lavoro ed energia cinetica
De¯nizione 3.9. De¯niamo energia cinetica di un punto materiale P il semi-prodotto
1
T = mv2
2
(3.12)
dove m μe la massa e v μe il modulo della velocitμa v di P .
Il lavoro elementare compiuto dalla forza (F; P ) per uno spostamento elementare da essa impresso al punto materiale cui μ
e
applicata μe dato da
Note di
Fisica Matematica I
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica
dL = dT
79
(3.13)
dove dT denota il di®erenziale (calcolato rispetto al tempo) dell'energia
cinetica. Infatti abbiamo separatamente che
dL = F ¢ dP
e dT =
μ
¶
d 1 2
mv dt = ma ¢ vdt = ma ¢ dP
dt 2
e queste due quantitμa coincidono dovendo essere F = ma per
l'equazione fondamentale della Dinamica. Osserviamo che, stavolta, abbiamo assunto che il moto (3.7) non μe qualsiasi ma μe il
moto impresso dalla forza F al punto P . La (3.13) giusti¯ca il
seguente Teorema:
Teorema 3.10 (Teorema della forza viva). Durante il moto
determinato da una forza su di un punto materiale libero,
il lavoro elementare della forza μe, per ogni intervallo in¯nitesimo
dt, uguale (in valore e segno) all'incremento subito nel medesimo
intervallo dall'energia cinetica del punto.
In termini piμ
u precisi questo teorema a®erma che il di®erenziale
(rispetto al tempo) dell'energia cinetica durante il moto coincide
con il lavoro in¯nitesimo reale dL = F ¢ dP dove dP μe lo spostamento in¯nitesimo reale.
Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell'intervallo di
tempo da un istante ¯sso t0 ad un istante variabile t. Integrando
la (3.13) da t0 a t, otterremo:
L = T ¡ T0 ;
(3.14)
dove T0 indica la energia cinetica del punto nell'istante t0 ; cio¶e: la
variazione che, in un qualsiasi intervallo di tempo, subisce
l'energia cinetica di un punto libero sollecitato μ
e uguale
al lavoro compiuto in quell'intervallo di tempo dalla forza
totale sollecitante. In particolare T ¡ L = T0 = Cost:, cio¶e la
somma tra l'energia T , che il mobile possiede ad ogni istante sotto
forma di energia cinetica, e l'energia ¡L, che da un generico istante
t0 in poi esso μe andato cedendo all'esterno sotto forma di lavoro,
rimane costante (energia totale). Nel caso di forze conservative,
essendo l'energia ¡L uguale al potenziale U cambiato di segno (a
meno di costanti addittive), allora l'energia meccanica totale,
denotata con E, ha espressione
Note di
Fisica Matematica I
80
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
T ¡U =E
(equazione delle forza viva). La ¡U si chiama energia potenziale (usualmente denotata con V ). Si ha quindi che:
Teorema 3.11 (Principio di conservazione dell'energia meccanica). Durante il moto determinato da una forza conservativa
su di un punto materiale libero la grandezza meccanica
T +V =E
(3.15)
si mantiene costante.
Osserviamo che la (3.15) a®erma che, essendo P = P (t) la legge
del moto, allora si deve avere che
1 2
mv (t) + V [P (t)] = E; 8t ¸ t0 :
2
3.1.9 Esercizi
Esercizio 3.1.9.1: Calcolare i seguenti potenziali:
i. potenziale della forza peso di vettore ¡mg^´;
^
ii. potenziale della forza costante di vettore a^³ + b^´ + ck;
iii. potenziale di una forza centrale di vettore f (½)^r dove ^r μe un
versore diretto dal punto di applicazione ad un punto ¯sso e
dove ½ μe la distanza tra il punto di applicazione e il punto ¯sso;
iv. potenziale della forza di attrazione gravitazionale.
Esercizio 3.1.9.2: Sia data la forza posizionale (P; F = 3y^³ +
2x^´), dove P ha coordinate (x; y; z); calcolare il lavoro compiuto
da questa forza quando:
i. il punto P di applicazione della forza percorre la parabola y =
Kx2, K costante positiva, partendo dall'origine ¯no al punto
di ascissa a;
ii. il punto P di applicazione della forza percorre il segmento rettilineo di estremi l'origine ed il punto (a; Ka2);
iii. confrontando i due risultati rispondere alla domanda: la forza
data μe conservativa?
Note di
Fisica Matematica I
3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana
81
Esercizio 3.1.9.3: Sia data la forza posizionale
^
(P; F = ay^³ + ax^´ + ck)
con a e c costanti. Si domanda:
i. veri¯care che la forza data ammette la funzione U (x; y; z) =
axy + cz come potenziale;
ii. facendo uso della funzione potenziale U calcolare il lavoro della
forza quando il punto P di applicazione passa da P1(0; 0; 0) a
P2 (R; R; 0);
iii. per altra via determinare il lavoro della forza quaindo il punto
P passa da P1 a P2 lungo:
- un arco di circonferenza di centro C(R; 0; 0) e raggio R,
- un segmento rettilineo che congiunge direttamente P1 con
P2 ,
- due segmenti rettilinei, il primo che congiunge P1 con C ed
il secondo che congiunge C con P2 .
Esercizio 3.1.9.4: Dimostare che la forza
(P; F = (3x2 y ¡ y 2 )^³ + (x3 ¡ 2xy + 1)^´)
μe conservativa, calcolarne la funzione potenziale e il lavoro della
forza quando il suo punto di applicazione passa da P1 (3; ¡2; 0) a
P2 (1; 3; 0).
3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana
3.2.1 Potenziale
Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misura
su questi, in virtμ
u del III ± principio di Newton, due forze uguali
ed opposte e dirette lungo la congiungente, che si esercitano,
μ utile considerarne una
rispettivamente, sopra P e sopra Q. E
sola, per es. quella risentita dal punto P ; diremo quindi Q punto
(o massa) potenziante e P punto potenziato. L'attrazione
Newtoniana esercitata da Q, riguardata come dipendente dalla
1
posizione di P e pensando Q ¯sso, ha intensitμa che vale f mm
ed
r2
μe diretta verso Q, dove f μe la costante (positiva) di attrazione
Note di
Fisica Matematica I
82
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
universale, m; m1 sono le masse gravitazionali dei due punti e r la
loro distanza. Pertanto risulta essere una forza centrale (pensando
Q ¯sso) e quindi conservativa. Il potenziale μe, a meno di una
costante additiva,
mm1
U =f
:
r
In generale, considerando il punto P come punto potenziato,
supponiamo vi sia un numero qualsiasi di punti potenzianti Qi .
Prescindendo dalla massa m di P , chiameremo potenziale Newtoniano la funzione
X
mi
U =f
(3.16)
i jP ¡ Qi j
La U, considerata come funzione delle coordinate x; y; z del punto
P , μe ¯nita e continua per tutti i punti dello spazio, fatta
soltanto eccezione per i punti potenzianti Qi .
Un breve calcolo prova che:
e
@ r1i
@[(x ¡ xi )2 + (y ¡ yi )2 + (z ¡ zi )2 ]¡1=2
=
@x
@x
1
x ¡ xi
2(x ¡ xi )
=¡
=¡ 3 ;
2
2
2
3=2
2 [(x ¡ xi ) + (y ¡ yi ) + (z ¡ zi ) ]
ri
@ 2 r1i
1
(x ¡ xi )2
=
¡
+
3
@x2
ri3
ri5
e quindi si osserva che
¢U =
@ 2U
@ 2 U @ 2U
+
+
= 0;
@x2
@y2
@z 2
cio¶e U μe una funzione armonica.
Nel caso di masse potenzianti continue di densitμa ¹ e occupanti il volume S avremo che per ogni punto potenziato P , esterno al campo S occupato dalle potenzianti, le componenti
dell'attrazione sono ancora date dalle derivate del potenziale U ,
che ha l'espressione
Z
¹
U =f
dS:
S r
Note di
Fisica Matematica I
3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana
83
Tale potenziale, come funzione delle coordinate x; y; z di P , μe
¯nito, continuo e derivabile a piacere.
In particolare vale la regola di derivazione sotto il segno di
integrale:
Z
@1
@U
= f ¹ r dS:
@x
S @x
Derivando ulteriormente si veri¯ca che:
¢U = f
Z
S
¹¢
μ ¶
1
dS = 0:
r
Notiamo che, a di®erenza del caso di un numero ¯nito di punti
potenzianti, il caso di masse distribuite con continuitμa ammette,
per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziato P
si avvicini al campo o, addiritura, lo penetri. Consideriamo anzitutto il potenziale di una distribuzione di materia a tre
dimensioni U = U(x; y; z); se il punto P (x; y; z) va a sovrapporsi,
o tende, ad un punto Q(x; y; z) del corpo la funzione integranda
diventa in¯nita, ma poich¶e il suo ordine di in¯nito μe 1 allora essa si
mantiene integrabile e il potenziale U risulta ¯nito e continuo,
insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massa
potenziante ma anche sul contorno e all'interno. Nel caso di
una distribuzione della materia a due dimensioni allora il potenziale U (x; y; z) μe ¯nito e continuo per ogni punto potenziato P .
In¯ne Rnel caso di distribuzione lineare della materia l'integrale
U = f ` ¹r d` diventa in¯nito sulla linea potenziante `.
3.2.2 Appendice: Attrazione di una super¯cie sferica ¾ omogenea
L'attrazione complessiva di una super¯cie sferica omogenea μ
e nulla in tutti i punti P interni alla sfera. Quindi in
tutto lo spazio interno a ¾ (dove l'attrazione μe nulla) il potenziale
U (x; y; z) = f
Z
¾
¹
d¾
r
m
m
ha un valore costante, dove ¹ = j¾j
= 4¼R
e la densitμa della
2 μ
super¯cie sferica; per determinare tale valore basterμa calcolarlo
per un punto particolare, scelto a piacere, e converrμa scegliere il
Note di
Fisica Matematica I
84
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
centro della sfera in cui r = R μe costante, dove R μe il raggio della
sfera. Risulta quindi U = f m
.
R
Nel caso di un punto potenziato esterno alla sfera distante
½ > R dal centro O avremo che: U = f m½ , cio¶e una super¯ce sferica
omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosse
raccolta nel centro.
3.2.3 Appendice: Attrazione di una corona sferica omogenea di
raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ¸ 0)
Noi possiamo pensare di realizzare la corona mediante corone
sferiche comprese tra i raggi ½ e ½ + d½. Utilizzando i risultati giμa
trovati per la super¯cie sferica omogenea segue che nei punti interni alla cavitμ
a l'attrazione μ
e nulla ed il potenziale μe costante
dentro la cavitμa e vale
Z R1
m
U = 4¼f
¹sds = 2¼f¹(R21 ¡ R22 ) dove ¹ =
3
4¼(R1 ¡ R32 )=3
R2
μe la densitμa della corona sferica.
Nel caso di punto potenziato esterno alla corona, ½ > R1 ,
poich¶e ogni elemento della massa potenziante agisce sul punto
come se la relativa massa fosse tutta raccolta in O, segue che il
potenziale avrμa ancora l'espressione U = f m½ dove m sta a designare la massa totale della corona.
Consideriamo in¯ne un punto potenziato interno alla corona
potenziante R2 · ½ · R1. Il potenziale si puμo calcolare approfittando della circostanza che per ogni distribuzione di volume, il
potenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni ¯nite e continue (malgrado la singolaritμa della funzione
integrando sotto il segno di integrale per P interno alla corona).
Il potenziale si puμo riguardare come somma di due contributi, uno
dovuto alla corona interna e l'altro dovuto alla corona esterna:
Z
Ã
4¼f Z ½ 2
R21 ½2 R32
U = 4¼f
¹sds +
¹s ds = 4¼f¹
¡
¡
½ R2
2
6
3½
½
Ã
!
2
2
3
3fm
R1 ½
R
= 3
¡
¡ 2 :
3
R1 ¡ R2 2
6
3½
R1
!
Le super¯cie equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di
forza sono i relativi raggi, cosμ³ l'attrazione μe una forza centrale che
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
85
ha O per centro di forza. La componente radiale Á μe data da
8
0
>
>
<
0 · ½ · R2
3
3
dU
f m ½ ¡R2
Á=
= ¡ ½2 R13 ¡R32 R2 · ½ · R1 :
>
d½
>
: ¡fm
½ > R1
½2
dU
:
d½
(3.17)
Si noti che, anche all'interno della corona potenziante,
l'attrazione μ
e sempre diretta verso il centro.
Il caso della attrazione dovuta ad una sfera piena e omogenea
rientra nel caso appena studiato ove si ponga R2 = 0.
3.3 Geometria delle masse
Abbandoniamo per un attimo la visione particellare della Meccanica e ammettiamo che la massa di un corpo non sia necessariamente concentrata in un punto ma sia distribuita in modo continuo
su tutta una regione dello spazio.
3.3.1 Densitμ
a
I corpi ¯sicamente omogenei sono caratterizzati dalla proprietμa
che le masse delle loro parti sono proporzionali ai respettivi volumi. Indicando con S il volume di un qualsiasi corpo
omogeneo C, con m la sua massa e con ¢S e ¢m il volume e la
massa di una qualsiasi sua parte, avremo ¹ = ¢m
=m
dove questo
¢S
S
rapporto μe costante e indipendente dalla porzione ¢S scelta. Diremo questo rapporto densitμ
a del corpo omogeneo C.
Passando al limite avremo
¹=
dm
dS
(3.18)
cio¶e ¹ fornisce il rapporto tra la massa di una porzione in¯nitesima
del nostro corpo e il corrispondente volume in¯nitesimo. Scriveremo
dm = ¹dS
(3.19)
e la massa m dell'intero corpo C si potrμa rappresentare con
l'integrale
Note di
Fisica Matematica I
86
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
m=
Z
¹dS = ¹S
S
esteso a tutta la regione S di spazio occupata da C ritrovando, in
.
accordo con quanto giμa visto, ¹ = m
S
Generalizziamo tali concetti ad un corpo non omogeneo:
de¯niremo densitμ
a del corpo la funzione ¹(P ), dipendente solo
dal punto P 2 S, tale che
¢m =
Z
¹dS
(3.20)
¢S
dove ¢S μe il volume di una parte qualunque del corpo e ¢m la
sua massa. Cio¶e ammetteremo come caratteristica di un
generico corpo naturale C l'esistenza della densitμ
a locale
¹ e quindi, in particolare, integrabile nei punti P del campo S
occupato dal corpo. La funzione ¹ ha le dimensioni di una massa
su un volume: m`¡3. La massa m μe data da
m=
Z
¹dS:
(3.21)
S
Nel caso in cui la massa sia distribuita su una super¯cie ¾ o su
una curva ° allora, in analogia al caso precedente, si introduce
una densitμ
a super¯ciale (di dimensione m`¡2 ) o una densitμ
a
lineare (di dimensione m`¡1) e la (3.21) deve essere sostituita,
rispettivamente, da un integrale super¯ciale o curvilineo
m=
Z
¹d¾
o m=
¾
Z
¹ds:
°
La densitμa ¹ rappresenta, dal punto di vista matematico, una
misura; nel caso in cui questa si riduca alle misure atomiche del
tipo ± di Dirac allora ritroviamo la usuale rappresentazione particellare.
3.3.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali
De¯nizione 3.12. Diremo baricentro o centro di gravitμ
a del
sistema, costituito da un numero ¯nito N di punti Ps di massa
ms , il punto G individuato dall'equazione vettoriale
G¡O =
PN
s=1
ms (Ps ¡ O)
;
m
dove m =
N
X
ms
s=1
Note di
Fisica Matematica I
(3.22)
3.3 Geometria delle masse
87
μe la massa totale del sistema e ms sono le masse dei punti matariali
Ps costituenti il sistema; O μe un qualsiasi punto (geometrico) di
riferimento.
Osserviamo che dalla (3.22) segue immediatamente che
N
X
s=1
ms (Ps ¡ G) = 0:
La (3.22) si puμo proiettare lungo assi assegnati:
xG =
PN
ms xs
; yG =
m
s=1
PN
m s ys
; zG =
m
s=1
PN
ms z s
; (3.23)
m
s=1
dove xG ; yG ; zG designano le coordinate del baricentro e xs ; ys ; zs
quelle dei punti Ps .
Diamo alcune ovvie proprietμa:
i. Se tutti i punti Ps appartengono ad un medesimo piano o ad
una medesima retta, lo stesso avviene per il loro baricentro.
ii. De¯niamo momento statico di un punto P di massa m
rispetto ad un piano ¼, il prodotto di m per la sua distanza
dal piano (distanza con segno in base al riferimento ¯ssato).
Allora, facendo coincidere il piano ¼ con il piano z = 0, dalla
terza delle (3.23) segue che: la somma dei momenti statici
delle masse di un sistema, rispetto ad un generico piano
¼, coincide con il momento statico della massa totale,
supposta localizzata nel baricentro.
iii. Proprietμa distributiva del baricentro: siano S 0 ed S 00 due sitemi
materiali (costituiti da un numero ¯nito N 0 ed N 00 di punti).
Il baricentro del sistema S formato dai punti di S 0 e di S 00 puμo
essere calcolato come il baricentro tra due punti P 0 e P 00 posti
nei baricentri di S 0 ed S 00 e aventi masse m0 ed m00 uguali alle
masse totali dei due sistemi S 0 ed S 00 .
iv. Se tutti i punti Ps sono contenuti in un insieme convesso allora
il baricentro stesso vi appartiene.
Mentre le i., ii. e iii. sono evidenti la iv. necessita di una dimostrazione. Supponiamo per assurdo che il baricentro sia esterno. Poich¶e un dominio convesso (assumendo per semplicitμa che
il suo contorno sia regolare) si puμo ottenere come l'inviluppo di
Note di
Fisica Matematica I
88
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
tutti i suoi piani tangenti allora esiste un piano che divide il baricentro dal dominio. Il momento statico del baricentro, rispetto a
tale piano, avrμa quindi segno opposto a quello del sistema cadendo
quindi in assurdo.
Osserviamo che tale dimostrazione si basa sul fatto che il conμ possibile dare una dimostrazione
torno del dominio μe regolare. E
alternativa diretta che non necessita di ipotesi sul contorno del dominio ma che fa uso della seguente proprietμa degli insiemi convessi:
dati due punti qualsiasi apparteneneti all'insieme allora anche ogni
punto del segmento congiungente vi appartiene. Consideriamo ora
del sistema di punti S contenuti nel convesso i primi due punti e
calcoliamone il loro baricentro. Esso appartiene al segmento congiungente e quindi μe interno al convesso. Calcoliamo ora il baricentro tra un terzo punto P3 di S ed il baricentro dei primi due
punti appena trovato al quale assegnamo massa m1 + m2 . Anche
questo nuovo baricentro apparterrμa al convesso. Insomma, procedendo in N ¡ 1 passi alla ¯ne si troverμa il baricentro totale di S e
questo sarμa ancora interno al convesso.
Piani diametrali di simmetria
Si dice che un sistema S di punti materiali possiede un piano diametrale ¼, coniugato ad una assegnata direzione r (non parallela
al piano), quando ad ogni punto di S ne fa riscontro un altro, di
egual massa, situato sulla parallela ad r passante per il primo,
alla stessa distanza dal piano ¼ e dalla banda opposta. I punti,
che cosμ³ si corrispondono, si chiamano coniugati. Un piano diametrale ¼ si chiama in particolare piano di simmetria quando
la direzione coniugata r μe perpendicolare al piano.
Segue che: se un sistema possiede un piano diametrale,
o in particolare un piano di simmetria, il baricentro giace
in questo piano. Infatti, le coppie di punti coniugati hanno il
loro baricentro nel punto medio del segmento congiungente, cio¶e
sul piano diametrale. In particolare: se un sistema ammette piμ
u
piani diametrali, questi hanno necessariamente almeno un punto
in comune, cio¶e il baricentro del sistema.
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
89
Momento polare
De¯nizione 3.13. De¯niamo come momento polare di un sistema S, rispetto ad un punto O, la somma dei prodotti delle masse
ms dei punti Ps di S per i quadrati delle loro distanze da O, cio¶e
il numero:
MO =
N
X
s=1
ms jO ¡ Ps j2 :
Teorema 3.14 (Teorema del Lagrange). Si puμo caratterizzare
il baricentro di un generico sistema come quel punto dello spazio
per cui il momento polare risulta minimo.
Dimostrazione. Infatti si prova direttamente che
MO =
=
N
X
s=1
N
X
s=1
ms jO ¡ Ps j2
ms jO ¡ Gj2 +
N
X
s=1
ms jG ¡ Ps j2 + 2
N
X
s=1
ms (G ¡ Ps ) ¢ (O ¡ G)
= MG + mjO ¡ Gj2
poich¶e
PN
s=1
ms (G ¡ Ps ) = 0.
3.3.3 Baricentro di un corpo, di una super¯cie e di una linea
materiale
Nel caso di sistemi continui il baricentro di un corpo μe de¯nito
dall'espressione vettoriale
G¡O =
R
S (P
¡ O)¹dS
S ¹dS
(3.24)
R
dove S μe la regione dello spazio occupata dal corpo e ¹ ne μe la
sua densitμa. Dalla (3.24), proiettata sugli assi, si ottengono per le
coordinate xG ; yG ; zG di G, le espressioni
R
R
R
x¹dS
y¹dS
z¹dS
xG = R
; yG = RS
; zG = RS
:
S ¹dS
S ¹dS
S ¹dS
S
(3.25)
Tali formule restano valide anche per un qualsiasi super¯cie o linea
materiale, quando si intenda ¹ la densitμa super¯ciale o lineare e
Note di
Fisica Matematica I
90
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
al campo di integrazione a tre dimensioni una super¯cie o, rispettivamente, una curva.
I risultati giμa visti nel caso di un sistema discreto di punti continuano a sussistere.
Consideriamo il baricentro di alcune ¯gure elementari:
Lamina triangolare omogenea
Osservando che ciascuna mediana μe linea diametrale coniugata alla
direzione del lato che essa dimezza allora il baricentro appartiene
ad ogni mediana e quindi il baricentro μe dato dalla intersezione tra
le mediane (piμ
u precisamente si ha che, ¯ssato un lato come base,
il baricentro si trova sulla corrispondente mediana, ad un terzo
della sua lunghezza a partire dalla base).
Arco di circonferenza omogenea
Sia AB l'arco avente un angolo al vertice ® e raggio r, O il centro
della circonferenza ed M il punto medio dell'arco. La retta OM
μe manifestamente un asse di simmetria, quindi il baricentro sta su
tale retta. Per precisare la posizione di G su tale retta si procede al
seguente calcolo: introducendo un sistema di coordinate cartesiane
aventi centro O e l'asse OM quale asse (O; y) allora abbiamo che
1 Z
x G = 0 e yG =
¹yds
m AB
dove m μe la massa dell'arco e ¹ la sua densitμa data da ¹ = m=r®.
Introducendo l'angolo μ = P d
OM , dove P μe un generico punto
sull'arco, l'integrale prende la forma
1 Z ®=2
r Z ®=2
2r
yG =
r cos μrdμ =
cos μdμ =
sin(®=2):
r® ¡®=2
® ¡®=2
®
Questo risultato puμo essere anche rivisto nel seguente modo: assumendo 0 · ® · 2¼ ed essendo AB = 2r sin(®=2) la lunghezza
della corda congiungente A e B e S = r® la lunghezza dell'arco,
allora segue che
OG = r
AB
:
S
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
91
3.3.4 Momenti di inerzia
De¯nizione 3.15. Sia P un punto materiale di massa m, r una
retta generica, d la distanza di P da r. Per momento di inerzia
di P rispetto all'asse r, si intende il prodotto md2 della massa di
P per il quadrato della sua distanza dall'asse. In generale, dato
un sistema S, costituito da N punti materiali Ps di massa ms , si
chiamerμa momento di inerzia Ir del sistema rispetto all'asse
r, la somma dei momenti di inerzia dei singoli suoi punti:
Ir =
N
X
ms d2s ;
(3.26)
s=1
dove indichiamo con ms la massa del punto generico Ps del sistema
e con ds la sua distanza da r. Nel caso di masse distribuite con
continuitμa nel volume S il momento di inerzia μe dato da:
Ir =
Z
d2¹dS
S
dove d μe la distanda dall'asse del generico elemento dS di campo
intorno a un punto P e ¹ denota la densitμa.
Nel seguito discuteremo le proprietμa principali dei momenti di
inerzia supponendo di operare con una distribuzione discreta di
corpi puntiformi. I risultati ottenuti valgono anche nel caso piμ
u
generale di distribuzione continua dove, nelle dimostrazioni, basta
sostituire alle somme gli integrali.
Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli
Teorema 3.16 (Teorema di Huyghens). Il momento di inerzia
Ir di un sistema S rispetto ad un asse r μe uguale al momento di
inerzia Ir0 rispetto all'asse parallelo r0 , passante per il baricentro, aumentato del prodotto della massa totale m per il quadrato
della distanza d tra questi due assi:
Ir = Ir0 + md2 :
Segue che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quello
per cui il momento di inerzia μe minimo passa per il baricentro.
Note di
Fisica Matematica I
92
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
Dimostrazione. Scegliamo un sistema di riferimento (O; x; y; z) in
cui O coincide con il baricentro, l'asse (O; z) con l'asse r0 e l'asse r
con l'asse di equazioni y = 0 e x = d. Rispetto a questo sistema di
riferimento e assumendo che il sistema sia costituito da un numero
discreto di punti avremo che
Ir0 =
N
X
ms (x2s + ys2 ) e Ir =
s=1
N
X
ms ((xs ¡ d)2 + ys2 )
s=1
che sviluppata dμa
Ir =
=
N
X
s=1
N
X
ms (x2s + ys2 + d2 ¡ 2dxs )
ms (x2s + ys2) + d2
s=1
essendo
PN
N
X
s=1
s=1
ms ¡ 2d
N
X
s=1
ms xs = Ir0 + md2
ms xs = mxG = 0 poich¶e G = O.
Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti
Teorema 3.17. Sia data una retta r, sia (O; x; y; z) un sistema
di riferimento ortogonale destro con O appartenente alla retta r,
siano ®; ¯; ° i coseni direttori della retta r (comunque orientata)
rispetto agli assi coordinati. Si prova che il momento di inerzia
di un dato sistema S rispetto alla retta r vale:
Ir = A®2 + B¯ 2 + C° 2 ¡ 2A0®¯ ¡ 2B 0®° ¡ 2C 0 ¯°
dove si μe posto:
8
PN
2
2
>
< A = Ix = Ps=1 ms (ys + zs )
B = Iy = N
ms (x2s + zs2 )
>
Ps=1
:
N
2
2
C = Iy =
s=1
ms (ys + xs )
e
(3.27)
8
PN
0
>
< A = Ps=1 ms xs ys
B0 = N
ms xs zs(3.28)
> 0
Ps=1
:
N
C =
s=1
ms ys zs
Dimostrazione. la dimostrazione si e®ettua con un calcolo diretto
osservando che la distanza ds di un punto Ps da un asse passante
per O avente direzione individuata da un versore ^r = ®^³ + ¯^´ + ° ^k
μe data da
¯
0
1¯
¯
^³ ^´ k^ ¯¯
¯
¯
B
C¯
ds = j(Ps ¡ O) £ ^rj = ¯¯det @ xs ys zs A¯¯
¯
® ¯ ° ¯
=
q
(ys ° ¡ zs ¯)2 + (xs ° ¡ zs ®)2 + (xs ¯ ¡ ys ®)2 :
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
93
Quindi
Ir =
=
N
X
s=1
N
X
s=1
ms d2s =
N
X
s=1
h
ms (xs ¯ ¡ ys ®)2 + (xs ° ¡ zs ®)2 + (ys ° ¡ zs ¯)2
h
ms (x2s + zs2 )¯ 2 + (ys2 + zs2 )®2 + (x2s + ys2 )° 2 +
¡2xs y2 ®¯ ¡ 2x2 z2°® ¡ 2ys zs ¯°]
completando cosμ³ la dimostrazione.
La (3.27) determina il momento di inerzia, rispetto ad ogni
direzione ®; ¯; °, passante per O, in funzione delle sei costanti
A; B; C; A0 ; B 0 e C 0 , che dipendono dalla natura del sistema
ma non del particolare asse r. Si noti che la (3.27) μ
e una
funzione quadratica e omogenea nelle ®; ¯; °; in particolare
rimane inalterata quando invertiamo ®, ¯ e ° con ¡®, ¡¯ e ¡°.
I coe±cienti A; B; C hanno un signi¯cato ovvio, sono i momenti di inerzia di S rispetto agli assi coordinati. Gli altri
tre coe±cienti A0 ; B0 ; C 0 si chiamano prodotti di inerzia o anche
momenti di deviazione.
Si noti che il calcolo dei tre momenti d'inerzia si puμo e®ettuare
come:
A = s2 + s3; B = s1 + s3 ; C = s2 + s1 ;
(3.29)
dove s1; s2 ; s3 sono i momenti di inerzia del sistema S rispetto ai
piani coordinati:
s1 =
N
X
s=1
ms x2s ; s2 =
N
X
ms ys2 ; s3 =
s=1
N
X
ms zs2 :
(3.30)
s=1
3.3.5 Ellissoide d'inerzia e assi principali
Immaginiamo di portare su ciascun raggio (determinato da ®; ¯; °)
uscente da O il segmento di lunghezza (perdendone il signi¯cato
dimensionale)
q
q
q
1
OL = p ; cio¶e x = ®= Ir ; y = ¯= Ir e z = °= Ir ;
Ir
Note di
Fisica Matematica I
i
94
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
dove Ir μe la funzione quadratica di ®; ¯; ° de¯nita dalla (3.27).
Escludendo il caso particolare che tutti i punti appartengano
ad una medesima retta passante per O, il momento di inerzia
Ir = Ir (®; ¯; °) non puμo essere mai nullo. Perciμo p1Ir μe, in corrispondenza ad ogni raggio, un numero ¯nito ed il luogo E dei
punti L costituisce una super¯cie chiusa simmetrica rispetto al
punto O. Designando ora p
con x; y; z lepcoordinate p
di un generico
punto L e essendo ® = x Ir ; ¯ = y Ir ; ° = z Ir ; la (3.27)
diventa:
Ax2 + By2 + Cz 2 ¡ 2A0 yz ¡ 2B 0zx ¡ 2C 0 xy = 1;
(3.31)
che μe l'equazione di una quadrica E che, essendo chiusa, μe un ellissoide il cui centro μe O.
De¯nizione 3.18. L'ellissoide E di equazione (3.31) si chiama ellissoide d'inerzia relativo al punto O.
Noto tale ellissoide si ha subito il momento di inerzia rispetto
ad ogni retta r passante per O. Infatti, essendo L uno dei due
1
punti in cui r incontra l'ellissoide, sarμa Ir = OL
2 . Da qui risulta
che, tra tutti gli assi condotti per O, quello che dμa il piμ
u piccolo momento di inerzia μ
e l'asse maggiore dell'ellissoide,
quello che dμa il piμ
u grande momento di inerzia μ
e l'asse minore dell'ellissoide. Gli assi dell'ellissoide di inerzia si chiamano
assi principali di inerzia relativi al punto considerato e,
assumendoli, come assi coordinati, la (3.31) si riduce alla forma
particolare
Ax2 + By2 + Cz 2 = 1;
in questo caso A; B; C prendono il nome di momenti di inerzia
relativi agli assi principali o momenti principali di inerzia.
Calcolo di ellissoidi d'inerzia
Premettiamo le seguenti osservazioni che facilitano il calcolo dell'ellissoide
d'inerzia:
i. Se un sistema S ammette un piano di simmetria, ogni perpendicolare a questo piano μe asse principale di inerzia rispetto al
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
95
suo piede, cio¶e rispetto all'ellissoide di inerzia avente centro
dato dalla intersezione tra l'asse ed il piano. Infatti, sia z = 0
questo piano; quindi ad ogni punto Ps di coordinate (xs ; ys ; zs )
e massa ms corrisponde attraverso la simmetria un punto Pj di
coordinate (xj = xs ; yj = ys ; zj = ¡zs ) e massa mj = ms . Da
ciμo segue che i momenti di deviazione
0
B =
N
X
s=1
0
ms xs zs e C =
N
X
ms ys zs
s=1
sono nulli poich¶e le somme si possono organizzare come una
serie di somme di due elementi aventi stessa massa, stesse coordinate xs e ys e coordinata zs opposta. Inoltre se un sistema
possiede due piani ortogonali di simmetria, questi sono necessariamente piani principali dell'ellissoide di inerzia relativo ad
un punto qualsiasi della loro intersezione.
ii. Sia il sistema S appartenente ad un piano e sia il centro O
dell'ellissoide appartenente anch'esso al piano. Scegliamo il sistema di coordinate (O; x; y; z) con z ortogonale al piano. Il piano (O; x; y), in quanto contenente la ¯gura, μe manifestamente
un piano di simmetria materiale e quindi l'asse z μe un asse
principale d'inerzia: B0 = C 0 = 0. Inoltre vale anche la seguente
proprietμa, essendo zs = 0 per ogni punto Ps allora:
C=
X
ms (x2s + ys2 ) =
s
X
ms (x2s + zs2 ) +
s
X
s
ms (ys2 + zs2 ) = A + B:
Vediamo alcuni esempi:
Lamina rettangolare omogenea
Volendo calcolare l'equazione dell'ellissoide d'inerzia di centro O,
dove O coincide con uno dei vertici della lamina, sia (O; x; y; z)
scelto in modo che la lamina sia contenuta nel piano (O; x; y) e
che gli assi (O; x) e (O; y) siano paralleli ai lati del rettangolo in
modo che lamina sia tutta nel primo quadrante. Siano i lati di
lunghezza a e b. Essendo ¹ = m=ab si ha che:
A=
Z
lamina
¹y 2 dxdy =
mZa Zb 2
1
dx
y dy = mb2 :
ab 0
3
0
Note di
Fisica Matematica I
96
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
Analogamente segue che B = 13 ma2 e quindi C = A+B = 13 m(a2 +
b2 ). Per ciμo che riguarda il momento di deviazione abbiamo che
B0 = C 0 = 0 e che
Z b
mZa
1
¹xydxdy =
xdx
ydy = mab:
A =
ab 0
4
lamina
0
0
Z
Disco piano omogeneo
Calcoliamo l'equazione dell'ellissoide d'inerzia di centro O, dove
O coincide con il centro del disco. Sia (O; x; y; z) scelto in modo
che il disco sia contenuto nel piano (O; x; y). L'asse z μe un asse
principale d'inerzia e inoltre, poich¶e ogni asse passante per il centro
e appartenente al piano (O; x; y) μe di simmetria, segue che anche gli
assi x e y sono principali di inerzia; in¯ne si osservi che ruotando di
¼=2 il disco il sistema materiale si presenta invariato allora segue
che A = B e che quindi A = B = 12 C. Rimane dunque da calcolare
solo C, sia R il raggio del disco e ¹ = m=¼R2 , si ha che:
Z
m
C=
¹(x + y )dxdy =
¼R2
disco
2
2
Z
2¼
dμ
0
Z
R
0
1
r2 rdr = mR2 :
2
3.3.6 Matrice d'inerzia
Matrice d'inerzia
Fissata una terna (O; x; y; z) si de¯nisce la matrice d'inerzia
0
1
I11 I12 I13
B
C
I = @ I21 I22 I23 A
I31 I32 I33
dove
I11 = A; I22 = B; I33 = C
e
I12 = I21 = ¡A0 ; I13 = I31 = ¡B0 ; I23 = I32 = ¡C 0:
Quindi si ha che l'equazione dell'ellissoide di inerzia puμo essere
anche scritta come
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
0 1
97
0 1
x
x
B C
B C
(x; y; z)I @ y A = 1 o, in modo piμ
u, sintetico vT Iv = 1; v = @ y A :
z
z
Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, assegnata la base (O; x; y; z) gli elementi della matrice d'inerzia sono
Iij e cambiando il sistema di riferimento mediante una matrice ortogonale A allora la nuova matrice d'inerzia assume la forma
I 0 = AIAT :
Gli assi principali d'inerzia sono gli autospazi della matrice
d'inerzia ed i corrispondenti momenti di inerzia ne sono gli autovalori ¸1, ¸2 e ¸3 (supposti distinti). La ricerca delle terne principali
di inerzia equivale alla diagonalizzazione della matrice d'inerzia.
Nel riferimento principale la matrice d'inerzia ha infatti rappresentazione
0
1
¸1 0 0
B
C
I = @ 0 ¸2 0 A
0 0 ¸3
Determinazione di due assi principali d'inerzia noto il terzo
Scegliamo un sistema di riferimento (O; x; y; z) dove O μe il centro
dell'ellissoide e (O; z) coincide con l'asse principale d'inerzia noto.
La corrispondente matrice d'inerzia ha quindi la forma
0
1
I11 I12 0
B
C
I = @ I21 I22 0 A
0 0 ¸3
dove assumiamo I12 6= 0 (poich¶e altrimenti il problema μe giμa
risolto). E®ettuiamo una rotazione del piano (O; x; y) su sμe stesso
in modo da lasciare l'asse (O; z) invariato; la matrice ortogonale
che de¯nisce questa rotazione μe data da
0
1
cos ' sin ' 0
B
C
A = @ ¡ sin ' cos ' 0 A
0
0
1
0 Ox. Rispetto al nuovo sistema di riferidove ' denota l'angolo xd
mento la matrice d'inerzia assume la forma
Note di
Fisica Matematica I
98
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
0
1
0
0
I11
I12
0
B 0 0
C
0
T
I = AIA = @ I21 I22 0 A
0 0 ¸3
0
dove I12
= (I22 ¡ I11 ) sin 2' + 2I12 cos 2':
0
Gli assi principali d'inerzia hanno direzione tale che I12
(') = 0,
cio¶e:
i. se I11 = I22 allora deve essere cos 2' = 0, ' = §¼=2 e gli
assi principali d'inerzia coincidono con le bisettrici del piano
(O; x; y);
12
ii. se I11 6= I22 allora deve essere tan2' = 2 I11I¡I
ed i due val22
ori che soddisfano questa equazione danno i due assi principali
d'inerzia.
3.3.7 Ellissoide centrale di inerzia
De¯nizione 3.19. L'ellissoide di inerzia avente come centro il
baricentro G del sistema si dice ellissoide centrale di inerzia.
Si ha che:
Teorema 3.20. Ogni asse principale di inerzia dell'ellissoide centrale di inerzia μ
e asse principale di inerzia anche rispetto ad
ogni altro suo punto.
Infatti sia, per l'ipotesi, l'asse (G; z) principale di inerzia:
B0 =
X
s
ms xs zs = 0 e C 0 =
X
ms ys zs = 0:
s
Prendendo ora un altro punto O sull'asse (G; z), distante d dal
baricentro, come centro dell'ellissoide di inerzia (lasciando gli assi
inalterati) e calcolando i prodotti d'inerzia rispetto a questo nuovo
sistema di riferimento abbiamo che
B10 =
N
X
s=1
ms ys (zs ¡ d) =
N
X
s=1
ms ys zs ¡ d
N
X
s=1
ms ys = B0 ¡ mdyG = 0
dove sono nulli sia B 0 che la coordinata yG del baricentro in quanto
questo appartiene all'asse z. Analogamente si prova che C10 = 0.
Viceversa:
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
99
Corollario: Se una retta μe asse principale d'inerzia rispetto ad
un suo punto, e passa per il baricentro, allora μe asse principale di inerzia rispetto al baricentro (e quindi rispetto ad
ogni altro suo punto).
Si noti che, assegnati (oltre alla massa totale) gli assi e i momenti principali relativi al baricentro, allora si riesce a caratterizzare in modo completo la distribuzione dei momenti di inerzia di
un dato sistema.
3.3.8 Esercizi
Esercizio 3.3.8.1: Calcolare il baricentro del sistema costituito
da un'asta OP omogenea lunga 2` e massa 2m avente nell'estremo
P una pallina di massa m e collegata ad angolo retto in O con l'asta
OA omogenea lunga 4` e massa 5m.
Esercizio 3.3.8.2: Calcolare le coordinate del baricentro di un
arco omogeneo di raggio R e massa m corrispondente ad un angolo
al centro di ampiezza ®.
Esercizio 3.3.8.3: Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e con angolo al centro ®.
Esercizio 3.3.8.4: Calcolare il baricentro di un settore omogeneo di corona circolare corrispondente ad un angolo al centro ®
e di raggi r1 < r2.
Esercizio 3.3.8.5: Calcolare le coordinate del baricentro di un
disco omogeneo (di densitμa ¹ nota) di raggio r2 e centro O a cui
μe stato tolto un disco di raggio r1 < 12 r2 avente centro C distante
1
r da O.
2 2
Esercizio 3.3.8.6: Calcolare il baricentro di una zona di super¯cie sferica omogenea essendo noti il raggio r della sfera e le
quote z1 < z2 della zona sferica.
Esercizio 3.3.8.7: Calcolare il baricentro di una semisfera
omogenea di raggio R.
Esercizio 3.3.8.8: Calcolare il baricentro di una asta rigida AB
di lunghezza ` non omogenea e di densitμa ¹(P ) = m
(jAP j + `).
`2
Esercizio 3.3.8.9: Calcolare il baricentro di una colonna cilindrica d'aria di altezza h e raggio R sapendo che la densitμa dell'aria
Note di
Fisica Matematica I
100
3 Generalitμ
a sui sistemi e grandezze meccaniche
dipende dall'altezza z secondo la legge ¹(z) = ¹0 e¡Kz , ¹0 e K
costanti.
Esercizio 3.3.8.10: Calcolare il momento di inerzia I di un'asta
AB omogenea, di massa m e lunghezza `, rispetto a:
i. una retta r passante per il baricentro dell'asta e inclinata di un
angolo ® rispetto all'asta, determinare, in particolare, il momento per ® = ¼=2;
ii. una retta r0 passante per un estremo dell'asta e inclinata di un
angolo ® rispetto all'asta facendo uso del risultato trovato in
i) e del Teorema di Huyghens, determinare, in particolare, il
momento per ® = ¼=2.
Esercizio 3.3.8.11: sia dato il sistema di riferimento (O; x; y; z)
e sia data una lamina rettangolare ABCD, rigida, omogenea, di
massa m e con lunghezze dei lati a e b. I vertici di tale lamina
hanno coordinate A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0) e D(0; b; 0). Si
domanda:
i. determinare i momenti d'inerzia ed i momenti di deviazione
rispetto agli assi coordinati;
ii. facendo uso dell'equazione dell'ellissoide di inerzia, determinare
il momento d'inerzia Ir per la lamina rispetto alla retta r congiungente i vertici A e C;
iii. facendo uso dell'equazione dell'ellissoide di inerzia, determinare
il momento d'inerzia Ir0 per la lamina rispetto alla retta r0 bisettrice del primo quadrante;
iv. facendo uso del risultato trovato in iii. e del Teorema di Huyghens
trovare il momento d'inerzia Ir00 per la lamina rispetto alla retta
r00 passante per il baricentro della lamina e parallela alla bisettrice del primo quadrante;
v. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali
di inerzia sia calcolando gli autovalori e autovettori della matrice d'inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O; x; y)
in sμe stesso.
Esercizio 3.3.8.12: sia dato il sistema di riferimento (O; x; y; z)
e sia data una lamina triangolare ABC, rigida, omogenea, di massa
m e con lunghezze dei cateti a e b. I vertici di tale lamina hanno
coordinate A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) e C(0; b; 0). Si domanda:
Note di
Fisica Matematica I
3.3 Geometria delle masse
101
i. determinare i momenti d'inerzia ed i momenti di deviazione
rispetto agli assi coordinati;
ii. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali
di inerzia sia calcolando gli autovalori e autovettori della matrice d'inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O; x; y)
in sμe stesso.
Esercizio 3.3.8.13: Sia dato il sistema di riferimento (O; x; y; z);
calcolare i momenti d'inerzia e di deviazione rispetto agli assi coordinati di:
i. un ¯lo circolare omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O
e contenuto nel piano (O; x; y), a tal ¯ne μe su±ciente osservare
che i momenti di deviazione sono nulli, che Ix = Iy per ragioni
di simmetria, che Iz = Ix + Iy poich¶e la ¯gura μe contenuta nel
piano (O; x; y) e in¯ne che Iz = mR2 poich¶e tutti i punti del
¯lo distano R da O;
ii. un disco omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O e
contenuto nel piano (O; x; y).
Esercizio 3.3.8.14: Calcolare il momento d'inerzia di una sfera
omogenea di raggio R e massa m, rispetto ad un qualsiasi diametro
r, a tal ¯ne conviene osservare che Ix = Iy = Iz = Ir per ogni
diametro r e quindi che Ir = 23 IO dove IO μe il momento di inerzia
polare.
Note di
Fisica Matematica I
4
Statica
4.1 Attrito e statica del punto
4.1.1 Punto appoggiato su di una super¯cie
Si μe visto che a±nch¶e un punto materiale, in un certo intervallo
di tempo, si mantenga in equilibrio μe necessario e su±ciente che,
ad ogni istante, si annulli il risultante di tutte le forze agenti sul
punto; vale a dire di tutte le forze attive
F=0
se si tratta di un punto libero, delle forze attive e delle reazioni
vincolari
F+Á=0
(4.1)
se si tratta di un punto vincolato. Studiamo ora alcuni casi.
Punto su piano orizzontale
Se consideriamo un corpo puntiforme P appoggiato ad un piano
orizzontale e soggetto alla sola forza peso esso resta in quiete e,
in base alla condizione di equilibrio (4.1), che la reazione μe direttamente opposta al peso; cio¶e si esplica normalmente al piano di
appoggio. Se sottoponiamo poi il punto ad una trazione orizzontale, oltre che alla forza peso, diremo trazione limite la massima
intensitμa ¿0 di una forza orizzontale che applicata in P lo lascia in
quiete. Se p μe il peso del punto P , ¿0 la corrispondente trazione
limite, allora si osserva sperimentalmente che il rapporto ¿0=p non
Note di
Fisica Matematica I
104
4 Statica
dipende dal peso considerato o dalla forma ed estensione della
super¯cie di appoggio, ma solo dalla natura ¯sica del punto P
e del suolo. Il rapporto ¿0 =p si chiama coe±ciente di attrito
(statico) e si suole indicare con f (o fs per precisare che μe un
coe±ciente di attrito statico).
Quindi possiamo assumere valida, come da evidenza sperimentale, la seguente legge: per l'equilibrio di un punto materiale
P di peso p, appoggiato su di un suolo orizzontale e sollecitato da una trazione orizzontale di intensitμ
a ¿ , occorre
e basta che ¿ non superi la trazione limite ¿0 , ossia che,
indicando con f il coe±ciente di attrito fra le sostanze
costitutive del punto e del suolo si abbia ¿ · fp.
Punto appoggiato ad un piano qualsiasi (non necessariamente
orizzontale)
Sia il punto P appoggiato ad una parete piana e sia soggetto alla
sollecitazione di certe forze attive di cui sia F la risultante (inclusovi il peso se P μe un punto materiale pesante); indichiamo con
^ la normale interna in P alla parete, cio¶e la perpendicolare al
N
piano orientata nel verso in cui al punto μe vietato il moto dal vincolo. Segue quindi come condizione necessaria per l'equilibrio
in P la relazione
^ = FN ¸ 0:
F¢N
(4.2)
^ la componente della forza F secondo
Denotiamo con Ft = F¡FN N
il piano; indicando con f il coe±ciente di attrito del punto
P rispetto alla parete, la condizione necessaria e su±ciente per
l'equilibrio μe data, sotto l'ipotesi (4.2), dalla relazione
jFtj · fFN :
(4.3)
μ ovvio che sotto la condizione FN < 0 il vincolo, per la sua natura
E
unilaterale, non μe atto a limitare in alcun modo la libertμa del punto
(quindi si comporta come un punto materiale libero soggetto alla
forza F).
Punto appoggiato ad una super¯cie ¾ qualsiasi
Se f μe il coe±ciente di attrito di P sulla super¯cie ¾ ed FN e Ft
sono rispettivamente le intensitμa delle componenti di F secondo
Note di
Fisica Matematica I
4.1 Attrito e statica del punto
105
la normale interna e il piano tangente, le condizioni necessarie e
su±cienti per l'equilibrio sono date dalle (4.2) e (4.3). La (4.3) si
puμo scrivere come
jFtj
= tg® · f;
FN
dove ® μe l'angolo formato dal vettore F e la normale alla super¯cie.
Se indichiamo con Á l'angolo la cui tangente μe f allora la (4.3)
diventa ® · Á. Chiamando angolo di attrito questo angolo Á e
falda interna del cono di attrito il luogo delle semirette uscenti
da P che formano l'angolo Á con la normale interna, concludiamo
che per l' equilibrio di un punto materiale appoggiato ad
una super¯cie μ
e necessario e su±ciente che la forza attiva
totale non sia esterna alla falda interna del cono di attrito.
Sapendo che la condizione di equilibrio del punto deve essere
F + Á = 0 e chiamando falda esterna del cono di attrito la falda
opposta al vertice della falda interna, possiamo a®ermare che: la
reazione Á, che una super¯cie materiale ¾ esplica su di
un punto materiale P in contatto con essa, dipende dalla
sollecitazione totale attiva F di P . In condizioni statiche,
la Á μ
e sempre rivolta verso l'esterno ed μ
e non esterna alla
falda esterna del cono di attrito. La componente tangenziale
della reazione Á, in condizioni statiche, si dice attrito radente o
statico.
Super¯cie priva di attrito
Quando f = 0, si dice che l'appoggio o il contatto sono realizzati
senza attrito, o anche che la super¯cie ¾ μe priva d'attrito. Il
cono di attrito si riduce alla normale e la (4.3) si riduce alla sola
condizione
Ft = 0:
(4.4)
Si esige dunque, per l'equilibrio, che la forza attiva F sia puramente
normale; nel caso di un vincolo unilaterale di appoggio μe poi necessario, in virtμ
u della (4.2), che questa sollecitazione normale sia
rivolta verso l'interno del corpo che realizza l'appoggio o
il contatto con P .
Note di
Fisica Matematica I
106
4 Statica
Nel caso ideale di una super¯cie priva di attrito, la componente
tangenziale della reazione μe nulla o, in altre parole, la reazione si
esplica tutta secondo la normale esterna.
Osserviamo che: nelle questioni statiche, prescindendo
dall'attrito, si agisce in favore della sicurezza. Cio¶e se le
forze esterne attive rimangono equilibrate da reazioni normali allora lo sono anche da forze appartenenti alle falde dei coni d'attrito
(qualunque siano questi coni). Occorre rilevare che possono darsi
casi di equilibrio, non soltanto favoriti, ma traenti addirittura
dall'attrito la possibilitμa di sussistere.
Secondo alcuni autori (ad es. M Fabrizio), l'attrito viene considerato come una forza attiva (perμo incognita!); questa interpretazione μe giusti¯cata dall'osservazione che l'attrito interviene sul
punto come una azione in grado di modi¯carne il moto ed ha quindi
tutte le caratteristiche di una forza resistente; mentre non puμo essere interpretato come una reazione vincolare poich¶e non limita a
priori in alcun modo gli spostamenti e le velocitμa del punto.
4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una super¯cie o su una
curva.
Consideriamo un punto materiale P costretto a muoversi su una
data super¯cie ¾ (vincolo bilaterale), realizzato immaginando che
il punto sia costretto a muoversi su due super¯ci uguali vicinissime
l'una all'altra. Ragionando come nel caso di un punto appoggiato
ad una super¯cie chiamiamo cono di attrito l'insieme delle due
falde di cono relative ai due vincoli unilaterali costituenti il vincolo
bilaterale. Avremo che:
Teorema 4.1. Condizione necessaria e su±ciente a±nch¶e un punto
materiale, vincolato a muoversi su di una super¯cie, resti in equilibrio sotto la sollecitazione di una forza μe che questa non sia esterna al cono di attrito.
In particolare, se la super¯cie μ
e priva di attrito, sarμa necessario e su±ciente che la forza sia diretta secondo la normale
alla super¯cie. La reazione Á, in condizioni statiche, risulta univocamente determinata, come direttamente opposta alla forza
sollecitante. Estendendo poi questo ragionamento ad una curva °
abbiamo il seguente risultato.
Note di
Fisica Matematica I
4.2 Equazioni cardinali della statica
107
Teorema 4.2. Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibrio
di un punto materiale P costretto a restare sopra una curva ° μe
che il valore assoluto della componente tangenziale Ft della forza
attiva non superi una certa frazione f del valore assoluto FN della
componente normale:
q
jFt j · fFN = f jFn j2 + jFb j2 :
Cio¶e che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo che
ha la tangente per asse. Il caso di un vincolo privo di attrito
implica Ft = 0, cio¶e una sollecitazione puramente normale alla
curva.
4.2 Equazioni cardinali della statica
4.2.1 Commento sui sistemi di forze
Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema meccanico come costituito da un numero ¯nito di punti discreti di
massa ¯nita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventuali forze attive e vincolari.
Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresentate appunto da vettori Fs applicati nei punti Ps , o di massa,
_ t) dove r 2 S e
rappresentate da una forza speci¯ca f m = f m (r; r;
dove S μe la porzione di spazio occupata dal sistema meccanico (ad
esempio la forza peso). I vettori caratteristici (vettore risultante
e momento risultante) saranno de¯niti come
R=
N
X
Fs +
s=1
Z
S
½(s)f m ds
e
−(O) =
N
X
s=1
Fs £ (O ¡ Ps ) +
Z
S
½(s)f m £ (O ¡ P (s)) ds:
Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito del mutuo contatto di due o piμ
u solidi ed hanno la loro origine ¯sica
nelle forze di interazione tra le molecole dei solidi in prossimitμa
Note di
Fisica Matematica I
108
4 Statica
delle super¯ci di contatto. Ricordando che queste mutue interazioni hanno un raggio di azione molto breve allora si puμo concludere che queste si possono riguardare come forze di super¯cie; supporremo che anche per queste sia possibile de¯nire una
forza per unitμa di super¯cie f s = f s (r; r;
_ t), continua rispetto ai
suoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profondamente in°uenzate, per la loro stessa natura, dalle deformazioni che
subiscono i corpi nelle regioni adiacenti alle super¯ci di contatto.
L'ipotesi di rigiditμa, non considerando queste deformazioni, rende
impossibile la determinazione della funzione f s che risulterμa quindi
incognita (al contrario delle forze attive per le queli sono note le
leggi di forza). Talvolta accade che il contatto tra due solidi, ad
esempio, avvenga su super¯ci ¾ di estensione su±cientemente piccola in modo da potere confondere queste super¯ci con un solo
loro punto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, μe necessario
aggiungere alla reazione che si desta in questo punto una coppia di
momento incognito). In questo caso avremo un sistema di reazioni
vincolari di vettori Ás applicate nei punti Or , r = 1; : : : ; N 0 , ed i
vettori caratteristici saranno dati da
0
©e =
N
X
r=1
Ár +
Z
@S
f s d¾
e
0
ª(O) =
N
X
r=1
Ár £ (O ¡ Or ) +
Z
@S
f s £ (O ¡ Ps )d¾
dove gli integrali si intendono estesi alla super¯cie del corpo.
Osserviamo che la impossibilitμa di assegnare le leggi di forza
non rende "a priori" arbitrari i vettori Ás e il campo vettoriale f s ,
as esempio μe sperimentalmente noto che una super¯cie perfettamente levigata puμo esplicare soltanto le reazioni vincolari ad essa
normali. Se i contatti non sono lisci e cio¶e sono scabri, le condizioni precedenti vanno sostituite con altre piμ
u complesse, diverse
a seconda che il sistema meccanico sia in quiete o in moto.
Premesso ciμo nel seguito assumeremo che il sistema di forze,
sia attive che vincolari, sia costituito da forze applicate su singoli
punti del sistema materiale.
Note di
Fisica Matematica I
4.2 Equazioni cardinali della statica
109
4.2.2 Sistemi equivalenti di forze
Un sistema di forze μe rappresentato come un insieme di vettori
applicati (Ps ; Fs ), s = 1; : : : ; N. In analogia con quanto giμa
visto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratterP
istici del sistema di forze: il vettore risultante: R = N
s=1 Fs
ed il momento
risultante rispetto ad un dato polo O:
P
−(O) = N
F
£
(O ¡ Ps ). Valgono i seguenti risultati, di fatto
s=1 s
giμa dimostrati per sistemi di vettori applicati:
i. Due sistemi di forze sono tra loro equivalenti se, rispetto ad
un dato polo, hanno uguali vettori caratteristici e sarμa inoltre
possibile provare che due sistemi di forze sono riducibili l'uno
all'altro, mediante operazioni elementari di composizione, decomposizione e scorrimento, se, e solo se, essi sono equivalenti
tra loro.
ii. Un sistema di forze μe equivalente ad un sistema costituito da
una forza e da una coppia, in generale; in alcuni casi particolari
esso puμo essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forza
e al sistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente ad
una sola forza questa prende il nome di forza risultante.
iii. Introducendo l'invariante I = R ¢ −(O) si ha che:
- se I 6= 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed una
forza;
- se I = 0 e R 6= 0 allora il sistema equivale ad una sola forza;
- se I = 0, R = 0 e −(O) 6= 0 allora il sistema equivale ad
una sola coppia;
- se I = 0, R = −(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema
nullo.
iv. Nel caso di sistemi di forze parallele (Ps ; Fs ) in cui Fs = Fs ^a
allora
si prova che l'invariante I μe sempre nullo; quindi se
Pn
di forze parallele equivale ad una
s=1 Fs 6= 0 allora il sistemaP
sola forza di vettore R = ( ns=1 Fs ) a^. Tale forza puμo essere
applicata su un punto C, detto centro delle forze parallele,
che risulta essere indipendente dalla direzione ^a delle forze e
che ha equazione
C¡O =
Pn
s=1
Fs (Ps ¡ O)
:
s=1 Fs
Pn
Note di
Fisica Matematica I
110
4 Statica
v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forze
peso allora Fs = ps = ms g ed il centro delle forze parallele ha
equazione
C¡O =
Pn
s=1
ms (Ps ¡ O)
s=1 ms
Pn
cio¶e coincide con il baricentro.
4.2.3 Condizioni necessarie per l'equilibrio di un sistema
meccanico
Forze interne ed esterne
Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo insieme di punti materiali soggetto alle sollecitazioni di un sistema
di forze, fra le quali annoveremo anche le reazioni che rappresentano le azioni di eventuali vincoli che limitano la libera mobilitμa
dei singoli punti materiali di S. Fissato in S un punto materiale
Ps distingueremo le forze applicate in Ps in due categorie:
i. Forze esercitate su Ps dagli altri punti dello stesso sistema S;
queste si dicono forze interne, attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs;i e Ás;i .
ii. Forze di altra origine, esterne al sistema; queste si dicono forze
esterne, attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs;e
e Ás;e .
Le forze interne, considerate nel loro insieme, sono a due a
due, direttamente opposte (III ± principio della Dinamica) e dirette lungo la congiungente, quindi in ogni sistema materiale
sollecitato le forze interne sono, per la loro stessa natura,
tali che i vettori applicati, che le rappresentano, costituiscono un sistema equivalente ad zero o equilibrato; cio¶e
aventi nulli il risultante
Ri + ©i = 0 dove Ri =
N
X
Fs;i e ©i =
s=1
N
X
Ás;i
s=1
ed il momento risultante (rispetto ad ogni centro di riduzione):
−i (O) + ªi (O) = 0
Note di
Fisica Matematica I
4.2 Equazioni cardinali della statica
111
dove
−i (O) =
N
X
s=1
Fs;i £ (O ¡ Ps ) e ªi (O) =
N
X
s=1
Ás;i £ (O ¡ Ps ):
Si noti che questa osservazione μe applicabile ad ogni sistema
S 0 ottenuto isolando idealmente ogni parte di S dove ora le forze
dovute ai punti di S esterni ad S 0 vanno riguardate come forze
esterne.
Equazioni cardinali dell'equilibrio: condizione necessaria
Teorema 4.3 (Equazioni cardinali dell'equilibrio). Se un
qualsiasi sistema materiale sollecitato μe in equilibrio, il sistema
di vettori applicati che rappresentano le forze esterne, agenti sul
sistema, μe equivalente a zero. Se, rispetto ad un qualsiasi centro
di riduzione O, sono Re , ©e e −e (O), ªe (O) il vettore risultante
e il momento risultante delle forze esterne attive e vincolari, la
condizione di equilibrio comporta le seguenti equazioni vettoriali:
(
Re + © e
=0
−e (O) + ªe (O) = 0
(4.5)
dette equazioni cardinali della statica.
Dimostrazione. Poich¶e tutti i punti sono supposti in equilibrio
allora per ogni punto Ps deve essere
0 = Fs;i + Fs;e + Ás;i + Ás;e ; s = 1; 2; : : : ; N;
(4.6)
dove Fs;i rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le
forze attive interne applicate a Ps , Fs;e rappresenta il vettore della
forza risultante di tutte le forze attive esterne applicate a Ps , Ás;i
rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni
vincolari interne applicate a Ps e Ás;e rappresenta il vettore della
forza risultante di tutte le reazioni vincolari esterne applicate a Ps .
Sommando le (4.6) rispetto ad s e ricordando che le forze interne
(sia vincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente al
sistema nullo allora si ottiene la prima delle (4.5). Moltiplicando
(vettorialmente) le (4.6) per O ¡ Ps e poi sommando rispetto ad s
e ricordando che le forze interne (sia vincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la
seconda delle (4.5) completando cosμ³ la dimostrazione.
Note di
Fisica Matematica I
112
4 Statica
Le equazioni (4.5), condizioni necessarie per l' equilibrio, non
sono, in generale, condizioni su±cienti come ci si puμo rendere
conto pensando al caso di due punti liberi soggetti alla mutua
attrazione gravitazionale.
Vediamo due esempi:
i. Consideriamo una catena pesante, in equilibrio ed appesa per
gli estremi a due ganci A e B. Le forze esterne sono le reazioni
(A; ÁA ) e (B; ÁB ) applicate nei due ganci e i pesi sui singoli
anelli che possono essere sostituiti con il peso totale (G; p) della
catena applicato sulla verticale del baricentro G. La condizione
necessaria per l'equilibrio (4.5) implica che i tre vettori ÁA , ÁB
e p costituiscano un sistema equilibrato, cio¶e che siano complanari e che le linee di azione delle reazioni vincolari si incontrino
sulla verticale passante per il baricentro.
ii. Consideriamo un sistema pesante S appoggiato ad un suolo
orizzontale in piμ
u punti. Le reazioni vincolari nei punti di appoggio, comunque disposti, devono esercitare una forza di intensitμa ¡p per sostenere il sistema pesante S.
4.2.4 Postulato caratteristico dei solidi e su±cienza delle equazioni
cardinali della statica
Le equazioni cardinali (4.5) che, per un sistema materiale qualsiasi, risultano soltanto necessarie per l'equilibrio, diventano anche
su±cienti nel caso dei solidi. Dove diremo solido ogni sistema
materiale che, di fronte a qualsiasi sollecitazione ed in qualsiasi
condizione di moto, si comporti come assolutamente rigido; cio¶e
le mutue distanze tra i punti rimangono inalterate.
Enunciamo il seguente principio di evidenza sperimentale:
Postulato caratteristico dei solidi. L'equilibrio di un solido
non si altera, quando a due suoi punti, quali si vogliano, si applicano due forze direttamente opposte (cio¶e di vettori ¡F e F
dirette lungo la congiungente).
Da tale principio, dai risultati su sistemi di forze equivalenti
giμa visti e ricordando che l'equilibrio di un solido S non risulta
turbato se a due o piμ
u forze, applicate ad un medesimo punto
del sistema, si sostituisce la rispettiva risultante o, viceversa, se
una forza agente su di un punto di S si decompone comunque in
una o piμ
u forze, applicate a quel medesimo punto, allora possiamo
Note di
Fisica Matematica I
4.2 Equazioni cardinali della statica
113
a®ermare che: l'equilibrio di un solido non si altera quando
al sistema delle forze (attive e vincolari) e®ettivamente
agenti su di esso si sostituisca un qualsiasi altro sistema
di forze, equivalente al primitivo; cio¶
e avente il medesimo vettore risultante ed il medesimo momento risultante
rispetto ad ogni punto. In particolare se le (4.5) sono soddisfatte allora possiamo sostituire alle forze e®ettivamente agenti sul
solido un sistema di forze nulle. Da quanto enunciato segue che:
nel caso dei solidi le condizioni cardinali dell'equilibrio
(4.5) non sono soltanto necessarie ma anche su±cienti.
Cosμ³ possiamo a®ermare che:
Teorema 4.4 (Equazioni cardinali della statica). Condizione
necessaria e su±ciente a±nch¶e un corpo rigido sia in quiete μe
che esista esista un sistema di reazioni vincolari, compatibile con
la natura dei vincoli, tale che le equazioni
(
Re + © e
=0
−e (O) + ªe (O) = 0
(4.7)
risultano soddisfatte. Queste equazioni prendono il nome di equazioni
cardinali della statica. Re ed −e (O) sono il vettore risultante
ed il momento risultante rispetto ad un polo qualunque della forze
attive esterne; ©e ed ªe (O) sono il vettore risultante ed il momento risultante della reazioni vincolari esterne.
Osserviamo che le (4.7) (cosμ³ come nelle (4.5)) le incognite sono,
oltre ai parametri lagrangiani, anche le reazioni vincolari.
Esempio: solido con un punto ¯sso O
Se al solido S sono applicate certe date forze di vettore risultante
Re , per avere tutte le forze esterne agenti su S dobbiamo aggiungere alle forze attive le reazioni vincolari applicate nel punto ¯sso
O e di vettore risultante ©e . Denotando con −e (O) il momento
risultante rispetto ad O delle sole forze attive abbiamo come
condizioni necessarie e su±cienti per l'equilibrio del solido le due
equazioni:
Re + ©e = 0;
−e (O) = 0:
Note di
Fisica Matematica I
(4.8)
114
4 Statica
La equazione Re + ©e = 0 non costituisce alcuna restrizione per le
forze attive, ma serve a individuare la reazione ©e del punto
¯sso O. Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibrio
μe la −e (O) = 0, ossia l'annullarsi del momento risultante di tutte
le forze direttamente applicate rispetto al punto tenuto ¯sso. Osserviamo che un corpo rigido con punto ¯sso μe un sistema a tre
gradi di libertμa e possiamo assumere gli angoli di Eulero quali
parametri lagrangiani. L'equazione −e (O) = 0 μe un'equazione
vettoriale che equivale a tre equazioni scalari nelle tre incognite
rappresentate dai parametri lagrangiani.
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
4.3.1 Principio dei lavori virtuali
Il principio dei lavori virtuali, nella sua forma piμ
u generale, applicabile tanto ai problemi statici quanto a quelli dinamici, si puμo
enunciare nei seguenti termini:
Principio dei lavori virtuali. Le reazioni (Ps ; Ás ), s =
1; : : : ; N, provenienti da legami privi
di attrito sono tali che
P
il lavoro virtuale complessivo ±½ = N
s=1 Ás ¢ ±Ps da esse e®ettuato
μ
e nullo per ogni spostamento virtuale reversibile, positivo
o nullo per ogni spostamento virtuale irreversibile.
Trascurando i sistemi a legami unilaterali il principio dei lavori
virtuali richiede che si annulli il lavoro virtuale delle reazioni per
ogni spostamento virtuale conciliabile con i legami. Il principio
dei lavori virtuali si legittima per induzione facendo vedere che
esso risulta veri¯cato in tanti casi particolari:
i. Nel caso di un punto costretto a restare sopra una super¯cie o sopra una curva (priva d'attrito). Consideriamo,
ad esempio, il caso di una punto P vincolato a muoversi su
una super¯cie liscia e ¯ssata; in questo caso ogni spostamento virtuale ±P sarμa tangente alla super¯cie in P , d'altra
parte la reazione vincolare, essendo la super¯cie liscia, ha direzione necessariamente normale alla super¯cie stessa e quindi
±½ = Á ¢ ±P = 0:
Note di
Fisica Matematica I
(4.9)
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
115
ii. Nel caso di un vincolo unilaterale, ad es. un punto che puμo
oltrepassare una certa super¯cie, pur non essendo impedito di
staccarsene dalla banda opposta. In questo caso la (4.9) prende
la forma ±½ = Á ¢ ±P = 0 per spostamenti invertibili del punto
e ±½ ¸ 0 per spostamenti virtuali di distacco.
iii. Nel caso dei sistemi rigidi basta osservare che le reazioni vincolari (quelle di rigiditμa) sono forze interne e quindi a due a due
uguali e direttamente opposte. Il lavoro complessivo si puμo
perciμo considerare come somma dei lavori e®ettuati da ciascuna
di queste coppie, e risulterμa dimostrato l'asserto se si proverμa
nullo il lavoro corrispondente ad una coppia generica. Piμ
u in
dettaglio consideriamo un sistema meccanico costituito da due
corpi puntiformi collegati da una asta di lunghezza ¯ssa
` e massa trascurabile. Le reazioni vincolari applicate nei
due punti saranno rappresentate da due vettori Á1 e Á2 uguali
(di intensitμa) e opposti e diretti lungo la congiungente (in virtμ
u
della terza legge di Newton) per cui possiamo scrivere
±½ = Á1 ¢ ±P1 + Á2 ¢ ±P2 = Á1 ¢ ±(P1 ¡ P2 ):
Ponendo P2 ¡ P1 = `^r, Á1 = Á1^r e ricordando che ^r ? ±^r segue
in¯ne che
±½ = Á1`^r ¢ ±^r = 0:
iv. Se un solido μe ulteriormente vincolato, presentando un punto
¯sso, o una retta ¯ssa o appoggi (privi di attrito) su altri corpi,
si riconosce subito che il lavoro virtuale delle reazioni provenienti da questi vincoli μe nullo nei primi due casi, positivo o nullo
nel terzo. Ad esempio, se due corpi rigidi sono connessi
da una cerniera in un punto A allora, trascurando la massa
e le dimensioni della cerniera, si puμo asserire che le reazioni
che un corpo esercita sull'altro sono entrambre applicate in A e
sono uguali ed opposte e quindi il lavoro complessivo sarμa nullo.
Consideriamo ora il caso se due corpi rigidi hanno le loro
super¯ci in contatto idealmente liscie, anche in questo
caso le due reazioni sono uguali ed opposte e dirette normalmente al piano tangente comune alle due super¯ci nel punto di
contatto. I possibili spostamenti virtuali (che lasciano le super¯ci ancora in contatto) sono tali per cui lo spostamento virtuale
Note di
Fisica Matematica I
116
4 Statica
relativo del punto di contatto deve avvenire sul piano tangente
e quindi avremo ancora ±½ = 0. Nel caso poi di appoggio allora
le reazioni vincolari sono dirette da un corpo verso l'altro (oltre
che normali al comune piano tangente) e quindi avremo ±½ ¸ 0
per spostamenti virtuali di distacco e ±½ = 0 per gli altri.
4.3.2 Condizione generale d'equilibrio. Relazione simbolica della
Statica
Nel proseguio faremo l'ipotesi di vincoli privi di attrito. Ciμo
premesso, consideriamo un generico sistema di punti materiali
Ps ; s = 1; : : : ; N, soggetti a vincoli privi di attrito, e cerchiamone le condizioni di equilibrio, vale a dire le condizioni necessarie e su±cienti, a±nch¶e le forze Fs , direttamente applicate
ai singoli punti Ps , siano atte a mantenerli in quiete. In base al
principio dei lavori virtuali, nella sua accezione piμ
u generale, si conclude che per l'equilibrio del sistema μ
e necessario e su±ciente
che le forze attive rendano soddisfatta, per tutti gli spostamenti
virtuali, la relazione
±L =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps = ¡±½ · 0;
essendo ±½ ¸ 0:
(4.10)
Piμ
u precisamente:
Teorema 4.5 (Teorema dei lavori virtuali). Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibrio di un sistema materiale a
vincoli privi di attrito (e indipendenti dal tempo) μe che le forze
attive compiano un lavoro virtuale totale negativo o nullo per ogni
spostamento virtuale a partire dalla con¯gurazione di equilibrio.
Dimostrazione. Per dimostrare la parte necessaria supponiamo il
sistema in equilibrio; quindi ogni punto μe in equilibrio e pertanto
deve essere
Fs + Ás = 0; s = 1; 2; : : : ; N:
Moltiplicando scalarmente ambo i membri per ±Ps , sommando
rispetto a s e facendo uso del principio dei lavori virtuali segue
±L · 0. La dimostrazione della parte su±ciente viene data in
seguito attraverso le equazioni di Lagrange.
Note di
Fisica Matematica I
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
117
Come si vede, una tale conclusione μe indipendente dalle modalitμa
di realizzazione dei vincoli, in quanto la condizione in essa enunciata fa intervenire gli spostamenti virtuali, che rispecchiano l'e®etto
geometrico e cinematico dei vincoli, ma non i particolari dispositivi
che li attuano.
La (4.10) prende il nome di relazione simbolica della Statica. Se il sistema non ammette spostamenti virtuali irreversibili,
il che accade se non vi sono vincoli unilaterali, essa si riduce alla
±L = 0
(4.11)
e si chiama equazione simbolica della statica.
Dalla (4.10) possiamo dedurre due corollari:
i. Se ad un sistema § di forze attive, atte a mantenere in equilibrio un dato punto materiale S, si aggiunge una seconda sollecitazione § 0 , pure atta a mantenere S in equilibrio, la sollecitazione risultante § + § 0 veri¯ca anch'essa la condizione di
equilibrio.
ii. Se un sistema materiale S 0 di®erisce da un sistema S per
l'aggiunta di alcuni legami, e se una certa sollecitazione §
mantiene S in equilibrio, a maggior ragione manterrμa in equilibrio S 0 .
Quando poi tutti i vincoli sono bilaterali (o piμ
u generalmente,
quando non si tratta di una con¯gurazione di con¯ne) si rileva
dalla (4.11): se un sistema di forze attive applicate ad un sistema
materiale μe in equilibrio, lo μe pure il sistema costituito dalle stesse
forze prese in verso opposto.
Esempio: solido ¯ssato in un suo punto
Se O μe il punto ¯ssato allora basta scegliere in questo punto il
polo, perch¶e il piμ
u generale spostamento virtuale del punto Ps sia
dato da
±Ps = ! 0 £ (Ps ¡ O);
s = 1; 2; : : : N;
e conseguentemente si abbia
±L = ! 0 ¢ −e (O):
Note di
Fisica Matematica I
118
4 Statica
Poich¶e il vettore in¯nitesimo ! 0 μe completamente arbitrario e
poich¶e i vincoli di rigiditμa non consentono spostamenti virtuali irreversibili, segue che l'annullamento di questo ±L equivale
appunto alla condizione −e (O) = 0, giμa riconosciuta necessaria e
su±ciente per l'equilibrio.
Non sarμa inutile fare notare che, mentre le forze cui si riferisce
il lavoro virtuale ±L nella condizione simbolica della Statica sono
tutte e sole le forze attive, nelle equazioni cardinali della Statica si applicano prima le equazioni cardinali alle forze esterne e
poi si cerca di eliminare tutto ciμo che proviene dalle reazioni vincolari, in modo che le condizioni ¯nali si riferiscano solo a forze,
che sono ad un tempo attive (cio¶e non prevenienti da legami) e
di origini esterna.
4.3.3 Statica dei sistemi pesanti. Teorema di Torricelli.
Consideriamo un sistema materiale S, comunque costituito, in cui
le forze attive si riducano ai pesi dei singoli elementi. Sia l'asse
z verticale e diretto verso l'alto e sia ms la massa di un generico elemento Ps , la forza di vettore Fs applicata in Ps avrμa per
componenti (0; 0; ¡ms g). In un generico spostamento virtuale del
sistema siano ±xs ; ±ys ; ±zs le componenti dello spostamento ±Ps
subito da Ps . Il lavoro virtuale delle forze attive si riduce a
±L =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps = ¡g
dove
N
X
s=1
ms ±zs = ¡mg±zG
PN
ms z s
m
μe la quota del baricentro e m la massa totale del sistema. La
condizione di equilibrio ±L · 0 assume di conseguenza l'aspetto
±zG ¸ 0, valendo l'eguglianza per gli spostamenti reversibili. Da
quanto sopra detto: condizione necessaria e su±ciente per
l'equilibrio di un sistema pesante μe che il suo baricentro non sia
suscettibile di innalzamento per e®etto di alcun spostamento
virtuale in¯nitesimo del sistema. Ad esempio, nel caso di legami
tutti reversibili, la condizione diventa ±zG = 0, cio¶e l'equilibrio puμo
sussistere senza che l'altezza del baricentro sia minima, in particolare quando essa μe massima.
zG =
s=1
Note di
Fisica Matematica I
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
119
4.3.4 Statica dei sinstemi olonomi: condizioni di equilibrio in
coordinate lagrangiane
Si consideri un sistema a n gradi di libertμa olonomo a vincoli
lisci e bilaterali costituito da N punti Ps ; s = 1; : : : ; N. Riferendolo ad un generico sistema di coordinate lagrangiane (indipendenti) qh ; h = 1; : : : ; n, segue che:
Ps = Ps (q1 ; q2; : : : ; qn ; t);
s = 1; : : : ; N;
(4.12)
e ogni spostamento virtuale assume la forma
±Ps =
n
X
@Ps
h=1
@qh
±qh
(4.13)
(dove le ±qh sono arbitrarie e indipendenti) e risulta reversibile.
Allora le condizioni necessarie e su±cienti perch¶e il sistema, sotto
una data sollecitazione (Ps ; Fs ); s = 1; 2; : : : ; N; sia in equilibrio
saranno fornite dall'equazione simbolica della Statica
±L =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps = 0;
(4.14)
dove, tenendo conto delle (4.13), assume la forma:
n
X
Qh ±qh = 0 ponendo Qh =
N
X
s=1
h=1
Fs ¢
@Ps
; h = 1; : : : ; n:(4.15)
@qh
Dalla (4.15), dovendo sussistere per ogni possibile scelta delle
arbitrarie ±qh , ne segue che in condizioni statiche devono valere
simultaneamente le n equazioni
Q1 = 0; Q2 = 0; : : : ; Qn = 0;
(4.16)
e viceversa. Le quantitμa scalari Q1 , Q2 ; : : : ; Qn si usano chiamare
le componenti della sollecitazione del dato sistema secondo
le coordinate lagrangiane qh o anche forze generalizzate di
Lagrange.
Se si tiene conto delle (4.12) e delle espressioni che ne conseguono per le velocitμa dei vari punti Ps :
vs = vPs =
n
X
@Ps
h=1
@qh
q_h +
@Ps
;
@t
s = 1; 2; : : : ; N;
Note di
Fisica Matematica I
120
4 Statica
si riconosce che la sollecitazione μe nota quando ciascuno dei vettori
Fs μe dato in funzione delle qh , delle q_h ed, eventualmente, del
tempo; di consegueneza, in generale,
Qk = Qk (q1 ; : : : ; qn ; q_1 ; : : : ; q_n ; t); k = 1; 2; : : : ; n:
Ai ¯ni dello studio del problema dell'equilibrio sarμa naturale porre
q_h = 0 e richiedere, inoltre, che le forze non dipendano dal tempo
in modo che le Q1 ; Q2 ; : : : ; Qn dipendano solamenta dalle qh .
Quindi, possiamo riassumere quanto detto nel seguente risultato.
Teorema 4.6. Le condizioni necessarie e su±cienti per l'equilibrio
del sistema olonomo a vincoli lisci e bilaterali considerato sono
date dalle n equazioni (4.16).
Le condizioni di equilibrio (4.16) forniscono n equazioni fra
le n coordinate lagrangiane qh , le quali caratterizzano le con¯gurazioni di equilibrio del sistema, analogamente a quanto accade
nel caso di un punto libero sollecitato da una forza posizionale, per
le equazioni che si ottengono eguagliando a zero le tre componenti
cartesiane della forza attiva.
Se le forze (Ps ; Fs ), s = 1; : : : ; N, sono tutte conservative
allora esistono N funzioni
Us = Us (Ps ) = Us (qh )
poich¶e Ps = Ps (qh ) (assumiamo, in Statica, di operare con vincoli
P
indipendenti dal tempo). Se poniamo U = U (qh ) = N
s=1 Us (qh )
allora la funzione U , determinata a meno di una costante addittiva
arbitraria, si dice, come nel caso di una unica forza conservativa,
potenziale della sollecitazione ed μe tale che
N
N
N
X
@U
@Us X
@Ps X
@Ps
=
=
rUs ¢
=
Fs ¢
= Qh :
@qh s=1 @qh
@qh
@qh
s=1
s=1
Quindi, si conclude
Q1 =
@U
@U
; : : : ; Qn =
@q1
@qn
o equivalentemente
Note di
Fisica Matematica I
(4.17)
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
N
X
121
Qh ±qh = ±U:
h=1
Possiamo estendere la de¯nizione di forze conservative (intese
come "campi di forza") a sistemi di forze nei quali si tengono
conto anche dei legami posti dai vincoli; questi
ultimi si diranno
P
conservativi se la forma di®erenziale lineare nh=1 Qh ±qh μe esatta,
cio¶e si puμo esprimere come il di®erenziale (virtuale) di una funzione
data U detta potenziale.
Tutte le volte che le componenti lagrangiane Qh ammettono
un potenziale, si desume dalle condizioni di equilibrio (4.16) e
dalle identitμa (4.17) che ad ogni punto di stazionarietμ
a del
potenziale corrisponde per il sistema olonomo una con¯gurazione di equilibrio. Se poi si estende, come vedremo nel
seguito, all'equilibrio dei sistemi olonomi il criterio qualitativo
di stabilitμ
a si riconosce che anche per questi sistemi sono con¯gurazioni di equilibrio stabile quelle cui corrisponde per
potenziale un valore massimo (relativo).
4.3.5 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e
calcolo delle reazioni
Per metterci nelle condizioni di maggior generalitμa, consideriamo
un sistema S di N punti Ps soggetti solamente (per ¯ssare le idee)
a vincoli bilaterali, di posizione e di mobilitμa. Gli spostamenti
virtuali ±Ps del sistema, riferiti ad una terna di assi (O; x; y; z),
sono caratterizzati da certe r equazioni, corrispondenti ai vincoli
(sia olonomi che anolonomi) bilaterali della forma:
Bk =
N
X
s=1
aks ¢ ±Ps = 0;
k = 1; 2; : : : ; r;
(4.18)
cui devono soddisfare le 3N variazioni ±xs , ±ys e ±zs e dove gli
aks denotano rN vettori determinati (puramente posizionali) di
componenti axks ; ayks ; azks .
Assumeremo r · 3N e che le equazioni Bk = 0 siano tra loro
indipendenti.
Per l'equilibrio del sistema S, sollecitato dalle forze Fs applicate
nei generici punti Ps , sarμa necessario e su±ciente che, per tutti gli
Note di
Fisica Matematica I
122
4 Statica
spostamenti virtuali, a partire dalla con¯gurazione di equilibrio,
soddisfacenti alle (4.18) le Fs soddisfano alla condizione
±L =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps = 0:
(4.19)
Assegnamo per le Fs delle espressioni che dipendono linearmente
dalle aks :
Fs = ¡
r
X
¸k aks
(4.20)
k=1
e veri¯chiamo poi, dalle (4.18) e (4.19), a che condizioni devono
sottostare le costanti ¸k . Il lavoro complessivo ±L di queste forze
Fs , per un qualsiasi spostamento ±Ps , si puμo esprimere come:
±L = ¡
r
X
¸k Bk ;
k=1
quindi si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema
S, caratterizzati dalle (4.18), le Fs de¯nite dalle (4.20) soddisfano
veramente alla condizione di equilibrio (4.19), comunque si siano
scelte le ¸k . I coe±cienti arbitrari ¸k si chiamano moltiplicatori
di Lagrange.
Si dimostra che:
Teorema 4.7. Si ha che:
i. Nelle espressioni (4.20) i moltiplicatori ¸k sono essenziali, nel
senso che al variare di essi varia anche la corrispondente sollecitazione equilibrante.
ii. Le (4.20) forniscono la piμ
u generale sollecitazione atta a mantenere in equilibrio il sistema S per una opportuna scelta dei
moltiplicatori ¸k .
Dimostrazione. La proprietμa i. segue immediatamente dal fatto
che si sono supposte le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro (ed
in numero complessivo minore o uguale a 3N) Dimostriamo la
proprietμa ii.. Le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro ammettono ` = 3N ¡ r soluzioni linearmente indipendenti in modo che i
possibili spostamenti virtuali soddisfacenti a queste hanno forma
del tipo
Note di
Fisica Matematica I
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
±Ps =
X̀
123
ºj ¿ sj ; s = 1; : : : ; N;
j=1
dove i vettori ¿ sj sono tra loro linearmente indipendenti e i coe±cienti ºj sono completamente arbitrari. La piμ
u generale sollecitazione che lascia in quiete il sistema dovrμa quindi essere tale
che
0 = ±L =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps =
X̀
j=1
ºj
"
N
X
s=1
Fs ¢ ¿ sj
#
e quindi, per la arbitrarietμa dei coe±cienti ºj , sarμa tale che
N
X
s=1
Fs ¢ ¿ sj = 0; j = 1; : : : ; `:
Le sollecitazioni che soddisfano a questo sistema sono del tipo
(4.20). Infatti l'insieme di soluzioni del sistema Bk = 0 μe uno
spazio vettoriale V di dimensione ` = 3N ¡ r avente i vettori
¿j = (¿ 1j ; : : : ; ¿ N
j ) come base. Inoltre i vettori di tale spazio sono
ortogonali tanto ai vettori ak = (ak1 ; : : : ; akN ) e (che formano una
base di uno spazio di dimensione r) quanto ai vettori costruiti dalle
forze attive (F1; : : : ; FN ) che soddisfano alla condizione ±L = 0;
quindi il vettore (F1 ; : : : ; FN ) deve appartenere allo spazio vettoriale generato dalla base costituita dai vettori ak = (ak1; : : : ; akN ).
La dimostrazione μe cosμ³ completata.
Questa conclusione ci pone in grado di riconoscere se una sollecitazione data a priori sia equilibrante o no per il nostro sistema:
basta veri¯care se essa rientri nelle (4.20) per una opportuna scelta
dei moltiplicatori ¸k . Dalle osservazioni precedenti si consegue
che, in tal caso, questi moltiplicatori risultano determinati univocamente. Le (4.20) forniscono in ultima analisi la risoluzione
parametrica della relazione (4.19) subordinatamente alle (4.18);
tenendo conto dell'osservazione fatta che esse costituiscono le
condizioni di equilibrio di S sotto forma parametrica.
4.3.6 Esempi
Punto P vincolato a muoversi su di una super¯cie priva di attrito
Sia f(x; y; z; t) = 0 l'equazione della super¯cie. Gli spostamenti
virtuali sono caratterizzati dall'unica condizione
Note di
Fisica Matematica I
124
4 Statica
@f
@f
@f
±x +
±y +
±z = 0:
@x
@y
@z
Quindi si tratta di una sola equazione del tipo B e, quindi, avremo
un solo vettore a, de¯nito dalle componenti @f
; @f ; @f . Perciμo la
@x @y @z
condizione parametrica dell'equilibrio, se F μe la forza attiva totale,
sarμa espressa sotto forma vettoriale
F = ¡¸a; ¸ 2 R:
Punto P vincolato a restare su di una curva priva di attrito
La curva ha equazione
f1 (x; y; z; t) = 0; f2(x; y; z; t) = 0
avremo due equazioni del tipo B e, quindi, due vettori a e due
moltiplicatori ¸. Le condizioni di equilibrio saranno date da
Fx = ¡¸1
@f1
@f2
@f1
@f2
@f1
@f2
¡ ¸2
; Fy = ¡¸1
¡ ¸2
; Fz = ¡¸1
¡ ¸2
:
@x
@x
@y
@y
@z
@z
4.3.7 Calcolo delle reazioni
Riferiamoci esclusivamente al caso in cui per ogni sollecitazione
atta a mantenere in quiete il sistema, i moltiplicatori ¸k risultano
univocamente individuati. Sappiamo che in questa ipotesi la rappresentazione parametrica delle forze attive (4.20) μe equivalente alla
relazione simbolica della Statica. Introducendo le reazioni complessive phis = ¡Fs provenienti sui singoli punti Ps dall'insieme
degli r vincoli e tenendo conto della (4.20), otteniamo per le
reazioni le espressioni generali
phis =
r
X
¸k aks
(4.21)
k=1
che mettono in luce, per ogni singola reazione, una decomposizione
nella somma di r componenti. Fissando l'attenzione, ad esempio,
sul vincolo bilaterale B1 = 0 notiamo che le condizioni parametriche d'equilibrio (4.20) del nostro sistema si possono anche scrivere
Note di
Fisica Matematica I
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
Fs + ¸1 a1s = ¡
r
X
¸k aks :
125
(4.22)
k=2
Le equazioni (4.22) si possono interpretare come le condizioni
parametriche dell'equilibrio di un sistema sistema S1, soggetto a
tutti i vincoli di S, tolto B1 = 0, e sollecitato, anzich¶e dalle Fs ,
dalle forze attive Fs + ¸a1s . In tal modo le N forze addizionali
¸1 a1s , si presentano come l'equivalente, in condizioni statiche,
dell'azione esercitata sui singoli punti Ps dal vincolo soppresso
B1 = 0 e forniscono, perciμo, le reazioni provenienti da questo vincolo, astrazione fatta dai rimanenti.
Avendo riconosciuto ai vettori ¸k aks il carattere di reazioni esercitate sul generico punto Ps dai singoli legami, Bk = 0 rispettivamente, possiamo dare una interpretazione signi¯cativa della forma
parametrica (4.20) delle condizioni di equilibrio. Scritte sotto la
forma
Fs = ¡
r
X
¸k aks
(4.23)
k=1
esse ci dicono che per l'equilibrio di un sistema comunque
vincolato (a vincoli privi di attrito) μ
e necessario e suf¯ciente che le forze direttamente applicate si possano,
punto per punto, equilibrare con reazioni, quali i vincoli
sono atti ad o®rire.
Calcolo e®ettivo delle reazioni provenienti dai singoli vincoli
Poich¶e i vettori aks sono supposti noti, il calcolo delle reazioni
¸k aks , che nei vari punti Ps provengono da un determinato vincolo
(Bk = 0) si riduce alla determinazione del corrispondente moltiplicatore ¸k . Consideriamo ora il sistema S1 che si ottiene dal
dato sopprimendo il vincolo B1 = 0 e annoverando tra le forze
attive, oltre le Fs , le reazioni ¸1 a1;s provenienti del vincolo soppresso. Per un tale sistema gli spostamenti virtuali reversibili (a
partire da una con¯gurazione di equilibrio) sono de¯niti dalle
Bk = 0; k = 2; 3; : : : ; r
quindi il piμ
u generale spostamento ±Ps μe uno spostamento virtuale
reversibile di S con la condizione di non essere compatibile con il
vincolo soppresso.
Note di
Fisica Matematica I
126
4 Statica
Ora, applicando al sistema S1 l'equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un tale spostamento ±Ps e sotto la sollecitazione attiva Fs + ¸1a1s , otteniamo l'equazione
N
X
s=1
(Fs + ¸1 a1s ) ¢ ±Ps = 0;
considerando spostamenti virtuali ±Ps a partire dalle con¯gurazioni di equilibrio (supposte giμa determinate in precedenza) non
compatibili con il vincolo soppresso (cio¶e tali che B1 6= 0), si perviene alla determinazione di ¸1.
Abbiamo quindi provato che: per determinare, in date condizioni di sollecitazione, le reazioni provenienti da un dato
vincolo si aggiunge alla sollecitazione attiva le corrispondenti reazioni e si applica l'equazione simbolica della Statica per un qualsiasi spostamento virtuale del nuovo sistema che sia incompatibile con il vincolo soppresso.
4.4 Nozione statica di stabilitμ
a dell'equilibrio
4.4.1 Stabilitμ
a per un punto
μ intuitivo ritenere stabile uno stato di equilibrio per un punto
E
se, quando lo si perturbi (spostando il punto, o il sistema, dalla
posizione di equilibrio verso un'altra vicina, pur essa compatibile
con i vincoli) le forze tendono a riportare il punto (o il sistema) alla sua posizione di equilibrio. In termini del lavoro
compiuto da tali forze nasce la seguente de¯nizione precisa di stabilitμ
a dell' equilibrio (in senso statico) per un punto:
De¯nizione 4.8. Considerato un qualunque spostamento, compatibile con i vincoli, che faccia passare il punto dalla posizione di
equilibrio P0 ad un'altra posizione P , sia LP0 P il lavoro totale effettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento.
Se esiste un intorno della posizione di equilibrio P0 tale che
il lavoro LP0 P , per qualsiasi spostamento in tale intorno
compatibile con i vincoli, risulta negativo, l'equilibrio si
dice stabile. Se, in ogni intorno della con¯gurazione di equilibrio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0 P > 0 l'equilibrio
Note di
Fisica Matematica I
4.4 Nozione statica di stabilitμ
a dell'equilibrio
127
si dice instabile; mentre se μe sempre LP0 P = 0 l'equilibrio si dice
indi®erente.
Queste de¯nizioni, si noti, presuppongono la conoscenza di ogni
forza F non solo in corrispondenza alla data posizione di equilibrio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli.
Per forze posizionali ciμo μe implicito; in caso diverso bisognerμa renderse conto preventivamente a norma delle speciali circostanze di
μ il caso, ad esempio, delle reazioni vincolari quando abfatto. E
biamo vincoli non lisci; in questo caso si osserva comunque che la
componente normale alla traiettoria della reazione vincolare non
compie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovuta
all'attrito radente, favorisce l'equilibrio. In questi casi si ha che
le con¯gurazioni di equilibrio trovate stabili in assenza di attrito
rimangono stabili quando teniamo conto anche dell'e®etto degli
attriti (non μe in generale vero il viceversa).
4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo
Sia U(x; y; z) il potenziale delle forze attive, P0 una posizione di
equilibrio ed P un'altra posizione qualsiasi vicino ad P0 . La condizione di stabilitμa si traduce nella seguente:
LP0 P = UP ¡ UP0 < 0;
(4.24)
per ogni P appartenete ad un certo intorno di P0 (e non coincidente con P0). Ciμo equivale a dire che il potenziale U deve
ammettere un massimo relativo nella posizione P0. Reciprocamente: se U ha in P0 un massimo relativo allora a questa
posizione corrisponde uno stato di equilibrio stabile. Anzitutto
si ha equilibrio poich¶e la forza attiva F = rU si annulla in P0 .
L'equilibrio μe poi stabile in virtμ
u della (4.24).
4.4.3 Stabilitμ
a per un sistema meccanico
μ immediato estendere la de¯nizione ed il criterio di stabilitμa ad un
E
sistema meccanico a n gradi di libertμa e avente una con¯gurazione
di equilibrio corrispondente a C 0 = (q10 ; : : : ; qn0 ). La con¯gurazione
di equilibrio C 0 si dice stabile se esiste un intorno U(C 0 ) tale
che per ogni spostamento ¯nito in U da C 0 ad un qualunque
Note di
Fisica Matematica I
128
4 Statica
C 2 U ¡ fC0 g il lavoro delle forze attive durante tale spostamento
risulti negativo:
LC 0 C =
N Z
X
Ps (C)
0
s=1 Ps (C )
dLs < 0:
Diversamente la con¯gurazione si dice instabile.
Se le forze attive derivano da un potenziale U (q1 ; : : : ; qn ) allora
segue che condizione necessaria e su±ciente a±nch¶e C 0 sia
stabile μe che C 0 sia un massimo relativo per U .
Esempio: solido pesante con un punto ¯sso O
Notiamo che le forze interne e le reazioni in O non compiono alcun
lavoro in uno spostamento che mantenga O ¯sso. Ciμo μe evidente
per le reazioni vincolari, in quanto applicate in O; quanto alle forze
interne, esse equivalgono a zero e, come dimostreremo, questa
equivalenza a zero di un sistema di forze basta nel caso
dei solidi perch¶
e sia nullo il lavoro da esse compiuto. Qui
ammettiamolo ed osserviamo che, se per il nostro solido ¯ssato
in O, le forze attive si riducono al peso, dovrμa la sua linea di
azione passare per O in corrispondenza ad una con¯gurazione di
equilibrio, cio¶e nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovrμa
trovarsi sulla verticale del punto ¯sso O. Distinguiamo tre casi:
i. G coincide con O; in questo caso, per ogni spostameno del solido
compatibile con i vincoli, anche il baricentro G rimane ¯sso, e
quindi il peso fa lavoro nullo. Si tratta, di conseguenza, di un
equilibrio indi®erente.
ii. G sta sotto O; in questo caso, comunque si muova il corpo, il
baricentro G si eleva (escludiamo il caso di rotazioni attorno
all'asse OG). Ne consegue che, a partire dalla con¯gurazione
di equilibrio ¯no ad una generica posizione, il peso del corpo fa
un lavoro negativo. L'equilibrio μe dunque stabile.
iii. G sta sopra O; in modo analogo al caso ii. si prova che
l'equilibrio μe instabile.
Note di
Fisica Matematica I
4.5 Statica relativa
129
4.5 Statica relativa
4.5.1 Nozione di equilibrio relativo
Consideriamo un sistema di riferimento (O 0; x0 ; y0 ; z0 ), animati da
un moto comunque assegnato rispetto ad un osservatore (O; x; y; z),
e proponiamoci di trovare le condizioni cui debbono sottostare le
forze direttamente applicate ad un sistema materiale, a±nch¶e esso,
malgrado la sollecitazione, rimanga in quiete rispetto alla terna
μ questo che si chiama equilibrio relativo, at(O 0 ; x0 ; y0 ; z 0). E
tribuendo, in caso di ambiguitμa, la quali¯ca di equilibrio assoluto
a quello di cui ci siamo occupati ¯nora.
Equilibrio relativo per un punto libero
Nel caso di un unico punto materiale la condizione di equilibrio relativo sarμa data da vr ´ 0 e, di conseguenza, ar ´ 0 e
ac ´ 0, dove vr denota la velocitμa relativa e ar e ac , rispettivamente, l'accelerazione relativa e l'accelerazione di Coriolis. Sia F
la risultante di tutte le forze che sollecitano P misurate rispetto
all'osservatore (O; x; y; z), dal teorema del Coriolis e dalla legge
fondamentale del moto (assoluto), avremo che se il punto P μe in
equilibrio relativo allora deve essere:
F ¡ ma¿ = 0:
(4.25)
μ questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare la
E
forza F, quando il punto si trova in equilibrio relativo. Ma essa μe
pur su±ciente; cio¶e se la (4.25) μe veri¯cata per un dato P0 , e se il
punto P μe all'istante t = t0 in quiete in P0 rispetto all'osservatore
relativo allora l'equilibrio sussiste. Infatti, la forza F0 misurata
dall'osservatore (O0 ; x0; y 0; z 0 ) μe data da
F1 = F ¡ ma¿ (P ) ¡ mac (P ):
In virtμ
u della (4.25) la funzione P = P (t) ´ P0 μe tale da annullare
identicamente la F0 e quindi μe una soluzione della equazione differenziale mar = F0 che soddisfa alle condizioni iniziali. Segue
che la (4.25) μ
e dunque condizione necessaria e su±ciente
perch¶
e il punto P sia in equilibrio relativo rispetto alla
terna (O0 ; x0; y 0; z 0 ).
Note di
Fisica Matematica I
130
4 Statica
La (4.25) puμo interpretarsi come la condizione di equilibrio assoluto per un punto materiale sollecitato, oltre che dalla forza F
(e®ettivamente applicata) anche da una forza addizionale F¿ =
¡ma¿ . Questa forza ¯ttizia si suole chiamare forza di trascinamento. Da ciμo: tutte le questioni di equilibrio relativo del
punto si discutono come se si trattasse di equilibrio assoluto, avendo perμ
o cura di annoverare tra le forze esterne
direttamente applicate anche la forza di trascinamento.
Equilibrio relativo per un sistema meccanico qualunque
La regola di Statica relativa, sopra stabilita nel caso del punto, si
estende a sistemi materiali di natura qualsiasi e risulta senz'altro
applicabile a tutti quei casi (solidi liberi, vincolati, ecc.) per i quali
giμa si conoscono le condizioni di equilibrio assoluto. Per giusti¯care questa asserzione basta, se si tratta di vincoli privi di attrito, invocare il principio dei lavori virtuali, cio¶e la relazione
±½ =
X
s
Ás ¢ ±Ps ¸ 0
e notare che, nel caso dell'equilibrio relativo ogni reazione Ás μe
precisamente uguale a
Ás = ¡ [ forza attiva + forza di trascinamento ] :
Si arriva quindi allo stesso enunciato della condizione necessaria e
su±ciente per l'equilibrio assoluto con la sola avvertenza che, nel
caso dell'equilibrio relativo, vanno annoverate fra le forze attive
anche quelle di trascinamento.
4.5.2 Casi particolari notevoli
Traslazioni
Gli assi di riferimento (O0 ; x0; y 0; z 0 ) sono animati da un moto
traslatorio. Denotando con aO0 l'accelerazione dell'origine O 0
del sistema (O0 ; x0 ; y0 ; z 0) avremo cosμ³ la forza di trascinamento
F¿ = ¡maO0 . In particolare: una traslazione uniforme (aO0 =
0) non ha alcuna in°uenza sulle condizioni statiche: esse
sono identiche a quelle valide per l'equilibrio assoluto.
Note di
Fisica Matematica I
4.5 Statica relativa
131
Rotazioni uniformi
Gli assi di riferimento sono animati da un moto rotatorio uniforme. Essendo ! la velocitμa angolare (costante) e Q la proiezione
sull'asse di rotazione del generico punto P che si considera, sappiamo che:
a¿ = ! 2 (Q ¡ P );
da ciμo F¿ = m! 2(P ¡ Q):
(4.26)
A questa forza di trascinamento si dμa il nome di forza centrifuga.
Si prova che:
Teorema 4.9. La forza centrifuga ha carattere di forza conservativa; il suo potenziale unitario vale 12 m! 2 jP Qj2.
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che il vettore F¿
ha componenti date da
F¿;x0 = m! 2 x0 ; F¿;y 0 = m! 2 y 0; F¿;z 0 = 0
dove abbiamo scelto, per comoditμa, un sistema di riferimento
(O 0 ; x0 ; y0 ; z 0) con (O 0; z 0 ) coincidente con l'asse di rotazione e dove
m denota la massa del punto P . Quindi, per ispezione diretta,
segue che F¿ = rU dove
1
1
U = m! 2 jP Qj2 = m! 2 [(x0 )2 + (y0 )2]:
2
2
Inoltre si trova che:
Teorema 4.10. La forza centrifuga per un corpo rigido ha potenziale dato da 12 Ir ! 2 dove Ir μe il momento di inerzia rispetto all'asse
di rotazione.
Dimostrazione. Se consideriamo il corpo rigido costituito da un
sistema di punti Ps di massa ms allora sia Us = 12 ms ! 2 rs2 il potenziale della forza centrifuga sul punto Ps distante rs dall'asse di
rotazione. Quindi
U=
N
X
s=1
Us =
N
1 X
1
ms ! 2 rs2 = ! 2
ms rs2 = Ir ! 2 :
2 s=1
2
s=1 2
N
X
1
Note di
Fisica Matematica I
132
4 Statica
4.5.3 Peso e attrazione terrestre
De¯nizione 4.11. De¯niamo peso di un punto pesante P in
prossimitμa della super¯cie della terra la forza che occorre vincere
per impedirne la caduta; cio¶e per mantenerlo in equilibrio relativo
rispetto alla terra.
Per l'enorme distanza, le attrazioni dei vari corpi celesti risultano trascurabili in confronto all'attrazione terrestre G. Cosμ³
quest'ultima μe sensibilmente la sola forza agente su P . Sarebbe
quindi necessario e su±ciente bilanciare G per mantenerlo in
equilibrio assoluto. Se si vuole invece studiare l'equilibrio relativo rispetto ad assi solidali con il nostro globo, si sarμa condotti
ad associare a G la forza di trascinamento F¿ , proveniente dal
moto di questi assi (rispetto alle stelle ¯sse). In ultima analisi la
concezione Newtoniana porta ad identi¯care il peso (forza
da vincere per l'equilibrio relativo del generico P ) con la somma
G + F¿ della attrazione terrestre e della forza di trascinamento.
Speci¯cazione di F¿
Il movimento della Terra si intenderμa composto di una rotazione
uniforme intorno all'asse polare (rotazione diurna) e di una
traslazione di insieme, per cui (conformemente alle leggi di Keplero) la Terra descrive, in un anno, un'ellisse attorno al sole, come
fuoco. La forza di trascinamento F¿ risulterμa di conseguenza dalla
somma di due addendi: l'uno F¿;1 dovuto alla rotazione, l'altro
F¿;2 dovuto alla traslazione. Se si pensa che in quest'ultimo
movimento si richiede un intero anno a compiere un giro e che
quindi (per intervalli di tempo piccoli di fronte al periodo) il moto
puμo sensibilmente considerarsi come rettilineo uniforme, si μe tratti
a trascurare senz'altro F¿;2 . Non solo, la forza F¿;2 μe dovuta al
moto della terna attorno al sole, moto che μe dovuto alla forza di
attrazione del sole; di fatto la F¿;2 si elide con la forza di attrazione
del sole. Quando si tiene conto di F¿ ¼ F¿;1 si ha la equazione
vettoriale
g = G + F¿;1
Note di
Fisica Matematica I
(4.27)
4.5 Statica relativa
133
la quale spiega, a prima vista, il fatto qualitativo che l'accelerazione
di gravitμa g va aumentando dall'equatore verso i poli. Il vettore
G μe diretto dal punto P verso il centro della terra ed ha intensitμa
G = f mM
(dove R μe il raggio terrestre, M la massa della terra ed
R2
m la massa del punto); il vettore F¿;1 μe normale e uscente dall'asse
di rotazione ed ha intensitμa ! 2 R cos ¸ dove ¸ indica la latitudine
2¼
.
di P e dove ! = 24¢3600
Note di
Fisica Matematica I
5
Cenni di meccanica dei continui deformabili
Esamineremo ora alcune nozioni generali, nello schema classico,
della meccanica dei continui; ossia di quei sistemi ¯sici costituiti
da una in¯nitμa continua di punti materiali privi del vincolo di
rigiditμa, e perciμo detti corpi deformabili, occupanti una certa
posizione dello spazio euclideo tridimensionale che puμo essere, a
seconda dei casi, un volume V , una super¯cie ¾ o un arco di curva
°. Rientrano in questo schema i ¯li, le membrane, i °uidi e, in
particolare, i liquidi, i corpi elastici, plastici, etc..
Per mezzo continuo si intende un qualsiasi corpo considerato come una estensione continua di materia prescindendo
dalla struttura atomica o molecolare.
Come primo caso studiamo un caso particolare: i ¯li. Nel seguito studiamo il problema in generale.
5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li
5.1.1 Fili °essibili ed inestendibili. De¯nizione e postulato
carattersitico
De¯nizione. Diremo ¯lo °essibile ed inestendibile ogni sistema
materiale ad una dimensione tale che:
a) sia possibile, esercitando convenienti forze, disporre il ¯lo secondo una linea geometrica qualsiasi;
b) presi comunque sul ¯lo due punti, l'arco fra essi compreso conserva, in ogni possibile con¯gurazione, la medesima lunghezza.
Note di
Fisica Matematica I
136
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Assumeremo, per la statica dei ¯li, valido il seguente postulato
di immediata evidenza sperimentale:
Postulato caratteristico dei ¯li: Condizione necessaria e
su±ciente per l'equilibrio di un tratto AB di ¯lo °essibile e inestendibile, sollecitato esclusivamente da due forze di vettore FA e
FB applicate agli estremi, μe che il tratto di ¯lo sia rettilineo e le
due forze siano direttamente opposte e dirette verso l'esterno di
AB.
Dal postulato segue subito che: ¯ssato un punto P qualsiasi sul
¯lo tra A e B e pensando, idealmente, di eliminare il tratto P B
considerando il solo tratto AP allora questo tratto AP rimarrμa
ancora in equilibrio e sarμa soggetto, oltre che alla forza in A, ad
una forza incognita ¿ in P dovuta al tratto di ¯lo che abbiamo
idealmente eliminato. Applicando il postulato al tratto di ¯lo AP
segue che FA e ¿ sono direttamente opposte, cio¶e ¿ μe uguale a
FB . Segue che la forza di vettore ¿ μ
e sempre diretta verso
l'esterno del tratto di ¯lo AP che viene idealmente isolato
ed μ
e la stessa per tutti i punti del ¯lo. Questa forza prende
il nome di tensione, ha natura di forza interna (vincolare) ed ¶e
dovuta alla presenza del tratto P B che pensiamo idealmente di
eliminare. Si osservi che lungo il tratto rettilineo del ¯lo in equilibrio si ha trasmissione perfetta in grandezza e direzione
della tensione.
5.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione inde¯nite dell'equilibrio
dei ¯li.
Consideriamo un ¯lo AB che sia sollecitato, oltre agli estremi, anche in un numero ¯nito di punti Pi dalle forze Fi , i = 1; 2; : : : ; n¡1
(poniamo A = P0 e B = Pn ). Sui punti Pi saranno poi applicate
le tensioni ¿ i (dovuta al tratto di ¯lo Pi Pi+1 in equilibrio) e ¡¿ i¡1
(dovuta al tratto di ¯lo Pi¡1 Pi in equilibrio); la condizione di equilibrio del ¯lo impone che ogni punto Pi sia in equilibrio, quindi
dovrμa essere
Fi ¡ ¿ i¡1 + ¿ i = 0; i = 1; 2; : : : ; n ¡ 1;
e
FA + ¿ 0 = 0 FB ¡ ¿ n¡1 = 0:
Note di
Fisica Matematica I
(5.1)
5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li
137
Queste rappresentano quindi le condizioni necessarie e su±cienti per l'equilibrio di un tratto di ¯lo °essibile ed inestendibile sollecitato in un numero ¯nito di punti.
Consideriamo ora il caso in cui il ¯lo sia soggetto ad una sollecitazione distribuita su tutto il ¯lo. A tal ¯ne introduciamo una
funzione F(s), che prende il nome di forza unitaria e dove s μe la
ascissa curvilinea sul ¯lo, tale che Fds rappresente il vettore (in¯nitesimo) della forza applicata al tratto di ¯lo di lunghezza ds. La
equazione cardinale della statica implica la condizione necessaria
per l'equilibrio del ¯lo:
FA + FB +
Z
`
F(s)ds = 0
0
dove ` μe la lunghezza del ¯lo. In analogia al caso precedente andiamo ad introdurre la tensione ¿ (s) del ¯lo dovuta al tratto di
¯lo che, idealmente, andiamo ad eliminare nel punto P = P (s),
s 2 [0; `], denota l'ascissa curvilinea. Consideriamo il tratto di
¯lo AP (s) che, essendo in equilibrio, dovrμa soddisfare alla analoga
equazione
FA + ¿ (s) +
Z
s
F(»)d» = 0;
(5.2)
0
la stessa equazione dovrμa essere soddisfatta anche per il tratto di
¯lo AP (s + ¢s) e, sottraendo membro a membro le due equazioni,
si ottiene che deve essere
¿ (s + ¢s) ¡ ¿ (s) +
Z
s+¢s
F(»)d» = 0:
s
Dividendo per ¢s e passando al limite ¢s ! 0 si ottiene la
equazione inde¯nita dell'equilibrio dei ¯li
F(s) +
d¿ (s)
=0
ds
(5.3)
che deve essere soddisfatta in ogni punto P = P (S) interno
all'arco AB. Negli estremi dovrμa essere
FA + ¿ (0) = 0; FB ¡ ¿ (`) = 0:
Queste due equazioni danno, nel loro complesso, le condizioni
necessarie e su±cienti per l'equilibrio dei ¯li (a rigore, in
Note di
Fisica Matematica I
138
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
questo modo ne viene provata la sola condizione necessaria, per
provare la condizione su±ciente con analogo ragionamento occorre
invocare il postulato per la statica dei mezzi continui).
Osserviamo che noi abbiamo dedotto la equazione inde¯nita
dei ¯li tramite le condizioni (necessarie) per l'equilibrio dei sistemi. Un altro modo per ottenerle (dimostrando anche la condizione su±ciente) consiste nell'approssimare la curva attraverso
una poligonale e ottenere la (5.3) attraverso un passagio al limite
delle (5.1); in questo modo segue che le (5.3) sono su±cienti per
l'equilibrio e non solo necessarie. Pi¶
u precisamente la (5.1) prende
la forma
F(s)¢s ¡ ¿ (s) + ¿ (s + ¢s) = 0
dove ¿ (s) ¶e la tensione dovuta al tratto di ¯lo P (s)B e dove ¢s
¶e un incremento della ascissa curvilinea. Dividendo ambo i membri per ¢s e passando al limite si ottiene la equazione inde¯nita
dell'equilibrio dei ¯li.
Dimostriamo che la tensione ¿ (s) μ
e tangente al ¯lo. A tal
¯ne consideriamo la equazione dei momenti per il tratto di ¯lo
AP (s) che prende la forma
FA £ (O ¡ A) + ¿ (s) £ (O ¡ P (s)) +
Z
s
0
F(») £ (O ¡ P (»))d» = 0;
derivando questa rispetto ad s si ottiene
¿ (s)
dP (s)
£ (O ¡ P (s)) ¡ ¿ (s) £
+ F(s) £ (O ¡ P (s)) = 0
ds
ds
che si riduce alla
¿ (s) £
dP (s)
=0
ds
in virtμ
u della (5.3). Quindi, essendo dP
= ^t segue che ¿ (s) =
ds
¿(s)^t(s).
L'equazione vettoriale (5.3) puμo essere scissa nelle componenti
scalari; le componenti della tensione, in virtμ
u della osservazione
dy
dz
precedente, valgono ¿ dx
;
¿
e
¿
.
Quindi,
con
ovvio signi¯cato
ds
ds
ds
delle notazioni, si ha che
Note di
Fisica Matematica I
5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li
8 ³
´
d
dx
>
¿
+ Fx = 0
>
>
< ds ³ ds ´
d
¿ dy + F = 0
139
(5.4)
y
ds ³ ds ´
>
>
>
d
dz
:
¿ ds + Fz = 0
ds
Poich¶e s non μe un parametro arbitrario, bensμ³ la lunghezza dell'arco
della funicolare, deve essere anche soddisfatta la ulteriore relazione
Ã
dx
ds
!2
Ã
dy
+
ds
!2
Ã
dz
+
ds
!2
= 1:
(5.5)
Le (5.4) e (5.5) sono 4 equazioni di®erenziali (ordinarie) nelle 4
incognite x(s); y(s); z(s) e ¿ (s) e dipendenti da sei costanti arbitrarie. Queste saranno determinate, ad esempio, a partire dalle
componenti delle forze applicate negli estremi o, piμ
u generalmente,
essendo questi incogniti, imponendo che per s = 0 l'estremo della
corda sia in A e che per s = ` l'altro estremo sia in B.
Un altro modo di proiettare l'equazione vettoriale
d¿
+F=0
ds
(5.6)
^
consiste ponendo ¿ = ¿ ^t e ricordando che ½1c n
^ = ddst , dove ½c denota
il raggio di curvatura. Segue che la (5.6) assume la forma
d¿ ^ ¿
t+ n
^ + F = 0:
ds
½c
Queste equazioni, proiettate sulla terna intrinseca, diventano
¿
d¿
+ Ft = 0;
+ Fn = 0; Fb = 0
ds
½c
(5.7)
che prendono il nome di equazioni intrinseche dell'equilibrio
dei ¯li °essibili ed inestendibili. In particolare risulta che in
condizioni statiche, la forza unitaria, in ogni punto della
funicolare, μ
e contenuta nel rispettivo piano osculatore.
Un'altra notevole proprietμa segue direttamente dalla prima
delle (5.7) nel caso di forze Rposizionali. Infatti, se U denota una
primitiva di Ft , cio¶e U(s) = s Ft (s)ds+c, coincidente con il potenziale di F nel caso in cui questa sia conservativa, allora segue che
Note di
Fisica Matematica I
140
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
d(¿ + U)
= 0;
ds
cio¶e ¿ + U = costante:
Quindi se le forze sono conservative (o anche posizionali),
la tensione di®erisce solo per una costante dal potenziale
cambiato di segno (cio¶e dell'energia potenziale).
5.1.3 Complementi: ¯lo soggetto ad un sistema di forze parallele
Supponiamo che il ¯lo sia sollecitato da forze parallele e che si
scelga il sistema di riferimento in modo tale che sia Fx ´ Fz ´ 0.
La prima e la terza delle (5.4) danno, rispettivamente
¿
dx
= ';
ds
¿
dz
=C
ds
dove C e ' designano due costanti arbitrarie. Da queste relazioni, eliminando ¿ si ottiene C dx
¡ ' dz
= 0 che integrata,
ds
ds
Cx(s) ¡ 'z(s) = Cost: esprime il fatto che la curva giace in un
piano parallelo all'asse delle y, cio¶e alla comune direzione delle
forze attive. Osserviamo che abbiamo escluso il caso particolare
in cui C = ' = 0; tale caso μe possibile solo quando siamo nei
seguenti due casi banali (che quindi escluderemo): il caso in cui F
μe identicamente nulla ed il caso della funicolare rettilinea avente
la stessa direzione della forza F. Escludendo quindi questi due
casi scegliamo il riferimento con origine O in A, in modo che sia
x(0) = y(0) = z(0) = 0 da cui deve essere Cx(s) ¡ 'z(s) = 0,
e orientato in modo che sia C = 0; cio¶e la funicolare sia nel piano z = 0. Rimangono, per de¯nire la curva e la tensione, le tre
equazioni
8 dx
>
> ¿ ds³ = '
´
<
d
¿ dy
ds
³ ´ ds
>
>
: dx 2
+
ds
= ¡Fy ;
³
´
dy 2
ds
=1
dove la ' μe una costante a priori arbitraria e di®erente da zero.
Dalla prima equazione e ricordando che ¿ ¢^t = ¿ dx
si osserva subito
ds
che: lungo la funicolare μ
e costante la componente della
tensione normale alla direzione della sollecitazione, nel caso
particolare della forza peso μe costante la componente orizzontale.
Note di
Fisica Matematica I
5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li
141
Catenaria omogenea
Consideriamo il caso in cui la funicolare sia omogenea e sia
soggetta alla sola forza peso p, sia inoltre sospesa a due estremi
A e B (non situati sulla stessa verticale). La funicolare giacerμa
nel piano verticale di A e B e, orientando l'asse y verticale ascendente e x in modo che sia xB > xA allora le equazioni precedenti
assumono la forma
8 dx
¿ = '´
>
>
< ds³
¿ dy = p;
d
³ds ´ ds ³ ´2
>
>
: dx 2
dy
+
ds
ds
=1
dove la costante ' deve essere positiva in virtμ
u di quanto detto in
precedenza ed in virtμ
u della scelta dell'orientamento dell'asse x.
Da ci¶o segue che ¿ (s) > 0 e dx
6= 0 per ogni s, da quest'ultima
ds
relazione e dal teorema della funzione inversa ¶e possibile esprimere
la curva attraverso una relazione y = y(x), pertanto il sistema
prende la forma
8 dx
¿ ='
>
>
< d ds 0
ds
(y ) = 'p ;
³ ´ h
i
>
>
: dx 2 1 + y 0 2 = 1
ds
dy
dove y0 denota dx
. Dalla terza relazione allora la seconda equazione
puμo essere scritta come
y 00
q
1 + y 02
=
p
'
=
p
x + Cost:
'
che integrata dμa
log
μq
1+
y 02
+y
0
¶
dove, per e®etto di una traslazione degli assi parallela all'asse y, si
pu¶o scegliere l'origine in modo che l'asse delle x sia parallelo alla
tangente alla funicolare (in modo che sia y0 (0) = 0), si sceglie la
costante nulla. Questa equazione puμo poi essere messa nella forma
q
p
1 + y 02 + y 0 = e ' x
Note di
Fisica Matematica I
142
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
che, osservando
μq
1 + y0 2 + y0
¶ μq
¶
1 + y 0 2 ¡ y 0 = 1, deve valere
anche la
q
p
1 + y 0 2 ¡ y 0 = e¡ ' x :
Allora, sottraendo la seconda alla prima, si ottiene
y 0 = sinh(px=')
che ha soluzione generale
y(x) = ¸cosh(x=¸) + Cost:
(5.8)
dove abbiamo posto ¸ = '=p e dove la costante di integrazione puμo
essere scelta nulla per e®etto di una traslazione degli assi parallela
all'asse x. La curva (5.8) prende il nome di catenaria omogenea
e (assumendo la costante nulla) ha vertice di valore ¸.
Per determinare la tensione la prima delle equazioni inde¯nite
dμa
"
dx
¿ ='
ds
#¡1
q
Ã
!
' 00
'2
y =
cosh(x=¸) = py
=' 1+y ='
p
p¸
02
cio¶e in un punto generico di una catenaria omogenea la tensione μe
uguale al peso di un tratto di ¯lo di lunghezza uguale alla distanza
del punto dalla base; quindi la tensione μ
e minima nel punto
piμ
u basso della funicolare ed assume qui il valore p¸ = ',
componente tangenziale costante della tensione.
Inoltre
1
dx
1
1
q
=p
=
=
ds
cosh(x=¸)
1 + y02
1 + sinh2 (x=¸)
da cui segue
ds
= cosh(x=¸) e quindi s(x) = ¸sinh(x=¸)
dx
(5.9)
convenendo di misurare gli archi s della funicolare a partire dal
punto della curva di ascissa x = 0 e nel verso delle x crescenti.
Imponiamo ora che la catenaria passi per due punti dati A e B
e abbia lunghezza `; per fare ciμo esprimiamo la catenaria rispetto
Note di
Fisica Matematica I
5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li
143
ad un sistema di coordinate avente centro A dove, e®ettuando una
traslazione qualunque, le (5.8) e (5.9) diventano
y(x) = ¸cosh[(x ¡ x0 )=¸] + y0 ; s(x) = ¸sinh[(x ¡ x0 )=¸]
dove s(x) denota l'ascissa curvilinea della catenaria, misurata a
partire dal punto di ascissa x0 . Supponiamo, senza perdere in
generalitμa, che sia 0 = xA < xB e 0 = yA · yB , cioμe A coincide
con l'origine e xB > 0 e yB ¸ 0, ed inoltre sarμa `2 ¸ x2B + yB2 . La
condizione che la curva passi per A e poi per B impone
(
¡y0 = ¸cosh(x0 =¸)
yB = ¸ fcosh[(xB ¡ x0 )=¸] ¡ cosh(x0 =¸)g
ed inoltre deve essere ` = s(xB ) ¡ s(0), cio¶e
` = ¸ fsinh[(xB ¡ x0 )=¸] + sinh(x0=¸)g :
Ora quadrando le ultime due e sottraendole tra loro si ha `2 ¡
yB2 = 2¸2 [cosh(xB =¸) ¡ 1] e, ponendo » = xB =2¸ e q2 = (`2 ¡
yB2 )=x2B ¸ 1, e ricordando che coshz ¡ 1 = 2sinh2(z=2), si ottiene
2
in¯ne sinh » = q2 e quindi sinh» = q essendo q e » positivi. Questa
»2
»
μe una equazione nella sola incognita » o, in ultima analisi, nella
Bp
tensione orizzontale essendo ' = x2»
; questa equazione ha una sola
soluzione (per » positivi). Individuato cosμ³ il valore di » segue il
valore di ¸ e quindi il valore di x0 e, poi, di y0 .
5.1.4 Complementi: ¯lo teso su una super¯cie
Superi¯e liscia (o levigata)
Applichiamo le equazioni intrinseche (5.7) allo studio delle con¯gurazioni di un ¯lo (teso) appoggiato ad una super¯cie levigata. Qui, la sollecitazione continua lungo il ¯lo si riduce alla
sola reazione o®erta dall'appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate sugli estremi). Supponendo l'assenza di attrito allora la reazione μe tutta
normale; d'altra parte, lungo la funicolare, essa deve appartenere
al piano osculatore e quindi in ogni punto della funicolare il
piano osculatore μ
e normale alla super¯cie di appoggio o,
equivalentemente, la normale alla funicolare ha la stessa direzione
Note di
Fisica Matematica I
144
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
della normale alla super¯cie di appoggio. Quindi la funicolare
descrive sulla super¯cie una curva geodetica. Possiamo quindi
concludere che
Teorema. Un ¯lo teso sopra una super¯cie priva d'attrito e
soggetto a forze attive soltanto agli estremi, si dispone secondo
una geodetica della super¯cie.
Inoltre, poich¶e in condizioni statiche, la reazione μe in ogni punto
normale alla super¯cie si ha Ft = 0 e quindi risulta ¿ = costante.
Cio¶e la tensione si trasmette inalterata in intensitμ
a da un
capo all'altro del ¯lo.
Super¯cie scabra
Applichiamo le equazioni intrinseche (5.7) allo studio delle con¯gurazioni di un ¯lo (teso) appoggiato ad una super¯cie scabra.
Qui, la sollecitazione continua lungo il ¯lo si riduce alla sola
reazione o®erta dall'appoggio (supponendo che il peso complessivo
sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate sugli estremi). A
di®erenza del caso precedente F non μe necessariamente normale
alla super¯cie di appogio ¾ e quindi Ft sarμa in generale diversa
da zero e quindi ¿ varierμa lungo il ¯lo. Per valutare la tensione
di ¿ lungo il ¯lo ci restringiamo al caso particolare in cui il ¯lo
μe adagiato lungo una geodetica in modo che Fn si identi¯chi con
la reazione normale (in quanto la normale principale alla curva n
^
μe normale alla super¯cie, deve essere anche Fn · 0 in modo che
¿ ¸ 0) e che, essendo Fb = 0, l'attrito statico risulti diretto lungo
la tangente alla funicolare e perci¶o coincide con Ft . Quindi la
condizione dell'attrito radente
jFt j · fjFn j assume la forma
¯ ¯
¯ d¿ ¯
¿
¯ ¯
¯ ¯·f :
¯ ds ¯
½c
(5.10)
Premesso ci¶o valutiamo la massima di®erenza tra le intensitμa di
FA e FB per le quali si ha ancora equilibrio. La massima intensitμa
si avrμa quando la (5.10) μe della forma
d¿
¿
=f
ds
½c
che ha soluzione
log(¿B =¿A ) =
Z
f
°
ds
(5.11)
½c
dove ¿B e ¿A denotano le intensitμa della tensione in A e B e dove
° μe la traiettoria congiungente A e B.
Note di
Fisica Matematica I
5.2 Cinematica dei continui deformabili
145
Nel caso particolare di una corda avvolta ad un cilindro di raggio r allora la (5.11) assume la forma (indipendente dal raggio
r) ¿B = ¿A efμ dove μ designa l'angolo al centro (μ 2 R) compreso
tra A e B.
5.2 Cinematica dei continui deformabili
Nel seguito, per comodit¶a di notazione, gli assi del sistema di riferimento hanno coordinate x1 , x2 e x3 invece che, come usuale, x, y
e z.
5.2.1 Introduzione
Studieremo inizialmente, da un punto di vista cinematico (cio¶e
senza occuparci delle forze), i movimenti e le deformazioni dei
mezzi continui; rientra in questo studio, come caso particolare,
anche il caso dei corpi rigidi anche se ¯sseremo l'attenzione sulle
deformazioni dei corpi elastici e sui movimenti dei °uidi. La differenza tra i tre casi, da un punto di visto cinematico, μe solo questa:
in un corpo rigido la distanza tra due punti qualunque si
mantiene sempre invariata, in un corpo soggetto a deformazione elastica tale distanza varia entro certi limiti
ristretti mentre in un °uido la distanza tra due particelle
puμ
o variare comunque.
Uno dei primi e basilari postulati che si ammettono a base di
questa teoria μe quello della conservazione della massa che implica che i punti materiali P , riguardati come particelle di volume
dv e massa dm = ½dv, se ½ = ½(P ; t) μe la densitμa, non possono in
ogni istante n¶e lacerarsi e n¶e sovrapporsi. Ciμo equivale a ritenere
che, ¯ssata una qualunque terna di riferimento (O; x1 ; x2; x3 ), vi
sia in ogni istante una corrispondenza biunivoca e continua fra i punti P 0 (x01; x02 ; x03 ) di una con¯gurazione iniziale
C 0 del corpo ad un istante t0 ed i punti P (x1 ; x2 ; x3 ) di una
con¯gurazione C generica ad un istante t, cos¶³ che ogni particella P μe distinta (individualizzata) fra tutte le altre dalla sua
posizione iniziale P 0 . Analiticamente ciμo equivale a pensare
P = P (x01 ; x02 ; x03 ; t); ossia xi = xi (x01 ; x02 ; x03; t); i = 1; 2; (5.12)
3:
Note di
Fisica Matematica I
146
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
La corrispondenza espressa dalla (5.12) deve dunque diventare invertibile e bicontinua, perch¶e ¯ssato un qualunque P 2 C vi deve
essere un solo P 0 2 C 0 da cui esso proviene. A tale scopo si richiede
che le funzioni xi = xi (x01 ; x02 ; x03; t) siano continue con derivata
priva continua e che il determinante Jacobiano de¯nito da
0 @x1
¯
¯
@x0
¯ @x ¯
B @x12
i¯
¯
B
J(P ; t) = ¯¯ 0 ¯¯ = det @ @x01
@xj
@x3
@x01
@x1
@x02
@x2
@x02
@x3
@x02
@x1
@x03
@x2
@x03
@x3
@x03
1
C
C
A
(5.13)
sia sempre diverso da zero. In particolare, poich¶e per t = 0 μe
0
1
100
B
C
J(P ; 0) = det @ 0 1 0 A = 1;
001
(5.14)
per continuitμa risulta J(P ; t) > 0 in un conveniente intorno di
t = 0 e, quindi, anche per qualunque t data l'arbitrarietμa della
scelta dell'istante iniziale.
5.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano
Punto di vista lagrangiano (o sostanziale)
Le equazioni (5.12)
xi = xi (x01 ; x02; x03 ; t);
(5.15)
¯ssato P0 , sono le equazioni lagrangiane del moto della particella
P individuata dalla posizione P0 nella con¯gurazione C0 , o, se si
vuole, delle x01; x02 ; x03 costanti rispetto al tempo. Le variabili xi ,
rispetto a t, si prestano a descrivere il moto particella per
particella: per seguire una particella basta ¯ssare P0 in C0 , ovvero
le x0i , e far variare t. Cos¶³ , ad esempio, la funzione vettoriale di
t e P0 :
v =
@P
= v(x0i ; t)
@t
x_ i =
@xi 0 0 0
(x ; x ; x ; t)
@t 1 2 3
di componenti
Note di
Fisica Matematica I
(5.16)
5.2 Cinematica dei continui deformabili
147
dμa, in funzione di t, la velocitμa all'istante t della generica particella
che si trovava in P0 per t = t0 . Analogamente
a = a(x0i ; t) =
@v 0
@2P
(xi ; t) =
@t
@t2
di componenti
xÄi =
@ 2 xi 0 0 0
(x ; x ; x ; t)
@t2 1 2 3
(5.17)
ne dμa la accelerazione. Questo μe il cosidetto punto di vista lagrangiano o sostanziale.
Punto di vista euleriano (o locale)
Il moto di un mezzo continuo si puμo studiare, oltre che seguendo
una determinata particella (detto punto di vista sostanziale o
Lagrangiano), anche considerando quanto avviene in un determinato punto dello spazio dove passano successivamente diverse
particelle ( detto punto di vista locale o Euleriano). Nel
primo caso viene ¯ssato il punto iniziale (x01; x02 ; x03 ) e le coordinate
(5.15) sono variabili e dipendenti da t; nel secondo caso viene ¯ssato il punto nello spazio di coordinate (x1 ; x2; x3 ) e saranno quindi
dipendenti dal tempo le coordinate x0i del punto che all'istante t
saranno in (x1 ; x2 ; x3).
Derivata sostanziale e derivata locale
Corrispondentemente ad qualsiasi grandezza ¯sica f = f (x1 ; x2; x3 ; t)
si hanno due tipi di derivate rispetto al tempo, secondo che si consideri la variazione di f per una determinata particella, e quindi
tenendo costanti x01 ; x02 ; x03 e pensando x1; x2 ; x3 variabili nel
tempo secondo la (5.15) ottenendo
f = f[xi (x0j ; t); t];
o per un dato punto dello spazio, e quindi tenendo costanti
x1 ; x2; x3 ottenendo
f = f(xi ; t):
Note di
Fisica Matematica I
148
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
La prima derivata, detta sostanziale, si denota con df
; la seconda
dt
@f
derivata, detta locale, si denota con @t .
Per trovare la relazione tra le due derivate si osserva che la
derivata sostanziale vale
@f
@f
@f
df
@f
+ x_ 2
+ x_ 3
=
+ x_ 1
dt
@t
@x1
@x2
@x3
@f
@f
@f
@f
@f
=
+ v2
+ v3
=
+ v1
+ v ¢ rf (5.18)
@t
@x1
@x2
@x3
@t
dove rf μe il vettore di componenti
(x1 (t); x2 (t); x3 (t)).
@f
; @f ; @f
@x1 @x2 @x3
calcolate in
5.2.3 Equazioni di continuitμ
a
Moti stazionari
De¯nizione 5.1. Si chiama moto stazionario il moto di un
mezzo quando, da un punto di vista locale, la velocitμa v μe costante
rispetto al tempo:
@v1
@v2
@v3
=
=
= 0:
@t
@t
@t
Cio¶e in un qualsiasi punto dello spazio la velocitμa del mezzo non
varia in grandezza n¶e in direzione con il tempo.
Flusso di un °uido
Sia assegnata, nello spazio occupato da un °uido in movimento,
una super¯cie regolare ¾ ¯ssa e su di essa assegnamo, ad arbitrio,
^ Si chiama °usso del °uido
un verso positivo per la normale N.
attraverso la super¯cie ¾ la massa di °uido che l'attraversa, per
unitμa di tempo. Se la super¯cie ¾ μe chiusa allora si chiama °usso
uscente il °usso calcolato orientando la normale verso l'esterno, e
°usso entrante quello calcolato con la convenzione opposta. Si
ha che:
^ uscente,
Teorema 5.2. Sia ¾ una super¯cie chiusa non normale N
sia v la velocitμa che hanno le particelle nell'attraversare ¾ e sia ½ la
densitμa del °uido; allora il °usso ª uscente attraverso la super¯cie
¾ in una unitμa di tempo μe dato da
Note di
Fisica Matematica I
5.2 Cinematica dei continui deformabili
ª=
Z
¾
^
½vN d¾; vN = v ¢ N:
149
(5.19)
Dimostrazione. Infatti, ¯ssato l'elemento di super¯cie in¯nitesimo
d¾, la quantit¶a di °uido che attraversa ¾ nell'unit¶a di tempo sar¶a
dato dalla massa (in¯nitesima) ½d¾ moltiplicata per la velocit¶a
di queste particelle normale alla super¯cie. Sommando rispetto a
tutti i contributi in¯nitesimi si ottiene la (5.19).
Equazione di continuit¶
a
Sia ¾ una super¯cie chiusa, ¯ssa e regolare qualunque
racchiudente
R
un volume S, la massa contenuta in essa sarμa S ½dS funzione, in
generale, del tempo essendo
tale la densitμa ½. Il suo incremento
R @½
^ μe la normale esnell'unitμa del tempo sarμa S @t dS mentre, se N
terna, per la (5.19),
la quantit¶a di massa entrante nell'unitμa di
R
tempo, sarμa ¡ ¾ ½vN d¾. Uguagliando queste due relazioni si ottiene la seguente
Z
S
Z
@½
dS + ½vN d¾ = 0
@t
¾
(5.20)
che deve valere per qualunque volume S interno al °uido. Facendo
uso del teorema della divergenza segue che1
Z "
S
#
@½
+ div (½v) dS = 0
@t
che dovendo valere per ogni S dovrμa essere in ogni punto (assumendo la funzione integranda continua su tutto R3 in ogni istante)
@½
+ div (½v) = 0:
@t
(5.21)
Questa equazione prende il nome di equazione di continuitμ
a
(dal punto di vista euleriano).
Poich¶e div (½v) = ½div v + v ¢ r½ segue che la (5.21) assume
la seguente forma (lagrangiana)
1
Dato un generico vettore v di compoenti (v1 ; v2 ; v3 ) si denota con divergenza di
@v1
@v2
@v3
v, e si denota div v, la grandezza scalare @x
+ @x
+ @x
.
1
2
3
Note di
Fisica Matematica I
150
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
d½
+ ½ div v = 0
dt
(5.22)
in virt¶
u delle (5.18).
Se il °uido μe incomprimibile (e omogeneo) la sua densitμa ½ μe
costante e l'equazione di continuitμa diventa
div v = 0;
cio¶e la velocitμa μe un campo vettoriale a divergenza nulla. Questi
campi vettoriali a divergenza nulla si dicono campi solenoidali.
5.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni
Cominciamo con una analisi puramente cinematica, cio¶e indipendentemente dalle forze che lo producono, delle piccole deformazioni di un mezzo continuo. A tale scopo ci riferiamo ad un
sistema cartesiano (O; x1; x2 ; x3 ) ed indichiamo con P (x1 ; x2 ; x3)
un generico punto del mezzo nello stato naturale C (cio¶e in assenza di deformazioni), e con P ? la posizione di P nella generica
con¯gurazione deformata C ? . Denoteremo con s(P ) = P ? ¡ P la
funzione spostamento del punto P e con si (P ) le sue componenti
cartesiane. Studiamo ora la distribuzione degli spostamenti in un
intorno V di P introducendo un sistema di riferimento cartesiano
(P ; »1 ; »2; »3) con origine in P ed assi paralleli rispettivamente a
x1 ; x2; x3 . Sia poi Q = Q(»1 ; »2; »3) un generico punto del detto
intorno V e s(Q) = Q? ¡ Q lo spostamento di Q dello stato naturale C alla con¯gurazione deformata C ?. Le componenti cartesiane
si (Q) sono funzioni delle coordinate di Q rispetto ad O e cioμe di
xi + »i e potranno essere sviluppate in serie di Taylor di punto
iniziale P , trascurando gli in¯nitesimi di ordine superiore al primo
ordine nelle »i , ottenendo
si (Q) = si (xj + »j )
(5.23)
Ã
!
Ã
!
Ã
!
@si
@si
@si
= si (P ) +
»1 +
»2 +
»3 + O(j»j2)
@x1 P
@x2 P
@x3 P
dove O(j»j2) denota un in¯nitesimo del secondo ordine per j»j piccolo (che nel seguito trascuriamo) e dove assumiamo si regolare
(ad esempio di classe C 2 (R)). Ponendo
Note di
Fisica Matematica I
5.2 Cinematica dei continui deformabili
®i;k
151
¯
@si ¯¯
¯ ; i; k = 1; 2; 3;
=
@xk ¯
P
tenendo presente l'identitμa
1
1
®i;k = (®i;k + ®k;i ) + (®i;k ¡ ®k;i )
2
2
e ponendo
°i;k = °k;i
1
1
= (®i;k + ®k;i ) =
2
2
Ã
@sk
@si
+
@xk @xi
!
; i; k = 1; 2;(5.24)
3;
P
e
R1 =
®3;2 ¡ ®3;2
®1;3 ¡ ®3;1
®2;1 ¡ ®1;2
; R2 =
; R3 =
: (5.25)
2
2
2
le (5.23) forniscono
s1 (Q) = s1(P ) + (°1;1 »1 + °1;2 »2 + °1;3 »3 ) + (¡R3 »2 + R2 »3 ) + O(j»j2 );
s2 (Q) = s2(P ) + (°2;1 »1 + °2;2 »2 + °2;3 »3 ) + (R3 »1 ¡ R1 »3 ) + O(j»j2 );
s3 (Q) = s3(P ) + (°3;1 »1 + °3;2 »2 + °3;3 »3 ) + (¡R2 »1 + R1 »2 ) + O(j»j2 ):
Sinteticamente queste possono essere scritte
s(Q) = s(P ) + d + r + O(jP ¡ Qj2 )
(5.26)
dove le componenti di d sono
di =
3
X
°i;k »k ; i = 1; 2; 3;
(5.27)
k=1
e il vettore r vale
0
1
^e1 ^e2 ^e3
B
C
r = R £ (Q ¡ P ) = det @ R1 R2 R3 A
»1 »2 »3
(5.28)
essendo R il vettore di componenti (R1; R2 ; R3 ).
Osserviamo ora che dei tre termini in cui, in base alla (5.26) μe
stato decomposto s(Q), il primo s(P ) rappresenta una traslazione
(essendo uguale per tutti i punti Q dell'intorno considerato), il
terzo r rappresenta, per la (5.28), una rotazione individuata
Note di
Fisica Matematica I
152
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
dal vettore velocit¶
a angolare (P; R), e quindi s(P ) + r rappresenta un atto di moto rigido rototraslatorio di tutto
l'intorno di P considerato. Allora la (5.26) ci dice che, a meno
di termini in¯nitesimi di ordine 2, lo spostamento del generico punto Q μ
e composto da uno spostamento rigido e da
uno spostamento d nel quale interviene la deformazione.
Dalle (5.27) poi appare che d μe il risultato dell'applicazione di
un operatore lineare T sul vettore Q ¡ P , cio¶e
d = T (Q ¡ P )
(5.29)
tale operatore lineare (detto anche omogra¯a o tensore), analiticamente de¯nito dalla matrice simmetrica (°i;k ), con °i;k = °k;i ,
μe noto come il tensore delle deformazioni o strain. Poich¶e la
matrice μe simmetrica segue che il tensore μe simmetrico.
5.2.5 Analisi dello strain
Le componenti °i;k dello strain hanno un notevole signi¯cato ¯sico.
Per studiarlo in maggiore dettaglio supponiamo, per semplicit¶a,
nullo lo spostamento rigido dell'intorno di P e trascuriamo ora i
resti del tipo O(j»j2), per cui si avrμa semplicemente
s1(Q) = °1;1 »1 + °1;2 »2 + °1;3»3;
s2(Q) = °2;1 »1 + °2;2 »2 + °2;3»3;
s3(Q) = °3;1 »1 + °3;2 »2 + °3;3»3:
(5.30)
(5.31)
(5.32)
Consideriamo poi quella particolare deformazione caratterizzata
da °i;k = 0 per i; k 6= 1 (e con °1;1 6= 0). Il corrispondente spostamento s(Q) avrμa le seguenti componenti
s1 (Q) = °1;1»1; s2(Q) = s3(Q) = 0
(5.33)
e perciμo il punto Q(»1; »2 ; »3 ) dello stato naturale passa nel punto
Q? della con¯gurazione deformata di coordinate
»1? = (1 + °1;1 )»1 ; »2? = »2 ; »3? = »3;
(5.34)
ossia si sposta parallelamente all'asse »1 (e all'asse x1 ) della quantitμa °1;1 »1 . Ciμo signi¯ca che tutti i segmenti paralleli all'asse x1 si
dilatano del rapporto 1 + °1;1 mentre quelli ortogonali a x1 restano
Note di
Fisica Matematica I
5.2 Cinematica dei continui deformabili
153
invariati; la corrispondente deformazione μe allora una pura dilatazione (nel caso in cui °11 > 0, altrimenti se °11 < 0 ¶e una
contrazione) parallela all'asse x1 e °1;1 viene detto il coe±ciente
di dilatazione lineare secondo l'asse x1 nel punto P . Analogamente °2;2, °3;3 sono i coe±cienti di dilatazione lineare secondo x2 ,
x3 nel punto P .
Consideriamo ora una deformazione caratterizzata da tutte le
°i;k = 0 eccetto °2;3 e °3;2 . Gli spostamenti corrispondenti sono
s1 (Q) = 0; s2 (Q) = °2;3 »3 ; s3 (Q) = °3;2»2; °3;2 = °2;3 : (5.35)
Da qui si vede che Q si sposta in un piano perpendicolare all'asse »1
(o x1 ) e che il suo spostamento non dipende da »1; possiamo quindi
limitarci a studiare il fenomeno nel piano (»2 ; »3 ). In questo caso
i punti A dell'asse »2 (cio¶e »1 = »3 = 0) appartenenti all'intorno
di P si spostano nei punti A? (»1 ; »2 ; »3 = °3;2 »2 ), cio¶e sulla retta di
equazione »3 = °3;2 »2 passante per P e di coe±ciente angolare
°3;2 =
»3
= tan ® » ®:
»2
Similmente i punti dell'asse »3 si portano sulla retta »2 = °2;3»3
inclinata rispetto all'asse »3 di un uguale angolo ®. Si puμo allora
dire che 2°2;3 rappresenta la variazione che subisce, per e®etto
della deformazione, l'angolo formato dagli assi »2 ; »3 uscenti da
P . Una tale deformazione si chiama uno scorrimento parallelo
al piano »2; »3 . Analogamente per °1;2 e °1;3 , per cui le °i;k con
i 6= k si dicono coe±cienti di scorrimento.
Data poi la linearitμa delle relazioni (5.30, 5.31, 5.32), si puμo
concludere che la deformazione piμ
u generale μe ottenuta sovrapponendo sei deformazioni particolari corrispondenti alle singole °i;k e determinate quindi dalla sovrapposizione di tre
dilatazioni parallele agli assi e da tre scorrimenti paralleli
ai piani coordinati.
In¯ne, poich¶e la matrice (°i;k ) μe simmetrica, ad essa corrisponde
una quadrica di centro P per cui esistono sempre tre assi principali che, se presi come assi cartesiani, permettono di scrivere
l'equazione della quadrica stessa in forma canonica, cioμe tale che
°1;2 = °1;3 = °2;3 = 0. Quindi si puμo concludere, in generale, che:
Note di
Fisica Matematica I
154
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
Teorema 5.3 (Teorema di Helmotz). Ogni deformazione μe
data dalla sovrapposizione di tre dilatazioni (o compressioni)
principali secondo tre direzioni opportune.
5.2.6 Dilatazione cubica
La quantitμa
° = °1;1 + °2;2 + °3;3 =
@s1
@s2
@s3
+
+
= div s(P ) (5.36)
@x1 @x2 @x3
μe detta invariante lineare di deformazione poich¶e si puμo dimostrare che esso non cambia per trasformazione di coordinate
(infatti ° =tr(°i;j ) coincide con la traccia del tensore di strain che
μe invariante per trasformazioni di coordinate). Per vederne il suo
signi¯cato ¯sico consideriamo la terna costituita dagli assi principali passanti per P ed un parallelepipedo con gli spigoli ¢»1 , ¢»2 ,
¢»3 paralleli agli assi principali; il suo volume vale
¢V = ¢»1 ¢ ¢»2 ¢ ¢»3 :
A seguito della deformazione che, per quanto si μe detto, consiste solo di tre dilatazioni principali, si otterrμa ancora un parallelepipedo di lati (1 + °1;1 )¢»1, (1 + °2;2 )¢»2 , (1 + °3;3)¢»3 , cioμe
di volume
¢V ? = (1 + °1;1 ) ¢ (1 + °2;2 ) ¢ (1 + °3;3 ) ¢ ¢V:
Ora, nel limite di piccole deformazioni possiamo trascurare i
prodotti della °i;k rispetto all'unitμa ottenendo:
¢V ? ¼ (1 + °1;1 + °2;2 + °3;3 )¢V = (1 + °)¢V
(5.37)
e quindi ° ha il signi¯cato ¯sico di dilatazione cubica nel punto
P.
5.3 Statica dei continui deformabili
5.3.1 Forze applicate e sforzi
Passiamo ora in rassegna i vari tipi di forze che possono agire
sui continui deformabili. Anzitutto possiamo distinguere le forze
esterne, che nei casi concreti sono note in genere, in due tipi:
Note di
Fisica Matematica I
5.3 Statica dei continui deformabili
155
i. forze di massa, agenti su ogni elemento di massa del corpo
(ad esempio il peso);
ii. forze super¯ciali, agenti su ogni elemento della super¯cie di
contorno del corpo.
La forza di massa che agisce sull'elemento (in¯nitesimo) di
massa dm centrato in P si ritiene proporzionale a dm stesso e si
puμo esprimere con Fdm, dove F μe un vettore ¯nito dipendente, al
solito, dalla posizione del punto P , dalla sua velocitμa e dal tempo
(in statica assumiamo la dipendenza di F solo dalla posizione di
P ). Detta poi ½ la densitμa materiale del corpo, la forza di massa
puμo anche essere espressa da
½FdV;
(5.38)
essendo dV l'elememto (in¯nitesimo) di volume contenente dm.
Analogamente la forza super¯ciale agente sull'elemento d¾ si esprime con
©d¾;
(5.39)
dove ©, forza per unitμa di super¯cie, μe anch'esso un vettore ¯nito.
Ci sono poi le forze interne, generalmente incognite, dovute
alla mutua azione delle particelle del corpo (pressione o tensione
interna) e che preciseremo introducendo in concetto di sforzo
interno. Gli sforzi interni sono dovuti a forze molecolari, cio¶e
alla mutua interazione tra le molecole. Un fatto essenziale μe che
queste forze sono "a corto raggio", cio¶e esercitano la loro azione
solo sui punti vicini; se ne consegue che le forze interne, con le
quali una parte qualunque del corpo μe sollecitata dalle parti contigue, agiscono solo direttamente attraverso la super¯cie di tale
parte (questo μe vero in generale; pur con qualche eccezione, ad es. i
corpi piezoelettrici). Se immaginiamo di considerare all'interno del
corpo un generico elemento super¯ciale d¾, centrato in un punto
P del corpo, su cui ¯ssiamo una faccia positiva e una negativa
^ allora il sistema delle forze
orientando il versore della normale N
interne che le particelle del corpo situate dalla parte della faccia negativa esercitano sulle particelle situate dalla parte positiva
sono in generale, come μe noto, equivalenti a una coppia e a una
forza. In quel che segue ammetteremo che tali forze interne siano
equivalenti ad una sola forza (quando si tiene conto anche della
Note di
Fisica Matematica I
156
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
coppia si parla di continui semi°essibili), proporzionale a d¾,
detta sforzo sulla faccia negativa di d¾ che indicheremo ancora
con
©d¾;
(5.40)
dove © μe un vettore ¯nito, generalmente incognito, detto sforzo
speci¯co nel punto P . Esso μe funzione in generale, oltre che di
^ © = ©(P; t; N).
^
P e t, anche di N:
^ μe acuto si parla di © come di una presSe l'angolo tra © ed N
sione, se μe ottuso di una tensione. Ovviamente le particelle
situate dalla parte della faccia positiva esercitano sulle particelle
situate dalla parte opposta uno sforzo uguale ed opposto, ¡©d¾,
per il principio di mutua azione.
5.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili
Come visto a suo tempo, condizione necessaria per l'equilibrio di
un qualunque sistema meccanico μe l'annullarsi del vettore risultante R e del momento risultante − di tutte le forze (esterne)
attive e reattive. Tale condizione non μe perμo, in generale su±ciente. Per i corpi deformabili ammettiamo il seguente postulato:
Postulato fondamentale della statica dei mezzi continui:
Se le condizioni
(
R=0
−=0
(5.41)
sono soddisfatte, non solo per il corpo nel suo insieme, ma anche
per una qualsiasi parte di esso, considerato come un sistema a sμe,
allora il corpo μe in equilibrio.
Osserviamo che nelle (5.41), scritte per una porzione del corpo,
compariranno le forze esterne che competono alla porzione considerata e gli sforzi interni esercitati dalle particelle circostanti alla
parte stessa.
5.3.3 Formule di Cauchy
Consideriamo per un punto generico P , interno al corpo, tre elementi super¯ciali paralleli ai piani coordinati e siano
Note di
Fisica Matematica I
5.3 Statica dei continui deformabili
©1 = ©1;1^e1 + ©1;2^e2 + ©1;3^e3
©2 = ©2;1^e1 + ©2;2^e2 + ©2;3^e3
©3 = ©3;1^e1 + ©3;2^e2 + ©3;3^e3
157
(5.42)
(5.43)
(5.44)
gli sforzi speci¯ci che si esercitano sugli elementi super¯ciali normali, nell'ordine, agli assi x1 ; x2 ; x3 . Ciascuno degli sforzi speci¯ci
si puμo pensare come somma di tre sforzi, uno normale all'elemento
super¯ciale considerato e due tangenti ad esso. Ad esempio, ©1 μe
la somma di uno sforzo speci¯co normale misurato da ©1;1 e di
due sforzi speci¯ci tangenziali (o di taglio), dati da ©1;2 e ©1;3 ,
paralleli rispettivamente a x2 e a x3 . Quindi ©1;1 , ©2;2, ©3;3 sono
gli sforzi normali e ©i;k , con i 6= k, sono gli sforzi di taglio.
Consideriamo ora lo sforzo speci¯co © relativo ad un generico
elemento super¯ciale passante per un punto P interno al corpo.
Mandiamo da P tre rette parallele agli assi coordinati e tracciamo
un piano d¾ (in¯nitamente) vicino a P e parallelo (cio¶e con le
normali parallele) al piano tangente in P all'elemento super¯ciale
considerato. Tale piano incontra le rette nei punti A, B e C i
quali, con P , individuano un tetraedro (in¯nitesimo) ABCP . Sia
poi
^ = ®1^e1 + ®2^e2 + ®3^e3
N
il versore normale alla faccia ABC orientato verso l'esterno del
tetraedro. Le facce
d¾1 = P BC; d¾2 = P AC; d¾3 = P AB;
sono tre elementi super¯ciali passanti per P e paralleli ai piani coordinati e su di essi orientiamo la normale concordemente al verso
dell'asse ad esso ortogonale, per cui su di esse agiscono gli sforzi
speci¯ci (5.42, 5.43, 5.44); indichiamo poi con © ´ (©1 ; ©2; ©3)
lo sforzo speci¯co relativo alla faccia d¾ = ABC e alla normale
esterna (cioμe quello esercitato dalle particelle del tetraedro verso
l'esterno attraverso ABC).
All'interno del tetraedro agiscono poi le forze esterne di massa
½Fdv = (½F1 dv; ½F2 dv; ½F3 dv)
(5.45)
dove dv μe il volume (in¯nitesimo) del tetraedro, e gli sforzi interni
Note di
Fisica Matematica I
158
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
©1 d¾1; ©2 d¾2; ©3 d¾3 ; ¡©d¾:
(5.46)
Per le condizioni di equilibrio R = 0 avremo
R1 = ½F1 dv + ©1;1d¾1 + ©2;1 d¾2 + ©3;1d¾3 ¡ ©1 d¾ = 0 (5.47)
e le analoghe R2 = R3 = 0. Se si indica con h l'altezza del
tetraedro relativo alla base d¾ e ricordando la (5.45) si ha
1
dv = hd¾ e d¾1 = ®1d¾; d¾2 = ®2 d¾; d¾3 = ®3 d¾ (5.48)
3
per cui la (5.47) diventa
μ
¶
1
½F1 h + ©1;1 ®1 + ©2;1®2 + ©3;1 ®3 ¡ ©1 d¾ = 0:
3
da cui
1
½F1 h + ©1;1 ®1 + ©2;1 ®2 + ©3;1 ®3 ¡ ©1 = 0:
(5.49)
3
Passando ora al limite per h ! 0 l'elemento d¾ tende all'elemento
^ e © tende
super¯ciale passante per P avente la stessa normale N
^
allo sforzo speci¯co relativo a tale elemento super¯ciale ©(P; t; N).
Si ottengono cosμ³ le formule di Cauchy
8
>
< ©1 (P ) = ©1;1 ®1 + ©2;1 ®2 + ©3;1 ®3
© (P ) = © ® + © ® + © ®
2
1;2 1
2;2 2
3;2 3
>
: © (P ) = © ® + © ® + © ®
3
1;3 1
2;3 2
3;3 3
(5.50)
che ci danno lo sforzo speci¯co in un punto P relativo ad
un elemento super¯ciale, comunque orientato, in funzione
degli sforzi speci¯ci che si esercitano sui tre elementi, sempre passanti per P , normali agli assi di riferimento.
Analogamente a quanto fatto nel caso delle deformazioni, le
(5.50) si possono scrivere sinteticamente come
^
© = S N;
(5.51)
dove S μe un operatore lineare caratterizzato dalla matrice (©i;k ),
detto anche omogra¯a o tensore degli sforzi o stress. L'applicazione
di tale operatore sul versore della normale all'elemento super¯ciale
d¾ passante per P produce appunto lo sforzo speci¯co in P relativo
a tale elemento d¾.
Note di
Fisica Matematica I
5.3 Statica dei continui deformabili
159
5.3.4 Equazioni inde¯nite dell'equilibrio
Consideriamo una regione qualsiasi V interna al corpo, limitata da
^ aventi componenti
una super¯cie regolare ¾ di normale esterna N
®1; ®2 ; ®3, e scriviamo per essa le condizioni di equilibrio R = 0,
− = 0. Su ogni elemento dv agisce la forza di massa ½Fdv, per
cui il vettore risultante delle forze di massa agenti su V sarμa
Z
½Fdv:
V
Attraverso poi ogni elemento super¯ciale d¾ dall'interno verso
l'esterno si esercita lo sforzo speci¯co ©d¾ per cui il vettore risultante degli sforzi agenti sulle particelle della regione V attraverso
la super¯cie ¾ = @V sarμa:
¡
Z
©d¾:
¾
In conclusione, l'equazione R = 0 per la sezione V si scrive
Re =
Z
V
½Fdv ¡
Z
©d¾ = 0:
(5.52)
¾
Della (5.52) consideriamone la prima componente e, tenendo conto
delle formule di Cauchy, segue che:
Z
V
½F1dv ¡
Z
¾
(©1;1 ®1 + ©2;1 ®2 + ©3;1 ®3 )d¾ = 0;
(5.53)
da cui, per il Teorema di Gauss, si deduce
Z Ã
V
!
@©1;1 @©2;1 @©3;1
½F1 ¡
¡
¡
d¾ = 0:
@x1
@x2
@x3
(5.54)
La (5.54), assieme alle reazioni analoghe che si ottengono considerando le altre componenti della (5.52), poich¶e il volume V μe
arbitrario, permette di ottenere le seguenti equazioni inde¯nite
dell'equilibrio
@©1;1
@x1
@©1;2
@x1
@©1;3
@x1
+
+
+
@©2;1
@x2
@©2;2
@x2
@©2;3
@x2
+
+
+
@©3;1
@x3
@©3;2
@x3
@©3;3
@x3
= ½F1
(5.55)
= ½F2
(5.56)
= ½F3
(5.57)
Note di
Fisica Matematica I
160
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
che sono equazioni di®erenziali nelle variabili spaziali a cui devono
soddisfare gli sforzi speci¯ci in condizioni di equilibrio.
Analogamente, partendo dalla equazione − = 0, si giunge alle
seguenti condizioni
©i;k = ©k;i ; 8i 6= k
(5.58)
cioμe la matrice dello stress, in condizioni di equilibrio, μ
e
simmetrica. Osserviamo comunque che questo risultato μe conseguenza dell'aver ammesso che il sistema delle forze interne attraverso un elemento super¯ciale interno al corpo μe equivalente ad
una sola forza; se invece si ammette anche la coppia, allora
lo stress non μ
e piμ
u simmetrico.
Dimostriamo la (5.58). A tal ¯ne calcoliamo la componente
rispetto all'asse di versore ^e1 del momento risultante delle forze di
massa, esso sarμa:
−10
=
Z
(x2F3 ¡ x3 F2 )½dv;
V
mentre la componente rispetto all'asse di versore ^e1 del momento
risultante degli sforzi agenti attraverso la super¯cie ¾ sarμa:
−100
=¡
Z
¾
(x2 ©3 ¡ x3 ©2)½d¾:
(5.59)
Quindi
−1 =
Z
V
(x2 F3 ¡ x3F2 )½dv ¡
Z
¾
(x2©3 ¡ x3 ©2 )½d¾:
In virtμ
u delle formule di Cauchy si ha che la (5.59) assume la forma
−100 = ¡
Z
¾
[x2 (©1;3®1 + ©2;3 ®2 + ©3;3®3 ) ¡ x3 (©1;2®1 + ©2;2 ®2 + ©3;2®3 )] ½d¾:
che dal Teorema di Gauss diventa
−100 = ¡
=¡
Z
¾
[(x2 ©1;3 ¡ x3 ©1;2) ®1 + (x2 ©2;3 ¡ x3 ©2;2) ®2 + (x2 ©3;3 ¡ x3 ©3;2 ) ®3 ] ½d¾
Z "
V
@
@
(x2 ©1;3 ¡ x3 ©1;2 ) +
(x2 ©2;3 ¡ x3 ©2;2 )+
@x1
@x2
#
@
+
(x2 ©3;3 ¡ x3 ©3;2 ) ½dv
@x3
Note di
Fisica Matematica I
5.3 Statica dei continui deformabili
Z "
Ã
161
!
@©1;3 @©2;3 @©3;3
+
+
+ ©2;3 +
@x1
@x2
@x3
V
Ã
!
#
@©1;2 @©2;2 @©3;2
¡x3
+
+
¡ ©3;2 ½dv
@x1
@x2
@x3
=¡
=¡
x2
Z
V
[(x2 F3 ¡ x3F2 )½ + ©2;3 ¡ ©3;2 ] ½dv
in virtμ
u delle equazioni inde¯nite dell'equilibrio. Quindi si conclude che
−1 =
Z
V
(©2;3 ¡ ©3;2 )½dv
e dovendo essere −1 = 0 per ogni possibile scelta del volume V
segue che
©2;3 = ©3;2 :
Analogamente segue che
©1;3 = ©3;1 e ©1;2 = ©2;1
completando la dimostrazione.
Le equazioni inde¯nite (5.55, 5.56, 5.57) e le (5.58) non bastano
da sole per lo studio dell'equilibrio di un continuo deformabile,
ma occorrono anche le cosiddette condizioni al contorno. Queste
ultime si ottengono osservando che, per l'equilibrio, la forza super¯ciale esterna ª assegnata e gli sforzi speci¯ci esercitati dal
corpo sulla faccia interna della super¯cie di contorno ¾ devono
avere vettore risultante nullo, ossia essere © = ¡ª, cioμe, per le
(5.50),
©1;1 ®1 + ©2;1®2 + ©3;1 ®3 = ¡ª1 ;
©1;2 ®1 + ©2;2®2 + ©3;2 ®3 = ¡ª2 ;
©1;2 ®1 + ©2;2®2 + ©3;2 ®3 = ¡ª2 :
(5.60)
(5.61)
(5.62)
Le equazioni (5.55), (5.56), (5.57) e (5.58) devono essere veri¯cate per ogni punto del corpo mentre le (5.60), (5.61) e (5.62)
devono essere veri¯cate per ogni punto della super¯cie.
5.3.5 Le equazioni costitutive
Le considerazioni ¯n qui svolte valgono per un qualunque continuo deformabile e proprio per questa loro generalitμa il problema
Note di
Fisica Matematica I
162
5 Cenni di meccanica dei continui deformabili
dell'equilibrio μe ancora indeterminato. In realtμa non si sono fatte
ancora intervenire le proprietμa ¯siche e strutturali del corpo che
distinguono un corpo elastico da un °uido, ad esempio; occorre cioμe
assegnare le equazioni costitutive, che ovviamente variano da
tipo a tipo di corpo deformabile. In particolare i °uidi perfetti
(liquidi e gas non viscosi) sono caratterizzati dalla proprietμa che
lo sforzo ©d¾ su un elemento di super¯cie d¾ qualsiasi all'interno
del °uido μe sempre normale a d¾ stesso. In altre parole in un
°uido perfetto non esistono sforzi di taglio, quindi rispetto
a un qualsiasi sistema di assi μe sempre
©1;2 = ©2;3 = ©3;1 = 0:
(5.63)
Ciμo signi¯ca che qualunque sistema di assi μe un sistema di assi
principali per la quadrica associato allo stress, cioμe tale quadrica
μe una sfera. Inoltre, a±nchμe poi l'equazione
©1;1 x21 + ©2;2x22 + ©3;3 x23 = 1
rappresenti una sfera si deve avere
©1;1 = ©2;2 = ©3;3 = P:
Da ciμo segue subito il principio di Pascal: in un °uido il valore
©N dello sforzo speci¯co (normale) su d¾ μ
e indipendente
dall'orientazione di d¾; infatti μe
^ = ©1 ®1 + ©2 ®2 + ©3 ®3
©N = © ¢ N
= ©1;1®12 + ©2;2 ®22 + ©3;3 ®23 = P (®21 + ®22 + ®23 ) = P:
P si chiama poi la pressione del °uido. Le equazioni inde¯nite
dell'equilibrio dei °uidi perfetti diventano
@P
@P
@P
= ½F1 ;
= ½F2 ;
= ½F3
@x1
@x2
@x3
ossia rP = ½F:
Note di
Fisica Matematica I
6
Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
6.1 Dinamica del punto
Lo studio del moto di un sistema meccanico μe basato sulla II legge
di Newton
ma = F + Á
(6.1)
che mette in relazione la massa m, l'accelerazione a di un singolo
punto e le forze, esterne e interne, attive (di vettore F) e vincolari
(di vettore Á), cui esso μe soggetto. Inizialmente ci dedicheremo allo
studio del moto di un singolo punto P e, in seguito, analizzeremo
il problema della dinamica per sistemi materiali costituiti da piμ
u
punti.
6.1.1 Dinamica del punto libero
Nel caso del moto di un punto materiale libero l'equazione di
Newton prende la forma
ma = F(P; P_ ; t)
che rappresenta, dal punto di vista matematico, una equazione
di®erenziale del II ordine in forma vettoriale. Se proiettamo
tale equazione lungo gli assi coordinati essa si riduce ad un sistema
di 3 equazioni di®erenziali del II ordine poste in forma normale
8
>
x = Fx (x; y; z; x;
_ y;
_ z;
_ t)
< mÄ
mÄ
y = F (x; y; z; x;
_ y;
_ z;
_ t)
y
>
: mÄ
z = Fz (x; y; z; x;
_ y;
_ z;
_ t)
Note di
Fisica Matematica I
164
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
nelle incognite
x = x(t); y = y(t); z = z(t)
Assumendo la dipendenza regolare della forza attiva dai suoi argomenti e associandovi le condizioni iniziali
x(t0) = x±; y(t0) = y±; z(t0 ) = z±
e
_ 0) = y_±; z(t
_ 0 ) = z_±
x(t
_ 0) = x_ ±; y(t
allora il problema di Cauchy ammette una, ed una sola, soluzione
che rappresenta la legge oraria del moto.
6.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita
Nel caso in cui il moto del punto non sia libero occorre una analisi
basata sulla natura dei vincoli.
Supponendo nota a priori la traiettoria ° di un punto P allora
per caratterizzare il moto non rimane che determinare la legge
oraria s = s(t) dove s μe la lunghezza dell'arco ° fra una arbitraria
origine e P , misurata positivamente in un pre¯ssato verso (ascissa
curvilea di P ). La (6.1) proiettata, in ciascun punto della °, sulla
rispettiva tangente, orientata nel verso delle s crescenti, diventa:
mÄ
s = Ft + ©t
(6.2)
dove la componente tangenziale ©t di © μe, per lo piμ
u, incognita.
Tuttavia vi sono dei casi in cui la ©t μe preventivamente assegnabile. In particolare: un punto vincolato su una curva priva
di attrito si muove su di essa come se fosse esclusivamente soggetto all'azione della forza attiva (tangenziale),
cio¶e ©t = 0. La (6.2) in questo caso si riduce alla
mÄ
s = Ft :
(6.3)
Se la componente tangenziale Ft della forza totale μe una funzione
f(s;
_ s; t) nota la (6.3) assumerμa la forma
mÄ
s = f(s;
_ s; t)
Note di
Fisica Matematica I
(6.4)
6.1 Dinamica del punto
165
e, nell'ipotesi di limitatezza, continuitμa e derivabilitμa nei tre argomenti della f , la (6.4) ammette una, ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate.
Quindi la (6.3) (piμ
u precisamente nella forma (6.4)) μe su±ciente
per caratterizzare univocamente il moto.
Proiettando la (6.1), per ogni punto della traiettoria, sulla
rispettiva normale principale n
^ (orientata verso il centro di curvatura della traiettoria) si ottiene, ricordando l'espressione an =
v2 =½c della accelerazione normale,
©n = m
v2
¡ Fn
½c
(6.5)
dove ½c μe il raggio di curvatura e v il modulo della velocitμa. La
componente ©n dell'azione complessiva © esercitata dai vincoli si
chiama reazione centripeta della traiettoria.
Proiettando la (6.1) sulla binormale in¯ne si ottiene che 0 =
Fb + ©b , cio¶e ©b = ¡Fb .
Esempio: anello della morte
Consideriamo un anello della morte di raggio R = 3 metri e calcoliamo quale μe la velocitμa minima che deve essere mantenuta per
evitare di cadere nel vuoto. La condizione di "non distacco" μe
data da ©n > 0 e si ha distacco quando ©n = 0. Quindi la velocitμa minima vmin μe tale che
m
2
vmin
¡ Fn = 0 dove ½c = R e Fn = ¡mg cos ®;
½c
® 2 [0; 2¼) denota l'angolo formato tra la normale e la verticale.
Quindi deve essere
q
p
p
v > vmin = Rg ¼ 30m=sec ¼ 3:6 30km=h ¼ 20km=h:
6.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali
Nel caso di forze posizionali sarμa Ft = f(s), quindi la (6.4)
assumerμa la forma
mÄ
s = f(s)
Note di
Fisica Matematica I
(6.6)
166
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Per mostrare come la (6.6) si riduca con una quadratura ad
una equazione del I ± ordine ricordiamo che l'energia cinetica T
μe de¯nita da 12 ms_ 2, da cui risulta: dT
= msÄ
_s. Osservando che,
dt
essendo f funzione della sola s, questa μe necessariamente
conserR
vativa e quindi la funzione potenziale U(s) = f(s)ds μe tale che
dU
= f (s):
ds
(6.7)
In virtμ
u della (6.6) segue che dT
= dU
s.
_
dt
ds
Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione di t,
tramite l'arco s, non μe altro che la derivata di U = U [s(t)] rispetto
a t; integrando rispetto a t e designando con E la costante di
integrazione, si ricava:
T ¡ U = E:
(6.8)
Questa relazione in termini ¯niti, fra la energia cinetica T e la
sua posizione sulla curva (caratterizzata dalla funzione U(s)), si
chiama integrale delle forze vive. Esso fornisce, in ultima analisi, una relazione fra s e s.
_
Nel caso attuale, in cui si suppone prestabilita la traiettoria, si
perviene alla (6.8) senza bisogno di introdurre l'ipotesi che la forza
totale sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionale
perchμe la (6.7) valga limitatamente alla mobilitμa del punto sopra la
curva °. Nel caso poi in cui la forza derivi da un potenziale allora
la U che compare nella (6.8) si ottiene restringendo il potenziale
della forza alla curva °.
Ponendo
u(s) =
2
[U(s) + E] ;
m
(6.9)
l'equazione delle forze vive (6.8) si puμo scrivere
Ã
ds
dt
!2
= u(s);
da cui
q
ds
= § u(s);
dt
(6.10)
dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocitμa
scalare ds
sia positiva o negativa. La (6.10) μe una equazione difdt
ferenziale del I ± ordine, sostanzialmente equivalente all'originaria
Note di
Fisica Matematica I
6.1 Dinamica del punto
167
equazione (6.6), che puμo essere integrata mediante una quadratura
e fornisce la cercata relazione in termini ¯niti tra s e t:
t ¡ t0 =
Z
ds
q
:
u(s)
Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date
l'una dalla costante additiva dell'ultima quadratura, l'altra dalla
E dell'integrale delle forze vive.
6.1.4 Dinamica del punto soggetto a forze dipendenti soltanto
dalla velocitμ
a
Un secondo caso, in cui l'equazione del moto (6.4) di un punto su
traiettoria prestabilita diventa integrabile per quadrature, μe quello
corrispondente ad una forza tangenziale che dipenda soltanto dalla
velocitμa. La (6.4) assume in tal caso la forma mÄ
s = f(s),
_ ossia,
per separazione delle variabili s_ e t dove assumiamo f (s)
_ 6= 0 (in
particolare assumiamo f(s)
_ > 0 per semplicitμa), m f(sÄs)_ = 1. Di
qui, con una quadratura (rispetto a t), si deduce una relazione in
termini ¯niti fra s_ e t, diciamo anzi fra s_ e t ¡ t0, indicando con t0
la costante di integrazione, del tipo
mF (s)
_ = t ¡ t0
dove F (s) μe una primitiva di 1=f(s). Con una nuova quadratura
si ottiene s(t).
6.1.5 Comportamento dell'attrito durante il moto
Consideriamo un punto appoggiato ad una curva (o ad una super¯cie) e sia © la reazione vincolare che l'appoggio o®re al punto.
Denominando con ©N il valore assoluto della componente normale ©N = © ¡ ©t di ©, e ©t la componente tangenziale di ©.
Quest'ultimo, ©t , si denomina attrito. Si hanno le seguenti regole
(di evidenza empirica):
i. L'attrito μe direttamente opposto alla velocitμa del moto. Se
questa eventualmente si annulla durante il corso del moto, tornano a valere le leggi dell'attrito statico.
Note di
Fisica Matematica I
168
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
ii. L'intensitμa ©t dell'attrito dinamico μe direttamente proporzionale
alla reazione normale ©N :
©t = f©N :
Il coe±ciente f di proporzionalitμa non dipende dalla velocitμa
del mobile. Questo coe±ciente di proporzionalitμa si chiama
coe±ciente di attrito dinamico e talvolta viene anche indicato con fd . In particolare il coe±ciente di attrito dinamico μe
sempre inferiore al coe±ciente di attrito statico, cio¶e fs < fd .
In virtμ
u di queste leggi, proiettando nella direzione tangente ^t
l'equazione
ma = F + ©;
si ha che l'equazione del moto diventa
(
mÄ
s = Ft ¡ f©N ; per s_ > 0
;
mÄ
s = Ft + f©N ; per s_ < 0
(6.11)
il caso s_ = 0 va trattato a parte (seguendo le leggi dell'attrito
2
statico). Essendo ©n = m v½c ¡ Fn e ©b = ¡Fb allora
©N =
q
©2n
+
©2b
=
v"
u
u
t
v2
m ¡ Fn
½c
#2
+ Fb2 :
6.1.6 Moto di un punto su una super¯cie priva di attrito
Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive, di risultante F, sia costretto a muoversi
su di una super¯cie ¾ priva di attrito avente equazione
f (x; y; z; t) = 0:
(6.12)
L'equazione del moto μe data da
ma = F + ©
(6.13)
dove © μe la reazione vincolare o®erta dalla super¯cie al punto.
Nell'ipotesi che ¾ sia priva di attrito (sia poi ¾ indipendente o no
^ incognita, sarμa ortogonale
dal tempo) allora la reazione © = ©N,
alla super¯cie, pertanto avrμa componenti
Note di
Fisica Matematica I
6.1 Dinamica del punto
¸
169
@f
@f
©
@f
; ¸ ; ¸ ; ¸=
2R
@x
@y
@z
jrfj
dove ¸ designa un fattore di proporzionalitμa a priori incognito.
Proiettando la (6.13) sugli assi si ottengono le tre equazioni
8
x = Fx + ¸ @f
>
< mÄ
@x
>
:
mÄ
y = Fy + ¸ @f
@y
mÄ
z = Fz + ¸ @f
@z
(6.14)
che insieme alla (6.12) formano un sistema di quattro equazioni
nelle quattro incognite x; y; z (fondamentali) e ¸ (ausiliaria).
6.1.7 Esercizi
Esercizio 6.1.7.1: Studiare il moto di un punto libero P di
massa m soggetto alla sola forza peso note le condizioni iniziali
x0 = y0 = z0 = 0 e v0 = v0 cos ®^³ + v0 sin ®k^ (problema della balistica senza attrito). Calcolare inoltre l'energia meccanica totale.
Esercizio 6.1.7.2: Studiare il moto di un punto libero P di
^ e alla resistenza
massa m soggetto alla forza peso (P; F1 = ¡mg k)
dell'aria (P; F2 = ¡¸v(P )), ¸ > 0, note le condizioni iniziali x0 =
y0 = z0 = 0 e v0 = v0 cos ®^³ + v0 sin ®^k. Dimostrare che nel limite
¸ ! 0+ si ritrovano, puntualmente, le soluzioni viste nell'esercizio
precedente.
Esercizio 6.1.7.3: Studiare il moto di un punto P di massa m
vincolato a scorrere, senza attrito, lungo l'asse (O; x) e soggetto
^ e ad una forza elastica (P; F2 =
alla forza peso (P; F1 = ¡mg k)
2
¡k x^³) dovuta ad una molla di costante di elasticitμa k 2 avente
l'altro estremo ¯sso in O. Discutere inoltre se il punto P puμo
oltrepassare un punto D posto a distanza d da O ed in tal caso
calcolare con quale velocitμa oltrepassa D (facendo uso del principio
di conservazione dell'energia meccanica) e quanto tempo impiega
per andare da O a D ammesso che le condizioni iniziali al tempo
t0 = 0 siano:
x(0) = 0 e x(0)
_
= v0 ; v0 > 0:
Sempre sotto le stesse condizioni iniziali, supponiamo il punto sia
soggetto, oltre alla forza elastica e alla forza peso, ad un attrito
Note di
Fisica Matematica I
170
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
radente di coe±cienti, rispettivamente, fs e fd (< fs ); discutere il
moto del punto P e calcolare l'energia meccanica totale del punto
in funzione del tempo t.
Esercizio 6.1.7.4: Sia dato un punto materiale P di massa m
vincolato a scorrere lungo un asse (O; x1) orizzontale. Sapendo che
tale asse ruota, rispetto al riferimento assoluto (O; x; y; z), attorno
all'asse verticale (O; z) con velocitμa angolare ! = μ_k^ si domanda:
i. scrivere le equazioni di Newton rispetto all'osservatore relativo;
ii. supponendo che la velocitμa angolare ! sia costante e indicando
con fs il coe±ciente di attrito radente, calcolare le eventuali
con¯gurazioni di equilibrio relativo;
iii. supponendo che la velocitμa angolare ! sia costante, in assenza
di attrito e introducendo una forza elastica dovuta ad una molla
di costante k e avente ai suoi capi P e O, determinare il moto
relativo del punto P ;
iv. supponendo che la velocitμa angolare ! sia costante, in assenza
di attrito e assumendo che l'asse (O; x1) sia inclinato rispetto
all'asse verticale (® 2 (0; ¼=2) μe l'angolo tra i due assi), calcolare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e discutere la loro
stabilitμa.
Esercizio 6.1.7.5: Sia dato un corpo puntiforme P di massa m
vincolato a scorrere senza attrito lungo una circonferenza di centro
O e raggio ` posta in un piano verticale che ruota attorno all'asse
verticale (O; z) con velocitμa angolare ! = μ_k^ con μ = μ(t) nota.
Sia (O1 ; x1; y1 ; z1 ) il sistema di riferimento relativo con O ´ O1 ,
l'asse (O1 ; z1 ) coincidente con l'asse di rotazione e con il piano
(O1; x1 ; z1 ) contenente la circonferenza; il sistema μe ad un grado
di libertμa ed assumiamo come parametro lagrangiano l'angolo formato dal segmento P ¡ O ed il semi-asse verticale discendente. Si
domanda:
i. calcolare il potenziale e l'energia cinetica rispetto all'osservatore
relativo;
ii. calcolare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e studiarne la
stabilitμa;
iii. disegnare il diagramma delle biforcazioni per le con¯gurazioni
di equilibrio relativo in funzione del parametro positivo adimensionale ° = !g2 ` ;
Note di
Fisica Matematica I
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
171
iv. calcolare il periodo delle piccole oscillazioni delle con¯gurazioni
di equilibrio relativo distinguendo i due casi ° < 1 e ° > 1.
Esercizio 6.1.7.6: Tenendo conto della forza di Coriolis e della
forza peso calcolare, per una secchia puntiforme di massa m lasciata cadere dalla cima della Ghirlandina con velocitμa iniziale
nulla, la deviazione verso oriente della secchia rispetto alla verticale quando questa impatta al suolo.
Esercizio 6.1.7.7: Sia dato un oscillatore accoppiato costituito
da due corpi puntiformi P1 e P2 di masse, rispettivamente, m1 e
m2 , vincolati a scorrere senza attrito lungo l'asse (O; x), il punto
P1 μe collegato ad O mediante una molla di costante k1, il punto P1 μe
collegato ad un punto ¯sso A, distante L da O, mediante una molla
di costante k2 , i due punti sono poi collegati tra loro mediante una
molla di costante K. Introducendo i parametri lagrangiani x1 e x2
(scelti in modo che sia P1 ¡ O = x1^³ e P2 ¡ A = ¡x2^³), e ponendo,
per semplicitμa, m = m1 = m2 e k = k1 = k2 , si domanda di
scrivere le equazioni di®erenziali del moto, integrarle e osservare,
almeno per alcuni valori iniziali e dei parametri, il fenomeno dei
battimenti.
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
6.2.1 Lavoro elementare
De¯nizione 6.1. Sia dato un sistema S di N punti materiali
soggetto ad un sistema di forze (Ps ; Fs ), s = 1; 2; : : : ; N, sia attive che vincolari. In un istante qualsiasi t sia vs la velocitμa di
Ps e dPs = vs dt lo spostamento (in¯nitesimo) che esso subisce
nell'intervallo dt, diremo lavoro elementare complessivo del sistema di forze Fs la somma
dL =
N
X
s=1
Fs ¢ dPs =
N
X
s=1
Fs ¢ vs dt:
(6.15)
6.2.2 Corpo rigido libero
La velocitμa di un generico punto Ps di un corpo rigido μe espressa
per mezzo di due vettori caratteristici, cio¶e della velocitμa v0 di
Note di
Fisica Matematica I
172
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
un qualsiasi punto O solidale col sistema e della velocitμa angolare
istantanea ! del sistema stesso. In questo modo si ottiene
vs = v0 + ! £ (Ps ¡ O)
o, equivalentemente,
dPs = dO + ! 0 £ (Ps ¡ O)
dove abbiamo posto !0 = !dt = dμ^a essendo (O; ^a) l'asse istantaneo di rotazione. Sostituendo nella (6.15) e tenendo conto della
regola del prodotto misto si ottiene
dL = dO ¢
ÃN
X
s=1
!
Fs + ! 0 ¢
N
X
s=1
(Ps ¡ O) £ Fs
= R ¢ dO + −(O) ¢ !0
(6.16)
In particolare per un moto (o atto di moto) puramente traslatorio
(! = 0), l'espressione del lavoro elementare μe quella stessa che
competerebbe ad una unica forza applicata il O di vettore R.
Dalla (6.16) si nota che il lavoro di tutte le forze interne μe nullo,
essendo Ri = 0 e −i (O) = 0, quindi: durante il moto di un
corpo rigido, comunque vincolato e sollecitato, le forze interne eseguono un lavoro elementare identicamente nullo.
Dalla (6.16) appare anche che due sistemi di forze equivalenti compiono lo stesso lavoro elementare o, in altri termini, lo stesso lavoro virtuale.
Se il corpo rigido μe ¯ssato in un punto e questo si sceglie come
centro di riduzione, si ha v0 = 0 e la (6.16) si riduce a
dL = −(O) ¢ !0 :
(6.17)
Se poi il corpo rigido ruota intorno ad un asse ¯sso di direzione
^a, basta scegliere il polo O in un punto qualsiasi di quest'asse
perch¶e continui a sussistere la (6.17); in particolare il vettore !,
pur variando, in generale, di intensitμa col tempo, ha sempre l'asse
_a. Essendo −a la proiezione sull'asse a del momento
¯sso e ! = μ^
−(O) (momento risultante delle forze rispetto all'asse a) si
ha:
dL = −a dμ:
Note di
Fisica Matematica I
(6.18)
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
173
6.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane
Se il sistema S ha n gradi di libertμa e, rispetto alla generica n¡upla
di coordinate lagrangiane (indipendenti) qh (h = 1; 2; : : : ; n), μe
de¯nito dalle equazioni parametriche
Ps = Ps (q1 ; q2; : : : ; qn ; t)
(6.19)
il generico spostamento in¯nitesimo del sistema μe dato da
dPs =
n
X
@Ps
h=1
@qh
dqh +
@Ps
dt:
@t
Il lavoro elementare del sistema diventa quindi
Ã
n
X
N
X
!
@Ps
dL =
Qh dqh +
Fs ¢
dt
@t
s=1
h=1
(6.20)
denotando con
Qh =
N
X
s=1
Fs ¢
@Ps
@qh
la forza generalizzata di Lagrange o componente del sistema di forze Fs secondo la coordinata lagrangiana qh . A
secondo membro della (6.20) il secondo termine si annulla identicamente quando i vincoli sono indipendenti dal tempo (@Ps =@t) = 0.
6.2.4 Lavoro virtuale e identitμ
a notevoli
Nel caso di spostamenti virtuali ±Ps si perviene per il lavoro virtuale
±L =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps ;
e quindi ±L =
n
X
Qh ±qh :
(6.21)
h=1
Se le forze (Ps ; Fs ) derivano da un potenziale U, espresso in coordinate lagrangiane per mezzo delle equazioni parametriche (6.19),
funzione delle q e anche del tempo t, se i vincoli sono dipendenti da
esso. In ogni caso sappiamo giμa che si ha ±L = ±U, dove ±U denota
il di®erenziale
totale della U in quanto dipendente dalle sole q, cio¶e
Pn
@U
±U = h=1 @qh ±qh ; quindi, identi¯cando con la (6.21) e tenendo
Note di
Fisica Matematica I
174
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
conto della arbitrarietμa dei ±qh nell'ipotesi di vincoli olonomi (in
modo che gli spostamenti in¯nitesimi ±qh sono arbitrari e indipendenti tra loro), si ottengono per le componenti lagrangiane della
@U
sollecitazione, nel caso conservativo, le espressioni Qh = @q
.
h
Nel caso di un corpo rigido libero i vincoli sono indipendenti
dal tempo. Quindi, come nel caso appena visto, il generico spostamento virtuale μe de¯nito da
±Ps = ±O + !0 £ (Ps ¡ O);
dove ±O denota lo spostamento virtuale del polo O e ! 0 la corrispondente rotazione virtuale, e si trova
±L = R ¢ ±O + −(O) ¢ ! 0;
(6.22)
dove, naturalmente, R e −(O) denotano ancora il vettore risultante e il momento risultante, rispetto ad O, delle forze (Ps ; Fs ).
6.2.5 Energia cinetica o forza viva
De¯nizione 6.2. Diremo energia cinetica o forza viva di un
sistema materiale S di N punti Ps di massa ms la somma
T =
N
N
1X
1X
ms vs2 =
ms v s ¢ v s :
2 s=1
2 s=1
(6.23)
Si tratta di una grandezza scalare, sempre positiva, salvo
che negli istanti di arresto di tutti i punti del sistema, nei quali
l'energia cinetica si riduce a zero; μe manifesto che essa μe di natura
relativa al riferimento adottato (in Dinamica quando si parla di energia cinetica, senza ulteriore speci¯cazione, si sottointende che il
moto sia riferito ad una terna ¯ssa o, piμ
u generalmente, galileiana).
Teorema di KÄ
onig
Denotando con (O 0 ; x0 ; y0 ; z 0) un sistema di riferimento mobile e con
(O; x; y; z) il sistema di riferimento ¯sso, la velocitμa di un punto
Ps rispetto al sistema ¯sso μe data da vs = v¿;s + v0s ; dove v¿;s μe
la velocitμa di trascinamento di Ps e v0s μe la velocitμa relativa di Ps .
Nel caso particolare in cui il sistema mobile si muova di moto
Note di
Fisica Matematica I
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
175
traslatorio allora v¿;s = v(O 0 ) = v0 e l'energia cinetica T assume
la forma
Ã
!
N
N
X
1
1X
2
02
T = mv0 +
ms v s + v 0 ¢
ms v0s ;
2
2 s=1
s=1
(6.24)
dove m denota la massa totale del sistema. La (6.24) presenta
l'energia cinetica del sistema, nel suo moto rispetto a (O; x; y; z),
come somma di tre termini, cio¶e l'energia cinetica che competerebbe
al punto O 0 qualora fosse un punto materiale di massa m, l'energia
cinetica del sistema nel suo moto relativo ad O 0 , ed, in¯ne, una
quantitμa che dipende sia dal moto di O0 che dal moto relativo.
La formula (6.24) si sempli¯ca quando si assume come riferidel sistema. In tal caso, essendo
mento
mobile O 0 il baricentro G P
PN
N
0
m
(P
¡
G)
=
0,
si
ha
che
s
s
s=1
s=1 ms vs = 0.
Pertanto abbiamo il seguente risultato:
Teorema 6.3 (Teorema del KÄ
onig). L'energia cinetica di un
qualsiasi sistema materiale in moto μe, istante per istante, eguale
alla somma dell'energia cinetica che competerebbe in quell'istante
al baricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasse
concentrata tutta la massa del sistema, piμ
u l'energia cinetica nel
moto del sistema relativo al baricentro (ovvero all'osservatore centrato nel baricentro e traslante):
N
N
X
1X
1 2
2
+ TG ; TG =
ms vs0 ; m =
ms :
T = mvG
2
2 s=1
s=1
(6.25)
Energia cinetica di un corpo rigido
Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0 + v0s , dove v0 =
v(O0 ), e v0s = ! £ (Ps ¡ O 0 ) con ovvio signi¯cato
di tali grandezze
P
vettoriali. In particolare, ponendo m = N
m
e:
s
s=1
1
T 0 = mv02 ;
2
N
1X
2
T 00 =
ms f! £ (Ps ¡ O0 )g ;
2 s=1
T 000 = v0 ¢
N
X
s=1
ms ! £ (Ps ¡ O 0)
Note di
Fisica Matematica I
176
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
allora la (6.24) diventa:
T = T 0 + T 00 + T 000 :
(6.26)
Qui dobbiamo esprimere T 0 ; T 00 ; T 000 in termini delle sei caratter0
istiche date da v0 = u^³ + v^´ + w^k e ! = p^³0 + q^´0 + rk^ (dove μe piμ
u
conveniente, ma non necessario, proiettare ! su una terna solidale
0
di versori ^³0 , ^´0 e ^k )).
Il primo addendo T 0 , che fornirebbe l'intera energia cinetica del
corpo rigido qualora il moto fosse puramente traslatorio, μe dato da
´
1
1 ³
T 0 = mv02 = m u2 + v2 + w2
(6.27)
2
2
dove si μe denotata con m la massa totale del corpo rigido.
Per trovare l'espressione esplicita di T 00 , che darebbe la intera energia cinetica se il punto solidale O0 fosse ¯sso, considerariamo la distanza ds del generico punto Ps del corpo rigido
dall'asse istantaneo di rotazione (O0 ; !). Poich¶e f! £ (Ps ¡ O 0 )g2 =
! 2d2s allora, raccogliendo ! a fattor comune, si trova che:
1
T 00 = I! 2;
2
dove I =
N
X
ms d2s
s=1
rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse
istantaneo di rotazione passante per O 0. In particolare, essendo
A; B; C e A0 ; B0 ; C 0 i momenti e i prodotti d'inerzia del corpo
rigido rispetto alla terna solidale al corpo rigido, si ha:
1
T 00 = I! 2
2
o
1n 2
=
Ap + Bq 2 + Cr2 ¡ 2A0pq ¡ 2B 0pr ¡ 2C 0qr (6.28)
2
dove i momenti A; B; C e A0 ; B 0; C 0 calcolati rispetto al riferimento solidale sono costanti durante il moto del corpo rigido.
Infatti, il momento di inerzia I rispetto all'asse di istantanea rotazione passante per O di equazioni (®x; ¯x; °x), x 2 R e dove
® = p=!, ¯ = q=! e ° = r=! sono i coseni direttori della retta, μe
dato da
I = A®2 + B¯ 2 + C° 2 ¡ 2A0 ®¯ ¡ 2B 0®° ¡ 2C¯°
´
1 ³
= 2 Ap2 + Bq2 + Cr 2 ¡ 2A0 pq ¡ 2B0 pr ¡ 2Cqr :
!
Note di
Fisica Matematica I
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
177
Il terzo addendo, in¯ne, T 000 si puμo scrivere, per una nota proprietμa
del prodotto misto:
T 000 =
N
X
s=1
ms (Ps ¡ O0 ) ¢ (v0 £ !)
= m(G ¡ O 0) ¢ (v0 £ !) :
(6.29)
Dalla (6.26) e dalle formule (6.27), (6.28) e (6.29) risulta che
in ogni caso la energia cinetica di un corpo rigido μ
e una
forma quadratica nelle 6 caratteristiche dell'atto di moto
(u; v; w; p; q; r).
Osserviamo che: se il centro di riduzione O 0 (che μe al tempo
stesso origine delle coordinate) si sceglie nel baricentro si annulla (G ¡ O 0) = 0 e quindi T 000 ; se poi si scelgono come assi
coordinati i rispettivi assi principali di inerzia allora si annullano i tre prodotti di inerzia A0 = B0 = C 0 = 0, mentre A; B; C
diventano i tre momenti principali di inerzia baricentrali. Per la
energia cinetica si ottiene l'espressione notevolmente semplice in
accordo con il Teorema di KÄonig:
´
´
1 ³
1³ 2
T = m u2 + v 2 + w 2 +
Ap + Bq2 + Cr2
2
2
(6.30)
Corpo rigido con un punto ¯sso o un asse ¯sso
Quando il corpo rigido S sia ¯ssato in un suo punto, basta scegliere
questo punto O 0 come centro di riduzione del moto rigido (e come
origine della terna solidale); allora l'energia cinetica, per un corpo
rigido rotante intorno ad un asse ¯ssato con velocitμa angolare !,
μe data da
1
T = T 00 = I! 2 ;
2
dove si μe scelto il centro di riduzione O0 (origine anche della terna
solidale) sull'asse e dove I denota il momento di inerzia del corpo
rigido rispetto al suo asse di rotazione. Operando come prima si
ha la seguente espressione equivalente (con ovvio signi¯cato dei
termini):
T = T 00 =
o
1n 2
Ap + Bq2 + Cr2 ¡ 2A0 pq ¡ 2B0 pr ¡ 2C 0 qr :
2
Note di
Fisica Matematica I
178
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Energia cinetica di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane
Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps , dotato di n
gradi di libertμa, dove i vincoli sono rappresentati dalle equazioni
parametriche (6.19); per cui le velocitμa (possibili) vs dei singoli
punti Ps , in funzione delle coordinate qs e delle velocitμa lagrangiane
q_s e del tempo, sono date da
vs =
n
X
@Ps
h=1
@qh
q_h +
@Ps
; s = 1; : : : ; N:
@t
(6.31)
Sostituendole nelle (6.23) si puμo scrivere
T = T2 + T1 + T0 ;
(6.32)
designando, rispettivamente, con T2 ; T1; T0 l'insieme dei termini
di II ± grado nelle q,
_ dei termini di I ± grado e, in¯ne, dei termini
indipendenti dalle q.
_ Piμ
u precisamente si ottiene
T2 =
n
N
X
1 X
@Ps @Ps
ah;k q_h q_k ; ah;k = ah;k (q; t) =
ms
¢
;
2 h;k=1
@qh @qk
s=1
T1 =
n
X
k=1
T0 =
Ak q_k ; Ak = Ak (q; t) =
Ã
N
1X
@Ps
ms
2 s=1
@t
N
X
ms
s=1
!2
@Ps @Ps
¢
@qk @t
dove i coe±cienti ah;k , Ak e T0 dipendono dai parametri lagrangiani
e dal tempo. In particolare μe immediato osservare che ah;k = ak;h .
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, le espressioni
(6.31) delle velocitμa si riducono alla loro parte lineare nelle velocitμa
lagrangiane q:
_
vs =
n
X
@Ps
h=1
@qh
q_h :
(6.33)
In particolare T1 = T0 = 0 e l'energia cinetica assume la forma
N
N
X
1 X
@Ps @Ps
T =
ah;k q_h q_k ; ah;k =
ms
¢
2 h;k=1
@qh @qk
s=1
Note di
Fisica Matematica I
(6.34)
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
179
μ questa dunque
dove i coe±cienti ah;k dipendono dalle sole qh . E
l'espressione generale della energia cinetica di un sistema
olonomo a vincoli indipendenti dal tempo e ad n gradi
di libertμ
a (di fatto l'ipotesi di olonomia non μe necessaria a questo
stadio).
Vale il seguente risultato:
Teorema 6.4. T2 μe una forma quadratica nelle q_h de¯nita positiva; cio¶e T2 ¸ 0 per ogni scelta delle velocitμa lagrangiane
q_1 ; : : : ; q_n e T2 = 0 se, e solo se, q_1 = : : : = q_n = 0.
Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli indipendenti dal tempo e dimostriamo prima il teorema sotto questa
ipotesi. Osserviamo che T μe per sua natura stessa de¯nita positiva e quindi, essendo T = T2 sarμa necessariamente T2 ¸ 0. Se poi
T2 = 0 allora T = 0 e quindi deve essere vs = 0; resta quindi da
fare vedere che
q_h = 0; h = 1; 2; : : : ; n , vs = 0; s = 1; 2; : : : ; N
ovvere le q_h sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tutte
s
= 0, μe immediato che vs = 0 quando
le vs . Dalla (6.31), in cui @P
@t
q_h = 0. Per dimostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vs
sono nulle allora abbiamo che deve essere
n
X
@xs
h=1
@qh
q_h = 0;
n
X
@ys
h=1
@qh
q_h = 0;
n
X
@zs
h=1
@qh
q_h = 0
che implica q_h = 0 poich¶e la matrice Jacobiana delle xs ; ys ; zs
rispetto alle qh , in virtμ
u della ipotesi della indipendenza delle coordinate lagrangiane, μe, per valori generici di esse, di caratteristica
n. Supponiamo ora i vincoli dipendenti dal tempo; T sarμa ancora
de¯nita positiva ma ora T = T2 + T1 + T0 . Mostriamo per prima
cosa che T2 ¸ 0. Supponiamo per assurdo che esistano q¹_h non
tutte nulle tali che T¹2 < 0, quindi sarμa T2 = ®2 T¹2 < 0 anche per
®q¹_h per qualunque ® 2 Rnf0g e inoltre sarμa
T = ®2
n
n
X
1 X
ah;k q¹_h q¹_k + ®
Ah q¹_h + T0 = ®2 T¹2 + ®T¹1 + T¹0:
2 h;k=1
h=1
Poich¶e abbiamo supposto per assurdo T¹2 < 0 allora, per ® su±cientemente grande, sarμa T < 0 cadendo in assurdo. Mostriamo
Note di
Fisica Matematica I
180
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
ora che T2 = 0 implica q_h = 0. Supponiamo, per assurdo, che esistano q¹_h non tutte nulle tali che T¹2 = 0, quindi sarμa T2 = ®2 T¹2 = 0
anche per ®q¹_h per qualunque ® 2 Rnf0g. Quindi
T =®
n
X
Ah q¹_h + T0 = ®T¹1 + T¹0:
h=1
Se T¹1 6= 0 allora basta prendere ® di segno opposto a T¹1 e su±cientemente grande per avere T < 0 cadendo in assurdo; quindi
deve essere anche T¹1 = 0, ottenendo
T = T¹0 =
N
X
s=1
ms
Ã
@Ps
@t
!2
:
Osserviamo che T¹0 μe indipendente da q¹_h e quindi da ® mentre T
dipende da ® attraverso v¹s e la (6.31), poich¶e q¹_h 6= 0 per un qualche
h, cadendo ancora in assurdo. Quindi abbiamo provato che T2 ¸ 0
e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere q_h = 0 per ogni
h.
Notiamo, in¯ne, che nell'uno e nell'altro caso il determinante
kah;k k degli n2 coe±cienti ah;k , appunto come discriminante di una
forma de¯nita (positiva), non puμ
o annullarsi. Per dimostrare
questo risultato indipendentemente dal Teorema precedente si
puμo procedere come segue: supponiamo i vincoli indipendenti dal
tempo (per semplicitμa) e sia, per assurdo, questo determinante
fosse nullo, per una qualche scelta dei parametri lagrangiani qh e
t; allora esistono q¹_h non tutte nulle soddisfacenti al sistema di n
equazioni lineari
n
X
@T
=
ah;k q¹_k = 0; h = 1; 2; : : : ; n:
@ q_h k=1
Moltiplicando i membri di questa equazione per q¹_h si ottiene che
deve essere
0=
n
X
h=1
q¹_h
@T
= 2T
@ q_h
per il teorema di Eulero, cadendo in assurdo.
Note di
Fisica Matematica I
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
181
6.2.6 Quantitμ
a di moto e momento della quantitμ
a di moto
De¯nizione 6.5. De¯niamo quantitμ
a di moto di un sistema di
punti Ps di massa ms la somma vettoriale
Q=
N
X
ms v s :
(6.35)
s=1
P
Derivando l'equazione vettoriale m(G ¡ O) = N
s=1 ms (Ps ¡ O),
dove G μe il baricentro e vG la sua velocitμa, abbiamo
mvG =
N
X
ms vs = Q:
(6.36)
s=1
Abbiamo dunque che:
Teorema 6.6. La quantitμa di moto di un sistema qualsiasi μe ad
ogni istante eguale alla quantitμa di moto che, in quell'istante, spetterebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui si
trovasse concentrata la massa totale del sistema.
De¯nizione 6.7. Dato un sistema materiale S si dice momento
delle quantitμ
a di moto rispetto ad un qualsiasi punto O il momento risultante rispetto ad O delle quantitμa di moto dei singoli
punti Ps del sistema, cio¶e la grandezza vettoriale
K(O) =
N
X
s=1
(Ps ¡ O) £ ms vs =
N
X
s=1
ms vs £ (O ¡ Ps ): (6.37)
Il momento della quantitμa di moto μe legato alla scelta del punto
O secondo la seguente relazione:
K(O0 ) = K(O) + (O ¡ O0 ) £ Q
dove Q μe la quantitμa di moto del sistema. Infatti
K(O 0 ) =
=
N
X
s=1
N
X
s=1
ms vs £ (O0 ¡ Ps ) =
ms vs £ (O ¡ Ps ) +
N
X
s=1
N
X
s=1
ms vs £ [(O ¡ Ps ) + (O0 ¡ O)]
ms vs £ (O0 ¡ O)
0
= K(O) + (O ¡ O ) £ Q:
Note di
Fisica Matematica I
182
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Scegliendo come centro di riduzione dei momenti il baricentro
G del sistema ed essendo v0s le velocitμa dei punti del sistema nel
loro moto relativo a G (cio¶e rispetto ad un osservatore baricentrico
traslante): vs = vG + v0s si ha che:
K(G) =
=
=
=
N
X
s=1
N
X
s=1
N
X
s=1
N
X
s=1
ms vs £ (G ¡ Ps )
ms v0s
£ (G ¡ Ps ) +
N
X
s=1
ms vG £ (G ¡ Ps )
ms v0s £ (G ¡ Ps ) + vG £
N
X
s=1
ms (G ¡ Ps )
ms v0s £ (G ¡ Ps ) = K0 (G):
Pertanto si conclude che:
Teorema 6.8. Comunque si muova un sistema, il momento delle
quantitμa di moto (assoluto) rispetto al baricentro coincide con
l'analogo momento delle quantitμa di moto relativo al baricentro
stesso (cio¶e rispetto all'osservatore baricentrico e traslante):
K(G) = K0(G):
Derivata del momento della quantitμ
a di un sistema
Derivando la relazione (6.37) si ottiene
N
dK(O) X
=
(Ps ¡ O) £ ms as ¡ v0 £ Q:
dt
s=1
(6.38)
Se il centro di riduzione O μe ¯sso (v0 = 0), la (6.38) si sempli¯ca
nella forma
N
dK(O) X
=
(Ps ¡ O) £ ms as :
(6.39)
dt
s=1
Si noti che tale sempli¯cazione rimane valida anche quando il centro di riduzione O (pur non essendo, in generale, ¯sso) coincida,
istante per istante, con il baricentro del sistema, infatti in
tal caso il termine vG £ Q μe identicamente nullo dalla (6.36), o oppure abbia velocitμ
a parallela a quella del baricentro, infatti
v0 £ Q = v0 £ (mvG ) = 0.
Note di
Fisica Matematica I
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
183
6.2.7 Quantitμ
a di moto e momento delle quantitμ
a di moto di un
corpo rigido
Quando il sistema S in moto μe un corpo rigido, e si assume a centro
di riduzione O0 un punto solidale con il sistema, i due vettori Q
e K(O 0) si esprimono in modo notevolmente semplice per mezzo
delle caratteristiche u; v; w e p; q; r del moto di S rispetto ad una
qualsiasi terna solidale (O0 ; x0; y 0; z 0 ) dove
0
0
v0 = u^³0 + v^´0 + wk^ ; ! = p^³0 + q^´0 + rk^ :
Piμ
u precisamente si ha che:
Teorema 6.9. Le componenti di Q e K si identi¯cano con le
derivate parziali dell'energia cinetica T del corpo rigido rapporto
alle 6 caratteristiche:
Q = r(u;v;w) T =
@T 0 @T 0 @T ^0
^³ +
^´ +
k
@u
@v
@w
e
K(O0 ) = r(p;q;r) T =
@T 0 @T 0 @T ^0
^³ +
^´ +
k:
@p
@q
@r
Dimostrazione. Infatti, partendo dalla de¯nizione T =
dove
1
2
PN
s=1
ms vs2 ,
0
vs = v0 + ! £ (Ps ¡ O 0) = vs;x0^³0 + vs;y0^´0 + vs;z 0 k^ ; v0 = v(O);
viene proiettata sulla terna solidale e dove
vs;x0 = u + v~s;x0 (p; q; r):
L'energia cinetica T sarμa funzione di u; v; w; p; q; r e, derivandola
rispetto ad u si ottiene che solamente vs;x0 dipende da u e che
@vs;x0
= 1; quindi:
@u
N
X
@T
=
ms vs;x0 ;
@u
s=1
(6.40)
il cui secondo membro non μe altro che la componente Qx0 di Q
secondo l'asse delle x0. Analogamente per y0 e z 0 ottenendo:
Note di
Fisica Matematica I
184
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Qx0 =
@T
@T
@T
; Qy 0 =
; Qz 0 =
:
@u
@v
@w
(6.41)
Derivando ora la T rispetto a p si perviene all'identitμa
"
#
N
N
X
X
@T
@vs
@!
=
ms
¢ vs =
ms
£ (Ps ¡ O) ¢ vs
@p s=1
@p
@p
s=1
=
N
X
s=1
0
ms^³ £ (Ps ¡ O) ¢ vs =
N
X
s=1
ms^³0 ¢ (Ps ¡ O) £ vs = Kx0 :
Analogamente
Ky 0 =
@T
@T
; Kz 0 =
@q
@r
(6.42)
completando cosμ³ la dimostrazione.
In particolare dalle (6.26) e (6.27){(6.28){(6.29) si ottengono le
espressioni delle componenti di Q e K(O0 ). In particolare, quando
il centro di riduzione O0 coincide con il baricentro o quando O 0 sia
¯ssato nello spazio (da ciμo T 000 = 0), allora le (6.42) assumono la
forma
8
0
0
>
< Kx0 = Ap ¡ B r ¡ C q
K 0 = ¡C 0 p + Bq ¡ A0r
y
>
: K 0 = ¡B0 p ¡ A0 q + Cr
z
(6.43)
e basta prendere come assi solidali i tre assi principali d'inerzia in
O0 (baricentro o punto solidale ¯sso) per ridurle ulteriormente alla
forma canonica
Kx0 = Ap; Ky 0 = Bq; Kz0 = Cr
(6.44)
dove A; B; C denotano i momenti principali di inerzia.
Vale il seguente teorema:
Teorema 6.10. L'energia cinetica di un corpo rigido vale
1
1
T = v(O 0 ) ¢ Q + ! ¢ K(O 0 ):
2
2
Dimostrazione. Il Teorema si dimostra applicando il Teorema di
Eulero all'energia cinetica T
Note di
Fisica Matematica I
6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi
2T =
185
@T
@T
@T
@T
@T
@T
u+
v+
w+
p+
q+
r;
@u
@v
@w
@p
@q
@r
considerata come forma quadrattica delle 6 caratteristiche (vedi la
nota a seguito della formula (6.29)) e tenendo conto delle (6.41),
(6.42).
Se il polo O0 dei momenti si fa coincidere con il baricentro
(Q = mvG ), allora si puμo scrivere (μe il Teorema di KÄonig) T =
1
2
mvG
+ 12 ! ¢KG . Inoltre, nel caso in cui O0 sia ¯sso allora abbiamo
2
che T = 12 ! ¢ K(O 0):
Corpo rigido ad asse ¯sso
Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta ¯ssa a con velocitμa
angolare ! allora, scegliendo l'asse a coincidente con uno degli assi
di riferimento (ad es. l'asse x0 ) per cui p = §! e q = r = 0, le
(6.41) e (6.42) assumono la forma:
Qx0 = 0; Qy0 = ¡mz0 p; Qz 0 = my0 p;
Kx0 = Ap; Ky 0 = ¡C 0p; Kz 0 = ¡B0 p:
Si prova cosμ³ che il momento delle quantitμ
a di moto rispetto
all'asse di rotazione μ
e dato dal prodotto di §! per A (momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse).
6.2.8 Esercizi
Esercizio 6.2.8.1: Sia data un'asta rigida OA omogenea, lunga `
e di massa m vincolata a ruotare attorno all'asse (O; z) rimanendo
inclinata rispetto all'asse stesso (sia ® 2 (0; ¼=2) l'angolo che l'asta
forma con la verticale). Essendo ! = μ_^k la velocitμa angolare
dell'asta (dove μ μe l'angolo di rotazione), calcolare l'energia cinetica
dell'asta, in particolare calcolare l'energia cinetica quando ® = 0.
Esercizio 6.2.8.2: sia data un'asta rigida OA omogenea, lunga
` e di massa m avente l'estremo O ¯sso. Calcolare l'energia cinetica
dell'asta.
Esercizio 6.2.8.3: Sia data un'asta rigida AB omogenea, lunga
` e di massa m vincolata a muoversi nel piano (O; x; y) e avente
Note di
Fisica Matematica I
186
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
l'estremo A vincolato ad una circonferenza di centro O e raggio R.
Calcolare l'energia cinetica dell'asta.
Esercizio 6.2.8.4: Calcolare l'energia cinetica del sistema materiale, mobile nel piano (O; x; y), formato da:
- un'asta rigida OC omogenea, lunga `, di massa m e con asse
¯sso normale al piano (O; x; y) e passante per O;
- un disco rigido omegeneo, di raggio R e massa M il cui centro
μe incernierato all'estremo C dell'asta.
Esercizio 6.2.8.5: Calcolare l'energia cinetica dell'asta AB
omogenea, mobile nel piano (O; x; y), lunga ` e di massa m avente
un estremo A vincolato a scorrere lungo l'asse x.
Esercizio 6.2.8.6: Calcolare l'energia cinetica dell'asta AB
omogenea, mobile nel piano (O; x; y), lunga ` e di massa m avente
l'estremo A vincolato a scorrere lungo l'asse x e l'altro estremo B
vincolato a scorrere lungo l'asse y.
Esercizio 6.2.8.7: Calcolare l'energia cinetica di un disco omogeneo di massa m, raggio R, mobile nel piano e che ruota senza
strisciare su un asse.
Esercizio 6.2.8.8: Sia dato il sistema materiale (detto bilanciere) costituito da:
- due sfere omogenee di massa M e raggio R ciascuna,
- un'asta rigida, omogenea, lunga 2` e massa 2m;
l'asta μe rigidamente collegata alle due sfere come in ¯gura. Calcolare l'energia cinetica del sistema sapendo che l'asta ruota attorno ad un asse ¯sso passante per il centro dell'asta e normale
all'asta stessa.
Esercizio 6.2.8.9: Calcolare il momento della quantitμa di moto
di un'asta AB omogenea, lunga ` e massa m che ruota attorno ad
un asse normale all'asta stessa e passante per l'estremo A.
Esercizio 6.2.8.10: Calcolare il momento della quantitμa di
moto di un'asta OA omogenea, lunga ` e massa m avente l'estremo
O ¯sso.
Esercizio 6.2.8.11: Calcolare il momento della quantitμa di
moto di un'asta AB omogenea, lunga ` e massa m che si muove
liberamente nel piano (O; x; y).
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
187
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di
Lagrange
6.3.1 Generalitμ
a
Se ci riferiamo ad un sistema S di N punti materiali Ps ogni sollecitazione sarμa costituita da forze applicate agli N punti del sistema che, in base al postulato di indipendenza degli e®etti delle
forze, si potranno ridurre ad N forze applicate rispettivamente agli N punti Ps , sostituendo, per ciascuno di questi, alle
varie forze agenti su di esso la rispettiva risultante.
Se gli N punti Ps sono liberi ed μe data la sollecitazione risultante
Fs cui essi sono sottoposti, il problema del moto si pone immediatamente nelle equazione vettoriali (e quindi 3N equazioni scalari)
del II ± ordine nelle N incognite vettoriali Ps = Ps (t) dell'unica
variabile indipendente t:
ms as = Fs
dove as μe l'accelerazione del punto Ps , di massa ms , valutata con
riferimento alla terna rispetto alla quale sono misurate le forze
agenti sui punti del sistema.
In generale avremo, oltre alle forze attive, anche dei vincoli
(sistemi materiali vincolati); per quanto μe noto dal postulato delle reazioni vincolari possiamo ritenere che su ciascun
punto del sistema l'azione esercitata dai vincoli, nelle date
condizioni di sollecitazione, sia sostituibile con una forza
(incognita) che chiameremo reazione o forza vincolare. Se
ne consegue che, anche nel caso piμ
u generale di sistemi vincolati,
varranno le equazioni fondamentali
ms as = Fs + Ás
(6.45)
purch¶
e vi si interpreti ciascuna delle Fs come risultante
e
complessiva delle forze attive e Ás delle reazioni, cui μ
soggetto il corrispondente punto Ps . Si noti che, in generale, si conoscono, oltre alle forze attive, le modalitμ
a di realizzazione dei vincoli, ma non le corrispondenti reazioni, le quali
hanno perciμo il carattere di incognite ausiliarie; di qui appare
che le equazioni (6.45) costituiscono, per il problema del moto di
un sistema vincolato, una interpretazione provvisoria.
Note di
Fisica Matematica I
188
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Per una piμ
u precisa caratterizzazione seguiteremo il percorso giμa
tracciato nella Statica dove, distinguendo le forze in interne ed esterne, siamo pervenuti alle equazioni cardinali della Statica;
mentre poi, nella Statica generale, partendo dalla distinzione delle
forze in attive e vincolari e aggiungendo opportune ipotesi alla
natura dei vincoli (assenza di attrito), siamo riusciti ad eliminare, grazie al principio dei lavori virtuali, dalle condizioni di
equilibrio le incognite reazioni.
6.3.2 Teoremi della quantitμ
a di moto e del momento delle quantitμ
a
di moto. Equazioni cardinali della Dinamica
Teorema della quantitμ
a di moto
Dato un sistema materiale S di N punti Ps comunque vincolato e
sollecitato, distinguiamo l'insieme di tutte le forze attive e vincolari agenti sul sistema in esterne ed interne (attive e vincolari)
avente vettori denotati, rispettivamente, Fs;i e Ás;i e Fs;e e Ás;e .
Le equazioni del moto si potranno scrivere:
ms as = Fs;i + Ás;i + Fs;e + Ás;e ;
s = 1; : : : ; N:
(6.46)
Le forze interne (Ps ; Fs;i ) e (Ps ; Ás;i ), per la loro stessa natura,
costituiscono un sistema vettorialmente equivalente a zero
(cio¶e avente nulli il risultante e il momento risultante); quindi,
sommando ambo i membri della (6.46), si ottiene:
Ã
!
N
dQ X
dvs
=
ms
=
dt
dt
s=1
N
X
ms as =
s=1
N
X
s=1
Fs;e +
N
X
Ás;e
s=1
e denotando con Re il vettore risultante di tutte le forze attive
esterne e denotando con ©e il vettore risultante di tutte le reazioni
vincolari esterne, si ottiene la relazione
dQ
= Re + ©e :
dt
Abbiamo dunque il seguente risultato:
(6.47)
Teorema 6.11 (Teorema della quantitμ
a di moto). La derivata
della quantitμa di moto di un qualsiasi sistema materiale μe, istante
per istante, uguale al vettore risultante delle forze esterne (attive
e vincolari).
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
189
Ricordando che Q = mvG , dove m μe la massa del sistema e vG
la velocitμa del baricentro, la (6.47) si puμo scrivere
maG = Re + ©e :
(6.48)
Cio¶e:
Teorema 6.12 (Teorema del baricentro). Qualunque sia il sistema materiale che si considera e qualunque sia la sollecitazione
cui esso μe sottoposto, il baricentro si muove come se fosse un punto
materiale dotato della massa totale del sistema e come se tutte le
forze esterne (attive e vincolari) agenti sul sistema fossero applicate in esso.
Il teorema precedente ci assicura che nessuna azione di congegni
interni verrμa a modi¯care la traiettoria del baricentro. In particolare se Re + ©e μe identicamente nullo dalla (6.48) segue aG = 0;
cio¶
e il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme.
Se poi, piμ
u generalmente, μe costantemente nulla la componente
di Re + ©e secondo una qualche direzione ¯ssa a si ottiene che
rimane costante, durante il moto del sistema, la componente della velocitμ
a del baricentro secondo la direzione
a.
Teorema del momento delle quantitμ
a di moto
Riprendiamo le equazioni (6.46) e consideriamo come elemento
ausiliare di riduzione, un punto O qualsiasi. Se, dopo avere moltiplicato vettorialmente ambo i membri per (Ps ¡ O), sommiano
rispetto all'indice s si ha, ricordando che il momento risultante
delle forze interne rispetto ad O μe costantemente nullo:
N
X
s=1
ms as £ (O ¡ Ps ) =
=
N
X
(Ps ¡ O) £ ms as
s=1
dK(O)
+ v(O) £ Q:
dt
Che si puμo scrivere come:
dK(O)
+ v(O) £ Q = −e (O) + ªe (O):
dt
Note di
Fisica Matematica I
(6.49)
190
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Se, in particolare, il centro di riduzione O μ
e ¯sso o coincide
con il baricentro o ha velocitμ
a parallela a quella del baricentro, allora la (6.49) assume la forma piμ
u semplice
dK(O)
= −e (O) + ªe (O):
dt
(6.50)
Vale quindi il seguente:
Teorema 6.13 (Teorema del momento della quantitμ
a di
moto). Comunque si muova un sistema materiale, la derivata
in rapporto al tempo del momento delle quantitμa di moto rispetto
ad un punto ¯sso o coincidente con il baricentro o avente velocitμa
parallela a quella del baricentro μe, istante per istante, uguale al momento risultante di tutte e sole le forze (attive e vincolari) esterne
rispetto al medesimo centro di riduzione.
Il Teorema μe qui dimostrato nella solita ipotesi implicita che il
moto del sistema sia riferito al riferimento rispetto al quale sono
misurate le forze. Ma sappiamo che, assumendo come centro di
riduzione il baricentro, il momento della quantitμ
a di moto
(assoluto) del sistema coincide con quello della quantitμ
a
di moto relativa al baricentro (cio¶e relativa al riferimento baricentrico e traslante); perciμ
o la (6.50) sussiste anche quando
per K(G) si prenda quest'ultimo momento K0(G), purch¶
e,
beninteso, i momenti −e (G) e ªe (G) delle forze esterne si
calcolino rispetto all'osservatore iniziale.
Se la sollecitazione del sistema μe tale che il momento risultante
−e (O)+ªe (O) delle forze esterne si mantenga costantemente nullo
allora, durante tutto il moto, il vettore K(O) si conserva
costante (in grandezza e direzione) e l'equazione K(O) = cost: si
chiama integrale del momento (vettoriale) delle quantitμ
a di
moto. Ad esempio, nel caso di un solido soggetto a forze esterne
in cui sia nullo il momento risultante rispetto al baricentro (μe il
caso di un sistema pesante), se questo si muove a partire dalla
quiete, il suo moto μe necessariamente traslatorio. In generale le
componenti del vettore K(G) (date da Ap; Bq; Cr) si mantengono
costanti (e per sistemi inizialmente in quiete dovrμa aversi p = q =
r = 0 per tutto il moto).
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
191
6.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi
Le due equazioni vettoriali
dQ
= Re + © e
dt
dK(O)
= −e (O) + ªe (O) ¡ v(O) £ Q;
dt
(6.51)
(6.52)
o, piμ
u particolarmente, la (6.51) e la
dK(O)
= −e (O) + ªe (O);
dt
(6.53)
si dicono le equazioni cardinali della Dinamica.
Cosμ³ come nel caso statico (Q = K(O) = 0) queste valgono necessariamente per ogni sistema materiale mobile e non
saranno in generale su±cienti a caratterizzarne il moto. Se perμo
sarμa possibile ridurre da esse un numero di equazioni di®erenziali
indipendenti, non contenenti le reazioni vincolari, ma solamente i
parametri lagrangiani del sistema allora esse possono essere "su±cienti" a caratterizzare il moto. Cio¶e la soluzione di tali equazioni
soddisfacenti alle condizioni iniziali dμa, per il teorema di unicitμa
delle equazioni di®erenziali, il moto del sistema. Piμ
u precisamente
si puμo pensare che, in accordo con il caso statico, per i sistemi
rigidi esse bastano in ogni caso a de¯nirne il moto completamente
e perciμo costituiscono la base di tutta la Dinamica dei solidi.
Mostriamo che questa proposizione μe veri¯cata per alcuni casi
notevoli.
Corpo rigido libero
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 6 gradi di libertμa
e le equazioni cardinali della Dinamica sono
M
dK(O)
d2 G
= Re e
= −e (O)
2
dt
dt
dove O μe un punto ¯sso o coincidente con il baricentro e dove
Re e −e (O) dipendono, in generale, dai parametri lagrangiani,
dalle loro derivate e dal tempo. Abbiamo cosμ³ ottenuto un sistema
di equazioni di®erenziali costituito da 6 equazioni in 6 incognite.
Note di
Fisica Matematica I
192
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
Con una scelta opportuna dei parametri lagrangiani (ad es. le tre
coordinate del baricentro e i 3 angoli di Eulero) si prova che tale
sistema μe riducibile in forma normale e quindi, in virtμ
u del Teorema
di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole le soluzioni del moto.
Corpo rigido con punto ¯sso
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 3 gradi di libertμa
e le equazioni cardinali della Dinamica, in cui prendiamo come polo
il punto ¯sso O, sono
d2 G
dK(O)
= Re + © e e
= −e (O)
2
dt
dt
poich¶e ªe (O) = 0 in quanto tutte le reazioni vincolari esterne sono
applicate in O. Quindi la seconda equazione cardinale rappresenta
un sistema di equazioni di®erenziali costituito da 3 equazioni nelle
3 incognite (ad esempio gli angoli di Eulero) non contenente le
reazioni vincolari. Tale sistema μe riducibile in forma normale e
quindi, in virtμ
u del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte
e sole le soluzioni del moto.
M
Corpo rigido con asse ¯sso
In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 1 grado di libertμa e la seconda equazione cardinale della Dinamica, in cui prendiamo come polo un punto ¯sso O sull'asse ¯sso, proiettata sull'asse
stesso (coincidente con l'asse z) dμa luogo all'equazione di®erenziale
Iz μÄ = −e;z
(6.54)
dove μ indica l'angolo di rotazione attorno all'asse ¯sso, Iz il momento di inerzia del corpo rigido rispetto a quest'asse. Infatti
le reazioni vincolari sono tutte applicate a punti dell'asse (da cui
deriva ªe;z = 0). Tale equazione μe in forma normale e quindi, in
virtμ
u del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole le
soluzioni del moto.
6.3.4 Principio di d'Alembert e relazione simbolica della Dinamica
Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
193
ms as = Fs + Ás
(6.55)
Fs ¡ ms as + Ás = 0:
(6.56)
che si possono scrivere
Se durante il moto si interpreta ciascuno dei vettori ¡ms as come
una forza, che diremo forza d'inerzia concernente il punto Ps , si
rileva dalle (6.56), in quanto si riferiscono ad N punti da considerarsi come liberi, che: durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sollecitato, si fanno, istante
per istante, equilibrio le forze attive, le forze di inerzia e
le reazioni. In particolare, dando il nome di forze perdute ai
termini Fs ¡ ms as , avremo che
Principio di d'Alembert: Durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sollecitato, si fanno istante per istante equilibrio, in virtμ
u dei vincoli, le forze perdute e le reazioni
vincolari.
Il principio di d'Alembert ha un notevole interesse in quanto
riduce l'impostazione di una qualsiasi questione Dinamica
ad una questione di Statica.
Il principio del d'Alembert, unitamente al principio dei lavori
virtuali (che vuole il lavoro virtuale delle reazioni vincolari nullo
nell'ipotesi di vincoli lisci), conduce a caratterizzare il moto di un
sistema a vincoli privi di attrito mediante la relazione
N
X
s=1
(Fs ¡ ms as ) ¢ ±Ps · 0
(6.57)
da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali ±Ps ,
a partire dalla con¯gurazione assunta dal sistema, durante il suo
moto, nel generico istante che si considera. La (6.57) prende il
nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di vincoli
bilaterali va sostituita alla corrispondente equazione
N
X
s=1
(Fs ¡ ms as ) ¢ ±Ps = 0
detta equazione simbolica della Dinamica.
Note di
Fisica Matematica I
(6.58)
194
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
La relazione simbolica della Dinamica μe stata determinata nel
caso in cui i vincoli siano privi di attrito. Qualora vi siano vincoli
scabri noi possiamo ripetere il procedimento che ci ha portato a
tale relazione con la sola variante che si consideri direttamente
applicata a ciascun punto Ps , accanto alla risultante Fs delle forze
attive (interne ed esterne), anche la risultante Ás delle reazioni
vincolari (interne ed esterne) dovute ai vincoli scabri. Si perviene
in tale modo alla relazione simbolica
N
X
s=1
(Fs + Ás ¡ ms as ) ¢ ±Ps = 0:
(6.59)
Questa relazione μe, in generale, di utilitμa puramente teorica. Acquista un reale interesse nel caso di vincolo di puro rotolamento.
Infatti, in questo caso particolare, il punto in cui si esercita la
reazione dovuto al vincolo scabro μe istantaneamente fermo e quindi
Ás ¢ ±Ps = 0 e la (6.59) si riduce alla (6.58).
Commento al Principio di D'Alembert
Alcuni autori (ad esempio Gallavotti e Dell'Antonio) preferiscono
introdurre il principio dei lavori virtuali (Il lavoro virtuale delle
reazioni vincolari μe nullo) e poi speci¯care che i vincoli per i quali
questo principio μe soddisfatto si chiamano vincoli perfetti o vincoli ideali. Si veri¯ca sperimentalmente che, nel caso di sistemi
meccanici, quanto piμ
u le super¯ci di vincolo sono "levigate" o "liscie" allora tanto migliore μe la descrizione del moto mediante il
principio di D'Alambert.
Osserviamo anche che questo principio μe giusti¯cato esclusivamente dalla veri¯ca sperimentale e non μe conseguenza delle tre
leggi di Newton. La sua importanza risiede nel fatto che questo
principio permette di caratterizzare quei sistemi meccanici per i
quali la equazione di Newton rappresenta un problema ben posto
(cio¶e si ha la esistenza ed unicitμa della soluzione per ogni dato
iniziale compatibile con il vincolo e la continuitμa rispetto ai dati
iniziali).
Osserviamo in¯ne che altri autori postulano la validitμa della
equazione (o relazione) simbolica della Dinamica e da questa fanno
discendere il principio dei lavori virtuali; questo approccio, seppur
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
195
legittimo, priva il principio dei lavori virtuali della evidenza sperimentale e lo fa discendere da un postulato piμ
u astratto.
6.3.5 Equazioni di®erenziali del moto di un sistema olonomo in
coordinate lagrangiane
Riferiamo il nostro sistema olonomo S, ad una n¡upla qualsiasi
di coordinate lagrangiane indipendenti qh dove n denota il grado
di libertμa del sistema. Sia Ps = Ps (qh ; t) che, derivate rispetto al
tempo, danno le velocitμa
vs =
n
X
@Ps
h=1
q_h +
@qh
@Ps
@t
(6.60)
e gli spostamenti virtuali
±Ps =
n
X
@Ps
h=1
@qh
±qh
(6.61)
dove le n componenti ±qh sono arbitrarie e indipendenti.
Riprendendo la equazione simbolica della Dinamica, considerata
valida per tutti gli spostamenti virtuali, si ha:
N
X
s=1
ms as ¢ ±Ps =
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps ;
(6.62)
Per il secondo membro, lavoro virtuale ±L delle forze attive complessivo, si ha identicamente:
N
X
s=1
Fs ¢ ±Ps =
n
X
Qh ±qh
dove Qh =
N
X
s=1
h=1
Fs ¢
@Ps
@qh
(6.63)
μe la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata lagrangiana qh . Quanto al primo membro della (6.62)
esso si puμo scrivere, dalla (6.61), come
N
X
s=1
ms as ¢ ±Ps =
n
X
h=1
¿h ±qh ;
dove ¿h =
N
X
s=1
ms a s ¢
@Ps
: (6.64)
@qh
In base alla arbitrarietμa dei termini ±qh e alle due identitμa (6.63)
e (6.64) l'equazione simbolica della Dinamica equivale alle n
equazioni:
Note di
Fisica Matematica I
196
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
¿h = Qh ;
h = 1; 2; : : : ; n:
(6.65)
Si conclude cosμ³ che per il sistema olonomo, e a vincoli lisci e
bilateri, considerato le n equazioni (6.65) equivalgono alla
equazione simbolica della Dinamica e sono perciμ
o atte a
caratterizzare il moto.
Piμ
u precisamente abbiamo dimostrato che:
Teorema 6.14. Supponendo il sistema olonomo, e a vincoli lisci
e bilateri, allora, in virtμu del postulato dei lavori virtuali, discende
che, durante il moto, le (6.65) sono necessariamente veri¯cate.
Si veri¯ca che esse costituiscono precisamente un sistema
di n equazioni di®erenziali (indipendenti) del II ± ordine
nelle n funzioni incognite qh della variabile t, riducibile a
forma normale, cio¶
e risolubile rispetto alle derivate seconde. Infatti i termini dipendenti dalle qÄh compaiono solamente
nella ¿h , tramite le as , come (ottenuta derivando la (6.60) rispetto
al tempo):
as =
n
X
@Ps
h=1
@qh
qÄh + rs (q_h ; qh ; t):
Si riconosce quindi che nella generica equazione (6.65) (di indice
h) il coe±ciente delle qÄk μe uguale a
ah;k =
N
X
s=1
ms
@Ps @Ps
¢
@qh @qk
coincidente con il coe±ciente ah;k di q_h q_k nella espressione, in coordinate lagrangiane, della energia cinetica T o della sua parte
quadratica T2, secondo che i vincoli siano indipendenti o no dal
tempo; e dove si μe dimostrato che il determinante kah;k k non μe
mai nullo. Con le (6.65) si μe raggiunto lo scopo indicato: si μ
e
cio¶
e ridotto il problema della determinazione del moto di
un sistema olonomo alla integrazione di un sistema differenziale (del II ± ordine) nel minimo numero possibile di
funzione incognite (numero dei gradi di libertμ
a).
Noti i valori qh0 e q_h0 di qh e q_h in un determinato istante, cio¶e
assegnate la con¯gurazione iniziale del sistema e le velocitμa iniziali
dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
197
unicitμa delle equazioni di®erenziali, una unica soluzione qh = qh (t)
delle (6.65) che darμa, necessariamente, il moto del sistema. Cio¶e:
Teorema 6.15. Suppondendo il sistema olonomo e a vincoli lisci e
bilateri e assumendo condizioni su±cienti di regolaritμa, siano qh (t)
soluzioni del sistema (6.65) soddisfacenti alle condizioni iniziali
assegnate qh0 e q_h0 . Allora qh (t) determina la legge oraria del moto
(almeno in un intorno dell'istante iniziale).
6.3.6 Dimostrazione della "su±cienza" delle equazioni cardinali
della Dinamica
Consideriamo il caso di un corpo rigido soggetto a vincoli bilateri
e lisci. Siamo in grado di provare che le equazioni cardinali della
Dinamica sono su±cienti a determinare il moto. Cio¶e:
Teorema 6.16. Nel caso di un corpo rigido con vincoli bilateri allora le equazioni cardinali della Dinamica (6.51) e (6.52) (o 6.53)
sono su±cienti a caratterizzare il moto.
Dimostrazione. Infatti, basta provare che dalle equazioni cardinali
dellaP
Dinamica segue che il Teorema dei lavori virtuali μe veri¯cato,
cio¶e N
s=1 (Fs ¡ ms as ) ¢ ±Ps = 0, e da qui segue che sono veri¯cate
le equazioni di Lagrange. A tal ¯ne ricordiamo che ±Ps = ±O +
±μ^a £ (Ps ¡ O) dove O μe un punto qualunque del corpo rigido, ad
esempio prendiamo O ´ G. Un calcolo immediato dμa:
N
X
(Fs ¡ ms as ) ¢ ±Ps =
s=1
=
N
X
Fs ¢ ±O +
s=1
N
X
N
X
s=1
Fs ¢ ±μ^a £ (Ps ¡ O) ¡
N
X
s=1
ms
dvs
¢ ±O +
dt
dvs
¢ ±μ^a £ (Ps ¡ O)
dt
s=1
dQ
dK(O)
= Re ¢ ±O + −e (O) ¢ ±μ^a ¡
¢ ±O ¡
¢ ±μ^a
dt!
Ã
!
à dt
dQ
dK(O)
=¡
¡ Re ¢ ±O ¡
¡ −e (O) ¢ ±μ^a:
dt
dt
¡
ms
D'altra parte le reazioni vincolari, in virtμ
u del principio dei lavori
virtuali, soddisfano alla relazione
Note di
Fisica Matematica I
198
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
0=
N
X
s=1
Ás ¢ ±Ps =
N
X
s=1
Ás ¢ [±O + ±μ^a(Ps ¡ O)]
= ©e ¢ ±O + ªe (O) ¢ ±μ^a:
Sottraendola alla precedente allora si ottiene
Ã
N
X
!
dQ
(Fs ¡ ms as ) ¢ ±Ps = ¡
¡ Re ¡ ©e ¢ ±O +
dt
s=1
Ã
!
dK(O)
¡
¡ −e (O) ¡ ªe (O) ¢ ±μ^a = 0
dt
che risulta essere identicamente nulla se le equazioni cardinali della
Dinamica (6.51) e (6.53) risultano veri¯cate. Quindi la equazione
simbolica della dinamica risulta essere veri¯cata e da qui le conseguenti equazioni di Lagrange.
6.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma
Riprendiamo le (6.65), si veri¯ca immediatamente che vale la
seguente, detta seconda forma delle equazioni del Lagrange:
d @T
@T
¡
= Qh ; h = 1; 2; : : : ; n:
dt @ q_h @qh
(6.66)
Esse danno la completa impostazione del problema del moto di
un sistema olonomo; e, sotto l'aspetto analitico, costituiscono
un sistema di®erenziabile del II ± ordine nelle n funzioni incognite
qh (t), riducibile a forma normale.
La dimostrazione μe immediata e segue ricordando che T =
1 PN
s=1 ms vs ¢ vs e notando che dalla (6.60) risulta
2
@vs
@Ps
=
@ q_h
@qh
e
d @Ps
@ dPs
@vs
=
=
;
dt @qh
@qh dt
@qh
allora
N
X
@T
@vs
=
ms v s ¢
@qh s=1
@qh
e
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
199
N
N
X
@T
@vs X
@Ps
=
ms v s ¢
=
ms vs ¢
:
@ q_h s=1
@ q_h s=1
@qh
Derivando quest'ultima rispetto al tempo si ottiene che
d
dt
Ã
@T
@ q_h
!
=
N
X
s=1
ms as ¢
N
@Ps X
@vs
@T
+
ms v s ¢
= Qh +
:
@qh s=1
@qh
@qh
Notiamo che, nelle (6.66), tutto ciμo che dipende dalla sollecitazione attiva μe riassunto nelle sue componenti lagrangiane Qh ,
tutto quello che attiene alla struttura materiale del sistema μe sintetizzato nell'unico elemento globale T , cio¶e nella forza viva.
Si veri¯ca facilmente che quando i vincoli sono indipendenti dal tempo, le (6.66) implica il teorema delle forze vive
che, come giμa sappiamo, sussiste per ogni sistema con tali vincoli.
Infatti, dalle equazioni di Lagrange (6.66) segue immediatamente
che deve essere
n
X
h=1
"
#
n
X
d @T
@T
¡
dqh =
Qh dqh = dL(a) :
dt @ q_h @qh
h=1
Dal Teorema di Eulero segue che
2T =
n
X
q_h
h=1
@T
@ q_h
che derivata rispetto al tempo dμa
n
X
dT
d
2
=
q_h
dt
dt
h=1
Ã
@T
@ q_h
!
+
n
X
qÄh
h=1
@T
:
@ q_h
D'altra parte T dipende esplicitamente della q e q_ e quindi si ha
che
n
n
X
X
dT
@T
@T
=
q_h
+
qÄh
dt
@qh h=1 @ q_h
h=1
che sottratta a quella precedentemente ottenuta dμa
"
n
X
dT
d
=
dt
h=1 dt
Ã
@T
@ q_h
!
#
@T
¡
q_h
@ q_h
ovvero
Note di
Fisica Matematica I
200
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
dT =
n
X
h=1
"
d
dt
Ã
@T
@ q_h
!
#
@T
¡
dqh
@ q_h
che, unita a quella precedentemente ottenuta, dμa dT = dL(a) .
6.3.8 Funzione Lagrangiana
Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us ;
quindi
U = U (qh ; t) =
N
X
Us (Ps )
s=1
e ammettiamo che i vincoli dipendano dal tempo t. Avremo an@U
cora, in coordinate lagrangiane, Qh = @q
. Da ciμo, e dalla indipenh
denza di U da q_h , le equazioni di Lagrange assumono la forma
d @L
@L
¡
= 0; h = 1; 2; : : : ; n;
dt @ q_h @qh
(6.67)
L(q_h ; qh ; t) = L = T + U:
(6.68)
dove si μe posto
Alla funzione L si dμa il nome di funzione Lagrangiana.
In generale, possiamo considerare sistemi piμ
u generali, detti
sistemi Lagrangiani, caratterizzati dalle equazioni (6.67) dove
L = L(q_h ; qh ; t) μe una funzione con determinante della matrice
2
simmetrica @ q@_h @Lq_k mai nullo.
6.3.9 Esercizi
Esercizio 6.3.9.1: Sia mobile nel piano (O; x; y), (O; y) verticale ascendente, il sistema articolato costituito di due aste omogenee OA e AB lunghe, rispettivamente, `1 e `2 e di massa, rispettivamente, m1 e m2. L'asta OA ha un asse ¯sso passante per
O e normale al piano (O; x; y) ed μe incernierata in A all'asta
AB. Sul sistema agisce, oltre alla forza peso, una forza costante
(B; F = F^³), F > 0. Assumendo come parametri lagrangiani gli
angoli ® 2 [0; 2¼) e ¯ 2 [0; 2¼) che le due aste rispettivamente
formano con le verticali discendenti, si domanda:
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
201
i. scrivere le equazioni cardinali della statica, determinare le con¯gurazioni di equilibrio e le reazioni vincolari in corrispondenza
a queste con¯gurazioni;
ii. scrivere le equazioni cardinali della dinamica;
iii. calcolare il potenziale delle forze attive e l'energia cinetica del
sistema, scrivere poi le equazioni di Lagrange;
iv. ritrovare le soluzioni viste in ii. e studiarne la stabilitμa;
v. assumendo ora F = 0 calcolare il periodo delle piccole oscillazioni, le frequenze ed i moti normali.
Esercizio 6.3.9.2: Nel piano verticale (O; x; y), (O; y) verticale
ascendente, μe mobile il sistema materiale pesante costituito da:
- un disco rigido di raggio R, centro G, massa M e densitμa ½(C) =
cr dove r μe la distanza del generico punto C dal centro G del
disco e dove c > 0 μe una costante data;
- un punto P di massa M=2.
Il disco rigido μe vincolato a ruotare senza strisciare sul piano
inclinato AB, soggetto alla forza peso e, mediante una molla, ad
una forza applicata in G e di vettore ¡k 2 (G ¡ O). Il punto P μe
appeso ad un ¯lo (che supponiamo °essibile e inestendibile e di
massa trascurabile) passante per una carrucola (di dimensioni e
massa trascurabili) posta in D(d; h) e che si avvolge su un disco
centrato in G, di raggio R=2 e rigidamente connesso con il disco di
raggio R. Supponiamo che il ¯lo, la carrucola e il disco di raggio
d = ¼=6,
R=2 abbiano di massa trascurabile ed assumiamo BAx
jOAj = 2R e che il punto D sia tale che il ¯lo si mantiene parallelo
ad AB (come anche la molla). Scelto come parametro la distanza
» di G dall'origine O, si domanda:
i. il momento IH del disco di raggio R calcolato rispetto ad un asse
perpendicolare al piano e passante per il punto H di contatto
tra il piano inclinato ed il disco;
ii. l'energia cinetica e il potenziale della sollecitazione attiva del
sistema;
iii. le con¯gurazioni d'equilibrio del sistema e la loro stabilitμa;
iv. le reazioni vincolari interne ed esterne in condizioni statiche;
v. l'equazione e la legge oraria del moto supponendo che, all'istante
iniziale, il disco di raggio R sia fermo e che jAHj = jHBj;
Note di
Fisica Matematica I
202
6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto
vi. determinare la tensione ¿ del ¯lo, in funzione del tempo, durante il moto.
Esercizio 6.3.9.3: Nel piano (O; x; y), (O; y) verticale ascendente, μe mobile il sistema materiale pesante costituito da:
- un'asta OA rigida, omogenea, di lunghezza `, massa m, saldata
ad un disco di centro O, raggio R, massa M e densitμa ½(C) =
c»(R ¡ ») dove » = jOCj, C denota un generico punto del disco
e c denota una opportuna costante positiva;
- un corpo puntiforme P di massa ¹.
L'asta e il disco, saldati assieme, hanno un asse ¯sso normale al
piano e passante per O. Il punto P μe appeso ad un ¯lo (°essibile,
inestendibile e di massa trascurabile) che si avvolge sul disco. Assumendo come parametro lagrangiano l'angolo μ 2 R che l'asta
forma con l'asse verticale, si domanda:
i. la costante c che compare nella espressione della densitμa del
disco;
ii. calcolare il potenziale delle forze attive e l'energia cinetica del
sistema;
iii. ponendo ® = 2¹R
, determinare le con¯gurazioni di equilibrio
m`
del sistema e studiarne la stabilitμa in funzione del parametro ®,
disegnare il diagramma di biforcazione;
iv. scrivere le equazioni cardinali della Dinamica;
v. scrivere la funzione Hamiltoniana.
vi. sia ^t il versore normale all'asta OA e diretto in verso antiorario;
introducendo in A una forza di vettore F = F0 cos(!t)^t, trascurando la massa m dell'asta e assumendo le condizioni iniziali
μ0 = 0 e μ_0 = 0 determinare il moto del sistema.
Esercizio 6.3.9.4: Nello spazio (O; x; y; z), (O; z) verticale ascendente, μe mobile il sistema materiale pesante costituito da due
punti P eQ di massa m ciascuno, posti agli estremi di una asta
rigida P Q di lunghezza 2` e massa trascurabile. Il punto medio M
dell'asta μe vincolato a scorrere, senza attrito, lungo l'asse (O; x1)
passante per O e inclinato di un angolo ®, 0 < ® < ¼, rispetto
all'asse (O; z). Inoltre l'asta P Q, mobile nel piano (O; x1 ; z), puμo
ruotare attorno ad un asse passante per M e normale al piano
Note di
Fisica Matematica I
6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange
203
(O; x1; z). Sul sistema agisce, oltre alla forza peso, una forza elastica (M; k 2(H ¡ M)) dove H μe la proiezione di M lungo l'asse
^
(O; z). Inoltre, l'asse (O; x1 ) ruota con velocitμa angolare ! = ! k,
cone ! costante attorno all'asse (O; z). Essendo x1, ascissa di M
lungo l'asse (O; x1 ), e ', angolo formato tra la verticale in M e
QM , i parametri lagrangiani, si domanda:
i. il potenziale e l'energia cinetica del sistema rispetto all'osservatore
mobile, determinare inoltre le equazioni di®erenziali del moto
rispetto all'osservatore mobile;
ii. determinare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e la loro stabilitμa nell'ipotesi k 6= 2m! 2;
iii. determinare le frequenze ed i moti normali attorno alle con¯gurazioni di equilibrio stabile;
iv. determinare l'energia cinetica, rispetto all'osservatore ¯sso, del
sistema supponendo l'asta P Q omogenea e di massa M.
Esercizio 6.3.9.5: Sia data un'asta omogenea AB, lunga ` e
massa m con A e B vincolati a scorrere, senza attrito, lungo gli
assi (O1 ; x1) e (O1 ; z1) di un sistema mobile (O1 ; x1; y1 ; z1 ) dove
O1 ´ O e (O1 ; z1) coincide con l'asse verticale ascendente. Il
sistema mobile ruota con velocitμa angolare ! = '_ k^ nota attorno
all'asse verticale, '(t) μe una funzione nota. Si domanda:
i. scrivere le equazioni cardinali della dinamica riferite all'osservatore
relativo;
ii. nell'ipotesi che ! sia costante determinare le con¯gurazioni di
equilibrio relativo e le reazioni vincolari in corrispondenza a tali
con¯gurazioni;
iii. nell'ipotesi che ! sia costante calcolare il potenziale e l'energia
cinetica rispetto all'osservatore relativo, scrivere poi le equazioni
di Lagrange;
iv. nell'ipotesi che ! sia costante ritrovare le con¯gurazioni di equilibrio relativo con il metodo del potenziale, studiarne la stabilitμa e disegnarne il diagramma di biforcazione in funzione del
parametro adimensionale ° = 32 `!g 2 .
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