Fondamenti di Elettromagnetismo.pptx

Dario D’Amore – Corso di Elettrotecnica (AA 08‐09)   Si dice campo scalare uno scalare funzione del punto, per es.
la temperatura in una stanza, la densità della materia in una
regione dello spazio …
  Un campo vettoriale è un vettore funzione del punto, per es.
la velocità dell’acqua in una regione di mare rispetto a un
punto fisso sul fondo, il valore della forza agente su di una
particella di ferro nei pressi di una calamita fissa …
2   Come per tutti i vettori, il vettore che rappresenta un campo
vettoriale in un punto può essere scomposto nelle sue
componenti rispetto ad un sistema di coordinate.
  In funzione del tipo di problema affrontato sarà conveniente
usare coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche.
  Esistono operatori che permettono di ottenere campi vettoriali
da campi scalari e vice versa.
3   Rappresentazione di un campo scalare, per es. quota in ogni
punto di una regione montagnosa:
La funzione: h = h(x, y)
descrive la quota in ogni punto della regione. In questa ﬁgura i diversi colori sono proporzionali al valore della quota. 4  
campo vettoriale, per es. il vettore che indica la pendenza in ogni punto di una regione
montagnosa
DalDal campo scalare “quota”: h = h(x, y)
con l’operatore gradiente ottengo il campo vettoriale “pendenza”: ∂h(x, y)
∂h(x, y)
P=
i+
j
∂x
∂y
5 6 Nasce una forza di attrazione o repulsione: La forza elettrica 7   I fenomeni elettrici trovano origine nella struttura della materia ‐ neutralità   Nel SI la carica elettrica si misura in coulomb [C]   La carica elettrica è quantizzata: multiplo della carica elementare di un elettrone: −e = 1, 60206 × 10−19 C
8 1 qq0
F=
u
2
4π"0 r
"0 = 8, 88542 × 10−12
C2
Nm2
ε0 : Permettività del vuoto 9   La misura della carica elettrica può essere eﬀettuata con l’elettroscopio a lamelle 10 Campo Elettrostatico creato da una carica isolata q0 posta in P 1 q1 q0
F=
u
2
4π"0 r
! "
F N
E=
q0 C
Campo Elettrostatico creato da una coppia di cariche (sovrapposizione) F = F1 + F2 =
1 q1 q0
1 q2 q0
u
+
u2
1
2
2
4π"0 r1
4π"0 r2
F
E=
q0
11 12   Tangente e concorde in ogni punto con il campo elettrostatico in quel punto   Non si incrociano mai (il campo è deﬁnito univocamente)   Hanno origine nelle cariche positive e terminano nelle cariche negative Linee di forza del campo elettrostatico creato da una carica isolata a)  Carica positiva b)  Carica negativa 13   Linee di forza del campo elettrostatico creato da una coppia di cariche di ugual valore Q A) di segno opposto B) di segno uguale 14 Se la forza che agisce su una carica è di natura diversa da quella elettrostatica (ad esempio è dovuta a processi chimici o ad azioni meccaniche) possiamo comunque deﬁnire un campo Elettromotore F
E=
⇒ F = q0 E
q0
Una forza che causa uno spostamento della carica di Δ s compie un lavoro ΔW ∆W = F · ∆s = q0 Es ∆s
15   Il lavoro compiuto lungo una linea orientata C1 si ottiene sommando i singoli contributi ΔWi   Operando un passaggio al limite la sommatoria diventa un integrale di linea (b) 16   Il lavoro compiuto dalle forze del campo elettromotore per spostare una carica unitaria lungo la linea C1 orientata da A a B si chiama Tensione elettrica tra A e B lungo C1: V (A → B lungo C1 ) = VC1 =
!
C1
E · ds
V C1
  La tensione ha orientamento opposto a quello della linea C1   La tensione si misura in volt [V], il campo elettrico si misura in [V/m] piuttosto che in [N/C] 17 W =
!
"
F · ds =
F · ds +
F · ds =
C1
−C2
"
"
F · ds −
F · ds = W1 − W2
C1
W =
!
C
"
F · ds = q0
fem =
!
C2
!
C
C
E · ds = q0 fem
E · ds
18   Quando il lavoro compiuto dalle forze del campo in un percorso chiuso è nullo, allora il campo di forze di dice Conservativo   Il campo elettrostatico è un campo conservativo. !
fem =
E · ds = 0
C
  Il lavoro compiuto dalle forze del campo su una carica dipende soltanto dai punti estremi del percorso e non dalla particolare linea   Anche la tensione dipende soltanto dai punti estremi e non dalla particolare linea 19   In un campo elettrostatico la tensione diventa indipendente dalla linea considerata W1 =
!
C1
F · ds =
!
C2
F · ds = W2
⇒ VC2 = VC2 = VAB
VAB
20 Flusso attraverso un elemento di superﬁcie dφ(E) = E · us dΣ = EcosθdΣ = Es dΣ
Flusso attraverso una superﬁcie !
φ(E) =
E · us dΣ
Σ
Flusso attraverso una superﬁcie chiusa φ(E) =
!
Σ
E · us dΣ
21 !
qtot
φ(E) =
E · us dΣ =
"0
Σ
Legge di Gauss nel caso di una distribuzione di carica Legge di Gauss nel caso di cariche discrete 22   Nel caso particolare di una carica puntiforme possiamo veriﬁcare la Legge di Gauss φ(E) =
!
Σ
E · us dΣ =
q
4π#0 r2
!
ur · us dΣ =
q
4π#0 r2
!
dΣ =
q0
#0
23   Possiamo applicare la legge di Gauss per calcolare il campo elettrico prodotto da un piano indeﬁnito uniformemente carico (σ: densità di carica superﬁciale [C/m2]) q
σΣ
φ(E) = EΣ + EΣ =2 EΣ =
=
"0
"0
σ
⇒E=
2"0
24 Il campo elettrico all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico è nullo La tensione tra due punti qualsiasi di un conduttore è sempre nulla VC1 =
VC2 =
!
!C1
C2
E · ds = 0
E · ds = 0
25   Il campo elettrostatico creato da un conduttore carico ha le linee di forza sempre perpendicolari alla superﬁcie   Il campo elettrostatico creato da un conduttore carico si può calcolare con la legge di Gauss dφ(E) = E · un dΣ = EdΣ
q
σΣ
φ(E) = EΣ =
=
"0
"0
σ
⇒ E = un
"0
26   Campo elettrico creato da un conduttore sferico carico con densità di carica superﬁciale σ: σ
q
⇒ E = un =
un
2
"0
4π"0 R
27   Il campo creato dalla bachelite agisce sulle cariche libere presenti nel conduttore, spostandole.   Queste si disporranno in modo da rendere nullo il campo all’interno. −−−
−−−
−−−
28   Il campo elettrostatico creato da una coppia di lastre piane indeﬁnite cariche con densità di carica superﬁciale ±σ è nullo nello spazio non compreso tra le due lastre   Nello spazio tra le lastre il campo ha valore doppio di quello calcolato per una singola lastra σ
E=
"0
29 Dati due conduttori con carica rispettivamente +q e –q, si dice capacità il rapporto tra la carica depositata sul conduttore e la tensione V che si stabilisce tra di essi. Il verso della tensione è da intendersi come in ﬁgura. q
C=
V
La capacità nel SI si misura in Farad (F) 1 Farad = 1Coulomb/1Volt 30   Le armature distano h ed hanno superﬁcie Σ.   La carica presente sulle armature è ±q.   Il campo elettrostatico tra le armature vale q
σ
=
E=
"0
Σ"0
  La tensione V tra le armature vale !
V h
qh
V =
E · ds = Eh =
Σ!0
0
  La capacità del condensatore è: x
!0 Σ
q
=
C=
V
h
31   La precendente derivazione è approssimata (eﬀetti di bordo del campo elettrostatico)   Il lavoro compiuto da un “agente esterno” (ad es. una pila di volta) per sottrarre la carica dq’ da un’armatura e depositarla sull’altra è q! !
dW = V dq = dq
C
!
!
  Quando la carica totale spostata vale q, il lavoro complessivo è W =
!
0
q
q! !
q2
CV 2
dq =
=
=E
C
2C
2
  Questa quantità dipende solo dallo stato ﬁnale e non dal particolare processo di carica   Questa funzione si chiama energia del campo elettrostatico 33   Due cariche puntiformi +q e –q poste a distanza a formano un dipolo elettrico   Si deﬁnisce momento del dipolo elettrico il vettore p = qa
Con p orientato dalla carica negativa a quella positiva 34   Il dipolo di momento p è posto in una regione su cui agisce un campo elettrico esterno E F1 = −qE
F2 = +qE
  Nasce un momento meccanico che tende a far ruotare l’asse del dipolo M = r2 × F2 + r1 × F1 = (r2 − r1 ) × F2 = qa × E = p × E
|M| = |p × E| = pEsin(θ)
Il momento di dipolo fa ruotare il dipolo in modo da avere p ed E paralleli 35   Inseriamo una lastra conduttrice di spessore s tra due lastre parallele distanti h con densità di carica σo   Per induzione completa, la lastra rende nullo il campo al suo interno mentre non altera quello esterno   Se s
V = E0 (h − s) < E0 h = V0
⇒h
V ⇒0
V
V
36   Inseriamo una lastra di materiale isolante di spessore s tra due lastre parallele distanti h con densità di carica σo   La tensione diminuisce al crescere di s ma non tende a zero V0
  Se s ⇒ h V ⇒ Vk
κ=
> 1 Costante dielettrica Vk
relativa V
Vk
37   La diminuzione del campo elettrico si giustiﬁca con la comparsa sulle facce estreme del dielettrico di una carica di polarizzazione di densità ±σp σ0
σp
Ek =
−
"0
"0
38   La capacità di un condensatore piano con un dielettrico tra le armature cambia q0
κq0
Cκ =
=
= κC0
Vk
V0
  Quanto ricavato per il calcolo della capacità continua a valere utilizzando la permettività dielettrica assoluta ! = κ!0
q
Σ
C=
=!
V
d
[F ]
39   A livello atomico, l’eﬀetto del campo elettrico produce un micro‐spostamento degli elettroni rispetto al nucleo dell’atomo   Questo causa un momento di dipolo elettrico pa su ogni singolo atomo.   Detto n il numero di atomi per unità di volume si può deﬁnire il vettore polarizzazione P=n<p>
<p> è il momento di dipolo atomico medio Dato che ogni momento di bipolo p è parallelo ad E, anche P è parallelo ad E Il vettore polarizzazione si misura in C/m2 40   Consideriamo il dielettrico uniformemente polarizzato tra le armature di un condensatore piano   Il momento di dipolo relativo ad un volumetto inﬁnitesimo è: dp = P dΣ0 dh = (dq)dh
  Possiamo sostituire il prisma con un dipolo elettrico ±dq = ±P dΣ0
41   Sulle facce interne le cariche si compensano   Sulle facce estreme le cariche non si possono compensare a causa della discontinuità del mezzo   Estendendo la somma (integrale) a tutti i primsetti che compongo il volume del dielettrico si ricava che il momento di dipolo risultante è p = qp h = (σp Σ)h = P Σh
±σp = ±P
La densità superﬁciale delle cariche di polarizzazione è uguale alla componente di P lungo la normale alla superﬁcie   Per la maggior parte dei dielettrici risulta (dielettrici lneari): P = !0 (κ − 1)E
42   La presenza delle cariche di polarizzazione la legge di Gauss si scrive così (cariche libere e di polarizzazione): !
q + qp
Φ(E) = E · un dΣ =
!0
  La carica di polarizzazione contenuta nella scatola a base cilindrica in azzurro è negativa e vale: qp = −σp Σ = −P Σ
Per la scatola possiamo scrivere allora: !
P · un dΣ = P Σ = σp Σ = −qp
Sostituendo nella legge di Gauss si ottiene: Φ(E) =
!
!
"
#
!
1
E · un dΣ =
q − P · un dΣ
!0
(!0 E + P) · un dΣ = q
Infatti, P è nullo all’interno del conduttore, ed è parallelo ad E tra le armature   Si deﬁnisce vettore induzione dielettrica la quantità: D = !0 E + P
  Da cui si ricava la legge di Gauss per l’induzione dielettrica: Φ(D) =
!
D · un dΣ = q
Il ﬂusso dell’induzione dielettrica attraverso una superﬁcie chiusa è uguale alla somma delle cariche libere contenute all’interno della superﬁcie 44   In un dielettrico lineare la polarizzazione è proporzionale al campo elettrico: P = !0 (κ − 1)E
Risulta quindi: D = !0 E + P = !0 E + !0 (κ − 1)E = !0 κE = !E
All’interno di un dielettrico: D = !E
Nel vuoto: D = !0 E
45 