Esercizi risolti e temi d`esame

Esercizi risolti e temi d’esame
Esercitazione 1 (Capitolo 1 Termodinamica):
esercizi svolti
1.
La pressione in un pneumatico automobilistico dipende dalla temperatura dell’aria
contenuta nel pneumatico. Quando la temperatura dell’aria è 25°C la pressione relativa all’ambiente è 210 kPa . Se il volume del pneumatico è 0.025 m 3 determinare
l’aumento di pressione quando la temperatura dell’aria nel pneumatico sale a 50°C .
Determinare anche la quantità di aria che deve essere spillata per ripristinare la pressione al suo valore originale a questa temperatura. Assumere che la pressione
ambiente sia 100 kPa . [ 26 kPa, 7 g ]
Dati: oltre a quelli riportati nello schema è nota p amb = 100 kPa
Incognite: p 2 – p 1 , m spill = m 2 – m 3
S ta to 1
a ria
Svolgimento
Equazione di stato dei gas riferita alle condizioni 1: p 1 V 1 = n 1 R T 1
T 1 = 25 °C
p 1 ,r e l = 2 1 0 k
V 1 = 0 .0 2 5 m
Equazione di stato dei gas riferita alle condizioni 2: p 2 V 2 = n 2 R T 2
Valgono V 1 = V 2 = V poiché il volume del pneumatico non cambia e n 1 = n 2 = n
p
p
nR
perché la quantità di gas contenuta è costante. Si ha quindi: ---------- = -----1 = -----2 da cui si
V
T1
T2
S ta to 2
a ria
T 2 = 50 °C
ricava la pressione nello stato 2.
NB Le pressioni che compaiono nell’equazione di stato sono assolute, così come
le temperature.
p 1 = p 1, rel + p amb = 210 kPa + 100 kPa = 310 kPa
S ta to 3
a ria
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
T3= T2
p3 = p1
T2
( 50 + 273.15 ) K
p 2 = p 1 ⋅ ----- = 310 kPa ⋅ --------------------------------------- = 336 kPa
T1
( 25 + 273.15 ) K
L’aumento di pressione che si verifica in seguito all’aumento di temperatura vale
quindi p 2 – p 1 = 336 kPa – 310 kPa = 26 kPa
Equazione di stato dei gas riferita alle condizioni 3: p 3 V 3 = n 3 R T 3
Valgono V 3 = V 2 = V poiché il volume del pneumatico non cambia e T 3 = T 2 = T ;
mettendo a sistema l’equazione di stato per le condizioni 3 e quella per le condizioni
RT
p
n3
p
n2
p
p2
p
p2
2 si ottiene: ------------ = ----3- = ----2- da cui n 3 = n 2 ⋅ ----3- = n 2 ⋅ ----1- dato che p 3 = p 1 .
V
Il numero di moli d’aria contenute nel pneumatico nello stato 2 vale:
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I
Esercizi risolti e temi d’esame
3
p2 V2
336 kPa ⋅ 0.025 m
n 2 = ------------= -----------------------------------------------------------------------------------------J R T 2 8314.14 ----------------------⋅ ( 50 + 273.15 ) K
kmol ⋅ K
3 N
3
336 ⋅ 10 -------2- ⋅ 0.025 m
m
= ------------------------------------------------------------------------------------------ = 3.1265 mol
Nm
8314.14 ------------------------ ⋅ ( 50 + 273.15 ) K
kmol ⋅ K
p1
310 kPa
n 3 = n 2 ⋅ ----- = 3.1265 mol ⋅ ------------------- = 2.8846 mol
336 kPa
p2
La quantità di aria che deve essere spillata, in termini di moli, è pari a:
n 2 – n 3 = 3.1265 mol – 2.8846 mol = 0.2419 mol
Poiché m = nM , in termini di massa si ha:
kg
m spill = m 2 – m 3 = n 2 M – n 3 M = ( n 2 – n 3 ) ⋅ M = 0.2419 mol ⋅ 28.97 ------------- = 7 g
kmol
In alternativa:
p2 V2 p3 V3
V
m spill = m 2 – m 3 = ---------- – ----------- = ( p 2 – p 3 ) ------RT
R T2 R T3
0.025
N
m3
= ( 336 – 310 )10 3 ------------------------------------------- ⋅ -----2- ⋅ ------------------- = 0.007 kg
287 ( 50 + 273.15 ) m
J
---------- ⋅ K
kgK
7.
Una stanza di 4x5x7 metri viene riscaldata da un radiatore del sistema di riscaldamento. Il radiatore trasferisce una potenza termica di 10 MJ ⁄ h , e un ventilatore che
assorbe una potenza di 100 W viene utilizzato per distribuire l’aria calda nella stanza.
La potenza termica persa dalla stanza verso l’esterno è stimata pari a 5 MJ ⁄ h . Se la
temperatura iniziale della stanza è di 10°C , e la pressione è 100 kPa , determinare
quanto tempo occorre per innalzare la temperatura dell’aria fino a 20°C . Assumere
R = 287 J ⁄ kgK , c p = 1.005 kJ ⁄ kgK . [ 831 s ]
Pe
4m
Q& risc
7m
Dati:
dimensioni stanza: 4 m x 5 m x 7 m
Q&
disp
5m
MJ
Q· risc = 10 ------h
P e = 100 W
MJ
Q· disp = 5 ------h
T i = 10 °C
p i = 100 kPa
T f = 20 °C
J
kJ
R = 287 -------------- , c p = 1.005 -------------kg ⋅ K
kg ⋅ K
Incognita: Δτ = τ – τ 0
Svolgimento
Poiché non si prendono in considerazione scambi di massa con l’esterno attraverso
porte e finestre, la stanza è un sistema chiuso.
1° principio per i sistemi chiusi: Q e + L e = ΔE = ΔU + ΔE c + ΔE g + …
Per il sistema in esame si ha ΔE g = 0 e ΔE c = 0 . Inoltre trattando l’aria come un gas
ideale vale Δu = c v ⋅ ΔT e quindi ΔU = m ⋅ Δu = m ⋅ c v ⋅ ΔT
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II
Esercitazione 1 (Capitolo 1 Termodinamica): esercizi svolti
Il 1° principio applicato alla stanza diventa: Q e + L e = m ⋅ c v ⋅ ( T f – T i )
La potenza termica entrante nel sistema è pari alla potenza ceduta dai radiatori alla
stanza al netto di quella che la stanza disperde verso l’esterno per trasmissione del
calore: Q· e = Q· risc – Q· disp .
Per definizione, l’energia è l’integrale della potenza nel tempo:
τ
Qe + Le =
·
∫ ( Qe + Pe ) dτ
τ0
Poiché nel caso in esame la potenza termica Q· e e la potenza meccanica P e sono
costanti, si ha:
τ
Qe + Le =
·
∫ ( Qe + Pe ) dτ
= ( Q· e + P e ) ⋅ ( τ – τ 0 ) = ( Q· e + P e ) ⋅ Δτ
τ0
Di conseguenza il 1° principio diventa ( Q· e + P e ) ⋅ Δτ = m ⋅ c v ⋅ ( T f – T i ) da cui si
ricava il tempo necessario per innalzare la temperatura della stanza da T i a T f :
m ⋅ cv ⋅ ( Tf –Ti )
Δτ = ----------------------------------Q· e + P e
La massa d’aria che deve essere riscaldata può essere determinata dall’equazione di
stato dei gas applicata allo stato iniziale p i V = n R T i , tenendo anche conto del
fatto che m = nM :
3
kN
100 --------2 ⋅ 140 m
3
pi V
pi V
100 kPa ⋅ ( 5 ⋅ 4 ⋅ 7 ) m
m
m = ------------- ⋅ M = -------- = --------------------------------------------------------------------------- = ------------------------------------------------------------ =
kN ⋅ m
kJ
RT i
R Ti
0.287 ---------------- ⋅ ( 10 + 273.15 ) K
0.287 ------------------ ⋅ 283.15 K
kg ⋅ K
kg ⋅ K
= 172.3 kg
J
J
J
c v = c p – R = 1005 -------------- – 287 ---------------- = 718 ---------------kg ⋅ K
kg ⋅ K
kg ⋅ K
6
Q· e = Q· risc – Q· disp
10 J
5 ----------MJ
MJ
J
MJ
h
= 10 ------- – 5 ------- = 5 ------- = ----------------- = 1388.9 - = 1388.9 W
h
h
s
h
s
3600 --h
J
172.3 kg ⋅ 718 ---------------- ⋅ ( 20 – 10 ) °C
kg ⋅ K
Δτ = ----------------------------------------------------------------------------------------- = 831 s
1388.9 W + 100 W
8.
Aria a 80 kPa e 10°C entra nel diffusore adiabatico di un motore a reazione con una
velocità di 200 m ⁄ s . La sezione di ingresso del diffusore è di 0.4 m 2 . L’aria lascia il
diffusore con velocità trascurabile. Determinare (a) la portata in massa dell’aria e (b)
la temperatura di uscita. [ m· = 78.8 kg ⁄ s , T 2 = 303.1 K ]
Dati:
p 1 = 80 kPa
T 1 = 10 °C
qe = 0
c 1 = 200 m/s
A 1 = 0.4 m
2
c2 = 0
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III
Esercizi risolti e temi d’esame
Incognite: m· , T 2
Svolgimento
(a) Equazione di continuità per un fluido in flusso stazionario:
m· = ρ ⋅ A ⋅ c
dove m· è la portata in massa del fluido, ρ la sua densità e A la sezione di passaggio
perpendicolare rispetto alla direzione della velocità c .
p
R ⋅ T1
1
Applicandola alle condizioni 1 si ricava m· = ρ 1 ⋅ A 1 ⋅ c 1 dove ρ 1 = -------------
(b) 1° principio per i sistemi aperti in forma termica: q e + l i = Δh + Δe c + Δe g
2
c –c
2
2
2
1
Nel caso considerato diventa: 0 + 0 = Δh + Δe c + 0 , cioè c p ( T 2 – T 1 ) + --------------- = 0
2
c –c
2c p
2
2
c
2c p
1
2
1
da cui si ricava T 2 = T 1 + --------------- = T 1 + -------
13.
Aria ( R = 287 J ⁄ kgK , γ = 1.4 ) viene espansa adiabaticamente e reversibilmente in
un condotto convergente da 1.5 MPa e 150 °C a 0.75 MPa. La velocità di ingresso è
molto piccola, e il processo avviene in condizioni stazionarie. Calcolare la velocità di
uscita dal condotto. [c = 390.8 m/s].
J
Dati: oltre a quelli riportati nello schema sono noti R = 287 -------------- , γ = 1.4
σ
aria
p1=1.5M
pa
T
=
1
5
0
°
C
1
c1=0m
/s
qe=0
lw=0
kg ⋅ K
Incognita: c 2
Svolgimento
p2=0.75M
pa Il condotto convergente (ugello) è un sistema aperto, avente un solo ingresso ed una
sola uscita. Poiché il processo avviene in condizioni stazionarie si ha m· 1 = m· 2 = m·
1° principio per i sistemi aperti in forma termica: q e + l i = Δh + Δe g + Δe c + ...
Nel caso in esame si ha q e = 0 perché il processo è adiabatico, l i = 0 perché non c’è
scambio di lavoro (il volume di controllo non è attraversato da alberi), Δe g ≈ 0 .
Quindi il 1° principio in forma termica diventa
2
2
2
c2 – c1
c2 – 0
0 = Δh + Δe c = c p ⋅ ΔT + --------------- = c p ⋅ ( T 2 – T 1 ) + ------------2
2
La velocità di uscita c 2 non può essere ricavata immediatamente da questa equazione
perché anche T 2 è incognita. Si calcola T 2 dall’equazione della politropica
T = cos t , in cui n = γ poiché la trasformazione è adiabatica e reversibile.
----------p
n–1
-----------n
γ–1
-----------
p
T2
p2 γ
T
T1
---------- = ---------- da cui ---------- = ----2- e ⎛ ----2-⎞
γ–1
γ–1
γ–1
⎝
⎠
p
T
------------------------------1
1
p1 γ
p2 γ
p1 γ
γ–1
----------γ
T
= ----2T1
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
p2
T 2 = T 1 ⋅ ⎛ -----⎞
⎝ p 1⎠
γ–1
----------γ
0.75 MPa
= ( 150 + 273.15 ) K ⋅ ⎛ -----------------------⎞
⎝ 1.5 MPa ⎠
1.4 – 1
---------------1.4
= 347.12 K
Riprendendo il 1° principio in forma termica si ottiene:
c2 =
2c p ⋅ ( T 1 – T 2 ) =
γ
2R ----------- ⋅ ( T 1 – T 2 ) =
γ–1
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IV
Esercitazione 1 (Capitolo 1 Termodinamica): esercizi svolti
=
J
1.4
2 ⋅ 287 -------------- ⋅ ---------------- ⋅ ( 150 + 273.15 – 347.12 ) K = 390.8
kg ⋅ K 1.4 – 1
J- = 390.8 m
-------s
kg
OSSERVAZIONE
J
------ =
kg
Nm
--------- =
kg
N----⋅m =
kg
m
m
---⋅ m = ---2
s
s
15.
Una turbina espande aria ( R = 287 J ⁄ kgK , γ = 1.4 ) dalle condizioni 10 bar, 150 °C
e 30 m/s alle condizioni 3 bar e 2 °C. Il diametro del condotto in cui sono state effettuate le misure è di 0.15 m, tanto per l’ingresso che per l’uscita. Ammettendo il flusso
stazionario attraverso la macchina calcolare (I) la quantità di calore scambiata con
l’esterno, sapendo che la potenza sviluppata è di 500 kW. Valutare inoltre (II) l’entità
delle resistenze passive. [ q e = – 32.58 kJ ⁄ kg , l w = 2.6 kJ ⁄ kg ]
Dati:
R = 287 J ⁄ kgK , γ = 1.4
p 1 = 10 bar
T 1 = 150 °C
c 1 = 30 m/s
p 2 = 3 bar
T 2 = 2 °C
D 1 = D 2 = 0.15 m
P i = – 500 kW con la convenzione “lavoro positivo se entrante nel sistema”, oppure
P i = 500 kW con la convenzione “lavoro positivo se uscente dal sistema”
Incognite: q e , l w
Svolgimento
p1
ρ 1 = ------------R ⋅ T1
2
π⋅D
m· = ρ 1 ⋅ A 1 ⋅ c 1 , dove A 1 = -------------14
Pl i = --m·
NB1 Se si adotta la convenzione generale dei segni (lavoro positivo se entrante nel
sistema), qui ci si deve aspettare un lavoro negativo perché fatto dal sistema
sull’esterno.
NB2 Potenza e lavoro hanno sempre lo stesso segno perché m· >0.
p2
ρ 2 = ------------R ⋅ T2
m·
c 2 = ---------------ρ2 ⋅ A2
Dal 1° principio per i sistemi aperti in forma termica:
2
2
c2 – c1
q e = Δh + Δe c – l i = c p ⋅ ( T 2 – T 1 ) + ---------------- – l i
2
Dal 1° principio per i sistemi aperti in forma meccanica:
2
l w = l i – ∫ v dp – Δe c , dove
1
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V
Esercizi risolti e temi d’esame
2
n RT
∫ v dp = ----------n–1 1
1
⎛ p----2-⎞
⎝ p 1⎠
n–1
-----------n
– 1 , dove
T1
ln ⎛ -----⎞
⎝
T 2⎠
n----------– 1- = ---------------n
p1
ln ⎛ -----⎞
⎝ p 2⎠
Quest’ultima equazione deriva dal fatto che la politropica può essere scritta come
T T
deve mantenersi costante, allora vale anche
------------ = cos t . Infatti, se il rapporto ----------n–1
p
n–1
-----------n
p
-----------n
T2
T1
-------------- = -------------- , da cui
p1
n–1
-----------n
p2
n–1
-----------n
n–1
-----------n
p1
T1
p1
----- = -------------- = ⎛ -----⎞
⎝
⎠
n
–
1
p
T2
-----------2
n
p2
n–1
-----------n
Estraendo il logaritmo da entrambi i membri:
p1
T1
ln ⎛ -----⎞ = ln ⎛ -----⎞
⎝ T 2⎠
⎝ p 2⎠
n–1
-----------n
p1
n–1
= ------------ ⋅ ln ⎛ -----⎞
⎝
p 2⎠
n
T1
ln ⎛ -----⎞
⎝
T 2⎠
–1
da cui n----------- (c.v.d.)
- = ---------------p1
n
ln ⎛ -----⎞
⎝ p 2⎠
NB3 Quando si ha a che fare con una turbina, che compie lavoro sull’esterno e
quindi origina un lavoro negativo con la convenzione generale dei segni, può convenire cambiare convenzione e cioè considerare positivo il lavoro fatto dal sistema
sull’esterno (in modo da ottenere un lavoro positivo). Come? E’ semplice: laddove
compare il termine l i nelle equazioni, occorre sostituirlo con – l i , lasciando tutto
il resto invariato.
Così, il 1° principio per i sistemi aperti diventa:
q e – l i = Δh + Δe c + Δe g anziché q e + l i = Δh + Δe c + Δe g
–li =
2
2
∫ v dp + lw + Δec + Δeg anziché li =
∫ v dp + lw + Δec + Δeg
1
1
18.
2
σ
h
M
Una pompa solleva acqua da un pozzo fino ad un serbatoio aperto posto 20 m sopra il
pelo libero dell’acqua del pozzo. Il condotto in cui è inserita la pompa ha diametro di
10 cm e l’acqua vi presenta la velocità di 2 m/s. Ammettendo che le resistenze passive complessive circuito/pompa ammontino a 4 m in colonna d’acqua, calcolare la
potenza del motore che aziona la pompa (rendimento meccanico η m = 0.97 ).
[ P a = 3.8 kW ]
Dati:
h = 20 m
1
D = 10 cm
c = 2 m/s
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VI
Esercitazione 1 (Capitolo 1 Termodinamica): esercizi svolti
perdite per resistenze passive Y = 4 m H2O
rendimento meccanico η m = 0.97
Incognita: P a
Svolgimento
La potenza assorbita dal motore P a è maggiore della potenza interna richiesta dalla
pompa P i per via delle perdite insite nell’accoppiamento motore-pompa: l’albero che
collega la pompa con il motore è sostenuto da cuscinetti che inevitabilmente dissipano potenza a causa dello strisciamento relativo tra le parti. Il rendimento meccanico, che tiene conto delle perdite per attriti di tipo meccanico, è definito come:
P
η m = ------i
Pa
P
ηm
da cui si ricava P a = ------iP i = m· ⋅ l i
La portata in massa può essere calcolata dall’equazione di continuità:
m· = ρ ⋅ A ⋅ c
dove A è la sezione del condotto circolare in cui è inserita la pompa. In mancanza di
dati di temperatura1, si assuma come valore di riferimento per la densità dell’acqua
kg
ρ = 1000 ------3- .
m
2
2
π⋅D
kg π ⋅ ( 0.1 m )
m
kg
m· = ρ ⋅ A ⋅ c = ρ ⋅ -------------- ⋅ c = 1000 ------3- ⋅ ----------------------------- ⋅ 2 ---- = 15.7 -----4
4
s
s
m
Il lavoro interno massico può essere ricavato dal 1° principio per i sistemi aperti in
forma meccanica applicato a un volume di controllo che racchiuda tutto il circuito
(non solo la pompa), visto che sono note le perdite complessive del sistema circuito +
pompa; quello disegnato in figura passa per i peli liberi dei serbatoi, e risulta particolarmente comodo.
2
li =
∫ v dp + l
w
+ Δe g + Δe c + ...
1
Poiché il fluido di lavoro è un liquido, che può essere considerato con buona appros2
2
c2 – c1
p2 – p1
- + l w + gh + --------------simazione incompressibile, si ha: l i = --------------ρ
2
p 2 ≈ p 1 perché nelle sezioni di ingresso (1) e di uscita (2) del volume di controllo
scelto c’è circa la stessa pressione, che è quella atmosferica; inoltre c 2 ≈ c 1 poiché
nelle sezioni di ingresso (1) e di uscita (2) le velocità del fluido sono ragionevolmente
uguali. Si arriva perciò a l i = l w + gh , dove il lavoro d’attrito viene ricavato dalle
perdite per resistenze passive espresse in metri:
l w = gY
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
1. Altrimenti, poiché un liquido può essere considerato incompressibile con buona approssimazione, la densità dell’acqua sottoraffreddata ad una certa temperatura può essere
assunta pari alla densità dell’acqua in condizioni di liquido saturo alla stessa temperatura (quest’ultimo valore è ricavabile dalle tabelle degli stati di saturazione).
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VII
Esercizi risolti e temi d’esame
kg
N
15.7 ------ ⋅ 9.81 ------ ⋅ ( 4 + 20 ) m
· ⋅ g ⋅ (Y + h)
m· ⋅ l i
Pi
m
s
kg
P a = ------- = ------------ = --------------------------------- = ------------------------------------------------------------------------- = 3813 kW
ηm
ηm
ηm
0.97
OSSERVAZIONE
L’espressione del primo principio utilizzata è valida nell’ipotesi di moto stazionario.
Nel moto stazionario le proprietà non dipendono dal tempo. Nell’esempio è ragionevole pensare che la pompa trasferendo portata dal pozzo al serbatoio superiore, il
livello nel pozzo si abbasserà mentre nel serbatoio aumenterà. A rigore quindi non è
corretto considerare il moto stazionario perché alcune proprietà, il livello del pozzo e
del serbatoio, cambiano nel tempo. Tuttavia, ipotizzando che il pozzo e il serbatoio
siano di capacità elevata in maniera che la variazione di quota sia praticamente trascurabile, l’espressione del primo principio nell’ipotesi di moto stazionario è perfettamente accettabile.
Facoltativi
1.
Sia un manometro a molla (tubo di Bourdon) che un manometro a U sono collegati
ad un recipiente per misurare la pressione del gas all’interno. Se la lettura del manometro a molla è 80 kPa , determinare la distanza tra i due livelli del liquido del manometro ad U se il fluido è (a) mercurio ( ρ = 13600 kg ⁄ m 3 ) o è (b) acqua
ρ = 1000 kg ⁄ m 3 . [ ( a ) 0.6 m, ( b ) 8.155 m ]
Dati:
p rel = 80 kPa (in generale il manometro a molla, così come il manometro a U,
80 kPa
indicano la pressione relativa)
kg
ρ M = 13600 -------3m
gas
h
kg
ρ A = 1000 -------3m
Incognite: h M , h A
Svolgimento
La distanza h tra i due livelli del liquido contenuto nel manometro a U è legata alla
pressione relativa del gas rispetto alla pressione ambiente dalla relazione:
p rel = ρgh
p
ρg
rel
Di conseguenza si ha: h = -------- . (a) Se il fluido è mercurio si ottiene:
hM
3 N
80 ⋅ 10 -------2p rel
m
80 kPa
= -------------- = -------------------------------------------------- = --------------------------------------------------- = 0.6 m
kg
ρM ⋅ g
mN
kg----------------13600 3 ⋅ 9.81 ------13600 3 ⋅ 9.81 2
kg
m
s
m
(b) Nel caso in cui il fluido sia acqua:
hA
3 N
80 ⋅ 10 -------2p rel
m
80 kPa
= ------------- = ----------------------------------------------- = ------------------------------------------------ = 8.155 m
ρA ⋅ g
mN
kgkg----------------1000 3 ⋅ 9.81 ------1000 3 ⋅ 9.81 2
kg
s
m
m
3.
La metà inferiore di un contenitore cilindrico alto 10 m contiene acqua
( ρ = 1000 kg ⁄ m 3 ) mentre la metà superiore olio ( ρ = 850 kg ⁄ m 3 ). Determinare la
differenza di pressione tra il fondo e la sommità del cilindro. [90.7 kPa]
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VIII
Esercitazione 1 (Capitolo 1 Termodinamica): esercizi svolti
Dati:
3
kg
kg
h = 10 m , ρ A = 1000 -------3- , ρ O = 850 -------3m
m
o lio
Incognita: p 1 – p 3
Svolgimento
La differenza di pressione tra il fondo e la sommità del cilindro può essere scritta
come: p 1 – p 3 = ( p 1 – p 2 ) + ( p 2 – p 3 )
La colonna di acqua è in equilibrio statico, cioè soggetta ad un sistema di forze che si
equilibrano: vale A ⋅ p 2 + m A ⋅ g = A ⋅ p 1
h /2
2
acqua
h /2
1
h
2
Ricordando che m A = ρ A ⋅ V = ρ A ⋅ A ⋅ --- e sostituendo nell’equazione precedente si
ottiene:
h
p 2 + ρ A ⋅ g ⋅ --- = p 1
2
h
p 1 – p 2 = ρ A ⋅ g ⋅ --2
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
kg
N 10
N
p 1 – p 2 = 1000 -------3- ⋅ 9.81 ------- ⋅ ------ m = 49050 -------2- = 49050 Pa = 49.05 kPa
kg
2
m
m
h
2
Analogamente per la colonna di olio si ha: p 2 – p 3 = ρ O ⋅ g ⋅ --- da cui:
kg
N 10
N
p 2 – p 3 = 850 -------3- ⋅ 9.81 ------- ⋅ ------ m = 41692.5 -------2- = 41.69 kPa
kg 2
m
m
Si ricava quindi: p 1 – p 3 = 49.05 kPa + 41.69 kPa = 90.74 kPa
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
IX
Esercizi risolti e temi d’esame
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi
1.
Acqua viene scaldata in una pentola ben chiusa posta su un fornello mentre viene
frullata con un frullatore. Durante il processo il sistema riceve 30 kJ di calore dal
fornello mentre perde 5 kJ nell’aria circostante. Il lavoro scambiato attraverso il
frullatore ammonta a 500 Nm . Sapendo che l’energia iniziale del sistema è 10 kJ ,
trovare la sua energia finale. [12set03]
2.
Calcolare il lavoro scambiato quando 1 kmol di argon confinata in un cilindro di
3
3.
4.
o
3
volume 1 m a 25 C si espande isotermicamente e reversibilmente a 2 m .
[19dic03]
Aria viene compressa in condizioni stazionarie in un compressore reversibile
dalle condizioni 100 kPa e 27 °C fino alla pressione di uscita di 900 kPa . Determinare il lavoro fornito al compressore per unità di massa nei seguenti casi: a)
compressione adiabatica con γ = 1.4 ; b) compressione politropica con n = 1.3 ;
c) compressione isoterma. [19dic03]
Un turbocompressore centrifugo bistadio presenta un rapporto di compressione
complessivo di 12.5 e una temperatura di mandata di 400 °C (condizioni di aspirazione 15 °C e 100 kPa ). Sapendo che il rapporto di compressione del primo
stadio è di 5.5 e considerando adiabatica la trasformazione, calcolare il lavoro di
compressione del primo stadio. Fluido di lavoro aria γ = 1.4 , c p = 1005 J/kgK.
[08nov02]
5.
Una macchina termica genera una potenza interna di 1000 kW con un rendimento
termico del 40%. Pensando di recuperare la potenza termica ceduta dalla macchina alla sorgente di bassa temperatura per scaldare, a pressione costante, una
certa portata di acqua ( c p = 4.2 kJ ⁄ kgK ), innalzando la sua temperatura da
60 °C a 90 °C , determinare la portata di acqua calda. [19dic03]
6.
Una macchina termica di Carnot utilizza 0.010295 kg di vapore d’acqua come
fluido di lavoro. La temperatura massima del ciclo è il doppio della temperatura
minima e il lavoro netto fatto sull’esterno è pari a 25 kJ. Se il vapore passa dalla
condizione di vapore saturo e secco alla condizione di liquido saturo durante la
fase di sottrazione di calore determinare la temperatura di condensazione.
[11feb04]
7.
Una macchina termica di Carnot riceve 800 kJ ⁄ min di calore da una sorgente termica a 900°C e cede calore all’aria ambiente a 27°C . L’intero lavoro prodotto
dalla macchina termica viene utilizzato da una macchina refrigerante reversibile
che rimuove calore dalla spazio refrigerato a – 5° C e lo trasferisce all’aria
ambiente a 27°C . Determinare (a) la quantità di calore rimossa nell’unità di
tempo dallo spazio refrigerato e (b) la quantità di calore complessivamente ceduta
all’ambiente dalle due macchine. [26gen04]
8.Una macchina refrigeT
rante di Carnot utilizza
come fluido refrigerante
vapor d’acqua. Sapendo
che i punti b e c del ciclo
0.2 bar
c
b
(rappresentato
a
lato)
stanno sulle curve limiti e
che le pressioni massima e
minima sono 0.2 bar e
calcolare
il
0.01 bar ,
a
d
0.01 bar
COP R del ciclo e il calore
sottratto all’ambiente refrigerato.
s
s
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
X
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi
9.
15.3 kg ⁄ s di vapore d’acqua a 5.2 MPa e 475 °C si espandono in una turbina
adiabatica fino alla pressione di 10 kPa . Se la potenza interna della turbina è
14 MW , determinare il titolo e la temperatura del vapore all’uscita della turbina.
[09set04]
10.
Si vogliono scaldare 100 litri di acqua ( c p = 4.2 kJ ⁄ kgK ) per uso sanitario da
10 °C a 50 °C in serbatoio ben isolato utilizzando tre diversi sistemi:
a) scaldabagno elettrico. Calcolare l’energia elettrica necessaria e il costo relativo (costo energia elettrica 0.15 €/kWh)
b) scaldabagno a gas naturale. Calcolare la quantità di gas (densità
ρ gn = 0.75 kg ⁄ m 3 , potere calorifico H gn = 35000 kJ ⁄ kg ) necessaria e il costo
relativo (costo gas naturale 0.25 €/m3)
c) scaldabagno a pompa di calore ideale. Calcolare il lavoro e l’energia elettrica
consumata (costo energia elettrica 0.15 €/kWh). [15lug04]
11.
La portata V· a = 12 m 3 ⁄ min di aria ambiente a 100 kPa e 27 °C attraversa l’evaporatore di un condizionatore da finestra. Refrigerante R-12 a 140 kPa e titolo
pari a x = 0.30 entra nell’evaporatore con una portata pari a m· R12 = 2 kg ⁄ min
ed esce come vapore saturo alla stessa pressione. Determinare a) la temperatura di
uscita dell’aria e b) la potenza scambiata. [15lug04]
12. 2.5 kg ⁄ s
13.
14.
15.
di acqua a 200 kPa e 20 °C ( h = 84 kJ ⁄ kg ) vengono scaldati in un
recipiente miscelandoli con vapore surriscaldato a 200 kPa e 300 °C
( h = 3071.4 kJ ⁄ kg ). La potenza termica trasmessa all’ambiente a 25 °C è pari a
600 kJ ⁄ min . Se la miscela lascia lo scambiatore a 200 kPa e 60 °C
( h = 251.3 kJ ⁄ kg ) determinare la portata in massa di vapore. [26gen04]
Aria entra in un ugello a 280 kPa e 77°C con una velocità di 50 m/s ed esce a 85
kPa e 320 m/s. Il calore ceduto all’ambiente esterno che si trova a 20°C è di 3.2
kJ/kg. Determinare la temperatura di uscita dell’aria. [11feb04]
Una macchina termica di
T
Carnot utilizza come fluido
di lavoro vapor d’acqua.
Sapendo che i punti b e c del
ciclo (rappresentato a lato)
10 bar
b
c
stanno sulle curve limiti e che
le pressioni massima e
minima sono 10 bar e
0.1 bar , calcolare il rendimento del ciclo e il lavoro
d
a
0.1 bar
fornito dal ciclo.
Aria viene espansa in condizioni stazionarie in una turbina
reversibile
dalle
s
condizioni 900 kPa e 700 °C
fino alla pressione di uscita di
100 kPa . Determinare il lavoro fornito dalla turbina per unità di massa nei
seguenti casi: a) espansione adiabatica con γ = 1.4 ; b) espansione politropica con
n = 1.3 ; c) espansione isoterma.
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XI
Esercizi risolti e temi d’esame
16.
La macchina termica a vapore dello
100 t ⁄ h
10 MW
schema produce 10
MW di potenza utilizzando come sor- H = 45 MJ
-------i
kg
gente di calore ad
alta temperatura un
combustibile che ha
140 ºC
un potere calorifico
f 0.2MPa
di 45 MJ ⁄ kg . Le
100 t ⁄ h di vapore
scaricate dalla tura
bina a 140 °C e
liquido saturo
attraver0.2 MPa
sano il condensatore uscendo come liquido saturo. Determinare la portata di combustibile, nell’ipotesi di poter trascurare la potenza assorbita dalla pompa.
[25gen06]
17.
Una massa m = 0.01 kg di argon (peso molecolare M = 40 kg/kmol ) è inizialmente nello stato A di pressione p A = 300 kPa e temperatura T A = 300 K . Calcolare la variazione di energia interna, il lavoro e il calore scambiati con l’esterno se
il gas viene portato nello stato B di pressione p B = 100 kPa e temperatura
T B = 600 K mediante le seguenti coppie di trasformazioni reversibili:
• caso I) da A a C a pressione costante e da C a B a volume costante;
• caso II) da A a D a volume costante e da D a B a pressione costante;
• caso III) da A ad E a temperatura costante e da E a B a pressione costante;
• caso IV) da A a F a volume costante e da F a B a temperatura costante.
trattando l’argon come un gas ideale monoatomico ( γ = 5 ⁄ 3 ) e trascurando le variazioni di energia cinetica e gravitazionale.
Rappresentare gli stati e le trasformazioni sul piano p – V sotto riportato.
650
600
550
500
450
p (kPa)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
V (dm 3)
18.
Il vapore proveniente da una turbina entra in un condensatore con titolo 0.91 alla
pressione assoluta di 0.045 bar ed esce in condizioni di liquido saturo. Per il raffreddamento del condensatore si dispone di acqua a 13°C, che incrementa la sua
temperatura di 10 °C. A) Calcolare il rapporto tra la portata dell’acqua di raffreddamento occorrente e la portata di vapore, B) rappresentare la trasformazione del
J
vapore sui diagrammi T-s e h-s. ( c p, H2O = 4186 -------------- )
kg ⋅ K
19.
Una macchina è alimentata con m· = 10 kg/s di aria alle condizioni p 1 = 3 bar e
2
T 1 = 800 K da un condotto di sezione A 1 = 0.1 m . La macchina fornisce
all'esterno una potenza meccanica di 3 MW. Nella sezione di scarico
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XII
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi
2
A 2 = 0.02 m si misura una temperatura T 2 = 280 K e una pressione p 2 = 1 bar .
Calcolare
il
calore
disperso
dalla
macchina
(aria:
J
c p = 1004 -------------- ,
kg ⋅ K
1
2
J
R = 287 -------------- ).
kg ⋅ K
20.
σ
Nel condensatore di un impianto motore a vapore entra vapor d’acqua a p 1 = 20
kPa, titolo x = 95% e portata in massa m· = 20 t/h. Esso deve essere raffreddato
con acqua di un vicino fiume; per prevenire un eventuale inquinamento termico,
l’incremento di temperatura dell’acqua di fiume non può superare
ΔT max = 10 °C . Determinare la portata di acqua di fiume che è necessaria,
sapendo che il vapore lascia il condensatore come liquido saturo. Le cadute di
pressione all’interno del componente sono trascurabili. Altri dati:
J .
c p, H2O = 4186 ------------o
kg C
21.
Un ciclo termodinamico caratterizzato da una temperatura massima T 1 = 1200 K
riceve dall’esterno una potenza termica Q· 1 = 150 kW e cede all’ambiente
T 2 = 25 °C una potenza termica Q· 2 = 95 kW . A) Determinare la potenza utile ed
il rendimento del ciclo termodinamico, B) confrontare inoltre il rendimento del
ciclo con quello di un ciclo di Carnot operante fra le medesime temperature.
22.
Un serbatoio rigido isolato termicamente contiene inizialmente 0.7 kg di elio
o
kg
(massa molecolare M = 4 ------------ , γ = 5--- ) a 27 C e 350 kPa . Si fa quindi girare
kmol
3
nel serbatoio, per 30 minuti, un’elica fornendo una potenza di 15 W . Si determinino a) la temperatura finale e b) la pressione finale del gas elio. [14gen05]
23.
Una pompa di calore è usata per mantenere una casa alla temperatura costante di
·
23 °C . La casa trasmette Q e = 60000 kJ ⁄ h di calore all’esterno attraverso muri e
finestre. L’energia generata all’interno della casa da persone, luci e apparecchia·
ture ammonta a Q i = 4000 kJ ⁄ h . Considerando che il COP è 2.5, determinare la
potenza elettrica richiesta dalla pompa di calore.
24.
Fluido refrigerante R12 viene espanso adiabaticamente attraverso una valvola di
laminazione dallo stato di liquido saturo a 700 kPa fino alla pressione di
120 kPa . Determinare la diminuzione di temperatura subita dal fluido.
d’aria percorrono un ciclo di Carnot che si svolge in un sistema chiuso. Le
temperature limite sono 300 K e 1000 K , e le pressioni limite sono 20 kPa e
1900 kPa . a) Determinare il rendimento. b) Compilare la tabella delle proprietà
del fluido (pressione, temperatura, volume) nei vertici del ciclo.
In un sistema di riscaldamento a vapore l’aria viene riscaldata in uno scambiatore
aria-vapore. Il vapore entra nello scambiatore (condizione 1) a 200 kPa e 200 °C
con portata in massa di m· v = 8 kg ⁄ min e esce alle condizioni (2) di 180 kPa e
25. 1.5 kg
26.
Punto
1
2
3
4
p (kPa)
T (K)
V (m3)
100 °C . L’aria entra (condizione i) a 100 kPa e 25 °C e esce (condizione f) a
47 °C . Determinare la portata in volume dell’aria in ingresso. Altri dati:
c p = 1.005 kJ ⁄ kgK , R = 0.287 kJ ⁄ kgK .
a
27.
o
Una portata m· = 0.05 kg ⁄ s di refrigerante R12 a 140 kPa e – 20 C viene como
presso fino alle condizioni di 800 kPa e 50 C in un compressore adiabatico di
una macchina frigorifera. Il refrigerante esce dal condensatore a 720 kPa e 26 °C
e viene laminato fino a 150 kPa . Determinare (a) la potenza termica rimossa
dallo spazio refrigerato e la potenza assorbita dal compressore, (b) il rendimento
isentropico del compressore e (c) il coefficiente di prestazione della macchina.
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XIII
Esercizi risolti e temi d’esame
28.
Una portata di vapor d’acqua defluisce attraverso una valvola di laminazione a
valle della quale si stabilisce una pressione di p 2 = 50 kPa . Le condizioni del
vapore a monte della valvola sono: p 1 = 1.6 MPa e titolo x 1 = 0.9 . Determi-
29.
nare lo stato finale del vapore.
Un sistema termodinamico aperto è attraversato da una portata
m· acqua = 250 kg ⁄ min di acqua (densità ρ acqua = 1000 kg ⁄ m 3 ) passando
dalle condizioni h 1 = 167.5 kJ ⁄ kg c 1 = 90 m/s e p 1 = 500 kPa alle condizioni h 2 = 175.85 kJ ⁄ kg c 2 = 15 m/s e p2 = 100 kPa , scambiando lavoro
con l’esterno e ricevendo una potenza termica pari a Q· e = 27 kW . Determinare
il lavoro scambiato con l’esterno attraverso l’albero ( l i ) e il lavoro perso per
attrito ( l w ).
30.
kg
- ) alla pressione
Una bombola di volume V = 5 l contiene argon ( M = 40 ----------kmol
p = 200 bar e temperatura T = 20 °C . Determinare:
• la massa del gas;
• il volume che esso occuperebbe alla pressione p N = 1 atm e alla temperatura T N = 0 °C (tale volume è solitamente indicato come volume normale, e misurato in normal-metri cubi, Nm3).
31.
Uno scambiatore di calore è attraversato da una portata m· g = 10 kg/s di gas
kJ
( c p, g = 1.05 ---------- ) che entrano a T 1 = 450 °C . I gas escono a T 2 = 250 °C
kgK
riscaldando acqua a p 3 = 10 bar e T 3 = 65 °C per produrre vapore a
T 4 = 200 °C da inviare in una rete di teleriscaldamento. Trascurando le cadute
m· s
f
s
a
j
b'
scambiatore a miscela
m· – m· s
di pressione:
• tracciare qualitativamente la trasformazione dell’acqua/vapore su un diagramma termodinamico a scelta;
• determinare la potenza termica scambiata e la portata di vapore erogabile.
32.Il compressore di una pompa di calore aspira il
50°C
fluido refrigerante R12 alla temperatura di 10 °C in
condizioni di vapore saturo secco; la temperatura di
compressore
uscita è 50 °C. Considerando la compressione adiabatica e reversibile, e trascurando le variazioni di
energia cinetica e gravitazionale, determinare:
• la pressione del fluido all’uscita del compressore;
li = ?
• il lavoro assorbito dal compressore per unità di
massa.
33.In un impianto a vapore l’acqua che esce dal con10°C
densatore viene pre-riscaldata in uno scambiatore di
calore a miscela prima di essere inviata al generatore.
Calcolare la temperatura dell’acqua all’uscita dello scambiatore ( T j ), sapendo che in
esso confluiscono:
• 14.5 kg/s di liquido a 46 °C e 3 bar (b’);
• 0.5 kg/s di vapore secco a 3 bar (s).
34.
Una turbina a vapore è alimentata con una portata m· = 7 kg/s alle condizioni
p 1 = 40 bar e T 1 = 400 °C . La velocità del vapore è c 1 = 40 m/s nella
sezione di ingresso e c 2 = 250 m/s nella sezione di uscita. Supponendo adiabatica la trasformazione e sapendo che la pressione e il titolo di scarico sono rispettivamente p 2 = 8 kPa e x 2 = 0.96 , determinare: i) la potenza sviluppata dalla
turbina, ii) la temperatura del vapore all’uscita della turbina.
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XIV
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi
35.
Una pompa di calore (fluido refrigerante R12) deve riscaldare una portata
m· aria = 5000 kg ⁄ h di aria ( c p, aria = 1005 J ⁄ ( kgK ) ) da T 1 = 20°C a
T 2 = 40°C . Le temperature di condensazione e di evaporazione dell’R12 sono
di T con = 50°C e T eva = 10°C , rispettivamente, e non si ha sottoraffreddamento del liquido o surriscaldamento del vapore. La compressione è adiabatica e
reversibile.
T 2 = 40°C
T 1 = 20°C
aria
50°C
condensatore
compressore
valvola
espansione
R12
P = ?
10°C
10°C
acqua
T 3 = 20°C
T4 = ?
evaporatore
Supponendo di usare una portata m· acqua = 4000 kg ⁄ h di acqua di pozzo
( c p, acqua = 4186 J ⁄ ( kgK ) ), come sorgente a bassa temperatura, entrante a
T 3 = 20°C , determinare:
a) la portata di fluido refrigerante
b) la temperatura di uscita dell’acqua T 4
c) la potenza P assorbita dal compressore.
36.
Una portata di aria ( c p = 1005 J ⁄ ( kgK )
, γ = 1.4 ) alle condizioni di
p 1 = 3 MPa
e T 1 = 27°C entra in uno scambiatore di calore uscendo a
T 2 = 727°C
. Da queste condizioni l’aria si espande in una turbina adiaba-
tica reversibile a cui segue un compressore diabatico isotermo, anch’esso reversibile, che riporta l’aria alle condizioni di partenza. Determinare la pressione di
scarico della turbina e il rendimento di questa macchina termica.
2
T
1
2
G
˜
3
1
3
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
s
XV
Esercizi risolti e temi d’esame
37.
Occorre sottrarre una potenza termica di 8 kW ad una portata m· N2 = 0.3 kg/s di
azoto ( c p, N2 = 1042 J/kgK) che inizialmente si trova a T 1 = 40 °C .
Per fare ciò si utilizza una macchina frigorifera con fluido refrigerante R12.
5
4
condensatore
compressore
valvola
espansione
R12
6
azoto
3
1
2
evaporatore
Altre informazioni:
• la pressione di evaporazione è 3.8 bar (no cadute di pressione)
• la pressione di condensazione è 9 bar (no cadute di pressione)
• all'uscita del condensatore il fluido R12 è in condizioni di liquido saturo
• all’uscita dell’evaporatore il fluido R12 è in condizioni di vapore saturo
secco
Determinare:
A) la temperatura finale dell'azoto T 2
B) la portata di refrigerante m·
R12
C) il titolo dell’R12 all’ingresso dell’evaporatore x 6
38.
L’evaporatore di una macchina frigorifera opera in regime stazionario con fluido
R12 alla pressione p 1 = p 2 = 2.5 bar ; all'ingresso del componente il titolo del
vapore è x 1 = 0.35 mentre in uscita il vapore è saturo secco.
R12
1
2
3
4
aria
evaporatore
Lo scambio termico avviene con una portata di aria, le cui proprietà termodinamiche
nella sezione di ingresso dello scambiatore sono: T 3 = 20 °C , pressione
3
p 3 = 1.4 bar , portata V· 3 = 1440 m ⁄ h . Sapendo che all'uscita dello scambiatore
la temperatura dell'aria è T 4 = 8 °C , determinare:
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XVI
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - domande di teoria
1) la portata in massa di aria m· a ;
2) il flusso termico scambiato tra i due fluidi, sapendo che l’evaporatore è adiabatico
verso l’esterno
3) la portata di fluido refrigerante m· R12
J
J
Altri dati: R a = 287 -------------- , c p, a = 1005 -------------- .
kg ⋅ K
kg ⋅ K
39.
Un compressore adiabatico riceve 3 kg/s di aria a 102 kPa, 288 K con velocità di
120 m/s. L'aria abbandona il compressore alla velocità di 135.74 m/s. Sapendo
che il compressore assorbe un potenza interna di 101.52 kW e che la trasformazione è una politropica con esponente n = 1.465 , determinare: a) temperatura
di mandata; b) pressione di mandata.
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame domande di teoria
• Si consideri un sistema termodinamico racchiuso in un dispositivo stantuffo cilindro che subisce una trasformazione quasi stazionaria (reversibile). Scrivere per
questo sistema il primo principio della termodinamica per i sistemi chiusi e quindi
per i sistemi aperti. Si ottiene la stessa espressione?
• Provare che la negazione del postulato di Clausius implica la negazione del postulato di Kelvin-Planck
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Macchine frigorifere e pompe di calore
Equazioni di Gibbs
Il diagramma di Gibbs (T, s)
Enunciare il I principio di Carnot e provarlo
La trasformazione politropica
Provare che la diseguaglianza di Clausius è vera.
Il calore specifico
La scala termodinamica delle temperature
Descrivere un impianto motore a vapore rappresentando le trasformazioni che
compongono il ciclo su un piano termodinamico
• Descrivere un impianto frigorifero a compressione di vapore rappresentando le
trasformazioni che compongono il ciclo su un piano termodinamico
• Rappresentare sui diagrammi di Clapeyron e Gibbs un ciclo di Carnot. Questo
ciclo può essere percorso da una macchina termica o da una macchina frigorifera?
Oppure da entrambe? Spiegare e indicare le prestazioni
• Il ciclo di Carnot e deduzione del suo rendimento
• Il diagramma di Clapeyron
• Il postulato di Clausius e le macchine frigorifere
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi
svolti
2.
Svolgimento
Dal 1° principio per i sistemi chiusi con L w = 0 (trasformazione reversibile),
ΔE c ≈ 0 e ΔE g ≈ 0 , e dall’equazione di stato dei gas ideali:
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XVII
Esercizi risolti e temi d’esame
2
2
2
1
1
1
V
n⋅R⋅T
dV
L e = – ∫ p dV = – ∫ ---------------------- dV = – n ⋅ R ⋅ T ∫ ------ = – n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln -----2- = – 1718 kJ
V
V1
V
3.
Svolgimento
Dal 1° principio per i sistemi aperti in forma meccanica e dall’equazione di una
n–1
1
⎛ p ----------⎞
n
n
– 1⎟
trasformazione politropica: l i = ∫ v dp = ------------ ⋅ R ⋅ T 1 ⋅ ⎜⎜ ⎛⎝ ----2-⎞⎠
⎟
n–1
p
⎝ 1
⎠
1
kJ
a) n = γ , quindi: l i = 263.3 ------
kg
kJ
b) n = 1.3 , quindi: l i = 246.5 ------
kg
T
T1
p
p1
p
p1
kJ
c) l i = – q e = – q = – T 1 ⋅ Δs = – T 1 ⋅ ⎛⎝ c p ⋅ ln -----2 – R ⋅ ln ----2-⎞⎠ = T 1 ⋅ R ⋅ ln ----2- = 189.3 ------
kg
5.
Svolgimento
P
Dalla definizione di rendimento: Q· 1 = -----i = 2500 kW
η
·
·
Dal 1° principio: Q 2 = Q 1 – P i = 1500 kW
Q· 2
kg
m· = ---------------- = 11.9 -----s
c p ⋅ ΔT
7.
T
Svolgimento
Consideriamo la macchina termica. Rendimento del ciclo di Carnot:
T 2C
( 27 + 273.15 ) K = 0.744
η C = 1 – ------- = 1 – -----------------------------------------( 900 + 273.15 ) K
T 1C
1C
Q& 1 C
M a c c h in a
te rm ic a
d i C a rn o t
P
Q& 2 C
T
2C
= T
Q& 1 R
M a c c h in a
frig o rife ra
re v e rs ib ile
Q& 2 R
T
2R
1R
Dalla definizione del rendimento del ciclo di Carnot si ricava la potenza prodotta:
kJ
kJ
P = η C ⋅ Q· 1C = 0.744 ⋅ 800 --------- = 593.3 --------min
min
Dal primo principio si ricava la potenza termica ceduta alla sorgente di bassa
temperatura:
kJ
kJ
kJ
Q· 2C = Q· 1C – P = 800 --------- – 593.3 --------- = 204.7 --------min
min
min
Il coefficiente di prestazione della macchina frigorifera reversibile è:
1
1
COP R = ----------------- = -------------------------------------------------- = 8.38
T 1R
(---------------------------------------27 + 273.15 ) K- – 1
-------- – 1
( – 5 + 273.15 ) K
T 2R
Dalla definizione di COP R si ottiene la potenza termica sottratta all’ambiente
refrigerato:
kJ
kJ
Q· 2R = COP R ⋅ P = 8.38 ⋅ 593.3 --------- = 4971.9 --------min
min
Infine, dal primo principio applicato alla macchina frigorifera:
kJ
kJ
kJ
Q· 1R = P + Q· 2R = 593.3 --------- + 4971.9 --------- = 5565.2 --------min
min
min
La quantità di calore complessivamente ceduta all’ambiente nell’unità di tempo dalle
due macchine risulta:
kJ
kJ
kJ
Q· 2C + Q· 1R = 204.7 --------- + 5565.2 --------- = 5769.9 --------min
min
min
8.
Svolgimento
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XVIII
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi svolti
Dalle tabelle:
T1 = 60°C
T2 = 7°C
Coefficiente di prestazione della macchina refrigerante di Carnot:
1
COP R = -------------- = 5.27
T1
----- – 1
T2
Q
Q1
T
T1
Poiché ------2 = -----2 , si ha
T2
T2
( 7 + 273.15 ) K
kJ
kJ
q 2 = ----- ⋅ q 1 = ----- ⋅ ( h b – h c ) = --------------------------------------- ⋅ ( 2609.9 – 251.45 ) ------ = 1982 -----( 60 + 273.15 ) K
kg
kg
T1
T1
9.
Svolgimento
Siano rispettivamente 1 il punto di inizio espansione e 2 il punto di fine espansione.
Convenzione adottata: lavoro positivo se uscente dal sistema.
P
kJ
14000 kW
l i = ----·-i = ------------------------- = 915 -----kg
m
kg
15.3 -----s
Dal diagramma di Mollier (il valore seguente ha un’accuratezza non raggiungere con
il diagramma di Mollier cartaceo perché è stata determinata con un programma di
calcolo; vanno benissimo valori approssimati, purché risulti chiaro che sono stati letti
kJ
correttamente): h 1 = 3373.63 ------
kg
Primo principio per i sistemi aperti in forma termica applicato alla turbina:
q e – l i = Δh + Δe c + Δe g + …
q e = 0 perché la trasformazione è adiabatica. Trascurando le variazioni di energia
cinetica e potenziale si ottiene: l i = Δh = h 1 – h 2
kJ
Si ricava h 2 = h 1 – l i = 2458.6 ------
kg
Note pressione e temperatura del punto 2 si legge il titolo ( x 2 ≅ 0.95 ) sul diagramma
o
di Mollier. La temperatura può essere ricavata dalle tabelle ( T 2 = 45.8 C : è la temperatura di saturazione in corrispondenza della pressione 10 kPa ).
12.
Svolgimento
La portata in massa di vapore m· 2 può essere calcolata dal primo principio applicato
al sistema:
acqua (1)
m· 1 ⋅ ( h 1 – h 0 ) + m· 2 ⋅ ( h 2 – h 0 ) = m· 3 ⋅ ( h 3 – h 0 ) + Q·
dove h 0 è l’entalpia nello stato di riferimento e cioè il livello comune rispetto a cui
&
Q
tutte le quantità di energia sono riferite.
Per la conservazione della massa si ha:
m· 1 + m· 2 = m· 3
sistema
miscela (3)
ambiente
Sostituendo, si ottiene:
m· 1 ⋅ ( h 1 – h 0 ) + m· 2 ⋅ ( h 2 – h 0 ) = ( m· 1 + m· 2 ) ⋅ ( h 3 – h 0 ) + Q·
vapore (2)
e infine:
kJ
600 --------kg
kJ
min
2.5 ------ ⋅ ( 251.3 – 84 ) ------ + --------------------s
kg
s
kJ
·
60 --------428.25 ----·
m1 ⋅ ( h3 – h1 ) + Q
kg
min
s
·
m 2 = -------------------------------------------- = --------------------------------------------------------------------------------------- = -----------------------= 0.152 -----s
h2 – h3
kJ
kJ
( 3071.4 – 251.3 ) -----2820.1 -----kg
kg
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XIX
Esercizi risolti e temi d’esame
14.
Svolgimento
Dalle tabelle:
T1 = 180°C
T2 = 45.8°C
T
T1
Rendimento del ciclo di Carnot: η C = 1 – -----2 = 0.296
Lavoro prodotto dal ciclo
kJ
kJ
l = l esp – l compr = η C ⋅ q 1 = η C ⋅ ( h c – h b ) = 0.296 ⋅ ( 2776.2 – 762.61 ) ------ = 596 -----kg
kg
15.
Svolgimento
Dal 1° principio per i sistemi aperti in forma meccanica e dall’equazione di una
1
⎛ p
n
trasformazione politropica: l i = – ∫ v dp = – ------------ ⋅ R ⋅ T 1 ⋅ ⎜⎜ ⎛⎝ ----2-⎞⎠
n–1
p
⎝ 1
1
n–1
-----------n
⎞
– 1⎟
⎟
⎠
kJ
a) n = γ , quindi: l i = 455.75 ------
kg
kJ
b) n = 1.3 , quindi: l i = 481.4 ------
kg
T
T1
p
p1
p
p1
kJ
c) l i = q e = q = T 1 ⋅ Δs = T 1 ⋅ ⎛⎝ c p ⋅ ln -----2 – R ⋅ ln ----2-⎞⎠ = – T 1 ⋅ R ⋅ ln ----2- = 613.7 ------
kg
17.
Svolgimento
Il sistema in esame è un sistema chiuso.
L’energia interna è una funzione di stato e come tale la sua variazione tra due
stati (A e B) è indipendente dalla trasformazione seguita.
In generale vale ΔU = m ⋅ Δu ; inoltre, per un gas ideale si ha Δu = c v ⋅ ΔT , quindi
ΔU = U B – U A = m ⋅ c v ⋅ ( T B – T A )
Il calore specifico a volume costante c v è ricavabile da:
⎧ R = c –c
p
v
⎪
J
⎪
cp
8314.14 -----------------R univ
⎪
J
kmol
Kγ = ----→ c v = ------------------------- = -----------------------------------------= 311.8 ----------- , da cui
⎨
cv
kg
K
M
⋅
(
γ
–
1
)
kg
5
⎪
40 ------------ ⋅ ⎛ --- – 1⎞
⎪
R univ
kmol ⎝ 3 ⎠
⎪ R = ------------M
⎩
kJ
ΔU = m ⋅ c v ⋅ ( T B – T A ) = 0.01 kg ⋅ 0.3118 ----------- ⋅ ( 600 – 300 ) K = 0.94 kJ
kg K
Il lavoro e il calore scambiati, viceversa, non sono delle funzioni di stato e quindi
dipendono dalla trasformazione seguita tra lo stato iniziale A e lo stato finale B.
Per una trasformazione reversibile con variazioni di energia cinetica e gravitazionale
trascurabili si ha:
B
L e = – ∫ p dV
A
e dal 1° principio della termodinamica per un sistema chiuso: Q e + L e = ΔU
Caso I)
Osservazioni: i) tra C e B non c’è variazione di volume e dunque non c’è lavoro
scambiato con l’esterno, ii) tra A e C la pressione è costante.
B
B
C
⎛C
⎞
L e, ACB = – ∫ p dV = – ⎜ ∫ p dV + ∫ p dV⎟ = – ∫ p dV = – p A ⋅ ( V C – V A ) = – p A ⋅ ( V B – V A )
⎜
⎟
⎝A
⎠
A
C
A
E’ possibile ricavare il volume occupato nello stato A e nello stato B applicando
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XX
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi svolti
l’equazione di stato dei gas ideali: pV = mRT , dove
Nm
8314.14 -----------------R univ
J
kmol
K
R = ------------- = --------------------------------------- = 207.85 ----------kg K
M
kg
40 -----------kmol
VA
Nm
0.01 kg ⋅ 207.85 ----------- ⋅ 300 K
mRT A
3
kg
K
- = 2.08 dm
= --------------- = -----------------------------------------------------------------------pA
N
300000 ------2m
Nm
0.01 kg ⋅ 207.85 ----------- ⋅ 600 K
mRT
3
kg K
- = 12.47 dm
V B = --------------B- = -----------------------------------------------------------------------pB
N
100000 ------2m
3 N
–3 3
L e, ACB = – p A ⋅ ( V B – V A ) = – 300 ⋅ 10 ------2- ⋅ ( 12.47 – 2.08 ) ⋅ 10 m = – 3.12 kJ
m
Q e, ACB = ΔU – L e, ACB = 0.94 kJ + 3.12 kJ = 4.06 kJ
Caso III)
Osservazione: nello stato E si ha T E = T A e p E = p B .
B
B
E
⎛E
⎞
mRT
L e, AEB = – ∫ p dV = – ⎜ ∫ p dV + ∫ p dV⎟ = – ∫ ------------ dV – p E ⋅ ( V B – V E ) =
⎜
⎟
V
⎝A
⎠
A
E
A
E
VE
1
= – mRT A ∫ --- dV – p B ⋅ ( V B – V E ) = – mRT A ⋅ ln ------ – p E ⋅ ( V B – V E )
VA
V
A
Dall’equazione di stato dei gas ideali:
Nm
0.01 kg ⋅ 207.85 ----------- ⋅ 300 K
mRT
3
kg K
V E = --------------A- = ------------------------------------------------------------------------- = 6.24 dm
pB
N
100000 ------2m
Sostituendo:
3
J
6.24 dm - – 100 kPa ⋅ ( 12.47 – 6.24 ) ⋅ 10 –3 m 3 = – 1.31 kJ
L e, AEB = – 0.01 kg ⋅ 207.85 ----------- ⋅ 300 K ⋅ ln --------------------3
kg K
2.08 dm
Q e, AEB = ΔU – L e, AEB = 0.94 kJ + 1.31 kJ = 2.25 kJ
650
600
550
500
450
p (kPa)
400
350
A
300
C
250
200
150
100
B
E
50
isoterma 300 K
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
V (dm3)
Il caso II) e il caso IV) sono lasciati all’allievo.
1
18.
Svolgimento
Si tratta di un sistema termodinamico aperto.
Primo principio applicato al volume di controllo σ :
Q· e + P i =
∑ m· e ( h + ec + eg )e – ∑ m· i ( h + ec + eg )i
e
i
σ
4
3
2
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXI
Esercizi risolti e temi d’esame
Le caratteristiche del caso in esame:
• adiabaticità verso l’esterno
• assenza di scambi di lavoro
• variazioni di energia gravitazionale trascurabili
• variazioni di energia cinetica trascurabili
portano a scrivere:
0 = m· 2 h 2 + m· 4 h 4 – m· 1 h 1 – m· 3 h 3
Essendo il sistema stazionario, valgono m· 1 = m· 2 = m· v e m· 3 = m· 4 = m· H2O e
quindi il primo principio diventa:
h1 – h2
m· H2O
h1 – h2
m· v ( h 1 – h 2 ) = m· H2O ( h 4 – h 3 ) da cui ------------ = --------------- = ----------------------------------------m· v
h4 – h3
c p, H2O ⋅ ( T 4 – T 3 )
Si osservi che per il riscaldamento di un liquido a pressione costante vale:
Δh = c p ΔT
kJ
Dal diagramma di Mollier, note x 1 = 0.91 e p 1 = 4.5 kPa : h 1 = 2340 ------
kg
Dalle tabelle delle proprietà termodinamiche dell’acqua in condizioni di saturazione,
kJ
in corrispondenza di p 2 = 4.5 kPa e x 2 = 0 (c.l.i.): h 2 = 129.99 ------
kg
kJ
kJ
2340 ------ – 129.99 -----m· H2O
kg
kg
------------- = ------------------------------------------------------------------ = 52.8
kJ
m· v
4.186 -------------- ⋅ ( 23 – 13 ) °C
kg ⋅ K
19.
Svolgimento
Primo principio per un sistema aperto:
Q· e + P i =
∑ m· e ( h + ec + eg )e – ∑ m· i ( h + ec + eg )i
e
i
Le caratteristiche del caso in esame:
• un solo ingresso ed una sola uscita
• sistema stazionario
• fluido: gas perfetto
• energia gravitazionale trascurabile
portano a scrivere:
2
2
c2 – c1
Q· e + P i = m· ( Δh + Δe c ) = m· ( c p ΔT + Δe c ) = m· c p ( T 2 – T 1 ) + --------------2
da cui:
2
2
c2 – c1
Q· e = m· c p ( T 2 – T 1 ) + --------------- – Pi
2
Le velocità del fluido in ingresso ed in uscita possono essere calcolate a partire
dall’equazione di continuità:
m· = ρAc
5 N
3 ⋅ 10 ------2·
p
kg
m
m
1
= --------------------------------------------- = 1.3066 ------3c 1 = ------------ con ρ 1 = --------ρ1 A1
Nm
RT 1
m
287 -------------- ⋅ 800 K
kg ⋅ K
kg
10 -----m
s
c 1 = ---------------------------------------------- = 76.5 ---s
2
kg
1.3066 ------3- ⋅ 0.1 m
m
5 N
1 ⋅ 10 ------2·
p
kg
m
m
2
= ---------------------------------------------- = 1.2444 ------3c 2 = ------------ con ρ 2 = --------ρ2 A2
Nm
RT 2
m
287 -------------- ⋅ 280 K
kg ⋅ K
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXII
Capitolo 1 Termodinamica: temi d’esame - esercizi svolti
kg
10 -----m
s
c 2 = -------------------------------------------------- = 401.8 ---s
2
kg
1.2444 ------3- ⋅ 0.02 m
m
Sostituendo i valori numerici nella formula si ottiene:
2
2
c2 – c1
- – Pi =
Q· e = m· c p ( T 2 – T 1 ) + --------------2
2
2
⎛ 401.8 m
----⎞ – ⎛ 76.5 m
----⎞
⎝
⎝
s⎠
s⎠
kg
J
6 J
= 10 ------ 1004 -------------- ⋅ ( 280 – 800 ) K + ------------------------------------------------------------ – ⎛ – 3 ⋅ 10 - ⎞ = – 1443 kW
⎝
s
kg ⋅ K
s⎠
2
Poiché il calore ricevuto dalla macchina ( Q· e ) è pari a -1443 kW, allora il calore
disperso dalla macchina (- Q· e ) è pari a +1443 kW.
21.
Svolgimento
Dal 1° principio della termodinamica applicato alla macchina termica si ha
Q· 1 = L· + Q· 2 , da cui L· = 55 kW (potenza interna e potenza utile coincidono nell’ipo-
S o rg e n te d i a lta
te m p e ra tu ra
T1
tesi di rendimento meccanico unitario).
Dalla definizione di rendimento di una macchina termica:
Q1
L· = -----------------55 kW- = 0.36
η ter = -----150 kW
Q· 1
·
Q· – Q·
M a c c h in a
te rm ic a
Q·
L = ------------------1
2
2
Il rendimento può anche essere scritto come: η ter = -----. In par= 1 – -----Q· 1
Q· 1
Q· 1
ticolare, in una macchina termica di Carnot (che è reversibile) si ha:
ηC
⎛ Q· 2⎞
T
( 25 + 273.15 ) K = 0.75
= 1 – ⎜ -----= 1 – -----2 = 1 – --------------------------------------⎟
·
1200 K
T1
⎝ Q 1⎠ rev
L
Q2
S o rg e n te d i b a s s a
te m p e ra tu ra
T2
23.
Svolgimento
Potenza termica che deve essere fornita alla casa: Q· 1 = Q· e – Q· i = 15.556 kW
Q· 1
Potenza elettrica: W· = ----------- = 6.222 kW
COP
24.
Svolgimento
Sia 1 il punto di inizio trasformazione e 2 il punto di fine trasformazione.
Primo principio per i sistemi aperti applicato alla valvola:
q e – l i = Δh + Δe c + Δe g + … (convenzione adottata: lavoro positivo se uscente)
q e = 0 perché la trasformazione è adiabatica, l i = 0 perché in una valvola di lami-
nazione non c’è scambio di lavoro. Trascurando le variazioni di energia cinetica e
potenziale, si ottiene Δh = 0 , cioè la trasformazione è isentalpica.
kJ
Dal diagramma dell’R12: h 1 = 126 ------ , T 1 ≅ 300 K
kg
kJ
Il punto 2 si trova all’intersezione dell’isoentalpica 126 ------ e dell’isobara 120 kPa .
kg
T 2 ≅ 245 K
o
Diminuzione di temperatura: T 1 – T 2 ≅ 55 K = 55 C
25.
Svolgimento
T
300K
η c = 1 – -----2 = 1 – ------------------ = 0.7
T1
1000 K
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXIII
Esercizi risolti e temi d’esame
Punto
1
2
3
4
p (kPa)
20
1900
T (K)
300
300
1000
1000
V (m3)
La tabella può essere immediatamente compilata come a lato.
kJ
1.5 kg ⋅ 0.287 ---------- ⋅ 300 K
mRT 1
kgK
Dall’equazione di stato dei gas: V 1 = -------------- = -----------------------------------------------------------------p1
kN
20 ------2m
kJ
1.5 kg ⋅ 0.287 ---------- ⋅ 1000 K
mRT 3
kgK
Idem per il volume del punto 3: V 3 = -------------- = --------------------------------------------------------------------kN
p3
1900 ------2m
Trasformazione 2-3: compressione adiabatica e reversibile, quindi n = γ . Dalla poliγ
-----------
Punto
1
2
3
4
p (kPa)
20
28.1
1900
1352.4
T (K)
300
300
1000
1000
V (m3)
6.457
4.596
0.227
0.318
T γ–1
tropica si ricava: p 2 = p 3 ⎛⎝ -----2⎞⎠
T3
Trasformazione 4-1: compressione adiabatica e reversibile, quindi n = γ . Dalla poliγ ----------
T γ–1
tropica si ricava: p 4 = p 1 ⎛⎝ -----4⎞⎠
T1
mRT
p2
mRT
p4
Dall’equazione di stato dei gas: V 2 = -------------2- , V 4 = -------------4- .
26.
Svolgimento
h 1 = 2870 kJ/kg, dal diagramma di Mollier.
Il punto 2 è di liquido sottoraffreddato. Con buona approssimazione l’entalpia di un
liquido sottoraffreddato è approssimabile con quella del liquido saturo alla
stessa temperatura, per cui dalle tavole: h 2 = 419.06 kJ/kg
Potenza trasmessa = m· ⋅ ( h – h ) = 326.9 kW
v
1
2
Potenza trasmessa = m· a ⋅ c p, a ⋅ ΔT , da cui si ricava m· a = 14.78 kg/s
m·
Portata in volume nelle condizioni 1: V· 1 = ------a , dove
ρ1
p1
kg
ρ 1 = ------------- = 1.17 ------3
R ⋅ T1
m
3
·
m
m
V· 1 = ------a = 12.65 -----s
ρ1
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXIV
Capitolo 2 Espansione e compressione: temi d’esame
Capitolo 2 Espansione e compressione: temi
d’esame
1.
Si valuti la perdita di potenza che si ha in un impianto termoelettrico a vapore se
la temperatura di fine espansione cambia da 30 a 40 °C. Si assuma una portata di
vapore pari a 600 t/h, che il punto di inizio espansione sia a 40 bar, 540 °C e che il
rendimento isentropico della turbina sia di 0.85.
2.
La macchina termica a vapore dello schema produce 150 MW di potenza. La temperatura di evaporazione è di 311°C , la temperatura massima è di 500°C e la
temperatura di condensazione è di 46°C . Trascurando il lavoro della pompa
determinare la portata di vapore, ipotizzando per la turbina un rendimento isentropico pari a 0.85
500°C
P i = 150 MW
e
46°C
f
a
3.
1.2 m 3 ⁄ s di aria a 100 kPa e 17°C entrano in un compressore adiabatico ed
escono a 257°C . Il rendimento isentropico del compressore è 0.84. Assumendo
trascurabile la variazione di energia cinetica, Determinare la pressione di uscita
dell’aria e la potenza assorbita.
4.
J
Un compressore comprime una portata m· = 115 kg/s di aria ( R = 287 -------------- ,
kg ⋅ K
γ = 1.4 ) a partire da p 1 = 1 bar e T 1 = 25 °C utilizzando una potenza
P i = 42 MW . Trascurando le variazioni di energia cinetica e gravitazionale,
determinare la temperatura T 2 e la pressione p 2 alla mandata del compressore,
sapendo che la trasformazione è adiabatica ma non reversibile, con rendimento
isentropico η is pari a 0.85.
5.
Una macchina frigorifera produce acqua refrigerata a 7 °C per un’utenza, che la
restituisce a 12 °C. Il ciclo inverso realizzato ha i seguenti dati caratteristici:
• fluido di lavoro: R12
• temperatura di evaporazione: -10 °C;
• temperatura di condensazione: 30 °C.
Il fluido di lavoro esce dall’evaporatore come vapore saturo secco, mentre all’uscita
del condensatore è in condizioni di liquido sottoraffreddato, a 20 °C.
Il condensatore è raffreddato con una portata di acqua che entra a 18 °C ed esce a 24
°C.
Il compressore assorbe una potenza di 60 kW ed ha un rendimento isentropico
dell’88%.
Assumendo trascurabili le perdite di carico negli scambiatori di calore, determinare:
a) la portata di acqua di raffreddamento del condensatore;
b) il titolo all’uscita della valvola di laminazione isentalpica;
c) il coefficiente di prestazione della macchina;
d) la portata di acqua refrigerata prodotta.
Infine, rappresentare il ciclo sul piano p-h.
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXV
Esercizi risolti e temi d’esame
6.
Un ciclo frigorifero viene utilizzato per la produzione continua di 23 kg ⁄ s di
o
acqua fredda alla temperatura di 10 C secondo lo schema di impianto indicato in
figura.
Legenda:
0.07
3
0.07
p(bar)
s (kJ/kgK)
T(°C)
h(kJ/kg)
CONDENSATORE
2
V
C
4
0.01 s nonrichiesta
M
1
EVAPORATORE
5
0.01
6
Anche il fluido refrigerante è acqua. L’acqua refrigerante entra come vapore saturo
ad una pressione di 0.01 bar in un compressore adiabatico (avente η is = 0.8 ) e viene
compressa fino ad una pressione di 0.07 bar ; entra quindi in uno scambiatore in cui
viene desurriscaldata e condensata isobaricamente, cedendo calore all’ambiente
esterno ed uscendo in condizioni di liquido saturo. Il liquido subisce quindi una laminazione in una valvola fino alla pressione iniziale e passa poi nell’evaporatore ritornando alle condizioni di vapore saturo; l’altro lato dell’evaporatore è percorso
o
o
dall’acqua da raffreddare, che passa da 27 C alla temperatura desiderata di 10 C .
a) Completare le tabelline relative alle proprietà termodinamiche dei punti 1, 2, 3 e 4.
b) Calcolare il coefficiente di prestazione.
J
Altri dati: c p, H2O = 4186 ---------------.
o
kg ⋅ C
7.
Un compressore adiabatico comprime m· a = 720 kg ⁄ h di aria da 100 kPa e
12°C a 800 kPa . Se il rendimento isentropico del compressore è η is = 0.8 ,
determinare a) la temperatura di uscita dell’aria e b) la potenza interna assorbita
dal compressore.
8.
Un compressore adiabatico riceve 3 kg/s di aria a 102 kPa, 288 K con velocità di
120 m/s. L'aria abbandona il compressore alla velocità di 135.74 m/s. Sapendo
che il compressore assorbe un potenza di 101.52 kW ( η m = 0.98 ) e che lavora
8.
con rendimento politropico pari a 0.9, determinare: a) temperatura di mandata; b)
pressione di mandata; c) rendimento isoentropico.
Una portata m· = 0.05 kg/s di refrigerante R12 a 140 kPa e -20 °C viene com-
9.
presso fino alle condizioni di 800 kPa e 50 °C in un compressore adiabatico di
una macchina frigorifera. Il refrigerante esce dal condensatore a 720 kPa e 26 °C
e viene laminato fino a 150 kPa. Determinare (a) la potenza termica rimossa dallo
spazio refrigerato e la potenza assorbita dal compressore, (b) il rendimento isentropico del compressore e (c) il coefficiente di prestazione della macchina.
Un compressore adiabatico comprime m· = 720 kg ⁄ h di aria da 100 kPa e
a
12°C a 800 kPa . Se il rendimento isentropico del compressore è η is = 0.8 ,
determinare a) la temperatura di uscita dell’aria e b) la potenza interna assorbita
dal compressore.
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXVI
Capitolo 2 Espansione e compressione: temi d’esame - domande di teoria
Capitolo 2 Espansione e compressione: temi
d’esame - domande di teoria
• La trasformazione di espansione di un gas e suoi rendimenti.
• Confronto tra rendimento isentropico e rendimento idraulico nella compressione
con scambio di lavoro di un gas ideale.
• Rendimento isentropico e rendimento idraulico in una trasformazione di espansione con scambio di lavoro.
• La trasformazione di espansione con scambio di lavoro.
• Compressione di un gas con scambio di lavoro: descrizione della trasformazione,
rappresentazione su diagrammi termodinamici, rendimenti.
• Il rendimento idraulico o politropico nelle trasformazioni di espansione e compressione.
•Un compressore aspira aria dall’ambiente
1000 kPa
2
3
1
100 kPa
( 25°C e 100 kPa ) e la invia a 1000 kPa a una
turbina, meccanicamente collegata al compressore, che la riespande di nuovo fino alla pressione ambiente. Sapendo che le due macchine
sono adiabatiche e che hanno lo stesso rendimento isentropico ( η is = 0.85 ) dimostrare,
motivando i risultati, che la turbina non é in
grado di comandare autonomamente (cioè senza
mezzi esterni) il compressore.
Capitolo 2 Espansione e compressione: temi
d’esame - esercizi risolti
1.
Svolgimento
Dati
T f = 30 °C
e
e
generatore
di vapore d
c
L
alternatore
T
p e = 40 bar
turbina
b
pompa
a
T F = 40 °C
m· = 600 t/h /s
f
T e = 540 °C
t
η is = 0.85
condensatore Incognita
P – P'
Localizzare il punto e sul diagramma di Mollier, all’intersezione tra l’isobara
p e = 40 bar e l’isoterma T e = 540 °C (NB: le isoterme non sono rette orizzonkJ
kJ
tali!). Si leggono: h e = 3540 ------ , s e = 7.2 ----------- .
kg
kg K
Leggere sulle tabelle delle proprietà termodinamiche dell’acqua in condizioni di saturazione la pressione corrispondente alla temperatura di condensazione T f = 30 °C :
p f = 4.241 kPa .
Localizzare il punto f is sul diagramma di Mollier, all’intersezione tra l’isobara
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXVII
Esercizi risolti e temi d’esame
kJ
kJ
p f = 4.241 kPa e l’isentropica s f, is = s e = 7.2 ----------- : si legge h f, is = 2180 ------ .
kg K
kg
Dalla definizione di rendimento isentropico di una turbina (nelle ipotesi classiche di
q e = 0 , Δe c = Δe g = 0 ):
he – hf
t
η is = ------------------h e – h f, is
si ricava l’entalpia del punto f e quindi la potenza sviluppata (hp: q e = 0 ,
Δe c = Δe g = 0 ):
kJ
kJ
kJ
t
h f = h e – η is ⋅ ( h e – h f, is ) = 3540 ------ – 0.85 ⋅ ( 3540 – 2180 ) ------ = 2384 -----kg
kg
kg
kg
kJ
P = m· ⋅ l i = m· ⋅ ( h e – h f ) = 166.67 ------ ⋅ ( 3540 – 2384 ) ------ = 192.6 MW
s
kg
Se la temperatura di condensazione diventa T F = 40 °C , allora la pressione di condensazione diventa p F = 7.375 kPa e dal diagramma di Mollier risulta
kJ
h F, is = 2240 ------ ; i l p u n t o F is s i t r o v a a l l ’ i n t e r s e z i o n e t r a l ’ i s o b a r a
kg
kJ
p F = 7.375 kPa e l’isentropica s F, is = s e = 7.2 ----------- (il punto di inizio espankg K
sione e , infatti, non è cambiato).
kJ
kJ
kJ
t
h F = h e – η is ⋅ ( h e – h F, is ) = 3540 ------ – 0.85 ⋅ ( 3540 – 2240 ) ------ = 2435 -----kg
kg
kg
kg
kJ
P' = m· ⋅ ( h e – h F ) = 166.67 ------ ⋅ ( 3540 – 2435 ) ------ = 184.1 MW
s
kg
Water
3800
e
3600
4000 kPa
3400
h (kJ/kg)
3200
4.241 kPa
3000
2800
7.375 kPa
2600
f
2400
2000
4.5
F
f,is
2200
0.9
F,is
0.8
5.5
6.5
7.5
s (kJ/kg-K)
8.5
9.5
8.
Soluzione
Dalla definizione di rendimento meccanico:
P i = η m ⋅ P a = 0.98 ⋅ 101.52 kW = 99.49 kW
kJ
99.49 ----Pi
kJ
s- = 33.163 ----l i = ----·- = -------------------kg
kg
m
3 -----s
Dal primo principio per un sistema aperto q e + l i = Δh + Δe c + Δe g trascurando la
variazione di energia gravitazionale e ricordando che per un gas vale Δh = c p ⋅ ΔT
2
2
c2 – c1
si ha: l i = c p ⋅ ( T 2 – T 1 ) + --------------2
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXVIII
Capitolo 2 Espansione e compressione: temi d’esame - esercizi risolti
2
2
m
⎛ 135.74 m
----⎞ – ⎛ 120 ----⎞
⎝
⎠
⎝
–
s
s⎠
J
l i – --------------33163 ------ – ------------------------------------------------------------kg
2 - = 288 K + -----------------------------------------------------------------------------------------2
- = 319 K
T 2 = T 1 + -----------------------J
cp
1004.5 ----------kg K
Per una trasformazione di compressione, nelle ipotesi di q e = Δe c = Δe g = 0 , la
2
c2
2
c1
relazione che lega il rendimento idraulico con l’esponente n della politropica è:
n
-----------n–1
η y = -----------γ ---------γ–1
γ
1.4
n
Si ricava ------------ = η y ⋅ ----------- = 0.9 ⋅ ---------------- = 3.15 e quindi n = 1.46 .
γ–1
1.4 – 1
n–1
Dall’equazione di una trasformazione politropica nella forma che lega pressione e
p
T
temperatura: ----2- = ⎛ ----2-⎞
⎝ p 1⎠
T1
T
p 2 = p 1 ⋅ ⎛ ----2-⎞
⎝ T 1⎠
n
-----------n–1
n–1
-----------n
si ricava la pressione alla mandata del compressore:
319 K
= 102 kPa ⋅ ⎛ ---------------⎞
⎝ 288 K⎠
3.15
= 141 kPa
Nelle stesse ipotesi, il rendimento isentropico vale:
γ–1
-----------
η is
1.4 – 1
----------------
γ
kPa 1.4
⎛p
⎛ 141
----2-⎞
-------------------⎞
⎝ p 1⎠
⎝ 102 kPa⎠
= ------------------- = --------------------------------------- = 0.895
n–1
1.46 – 1
-----------------------------n
1.46
p
141
kPa
⎛ -------------------⎞
⎛ ----2-⎞
⎝ 102 kPa⎠
⎝ p 1⎠
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXIX
Esercizi risolti e temi d’esame
:
CO 2
9.21%
CO
0.61%
O2
7.06%
N2
83.12%
Capitolo 3 Richiami di termochimica: temi d’esame
1.
Determinare la dosatura e l’eccesso d’aria in base all’analisi dei prodotti della
combustione dell’ottano C 8 H 18 con la composizione volumetrica percentuale dei
gas combusti anidri riportata a lato.
2.
Il biogas recuperato da una discarica di rifiuti ha una composizione in volume,
semplificata, di 65% di CH4 e 35% di CO2. Calcolare il potere calorifico inferiore
e superiore alle condizioni standard di riferimento.
3.
Calcolare il potere calorifico superiore e inferiore dell’ottano gassoso C 8 H 18 alle
condizioni di riferimento standard.
4.
Un combustibile gassoso composto per 80% da metano, 15% azoto e 5% ossigeno
(su base molare) viene bruciato con aria. L’analisi volumetrica dei gas combusti
anidri fornisce 3.36% di CO2, 0.09% di CO, 14.91% di O2 e 81.64% di azoto.
Determinare la dosatura.
5.
Un gas naturale ha la seguente composizione molare:
• 90.8% CH4
• 5.6% C2H6
• 2.7% C3H8
• 0.9% C4H10
Determinare la dosatura stechiometrica e il potere calorifico inferiore.
6.
Determinare la dosatura stechiometrica, il potere calorifico inferiore e superiore
dell’alcool metilico CH 3 OH .
7.
Un gas combustibile presenta la seguente composizione molare: 65% di CH 4 , 8%
di H 2 , 18% di N 2 , 3% di O 2 e 6% di CO 2 . Il gas viene bruciato completamente
con la quantità stechiometrica di aria. Determinare la dosatura e il potere calorifico inferiore.
8.
kJ
Una macchina termica utilizza gas naturale come combustibile ( H i = 47450 ------ ,
kg
η b = 0.99 , T b = 25 °C ); l’aria comburente è introdotta alla temperatura
T a = 25 °C . Sapendo che l’impianto, adiabatico verso l’esterno, fornisce una
potenza meccanica P u = 15 MW ( η m = 0.97 ) e che scarica la portata di gas
kg
combusti m· g = 50 ------ a T g = 485 °C , determinare:
s
a) la portata di combustibile consumata;
b) la dosatura.
Si supponga ora di inserire a valle della macchina termica uno scambiatore di calore
al fine di recuperare parte del calore scaricato con i gas combusti per produrre acqua
calda a T mand = 90 °C da inviare ad un’utenza termica che la restituisce a
T rit = 70 °C . Nell’ipotesi di raffreddare i gas combusti fino alla temperatura
T g' = 150 °C , calcolare:
c) la potenza termica recuperabile;
d) la portata di acqua calda inviata all’utenza.
J
kJ
Altri dati: calore specifico dei gas combusti c pg = 1147 ----------- , c p, H2O = 4.2 ----------- .
kg K
kg K
9.
Una macchina termica fornisce una potenza utile di 1165 kW. L’aria é aspirata
alle condizioni p a = 100 kPa e T a = 25 °C . La portata di gas combusti, scaricati dalla macchina alla temperatura di T g = 410 °C e alla pressione di
3
m
p g = 105 kPa , è di 254 --------- .
min
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXX
Capitolo 3 Richiami di termochimica: temi d’esame - domande di teoria
La macchina termica scambia complessivamente con l’esterno una potenza termica
pari a 422 kW.
Altri dati: c pa = 1005 J/(kg K) , c pg = 1150 J/(kg k) . Inoltre, per semplicità si considerino: η m = 1 , η b = 1 , temperatura del combustibile T b ≈ T 0 , massa molecolare dei gas combusti M g ≈ M a .
Determinare il consumo di combustibile ( H i = 42000 kJ/kg ) e il rendimento della
macchina termica.
Capitolo 3 Richiami di termochimica: temi d’esame
- domande di teoria
• Energia massima di una reazione chimica di combustione.
• La temperatura adiabatica di combustione.
• Il potere calorifico dei combustibili.
Capitolo 3 Richiami di termochimica: temi d’esame
- esercizi risolti
3.
Svolgimento
Si scrive la reazione di combustione stechiometrica dell’ottano con l’aria:
C 8 H 18 + ( O 2 + 3.76N 2 ) → CO 2 + H 2 O + N 2
La si bilancia, ottenendo:
C 8 H 18 + 12.5 ⋅ ( O 2 + 3.76N 2 ) → 8 ⋅ CO 2 + 9 ⋅ H 2 O + 47 ⋅ N 2
Il potere calorifico molare è dato da:
H =
∑N
0
R
⋅ ( hf )R –
∑N
0
P
⋅ ( hf )P
Potere calorifico inferiore:
0
0
0
H i = 1 ⋅ ( h f ) C8H18, g – 8 ⋅ ( h f ) CO2 – 9 ⋅ ( h f ) H2O, g
Sostituendo i valori delle entalpie di formazione molari, si ricava:
kJ
kJ
kJ
kJ
H i = 1 ⋅ ⎛ – 208500 ------------⎞ – 8 ⋅ ⎛ – 393509 ------------⎞ – 9 ⋅ ⎛ – 241818 ------------⎞ = 5115934 -----------⎝
⎝
⎝
kmol⎠
kmol⎠
kmol⎠
kmol
Similmente per il potere calorifico superiore:
0
0
0
H s = 1 ⋅ ( h f ) C8H18, g – 8 ⋅ ( h f ) CO2 – 9 ⋅ ( h f ) H2O, l
kJ
kJ
kJ
kJ
H s = 1 ⋅ ⎛ – 208500 ------------⎞ – 8 ⋅ ⎛ – 393509 ------------⎞ – 9 ⋅ ⎛ – 285830 ------------⎞ = 5512042 -----------⎝
⎝
⎝
kmol⎠
kmol
kmol⎠
kmol⎠
Volendo (non è necessario farlo), si può passare al potere calorifico massico
H- dove M è la massa molecolare del combustibile:
ricordando che H = -----b
Mb
kg
kg
M b = ( 8 ⋅ 12 + 18 ⋅ 1 ) ------------ = 114 -----------kmol
kmol
kJ
kJ
5115934 -----------5512042 -----------Hi
Hs
kJ
kJ
kmol
kmol
H i = ------- = ----------------------------------- = 44876.6 ------ , H s = ------- = ----------------------------------- = 48351.2 -----kg
kg
kg
kg
Mb
M
b
114 -----------114 -----------kmol
kmol
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXXI
Esercizi risolti e temi d’esame
Capitolo 4 Impianti motori a gas: temi d’esame
1.
Il compressore bistadio dell’esercizio 4 a pag. X, nelle condizioni descritte, è
inserito in un impianto motore a gas monoalbero. Si conoscono inoltre:
Temperatura ambiente
15
°C
Pressione ambiente
100
kPa
Portata d’aria
10.7
kg/s
Potenza utile
2
MW
Temperatura di scarico turbina
525
°C
Potere calorifico inferiore metano
49754
kJ/kg
Rendimento del combustore
0.98
Caduta di pressione nel combustore
3%
Rendimento meccanico
0.92
Calcolare il rendimento globale dell’impianto e il consumo specifico di combustibile.
Altri dati: γ = 1.4, cp = 1005 J/kgK, γ’ = 4/3, c’p = 1147 J/kgK
Calcolare il rendimento globale dell’impianto e il consumo specifico di combustibile.
Altri dati: γ = 1.4, cp = 1005 J/kgK, γ’ = 4/3, c’p = 1147 J/kgK
2.
Con riferimento ai dati dell’impianto motore a gas riportati in tabella:
Portata in massa di aria
443 kg/s
Potenza utile del turbogas
123 MW
Rendimento del combustore
0.99
Temperatura di scarico della turbina
525°C
Rendimento meccanico
0.995
Condizioni ambiente
101.3 kPa, 15°C
Potere calorifico del gas naturale a 25°C
47400 kJ/kg
calcolare il consumo specifico di combustibile. Ipotizzando un costo del combustibile di 0.12 euro/m3 (densità 0.75 kg/m3) determinare il costo - limitatamente al costo
del combustibile - di ogni kWh di energia elettrica prodotta.
[γ = 1.4, cp = 1005 J/kgK, γ’ = 4/3, c’p = 1147 J/kgK]
3.
2
C
1
C
3
T
4
Un impianto motore a gas a ciclo semplice aperto (CCT) presenta le seguenti
caratteristiche:
Temperatura ambiente
25
°C
Temperatura uscita compressore
310
°C
Temperatura ingresso turbina
1000
°C
Temperatura scarico turbina
485
°C
Potere calorifico del combustibile
47450
kJ/kg
Rendimento di combustione
0.99
-
Rendimento meccanico
0.97
-
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXXII
Capitolo 4 Impianti motori a gas: temi d’esame
Le trasformazioni di compressione ed espansione sono adiabatiche.
Le variazioni di energia cinetica e gravitazionale ai capi dei componenti sono trascurabili.
Il combustibile è introdotto nell’impianto alla temperatura di 25 °C.
Calcolare la portata di aria e la portata di combustibile necessarie per realizzare una
potenza utile di 15 MW.
Altri dati: γ = 1.4, c p = 1005 J/kgK, γ’ = 4/3, c' p = 1147 J/kgK
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXXIII
Esercizi risolti e temi d’esame
Capitolo 5 Impianti motori a vapore: temi d’esame
1.
Un impianto motore a vapore ha una potenza utile P u = 160 MW e un rendimento utile η u = 0.43 . La pressione di condensazione è di 0.1 bar, mentre il
titolo del vapore allo scarico della turbina è x = 0.96 . Il vapore esce dal condensatore in condizioni di liquido saturo. L’acqua di raffreddamento del condensatore
entra alla temperatura T in = 20 °C e viene scaricata a T out = 30 °C . Determi-
nare:
A) la portata di vapore m·
B) la portata di acqua di raffreddamento del condensatore m· H2O
J
Altri dati: rendimento meccanico η m = 0.98 , c p, H2O = 4186 -------------- .
kg ⋅ K
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXXIV
Capitolo 5 Impianti motori a vapore: temi d’esame
Capitolo 6 Impianti cogenerativi: temi d’esame
1.
Un impianto motore a gas viene utilizzato per la produzione combinata di energia
elettrica e calore. Le caratteristiche operative al punto di progetto sono:
Temperatura ambiente
25
°C
Pressione ambiente
100
kPa
Portata d’aria
2.86
kg/s
Rapporto di compressione
6.91
Rendimento isentropico compressore
0.768
Potere calorifico inferiore gas naturale
47400
Rendimento del combustore
0.99
Temperatura di ingresso in turbina
1200
Rendimento idraulico turbina
0.852
Rendimento meccanico
0.92
kJ/kg
K
I gas scaricati dalla turbina a gas vengono inviati in uno scambiatore di calore (generatore di vapore a recupero) al fine di produrre vapor d’acqua saturo e secco a 0.8
MPa da inviare all’utenza termica. Sapendo che i gas combusti vengono scaricati al
camino a 140°C e che l’utenza termica restituisce la condensa a 80°C, calcolare la
potenza meccanica generata, il consumo specifico di combustibile e la portata di
vapore prodotta.
2.
Un impianto motore a gas cogenerativo è costituito da un turbogas con caratteristiche:
Portata in massa di gas combusti
9.92 kg/s
Rapporto di compressione
14
Potenza utile del turbogas (morsetti alternatore)
1940 kW
Rendimento del combustore
0.992
Temperatura di scarico della turbina
550°C
Rendimento meccanico (incluso alternatore)
0.96
Condizioni ambiente
101.3 kPa, 15°C
Potere calorifico del gas naturale a 15°C
47450 kJ/kg
e da uno scambiatore di calore tra i gas di scarico della turbina e l’acqua calda, pressurizzata a 4 bar, che va all’utenza termica.
La portata d’acqua è pari a 1200 m3/h. Il ritorno dall’utilizzazione (impianto di riscaldamento) è a 72.5°C. L’impianto di cogenerazione è in grado di elevare questa temperatura fino a 76°C.
Determinare: 1) la temperatura dei gas all’uscita dello scambiatore 2) il rendimento
globale dell’impianto 3) l’indice di utilizzazione del combustibile.
[acqua calda: cp = 4.2 kJ/kgK, gas combusti c’p = 1.,15 kJ/kgK]
3.
In un impianto a vapore a ricupero totale il generatore produce 200 t/h di vapore a
50 bar e 500°C . Sono estratte 100 t/h di vapore a 5 bar e le rimanenti a 1 bar. La
condensa del vapore utilizzato a fini di riscaldamento viene rinviata in caldaia. Le
turbine fra cui avviene la prima estrazione hanno lo stesso rendimento isentropico
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXXV
Esercizi risolti e temi d’esame
pari a 0.82. Determinare: potenza utile, rendimento globale dell'impianto, l’indice
di utilizzazione e consumo di combustibile. Altri dati: η m = 0.97 , η b = 0.88 ,
H i = 9500 kcal ⁄ kg
[Risultati: P u = 33.8 MW , η g = 0.184 , IU = 0.874 , m· b = 4.6 kg ⁄ s ]
Un impianto a vapore a ricupero parziale presenta le seguenti caratteristiche di
funzionamento:
• portata di vapore prodotta in caldaia, m· = 150 t ⁄ h ;
4.
• condizioni del vapore prodotto, p e = 80 bar , t e = 530 °C ;
• rendimento isentropico della turbina AP, fra il generatore e l'utilizzazione termica,
0.82;
·
• la portata m u = 50 t ⁄ h di vapore per uso industriale viene estratta a 2 bar e la
rimanente continua ad espandersi nella turbina BP ( η is = 0.85 ) fino alla pressione p f = 0.05 bar , previo surriscaldamento fino a 250 °C;
• η m = 0.96 , η b = 0.9 .
Calcolare la potenza utile, il rendimento globale dell'impianto, l’indice di utilizzazione nonché la portata di combustibile ( H i = 9500 kcal ⁄ kg ) al generatore,
sapendo che la condensa del vapore estratto viene rinviata al generatore in condizioni
di liquido saturo alla stessa pressione di 2 bar.
[Risultati: P u = 43.2 MW , η g = 0.278 , IU = 0.478 , m· b = 3.91 kg ⁄ s ]
SISTEMI ENERGETICI - Esercizi risolti e temi d’esame - A.A. 2008/2009
XXXVI