Slides ONDE ELETTROMAGNETICHE

ONDE ELETTROMAGNETICHE
Teoria delle onde EM e
propagazione
(B. Preite)
mercoledì 8 febbraio
2012
Corso di Compatibilità
Elettromagnetica
1
Indice degli argomenti
mercoledì 8 febbraio
2012
Fenomeni ondulatori
La matematica dell’onda
La legge di Ampère
La legge di Faraday
Le equazioni di Maxwell
Le onde EM
Parametri delle onde EM
Polarizzazione delle onde EM
Propagazione delle onde EM
Propagazione ionosferica
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Elettromagnetica
2
Fenomeni ondulatori
Un’onda è costituita da una successione
regolare di punti di massimo e di
minimo, sia nello spazio che nel
tempo, secondo una sequenza definita
Può essere utile osservare la seguente
analogia relativa alla propagazione di
un’onda meccanica in un materiale …
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Fenomeni ondulatori
Cilindro metallico
t0
t1
t2
t3
t4
pulse
ti=massimi di compressione
x
∆s
∆t
Misuro il tempo impiegato e lo spazio percorso tra due
massimi di compressione
Tali tempi e tali spazi saranno sempre uguali a se stessi
LA PERTURBAZIONE MECCANICA SI PROPAGA!
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Fenomeni ondulatori
t0
t1
t2
t3
t4
pulse
Posso quindi individuare i
seguenti parametri della
propagazione ondulatoria:
x
∆s
∆t
Il periodo T (ovvero ∆t nell’esempio) come distanza temporale tra
due massimi o due minimi
La lunghezza d’onda λ (ovvero ∆s nell’esempio) come distanza
spaziale tra due massimi o due minimi
La velocità di propagazione v, cioè il rapporto tra λ e T
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La matematica dell’onda
Le onde hanno una loro
caratterizzazione matematica e la loro
espressione analitica è soluzione di una
particolare equazione differenziale che
prende il nome di EQUAZIONE DI
D’ALEMBERT
Vediamola nel caso più semplice …
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La matematica dell’onda
Il caso più semplice è quello di
considerare un’onda unidimensionale,
ovvero le cui variazione di ampiezza
avvengono in una sola direzione
In tale caso l’equazione di D’Alembert
assume l’espressione
∂2 f
1 ∂2 f
= 2 2
2
∂x
v ∂t
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La matematica dell’onda
In tale espressione
2
2
∂ f
1 ∂ f
= 2 2
2
∂x
v ∂t
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f è la funzione incognita (l’onda
cercata)
x è la direzione in cui si ha
l’oscillazione
t è la variabile tempo
v è la velocità di propagazione
e la direzione di propagazione è
ortogonale a x, in questo caso si
tratta di un’onda PROGRESSIVA (si
propaga da sinistra a destra)
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La matematica dell’onda
Risolvendo l’equazione di D’Alembert si
trova la seguente soluzione
x t
f ( x, t ) = ϕ max cos[2π ( − )]
λ T
Dove
ϕ max
x
λ
t
T
è l’ampiezza massima
è il termine spaziale
è il termine temporale
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La matematica dell’onda
Definendo quindi
2π
λ
=k
numero d’onda
2π
= 2πf = ω
T
pulsazione
Si ha la relazione f ( x, t ) = ϕ max cos(kx − ωt )
Ora analizziamo i fenomeni ondulatori per i
campi elettrici e i campi magnetici …
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La legge di Ampère
Linee di forza di B
B
Una corrente in un conduttore
genera una campo magnetico di
induzione B
L’induzione è esprimibile come
B=µ
B
I
I
2πd
Dove d è la distanza dal conduttore
e
B
H=
µ
Conduttore percorso da corrente I
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UN CAMPO ELETTRICO GENERA UN
CAMPO MAGNETICO
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La legge di Faraday
Linee di forza di B
B
spira
V
Con
dΦ B (t )
e=−
dt
r r
ΦB (t) = ∫ B(t) • ndS
S
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Una spira conduttrice taglia le linee di forza di
un campo magnetico
Se il campo è variabile o se la spira si muove
si osserva una corrente nella spira, ovvero
nasce una f.e.m.
Flusso di B attraverso la spira S
UN CAMPO MAGNETICO VARIABILE
PRODUCE UNA FEM, QUINDI UN CAMPO
ELETTRICO
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Le equazioni di Maxwell
Maxwell comprende e formalizza il legame tra
CM e CE prescindendo dalla generazione di
tali campi
Egli estende l’applicazione dei principi di
Ampère e di Faraday allo spazio libero
Descrive, quindi, analiticamente l’esistenza di
ONDE ELETTROMAGNETICHE, ovvero
onde formate congiuntamente da un CM e un
CE che si propagano
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Le equazioni di Maxwell
r ρ
divE =
ε0
r
r
∂B
rotE = −
∂t
r
divB = 0
(legge di Coulomb – Gauss)
(legge di Faraday – Lenz)
(non esistenza monopolo magnetico)
r
r
r
dE
rotB = µ 0 j + µ 0ε 0
dt
(legge di Ampère – Maxwell)
Dove E è il campo elettrico, B il campo magnetico, j è la densità
di corrente e µ0 ed ε0 sono le note permeabilità e costante
dielettrica del vuoto
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Le equazioni di Maxwell
Richiamiamo alcune relazioni vettoriali
∇=(
∂ r ∂ r ∂ r
i+
j+
k)
∂x
∂y
∂z
r
r
∂F
∂F
∂F
div F = ∇ • F = ( x + y + z )
∂x
∂y
∂z
r
r
∂F r ∂F r ∂F r
grad F = ∇ F = ( x i + y j + z k )
∂x
∂y
∂z
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∂2
∂2
∇ =( 2 + 2 +
∂x
∂y
r
i
r
r  ∂
rot F = ∇ × F = 
 ∂x
 Fx
2
∂2
)
∂z 2
r
j
∂
∂y
Fy
r
k 
∂ 

∂z 
Fz 
r
r
r
rot ( rot F ) = grad ( div F ) − ∇ 2 F
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Le onde EM
Per ricavare l’equazione delle onde EM si devono scrivere le
equazioni di Maxwell nello spazio libero, ovvero con j=0 e ρ=0
r
divE = 0
r
divB = 0
r
r
dE
rotB = µ 0ε 0
r dt
r
∂B
rotE = −
∂t
(1)
(2)
Quindi eseguo una operazione di
rotore sulla (4) ed ho
(3)
r
r
∂B
rot (rotE ) = −rot ( )
∂t
(4)
Ricordo la relazione vettoriale:
r
r
r
2
rot ( rot E ) = grad ( div E ) − ∇ E
Ma se osservo la (1) avrò …
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Le onde EM
r
divE = 0
r
divB = 0
r
r
dE
rotB = µ 0ε 0
r dt
r
∂B
rotE = −
∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
… avrò
r
r
∂B
2
rot ( −
) = −∇ E
∂t
o meglio
r
r
d
2
− ( rot B ) = −∇ E
dt
E applicando la (3) si ha
r
r
d E
2
∇ E = µ 0ε 0
dt 2
2
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Le onde EM
r
divE = 0
r
divB = 0
r
r
dE
rotB = µ 0ε 0
r dt
r
∂B
rotE = −
∂t
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(1)
(2)
(3)
(4)
Procedendo in modo
analogo, ma partendo dalla
(3), si ha una analoga
equazione che contiene il
solo campo magnetico
r
r
d B
2
∇ B = µ 0ε 0 2
dt
2
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Le onde EM
Le equazioni che abbiamo ricavato
r
r
d E
2
∇ E = µ 0ε 0
dt 2
2
r
r
d B
2
∇ B = µ 0ε 0 2
dt
2
Sono equazioni differenziali vettoriali che ammettono come
soluzione delle funzioni del tipo
E x ( kt − vt ), E y ( kt − vt ), E z ( kt − vt )
E analogamente per B
Quindi sono equazioni di ONDE
… non ci credete? Seguite il prossimo passaggio …
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Le onde EM
Prendiamo solo quella di E è scomponiamola nelle tre coordinate
 d 2Ex
= µ 0ε 0

2
 dx
2
d
 Ey = µ ε
0 0
 dy 2
 2
 d E z = µ 0ε 0
 dz 2
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d 2 Ex
dt 2
d 2Ey
dt 2
d 2 Ez
dt 2
Ebbene ognuna di loro non ha
la struttura dell’equazione di
Dirichelet?
2
2
1 ∂ f
∂ f
= 2 2
2
∂x
v ∂t
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Le onde EM
Le equazioni di Maxwell dimostrano quindi che il campo
elettromagnetico si propaga nello spazio sotto forma di
onda elettromagnetica; in particolare con un’onda elettrica ed
un’onda magnetica
1
Osservando che µε = 2 si deduce che tali onde si propagano
v
alla velocità
v=
1
µε
=
1
1
µ 0ε 0
µrε r
=
c
µ rε r
E se siamo nel vuoto si ha v=c, si propagano alla velocità della
luce.
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Le onde EM
Poniamoci adesso a grande distanza dalla sorgente di onde EM
In tale caso l’emissione a simmetria sferica della sorgente può
essere considerata come un fronte d’onda piano
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Le onde EM
E l’onda EM ci apparirà come indicato …
Piano di
oscillazione di E
o piano di
polarizzazione
Piano
d’onda
H
E
S
Piano di
oscillazione
di H
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Le onde EM
I vettori E ed H sono tra loro ortogonali (onda TEM)
Essi si propagano secondo una direzione di propagazione
individuata da S=ExH (vettore di Poynting)
S è perpendicolare al piano individuato dai vettori E ed H (il piano
d’onda)
All’onda è associata una energia riferita ad una sezione di piano
pari a 1m2; il modulo di S mi fornisce la densità di potenza
irradiata (W/m2)
La propagazione e la relativa attenuazione di tale energia sono alla
base della trasmissione elettromagnetica e della conseguente
limitazione della distanza di trasmissione
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Parametri delle onde EM
Velocità di propagazione
c=
1
µ 0ε 0
µ 0 = 1,257 µH / m
≅ 300000km / sec
con
ε 0 = 8,842 pF / m
Lunghezza d’onda (usata anche per classificare le onde EM)
λ=
c
[ m]
f
con f = frequenza della radio onda
Energia dell’onda
1
We = ε 0 E 2
2
Wm =
(elettrica)
(magnetica)
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1
µ0 H 2
2
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Parametri delle onde EM
… complessivamente
Wtot = We + Wm = ε 0 E 2 = µ 0 H 2
essendo
E
=
H
µ0
ε0
Densità di potenza (modulo del vettore di Poynting)
S=
dWtot 1
= Emax H max [W 2 ]
m
dt
2
Impedenza dello spazio libero
E
Z0 =
=
H
µ0
≅ 377Ω
ε0
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per cui
2
1 Emax
S=
e Emax = 2 Z 0 S
2 Z0
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Polarizzazione delle onde EM
Nella propagazione EM il CE e il CM sono POLARIZZATI
Ovvero le oscillazioni dei vettori E e H giacciono sempre
su un piano
La polarizzazione dell’onda dipende dalla giacitura del
piano del campo elettrico
Piano di E orizzontale = POLARIZZAZIONE ORIZZONTALE
Piano di E verticale = POLARIZZAZIONE VERTICALE
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Polarizzazione delle onde EM
Se l’onda EM è emessa da un’antenna si ha:
Direzione di E
Direzione di E
(suolo)
(suolo)
Pol. ORIZZONTALE
Pol. VERTICALE
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Polarizzazione delle onde EM
La scelta del tipo di polarizzazione dipende dalla
frequenza di emissione e dai modi di propagazione
dell’onda EM
In UHF (300MHz – 3GHz) si usa la polarizzazione
orizzontale perché le onde risultano meno ostacolate per
la trasmissione visto che risulta minimo il livello di
rumore
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Polarizzazione delle onde EM
Ricordare che l’alternanza della polarizzazione
lo scopo di evitare interferenza tra canali
situati nella stessa zona
Regola fondamentale:
Un’onda
emessa
in
polarizzazione
(orizzontale) può essere ricevuta solo
antenna verticale (orizzontale)
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ha anche
adiacenti
verticale
da una
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Propagazione delle onde EM
La propagazione delle onde EM avviene secondo
meccanismi diversi in funzione della frequenza
IONOSFERA
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Propagazione delle onde EM
ONDE LUNGHE E MEDIE (fino a circa 1600kHz)
La propagazione avviene per onda superficiale o di
terra
Viene seguita la curvatura terrestre
Si hanno forti attenuazioni a causa del terreno
Si
ha una attenuazione molto bassa se la
trasmissione è effettuata sul mare; in tale caso si
possono coprire distanze enormi
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Propagazione delle onde EM
ONDE CORTE (fino a circa 30MHz)
Si
sfrutta la propagazione ionosferica (onda
spaziale ionosferica) per riflessione dell’onda sulla
ionosfera
Si possono
coprire enormi distanze in particolare di
notte
È presente il fenomeno del fading
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Propagazione delle onde EM
ONDE ULTRACORTE (oltre i 30MHz)
Onda spaziale diretta in visibilità ottica
Usata per i ponti radio terrestri e spaziali (satelliti
artificiali)
L’onda radio fuoriesce dall’atmosfera terrestre
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Propagazione ionosferica
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Propagazione ionosferica
• TROPOSFERA (0 – 12km): influenzata
solo dalle propagazione terrestre
• STRATOSFERA (12 – 60km): bassa
densità gassosa – assenza di fenomeni
dissipativi
• IONOSFERA (oltre 60km): presenza di
cariche libere dovute alla radiazione solare
con addensamenti diversificati
• STRATO D (60 – 80km): diurno
• STRATO E (90 – 130km): diurno
• STRATO F1 (180 – 220km): diurno
• STRATO F2 (220 – 500km): diurno
• STRATO F (180 – 500km): notturno
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Propagazione ionosferica
La presenza degli strati D ed E, durante il
giorno, provoca fenomeni di riflessione a bassa
quota che limitano la gittata del raggio riflesso e
quindi della propagazione
Di notte la riflessione avviene ad alta quota,
sullo strato F, quindi la propagazione
ionosferica notturna presenta elevate gittate
consentendo collegamenti a distanze notevoli
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