ALMA MATER STUDIORUM - UNIVERSITÀ DI BOLOGNA
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
INDIRIZZO STRUTTURE
DISTART
Dipartimento di Ingegneria delle Strutture, dei Trasporti,
delle Acque, del Rilevamento,del Territorio.
TESI DI LAUREA
in
Riabilitazione Strutturale
MODELLI RETICOLARI PER L’ANALISI
PUSHOVER DI STRUTTURE MURARIE
Candidato:
Marco Paganelli
Relatore:
Chiar.mo Prof. Andrea Benedetti
Anno Accademico 2006-2007
Sessione II
INDICE
CAP. 1 STRUTTURE IN MURATURA ........................................................... 1
1.1 Introduzione..................................................................................................... 1
1.2 Costruzioni in muratura e sismicità ................................................................. 2
1.3 Qualità e caratteristiche del materiale muratura ............................................. 5
1.4 Caratteristiche degli elementi costituenti la muratura...................................... 7
1.4.1 Elementi in laterizio .......................................................................... 7
1.4.2 Malta................................................................................................. 9
1.5 Tecniche moderne .......................................................................................... 10
1.6 Modello costitutivo......................................................................................... 13
1.7 Procedimento di omogeneizzazione............................................................... 15
1.8 Concezione di un edificio............................................................................... 15
1.8.1 Muri di controvento ......................................................................... 17
1.8.2 Disposizione dei maschi murari .................................................... 19
1.9 Meccanismi di primo e secondo modo .......................................................... 20
1.10 Comportamento scatolare ............................................................................ 22
1.11 Soluzioni architettoniche per conferire scatolarità ...................................... 26
1.11.1 Cordolature.................................................................................... 26
1.11.2 Incatenamenti ............................................................................... 27
1.11.3 Simmetria planimetrica ................................................................ 29
1.12 Caratteristiche generali degli edifici............................................................. 30
CAP. 2 CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA .....33
2.1 Introduzione.................................................................................................... 33
2.2 Stati tensionali monoassiali .......................................................................... 33
2.2.1 Resistenza a compressione ............................................................. 34
2.2.2 Relazioni empiriche per la resistenza a compressione .................. 43
2.2.3 Resistenza a trazione ...................................................................... 45
2.3 Stati tensionali complessi ............................................................................. 46
III
2.4 Parete soggetta a compressione e taglio ......................................................... 49
2.4.1 Azioni nel piano medio .................................................................... 50
2.5 Grado di svincolamento di un pannello murario ............................................ 51
2.6 Stati limite ultimo e di esercizio ..................................................................... 53
2.7 Rottura per pressoflessione ........................................................................... 55
2.7.1 Stato limite d’esercizio..................................................................... 56
2.7.2 Stato limite ultimo ............................................................................ 57
2.7.3 Confronto con l’analisi limite........................................................... 60
2.8 Rottura per taglio............................................................................................. 63
2.8.1 Criterio della resistenza a trazione convenzionale ........................ 66
2.8.2
Criterio di Mohr-Coulomb ............................................................ 67
2.8.3
Diagramma d’interazione ............................................................. 70
2.9 Azione tagliante ciclica su muratura non armata ............................................ 71
CAP. 3 METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE .... 73
3.1 Introduzione ................................................................................................... 73
3.2 Classificazione sismica .................................................................................. 74
3.3 Criteri generali di progetto ............................................................................ 76
3.3.1 Regolarità in pianta ......................................................................... 77
3.3.2 Regolarità in altezza ........................................................................ 78
3.3.3 Edificio semplice ............................................................................. 80
3.4 Metodi di analisi per le costruzioni in muratura ............................................ 81
3.4.1 Analisi statica non lineare ............................................................... 83
3.5 La modellazione strutturale. ........................................................................... 86
3.6 Strategie di modellazione: lo stato dell’arte .................................................. 88
3.7 Analisi limite dell’equilibrio elastico ........................................................... 90
3.8 Modellazione bidimensionale ....................................................................... 93
3.8.1 Modellazione di dettaglio ad elementi finiti .................................... 94
3.9 Modellazione monodimensionale ................................................................. 96
3.9.1 Modelli a puntone equivalente ........................................................ 96
3.9.2 Il Metodo Por ................................................................................... 98
IV
3.10 Metodi semplificati a telaio equivalente .................................................. 100
3.10.1 Modello a macroelementi (Università di Genova) ...................... 102
3.10.2 Il Metodo Sam (Università di Pavia) ........................................... 111
3.10.2.1 Elemento maschio .................................................... 115
3.10.2.2 Elemento fascia ......................................................... 118
CAP. 4 ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO
RETICOLARE ................................................................................................. 125
4.1 Introduzione.................................................................................................. 125
4.2 Descrizione del metodo ............................................................................... 126
4.3 Il modello reticolare equivalente ................................................................. 129
4.3.1 Dimensionamento delle bielle equivalenti ..................................... 130
4.4 Il ruolo delle simulazioni numeriche ad elementi finiti ............................... 134
4.4.1 Criterio di rottura di Mohr Coulomb ............................................... 136
4.5. Costruzione della curva di capacità ............................................................. 139
4.6 Distribuzioni di forze in analisi pushover ................................................... 141
4.7 La problematica delle fasce di piano ........................................................... 144
4.7.1 Funzionamento meccanico delle fasce ........................................... 147
4.7.2 Modelli di calcolo delle fasce di piano ........................................... 149
CAP. 5 APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE .................... 155
5.1 Introduzione.................................................................................................. 155
5.2 Caso studio 1: La sperimentazione di Pavia ............................................... 158
5.2.1 Modello continuo omogeneo ......................................................... 162
5.2.2 Analisi con modello reticolare ...................................................... 171
5.3 Caso studio 2: Analisi numerica di pareti in muratura (Salonikios) .......... 182
5.3.1 Modello continuo omogeneo ......................................................... 186
5.3.2 Analisi con modello reticolare ...................................................... 192
5.4 Caso studio 3: Il Progetto Catania................................................................ 200
5.4.1 Descrizione dell’edificio esaminato .............................................. 200
V
5.4.2 Studio di dettaglio delle pareti: il modello omogeneo .................. 204
5.4.3 Analisi con modello reticolare ...................................................... 209
CAP. 6 ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO
SPETTRO DI CAPACITA’ ............................................................................ 217
6.1 Descrizione del C.S.M.................................................................................. 217
6.2 Spettri di risposta della domanda: anelastici ed elastici sovrasmorzati ....... 221
6.3 Curva di capacità e spostamento massimo ................................................. 225
6.4 Applicazione del C.S.M al caso studio 3 .................................................... 228
6.4.1 Spettri di Capacità ......................................................................... 232
6.4.2 Spettri di Domanda ........................................................................ 235
6.4.3 Valutazione di vulnerabilità sismica ............................................. 240
Bibliografia ........................................................................................................ 245
VI
INTRODUZIONE
Il comportamento di edifici in muratura soggetti ad azione sismica è tema
sicuramente di grande interesse in quanto tali costruzioni costituiscono la maggior
parte del patrimonio storico ed artistico italiano e sono quelle che hanno resistito
maggiormente nel corso del tempo; si ricordano gli innumerevoli centri storici e
borghi dislocati in tutto il territorio nazionale, oltre che alle tante città in cui la
muratura è tuttora scelta come principale tecnica costruttiva anche per gli edifici ad
uso residenziale.
La rilevante sismicità del territorio italiano ci pone di fronte ad una questione
al momento ancora in fase di risoluzione: il comportamento degli edifici in muratura,
nuovi od esistenti, sotto l’effetto di un evento sismico.
Sin dalla fine degli anni Settanta si è cercato un metodo per studiare questo
tipo di problema che assicurasse una certa accuratezza nei risultati e
contemporaneamente fornisse una semplicità d'uso che rendesse la parte
computazionale non eccessivamente onerosa direttamente applicabile dal punto di
vista professionale. L'analisi lineare, sebbene sia caratterizzata da maggiore
semplicità di calcolo, è risultata, nel tempo, inadeguata e troppo carente nella
veridicità della previsione della risposta sismica della struttura. Si è così sviluppata, a
seguito delle suddette esigenze, lo studio di un'analisi statica non lineare (denominata
anche "pushover analysis") come strumento per modellare la risposta ad azioni di
tipo sismico.
Nell'ultimo decennio nell'ambito dello studio delle strutture in muratura, sono
stati fatti grandi progressi nel campo delle analisi ad elementi finiti: si è giunti alla
definizione di raffinati modelli che, confrontati con le indispensabili prove
sperimentali, hanno portato a risultati estremamente soddisfacenti per quel che
riguarda l'accuratezza della previsione della risposta sismica. D'altra parte, a questa
maggiore precisione non si accompagna la semplicità d'uso necessaria. Per questo
motivo, negli ultimi anni, si è posta l'attenzione sullo sviluppo di metodi basati su
una discretizzazione che consentisse una diminuzione dell'onere computazionale, ed
è proprio in tale ambito che si inserisce il presente lavoro.
VII
In quest'ottica si cerca di proporre un metodo semplificato che si basa su
un modello reticolare equivalente per l'analisi non lineare di edifici in muratura.
Tale metodo mira alla valutazione della risposta sismica degli edifici, in cui il
meccanismo resistente è governato dalla risposta nel piano delle pareti, senza
considerare eventuali meccanismi di collasso associati alla risposta dinamica fuori
dal piano. Nel modello semplificato la parte deformabile dei telai rappresentativi
delle pareti murarie viene concepita come un insieme di aste pendolo (bielle)
organizzate in montanti verticali e diagonali incrociate. . Il comportamento non
lineare si evidenzia considerando le aste del reticolo (ad eccezione di quelle
rappresentative di cordoli e piattabande in c.a.) come elementi a resistenza
unilaterale e bilaterale, tali cioè da contrastare l’eventuale avvicinamento degli
estremi rispetto alla configurazione indeformata e viceversa, nel primo dei due
casi, di non esplicare alcuna resistenza in caso di allontanamento; nel secondo
caso viene invece attribuito un valore (es. 1/10 della resistenza a compressione),
alla resistenza a trazione dei montanti murari verticali.
Tale metodo, seguendo quanto proposto dal Prof. Ing. P. Lenza (DAPS,
Università di Napoli Federico II) nella rivista Ingegneria Sismica, 1/1989,
descrive il reale comportamento del materiale; non crea una legge simbolica
elastoplastica, in quanto opera alla radice del problema: la plasticità, intesa come
spostamenti in aumento a parità di incrementi di forza, è descritta dalla variazione
della geometria resistente prodotta dal comportamento unilaterale o bilaterale
(non simmetrico) della muratura.
Nel primo capitolo sono esposti i concetti fondamentali di risposta sismica di
edifici in muratura, definendo i meccanismi di collasso (primo e secondo modo) e
l’importanza dei collegamenti tra pareti ortogonali (comportamento scatolare).
Nel secondo invece si affronterà l’aspetto del comportamento meccanico
della muratura analizzando in modo particolare una parete soggetta a compressione e
taglio. Verranno pertanto illustrati i principali meccanismi di crisi di un pannello
murario quali la crisi per taglio e per presso flessione.
VIII
Nella prima parte del terzo capitolo è trattata l’analisi sismica di edifici in
muratura con riferimento anche all’aspetto normativo, illustrando i criteri generali di
progetto; nell’ultima parte invece sono introdotti i vari tipi di modellazioni
utilizzabili per la verifica e la progettazione antisismica di strutture murarie,
descrivendo le principali strategie di modellazione (monodimensionale e
bidimensionale) attualmente in uso, quali la modellazione di dettaglio ad elementi
finiti e metodi semplificati a telaio equivalente (SAM, Metodo a macroelementi).
Di seguito, nel quarto capitolo, verrà presentato il Modello reticolare oggetto
di studio, esponendo le principali considerazioni svolte ed i riferimenti alle
sperimentazioni utilizzati come indispensabile riferimento nella stesura del metodo.
Si analizzerà il metodo di analisi scelto (analisi statica non lineare) in particolare, in
termini di definizione di curva di capacità e di distribuzione di forze da adottare per
l’analisi. In conclusione al quarto capitolo si riporta una parentesi riguardante il
comportamento delle fasce di piano, per le quali la disponibilità di teorie e
sperimentazioni è assai scarsa; tuttavia esse, sebbene siano i montanti murari a
costituire il principale sistema resistente, possono influenzare in modo considerevole
la risposta sotto azione sismica di un edificio, tanto più quanto maggiore è il numero
di piani.
Il quinto capitolo sarà dedicato all’applicazione del metodo. Saranno descritti
i procedimento di calcolo, eseguiti tramite il codice di calcolo commerciale Straus7,
attraverso cui è stata effettuata l’analisi incrementale su pareti multipiano. In
particolare si riportano i risultati di tre casi studio esaminati confrontando i risultati
con quelli disponibili in letteratura e con quelli ottenuti dall’analisi di dettaglio ad
elementi finiti.
Nel capitolo conclusivo si presenta infine il Metodo dello Spettro di Capacità,
che consiste nel confronto tra la domanda del terremoto, rappresentata attraverso gli
spettri di risposta di accelerazione e spostamento, e la curva di capacità della
struttura. Tale metodo segue la riformulazione proposta da Fajfar (2000) del
cosiddetto Capacity Spectrum Method, introdotto precedentemente da Freeman. Il
metodo dello spettro di capacità, nella sua formulazione originale, è stato adottato
dalla normativa statunitense ATC 40, mentre la versione presentata nella norma
IX
italiana deriva, con alcune correzioni, in particolare per gli edifici in muratura, da
quella contenuta nella nuova versione dell’Eurocodice 8, secondo l’impostazione di
Fajfar.
Le conclusioni a cui si è giunti possono costituire, un fondamento logico per
la raffinazione di metodi di calcolo che, mantenendo una essenziale semplicità e
superando i limiti concettuali dei precedenti metodi, assicurino risultati sempre più
soddisfacenti e compatibili con il lavoro dei progettisti, nel rispetto della crescente
richiesta di accuratezza da parte delle moderne normative antisismiche.
X
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
CAPITOLO 1
STRUTTURE IN MURATURA
1.1
Introduzione
Gli edifici in muratura costituiscono la maggior parte delle costruzioni oggi
presenti sia in Italia, sia nel resto dell’Europa, senza dimenticare vaste aree dell’Asia
e del sud America e rappresentano uno degli elementi determinanti e fondamentali
nell’ambito della storia dell’architettura.
All’espressione edificio in muratura possono essere associate forme di
edilizia molto diverse fra loro a cui corrispondono differenti comportamenti sismici:
la varietà di tipologie è principalmente legata a caratteri tecnologici che
generalmente dipendono dal sito di costruzione, dall’epoca storica e dalla
destinazione d’uso originaria. D’altra parte, pur con materiali diversi e diverse
proporzioni geometriche tra gli elementi, è possibile riconoscere comportamenti
comuni alla maggior parte di ciò che si raggruppa nella categoria degli edifici in
muratura.
In passato l’uomo ha costruito utilizzando in maniera quasi esclusiva due sole
tecniche costruttive; l’una relativa all’uso della muratura, l’altra relativa all’uso del
legno. Utilizzando questi due materiali, distintamente o congiuntamente sono state
realizzate opere che per grandiosità o raffinatezza costruttiva devono essere
considerate come esempi difficilmente comparabili; basti pensare agli innumerevoli
centri storici e borghi sparsi in tutto il territorio nazionale tra cui si annoverano
edifici di incalcolabile valore artistico e storico.
Si può affermare che, per molti secoli la storia stessa delle costruzioni sia
coincisa con quella delle costruzioni in muratura: l’acciaio ed il cemento armato
1
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
come materiali per costruzioni civili, infatti, hanno fatto la loro apparizione solo a
metà dell’Ottocento.
1.2
Costruzioni in muratura e sismicità
La possibilità che si verifichi un terremoto deve essere considerata come
un’importante aspetto da tenere in conto nella fase di progettazione di un edificio in
zona sismica. Questo aspetto deve essere preso in considerazione fin dalle prime fasi
dello sviluppo del progetto dell’edificio in modo da consentire la definizione di un
modello strutturale che, a fronte di costi accettabili, sia in grado di soddisfare i
requisiti fondamentali, ossia il requisito di non-collasso e il requisito di limitazione
del danno.
Naturalmente la salvaguardia delle persone presenti in tali edifici resta
l’aspetto umano indubbiamente primario tuttavia è comunque altrettanto importante
la tutela del patrimonio edilizio dal punto di vista archeologico, storico,
paesaggistico, legata alla presenza dell’uomo nel corso dei secoli.
Il comportamento di una struttura durante un terremoto dipende, oltre che
dalle caratteristiche dell’azione sismica, dalla qualità della struttura stessa, che è
funzione della tipologia strutturale, della procedura di progettazione, del dettaglio
degli elementi strutturali e della cura della realizzazione.
Sono noti gli effetti catastrofici di terremoti avvenuti nel recente passato: si
pensi a Messina nei primi anni del Novecento, al Friuli nel 1978 ed Irpinia nel 1980,
fino ai più recenti sismi che colpirono l’Umbria e le Marche nel 1997 e il Molise nel
2002 per i quali disponiamo di maggiori testimonianze: sono note le immagini delle
volte crollate all’interno della Basilica di San Francesco d’Assisi (figura 1.1), mentre
sono ancora impressi nella memoria le conseguenze disastrose del terremoto
dell’ottobre 2002 che colpì numerose cittadine del Molise e pose in evidenza la
notevole vulnerabilità, soprattutto delle strutture pubbliche oltre che di quelle private
(figure 1.2, 1.3). Gli effetti di questi eventi furono numerose perdite di vite umane e
danni per decine di milioni di euro. Ma fornirono anche lo spunto per interrogarsi
2
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
sull’effettiva capacità degli edifici di sopportare terremoti di varia entità senza danni
significativi alle strutture portanti o senza crolli.
Fig. 1.1 – Volte della Basilica di San Francesco d’Assisi dopo l’evento sismico del 1997
Fig. 1.2 – Edificio ad uso residenziale dopo l’evento sismico in Molise del 2002
3
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Fig. 1.3 – Chiesa del Molise dopo l’evento sismico del 2002
In tutti gli eventi sismici studiati è stato riscontrato che la maggior parte degli
edifici che hanno subito danni, dai meno gravi a quelli irreversibili quali i crolli, sono
stati quelli in muratura portante. Questa osservazione dettata dall’esperienza, insieme
alla notevole complessità e disomogeneità della muratura, possono creare
un’immagine negativa della stessa come tecnica costruttiva in zona sismica,
preferendole edifici con ossatura in acciaio o cemento armato.
E’ però con un esame più accurato che si può osservare come questa
inadeguatezza si presenti, in realtà, per i vecchi edifici, fabbricati in epoche in cui le
conoscenze e l’accuratezza nell’esecuzione erano limitate. I motivi di tale
comportamento vanno cercati, pertanto, tra fattori quali:
-
erronea concezione della struttura;
-
progettazione poco accurata;
-
utilizzo di materiali di scarsa qualità;
-
errori di esecuzione nella fase di costruzione;
-
scarsa o inesistente manutenzione;
-
modifiche dell’edificio con alterazione dello schema statico originario
della struttura.
4
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Si può notare come nelle recenti costruzioni murarie si siano eliminati i
suddetti fattori: le prestazioni della muratura appaiono, quindi, decisamente migliori
e il comportamento di tali strutture, sollecitate ad azione sismiche, risulta
soddisfacente. Pertanto, in un giudizio complessivo sulla muratura quale tecnica
costruttiva, si possono evidenziare vantaggi, quali:
-
facilità e rapidità di esecuzione rispetto alle costruzioni in cemento armato
e acciaio;
-
capacità di adattamento ambientale, richiesta soprattutto nei centri storici;
-
durabilità nel tempo;
-
ottime prestazioni per quanto riguarda la resistenza al fuoco, l’isolamento
acustico e la risposta alle escursioni termiche;
-
minore costo rispetto a cemento armato ed acciaio.
D’altra parte, confrontando la muratura con le altre due tecniche costruttive sopra
citate, si evidenziano anche svantaggi, riassumibili come:
-
minore resistenza a compressione rispetto al calcestruzzo;
-
fragilità;
-
scarsa duttilità;
-
diminuzione della resistenza sotto carichi ciclici ripetuti, tipici di un
evento sismico.
Queste caratteristiche negative possono essere mitigate attraverso un’attenta
progettazione ed una corretta esecuzione, rendendo la muratura un’efficace e sicura
tecnica costruttiva anche nei luoghi ad alta sismicità.
1.3
Qualità e caratteristiche del materiale muratura
La muratura costituisce il primo materiale composito (blocchi di laterizio o di
pietra e malta) impiegato nelle costruzioni. L’analisi della risposta di strutture
murarie trova il primo ostacolo concettuale già nella definizione di parametri
meccanici che descrivano adeguatamente la risposta globale della muratura, che,
5
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
come ben noto, è un materiale essenzialmente anisotropo con direzioni di
scorrimento preferenziali. Per le murature esistenti si pone poi l’ulteriore difficoltà di
conoscere o stimare la consistenza della malta e dei mattoni impiegati per la
costruzione. In riferimento a queste ultime, la qualità muraria dipende prima di tutto
dalla geometria e dalla disposizione delle pietre che le compongono. Pietre di
dimensioni tali da interessare importanti porzioni dello spessore murario sono già
garanzia di buona qualità.
Il peggior difetto di un muro risulta essere l’assenza di monoliticità
trasversale, che avviene quando esso è costituito da piccoli ciottoli o da due facce
esterne ordinatamente assemblate e da un disorganico riempimento dello spazio tra di
esse (figura 2.4). Tale difetto esalta la fragilità del muro, che si rivela quando forze
esterne agiscono ortogonalmente al suo piano.
Fig. 1.4 – Due diversi tipi di sezione trasversale
6
STRUTTURE IN MURATURA
1.4
CAPITOLO 1
Caratteristiche degli elementi costituenti la muratura
Con il termine “muratura” si intendono quelle tipologie di costruzioni
caratterizzate da materiali formati da elementi resistenti, di varie forme, con
connessioni di vario tipo o assente.
Gli elementi resistenti possono essere di diverse forme e di diversi materiali,
in particolare:
-
elementi in pietra
-
elementi in laterizio
-
elementi in calcestruzzo
La connessione, quando non è assente, è costituita da malta.
Le tecniche moderne prevedono l’utilizzo di elementi di forma generalmente
parallelepipeda, posti in strati regolari e collegati con malta. L’evoluzione
tecnologica ha permesso di ottenere, dal materiale, sempre maggiori prestazioni
meccaniche, ignifughe, di isolamento termo-acustico e di durabilità.
La tipologia di muratura che viene presa in esame in questa sede è composta
da laterizi e connessioni di malta, pertanto si partirà dall’osservazione di questi
materiali.
1.4.1 Elementi in laterizio
La materia prima degli elementi in laterizio è l’argilla, generalmente di tipo
calcareo, che subisce i processi di omogeneizzazione, di formatura in plastico (con
mezzi diversi a seconda della destinazione d’uso del laterizio) e, di seguito, viene
sottoposta a cottura ad alte temperature (900-1000°C) che ne determinano
l’indurimento.
Il prodotto così ottenuto è dotato di buona resistenza meccanica e di porosità.
Alla porosità sono legati alcuni fattori importanti, quali:
-
proprietà isolanti termo-acustiche
-
resistenza al gelo
-
impermeabilità
7
STRUTTURE IN MURATURA
-
CAPITOLO 1
aderenza della malta
Un laterizio ottimale dovrebbe essere privo di impurità, presentare grana fine e
uniforme, facce piane, prive di cricche ma dotate di una certa scabrezza; non
dovrebbe contenere più dello 0.05% di anidride solforica e deve resistere senza
sfaldarsi all’acqua di mare e agli agenti atmosferici.
I laterizi oggi presenti sul mercato possono distinguersi tra “normali” e
“alleggeriti”. I laterizi normali sono di materiale pieno, mentre quelli alleggeriti sono
di materiale forato. Quest’ultima tipologia è, nella costruzione moderna,
maggiormente utilizzata in quanto la foratura permette un maggior isolamento
termico e un peso minore. La foratura può essere in direzione normale al piano di
posa, quindi verticale, o in direzione parallela.
Possono essere presenti uno o due fori di grandezza maggiore che hanno lo scopo di
facilitare la presa e in alcuni casi vengono utilizzati come alloggiamento per le
armature (nel caso di muratura armata).
Le normative distinguono gli elementi in categorie in base alla loro foratura
(orientamento e percentuale). Ad esempio il D.M. del 20/11/87 definisce tre classi
per uso strutturale :
-
elementi pieni
F/A ≤ 15%
e
f ≤ 9 cm2
-
elementi semipieni
15% ≤ F/A ≤ 45%
e
f ≤ 12 cm2
-
elementi forati
45% ≤ F/A ≤ 55%
e
f ≤ 15 cm2
dove:
F è l’area complessiva dei fori passanti e profondi non passanti;
A è l’area lorda dalla faccia delimitata dal suo perimetro.
F è l’area media della sezione normale di un foro.
8
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Fig. 1.5 - Esempi di elementi resistenti in laterizio
Il parametro più significativo per un laterizio è la resistenza a compressione.
E’necessario distinguere fra il laterizio come materiale, che può avere una tensione
media di rottura di 130 N/mm2, dal laterizio come blocco o mattone da costruzione,
che presenta una resistenza molto minore.
La resistenza caratteristica a compressione del laterizio da costruzione è
denominata in normativa fb (da “brick”, mattone), si riferisce all’area lorda dalle
faccia dell’elemento e si misura in direzione normale al piano di posa. La norma
italiana fissa dei valori per fb quali:
fb = 2-3 N/mm2 per elementi con F/A=50-55% (elementi forati)
fb=30-50 N/mm2 per elementi con F/A=15-35% (elementi semipieni)
Le dimensioni dei laterizi variano molto a seconda dell’epoca e delle zone in cui
sono realizzati in funzione della materia prima disponibile e della tecnologia
dell’epoca.
1.4.2 Malta
La malta è una miscela di acqua, sabbia e legante. Si confezionano diversi tipi
di malta a seconda del legante impiegato: tra i più comuni ricordiamo il cemento, la
calce idraulica, la calce idrata e la pozzolana. Possono inoltre essere presenti additivi
per
ottenere
prestazioni
migliori
come
impermeabilizzazione.
9
una
maggiore
lavorabilità
o
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
La normativa italiana prevede una classificazione delle malte basata sulla loro
resistenza media a compressione fm (da “mortar”, malta):
-
Malta M1 con fm ≥ 12 N/mm2
-
Malta M2 con fm ≥ 8 N/mm2
-
Malta M3 con fm ≥ 5 N/mm2
-
Malta M4 con fm ≥ 2,5 N/mm2
Per ognuna di queste classi è definita la corrispondente composizione e le
proporzioni in volume di sabbia e legante.
Per strutture massicce il processo di maturazione e di presa della malta è
disomogeneo nel corpo della muratura per la difficoltà di evaporazione dell’acqua
nelle parti più profonde. Questa circostanza produce stati di coazione nella muratura
che ne abbassano la resistenza, come ben sapevano i progettisti del passato, tanto che
per strutture massicce veniva prescritta una precisa sequenza esecutiva tale da
mantenere i diversi corsi di malta esposti all’aria per un tempo sufficiente a far
esaurire la massima parte del processo d’indurimento.
Infine va ricordato che le malte dei giunti sono un punto di debolezza della
muratura a causa degli agenti atmosferici che spesso riescono a dilavare i giunti di
malta per profondità di diversi centimetri; in questi casi lo spessore strutturale della
muratura viene profondamente ridotto.
1.5
Tecniche moderne
Si distinguono tre principali tipologie di muratura strutturale presenti
nell’architettura moderna e contemporanea:
-
muratura semplice;
-
muratura armata;
-
muratura intelaiata.
La muratura semplice, o non armata, è costituita dall’insieme degli elementi
resistenti, i laterizi, uniti fra loro tramite la malta. La disposizione dei laterizi può
variare molto, in funzione delle esigenze architettoniche e prestazionali (figura 1.6).
10
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
In generale si tratta di un tipo di muratura dotata di scarsa resistenza a trazione,
soprattutto in direzione normale ai giunti orizzontali, chiamati “letti di malta”.
Questa caratteristica favorisce un comportamento a collasso piuttosto fragile che può
essere contrastato, ad esempio, da cordoli o catene a livello di piano.
Nella muratura armata sono disposte armature verticali od orizzontali
all’interno dello spessore murario. Per le armature verticali si possono utilizzare i fori
presenti nel blocco di laterizio (figura 1.7 a) o creare, tramite una particolare
disposizione dei conci, delle vere e proprie cavità in cui inserire le barre d’acciaio
(figura 1.7 b). In entrambi i casi, alla disposizione dei ferri, segue un getto di malta o
calcestruzzo. Per le armature orizzontali si può usufruire dello strato di malta che
collega i laterizi (figura 1.7 c) oppure realizzare una muratura composta: pareti
esterne di laterizio e parete interna di cemento armato (figura 1.7 d).
Le armature, che possono essere sia diffuse che concentrate, assorbono lo
sforzo di trazione e consentono alla parete di resistere maggiormente a flessione per
azioni sia parallele che ortogonali al piano della muratura, pertanto rendono la
struttura più idonea a sopportare azioni orizzontali, come la sollecitazione sismica o
il vento. Inoltre la presenza di armatura interna permette alla parete di mantenersi
integra anche dopo la fase di fessurazione, il che comporta, in definitiva, un generale
aumento della duttilità.
11
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Fig. 1.6 – Esempi di disposizioni dei blocchi di laterizio
a)
b)
c)
d)
Fig. 1.7 – Esempi di posizionamento dei ferri nelle murature armate
La muratura intelaiata è composta dall’insieme di cordoli in cemento
armato, orizzontali e verticali, collegati fra loro come elementi di telaio e che
12
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
racchiudono la muratura, formando con essa l’intero organismo resistente (figura
1.8). Una volta disposte le armature a telaio, viene effettuato il getto di calcestruzzo
che ha anche la funzione di far aderire gli elementi murari ai cordoli. La muratura
intelaiata è paragonabile ad una muratura armata con armatura concentrata in modo
tale da creare dei veri e propri elementi di telaio. Le prestazioni sono simili a quelle
fornite dalla muratura armata.
Fig. 1.8 – Esempi di muratura intelaiata
Nelle analisi e nelle applicazioni seguenti di questa sede, verrà presa in
considerazione la muratura semplice, in quanto essa costituisce la tecnica costruttiva
maggiormente utilizzata negli edifici esistenti.
1.6 Modello costitutivo
Successivamente lo studio dei singoli componenti, si intende analizzare il
comportamento meccanico della muratura quale unico elemento, al pari di cemento
armato e acciaio. Esso è dettato dalle particolari caratteristiche che la
contraddistinguono da ogni altro materiale da costruzione e che sono così
riassumibili:
-
disomogeneità;
-
anisotropia;
13
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
-
asimmetria di comportamento;
-
non linearità del legame sforzi-deformazioni.
La disomogeneità si riferisce al fatto che la muratura è sostanzialmente
composta da elementi resistenti e malta, i quali possono avere caratteristiche
meccaniche molto diverse fra loro. Risulta quindi assai difficoltoso ricavare le
proprietà della muratura a livello macroscopico dalla conoscenza delle proprietà dei
singoli materiali.
L’anisotropia si riferisce alla differenza del comportamento della muratura
tra le varie direzioni considerate. Dipende dalla disposizione dei diversi elementi e
dalla loro proporzione. La muratura, in particolar modo quella moderna, possiede
una grande regolarità in direzione orizzontale: si hanno elementi disposti in filari
orizzontali collegati fra loro con giunti di malta continui, mentre i giunti verticali fra
le teste dei laterizi risultano discontinui, per cui è evidente che il comportamento in
direzione orizzontale risulta profondamente differente da quello in direzione
verticale. Se inoltre sono presenti aperture, la direzionalità della muratura è
ulteriormente accentuata e influenzata anche da queste ultime.
Con asimmetria si intende la notevole differenza di comportamento dei
laterizi e della malta nei confronti di compressione o trazione: la resistenza a trazione
risulta decisamente inferiore a quella a compressione. Un ruolo importante in questo
senso viene giocato dall’interfaccia malta-laterizio, il quale possiede una resistenza a
trazione addirittura minore di quella dei singoli elementi. Note comunque le
caratteristiche meccaniche dei singoli elementi, la disomogeneità del materiale rende
la resistenza a trazione della muratura a livello macroscopico una grandezza
estremamente aleatoria.
La non linearità del legame sforzi-deformazioni del materiale muratura è la
conseguenza delle caratteristiche fin qui elencate. Con qualsiasi tipo di sollecitazione
la disomogeneità e l’anisotropia dei singoli elementi causano facilmente fessurazioni
nel corpo murario, con conseguente allontanamento dal comportamento lineare
prima di arrivare allo sforzo massimo sopportabile.
14
STRUTTURE IN MURATURA
1.7
CAPITOLO 1
Procedimento di omogeneizzazione
Per affrontare la progettazione di una qualsiasi costruzione in muratura non è
necessario né pensabile di tenere conto di tutte le caratteristiche sopra scritte, in
quanto risulterebbe eccessivamente complesso. E’ prassi utilizzare un modello
tramite cui la muratura viene idealizzata come un materiale continuo omogeneo
equivalente.
In questo modo viene superato il problema della disomogeneità e, inoltre, se il
modello di materiale equivalente è ben concepito, l’anisotropia può essere trattata in
maniera semplificata. Per certi tipi di applicazione e livelli di carico non
eccessivamente alti, è possibile semplificare ulteriormente il problema assumendo
modelli dell’elasticità lineare, trascurando così la non linearità del legame sforzideformazioni.
Per quanto riguarda l’asimmetria di comportamento, si è soliti
assumere la muratura come materiale non reagente a trazione, ovvero caratterizzato
da un comportamento monolatero.
Il problema della definizione di un materiale omogeneo equivalente per la
muratura è estremamente complesso. Sono stati condotti diversi studi nel corso degli
anni e sono utilizzabili diverse teorie con diversi livelli di oneri computazionali.
Tuttavia, anche al giorno d’oggi, non è disponibile una definizione univoca, rigorosa
ed esatta delle caratteristiche del modello: in questo ambito, dunque, le prove
sperimentali risultano quanto mai indispensabili per ogni tipo di applicazioni.
1.8 Concezione di un edificio
Nella Normativa Italiana, si definisce come edificio in muratura ordinaria, un
organismo, ad uno o più piani, con struttura portante in elementi naturali (pietra) o
artificiali (laterizio normale o alleggerito in pasta, in calcestruzzo normale o
alleggerito); tali elementi sono collegati fra di loro e con le fondazioni e sono
disposti in modo tale da resistere sia ad azioni verticali che orizzontali.
15
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Dunque, gli edifici in muratura sono strutture tridimensionali complesse,
nelle quali ogni elemento contribuisce al sistema resistente globale. Il
comportamento reale di una struttura di questo tipo è alquanto complesso, data anche
la variabilità delle proprietà della muratura stessa. Nell’affrontare, quindi,
progettazione e verifica di tali strutture, sono indispensabili dei modelli semplificati
che possano descrivere efficacemente il comportamento degli edifici.
Dato un tipico edificio ad uno o più piani, la sua struttura può essere
concepita in modi differenti:
-
insieme tridimensionale di pareti e solai;
-
serie di strutture a telaio;
-
serie di elementi indipendenti assemblati fra loro.
Quest’ultimo tipo di modellazione è la più semplice, ed è la più comunemente
adottata per la descrizione generica del comportamento dell’edificio. Utilizzando
questo approccio, il primo passo da compiere è individuare i vari elementi, in base
alla loro funzione statica. Saranno elementi indipendenti l’uno dall’altro: ognuno
avrà le proprie condizioni di esercizio, i propri stati limite e la propria resistenza. E’
possibile individuare:
1) Muri portanti: hanno il compito di sopportare i carichi verticali;
2) Muri di controvento: sono adibiti a sopportare i carichi orizzontali
(vento, sisma). Sono disposti con la loro dimensione maggiore
parallela alla direzione ipotizzata di carico. Dovendo essere presente
un sistema di muri di controvento per ogni direzione ipotizzata di
carico orizzontale, i muri di controvento risultano molto diffusi nella
struttura dell’edificio;
3) Solai: sono elementi piani, detti anche “orizzontamenti”, la cui
funzione statica è, principalmente, quella di trasferire ai muri di
controvento le sollecitazioni trasmesse dai carichi orizzontali. Questa
funzione è detta “azione di diaframma”.
16
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Un esempio della suddivisione dei vari elementi è rappresentato in figura 1.9
dove sono evidenziati il carico orizzontale (in rosso), agente secondo una direzione
ipotizzata; il solaio e la sua orditura (in verde) posta in direzione del carico; i muri
(in grigio) suddivisi secondo la loro disposizione nei confronti del carico, quindi
secondo la loro funzione statica.
Fig. 1.9 Muri portanti e di controvento.
1.8.1
Muri di controvento
I muri di controvento sono essenziali in un edificio in muratura. Mentre i
muri portanti, per definizione, vengono progettati in modo da avere una grande
resistenza a compressione per contrastare i carichi verticali a cui saranno soggetti, i
muri di controvento hanno la loro peculiarità nella loro disposizione. La resistenza
che può offrire una singola parete all’azione di carichi orizzontali dipende dalla loro
direzione rispetto alla parete stessa.
17
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Per carichi orizzontali che agiscono perpendicolarmente al suo piano medio,
la parete garantisce scarsa resistenza. Con questa disposizione, infatti, gli effetti
ribaltanti del carico sono molto maggiori, la parete non può offrire altra resistenza se
non il contributo, molto modesto, del suo peso proprio. In questo modo è facilmente
verificabile il collasso fuori dal piano.
Per i carichi orizzontali che agiscono parallelamente al suo piano medio,
invece, la parete oppone molta più resistenza: la sua posizione rispetto al carico,
infatti, permette di sfruttare il massimo momento d’inerzia della sezione
scongiurando, così, il rischio di ribaltamento e la funzionalità statica è estremamente
maggiore rispetto al caso precedente.
Quanto detto, in linea generale, vale per pareti di qualsiasi materiale; tuttavia,
per la muratura risulta maggiormente vero: le sue caratteristiche di anisotropia e
disomogeneità rendono ancora più evidente la differenza di comportamento in
relazione alla direzione di carico. I muri di controvento sono, quindi, muri
appositamente orientati parallelamente alla direzione ipotizzata per il carico
orizzontale.
Il comportamento meccanico di questi muri rientra nei casi studiati nel
prossimo capitolo: si tratta di pareti soggette al taglio dato dai carichi orizzontali ed
allo sforzo di compressione dato dai carichi verticali o dal solo peso proprio. Nella
prassi progettuale, poi, si utilizzano muri con la doppia funzione, portante e di
controvento. Nella realtà, infatti, le direzioni lungo cui può agire un carico
orizzontale sono ben più di una; considerando la due direzioni principali dell’edificio
in pianta, i muri di controvento dovranno essere disposti parallelamente ad entrambe,
per cui molti di questi andranno a coincidere con quelli portanti. La scelta della
doppia funzione è, inoltre, avvalorata da un ulteriore considerazione: la
compressione ha un effetto stabilizzante per le pareti soggette a taglio, per cui, un
muro di controvento soggetto a maggiore sforzo assiale può garantire una migliore
prestazione.
18
STRUTTURE IN MURATURA
1.8.2
CAPITOLO 1
Disposizione dei maschi murari
In letteratura sono presenti diverse classificazioni in merito alla distribuzione
e disposizione dei muri portanti, dei muri di controvento e dei solai.
In uno schema a muri portanti longitudinali i muri portanti si sviluppano
lungo la dimensione maggiore dell’edificio; i solai si appoggiano ad essi, quindi sono
orditi trasversalmente. Un esempio è illustrato in fig. 1.10 a. In una disposizione di
questo tipo, in direzione longitudinale i muri portanti fungono anche da controvento,
mentre in direzione trasversale c’è la necessità di appositi muri di controvento
poiché la rigidezza di quelli portanti non è in genere sufficiente in direzione
trasversale.
Al contrario, in uno schema a muri portanti trasversali (figura 1.10 b) i
muri portanti vengono disposti trasversalmente alla dimensione maggiore
dell’edificio ed i solai, invece, hanno orditura longitudinale. Come nel caso
precedente, è necessaria la presenza di appositi muri di controvento in direzione
ortogonale ai muri portanti.
Nello schema a cellula o a nucleo (figura 1.11 a e b), differentemente dai
casi precedenti, tutti i muri sono portanti, per cui tutti i muri hanno la doppia
funzione portante e di controvento; i solai possono avere al doppia orditura con
funzionamento a piastra o ad orditura alternata. Questo è lo schema che ha, in
assoluto, migliore efficienza statica tra quelli elencati in precedenza.
Muri portanti
a)
b)
Fig. 1.10 - Esempi di schemi portanti, a): longitudinale, b): trasversale.
19
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Muri portanti
a)
b)
Fig. 1.11 - Esempi di schemi portanti, a): adozione della doppia orditura nei solai,
b): a nucleo, con doppia orditura del solaio centrale.
1.9
Meccanismi di primo e secondo modo.
Osservando immagini di danni avvenuti su strutture murarie, si può
riscontrare come il sisma disintegri le costruzioni andando a selezionare le parti
strutturali e le soluzioni tecnologiche più deboli, provocando danni o collassi
mediante meccanismi definibili anticipatamente. A differenza di quanto avviene
negli edifici concepiti e costruiti come un’unica struttura continua, quali gli edifici
moderni in acciaio o in cemento armato, la mancanza di connessione tra le parti che
caratterizzano le costruzioni permette il verificarsi di collassi parziali.
I principali meccanismi di danno osservati negli edifici possono essere
suddivisi in due categorie a seconda del tipo di risposta delle pareti: i cosiddetti
meccanismi di primo modo, in cui sono coinvolte pareti o porzioni di esse
sollecitate ortogonalmente al proprio piano, e di secondo modo, in cui la parete
risponde all’azione sismica nel proprio piano. In assenza di opportuni collegamenti
tra pareti ortogonali (ammorsamenti, catene) ed a livello degli orizzontamenti la
risposta della costruzione all’azione orizzontale avviene per parti. Le singole pareti
tendono a comportarsi indipendentemente le une dalle altre ed a sviluppare
meccanismi di collasso di I modo trasformando la risposta globale della costruzione
nella somma delle risposte locali delle singole pareti.
20
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Nel caso, invece, in cui sia presente un idoneo grado di collegamento tra le
pareti la ripartizione delle azioni sismiche avviene in base alla rigidezza ed alla
posizione relativa delle pareti mediata dalla rigidezza di piano degli orizzontamenti.
La risposta, allora, dipende dal comportamento delle pareti nel proprio piano, che
collaborano tra loro e fra cui le azioni sono ripartite seguendo l’evoluzione non
lineare del sistema.
Fig. 1.12 – Meccanismo di Primo Modo: distacco del cantonale.
21
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Fig. 1.13 – Meccanismo di Primo Modo: Collasso per flessione verticale.
La natura dinamica dell’azione sismica fa si che si possano inoltre verificare
meccanismi di danno legati all’interazione tra le varie parti e, soprattutto, che il
comportamento ciclico non lineare del materiale giochi un ruolo fondamentale nella
risposta: il degrado di resistenza della muratura induce una maggiore ridistribuzione
delle forze tra le varie pareti, l’energia dissipata nei cicli di isteresi sopperisce
talvolta alla limitata capacità duttile dei pannelli ed il degrado di rigidezza porta la
struttura a modificare il proprio modo di vibrare e, dunque, ad avere una diversa
richiesta in termini di spettrali.
1.10 Comportamento scatolare
Una buona progettazione o verifica di un edificio in muratura, si basa sulla
comprensione approfondita del funzionamento meccanico dell’intera struttura e le
complessità maggiori si hanno nei riguardi dei carichi orizzontali.
L’analisi della struttura deve partire dalla conoscenza del comportamento di
ogni singola parete. L’esperienza insegna che il comportamento di una parete,
soggetta a taglio e compressione, dipende da vari fattori tra i quali:
-
Proprietà meccaniche della muratura e dei suoi componenti;
22
STRUTTURE IN MURATURA
-
Caratteristiche
CAPITOLO 1
geometriche,
in
particolare
il
rapporto
altezza/larghezza;
-
Rapporto fra carichi verticali e orizzontali;
-
Posizione della parete nella struttura.
In particolare, un ruolo primario è dovuto alla posizione della singola parete: nella
progettazione è fondamentale che le pareti siano disposte in maniera tale che muri
portanti e di controvento collaborino al meglio fra di loro e con i solai. Una parete
isolata, come abbiamo visto, può risultare poco resistente e presentare un
comportamento fragile sotto certe configurazioni di carico.
Questi limiti possono venire superati se i diversi ordini di elementi sono
efficacemente collegati fra loro e cooperano; in questo modo, una parete debole sotto
un certo tipo di carico, non diventa un punto debole della struttura intera e, al tempo
stesso, se gli elementi sono opportunamente connessi fra di loro, si evita la
circostanza in cui una parete risulti eccessivamente più sollecitata delle altre. Una
progettazione accurata deve garantire un tale comportamento, denominato
comportamento scatolare. Rispettando questa regola, un edificio in muratura si
presenta come un unico organismo ed offre una buona resistenza d’insieme sotto
qualsiasi configurazione di carico, orizzontale o verticale; pertanto, può dimostrarsi
idoneo anche in zona sismica.
23
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Fig. 1.14 - Esempi di danni dovuti a carenza di ammorsamento.
Affinché il funzionamento di una struttura presenti un adeguato
funzionamento scatolare, gli elementi devono rispondere a delle condizioni precise.
In primo luogo, tra i due ordini di pareti, portanti e di controvento, deve
esserci un buon ammorsamento: i muri che hanno una disposizione reciprocamente
ortogonale, devono essere ben connessi. In questo modo, quando una parete è
soggetta ad un carico orizzontale ortogonale al suo piano medio, non subisce il suo
effetto ribaltante, in quanto riesce a trasmettere gli sforzi alle pareti trasversali ad
essa collegate; queste risultano, pertanto, sollecitate da un carico orizzontale
parallelo al loro piano medio e fungono, quindi, da pareti di controvento, opponendo
un’appropriata resistenza.
Curando la progettazione e la fase di esecuzione per le zone d’angolo e di
intersezione fra pareti ortogonali ed utilizzando particolari disposizioni dei mattoni,
si possono ottenere ottimi ammorsamenti; alcuni esempi di connessioni per le zone
d’angolo sono presenti in figure 1.15 e 1.16:
24
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
Fig. 1.15 - Esempi di disposizioni di blocchi generici per realizzare un buon ammorsamento.
Fig. 1.16 - Esempio di disposizione d’angolo di blocchi in laterizio, al fine di garantire un adeguato
ammorsamento.
Un altro ruolo fondamentale affinché si abbia un buon comportamento
scatolare, è dato dai solai. Essi devono funzionare come diaframmi di piano: devono,
cioè, ripartire le azioni orizzontali che colpiscono la struttura fra i vari ordini di
pareti a cui sono connessi. Così, le sollecitazioni orizzontali che investono l’edificio
vengono trasmesse agli elementi appositamente progettati allo scopo, come i muri di
controvento.
I solai, dunque, devono essere il più possibile rigidi nel loro piano, tanto da
poter essere schematizzati come piani infinitamente rigidi: limitando la deformabilità
da sollecitazione orizzontale, si riduce la percentuale di carico che viene dissipata
sotto forma di energia di deformazione; per cui, i solai possono trasmettere agli altri
25
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
elementi una maggior percentuale di carico. Inoltre, la trasmissione di sollecitazione
è ottimizzata quando si ha la massima solidarizzazione tra i solai e le pareti.
1.11
Soluzioni architettoniche per conferire “scatolarità”
Per garantire buon ammorsamento, rigidezza estensionale nei solai e massima
solidarizzazione fra orizzontamenti ed elementi verticali, sono disponibili diverse
soluzioni architettoniche: cordolature, incatenamenti e il rispetto della simmetria
planimetrica.
1.11.1
Cordolature
L’introduzione di cordoli è tra le tecniche più adottate. Si tratta di elementi
orizzontali, continui, all’altezza dei solai e che percorrono tutta la lunghezza dei
muri; solitamente sono in cemento armato (figura 1.17 a), oppure possono essere
sostituiti da armature orizzontali, annegate nei letti di malta, poste all’altezza degli
orizzontamenti (figura 1.17 b).
a)
b)
Fig. 1.17 – a): Cordolature, b): armatura orizzontale per cordolo.
I cordoli svolgono diverse funzioni:
- Irrigidiscono ulteriormente i solai nel loro piano (figura 1.18 a, b e c).
26
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
- Fungono da vincolo per le pareti soggette a carichi orizzontali
ortogonali
al loro piano medio: le cordolature alle basi superiore e inferiore di tali pareti,
infatti, ne ostacolano il meccanismo di ribaltamento.
- Permettono una opportuna distribuzione delle azioni orizzontali fra le pareti
di controvento complanari, in particolare fra un piano e l’altro.
- In generale procurano maggiore stabilità alla struttura e iperstaticità al
sistema
resistente.
L’iperstaticità
ha
come
conseguenza,
infatti,
la
ridistribuzione degli sforzi: quando un elemento della struttura è soggetto ad un
carico tale da superare la sua soglia di resistenza, gli sforzi vengono ripartiti fra
gli altri elementi associati; si evita, così, che l’eccessiva sollecitazione di un
elemento sia causa immediata di crisi per l’intera struttura.
a)
b)
c)
Fig. 1.18 – a): Solaio deformabile e assenza di cordoli; b): solaio e cordoli deformabili; c): solaio e cordoli
rigidi.
1.11.2 Incatenamenti
Un’altra soluzione architettonica atta a garantire la scatolarità, è costituita
dagli incatenamenti. Si tratta di barre metalliche poste a livello di solaio, che
collegano fra loro le pareti parallele della struttura; sono ancorate ai cordoli opposti e
sono disposte ortogonalmente ai muri da collegare. Talvolta sono le armature dei
solai stessi che assolvono la funzione di incatenamento, ma deve essere presente un
perfetto ancoraggio tra queste armature ed i cordoli; inoltre, ulteriori barre metalliche
sono indispensabili nella direzione ortogonale all’orditura dei solai (figura 1.19).
La funzione degli incatenamenti è duplice: quando collegano le pareti
sollecitate a sforzo orizzontali ortogonali al loro piano medio, essi forniscono un
27
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
vincolo per le pareti, in modo da evitare ogni rischio di inflessione fuori dal piano
con conseguente ribaltamento. Gli incatenamenti tra le pareti di controvento, invece,
migliorano la distribuzione dei carichi orizzontali tra di esse.
Fig. 1.19 – Incatenamenti dei muri di controvento, in questo caso le armature del solaio funzionano da
incatenamento per le pareti ortogonali all’orditura.
Fig. 1.20 – Meccanismi di ribaltamento della facciata: senza ammorsamento (1), con ammorsamento (2) e
con l’inserimento di una catena (3).
28
STRUTTURE IN MURATURA
1.11.3
CAPITOLO 1
Simmetria planimetrica
Una caratteristica importante negli edifici in zona sismica ed in particolare
per le strutture in muratura è la simmetria planimetrica: la pianta dell’edificio deve
presentare uno schema resistente il più possibile simmetrico rispetto ad ognuna delle
due direzioni principali. In questo modo si minimizzano le deformazioni torsionali
migliorando, così, la risposta dell’edificio.
Si definisce, per ogni piano, il baricentro delle rigidezze, definito come il
baricentro di tutte le pareti che contribuiscono alla rigidezza del piano in questione,
nei confronti delle forze orizzontali, di qualsiasi direzione; il baricentro delle masse
è, invece, il baricentro di tutti gli elementi del piano, compresi quelli che non hanno
funzione statica.
Quando c’è simmetria planimetrica i due baricentri convergono nello stesso
punto, ma in mancanza di simmetria, essi possono essere anche molto distanti. La
risultante del carico agisce sul baricentro delle masse e, se questo non coincide con
quello delle rigidezze, la forza orizzontale crea un momento torsionale, in cui il
braccio è costituito dalla distanza fra i due baricentri, misurata nella direzione
perpendicolare alla direzione di carico. L’effetto è rappresentato in fig. 1.21 a e b.
a)
b)
Fig. 1.21 - Momento torsionale causato da una forza orizzontale che agisce in senso longitudinale (a) ed in
senso trasversale (b).
29
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
1.12 Caratteristiche generali degli edifici
Al fine di progettare un edificio nel quale le forze laterali possano essere
facilmente trasferite a terra senza eccessive deformazioni e con un comportamento
duttile che ne assicuri il buon funzionamento sotto azione sismica, è opportuno
seguire determinati principi guida specificati anche nelle normative riguardanti:
-
Semplicità strutturale
-
Uniformità e simmetria
-
Iperstaticità
-
Resistenza e rigidezza bidirezionale
-
Strutture di fondazione adeguate
La semplicità strutturale, caratterizzata dall’esistenza di percorsi chiari e
diretti per la trasmissione delle forze sismiche, è un’importante obiettivo da
perseguire poiché la modellazione, l’analisi, il dimensionamento, la definizione dei
particolari e la costruzione di strutture semplici sono soggette a minori incertezze e
quindi la previsione del loro comportamento durante un evento sismico può essere
ipotizzata in maniera molto più realistica.
L’uniformità, che in qualche modo è collegata alla semplicità, è caratterizzata
da una regolare distribuzione degli elementi strutturali che, quando realizzata in
pianta, permette una trasmissione rapida e diretta delle forze d’inerzia prodotte dalle
masse distribuite dell’edificio. Se necessario questa uniformità può essere ottenuta
dividendo l’intero edificio mediante appositi elementi di collegamento in unità
dinamicamente indipendenti.
L’uniformità dell’edificio nel suo sviluppo verticale è altrettanto importante
poiché in tal modo si tende ad eliminare la formazione di zone ove vi sia una grande
concentrazione di sforzi o notevoli richieste di duttilità che potrebbero essere causa
di un prematuro collasso. Uno stretto rapporto tra la distribuzione delle masse e delle
rigidezze elimina automaticamente le eccentricità eccessive fra le masse e le
rigidezze. In edifici caratterizzati da configurazioni simmetriche o quasi-
30
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
simmetriche, la simmetria strutturale e il corretto sviluppo in pianta sono le soluzioni
più ovvie per il raggiungimento dell’uniformità.
L’utilizzo di elementi strutturali distribuiti con regolarità aumenta la ridondanza e
permette una più favorevole ridristribuzione degli effetti dovuti all’azione sismica,
nonché una maggiore dissipazione di energia da parte dell’intera struttura.
La struttura iperstatica dotata di sufficiente duttilità globale ha un
comportamento sismico decisamente migliore nei confronti dell’azione tellurica
rispetto a quella che non lo è, in quanto, consente la formazione di meccanismi dotati
di zone critiche (cerniere plastiche) con conseguenti ridistribuzioni delle
sollecitazioni. Infatti, un elevato grado di iperstaticità accompagnato dalla capacità di
ridistribuzione consente una più diffusa dissipazione di energia e ne incrementa il
valore totale. La necessaria capacità di ridistribuzione è raggiunta mediante le
disposizioni che mirano a garantire una sufficiente duttilità locale in termini di
rotazione plastica (curvatura) in tutte le zone critiche dove potenzialmente possono
formarsi le cerniere plastiche.
Il moto sismico orizzontale è un fenomeno bidirezionale e per questo motivo
la struttura dell’edificio deve essere in grado di resistere ad azioni orizzontali
provenienti da qualsiasi direzione. In tal senso gli elementi strutturali devono essere
disposti in modo tale da garantire la resistenza dell’edificio. Quest’ultima è
normalmente ottenuta organizzando questi elementi in pianta secondo una maglia
ortogonale che assicuri valori analoghi di resistenza e rigidezza in entrambe le
direzioni.
Inoltre la scelta delle caratteristiche di rigidezza della struttura deve da un lato
minimizzare gli effetti dell’azione sismica e dall’altro evitare che si sviluppino
spostamenti eccessivi che potrebbero produrre fenomeni di instabilità dovuti ad
effetti del secondo ordine o un danneggiamento eccessivo.
In zona sismica il progetto e la costruzione delle fondazioni nonché degli
elementi di collegamento con la sovrastruttura deve garantire che tutto l’edificio sia
31
STRUTTURE IN MURATURA
CAPITOLO 1
sollecitato uniformemente dall’azione sismica. A tal fine per strutture composte da
un discreto numero di pareti con funzione strutturale, differenti per larghezza e
rigidezza, si deve predisporre una fondazione del tipo rigido scatolata, con cellule più
o meno grandi che includano due solette, una all’intradosso della fondazione ed una
all’estradosso.
32
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
CAPITOLO 2
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.1
Introduzione
Nel capitolo precedente la muratura è stata definita come materiale omogeneo
equivalente, modello che verrà utilizzato in tutte le applicazioni contenute in questo
documento. Secondo tale modello viene effettuato il passaggio da grandezze
microscopiche locali, che descrivono le caratteristiche dei singoli elementi, laterizi e
malta, a grandezze macroscopiche nominali. Tale passaggio è descritto da diverse
teorie di differente complessità, per cui, in questa sede ci si limiterà ad una
definizione qualitativa delle caratteristiche del materiale equivalente.
In questo capitolo verranno trattati in primo luogo stati tensionali
monoassiali, con particolare riferimento a sollecitazioni di compressione e di trazione
su un campione prismatico di muratura, intesa come materiale omogeneo
equivalente.
Nella seconda parte verranno presi in considerazione gli stati tensionali
complessi facendo riferimento ad una parete, considerata come elemento di una
struttura muraria, sollecitata da compressione e taglio; tale combinazione di carico è
quella a cui è maggiormente soggetta una parete in caso di evento sismico.
2.2
Stati tensionali monoassiali
La muratura costituisce il primo materiale composito impiegato nelle
costruzioni. Sebbene la sua struttura sia semplice, con due soli componenti, la
determinazione delle caratteristiche meccaniche è alquanto complessa in quanto la
33
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
caratterizzazione dei diversi materiali è funzione della direzione di sollecitazione e
delle modalità di prova. La risposta complessiva del composito, poi, è funzione
anche della tessitura della muratura, ovvero delle modalità di accoppiamento dei due
materiali.
La qualità di una costruzione in muratura dipende dalla resistenza a
compressione del materiale, questo spiega il motivo per cui la maggior parte delle
prove effettuate sulla muratura siano a compressione.
2.2.1 Resistenza a compressione
La resistenza caratteristica a compressione f k di una muratura può essere
determinata seguendo due vie: la prima, generalmente più onerosa, si basa sulla
sperimentazione diretta di campioni di muratura sottoposti a prova di compressione
semplice; la seconda, consentita per elementi pieni e semipieni si basa su
sperimentazioni già compiute e consente di valutare
f k , note la resistenza
caratteristica a compressione dell’elemento resistente ( f bk ) e quella della malta.
Per determinare sperimentalmente la resistenza a compressione, il D.M. 20
Novembre 1987 prevede che si effettui una prova di compressione su almeno sei
muretti che devono avere le stesse caratteristiche della muratura in esame, altezza
minima h costituita da tre corsi (meglio cinque corsi) di blocchi, base b pari ad
almeno due blocchi e rapporto h/t compreso tra 2,4 e 5,dove t è lo spessore della
muratura. La confezione deve avvenire su un letto di malta alla base e la faccia
superiore sarà finita con uno strato di malta. Dopo una stagionatura di 28 giorni a 20°
C, 70% di umidità relativa, prima di effettuare la prova, la faccia di ogni provino
viene livellata con gesso; il muretto può essere contenuto anche fra due piastre
metalliche rettificate, utili per gli spostamenti ed il suo posizionamento nella pressa.
Il provino viene posto fra i piatti della macchina di prova (uno dei quali è articolato )
e si effettua quindi la centratura del carico che viene applicato con una velocità di
circa 0,5MPa ogni 20 secondi.
34
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
La resistenza caratteristica della relazione è data dalla relazione:
fk = fm − k ⋅ s
dove:
−
f m è la resistenza media
− s è la stima dello scarto
− k è il coefficiente dato dalla seguente tabella in funzione del numero di
campioni n:
n
6
8
10
12
20
k
2.33
2.19
2.10
2.05
1.93
Tabella 2.1 - coefficiente in funzione del numero di prove per determinare la resistenza caratteristica a
compressione della muratura.
La determinazione della resistenza caratteristica a compressione deve essere
completata con la verifica dei materiali da condursi come segue:
− malta: 3 provini prismatici 40x40x160 mm da sottoporre a flessione e quindi
a compressione sulle sei metà risultanti.
− elementi resistenti: 10 elementi da sottoporre a compressione con direzione
del carico normale al letto di posa.
Si consideri un provino di forma prismatica (stack bond prism) formato da un
assemblaggio di malta e mattoni, come in figura 2.1 e lo si sottoponga a
compressione semplice agente in direzione normale ai letti di malta. Si definiscono
la tensione media σ data dal rapporto del carico P agente sulla superficie A e la
deformazione media fornita dal rapporto dell’accorciamento Δh del provino,
misurato parallelamente al carico, sulla lunghezza di riferimento h0 del provino.
35
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Fig. 2.1 – Provino di muratura
Se si riportano questi dati in un diagramma σ − ε , il risultato che si ottiene è
una curva definita in figura 2.2,da cui si ricavano i seguenti parametri:
fu: resistenza massima della muratura a compressione
ε0: deformazione della muratura alla massima compressione
Fig. 2.2 – Risposta tensione deformazione di laterizio(EB), muratura(MU6H) e malta (EM).
Nel diagramma sono anche indicate le curve corrispondenti alle prove di
compressione effettuate sulla malta e sul blocco di laterizio presi separatamente. Si
nota che la curva riferita al campione di muratura è intermedia fra le altre due.
36
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Il fenomeno della crisi per compressione avviene con la formazione di
fessurazioni verticali nel prisma ed il loro successivo diffondersi. Queste fessure,
parallele alla direzione di carico, si formano a causa della diversità di comportamento
fra malta e laterizio. Le fessurazioni nascono per una trazione indiretta, di direzione
ortogonale a quella del carico di compressione: la malta, infatti, subisce l’effetto di
contenimento dato dai blocchi di laterizio che la circondano, ed è soggetta, pertanto,
ad uno stato di compressione triassiale (σmx, σmy, σz), il quale provoca, nel laterizio,
sforzi di trazione (σbx, σby) diretti ortogonalmente al carico (figura 2.3). Il fenomeno
di confinamento della malta motiva anche il fatto che la compressione massima
sopportabile dal provino di muratura sia maggiore di quella sopportabile dalla malta
considerata individualmente.
Fig. 2.3 – Tensioni sugli elementi del campione di muratura
Sulla base delle osservazioni sperimentali, diversi ricercatori hanno
sviluppato varie teorie, nelle quali il comportamento a compressione della muratura
dipende, in modo più o meno determinante, dai seguenti fattori:
-
resistenza, geometria e deformazione dei blocchi di elementi resistenti;
-
resistenza e deformazione del legante;
-
spessore dei giunti;
-
disposizione degli elementi resistenti;
-
igroscopicità degli elementi resistenti.
37
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Verso la fine degli anni Sessanta sono stati proposti modelli con un
soddisfacente riscontro sperimentale, basati su di una formulazione elastica. Si
denota, fra le altre, la teoria di Tassios [Tassios, 1988]: laterizio e malta sono trattati
come materiali elastici lineari ed isotropi per i quali è applicabile la legge di Hooke.
Per cui, riferendoci sempre al prisma di figura 2.1 con le sollecitazioni di figura 2.3,
si possono esprimere le deformazioni trasversali del mattone (brick) nelle due
direzioni, x e y, ortogonali alla direzione di carico:
ε bx =
ε by =
[
]
1
σ bx + ν b (σ z − σ by ) ;
Eb
[
]
1
σ by + ν b (σ z − σ bx )
Eb
(2.1)
Mentre nello strato di malta (mortar), le deformazioni trasversali possono
esprimersi come:
ε mx =
ε my =
[
]
1
− σ mx + ν m (σ z − σ my ) ;
Em
[
]
1
− σ my + ν m (σ z − σ mx )
Em
(2.2)
dove:
Eb, Em: moduli di elasticità o di Young di laterizio e malta;
νb, νm : coefficienti di Poisson di laterizio e malta.
Si applicano poi le condizioni di congruenza, che impongono che le
deformazioni trasversali dei due materiali debbano essere le stesse, nelle rispettive
direzioni x e y:
ε bx = ε mx ; ε by = ε my
38
(2.3)
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
In seguito, attraverso l’imposizione delle condizioni di equilibrio, si ammette
che la forza risultante di compressione relativa allo strato di malta sia uguale alla
forza risultante di trazione sul mattone per ognuna delle direzioni x e y, per cui:
σ bx ⋅ d ⋅ t b = σ mx ⋅ d ⋅ t m
σ bx = ασ mx ;
σ by ⋅ d ⋅ t b = σ my ⋅ d ⋅ t m
σ by = ασ my
(2.4)
dove α è il rapporto tra lo spessore tm dello strato di malta e l’altezza del mattone tb
ed assume sempre valori inferiori all’unità.
α=
tm
<1
tb
Rielaborando le equazioni relative alle deformazioni e alle tensioni, si ottiene:
σ bx = σ by =
α (ν m − βν b )
σz
1 + αβ − ν m − αβν b
(2.5)
dove β è il coefficiente di omogeneizzazione ed è espresso dal rapporto fra il
modulo elastico della malta Em e quello del laterizio Eb.
β=
Em
<1
Eb
L’equazione 2.5 esprime il valore delle sollecitazioni di trazione a cui il
mattone è soggetto, in funzione della compressione che agisce sul prisma, σz.
La presenza della σ bx comporta la diminuzione del valore della tensione σ z
per la quale si ha cedimento per compressione. Ipotizzando che la crisi del campione
di muratura coincida con la crisi del mattone e che ci sia una relazione lineare fra la
tensione di compressione σz e la tensione di trazione che agisce sul laterizio σbx = σby
= σt (figura 2.4). E’ possibile, dunque, definire un dominio di resistenza, per il
campione di muratura, del tipo:
39
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
σ
σz
+ t =1
f bc λf bc
CAPITOLO 2
λ=
f bt
f bc
(2.6)
dove λ è il rapporto fra la resistenza a trazione fbt e quella a compressione fbc del
laterizio.
Fig. 2.4 –Dominio di resistenza lineare
Imponendo che la resistenza della muratura a compressione, fu, sia pari
alla tensione massima di compressione, σzu, è possibile arrivare alla seguente
espressione:
fu =
1
α (ν m − βν b )
1+
λ (1 + αβ − ν m − αβν b )
f bc
(2.7)
La formulazione 2.7 esprime il legame tra la resistenza ultima a compressione
della muratura e lo spessore del giunto tm: in particolar modo, se si considera uno
strato di malta con spessore tm maggiore, il termine α aumenterà e ciò porta ad una
diminuzione del valore della resistenza fu.
Si vuole sottolineare il fatto che quanto presentato è un approccio puramente
teorico al problema dell’omogeneizzazione. Lo scopo di tale teoria è stato quello di
descrivere, anche se approssimativamente, il legame fra resistenza ultima a
compressione della muratura e le caratteristiche dei singoli elementi che la
40
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
compongono, nonché i loro stati di coazione. Tuttavia, l’importanza di questa teoria è
motivata dai buoni riscontri sperimentali.
Per quanto riguarda il comportamento deformativo della muratura a
compressione, da elaborazioni della teoria di Tassios, si assume che il legame σ - ε
sia del tipo:
⎛ε
= 2⎜⎜
fu
⎝ εu
σ
⎞ ⎛ε
⎟⎟ − ⎜⎜
⎠ ⎝ εu
⎞
⎟⎟
⎠
2
(2.8)
La formula teorica risulta sufficientemente concorde con il diagramma σ - ε
(figura 2.5) ricavato da elaborazioni dei risultati sperimentali di Hendry [Hendry,
1981]:
fu
fu
Ei E0
0
0
Fig. 2.5 – Diagramma σ - ε di un campione di muratura.
In tale diagramma si è definito con fu la massima resistenza a compressione del
provino di muratura; con ε0 la deformazione del provino alla massima compressione,
con valore, secondo prove, di 0.25÷0.35%; con Ei il modulo elastico nel tratto
iniziale e con E0 il modulo elastico o di Young alla massima compressione.
Sulla base di test sperimentali, è stato dimostrato che la formulazione 2.8
descrive in modo soddisfacente il tratto iniziale ascendente del diagramma di figura
2.5, ma che può risultare adeguata anche per una porzione del ramo discendente postpicco, fase in cui sono presenti maggiori incertezze.
41
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
L’analisi
del
comportamento
CAPITOLO 2
deformativo
della
muratura
risulta
estremamente laboriosa e affetta da aleatorietà, in particolar modo quando si cerca di
determinare il valore per il modulo elastico E. E’ convenzione considerare un
modulo tangente alla curva σ - ε per un tratto limitato a σ = 0,35÷0,4 fu. Tale
modulo è riportato nel diagramma di figura 2.5 con Ei. In assenza di misurazione
sperimentale diretta, ci si può riferire ad elaborate relazioni empiriche, ricavate da
vari ricercatori nel settore, le quali legano le caratteristiche di laterizio e malta alle
proprietà della muratura. Queste relazioni forniscono un valore del tipo:
E = 500÷1000 fu
(2.9)
Il valore esatto dipenderà dalle qualità dei materiali componenti.
Volendo riassumere i risultati ottenuti con le teorie e le sperimentazioni
citate, si possono elencare le seguenti conclusioni sul comportamento della muratura
a compressione:
− La resistenza della muratura aumenta, ma non in modo
direttamente proporzionale, con il crescere della resistenza degli
elementi componenti;
− La resistenza della muratura aumenta, al crescere della resistenza
dei laterizi, in modo più rapido della diretta proporzionalità se la
malta è di buona qualità;
− La resistenza della muratura aumenta, al crescere della resistenza
della malta, in modo più lento della diretta proporzionalità;
− La resistenza della muratura diminuisce al crescere dello spessore
dei giunti di malta, tanto più se la malta è di qualità scarsa.
E’ da notare che in queste conclusioni non sono stati presi in esame altri
fattori che, nella realtà, influenzano le proprietà della muratura, quali:
-
presenza di giunti verticale e tipo di orditura degli elementi;
-
procedimenti esecutivi e di produzione.
42
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
2.2.2 Relazioni empiriche per la resistenza a compressione
Come detto in precedenza la resistenza caratteristica a compressione fk di una
muratura in elementi pieni o semipieni, può essere determinata basandosi su
sperimentazioni già compiute, note la resistenza caratteristica a compressione
dell’elemento resistente e della malta. In tabella 2.2 è presente il valore della
resistenza caratteristica fk secondo la normativa del ’87.
Tabella 2.2: Valore della fk per murature in elementi artificiali pieni e semipieni.
La validità di tale tabella è limitata a quelle murature aventi giunti orizzontali
e verticali riempiti di malta e di spessore compreso tra 5 e 15 mm. Per valori non
contemplati in tabella è ammessa l’interpolazione lineare.
Si riportano qui di seguito esempi di valori della resistenza massima a
compressione fu, in funzione delle caratteristiche meccaniche della muratura e quelle
dei singoli elementi che la compongono. Tali relazioni provengono dall’elaborazione
dell’espressione 2.7 e da sperimentazioni e formulazioni teoriche di altri ricercatori.
Nella loro stesura si è utilizzato per il modulo elastico E, il valore fornito dalla
formulazione 2.9
Nelle seguenti tabelle, si definirà il valore della resistenza massima fu in base
alla qualità degli elementi componenti la muratura.
43
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Con laterizio di buona qualità:
Con laterizio di scarsa qualità:
fb = 50 MPa, νb = 0,23
fb = 25 MPa, νb =0,275
fm (MPa)
νm
β
3,5
0,36
0,14 20,5
21,0
0,285 0,84 36,60
fu (MPa)
fm (MPa)
νm
β
fu (MPa)
3,5
0,36
0,28
11,7
21,0
0,285
1,68
25,0
Tab. 2.3 – Resistenza massima fu in funzione della qualità degli elementi.
Per entrambi i casi si è considerata una malta sia di scarsa qualità (fm = 3,5
MPa), sia di buona qualità (fm = 21 MPa).
Riguardo alle teorie sopra esposte, si vuole sottolineare il fatto che, per ogni
applicazione, prove sperimentali dirette forniscono dati generalmente più sicuri e
precisi. Infatti, le suddette formulazioni teoriche sono affette da limitazioni e da
grossolanità nelle inevitabili approssimazioni. I difetti principali delle formulazioni
per determinare la resistenza a compressione fu riguardano le ipotesi di
comportamento elastico lineare fino a rottura. Inoltre la teoria presuppone di
conoscere in anticipo i valori dei moduli elastici del laterizio e della malta (Eb, Em):
questo implica la conoscenza del loro comportamento deformativo che, in generale,
risulta molto difficile da studiare.
Tuttavia, quando non sia possibile effettuare test, l’utilizzo delle suddette
relazioni empiriche risulta una valida alternativa a cui riferirsi. Nel caso di
progettazioni e verifiche, poi, l’incertezza del valore della resistenza della muratura
sarà presa in considerazione cautelandosi con coefficienti di sicurezza ricavati dai
principi probabilistici. In tale contesto si inserisce la formulazione fornita
dall’Eurocodice 6 per esprimere la resistenza caratteristica della muratura, fk:
f k = K ⋅ f bα ⋅ f mβ
(2.10)
44
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
dove:
fb: resistenza media a compressione del laterizio;
fm: resistenza media a compressione della malta;
K: coefficiente che dipende dal tipo di malta, in generale K = 0,4÷0,6;
α, β: valori che dipendono dal tipo di malta, in generale
si assume α = 0,65, β = 0,25.
L’introduzione di valori medi delle proprietà dei materiali, anziché valori
caratteristici, risulta più cautelativo in quanto si utilizzano frattali inferiori.
2.2.3 Resistenza a trazione
Il meccanismo di resistenza della muratura a trazione è ancora più incerto del
caso di compressione. La rottura per trazione può avvenire per:
1) Rottura del giunto di malta;
2) Decoesione dell’interfaccia malta-mattone;
3) Rottura del mattone.
I primi due casi sono assolutamente i più frequenti, in quanto, affinché si
verifichi la terza ipotesi, la malta deve avere una resistenza maggiore dei laterizi.
Le prove sperimentali per studiare l’effetto di trazione pura sono molto difficili da
realizzare, per cui, spesso, ci si riferisce a prove di trazione per flessione. Inoltre, la
resistenza a trazione è molto sensibile alla direzione in cui agisce lo sforzo.
Per quanto riguarda formule empiriche, in questo caso non esiste una grande
disponibilità. Tassios ha sviluppato anche una formulazione valida nel caso di
trazione pura che agisce in direzione ortogonale ai giunti di malta:
f t = 2 3 ⋅ f mt
(2.11)
dove:
ft: resistenza della muratura a trazione;
fmt: resistenza della malta a trazione.
45
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Nell’ipotesi che la muratura ceda quando la tensione principale di trazione
raggiunge la resistenza limite a trazione f t della muratura stessa, mediante prove
sperimentali vari ricercatori hanno trovato che ft può variare da 1 a 3,5 MPa circa,
tuttavia, la scarsità di informazioni certe sulla trazione pura rientra tra i motivi per
cui, in generale, si sceglie di considerare la muratura come materiale non reagente a
trazione.
2.3 Stati tensionali complessi
Con questi si intendono tutte quelle combinazioni di sforzo che possono
coinvolgere tutte e tre le dimensioni spaziali. Ancora più che nel caso precedente,
l’anisotropia della muratura rende lo studio di questi stati tensionali alquanto
oneroso.
Tuttavia, ricorrendo ai risultati ottenuti da prove sperimentali, si denota che il
comportamento anisotropo della muratura può essere ricondotto, semplificando il
concetto, ad un comportamento ortotropo: infatti, le proprietà della muratura variano,
sostanzialmente, tra la direzione parallela ai giunti orizzontali e la direzione
ortogonale, data dai giunti verticali. Inoltre, sempre dai risultati di test, è stato
possibile osservare come il comportamento della muratura risulti tanto più uguale
nelle varie direzioni quanto più la malta è di qualità. Questo poiché, se le proprietà
meccaniche della malta si avvicinano maggiormente a quelle del laterizio, la
giacitura orizzontale dei letti di malta costituisce sempre meno un punto debole della
parete muraria.
Semplificando ulteriormente, possiamo supporre che le risultanti degli sforzi
siano contenute nel piano medio della parete in muratura, evidenziato in figura 2.7.
Ci si può così riferire ad uno stato di tensione piano.
46
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Fig. 2.6 Piano medio della parete in muratura
Per una parete soggetta ad un qualsiasi stato piano di tensione, le grandezze
dipendono dal tipo di riferimento utilizzato. Si possono considerare due sistemi di
riferimento con le rispettive tensioni:
a) Le tensioni principali, σ1 e σ2 e l’angolo che una di esse forma con la
direzione dei giunti di malta, θ (figura 2.7 a);
b) Le tensioni normale e parallela ai letti di malta, σn e σp, e la tensione
tangenziale τ (figura 2.7 b) nel sistema di riferimento dei materiali,
con gli assi diretti secondo le direzioni dei giunti orizzontali e
verticali.
Fig. 2.7 – Sistemi di riferimento per uno stato tensionale piano di trazione di direzione generica: a) tensioni
principali, b) tensioni parallele e ortogonali ai letti di malta.
Da prove sperimentali è stato possibile ricavare il dominio di rottura biassiale
per uno stato piano di tensione di compressione e trazione (figura 2.8). Si utilizzano,
47
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
in questa applicazione, le tensioni principali σ1 e σ2 e l’angolo rispetto alla giacitura
dei letti di malta, θ. Si noti come il fenomeno sia influenzato dal valore dell’angolo
θ: il grafico tende ad assumere un andamento lineare quando l’angolo θ tende a 0° e
90°, cioè, quando le tensioni principali hanno direzione normale e parallela ai giunti
orizzontali.
Fig. 2.8 – Dominio di rottura biasciale per uno stato piano di tensione di compressione e trazione
L’analisi degli stati tensionali complessi comprende anche il caso di
compressione e taglio. Per una parete considerata come elemento di una struttura
muraria, si tratta della combinazione di tensioni a cui è maggiormente soggetta in
quanto la compressione sarà il risultato dei carichi permanenti e accidentali verticali,
mentre il taglio sarà dato, prevalentemente, da carichi orizzontali quali vento e sisma.
Si prenderà ora in esame una combinazione di compressione e taglio in cui si
considera lo sforzo di compressione costante e si incrementa il valore del taglio.
48
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
2.4 Parete soggetta a compressione e taglio
In precedenza si è valutato il comportamento della muratura a compressione
ed a trazione; ora invece si prenderà in esame una parete soggetta ad una
combinazione di compressione e taglio ed anche per tale parete si tratterà la muratura
come un materiale continuo omogeneo equivalente. Perciò, si riterranno validi a
priori valori quali coesione (c) e coefficiente d’attrito ( μ ), che provengono da
sofisticati procedimenti di omogeneizzazione che non saranno trattati in questa sede.
Il modulo tangenziale G è il parametro fondamentale che descrive la
deformabilità a taglio. Esso è collegato al modulo elastico E mediante relazioni
empiriche. Nella progettazione si è soliti assumere valori del tipo:
E = 1000 f k
(2.12)
G = 0,3÷0,4 E
(2.13)
dove con E si intende il modulo elastico misurato in direzione normale ai letti di
malta.
Nella
definizione
del
modello
di
materiale
equivalente,
collegare
concettualmente ed analiticamente lo stato tensionale macroscopico con lo stato
tensionale locale costituisce un problema complesso in quanto ci si deve basare sui
meccanismi deformativi degli elementi.
Il meccanismo di resistenza e deformabilità a taglio, inoltre, risulta ancora
più affetto da incertezze di quanto non lo siano quelli a compressione e trazione.
Tuttavia, se da una parte il tema risulta davvero complesso, dall’altra parte si hanno a
disposizione molti più studi e prove sperimentali rispetto ai meccanismi di resistenza
e deformabilità a compressione e trazione; la maggiore attenzione, infatti, è motivata
proprio dalle maggiori incertezze dell’argomento.
Nelle varie formulazioni che seguiranno, si tratteranno le forze agenti come
sollecitazioni macroscopiche e quanto più si cercherà, dove possibile, di considerare
la muratura come materiale omogeneo equivalente.
49
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.4.1
CAPITOLO 2
Azioni nel piano medio
Si esamina il caso di una parete di muratura non armata, soggetta a
compressione e taglio nelle due sezioni d’estremità superiore ed inferiore; le
risultanti di tali sollecitazioni saranno contenute nel piano medio della parete,
pertanto questo caso rientra fra gli stati tensionali piani, visti nel precedente capitolo.
Per ogni sezione della parete si suppone siano definibili, azione assiale, taglio
e momento risultanti. In figura 2.9 è presente uno schema della parete sollecitata, in
cui sono rappresentati:
P: peso proprio della parete agente lungo l’asse baricentrale;
Nsup, Ninf: sforzi assiali agenti nella sezione superiore ed inferiore;
esup, einf: eccentricità dei corrispondenti sforzi normali rispetto
all’asse baricentrale della parete;
V: taglio alle estremità;
D: larghezza della parete;
H: altezza della parete.
Fig. 2.9 Parete soggetta a compressione e taglio
50
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Dall’equilibrio alla traslazione ed alla rotazione, sussistono le seguenti relazioni:
Ninf = Nsup + P
V ⋅ H = Msup + Minf = Nsup⋅ esup + Ninf ⋅ einf
2.5
(2.14)
Grado di vincolamento di un pannello murario.
Il problema della risposta di un maschio murario soggetto a carichi sismici
viene studiato con l’ausilio di prove sperimentali. Si tratterà di sottoporre un pannello
murario a taglio e compressione, in quanto è la combinazione di tali sollecitazioni a
cui è comunemente sottoposta una parete soggetta ad azione sismica.
In generale, i test di questa tipologia, sono effettuabili applicando sulla sommità del
maschio un carico verticale distribuito, di risultante P, che viene mantenuto costante
e centrato; di seguito viene imposto uno spostamento monotono in testata che genera
una sollecitazione tagliante V crescente. E’ possibile realizzare anche test con lo
spostamento ciclico. La distribuzione degli sforzi per tutta la lunghezza del muro è
possibile grazie all’impiego di una traversa rigida in sommità (figura 2.10 a e b).
Fig. 2.10 – a): Configurazione di prova; b): sollecitazioni generate nel pannello e spostamenti.
In figura 2.10 b) i simboli hanno il seguente significato:
δ: spostamento orizzontale imposto;
51
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
V: sollecitazione tagliante generata;
Fv1, Fv2: forze verticali agenti alle estremità di larghezza del pannello;
u1, u2: spostamenti alle estremità di larghezza del pannello.
In particolare, si vuole evidenziare come il tipo di vincolamento alle estremità del
maschio possa influire la sua risposta; mantenendo la base inferiore fissa, si
individuano due configurazioni che rappresentano le due situazioni limite possibili
(figura 2.11 a, b):
a) La sommità del maschio è completamente libera di ruotare;
b) La sommità del maschio può solo traslare rigidamente, non sono
ammesse rotazioni (condizione “incastro-incastro”).
a)
b)
Fig. 2.11 – Configurazioni possibili
Nel caso a) il pannello tende ad assumere un comportamento a mensola, le risultanti
di compressione alle basi superiore ed inferiore avranno eccentricità, rispetto all’asse
del pannello, di segno uguale ed il momento dato dalla sollecitazione tagliante V
sarà massimo nella base inferiore e nullo sulla sommità.
Mentre, nel caso b) si verifica una situazione tipo a doppio incastro, in cui le
eccentricità delle due risultanti di compressione superiore ed inferiore saranno di
segno opposto ed il momento dato da V sarà nullo a metà dell’altezza del pannello.
52
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
L’esperienza sul campo evidenzia come la situazione più realistica sia costituita da
una combinazione di questi due casi limite; tuttavia, si è notato che il comportamento
reale di un maschio murario sotto azione sismica, tende maggiormente alla
configurazione b).
2.6
Stati limite ultimo e di esercizio
Lo stato di sollecitazione di compressione e taglio è tipico di pareti
considerate come parti strutturali di un edificio in muratura. Quindi, si effettua una
valutazione di una parete facente parte di una struttura e non di una parete a sé stante
come svolto in precedenza. Esaminate all’interno di questo contesto, pertanto, la
verifica e la progettazione di pareti seguono ben precisi criteri di sicurezza: questi
devono assicurare un certo comportamento della parete nei confronti del resto della
struttura globale di cui fa parte. In pratica, l’osservazione di questi criteri garantisce
che non vengano raggiunte situazioni che porterebbero la parete al degrado o al
collasso e che, quindi, si rifletterebbero, in modo più o meno rapido, sulla struttura
complessiva.
Le situazioni che non si vogliono raggiungere sono i cosiddetti “stati limite”,
che stanno alla base del ben noto metodo semi-probabilistico degli stati limite. Nel
caso di un edificio generico, i due stati limiti principali sono:
-
stato limite ultimo: rappresenta una situazione oltre la quale si ha una
condizione di pericolo per la resistenza della struttura, che può portare al
collasso (o ad altre forme di cedimento strutturale) e mettere quindi in
pericolo la sicurezza delle persone che si trovano all’interno o nei pressi
della costruzione.
-
stato limite di esercizio: rappresenta una situazione oltre la quale si
genera una condizione non ottimale per l’utilizzo della struttura che può
al limite impedirne il funzionamento, non risultando più soddisfatti i
requisiti per i quali è stata progettata. In altri termini la costruzione, pur
senza manifestare un cedimento strutturale, non può più essere utilizzata
per gli scopi preposti.
Lo stato raggiunto è tale da provocare nella
53
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
struttura danni che hanno perlopiù conseguenze economiche, in termini di
riparazioni e ripristino della struttura alla sua corretta funzione originaria.
Il metodo fissa le probabilità con cui è possibile raggiungere questi stati ed
applica alle resistenze delle strutture ed alle azioni agenti su di esse dei coefficienti di
sicurezza che garantiscono che,statisticamente, non vengano superate le soglie di
imposte.
Nel caso specifico della muratura, l’estrema aleatorietà dei dati sulla
resistenza e la deformabilità farebbe innalzare ulteriormente i coefficienti di
sicurezza: laddove mancano certezze o dati rigorosi, ci si cautela considerando
resistenze minori di quelle presunte e sollecitazioni maggiori di quelle attese, allo
scopo di garantire il non raggiungimento degli stati limite.
Tuttavia, per la muratura si può preferire non utilizzare il metodo semiprobabilistico: in pratica si definiscono gli stati limite d’esercizio e ultimo in modo
deterministico,
esplicitando
condizioni
e
configurazioni
che
determinano
precisamente il raggiungimento dello stato indesiderato. Pertanto, con questo
approccio saranno fatte molte ipotesi iniziali semplificative, ma tali ipotesi avranno
sempre un intento cautelativo. Rinunciando ai concetti di probabilità si evitano, così,
ulteriori complicazioni al già complesso fenomeno della resistenza e deformabilità
muraria.
Per una parete in muratura che costituisce parte di un edificio, gli stati limite
d’esercizio coincideranno col raggiungimento, per essa, di un eccessiva
deformazione o di fessurazione della sezione, che possono portare ad un
danneggiamento globale della struttura. Mentre, si parlerà di stati limite ultimi
quando si avrà il collasso della parete o di una sua parte, con conseguenti danni
ingenti nell’edificio, fino, addirittura, ad un possibile crollo.
Per una parete in muratura, la condizione di sollecitazione di tagliocompressione con incremento di taglio, descritta nei paragrafi precedenti, può
54
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
evolversi in diverse situazioni limite; si tratta di tre comportamenti che si possono
manifestare anche non singolarmente:
•
rottura della parete per pressoflessione;
•
rottura della parete per taglio con fessurazione diagonale;
•
rottura della parete per taglio con scorrimento.
Le condizioni ultime, definite dagli stati limite ultimi e d’esercizio, variano a
seconda del tipo di danneggiamento che la combinazione taglio-compressione
provoca. Quindi, si avranno delle condizioni limite diverse per ognuna delle tre
modalità di rottura sopra scritte. Alla definizione di tali condizioni limite saranno
dedicati i paragrafi successivi.
2.7
Rottura per pressoflessione
Riferendoci al caso generico riportato in fig. 2.9, il pannello in esame tende
ad avere una rottura per flessione quando esso è particolarmente snello o quando lo
sforzo assiale agente è scarso. Nei paragrafi successivi si esamina la rottura per
pressoflessione per gli stati limite ultimi e di esercizio.
Fig. 2.12 – Meccanismo di danno per flessione – ribaltamento
55
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.7.1
CAPITOLO 2
Stato limite d’esercizio
E’ convenzione considerare che una parete raggiunga il suo stato limite
d’esercizio quando in una sezione ci sia un momento flettente tale da provocare
fessurazione. Il quadro fessurativo si forma più facilmente dove il materiale ha
minore resistenza a trazione; pertanto, nel caso della muratura, il danneggiamento
avviene lungo i giunti di malta.
Si può affermare che si ha fessurazione quando lo sforzo di trazione,
provocato dal momento flettente, raggiunge il valore della massima resistenza a
trazione fmt della malta. Per cui, ricordando le 2.12-2.13 e applicando la nota formula
della resistenza flessionale valida per una sezione rettangolare:
σ = 6M bh 2
(2.15)
il momento di fessurazione (o cracking) sarà:
2
⎛ N
⎞ D ⋅t
+ f mt ⎟ ⋅
M cr = ⎜
⎝ D ⋅t
⎠ 6
(2.16)
dove, con t e D si è indicato, rispettivamente, lo spessore e la larghezza della parete.
La resistenza a trazione della malta è, nella maggior parte delle volte,
trascurabile. Quindi, la formula 2.16 potrebbe essere riscritta come:
2
⎞ D ⋅t N ⋅ D
⎛ N
+ 0⎟ ⋅
M cr = ⎜
=
6
⎝ D ⋅t
⎠ 6
(2.17)
Così, ci si è ricondotti alla classica formula di parzializzazione delle sezioni
pressoinflesse non reagenti a trazione.
56
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.7.2
CAPITOLO 2
Stato limite ultimo
Allo stato ultimo di una parete pressoinflessa è associato lo schiacciamento
del lembo compresso in una delle due sezioni estreme.
Se si hanno bassi valori di sforzo assiale, la parte compressa occupa una
minima parte della sezione, lasciando spazio alla parte tesa ed alla formazione di
fessure. Con l’incremento di sollecitazione tagliante, il momento flettente dato da V⋅
H aumenterà e la parte fessurata si estenderà sempre di più; anche la compressione
data dal momento aumenterà, ma essendo lo sforzo assiale complessivamente basso,
il momento N⋅ e non è sufficiente a contrastare il momento V⋅ H. Si crea, dunque, un
cinematismo di ribaltamento, come quello rappresentato in figura 2.13:
Fig. 2.13 – Rottura per pressoflessione o ribaltamento
E’ evidente come il rapporto H/D della parete influisca sul meccanismo: se la
parete è molto snella si ha un valore di H particolarmente elevato in relazione alla
larghezza D per cui il momento ribaltante V ⋅ H predomina rispetto al momento
stabilizzante N ⋅ e .
Per analizzare lo stato ultimo per pressoflessione, si pone in evidenza ciò che
succede nella sezione estrema inferiore, dove il momento ribaltante assume il valore
maggiore.
57
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Si consideri la parete di figura 2.13 soggetta a compressione e taglio, in cui si
trascuri, per semplicità, il peso proprio. Si assume, per ipotesi, una distribuzione
delle tensioni di tipo rettangolare equivalente (stress-block) per la parte compressa
della sezione. Lo stress-block sarà, dunque, rappresentato da un rettangolo di altezza
pari alla tensione di compressione σ, moltiplicata per il coefficiente κ che tiene conto
della reale distribuzione non lineare degli sforzi e che si assume, generalmente di
valore compreso tra 0.85 ed 1. Al momento della crisi la tensione σ avrà raggiunto la
resistenza a compressione della muratura, fu. La situazione è rappresentata in figura
2.14:
Fig. 2.14 – Stato tensionale nel lembo compresso
Dalle condizioni di equilibrio alla rotazione si ricava il momento ultimo Mu
corrispondente al raggiungimento della crisi:
⎞
N
⎛ D − a ⎞ N ⋅ D ⎛⎜
⎟ .
Mu = N ⋅e = N ⋅⎜
⋅ ⎜1 −
⎟=
2 ⎝ κ ⋅ f u ⋅ D ⋅ t ⎟⎠
⎝ 2 ⎠
ponendo la compressione media sulla base superiore:
58
(2.18)
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
p = P (D ⋅ t )
(2.19)
e considerando einf ≥ esup , in riferimento alla figura 5.7, si ottiene:
Vmax ⋅ H 0 = P ⋅ einf = M u =
p ⋅ D2 ⋅t ⎛
p
⋅ ⎜⎜1 −
2
⎝ κ ⋅ fu
⎞
⎟⎟
⎠
(2.20)
Esplicitando il valore del taglio che genera il momento ultimo, si ottiene:
Vmax =
D2 ⋅t p ⎛
p
⋅ ⋅ ⎜⎜1 −
H 0 2 ⎝ κ ⋅ fu
⎞ D ⋅t p ⎛
p
⎟⎟ =
⋅ ⋅ ⎜⎜1 −
⎠ α v 2 ⎝ κ ⋅ fu
⎞
⎟⎟
⎠
(2.21)
dove αv è il fattore di taglio ed è così definito:
αv =
H
M
H
= 0 =ψ ′⋅
V ⋅D
D
D
(2.22)
e ψ ′ assume un valore pari a 1 quando la base superiore del pannello è libera di
ruotare restando fissa quella inferiore (configurazione di tipo “a” in figura 2.11);
mentre vale 0,5 nel caso in cui la sommità possa solo traslare senza ruotare
(configurazione di tipo “b”). Il fattore di taglio αv ed il rapporto H/D, denominato
fattore di forma, risultano, quindi, legati fra loro tramite il coefficiente ψ ′ che
rappresenta le condizioni di vincolo della parete.
I fattori di taglio e di forma vengono utilizzati per esprimere direttamente la
dipendenza della resistenza della parete da alcune sue caratteristiche: rapporto fra
momento generato e taglio agente, grado di vincolamento e snellezza. Questa
formulazione è particolarmente utile per effettuare simulazioni numeriche ad
elementi finiti: l’utilizzo dei fattori di taglio e di forma come parametri variabili,
rende le simulazioni automatizzabili ed i risultati più facilmente interpretabili.
La rottura per pressoflessione avviene più facilmente rispetto alle altre modalità
qualora si abbiano bassi valori di compressione ( P ). Inoltre si ossergva come il
taglio massimo Vmax sia strettamente dipendente dal fattore di taglio αv, e quindi dal
59
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
fattore di forma ψ’; sperimentalmente è stato evidenziato che questa dipendenza
risulta particolarmente forte per valori di compressione media molto bassi,
precisamente per valori del rapporto p/fu minore di 0,2.
In definitiva, dunque, si assume che in un pannello murario che rappresenta la
parete, la rottura per pressoflessione
avvenga quando in una delle due sezioni
estreme della parte deformabile (i’ o j’) il momento flettente raggiunge un valore pari
a quello fornito dall’espressione 2.2, in cui si assume κ = 0,85.
2.7.3 Confronto con l’analisi limite
A comprovare la validità dell’espressione 2.20 (e quindi 2.21), contribuisce
anche la teoria dell’analisi limite. Come già accennato precedentemente, l’analisi
limite è una procedura d’analisi che contempla solo l’esame della situazione di
collasso e del suo cinematismo corrispondente. E’ possibile notare riscontro fra i
risultati dell’analisi limite e le espressione definite sopra. Ad esempio, supponendo
per la muratura una massima resistenza a compressione fu di valore infinito, la 2.20 si
trasforma nella condizione di ribaltamento di un blocco rigido e diventa:
Vmax ⋅ H 0 =
P⋅D
2
(2.23)
la quale coincide con il risultato ottenibile da un’analisi limite con il cinematismo a
collasso di figura 2.15, in cui si considera:
0 ≤ θ ≤ arctg (H D )
60
(2.24)
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Fig. 2.15 – Cinematismo a collasso con fu di valore infinito
Assumendo, invece, un valore finito per la resistenza a compressione della
muratura, l’analisi limite prevede un cinematismo come in figura 2.16, al quale
corrisponde una formulazione per il taglio ultimo, analoga ancora alla 2.20.
Fig. 2.16 – Cinematismo a collasso con fu di valore finito
In realtà, l’analisi limite così condotta si fonda sull’ipotesi di comportamento
monolatero (non resistente a trazione) del materiale. Nel caso in cui si assuma un
valore infinito per la resistenza a compressione della muratura, l’espressione 2.23 ed
il cinematismo di figura 2.15 sono ottenibili solo con l’ipotesi di confinamento
laterale alle basi superiore ed inferiore: senza tale accorgimento, difatti, si avrebbero
cinematismi associati a disarticolamenti della muratura (figura 2.17 a, b).
61
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
a)
b)
Fig. 2.17 a), b) – Disarticolamenti della muratura
Applicando integralmente la teoria del comportamento “no tension”, se non ci
fosse alcuna azione di contenimento per le basi, a questi cinematismi sarebbe
associato un moltiplicatore a collasso di valore nullo: essendo nulla la resistenza a
trazione della muratura il processo di disarticolazione del materiale sotto quel tipo di
carico avverrebbe immediatamente.
Fig. 2.18 – Ribaltamento di muratura a secco.
La conclusione a cui si è giunti consente di evidenziare ulteriormente i limiti
dell’ipotesi “no tension”. Infatti, da osservazioni sperimentali effettuate su murature
a secco senza contenimento delle basi (cinematismo di figura 2.18), si è visto come il
moltiplicatore a collasso per cinematismi di questo tipo sia basso, ma non nullo, in
quanto interviene l’attrito fra i blocchi.
62
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.8
CAPITOLO 2
Rottura per taglio
Il meccanismo di rottura per taglio prevede la formazione di fessure,
provocate dalle tensioni tangenziali, nate dalle azioni orizzontali, combinate con le
tensioni normali.
Fig. 2.19 – Meccanismo di danno per taglio
Il meccanismo di rottura per taglio è, secondo l’esperienza, quello che
avviene più frequentemente.
E’ possibile distinguere due tipi di rottura per taglio:
a) Rottura per taglio con fessurazione diagonale;
b) Rottura per taglio con scorrimento.
Il comportamento a rottura per taglio con fessurazione diagonale è
caratterizzato dall’innesco di una o più fessure diagonali che avviene, solitamente, al
centro della parete. Tali fessure compiono, per lo più, un percorso che segue i giunti
di malta, orizzontali e verticali; in casi più rari, quando si hanno malte molto
63
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
resistenti e laterizi di scarsa qualità, le fessure possono propagarsi anche attraverso i
mattoni. L’andamento qualitativo delle fessure è riportato in figura 2.20.
Nel meccanismo di rottura per taglio con scorrimento si crea una frattura
orizzontale che interessa gran parte della sezione, in corrispondenza con un letto di
malta. La propagazione della frattura attraverso il piano debole innesca un
cinematismo di scorrimento tra le parte superiore della parete, che mantiene
l’integrità, e quella inferiore. La rottura per scorrimento è rappresentata
schematicamente in figura 2.21.
L’esperienza ha mostrato che il piano di scorrimento si crea facilmente in una
sezione già affetta da fessurazione flessionale: per cui il meccanismo di rottura per
taglio con scorrimento spesso si instaura quando è già in atto un danneggiamento
della parete per presso flessione.
Fig. 2.20 – Rottura per taglio con fessurazione diagonale
64
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
Fig. 2.21 – Rottura per taglio con scorrimento
Indipendentemente dalla distinzione tra fessurazione diagonale e scorrimento,
la formulazione di uno stato limite per un meccanismo di questo tipo, e quindi la
formulazione di un preciso criterio di sicurezza, è difficoltosa. I dati sperimentali
hanno evidenziato la grande fragilità di questo meccanismo: da quando appaiono le
prime fessure (diagonali o di scorrimento), il raggiungimento della resistenza
massima della parete, e del successivo collasso, è estremamente rapido. Una prima
conseguenza di questo fenomeno consiste nel fatto che stato limite d’esercizio e stato
limite ultimo avvengano per azioni orizzontali di intensità paragonabile, per cui, nel
seguito, ci si limiterà a descrivere lo stato limite ultimo. Inoltre la fragilità nel
comportamento è strettamente correlata anche ad altri fattori, quali, ad esempio, la
non corretta costruzione della muratura. Altro elemento sfavorevole consiste nel fatto
che la rottura per taglio sia tipica di elementi tozzi, nei quali l’analisi delle tensioni
risulta comunemente più difficoltosa.
Un ragionevole approccio al problema, dunque, prevede una serie di
semplificazioni che vanno a limitare l’accuratezza dei risultati.
Si esaminano, ora, gli approcci utilizzati da vari ricercatori.
65
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.8.1
CAPITOLO 2
Criterio della resistenza a trazione convenzionale
Questo criterio, dedicato esclusivamente alla muratura non armata, è stato
proposto nei primi anni Settanta, dai ricercatori sloveni Turnsek e Cacovic [Turnsek
e Cacovic, 1971] e riguarda il meccanismo di rottura con fessurazione diagonale.
La formulazione del criterio è quella utilizzata nei metodi POR e derivati.
Secondo questa teoria, la rottura per taglio avverrebbe quando lo sforzo di trazione
principale della muratura eguaglia un valore limite, denominato ftu, assunto come
resistenza a trazione convenzionale della muratura. Questa teoria utilizza, quindi, un
modello di materiale omogeneo equivalente anche relativamente alla resistenza a
trazione. In questo modo è possibile trascurare l’anisotropia del materiale ed
utilizzare un unico parametro di resistenza col notevole vantaggio di rendere i calcoli
molto più semplici e veloci.
Nella formulazione, si suppone di considerare solo la rottura per taglio con
fessurazione diagonale.
Se, inizialmente, si suppone che la parete sia abbastanza snella da poter essere
assimilabile ad un solido di De Saint Venant, il taglio ultimo resistenteè dato da:
Vu =
σ
f tu ⋅ D ⋅ t
⋅ 1+ m
b
f tu
(2.25)
dove:
σm =
N
D ⋅t
(2.26)
e b è un coefficiente che, in questo caso, vale 1,5. Volendo applicare la formula
anche a pareti tozze, o, comunque, non assimilabili ad un solido di De Saint Venant,
è possibile variare il valore di b in funzione del rapporto altezza/larghezza ( H/D )
della parete in esame. Si riportano i valori di b adottati in funzione della snellezza:
-
b = 1,5 per H/D ≥ 1,5;
-
b=1
per H/D ≤ 1,5;
66
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
-
CAPITOLO 2
b = H/D per 1 < b < 1,5.
Questo metodo presenta, oltre al vantaggio della semplicità d’uso, diverse
limitazioni:
− Da prove di taglio effettuate su pannelli in muratura semplice, si è
osservato che il metodo fornisce un’adeguata resistenza a taglio della
parete, ma solo nel caso in cui le sezioni estreme del pannello siano
vincolate entrambe con incastro rotazionale;
− Dubbi sulla sua validità si presentano anche al variare del rapporto di
forma delle pareti: la semplice variazione del valore numerico del
coefficiente
b
può
non
essere
sufficiente
a
rappresentare
adeguatamente le diverse geometrie;
− Inoltre, questo metodo, nel trascurare a priori l’anisotropia del
materiale, considerando una convenzionale resistenza a trazione
globale, ammette un’ipotesi molto forte, soprattutto quando la qualità
scadente della malta evidenzia ancora di più il carattere anisotropo
della muratura;
− Come ultimo, la teoria considera esclusivamente un tipo di rottura a
taglio con fessurazione diagonale del pannello e non prevede affatto la
possibilità di una rottura per scorrimento, fenomeno che, invece, è
stato riscontrato nelle prove di laboratorio.
Per ovviare a questi limiti, si sono formulate altre teorie quale il criterio di MohrCoulomb.
2.8.2
Criterio di Mohr-Coulomb
Nel criterio di Mohr-Coulomb la resistenza a taglio della muratura è
formulata come segue:
67
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
τ = c + μσ
(2.27)
dove c ed μ sono, rispettivamente coesione e coefficiente d’attrito della muratura. Per
quanto riguarda τ e σ, tensione tangenziale e normale, possono assumere significati
diversi a seconda di come viene utilizzato il criterio.
Sia l’Eurocodice 6, sia il D.M. 20/11/87, applicano questo criterio esprimendo la
resistenza a taglio della muratura VRk come:
VRk = f vk ⋅ t ⋅ Dc
(2.28)
dove:
fvk: resistenza a taglio unitaria;
t: spessore;
Dc: larghezza della parte di sezione compressa.
Infatti, viene considerata sezione reagente solo la parte di sezione compressa, in
quanto il materiale muratura viene assunto con resistenza a trazione nulla.
Per la definizione della resistenza a taglio unitaria, fvk, le normative forniscono
l’espressione:
fvk = fvk0 + 0,4 σd con fvk ≤ fvk,lim
(2.29)
dove:
σd: sforzo medio di compressione sull’area reagente;
fvk,lim: valore limite superiore che dipende dal tipo di laterizi e di malta.
Questo criterio di resistenza è caratterizzato da una notevole semplicità, in
quanto considera grandezze macroscopiche e supera i limiti del criterio precedente,
soprattutto per quel che riguarda l’adattabilità alle varie forme ed alle varie
condizioni di vincolo. Presenta, invece, il limite di non essere riconducibile ad una
68
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
CAPITOLO 2
fessurazione diagonale, pertanto è maggiormente idoneo nel caso di una rottura per
taglio con scorrimento.
Un ulteriore osservazione in merito alla resistenza al taglio, riguarda il ruolo
dello sforzo assiale. Nel caso di una singola parete in muratura, quali quelle viste
sino a qui, tutte le prove sperimentali eseguite e tutti gli studi effettuati
sull’argomento ci conducono alla conclusione che la presenza di sforzo assiale
normale di compressione aumenta la resistenza al taglio, per ogni meccanismo di
rottura considerato.
Nel caso di rottura per pressoflessione, infatti, aumentando il valore dello
sforzo assiale, il momento N⋅ e si oppone maggiormente al momento ribaltante V⋅H,
con un generale effetto stabilizzante, in accordo anche con l’espressione 2.18.
Fig. 2.22 – Influenza della tensione verticale di compressione sulla resistenza a taglio della muratura.
Come si vedrà nel seguito, altri ricercatori, partendo sempre da un criterio di MohrCoulomb, sono arrivati a proporre formulazioni che superassero anche quest’ultimo
limite e che consentissero di trattare entrambi i casi di rottura per taglio.
69
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.8.3
CAPITOLO 2
Diagramma d’interazione
Per una singola parete a mensola e per un dato valore di compressione assiale
σ 0 , i valori minimi della tensione tangenziale ultima τ u possono essere dedotti dalle
precedenti espressioni critiche. I punti rappresentativi critici determinano il
diagramma di interazione del pannello murario in esame ( figura 2.23).
Fig. 2. 23 - Diagrammi di interazione per un pannello di muratura non armata,
calcolato sulla base di una prova sperimentale.
E’ interessante notare che il settore del diagramma d’interazione meggiormente
impiegato è quello per valori
σ0
ft
< 0,20 .
70
CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLA MURATURA
2.9
CAPITOLO 2
Azione tagliante ciclica su muratura non armata
La ricerca in questo settore è notevolmente scarsa. Occorre, innanzitutto, la
conoscenza delle modalità di cedimento delle murature ed in secondo luogo la
conoscenza di alcuni parametri base (rigidezza, resistenza, duttilità, smorzamento),
fondamentali per la valutazione analitica del loro comportamento in presenza di forze
cicliche.
Tanto la risposta sismica quanto la rigidezza, si riducono all’aumentare del
numero di cicli di carico. (Fig 2.24.).
Fig. 2.24 Diagramma relativo a murature non armate soggette a carichi ciclici, con carico costante di
compressione ( Castellani, 1980 ).
Quando più elementi di una costruzione in muratura subiscono una diminuzione
evidente della loro rigidezza, cresce il periodo proprio della costruzione, e
conseguentemente varia il carico sismico che impegna la struttura. In relazione alle
caratteristiche del sisma e ai problemi dell’interazione suolo-struttura questa
variazione può influire positivamente o negativamente sulla risposta sismica futura
dell’edificio.
71
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
CAPITOLO 3
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
3.1
Introduzione
La progettazione di strutture in zona sismica, a parità di criteri progettuali e
metodi di verifica, assume per una stessa costruzione, una forte differenziazione a
seconda del sito dove viene edificata. Appare evidente infatti che la progettazione sia
influenzata in maniera determinante dalla probabilità che ha il sito, in un determinato
periodo di tempo, di essere soggetto ad eventi sismici di magnitudo assegnata. Per
poter eseguire una corretta progettazione strutturale è allora necessario conoscere
questo livello di pericolosità sismica della zona dove si andrà ad edificare la
struttura. Operativamente le informazioni che quantificano le probabilità che i
terremoti di una certa magnitudo, con specifico periodo di ritorno, colpiscano le
varie zone di un territorio, costituiscono la classificazione sismica di quel territorio.
Per classificazione sismica si intende appunto una suddivisione del territorio
nazionale in zone alle quali vengono attribuiti valori differenziati del grado di
sismicità, atti a definire il livello di rischio sismico per le costruzioni che in esse sono
edificate. Per questo motivo la classificazione sismica viene anche chiamata mappa
della pericolosità sismica.
In Italia, la prima normativa che ha realmente e concretamente affrontato il
problema delle costruzioni in zona sismica è stato il Decreto Ministeriale del 16
gennaio 1996, “Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche”, con relative
istruzioni pubblicate nella Circolare Ministeriale del 10/4/97.
In sostituzione a
questo, è stato pubblicata il 20 marzo 2003 l’Ordinanza del Presidente del Consiglio
dei Ministri n.3274, contenente “Primi elementi in materia di criteri generali per la
classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per le
73
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
costruzioni in zona sismica”, il cui contenuto normativo è tuttora in fase di
miglioramento e completamento da parte della comunità scientifica nazionale; scopo
di tali norme, unitamente alle più recenti “Norme tecniche per le costruzioni” (D.M.
14 Settembre 2005) è di assicurare che in caso di evento sismico sia protetta la vita
umana, siano limitati i danni e rimangano funzionanti le strutture essenziali agli
interventi di protezione civile.
Fig. 3.1 – “Performance-based design” [da Ron Hamburger]
3.2
Classificazione sismica
La normativa precedente sulle costruzioni in zona sismica ( D.M. LLPP 16
gennaio 1996 ) suddivideva il territorio nazionale, dal punto di vista sismico, in zone
classificate e in zone non classificate, dando l’impressione (erronea) che esistessero
“zone sismiche” e “zone non sismiche”. Nella realtà questa classificazione non
coglieva l’aspetto fisico del fenomeno perché quando si verifica un terremoto la sua
influenza non è limitata a una zona ben definita. Il sisma infatti è un fenomeno di
propagazione ondosa, che ha una distribuzione sul territorio molto vasta e diffusa.
L’intensità sismica inoltre si riduce progressivamente a partire dalla zona epicentrale
man mano che ci si allontana da essa. L’influenza dell’azione sismica viene rilevata
esclusivamente dalle registrazioni strumentali effettuate dal sistema di reti
74
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
sismografiche diffuse sul territorio nazionale. I sismografi sono in grado di rilevare il
minimo scuotimento del terreno per sisma anche se questo non produce alcun effetto
percepibile da persone, animali o cose. Questo significa, nella sostanza, che anche
nelle zone considerate non sismiche si registra comunque un’accelerazione del
terreno, che può essere identificata e quantificata anche se di magnitudo tale da poter
non avere alcuna ripercussione significativa sugli edifici.
Purtroppo in Italia si sono verificati terremoti che hanno provocato danni
ingenti in termini di perdite di vite umane e di crolli strutturali anche in zone non
dichiarate sismiche. L’aspetto di maggiore rilievo introdotto dall’Ordinanza 3274 è
costituito senza dubbio dai nuovi criteri di classificazione sismica del territorio
nazionale, necessari proprio per coprire questa grave lacuna lasciata irrisolta dalla
normativa precedente. L’Ordinanza suddivide a tal fine l’intero territorio nazionale in
quattro zone di sismicità, individuate in base a valori decrescenti di “accelerazioni
massime” al suolo (Figura 3.2).
Fig 3.2 - Classificazione sismica secondo l’Ordinanza 3274
75
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Per queste zone le norme indicano quattro valori di accelerazioni orizzontali (ag/g) di
ancoraggio dello spettro di risposta elastico. In particolare ciascuna zona è
individuata secondo valori di accelerazione di picco orizzontale del suolo ag, con
probabilità di superamento del 10% in 50 anni, secondo le tabella seguente:
Accelerazione orizzontale con Accelerazione orizzontale di
zona
sismica
probabilità
di
superamento ancoraggio dello spettro di
pari al 10% in 50 anni [ag/g]
risposta elastico [ag/g]
1
> 0,25
0,35
2
0,15 – 0,25
0,25
3
0,05 – 0,15
0,15
4
< 0,05
0,05
Tabella 3.1 Classificazione in zone sismiche in funzione dell’accelerazione ag
L’assegnazione di un territorio ad una delle quattro zone suddette avviene mediante
le valutazioni di ag (con tolleranza 0,025g) rappresentate in termini di curve di livello
con passo 0,025g.
3.3
Criteri generali di progetto
La vigente normativa per le zone sismiche stabilisce i criteri di progetto ed i
requisiti geometrici che devono avere tutti i nuovi edifici di muratura ordinaria da
costruire in zona sismica. L’Ordinanza 3274 stabilisce poi che gli edifici in muratura
siano realizzati nel rispetto del D.M. 20 Novembre 1987. In particolare alle predette
norme tecniche deve farsi riferimento per ciò che concerne le caratteristiche fisiche,
meccaniche e geometriche degli elementi resistenti naturali ed artificiali. Ai fini delle
verifiche di sicurezza è obbligatorio l’utilizzo del “metodo semiprobabilistico agli
stati limite”; il coefficiente parziale di sicurezza da utilizzare per il progetto sismico
di strutture in muratura è pari a γ m = 2 .
76
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
3.3.1
CAPITOLO 3
Regolarità in pianta.
I numerosi terremoti occorsi nel passato hanno evidenziato che oltre alla qualità dei
materiali è fondamentale la configurazione strutturale.
Gli edifici con forma regolare e con pareti e solai ben connessi fra loro hanno spesso
superato terremoti di sensibile intensità anche se non erano stati progettati come
sismo-resistenti.
L’ordinanza 3274 indica i seguenti parametri per la definizione di regolarità in
pianta:
-
le piante degli edifici dovranno essere quanto più possibile compatte e
simmetriche rispetto ai due assi ortogonali, in relazione alla distribuzione di
masse e rigidezze.
-
Il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui l’edificio risulta inscritto sia inferiore
a 4.
-
Almeno una dimensione di eventuali rientri o sporgenze non superi il 25% della
dimensione totale nella corrispondente direzione.
-
I solai possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano rispetto agli
elementi verticali e sufficientemente resistenti.
-
Area e rigidezza delle murature devono essere approssimativamente uguali nelle
due direzioni.
-
In caso di edificio nuovo di forma complessa è necessario scomporre l’intero
edificio in più moduli regolari.
Fig. 3.3 – Edificio con rientri in pianta secondo le norme.
77
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.4 – Esempi di Configurazioni (a) sfavorevoli e (b) favorevoli in pianta.
3.3.2
Regolarità in altezza.
Un edificio è regolare in altezza se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:
-
Tutti i sistemi resistenti verticali dell’edificio si estendono per tutta l’altezza
dell’edificio.
-
Massa e rigidezza rimangono costanti o variano gradualmente, senza bruschi
cambiamenti, dalla base alla cima dell’edificio.
-
Eventuali restringimenti della sezione orizzontale dell’edificio avvengono in
modo graduale da un piano al successivo, rispettando i seguenti limiti: ad
ogni piano il rientro non supera il 30% della dimensione corrispondente al
primo piano, né il 20% della dimensione corrispondente al piano
immediatamente sottostante.
-
Le aperture sono verticalmente allineate ( in caso contrario la resistenza
effettiva spetta solo alle zone di muratura continue dalla fondazione al piano
di verifica );
-
solai e coperture non sono spingenti sulle murature, o le spinte sono assorbite
da opportuni elementi strutturali;
78
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.5 – Edificio con rientri in altezza secondo le norme.
Devono essere pertanto evitate Strutture come quelle mostrate in figura sotto ovvero:
-
strutture miste con piani o parti di piano realizzate con tipologia strutturale e
materiali diversi.
-
Strutture con forti rastremazioni ai piano inferiori.
Fig. 3.6 – Configurazioni sfavorevoli e favorevoli in altezza (Penelis e Kappos, 1997).
79
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
3.3.3 Edificio semplice.
Si definisce “edificio semplice” una struttura che rispetti, oltre alle caratteristiche di
regolarità in pianta e in altezza anche le seguenti proprietà:
-
In ognuna delle due direzioni principali siano previste almeno due pareti di
lunghezza, al netto delle aperture, non inferiore al 30% della larghezza
dell’edificio nella medesima direzione.
-
La distanza tra queste due pareti non sia inferiore al 75% della larghezza
dell’edificio nella direzione ortogonale.
-
Almeno il 75% dei carichi verticali sia portato da pareti che facciano parte del
sistema resistente alle azioni orizzontali.
Fig. 3.7 – Requisiti di semplicità per un edificio.
Si devono inoltre aggiungere le seguenti condizioni:
-
Nessuna altezza di interpiano sia superiore a 3,5m
-
Il rapporto tra l’area della sezione resistente delle pareti e superficie del piano
terreno non sia inferiore ai valori indicati nella tabella, per ciascuna delle due
direzioni ortogonali.
-
Il numero di piani non è superiore a 3 per muratura ordinaria e a 4 per muratura
armata.
80
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Nella nuova Normativa vengono anche imposte limitazioni dell’altezza degli
edifici in muratura Hmax in funzione della zona sismica a cui appartengono secondo
quanto indicato in tabella:
ZONA SISMICA
1
2
3
4
Muratura normale
Hmax = 7,5 m
11 m
16 m
Nessun limite
Muratura armata
Hmax = 13 m
19 m
25 m
Nessun limite
Tabella 3.2 - Limitazioni dell’altezza degli edifici in funzione della zona sismica.
3.4
Medodi di analisi per le costruzioni in muratura
In generale, le normative riguardanti le costruzioni in muratura affrontano la
verifica sismica controllando, come primo passo, che non si giunga a rottura per
ribaltamento fuori dal piano delle pareti soggette a carichi orizzontali ortogonali al
loro piano medio; in seguito si passa alla valutazione del comportamento d’insieme
della struttura, effettuando una verifica globale della scatola muraria e tale verifica
può essere eseguita tramite diversi tipi di analisi.
La normativa redatta nel 2003 contempla, per la verifica e la progettazione di
un edificio in zona sismica quattro tipi di analisi:
a) Analisi Statica Lineare
b) Analisi Dinamica Modale
c) Analisi Statica Non Lineare
d) Analisi Dinamica Non Lineare.
L’Ordinanza fornisce anche un elenco dettagliato delle condizioni per cui
poter utilizzare un’analisi piuttosto che un’altra.
81
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Il procedimento, per una progettazione o per una verifica, consisterà, dunque,
nella scelta dell’analisi da effettuare nel rispetto delle condizioni dettate dalle norme
e, di seguito, nella definizione del modello di calcolo più adeguato al tipo di analisi.
Nel caso particolare delle costruzioni in muratura, la scelta dell’analisi con
cui condurre la verifica o la progettazione in zona sismica è condizionata anche dalla
maggiore complessità di comportamento che questa tecnica costruttiva presenta,
rispetto, ad esempio, al cemento armato o all’acciaio.
L’analisi statica lineare e l’analisi dinamica modale si fondano sull’ipotesi
che gli elementi della struttura presentino un comportamento lineare con l’aumento
della sollecitazione, operando, così, in campo elastico lineare. Come è stato più volte
asserito nei precedenti capitoli e continuamente confermato da ogni prova
sperimentale, questa è un’ipotesi molto approssimativa per la muratura.
Tuttavia, anche la normativa più recente, identificata con l’Ordinanza 3274
sopra citata, dichiara che è possibile effettuare un’analisi statica lineare (o delle
forze statiche equivalenti) purché l’edificio possegga determinate caratteristiche di
regolarità geometrica molto restrittive (“edificio semplice”). In generale, però, con
forze sismiche di intensità pari al valore suggerito dalle suddette norme, è stato
appurato che, per gli edifici nuovi, il rispetto dei risultati di un’analisi statica lineare,
porterebbe ad un dimensionamento sovrabbondante degli elementi; mentre nel caso
di adeguamento sismico di edifici esistenti, gli elementi della struttura, soggetta alle
forze sismiche da normativa, si allontanano troppo velocemente dal campo elastico.
Pertanto, da queste osservazioni effettuate dalla comunità scientifica, si
deduce come, nel rispetto della normativa del 2003, l’analisi statica lineare non
risulti, in generale, la più adeguata per le costruzioni in muratura in zona sismica.
L’analisi dinamica modale prevede anch’essa l’ipotesi di comportamento
elastico lineare. Nei casi in cui l’ipotesi è facilmente accettabile, questo tipo di
analisi costituisce un prezioso strumento in quanto affidabile e relativamente
semplice. Secondo L’Ordinanza 3274 si deve considerare un numero di modi tale da
garantire che la somma delle masse modali efficaci sia almeno pari all’85% della
82
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
massa totale e che siano inclusi tutti i modi con massa efficace non inferiore al 5%
della massa totale.
Per le costruzioni in muratura, i risultati migliori in termini di accuratezza si
otterrebbero con l’analisi dinamica non lineare, sebbene questo approccio preveda
molti oneri a livello computazionale. L’analisi dinamica non lineare richiede, in
particolare, una modellazione ad elementi finiti complessa. La laboriosità dei calcoli
che ne conseguono rende tale approccio difficilmente utilizzabile dai progettisti.
In definitiva, è l’analisi statica non lineare a presentarsi come il miglior metodo di
calcolo per gli edifici in muratura in zona sismica.
3.4.1
Analisi Statica Non Lineare
L’analisi statica non lineare, denominata anche “pushover analysis”, riveste
per diversi motivi una notevole importanza nell’ambito dello studio della risposta
sismica delle strutture. In primo luogo, si può banalmente osservare che la capacità di
modellare in modo soddisfacente la risposta ad azioni sismiche monotone è un
presupposto fondamentale per aspirare alla risposta ciclica o dinamica. Ma al di là di
queste considerazioni, si osserva come l’analisi non lineare statica equivalente al
sisma sia riconosciuta da diversi anni ormai come un efficace strumento di
previsione approssimata della risposta sismica delle strutture, qualora siano verificate
alcune ipotesi.
L’analisi non lineare statica è presente da molti anni nelle normative italiane.
E’ stata introdotta per la prima volta nelle normative tecniche del 1978 nella verifica
delle costruzioni in muratura con il metodo POR, ideato da Tomazevic negli anni
Settanta; le normative del 1996 ripresero il metodo in maniera più approfondita e
accurata.
Anche nelle normative più recenti, sia in ambito nazionale che europeo, è
previsto l’utilizzo di questa analisi e l’esposizione dei diversi metodi è sicuramente
più comprensibile ed accurata rispetto alle normative precedenti.
83
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Inoltre, molte normative non si limitano ad affrontare il problema della sicurezza a
collasso, bensì mirano alla valutazione degli stati limiti di danno e dei diversi livelli
prestazionali; in questo campo, ad esempio, operano le linee guida FEMA 273 e
ATC 40, redatte in ambito nazionale in seguito alla normativa del 1996.
L’analisi “pushover”, dunque, si rivela la più adeguata per le costruzioni in
muratura: tra le possibili analisi effettuabili, essa si dimostra come quella che
soddisfa maggiormente le esigenze di accuratezza dei risultati e semplicità d’utilizzo.
In quest’ottica, risulta evidente come sia necessario rendere l’analisi
“pushover” il più possibile utilizzabile nelle applicazioni pratiche di verifica e
progetto di strutture murarie e, pertanto, assume una primaria importanza la
definizione di modelli sufficientemente affidabili per questo tipo di analisi.
Secondo l’ordinanza 3274 l’analisi statica non lineare consiste nell’applicare
all’edificio i carichi gravitazionali ed un sistema di forze orizzontali che, mantenendo
invariati i rapporti relativi fra le forze stesse, vengano tutte scalate in modo da far
crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un punto di controllo sulla
struttura (generalmente un punto in sommità dell’edificio), fino al raggiungimento
delle condizioni ultime.
Sempre da normativa devono essere applicati all’edificio due distinte
distribuzioni di forze orizzontali, applicate ai baricentri delle masse a ciascun piano:
-
Una distribuzione di forze proporzionali alle masse.
-
Una distribuzione di forze proporzionali al prodotto delle masse per la
deformata corrispondente al primo modo di vibrazione.
84
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.8 – Diverse distribuzioni di forza per analisi pushover.
Tutti i passi successivi devono essere eseguiti per entrambe le distribuzioni di forze
eseguendo le verifiche di duttilità e di resistenza di ciascun elemento per la
distribuzione più svaforevole.
Il risultato consisterà in un diagramma riportante in ascissa lo spostamento
orizzontale del nodo di controllo della struttura e in ordinata la forza orizzontale
totale applicata (Curva di Capacità).
Fig. 3.9 – Curva di capacità e stati limite.
85
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
La capacità di spostamento relativa agli stati limite di danno e ultimi verrà valutata
sulla curva globale così definita, in corrispondenza dei punti seguenti.
-
Stato limite di danno :
dello spostamento minore tra quello corrispondente al
raggiungimento della massima forza e quello per il quale il primo maschio
murario raggiunge lo spostamento ultimo.
-
Stato limite ultimo:
dello spostamento corrispondente ad una riduzione
della forza pari al 20% del massimo, per effetto della progressiva eliminazione
dei contributi dei maschi murari che raggiungono lo spostamento ultimo.
3.5
La modellazione strutturale
Gli edifici in muratura differiscono, per la propria morfologia dagli edifici a
telaio (tipici delle strutture in c.a. o in acciaio), sia per una diversa distribuzione delle
masse sia per le diverse caratteristiche geometriche e di rigidezza degli elementi che
li contraddistinguono.
La modellazione strutturale delle costruzioni in muratura può essere
affrontata secondo approcci molto differenti tra loro in funzione delle finalità delle
analisi. In letteratura, infatti, si possono trovare esempi di modellazioni molto
sofisticate sia per il dettaglio geometrico che per il legame costitutivo non lineare
adottato. Tali esempi sono di solito sviluppati per riprodurre elementi di ridotte
dimensioni e con finalità di ricerca scientifica.
Gli obiettivi fondamentali della moderna progettazione strutturale in zona
sismica sono finalizzati a:
-
sopportare i terremoti di minore intensità senza danni,
-
sopportare i terremoti di moderata intensità senza danno significativo alle
strutture, ma con danno agli elementi non strutturali.
-
sopportare i terremoti di maggiore intensità senza crolli e salvando le vite
umane,
86
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
-
CAPITOLO 3
mantenere alcune strutture essenziali per la sicurezza pubblica e i soccorsi,
operative durante e dopo il terremoto.
Le costruzioni che sono soggette ad un evento sismico presentano un
comportamento dinamico estremamente complesso, anche se si considera l’ipotesi di
un comportamento elastico lineare; per altro, suddetta ipotesi risulta molto
approssimativa per certi tipi di tecniche costruttive, tra cui la muratura. Sono
presenti, pertanto, un grande numero di variabili che influenzano tale fenomeno e
questo rende l’approccio progettuale estremamente difficoltoso. E’ necessario,
dunque, l’utilizzo di schemi di calcolo che forniscono una simulazione del sistema
“azione sismica - struttura”; le prerogative di questi schemi di calcolo devono essere:
-
affidabilità in termini di analisi strutturale;
-
semplicità in termini di implementazione.
Con tali caratteristiche, il modello di calcolo della struttura costituisce la base
ottimale sia per la progettazione che per la verifica.
Il fine concreto della modellazione strutturale è la simulazione, in modo
realistico, del comportamento della struttura per quanto riguarda:
-
sollecitazione data dall’azione sismica: sforzo normale, taglio e
momento flettente;
-
tensioni normali e tangenziali provocate nella struttura;
-
parametri di deformazione conseguente nella struttura.
La modellazione richiede un’approfondita analisi di tutte le variabili che
agiscono sul sistema, in modo da individuare quelle realmente influenti e quelle
trascurabili; si mettono in evidenza, così, i fattori principali che caratterizzano il
fenomeno dinamico nella sua globalità e da questi si crea il modello.
87
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
La modellazione è suddivisibile in tre fasi:
−
modellazione dell’azione sismica;
−
modellazione dei materiali strutturali;
−
modellazione della struttura.
La modellazione della struttura, a sua volta, può essere distinta in:
−
modellazione fisica;
−
modellazione numerica.
Nella modellazione fisica si individuano le variabili e le caratteristiche della struttura
significativamente influenti sul suo comportamento dinamico. Una modellazione
fisica particolarmente complessa può risultare inutile: non è detto, infatti, che
ulteriori sofisticazioni, rispetto ad un modello più semplice, portino dei contributi
significativi ai risultati.
La modellazione numerica è la fase in cui viene definita la procedura per riprodurre
il comportamento di ogni elemento strutturale; molto spesso viene utilizzata una
procedura basata su codici di calcolo ad elementi finiti.
Pertanto, il modello di calcolo è il risultato di ciò che lo strutturista ha deciso
di considerare come essenziale per comprendere e simulare il comportamento
globale. La sua abilità consta, dunque, nell’individuare il modello più adeguato e
scegliere il livello di sofisticazione in funzione delle necessità.
3.6
Strategie di modellazione : lo stato dell'arte
Il nostro Paese è stato ed è tuttora sede di numerosi e qualificati studi
nell’ambito della modellazione delle strutture murarie, in particolare in ambito
sismico. Negli ultimi venti anni sono stati proposti numerosi modelli per il calcolo
88
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
della risposta sismica di pareti murarie e di edifici, a diversi livelli di dettaglio e con
diversi presupposti teorici. La diversità dei presupposti teorici è spesso conseguenza
della grande varietà degli oggetti che vengono studiati: quando si parla di murature si
intendono forme costruttive che possono differire considerevolmente per materiali,
tessitura concezione d’insieme del sistema strutturale e dettagli costruttivi.
Tutte queste variabili costituiscono altrettante basi teoriche su cui costruire il
modello di calcolo: si deduce quanto possano essere differenti le varie modellazioni
per le strutture murarie e come i loro risultati possano essere divergenti. Per quanto
non sia, dunque, possibile individuare un modello di calcolo assoluto e valido in
generale, è decisamente importante definire alcuni elementi che possano essere
comuni a tutti i modelli; questo alla scopo di poter confrontare le diverse
modellazioni ed evitare gli errori più grossolani nei risultati. Nei prossimi paragrafi,
pertanto, verranno brevemente trattate diverse modellazioni possibili per la muratura,
individuandone i punti comuni.
Per garantire la condizione di semplicità d’uso, indispensabile nelle
applicazioni applicative che trattano la muratura, si farà riferimento alla
macromodellazione: si tratterà di definire modelli di calcolo basati sul
comportamento di macroelementi semplici e, da questi, valutare la risposta globale
della struttura. Da questo deriva la definizione di questi metodi come semplificati,
nonostante le procedure di calcolo, a volte, non siano altrettanto semplici.
Nell’ambito della macromodellazione, si utilizzano anche metodi basati
sull’analisi limite, ripresi anche dalla normativa del 1996. Tali metodi individuano il
meccanismo di collasso (di primo o secondo modo) ed effettuano il calcolo del carico
corrispondente. Oltre all’incertezza insita nella definizione a priori del meccanismo
di collasso, un grosso limite di questi metodi consiste nel trascurare l’analisi della
deformabilità, sia in fase elastica che post-elastica, in quanto, sostanzialmente, si
tratta di studiare equilibri e cinematismi di corpi rigidi.
89
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
In alternativa a questo approccio di calcolo si trova una ampia casistica di
modelli che considerano deformazioni in campo elastico, eventualmente seguite da
deformazioni anelastiche. Nell’ambito di questa più ampia famiglia di modelli, si
possono successivamente individuare modelli che mantengono una modellazione
bidimensionale
dei
pannelli
murari, in alternativa ad una modellazione
monodimensionale, in cui si ipotizza di isolare degli elementi murari (maschi, fasce)
idealizzabili come travi tozze con comportamento non lineare oppure come bielle
(puntoni). Tali metodi verranno trattati in dettaglio nei prossimi paragrafi.
3.7 Analisi limite dell'equilibrio elastico.
Una panoramica sulle metodologie di modellazione ed analisi della risposta
sismica delle costruzioni in muratura inizia necessariamente dai modelli più semplici
forniti dalla scienza delle costruzioni: i meccanismi di collasso, di primo e secondo
modo, possono essere studiati col metodo dell'analisi limite dell'equilibrio, che
contempla solo l'esame della situazione di collasso e del suo cinematismo
corrispondente.
Grazie all'ipotesi di non resistenza a trazione ed in genere all'approssimazione
di infinita resistenza a compressione è possibile ricondurre la parete in muratura ad
una catena cinematica di corpi rigidi in cui la configurazione del sistema è funzione
di un'unica randezza lagrangiana, lo spostamento di un punto. Ipotizzati il
cinematismo, dunque, il sistema si traduce in un sistema ad un grado di libertà
equivalente in cui un moltiplicatore orizzontale statico dei carichi è calcolato in
corrispondenza della soglia di attivazione del meccanismo. Tale moltiplicatore
rappresenterebbe, sotto l'ipotesi di comportamento perfettamente rigido sino
all'attivazione, il valore in unità di g dell'accelerazione orizzontale di collasso
associata a quel meccanismo.
90
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig.3.10 Cinematismi di collasso del maschio murario (Como e Grimaldi, 1986).
Ad esempio supponendo per la muratura una resistenza a compressione di valore
infinito si ottiene il cinematismo a collasso di figura 3.10a , mentre assumendo un
valore finito per la resistenza a compressione della muratural'analisi limite prevede
un cinematismo mostrato in figura 3.10b.
In realtà, l’analisi limite così condotta si fonda sull’ipotesi di comportamento
monolatero (non resistente a trazione) del materiale. Nel caso in cui si assuma un
valore infinito per la resistenza a compressione della muratura, i cinematismi di
figura 3.10 a e b sono ottenibili solo con l’ipotesi di confinamento laterale alle basi
superiore ed inferiore: senza tale accorgimento, difatti, si avrebbero cinematismi
associati a disarticolamenti della muratura.
Applicando integralmente la teoria del comportamento “no tension”, se non ci fosse
alcuna azione di contenimento per le basi, a questi cinematismi sarebbe associato un
moltiplicatore a collasso di valore nullo: essendo nulla la resistenza a trazione della
muratura il processo di disarticolazione del materiale sotto quel tipo di carico
avverrebbe immediatamente.
Nei meccanismi di
I modo (Giuffrè, 1993) questo metodo porta a valutazioni
accettabili della vulnerabilità (in particolare in relativo nella valutazione
dell'efficacia di interventi di miglioramento sismico). Per i meccanismi di II modo il
metodo si dimostra inece eccessivamente cautelativo, riuscendo a cogliere solamente
91
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
un limite inferiore di resistenza residua per la parete associata ai meccanismi di
ribalatamento.
Questo metodo si limita al calcolo del carico di collasso e del relativo meccanismo
associato, non si studia la deformabilità della struttura in fase elastica e post-elastica,
in quanto ci si riconduce in sostanza ad uno studio di equilibri e cinematismi di corpi
rigidi.
Applicazioni di questo metodo a cinematismi complessi si sono tuttavia
dimostrate utili per valutazioni della vulnerabilità edel miglioramento sismico
conseguito a seguito di interventi di consolidamento. Per particolari classi di edifici,
quali l'edilizia ecclesiastica e monumentale, per cui è effettivamente atteso un
comportamento per parti, l'applicazione di questa metodologia ad ampie porzioni
della costruzione assume una valenza rigorosa come guida al progetto di restauro
statico.
Fig. 3.11 – Ribaltamento di muratura a secco.
La conclusione a cui si è giunti consente di evidenziare ulteriormente i limiti
dell’ipotesi “no tension”. Infatti, da osservazioni sperimentali effettuate su murature
a secco senza contenimento delle basi (cinematismo di figura 3.11), si è visto come il
moltiplicatore a collasso per cinematismi di questo tipo sia basso, ma non nullo, in
quanto interviene l’attrito fra i blocchi.
92
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
3.8
CAPITOLO 3
Modellazione bidimensionale
Appartengono a questa categoria i modelli di calcolo ricavati da una
modellazione fisica in cui ogni pannello murario è rappresentato da un elemento
bidimensionale. Il concetto fondamentale alla base della fase di modellazione
numerica è l’ipotesi di comportamento monolatero: si assume, cioè, che il
materiale abbia resistenza a trazione nulla. Il comportamento monolatero (detto
anche condizione “no tension”) può essere globale oppure limitato a una giacitura in
particolare, più comunemente tale giacitura coincide con i letti di malta.
Il problema di implementare la condizione “no tension” nella modellazione numerica
può essere affrontato con due possibili tecniche proposte da diversi ricercatori:
a) Modello con elementi a geometria variabile [D’Asdia e Viskovic,
1994]: si basa sull’eliminazione delle zone di trazione
modificando la geometria dell’elemento (figure 3.12 e 3.13);
b) Modello con campo di sforzi “no tension” [Braga e Liberatore,
1990] in cui gli autori hanno formulato un opportuno campo di
sforzi all’interno del pannello.
In entrambi i modelli si prevede, per le zone reagenti cioè quelle compresse,
una relazione costitutiva del tipo elastico lineare; la verifica viene effettuata
utilizzando criteri di resistenza per le parti reagenti associati diversi meccanismi di
collasso e l’analisi si interrompe appena viene violato uno dei criteri. Si ricorda che,
come sottolineato in precedenza, l’ipotesi di comportamento monolatero non cautela
automaticamente dalla rottura per taglio, per cui, anche per questo tipo di
meccanismo di collasso è necessaria la verifica delle tensioni.
93
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.12 - Suddivisione dei pannelli nelle zone diversamente sollecitate
Fig. 3.13 - Individuazione ed “eliminazione” delle zone tese all’interno del pannello.
3.8.1 Modellazione di dettaglio ad elementi finiti
Nell’edilizia civile, le strutture presentano caratteristiche per cui, in molti
casi, è necessaria la modellazione in tre dimensioni. La procedura più adeguata per
simulare il comportamento reale tridimensionale è costituita dal Metodo agli
Elementi Finiti (FEM). Grazie a questo metodo è stato possibile studiare
comportamenti, manifestatesi in terremoti passati, associati a irregolarità delle
costruzioni e alle disomogeneità dei loro parametri di resistenza.
94
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.14 – Metodo FEM, caso studio: Torre della Garisenda, Bologna.
Per l'analisi ad elementi finiti di pareti è anche possibile ricorrere a
modellazioni di dettaglio con legami costitutivi non lineari per il materiale muratura:
questi ed altri legami costitutivi sono disponibili per la modellazione continua del
materiale muratura, ma questa strada appare destinata a restare un percorso di
ricerca, che presenta oneri enormi nel passaggio dall'analisi statica di pareti all'analisi
dinamica tridimensionale di interi edifici.
Questa tecnica sicuramente offre risultati affidabili e più ricchi di
informazioni ( talvolta, proprio per questo, meno leggibili) ma, per complessità ed
oneri, non sembrano destinate a divenire strumento di concreto utilizzo, al di fuori
del campo della ricerca, se non per analisi di manufatti di particolare pregio
(monumenti), il cui valore ne giustifichi l'impiego.
95
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.15 – Metodo FEM, caso studio: Chiesa della S.S Annunziata, Palazzolo Acreide.
3.9
Modellazione monodimensionale
La modellazione monodimensionale suddivide gli elementi che compongono
le pareti murarie in maschi se si tratta di elementi verticali e fasce se orizzontali. Tali
elementi vengono considerati isolati l’uno dall’altro e schematizzati come aste.
Si possono evidenziare diversi tipi di modellazione monodimensionale, proposto da
vari autori:
a) Elementi come bielle [Calderoni et al., 1987];
b) Elementi come travi deformabili a taglio, a rigidezza variabile [Braga
e Dolce, 1982];
c) Elementi come travi deformabili a taglio, a rigidezza costante.
3.9.1
Modelli a puntone equivalente
In letteratura si trova una ampia casistica di modelli che considerano
deformazioni in campo elastico, eventualmente seguite da deformazioni anelastiche.
96
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Nella modellazione a biella, si raffigura la parte reagente del pannello murario con
un elemento tipo biella, o puntone nel caso in cui si abbia sola compressione, la cui
l’inclinazione e rigidezza rappresentino mediamente il comportamento del pannello
stesso (figure 3.16 e 3.17). Essendo il pannello soggetto a parzializzazioni crescenti,
sia l’inclinazione che la rigidezza della biella risultano entità variabili. La situazione
di collasso si ha quando viene raggiunta una configurazione limite di equilibrio
oppure, nel caso di sola compressione, si ha lo schiacciamento del puntone.
Fig. 3.16 - Individuazione di un elemento puntone all’interno di pannello parzializzato.
Fig. 3.17 – Parete muraria modellata con elementi bielle equivalenti.
Nella modellazione a travi deformabili a taglio con rigidezza variabile, il
calcolo e le verifiche vengono fatti su sezioni parzializzate, grazie alle quali si tiene
conto della non linearità del comportamento del pannello murario.
97
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Ben più diffusa è la modellazione a travi deformabili a taglio con rigidezza
costante, in cui si evidenziano una fase elastica caratterizzata da una rigidezza
costante ed una fase di deformazione post-elastica. In questo caso la non linearità è
rappresentata dal raggiungimento di una condizione limite di resistenza.
A questa categoria appartiene la maggior parte dei metodi basati sul concetto
di meccanismo di piano: tali metodi partono dal presupposto che, per un edificio, il
meccanismo di collasso più probabile sia quello di rottura per taglio dei maschi di un
certo piano, detto piano critico (un esempio in figura 3.18); pertanto, si esegue
un’analisi non lineare taglio-spostamento separatamente per ogni piano individuando
quello più debole. Questa teoria ha il grande pregio di rendere minimo l’onere
computazionale dei metodi di calcolo.
In questa classe rientra anche il metodo POR.
Fig. 3.18 – Esempio di meccanismo di piano: i maschi del piano terra collassano con rottura a taglio e il
primo piano diventa piano critico.
3.9.2
Il metodo POR
Il metodo già dalla fine degli anni Settanta è stato considerato dalle normative
italiane come possibile approccio allo studio delle costruzioni in muratura in zona
sismica. Appare per la prima volta nelle Normative Tecniche del 1978, quando era
stato appena ideato dal ricercatore sloveno Tomazevic e rappresenta un punto di
svolta: si tratta, infatti, del primo metodo dedicato alle interamente alle murature e la
sua implementazione, chiara e precisa, risulta di facile applicabilità anche in campo
98
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
pratico, il che gli ha conferito la popolarità di cui tuttora gode tra i progettisti del
settore.
Il metodo POR, tuttavia, dalla data della sua ideazione, è stato oggetto di
continue migliorie, sia da parte dell’autore stesso che di altri ricercatori. Le
modifiche effettuate riguardano principalmente il meccanismo di collasso
considerato per i maschi murari: il limite di considerare solo la rottura per taglio con
fessurazione diagonale è stato superato introducendo ulteriori ed opportuni criteri di
rottura [Dolce, 1989; Tomazevic e Weiss, 1990]; tuttavia, non è stato possibile
superare il limite di considerare i maschi murari come unica sede possibile per
deformazioni e rotture, in quanto è causato proprio dal concetto di meccanismo di
piano che sta alla base del metodo: eseguendo un’analisi taglio-spostamento piano
per piano, non viene considerato il ruolo delle fasce trascurando le sollecitazioni che
vi si creano e questo è causa di notevoli difetti.
Fig. 3.19 – Modelli a meccanismi di piano.
L’analisi taglio-spostamento interpiano si basa sull’ipotesi di un certo tipo di
vincolamento alle estremità dei maschi, il quale è fornito proprio dagli elementi
fascia e dipende, dunque, dalla loro rigidezza e resistenza; è evidente che,
incrementando le forze orizzontali, le proprietà meccaniche delle fasce possono
subire variazioni, soprattutto se si arriva a fessurazione, e ciò va sicuramente a
99
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
modificare il grado di vincolamento fornito ai maschi murari. Omettendo l’analisi
delle fasce, dunque, si utilizza un errato tipo di vincolamento dei maschi.
Inoltre, trascurando le fasce e le loro sollecitazioni variabili con le forze
orizzontali, non è possibile rendersi conto di come variano le sollecitazioni
all’interno dei maschi, le quali possono influire sulla resistenza e rigidezza dei
maschi stessi.
Per evitare tali problemi, è necessaria un’analisi globale della parete
multipiano, che, tuttavia, entra in contrasto con l’utilizzo incondizionato del concetto
di meccanismo di piano: si deduce, quindi, come i limiti presentati dal metodo POR
non siano superabili, poiché causati proprio dalla teoria su cui si basa il metodo.
In definitiva, l’impossibilità di svolgere un’analisi globale della parete, lo
rende non abbastanza affidabile per diverse categorie di edifici; è evidente, quindi,
che il metodo POR, pur con tutti i vantaggi che esso presenta dal punto di vista della
semplicità di calcolo, debba essere utilizzato tenendo ben conto di tutti i suoi limiti,
in quanto esso potrebbe portare, in alcuni casi, a risultati non cautelativi.
3.10
Metodi semplificati a telaio equivalente.
Nell’ottica di utilizzare un modello di calcolo meno complesso dell’analisi
F.E.M. ma comunque sempre capace di cogliere i fenomeni principali connessi al
degrado delle murature si colloca l’approccio a telaio equivalente: esso costituisce un
notevole affinamento, rispetto ai metodi semplificati descritti in precedenza, ed è
costituito dalla modellazione di pareti attraverso telai costituiti sulla formulazione
non lineare di macroelementi rappresentativi delle caratteristiche dei pannelli in
muratura.
Questa classe di modelli ha in generale come ipotesi fondamentale il
comportamento unilatero del materiale che conferisce quindi una rigidezza variabile
all’elemento, in funzione dello stato di sollecitazione. Per comportamento unilatero
si intende l’ipotesi di resistenza a trazione nulla, che può essere di tipo generalizzato
(non si ammette trazione in qualunque giacitura) oppure limitato a giaciture
100
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
particolari (orientate come i letti di malta). Sotto tale ipotesi la parete viene
opportunamente schematizzata come un telaio piano composto da elementi verticali
detti maschi murari (colonne), orizzontali dette fasce di piano (travi) ed elementi di
congiunzione detti nodi (elementi di connessione schematizzati come rigidi).
Nei riguardi delle azioni orizzontali, la modellazione a telaio equivalente
trascura il contributo resistente delle pareti in direzione ortogonale al proprio piano,
ipotesi largamente accettata data la notevole flessibilità dei maschi murari in questo
piano e la natura locale del meccanismo di collasso. Nella letteratura scientifica è
possibile trovare numerosi studi sull’analisi non lineare delle strutture in muratura,
studi che affrontano il problema con metodi anche molto differenti fra loro.
Tra i modelli a telaio equivalente si distinguono il Metodo SAM sviluppato
presso l’università di Pavia (Magenes e Calvi, 1996; Magenes e Della Fontana, 1998)
e il Modello a macroelementi sviluppato presso l’Università di Genova (Gambarotta
e Lagomarsino, 1996; Brencich e Lagomarsino, 1997) ed altri.
Fig. 3.20 – Modelli semplificati a macroelementi.
Il primo, nato per l’analisi di pareti multipiano caricate nel proprio piano, è
stato successivamente esteso all’analisi di problemi tridimensionali;il secondo
metodo, proposto dai ricercatori dell’Università di Genova, è in grado di modellare il
comportamento ciclico della muratura, come quello che si verifica nella realtà sotto
101
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
l’azione sismica. Il metodo si basa sulla formulazione di appositi elementi
(macroelementi) che riproducono i maschi e le fasce murarie.
Questo tipo di modellazione descrive in maniera soddisfacente il
comportamento dei setti murari nel loro piano utilizzando un più basso numero di
incognite e quindi con un onere computazionale minore rispetto ad altre modellazioni
FEM più sofisticate.
3.10.1
Modello a Macroelementi (Università di Genova).
Il modello a macroelementi di Gambarotta e Lagomarsino , grazie alla sua
capacità di simulare meccanicamente i meccanismi di danno tipici della muratura,
sembra poter essere un valido punto di partenza per lo sviluppo di un modello
sintetico per la modellazione di interi edifici in muratura.
Fig. 3.21 – Vista dell’edificio e modello realizzato con il software Tremuri.
102
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Come già anticipato la modellazione a telaio equivalente si basa sull’ipotesi
che la parete possa essere considerata come un insieme di maschi murari verticali ed
architravi orizzontali; tale semplificazione è giustificata dall’osservazione dei danni
subiti da pareti in muratura dovute ad azioni sismiche: si rileva come solo alcune
parti della parete, fasce di piano e maschi murari, siano soggette a danneggiamento e
rottura, mentre nelle zone di connessione tra fasce e maschi si riscontra l’assenza di
sistematici fenomeni di danno: ciò consente di supporre che lo stato deformativo si
mantenga sempre entro i limiti elastici e, quindi, possa essere considerato
trascurabile nella valutazione complessiva della parete in cui sono determinanti le
deformazioni non lineari delle altre parti.
Su questa base è possibile formulare procedure semplificate di analisi in cui
maschi murari e fasce vengano rappresentate da un unico elemento finito, detto
macroelemento, individuato da un limitato numero di gradi di libertà. L’intera parete
viene modellata mediante l’assemblaggio dei macroelementi connessi mutuamente
da blocchi rigidi; si realizzano così dei modelli che, avendo un numero limitato di
gradi di libertà, consentono di rappresentare la risposta di una parete muraria
soggetta ad azioni statiche (monotone o cicliche)
e dinamiche, con un onere
computazionale modesto. L’affidabilità di questi modelli è ovviamente legata alla
capacità di descrivere i fenomeni di danno che si manifestano nelle murature; il
singolo macroelemento deve, cioè, essere capace di descrivere le fondamentali
modalità di collasso della muratura: ribaltamento e rottura a taglio e deve inoltre
cogliere il livello di degrado presente. Affiancando questi elementi si deve poter
modellare la risposta di una parete intera soggetta ad un’azione statica o dinamica
constatando quali parti collassino prima e secondo quale modalità.
103
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.22 – Modellazione a macroelemento di pareti in muratura.
Una parete deve essere schematizzata distinguendo nodi ed elementi in modo
da formare un telaio; gli elementi possono essere sia fasce sia maschi murari, mentre
i nodi possono essere sia puntuali sia dotati di una propria geometria non deformabile
(le zone indeformabili presenti tra maschi murari e fasce sono modellati mediante
nodi rigidi). Considerati gli assi baricentrici degli elementi, questi potrebbero non
coincidere con il nodo, nei blocchi rigidi si potrà quindi verificare un’eccentricità tra
il nodo del modello e quello dell’elemento deformabile.
Si riporta brevemente la formulazione del macroelemento come presentata da
Gambarotta e Lagomarsino ed altri sulla pubblicazione Progetto Catania: indagine
sulla risposta sismica di due edifici in muratura (a cura di D. Liberatore, vedi
bibliografia).
Il modello di macroelemento (vedi fig. 3.23), rappresentativo di un pannello
murario di larghezza b e spessore s è formulato concentrando la deformabilità
assiale nelle due estremità 1 e 3 di spessore infinitesimo Δ (supposte rigide a taglio) e
localizzando la deformabilità tangenziale nella parte centrale 2 di altezza h che è
assunta indeformabile assialmente e flessionalmente. Le variabili cinematiche sono
costituite dal vettore
r
T
V = {ui , wi ,ϕi , u j , w j ,ϕ j , δ ,φ }
104
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
di sei componenti di spostamento dei nodi nel piano della parete e da due variabili
interne δ e φ che rappresentano rispettivamente la traslazione e la rotazione
dell’elemento centrale 2.
La risposta flessionale e quella tagliante, nonché i relativi meccanismi di danno, sono
disaccoppiati e risultano funzione delle sole componenti di spostamento w e φ di
ciascun nodo, nonché delle due componenti di spostamento interne.
Fig. 3.23 - Schema del macroelemento.
Il modello cinematico completo per il macroelemento deve, quindi, contemplare i tre
gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia 1 e 2 per un totale uguale
a otto.
L’equilibrio del macroelemento viene imposto introducendo componenti di
sollecitazioni corrispondenti; il vettore delle caratteristiche di sollecitazione assume
pertanto forma analoga a quello delle componenti di spostamento (in riferimento a
fig 3.23)
r
T
q = {ni , ti , mi , n j , t j , m j , n, m}
Le equazioni costitutive del macroelemento risultano espresse assumendo:
105
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
•
Una risposta elastica monolatera nelle sezioni di estremità del pannello;
•
Una risposta a taglio degradante della parete.
Nel primo caso si pone:
ni = kA(δ − wi ) + ni*
mi = kAb 2 (ϕi − φ ) + mi*
A = sb
Dove
anelatici
ni* e mi*
sono ottenuti dalla condizione di contatto perfettamente elastico:
2
− ks
⎛
1 ⎞
⎡⎣ ϕi − φ b + 2 (δ − wi ) ⎤⎦ H ⎜ ei − b ⎟
8 ϕi − φ
6 ⎠
⎝
ni* =
mi* =
Dove
corrisponde alla sezione trasversale del pannello. I contributi
ks
⎡(ϕi − φ ) b − (δ − wi ) ⎤⎦
24 (ϕi − φ ) ϕi − φ ⎣
H (•)
è la funzione di Heavyside.
La risposta a taglio del pannello è modellata supponendo che la distribuzione delle
deformazioni a taglio
γ = ( ui − u j ) / h + ϕ
sia uniforme nella porzione centrale del pannello 2e imponendo una relazione tra le
quantità cinematiche
ui , u j ,φ ,
e la sollecitazione di taglio
Ti = −T j .
Il danno
danno dovuto alla fessurazione è normalmente concentrato sulla diagonale, dove lo
scorrimento avviene lungo i giunti ed è rappresentato da una componente di
deformazione anelastica, che si attiva quando viene raggiunta la condizione di attrito
limite di Coulomb. Dalla deformazione a taglio effettiva corrispondente all’elemento
106
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
2 e indicando il modulo di taglio elastico con G, le equazioni costitutive possono
essere espresse somma dei contributi lineari
ti = GA
ti* = −
ti e di un contributo anelastico ti* :
GA
ui − u j + φ h ) + ti*
(
h
GA Gcα ⎛
h
u
u
h
φ
−
+
+
j
⎜ i
h 1 + Gcα ⎝
GA
⎞
f⎟
⎠
La componente anelastica della forza dipende dalla forza di attrito f, che viene
assunta essere sempre in opposizione ai meccanismi di scorrimento e dalla variabile
di danno
α,
crescente all’aumentare della deformazione angolare
γ
e da un
coefficiente dimensionale c che controlla la deformazione anelastica. . Anche in
questo modello l’evoluzione delle variabili interne
f
e
α
è determinata in forma
incrementale in funzione di due condizioni limite per attrito e per evoluzione del
danno:
φs = f − μ n ≤ 0
⎛ f
⎝ f
γ&* = ⎜⎜
⎞
⎟⎟ λ&
⎠
Gli effetti del danneggiamento sulle caratteristiche meccaniche del pannello sono
descritti dalla variabile di danno
α,
che aumenta secondo un criterio di rottura
predefinito:
φd = Y ( s) − R(α ) ≤ 0
dove:
μ
è il coefficiente di attrito
γ&* è l’incremento della deformazione anelastica
λ&
è il moltiplicatore plastico.
1
Y = c(t − f ) 2
2
rappresenta l’energia rilasciata per l’incremento di danno
107
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
R
CAPITOLO 3
è la funzione di tenacità
s = {t , n, m}
T
rappresenta il vettore delle forze interne.
Assumendo R come funzione crescente di
α
fino al valore critico
αc = 1
e
decrescente per valori maggiori, il modello è in grado di rappresentare il degrado di
rigidezza e il deterioramento della resistenza.
Il modello costitutivo completo, per il macroelemento può essere espresso nella
forma seguente:
Q = Ka + Q*
dove
Q* = {ti* , ni* , mi* , t *j , n*j , m*j , n* , m*}
contiene i termini non lineari
valutati per mezzo delle equazioni evolutive, legati alla variabile di danno
α
ed
all’attrito f ; K è la matrice di rigidezza elastica.
I termini non lineari
n* e m*
sono definiti dalla seguente equazione:
n* = n*j − ni*
m* = m*j − mi* + ti*h
Il meccanismo di rottura a taglio del macroelemento deriva dall’integrazione
macroscopica del modello continuo proposto da Gambarotta e Lagomarsino, in cui i
parametri sono direttamente correlati alle proprietà meccaniche degli elementi in
muratura.
Il meccanismo di ribaltamento nel piano del pannello, favorito dall’assenza di
una significativa resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando
un contatto elastico monolatero nelle interfacce 1 e 3, mentre il meccanismo di
rottura a taglio è schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel
modulo centrale 2 (si assume Ti=Tj). Il danneggiamento per fessurazione diagonale,
dove si verificano meccanismi di taglio-trazione, è rappresentabile mediante la
componente anelastica di spostamento
γp
che si attiva quando viene superata una
108
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame Gambarotta-Lagomarsino
consente di descrivere, attraverso le variabili
α
e
γ p,
l’evoluzione ciclica del
degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza associato al progressivo
danneggiamento a taglio (Gambarotta et al., 1996; Galasco, 2001).
Il meccanismo di taglio è descritto da un modello tipo Mohr-Coulomb riesce
a cogliere il progressivo degrado di resistenza e rigidezza dell’elemento, attraverso i
parametri in gioco nel danneggiamento. Tale legame, in virtù della sua formulazione
incrementale, è capace di modellare un comportamento isteretico, ovvero può
descrivere un ciclo di carico-scarico del pannello (questa formulazione è necessaria
per poter effettuare analisi dinamiche non lineari e/o push over).
La deformazione ultima a taglio è determinata sulla base dei valori massimi
di drift previsti dall’ O.P.C.M 3431/05.
Nelle due estremità dell’elemento di fig. 3.23 è concentrato il comportamento
a flessione: le relazioni che legano lo sforzo normale di compressione N ed il
momento M alle componenti di spostamento w e ϕ derivano direttamente dalle
equazioni elastiche di legame. Fintanto che il centro di pressione risulta interno al
nocciolo centrale d’inerzia non si verifica la parzializzazione della sezione di
estremità del pannello.
Il legame precedentemente descritto viene completato dall’inserimento di un
meccanismo di collasso per superamento del drift: coerentemente con l’O.P.C.M.
3431/05 (punti 8.2.2.1 8.2.2.2.e 11.5.8.1) sono stati stabiliti dei valori massimi
accettabili per il pannello, dovuti ai meccanismi di taglio e pressoflessione. Se questi
valori vengono superati, il pannello non è più considerato in grado di sopportare
azioni orizzontali.
109
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.24 - Definizione di drift relativo all’altezza del macroelemento.
Nel caso di analisi su edifici esistenti in muratura, questi parametri assumono i valori
di seguito riportati:
δ mDL =
⎧0,004 → T
⎫
Δm
= δu → ⎨
⎬
0,006
→
,
M
N
hm
⎩
⎭
Con riferimento a fig. 3.24, l’elemento assume come drift il rapporto tra lo
spostamento in sommità di un punto e l’altezza, esso sarà successivamente
confrontato con il minore dei due valori associati a taglio e momento, l’elemento
entra, quindi, in crisi al raggiungere del primo dei due valori; tali drift vengono
considerati
separatamente
all’interno
del
macroelemento
considerando
gli
spostamenti e le rotazioni corrispondenti alla porzione centrale ed alle porzioni di
estremità:
⎧
u j − ui )
(
Taglio
=
+ ϕe
⎪δ
⎪
h
⎨
⎪ pressoflessione (ϕi − ϕ j )
=
+ ϕe
⎪⎩δ
2
110
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Il superamento di tali limiti comporta la pressoché totale perdita di resistenza
flessionale e tagliante del pannello, che conserva una sia pur ridotta rigidezza assiale.
3.10.2 Il Metodo SAM (Università di Pavia).
Tra i modelli semplificati più recentemente ideati per affrontare l’analisi
statica non lineare si strutture murarie è da annoverare una modellazione proposta
dall’Università di Pavia: il metodo SAM. Tale modello considera anche il
fondamentale ruolo delle fasce.
Il metodo SAM, il cui nome è l’acronimo di Simplified Analysis Method, è
stato sviluppato nella seconda metà degli anni Novanta presso l’unità di ricerca
dell’Università di Pavia e rientra nella categoria dei metodi semplificati per l’analisi
statica non lineare di costruzioni in muratura soggette ad azioni orizzontali. Il metodo
proposto viene definito semplificato in quanto si basa su una modellazione per
macroelementi. Tale approccio mira a contenere il numero dei gradi di libertà del
problema e a semplificare il processo di preparazione dei dati in ingresso e di lettura
ed interpretazione dei risultati, in modo da consentire l’analisi di edifici complessi.
Fig. 3.25 - Schematizzazione a telaio equivalente.
111
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Il modello è stato oggetto di numerosi confronti con prove sperimentali e con
altre modellazioni quali gli elementi finiti che hanno valicato i risultati numerici
ottenuti. Si è dimostrato, così, che l’affidabilità del metodo, in termini di veridicità
della risposta, è comparabile con quella fornita dai ben più complessi metodi agli
elementi finiti.
Il metodo proposto mira alla valutazione della risposta globale degli edifici,
in cui il meccanismo resistente è governato dalla risposta nel piano delle pareti, senza
considerare eventuali meccanismi di collasso associati alla risposta dinamica fuori
dal piano. La verifica di tali meccanismi va svolta con altri metodi, che non sono
oggetto di discussione in questa sede. Si ricorda a tale proposito che l’analisi globale
di un edificio assume significato quando i meccanismi di rottura per ribaltamento
fuori dal piano (meccanismi cosiddetti di “primo modo”, Giuffrè, 1993) sono
prevenuti da opportuni dettagli strutturali quali la presenza di catene o cordolature.
Il metodo è stato sviluppato per la muratura di mattoni non armata; esso si è
dimostrato applicabile anche per altri tipi di muratura, tra cui quella armata, senza
eccessive difficoltà; nella presente trattazione si affronterà il caso della muratura in
laterizio ordinaria.
Lo scopo del metodo è l’analisi globale degli edifici, per i quali il
meccanismo resistente complessivo è governato dalla risposta nel piano delle pareti.
Pertanto, l’analisi viene condotta per ogni parete che compone la scatola muraria
dell’edificio.
Nello sviluppo del metodo sono stati presi in considerazione alcuni requisiti
ritenuti irrinunciabili per un modello di calcolo non lineare, ancorché semplificato, a
fronte delle ricerche sperimentali e numeriche finora svolte. Tali requisiti vengono
elencati di seguito:
-
il modello deve prevedere tutti i principali meccanismi di rottura degli
elementi strutturali, sia in muratura che ad esempio, nei cordoli. Ad ogni
meccanismo di rottura deve essere associato un opportuno criterio di
resistenza sufficientemente approssimato.
112
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
-
CAPITOLO 3
Gli equilibri locali e globali devono essere
rispettati. Questo requisito,
assieme al precedente, ha lo scopo di ridurre al minimo la possibilità di
ottenere soluzioni grossolanamente errate in termini di resistenza ultima della
struttura.
-
Deve essere raggiunto un giusto compromesso fra il livello di dettaglio e la
semplicità d’uso e di lettura ed interpretazioni ingegneristica dei risultati.
-
Deve esserci la possibilità di definire in modo abbastanza agevole delle soglie
significative di danneggiamento degli elementi (basate ad esempio su misure
di deformazione). Questo requisito prevede l’applicazione del metodo
nell’ambito dei più moderni approcci di verifica basati sugli stati limite
prestazionali.
Le prime due condizioni implicano il superamento dei due grossi limiti del
metodo POR, analizzati nel precedente capitolo. La terza condizione è richiesta
nell’ottica dei più moderni approcci di verifica i quali non si limitano a valutare la
sicurezza a collasso, ma accertano pure che la struttura non abbia subito
deformazioni tali da compromettere la sua funzionalità. L’ultimo requisito è
indispensabile per confermare la validità del metodo.
Il metodo si basa su una formulazione a telaio equivalente. Questo tipo di
idealizzazione è tutt’altro che nuova nel panorama dei metodi di analisi degli edifici
in muratura, tuttavia si ritiene che non siano finora pienamente approfondite tutte le
possibilità di tale approccio nel campo non lineare. Nonostante tale formulazione
possa sembrare grossolana, essa si è rivelata molto efficace nel conseguire una serie
di risultati di interesse applicativo.
La modellazione a telaio è effettuabile per qualsiasi parete multipiano, a
condizione che le aperture siano allineate verticalmente; caratteristica che, peraltro, è
assai diffusa negli edifici ad uso civile.
113
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.26 - Particolare della schematizzazione a telaio.
Fig. 3.27 – Esempio di telaio equivalente
Per l’illustrazione del modello si faccia riferimento in prima istanza al
problema di una parete multipiano in muratura con aperture, caricata nel piano,
soggetta a carichi verticali costanti e a forze orizzontali crescenti applicate al livello
dei solai, secondo una distribuzione assegnata. Se la geometria della parete e delle
aperture è sufficientemente regolare, è possibile idealizzare una parete muraria
114
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
mediante un telaio equivalente costituito da elementi maschio (ad asse verticale),
elementi fascia (ad asse orizzontale) ed elementi nodo. Gli elementi maschio e gli
elementi fascia vengono modellati come elementi di telaio (“beam-column”)
deformabili assialmente e a taglio. Se si suppone che gli elementi nodo siano
infinitamente rigidi e resistenti, è possibile modellarli numericamente introducendo
opportuni bracci rigidi (offsets) alle estremità degli elementi maschio e fascia.
Si esaminano nei paragrafi successivi le caratteristiche dell’elemento maschio
ed elemento fascia.
3.10.2.1
Elemento maschio
L’elemento maschio deve rappresentare il più realisticamente possibile la
risposta del montante murario corrispondente. Precisamente, si definiscono, oltre alla
geometria dell’elemento, il grado di vincolamento possibile del pannello, il massimo
taglio resistente che riprodurrà la resistenza del pannello murario e la deformabilità
dell’elemento sia prima che dopo il raggiungimento della resistenza massima.
Si suppone che un elemento maschio sia costituito da una parte deformabile
con resistenza finita, e di due parti infinitamente rigide e resistenti alle estremità
dell’elemento.
Fig. 3.28 - L’elemento maschio murario.
115
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
L’altezza della parte deformabile o «altezza efficace» del maschio viene
definita secondo quanto proposto da Dolce (1989), per tenere conto in modo
approssimato della deformabilità della muratura nelle zone di nodo. Il
comportamento dell’elemento maschio viene supposto elasto-plastico con limite in
deformazione. Si suppone cioè che il maschio abbia comportamento lineare elastico
finchè non viene verificato uno dei possibili criteri di rottura. La matrice di rigidezza
in fase elastica assume la forma consueta per elementi di telaio con deformazione a
taglio, e risulta determinata una volta definiti il modulo di Young E, il modulo G, e la
geometria della sezione.
Fig. 3.29 – Definizione dell’altezza efficace
L’altezza efficace è esprimibile, con riferimento alla figura 3.29, dalla
seguente formula:
H − h′
1
H eff = h ′ + ⋅ D ⋅
h′
3
dove H è l’altezza di interpiano e D la larghezza del maschio murario.
116
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
La definizione dell’altezza efficace permette di individuare esattamente la
parte deformabile dell’elemento e le sue estremità infinitamente rigide. E’ evidente
come una tale geometria dell’elemento costituisca un’innovazione nel campo della
modellazione a telaio.
Come già discusso in precedenza si è appurato che il maschio murario
sottoposto a taglio e compressione può arrivare a rottura secondo tre differenti
modalità: per pressoflessione, per taglio con fessurazione diagonale o con
scorrimento. Nel metodo SAM saranno contemplate tutte e tre le possibilità e questo
costituisce il primo grande passo avanti rispetto ai precedenti metodi per l’analisi
statica non lineare.
Fig. 3.30 – Interpolazione dell’inviluppo sperimentale taglio-spostamento di un pannello murario mediante
una bilatera.
In questi metodi il modello bilineare tende a riprodurre in modo approssimato
l’inviluppo che si ottiene da prove sperimentali da prove sperimentali cicliche a
taglio, e lo spostamento ultimo viene associato al raggiungimento di un opportuno
degrado della resistenza. Tale limite è comunemente espresso in termini di duttilità
ultima. L’introduzione di un limite di deformazione angolare in sostituzione di un
limite in duttilità trae le sue origini dal lavoro di Magenes e Calvi (1997) in cui si è
notato che pannelli murari con diversi rapporti di forma portati a rottura per taglio
tendono a presentare una dispersione molto contenuta della deformazione angolare
ultima, ed una dispersione molto maggiore della duttilità ultima in spostamento. Per
117
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
tali muri, provati mantenendo il parallelismo fra la base superiore ed inferiore, la
deformazione angolare sopra riportata coincide con il “drift” ovvero con il rapporto
fra lo spostamento orizzontale e l’altezza del muro.
Fig. 3.31 – Deformazioni angolari pertinenti all’estremo di un elemento beam-column.
3.10.2.2
Elemento fascia
Per le fasce murarie la disponibilità di teorie e sperimentazioni è assai scarsa,
non è paragonabile a quella relativa ai maschi. Nella maggior parte dei metodi
utilizzati in campo applicativo per l’analisi delle strutture murarie, il ruolo delle fasce
è sempre stato considerato di scarso rilievo e al loro comportamento non è mai stata
dedicata molta attenzione. Tuttavia, sebbene siano i montanti murari a costituire il
sistema principale di resistenza, le fasce possono influenzare in modo considerevole
la risposta sotto azione sismica di un edificio o anche solo di una parete multipiano,
tanto più, quanto maggiore è il numero di piani.
Le caratteristiche geometriche dell’elemento fascia sono sostanzialmente simili a
quelle dell’elemento maschio: si ha ancora un elemento di telaio, con una parte
centrale deformabile assialmente, flessionalmente e a taglio, mentre le due estremità
sono infinitamente rigide e resistenti.
118
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.32 – Lunghezza efficace degli elementi fascia.
Con riferimento alla figura 3.32, la lunghezza della parte centrale deformabile (da i’
a j’) è chiamata lunghezza efficace e le parti estreme (i - i’ e j’- j) costituiranno i
bracci in direzione orizzontale degli offsets di nodo. Nel caso delle fasce, al contrario
dei maschi, non esistono formulazioni apposite, per definire la lunghezza efficace,
ma si ritiene che assumerla pari alla luce libera delle aperture sia appropriato.
La carenza di indagini approfondite sulle fasce rappresenta un limite nello
sviluppo di un’analisi globale dell’edificio, in particolare si avverte la necessità di
una base sperimentale che possa fornire un valido supporto alla modellazione delle
fasce. In mancanza di tali basi, tuttavia, si ricorre ad analogie con i maschi murari.
Volendo studiare il comportamento delle fasce in maniera analoga ai maschi, è
necessario fare delle osservazioni preliminari:
− L’asse delle fasce è orizzontale e parallelo all’orientamento dei letti,
contrariamente al caso dei maschi murari;
− La forza di compressione assiale dovuta ai soli carichi gravitazionali è
orizzontale ed è solitamente molto scarsa;
− La forza di compressione verticale, diretta perpendicolarmente ai letti
di malta, è trascurabile poiché in generale le fasce si trovano sotto e
sopra le aperture della parete.
119
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Nel caso in cui la muratura sia ben organizzata ed i conci abbiano una
tessitura regolare, la resistenza a taglio è funzione dello sforzo di compressione, in
modo particolare dello sforzo perpendicolare ai letti di malta, ma anche, con
incidenza minore, della compressione parallela ai letti stessi. Dalle ultime due
osservazioni, si deduce come la fascia sia un elemento generalmente poco
compresso, di conseguenza, la resistenza al taglio può risultare molto scarsa e
dipendere principalmente dalla forza di coesione che possiede il legante utilizzato.
Se, d’altra parte, la muratura presenta una tessitura irregolare, il comportamento si
presenta tendente all’isotropia, di conseguenza è possibile trattare la fascia
semplicemente come un maschio murario ruotato di un angolo retto.
In analogia con i maschi murari è possibile elencare le varie modalità di
collasso delle fasce:
1) Rottura per schiacciamento del puntone (analoga alla rottura per
pressoflessione del maschio).
2) Rottura per taglio.
Nel caso di rottura per schiacciamento del puntone, le analogie col maschio sono
particolarmente evidenti. Infatti, avviene più comunemente quando si ha una scarsa
compressione assiale; si verifica più facilmente, così, l’inflessione delle fasce, di
conseguenza le sezioni si parzializzano maggiormente ed il puntone si assottiglia fino
al collasso per compressione.
Si può affermare che l’elemento fascia arriva a rottura per pressoflessione
quando una delle sue sezioni estreme della parte deformabile ( i’ o j’ ), è soggetta ad
un momento pari a:
Vmax ⋅ H 0 = P ⋅ e' = M u =
p ⋅ D2 ⋅t ⎛
p
⋅ ⎜⎜1 −
2
⎝ κ ⋅ fu
120
⎞
⎟⎟
⎠
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
dove D e t sono rispettivamente l’altezza e lo spessore dell’elemento fascia, in
riferimento a quanto rappresentato in figura 3.33.
H0
P
e'
V
D
e''
V
P
Fig. 3.33 – Fascia muraria sollecitata a taglio e compressione.
Isolando il taglio massimo ed esplicitando il fattore di taglio αv, si ottiene:
Vmax =
D2 ⋅t p ⎛
p
⋅ ⋅ ⎜⎜1 −
H 0 2 ⎝ κ ⋅ fu
⎞ D ⋅t p ⎛
p
⎟⎟ =
⋅ ⋅ ⎜⎜1 −
⎠ α v 2 ⎝ κ ⋅ fu
⎞
⎟⎟
⎠
Per una modalità di rottura per taglio, si utilizzano i criteri visti nel caso dei
maschi murari; si tiene conto, tuttavia, della diversa orientazione dei letti di malta e
della mancanza di compressione nella direzione ad essi perpendicolare.
Considerando, dunque, l’elemento fascia, il collasso per taglio si ha quando in una
sezione della sua parte deformabile (da i’ a j’ ) si ha un valore del taglio pari a:
Vu = D ⋅ t ⋅ c
dove c è la coesione della muratura, derivante da processo di omogeneizzazione.
Al fine di tener conto di un possibile comportamento fragile delle fasce, la
deformazione anelastica associata alla rottura per taglio prevede una deformazione
plastica a taglio costante a cui segue un degrado di resistenza, una volta superato un
121
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
valore limite di deformazione angolare γ1. A tale degrado segue poi l’annullamento
del taglio resistente per deformazioni angolari superiori al limite γ2 .
Fig. 3.34 – Comportamento elasto-plastico-fragile ed elasto-fragile di un elemento fascia.
Per poter applicare il metodo al caso di edifici reali è stato necessario risolvere due
ordini di problemi fondamentali, che consistono nella eventuale presenza di elementi
strutturali diversi dalla muratura (ad esempio catene in acciaio o cordoli in cemento
armato) e nella modellazione tridimensionale dell’edificio.
Per quel che riguarda la presenza di eventuali catene, una possibilità è
l’utilizzo di elementi biella (truss) elastoplastici con nodi posizionati in prossimità
degli ancoraggi di testata.
Per quel che riguarda eventuali cordolature in cemento armato, presenti in
una grande quantità di edifici costruiti anche nella prima metà del secolo, è molto
importante poterne modellare in modo sufficientemente realistico l’effetto di
accoppiamento fra i montanti murari. Al momento l’implementazione del metodo
SAM prevede la possibilità di utilizzo di elementi beam-column elastoplastici, in cui
è prevista la possibilità di rottura per flessione con formazione di cerniere plastiche.
122
METODI DI ANALISI E MODELLAZIONE STRUTTURALE
CAPITOLO 3
Fig. 3.35 – Modellazione tridimensionale di un edificio
123
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
CAPITOLO 4
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
4.1
Introduzione
Come esposto nel precedente capitolo, la procedura più adeguata per simulare
il comportamento reale tridimensionale è costituita dal Metodo agli Elementi Finiti
(FEM). Grazie a questo metodo è stato possibile studiare comportamenti associati a
irregolarità delle costruzioni e alle disomogeneità dei loro parametri di resistenza.
Tali metodi presentano evidenti vantaggi come la capacità di cogliere in
dettaglio lo stato di tensione e deformazione sotto carichi statici, evidenziando le
zone con presenza di trazione e quelle dove vi sono elevati gradienti di tensione e
deformazione.
Sono altresì evidenti difficoltà e problematiche connesse con questo tipo di
modellazione:
- Se il metodo prevede la legge costitutiva elastico-lineare è indicativo solo di
una informazione “statica”, senza cogliere gli effetti redistributivi delle azioni
in fase sismica. La presenza di tensioni di trazione è inoltre inaccettabile e i
modi di vibrare superiori al primo possono essere virtuali, senza riferimento
al comportamento reale della struttura.
- Il fatto che la norma lo consenta (analisi lineare con fattore di struttura) non
può che essere ricordato insieme all’impossibilità di cogliere comportamenti
diversi fra diverse zone della struttura (tipico per edifici esistenti, non
omogenei ed irregolari). Il fattore di struttura abbatte si le forze, ma ciò ha
conseguenze importanti sull’analisi globale solo se le pareti hanno
comportamento similare.
125
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
In sintesi quindi emerge la non idoneità del M.E.F. elastico lineare, ma
occorrono leggi costitutive complesse, in grado di descrivere i fenomeni di non
linearità evidenziati, che sono generalmente dedicate ad applicazioni di Ricerca
presentando oneri enormi nel passaggio dall'analisi statica di pareti all'analisi
dinamica tridimensionale di interi edifici.
Le analisi FEM, condotte con i metodi non lineari appropriati, costituiscono
lo strumento di taratura per modelli funzionali che meglio interpretano la realtà.
Nascono così i metodi semplificati quali ad esempio quelli a macroelementi
(Università di Genova e di Pavia) analizzati nel capitolo 3.
In quest'ottica si cerca di proporre un metodo semplificato che si basa su un
modello reticolare equivalente per l'analisi non lineare di edifici in muratura. Tale
metodo mira alla valutazione della risposta sismica degli edifici, in cui il
meccanismo resistente è governato dalla risposta nel piano delle pareti, senza
considerare eventuali meccanismi di collasso associati alla risposta dinamica fuori
dal piano.
Si ricorda a tale proposito che l’analisi globale di un edificio assume
significato quando i meccanismi di rottura per ribaltamento fuori dal piano
(meccanismi cosiddetti di “primo modo”, Giuffrè, 1993) sono prevenuti da opportuni
dettagli strutturali quali la presenza di catene o cordolature.
4.2
Descrizione del metodo
Il metodo è stato sviluppato per la muratura di mattoni non armata; nella
presente trattazione si affronterà il caso della muratura in laterizio ordinaria nel caso
specifico di tre casi studio e l’analisi viene condotta per pareti che compongono la
scatola muraria dell’edificio.
In numerosi studi si considera la muratura come materiale elastico, isotropo e
resistente sia a trazione che a compressione. Poiché in realtà la muratura va concepita
come un insieme di conci incapaci di trasmettere tra loro sforzi di trazione tale
modello può utilmente impiegarsi solo nei limiti in cui i ritti (maschi murari) ed i
126
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
traversi (fasce di piano) siano effettivamente in grado di assorbire le sollecitazioni
flessionali. Tale parziale capacità deriva:
- per le fasce di piano dall’esistenza di armature metalliche nei cordoli e
piattabande, nei limiti della loro resistenza;
- per i maschi murari dall’esistenza di sollecitazioni di compressione indotte
dai carichi verticali, nei limiti in cui la sollecitazione flessionale non ne
esaurisca l’effetto (spostamento del centro di sollecitazione fuori dal
nocciolo).
All’aumentare delle azioni sismiche tali limiti vengono superati ed occorre
rimuovere l’ipotesi semplificativa assunta per il materiale.
Nello sviluppo del metodo sono stati presi in considerazione alcuni requisiti
ritenuti irrinunciabili per un modello di calcolo non lineare, ancorché semplificato, a
fronte elle ricerche sperimentali e numeriche finora svolte. Tali requisiti vengono
elencati di seguito:
-
il modello deve prevedere i principali meccanismi di rottura degli elementi
strutturali in muratura.
-
deve essere raggiunto un giusto compromesso fra il livello di dettaglio e la
semplicità d’uso e di lettura ed interpretazioni ingegneristica dei risultati.
-
deve esserci la possibilità di definire in modo abbastanza agevole delle soglie
significative di danneggiamento degli elementi (basate ad esempio su misure
di deformazione). Questo requisito prevede l’applicazione del metodo
nell’ambito dei più moderni approcci di verifica basati sugli stati limite
prestazionali.
Nel presente studio si propone un modello semplificato in cui la parte
deformabile dei telai rappresentativi delle pareti murarie viene concepita come un
insieme di aste pendolo (bielle) organizzate in montanti verticali e diagonali
incrociate.
127
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Fig. 4.1 – a) Un generico pannello in muratura; b)un modello
reticolare equivalente; c) un più complesso modello reticolare equivalente.
La rigidezza estensionale delle aste del reticolo è assegnata imponendo
l’equivalenza meccanica con il corrispondente elemento murario nell’ipotesi di
comportamento elastico. Pertanto nei limiti del campo di validità la schematizzazione
presenta la medesima lineare deformabilità. Il successivo comportamento non lineare
si evidenzia considerando le aste del reticolo (ad eccezione di quelle rappresentative
di cordoli e piattabande in c.a.) come elementi a resistenza unilaterale e bilaterale,
tali cioè da contrastare elasticamente l’eventuale avvicinamento degli estremi rispetto
alla configurazione indeformata e viceversa, nel primo dei due casi, di non esplicare
alcuna resistenza in caso di allontanamento; nel secondo caso viene invece attribuito
un valore, seppure molto basso (es 1/10 della resistenza a compressione), alla
resistenza a trazione dei montanti murari verticali.
Tale metodo, seguendo quanto proposto dal Prof. Ing. P. Lenza (DAPS,
Università di Napoli Federico II) nella rivista Ingegneria Sismica, 1/1989, descrive il
reale comportamento del materiale; non crea una legge simbolica elastoplastica, in
quanto opera alla radice del problema: la plasticità, intesa come spostamenti in
aumento a parità di incrementi di forza, è descritta dalla variazione della geometria
resistente prodotta dal comportamento unilaterale o bilaterale (non simmetrico) della
muratura. C’è inoltre la possibilità di inserire elementi resistenti a trazione, in
parallelo alle bielle murarie (es. rinforzi con cordoli, FRP).
128
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Il modello si è dimostrato “robusto” e “stabile” nel senso che i risultati
dell’analisi sono a bassa dispersione; inoltre il modello ha mostrato le seguenti
caratteristiche di fondamentale importanza nell’ambito dei metodi a macroelementi:
- Chiarezza sui limiti di validità delle ipotesi di calcolo: ogni dato e ogni
parametro di calcolo deve essere commisurato alla sua effettiva influenza sul
risultato. Si devono chiarire i limiti della modellazione, che soprattutto in
analisi globale di edifici esistenti è sempre una fotografia sfocata della realtà.
- Comprensione dei risultati: Si devono chiaramente comprendere tutti i
principali aspetti relativi alla resistenza e alla deformazione delle strutture.
- Ripercorribilità dei risultati: si deve comprendere come i metodi di analisi
giungono passo dopo passo ai risultati, in particolare per la analisi non lineari.
4.3
Il modello reticolare equivalente.
Per l’illustrazione del metodo si fa riferimento in prima istanza al problema di
una parete multipiano in muratura con aperture (allineate verticalmente), caricata nel
piano, soggetta a carichi verticali costanti e a forze orizzontali crescenti applicate al
livello dei solai, secondo una distribuzione assegnata. E’ possibile suddividere tale
parete in elementi maschio (ad asse verticale), elementi fascia (ad asse orizzontale)
ed elementi nodo che si suppongono infinitamente rigidi e resistenti (Figura 4.2).
Fig. 4.2 – a): Esempio di parete muraria con aperture allineate verticalmente;
b): elementi maschi ed elementi fasce e reticolo Equivalente.
129
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Dato un generico pannello di sezione rettangolare (rappresentativo ad
esempio di un generico maschio murario) con asse nel baricentro G, di area A e
momento d’inerzia baricentrico I (figura 4.3); sia altresì l la luce dell’asta nella
schematizzazione a telaio ed H il tratto deformabile al netto dei tratti rigidi; esso è
equivalente ad un sistema rigido elastico costituito da lastre indeformabili ed aste a
pendolo. Queste sono organizzate in due briglie verticali equidistanti dall’asse, una
(eventuale) centrale e due diagonali.
Fig. 4.3 – Deformazione del pannello reticolare equivalente: a) operazione di piano;
b) operazione di nodo; variazione di lunghezza dell’asta.
4.3.1 Dimensionamento delle bielle equivalenti.
Le sezioni delle aste equivalenti, immaginate dello stesso materiale della
muratura, si otterranno imponendo l’equivalenza meccanica con l’asta-pannello nei
due cinematismi fondamentali. La quota parte di azione orizzontale assorbibile da un
singolo maschio murario è proporzionale alla propria rigidezza alla traslazione. Tale
rigidezza può essere ricavata partendo dallo spostamento δi della sommità di un setto
murario alto hi dovuto ad una generica forza orizzontale Fi ed è la somma di due
contributi: deformabilità a taglio e flessionale.
130
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Fig. 4.4 –Pannello murario sottoposto a taglio:
dimensionamento delle bielle diagonali equivalenti.
⎛ 1,2h
h3 ⎞
⎟⎟
+
⎝ GA 12 EJ ⎠
δ p = Fi × ⎜⎜
Kp =
F
δ
=
1
1,2h
h3
+
GA 12 EJ
J=
tB 3
12
Il procedimento analitico per la determinazione delle sezioni equivalenti delle
bielle conduce alle seguenti espressioni che forniscono l’area delle diagonali Ad e
l’area dei montanti verticali Am.
Adiag =
M = EIχ
χ=
ld ⋅ K p
2Ed
M
EI
⋅
1
cos 2 α
(sezione diagonali)
χ pannello = χ mon tan ti
131
Am
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Come descritto dalle formule sopra il dimensionamento dei montanti verticali
è stato ricavato considerando l’equivalenza tra un pannello murario e un sistema di
montanti (due o più) sottoposti alla stessa coppia M. La sezione è stata ricavata
imponendo pertanto l’uguaglianza delle curvature dei due sistemi. (figura sotto)
Fig. 4.5 –Pannello murario sottoposto a coppia flettente:
dimensionamento dei montanti verticali equivalenti.
Volendo determinare più accuratamente il progressivo estendersi delle
parzializzazioni si può definire un sistema reticolare equivalente che rappresenti con
migliore approssimazione il modello continuo. Esso prevede un numero maggiore di
montanti verticali (3) e la suddivisione in quattro parti del pannello originario per la
definizione delle diagonali. In tal caso le espressioni per la determinazione delle
sezioni rimangono le stesse tenendo però in conto delle nuove dimensioni
(dimezzate) del pannello di cui si vuole determinare la rigidezza equivalente.
Si mostrano nel seguito alcune immagini che meglio illustrano il modello fin
qui esposto. Inizialmente per la parete oggetto di studio si ricavano le caratteristiche
geometriche e meccaniche. Poi per la creazione del modello geometrico e meccanico
132
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
e per l’esecuzione delle analisi è stato utilizzato il programma commerciale agli
elementi finiti STRAUS7.
Fig. 4.6 – Esempio di parete muraria oggetto di studio;
Definizione delle caratteristiche geometriche e definizione del modello reticolare.
Fig. 4.7 – Esempio di parete muraria oggetto di studio;
Modello reticolare semplice e raffittito.
133
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
L’adozione di sistemi reticolari equivalenti, più o meno complessi, inseriti tra
lastre indeformabili rappresentative dei nodi rigidi, non altera le caratteristiche
dell’originaria schematizzazione a telaio. Con riferimento ad una parete piana le
incognite iperstatiche sono sempre le rotazioni e gli spostamenti (orizzontali e
verticali dei nodi); i gradi di libertà dinamici coincidono con le suddette incognite
ove si considerino concentrate nei nodi le masse ed i relativi momenti d’inerzia. Un
approccio più approssimato considera possibili solo rotazioni e spostamenti verticali
dei nodi e gli spostamenti orizzontali dei traversi (ipotesi di fasce di piano
assialmente indeformabili). L’estensione al caso di telaio spaziale a piani rigidi, che
non dovrebbe presentare sostanziale difficoltà, non è stato trattato in questo lavoro;
un’analisi globale del fabbricato può tuttavia già ottenersi mediante la
schematizzazione di un treno di telai piani, accettabile per fabbricati abbastanza
simmetrici per geometria strutturale e distribuzione di masse.
4.4 Il ruolo delle simulazioni numeriche ad elementi finiti
Nella calibrazione del metodo reticolare, è stato fondamentale riferirsi anche
ad analisi della muratura attraverso simulazioni numeriche agli elementi finiti,
considerando il materiale muratura come omogeneo, isotropo e continuo.
I tre casi studio analizzati nel capitolo 5 sono stati pertanto studiati utilizzando anche
questo tipo di modellazione; i risultati, espressi in termini di curva di capacità sono
stati poi confrontati con quelli relativi al modello reticolare e, ove disponibili, con i
risultati di prove sperimentali disponibili in letteratura.
134
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Fig. 4.8 – Discretizzazione mesh: modello omogeneo-isotropo continuo.
La modellazione FEM usualmente adottata per le strutture murarie prescinde
dalla effettiva tessitura e fa riferimento ad un materiale omogeneo, con caratteristiche
elastiche dipendenti da quelle del legante e quelle del materiale lapideo. Tale scelta è
legata alla necessità di semplificare i modelli, sia ai fini dell’ottimizzazione dei tempi
di calcolo che della facilitazione nella lettura e interpretazione dei risultati.
Un limite di tali modelli è che possono fornire indicazioni solo sullo stato
medio di sollecitazione ma non consentono di definire il cimento puntuale relativo a
ciascuno dei due materiali. Ne consegue la necessità di adottare elevati coefficienti di
sicurezza, per tenere conto delle incertezze insite nella modellazione
Fig. 4.9 – Esempio di parete muraria discretizzata mediante
Elementi finiti tipo Plate (FEM).
135
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Questa modellazione è relativa alla usuale modellazione della muratura e
rappresenta un modello di riferimento.
Dati i moduli elastici E m ed Eb dei due materiali malta e mattone è possibile
ricavare il modulo per un materiale omogeneo equivalente attraverso la formula:
EK =
hb + hm
hb hm
+
Eb E m
Il criterio di rottura utilizzato nella definizione delle proprietà dei materiali è
quello della piramide esagonale di Mohr Coulomb in cui i parametri φ e c possono
essere espressi in termini di resistenza monoassiale a compressione e a trazione:
sin ϕ =
c=
fc − ft
fc + ft
fc ft
tan ϕ
fc − ft
Appare quindi evidente come il valore dell’angolo di attrito sai definito una volta
assegnato il rapporto tra le due resistenze monoassiali, mentre la coesione sia nota
una volta assegnato tale rapporto e f t oppure f c .
4.4.1 Criterio di rottura di Mohr Coulomb
Il criterio proposto da Coulomb nel 1773 per interpretare la rottura a
compressione di opere murarie e che ha trovato diffuse applicazioni nello studio
delle condizioni di scorrimento nei terreni, assume che lo scorrimento avvenga
quando su almeno un piano il modulo della tensione tangenziale τ eguaglia un valore
limite linearmente dipendente dalla tensione σ:
136
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
essendo c eμ parametri del materiale denominati, rispettivamente, coesione e
coefficiente di attrito interno (in alternativa si considera l’angolo di attrito interno
). Il criterio, a differenza di quelli di snervamento (Tresca e Huber –
Hencky – von Mises), risulta dipendente dalla tensione normale al piano.
Fig 4.10. – Rette limite secondo il criterio di Coulomb nel piano (σ,τ) e cerchio di Mohr tangente
Nel piano delle tensioni risolte (σ,τ) o di Mohr il criterio di Coulomb è
rappresentato in figura dalle rette di equazione:
Ove σI , σII , σIII , sono le tensioni principali e σs è la tensione di snervamento. Gli
stati limite di tensione sono quelli che appartengono ai massimi cerchi di Mohr
tangenti alle due rette. Ricordando che il raggio del cerchio massimo è
R = (σ I − σ III ) / 2 , dalla figura si può esprimere il criterio nella forma
R = (σ T − σ~ )senϕ , ove σ~ = (σ I + σ III ) / 2 e σ T = c / tan ϕ , e quindi, in termini
della tensione principale massima σI e minima σIII :
1
(σ I − σ III ) = − 1 (σ I + σ III )senϕ + c cos ϕ
2
2
137
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
A differenza del criterio di Tresca, il criterio di Coulomb fa dipendere la crisi
linearmente dalla tensione idrostatica attraverso il termine ( σ I + σ II ), con
l’eccezione di attrito interno nullo ϕ=0 nel qual caso i due criteri coincidono e c=k.
Il termine k, parametro del materiale da determinarsi sperimentalmente, è definito nel
criterio di Tresca, come quel valore limite raggiunto dalla tensione tangenziale su
almeno una giacitura che induce lo snervamento del materiale.
Nello spazio delle tensioni principali (0, σ I , σ II σ III ) il criterio va espresso per
tutte le possibili differenze:
che rappresentano le equazioni di sei piani il cui inviluppo è una piramide con vertice
nel punto σ I = σ II = σ III = σ T che rappresenta la resistenza a trazione triassiale, e
asse coincidente con l’asse idrostatico. Inoltre le sezioni della superficie laterale
della piramide con i piani deviatori sono esagonali omotetici non regolari simmetrici
rispetto ai tre assi principali mutuamente orientati a 120°.
Nel caso di stati di tensione biassiali
(σ 3 = 0)
le Equazioni si particolarizzano
nelle:
Avendo posto:
che rappresentano, rispettivamente, la resistenza a trazione e compressione.
L’inviluppo delle sei rette definisce un esagono non regolare, intersezione
della superficie laterale della piramide con il piano σIII=0. Si osservi come il dominio
di scorrimento di Coulomb, essendo definito mediante due parametri (c,φ), sia in
138
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
grado di descrivere la differente resistenza a trazione e compressione; inoltre, in
assenza di attrito interno (ϕ = 0 ) , risulta che σ T = σ C e l’esagono coincide con
quello di Tresca. Inoltre è da rilevare che il criterio fornisce eguale resistenza a
compressione monoassiale e biassiale, un aspetto che non trova riscontro nei casi
reali e che è dovuto all’indipendenza nel criterio dalla tensione principale intermedia
σII.
Figura 4.11 – Dominio di Coulomb per stati di tensione biassiale.
4.5
Costruzione della curva di capacità.
Il concetto alla base dell’analisi sismica statica non lineare è che la capacità
complessiva della struttura di sostenere le azioni sismiche può essere descritta dal
comportamento della stessa sottoposta ad un sistema di forze statiche equivalenti
incrementate fino a raggiungere il collasso, inteso come incapacità di continuare a
sostenere i carichi verticali.
Analisi pushover significa analisi di spinta, intendendo appunto per spinta
l’applicazione delle forze orizzontali progressivamente incrementate. Il sistema di
forze in questione deve simulare in modo il più possibile realistico gli effetti di
139
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
inerzia prodotti dal sisma nel piano orizzontale; essi, a loro volta, dipendono dalla
risposta stessa della struttura, per cui il sistema di forze dovrebbe cambiare durante
l’analisi: ciò corrisponde ad un adattamento della distribuzione delle forze al livello
di danneggiamento (pushover adattivo). I vari tipi di distribuzioni di forze che
possono essere considerati per l’analisi pushover sono descritti nel prossimo
paragrafo.
La procedura può essere svolta attraverso una serie di analisi elastiche
sequenziali sovrapposte dove il modello matematico della struttura (più precisamente
la matrice di rigidezza), viene continuamente aggiornato, per tenere conto della
riduzione di rigidezza degli elementi che entrano in campo plastico.
La capacità di una struttura è pertanto rappresentata mediante una curva
(curva di capacità) che ha come grandezze di riferimento il taglio alla base e lo
spostamento di un punto di controllo dell’edificio (generalmente scelto come punto
in copertura, per esempio coincidente con il baricentro dell’impalcato di copertura).
Fig 4.12 – Esempio di costruzione della curva di capacità.
La curva di capacità è quindi una caratteristica intrinseca della struttura, che
non dipende dall’input sismico. Essa dovrà in qualche modo essere utilizzata per
verificare l’idoneità antisismica della struttura. Infatti, la curva di capacità può essere
vista come un mezzo per ridurre una risposta complessa di un sistema a molti gradi
di libertà, ad un legame tipico di un oscillatore non lineare ad un grado di libertà. In
tal modo viene reso possibile un diretto confronto con la domanda sismica
rappresentata in termini di spettro di risposta.
140
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
La domanda sismica, o domanda di spostamento (target displacement),
rappresenta lo spostamento che , secondo l’input sismico, la struttura è chiamata a
sostenere.
4.6
Distribuzioni di forze in analisi Pushover.
L’analisi statica non lineare (analisi pushover) è caratterizzata da un sistema
di forze statiche orizzontali applicate a livello dei solai, crescenti proporzionalmente:
nel caso di distribuzione fissa, in modo tale da mantenere costante il rapporto tra le
forze ai diversi piani; in caso di distribuzione adattiva, il rapporto fra le forze viene
modificato in base all’aggiornamento dell’analisi modale.
Si riportano nel seguito le formulazioni per i due tipi di distribuzioni:
Per le distribuzioni fisse si hanno le seguenti classi:
A.
Forze proporzionali alle masse
B.
Forze proporzionali alla distribuzione da utilizzarsi per l’analisi statica lineare
C.
Forze proporzionali alla distribuzione delle forze modali corrispondenti al
primo modo di vibrazione nella direzione considerata. Si tratta di forze
proporzionali al prodotto delle masse per la deformata corrispondente al
primo modo di vibrazione. La C. è un’alternativa valida alla B. perché
consente di stimare una migliore resistenza dell’edificio (la forma del primo
modo è sempre più precisa e meno penalizzante dell’andamento triangolare
usato in analisi statica lineare).
D.
Forze proporzionali alla forma modale equivalente, tenendo conto di tutti i
modi significativi (quelli che movimentano l’85% della massa nella direzione
esaminata). Questo tipo di distribuzione è indicato, nelle analisi pushover, per
edifici con molti pianio con forti irregolarità, dove diventa indispensabile
considerare anche gli effetti dei modi superiori. Negli edifici in muratura,
generalmente piuttosto bassi, è una distribuzione poco utilizzata; potrebbe
141
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
essere indicata nel caso di irregolarità notevoli in pianta (per esempio per
tenere conto direttamente di forme modali torsionali).
Nel dettaglio si ha :
A.
FJ =
Wj
∑W
j =1
B.
FJ =
FJ =
∑W
J
V
zj
W j Φ1 j
V
N
∑W Φ
j =1
D.
J
Wj z j
N
j =1
C.
V
N
J
1j
W j Φ eq , j
FJ =
N
∑W Φ
j =1
J
V
eq , j
Con:
Φ eq , j =
∑ (Φ
NC
k =1
Γk )
2
kj
Γk = Coefficiente di partecipazione del modo K; NC= numero di modi
modi considerati.
F j = Forza orizzontale applicata in corrispondenza
del livello J; N =
numero di livelli
V =
Incremento di taglio alla base.
W j = Massa di piano corrispondente al livello J.
z J = Quota del livello J.
Φ 1 j = Ampiezza del primo modo in corrispondenza del livello J.
142
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Φ eq, J = Ampiezza del modo K-mo in corrispondenza del livello J.
Per le distribuzioni adattive invece si hanno le seguenti classi:
E.
Forze proporzionali alla prima forma modale, ma tenendo conto
dell’evoluzione della rigidezza e conseguentemente delle forme di vibrazione
conseguenti allo sviluppo delle deformazioni in elastiche. La forma modale
sarà in generale diversa nella direzione X e nella direzione Y: quindi quando
si parla di primo modo (sia per la distribuzione C. sia per la E.), si deve
intendere il primo modo secondo X, per l’analisi X; il primo modo secondo
Y, per l’analisi Y. Questo è importante nelle analisi 3D (mentre nelle 2D la
questione è ininfluente perché il primo modo si riferirà all’unica direzione
orizzontale del piano verticale 2D considerato). Per riconoscere se il modo è
secondo X o secondo Y si controlla se la massa modale efficace secondo X è
maggiore o minore di quella secondo Y.
F.
Distribuzione di forze adattiva tenendo conto di tutti i modi significativi
(quelli che movimentano l’85% della massa nella direzione esaminata)
Fra le cinque distribuzioni considerate, E. ed F. sono le uniche distribuzioni dove i
rapporti reciproci fra le forze , mentre si incrementa il taglio totale alla base,
cambiano ai vari passi, al variare delle rigidezze degli elementi. Infatti, gli elementi
in fase plastica hanno rigidezza secante in progressiva diminuzione o
equivalentemente rigidezza tangente nulla; gli elementi collassati hanno rigidezza e
resistenza nulle. Le variazioni di rigidezza comportano la riesecuzione dell’analisi
modale, e conseguentemente l’aggiornamento dei rapporti fra le forze nella tipologia
di distribuzione considerata. Per tali motivi l’analisi è detta adattiva.
143
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Fig 4.13 – Distribuzioni di Forze in analisi Pushover
In figura è riportato l’esempio di un edificio in muratura di 4 piani.
Anche nelle ipotesi di dimensioni in pianta e in elevazione costanti per l’intero
edificio, le masse di piano non sono tutte fra loro uguali, sia per la concentrazione dei
pesi propri a livello degli impalcati (p. es. all’ultimo piano solo metà parete viene
attribuita al livello di copertura), sia per i diversi carichi di esercizio (piani intermedi:
civile abitazione; copertura: neve), sia per i diversi coefficienti di combinazione dei
carichi variabili.
In caso di masse tutte uguali, la distribuzione di forze A. proporzionali alle
masse corrisponderebbe a forze uguali a tutti i piani, mentre la B. presenterebbe
andamento perfettamente triangolare.
4.7
La problematica delle fasce di piano
Per le fasce murarie la disponibilità di teorie e sperimentazioni è assai scarsa,
non è paragonabile a quella relativa ai maschi. Ciò può essere in parte spiegato dal
fatto che, i montanti murari rappresentano il sistema “principale” che resiste al sisma
e ai carichi verticali. Nella maggior parte dei metodi utilizzati in campo applicativo
per l’analisi delle strutture murarie, il ruolo delle fasce è sempre stato considerato di
scarso rilievo e al loro comportamento non è mai stata dedicata molta attenzione.
144
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Tuttavia, sebbene siano i montanti murari a costituire il sistema principale di
resistenza, le fasce possono influenzare in modo considerevole la risposta sotto
azione sismica di un edificio o anche solo di una parete multipiano, tanto più, quanto
maggiore è il numero di piani.
Fig. 4.14 – Differente comportamento tra maschi e fasce di piano: linee di forza verticali.
Tuttavia, la funzione strutturale delle fasce o architravi è tutt’altro che
secondaria, infatti fornendo l’accoppiamento fra i montanti murari, possono
influenzare considerevolmente il meccanismo di risposta di una parete multipiano.
Tale influenza è tanto maggiore quanto maggiore è il numero di piani di un edificio.
Lo stato di sollecitazione generato in una fascia dall’azione sismica è similare a
quello riportato in figura 4.15
Fig. 4.15 – Risposte delle fasce murarie ad azioni di tipo sismico.
145
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
La carenza di indagini approfondite sulle fasce rappresenta un limite nello
sviluppo di un’analisi globale dell’edificio, in particolare si avverte la necessità di
una base sperimentale che possa fornire un valido supporto alla modellazione delle
fasce. In mancanza di tali basi, tuttavia, si ricorre ad analogie con i maschi murari.
Volendo studiare il comportamento delle fasce in maniera analoga ai maschi,
è necessario fare delle osservazioni preliminari:
− L’asse delle fasce è orizzontale e parallelo all’orientamento dei letti,
contrariamente al caso dei maschi murari;
− La forza di compressione assiale dovuta ai soli carichi gravitazionali è
orizzontale ed è solitamente molto scarsa;
− La forza di compressione verticale, diretta perpendicolarmente ai letti
di malta, è trascurabile poiché in generale le fasce si trovano sotto e
sopra le aperture della parete.
Nel caso in cui la muratura sia ben organizzata ed i conci abbiano una
tessitura regolare, la resistenza a taglio è funzione dello sforzo di compressione, in
modo particolare dello sforzo perpendicolare ai letti di malta, ma anche, con
incidenza minore, della compressione parallela ai letti stessi. Dalle ultime due
osservazioni, si deduce come la fascia sia un elemento generalmente poco
compresso, di conseguenza, la resistenza al taglio può risultare molto scarsa e
dipendere principalmente dalla forza di coesione che possiede il legante utilizzato.
Se, d’altra parte, la muratura presenta una tessitura irregolare, il comportamento si
presenta tendente all’isotropia, di conseguenza è possibile trattare la fascia
semplicemente come un maschio murario ruotato di un angolo retto.
146
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Fig. 4.16 – Tipica rottura per taglio delle fasce di piano.
4.7.1
Funzionamento meccanico delle fasce
Le fasce hanno il compito di trasmettere le sollecitazioni fra i montanti e di
mantenerli accoppiati. In particolare, la loro azione influenza positivamente la
resistenza a pressoflessione dei maschi murari. Considerando un’azione di tipo
sismico, idealizzabile mediante forze orizzontali applicate ai piani, lo stato di
sollecitazione delle fasce è prevalentemente di taglio, come rappresentato in figura
4.17.
Fig. 4.17 – Stato di sollecitazione delle fasce.
Si supponga che le fasce non riescano ad assolvere la loro funzione di
accoppiamento: la conseguenza è l’instaurarsi immediato di un meccanismo di
147
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
ribaltamento (figura 4.18), in cui la resistenza a pressoflessione dei maschi murari
non può contare sull’ausilio delle fasce:
Fig. 4.18 – Ribaltamento della parete per mancanza di accoppiamento fra i maschi murari.
Affinché le fasce possano assolvere alla loro funzione di elementi
accoppianti, esse devono essere dotate di un’adeguata resistenza flessionale che deve
impedire l’instaurarsi del meccanismo di ribaltamento. Tale resistenza è tanto
maggiore quanto più le fasce sono compresse secondo la direzione orizzontale. Come
è già stato osservato, le fasce di per sé sono soggette a scarsi sforzi di compressione,
sia verticalmente che orizzontalmente. La soluzione costruttiva è, semplicemente,
l’inserimento di cordoli in cemento armato o catene. Tali elementi strutturali, che
vengono posti all’altezza dei piani in corrispondenza delle fasce, in primo luogo si
oppongono fisicamente alla dilatazione orizzontale che consegue il fenomeno del
ribaltamento,
ed,
inoltre,
contrastando
questo
spostamento,
causano
una
compressione all’interno delle fasce stesse. Con la presenza di questa sollecitazione,
nelle fasce aumenta la resistenza a flessione che ostacola ulteriormente il
ribaltamento ed al loro interno si crea un meccanismo “a puntone inclinato” la cui
azione sui montanti ne garantisce l’accoppiamento (figura 4.19).
Queste considerazioni di carattere generale sono alla base dei meccanismi di
rottura delle fasce ed del loro comportamento deformativo.
148
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Fig. 4.19 – Funzione dei cordoli e conseguente meccanismo a puntone inclinato nelle fasce.
4.7.2
Modelli di calcolo delle fasce di piano
E’ necessario prendere in esame le caratteristiche possedute dalle fasce di
piano (e in particolare dei pannelli di fascia) le cui caratteristiche di rigidezza e di
resistenza condizionano il comportamento di ciascuna parete dunque dell’intero
edificio
.
Fig. 4.20 – Ruolo dell’accoppiamento fornito dai cordoli e dalle fasce murarie.
149
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
Quando le fasce di piano sono prive di rigidezza, sia estensionale che flessionale, la
parete si riduce ad una serie di mensole isolate costituite dai soli maschi che,
generalmente, giungono alla crisi per sollecitazioni da presso flessione, mentre
esibiscono crisi per taglio solamente nel caso di edifici molto bassi con vani disposti
a notevole distanza reciproca, o in presenza di pareti cieche, e sempre per sforzi
normali non troppo bassi. In tale caso (pareti del I tipo) il modello longitudinale
dell’intera parete può essere così caratterizzato:
-
I pannelli di maschio posseggono la stessa altezza della parete e si identificano
con gli interi maschi murari.
-
I pannelli di nodo non esistono.
-
I pannelli di fascia sono del tipo architrave e assorbono solamente i carichi
verticali, ma si devono considerare pressoché inesistenti ai fini delle azioni
orizzontali.
Tale comportamento è caratteristico degli edifici di prima o seconda classe privi di
elementi perimetrali di collegamento; nel caso di pareti forate i maschi, essendo
molto snelli, risultano particolarmente vulnerabili a presso flessione.
Fig. 4.21 –Pareti di tipo I: discretizzazione e modello di calcolo.
Si definiscono invece pareti del II tipo quelle le cui fasce di piano posseggono
rigidezze esclusivamente estensionale, per la presenza di un solo elemento
concentrato resistente a trazione (come una catena, un cordolo o una piattabanda) e
risultano più deboli dei maschi. In tali pareti, i pannelli di fascia (che risultano
150
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
sempre tozzi per effetto della limitata ampiezza dei vani) sotto l’azione delle forze
orizzontali attingono la crisi quasi sempre per taglio da trazione (evidenziato da
lesioni diagonali) e la parete finisce per comportarsi come un un sistema di elementi
monodimensionali costituito da ritti schematizzabili come mensole collegati da travi
pendolari. Il collasso della parete sopraggiunge, in genere, con la rottura dei pannelli
di maschio per presso flessione. In tale caso il modello longitudinale della parete
risulta così caratterizzato:
-
I pannelli di maschio posseggono l’altezza dell’interpiano.
-
I pannelli di nodo non esistono perché degenerano in linee.
-
I pannelli di fascia sono del tipo monocatena e risultano assimilabili ad aste
orizzontali dotate di sola resistenza estensionale.
Fig. 4.22 –Pareti di tipo II: discretizzazione e modello di calcolo.
Tale modello costituito da maschi murari a mensola (continui dalle fondazioni alla
sommità) collegati, ai soli fini traslazionali, dai solai è previsto anche dalle norme
contenute nell’allegato 2 all’ordinanza n° 3274 del 20.03.2003.
Spesso in passato interventi costituiti dalla posa in opera di catene metalliche
hanno consentito di trasformare pareti del I tipo in pareti del II tipo.
Sono denominate infine pareti del III tipo quelle le cui fasce di piano
posseggono rigidezza (sia estensionale che flessionale) molto maggiore di quella che
compete ai maschi murari, generalmente per la presenza di almeno due elementi
concentrati di estremità resistenti a trazione (come catene, cordoli, piattabande),
151
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
oppure di almeno uno di tali elementi in posizione centrata, o ancora per effetto di
interventi di consolidamento diffusi (semprecchè la muratura non abbia capacità di
resistenza proprie)
Tali pareti, sotto l’azione delle forze orizzontali, si comportano alla stregua di
telai dotati di traversi rigidi (comportamento alla “Grinter”) che impediscono le
rotazioni alle estremità dei maschi : il collasso si manifesta con la rottura dei pannelli
di maschio che può verificarsi per taglio o per presso flessione. In tale caso, il
modello longitudinale della parete può essere così caratterizzato:
-
I pannelli di maschio posseggono l’altezza dei vani e sono contenuti tra due
fasce;
-
I pannelli di nodo sono interamente contornati tranne che alle estremità della
parete.
-
I pannelli di fascia sono generalmente del tipo bicatena, armati e vincolati ai
pannelli di nodo (ai quali devono assicurare la compatibilità delle
deformazioni).
Fig. 4.23 –Pareti di tipo III: discretizzazione e modello di calcolo.
Anche tale modello è previsto dalle norme contenute nell’allegato 2 all’ordinanza n.
3274 del 20.03.2003; lo stesso era, peraltro, contemplato dalla Circolare LL.PP.
30.07.1981 n. 21745 che consentiva “a favore della sicurezza e rinunciando a
qualsiasi ridistribuzione delle forze in fase elasto-plastica”, di schematizzare le pareti
152
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
come telai elastici piani, tutte le volte in cui il collasso non si verificava per rottura a
taglio dei pannelli di maschio.
In sintesi modellare le fasce come maschi ruotati, senza tener conto di quando
detto sopra, porta a risultati poco realistici. Tale limite è stato in parte compensato,
nel testo normativo, da alcune precisazioni sulla modellazione delle travi in
muratura; Si riporta infatti che, qualora l’azione assiale non sia nota dal modello di
calcolo (ad esempio quando l’analisi statica è svolta su modelli a telaio con l’ipotesi
di solai infinitamente rigidi nel piano), ma siano presenti in prossimità della trave in
muratura elementi orizzontali dotati di resistenza a trazione (catene, cordoli) i valori
di resistenza potranno essere assunti non superiori a determinati valori associati ai
meccanismi di rottura per taglio o per pressoflessione.
Ovvero in assenza di una valutazione realistica della compressione assiale
(condizione necessaria per poter modellare la fascia come maschio murario ruotato)
si assume comunque una resistenza a trazione della fascia, giustificata da un
meccanismo a puntone equivalente. Tale dispositivo è ammesso a favore di sicurezza
solo in presenza di un cordolo o tirante, inserito nell’elemento (infatti la resistenza
assunta è la minima fra il puntone equivalente ed il tirante).
In definitiva quindi il collasso di una parete sottoposta a carichi orizzontali,
qualunque ne sia la tipologia, si verifica sempre per rottura degli elementi portanti
(maschi o pannelli di maschio), tanto nel caso di pareti prive di vani che forate; non
sussiste, però, alcun dubbio sul fatto che il progressivo indebolimento delle fasce, al
variare del tipo di parete, renda sempre più vulnerabili i maschi murari. Il
meccanismo di rottura dipende dal rapporto H/B tra le dimensioni longitudinali
dell’intera parete o dei singoli pannelli di maschio che la costituiscono, oltre che
dalle caratteristiche del materiale e dall’intensità degli sforzi normali applicati.
Le osservazioni formulate in merito al comportamento dei paramenti murari
sollecitati da azioni orizzontali (oltre che verticali naturalmente) fanno ben
153
ANALISI STATICA NON LINEARE CON MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 4
comprendere come il meccanismo di rottura dei pannelli, e dunque dell’intera parete,
possa essere condizionato attraverso una mirata scelta delle dimensioni e del
materiale che caratterizzano questi ultimi, oltre che da eventuali interventi. In
particolare, per quanto riguarda gli edifici esistenti, è possibile modificarne
radicalmente il comportamento attraverso interventi, cosiddetti di consolidamento o
di adeguamento, in grado di mutare anche i meccanismi di collasso e, dunque, il
modello di calcolo. Atteso il miglior comportamento esibito dalle pareti del III tipo,
la tendenza attuale è quella di intervenire sugli edifici esistenti adeguandoli a tale
tipologia costruttiva, ovvero di progettarli ex novo con tali caratteristiche.
Il modello di calcolo più diffuso per pareti forate sollecitate da azioni verticali e
orizzontali è, dunque, quello costituito da una sorta di telaio a nodi rigidi i cui ritti
sono rappresentati dai pannelli di maschio (dotati di deformabilità estensionale,
flessionale e taglante) e i cui traversi sono rappresentati dalle fasce di piano, supposte
rigide sia estensionalmente che flessionalmente. L’osservazione dei danni prodotti in
occasione dei sismi più violenti e i risultati delle numerose campagne sperimentali
condotte confermano, d’altronde, l’esistenza di un’efficace interazione tra maschi
murari e fasce di piano. Quando tale ipotesi essenziale risulta soddisfatta, si consegue
una notevole semplificazione delle procedure di calcolo essendo possibile operare
nelle seguenti ipotesi:
-
Comportamento “alla Grinter” (o shear type) nei riguardi delle azioni
taglianti dovute alle forze sismiche, che consente peraltro di analizzare ogni
piano indipendentemente dagli altri.
-
Comportamento “alla Engesser” nei riguardi delle coppie generate dalle
eccentricità che le risultanti delle forze orizzontali equivalenti al sisma
posseggono rispetto alla sommità dei pannelli di maschio.
154
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
CAPITOLO 5
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
5.1
Introduzione
In questo quinto capitolo si riportato nel dettaglio i risultati di tre specifici
casi studio esaminati. Tali casi riguardano prove o sperimentazioni note in
letteratura, pertanto si disponeva di risultati di indagini sperimentali ed analitiche.
Ognuno dei tre casi presi in esame è stato dapprima analizzato attraverso la
modellazione ad elementi finiti (Utilizzando il codice commerciale di calcolo
Straus7) considerando il materiale muratura come continuo omogeneo e isotropo
come descritto nel paragrafo 4.4. Partendo poi da tale base è stato calibrato, per ogni
parete oggetto di studio, il modello Reticolare equivalente.
Il primo caso studio riguarda l’analisi di due pareti, oggetto di un ampio
programma di ricerca promosso dal CNR-GNDT relativamente al comportamento di
edifici in muratura.
Figura 5.1 – Prototipo di edificio in muratura provato a Pavia.
155
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
L’analisi condotta riguarda le due pareti forate dell’edificio prototipo, su cui è stata
svolta l’analisi statica non lineare.
Il secondo caso studio è stato analizzato prendendo spunto dall’articolo
“Comparative inelastic pushover analysis of masonry frames” di T. Salonikios, C.
Karakostas, V. Lekidis, A. Anthoine, pubblicato su Engineering Structures 25
(2003). In tale pubblicazione si tratta la determinazione della capacità sismica
resistente di edifici esistenti, con particolare riguardo alle pareti in muratura non
armata. Sono esaminate due diverse tipologie di pareti denominate 1_bay e 7_bay a
seconda delle dimensioni e del numero di aperture presenti.
Fig 5.2 – Pareti esaminate nel caso studio 2: 1B e 7B.
Infine l’ultimo caso esaminato tratta la risposta sismica di un edificio
campione, scelto sulla base di un’indagine preliminare sulle caratteristiche
costruttive tipiche dell’edilizia di Catania. Tale analisi prende spunto dal rapporto al
programma triennale 1996-1998 del Gruppo Nazionale per la Difesa dai Terremoti, e
in particolare rientra nell’ambito del progetto “Pianificazione dell’intervento sul
patrimonio edilizio per interventi estesi di riduzione della vulnerabilità”. Esso è stato
svolto in stretto coordinamento col “Progetto Catania”, volto alla determinazione
dello scenario di danno conseguente a un terremoto comparabile con l’evento
distruttivo del 1693.
156
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.3 – Pianta e prospetto dell’edificio esaminato nel caso studio 3.
157
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
5.2
Caso Studio 1:
CAPITOLO 5
la sperimentazione di Pavia
All’interno di un ampio programma di ricerca promosso dal CNR-GNDT,
relativamente al comportamento di edifici in muratura, presso il Dipartimento di
Meccanica Strutturale dell’Università di Pavia è stata condotta una dettagliata
sperimentazione (prova ciclica quasi statica), in scala reale, su un edificio prototipo.
Fig 5.4 – Schema dell’impianto di prova.
Compatibilmente con la struttura di prova presente, la struttura tridimensionale è
stata separata in modo da poter intervenire separatamente sulle due pareti esterne:
una parete, denominata “door wall”, contenente due aperture per piano (al piano terra
simulano porte), non era ammorsata all’altra parete, identificata invece come
“window wall”, contenente tre finestre per piano e connessa ai due muri trasversali
da entrambi i lati.
158
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Figura 5.5 – Pianta dell’edificio.
Le due pareti si sviluppano su una larghezza di base di 6 m per un’altezza di 6,4 m ed
uno spessore murario di 25 cm; l’unica connessione fra di esse è costituita dai solai,
orditi perpendicolarmente ad esse mediante profili metallici. Si è prevista inoltre la
presenza di un carico aggiuntivo di 248,4 KN sul primo solaio e di 263,8 KN sul
secondo, atto a simulare un carico distribuito di 10 KN/m2 per piano. Ad entrambe le
estremità delle pareti è stato posizionato un giunto di espansione per eliminare gli
effetti di bordo.
Figura 5.6 – Immagine della sperimentazione di Pavia.
159
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Mediante due profili metallici, di elevata rigidezza assiale, connessi alle pareti in
corrispondenza dei solai, si è previsto di imporre uno stato di spostamento tale da
indurre forze uguali ai due piani. Si era infatti stabilito, mediante opportune
considerazioni, che tale distribuzione potesse simulare effetti dinamici con
sufficiente approssimazione (la massa dei due piani era molto simile e l’altezza
complessiva modesta, pertanto una distribuzione modale non sarebbe risultata
particolarmente differente). Operativamente, l’uguaglianza delle forze, veniva
ottenuta imponendo, mediante attuatori meccanici, lo spostamento al secondo piano e
ricercato lo spostamento del primo piano in modo da garantire che le forze misurate
risultassero uguali; tale operazione veniva svolta da una centralina collegata al
sistema di prova.
Figura 5.7 – Parete D (Door Wall) di Pavia.
Sul modello reale si sono poi effettuati più cicli di carico in corrispondenza di
differenti valori dello spostamento del secondo piano: ciascun ciclo è stato ripetuto
più volte per garantire un danneggiamento più uniforme dell’insieme.
160
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Figura 5.8 – Fasi del danneggiamento reale della parete.
Figura 5.9 – Curva sperimentale taglio alla base – spostamento orizzontale del 2° piano.
161
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Il primo ciclo (A) ha mostrato un primo danneggiamento delle fasce, mentre i maschi
murari non hanno presentato particolari danni. Nel secondo ciclo (B), è risultato
evidente l’inizio del danneggiamento dei maschi, in particolare di quello centrale alla
base. Il ciclo C ha mostrato un danneggiamento diffuso dei maschi alla base fino a
delineare nel ciclo D un meccanismo di piano debole.
Tale studio è stato assunto come base per la calibrazione del metodo reticolare
proposto in questo lavoro, nei prossimi due paragrafi si mostreranno i risultati delle
simulazioni svolte al calcolatore.
5.2.1
Modello continuo omogeneo.
Per una prima analisi delle pareti oggetto di studio (Door Wall e Window
Wall) si è fatto ricorso alla modellazione di dettaglio agli elementi finiti (f.e.m)
eseguita mediante il codice di calcolo Straus7.
Come già detto, la modellazione usualmente adottata per le strutture murarie fa
riferimento ad un materiale omogeneo, con caratteristiche elastiche dipendenti da
quelle del legante e quelle del materiale lapideo.
Al fine di cogliere il comportamento globale delle pareti si è operata una fitta
discretizzazione mediante elementi finiti piani.
Inizialmente è stata svolta un’analisi nel piano (2D), in stato piano di tensione
(2D plane stress), delle due pareti oggetto di studio per confrontare i risultati ottenuti
dall’analisi numerica al calcolatore con quelli noti da letteratura e quelli relativi al
modello reticolare che verranno esposti nel prossimo paragrafo.
162
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Figura 5.10 – Modelli 2d creati in Straus7.
Come mostrato in figura per le analisi nel piano sono stati creati due modelli
costituiti da elementi bidimensionali tipo Plate (2D Plane Stress). La mesh è formata
da elementi Quad4 di dimensioni 10 cm x 10 cm; nel caso Door Wall si hanno 3140
plates e 3353 nodi, mentre nel modello Window Wall 3112 plates e 3371 nodi. Sono
state attribuite differenti proprietà per distinguere due materiali concrete e muratura.
Infatti ad alcuni elementi plate sono state attribuite caratteristiche differenti da quelle
tipiche della muratura per simulare la presenza di architravi, al di sopra delle
aperture, e in alcuni modelli sono stati inseriti cordoli a livello dei solai . A questi
elementi sono state assegnate le caratteristiche relative al materiale “Concrete:
Compressive Strength fc = 25 MPa” caricato dalla libreria del codice di calcolo.
Per il materiale muratura si è scelto invece di considerare un materiale Continuo
Omogeneo Equivalente e cui sono state attribuite particolari caratteristiche
dipendenti da quelle di malta e mattoni.
Il criterio di rottura utilizzato nella definizione delle proprietà dei materiali è quello
della piramide esagonale di Mohr Coulomb (Par 4.4.1) in cui i parametri φ e c
163
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
possono essere espressi in termini di resistenza monoassiale a compressione e a
trazione:
fc − ft
fc + ft
sin ϕ =
c=
fc ft
tan ϕ
fc − ft
Appare quindi evidente come il valore dell’angolo di attrito sai definito una volta
assegnato il rapporto tra le due resistenze monoassiali, mentre la coesione sia nota
una volta assegnato tale rapporto e f t oppure f c .
Assumendo quindi
•
f mc = 6MPa
•
f mt = 0,076MPa
•
ν = 0,2
•
E = 2000 MPa
•
γ = 1800kg / m 3
si ricavano i seguenti valori :
ϕ = 76°
c = 0,34MPa
L’analisi statica non lineare è stata impostata applicando un taglio alla base
iniziale di 1 N (somma di due forze a livello di piano). Questo valore è stato
incrementato fino ad ottenere uno spostamento di circa 0,5% dell’altezza totale
dell’edificio.
Oltre ai pesi propri sono state considerate masse aggiuntive a livello dei solai
per simulare un carico distribuito di 10 KN/m2 per piano, mentre seguendo le
164
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
indicazioni riportate in 4.6 sono state applicate alla struttura tre diverse distribuzioni
di forze orizzontali:
-
UNIF : proporzionale alle masse
-
MASS: proporzionale alle masse per le altezze
-
MODAL : proporzionale all’ampiezza relativa al primo modo di vibrare.
In tabella sotto vengono riportati i valori di forze applicati a livello dei solai
nelle tre diverse distribuzioni di forze relative alle due pareti oggetto di studio.
Door Wall
Window Wall
Distribuzione % F unit 1°P % F unit 2° P
Distribuzione % F unit 1° P % F unit 2° P
“UNIF”
50
50
“UNIF”
50
50
“MASS”
33
66
“MASS”
33
66
57,4
42,6
52,3
47,7
“MODAL”
“MODAL”
Tab 5.1 – Distribuzioni di forza per l’analisi pushover
Nel seguito si riportano alcuni risultati in termini di Plate Stress YY e Plate
Stress XY relative alle due pareti a collasso e le corrispondenti curve taglio alla base
– spostamento (curve di capacità).
165
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.11 – Door Wall: Plate stress YY e XY.
Figura 5.12 – Door Wall: Confronto curve di capacità.
166
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Figura 5.13 – Window Wall: Plate Stress YY e XY.
Figura 5.14 – Window Wall: Confronto curve di capacità.
167
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Si riporta ora l’andamento delle tensioni normali e tangenziali a collasso nella
sezione di base come mostrato in figura 5.15 per la parete door wall e per la Window
Wall.
Figura 5.15 – Door Wall: Sezione di base.
Tensioni Verticali a collasso nella sezione di base
0.5
0
0
100
200
300
-0.5
MPa
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
cm
168
400
500
600
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Tensioni tangenziali a collasso nella sezione di base
0.6
0.5
0.4
0.3
MPa
Serie1
Serie2
0.2
Serie3
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
-0.1
cm
Fig 5.16 – Andamento tensioni normali e tangenziali nella sezione di base.
Figura 17 – Window Wall: Sezione di base.
169
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Tensioni normali a collasso nella sezione di base
0.5
0
0
100
200
300
400
500
600
-0.5
MPa
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
cm
Tensioni tangenziali a collasso nella sezione di base
0.25
0.2
MPa
0.15
0.1
0.05
0
0
100
200
300
400
500
600
cm
Fig 5.18 – Tensioni normali e tangenziali nella sezione di base.
Le tensioni normali a collasso nella parete sono caratterizzate da una
distribuzione alla base con valori nulli nelle zone in tensione e picco
corrispondente alla fibra soggetta a massima compressione. Si può notare inoltre
che la distribuzione di tensioni di compressione ha valori più elevati sulla
colonna con distanza maggiore dall’asse.
170
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Le tensioni tangenziali a collasso nella parete sono caratterizzate da una
distribuzione alla base con valori nulli nelle zone con tensione verticale nulla e
picco corrispondente alla fibra soggetta a massima compressione. Si può notare
inoltre che la distribuzione di tensioni tangenziali ha valori più elevati sulla
colonna con rigidezza tagliante maggiore.
5.2.2
Analisi con modello reticolare.
Utilizzando il metodo descritto nel capitolo 4 è stato determinato il modello
reticolare equivalente alle due pareti esaminate in questa sezione. I maschi murari e
le fasce di piano sono state modellate mediante una struttura reticolare formata da
una doppia reticolare (8 elementi diagonali) e tre montanti (due laterali più uno
centrale). Le zone si intersezione fra le fasce di piano e i maschi murari sono invece
state modellate mediante elementi plate bidimensionali a quattro nodi (quad4),
infinitamente rigidi e resistenti, poiché dall’osservazione dei danni provocati da
terremoti passati, si è constatato come tali regioni siano molto meno interessate da
fessurazione e danneggiamento rispetto a montanti murari e fasce di piano. Si
riportano nel seguito le immagini del tipo di modellazione effettuata e le tabelle in
cui si riportano le sezioni delle bielle equivalenti e il tipo di elemento beam utilizzato
per le due pareti Door Wall e Window Wall.
171
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Figura 5.19 – Modello reticolare door wall.
Figura 5.20 – Modello reticolare window wall.
172
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
DOOR WALL
Pannello
B [mm]
H [mm]
E [MPa]
1100
2200
2000
1800
2200
2000
1100
2200
2000
1700
1000
2000
1100
1300
2000
1800
1300
2000
1100
1300
2000
Maschio1
1° piano
Maschio2
1° piano
Maschio3
1° piano
Fascia 1°
piano
Maschio1
2° piano
Maschio2
2° piano
Maschio3
2° piano
Fascia
2° piano
1200
1000
2000
Elemento
L [mm]
Sez. [mm]
Diagonali
2460
182,4
Montanti
2200
214,0
Diagonali
2842
205,44
Montanti
2200
273,86
Diagonali
2460
182,4
Montanti
2200
214,0
Diagonali
1972
192,41
Montanti
1000
266,14
Diagonali
1703
159,23
Montanti
1300
214,0
Diagonali
2220
194,97
Montanti
1300
273,86
Diagonali
1703
159,23
Montanti
1300
214,0
Diagonali
1562
159,02
Montanti
1000
223,6
Tab 5.2 – Door Wall: sezioni bielle equivalenti.
WINDOW WALL
Pannello
B [mm]
H [mm]
E [MPa]
Maschio1
1° piano
600
1300
2000
Maschio2
1° piano
1000
1300
2000
Maschio3
173
Elemento
L [mm]
Diagonali
715
Sez.
[mm]
139,34
Montanti
1300
158,11
Diagonali
820
152,96
Montanti
1300
204,12
Diagonali
820
152,96
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
1° piano
1000
1300
CAPITOLO 5
2000
Maschio4
1° piano
600
1300
2000
1700
1000
2000
600
1300
2000
1000
1300
2000
1000
1300
2000
600
1300
2000
1200
1000
2000
Fascia
1° piano
Maschio1
2° piano
Maschio2
2° piano
Maschio3
2° piano
Maschio4
2° piano
Fascia
2° piano
Montanti
1300
204,12
Diagonali
715
139,34
Montanti
1300
158,11
Diagonali
986,2
192,4
Montanti
1000
266,14
Diagonali
715
139,34
Montanti
1300
158,11
Diagonali
820
152,96
Montanti
1300
204,12
Diagonali
820
152,96
Montanti
1300
204,12
Diagonali
715
139,34
Montanti
1300
158,11
Diagonali
781
159
Montanti
1000
223,6
Tab 5.3 – Window Wall: sezioni bielle equivalenti.
Gli elementi monodimensionali costituenti il reticolo equivalente sono del
tipo Cut-off bar ovvero elementi truss (biella) a cui viene assegnato il valore
massimo di resistenza a compressione e trazione.
L’elemento cutoff bar è un tipo speciale di elemento truss (biella) che ha
predefiniti limiti di resistenza a trazione e a compressione. In campo lineare o
quando la forza assiale nell’elemento rientra nei limiti predefiniti, l’elemento si
comporta come una biella. Quando invece la forza assiale eccede i limiti, il
comportamento cambia e la rigidezza assiale è governata da parametri aggiuntivi.
Un elemento cutoff può essere classificato nelle seguenti tipologie:
-
Resistente a trazione (tension only): un elemento biella che diventa
automaticamente inattivo durante la soluzione se va in compressione. E’ invece
attivo in trazione fino ad un predefinito valore di cutoff.
174
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
-
CAPITOLO 5
Resistente a compressione (compression only): un elemento biella che
diventa automaticamente inattivo durante la soluzione se va in trazione. E’ invece
attivo in compressione fino ad un predefinito valore di cutoff.
-
Resistente a trazione-compressione: un elemento biella che resiste sia a
trazione che a compressione, ma solamente entro i limiti predefiniti.
Una volta superati i valori di cutoff, l’elemento può avere due differenti tipi di
comportamento:
-
Brittle: quando la forza assiale nell’elemento eccede uno dei due limiti,
l’elemento va effettivamente in crisi. La resistenza si annulla e la forza
assiale nell’elemento va a zero. Se il carico assiale è successivamente
ridotto entro i limiti dell’elemento, esso riprenderà ancora la sua capacità di
resistere ai carichi. In altre parole, anche se l’elemento ha già raggiunto uno
dei due limiti, in seguito potrebbe tornare a contribuire alla rigidezza del
sistema.
-
Se il carico assiale nella barra eccede i limiti di resistenza, la barra diventa
perfettamente plastica (yelding). Non può contribuire ulteriormente alla
resistenza del sistema ma la forza assiale rimarrà allo stesso livello in caso
di diminuzione di carico. Se la diminuzione di carico avviene dopo lo
snervamento della barra, la forza assiale rimane al valore limite fino a che
l’effettiva deformazione dell’elemento si riduce fino a raggiungere la
deformazione di snervamento. Da questo punto, se il carico è ulteriormente
ridotto, anche la forza assiale nell’elemento si riduce.
E’ da notare che l’elemento non esibisce comportamento isteretico. Effettivamente la
rigidezza dell’elemento e la sua forza assiale sono dettate unicamente dalla
deformazione dell’elemento, come per un elemento elastico non lineare.
175
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.21 – Diagramma forza-spostamento: comportamento di un elemento cutoff bar duttile
Nel caso particolare dell’applicazione degli elementi cutoff bar al modello
reticolare sono stati assunti, per i valori limite, rispettivamente il valore della
resistenza a compressione della muratura (fc) e della resistenza a trazione ft nel caso
di modello a resistenza bilaterale mentre nel caso di modello a resistenza unilaterale
la resistenza a trazione della muratura è stata assunta pari a 0.
In tal modo è possibile evidenziare il comportamento non lineare della
muratura
per
progressiva
variazione
di
geometria,
descrivendo
il
reale
comportamento del materiale.
Sono state effettuate quindi diverse tipologie di prove considerando sia
resistenza unilaterale (ft=0), sia assegnando il valore corrispondente di resistenza a
trazione.
Le caratteristiche meccaniche assegnate
•
f mc = 6MPa
•
f mt = 0MPa
cut off bar a resistenza unilaterale
176
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
•
f mt = 0,1MPa
•
ν = 0,2
•
E = 2000 MPa
•
γ = 2000kg / m 3
CAPITOLO 5
cut off bar a resistenza bilaterale.
Un’analisi preliminare (determinazione delle prime forme modali e
frequenze) è stata necessaria per definire la distribuzione delle forze laterali per il
caso di carico MODAL. Questa è anche un’opportunità per controllare le possibili
differenze già esistenti fra le diverse strategie di modellazione. Sia il modello
continuo (paragrafo precedente), che quello reticolare hanno mostrato circa le stesse
frequenze fondamentali e forme modali molto simili tenendo conto che comunque
con i soli due primi modi si attiva già più del 90% della massa totale del sistema.
177
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.22 – Door Wall: confronto forme modali.
Frequenza [Hz]
Periodo [s]
Continuo
12,87
0,077
Reticolare
14,35
0,069
Continuo
34,65
0,0288
Reticolare
38,28
0,0261
Continuo
36,65
0,0272
Reticolare
48,67
0,0205
Modo
1
2
3
Tab 5.4 – Door Wall: confronto frequenze e periodo proprio.
178
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Anche l’analisi modale svolta sulla parete Window Wall ha mostrato una
buona corrispondenza tra le due strategie di modellazione.
Frequenza [Hz]
Periodo [s]
Continuo
12,225
0,082
Reticolare
12,44
0,080
Continuo
32,90
0,030
Reticolare
32,713
0,031
Continuo
35,52
0,028
Reticolare
38,258
0,021
Modo
1
2
3
Tab 5.5 – Window Wall: confronto frequenze e periodo proprio.
Nel seguito si riportano alcuni risultati in termini di spostamenti e tensioni
relative agli elementi cut-off per le due pareti analizzate con il modello reticolare e le
corrispondenti curve taglio alla base – spostamento (curve di capacità) confrontate in
ultima analisi con quelle relative alle prove sperimentali.
Passo 0
Passo 4
179
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Passo 8
Passo 12
Passo 16
Passo 20
Fig 5.23 – Door Wall: spostamenti e sforzi assiali a diversi passi di carico.
Fig. 5.24 – Door Wall: curva di capacità.
180
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.25 – Door Wall: confronto curve di capacità.
Fig. 5.26 – Window Wall: confronto curve di capacità.
181
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
5.3
Caso Studio 2:
CAPITOLO 5
Analisi di pareti in muratura (Salonikios)
Quando una struttura in muratura ordinaria è soggetta ad un’eccitazione
sismica alla base, sia il meccanismo resistente flettente che quello tagliante possono
essere attivati e la rottura può apparire prima dove si ha minore resistenza.
I metodi che si basano sul displacement-based method o l’analisi statica non
lineare hanno il vantaggio che i carichi sono applicati in maniera statica e i risultati
possono essere facilmente verificati. Nell’articolo è presentato uno studio
comparativo usando differenti metodi di modellazione (continuo omogeneo, a telaio,
continuo eterogeneo). Nelle analisi sono state assunte tre differenti distribuzioni di
forze laterali, poiché nelle costruzioni in muratura non è sempre ovvio un appropriato
profilo di forze laterali. Questo problema deriva dal fatto che, in alcune strutture, una
frazione importante della massa totale è distribuita lungo l’altezza delle pareti e in
molti casi ci sono solai flessibili in legno che non costituiscono diaframmi
sufficientemente rigidi a livello di piano.
Fig 5.27 – pareti oggetto di studio: 1B e 7B
Sono esaminati due differenti pareti di due piani, denominate one-bay (1B) e
seven-bay (7B). La scelta dei due modelli è stata dettata dal fatto che la maggior
parte degli edifici in muratura del sud dell’Europa sono di piccole dimensioni (spesso
due soli piani,come in Grecia), ma possono essere più piccole o grandi a seconda
dell’uso (privato o collettivo).
182
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
In aggiunta ai pesi propri sono state considerate masse aggiuntive a livello dei
solai. Per la parete 1B è stata applicata una massa uniforme distribuita di 6t/m per il
primo piano e 4t/m per il secondo. I corrispondenti valori per la parete 7B sono 3t/m
e 2t/m rispettivamente per il primo e per il secondo piano.
Le principali caratteristiche meccaniche del materiale muratura sono:
-
t = 60cm
Spessore della parete
-
ρ = 2t / m 3
Massa volumetrica
-
E = 1650 MPa
Modulo di Young
- ν = 0,2
Coefficiente di Poissont
-
f t = 0,1MPa
Resistenza a trazione
-
f c = 3MPa
Resistenza a compressione
Nel modello continuo la muratura è considerata come un materiale omogeneo
bidimensionale in stato piano di tensione; in tal modo i mattoni e i giunti di malta
non sono rappresentati separatamente. I parametri governanti il tratto del
comportamento post-picco sono stati assunti per ottenere un softening fragile in
trazione e più duttile in compressione, tuttavia nella presenta analisi il tratto di
softening non può essere ottenuto perché il caricamento è effettuato in controllo di
forza.
Fig 5.28 – Modello continuo: discretizzazione (meshes)
183
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.29 – Curve tensione-deformazione del materiale in trazione e compressione.
I carichi sono assegnati alla struttura in maniera incrementale.
L’analisi è stata portata avanti fino al raggiungimento di un prescritto valore di
spostamento (7,5 cm nel caso 1B, 2,5 nel caso 7B) di un nodo di controllo.
Come detto, nelle analisi sono state usate tre differenti distribuzioni di forze
orizzontali:
-
Load Case ACC (UNIF) : la forza laterale applicata a ciascun nodo è
proporzionale alla massa; quando tutti i nodi hanno la stessa massa, questo
caso di carico risulta una distribuzione uniforme del carico laterale.
-
Load Case LOAD (MASS) : La forza laterale applicata a ciascun nodo è
proporzionale al prodotto dell’altezza del nodo per la massa. Quando tutti i
nodi hanno la stessa massa, questo caso di carico risulta una distribuzione
triangolare inversa del carico laterale.
-
Load Case MODE (MODAL) : La forza laterale applicata a ciascun nodo è
proporzionale al prodotto dello spostamento del nodo nel primo modo di
vibrare per la massa del nodo.
I risultati del modello continuo in termini di curva di pushover sono presentati in
figura sotto per le pareti 1B e 7B rispettivamente.
184
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.30 – Curve di capacità per la parete 1B (Salonikios).
Fig 5.31 – Curve di capacità per la parete 7B (Salonikios).
I casi di carico LOAD E MODE mostrano risultati simili (stesse curve di
capacità, simili meccanismo di crisi), mentre il load case ACC (UNIF) mostra una
maggiore rigidezza e un più alto taglio ultimo alla base. Questo è dovuto al fatto che
il taglio applicato ai maschi del secondo piano è più alto nei casi di carico LOAD e
MODE rispetto al caso UNIF. Sotto i casi di carico LOAD/MODE non solo lo
spostamento totale del punto di controllo è maggiore (minore rigidezza), ma anche i
meccanismi di crisi non sono limitati alla crisi per taglio dei maschi murari del primo
piano. Per la parete 7B il collasso interessa in maniera più estesa il secondo piano
185
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
dove molti maschi mostrano un meccanismo di rottura per presso flessione, mentre
nel load case UNIF (ACC) il meccanismo di crisi è concentrato principalmente nel
primo piano.
5.3.1
Modello continuo omogeneo.
Per una prima analisi delle pareti oggetto di studio (1B – 7B) si è fatto ricorso
alla modellazione di dettaglio agli elementi finiti (f.e.m. = finit element method)
eseguita mediante il codice di calcolo Straus7 operando una fitta discretizzazione
mediante elementi finiti piani.
Inizialmente è stata svolta un’analisi in stato piano di tensione delle due pareti
oggetto di studio per confrontare i risultati ottenuti dall’analisi numerica al
calcolatore con quelli noti da letteratura (ottenuti con analisi numeriche da T.
Salonikios) e quelli relativi al modello reticolare che verranno esposti nel prossimo
paragrafo.
Tab 5.32 – Modello creato con il codice di calcolo Straus7 della parete 1B.
186
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Tab 5.33 – Modelli creati con il codice di calcolo Straus7: parete 7B
Come mostrato in figura per le analisi nel piano sono stati creati due modelli
costituiti da elementi bidimensionali tipo Plate (2D Plane Stress). La mesh è formata
da elementi Quad4 di dimensioni 12,5 cm x 12.5 cm; nel caso 1B si hanno 1776
plates e 1924nodi, mentre nel modello 7B 8400 plates e 9016 nodi. Sono state
attribuite differenti proprietà per distinguere due materiali concrete e muratura.
Infatti ad alcuni elementi plate sono state attribuite caratteristiche differenti
da quelle tipiche della muratura per simulare la presenza di architravi, al di sopra
delle aperture. A questi elementi sono state assegnate le caratteristiche relative al
materiale “Concrete: Compressive Strength fc = 25 MPa” caricato dalla libreria del
codice di calcolo.
Per il materiale muratura si è invece considerato un materiale Continuo Omogeneo
Equivalente e cui sono state attribuite particolari caratteristiche dipendenti da quelle
di malta e mattoni.
Assumendo quindi
•
f mc = 3MPa
187
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
•
CAPITOLO 5
f mt = 0,1MPa
•
ν = 0,2
•
E = 1650 MPa
•
γ = 2000kg / m 3
si ricavano i seguenti valori :
ϕ = 69°
c = 0,27 MPa
(Parametri di Mohr-Coulomb)
L’analisi statica non lineare è stata impostata applicando un taglio alla base
iniziale di 1 N (somma di due forze a livello di piano). Questo valore è stato
incrementato fino ad ottenere uno spostamento di circa 0,5% dell’altezza totale
dell’edificio. Nel caso della parete 7B la forza orizzontale è stata suddivisa per tutti i
nodi appartenenti al livello di piano per evitare eccessive concentrazioni di tensioni
negli elementi in cui è applicata la forza orizzontale.
Oltre ai pesi propri sono state considerate masse aggiuntive a livello dei solai.
Per la parete 1B è stata applicata una massa uniforme distribuita di 6t/m per il primo
piano e 4t/m per il secondo. I corrispondenti valori per la parete 7B sono 3t/m e 2t/m
rispettivamente per il primo e per il secondo piano.
Tab 5.34 – 7-Bay: carichi verticali
188
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.35 – 7 – Bay: carichi orizzontali.
Nel seguito si riportano alcuni risultati in termini di Plate Stress YY e Plate
Stress XY relative alle due pareti a collasso e le corrispondenti curve taglio alla base
– spostamento (curve di capacità).
Tab 5.36 – Parete 1 B: plate stress YY e XY.
189
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Tab 5.37 – Parete 7 B: plate stress YY.
Tab 5.38 – Parete 7 B: plate stress XY.
190
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.39 – Parete 1 B: Curva di capacità.
Fig 5.40 – Parete 7 B: Curva di capacità.
191
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
5.3.2
CAPITOLO 5
Analisi con modello reticolare.
E’ stato determinato il modello reticolare equivalente alle due pareti
esaminate in questa sezione. I maschi murari e le fasce di piano sono state modellate
mediante una struttura reticolare formata da una doppia reticolare (8 elementi
diagonali) e tre montanti (due laterali più uno centrale) mentre le zone nodali sono
invece state modellate mediante elementi plate bidimensionali a quattro nodi
(quad4), infinitamente rigidi e resistenti.
Si riportano nel seguito le immagini del tipo di modellazione effettuata e le
tabelle in cui si riportano le sezioni delle bielle equivalenti e il tipo di elemento beam
utilizzato per le due pareti 1B e 2B.
Fig 5.41 – Parete 1 B: Modello reticolare.
Pannello
Maschio
1° piano
Maschio
2° piano
B [cm]
H [cm]
E [MPa]
750
1375
1650
750
1000
1650
Fascia di
Piano
750
750
1650
Elemento
L [cm]
Sez. [cm]
Diagonali
1566
32,2
Montanti
1375
38,7
Diagonali
1250
29,4
Montanti
1650
38,7
Diagonali
1060
27,8
Montanti
1650
38,7
Tab 5.6 – Parete 1 B: sezioni bielle equivalenti.
192
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Tali sezioni degli elementi (sia montanti che diagonali) sono valide sia per la
parete 1B che per quella 7B avendo quest’ultima le stesse dimensioni principali della
prima con solamente un numero maggiore di aperture (7).
Gli elemento monodimensionali costituenti il reticolo equivalente sono del
tipo Cut-off bar ovvero elementi truss (biella) a cui viene assegnato il valore
massimo di resistenza a compressione e trazione. Sono state effettuate quindi diverse
tipologie di prove considerando sia resistenza unilaterale (ft=0), sia assegnando il
valore corrispondente di resistenza a trazione.
Le caratteristiche meccaniche assegnate
•
f mc = 3MPa
•
f mt = 0MPa
cut off bar a resistenza unilaterale
•
f mt = 0,1MPa
cut off bar a resistenza bilaterale.
•
ν = 0,2
•
E = 1650 MPa
•
γ = 2000kg / m 3
E’ stata quindi svolta un’analisi preliminare per determinare le prime forme
modali e le relative frequenze, necessarie per definire la distribuzione delle forze
laterali per il caso di carico MODAL. Questa è anche un’opportunità per controllare
le possibili differenze già esistenti fra le diverse strategie di modellazione. Sia il
modello continuo (paragrafo precedente), che quello reticolare hanno mostrato le
stesse frequenze fondamentali e forme modali molto simili.
193
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.42 – Parete 1 B: Confronto forme modali.
194
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
Frequenza [Hz]
Periodo [s]
Continuo
7,27
0,137
Reticolare
6,64
0,150
Continuo
22,56
0,044
Reticolare
20,26
0,049
Continuo
26,08
0,038
Reticolare
28,83
0,034
Modo
1
2
3
CAPITOLO 5
Tab 5.7 – Frequenze e periodi propri.
Fig 5.43 – Masse partecipanti per le due pareti esaminate.
195
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Anche l’analisi modale svolta sulla parete 7B ha mostrato una buona
corrispondenza tra le due strategie di modellazione.
Frequenza [Hz]
Periodo [s]
Continuo
9,84
0,101
Reticolare
7,92
0,126
Continuo
21,42
0,0466
Reticolare
22,54
0,044
Continuo
24,56
0,0407
Reticolare
27,80
0,035
Continuo
25,13
0,039
Reticolare
29,92
0,033
Modo
1
2
3
4
Tab. 5.8 – Parete 7 B: frequenze e forme modali.
Fig. 5.44 – Confronto fra il primo modo di vibrare nei due modelli:
continuo, f1=9,84Hz ; reticolare, f1=7,92Hz.
196
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Nel seguito si riportano alcuni risultati in termini di spostamenti e tensioni
relative agli elementi cut-off per le due pareti analizzate con il modello reticolare e le
corrispondenti curve taglio alla base – spostamento (curve di capacità).
Fig 5.45 – Parete 1 B: passo di carico 1 e a collasso.
Fig 5.46 – 1 bay: curve di capacità relative a varie prove effettuate.
197
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
1Bay
3.00E+05
Taglio alla Base [N]
2.50E+05
omogeneo UNIF
2.00E+05
omogeneo MASS
omogeneo MODAL
1.50E+05
RETICOLARE
1.00E+05
5.00E+04
0.00E+00
0.00E+ 1.00E+ 2.00E+ 3.00E+ 4.00E+ 5.00E+ 6.00E+
00
00
00
00
00
00
00
Spostamento [cm]
Fig 5.47 – 1 bay: confronto modello continuo e reticolare.
Fig 5.48 – 7 bay: curve di capacità relative a varie prove effettuate.
198
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
7 - Bay
1800000
1600000
Taglio alla Base [N]
1400000
1200000
omogeneo forza concentrata
reticolare fc3 ft0
1000000
Omogeneo Forza Distribuita
800000
Reticolare fc3 ft0 fasce beam
600000
400000
200000
0
0
0.5
1
1.5
2
Spostamento [cm]
Fig 5.49 – 7B: Confronto modello continuo e reticolare.
199
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
5.4
Caso Studio 3:
CAPITOLO 5
il Progetto Catania.
Come accennato nell’introduzione di questo capitolo, tale studio, promosso
dal GNDT è volto alla determinazione dello scenario di danno conseguente a un
terremoto comparabile con l’evento distruttivo del 1693.
Gli obiettivi dello studio sono molteplici. Da un lato, nell’ambito del Progetto
Catania, si era ravvisata l’opportunità di eseguire un’analisi dettagliata di alcuni
edifici rappresentativi dell’edilizia in muratura, sia storica che recente, al fine di
effettuare una taratura delle valutazioni di vulnerabilità a media e a grande scala.
Dall’altro, questo studio era sembrato un’importante occasione per applicare a casi
reali alcuni dei modelli di calcolo che in anni recenti sono stati messi a punto per
l’analisi delle costruzioni in muratura, ed effettuare confronti tra i modelli stessi.
Su queste basi si è studiato il comportamento di determinate pareti in
muratura appartenenti agli edifici campione. Le analisi sono state eseguite
utilizzando sia il modello continuo agli elementi finiti che quello reticolare e infine i
risultati sono stati confrontati con quelli disponibili in letteratura ottenuti da analisi
sugli stessi edifici dalle principali unità di ricerca in Italia (Pavia, Basilicata,
Genova).
Lo studio non poteva prescindere da un’indagine tipologica sulle costruzioni
in muratura di Catania e da indagini sperimentali sui materiali, arricchendo così le
conoscenze che da anni si vanno accumulando in Italia sulle caratteristiche del
patrimonio edilizio in muratura.
5.4.1
Descrizione dell’edificio esaminato.
L’edificio esaminato presenta una pianta a C prospiciente via L. Capuana, via
G. Oberdan e via G. Verdi ed uno sviluppo in elevazione che comprende, nel
complesso, 3 livelli. L’edificio è costituito da due parti risalenti ad epoche diverse.
E’ presente un nucleo più antico, edificato prima del 1840, cui è stato addossato un
nucleo più recente e che corrisponde alla testata che si affaccia sulla Via Capuana.
200
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Sebbene stilisticamente omogeneo con l’edificio preesistente, il corpo aggiunto può
essere individuato per una diversa dimensione e spaziatura delle aperture sui vari
prospetti. L’edificio è dotato all’interno di un ampio cortile, in cui l’irregolarità dei
prospetti, la variabilità delle forme e delle dimensioni geometriche dei prospetti che
vi si affacciano, nonché la presenza di numerosi aggetti e corpi aggiunti,
testimoniano ripetuti rimaneggiamenti del blocco edilizio.
L’edificio presenta una struttura portante in muratura di pietra lavica con
orizzontamenti prevalentemente voltati, e rappresenta un tipico esempio degli edifici
del centro storico della città di Catania. La spinta orizzontale delle volte rende
necessaria la valutazione della sicurezza anche nei confronti del ribaltamento delle
pareti al di fuori del loro piano; in questo paragrafo, tuttavia, si analizzeranno le
risposte delle pareti resistenti nel loro piano, assumendo che il ribaltamento sia
impedito da catene opportunamente disposte.
L’obiettivo è quello di fornire le informazioni di dettaglio sulla risposta delle
singole pareti resistenti necessarie a valutare e calibrare i risultati delle analisi
tridimensionali, che per limiti di natura computazionale non possono fornire
informazioni altamente dettagliate.
La Figura sotto rappresenta la pianta al piano terreno dell’edificio limitatamente alla
parte oggetto di un accurato rilievo. La porzione di fabbricato compresa nella zona
con ombreggiatura grigia è quella edificata anteriormente al 1840.
Le indagini svolte riguardano solo una parte dell’intero edificio. In particolare
è stata analizzata l’ala prospiciente la via L. Capuana, realizzata successivamente al
1840, e una parte dell’ala prospiciente la via G. Oberdan in cui è presente il giunto di
separazione tra le strutture di epoca differente.
201
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.50 – Pianta del fabbricato.
Fig 5.51 – Prospetto esterno del fabbricato.
Per le strutture murarie si sono assunte, in accordo con le unità di ricerca di Genova e
Pavia, le caratteristiche meccaniche riportate in Tabella sotto.
202
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Modulo di Young
2500 MPa
Modulo G
E/6
Peso specifico
2000 kg/mc
Resist. a compressione
3 MPa
Angolo di attrito
55°
Coesione
0.2
Tag 5.9 – Parete A: caratteristiche meccaniche.
Il meccanismo di collasso che appare più probabile è quello di ribaltamento
delle pareti esterne al di fuori del piano. Tale convinzione è supportata da diverse
considerazioni ed in particolare:
• le pareti si presentano molto snelle, con spessori esigui alla base (85 cm),
rastremazioni ai piani superiori e altezze complessive elevate (oltre i 19m);
• sono presenti volte strutturali, a crociera o a padiglione, non soltanto ai piani bassi
ma anche all’ultimo livello, in corrispondenza del quale, inoltre, queste ultime sono
particolarmente ribassate e quindi maggiormente spingenti;
• sono del tutto assenti catene capaci di assorbire le spinte esercitate dagli
orizzontamenti ai diversi piani.
In questo studio però interessa valutare la risposta delle pareti nel proprio
piano pertanto si ipotizza di realizzare un intervento di incatenamento dell’edificio in
modo
da garantire il trasferimento delle forze sismiche sulle pareti parallele all’azione e,
quindi, maggiormente in grado di sopportarle, evitando quindi di considerare i
meccanismi di collasso fuori dal piano (di I modo).
Lo studio del comportamento della struttura è effettuato con l’esame di
dettaglio di alcune pareti, in particolare si riportano i risultati relativi alla parete di
203
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
facciata del lato di dimensioni longitudinali maggiori (parete che si affaccia su Via
Verdi).
In funzione dei carichi verticali applicati, sono state calcolate le forze
sismiche agenti secondo l’analisi statica equivalente. I coefficienti di distribuzione
sono stati ricavati concentrando carichi permanenti ed accidentali di solaio a livello
di piano e peso della muratura nei nodi degli elementi finiti. L’analisi è stata condotta
applicando dapprima la modellazione continua omogenea e in seguito il modello
reticolare proposto in questo lavoro.
5.4.2
Studio di dettaglio delle pareti: Il modello omogeneo.
La parete da esaminare è denominata “parete A”; essa costituisce la parete di
facciata dell’edificio, è abbastanza tozza (24.68 m di larghezza per 15.4 m di altezza)
e quasi simmetrica rispetto all’asse verticale centrale. Si presenta molto regolare per
dimensione e allineamento delle aperture, per spessore di piano (86 cm al primo
livello, 57 cm a quelli superiori), per caratteristiche meccaniche della muratura.
Unico elemento di irregolarità è rappresentato dall’apertura centrale del piano terra,
più larga (2.56 m) e più alta (4.05 m) delle altre;
Fig 5.52 – Pianta dell’edificio in Via Verdi.
204
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.53 – Prospetto e modello della parete esaminata.
La forza sismica applicata è stata calcolata secondo l’analisi statica
equivalente in funzione dei soli carichi gravanti sulle pareti. Va, quindi, sottolineato
come la situazione considerata sia meno gravosa di quella reale, nella quale la parete
sopporta anche le forze d’inerzia che nascono per i carichi ed i sovraccarichi agenti
sulle pareti ortogonali al sisma.
Distribuzione Forze Sismiche
1800
1600
0.380028447
Altezza [cm]
1400
1200
1000
0.40638184
800
600
0.213589714
400
200
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fi/Ftot [%]
Fig 5.54 – Distribuzione delle forze sismiche lungo l’altezza della parete.
205
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
Piano
1
2
3
W
CAPITOLO 5
Z
Zi Carico Solaio Carichi totali
Fi/Ftot
Normalizzato
%
0
0
0
1279 485 485
128.7
1407.7
0.464452979 0.213589714 21.35897
1096.3 495 980
229.2
1325.5
0.883681395 0.40638184 40.63818
548.2 560 1540
240.6
788.8
0.826375678 0.380028447 38.00284
Tab 5.10 – Calcolo delle distribuzioni di Forze sismiche.
La modellazione è stata effettuata mediante elementi finiti rettangolari a
quattro nodi (quad4), con dimensioni medie di 25x25cm assumendo per la muratura
un comportamento elasto-plastico con criterio di rottura di Mohr Coulomb. I
parametri meccanici della muratura sono riportati sotto:
•
f mc = 3MPa
•
f mt = 0,3MPa
•
ν = 0,2
•
E = 2500 MPa
•
γ = 2000kg / m 3
Da cui si ricava
ϕ = 55°
c = 0,20 MPa
(Parametri di Mohr-Coulomb)
L’analisi pushover è stata impostata applicando un taglio alla base iniziale di
1 N (somma di tre forze a livello di piano). Questo valore è stato incrementato fino al
raggiungimento del taglio ultimo. La forza orizzontale inoltre è stata suddivisa per
tutti i nodi appartenenti al livello di piano per evitare eccessive concentrazioni di
tensioni negli elementi in cui è applicata.
Oltre ai pesi propri sono state considerate masse aggiuntive a livello dei solai
come riportato in tabella 5.30.
206
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.55 – Parete esaminata: modello ad elementi finiti
Fig 5.56 – Tensioni normali YY.
207
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.57 – Tensioni tangenziali XY.
Dai risultati si ricava un valore del taglio ultimo pari a circa 175 KN, valore
molto prossimo a quanto riportato dall’unità di ricerca dell’Università di Genova.
Fig 5.58 – Parete esaminata: Curva di Pushover
208
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
5.4.3
CAPITOLO 5
Analisi con modello reticolare.
La stessa parete A è stata studiata attraverso il modello reticolare equivalente.
I maschi murari e le fasce di piano sono state modellate mediante una struttura
reticolare formata da una doppia reticolare (8 elementi diagonali) e tre montanti (due
laterali più uno centrale) mentre le zone nodali sono invece state modellate mediante
elementi plate bidimensionali a quattro nodi (quad4), infinitamente rigidi e resistenti.
Nella parete non erano presenti cordoli a livello di piano che quindi non sono stati
modellati inserendo elementi tipo beam.
Si riportano nel seguito le immagini del tipo di modellazione effettuata e le
tabelle in cui si riportano le sezioni delle bielle equivalenti e il tipo di elementi beam
utilizzati.
Fig 5.59 – Parete A- Via Verdi: Modello reticolare.
209
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
Pannello
CAPITOLO 5
B [mm]
H [mm]
E [MPa]
2500
3500
2500
Maschio1
Piano1°
Maschio2
Piano 1°
3000
3500
2500
3500
3500
2500
Maschio3
Piano 1°
Maschio1
Piano2°
2500
3000
2500
3000
3000
2500
3500
3000
2500
Maschio2
Piano2°
Maschio3
Piano2°
Maschio1
Piano3°
2500
3250
2500
3000
3250
2500
Maschio2
Piano3°
Maschio3
Piano3°
3500
3250
2500
1650
1250
2500
2150
1250
2500
Fascia di
Piano 1
Fascia di
Piano 2
Fascia di
Piano 3
2300
1250
2500
Elemento
L [mm]
Sez. [mm]
Diagonali
4301
265,12
Montanti
3500
335,41
Diagonali
4609
280,07
Montanti
3500
370,80
Diagonali
4949
300,91
Montanti
3500
418,33
Diagonali
3905
254,70
Montanti
3000
335,41
Diagonali
4242
267,77
Montanti
3000
370,80
Diagonali
4609
317,78
Montanti
3000
447,21
Diagonali
4100
259,16
Montanti
3250
335,41
Diagonali
4422
275,75
Montanti
3250
370,80
Diagonali
4776
331,56
Montanti
3250
447,21
Diagonali
2070
179,83
Montanti
1250
250,00
Diagonali
2486
211,50
Montanti
1250
295,80
Diagonali
2617
245,96
Montanti
1250
335,41
Tab 5.11 – Parete A : sezioni bielle equivalenti.
Gli elemento monodimensionali costituenti il reticolo equivalente sono del
tipo Cut-off bar ovvero elementi truss (biella) a cui viene assegnato il valore
massimo di resistenza a compressione e trazione. Sono state effettuate quindi diverse
210
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
tipologie di prove considerando sia resistenza unilaterale (ft=0), sia assegnando il
valore corrispondente di resistenza a trazione.
Le caratteristiche meccaniche assegnate
•
f mc = 3MPa
•
f mt = 0MPa
•
ν = 0,2
•
E = 2500 MPa
•
γ = 2000kg / m 3
cut off bar a resistenza unilaterale
Nel seguito si riportano alcuni risultati in termini di spostamenti e tensioni
relative agli elementi cut-off per la parete A analizzate con il modello reticolare e le
corrispondenti curve taglio alla base – spostamento (curve di capacità).
Passo 5
211
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Passo 10
Passo 25 – collasso.
Fig 5.60 – Parete A : spostamenti e sforzi assiali a diversi passi di carico.
Il modello reticolare porta a determinare un taglio ultimo di 170 KN che
viene confrontato sotto con la curva ricavata utilizzando il modello continuo
omogeneo.
212
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.61 – Parete A: Confronto modello continuo e reticolare.
Infine i risultati in termini di curve di pushover sono stati confrontati con
quelli ottenuti dalle tre diverse unità di ricerca: Università di Pavia, università della
Basilicata e Università di Genova.
213
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
Fig 5.62 – Parete A: Confronto Curve Pushover relative a diverse strategie di modellazione.
Questo grafico riassuntivo in termini di Taglio-Spostamento, alla luce di
quanto visto anche nei due precedenti casi studio, mostra come il modello reticolare
proposto in questo lavoro ben rappresenti il reale comportamento delle pareti in
muratura nel proprio piano.
Inoltre grazie agli elementi Cut-Off a comportamento unilaterale è anche
riproducibile il comportamento della muratura (NTM : no tension material) quale
materiale non resistente a trazione; seguendo passo passo l’evoluzione dell’analisi si
possono controllare, oltre che gli spostamenti di un eventuale punto di controllo,
anche il valore di tensione negli elementi biella e più precisamente il valore dello
sforzo assiale. Controllano gli elementi che raggiungono il valore nullo di sforzo
214
APPLICAZIONI DEL MODELLO RETICOLARE
CAPITOLO 5
assiale (che vanno quindi in trazione) si possono individuare eventuali percorsi di
rottura. Tale modellazione è inoltre in grado di cogliere i principali meccanismi di
rottura dei maschi murari e delle fasce di piano, quali la crisi per fessurazione
diagonale e la crisi per presso flessione. Infatti la crisi dei diagonali è indicativa della
fessurazione diagonale, mentre la crisi dei montanti verticali, che sopraggiunge
nell’ultima fase dell’analisi prima del collasso, rappresenta la rottura per presso
flessione dei maschi murari.
Infine il metodo proposto e analizzato ha mostrato il notevole vantaggio,
rispetto alle altre modellazioni (soprattutto nei confronti delle analisi FEM
bidimensionali), di ridurre in maniera significativa i tempi di calcolo operando una
diminuzione dei gradi di libertà e dell’onere computazionale complessivo.
215
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
CAPITOLO 6
ANALISI
DI
VULNERABILITA’
CON
IL
METODO
DELLO
SPETTRO DI CAPACITA’.
6.1
Descrizione del C.S.M.
In questo capitolo conclusivo viene presentato il Metodo dello Spettro di
Capacità (Capacity Spectrum Method, C.S.M.), quale strumento per la valutazione di
vulnerabilità sismica attraverso le curve di capacità.
Il metodo consiste nel confronto tra la domanda del terremoto, rappresentata
attraverso gli spettri di risposta di accelerazione e spostamento, e la capacità della
struttura: un diagramma forza-spostamento non lineare, da convertire in
accelerazione spostamento, ottenuto applicando un sistema di forze orizzontali ai vari
piani. Si farà riferimento alla pseudo-accelerazione come accelerazione poiché
nell’ambito dell’ingegneria civile, in generale, e delle strutture in muratura, in
particolare, le due grandezze tendono a coincidere.
Fig 6.1 – Capacity Spectrum Method
217
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
La metodologia illustrata segue la riformulazione proposta da Fajfar (2000)
del cosiddetto Metodo dello spettro di capacità, introdotto precedentemente da
Freeman. Il metodo, nella sua formulazione originale, è stato adottato dalla
normativa statunitense ATC 40, mentre la versione presentata nella norma italiana
deriva, con alcune correzioni in particolare per gli edifici in muratura, da quella
contenuta nella nuova versione dell’Eurocodice 8, secondo l’impostazione di Fajfar.
Partendo dai due spettri di risposta di spostamento ed accelerazione (si tratta
in realtà di pseudo-accelerazione) è possibile costruire un unico diagramma
rappresentativo della domanda del terremoto. Tale diagramma è detto “Spettro della
domanda”: in ascissa è riportato lo spettro di risposta di spostamento, mentre in
ordinata lo spettro di accelerazione; il periodo proprio non è quindi esplicitamente
presente (implicitamente i differenti periodi identificano le rette di un fascio con
centro nell’origine).
Gli spettri sono solitamente definiti in base alla tipologia di suolo, attraverso
ordinate corrispondenti al alcuni valori di periodo, che definiscono la forma della
curva. A titolo di esempio si riportano le formule ed i periodi che descrivono gli
accelerogrammi nella nuova normativa italiana (simili a quanto previsto
nell’eurocodice 8):
0 ≤ T ≤ TB
⎞
⎛
T
(2,5η − 1)⎟⎟
S e (T ) = a g S ⎜⎜1 +
⎠
⎝ TB
TB ≤ T ≤ TC
S e (T ) = a g S ⋅ 2,5 ⋅ η
TC ≤ T ≤ TD
⎛T ⎞
S e (T ) = a g S ⋅ 2,5 ⋅ η ⋅ ⎜ C ⎟
⎝T ⎠
TD ≤ T
⎛T T ⎞
S e (T ) = a g S ⋅ 2,5 ⋅η ⋅ ⎜ C D ⎟
⎝ T ⎠
dove S tiene conto del profilo stratigrafico del suolo di fondazione e η dipende dallo
smorzamento (η = 1 per smorzamento viscoso 5%) ed ag dalla categoria sismica.
218
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Tab 6.1 – Periodi descrittivi dello spettro nella nuova normativa italiana
Fig. 6.2 – Spettri elastici di accelerazione e spostamento e Spettro della Domanda. Assi accelerazione e
spostamento, i periodi implicitamente sono individuabili lungo le rette a partire dall’origine.
Come si può notare dalla figura più a destra, scompare una dipendenza esplicita dal
periodo o dalla frequenza, ma i punti a uguale periodo si trovano allineati su rette
passanti per l’origine degli assi, secondo l’espressione:
2
⎛ 2π ⎞
SA = ⎜
⎟ SD
⎝ T ⎠
Sullo stesso piano (SD -SA) è possibile rappresentare lo spettro di capacità della
struttura, convertendo opportunamente i valori di forza (somma delle reazioni
vincolari nella direzione considerata) e spostamento (spostamento orizzontale nella
direzione considerata di un punto della struttura, solitamente assunto come lo
spostamento medio dei punti in sommità dell’edificio) ottenuti dall’analisi.
La curva di capacità forza spostamento è il risultato dell’analisi statica non
lineare su una struttura a più gradi di libertà: ai diversi piani dell’edificio sono
applicate delle forze orizzontali che sono proporzionali ad una prefissata
distribuzione (ad es. possono essere proporzionali alle masse). L’analisi, in
particolare per le strutture in muratura, non è semplicemente un’analisi statica
219
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
incrementale. Si tratta di un’analisi “a spinta” (analisi pushover) cioè in grado di
seguire la capacità di spostamento della struttura anche dopo il raggiungimento della
resistenza massima.
Fig 6.3 - Curva di Capacità.
Ad ulteriore semplificazione della curva pushover, ottenuta per punti, e
nell’ottica di voler rappresentare un oscillatore elastoplastico (sistema ad un grado di
libertà), si può riassumere la curva con un andamento bilineare. E’ in tal modo
evidente il tratto elastico iniziale ed il tratto degradato successivo, come si vede nella
figura precedente.
Dal confronto tra capacità e domanda, ovvero dall’intersezione tra lo spettro
di capacità e quello della domanda, è possibile determinare le prestazioni richieste
alla struttura dalla sollecitazione sismica di progetto. E’ bene notare, tuttavia, che la
domanda deve essere ridotta quando, per effetto dell’entrata in campo non lineare, la
struttura è maggiormente in grado di dissipare energia. La riduzione degli spettri
della domanda può essere effettuata secondo due distinti approcci: utilizzando un
coefficiente di smorzamento viscoso equivalente incrementato per tenere conto
dell’energia dissipata per isteresi (spettro di risposta elastico sovrasmorzato);
utilizzando fattori di riduzione delle ordinate spettrali dipendenti dalla duttilità
globale (spettro di risposta anelastico).
220
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
La nuova normativa italiana propone, al punto 4.5.4, come metodo generale
applicabile a tutte le tipologie strutturali, l’approccio mediante spettro anelastico pur
consentendo, per le sole costruzioni in muratura, l’utilizzo, in alternativa, del metodo
basato sullo spettro elastico sovrasmorzato.
6.2
Spettri di risposta della domanda: anelastici ed elastici sovrasmorzati.
Come si è accennato, le strutture che abbiano una resistenza alle azioni
orizzontali inferiore alla massima sollecitazione elastica dovuta al sisma hanno una
risposta caratterizzata dal superamento del limite elastico: gli edifici, cioè, si
danneggiano e, per sopportare l’eccitazione sismica, fanno affidamento non più sulla
resistenza, ma sulla loro capacità di deformarsi in campo non lineare.
Al comportamento duttile, che emerge da un’analisi statica allorché si
instaura un meccanismo di collasso, è però associato, per la natura dinamica ed
alternata dell’azione sismica, un comportamento ciclico isteretico: una parte
dell’energia trasmessa dal sisma alla struttura viene dunque assorbita da questo
fenomeno dissipativo. L’effetto dell’energia dissipata nei cicli di isteresi viene in
genere quantificato riducendo le ordinate degli spettri di risposta di accelerazione e
spostamento.
Ad esempio, gli spettri di progetto proposti dalla nuova ordinanza, attraverso
l’introduzione del coefficiente di struttura sono infatti basati su questo tipo di
considerazioni: la riduzione della domanda del terremoto può avvenire tenendo conto
della dissipazione di energia per isteresi o, in maniera alternativa, attraverso un
fattore riduttivo dipendente dalla duttilità globale disponibile (una sorta di fattore di
struttura) oppure attraverso un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente.
Si noti che in entrambi i casi la riduzione della domanda del terremoto avviene sulla
base delle proprietà post-elastiche della struttura che si sta analizzando, cioè dalla sua
curva di capacità ottenuta con l’analisi pushover, e non invece da un preassegnato
valore valido per un’intera tipologia strutturale.
Gli spettri di risposta elastici in accelerazione e spostamento di un terremoto
rappresentano, come noto, la domanda di massima accelerazione assoluta e massimo
221
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
spostamento relativo per sistemi ad un grado di libertà con legame indefinitamente
elastico lineare, caratterizzati da uguale smorzamento viscoso e periodo proprio di
vibrazione variabile.
Lo spostamento massimo indotto dal sisma di progetto può essere
confrontato, in fase di verifica, con la capacità di spostamento corrispondente allo
stato limite in esame. La duttilità disponibile può, tuttavia, essere un dato progettuale
ed essa può essere utilizzata per la determinazione di altri parametri. In altre parole,
invertendo le relazioni precedenti si possono definire fattori di riduzione degli spettri
di risposta elastici in funzione della duttilità (Fajfar, 2000).
T
,
TC
T < TC
T > TC ,
T > TC
R( μ , T ) = 1 + ( μ − 1)
R( μ , T ) = μ
Di conseguenza gli spettri di risposta ridotti, detti appunto spettri anelastici a duttilità
costante, possono essere così ottenuti a partire dagli spettri di risposta elastici:
S e (T )
⎧
⎪S a (T , μ ) = R( μ , T )
⎪
⎨
2
⎪S (T , μ ) = μ S (T ) = μT S (T , μ )
De
a
⎪⎩ Da
Rμ
4π 2
in cui con Sa(T,μ) e SDa(T,μ) si intendono rispettivamente gli spettri di risposta
anelastici di accelerazione e spostamento.
222
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Fig 6.4 – Spettri di risposta anelastici a duttilità costante nel piano (Sd,Sa).
In alternativa all’approccio descritto in precedenza, è possibile tener conto della
maggiore dissipazione di energia dovuta alla risposta elastoplastica definendo un
valore di smorzamento viscoso equivalente che surroghi la dissipazione di energia
legata al comportamento isteretico.
Lo spettro di risposta (a prescindere dalla normativa di definizione) tiene conto dello
smorzamento viscoso strutturale; nello specifico, nella nuova normativa italiana
(come nell’EC8) si modifica lo spettro attraverso il coefficiente
η=
10
5+ξ
in cui ξ rappresenta, in percentuale, il valore dello smorzamento elastico viscoso
relativo allo smorzamento critico: per il valore usuale di smorzamento strutturale per
gli edifici in c.a. o muratura, 5%, il coefficiente η è pari a 1.
In letteratura ed in altre norme si trovano definizioni alternative ed in genere
di meno semplice utilizzo dei coefficienti di riduzione spettrale in funzione dello
smorzamento viscoso elastico che, peraltro, portano sostanzialmente agli stessi
risultati.
Per la definizione dello smorzamento elastico equivalente esistono varie
definizioni: tipicamente si fa riferimento alla relazione di Gulkan e Sozen che lo
correla direttamente all’energia dissipata per isteresi.
223
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Si ha
ξ eq =
ΔW
4πE
dove con ΔW si intende l’energia dissipata in un ciclo di isteresi e con E l’energia di
deformazione necessaria a raggiungere linearmente il massimo spostamento del
ciclo. L’interpretazione grafica della formula è presentata nella figura seguente:
Fig 6.5 – Spettri di risposta sovrasmorzati nel piano (Sd,Sa)
Per un sistema elastico perfettamente plastico, l’espressione precedente può
anche essere espressa in funzione della duttilità, mediante la formula seguente:
ξ eq =
2( μ − 1)
πμ
I valori ottenuti con queste relazioni tendono in generale a sovrastimare
l’effettiva capacità di dissipazione sperimentalmente osservata e, pertanto, in alcune
norme come l’ATC 40 vengono introdotti coefficienti moltiplicativi k(<1) che
tengono conto dell’effettiva capacità di dissipazione della tipologia strutturale
considerata in funzione anche della magnitudo dell’evento.
Lo smorzamento elastico totale, risulterebbe dunque ξ tot = ξ el + kξ eq .
224
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
6.3
CAPITOLO 6
Curva di capacità e spostamento massimo
Come si è accennato nei paragrafi precedenti, il prodotto dell’analisi statica
non lineare è la cosiddetta Curva di Capacità.
Attraverso la curva di capacità ottenuta, prima, in termini di taglio alla basespostamento in sommità e, poi, convertita in accelerazione-spostamento si ha la
descrizione del comportamento post elastico della struttura intesa come un sistema
non lineare equivalente ad un grado di libertà.
La curva di capacità si ottiene come risultato di un’analisi pushover, eseguita
su un modello meccanico rappresentativo della struttura dell’edificio: la
modellazione deve riprodurre la geometria delle pareti e tenere conto dell’effetto di
collegamento, ripartizione ed irrigidimenti degli orizzontamenti.
La descrizione del comportamento strutturale attraverso la curva di capacità,
sottintende l’ipotesi che la struttura sviluppi una risposta sismica complessiva:
l’attenzione ai particolari costruttivi, quali ad esempio i collegamenti tra le pareti e
tra pareti e solai o i limiti di snellezza trasversale (spessori minimi) delle pareti
stesse, fanno si che si instauri un meccanismo di risposta globale e che le singole
pareti collaborino alla risposta sulla base della propria rigidezza e resistenza nel
proprio piano, analogamente a sistemi di controvento verticali resi collaboranti da
irrigidimenti di piano costituiti dai solai. In altre parole, cioè, si ipotizza che
l’attivazione di meccanismi di danno locali , quali ad esempio il ribaltamento fuori
pino di pareti o porzioni di pareti, non possa avvenire prima dell’instaurarsi di una
risposta globale legata al comportamento delle pareti nel piano.
Ferme restando tutte le osservazioni precedentemente menzionate, l’analisi statica
non lineare prevede di poter individuare lo spostamento massimo a seguito di un
evento dinamico di spettro noto, mediante l’intersezione fra la curva di capacità e lo
spettro opportunamente modificato per tenere in conto le non linearità.
Si illustra brevemente il procedimento secondo la formulazione inserita nella
nuova ordinanza sismica (coerentemente con quanto esposto da Fajfar) e rivista in
225
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
modo da effettuare direttamente il calcolo dello spostamento a partire da uno spettro
di accelerazione con P.G.A. assegnata:
1. In primo luogo vengono valutati, in ragione del nodo di controllo, i valori di
Γ e m* (coefficiente di partecipazione e massa partecipante): numericamente
si realizza un’analisi elastica imponendo un campo di forze modali (oppure
più comunemente proporzionali alle masse per le altezze), assumendo come
vettore Φ la deformata e calcolando:
Γ=
∑m Φ
∑m Φ
i
i
i
2
i
m * = ∑ mi Φ i
2. Assegnata la distribuzione di forze si realizza un’analisi pushover ottenendo
una curva in termini di taglio e spostamento del nodo di controllo. Tale curva
si dovrà arrestare nel momento in cui si verifichi un decremento di resistenza
del 20%.
3. Si procede ad una semplificazione bilineare assumendo che il ramo crescente
intersechi la pushover nel punto posto al 70% della resistenza, ovvero si
determina in questo modo la rigidezza equivalente del sistema
k* =
F70%
.
d 70%
4. Il plateau della bilineare individua il valore di Fy, esso viene ottenuto
imponendo che l’area sottesa sia uguale all’area sottesa dalla curva pushover
ottenuta numericamente.
226
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Fig 6.6 – Schema per il calcolo della bilineare equivalente
⎛
Area ⎞
⎟k *
Fy = ⎜⎜ d u − d u2 − 2
⎟
k
*
⎝
⎠
5. la curva ottenuta verrà normalizzata rispetto a Γ dividendo sia forza, sia
spostamento per il coefficiente ed ottenendo i valori normalizzati F*Y e d*u.
Idealmente, dividendo la forza anche per m* di otterrebbe il diagramma in
accelerazione-spostamento.
6. La previsione di spostamento (performance point) verrà effettuata
considerando il sistema bilineare schematizzato, a cui è associabile il periodo:
T * = 2π
m*
k*
7. Assegnato uno spettro elastico di accelerazione, definito in ragione del suolo,
ed assegnata una P.G.A. (ovvero il massimo valore di accelerazione al suolo
dell’accelerogramma), è possibile determinare lo spostamento massimo
usando lo spettro anelastico di spostamento. La correlazione fra spettro di
accelerazione e spostamento è fornita dalle relazioni di pseudo-spettro:
⎛ T ⎞
S De (T ) = S e (T )⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
227
2
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
8. Il valore dello spettro anelastico di accelerazione si può calcolare a seconda
del valore di T* (ovvero valutando se si tratta di strutture flessibili o rigide, si
avrà uno spostamento uguale a quello di una struttura elastica di pari periodo
o ridotto secondo l’equivalenza delle aree), ottenendo infine il valore di
d*max, il massimo spostamento richiesto al sistema equivalente normalizzato;
lo spostamento previsto sul sistema di partenza sarà dmax=Γd*max.
Tale assunto deriva dall’ipotesi di aver ricondotto la struttura a n gradi di libertà in
un oscillatore semplice elastoplastico: questo passaggio è reso possibile dall’analisi
di pushover, tuttavia la metodologia e la sintesi dei risultati (bilineare equivalente)
sono gli aspetti più delicati del procedimento.
6.4
Applicazione del CSM al caso studio 3.
Il metodo presentato nei primi paragrafi è stato applicato al caso studio 3 del
Capitolo 5, ossia all’edificio situato in Via Verdi, analizzato all’interno del “Progetto
Catania” del GNDT.
Scopo di questa analisi è la risposta sismica dell’edificio campione,
rappresentativo di una ben precisa tipologia edilizia in muratura del Comune di
Catania, ossia edifici storici costruiti nell’Ottocento con orizzontamenti a volta e
sprovvisti di catene.
Lo studio inoltre è volto alla determinazione dello scenario di danno
conseguente ad un terremoto di scenario (Comune di Catania: zona2, terreni
A,B,C,D,E) e di un evento sismico comparabile con l’evento distruttivo del 1693.
Su queste basi si è studiato il comportamento complessivo dell’edificio
creando il modello tridimensionale in Straus 7, considerando la muratura come
materiale omogeneo continuo. Come già presentato nel paragrafo 5.4.1 l’edificio, su
tre piani, è costituito da due parti risalenti ad epoche diverse: un nucleo più antico
(antecedente il 1840) e un nucleo più recente a C; l’analisi condotta riguarda
solamente la nuova costruzione in quanto difficilmente l’ammorsamento con il
228
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
nucleo preesistente può rendere solidali due pareti realizzate a molti anni di distanza
l’una dall’altra e probabilmente con tecniche costruttive differenti.
Fig 6.7 – Modello tridimensionale dell’edificio.
La modellazione è stata effettuata mediante elementi finiti rettangolari (tipo
Plate-Shell) isoparametrici a quattro nodi con dimensioni medie di 25 x 25 cm. Per la
muratura si è considerato un comportamento elasto-plastico con superficie limite di
Mohr-Coulomb (φ = 55° , c = 0,2), mentre al di sopra di ogni apertura è presente un
architrave in c.a. di spessore pari a quello delle pareti e altezza di 20cm.
Gli spessori delle pareti sono rispettivamente 86cm per il primo piano e 57 cm per le
pareti (sia trasversali che longitudinali) dei due piani superiori.
Oltre ai pesi propri sono stati applicati alla struttura carichi verticali
aggiuntivi, applicati nei baricentri dei solai, pari a:
229
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
-
500 kg/mq per il primo e il secondo piano
-
200 kg/mq per l’ultimo piano.
CAPITOLO 6
I solai sono stati considerati e modellati come infinitamente rigidi nel proprio
piano (link Master Slave che collegano i nodi perimetrali con il baricentro del
solaio), ricordando comunque che nella realtà sono presenti solai a volta e che la
mancanza di cordoli o catene a livello di piano è stata trascurata, per poter
considerare i meccanismi di crisi nel piano delle pareti, non valutando quelli fuori dal
piano (o di I modo), molto frequenti in un edificio di questo tipo.
Inizialmente sul modello è stata svolta un’Analisi Modale per valutare le
frequenze e i periodi propri relativi ai primi modi di vibrare; è stata inoltre necessaria
per valutare il vettore Φi degli spostamenti relativi all’i-esimo modo di vibrare, utile
nel seguito per la determinazione del coefficiente di partecipazione Γ e della massa
partecipante m*.
Fig 6.8 – Risultati analisi modale.
230
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Fig 6.9 – Masse partecipanti nelle tre direzioni.
Si nota come il primo modo sia in direzione x (longitudinale), così come il terzo
mentre il secondo è in direzione trasversale (Z, quella di nostro interesse, f = 7.8856
Hz) e il quarto è prevalentemente verticale.
E’ stata quindi realizzata l’analisi pushover, impostata imponendo non un sistema di
forze alla struttura, ma direttamente le accelerazioni ai nodi degli elementi. In questo
modo, incrementando un’accelerazione iniziale di 1m/s2 è stata determinata la curva
Accelerazione – Spostamento di un punto di controllo (mezzeria del prospetto
frontale).
La curva sotto mostra come si giunga ad un valore di accelerazione massima di circa
9 m/s2 e relativi spostamenti superiori a 4 cm a collasso.
231
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Fig 6.10 – Curva di Pushover.
6.4.1
Spettri di Capacità
Seguendo quanto descritto nei tre paragrafi iniziali di questo capitolo, a
partire dalla curva di Capacità della struttura (espressa qui in termini di AccSpostamento) è stata calcolata la bilineare equivalente attraverso l’uguaglianza delle
aree sottese alle curve.
3D - Progetto Catania
10.00
9.00
8.00
Acc [m/s2]
7.00
6.00
continuo F distribuit a
bilineare
5.00
plateau bilineare
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0.00000
0.01000
0.02000
0.03000
Spostam ento [m ]
Fig 6.11 – Curva di Pushover e bilineare equivalente.
232
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Dalla bilineare si possono determinare alcuni valori caratteristici:
A max
9,10 m/s2
A
0,2264
70 % di A. massima
A70
6,37 m/s2
Rigidezza Secante
k*
1,12E+3
Acc al limite elastico
AY
8,71 m/s2
Spost. Limite elastico
dY
0,779 cm
Spost. Ultimo
dU
3,00 cm
Accelerazione Massima
Area Sottesa
Tab 6.2 – Valori caratteristici dell’analisi.
In seguito occorre definire la corrispondente curva per il sistema Equivalente
ad un grado di libertà. La trasformazione tra la struttura reale (MDOF) e la struttura
equivalente si ottiene utilizzando la seguente relazione:
P* =
P
Γ
nella quale P è la grandezza generica (spostamenti, tagliante o accelerazione) relativa
alla struttura e P* la corrispondente grandezza calcolata per il sistema SDOFequivalente.
Il parametro Γ dipende dall’andamento degli spostamenti di piano della
struttura sotto azione sismica:
Γ=
∑m Φ
∑m Φ
i
i
2
i
i
essendo mi la massa del piano i-esimo e Φi lo spostamento dello stesso secondo il
primo modo di vibrazione della struttura, normalizzato rispetto a quello dell’ultimo
piano.
233
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
Spostamenti “MODAL”
normalizzazione
0.0106
0.3183
0.0254
0.7628
3.33E-02
1.0000
piano
CAPITOLO 6
Masse kg
1
2
3
861600
588594
6.95E+05
Tab 6.3 – Spostamenti nodali, normalizzazione e masse di piano.
Sulla base di quando descritto è stato ricavato il valore del coefficiente di
partecipazione
Γ
e
la
massa
partecipante
m* = ∑ mi Φ i
come
indicato
nell’Ordinanza.
-
Γ = 1,26
- m* = 1418190 kg (66%)
La curva di capacità Acc-Spost viene resa così bilineare sulla base di un’equivalenza
di energia. Essa può essere rappresentata in un piano ADRS una volta che l’ordinata
sia moltiplicata per il rapporto m*/m .
Progetto Catania
10.00
9.00
8.00
Acc [m/s2]
7.00
continuo F distribuit a
6.00
bilineare
5.00
plateau bilineare
Bilineare scalata (m*)
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0.00000
0.01000
0.02000
0.03000
Spostam ento [m ]
Fig 6.12 – Bilineare equivalente ridotta con Γ e m*.
234
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
6.4.2
CAPITOLO 6
Spettri di Domanda
Si vuole ora determinare lo spettro (elastico ed anelastico) relativo a due
diversi eventi sismici: un terremoto di scenario determinato dalla classificazione
sismica della zona in cui si trova l’edificio oggetto di studio e un terremoto
comparabile con l’evento distruttivo del 1693.
La normativa introdotta dalla regione Sicilia ad inizio del 2004 suddivide il
territorio dell’isola in quattro zone sismiche sulla base di analisi che tengono conto
anche degli effetti massimi attesi:
•
le aree in Zona 1 - effetti massimi più elevati - comprendono l’area dello stretto
di Messina e la zona del Belice.
•
Quasi tutto il resto della Sicilia si trova in Zona 2;
•
Parte del settore centro-meridionale dell'isola ricade in zona 3 o 4, cioè a basso
rischio sismico.
•
Limitatamente alle strutture strategiche come ospedali, scuole ecc., l’intero
settore della Sicilia orientale viene considerato in zona sismica 1.
Fig 6.13 – Classificazione sismica Regione Sicilia
I terremoti più forti di tutta la regione e dell’intero territorio italiano avvengono nella
zona orientale. Quì si sono verificati gli eventi sismici del 1169 e 1693, con epicentro
235
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
lungo la fascia costiera tra Siracusa e Catania, che hanno provocato distruzioni
nell’area iblea e nel catanese, e quello del 1908, con epicentro nello Stretto di
Messina, che ha provocato ampie devastazioni nella Sicilia nord-orientale e nella
Calabria meridionale.
Fig 6.14 – Evento sismico del 1693.
In entrambe le aree si sviluppano importanti sistemi di faglie attive capaci di
generare terremoti di Magnitudo superiore a 7 che fortunatamente avvengono
raramente, cioè con periodi di ritorno di alcune centinaia di anni.
Il terremoto del 1693 di intensità massima pari al grado XI° MCS colpì, in due
riprese, il 9 e 11 gennaio (di magnitudo rispettivamente 6.0 e 7.1), un territorio
vastissimo della Sicilia. Gli effetti furono catastrofici in circa 40 località della Val di
Noto. I danni si estesero sino a Palermo, alla Calabria meridionale ed a Malta; la
scossa principale fu fortemente avvertita anche a Trapani, in Calabria settentrionale
ed in Tunisia.
236
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Catania fu totalmente distrutta, così come la maggior parte delle località del versante
orientale dell'Etna e degli Iblei; Siracusa e Ragusa ebbero gravissimi danni.
Le vittime del terremoto furono circa 60.000, di cui 12.000 solo a Catania. Molte
località furono ricostruite in sito diverso. Ci furono forti sconvolgimenti del suolo in
un'area molto vasta e si osservarono effetti di maremoto (onde di tsunami) su tutta la
costa orientale dell’isola tra Messina a Siracusa. Il periodo sismico si protrasse per 2
anni.
Partendo dalle considerazioni sopra riportate e dagli spettri di risposta di spostamento
ed accelerazione (si tratta in realtà di pseudo-accelerazione) presenti in normativa è
stato possibile costruire un unico diagramma rappresentativo della domanda dei
terremoti considerati . Tale diagramma è detto “Spettro della domanda”: in ascissa è
riportato lo spettro di risposta di spostamento, mentre in ordinata lo spettro di
accelerazione.
E’ stato dapprima ricavato lo spettro da normativa relativo ai seguenti parametri:
Zona
Ag
S
Tb
Tc
Td
η
2
0,25
1,00
0,15
0,40
2
1
2
0,25
1,25
0,15
0,50
2
1
2
0,25
1,35
0,20
0,80
2
1
Tab 6.4 – Parametri per la determinazione dello spettro relativo al terremoto di scenario.
237
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
spettro elastico Se(T)
1
Sa(T)/g
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
T
Fig 6.15 – Spettro Elastico – Zona 2 – Terreno B – C – E .
Spettro elastico spostamenti Sd(T)
0.025
Sd(T)
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
T
Fig 6.16 – Spettro Elastico Spostamenti – Zona 2 – Terreno B – C – E .
238
3
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Sa(T)/g
Sa (T) - Sd (T)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Sd(T)
Fig 6.17 – Spettro della domanda – Zona 2 – Terreno B – C – E .
Come esposto nel paragrafo 6.2 tali spettri elastici devono essere opportunamente
ridotti poiché, per effetto dell’entrata in campo non lineare, la struttura è
maggiormente in grado di dissipare energia.
Il valore dello spettro anelastico di accelerazione si può calcolare a seconda del
valore di T* (ovvero valutando se si tratta di strutture flessibili o rigide, si avrà uno
spostamento uguale a quello di una struttura elastica di pari periodo o ridotto secondo
l’equivalenza delle aree), ottenendo infine il valore di d*max, il massimo spostamento
richiesto al sistema equivalente normalizzato; lo spostamento previsto sul sistema di
partenza sarà dmax=Γd*max.
Si è calcolato il valore di T* = 0,1878 che risulta quindi minore di Tc
utilizzando pertanto il metodo dell’uguaglianza dell’energia per la determinazione di
Rμ, fattore riduttivo degli spettri elastici.
Ricavato il valore di Rμ pari a 1,5634 sono stati determinati gli spettri
anelastici per i casi in esame.
239
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Metodo CSM
elastico terreno B-C-E
0.9
0.8
anelastico (BC-E)
0.7
elastico terreno A
Sa(T)/g
0.6
0.5
anelastico (A)
0.4
0.3
elastico terreno D
0.2
0.1
anelastico (D)
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Sd(T)
Fig 6.19 – Spettri della domanda elastici e ridotti.
La figura sopra mostra gli spettri elastici e anelastici ridotti tramite il coefficiente R,
rispettivamente per la zona 2, considerando le tre diverse tipologie di terreno indicate
in normativa: A, B-C-E, D.
6.4.3
Valutazione di vulnerabilità sismica.
Con l’ausilio delle suddette metodologie semplificate di analisi della risposta
sismica degli edifici, può essere impostata una procedura per la valutazione della
vulnerabilità sismica delle strutture. La definizione di un parametro di vulnerabilità,
come definito in questo paragrafo, consente sia di stabilire in senso assoluto il fatto
che una struttura sia o meno adeguata sismicamente (con riferimento alle prescrizioni
di uno specifico codice normativo), che di mettere a punto, in senso relativo, una
scala di priorità da prevedere per gli interventi di adeguamento sugli edifici che
manifestino un grado di vulnerabilità maggiore.
Dal confronto tra la domanda del terremoto, rappresentata attraverso gli
spettri di risposta di accelerazione elastici e anelastici, e la capacità della struttura
240
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
(curva di capacità scalata) è possibile determinare il Performance Point ovvero la
capacità della struttura rapportata alla domanda di spostamento del sisma.
Fig 6.20 – Confronto fra Spettri della domanda e Spettro di Capacità.
Dal Grafico sopra e dall’intersezione fra i diversi spettri si ricavano i seguenti
parametri:
Δc,2B
Δd,2A
Δd,2B-C-E
Δd,2D
0,02379 m
0,004561 m
0,008552 m
0,02517
Fig 6.5 – Valori della domanda di spostamento e della capacità di spostamento.
Utilizzando le grandezze introdotte sopra, dal confronto fra domanda di spostamento
e capacità di spostamento, si può introdurre il seguente Parametro di Vulnerabilità :
V DSP =
Δd
Δc
la cui eccedenza rispetto all’unità è indice del grado di inadeguatezza.
241
ANALISI DI VULNERABILITA’ CON IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITA’
CAPITOLO 6
Fig 6.21 – Parametro di Vulnerabilità sismica nei due casi esaminati.
Le analisi proposte mostrano che il parametro di vulnerabilità assume nel
caso del terremoto di scenario in Zona 2 – Terreno A un valore inferiore all’unità
( VDSP = 0,191 ) così come nel caso di Zona 2 e terreno B-C-E ( VDSP = 0,359 ), mentre
nel caso del terremoto sul suolo di tipo D un valore superiore a 1 ( V DSP = 1,058 ),
mostrando la non adeguatezza della struttura per un evento sismico che si verifichi su
un terreno definito nell’ordinanza come deposito granulare sciolto o poco addensato,
oppure coesivo, poco o mediamente consistente. Si nota qui come il terremoto di
Catania del 1693 mostri un valore di PGA di circa 0,5 - 0,6g, superiore quindi a
quello considerato per la definizione degli spettri di normativa (0,25g); pertanto sotto
tale sisma la struttura mostra una vulnerabilità molto elevata, ricordando che,
comunque, eventi sismici di questo tipo hanno un periodo di ritorno di diverse
centinaia di anni.
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