Capitolo 14 ELETTROSTATICA

Capitolo 14
ELETTROSTATICA
14.1
La carica elettrica.
Vogliamo ora iniziare a studiare i fenomeni …sici connessi all’esistenza di una proprietà della
materia sinora non ancora analizzata: la carica elettrica.
In questo capitolo studieremo il problema nell’ipotesi che le cariche siano ferme, ovvero
sceglieremo un opportuno sistema di riferimento nel quale le particelle elettricamente cariche
siano ferme, mentre i problemi connessi al movimento delle particelle verranno analizzati nei
successivi capitoli.
E’noto a tutti che le particelle elementari possono presentarsi in tre distinti stati di carica
elettrica:
1. carica positiva (ad esempio i protoni);
2. carica negativa (ad esempio gli elettroni);
3. carica neutra (ad esempio i neutroni).
La materia macroscopica è formata da una miscela di questi tre tipi e, generalmente,
essa risulta elettricamente neutra, ovvero il numero di particelle cariche positivamente è
pari al numero di particelle cariche negativamente. Ne consegue che, generalmente, non
appaiono fenomeni elettrici, tanto che sinora abbiamo potuto studiare un ampio settore
della …sica e dei fenomeni naturali senza fare alcun cenno ai fenomeni elettrici. E’ovvio però
che questa apparente "neutralità" della materia è vera solo a livello macroscopico e non a
quello microscopico. Accadrà quindi che molti fenomeni sono spiegabili solo facendo ricorso
all’elettrologia.
A livello macroscopico è possibile far sì che un corpo inizialmente neutro divenga elettricamente carico; già dall’antichità si sapeva che stro…nando un pezzo di ambra con un panno
di lana si ottenevano strani fenomeni che oggi sappiamo essere legati alla presenza di cariche
elettriche.
Le prime esperienze di elettricità hanno mostrato che esiste una proprietà fondamentale
della materia:
in un corpo isolato la carica elettrica si conserva.
1
2
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
Ciò signi…ca che una volta che un corpo sia divenuto elettricamente carico esso lo rimarrà
sinché non verrà posto in contatto con un altro corpo che sia in grado di prelevare le cariche
elettriche in eccesso. Questa proprietà di conservazione della carica elettrica costituisce un
elemento della conservazione della materia.
14.2
La forza di Coulomb.
Le prime informazioni quantitative sull’elettrostatica risalgono al XVIII secolo, quando
Coulomb ricavò la legge che esprime il valore della forza di interazione tra due cariche elettriche puntiformi.
Secondo la legge di Coulomb due cariche elettriche puntiformi, di valore q1 e q2 rispettivamente, poste a distanza r tra di loro (Fig. 14.1), si scambiano una forza di interazione
data da:
1
q1 q2
F =
4
r2
0
La forza è attrattiva se le due cariche hanno segno opposto ed è repulsiva se esse hanno
ugual segno. Il coe¢ ciente 0 viene detto costante dielettrica del vuoto e, nel sistema
MKS, vale:
C2
10 12
0 = 8:854
N m2
La carica elettrica si misura in coulomb (C).
q
1
F
F
q
2
r
Figura 14.1: Due cariche elettriche poste a distanza d si scambiano una forza di interazione
La forza di Coulomb è espressa da una formula simile a quella adoperata per esprimere
la forza di gravitazione universale e quindi per essa possiamo ripetere tutte le deduzioni
fatte per la forza di gravitazione. In particolare abbiamo che in termini vettoriali la forza di
Coulomb è:
!
1
q1 q2 !
F =
r
4
r3
0
Ancora, essa è una forza conservativa; infatti
L=
Z
O
P
! !
F dl =
q1 q 2
4
0
Z
O
P
!
!
r dl
q1 q2
=
3
r
4
0
1
r (P )
1
r (O)
3
14.3 IL CAMPO ELETTRICO.
q
q1
FT
3
F3
F1
q2
F2 Q
Figura 14.2: Forza coulombiana dovuta a tre cariche
L’energia potenziale U ad essa associata può ricavarsi ponendo come punto di riferimento
un punto all’in…nito. Risulta allora che:
U=
1
4
q 1 q2
r
0
Una caratteristica molto importante della forza di Coulomb è legata alla sovrapposizione
degli e¤etti: la forza generata su una carica Q da un insieme di cariche q1 , q2 ,..., qn è pari
alla somma vettoriale delle singole forze che ogni carica qi induce sulla carica Q:
X qi
! X!
1
!
Q
F =
Fi=
ri
4
ri3
0
dove ri è il raggio vettore della carica Q rispetto alla carica qi (Fig. 14.2).
14.3
Il campo elettrico.
Prendiamo ora in considerazione una regione dello spazio , tale che se in un punto qualsiasi
di questa regione poniamo una carica q, su questa agirà una forza. Possiamo allora immaginare che in quella regione di spazio esista una qualche proprietà il cui e¤etto è osservato da
qualunque carica come una forza agente su di essa.
Supponiamo, ad esempio che nella regione sia posizionata una carica elettrica Q. Presa
una seconda carica q, di prova (di valore estremamente piccolo), risulterà che, dovunque
porremo tale carica, su essa sarà esercitata una forza espressa dalla formula di Coulomb.
Si può ora pensare di associare ad ogni punto dello spazio un ente …sico che chiameremo
campo elettrico ed il cui valore è dato da:
!
!
F
E =
q
Per il nostro caso risulterà allora:
!
E =
1
4
0
Q !
r
r3
4
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
+Q
Figura 14.3: Linee del campo elettrico prodotto da una carica positiva
Figura 14.4: Linee del campo elettrico prodotto da due cariche di ugual segno (positive)
Si può osservare che il campo elettrico dipende solo dalle cariche che generano il campo
stesso e non dalla carica di prova.
La sua unità di misura è il volt/metro (V/m).
Possiamo pertanto asserire che la presenza di cariche elettriche produce una modi…ca delle
proprietà dello spazio; il vettore campo elettrico esprime quantitativamente tale modi…ca
delle proprietà dello spazio. Esso è tale che una carica elettrica q, in presenza di un campo
elettrico E, subisce una interazione:
!
!
F =q E
Una rappresentazione gra…ca molto interessante è quella basata sulle linee di forza, cioè
quelle linee immaginarie che in ogni punto sono tangenti al vettore campo elettrico e di
numero tale che la loro densità è proporzionale all’intensità del vettore campo elettrico.
Sulla base della de…nizione abbiamo allora che una carica elettrica puntiforme genera una
stella di linee di forza, originantesi dalla carica e dirette verso l’in…nito se la carica è positiva
e dirette verso la carica stessa se è negativa (Fig. 14.3).
Più complessa è la situazione in presenza di più cariche; si veda, ad esempio, la …gura
14.4 ove sono indicate le linee di forza in presenza di due cariche di ugual segno.
Una carica posta in un qualsiasi punto dello spazio subirà una forza che tenderebbe a
far muovere il corpo, se esso fosse libero di muoversi, lungo la linea di forza. Questo tipo
di comportamento, e quindi di signi…cato delle linee di forza, è analogo a quanto abbiamo
riscontrato in ‡uidodinamica per le linee di ‡usso che rappresentano appunto le traiettorie
5
14.4 IL TEOREMA DI GAUSS.
dS
E
Figura 14.5: Flusso di campo elettrico uscente da una super…cie
delle particelle di ‡uido.
Il vantaggio della trattazione in termini di campo elettrico e/o di linee di forza consiste
nella indipendenza che esiste tra campo elettrico e cariche che lo hanno generato. Risulta
infatti che, dato un sistema di cariche, esso genera un campo elettrico. Una volta che tale
campo è stato de…nito non è più necessario saper come sono distribuite le cariche, almeno
per quel che riguarda gli e¤etti sulle cariche di prova e questo sempli…ca molto la trattazione
dei problemi di elettrostatica.
14.4
Il teorema di Gauss.
Ritorniamo ora alla analogia che abbiamo precedentemente enunciato tra ‡uidodinamica ed
elettrostatica. Tale analogia permette di de…nire un nuovo ente …sico; ricordiamo infatti che
in ‡uidodinamica si de…nisce ‡usso la quantità di materia che ‡uisce attraverso una data
sezione nell’unità di tempo. Tale ‡usso è pari al prodotto della velocità delle particelle per la
sezione della super…cie. Analogamente possiamo de…nire in termini in…nitesimi il ‡usso di
campo elettrico come il prodotto scalare del campo elettrico per l’elemento di super…cie:
! !
d = E dS
!
dove d S è un vettore la cui intensità è pari all’area della sezione e la cui direzione è normale
alla super…cie in questione (Fig. 14.5). Dalla de…nizione si nota che il ‡usso del campo
elettrico è uno scalare e si misura in volt metro (V m).
Se la super…cie è una super…cie …nita il ‡usso del campo elettrico uscente attraverso la
super…cie S è dato dall’integrale del prodotto scalare del campo elettrico per la super…cie,
dove l’integrale è esteso a tutta la super…cie. In formula si scrive:
Z
! !
=
E dS
S
Consideriamo ora un sistema di cariche qi ed una super…cie chiusa S che le contenga. E’
possibile mostrare che in tal caso è:
1 X
qi
=
0
6
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
mentre le eventuali cariche elettriche esistenti all’esterno della super…cie non contribuiscono
al ‡usso, pur contribuendo al campo elettrico.
Più in generale è possibile enunciare il teorema di Gauss, secondo il quale:
il ‡usso del campo elettrico uscente da una super…cie chiusa è pari al rapporto
tra la somma delle sole cariche elettriche racchiuse dalla super…cie e la costante
dielettrica del vuoto:
1 X
=
qi
0
Una dimostrazione particolarmente semplice di tale teorema può ottenersi se si considera
il caso di una sola carica elettrica e di una super…cie di forma sferica, di centro nella carica
e raggio r.
Dalla de…nizione sappiamo che il campo elettrico prodotto dalla carica a distanza r è
dato, in modulo, da:
Q
1
E=
2
4
0 r
mentre la sua direzione è radiale e pertanto sempre perpendicolare alla super…cie di una sfera
che ha centro nella carica. Ne consegue che per ogni elemento di super…cie sferico dS risulta:
! !
d = E d S = E dS =
1
4
0
Q 2
r d
r2
ove con d abbiamo indicato l’angolo solido sotteso dall’elemento di super…cie. Integrando
su tutta super…cie chiusa, ovvero sull’intero angolo solido abbiamo allora
=
I
! !
E dS =
1
4
0
Q 2
r 4
r2
=
1
Q
0
S
che dimostra appunto il teorema di Gauss.
La formulazione data del teorema di Gauss si riferisce a volumi …niti dello spazio ma è
possibile ricavare un’altra formulazione, equivalente alla precedente, ma stavolta relativa ad
ogni singolo punto dello spazio.
A tal scopo consideriamo ora una distribuzione continua di carica, caratterizzata da una
densità volumica di carica , tale che la carica contenuta in volume dV è:
dq =
dV
Applicando il teorema di Gauss ad una super…cie S che racchiude un volume V otteniamo:
Z
1
dV
=
0
V
Possiamo ora adoperare un teorema dell’analisi matematica, che qui non dimostreremo,
che prende il nome di teorema della divergenza, secondo il quale l’integrale esteso ad una
14.5 IL CAMPO ELETTRICO IN CASI PARTICOLARI.
7
super…cie chiusa di una funzione vettoriale è pari all’integrale della divergenza del vettore,
esteso al volume racchiuso dalla super…cie chiusa. In formula:
I
! !
E dS =
Z
!
div E dV
V
S
ove, per de…nizione, l’operatore divergenza è
! @Ex @Ey @Ez
div E =
+
+
@x
@y
@z
Con l’uso di questo teorema la de…nizione di ‡usso di campo elettrico porta a
=
I
S
! !
E dS =
Z
!
div E dV
V
e quindi il teorema di Gauss diviene
Z
Z
!
1
div E dV =
V
0
dV
V
Poichè l’uguaglianza deve valere qualunque sia il volume V su cui eseguire l’integrazione,
ne consegue che devono essere uguali le funzioni integrande, ovvero:
!
1
div E =
0
che rappresenta la formulazione del teorema di Gauss, in termini puntuali (cioè valido punto
per punto).
14.5
Il campo elettrico in casi particolari.
Sfruttando il teorema di Gauss otterremo ora, in casi particolarmente semplici ma anche
importanti, il valore del campo elettrico dovuto alle distribuzioni di cariche.
Iniziamo col trattare il caso di un materiale di forma qualsiasi, elettricamente carico,
nell’ipotesi della elettrostatica, ovvero in assenza di movimento delle cariche elettriche.
Notiamo, per prima cosa, che i materiali dal punto di vista elettrico si dividono in conduttori ed in isolanti a seconda che in essi le cariche elettriche siano libere o meno di
muoversi. Vedremo successivamente che tale libertà di movimento è strettamente legata alla
struttura degli atomi e delle molecole costituenti il materiale.
Se abbiamo a che fare con un conduttore possiamo, sfruttando il teorema di Gauss,
immediatamente a¤ermare che le cariche elettriche debbono depositarsi necessariamente sulla
super…cie esterna del conduttore, almeno sinchè non si iniziano a trattare i problemi connessi
al movimento delle cariche.
Questa a¤ermazione è immediata appena si pensi che all’interno del conduttore non vi
può essere altro che un campo elettrico nullo poichè se il campo elettrico non fosse nullo
8
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
σ
dS
Figura 14.6: Lastra piana carica e super…cie su cui applicare Gauss
le cariche elettriche all’interno del conduttore si muoverebbero e non saremmo più nel caso
dell’elettrostatica.
D’altra parte se il campo elettrico è nullo in ogni regione interna del conduttore deve
anche risultare che non vi può essere alcuna carica in tali regioni, per il teorema di Gauss, e
quindi le cariche elettriche non possono che disporsi sulla super…cie esterna del conduttore.
Nulla di particolare, invece, può dirsi nel caso di un isolante.
Trattiamo ora il caso di una lastra piana in…nita, su cui sia distribuita uniformemente
una carica (Fig. 14.6). In questo caso si può de…nire la densità super…ciale di carica , dalla
relazione:
dq
=
dS
dove dq è la carica accumulata sulla super…cie di area dS.
Per determinare il campo elettrico prodotto all’esterno da questa distribuzione super…ciale di carica, consideriamo una super…cie chiusa di forma cilindrica le cui basi siano parallele
alla super…cie e le cui pareti laterali siano ortogonali a tale super…cie.
Per motivi di simmetria possiamo immediatamente a¤ermare che il campo elettrico
prodotto dalla distribuzione di cariche nello spazio vuoto circostante la super…cie non può
che essere diretto perpendicolarmente alla super…cie stessa, non essendovi altra direzione
privilegiata.
Ne consegue che è nulla la porzione di ‡usso del campo elettrico che fuoriesce dalle
pareti laterali del cilindro. Il ‡usso totale è quindi pari al solo ‡usso uscente dalle due basi.
Ovviamente, per motivi di simmetria, non può esservi di¤erenza tra le due regioni dello
spazio individuate dalla super…cie e pertanto se le due basi sono situate una in ognuna delle
regioni il ‡usso uscente da una delle due è pari a quello uscente dall’altra.
Eseguiamo pertanto il calcolo per una sola delle due basi, che supporremo di area dS. Il
vettore campo elettrico, per quanto detto precedentemente è perpendicolare alla super…cie,
così come lo è la base del cilindro e quindi il ‡usso è:
! !
d = E d S = E dS
14.5 IL CAMPO ELETTRICO IN CASI PARTICOLARI.
σ
9
σ
+
+
Figura 14.7: Campo elettrico prodotto da due piani in…niti con cariche di egual segno
Applichiamo ora il teorema di Gauss:
=E 2S=
S
"0
in cui abbiamo tenuto conto che occorre considerare entrambe le basi.
In de…nitiva
E=
2 "0
Possiamo quindi notare che il campo elettrico prodotto da una distribuzione uniforme di
cariche su una super…cie piana ed in…nita è costante, a qualunque distanza dalla super…cie.
Abbiamo già detto che la sua direzione è perpendicolare alla super…cie.
Ad esempio se consideriamo due distribuzioni di cariche, di egual segno, su due piani
in…niti (Fig. 14.7). Il campo elettrico prodotto dalle due distribuzioni crea un campo pari a
zero nella regione interna ed un campo pari al doppio, ovvero
ET =
"0
nelle regioni esterne.
Invece, considerando due distribuzioni di segno opposto il campo sarà nullo nelle regioni
esterne e pari al doppio all’interno, come indicato in …gura 14.8.
Come terzo esempio di applicazione del teorema di Gauss consideriamo una distribuzione
di cariche a simmetria sferica. In questo caso anche il campo elettrico avrà una tale simmetria, ovvero sarà radiale.
Per caratterizzare la distribuzione di cariche adoperiamo ora la densità volumica di carica
de…nita come il rapporto tra la carica ed il volume che la contiene:
=
dq
dV
Se allora applichiamo il teorema di Gauss ad una qualunque super…cie sferica il cui centro
coincide con il centro della distribuzione di cariche otteniamo che il ‡usso è dato dal prodotto
10
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
σ
σ
+
-
Figura 14.8: Campo elettrico prodotto da due piani in…niti con cariche di segno opposto
dell’area della super…cie per il campo elettrico e quindi:
=E S=
V
Qint
=
"0
"0
e di conseguenza
E=
V
"0 S
Esplicitando le formule della super…cie e del volume di una sfera, abbiamo
E=
4
3
"0 4
R3
R
=
2
R
3 "0
Risulta pertanto che per una distribuzione uniforme, all’interno della sfera carica il campo
elettrico, sempre radiale, ha intensità crescente linearemente col raggio.
Se invece la super…cie è scelta all’esterno della sfera carica, tutta la carica elettrica partecipa alla creazione del ‡usso e quindi il campo elettrico è:
E=
1
4
Q
"0 R2
avendo indicato con Q tutta la carica accumulata nella sfera. La formula ottenuta corrisponde
a quella relativa al campo elettrico prodotto da una carica puntiforme.
Un analogo risultato si ottiene anche per una qualsiasi distribuzione di carica, purchè
ci si limiti a regioni a grande distanza dalla distribuzione stessa. In tal caso, infatti, a
causa della grande distanza la distribuzione appare in ogni caso come se fosse a simmetria
sferica e quindi il ragionamento fatto precedentemente continua a valere, anche se solo come
approssimazione.
Il risultato cui siamo giunti permette di spiegare come si possa e¤ettuare correttamente
l’approssimazione di carica puntiforme, anche laddove la carica sia estesa.
11
14.6 IL POTENZIALE ELETTRICO.
14.6
Il potenziale elettrico.
Abbiamo già detto precedentemente che la forza di Coulomb è una forza conservativa e che
quindi ad essa è associata una energia potenziale U che per una carica puntiforme è:
1
U=
4
q1 q2
r
0
avendo preso l’in…nito come punto di riferimento.
Possiamo determinare un legame tra energia potenziale e forza de…nendo un nuovo operatore, detto gradiente, come
@U @U @U
;
;
@x
@y
@z
grad U =
che quindi agisce su uno scalare e genera un vettore.
In base alla de…nizione dell’energia potenziale
Z P
Z P
! !
U (P ) =
F ds =
(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
O
O
risulta che
dU =
(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
e quindi
Possiamo allora scrivere
@U
@x
=
Fx
@U
@y
=
Fy
@U
@z
=
Fz
!
F =
grad U
Dividiamo ora entrambi i termini per la carica Q, ottenendo:
!
!
F
U
= E = grad
Q
Q
De…niamo ora una nuova grandezza, detta potenziale elettrico V , con la relazione
V =
U
Q
la cui unità di misura è il volt (V) ed otteniamo
!
E =
grad V
che può essere invertita ottenendo
V (A) =
Z
O
A
! !
E dl
12
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
Figura 14.9: Campo elettrico prodotto da un dipolo
!
dove dl è l’elemento di linea del percorso che dal punto di riferimento O porta al punto A.
Con un semplice calcolo si dimostra che il potenziale elettrico prodotto da una carica
puntiforme q è espresso da:
q
1
V (r) =
4
0 r
Il vantaggio dell’uso del potenziale sta nel suo essere uno scalare e quindi di essere semplicemente additivo. Ne consegue che se siamo in presenza di più cariche elettriche che
producono un campo, il potenziale elettrico complessivo sarà semplicemente la somma algebrica dei diversi potenziali prodotti da ognuna delle cariche:
V (r) =
14.7
1
4
0
X qi
ri
Il dipolo elettrico.
Una interessante distribuzione di cariche è quella costituita semplicemente da due cariche di
ugual intensità ma di segno opposte, poste a distanza d tra di loro; un tal dispositivo prende
il nome di dipolo elettrico (Fig. 14.9).
Vogliamo qui determinare il potenziale prodotto a grande distanza da una distribuzione
si¤atta.
Per calcolare il potenziale elettrico facciamo riferimento alla …gura 14.10. Da essa ricaviamo che:
1
q
1
V (r) =
4
r1 r 2
0
Consideriamo ora punti lontani dal dipolo. In tal caso abbiamo:
1
r1
1
r2
=
r2 r 1
r 1 r2
d
cos
r2
e pertanto:
V =
1
4
0
qd
1
cos =
r
4
0
p
cos
r2
13
14.7 IL DIPOLO ELETTRICO.
-q
d
+q
r2
θ
r1
P
Figura 14.10: Calcolo del campo elettrico prodotto da un dipolo
dove con:
p = dq
abbiamo indicato il momento di dipolo.
Per quel che riguarda l’interazione di un dipolo con il campo elettrico possiamo notare
che ognuna delle due cariche subisce l’azione di una forza il cui verso sarà diverso per le due
cariche poichè esse hanno segno opposto. D’altra parte se il campo elettrico è uniforme, le
due forze saranno uguali in modulo ed in direzione e pertanto esse formeranno una coppia;
si ricava allora che su un dipolo immerso in un campo elettrico uniforme agisce un momento
della forza dato da:
!
!=!
p
E
dove il vettore !
p ha modulo pari al prodotto della carica per la distanza tra le due cariche
e direzione parallela all’asse del dipolo, ovvero al segmento che unisce le due cariche, con un
verso tale che il vettore si diriga dalla carica negativa a quella positiva.
Con questa notazione vettoriale abbiamo che la formula precedentemente ottenuta per il
potenziale elettrico diviene:
!
p !
r
1
V =
3
4
r
0
Determiniamo ora il campo elettrico prodotto da un dipolo a partire da questa formula
del potenziale. Sappiamo che
!
E = grad V
e quindi:
Ex =
@V
@x
=
Ey =
@V
@y
=
Ez =
@V
@z
=
1
4
0
1
4
0
1
4
0
che in forma vettoriale può scriversi:
!
E =
1
4
3
0
h
h
3
3
h
3
!
p !
r
x
r5
!
!
p r
y
r5
!
p !
r
z
r5
!
p !
r!
r
5
r
px
r3
pY
r3
pZ
r3
!
p
r3
i
i
i
14
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
-q
+q
Figura 14.11: Campo elettrico prodotto da due conduttori estesi
Il primo termine mostra un campo elettrico diretto come il momento di dipolo ma di
verso opposto, mentre il secondo termine sarà diretto come il raggio ed è nullo lungo l’asse
di simmetria del dipolo, laddove !
p !
r è nullo.
14.8
Condensatori e capacità.
Consideriamo ora il caso rappresentato in …gura 14.11 nella quale sono indicati due conduttori
isolati, carichi elettricamente uno con una carica q positiva e l’altro con egual carica q, ma
negativa.
Per il fatto di essere immersi in un campo elettrico, ognuno dei due conduttori sarà
sottoposto ad un proprio potenziale elettrico, VA e VB rispettivamente. Tra i due conduttori
esisterà quindi una di¤erenza di potenziale:
V = VA
VB
Sperimentalmente si può dimostrare che tale di¤erenza di potenziale è direttamente proporzionale alla quantità di carica accumulata sui conduttori e quindi si può scrivere:
Q=C V
dove la costante C, determinata solo dalla geometria del sistema, prende il nome di capacità.
Essa si misura in farad (F).
Poichè questa unità di misura è, per gli usi pratici, molto grande si fa spesso rifermento
a due suoi sottomultipli, il picofarad (1 pF = 10 12 F) ed il nanofarad (1 nF = 10 9 F).
Per mostrare analiticamente la proporzionalità tra carica e di¤erenza di potenziale rifacciamoci ad un caso particolarmente semplice, quello indicato in …gura 14.12, costituito da
due conduttori a facce piane e parallele, posti nel vuoto. Le due super…ci prendono il nome
di armature ed il sistema viene detto condensatore a facce piane e parallele. Sulle
due super…ci siano accumulate due cariche, +Q su una e Q sull’altra.
La densità super…ciale di carica accumulata sulle due super…ci è quindi:
=
Q
S
15
14.8 CONDENSATORI E CAPACITÀ.
+Q
-Q
Figura 14.12: Condensatore a facce piane e parallele
dove S è l’area di ognuna delle super…ci.
Per semplicità supponiamo che le due super…ci siano in…nite, ovvero anche di trattare
solo il caso a grandi distanze dai bordi delle super…ci stesse. In tal situazione abbiamo già
visto che ognuna delle due super…ci produce un campo elettrico dato da:
E=
2 "0
Accade ora che nella regione esterna alle due super…ci i due campi elettrici hanno verso
opposto e quindi si elidono a vicenda mentre nella regione compresa tra le due armature i
campi elettrici hanno ugual verso e quindi si sommano dando luogo ad un campo elettrico
totale:
E=
"0
E’da notare che il campo elettrico è diretto perpendicolarmente alle due armature.
Per determinare la di¤erenza di potenziale tra le due armature dobbiamo ricordare che,
in base alla de…nizione di potenziale elettrico, vale la relazione:
Z
! !
V =
E dl
dove l’integrale va esteso ad un qualunque spostamento che da una armatura porta all’altra.
Tenendo presente che al prodotto scalare contribuiscono solo gli elementi del vettore campo
elettrico paralleli al vettore spostamento, possiamo eseguire l’integrale lungo uno spostamento perpendicolare alle due armature e pertanto, detta d la distanza tra queste e tenendo
presente la costanza del campo elettrico, si ottiene:
V =
"0
d=
d
S "0
S=
d
Q
Q=
S "0
C
ove con C abbiamo indicato la capacità del condensatore. Risulta quindi che in questo caso
la capacità C è data dalla relazione:
d
C = "0
S
16
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
E’ quindi dimostrato che la carica elettrica accumulata sulle armature è proporzionale
alla di¤erenza di potenziale tra le due armature stesse.
Poniamoci ora il problema di determinare quanta energia occorra fornire per poter caricare un condensatore. Questo problema è importante poichè tale energia sarà quella accumulata nel campo elettrico e quindi otterremo una formula che esprime l’energia accumulata
in una campo elettrico.
Dalla de…nizione sappiamo che il lavoro elementare necessario per portare una carica dq
ad un potenziale V è:
dL = V dq
e quindi il lavoro totale necessario per caricare un condensatore è:
Z
Z Q
1 1 2 1
1 Q
q dq =
Q = C V2 =U
V dq =
L=
C 0
C 2
2
0
Tale lavoro viene fornito dall’esterno alle cariche elettriche e serve a generare il campo
elettrico nella regione compresa tra le due armature. La densità di energia accumulata nel
campo elettrico è allora data, nel caso di un condensatore a facce piane e parallele, da:
U
1 C
1
1
V2
2
u=
=
V = "0 2 = "0 E 2
Sd
2 Sd
2
d
2
Questa formula rappresenta appunto la densità di energia accumulata in un campo elettrico ed ha valore generale. Dovunque vi sia un campo elettrico E possiamo associare, nel
vuoto, una densità volumica di energia u, espressa dalla formula precedente.
14.9
Campo elettrico nei materiali.
Sinora abbiamo sempre considerato che lo spazio nel quale agisce il campo elettrico sia vuoto;
vogliamo ora vedere cosa accade in presenza di materiali diversi.
Consideriamo pertanto un condensatore piano e tra due armature supponiamo vi sia il
vuoto. Abbiamo già visto che in tal caso la capacità è:
C = "0
d
S
Supponiamo ora di avere un altro condensatore, perfettamente uguale al precedente, ma
in questo caso tra le due armature non è interposto il vuoto ma un materiale qualsiasi,
isolante.
Sperimentalmente si osserva un valore della capacità Cm , diverso da C. Risulta però che,
qualunque sia la geometria è:
Cm = "r C > C
ove la costante "r dipende solo dallo speci…co materiale interposto e viene detta costante
dielettrica relativa del mezzo rispetto al vuoto.
Per prima cosa occorre notare che quando si pone un materiale elettricamente neutro nelle
vicinanze di una carica elettrica si genera il fenomeno detto della induzione elettrostatica,
in base al quale sulle super…ci esterne del materiale vengono a generarsi delle distribuzioni
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
17
++
+ +
Figura 14.13: Schematizzazione di un atomo
di cariche, di segno opposto ma di ugual modulo in modo che il materiale resti sempre
elettricamente neutro. Tali distribuzioni di cariche sono spiegabili con l’azione del campo
elettrico, prodotto dalla carica originaria, sui singoli costituenti la materia.
Osserviamo ora la situazione dal punto di vista microscopico dando qualche cenno sulla
struttura della materia.
Ogni atomo può essere considerato come un nucleo centrale costituito da particelle cariche
positivamente (i protoni) e da particelle neutre (i neutroni).
Intorno al nucleo abbiamo una nuvola elettronica carica negativamente costituita da un
numero di elettroni esattamente uguale a quello dei protoni (Fig. 14.13). Le diverse funzioni
di probabilità degli elettroni costituiscono i cosiddetti orbitali.
Di regola, pertanto, un atomo è elettricamente neutro ma il fatto che le cariche positive
sono distinte da quelle negative fa sì che l’atomo possa produrre intorno a se un campo di
multipolo, in particolare possiamo riferirci a quello già noto di dipolo.
L’accoppiamento di più atomi sino a formare le molecole deforma ulteriormente gli orbitali
e può pertanto generare un campo di multipolo anche intenso.
Ad esempio nella …gura 14.14 sono riportati alcuni materiale coi loro relativi momenti di
dipolo intrinseci. Il momento di dipolo è espresso in unità Debye:
1 D = 3:336
10
30
Cm
Le sostanze che hanno un momento di dipolo intrinseco sono dette polari.
Consideriamo ora una molecola polare.
Come abbiamo già detto, in assenza di campo elettrico esterno i singoli dipoli delle diverse
molecole sono orientati a caso e cambiano continuamente orientazione a causa dell’agitazione
termica delle molecole stesse. Il momento totale risultante è nullo (Fig.14.15).
In presenza di un campo esterno, invece, ogni singolo dipolo tende a privilegiare una orientazione associata a quella del campo esterno (Fig. 14.16) e pertanto compare un momento
di dipolo complessivo diverso da zero.
L’agitazione termica tende a contrastare questo comportamento ma in realtà riesce solo
a diminuirne l’e¤etto.
Poiché il momento di dipolo totale è stato causato da un orientamento privilegiato dei
singoli momenti si parla di Polarizzazione per orientamento.
18
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
acqua
metanolo
Acido cloridrico
H
H
O
O
CH3
H
Cl
H
1.85 D
ammoniaca
1.71 D
1.08 D
Diossido di carbonio Tetracloruro di carbonio
Cl
H
H
H
N
1.47 D
C
O=C=O
Cl
0D
Cl
Cl
0D
Figura 14.14: momento di dipolo intrinseco di alcuni materiali
P=0
Figura 14.15: Orientazione casuale dei dipoli di una molecola polare
19
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
E≠0
P≠0
Figura 14.16: Orientazione dei dipoli di una molecola polare sotto l’azione di un campo
elettrico esterno
E≠0
E=0
-e
-e
+q
a)
+q
b)
Figura 14.17: Un atomo non polare in assenza (a) di campo elettrico esterno ed in sua
presenza (b).
Passiamo ora a considerare una molecola non polare.
In assenza di un campo elettrico esterno il momento di dipolo è nullo.
Preso un singolo atomo può ora accadere che la nube elettrica sia simmetrica rispetto al
centro (Fig. 14.17 a) e pertanto il baricentro delle cariche elettriche negative coincide con
quello delle cariche elettriche positive. Se ora sottoponiamo l’atomo ad un campo elettrico
esterno accade che l’orbita elettronica viene a deformarsi ((Fig. 14.17 b); in tal caso il
baricentro delle cariche elettriche negative non coinciderà più col baricentro delle cariche
elettriche positive. In questo caso parleremo di Polarizzazione per deformazione.
Nel paragrafo 7 di questo capitolo abbiamo visto che un dipolo produce, nello spazio
circostante, un campo elettrico che dipende proporzionalmente dal momento di dipolo
!
p . Possiamo ora considerare tutte le molecole del sistema e sommare i diversi contributi
al campo elettrico di ogni singolo dipolo. Tale contributo sarà nullo se e solo se i singoli
momenti di dipolo !
p sono orientati a caso; in tale situazione, infatti, il contributo di un
dipolo sarà completamente bilanciato dal contributo di un altro dipolo, orientato in maniera
opposta. Ne consegue che, in generale, il contributo complessivo dei singoli dipoli è nullo e
20
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
-
cariche legate
+
-
+
-
+
-
D
P
E
cariche libere
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Figura 14.18: Disposizione delle cariche in un dielettrico all’interno di un condensatore a
faccie piane e parallele
quindi non si ha un campo elettrico all’esterno del materiale.
Se però esiste un campo elettrico esterno accade che i singoli dipoli hanno una direzione
priviligiata poichè i baricentri delle cariche negative tenderanno a spostarsi nella direzione
delle linee di ‡usso mentre i baricentri delle cariche positive tenderanno a spostarsi nella
direzione opposta. Ne consegue che i singoli momenti di dipolo tenderanno ad orientarsi in
direzione parallela al campo elettrico preesistente (Fig. 14.18.
Il campo elettrico totale sarà allora formato da due termini contrastanti: il primo è
!
dovuto al campo elettrico esterno ed è dato dal vettore E mentre il secondo è proporzionale
(ma con verso opposto) alla somma dei singoli momenti di dipolo, somma che indicheremo
!
col simbolo P e che chiameremo vettore polarizzazione.
Per de…nire correttamente il vettore polarizzazione ricordiamo il teorema di Gauss in
forma puntuale:
!
"0 div E =
!
dove E è il campo elettrico complessivo dovuto alla densità di carica totale . Abbiamo
appena detto che tale densità di carica è in realtà formata da due termini: il primo, indicato
con lib , è la densità di carica libera che genera il campo preesistente mentre il secondo,
designato con leg , è la densità di carica indotta dal campo preesistente e che vogliamo
esprimere per mezzo del vettore polarizzazione.
La de…nizione di tale vettore può avvenire per similitudine, scrivendo una sorta di teorema
di Gauss applicato alle sole cariche legate e quindi scrivendo:
!
div P =
leg
Con questa de…nizione del vettore polarizzazione possiamo ottenere anche giungere alla
de…nizione di una nuova grandezza. A tale scopo riscriviamo il teorema di Gauss ed utilizziamo la de…nizione del vettore polarizzazione:
!
!
"0 div E = = lib + leg = lib div P
ovvero anche:
lib
!
!
= "0 div E + div P
21
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
Questa relazione mostra che è possibile scrivere ancora una volta una sorta di teorema
di Gauss applicato alle sole cariche libere, generate dal vettore:
!
! !
D = "0 E + P
che prenderà il nome di spostamento elettrico.
Siamo pervenuti pertanto alla de…nizione, nei dielettrici, di due nuovi enti …sici, il vettore polarizzazione ed il vettore spostamento. Sul loro signi…cato possiamo riscrivere le tre
equazioni:
!
"0 div E =
!
div P =
!
div D =
tot
leg
lib
ovvero il vettore spostamento è connesso alle sole cariche libere, il vettore polarizzazione alle
sole cariche di polarizzazione mentre il vettore campo elettrico è connesso a tutte le cariche.
Sperimentalmente si mostra che nei dielettrici il vettore polarizzazione è proporzionale al
campo elettrico totale e quindi è possibile scrivere:
!
P = "0
m
!
E
dove la costante m prende il nome di suscettività elettrica.
Risulta pertanto che:
!
! !
!
D = "0 E + P = "0 E + "0
m
!
E = "0 (1 +
m)
!
!
E = "0 "r E
avendo indicato con "0 la costante dielettrica relativa del mezzo.
Ritorniamo ora al condensatore piano tra le cui armature sia frapposto un dielettrico.
In questo caso la di¤erenza di potenziale tra le due armature è legata al campo elettrico E
dalla solita relazione:
V =E d
mentre la carica accumulata sulle armature è legata al vettore spostamento D dalla relazione:
q=
S=DS
Abbiamo quindi:
q
DS
=
= "0 "r C
V
Ed
che è la relazione citata all’inizio del paragrafo.
Possiamo ora calcolare l’energia associata al campo elettrico nella materia, determinando
quanto lavoro occorre compiere per caricare un condensatore con dielettrico.
Utilizzando la formula già ottenuta nel precedente paragrafo ed la relazione ora ottenuta
per la capacità, si ha:
1
1
S 2 2
L = Cm V 2 = "0 "r
E d =U
2
2
d
Cm =
22
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
per cui la densità di energia u è data da:
u=
1
U
= "0 "r E 2
Sd
2
Di tale energia parte um , va ad alimentare l’energia interna delle molecole del dielettrico
mentre la restante parte, u0 corrisponde all’energia propria del campo elettrico nel vuoto:
1
"0 m E 2
2
1
u0 = "0 E 2
2
um =
La costante dielettrica relativa varia fortemente da sostanza a sostanza. Ad esempio per
il vuoto essa è, per de…nizione, pari ad 1 mentre per l’aria vale 1.00054. Si può quindi spesso
approssimare l’aria con il vuoto. Per le altre sostanze abbiamo valori dell’ordine delle unità
per la carta (3.5), per la porcellana (6,5) ed altri materiali, ma anche valori dell’ordine delle
centinaia per altri materiali, ad esempio per l’acqua vale 78.
Un valore così elevato della costante dielettrica per l’acqua permette di spiegare la dissociazione delle molecole ioniche in acqua. Consideriamo ad esempio un sale quale il Cloruro
di Sodio la cui molecola è formata ad opera di legami ionici. Quando la molecola di NaCl
si trova in acqua il campo elettrico prodotto da ognuno dei suoi componenti viene ridotto
di un fattore pari alla costante dielettrica dell’acqua. Ne consegue che la forza di legame
diminuisce e quindi la molecola può dissociarsi più facilmente, ovvero l’energia termica può
permettere ai singoli componenti della molecola di vincere l’energia di legame della molecola
stessa.
Solo alcuni acidi acquosi molto forti possiedono una permittività elettrica superiore
all’acqua es : acido nitrico, acido perclorico.
Al contrario il benzene, con una costante dielettrica relativa pari a 2.30, risulta un solvente
molto utile per ottenere soluzioni di composti organici poco polari (o apolari) e pertanto non
idrosolubili.
L’etanolo è un solvente con caratteristiche intermedie, possedendola pari a 28.
In conclusione più è elevata la permittività elettrica di un solvente, maggiore è la sua
solubilità nei confronti di elettroliti
14.9.1
Polarizzazione nei conduttori
Come abbiamo visto precedentemente la polarizzazione di un dielettrico porta solo ad una
orientazione dei singoli dipoli senza che vi sia una e¤ettiva separazione delle cariche.
Se allora prendiamo un dielettrico, diviso in due parti, e lo sottoponiamo all’azione di un
campo elettrico esso si polarizza (Fig. 14.19)
Se ora separiamo i due pezzi ed eliminiamo il campo elettrico esterno il materiale non
sarà più polarizzato ed entrambi i pezzi saranno elettricamente neutri (Fig. 14.20).
Consideriamo ora un conduttore. Sappiamo che all’interno del conduttore esiste un elevato numero di elettroni mobili che si muovono, in assenza di un campo esterno, con velocità
assolutamente casuali e pertanto il materiale risulta neutro e non polarizzato (Fig. 14.21)
23
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+q
Figura 14.19: Polarizzazione di un dielettrico sottoposto all’azione di una carica elettrica
positiva
Figura 14.20: Separazione di un dielettrico precedentemente polarizzato
Figura 14.21: Conduttore non sottoposto a campo elettrico esterno
24
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
-
+
+
+
+
+
+q
Figura 14.22: Conduttore polarizzato dall’azione di un campo esterno
+
-
Figura 14.23: Conduttore inizialmente polarizzato e poi diviso in due pezzi
Se ora sottoponiamo il materiale ad un campo elettrico esterno le velocità degli elettroni
mobili non saranno più casuali ma tenderanno ad orientarsi sotto l’azione del campo elettrico
esterno (Fig. 14.22) che polarizzarà il materiale
Se ora separiamo le due parti del conduttore ed eliminiamo l’azione del campo esterno
le direzioni delle velocità degli elettroni riprenderanno ad essere casuali ma gli elettroni
che si saranno accumulati nel lato destro (Fig. 14.23) saranno rimasti intrappolati in quel
frammento per cui l’intero frammento risulterà non più neutro ma carico negativamente.
Al contempo l’altro frammento avrà una carenza di elettroni e risulterà quindi carico
positivamente.
ESERCIZI
Esercizio 1
: Siano date due cariche q1 = 1 10 4 C e q2 = 1:6 10 8 C, poste a 5 cm di distanza l’una
dall’altra. Si determini la forza di interazione tra le due cariche.
Esercizio 2
: Date due cariche q1 = q2 = 1:6 10 8 C, poste a d=5 cm di distanza l’una dall’altra ed
una terza carica Q = 10 5 C posta a 10 cm dalle due cariche suddette, si determini la forza
agente su tale carica.(Fig. 14.24)
d
q1
r
q2
Q
r
Figura 14.24: Forza agente su una carica ad opera di altre due cariche
Esercizio 3
: Siano date due cariche, q1 = 2 C (= 2 10 6 C) posta nel punto di coordinate (2,0) e
q2 = 5 C posta nel punto di coordinate (5,0). Si determini il campo elettrico nel punto
di coordinate (5,3). (N.B. Le coordinate sono espresse in cm).
Esercizio 4
: In un vertice di un quadrato di spigolo a = 3 cm viene posta una carica q = -20 C mentre
nei due vertici adiacenti al primo vengono poste due cariche entrambi uguali a Q = 10 C.
Si determini il potenziale elettrico nel quarto vertice.
Esercizio 5
: Si determini la forza agente sulla carica qA su cui agisce una distribuzione di carica lineare
del tipo indicata in …gura 14.25.
Si supponga che sia: Q = :15 C, qA = 3:7 C, l = 5 cm e D = 10 cm.
Esercizio 6
: Sia dato un arco di circonferenza di raggio R = 10 cm ed apertura angolare = 60 .
Su tale arco sia distribuita uniformemente una carica q = 1:0 10 4 C. Nel centro della
26
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
L
D
Q
Figura 14.25: Forza agente su di un punto ad opera di una distribuzione lineare di cariche
circonferenza sia disposta una carica Q = 1:75
carica.
10
8
C. Si determini la forza agente su tale
Esercizio 7
: Determinare il campo elettrico prodotto da una distribuzione lineare di carica, con densità
lineare
Esercizio 8
: Un …lo rettilineo in…nito é uniformemente carico con densità lineare = 6 C/m. Perpendicolare e coplanare ad esso si trova un segmento lungo L = 20 cm, carico uniformemente
con carica totale Q = 10 C. La distanza tra l’estremo del segmento ed il …lo é a = 10 cm
(Fig. 14.26). Si determini la forza tra i …li.
a
L
λ
Q
Figura 14.26: Distribuzione di cariche elettriche lungo un …lo
Esercizio 9
: Due …li rettilinei paralleli, inde…nitamente lunghi, sono uniformemente carichi con densità
di carica q1 = 6 C/m e q2 = 3 C/m e sono posti a 10 cm di distanza tra di loro.
Determinare il vettore campo elettrico nel punto P, indicato in …gura 14.27.
Esercizio 10
: Una carica positiva é distribuita uniformemente sulla super…ce di una sfera cava di raggio
R = 10 cm, con una densità super…ciale di carica = 16 C/m2 . Si calcoli il campo elettrico
di un punto posto a 5 cm dal centro della sfera e di uno posto a 50 cm, sempre dal centro
27
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
λ1
λ2
d
30°
30°
P
Figura 14.27: Campo elettrico prodotto da due …li carichi
della sfera.
Esercizio 11
: Una lunga sbarretta cilindrica di raggio R = 1 cm contiene nel suo volume una carica uniformemente distribuita con densità = 10 8 C/m3 . Trovare il campo elettrico E all’interno
ed all’esterno della sbarra.
Esercizio 12
: Due super…ci piane, inizialmente cariche uniformemente con densità super…ciali 1 = -1
C/m2 e 2 = 2 C/m2 , vengono spostate sino ad essere parallele, ad una distanza d = 1
cm. Si determini il campo elettrico in tutto lo spazio.
Esercizio 13
: Due elettrodi piani e paralleli distano tra di loro 2 cm ed hanno una di¤erenza di potenziale
pari a 120 V. Si determini l’intensità del campo elettrico tra gli elettrodi e la energia acquisita
da un elettrone (q = 1:6 10 19 C) nel percorrere il tratto da un elettrodo all’altro.
Esercizio 14
: Determinare la capacità equivalente dovuta a due condensatori in serie ed a due condensatori in parallelo.
Esercizio 15
: Nella combinazione dei condensatori indicati in …gura 14.28 le capacità sono C1 = 3 F,
C2 = 2 F e C3 = 4 F. La di¤erenza di potenziale tra i punti A e B é di 300 V. Si determini
la carica accumulata e la di¤erenza di potenziale su ciascun condensatore.
Esercizio 16
: Tre condensatori sono disposti come in …gura 14.29. Si determini la capacità equivalente
del circuito e la carica accumulata ai capi di ogni condensatore se la di¤erenza di potenziale
totale é V = 120 V.
28
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
C1
C2
C3
Figura 14.28: Circuito capacitivo
C1
C2
C3
Figura 14.29: Circuito capacitivo
Esercizio 17
: Due lastre di alluminio di area A = 10 dm2 sono separate da un foglio di carta di spessore d = 0:2 mm e costante dielettrica relativa "r = 2. Si determini la capacità di tale
condensatore e la carica massima accumulabile se la rigidità dielettrica della carta é di 105
V/m.
SOLUZIONI
Svolgimento dell’esercizio 1
:Per la forza di Coulomb abbiamo:
F =
1
4
q1 q 2
= 5:75 N
"0 r2
Poiché le due cariche hanno lo stesso segno la forza è repulsiva.
Svolgimento dell’esercizio 2
:Riferiamoci alla …gura (Fig. 14.30) nella quale sono indicate le tre cariche.
Data la simmetria della distribuzione la forza totale sarà perpendicolare all’asse passante
per le due cariche q1 e q2 e quindi basterà considerare solo le componenti delle due forze di
Coulomb dirette perpendicolarmente a tale asse.
d
q1
q2
r
r
Q
Figura 14.30: Forza agente su una carica ad opera di altre due cariche
Osservando la Fig. 14.31 si ricava che
1
q1 Q
cos
4 "0 r2
1
q2 Q
= F2 cos =
cos
4 "0 r2
F1? = F1 cos =
F2?
ove
cos =
q
d 2
2
r2
r
=
per cui:
F = F1? + F2? =
2
4
q1 Q
"0 r2
s
s
1
d
2r
1
d
2r
Svolgimento dell’esercizio 3
:In …gura 14.32 rappresentiamo la situazione descritta.
2
2
= 0:28 N
30
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
q1
q2
d
r
θ
Q
Figura 14.31: Forza dovuta a due cariche
P
q1
q2
Figura 14.32: Campo elettrico dovuto a due cariche
Per calcolare il campo nel punto P occorre calcolare le componenti dei due campi elettrici
prodotti dalle due cariche.
Iniziamo quindi con l’esprimere i quadrati delle due distanze:
r2 = (5
R2 = (5
2)2 + (3
5)2 + (3
0)2 = 18 cm2 = :0018 m2
0)2 = 9 cm2 = :0009 m2
Risulta quindi:
E1x =
E1y =
E2x =
E2y =
1
4
"0
1
4
"0
1
4
"0
1
4
"0
q1
(0:05 0:02)
(x
x
)
=
k
q
= 0:77 10 3 k
P
1
1
r3
:00183=2
(0:03 0)
q1
(yP y1 ) = k q1
= 0:77 10 3 k
3
r
:00183=2
q2
(xP x2 ) = 0
R3
q2
(0:03 0)
(x
x
)
=
k
q
= 5:56 10 3 k
P
2
2
R3
:00093=2
dove abbiamo de…nito:
k=
1
4
"0
= 9:0
109 N m2 = C2
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
31
Numericamente abbiamo quindi:
Ex = E1x + E2x = 6:9 109 V/m
Ey = E1y + E2y = 43:2 109 V/m
Svolgimento dell’esercizio 4
:Ricordiamo che grazie alla sovrapposizione degli e¤etti il potenziale dovuto alle tre cariche
è pari alla somma dei potenziali dovuti ad ogni singola carica.
Iniziamo quindi col calcolare il potenziale dovuto alla carica negativa:
V1 =
1
4
q
"0 r
dove r è pari alla diagonale del quadrato e quindi è:
V1 =
1
4
"0 a
q
p
2
Per le altre due cariche possiamo notare che esse sono uguali e che per entrambe la
distanza è pari allo spigolo del quadrato; ne consegue che:
V2 = V3 =
1
4
Q
"0 a
In de…nitiva abbiamo:
V = V1 + V2 + V3 =
1
4
2
q
Q
p +
"0 a 2 4 "0 a
che numericamente fornisce:
105 V
V = 102:3
L
D
Q
Figura 14.33: Forza agente su di un punto ad opera di una distribuzione lineare di cariche
Si supponga che sia: Q = :15 C, qA = 3:7 C, l = 5 cm e D = 10 cm.
Svolgimento dell’esercizio 5
:Consideriamo un elemento dx di …lo la cui carica sarà:
dq =
Q
dx
l
32
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
e la cui distanza dalla carica q è x. Al variare di tale distanza da D sino a D + l l’elementino
spazierà lungo tutta la sbarra.
Le diverse forze di interazione dovute ad ogni elementino sono tutte dirette lungo la
stessa direzione e quindi la sommatoria delle forze sarà semplicemente ottenuta per mezzo
di una somma aritmetica. E’ pertanto possibile trattare tutto il problema considerando
direttamente gli scalari.
Per un singolo elemento di sbarra abbiamo:
dF =
1
4
qA
qA Q
1
dx
dq
=
"0 x2
4 "0 x2 l
e per ottenere il contributo di tutta la sbarra occorrerà integrare in dx, con gli estremi di
integrazione citati precedentemente:
dF =
1
4
qA Q
"0 l
Z
D+l
D
dx
x2
Eseguendo l’integrazione otteniamo
dF =
1
4
qA Q
1
"0 l
D+l
1
D
che può anche scriversi come:
dF =
1
4
qA Q
"0 D (D + l)
Numericamente otteniamo quindi:
dF = 0:10 N
Svolgimento dell’esercizio 6
:Facciamo riferimento alla …gura 14.34 nella quale è rappresentata la distribuzione di carica
e la carica Q di prova.
q
R
2α
Q
Figura 14.34: Forza elettrica prodotta da una distribuzione curva di cariche
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
Se utilizziamo il valore dell’angolo
carica:
33
in radianti, possiamo de…nire la densità lineare di
=
q
2 R
e ripartire l’arco di circonferenza in in…niti elementini di lunghezza dx, su cui è accumulata
una carica:
q
q
dx =
d
dq = dx =
2 R
2
dove d è l’angolo al centro individuato da tale elementino di lunghezza.
Ad ognuno di tali elementini corrisponderà, dall’altro lato dell’arco, un elementino posto
ad ugual distanza dall’asse di simmetria e carico con ugual carica elettrica.
Sfruttando quanto detto nello svolgimento del precedente esercizio possiamo a¤ermare
che la somma delle forze di interazione provocate da questi due elementini è:
dF = 2
1
4
ovvero:
"0
Q
q
cos
d
2
R2
Qq
cos d
4 "0
R2
e la forza complessiva si ottiene integrando per valori di compresi tra 0 ed :
Z
1
Qq
F =
cos d
4 "0
R2 0
1
dF =
Eseguendo l’integrazione si ha:
F =
1
4
"0
Qq
sin
R2
Per la risoluzione numerica occorre ricordare che l’angolo à va espresso in radianti e cioé:
= 0:524 rad
per cui otteniamo
F = 1:5 N
Svolgimento dell’esercizio 7
:Iniziamo col supporre che il …lo sia di lunghezza in…nita.
Per problemi di simmetria possiamo subito a¤ermare che la direzione del campo elettrico
deve essere radiale.
Applichiamo ora il teorema di Gauss ad un cilindro il cui asse giaccia sul …lo e il cui
raggio sia r, di lunghezza s:
s
=2 rsE=
"0
dove si é considerato appunto che il campo elettrico é parallelo alle basi del cilindro e perpendicolare alle sue pareti laterali.
34
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
Sempli…cando si ottiene in…ne:
E=
2
r "0
Svolgimento dell’esercizio 8
:Consideriamo lo schema rappresentato in …gura 14.35.
λ
a
L
Q
Figura 14.35: Distribuzione di cariche elettriche lungo un …lo
Per un segmento di lunghezza dx del segmento, la cui distanza dal …lo sia x, il valore del
campo elettrico é:
1
E=
2 "0 x
La forza agente sull’elemento di segmento é allora:
dF = E dq =
Q dx
Q
dx
E=
L
2 "0 L x
La forza agente su tutto il segmento é quindi:
F =
Q
2
"0 L
Z
a+L
a
dx
x
Risulta quindi:
F =
Q
2
"0 L
[ln (a + L)
ln a] = 1:47 N
Svolgimento dell’esercizio 9
:Iniziamo con considerare il campo elettrico prodotto da una distribuzione lineare di carica:
E=
2
1
"0 r
Nel nostro caso i due …li hanno uguale distanza dal punto ma i campi elettrici prodotti
non hanno la stessa direzione. La loro somma vettoriale dovrà tenere quindi conto delle due
componenti .
35
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
λ1
λ2
d
30°
E1
30°
E1
E1
E2
P
E2
║
┴
║
E2
┴
Figura 14.36: Vettori campi elettrici dovuti a due distribuzioni di carica
Iniziamo col determinare i moduli dei campi elettrici, utilizzando gli schemi mostrati in
…gura 14.36:
E1 =
E1 =
1
=
"0 r1
2
1
2
=
"0 r2
2
cos
"0 d
cos
2
"0 d
1
1
Le componenti sono quindi:
cos2
"0 d
cos
1 sin
"0
d
2
2 cos
"0 d
cos
2 sin
"0
d
1
E1par = E1 cos =
E1per = E1 sin =
E2par = E2 cos =
E2per = E2 sin =
ed il campo totale ha componenti
ET par =
ET per =
1
2
"0
+
1
"0
2
cos2
d
sin cos
d
Svolgimento dell’esercizio 10
:Per risolvere il problema basta applicare il teorema di Gauss. Nel primo caso abbiamo che
all’interno di una super…ce sferica di raggio r = 5 cm, non si trova alcuna carica e quindi il
campo elettrico é nullo.
Per il secondo caso abbiamo che, data la simmetria sferica, possiamo ritenere radiale il
campo elettrico. Ne consegue che, applicando il teorema di Gauss:
E=
Q
R2
=
= 72:5
"0 S
"0 r 2
109 V/m
36
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
Svolgimento dell’esercizio 11
:Scriviamo il teorema di Gauss per una qualunque super…ce cilindrica, coassiale con la sbarretta:
Z
I
! !
dV
E dS =
V
Se supponiamo che gli e¤etti di bordo siano trascurabile, e ciò é ammissibile poiché la
sbarretta é molto lunga, possiamo dire che, per motivi di simmetria, il campo elettrico sarà
radiale e quindi daranno contributo al ‡usso solo le pareti laterali della super…ce cilindrica.
Ne consegue che, per una super…ce cilindrica lunga s e di raggio r, é:
2
r2 s
rsE=
ovvero:
r
= 5 10 9 r
2
per il campo elettrico all’interno della sbarretta.
Per il campo elettrico fuori della sbarretta, abbiamo:
E=
2
rsE=
R2 s
E=
R2
=5
2r
10
ovvero:
13
1
r
Svolgimento dell’esercizio 12
:Il campo prodotto da ogni singola super…ce é uniforme in tutto lo spazio ma ha modulo e
verso diverso per ognuna delle due super…ci. Accadrà quindi che nella regione compresa tra
le due super…ci, e che chiameremo interna, i due campi elettrici si sommeranno in modulo
mentre nelle regioni esterne i due campi elettrici si sottrarranno, sempre in modulo.
Iniziamo col calcolare i due campi elettrici separatamente:
E1 =
E2 =
1
2 "0
2
2 "0
5:85
104 V/m
= +1:17
103 V/n
=
Il campo nella regione interna é quindi:
E1 = 1:755
103 V/m
Eest = E1 + E2 = 5:85
104 V/m
Eint = E2
mentre nella regione esterna abbiamo:
37
14.9 CAMPO ELETTRICO NEI MATERIALI.
Svolgimento dell’esercizio 13
:Per de…nizione il campo elettrico é associato alla di¤erenza di potenziale, nell’ipotesi della
costanza del campo elettrico, dalla relazione:
E=
120
V
=
= 6000 V/m
d
0:02
mentre l’energia acquisita dall’elettrone é semplicemente:
W = V q = 120
1:6
10
19
= 192
10
19
eV
Si noti che in questo caso abbiamo espresso l’energia anche in una nuova unità, detta
elettronvolt ed indicata con il simbolo eV, particolarmente adatta a trattare le energie delle
particelle elementari.
Svolgimento dell’esercizio 14
:Iniziamo col trattare il caso dei condensatori in serie.
In tal caso le due armature interne, una per ogni condensatore, sono isolate rispetto
all’esterno e pertanto, se inzialmente erano neutre, lo saranno sempre. Ne consegue che le
due cariche accumulate sui due condensatori devono essere uguali mentre la di¤erenza di
potenziale totale sarà pari alla somma delle due di¤erenze di potenziale:
V = V1 + V2 =
Q
Q
+
=Q
C1 C2
1
1
+
C1 C2
Ne consegue che la capacità equivalente é:
Ceq =
1
1
+
C1 C2
1
Nel caso dei condensatori in parallelo, invece, le due cariche elettriche saranno diverse
mentre saranno uguali le due di¤erenze di potenziale: Abbiamo cioé:
Q = Q1 + Q2 = C1 V + C2 V = (C1 + C2 ) V
e pertanto:
Ceq = C1 + C2
Svolgimento dell’esercizio 15
:Per calcolare la carica accumulata in totale dobbiamo iniziare col determinare la capacità
equivalente. Essa é data, sfruttando le relazioni esistenti per le capacità in serie e quelle in
parallelo, da:
1
1
1
Ceq =
+
=2 F
C1 (C2 + C3 )
38
CAPITOLO 14 ELETTROSTATICA
La carica totale accumulata é quindi:
QT ot = Ceq V = 600 F
Tale carica é anche accumulata sulle armature del primo condensatore, ed ad essa corrisponderà una caduta di tensione pari a:
QT ot
= 200 V
V1 =
C1
Sugli altri due condensatori sarà quindi applicata una di¤erenza di potenziale:
V2 = V3 = V
V1 = 100 V
e quindi avremo le due cariche accumulate:
V2
Q2 =
= 200 C
C2
V3
Q3 =
= 400 C
C3
Si noti che, come doveva essere, la somma di tali cariche é pari alla carica accumulata
sul primo condensatore.
Svolgimento dell’esercizio 16
:Dal circuito si ricava che le due capacità C1 e C2 sono in serie per cui la loro capacità
equivalente é:
C1 C2
CA =
= 1:5 F
C1 + C2
Tale capacità é poi in parallelo con la C2 per cui
Ceq = CA + C3 = 5 F
La carica totale accumulata é quindi:
Q = Ceq V = 600 C
Per le cariche accumulate sulle singole capacità abbiamo:
Q3 = C3 V = 420 C
Q1 = Q2 = Q Q3 = 180 C
Svolgimento dell’esercizio 17
:Iniziamo col calcolare la capacità, supponendo trascurabili gli e¤etti di bordo, ovvero applicando la formula relativa ad armature piane ed in…nite:
A
C = "0 "r
= 8:85 nF
d
Per determinare la carica massima accumulabile, senza che il dielettrico si distrugga basta
determinare la carica associata ad un campo elettrico pari alla rigidità dielettica:
Qmax = C Emax d = 176 nC