grandezze fisiche vettoriali
vettori : coordinate polari
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Appunti di Fisica
Prof. Calogero Contrino
Grandezze vettoriali:
Rappresentazione di un vettore in coordinate polari
Dato un vettore in forma cartesiana A = Ax i + Ay j
(vedi fig.1) , il suo modulo si determina
immediatamente applicando il teorema di Pitagora al triangolo OHP, si ha infatti:
|A| =
Ax2 +
Ay2 =
xP2 +
yP2
Detto l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse si ha :
A
yP
= tg-1 Ay = tg-1 yP
da cui
tg = HP = y =
x
Ax
P
OH
Ax
xP
I valori di |A| e di determinano in modo univoco il vettore cosi come le sue componenti
cartesiane; |A| ed sono dette le coordinate polari del vettore A . L’angolo prende il nome di
fase o anomalia del vettore .
Applicando il primo teorema sui triangoli
rettangoli al triangolo OHP, si ottengono le
formule per il passaggio dalle coordinate polari a
quelle cartesiane:
Ax = |A| cos
fig. 1
Ay j
Ay = |A| sen
O
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P
yP
Ax i
H
xP
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Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore
Nota : dovendo determinare l’anomalia di un vettore, conoscendo i valori Ax ed Ay delle sue componenti,
se il rapporto Ax /Ay non corrisponde a nessuno dei valori di tg di angoli noti, si deve effettuare il calcolo con
l’ausilio di una calcolatrice tascabile. In tal caso si devono superare due problemi :
•
In generale il valore che ritorna la calcolatrice è un valore decimale (gradi o radianti) esso pertanto deve
essere approssimato con un determinato numero di cifre decimali.
•
Valori positivi di Ax /Ay si hanno sia nel caso in cui Ax ed Ay siano positive (1° quadrante ) sia nel caso in
cui siano entrambe negative (3° quadrante), mentre valori negativi di Ax /Ay si hanno sia nel caso in cui
Ax è positiva ed Ay è negativa (4° quadrante) sia nel caso opposto (2° quadrante).
Per quanto riguarda il secondo punto , la calcolatrice
fig. 2
non è in grado di valutare in quale quadrante ricade il
P2
vettore, pertanto per convenzione ai valori positivi
assegna angoli acuti ricadenti nel primo quadrante ed ai
P1
yP
1>0
valori negativi angoli acuti ricadenti nel quarto quadrante
(quindi angoli negativi, il quarto quadrante coincide infatti
O
con il primo quadrante per angoli orari e quindi negativi)
2<0
Spetta all’alunno valutare, dal segno delle componenti ,
l’eventuale correzione del risultato addizionando al
risultato della calcolatrice 180°, se in radianti (vedi fig.2)
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P1
P2
In rosso i valori forniti dalla calcolatrice nei due casi
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Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi
Si riportano qui degli esempi di calcolo.
•
Determinare la fase del vettore A = 3 i + 2 j
.
Si ha : = tg-1 Ay = tg-1 2 , la calcolatrice fornisce il seguente risultato: 33,69006753°
Ax
3
Il risultato non va corretto perché le due componenti sono entrambe positive ed il vettore
ricade nel primo quadrante si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 33,69° .
fig. 3
P1
yP=2
≃ 33,69°
O
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xP=3
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Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi
•
Determinare la fase del vettore B = - 2 i - 3 j
.
Si ha : = tg-1 By = tg-1 - 3 = tg-1 1,5 , la calcolatrice fornisce il seguente risultato:
Bx
-2
56,30993247°
Il risultato va corretto perché le due componenti sono entrambe negative ed il vettore
ricade nel terzo quadrante si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 56,3° .
Si ha dunque : = +180°= 56,3°+ 180° = 236,3°
fig. 4
P
≃ 56,3°
xP = -2
O
P
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yP= -3
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Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi
•
Determinare la fase del vettore C = i - 2 j
.
Si ha : = tg-1 Cy = tg-1 - 2 = tg-1 (-2) , la calcolatrice fornisce il seguente risultato:
Cx
1
- 63,43494882°
Il risultato non va corretto perché le due componenti sono discordi ed il vettore ricade nel
primo quadrante negativo. È opzionale riferirsi ad un angolo positivo (quarto quadrante)
in tala caso bisogna aggiungere 360°, si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. - 63°.
Si ha dunque : = - 63° oppure = +360° = 360° - 63° = 297°
fig. 3
xP= 1
≃ 297°
yP= -2
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O
≃ - 63°
P
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Nota sul calcolo dell’anomalia di un vettore : esempi
•
Determinare la fase del vettore D = - 2 i + j
.
Si ha : = tg-1 Dy = tg-1 1 = tg-1(-0,5) , la calcolatrice fornisce il seguente risultato:
Dx
-2
- 26,56505118°
Il risultato va corretto perché le due componenti sono discordi ed il vettore ricade nel
secondo quadrante, si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. – 26,57°.
Si ha dunque : = + 180° = 180° - 26,57° = 153,43°
fig. 3
≃ 153,43°
P
xP= - 2
yP=1
O
≃ - 26,57°
P
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