Una sequenza di vettori (v 1,…,vn) generatori di V(K) libera si dice

Una sequenza di vettori (v1,…,vn) generatori di
V(K) libera si dice base di V(K).
Nell’ultimo esercizio della lezione 5 le sequenze A, B
costituiscono una base per le rispettive coperture
lineari.
Basi di uno spazio vettoriale
Gli spazi vettoriali presi in considerazione in questo
corso di Algebra e Geometria sono finitamente
generati.
Uno spazio vettoriale V, V≠{0} su K ha dimensione
n se e solo se le sue basi hanno n vettori.
Lezione 6
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
1
Uno spazio vettoriale V sul campo K di dimensione n
ha:
♦ sottospazi vettoriali di dimensione da 1 a n;
♦ il sottospazio vettoriale banale contenente solo il vettore
nullo che non ha base.
Esempi:
1) Lo spazio vettoriale delle potenze di R, (Rn, +, . )
ha dimensione n.
Una base è...
2) Lo spazio vettoriale geometrico (V2 (R), +, .) sul
piano ha dimensione 2.
Una base è …
j
Lezione 6
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
i
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2
3) Lo spazio vettoriale delle matrici (Rm,n , +,
.
) ha
dimensione mn.
Una base:
 1 0 L 0  0 1 L 0  0 0 L 1  0 0 L 0  0 0 L 0


 
 
 

0 0
 0 0
 0 0
 0 0
 0 0

,..., 
,..., 
,..., 
,





O
O
O
O
O 


 
 
 

 0
 0
 1
 0

0
1
0
0
0
0











Nei due esercizi successivi studieremo come
determinare le basi:
a) di un sottospazio vettoriale assegnato;
b) della copertura lineare di un insieme A.
Esercizio 1
Dati i seguenti sottospazi vettoriali, determina una
base e la dimensione per ciascuno:
a) U1 = {(x,y,z) ∈ R3 |x=0 ∧ y + 3z = 0};
b) U2 = {(x,y,z,t) ∈ R4 | 3t=0 ∧ x - 3z = 0};
Lezione 6
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3
c) U3 = {(x,y,z,t) ∈ R4 | x+y=0 ∧ x + 2z = 0};
d)
 x y 





U4 =  z t  x,y,z,t, u, v ∈ R x = v = 0 ∧ y - t = 0
 u v 
;



e) U5 = {(α,β,2α,0) ∈ R4 | α, β∈R}.
Svolgimento:
a) Gli elementi di U1 sono tutti e soli i vettori del
tipo (0, -3z, z) con z ∈R:
(0, - 3z, z)= z (0,-3,1)
Allora {(0,-3,1)} è un insieme di generatori per U1.
Il vettore (0,-3,1) è linearmente indipendente…
Dunque ((0,-3,1)) è una base per U1.
La dimensione di U1 è quindi 1: dim U1=1.
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4
b) Gli elementi di U2 sono tutti e soli i vettori del
tipo (3z, y, z,0) con y,z ∈R.
(3z, y, z,0)=y(0,1,0,0)+z(3,0,1,0)
Allora {(0,1,0,0),(3,0,1,0)} è un insieme di
generatori.
I vettori generatori sono linearmente indipendenti
infatti α,β∈R α(0,1,0,0)+β(3,0,1,0)=(0,0,0,0)
⇒ α=β=0.
((0,1,0,0),(-2,0,1,0)) è una base per U2.
La dimensione di U2 è quindi 2: dim U2=2.
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5
c) Gli elementi di U3 sono tutti e soli i vettori di R4
(x,y,z,t) le cui entrate soddisfano il sistema:
 x + y = 0

 x + 2 z = 0 cioè x=-2z e y=2z
U3 = {(-2z,2z,z,t) ∈ R4 }.
I vettori (-2z,2z,z,t)=z(-2,2,1,0)+t(0,0,0,1) sono
generati da (-2,2,1,0),(0,0,0,1). Questi vettori sono
linearmente indipendenti, infatti:
α(-2,2,1,0)+ β(0,0,0,1)=(0,0,0,0)
con α,β∈R
implica (-2α,2α,α,β)=(0,0,0,0) e infine α=β=0.
((-2,2,1,0),(0,0,0,1)) è una base per U3: dim U3=2.
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6
d) Tutte e sole le matrici di U4 sono del tipo:
0 y


 z y  y,z, u ∈ R
 u 0


0 y
 0 1   0 0  0 0



 
 

 z y  = y 0 1  + z 1 0  + u 0 0 y,z,u ∈ R
 u 0
 0 0  0 0  1 0 



 
 

Allora l’insieme:





 0 1  0 0

 

 0 1 ,  1 0 
 0 0  0 0

 

 0 0 
 

,  0 0 
1 0  
 

fornisce un insieme di generatori per U4.
Questo insieme è libero, infatti:
 0 1   0 0  0 0  0 0

 
 
 

α  0 1 + β  1 0  + γ  0 0 =  0 0 ⇒ α = β = γ = 0
 0 0  0 0  1 0   0 0


 
 
 
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-
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  0 1  0 0

 

 0 1 ,  1 0 
Allora  
  0 0
0
0

 


 0 0 


,  0 0 
 1 0   è una base per U4.


La dimensione di U4 è 3.
e) I vettori di U5 sono del tipo (α,β,2α,0)∈ R4:
(α,β,2α,0)=α(1,0,2,0)+β(0,1,0,0) con α, β∈R
La
sequenza
dei
generatori
estratta
((1,0,2,0),
implica
…..
(0,1,0,0)) è …..:
α(1,0,2,0)+β(0,1,0,0)=(0,0,0,0)
((1,0,2,0), (0,1,0,0)) è …….. e U5 ha dimensione …...
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8
Esercizio 2
Dati i seguenti insiemi, determinare la copertura
lineare, una base e la dimensione della stessa.
a) A1 = {(1,2,0) , (1,0,1), (0,-2,1)};
 0 y − 1





A2 =  z 0  y,z, v ∈ R
 0 v 
;



b)
c) A3 = {(x,y,z) ∈ R3 | y = 1 ∧ x + 2z = 0}.
Osservazione: A1 ha un numero finito di vettori.
A1, A2 hanno un numero infinito di vettori.
a) I tre vettori di A1 sono, per definizione,
generatori di L(A1).
Controlliamo che siano linearmente indipendenti:
Lezione 6
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9
α(1,2,0)+β(1,0,1)+γ(0,-2,1) =(0,0,0)
implica solo α = - β = γ
(non necessariamente nulli)
I vettori sono linearmente dipendenti: è facile
vedere che (0,-2,1) = (1,0,1) – (1,2,0) è
combinazione lineare degli altri due vettori di A1.
I vettori (1,2,0) e (1,0,1) sono generatori della
copertura
lineare
e
sono
linearmente
indipendenti:
α(1,2,0) + β (1,0,1) = (0,0,0) ⇒ α = β = 0
((1,2,0) , (1,0,1)) è una base per L(A1).
La dimensione di L(A1) è 2.
b) Se y è un numero reale generico, allora anche
y-1=a lo è (ogni y-1 è un opportuno numero a,
ogni numero reale a può essere scritto come
(a+1)-1=y-1con y numero reale):
Lezione 6
-
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
 0 a 




L( A2 ) =  z 0  a, z, v ∈ R

 0 v 




I generatori estratti elementarmente sono:
 0 1   0 0  0 0

 
 

 0 0 ,  1 0  ,  0 0
 0 0  0 0  0 1  .

 
 

e sono linearmente indipendenti. Infatti:
 0 0   0 0  0 0 
 0 1

 
 



α 0 0 + β  1 0  + γ  0 0 =  0 0 ⇒ α = β = γ = 0
 0 0  0 1  0 0
 0 0

 
 



La sequenza
  0 1   0 0  0 0 

 
 

  0 0  ,  1 0  ,  0 0 
  0 0   0 0  0 1  
 
 


è una base di L(A2). La dimensione di L(A2)=3.
Lezione 6
-
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11
c) A3 = {(-2z,1,z) |z∈ R}.
I vettori di A3
(-2z,1,z)=z(-2,0,1)+(0,1,0) sono
generati da particolari combinazioni lineari (non
tutte) di ((-2,0,1),(0,1,0)): la copertura lin. di A3 sarà
quindi costituita, per definizione, da tutti i vettori
del tipo α(-2,0,1)+β(0,1,0)=(-2α,β,α)
α, β∈R
L(A3)= {(-2α,β,α) | α,β∈R}
((…,…,…),(…,…,…)) sono generatori di L(A3);
sono anche linearmente indipendenti perchè
α(-2,0,1)+β(0,1,0)=(-2α,β,α)=(0,0,0) ⇒……….
((…,…,…),(…,…,…)) è una base di L(A3); dim L(A3)=….
Lezione 6
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12
Esercizio 3
Trovare le componenti dei vettori indicati rispetto alle
basi prescelte:
a)
v=(7,10,4),
w=(5,5,-1)∈R3 e
B=((1,2,0),(1,0,1),(0,0,2)) base di R3;
b)
(2,-3,0,4) ∈ R4 e
B=((1,1,0,0),(1,0,1,1),(0,0,2,0),(0,0,0,1)) base di R4;
c)
 3 1

 ∈ M2 (R) e
 0 2
  0 1  0 1  0 0  − 3 1 
, 
, 
, 
  base di M2 (R) .
B =  
  0 0  2 0  0 2  0 0 
Svolgimento:
a) dobbiamo trovare α, β, γ ∈ R tali che
α(1,2,0) + β (1,0,1) +γ(0,0,2)= (7,10,4)
⇒ α=5 , β=2 , γ=1 ⇒ componenti
Lezione 6
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(5,2,1)
13
α(1,2,0) + β (1,0,1) +γ(0,0,2)= (5,5,-1)
⇒ α=5/2, β=5/2 , γ=-7/4 ⇒ componenti
(5/2,5/2,-7/4)
b) dobbiamo trovare α, β, γ, δ ∈ R tali che
(2,-3,0,4)=α(1,1,0,0)+β(1,0,1,1)+γ(0,0,2,0)+δ(0,0,0,1)
⇒ α=… , β=… , γ=…, δ=…
⇒ componenti
(…,…,…,…)
c) dobbiamo trovare α, β, γ, δ ∈ R tali che
 3 1   0 1  0 1  0 0  − 3 1

 = α
 + β 
 + γ 
 + δ 

 0 2  0 0  2 0  0 2  0 0 
⇒ α=.., β=.., γ=.., δ=.. ⇒ componenti (..,..,..,..)
Esercizio 4
Dato l’insieme S di M2(R)
  2x 1 

S =  
z
−
x


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-
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
x, z ∈ R 

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a) determinare L(S), una base e dimensione;
b) verificare che la matrice
 − 4 3


 1 2
appartenga a L(S) e in caso affermativo se ne
calcolino le componenti rispetto alla base scelta al
punto a).
S ha per elementi:
 2x 1 

 =
z
−
x


 2 0   0 0 0 1
 + z 
 + 

x
0
1
1
0
0
0
−

 
 

(particolari combinazioni lineari)
Invece L(S) contiene tutte le combinazioni lineari
delle tre matrici qui sopra isolate.
Tali matrici sono anche linearmente indipendenti:
 2 0  0 0 0 1 0 0
 + z 
 + y
 = 
 ⇒ x = y = z = ...
x
−
0
1
1
0
0
0
0
0

 
 
 

  2x y 

L( S ) =  
z
−
x


Lezione 6
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
x, y, z ∈ R 

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15
dim L(S)=…,
 2 0  0 0  0 1
, 
, 
  .
B =  
  0 − 1  1 0   0 0  
 2 0  0 0 0 1  − 4 3
 + z 
 + y
 = 
 ⇒ x = −2, y = 3, z = 1
x
 0 − 1  1 0   0 0   1 2 
La matrice appartiene a L(S) e le componenti
rispetto a questa base di L(S) sono: (…,…,…).
Esercizio 5
In R4(R) si consideri il sottospazio vettoriale
W={(2x,0,2x,y) ∈ R4(R) | x,y∈R }
a) determinare una base e la dimensione di W;
b) dimostrare che ((1,0,1,1),(-1,0,-1,0)) costituisce
una base per W;
c) determinare le componenti del vettore (4,0,4,4)
rispetto ad entrambe le basi.
Lezione 6
-
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16
Traccia della soluzione
(2x,0,2x,y)=x(2,0,2,0)+y(0,0,0,1) ∈ R4(R)
a)
((2,0,2,0),(0,0,0,1)) sono ………. di W
Sono linearmente indipendenti: verifica…
Base di W ((2,0,2,0),(0,0,0,1)) e dimW=…..
b) ((1,0,1,1),(-1,0,-1,0)) è base di W perché:
b1) i due vettori sono linearmente indipendenti
α(1,0,1,1)+β(-1,0,-1,0)=(0,0,0,0)⇒………..;
b2) L(((1,0,1,1),(-1,0,-1,0))=W:
♦ L((1,0,1,1),(-1,0,-1,0)) ⊆ W perché…
♦
W ⊆ L(((1,0,1,1),(-1,0,-1,0))
perché
ogni
vettore di W è combinazione di
(1,0,1,1),(-1,0,-1,0):
(2x,0,2x,y)=….(1,0,1,1)…..(-1,0,-1,0).
c) (4,0,4,4)=…(2,0,2,0)+…(0,0,0,1)⇒componenti (…,…)
(4,0,4,4)=…(1,0,1,1)+…(-1,0,-1,0) ⇒componenti (…,…)
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17
Esercizio da svolgere
Determinare una base e la dimensione delle coperture
lineari dei seguenti insiemi:
a) A1 = {(x,y) ∈ R2 | 3x = 1};
b) A2 = {(x,y,z) ∈ R3 | x+y = 0};
c)
 1 0 1   0 1 1  3 - 2 1
 , 
 , 
 ⊆ R2,3
A3 = 
;
 2 1 0  0 1 0  6 1 0 
d) A4 = {(α, α, β, α)∈ R4 | α , β∈ R };
e) A5 = {(x, y,z, t)∈ R4 | x+3y=2z-t=0 };
f) A6 = {(0, 1, 0, α)∈ R4 | α ∈ R };
g) A7 = {(1,0,1,0),(3,2,4,0),(0,1,0,0),(3,2,3,0)}⊆ R4;
g) A8 ={(1,0,1,0), (3,2,3,0),(0,1,0,0),(1,2,1,0)}⊆ R4.
(dim L(Ai)=2 con i=1,2,3,4,5,6,8 dim L(A7)=3).
Lezione 6
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