Note Brevi di Elettromagnetismo
prof. G. Surace
Ultima rivisitazione Giugno 2009
1
La carica elettrica
La carica elettrica é legata ad una proprietá di alcuni corpi di attrarne o respingerne altri.
La materia, nella sua essenza, é costituita da atomi o raggruppamenti di
atomi detti molecole. I costituenti dell’atomo si chiamano protoni p, neutroni
n, ed elettroni e.
I protoni ed i neutroni sono responsabili della massa dell’atomo ed insieme
formano quello che viene definito il nucleo atomico. La massa di un protone é
circa uguale alla massa di un neutrone, (mp ∼ mn ), ma mentre il protone é una
particella carica, il neutrone é una particella neutra.
Gli elettroni hanno una massa circa mille volte piú piccola del protone. Essi,
sono responsabili, quindi, in minima parte della massa di un atomo. Gli elettroni
hanno una carica opposta a quella del protone. Convenzionalmente si assume
positiva la massa del protone e negativa la carica dell’elettrone.
Un atomo imperturbato ha lo stesso numero di protoni ed elettroni. In
queste condizioni un atomo si dice neutro. Se per qualche motivo un atomo
acquista o cede qualche elettrone, il numero delle cariche positive e negative
non é piú bilanciato. L’atomo non si trova piú nella sua forma neutra ma si dice
ha assunto una carica. L’atomo neutro é diventato uno ione.
2
Forme di elettrizzazione di un corpo
Un corpo si dice elettrizzato se su di esso é presente un eccesso o difetto di carica
elettrica. E’ possibile elettrizzare un corpo per:
1. Strofinio
2. Induzione
3. Contatto
1
3
L’elettroscopio
L’elettroscopio é lo strumento con cui si rivela se un corpo é carico o neutro. Uno
dei piú semplici elettroscopi é l’elettroscopio a foglie. L’elettroscopio a foglie é
costituito da una sfera consuttrice a cui sono legate (attraverso un conduttore)
due lamine d’oro. Quando si tocca la sfera conduttrice con un corpo carico
la sfera si carica per contatto. La carica acquistata dalla sfera si traferisce
alle foglie dell’elettroscopio che in virtú della repulsione elettrostatica tendono a
divergere. Chiaramente l’angolo di divergenza delle foglioline sará proporzionale
alla loro repulsione elettrostatica.
4
La Forza di Coulomb
L’attrazione o la repulsione elettrostatica tra cariche é descritta da una forza
detta Forza di Coulomb, F~c . La direzione della forza di Coulomb é individuata
dalla retta che congiunge le due cariche supposte puntiformi. Il verso di questa
forza dipende dal segno delle cariche interagenti. Il suo modulo (o intensitá)
é direttamente proporzionale alle cariche interagenti (Q e q) ed inversamente
proporzionale al quadrato della distanza, r, tra le due cariche:
|F~c | = K
Qq
r2
La costante K che compare nella formula é una costante universale detta costante
2
d’interazione eletttrostatica. Essa vale: k = 9 · 109 NCm2 .
Si noti come la struttura matematica di questa forza sia simile alla forza di
attrazione gravitazionale di Newton:
|F~g | = G
Mm
r2
La forza di gravitazione universale é , tuttavia, solo attrattiva e dipende dalle
masse interagenti.
5
Il vettore campo elettrico
~ é un vettore, o meglio un campo vettoriale nel senso che
Il campo elettrico E
esso é definito, punto per punto nello spazio. Matematicamente esso si configura
~ : R3 → V che associa ad ogni terna di numeri reali
come una applicazione E
(coordinate del punto nello spazio) un vettore (cioé il campo elettrico).
~ é definito come rapporto tra la forza elettrostatica F~ e
Il campo elettrico E
la carica q (detta carica di prova):
~
~ =F
E
q
Esso si misura, pertanto, nel S.I. , in
N
C.
2
Un campo elettrico puó essere generato da una carica elettrica Q (o da una
distribuzione di carica). Per rilevare l’esistenza del campo elettrico é necessaria,
tuttavia, la presenza di un’ulteriore carica, la giá citata carica di prova o carica
esploratrice q.
5.1
Campo elettrico generato da particolari distribuzioni
di carica
• campo elettrico generato da carica puntiforme Q, ad una certa
distanza r dalla carica:
~ caricaP untif orme | = K
|E
Q
r2
dove K é la costante di interazione elettrostatica (K =
1
4π0 ).
~ dipenda solo dalla carica che ha
Si noti come il modulo del campo |E|
generato il campo (e non dalla carica esploratrice). La direzione del campo
geneerato é radiale ed il verso dipende dalla carica che ha generato il campo
(se positiva o negativa)
• campo elettrico generato da una lastra piana indefinita uniformemente carica (con densitá superficiale di carica σ):
~ lastra | =
|E
σ
20
dove 0 si ricava dalla formula inversa di K, ovvero 0 =
1
4πK .
~ in questo caso, non dipenda dalla distanza
Si noti come il campo |E|,
ma solo dalla densitá superficiale di carica. La direzione del campo elettrico é perpendicolare alla superficie della lastra ed il verso dipende dalla
distribuzione di carica che lo ha generato (se positiva o negativa)
• campo elettrico generato da un condensatore:
(
~ condensatore | = σ , (all’interno del condensatore);
|E
0
~ condensatore | = 0, (all’esterno del condensatore).
|E
All’interno del condensatore, la direzione del campo elettrico risultante é
perpendicolare alle armature del condensatore con verso che va dall’armatura
carica positivamente a quellla carica negativamente.
5.2
Principio si sovrapposizione del campo elettrico
”Gli effetti di piú campi elettrici si sommano vettorialmente in un certo punto
P dello spazio”.
3
6
Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss é una delle 4 equazioni di Maxwell che descrivono l’intero
elettromagnetismo.
Definizione 1 (di Flusso di un campo vettoriale ~v ) Il flusso ΦS (~v ) del vettore ~v attraverso una superficie chiusa S é definito come il prodotto tra il modulo
del vettore ~v , la superficie S e il coseno dell’angolo α formato dal vettore ~v e la
normale (cioé la perpendicolare) alla superficie. Con ovvio significato di simboli
si ha:
ΦS (~v ) = |~v |S cos(α)
.
~ del vettore campo
Teorema 1 (di Gauss (per l’elettrostatica)) Il flusso ΦS (E)
~ attraverso una qualsiasi superficie chiusa S é proporzionale alla
elettrico E
somma delle cariche elettriche, Qi , contenute nella superficie. In particolare
vale la relazione:
P
Qi
~
ΦS (E) = i
ε0
dove ε0 é la costante dielettrica del vuoto.
Proof : dimostreremo questo teorema nel caso particolare di una sola carica
~ La superficie chiusa S attraverso cui
elettrica Q che ha generato il campo E.
calcoleremo il flusso sará per semplicitá una sfera (puó risultare utile ricordarsi
che la superficie, S, di una sfera di raggio R si calcola come: S = 4πR2 ). La
scelta di una particolare superficie sferica non inficia la validitá generale del
teorema.
Primo step: consideriamo una supericie sferica ”centrata nella carica Q” che
supporremo positiva ;
secondo step: osserviamo che le linee di forza del campo elettrico sono radiali,
cioé sono semirette uscenti a raggiera dalla carica Q. Esse risultano, pertanto,
perpendicolari, punto per punto alla superficie S (ovvero, in altre parole, esse
risultano parallele alla normale alla superficie S). Ne consegue che l’angolo α
~ e la normale alla superficie é 0gradi per cui cos(α) = 1
tra il vettore E
~ attraverso la superficie
terzo step: per calcolare il flusso totale del vettore E
~ attraverso
S dobbiamo sommare tutti i ”flussi parziali ”, ∆Φ, del vettore E
superfici infinitesime, ∆S. Si consideri che l’intensitá del campo elettrico non
cambia su una sfera di raggio R fissato (Infatti l’intensitá del campo dipende
solo dalla distanza r e quindi assume lo stesso valore su tutti i punti della sfera
che per definizione distano R dalla carica Q. Questo significa che per ogni ∆S
possiamo considerare lo stesso valore di E, senza scrivere E1 , E2 , ... En ). In
altre parole:
~
Φtot
S (E)
= ∆Φ1 + ∆Φ2 + ... + ∆Φn
= E∆S1 + E∆S2 + .... + E∆Sn
= E(∆S1 + ∆S2 + ......E∆Sn )
4
= E · 4πR2
1 Q
· 4πR2
=
4πε0 R2
Q
=
ε0
(c.v.d)
7
Conseguenze del teorema di Gauss
Aggiungere paragrafo.
7.1
Campo elettrico all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico
7.2
Campo elettrico generato da una lastra piana indefinita
carica uniformemente
7.3
Campo elettrico generato da un condensatore
8
Teorema di Coulomb
Il teorema di Coulomb é una conseguenza del teorema di Gauss. Esso esprime
una proprietá dei conduttori carichi in equilibrio elettrostatico: il campo elet~ in prossimitá della superficie del conduttore vale σ in modulo ed é
trico E
ε0
perpendicolare alla superficie del conduttore.
9
Potere dispersivo delle punte
10
Sistemi di conduttori: i condensatori
11
Lavoro della forza elettrostatica
11.1
Esempi di calcolo di lavoro
11.2
Campi conservativi
12
Energia potenziale elettrostatica
Perché un sistema di cariche elettriche dovrebbe avere una certa energia elettrostatica? Sulla base della definizione di lavoro, unaa forza compie lavoro ogni
qual volta cé uno spostamento del corpo (sia esso un punto materiale, un corpo
rigido, una carica elettrica ecc.) nella direzione della forza. Consideriamo allora
5
un sistema di due cariche elettriche. Sappiamo che queste due cariche interagiscono per effetto della forza elettrostatica, in virtú della quale esse non occuperanno una posizione fissa nello spazio ma si muoveranno (accelereranno) nella
direzione della forza. La forza elettrostatica, proprio per questo motivo, necessariamente compie lavoro. Quanto vale questo lavoro della forza elettrostatica?
Se non conoscessimo nessuna proprietá delle forza elettrostatica potremmo dire,
in base al teorema delle forze vive (o dell’energia cinetica), che il lavoro é uguale
proprio alla variazione di energia cinetica assunta dalle cariche (variazione di
energia cinetica dovuta alla variazione di velocitá). In formule: L = ∆K dove
K é proprio l’energia cinetica.
Sappiamo, tuttavia, che la forza elettrostatica é una forza conservativa per
cui per essa vale vale il noto teorema sulle forze conservative, ovvero il lavoro é
uguale alla variazione di energia potenziale, U , cambiata di segno: L = −∆U .
Dunque, la variazione di energia potenziale ∆U = U (a) − U (b) ha significato
fisico: essa esprime il lavoro di una forza.
Come dobbiamo interpretare, allora, l’energia potenziale in un singolo punto
dello spazio, ad es. U (a) e U (b)?. Apparentemente in nessun modo. Se peró
fissiamo, convenzionallmente, un livello ”zero” di energia potenziale potremmo
ancora interpretare questi U (a) e U (b) come differenze di energia rispetto ad un
livello ”zero” di energia. É proprio quello che si fá:
U (a) = U (a) − 0
U (b) = U (b) − 0
Dove fissiamo il livello ”zero” di energia potenziale? Abbiamo detto in precedenza che la scelta é arbitraria per cui la risposta dovrebbe essere: ”OVUNQUE”.
É ragionevole, tuttavia, fissare il livello ”zero” di energia potenziale elettrostatica all’infinito perché a distanza infinita la forza elettrostatica tra due cariche
tende a zero. Infatti:
Qq
lim K 2 = 0
r→+∞
r
. La convenzione su cui si reggerá tutto il nostro ragionamento sará dunque:
U (a) = U (a) − U (∞)
U (b) = U (b) − U (∞)
Cosı́ facendo, peró, siamo riusciti ad interpretare l’energia potenziale in un punto
come una differenza di energia potenziale, ovvero come un lavoro, in particolare come il lavoro della forza elettrostatica per spostare una carica elettrica
dall’infinito fino al punto r = a, in accordo con la definizione di lavoro
L12 = −∆U = −[U (2) − U (1)] = −[U (∞) − U (a)] = U (a) − U (∞) = L∞a .
12.1
Il Potenziale Elettrostatico
La differenza di potenziale ∆Vab é definita come il lavoro, per unitá di carica,per
spostare una carica q da un punto b ad un punto a:
∆Vab =
6
Lba
q
Per forze conservative, quindi,
∆Vab =
∆Uab
q
Analogamente a quanto visto in precedenza con l’energia potenziale in un punto,
possiamo definire il potenziale in un punto come: V (a) = U (a)
q . L’unitá di
Joule
. Questa unitá di misura di
misura del potenziale elettrico , dunque, Coulomb
misura, in letteratura, prende il nome di V olt. La differenza di potenziale
di 1V olt si puó interpretare, allora, come l’equivalente del lavoro di un 1Joule
compiuto dalla forza elettrostatica per spostare una carica elettrica di 1Coulomb
(con le convenzioni adottate fin ora é come se stessimo supponendo che la carica
q si sposti per effetto dell’interazione con la carica Q. Tuttavia, potremmo fare
un discorso analogo invertendo le cariche. In altre parole, la carica q che compare
nella definizione di potenziale assume lo stesso ruolo della ”carica di prova” nel
caso del campo elettrico).
12.1.1
Osservazione Fondamentale
Affinché tra due punti dello spazio sia presente una certa differenza di potenziale
∆V é necessario che la forza elettrostatica compia lavoro, il che é equivalente a
dire che il campo elettrico compia lavoro. Dunque ci puó essere una differenza
~ =0
di potenziale se c’ é lavoro del campo elettrico. Se il campo elettrico |E|
allora ∆V = 0 (cioé non cé variazione di potenziale ovvero il potenziale rimane
costante nel tempo).
Il discorso appena fatto resta valido anche se tra due punti A e B non cé
il vuoto ma un conduttore. Affinché vi sia una certa differenza di potenziale
tra due punti A eB del conduttore é necessario che tra A e B agisca un campo
elettrico in modulo diverso da zero. Se tra i due punti del conduttore non
vi é differenza di potenziale significa che il potenziale é costante. Se questo
discorso vale per tutte le infinite coppie di punti appartenenti al alla superficie
di un conduttore allora diremo che ”la superfie del conduttore é una superficie
equipotenziale”, intendendo dire con questo che essa é costituitta di punti che si
~ = 0 oppure
trovano tutti allo stesso potenziale. Si noti che ∆V = 0 o quando |E|
~ é perpendicolare al vettore spostamento ∆s
~ (anche in questo secondo
quando E
~ ⊥ ∆s
~ allora cos(α) = 0
caso, infatti, il lavoro risulterebbe nullo poiché se E
e quindi L = 0). Questa osservazione é molto importante perché ci permette
di stabilire che il vettore campo elettrico é sempre perpendicolare alle superfici
equipotenziali. In pratica, quando noi riusciamo ad individuare una superficie
equipotenziale, automaticamente abbiamo individuato la direzione del campo
elettrico.
7
13
Capacitá di un conduttore
Si definisce capacitá C di un conduttore generico il rapporto tra la carica Q
presente sul conduttore ed il suo potenziale V :
C=
Q
V
L’unitá di misura della capacitá elettrica di un conduttore si chiama farad ed
esprime il rapporto coulomb
V olt .
Non é superfluo osservare che potenziale e capacitá di un conduttore sono
inversamente proporzionali, a paritá di carica presente sul conduttore. Consideriamo due sfere di raggio R1 e R2 con R1 > R2 su cui é presente la stessa
carica. Il potenziale sulle due sfere sará diverso per il semplice fatto che le due
superfici sferiche si trovano a distanze diverse dal centro. Il potenziale dipende
dall’inverso dellla distanza quindi esso sará maggiore sulla sfera di raggio piú piccolo (R2 ). Dunque V2 > V1 . Siccome capacitá e potenziale sono inversamentee
proporzionali allora la sfera di raggio piú piccolo, che ha potenziale maggiore,
si ritroverá ad avere una capacitá maggiore (C1 > C2 ).
13.1
Capacitá di un condensatore
In maniera del tutto analoga si definisce capacitá C di un condensatore il rapporto tra la carica Q presente sulle armature del condensatore e la differenza di
potenziale tra le armature ∆V :
C=
Q
∆V
Questa definizione vale per ogni tipo di condensatore (piano, cilindrico,
sferico). La capacitá di un condensatore é una quantitá che dipende solo dalla
geometria del condensatore. Per un condensatore piano, ad esempio, la capacitá
é direttamente proporzionale alla sezione S del condensatore ed inversamente
proporzionale alla disttanza d tra le armature:
C = 0
S
d
(dove 0 é la costante dielettrica del vuoto)
13.2
Calcolo della capacitá di un condensatore piano
Vediamo di ricavare la formula C = 0 Sd che rappresenta la capacitá di un condensatore piano con carica Q distribuita sulle armature che produce un campo
~ = σ e
elettrico ~(E). Ricordiamoci che nel caso di un condensatore piano |E|
0
Q
che σ = S .
Pertanto ssi ha:
∆V = Ed =⇒ ∆V = (
σ
Q
)d =⇒ ∆V = (
)d
0
0 S
8
Sostituendo il risultato trovato nella definizione di capacitá si trova:
C
=
=
=
Q
∆V
Q
Q
0 S d
1
1
0 S d
= 0
S
d
(c.v.d)
14
14.1
15
Effetto di un campo elettrico su una carica
puntiforme
Esperienza di Millikan
La corrente elettrica
La corrente elettrica non é altro che un flusso ordinato di elettroni all’interno
di un conduttore elettrico. Ma da quali elttroni é costittuito questo flusso e per
quale motivo questi elettroni dovrebbero muoversi? In realtá gli atomi (e quindi
gli elettroni) che sono presenti in un conduttore non sono fermi. Essi si muovono
in maniera confusa come conseguenza della loro agitazione termica. E’ noto che
la media delle velocitá quadratiche di questi atomi/molecole é proporzionale alla
temperatura del conduttore. Tuttavia, come giá preannunciato, questo moto é
del tutto caotico e non costituisce pertanto una corrente.
All’interno del conduttore tutti gli elettroni (essendo cariche elettriche) risentono
dell’azione di un campo elettrico esterno. E’ ragionevole, tuttavia, ritenere che
gli effetti maggiori dovuti al campo elettrico vengano risentiti dagli elettroni che
piú debolmente sono legati ai loro nuclei atomici. Definiremo questi elettroni
elettroni di conduzione. Pertanto se all’interno del conduttore é presente un
campo elettrico allora gli elettroni di conduzione accelereranno , sulla base dei
principi della dinamica, come conseguenza della forza eletttrica (F~e ) risultante.
Infatti, detta q la generica carica elettrica (elettrone di conduzione) su cui agisce
~ detta m la generica massa dell’elettrone di conduzione,
un campo elettrico (E),
si ha:
F~e = m~a
~
F~e = q E
Dal confronto tra le due equazioni discende che
9
~
~ =⇒ ~a = q E
m~a = q E
m
Dunque la corrente é un flusso ordinato di elettroni di conduzione che accelerano per effetto di un campo elettrico presente all’interno di un conduttore.
Nasce allora la domanda: ”Come si fa a creare un campo elettrico all’interno
di un conduttore”. Il modo piú semplice é quello di collegare le estremitá del
conduttore ai morsetti di una pila (generatore di tensione). Una pila é, infatti,
un dispositivo capace di creare una differnza di potenziale (e quindi un campo
elettrico) tra le estremitá del conduttore. Quando il conduttore é collegato ai
morsetti di una pila, all’interno di esso inizia a circolare una corrente elettrica,
i, il cui effetto puó essere facilmente osservato attacando una lampadina al conduttore.
Non é superfluo osservare che le velocitá acquisite dagli elettroni di conduzione per effetto del campo elettrico esterno (velocitá di deriva o di drift, vd )
sono sensibilmente inferiori alle velocitá dovute all’agitazione termica (vT ). Le
velocitá di drift degli elettroni sono dell’ordine di qualche centimetro per secondo (vd ∼ 10−2 m
s ) mentre le velocitá di agitazione termica sono dell’ordine di
centinaia di kilometri al secondo (vT ∼ 105 m
s )
Osservazione: Come verso convenzionale della corrente si assume quello
di una carica positiva, ovvero il verso contrario a quello degli elettroni di conduzione. In base a questa mera convenzione possiamo affermare che la corrente
elettrica circola sempre verso zone che si trovano a potenziale inferiore (in analogia a quello che avviene nel moto di un fluido).
Essendo un flusso di elettroni di conduzione, possiamo definire la corrente
elettrica come il rapporto tra la carica ∆Q (che attraversa la sezione S di un
conduttore in una certo intervallo di tempo ∆t) ed il tempo ∆t:
i=
∆Q
∆t
La sua unitá di misura nel S. I. é l’Ampère (A):
1A =
1C
1s
Parliamo di una corrente di 1A quando la carica di 1C attraversa in 1s la sezione
di un conduttore.
Lo strumento che rileva il passaggio di corrente in un conduttore misurandone l’intensitá si chiama amperometro.
15.1
La resistenza elettrica di un conduttore (R)
Il passaggio di corrente all’interno di un conduttore dipende essenzialmente da
tre macro - aspetti: la tipologia di conduttore, la sua sezione e la sua lunghezza.
Tutti e tre questi macro apetti dipendono a loro volta da un aspetto fondamentale che é la temperatura del conduttore (ovvero un indice macroscopico di ció
10
che avviene a livello microscopico). Conduttori di materiali differenti offrirannno
resistenze differenti al passaggio di corrente, cosı́ come conduttori di lunghezza
o sezione differente. La dipendenza della resistenza R di un conduttore dipende
dai fattori sopra citati nella maniera espressa dalla seconda legge di Ohm:
`
R=ρ
(seconda legge di Ohm)
S
dove ` é la lunghezza del conduttorre, S la sua sezione e ρ un coefficiente caratteristico della tipologia di materiale detto resistivitá. L’unitá di misura della
resitenza si chiama Ω (”leggi Ohm”) mentre lo strumento che ne misura il valore é detto ohmetro.
Dalla formula inversa di R sappiamo che ρ = R S` per cui la sua unitá di
misura é Ωm. La dipendenza della resistenza dalla temperatura é insita nel
fattore ρ che non é costante ma variabile in funzione della temperatura (ρ 6=
(cost); ρ = f (T )). (In realtá, la temperatura inciderebbe anche su lunghezza
e sezione del conduttore giacché all’aumentare della temperatura entrebbero in
gioco fattori di dilatazione termica o addirittura passaggi di stato).
15.2
La prima legge di Ohm
La prima legge di Ohm altro non é se non la formalizzazione a livello matematico di quanto detto a proposito della corrente elettrica. Essa esprime, quindi,
la proporzionalitá diretta fra la differenza di potenziale ai capi di un conduttore
(∆V ) e la corrente, i, che in esso circola. La costante di proporzionalitá é proprio la resistenza elettrica, R:
∆V = Ri (prima legge di Ohm)
Non tutti i conduttori obbediscono alle leggi di Ohm. Quei conduttori per
cui la legge é verificata sono detti conduttori ohmici.
Remark : Un possibile significato geometrico della resistenza:
In un grafico ∆V (i) (in cui osserviamo la dipendenza della d.d.p in funzione
della corrente), posto ∆V = y e i = x, si ha:
y = Rx
cioé una retta che passa per l’origine in cui R rappresenta il coefficiente angolare,
ovvero la pendenza della retta (maggiore pendenza =⇒ maggiore resistenza).
15.3
Primo principio di Kirchoff
Insert Paragraph.
11
