Esercizi svolti per la I parte del corso di Economia Monetaria CLEF

Esercizi svolti per la I parte del corso di Economia
Monetaria CLEF (6058)
Classe 14 - Prof. Tommaso Monacelli
a cura di
Giovanni Vittorino
March 15, 2010
La Domanda di Moneta
Ripasso del Modello Rischio-Rendimento
Breve Sommario Il messaggio principale del modello di rischio-rendimento sviluppato da
Tobin (1958) è che gli individui potrebbero decidere di detenere parte della loro ricchezza in
moneta anche quando il suo rendimento è nullo se consideriamo la moneta nella sua funzione
di riserva di valore (un asset). Se il tasso di interesse sulla moneta fosse nullo, detenere
moneta potrebbe apparire una scelta incomprensibile. Tuttavia, spesso accade che il tasso di
rendimento su altre attività risulti, una volta risolta l’incertezza, negativo. Detenere moneta
per evitare possibili perdite derivanti da attività rischiose è alla base del movente speculativo
di Keynes. Tuttavia, mentre Keynes ipotizzava che l’investitore detenesse solo moneta oppure
solo titoli, Tobin fa un passo avanti aprendo alla possibilità che un portafoglio possa comporsi
di un mix di attività che si di¤erenziano in termini di rendimento atteso e/o rischiosità. In
conclusione, il modello di Tobin (1958) cattura il trade-o¤ tra rischio e rendimento di fronte
al quale viene a trovarsi un investitore che deve scegliere come allocare la propria ricchezza.
Esercizio 1
Considerate la domanda di moneta come attività patrimoniale secondo il modello di portafoglio
di Tobin (Rischio-Rendimento). Rispondete ai seguenti quesiti:
(a) Scrivete le equazioni che rappresentano il modello e rappresentatele gra…camente;
(b) Esaminate gli e¤etti di un aumento del rendimento della moneta
(c) Esaminate gli e¤etti di una riduzione del grado di avversione al rischio;
Gli esercizi sono stati svolti cercando di essere accurati e di evitare errori. Tuttavia, nel caso lo studente dovesse avere dubbi e/o trovare qualche errore negli esercizi può segnalarli (ed è cosa molto gradita)
all’indirizzo email: [email protected]
1
(d) A quali critiche è soggetto il modello di Tobin?
Esercizio 2
Considerate il modello di portafoglio rischio-rendimento. Supponete che il rendimento atteso
del titolo rischioso sia E(iT ) = T e che lo scarto quadratico medio del titolo rischioso sia
T . La funzione di utilità del portafoglio detenuto dagli investitori sia data dalla seguente
funzione di utilità quadratica:
U fE (iA ; ) ;
Ag
= E (iA )
2
(
2
A)
;
>0
2
dove E (iA ) = E(iT ) + (1
)iM
A è il rendimento atteso del portafoglio e ( A ) =
2
( T )2 rappresenta lo scarto quadratico medio del portafoglio al quadrato. Il rendimento della moneta è certo e pari a iM .
(a) Trovate la condizione di equilibrio nella scelta ottima tra rischio e rendimento.
(b) Esprimete l’equazione delle curve di indi¤erenza dell’investitore e datene una rappresentazione gra…ca.
(c) Derivate la quota ottimale detenuta in attività rischiose
(d) Supponete ora che sulla spinta di una fase di euforia sui mercati vi sia una diminuzione
dell’avversione al rischio. Qual è l’e¤etto sulla quota di moneta e attività rischiose
detenute in portafoglio?
(e) Esaminate gli e¤etti di un aumento del rendimento della moneta
(f) Esaminate gli e¤etti di un aumento della rischiosità dei titoli
2
Soluzione Esercizio 1
Considerate la domanda di moneta come attività patrimoniale secondo il modello di portafoglio.di
Tobin (Rischio-Rendimento). Rispondete ai seguenti quesiti:
(a) Scrivete le equazioni che rappresentano il modello e rappresentatele gra…camente;
Soluzione Partiamo dalla funzione di utilità dell’investitore:
U =U
E (iA ; );
(1a)
A
+
sotto l’ipotesi di avversione al rischio, la (1a) può essere rappresentata da curve di indi¤erenza
(CI) inclinate positivamente: da un certo livello di utilità U al crescere del rischio ( A )
l’investitore richiederà una rendimento atteso (E (iA ; )) più elevato
Ora passiamo al vincolo di bilancio dell’investitore.
Il rendimento del titolo rischioso è una variabile casuale e può essere rappresentato con una
distribuzione probabilistica che ha valore atteso
c+Ve V
T
V
e scarto quadratico medio pari a T : La moneta, invece, ha rendimento certo pari a iM .
Se l’individuo detiene una quota della propria ricchezza (che assumiamo essere R = 1) in
titoli, il rendimento atteso del portafoglio è quindi:
= E(iT ) =
A
= E(iA ) = E(iT ) + (1
)iM
(1b)
mentre lo scarto quadratico medio è:
=
A
(1c)
T
L’individuo sceglierà quindi ottimamente come allocare la propria ricchezza massimizzando
la propria funzione di utilità dati i vincoli del rendimento atteso e dello scarto medio di
portafoglio.
I due vincoli possono essere riscritti. Infatti, la (1c) può quindi essere riscritta come:
=
A
(1d)
T
Sostituendo l’equazione (1d) nell’equazione del rendimento atteso del portafoglio (1b), abbiamo:
A
=
A
T
T
A
+ (1
)iM
(1e)
T
l’equazione (1e) rappresenta il vincolo di bilancio dell’investitore ovvero tutte le combinazioni
( A ; A ) che sono raggiungibili (non necessariamente e¢ cienti) dati iM , T e T . L’equazione
(1e) può essere riscritta come:
A
=(
T
iM )
A
T
3
+ iM
(1f)
M
L’equazione (1f) può essere rappresentata da una linea retta con pendenza ( T Ti ) ed intercetta iM .
In…ne, descriviamo la scelta di portafoglio dell’investitore. Il nostro investitore deve
scegliere quale quota della propria ricchezza detenere in titolo. Il valore ottimale di sarà
quello che massimizza la (1a) sotto due vincoli ovvero (1b) e (1c). La scelta ottima ( A ; A )
è rappresentata dal punto di tangenza tra la curva di indi¤erenza ed il vincolo di bilancio dell’investitore a cui corrisponde un valore ottimo della quota di titoli . Possiamo
rappresentare l’equilibrio gra…camente:
Il vincolo di bilancio dell’investitore è inclinato positivamente, in altre parole, se l’investitore
desidera un rendimento atteso più elevato deve essere pronto a sopportare un rischio più
elevato.
Guardando alla (1b) ed alla (1c) notiamo che:
1. Se = 0 l’investitore deterrà solo moneta: in questo caso, A = iM , il rendimento
atteso è minimo e l’investitore non corre alcun rischio ( A = 0)
2. Se = 1 l’investitore deterrà solo titoli: in questo caso, A =
è massimo e l’investitore corre il più elevato rischio possibile (
T,
A
il rendimento atteso
= T)
(b) Esaminate gli e¤etti di un aumento del rendimento della moneta
Soluzione L’aumento del rendimento della moneta, a parità di rischio del titolo, induce gli
individui a detenere una quota superiore di ricchezza in moneta M d " e una quota inferiore
in titoli. Gra…camente si modi…ca intercetta e inclinazione del vincolo: l’intercetta aumenta
e l’inclinazione si riduce. Inoltre, l’investitore si sposta su una curva d’indi¤erenza più alta.
4
NOTA In generale, al variare del rendimento della moneta (iM ) o del rendimento atteso
( T ) del titolo rischioso o della volatilità del titolo rischioso ( T ) assistiamo ad un camM
biamento di ( T Ti ) ovvero della pendenza del vincolo di bilancio dell’investitore de…nito
dalla equazione (1f)1 . Se cambia la pendenza, la (1f) ruoterà ed assisteremo a due e¤etti
che operano in direzione opposta rendendone ambiguo l’e¤etto …nale sulla domanda di moneta: l’e¤etto di reddito e l’e¤etto di sostituzione. Ad esempio, un tasso di interesse
atteso più elevato =) T " (oppure una riduzione del rendimento della rischiosità dei titoli
=) T # o ancora una riduzione del rendimento della moneta iM #) inducono due e¤etti:
1. E¤etto di reddito: essendo l’individuo più ricco, ceteris paribus, cercherà di ridurre
la propria esposizione al rischio =) # ! M d "
2. E¤etto di sostituzione: se T " (oppure se T # oppure se iM #) allora per ogni
unità di rischio il rendimento atteso è più alto quindi l’investitore è incentivato a
ridurre la propria quota in moneta ed incrementare la quota di titoli, ceteris paribus
=)
" ! M d #. Quale dei due e¤etti prevale è ambiguo. Tuttavia, nel nostro
modello assumeremo che l’e¤etto di sostituzione prevalga sull’e¤etto di reddito =)
" ! M d # (si veda il prossimo esercizio).
T " (oppure se T #oppure se iM #)=)
(c) Esaminate gli e¤etti di una riduzione del grado di avversione al rischio;
1
Se varia iM si modi…ca anche l’intercetta del vincolo di bilancio.
5
Soluzione La riduzione dell’avversione al rischio dell’individuo, a parità di rischio e rendimento, induce gli individui a detenere una quota superiore di ricchezza in titoli e una quota
inferiore in moneta M d # . Gli individui richiedono un rendimento atteso minore a parità
di rischio (ceteris paribus). Gra…camente si riduce la concavità delle curve di indi¤erenza
individuali:
In questo caso non vi è alcuna ambiguità. Nel caso di una variazione dell’avversione al rischio
e¤etto di sostituzione ed e¤etto di reddito si muovono nella stessa direzione.
(d) A quali critiche è soggetto il modello di Tobin?
Soluzione Una limitazione importante del modello di Tobin è che può accadere che esistano attività che possono avere un rendimento atteso più elevato di quello della moneta e
che presentano una rischiosità virtualmente nulla. Pensiamo ai titoli di stato. Questa osservazione può potenzialmente mettere in discussione il movente speculativo della domanda di
moneta citato da Keynes.
Un’altra limitazione è l’assenza delle aspettative di in‡azione che rendono lo stesso rendimento reale della moneta incerto. Infatti, le attività considerate nel modello di Tobin sono
denominate in termini nominali mentre quello che interessa all’investitore è il rendimento
reale dell’investimento che può essere eroso dall’in‡azione. Quindi, anche le aspettative di
in‡azione giocano un ruolo nelle decisioni di investimento.
6
Soluzione Esercizio 2
Considerate il modello di portafoglio rischio-rendimento. Supponete che il rendimento atteso
del titolo rischioso sia E(iT ) = T e che lo scarto quadratico medio del titolo rischioso sia
T . La funzione di utilità del portafoglio detenuto dagli investitori sia data dalla seguente
funzione di utilità quadratica:
U fE (iA ; ) ;
Ag
= E (iA )
2
(
2
A)
;
>0
(2a)
2
dove E (iA ) = E(iT ) + (1
)iM
A è il rendimento atteso del portafoglio e ( A ) =
2
( T )2 rappresenta lo scarto quadratico medio del portafoglio al quadrato. Il rendimento della moneta è certo e pari a iM .
(a) Trovate la condizione di equilibrio nella scelta ottima tra rischio e rendimento.
Soluzione Trovare la condizione di equilibrio è equivalente ad uguagliare il bene…cio marginale di una unità aggiuntiva di titolo rischioso (ossia l’eccesso di rendimento atteso rispetto
all’attività priva di rischio) ed il suo costo marginale (crescente nell’avversione al rischio, nella
quota di ricchezza detenuta sottoforma di attività rischiosa nello SQM del titolo rischioso).
Per calcolare risolviamo il problema dell’investitore:
max
A
A
t:c:
t:c:
=
=
A
A
2
T
(
2
A)
+ (1
(2b)
)iM
T
(2c)
(2d)
Sostituendo i vincoli ((2d) e (2c)) nel problema di massimizzazione (2b):
2
( T )2
(2e)
2
e poniamo la derivata pari a zero (condizione del primo
max U =
Deriviamo la (2e) rispetto ad
ordine):
T
+ (1
)iM
@U
=0
@
iM
T
(
2
T)
=0
(2f)
iM =
( T )2
| {z } | {z }
T
BM
Risoluzione Equivalente:
Sostituiamo la (2d) nella (2c):
A
=
A
T
CM
(
T
7
iM ) + i M
(2g)
Sostituendo la (2g) nella (2b) il nostro problema diventa:
max
A
Deriviamo la (2h) rispetto ad
ordine):
A
i M ) + iM
T
T
A
2
A)
(2h)
2
e poniamo la derivata pari a zero (condizione del primo
(
(
@U
=0
@ A
iM
T
=
| {zT }
UM(
La (2i) può essere riscritta come:
A
|
A
|{z}
UM( )
T) A
(2i)
A
i M ) = ( A )2
| {z }
{z
}
SM S
(
(2j)
T
T
Pendenza V dB
Per avere la scelta ottimale il saggio marginale di sostituzione (curvatura delle curve di
indi¤erenza) deve essere eguagliato alla pendenza del vincolo di bilancio (lato sinistro).
Sostituendo A =
T nella (2j) otteniamo la quota di ricchezza detenuta in titoli rischiosi
( ).
(b) Esprimete l’equazione delle curve di indi¤erenza dell’investitore e datene una rappresentazione gra…ca.
Soluzione Dato un livello di utilità costante U arbitrariamente …ssato una curva d’indi¤erenza
è de…nita da tutte le combinazioni (E (iA ; ) ; A ) tali che
U (E (iA ; ) ;
A)
=
A
2
2
A)
(
=U
(2k)
La (2k) può essere riscritta come
A
=U+
2
(
2
A)
(2l)
La (2l) esprime l’equazione delle curve di indi¤erenza
Prendiamo la derivata totale della (2k) e otteniamo:
@U (:)
d
@ A
d
A
+
A
@U (:)
d
@ A
A
Ad A
=0
= dU
(2m)
(2n)
La pendenza della curva di indi¤erenza è pari al suo saggio marginale di sostituzione (SMS):
SM S
A; A
=
d
d
8
A
A
=
A
>0
(2o)
L’investitore è pronto a sopportare livelli più alti di rischio solo se il rendimento atteso del
portafoglio aumenta. Quindi, ci troviamo di fronte ad un investitore avverso al rischio.
La curvatura della curva d’indi¤erenza è determinata prendendo la derivata prima della (2o):
@SM S A ;
@ A
A
=
d2 A
=
d ( A )2
>0
(2p)
La curvatura della funzione di utilità (concava rispetto al’origine) ci dice che l’avversione al
rischio dell’investitore cresce al crescere di ( A )2 : Intuitivamente, al crescere del livello di
rischio il rendimento atteso del portafoglio deve crescere più velocemente.
Gra…camente:
Curve di Indi¤erenza (CI)
(c) Derivate la quota ottimale detenuta in attività rischiose
Soluzione Dalla (2f) ricaviamo:
=
iM
( T )2
T
(2q)
L’espressione ricavata per la frazione di ricchezza detenuta in titoli (o in moneta) mette
in evidenza che il nostro investitore è interessato all’eccesso di rendimento ( T iM ) che
l’attività rischiosa consente di ottenere rispetto alla moneta, ovvero al rendimento relativo
atteso.
(d) Supponete ora che sulla spinta di una fase di euforia sui mercati vi sia una diminuzione
dell’avversione al rischio. Qual è l’e¤etto sulla quota di moneta e attività rischiose
detenute in portafoglio?
9
Soluzione La risposta più breve: l’avversione al rischio dell’investitore ( ) diminuisce e
la quota di ricchezza detenuta in titoli rischiosi ( ) risulterà più elevata. In altre parole,
l’investitore sarà disposto a sopportare un maggior livello di rischio di portafoglio ( A ) a
fronte di un rendimento atteso del portafoglio ( A ) più elevato:
# !
" =)
A
" e
A
"
Le variazioni della quote di ricchezza detenute in titoli ed in moneta saranno pari a:
@
@
@(1
@
T
2
=
)
=
iM
>0
( T )2
iM
T
<0
( T )2
(2r)
(2s)
Quindi, la quota di ricchezza detenuta in titoli rischiosi aumenta mentre la quota di ricchezza
detenuta in moneta diminuisce.
Gra…camente:
Modello Rischio-Rendimento
(e) Esaminate gli e¤etti di un aumento del rendimento della moneta
10
Soluzione
@
=
@iM
iM
<0
( T )2
Se aumenta la rischiosità dei titoli, un individuo avverso al rischio ridurrà la sua esposizione
in titoli ( #) ed aumenta la quota in moneta (1
) # e la domanda di moneta aumenta
(M d ").
(f) Esaminate gli e¤etti di un aumento della rischiosità dei titoli
Soluzione
@
@
=
T
2(
iM )
<0
( T )3
T
Se aumenta la rischiosità dei titoli, un individuo avverso al rischio ridurrà la sua esposizione
in titoli ( #) ed aumenta la quota in moneta (1
) # e la domanda di moneta aumenta
d
(M ").
11
La domanda di moneta a scopo transattivo: Il Modello
Baumol-Tobin
Breve Sommario Il modello di Baumol (1952), nella riformulazione operata da Tobin
(1956), si concentra sulla funzione della moneta come mezzo di scambio. Il modello di
Baumol-Tobin caratterizza la domanda di moneta a scopo transattivo ovvero la domanda di
moneta che trova giusti…cazione nella manca di sincronizzazione tra i pagamenti e¤ettuati
e ricevuti da un individuo in un certo periodo di tempo. Nella formulazione originale di
Baumol (1952) viene trattato il caso della gestione di una ricchezza iniziale composta da
titoli (e.g. obbligazioni) che vanno convertite in contanti per …nanziare i consumi. La
riformulazione di Tobin (1956) sostituisce la ricchezza iniziale (grandezza stock) con il reddito
dell’individuo (grandezza ‡usso) ovvero il reddito che essendo erogato infrequentemente (di
solito alla …ne del mese) non è sicuramente sincronizzato con i pagamenti che un individuo
e¤ettua giornalmente. L’obiettivo dell’individuo (in qualità di cash manager) è quello di
scegliere quante operazioni di conversione e¤ettuare (prelievi al bancomat oppure conversioni
di obbligazioni a seconda che si parli di ricchezza oppure di reddito). Ovviamente, vi sono
dei costi che l’individuo si trova a fronteggiare al crescere delle operazioni di conversione.
Infatti, detenere contante implica la rinuncia agli interessi che si percepirebbero dalla sua
immobilizzazione sotto forma di titoli. D’altro canto, quando l’individuo ha bisogno di
contanti incorre in dei costi di conversione di diversa natura (ad esempio, il costo sostenuto
per smobilizzare un investimento oppure la quota di salario mancato per recarsi allo sportello
del bancomat per prelevare).
Il modello di Baumol-Tobin fornisce una buona spiegazione dei motivi per cui un individuo
può decidere di detenere del contante. Tuttavia, la limitazione più evidente di questo modello
è l’ipotesi che il pro…lo temporale dei pagamenti e¤ettuati e ricevuti sia conosciuto con
certezza dall’individuo. Un’ultima osservazione da fare è che esistono molti altri fattori,
culturali ed istituzionali, che pur in‡uenzando la quantità di contante e/o di depositi detenuti,
non sono spiegati dal modello di Baumol-Tobin.
Esercizio 1
Considerate il modello per la domanda di moneta di Baumol-Tobin. De…nite i il tasso di
interesse, Y il livello del reddito, N il numero di viaggi al Bancomat, e F il costo …sso:
(a) Scrivete un’espressione per i costi totali e ricavate una espressione di equilibrio che
esprima l’uguaglianza fra il costo marginale e il bene…cio marginale di recarsi al Bancomat. Spiegate e rappresentate gra…camente la condizione di equilibrio (importante).
(b) Risolvete per il numero ottimale N di viaggi al Bancomat.
(c) Scrivete una espressione per la domanda di moneta nello spazio tasso di interesse (asse
verticale) - quantità di moneta (asse orizzontale).
(d) Supponete ora che un trasloco vi costringa ad allontanarvi dalla vostra sede della banca.
Rappresentate gra…camente l’e¤etto su (i) domanda di moneta (ii) numero di viaggi
ottimali al bancomat.
12
Esercizio 2
(a) Nell’ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi la domanda di saldi reali se il tasso di interesse è pari a i, il costo unitario
di conversione a F e il reddito a Y (si ipotizzi che il livello dei prezzi sia P = P = 1).
(b) Si ricavino analiticamente le elasticità della domanda di moneta al tasso di interesse e
al reddito.
(c) Si discuta l’e¤etto di una variazione del tasso d’interesse da i a i0 = 2i sulla domanda
di moneta.
(d) Cosa accade alla domanda di moneta se il reddito raddoppia?
(e) Provate a calcolarvi i valori assunti dalle espressioni ricavate nei punti precedenti utilizzando i seguenti dati: Y = 32 :400 , F = 5; i = 10 %, i0 = 11 %.
Esercizio 3
Considerate il modello di Baumol-Tobin dell’esercizio 1 e considerate l’equazione quantitativa
MV = PY .
(a) Supponete che i costi di transazione siano …ssi e pari F . Derivate la domanda dei saldi
reali e la velocità di circolazione della moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili
reali e …nanziarie? Interpretate.
(b) Supponete che i costi di transazione siano proporzionali al reddito con F = f1 Y con
0 < f1 < 1. Derivate la domanda dei saldi reali e la velocità di circolazione della
moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili reali e …nanziarie? Interpretate.
(c) Come varia la domanda di moneta al variare di f1 ? Calcolate l’elasticità della domanda
di moneta a f1 .
Esercizio 4
Nell’ambito del modello di Baumol-Tobin fate riferimento ai seguenti dati: Y = 32 :400 ,
F = 5; i = 10 %, i0 = 11 %. Assumete che il nostro individuo venga pagato giornalmente e
spenda ogni giorno il 60% del suo salario giornaliero. Il restante 40% viene risparmiato per
le spese di …ne anno. Il nostro individuo ha due possibilità di investimento:
1. deposito bancario remunerato al tasso iD = 10% con prelievi e depositi gratuiti.
2. acquistare titoli di stato remunerati al tasso iB = 13% che possono essere venduti
pagando una commissione unitaria di vendita (costo di transazione) pari a F = 5.
Suggerimento: Assumete che il nostro individuo durante l’anno e¤ettui N operazioni, N 1
operazioni di acquisto di titoli di stato e un’ultima operazione a …ne anno per vendere i titoli
acquistati nel corso dell’anno.
13
(a) Nell’ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi il numero ottimale di acquisto di obbligazioni (N ) la domanda di saldi
reali (M d =P ).
(b) Fornite una rappresentazione gra…ca della sequenza temporale ottima degli acquisti di
obbligazioni.
(c) Come cambierebbe la vostra risposta se il governo introducesse un’imposta di bollo sui
titoli di stato pari ad un controvalore dell’1%. Quindi, iT
14
Soluzione Esercizio 1
Considerate il modello per la domanda di moneta di Baumol-Tobin. De…nite i il tasso di
interesse, Y il livello del reddito, N il numero di viaggi al Bancomat, e F il costo …sso:
(a) Scrivete un’espressione per i costi totali e ricavate una espressione di equilibrio che
esprima l’uguaglianza fra il costo marginale e il bene…cio marginale di recarsi al Bancomat. Spiegate e rappresentate gra…camente la condizione di equilibrio (importante).
Soluzione I costi totali sono composti dal costo-opportunità (gli interessi sui titoli moltiplicati per la somma a cui l’individuo rinuncia) e dal costo di recarsi al Bancomat:
Y
l’importo di ogni transazione. Il numero di conversioni e¤ettuate in ogni
Indichiamo con N
periodo è quindi N . La quantità media di moneta detenuta in ogni periodo è Y =N
:
2
L’investitore desidera minimizzare il costo totale sostenuto per la gestione dei pagamenti.
Y =N
2
La prima componente dei costi di gestione rappresenta i costi di transazione (costo di
transazione, F , moltiplicato per il numero di transazioni, N ). La seconda componente dei
costi totali rappresenta il costo opportunità di detenere moneta al posto di un’altra attività
…nanziaria a rendimento i. L’investitore minimizza i costi totali scegliendo l’importo ottimale
N.
Il problema di minimizzazione è quindi il seguente:
CT = F N + i
Y =N
N
2
Deriviamo i Costi Totali rispetto a N e poniamo la derivata pari a zero (condizione del primo
ordine):
minF N + i
@CT
= 0
@N
iY
= |{z}
F
2N 2
|{z}
(3a)
CM
BM
il lato sinistro dell’equazione (3a) rappresenta il bene…cio marginale del viaggio al Bancomat:
tale espressione è crescente al crescere di:
i: al crescere del costo opportunità di detenere moneta l’individuo preferisce detenere
meno moneta nel portafoglio e fare piu’viaggi al Bancomat.
Y : al crescere del reddito ogni viaggio al Bancomat diventa meno costoso.
In…ne, al crescere dei viaggi al Bancomat (N ! 1), il bene…cio marginale si riduce (M B !
0). Il costo marginale ( F , il lato destro dell’equazione) è invece …sso per ipotesi.
Gra…camente:
15
N di equilibrio nel modello B-T
(b) Risolvete per il numero ottimale N di viaggi al Bancomat
Soluzione Risolvendo l’eq.(3a) per N otteniamo:
r
iY
N =
2F
(3b)
(c) Scrivete una espressione per la domanda di moneta nello spazio tasso di interesse (asse
verticale) - quantità di moneta (asse orizzontale)
Soluzione La domanda di saldi reali è quindi:
Md
P
Y
=
=
2N
Y
N =
2
Md
P
Gra…camente:
16
r
YF
2i
1
(3c)
Domanda di Saldi Reali nel Modello B-T
(d) Supponete ora che un trasloco vi costringa ad allontanarvi dalla vostra sede della banca.
Rappresentate gra…camente l’e¤etto su (i) domanda di moneta (ii) numero di viaggi
ottimali al bancomat.
Soluzione L’e¤etto è assimilabile a quello di un aumento del costo …sso F di ogni operazione. Pertanto la quantità media di moneta detenuta aumenta (cfr eq.(3c), mentre il
numero ottimale di viaggi al Bancomat, N , si riduce (cfr eq. (3b). Gra…camente, la retta
orizzontale F si sposta verso l’alto (determinando, ceteris paribus, una diminuzione di N ).
Gra…camente (tenete presente che F e M d =P non coincidono nel gra…co i valori di F sono
stati normalizzati rispetto a quelli di M d =P semplicemente per far stare tutte le curve del
modello in un unisco gra…co) :
17
Aumento dei Costi di Prelievo (F ")
Soluzione Esercizio 2
(a) Nell’ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi la domanda di saldi reali se il tasso di interesse è pari al i, il costo unitario
di conversione a F ed il reddito a Y (si ipotizzi che il livello dei prezzi sia P = P = 1).
Y
Soluzione Indichiamo con N
l’importo di ogni transazione. Il numero di conversioni e¤ettuate in ogni periodo è quindi N . La quantità media di moneta detenuta in ogni periodo è
Y =N
:
2
L’investitore desidera minimizzare il costo totale sostenuto per la gestione dei pagamenti.
Y =N
2
La prima componente dei costi di gestione rappresenta i costi di transazione (costo di
transazione, F , moltiplicato per il numero di transazioni, N ). La seconda componente dei
costi totali rappresenta il costo opportunità di detenere moneta al posto di un’altra attività
…nanziaria a rendimento i. L’investitore minimizza i costi totali scegliendo l’importo ottimale
N.
CT = F N + i
18
Il problema di minimizzazione è quindi il seguente:
Y =N
N
2
Deriviamo i costi totali (CT ) rispetto al numero di conversioni (N ) e poniamo la derivata
pari a zero (condizione del primo ordine):
minF N + i
@CT
@N
= F
r
N =
iY
=0
2N 2
iY
2F
La domanda di saldi reali è quindi:
Md
Y
=
=
P
2N
r
YF
= Md
2i
(b) Si ricavino analiticamente le elasticità della domanda di moneta al tasso di interesse e
al reddito.
Soluzione Ricaviamo analiticamente l’elasticità della moneta al reddito:
" M ;Y
P
@M=P Y
@Y M=P
0
1
F
1
Y
= @ q2i A
2 Y F M=P
=
2i
=
YF
2i
1
1
q
q
2 YF YF
2i
2i
1
2
L’elasticità della domanda di saldi reali al reddito è positiva ed inferiore ad uno: questo
signi…ca che esistono economia di scala. A seguito di un aumento del reddito, la domanda
di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al reddito. Si noti che 1=2
è un valore non confortato dai dati che, invece, suggeriscono un valore dell’elasticità della
domanda di saldi reali al reddito prossimo ad 1 (non sono possibili economie di scala).
Ricaviamo ora l’elasticità della domanda di saldi reali al tasso di interesse:
=
@M=P i
@i M=P
0
1
YF
1 2i2 A i
q
q
= @
2 YF
YF
" M ;i =
P
2i
=
1
2
19
2i
L’elasticità della domanda di saldi reali al tasso di interesse è negativa ed, in valore assoluto,
inferiore a 1.
(c) Si discuta l’e¤etto di una variazione del tasso d’interesse da i a i0 = 2i sulla domanda
di moneta.
Soluzione Sostituiamo il nuovo valore del tasso di interesse:
r
YF
0
r 2i
YF
=
r 4i
1 d
=
M
2
M d0 =
Se il tasso di interesse raddoppia (% i = 100%), la domanda di saldi reali diminuisce, ma
meno in termini percentuali del tasso di interesse. Infatti:
% M
d
=
=
q
r
1
Md
2
Md
Md
1
2
1'
0:3
E¤ettivamente, la domanda di saldi reali è diminuita in misura meno che proporzionale.
(d) Cosa accade alla domanda di moneta se il reddito raddoppia?
Soluzione A seguito di un raddoppio del reddito (Y 00 = 2Y ) e in presenza di economie di
scala:
r
Y 00 F
r 2i
2Y F
=
p 2id
=
2M
M d00 =
Notate: la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al
reddito (% Y = 100%). Infatti:
% M
d
p
2M d M d
d
p M
=
2 1 ' 41%
=
(e) Provate a calcolarvi i valori assunti dalle espressioni ricavate nei punti precedenti utilizzando i seguenti dati: Y = 32 ; 400 , F = 5; i = 10 %, i0 = 11 %.
20
Soluzione Esercizio 3
Considerate il modello di Baumol-Tobin dell’esercizio 2 e considerate l’equazione quantitativa
M V = P Y:
(a) Supponete che i costi di transazione siano …ssi e pari F . Derivate la domanda dei saldi
reali e la velocità di circolazione della moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili
reali e …nanziarie? Interpretate.
Soluzione La dicotomia classica tra variabili reali (PIL, tecnologia, consumo, investimento) e variabili …nanziarie (moneta, tassi di interesse, prezzi delle azioni e delle obbligazioni) che in una economia caratterizzata da prezzi perfettamente ‡essibili Y = Y N ed
mercati in equilibrio M s = M d = M , cioè in una economia caratterizzata da un equilibrio
di lungo periodo una variazione nella quantità di moneta (…at money) si ri‡ette soltanto
sul livello dei prezzi (neutralità della moneta) lasciando inalterati i valori delle variabili
reali. Supponiamo che in questa economia in ogni periodo, la quantità di moneta sia pari ad
M ed il prodotto interno lordo reale, esogenamente dato, sia pari a Y (che supponiamo essere anche il numero di transazioni che avvengono nell’arco di un periodo T ovvero il reddito
nazionale ). Se il livello medio dei prezzi è pari a P :
MV = PY
(4a)
dove V , la velocità di circolazione della moneta ovvero il numero di transazioni che avvengono
con una singola unità di moneta, è un parametro esogenamente dato (ad esempio potrebbe
dipendere dalla frequenza con cui avvengono i pagamenti cash...).
Nella nostra economia il livello medio dei prezzi è proporzionale alla quantità di moneta
emessa:
V
Y
P =M
Mentre la velocità di circolazione della moneta sarà:
V =
PY
M
Il livello dei saldi reali sarà:
M
Y
=
= kY
P
V
Sotto queste ipotesi ricaviamo la seguente relazione:
log M V
log M + log V
= log P Y
= log P + log Y
(4b)
Prendiamo la derivata prima della (4b) rispetto al tempo (t) per calcolarci il tasso di crescita
dello stock di moneta quando V = V e Y = Y N :
21
@ log M
@ log V
@ log P
@ log Y N
+
=
+
@t
@t
@t
@t
m+0 =
+0
m = è un risultato noto come superneutralità della moneta ovvero tutte le variabili
reali dell’economia non sono in‡uenzati da variazioni nel tasso di crescita della moneta (m)
che si ri‡ette solo sul tasso di crescita dei prezzi ( ).
Nell’esercizio 1 abbiamo trovato che la domanda di saldi reali è:
r
Md
YF
=
(4c)
P
2i
moltiplichiamo e dividiamo il lato sinistro della (4c) per Y :
r
F
Md = PY
=f i
Y 2i
Ora non ci resta che sostituire la (4a) nella (4d):
r
2Y i
=V
V =
F
(4d)
(4e)
i
+
La velocità della moneta dipende positivamente da tasso d’interesse e dal reddito. La velocità
della moneta è pro-ciclica. Inoltre, come possiamo vedere la velocità della moneta non è
costante per cui la teoria quantitativa della moneta non risulta veri…cata.
(b) Supponete che i costi di transazione siano proporzionali al reddito con F = f1 Y con
0 < f1 < 1. Derivate la domanda dei saldi reali e la velocità di circolazione della
moneta. Vale ancora la dicotomia tra variabili reali e …nanziarie? Interpretate.
Soluzione Sostituendo in (4c) F = f1 Y otteniamo:
r
f1 Y 2
r2i
f1
= PY
=f
2i
Md = P
Ora non ci resta che sostituire la (4a) nella (4f):
s
2i
V =
=V
f1
i
i
+
Ricaviamo analiticamente l’elasticità della moneta al reddito:
22
(4f)
(4g)
" M ;Y
P
@M=P Y
@Y M=P
r
f1 Y
q
=
2i Y f1
=
2i
= 1
La velocità di circolazione della moneta non è costante quindi la teoria quantitativa (dicotomia classica) non trova riscontro. La " M ;Y = 1. Quindi, la velocità di circolazione della
P
moneta non è in‡uenzata dal reddito.
(c) Come varia la domanda di moneta al variare di f1 ? Calcolate l’elasticità della domanda
di moneta a f1 .
@
Md
P
@f1
1
=
2
Y2
f1 2i
1
2
1
f1 Y 2
=
2f1
2i
d
1 M
>0
=
2f1 P
1
2
Elasticità:
@
Md
P
f1
1
f1
1
=
M d =P d
=
d
P
@f1 M =P
2f1
M =P
2
L’elasticità della domanda di saldi reali al costo unitario di conversione è positiva ed inferiore
ad uno: questo signi…ca che esistono economia di scala. A seguito di un aumento del costo
unitario di conversione f1 , la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali
rispetto al reddito.
" M ;f1 =
Soluzione Esercizio 4
Nell’ambito del modello di Baumol-Tobin fate riferimento ai seguenti dati: Y = 32 ; 400 ,
F = 5; i = 10 %, i0 = 11 %. Assumete che il nostro individuo venga pagato giornalmente e
spenda ogni giorno il 60% del suo salario giornaliero. Il restante 40% viene risparmiato per
le spese di …ne anno. Il nostro individuo ha due possibilità di investimento:
1. deposito bancario remunerato al tasso iD = 10% con prelievi e depositi gratuiti.
2. acquistare titoli di stato remunerati al tasso iB = 13% che possono essere venduti
pagando una commissione unitaria di vendita (costo di transazione) pari a F = 5.
Suggerimento: Assumete che il nostro individuo durante l’anno e¤ettui N operazioni, N 1
operazioni di acquisto di titoli di stato e un’ultima operazione a …ne anno per vendere i titoli
acquistati nel corso dell’anno.
23
(a) Nell’ambito del modello di Baumol e Tobin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi il numero ottimale di acquisto di obbligazioni (N ) la domanda di saldi
reali (M d =P ).
Soluzione
1. Abbiamo F = 5N . I risparmi sono pari a S = 0; 40 32:400 = 12:960. Gli interessi a
cui l’individuo rinuncia nel momento in cui decide di detenere i risparmi in banca sono
pari alla di¤erenza tra gli interessi che perde dal mancato investimento in obbligazioni e
S
gli interessi percepiti sui depositi iB iD 2N
. Il costo totale in cui incorre l’individuo
è pari a:
S
+ FN
CT = iB iD
2N
Il problema di dell’individuo è minimizzare CT :
min iB
N
iD
S
+ FN
2N
Condizione del primo ordine:
S
=F
2N 2
r
S
0; 03 12:960
iD )
=
= 6; 23 ' 6
2F
5 2
iB
N=
r
(iB
iD
(b) Fornite una rappresentazione gra…ca della sequenza temporale ottima degli acquisti di
obbligazioni.
Soluzione
(c) Come cambierebbe la vostra risposta se il governo introducesse un’imposta di bollo sui
titoli di stato pari ad un controvalore dell’1%. Quindi, iT = 1%
24
Soluzione
1. L’imposta di bollo è un’ulteriore fonte di costo che in‡uenzerà il numero ottimo di
acquisto di obbligazioni. Infatti, il costo determinato dall’imposta di bollo sarà pari a:
iT S
N
1
N
= iT S
iT S
1
N
Il costo totale diventa:
CT = iB
iD
S
N 1
+ F N + iT S
2N
N
Il problema di dell’individuo è minimizzare i costi:
min iB
iD
N
CPO:
S
=F
2iT
2N 2
r
S
0; 02 12:960
2iT )
=
= 5; 09 ' 5
2F
5 2
iB
N=
r
(iB
iD
N 1
S
+ F N + iT S
2N
N
iD
25
Imperfetta Sostituibilità tra Asset: Il Modello di Portafoglio
di Tobin a 3 Attività
Breve Sommario Il modello a tre attività di Tobin (1969) è un modello di equilibrio
simultaneo su tre mercati (moneta, azioni, obbligazioni) che estende il modello IS-LM indebolendo l’ipotesi di sostituibilità perfetta tra obbligazioni e azioni ed introducendo l’ipotesi
di sostituibilità imperfetta tra azioni, obbligazioni e moneta. Questa ipotesi incide sul meccanismo di trasmissione della politica monetaria.
Ripasso Modello di Portafoglio di Tobin con 3 Attività (Lato dell’O¤erta)
Per semplicità ipotizziamo P = P = 1
M M : M s = M d W ; rB ; rK
+
BB : B s = B d W ; rB ; rK
+
+
KK : K s = K d W ; rB ; rK
+
+
Equilibrio modello di Tobin con 3 attività
26
Variazioni Lato O¤erta
Verso Spostamento Curve
MM
BB
KK
Variazione
W rB rK
alto
alto
alto
+
+
?
basso
basso
alto
+
-
-
basso
alto
alto
-
?
-
=
basso
basso
=
-
+
alto
=
basso
=
+
+
basso
=
alto
=
-
-
=
alto
alto
=
+
-
basso
basso
=
=
-
-
=
+
+
Au mento Of f erta di Obbligazioni
s
dB = dW
Espansione M onetaria P ura
s
dM = dW
Riacquisto Azioni Pr oprie
s
dK =
dW
Pr ivatizzazione con rimborso di B
s
s
dK =
dB
Pr ivatizzazione con pagamento in M
s
s
dK =
dM
N azionalizzazione con emissione di M
s
s
dK = dM
N azionalizzazione con Emissione di Debito
s
s
dK = dB
M onetizzazione del debito (Op: M ercato Aperto)
s
s
dM =
dB
Cartolarizzazione Debito
s
s
dM = dB
Legenda:
alto
alto
=
?=ambiguo +=aumento -=riduzione
Il vincolo costituito dalla de…nizione di ricchezza ci garantisce che, quando due mercati sono
in equilibrio, anche sul terzo mercato vi è equilibrio fra domanda e o¤erta. Tale vincolo
impone che la somma delle domande delle varie attività debba essere uguale alla ricchezza :
W
M + B + K = M d( ) + Bd( ) + K d( )
(5a)
L’equazione (5a) può essere riscritta nel seguente modo:
M d( )
M + Bd( )
B + K d( )
K =0
(5b)
L’equazione (5b) richiede appunto che la somma degli eccessi di domanda nei tre mercati
sia uguale a zero (legge di Walras): ne deriva che se in due mercati la domanda è uguale
all’o¤erta, anche nel terzo mercato deve esservi equilibrio.
Quindi, l’equazione (5a), che considereremo nella nostra analisi degli e¤etti di breve periodo
della politica monetaria, non consente di analizzare gli e¤etti indotti sulla ricchezza dalle
‡uttuazioni dei prezzi di obbligazioni e azioni generate dalla politica monetaria (infatti i
prezzi delle azioni e delle obbligazioni non compaiono nel vincolo di bilancio). La validità
della nostra analisi di breve periodo richiede che tali e¤etti di secondo ordine non siano tali
da cambiare il segno degli e¤etti diretti della politica monetaria sui tassi di rendimento delle
varie attività …nanziarie.
La versione lineare del modello di Tobin è composta dalle seguenti equazioni di equilibrio:
M = a0 a1 r b a2 r k + a3 W
B = b 0 + b 1 r b b 2 rk + b 3 W
K = W (B + M )
=
(a0 + b0 ) (b1 a1 )rb + (b2 + a2 )rk + [1
27
(5c)
(5d)
(a3 + b3 )] W
(5e)
I parametri a0 ; a1 ; a2 ,b0 ; b1 ; b2 sono tutti positivi (si veda pagina 62 della dispensa del corso
per una discussione sui vincoli imposti sui parametri del modello).
L’equilibrio può essere descritto tramite tre curve che illustrano rispettivamente le relazioni
tra i rendimenti sul capitale e sulle obbligazioni quando i mercati sono in equilibrio. De…niamo quindi le tre curve BB, M M , e KK (la curva KK tiene già conto del vincolo di bilancio
(5a)):
M M : rB =
1
(M
a1
a0
a3 W )
a2
rK
a1
b2
1
(B b0 b3 W ) + rK
b1
b1
[K + (a0 + b0 ) (1 (a3 + b3 )) W ] (b2 + a2 )
KK : rB =
+
rK
(b1 a1 )
(b1 a1 )
BB : rB =
(5f)
(5g)
(5h)
Di¤erenziando le curve di equilibrio rispetto a rB e rK otteniamo le pendenze delle tre curve:
MM :
BB : b1 drB
KK :
drB
a2
=
<0
drK M M
a1
b2
drB
=
>0
b2 drK = 0 )
drK BB b1
drB
(b2 + a2 )
a1 ) drB + (b2 + a2 ) drK = 0 )
=
>0
drK KK
(b1 a1 )
a1 drB
(b1
a2 drK = 0
)
(5i)
(5j)
(5k)
Gra…camente (si veda la Figura 1) possiamo rappresentare le (5f), (5g) e (5h) nel piano (rB ,
rK ). Chiamiamo la curva di equilibrio sul mercato della moneta M M e quella sul mercato
dei titoli BB (per completezza, considereremo anche la terza curva di equilibrio sul mercato
delle azioni, KK). Essendo b1 < (b1 a1 ) e b2 < (b2 + a2 ) siamo in grado di concludere che
la pendenza della curva BB è minore di quella della curva KK.
28
Espansione Monetaria “Pura” ("Quantitative Easing" Puro): dM = dW > 0
Si tratta, in questo caso, di un aumento della quantità di moneta senza che venga diminuita
la quantità esistente di obbligazioni o azioni cioè che non altera l’o¤erta delle altre attività
…nanziarie: conseguentemente la ricchezza complessiva aumenta nella stessa misura e abbiamo dM = dW > 0. Per un’interpretazione degli spostamenti delle curve si veda pagg.
65-66 della dispensa del corso).
Esaminiamo gli spostamenti delle curve delle curve del modello in seguito alla politica monetaria di "quantitative easing":
(a) E¤etto su posizione curva M M
Soluzione Consideriamo la variazione di rB (rK è da considerarsi una costante) nella (5f):
drB =
drB =
drB
dM
=
1
(dM a0 d1 a3 dW )
a1
1
(dM a3 dM )
a1
1 a3
<0
a1
a2
drK
a1
(5l)
Consideriamo la variazione di rK (rB è da considerarsi una costante):
drB =
0 =
drK
dM
=
1
a2
(dM a0 d1 a3 dW )
drK
a1
a1
1
a2
(dM a3 dM )
drK
a1
a1
1 a3
<0
a2
(5m)
con a3 < 1.
L’eccesso di o¤erta di moneta comporta una riduzione sia di rK che di rB . La curva M M si
sposta verso il basso.
(b) E¤etto su posizione curva BB.
Soluzione Consideriamo la variazione di rB (rK è da considerarsi una costante) della (5g):
1
(dB b0 d1
b1
b3
=
dM
b1
b3
=
<0
b1
drB =
drB
drB
dM
b3 dW ) +
b2
drK
b1
Consideriamo la variazione di rK (rB è da considerarsi una costante):
29
(5n)
b2
1
(dB b0 d1 b3 dW ) + drK
b1
b1
b3
b2
0 =
dM + drK
b1
b1
drK
b3
=
>0
dM
b2
drB =
(5o)
con b1 , b2 ; b3 > 0.
L’eccesso di domanda di obbligazioni comporta un aumento di rK e/o una riduzione di rB .
La curva BB si sposta verso il basso.
(c) E¤etto su posizione curva KK.
Soluzione Consideriamo la variazione di rB (rK è da considerarsi una costante) della (5h):
[dK + (a0 + b0 )d1
(b1
(1 (a3 + b3 )) dM
=
(b1 a1 )
1 (a3 + b3 )
=
>0
(b1 a1 )
drB =
drB
drB
dM
(1 (a3 + b3 )) dW ] (b2 + a2 )
+
drK
a1 )
(b1 a1 )
(5p)
Consideriamo la variazione di rK (rB è da considerarsi una costante):
drB =
drK =
drK
dM
=
[dK + (a0 + b0 )d1 (1 (a3 + b3 )) dW ] (b2 + a2 )
+
drK
(b1 a1 )
(b1 a1 )
(1 (a3 + b3 )) dM
(b2 + a2 )
(1 (a3 + b3 ))
<0
(b2 + a2 )
(5q)
con (1 (a3 + b3 )) > 0.
L’eccesso di domanda di azioni comporta un aumento di rB e/o una riduzione di rK . La
curva KK si sposta verso l’alto.
Possiamo ora utilizzare le equazioni di equilibrio e la loro rappresentazione gra…ca per studiare gli e¤etti complessivi della variazione della quantità di moneta M da parte della banca
centrale sulla struttura dei rendimenti delle attività (per semplicità poniamo il livello dei
prezzi pari all’unità: P = 1).
Utilizziamo la legge di Walras:
|
M d( )
M = 0 & B d ( ) B = 0 =) K d ( )
{z
}
|
{z
}
risolto dall0 eq. (5f)
K =0
risolto da (5g)
Combinando la (5f) e la (5g) (cioè eguagliando rb e risolvendo per rK ):
30
(5r)
1
a2 b 2
+
rK =
a1 b 1
Combinando la (5f) e la (5g):
1
(B
b1
a2
rK =
a1
rK =
rK =
b 1 a1
+
b 2 a2
rB +
b0
b3 W )
1
(M
a1
rB
1
(M
a1
a0
a3 W )
a1
rB
a2
1
(M
a2
a0
a3 W )
b1
rB
b2
1
(B
b2
1
(M
a2
a0
b0
a3 W ) =
a0
a3 W )
(5s)
b3 W )
1
(B
b2
b0
b3 W )
1
b 1 a1
1
1
+
(B b0 b3 W )
(M a0 a3 W )
(5t)
b 2 a2
b2
a2
La (5s) è il tasso di equilibrio prevalente sul mercato azionario mentre la (5t) rappresenta il
tasso di equilibrio prevalente sul mercato obbligazionario. Queste due espressioni ci permettono di ragionare in termini di variazioni totali dei rendimenti di equilibrio in seguito ad
uno shock (ad esempio un aumento dell’o¤erta di moneta puro).
Per valutare l’e¤etto netto di un provvedimento di "quantitative easing" sui rendimenti di
equilibrio prendiamo le derivate totali della (5s) e della (5t):
Iniziamo dall’e¤etto netto di una espansione monetaria sul tasso di equilibrio sul mercato
obbligazionario. Prendiamo la derivata totale della (5t) tenendo conto che dM = dW :
rB =
1
drB =
b1 a1
+
b2 a2
b1 a1
+
b2 a2
1
=
drB
dM
=
1
(dB
b2
b3 dW )
1
(dM
a2
1
( b3 dM )
b2
1
b1 a1
+
b2 a2
b0 d1
1
(dM
a2
a0 d1
a3 dW )
a3 dM )
b3 (1 a3 )
+
<0
b2
a2
questa disuguaglianza è sempre veri…cata (per la dimostrazione si vedano le slides del prof.
Monacelli).
Per valutare l’e¤etto netto sul tasso prevalente sul mercato azionario prendiamo la derivata
totale della (5s) (ricordandoci che dM = dW ):
drK =
drK
dM
a2 b 2
+
a1 b 1
1
1
(dB
b1
a2 b 2
+
a1 b 1
1
=
1
=
a2 b 2
+
a1 b 1
b0 d1
b3 dW )
1
1
b3 dM + (dM
b1
a1
1
a3
a1
b3
b1
31
<0
1
(dM
a1
a3 dM )
a0 d1
a3 dW )
questa disuguaglianza è sempre veri…cata (per la dimostrazione si vedano le slides del prof.
Monacelli).
Pertanto, l’e¤etto …nale di una espansione monetaria è una diminuzione sia di rB che di rK.
Gra…camente:
rB
KK’
KK
BB
E0
BB’
E1
MM
MM’
rK
Quantitative Easing
32
Operazione di mercato aperto: dM s =
dB s > 0
Se la moneta addizionale viene immessa nel sistema attraverso una operazione di mercato
aperto, a di¤erenza del caso precedente, la ricchezza complessiva non varia, modi…candosi
solo la sua composizione: abbiamo dM s + dB s = 0 (ad un aumento dell’o¤erta di moneta
corrisponde una uguale diminuzione dell’o¤erta di obbligazioni). Procedendo analogamente
al caso precedente e utilizzando l’uguaglianza dM s = dB s > 0:
(a) E¤etto su posizione curva M M
Consideriamo la variazione di rB (rK è da considerarsi una costante) della (5f):
drB =
drB =
drB
dM
=
1
(dM
a1
1
dM
a1
1
<0
a1
a0 d1
a3 dW )
a2
drK
a1
Consideriamo la variazione di rK (rB è da considerarsi una costante):
drK =
0 =
drK
dM
=
1
(dM a0 d1
a1
1
a2
dM
drK
a1
a1
1
<0
a2
a3 dW )
a2
drK
a1
L’eccesso di o¤erta di moneta comporta una riduzione sia di rK che di rB . La curva M M si
sposta verso il basso. a1 , a2 > 0.
(b) E¤etto su posizione curva BB.
Consideriamo la variazione di rB (rK è da considerarsi una costante) della (5g):
1
(dB b0 d1
b1
1
=
( dM )
b1
1
=
<0
b1
drB =
drB
drB
dM
b3 dW ) +
b2
drK
b1
Consideriamo la variazione di rK (rB è da considerarsi una costante):
33
b2
1
(dB b0 d1 b3 dW ) + drK
b1
b1
b2
1
( dM ) + drK
0 =
b1
b1
drK
1
=
>0
dM
b2
drB =
con b1 ; b2 > 0.
L’eccesso di domanda di obbligazioni comporta un aumento di rK e/o una riduzione di rB .
La curva BB si sposta verso il basso.
(c) E¤etto su posizione curva KK.
Consideriamo la variazione di rB (rK è da considerarsi una costante) della (5h):
drB =
[dK + (a0 + b0 )d1
(b1
(1 (a3 + b3 )) dW ] (b2 + a2 )
+
drK
a1 )
(b1 a1 )
drB = 0
Consideriamo la variazione di rK (rB è da considerarsi una costante):
[dK + (a0 + b0 )d1
(b1
(b2 + a2 )
0 = 0+
drK
(b1 a1 )
drB =
drK
dM
(1 (a3 + b3 )) dW ] (b2 + a2 )
+
drK
a1 )
(b1 a1 )
= 0
La curva KK non si sposta in quanto né l’o¤erta di azioni né la ricchezza hanno subito
obbligazioni.
Iniziamo a vedere quale è l’e¤etto …nale sul tasso di equilibrio sul mercato obbligazionario
di una operazione di mercato aperto. Prendiamo la derivata totale della (5t) tenendo conto
che dM = dB:
drB =
=
drB
dM
=
b1 a1
+
b2 a2
1
b1 a1
+
b2 a2
1
1
+
b1 a1
1
1
(dB
b2
b0 d1
1
( dM )
b2
b3 dW )
1
(dM
a2
a0 d1
a3 dW )
1
dM
a2
<0
Ora prendiamo la derivata totale della (5s) sempre ricordandoci che dM =
34
dB:
1
drK =
a2 b 2
+
a1 b 1
a2 b 2
+
a1 b 1
1
=
a2 b 2
+
a1 b 1
|
{z
1
drK
dM
=
>0
1
(dB
b1
1
b1
1
a1
b0 d1
b3 dW )
1
(dM
a1
a0 d1
a3 dW )
dM
a1 b 1
<0
a1 b 1
}| {z }
<0
con a1 < b1 . Pertanto, l’e¤etto …nale di un’operazione espansiva di mercato aperto è una
diminuzione sia di rB che di rK.
Gra…camente:
rB
KK
BB
E0
BB’
E1
MM’
MM
rK
Operazione di mercato aperto
Nota: L’impatto su rB di una Operazione di Mercato Aperto è più marcato
35
di una politica di Quantitative Easing. Gra…camente si può vedere che la variazione
(in valore assoluto) di rB (nel caso speci…co si tratta di una variazione negativa) è più
marcata nel caso di un’operazione di mercato aperto che nel caso di una politica monetaria
di quantitative easing. Analiticamente questo equivale a richiedere che sia soddisfatta la
seguente disuguaglianza:
drB
dM
b 1 a1
+
b 2 a2
Si noti che 1
mercato
aperto
drB
dM
>
1
quantitative
easing
1
a1
b3
1
1
b1
+
>
+
b 2 a2
b 2 a2
1 b 3 a3
+
> 0
b2
a2
b2
(1
+
a3 )
a2
b3 > 0 sempre. Quindi la disuguaglianza è sempre soddisfatta.
Nota: L’impatto su rK di una Operazione di Mercato Aperto rispetto ad una
politica di Quantitative Easing è ambiguo. Per quanto riguarda rK quale delle due
espansioni monetarie produca una variazione più marcata è ambiguo. Analiticamente:
drK
dM
a2 b 2
+
a1 b 1
1
mercato
aperto
b 1 a1
a1 b 1
b 1 a1
a1 b 1
a3 b 1
b1
a1
drK
dM
>
quantitative
easing
1
b2
1
a2
+
a1 b 1
1 a3 b 3
>
a1
b1
> a1 (1 b3 )
(1 b3 )
>
>1
a3
>
a3
a1
b3
b1
Sappiamo che l’elasticità di B alla ricchezza (W ) è minore di 1, quindi 1 b3 > a3 . Inoltre,
sappiamo che l’elasticità di rB (a B) è maggiore per BB che per M M , quindi b1 > a1 =)
b1
> 1. Quindi, tutto dipende da quale delle due elasticità prevale. Se prevale l’elasticità
a1
di B a W avremo che (1 b3 ) # (e a3 "), quindi maggiore è b3 tanto più e¢ cace sarà una
operazione di mercato aperto nel ridurre rK . Il che vuol dire che l’economia è maggiormente
stimolata da una operazione di mercato aperto (si vedano le slides del prof. Monacelli su cosa
succede con la q di Tobin quando rK #) per valori su¢ cientemente alti di b3 (e di conseguenza
per valori su¢ cientemente alti di a3 ). Stesso discorso vale tanto più è grande il valore di b1 :
Quindi maggiore è b3 e/o b1 tanto più la diminuzione di rK tenderà ad essere più accentuata
nel caso di una operazione di mercato aperto.
36
Esercizio 3.
Domanda
Ripasso Modello di Tobin a 3 Attività: Lato della
Per semplicità ipotizziamo P = P = 1
M M : M s = M d W ; rB ; rK
+
BB : B s = B d W ; rB ; rK
+
+
KK : K s = K d W ; rB ; rK
+
+
Equilibrio modello di Tobin con 3 attività
Variazioni Lato Domanda
(a0 +
Aumento Componente Autonoma della M d
ao "=) dM d = dK d
Aumento Componente Autonoma della B d
bo "=) dB d = dK d
Aumento Componente Autonoma della
b0 ) "=) dK d = dM d + (1
)dB d
Legenda:
Verso Spostamento Curve
MM
BB
KK
Variazione
W rB rK
alto
=
basso
=
+
+
=
basso
basso
=
-
+
=
?
+
alto
basso
basso
?=ambiguo +=aumento -=riduzione
Si consideri la versione lineare del modello di portafoglio a tre attività: moneta (M ), obbligazioni (B) e azioni (K). Le condizioni di equilibrio sul mercato della moneta e delle
obbligazioni sono:
M = a0 a1 r b a2 r k + a3 W
B = b 0 + b 1 r b b 2 rk + b 3 W
K = W M B
=
(a0 + b0 ) (b1 a1 )rb + (b2 + a2 )rk + [1
(a3 + b3 )] W
(6a)
(6b)
(6c)
(6d)
(a) Con riferimento al modello di portafoglio a tre attività Partendo da una situazioni di
equilibrio, supponete ora che a seguito di una crisi …nanziaria la rischiosità delle azioni
37
aumenti in modo istantaneo. Come possiamo rappresentare tale evento nell’ambito
di questo modello? (suggerimento: se un’attività è più rischiosa che cosa succede alla
componente autonoma della domanda per le altre attività?)
Soluzione Dalla (6d) abbiamo che (a0 +b0 ) aumenta, quindi la domanda di azioni diminuisce
istantaneamente e la KK si sposta verso destra (sempre). La componente autonoma della
domanda di moneta (a0 ) e/o della domanda di obbligazioni (b0 ) aumenta. Possiamo distinguere 3 sottocasi:
Caso 1 Spostamento della domanda dalle azioni alla moneta( dK d = dM d ). rK " e rB "
Caso 2 Spostamento della domanda dalle azioni alle obbligazioni( dK d = dB d ). rK " e
rB #
Caso 3 (Caso Generale) Spostamento della domanda dalle azioni alla moneta ed alle obbligazioni. La M M si sposta verso destra, la BB si sposta verso il basso, la KK si
sposta verso destra. rK " e rB ?
Nel caso generale l’e¤etto netto su rB è ambiguo e dipenderà dalle pendenze e dagli spostamenti relativi delle varie equazioni di equilibrio.
(b) Derivate gli e¤etti di equilibrio sul rendimento di azioni e obbligazioni.
Soluzione
Caso Generale (Caso 3) Un aumento della percezione di rischiosità delle azioni che si
ri‡ette su entrambe le componenti autonome della domanda di moneta ( a0 > 0) e di
obbligazioni ( b0 > 0). Abbiamo dK d = dM d + (1
) dB d :
1
drK =
a2 b 2
+
a1 b 1
a2 b 2
+
a1 b 1
1
=
b 1 a1
+
b 2 a2
1
drB =
1
=
b 1 a1
+
b 2 a2
1
(dB
b1
db0
b3 dW )
1
(dM
a1
da0
a3 dW )
1
1
db0 + da0 > 0
b1
a1
1
(dB
b2
db0
b3 dW )
1
(dM
a2
da0
a3 dW )
1
1
db0 + da0 ?
b2
a2
L’e¤etto netto su rB è ambiguo è dipenderà dalle pendenze delle curve M M e BB e dalla
variazione delle rispettive componenti autonome ( a0 e b0 ).
Possiamo distinguere analizzare i due casi estremi (caso 1 e caso 2):
Caso 1 Un aumento della rischiosità delle azioni che si ri‡ette sulla sola componente autonoma della domanda di moneta (a0 ). dK d = dM d :
38
KK si sposta verso destra, M M ( a0 > 0 e
muove.
1
drK =
a2 b2
+
a1 b1
1
=
a2 b 2
+
a1 b1
1
(dB
b1
db0
b0 = 0) si sposta verso destra e BB non si
b3 dW )
1
(dM
a1
da0
a3 dW )
1
da0 > 0
a1
b 1 a1
+
b 2 a2
1
drB =
1
=
b 1 a1
+
b 2 a2
1
(dB
b2
db0
b3 dW )
1
(dM
a2
da0
a3 dW )
1
da0 > 0
a2
Gra…camente:
( a0 > 0 e
b0 = 0) !
dK d = dM d
Caso 2 Un aumento della rischiosità delle azioni che si ri‡ette sulla sola componente autonoma della domanda di obbligazioni (b0 ) : dK d = dB d :
KK si sposta verso destra, BB (b0 ") si sposta verso il basso e M M non si muove.
1
drK =
a2 b2
+
a1 b1
a2 b 2
+
a1 b1
1
=
1
(dB
b1
db0
1
db0 > 0
b1
39
b3 dW )
1
(dM
a1
da0
a3 dW )
drB =
=
b 1 a1
+
b 2 a2
b 1 a1
+
b 2 a2
1
1
(dB
b2
1
db0
b3 dW )
1
(dM
a2
1
db0 < 0
b2
Gra…camente:
( b0 > 0 e
a0 = 0) !
40
dK d = dB d
da0
a3 dW )
L’O¤erta di Moneta
Ripasso: Mercato della Base Monetaria, delle Riserve e
dei Depositi
Breve Sommario In generale, la quantità di moneta di cui dispone l’economia non coincide con la base monetaria ma attraverso la leva del moltiplicatore della base monetaria ne
è un multiplo. Questa osservazione non è innocua in quanto implica che la banca centrale
non controlla lo stock di moneta ma solo la base monetaria. La quantità di moneta presente
nell’economia viene a determinarsi su tre grandi mercati: il mercato della base monetaria, il
mercato dei depositi, ed il mercato delle riserve.
Il controllo da parte della banca centrale della quantità di moneta presente nell’economia non
è a¤atto semplice. Innanzitutto, non è facile de…nire quale è l’aggregato monetario su cui
dovrebbe focalizzarsi la banca centrale. Come vedremo nei prossimi esercizi, la politica monetaria e¤ettuata direttamente sugli aggregati monetari è potenzialmente instabile. Infatti,
il valore del moltiplicatore non è conosciuto con certezza ed i parametri che lo compongono
spesso non sono costanti e possono dipendere da numerosi altri fattori. Inoltre, agire direttamente sulla liquidità potrebbe destabilizzare il sistema …nanziario. Infatti, per centrare
il target la banca centrale dovrebbe aggiustare continuamente gli aggregati monetari con
operazioni di …ne tuning, ed è opinione di¤usa che in periodi "normali" la conduzione della
politica monetaria agendo direttamente sullo stock di moneta possa generare instabilità.
Esercizio 1
Considerate la condizione di equilibrio sul mercato della base monetaria
BM d = [c + k + q] Dd i; Y = BM s
(a) Spiegate dettagliatamente come si deriva tale condizione e il suo signi…cato economico.
(b) Derivate la condizione di equilibrio sul mercato dei depositi e rappresentatela gra…camente in modo dettagliato.
(c) Supponete ora che le banche, a seguito delle incertezze sule mercato interbancario,
decidano di detenere una quota più alta di depositi sottoforma di riserve. Analizzate
gli e¤etti sul tasso di interesse di equilibrio e sulla quantità di depositi.
(d) Qual è l’e¤etto sulla base monetaria di un tale evento?
Esercizio 2
Consideriamo separatamente il mercato della base monetaria, il mercato delle riserve e quello
dei depositi, mantenendo l’ipotesi di economia chiusa2 .
2
La trattazione proposta in questa sede è necessariamente molto sintetica. Si veda il cap.2 della dispensa
del corso per una esposizione completa.
41
(a) Si rappresenti l’equilibrio del mercato della base monetaria e dei depositi in un modello
che consideri l’interazione tra base monetaria, depositi, riserve bancarie e tasso di
interesse in un’economia chiusa.
(b) Si discutano gli e¤etti sull’equilibrio di un aumento della base monetaria e si ra¤rontino
i risultati ottenuti con quelli che si ricavano considerando il moltiplicatore monetario
nella sua versione sempli…cata.
(c) Come si modi…ca l’equilibrio sul mercato della base monetaria se si passa a considerare
un’economia aperta?
Esercizio 3
Il mercato dei depositi è cosi caratterizzato: BM s = 118; c = 0; 1 e k = 0; 02.
(a) Nel caso in cui il coe¢ ciente di riserva desiderato dalle banche sia = 0; 01 quale sarà
il coe¢ ciente di riserva bancaria aggiuntiva q? Derivate il moltiplicatore della moneta
e calcolate l’o¤erta aggregata di moneta.
(b) Nel caso in cui il coe¢ ciente di riserva desiderato dalle banche si 0 = 0; 04. quale sarà
il coe¢ ciente di riserva bancaria aggiuntiva q? Derivate il moltiplicatore della moneta
e calcolate l’o¤erta aggregata di moneta.
(c) Supponete che la banca centrale decida di aumentare di 100 l’o¤erta di moneta ricorrendo ad una operazione di mercato aperto. Dovrebbe acquistare o vendere titoli? Per
quale ammontare? Fornite una risposta considerando sia il punto (a) che il punto (b).
(d) Supponete che la banca centrale decida di aumentare di 100 l’o¤erta di moneta agendo
sul coe¢ ciente di riserva obbligatoria k. Discutete la capacità della banca centrale
di condurre la politica monetaria cambiando i vincoli sulle riserve con riferimento al
punto (a) ed al punto (b).
42
Soluzione Esercizio 1
Considerate la condizione di equilibrio sul mercato della base monetaria
BM d = [c + k + q] Dd i; Y = BM s
(7a)
(a) Spiegate dettagliatamente come si deriva tale condizione e il suo signi…cato economico.
Soluzione Si veda il Paragrafo 2.3.2 delle dispense del corso e/o le slides del Prof. Monacelli. Partiamo dalla condizione di equilibrio sul mercato della base monetaria:
BM s = BM d
(7b)
Sappiamo che, in economia chiusa (BMEST=0), l’o¤erta di base monetaria è esogenamente …ssata dalla banca centrale:
BM s = BM = F IN B
Per quanto riguarda la domanda di base monetaria sappiamo che gli operatori economici
domandano base monetaria per ripartirla su tre componenti esprimibili come quote (o coe¢ cienti) della domanda aggregata di depositi: circolante, riserve obbligatorie e liquidità
bancaria (o riserve libere)
BM d = CIRC + ROB + LB
= c(i)Dd
=
i; Y
+
+ kDd
c( i ) + k + q( i ) Dd
|
{z
}
i; Y
+
+ q(i)Dd
i; Y
+
i; Y
+
<1
=
1=m( i )
| {z }
Dd
i; Y
+
moltiplicatore della BM
Dalla (7b) abbiamo:
BM s = c( i ) + k + q( i ) Dd (i; Y ) = BM d
Supponiamo che anche il livello del reddito sia dato (Y = Y ) e che i coe¢ cienti siano …ssi
(non dipendono dal tasso di interesse i). Sotto queste ipotesi, l’equilibrio sul mercato della
BM assume la seguente forma:
BM d = [c + k + q] Dd i; Y = BM s
[c + k + q] Dd i; Y = BM
(7c)
Il signi…cato economico della (7c) è che in equilibrio i depositi sono una frazione (1= [c + k + q]) >
1 volte la base monetaria di equilibrio . Ovvero, una unità aggiuntiva di base monetaria
43
( BM s = 1) provoca un aumento dei depositi di equilibrio depositi più che proporzionale
1
pari a Dd i; Y = [c+k+q]
= m > 1. Per mantenere l’equilibrio il tasso di interesse i dovrà
s
diminuire (infatti, BM nel gra…co nel punto 2) si sposta a destra).
(b) Derivate la condizione di equilibrio sul mercato dei depositi e rappresentatela gra…camente in modo dettagliato.
Soluzione Dalla (7c) otteniamo:
Dd
i; Y
=
1
BM s = mBM s = Ds
c+k+q
(7d)
Gra…camente:
Mercato dei Depositi (Coe¢ cienti Fissi)
(c) Supponete ora che le banche, a seguito delle incertezze sule mercato interbancario,
decidano di detenere una quota più alta di depositi sottoforma di riserve. Analizzate
gli e¤etti sul tasso di interesse di equilibrio e sulla quantità di depositi.
Soluzione Ora abbiamo q 0 > q ! m0 < m ! Ds0 < Ds . Un aumento di q si traduce in un
aumento della domanda di riserve libero LB = q 0 D ed in una diminuzione del moltiplicatore
dei depositi (m0 ), tutto ciò si traduce in una diminuzione dell’o¤erta di depositi (D0), la curva
di o¤erta dei depositi trasla verso sinistra ed il nuovo equilibrio si ottiene in corrispondenza
di un tasso di interesse più elevato (i0 ).
Gra…camente:
44
Aumento del Coe¢ ciente delle Riserve Libere (q ")
(d) Qual è l’e¤etto sulla base monetaria di un tale evento?
Soluzione L’o¤erta di base monetaria è ovviamente invariata. Un aumento di q si traduce
in un aumento della domanda di base monetaria BM d (si veda la (7a)) che deve essere compensato da una diminuzione di Dd i; Y innescata dall’aumento di i. L’equilibrio nel mercato della base monetaria richiede una diminuzione della domanda di depositi proporzionale
rispetto all’aumento del moltiplicatore della base monetaria Dd i; Y = m = m0 m < 0 .
Soluzione Esercizio 2
Consideriamo separatamente il mercato della base monetaria, il mercato delle riserve e quello
dei depositi, mantenendo l’ipotesi di economia chiusa.
(a) Si rappresenti l’equilibrio del mercato della base monetaria e dei depositi in un modello
che consideri l’interazione tra base monetaria, depositi, riserve bancarie e tasso di
interesse in un’economia chiusa.
Soluzione
Mercato della base monetaria: L’equilibrio è determinato dall’uguaglianza tra l’o¤erta
(considerata esogena perché perfettamente controllata dalla banca centrale BM s = BM ) e
la domanda di base monetaria. In particolare, considerando il caso di coe¢ cienti variabili,
abbiamo:
0
BM d = [c(i) + k + q(i)] Dd (i; Y ) = BM s
45
Nel caso di coe¢ cienti …ssi abbiamo:
BM d = [c + k + q] Dd (i; Y ) = BM s
Rappresentiamo gra…camente l’equilibrio, ricordando che la domanda di base monetaria
presenta una maggiore elasticità al tasso di interesse nel caso di coe¢ cienti variabili (si veda
la retta tratteggiata in …gura):
i
BM
s
i
d
BM ’
BM
BM
d
BM
Figura 1
Mercato delle riserve: Possiamo esprimere l’uguaglianza tra domanda e o¤erta di riserve
con coe¢ cienti variabili bancarie nel modo seguente:
[q(i) + k] Dd (i; Y ) = BM S
c(i)Dd (i; Y )
Rd = Rs
Nel caso di coe¢ cienti …ssi abbiamo:
[q + k] Dd (i; Y ) = BM S
cDd (i; Y )
Rd0 = Rs0
Gra…camente, la domanda di riserve è rappresentata da una funzione decrescente del tasso
di interesse, mentre l’o¤erta è funzione crescente di i; in particolare, notiamo che nel caso di
46
coe¢ cienti …ssi la domanda risulta meno sensibile a variazioni del tasso di interesse (curva
Rd0 in Figura 2), e l’o¤erta è a sua volta meno elastica al tasso di interesse (curva Rs0 in
Figura 2 ):
i
R1S = BM S − c(i ) D d (i, Y )
i*
R d = [ q(i) + k ]D d (i, Y )
R d = [ q + k ]D d (i, Y )
R*
R
Figura 2
Mercato dei depositi: Ricordiamo la condizione di equilibrio nel caso di coe¢ cienti variabili:
1
Dd (i; Y ) =
BM s = m(i)BM s
| {z }
c(i) + k + q(i)
Ds
L’o¤erta di depositi è una funzione crescente del tasso di interesse (nel caso di coe¢ cienti
…ssi l’o¤erta è invece una retta verticale), mentre la domanda dipende negativamente dal
47
tasso stesso. Gra…camente abbiamo:
i
s
D =m BM
s
s
D 0=m (i) BM
s
0
i*
D
D*
d
D
Figura 3
(b) Si discutano gli e¤etti sull’equilibrio di un aumento della base monetaria e si ra¤rontino
i risultati ottenuti con quelli che si ricavano considerando il moltiplicatore monetario
nella sua versione sempli…cata.
Soluzione Consideriamo nuovamente cosa accade su ciascun mercato (base monetaria,
riserve, depositi).
Mercato della base monetaria: Nel caso in cui il moltiplicatore ha coe¢ cienti variabili,
la curva di domanda di base monetaria è meno inclinata (BM d ): le banche, infatti, modi…cano
la domanda di riserve libere in base ai depositi ed al tasso di interesse. Se il moltiplicatore
ha coe¢ cienti variabili, la domanda di base monetaria è quindi meno elastica (Figura 4 ) e
l’e¤etto sul tasso di interesse è meno accentuato in questo caso (da i0 a i2 ), rispetto al caso
in cui il moltiplicatore è costante (da i0 a i1 ).
48
i
BM
s
0
BM
s
1
i0
i2
i1
d
BM ’
BM
d
Figura 4
Mercato delle riserve Ricordiamo la condizione di equilibrio:
[q(i) + k] Dd (i; Y ) = BM S
c(i)Dd (i; Y )
da cui si nota come sia la domanda che l’o¤erta di riserve dipendono dal tasso di interesse.
All’aumentare dell’o¤erta di base monetaria, l’o¤erta di riserve aumenta per un importo
pari a BM S . Gra…camente, osserviamo uno spostamento verso destra della curva RS .
Ricordiamo che lo spostamento della curva non è parallelo: infatti l’o¤erta di riserve dipende
dal termine c(i):
RS = BM S c(i)Dd (i; Y )
49
e pertanto la curva di o¤erta di riserve traslerà per un valore crescente al crescere del tasso
i. Nel caso in cui i coe¢ cienti sono …ssi, lo spostamento è invece costante al variare di i:
i
R0S = BM S − cD d (i, Y )
R0S = BM S − c(i ) D d (i, Y )
R1S = BM S − cD d (i, Y )
R1S = BM S − c(i ) D d (i, Y )
i0
i1
i2
R d = [q(i) + k ]D d (i, Y )
R = [ q + k ]D (i, Y )
d
R0
R2
d
R1
R
Figura 5
Osserviamo che, nel caso in cui i coe¢ cienti sono variabili, la variazione delle riserve è
maggiore mentre la variazione del tasso di interesse è inferiore rispetto al caso con coe¢ cienti
costanti.
Mercato dei depositi. Ricordando l’uguaglianza tra domanda e o¤erta:
Dd (i; Y ) =
1
BM s = m(i)BM s
| {z }
c(i) + k + q(i)
Ds
ricaviamo la seguente relazione:
BM =
1
Dd
m(i)
Osserviamo, dunque, che un aumento di BM provoca un aumento più che proporzionale
dei depositi. Pertanto la curva di o¤erta di depositi si sposta verso destra. In particolare,
sappiamo che con un moltiplicatore costante (ossia non dipendente da i) la curva DS sarebbe
verticale, poiché Ds dipenderebbe solo da BM (moltiplicato per una costante), che è un
termine esogeno. In tal caso cioè il controllo della base monetaria consente di determinare
univocamente il livello dei depositi. Gra…camente, a parità di spostamento delle curve DS e
Ds0 , osserviamo una variazione maggiore del tasso di interesse nel caso in cui il moltiplicatore
è costante. L’intuizione è la seguente: abbiamo visto che sul mercato della base monetaria,
all’aumentare di BM corrisponde una riduzione del tasso i. Tale riduzione non ha alcun
e¤etto sul moltiplicatore se i coe¢ cienti sono costanti, e dunque la variazione m BM si
traduce direttamente in una variazione DS di pari entità. Se invece il moltiplicatore dipende
da i, al ridursi del tasso osserveremo un aumento di c(i) (il pubblico aumenta la domanda di
50
circolante al ridursi del costo opportunità di detenere moneta) e di q(i) (le banche aumentano
la domanda di riserve libere): di conseguenza, il moltiplicatore diminuisce. L’e¤etto …nale su
DS è dato quindi dalla combinazione di BM > 0 e m < 0: ciò spiega perché in questo
caso la variazione di D è minore. Rappresentiamo gra…camente gli e¤etti di una politica
monetaria espansiva sul mercato dei depositi:
i
s
s
s
0
D 0=m BM
D 1=m BM
s
1
m ∆ BM
i0
i1
s
s
0
s
s
1
D 0=m (i) BM
i2
D 1=m (i) BM
D
D0
D1
D2
d
D
Figura 6
(c) Come si modi…ca l’equilibrio sul mercato della base monetaria se si passa a considerare
un’economia aperta?
Soluzione Nel caso di un’economia aperta, i canali di creazione della base monetaria
sono due: oltre alla componente interna (F IN B) abbiamo infatti il canale estero (BM EST ).
L’o¤erta di base monetaria dipende ora dal tasso di interesse (più precisamente, dal di¤erenziale fra tasso interno e tasso internazionale), e pertanto la curva BM S è inclinata positivamente. Come illustrato in Figura 7, un aumento esogeno dell’o¤erta di base monetaria
comporta una riduzione del tasso di interesse (da i0 a i1 ), anche se minore rispetto al caso di
economia chiusa (da i0 a i2 ). Nel caso limite di perfetta sostituibilità tra il credito domestico e quello internazionale, il tasso di interesse non varia e rimane pari al tasso di interesse
internazionale: la curva BM S diviene orizzontale (BMPS ) e la banca centrale perde, di fatto,
il controllo sulla base monetaria e sul tasso di interesse interno.
51
i
BM
s
0
BM
s
1
BM
s
0
BM
i0
BM
s
1
s
P
i1
i2
BM
BM0
d
BM2
Figura 7
Soluzione Esercizio 3
Il mercato dei depositi è cosi caratterizzato: BM s = 118; c = 0; 1 e k = 0; 02.
(a) Nel caso in cui il coe¢ ciente di riserva desiderato dalle banche sia = 0; 01 quale sarà
il coe¢ ciente di riserva bancaria aggiuntiva q? Derivate il moltiplicatore della moneta
e calcolate l’o¤erta aggregata di moneta.
= 0; 1. Il coe¢ ciente
Soluzione Il rapporto tra circolante e depositi sarà pari a, c = CIRC
D
RD
di riserva desiderato dalle banche è = D = 0; 01. Il coe¢ ciente di riserva obbligatorio è
= 0; 02. Il coe¢ ciente di liquidità bancaria aggiuntiva (o in eccesso) q = LB
.
k = ROB
D
D
L’ammontare di riserve e¤ettivo (R) a cui sono soggette banche è dato dalla somma delle
riserve obbligatorie (ROB = kD) e della liquidità bancaria aggiuntiva (LB = qD):
R = ROB + LB
= (k + q)D
L’eccesso di riserve detenuto (LB) dalle banche sarà pari alla di¤erenza tra l’ammontare di
riserve e¤ettivo (R) e l’ammontare di riserve desiderato (RD = D): LB = R RD 0. Il
vincolo di non negatività indica che le banche non deterrano un livello di riserve inferiore a
quello desiderato.
LB = R RD 0
qD = (k + q
)D
(k
)
0
52
0
Abbiamo due soluzioni a secondo che il nostro vincolo sia soddisfatto o meno:
1. (k
) 0 =) q = 0: le banche non deterranno riserve eccesso (q = 0) in quanto le
riserve legali non sono inferiori al livello desiderato dalla banche R RD.
2. (k
) < 0 =) q =
k. le banche deterranno riserve in eccesso (q > 0) …no a
concorrere al livello di riserve desiderato RD. La liquidità bancaria aggiuntiva sarà
pari a LB = (k
)D
Nel nostro caso:
(k
) = 0; 02
0; 01 > 0 =) q = 0
Sappiamo che in equilibrio la base monetaria è pari a:
BM = CIRC + ROB + LB
= cD + kD + qD
= (c + k + q) D
Il livello di depositi in equilibrio è:
D=
1
BM
c+k+q
mentre l’o¤erta di moneta in equilibrio è:
M = CIRC + D
1+c
=
BM
c+k+q
| {z }
m
1+0;1
0;1+0;02+0
Il moltiplicatore della moneta è m =
= 9; 17. Sostituiamo nell’espressione di
equilibrio per la quantità di moneta di equilibrio ed otteniamo l’o¤erta di moneta aggregata
M = 9; 17 118 = 1:082.
(b) Nel caso in cui il coe¢ ciente di riserva desiderato dalle banche si 0 = 0; 04. quale sarà
il coe¢ ciente di riserva bancaria aggiuntiva q? Derivate il moltiplicatore della moneta
e calcolate l’o¤erta aggregata di moneta.
Soluzione Nel nostro caso:
(k
) = 0; 02
0; 04 =
0
0; 02 < 0 =) q = (
k) = 0; 02
1+0;1
0;1+0;02+0;02
= 7; 85. Sostituiamo nell’espressione di
Il moltiplicatore della moneta è m =
equilibrio per la quantità di moneta di equilibrio ed otteniamo l’o¤erta di moneta aggregata
M 0 = 7; 85 118 = 927; 14
(c) Supponete che la banca centrale decida di aumentare di 100 l’o¤erta di moneta ricorrendo ad una operazione di mercato aperto. Dovrebbe acquistare o vendere titoli? Per
quale ammontare? Fornite una risposta considerando sia il punto (a) che il punto (b).
53
Soluzione Un’operazione di mercato aperto consiste nella vendita o acquisto di titoli al
…ni ritirate o immettere base monetaria nel sistema economico. Il meccanismo che descrive
come un’operazione di mercato aperto in‡uenza la quantità di moneta nel sistema economico
è il seguente:
1
M =m
BM =) BM =
M
m
Per aumentare l’o¤erta di moneta la banca centrale deve ritirare (acquistando) titoli dal
mercato. Vediamo di quanto nel caso (a) e (b)
1.
BM (a) =
100
9:17
= 10:9
2.
BM (b) =
100
7:85
= 12:7
Chiaramente
BM (a) <
BM (b)
A parità di obiettivo di politica monetari nel caso (a) la banca centrale deve acquistare titoli
per un ammontare inferiore rispetto al caso (b). Infatti, il caso (b) è quello in cui le banche
desiderano detenere una quantità di riserve maggiore di quelle obbligatorie e questo riduce
la quantità di moneta aggregata rendendo meno espansive le operazioni di mercato aperto.
(d) Supponete che la banca centrale decida di aumentare di 100 l’o¤erta di moneta agendo
sul coe¢ ciente di riserva obbligatoria k. Discutete la capacità della banca centrale
di condurre la politica monetaria cambiando i vincoli sulle riserve con riferimento al
punto (a) ed al punto (b).
Soluzione Una variazione di k altera il moltiplicatore della moneta e, ceteris paribus,
l’ammontare della moneta aggregata. Il meccanismo che descrive come un’operazione di
mercato aperto in‡uenza la quantità di moneta nel sistema economico è il seguente:
M=
m BM
Si può notare da questa espressione che se la banca centrale desidera M > 0 =) m >
0 =) k < 0. La banca centrale dovrà ridurre il coe¢ ciente di riserva obbligatorio per espandere l’o¤erta di moneta a parità di base monetaria. Ovviamente, se le banche desiderano
detenere un quota di riserve > k ridurre k sarà esattamente compensata da un aumento
del coe¢ ciente di liquidità bancaria (q).
1. Nel caso (a) abbiamo M (a) = 1:082 + 100 = 1; 182
m(a) =
1; 182
= 10
118
Possiamo calcolarci il valore di k (a) + q consistente con il nuovo valore del moltiplicatore:
1+c
c + k (a) + q (a)
1 + 0; 1
=
0; 1 + k (a) + q (a)
1; 1 1
=
= 0; 01
10
10 =
k (a) + q a
54
Deve valere sa le seguente condizione:
k (a) + q (a)
Se la banca centrale riduce troppo k avremo un aumento di q tale che k (a) + q (a) = .
Nel nostro caso k (a) + q (a) = 0; 01 = 0; 01 = =)La banca centrale può ridurre k …no a
k (a) = 0; 01 senza assitere ad un aumento di q che rimane zero3
2. Nel caso (b) abbiamo M (b) = 927:14 + 100 = 1; 027
m(b) =
1:027
= 8; 70
118
Possiamo calcolarci il valore di k (b) + q consistente con il nuovo valore del moltiplicatore:
1+c
c + k (b) + q (b)
1 + 0; 1
=
0; 1 + k (b) + q (b)
1; 1 0; 87
k (b) + q =
= 0; 027
8; 70
8; 70 =
k (b) + q (b) = 0; 027 < 0; 04 = =) in questo caso la condizione k (a) + q (a)
è violata=)
(a)
(a)
(a)
(a)
k + q = =) q =
k .
(a)
Ad esempio, se k = 0; 01 =) q (a) = 0; 04 0; 01 = 0; 03. In questo caso abbiamo avuto
una riduzione di k da 0; 02 a 0; 01 ed un contestuale aumento di q da 0; 02 a 0; 03.
3
Se la banca centrale …ssasse il nuovo k (a) = 0; 005 avremmo k (a) +q = 0; 005+0 < 0; 01 =
la nostra condizione in questo caso avremmo q (a) =
k (a) = 0; 01 0; 005 = 0; 005.
55
ciò violerebbe
Il modello di Klein-Monti
Breve Sommario I bilanci delle banche hanno i depoisti tra le loro voci in attivo e i
prestiti tra le passività. Inoltre, le banche competono tra loro nel mercato dei prestiti e
dei depositi. Nel caso in cui in questi mercati fossero perfettamente competitivi i tassi
applicati su depositi e prestiti si eguaglierebbero ed, in equilibrio, le banche realizzerebbero
zero pro…tti. Tuttavia, nel mondo reale le banche non sono price-taker essendo poche e di
dimensioni rilevanti (pensiamo ai grandi gruppi bancari). Partendo da circostanza, il modello
di Klein-Monti descrive questo fallimento del mecato come una situazione estrema in cui vi
è una sola banca che agisce come monopolista sul mercato dei prestiti e monopsonista sul
mercato dei depositi realizzando in entrambi i casi pro…tti positivi catturati dallo spread tra
il tassi sui presti e tasso sui depositi (margine di intermediazione).
Il margine di intermediazione è funzione del tasso di policy …ssato dalla banca centrale.
Quindi, la politica monetaria è in grado di in‡uenzare l’equilibrio sui mercata dei prestiti e
dei depositi4 .
Esercizio 1: Il modello di Klein-Monti
(a) S’illustrino le ipotesi del modello per la determinazione dei tassi sui prestiti bancari e
sui depositi (modello Klein - Monti nella sua forma generale). Si determinino, inoltre, le
condizioni di equilibrio (si assuma per semplicità che capitale proprio (E), coe¢ ciente
di riserva obbligatoria siano (k) siano pari a zero, ed i costi operativi (CO) siano
proporzionali alla somma dei prestiti e dei depositi (CO = co Ld (rL ) + Ds (rD ) )).
Evidenziate la relazione che lega il regime di concorrenza imperfetta del modello KleinMonti ed il regime di concorrenza perfetta.
(b) Attraverso quale canale, le decisioni della BCE in‡uiscono sulle scelte del sistema
bancario nel modello Klein-Monti? Come cambierebbe la vostra risposta se il mercato
dei prestiti e dei depositi fosse caratterizzato da un regime di concorrenza perfetta?
Soluzione Esercizio 1: Il Modello di Klein-Monti
(a) S’illustrino le ipotesi del modello per la determinazione dei tassi sui prestiti bancari e
sui depositi (modello Klein - Monti nella sua forma generale). Si determinino, inoltre, le
condizioni di equilibrio (si assuma per semplicità che capitale proprio (E), coe¢ ciente
di riserva obbligatoria siano (k) siano pari a zero, ed i costi operativi (CO) siano
proporzionali alla somma dei prestiti e dei depositi (CO = co Ld (rL ) + Ds (rD ) )).
Evidenziate la relazione che lega il regime di concorrenza imperfetta del modello KleinMonti ed il regime di concorrenza perfetta.
Soluzione
(a) Per le ipotesi del modello si veda la dispensa del corso e le slides del corso del prof.
Monacelli.
4
Si veda la dispensa del corso per una trattazione della trasmissione della politica monetararia ai tassi
bancari e le sue ripercussionei sul sistema economico.
56
De…niamo la funzione di pro…tto della banca come:
Quindi,
(rD ; rL ; r; co) = (rL
|
(rD ; rL ; r; co) == (rL
r) Ld (rL ) + (r
{z
rD ) Ds (rD )
}
F unzione di Ricavo
r) Ld (rL ) + (r
rD ) Ds (rD )
co
CO(co; rL ; rD )
|
{z
}
F unzione di Costo
Ld (rL ) + Ds (rD )
(1)
La banca è monopolista nel mercato dei prestiti e monopsonista nel mercato dei depositi. Inoltre, il vincolo di bilancio della banca (equilibrio del conto economico) implica
che D (rD ) = L (rL ) + B (r) (stiamo assumendo E = 0 e k = 0). Possiamo distinguere
due distinti problemi di massimizzazione, la massimizzazione dei pro…tti nel mercato
dei prestiti ( L (:)) e la massimizzazione dei pro…tti nel mercato dei depositi ( D (:)):
max
D
rD
max
L
rL
(rD ; r; co)
max(r
rD
(rL ; r; co) = max (rL
rL
rD )Ds (rD )
co Ds (rD )
(2)
r) Ld (rL )
co Ld (rL )
(3)
Risolviamo il primo problema (2) ricavandoci la condizione del primo ordine:
@
Ds (rD ) + (r
rD )
Ds (rD ) + (r
Ds (rD ) + rD
D
(rD ; r; co)
=0
@rD
@Ds (rD )
@rD
rD )
@Ds (rD )
@CO
=0
@Ds (rD )
@rD
@Ds (rD )
@rD
@Ds (rD )
= (r
@rD
@Ds (rD )
=0
@rD
co
co)
@Ds (rD )
@rD
(4)
Dividiamo la (4) per Ds (rD ):
1+
rD @Ds (rD )
= (r
Ds (rD ) @rD
1 + "D = (r
co)
1 + "D = (r
57
co)
@Ds (rD ) 1
@rD Ds (rD )
@Ds (rD ) rD
1
s
@rD D (rD ) rD
co) "D
1
rD
(5)
Dalla (5) possiamo ricavarci la condizione d equilibrio sul mercato dei depositi:
r
rD
"D
|{z}
rD = co +
(6)
M ark down
La (6) ci dice che il tasso pagato dalla banca ai correntisti sui depositi è inferiore al
tasso interbancario (che la banca può ottenere reimpiegando i depositi) di un markdown che ri‡ette il potere monopsonistico della banca. Si noti, come la presenza di
costi operativi nel mercato dei depositi, si ri‡ette negativamente sul tasso pagato sui
depositi. Di fatto, la banca scarica sui clienti i costi operativi (per una descrizione dei
costi operativi si veda pagina 84 della dispensa):
1
r = rD 1 +
|{z}
"
prezzo
|
{zD
CM
+ co
}
(7)
Si noti che "D > 1 l’o¤erta di depositi è elastica, mentre per 0 "D
1 l’o¤erta di
depositi è inelastica (e non abbiamo un punto di ottimo in quanto CM < 0).
Per "D ! 1, la (7) diventa:
(8)
r = rD + co
|{z}
| {z }
prezzo
CM
La (8) ci dice che in regime di concorrenza perfetta eguagliamo prezzo (r) e costo
marginale.
Ora spostiamoci al mercato dei prestiti. Il problema (3) può essere risolto analogamente
al problema (2) e la condizione di equilibrio (che siete invitati a veri…care!) è la
seguente:
rL
r = co
rL
"L
|{z}
(9)
M ark up
1
5
rL 1 +
= r| +
{zco}
"L
CM
|
{z
}
(10)
RM
Si noti che "L < 1 la domanda di prestiti è elastica mentre per 1
"L
domanda di prestiti è inelastica (quindi non abbiamo un punto di ottimo).
0 la
Dalla (7) e la (10) possiamo ottenere i tassi di equilibrio prevalenti sui due mercati:
rD = (r
co)
58
1
1 + "1D
!
rL = (r + co)
1
1 + "1L
!
Il margine di intermediazione è dato da:
rL
rD =
r + co
1 + "1L
r co
1 + "1D
!
6
(11)
Alternativamente il problema della banca può essere risolto eguagliando Ricavi Marginali e Costi Marginali sui due mercati:
M RL = M CL
(12)
M RD = M CD
(13)
Nota metodologica:
Il problema della scelta di rD e rL è stato esaminato prendendo in considerazione le
funzioni di o¤erta (Ds (rD )) e domanda (Ld (rL )). Tuttavia, sarebbe stato equivalente
utilizzare le funzioni di domanda inversa (rD (Ds ) e rL (Ld )) e avremmo ottenuto risultati identici. A titolo di esempio, esaminiamo il problema nel mercato dei prestiti:
max
Ld
L
Ld ; r; co = max rL (Ld )
Ld
r Ld
co Ld
(14)
Risolviamo il primo problema (14) ricavandoci la condizione del primo ordine:
@
rL (Ld )
L
Ld ; r; co
=0
@Ld
r +
@rL (Ld ) d
L
@Ld
rL (Ld ) r
@rL (Ld ) Ld
+
rL (Ld )
@Ld rL (Ld )
rL (Ld ) r
+ "L 1
rL (Ld )
rL (Ld )
co = 0
co
=0
rL (Ld )
co
=0
rL (Ld )
r + rL (Ld )"L 1
co = 0
rL (Ld )(1 + "L 1 ) = r + co
E’facile veri…care che la (15) e la (10) sono identiche.
59
(15)
Ovviamente, questi due approcci non sono equivalenti se consideriamo situazioni di concorrenza imperfetta più complesse (ad esempio banche che competono a là Cournot o là
Bertrand).
Gra…camente:
Mercato dei Depositi e dei Prestiti
(b) Attraverso quale canale, le decisioni della BCE in‡uiscono sulle scelte del sistema
bancario nel modello Klein-Monti? Come cambierebbe la vostra risposta se il mercato
dei prestiti e dei depositi fosse caratterizzato da un regime di concorrenza perfetta?
Soluzione
(b) La banca prende il tasso interbancario come esogenamente dato ed, un cambiamento in
r (che ipotizziamo dipenda completamente dalla BCE) si trasmette ai tassi di equilibrio
sia nel mercato dei prestiti che dei depositi. Ovviamente, l’intensità della risposta
è in‡uenzata dal valore delle elasticità "D ed "L . Nel caso di concorrenza perfetta,
le decisioni politica monetaria si ri‡ettono uno a uno su entrambi i mercati essendo
r = rL = rD .
Analiticamente consideriamo il caso di una politica monetaria restrittiva (r ") , tutto
si riduce ad una derivata prima:
60
@rD
=
@r
@rL
=
@r
@ (r
co)
1
1+ "1
D
@r
@ (r + co)
1
1+ "1
L
@r
=
1
1 + "1D
!
<1
=
1
1 + "1L
!
>1
Nel caso di concorrenza perfetta:
@rL
@rD
=
=1
@r
@r
Nel caso di concorrenza perfetta, i tassi sui due mercati seguono uno-a-uno il tasso
interbancario.
61
Politica Monetaria e Mercato dei Cambi: Il modello di
Overshooting
Breve Sommario Quando l’economia si apre al resto del mondo la conduzione della politica monetaria può alterare i termini di scambio reale tra due o più paesi. Infatti, una
variazione di M fa variare i che a sual volta attraverso la parità scoperta dei tassi di interesse (UIP) porta ad una variazione istantanea del tasso di cambio nominale. In particolare,
se i prezzi non sono perfettamente ‡essibili nel breve periodo (si aggiustano lentamente e
diventano ‡essibili nel lungo periodo) avremo una dicotomia tra la velocità di aggiustamento
dei prezzi nel mercato dei beni che avviene lentamente e la velocità di aggiustamento delle
variabili …nanziarie che avviene all’istante.
La caratteristica principale del modello di Dornbusch è quella di combinare gli elementi
dell’analisi di breve periodo del modello di Mundell-Fleming ed i risultati di lungo periodo sulla neutralità della moneta. Il modello di Dornbusch contiene due relazioni molto
importanti la UIP e la PPP.
Esercizio 1
Considerate il modello di equilibrio simultaneo del mercato dei cambi e del mercato monetario
(in USA e Europa).
(a) Che cosa si intende per overshooting del tasso di cambio? Quale regolarità empirica
aiuta a spiegare?
(b) Rappresentate gra…camente l’equilibrio iniziale nel mercato dei cambi e nel mercato
monetario (assumendo che gli USA siano l’economia domestica)
(c) Supponete che le autorità di politica …scale in Europa decidano di attuare una espansione della spesa pubblica (politica …scale espansiva). Descrivete gli e¤etti di breve e
lungo periodo su tasso di cambio e tasso di interesse negli USA. Si veri…ca overshooting
del cambio? Spiegate nei dettagli.
Esercizio 2
Supponete che vi sia una riduzione della domanda reale aggregata di moneta, e cioè uno
spostamento negativo della funzione di domanda reale aggregata di moneta. Illustrate gli
e¤etti di breve e di lungo periodo sul tasso di cambio, sul tasso di interesse e sul livello dei
prezzi.
Esercizio 3
Qual è l’e¤etto di breve periodo sul tasso di cambio di un aumento del livello del PNL in
termini reali, date le aspettative sul tasso di cambio?
62
Esercizio 4
Nella nostra discussione sull’overshooting di breve periodo del tasso di cambio, abbiamo
supposto che la produzione reale fosse data. Assumiamo invece che nel breve periodo un incremento dell’o¤erta di moneta accresca il livello di produzione reale (un’ipotesi che sarà
giusti…cata nel Capitolo 7 del Krugman-Obstfeld ˆ
) . In che modo questo fatto in‡uisce
sull’iper-reazione del tasso di cambio data dall’aumento dell’o¤erta di moneta? E’ possibile che il tasso di cambio evidenzi un undershooting? (Suggerimento: nella …gura riportata
di sotto (pag.122 del K-O) permettete lo spostamento della curva di domanda di moneta
reale a seguito dell’aumento del livello di produzione).
63
Soluzione Esercizio 1
Considerate il modello di equilibrio simultaneo del mercato dei cambi e del mercato monetario
(in USA e Europa).
(a) Che cosa si intende per overshooting del tasso di cambio? Quale regolarità empirica
aiuta a spiegare?
Soluzione Si veri…ca overshooting del tasso di cambio quando la reazione immediata del
tasso di cambio nominale ad un elemento di disturbo (shock) è maggiore della sua reazione
di lungo periodo. L’overshooting è la conseguenza diretta della rigidità di breve periodo del
livello dei prezzi e della condizione di parità dei tassi di interesse.Il fenomeno dell’overshooting
contribuisce a spiegare perché i tassi di cambio varino in modo così accentuato da un giorno
all’altro (volatilità del tasso di cambio). Nel nostro modello si veri…ca overshooting perché i
prezzi non si adeguano rapidamente, mentre le aspettative sì.
(b) Rappresentate gra…camente l’equilibrio iniziale nel mercato dei cambi e nel mercato
monetario (assumendo che gli USA siano l’economia domestica).
Soluzione
(c) Supponete che le autorità di politica …scale in Europa decidano di attuare una espansione della spesa pubblica (politica …scale espansiva). Descrivete gli e¤etti di breve e
lungo periodo su tasso di cambio e tasso di interesse negli USA. Si veri…ca overshooting
del cambio? Spiegate nei dettagli.
64
Soluzione Consideriamo una politica …scale espansiva temporanea (se fosse permanente
potremmo osservare undershooting in USA).
L’espansione della spesa pubblica in Europa crea un eccesso di domanda di moneta denominata in Euro che, data l’o¤erta di moneta (che è …ssa), genera un aumento del tasso sui
depositi in Euro (Re "). La curva del rendimento atteso dei tassi in Euro si sposta verso
destra in quanto per ciascun livello del tasso di cambio un aumento di Re fa aumentare il
rendimento atteso in dollari dei depositi in Euro. Nell’equilibrio di breve periodo (t=0) il
dollaro si deprezza (E$=e ") e R$ rimane invariato (il mercato della moneta statunitense non
è in‡uenzato ma i capitali "volano" verso il paese con il tasso più vantaggioso). Nel lungo
periodo (ossia nel periodo successivo t=1), poichè le aspettative sul cambio futuro atteso
non sono cambiate è su¢ ciente guardare alla UIP dalla quale vediamo che, a¢ nchè vi sia
la parità scoperta dei tassi il dollaro, dovrà apprezzarsi (E$=e #) per bilanciare la variazione
del di¤erenziale nei tassi di interesse internazionali a favore dei depositi in valuta domestica
(cioè Re (#) in quanto l’espansione è temporanea e YEU #).
Quindi, non c’è overshooting nel tasso di cambio:
t=0:
e
E$=e
(=)
1 + Re (")
R$ (=) =
E$=e (")
t=1:
R$ (=) =
e
E$=e
(=)
E$=e (#)
1 + Re (#)
Soluzione Esercizio 2
Supponete che vi sia una riduzione della domanda reale aggregata di moneta, e cioè uno
spostamento negativo della funzione di domanda reale aggregata di moneta. Illustrate gli
e¤etti di breve e di lungo periodo sul tasso di cambio, sul tasso di interesse e sul livello dei
prezzi.
Soluzione Una riduzione della domanda reale di moneta ha gli stessi e¤etti di un aumento
dell’o¤erta nominale di moneta:
65
La riduzione della domanda di moneta è rappresentata dallo spostamento della curva L
verso sinistra, da L1 (R$1 ; YU S ) a L2 (R$2 ; YU S ). Questo riduce il tasso di interesse sui depositi
in dollari.
Se la riduzione di domanda di moneta è temporanea, il tasso di cambio aumenta da
3
1
.
a E$=e
E$=e
Se la riduzione di domanda di moneta è permanente, il tasso di cambio aumenta da
1
2
. Il maggiore aumento è dovuto all’e¤etto sulle aspettative: quando la domanda
E$=e a E$=e
di moneta si riduce in maniera permanente, si avrà, nel lungo periodo, un aumento proporzionale dei prezzi –tale da riportare in equilibrio il mercato della moneta senza variazioni
nei prezzi relativi, nel livello della produzione, né nei tassi di interesse –ed un conseguente
deprezzamento del dollaro proporzionale alla diminuzione della domanda di moneta. Nel
tempo il livello dei prezzi sale facendo diminuire le scorte reali di moneta …no al livello
(MU1 S =PU2 S ), dove il tasso di interesse torna al livello iniziale. Man mano che il livello dei
4
prezzi ed il tasso di interesse aumentano, il tasso di cambio E diminuisce …no a E$=e
.
Analiticamente:
E’importante considerare cosa accade a due importanti condizioni: la Parità dei Poteri di
Acquisto (PPP) e la Parità Scoperta dei Tassi di Interesse (UIP).
La UIP è una condizione di equilibrio sul mercato (a causa dell’arbitraggio da parte degli
66
operatori sul mercato
dei cambi per sfruttare i di¤erenziali nei tassi d’interesse su valute
e
E$=e
E$=e
diverse se R$ >
+ Re allora gli operatori acquisteranno dollari …no a quando il
E$=e
cambio non si deprezzerà abbastanza a¢ nchè i due rendimenti attesi coincidano) sul mercato
valutario che richiede che i depositi in valute diverse o¤rano lo stesso rendimento atteso:
R$ =
e
E$=e
E$=e
E$=e
(9a)
+ Re
La (9a) può essere riscritta in funzione del tasso di cambio corrente come:
e
Re + 1) = E$=e
E$=e (R$
E$=e =
e
E$=e
(R$
Re + 1)
(9b)
La PPP a¤erma che il tasso di cambio tra le valute di due paesi è uguale al rapporto tra il
prezzo domestico (e.g. Stati Uniti) ed il prezzo estero (e.g. Area Euro):
E$=e =
PU S
PU E
(9c)
La (9c) ci dice un aumento (diminuzione) del potere di acquisto della valuta domestica
(PU S #) conduca ad un proporzionale apprezzamento (deprezzamento) della stessa ( E$=e ).
Questo deve valere anche per le aspettative. Cosi avremo:
e
E$=e
=
PUe S
PUe E
(9d)
La (9d) a¤erma che se le aspettative sui prezzi domestici sono di un rialzo PUe S " allora le
aspettative sul mercato dei cambi saranno di un deprezzamento futuro del dollaro ovvero
e
".
E$=e
Dalla (9b) notiamo che una variazione nella (9d) fa variare il tasso di cambio corrente.
Sostituendo la (9d) nella (9b) otteniamo:
E$=e
PUe S
= e
PU E (R$ Re + 1)
(9e)
Nel caso speci…co della nostra analisi è possibile notare quanto segue:
1) Riduzione temporanea della domanda di moneta:
Nel breve periodo osserviamo solo una riduzione di R$ (da R$1 a R$3 ). Quindi, osserveremo
3
1
un aumento di E$=e …no a E$=e
che poi ritornerà a E$=e
nel periodo successivo:
3
E$=e
=
e
E$=e
R$3
Re1 + 1
>
e
E$=e
R$1
Re1 + 1
1
= E$=e
essendo R$1 > R$3
Le aspettative sul lungo periodo non vengono in‡uenzate (PUe S =PU S ). Quindi, la variazione
attesa di E$=e è data dalla (9d) - la (9c) :
67
e
E$=e
=
e
E$=e
E$=e
PU S
PU S
=
PU E
PU E
= 0
3
1
.
Quindi, nel periodo successivo riavremo R$ che torna a R$1 ed il tasso di cambio pari a E$=e
2) Riduzione permanente della domanda di moneta:
Nel breve periodo osserviamo una riduzione di R$ (da R$1 a R$2 ). Inoltre osserveremo una
variazione delle aspettative sul tasso di cambio futuro (ci aspetteremo un deprezzamento del
dollaro), in quanto quando la domanda di moneta si riduce permanentemente le aspettative
PUe S sul lungo periodo saranno di una aumento proporzionale dei prezzi in dollari in modo
da ristabilire l’equilibrio sul mercato della moneta . Quindi, la variazione attesa di E$=e è
data dalla (9e) - la (9b) :
e
E$=e
=
2
e
E$=e
E$=e
PU1 S
PU2 S
PU E
PU E
2
PU S PU1 S
=
PU E
=
2
Quindi, osserveremo un aumento di E$=e …no a E$=e
nel breve periodo:
2
2
E$=e
=
e
E$=e
R$2
Re + 1
PU2 S
=
PU E R$2 Re + 1
3 e
E$=e
PU1 S
3
>
=
= E$=e
PU E R$2 Re + 1
R$2 Re + 1
e
E$=e
1
= E$=e
>
1
R$ Re + 1
essendo PU2 S > PU1 S oltre che R$1 > R$3
Nel lungo periodo il tasso di interesse torna al livello R$1 quindi il tasso di cambio sarà:
2
4
E$=e
=
=
<
R$1
PU E
PU E
e
E$=e
Re + 1
PU2 S
R$1 Re + 1
PU2 S
2
= E$=e
2
R$ Re + 1
68
2
4
E$=e
=
>
R$1
e
E$=e
Re + 1
PU1 S
1
= E$=e
1
R$ Re + 1
PU E
Quindi nel lungo periodo l’e¤etto di overshooting scompare e l’e¤etto …nale è un deprezzamento del dollaro dovuto all’aumento dei prezzi.
Per misurare l’entità dell’overshooting prendiamo:
2
overshooting = E$=e
=
=
=
PU E
4
E$=e
PU2 S
R$2 Re + 1
PU E
PU2 S R$1 Re + 1
PU E R$1 Re + 1
PU E R$1
PU2 S R$1
Re + 1
R$2
R$2
R$2
R$2
PU2 S
R$1 Re + 1
Re + 1
Re + 1
Re + 1
>0
Soluzione Esercizio 3
Qual è l’e¤etto di breve periodo sul tasso di cambio di un aumento del livello del PNL in
termini reali, date le aspettative sul tasso di cambio?
Soluzione La crescita del PNL reale (Y ") fa aumentare la domanda di moneta. Utilizzando il gra…co in basso (pag. 105 del K-O)si può vedere l’e¤etto sul tasso di interesse.
Infatti, la curva L(R; Y ) si sposta verso destra facendo aumentare il tasso di interesse da
R1 a R2 (il tasso di interesse deve aumentare per mantenere l’equilibrio sul mercato della
moneta cioè per eliminare l’eccesso di domanda di moneta Q2 ).
69
Utilizzando il gra…co in basso si può ricavare l’e¤etto sul tasso di cambio: l’aumento del
2
1
:
a E$=e
rendimento dei depositi in dollari causa un apprezzamento del dollaro da E$=e
70
Analiticamente: Abbiamo detto che il tasso di interesse aumenta da R$1 a R$2 . Utilizzando
la (9b) avremo:
2
E$=e
e
E$=e
e
E$=e
1
<
= E$=e
R$2 Re + 1
R$1 Re + 1
Quindi, osserveremo un apprezzamento del tasso di cambio:
=
2
E$=e = E$=e
=
=
=
1
E$=e
e
E$=e
e
E$=e
R$2
e
E$=e
R$2
Re + 1
R$1
Re + 1
R$1 Re + 1
R$2
R$2 Re + 1 R$1 Re
e
E$=e
R$1 R$2
Re + 1 R$1 Re + 1
Re + 1
+1
<0
Soluzione Esercizio 4
Nella nostra discussione sull’overshooting di breve periodo del tasso di cambio, abbiamo
supposto che la produzione reale fosse data. Assumiamo invece che nel breve periodo un in71
cremento dell’o¤erta di moneta accresca il livello di produzione reale (un’ipotesi che sarà
giusti…cata nel Capitolo 7 del Krugman-Obstfeld ˆ
) . In che modo questo fatto in‡uisce
sull’iper-reazione del tasso di cambio data dall’aumento dell’o¤erta di moneta? E’ possibile che il tasso di cambio evidenzi un undershooting? (Suggerimento: nella …gura riportata
di sotto (pag.122 del K-O) permettete lo spostamento della curva di domanda di moneta
reale a seguito dell’aumento del livello di produzione).
Soluzione Se la crescita di moneta o¤erta fa aumentare la produzione di breve periodo
(quindi nel lungo periodo la L2 (R$2 ; YU2S ) torna al livello iniziale L2 (R$1 ; YU1S ), allora la diminuzione del tasso di interesse sarà attenuata dalla maggiore domanda di moneta per scopi
transattivi. Nella …gura riportata in basso avremmo, oltre allo spostamento verso il basso
delle scorte reali, uno spostamento verso il basso della curva L(R; Y ). Dato che il tasso di
interesse diminuisce meno rispetto al caso di produzione costante, si avrà che
il tasso di cambio aumenta meno. Vi sarà comunque overshooting: nel lungo periodo
Y torna al livello iniziale ed i prezzi aumentano proporzionalmente alla crescita dell’o¤erta
di moneta, con conseguente deprezzamento di lungo periodo. Perciò nel breve periodo c’è
l’e¤etto sul tasso di cambio atteso che sposta verso destra la curva di rendimento atteso dei
depositi in euro e causa l’overshooting, che però sarà minore rispetto al caso rappresentato
nella …gura in basso. Durante l’aggiustamento il tasso di cambio si riduce …no al livello di
equilibrio di lungo periodo. Si noti che nel lungo periodo la curva di domanda di moneta
torna nella posizione iniziale. Si ha undershooting se il tasso di cambio di breve periodo è
minore del tasso di cambio di lungo periodo. Ciò accade solo se l’aumento del livello di produzione è tanto elevato da far sì che la crescita della domanda di moneta più che compensi
l’aumento dell’o¤erta di moneta, così che il tasso di cambio diminuisce invece di aumentare.
Questo caso è improbabile perché si ritiene che l’aumento nell’o¤erta di moneta porti ad
una crescita della produzione in quanto riduce i tassi di interesse e stimola gli investimenti,
quindi non si pensa che Y possa aumentare tanto da accrescere il tasso di interesse.
72
Figura 1
Se la crescita dell’o¤erta di moneta fa aumentare la produzione nel breve periodo possiamo
rappresentare l’e¤etto dell’aumento dell’o¤erta di moneta con il seguente gra…co:
73
Figura 2
Analiticamente:
1) Aumento temporaneo dell’o¤erta di moneta:
Nel breve periodo osserviamo due forze che in‡uiscono sul tasso di interesse: l’aumento
dell’o¤erta di moneta è accompagnato dalla riduzione del tasso di interesse, tuttavia, la
maggiore domanda di moneta per scopi transattivi in seguito all’aumento di Y tende a far
aumentare il tasso d’interesse. L’e¤etto …nale è in linea teorica incerto: potremmo avere un
fenomeno di undershooting se l’aumento della produzione è così marcato da avere R$2 > R$1 .
Oppure, nel caso standard R$2 < R$1 (Figura 2 ) il tasso d’interesse si riduce meno che nel
caso trattato in Figura 1 dove la produzione non varia. Quindi, osserveremo un aumento di
3
1
E$=e …no a E$=e
che poi ritornerà a E$=e
nel periodo successivo:
3
E$=e
=
e
E$=e
R$2
Re1
+1
>
e
E$=e
R$1
Re1
+1
1
= E$=e
essendo R$1 > R$2
Le aspettative sul lungo periodo non vengono in‡uenzate (PUe S =PU S ). Quindi, la variazione
attesa di E$=e è data dalla (9d) - la (9c) :
74
e
E$=e
E$=e
PU S
PU S
=
PU E
PU E
= 0
e
=
E$=e
3
1
.
Quindi nel periodo successivo riavremo R$ che torna a R$1 ed il tasso di cambio pari a E$=e
2) Aumento permanente dell’o¤erta di moneta:
Nel breve periodo vale ciò che è stato ipotizzato nel punto 1). Quindi anche per il caso in
cui l’aumento dell’o¤erta di moneta sia permanente avremo R$2 < R$1 (Figura 2 ) il tasso
d’interesse si riduce meno che nel caso trattato in Figura 1 dove la produzione non varia.
Nel breve periodo osserveremo una riduzione di R$ (da R$1 a R$2 ). Inoltre, osserveremo una
variazione delle aspettative sul tasso di cambio futuro (ci aspetteremo un deprezzamento
del dollaro ma meno che in …gura 1 ), in quanto quando l’o¤erta di moneta aumenta permanentemente le aspettative PUe S sul lungo periodo saranno di una aumento proporzionale
dei prezzi in dollari in modo da ristabilire l’equilibrio sul mercato della moneta . Quindi, la
variazione attesa di E$=e è data dalla (9e) - la (9b) :
e
E$=e
=
=
2
e
E$=e
PU2 S
E$=e
PU1 S
PU E
PU1 S
PU E
PU2 S
=
PU E
2
Quindi, in …gura 2 osserveremo un aumento di E$=e …no a E$=e
(ma inferiore a quello che
abbiamo nella …gura 1) nel breve periodo:
2
2
E$=e
=
e
E$=e
R$2
Re + 1
PU2 S
=
PU E R$2 Re + 1
3 e
E$=e
PU1 S
3
>
=
= E$=e
R$2 Re + 1
PU E R$2 Re + 1
e
E$=e
1
>
= E$=e
1
R$ Re + 1
essendo PU2 S > PU1 S oltre che R$1 > R$2
Nel lungo periodo il tasso di interesse torna al livello R$1 quindi il tasso di cambio sarà:
75
2
4
E$=e
=
=
<
R$1
Re + 1
PU2 S
R$1 Re + 1
PU2 S
2
= E$=e
R$2 Re + 1
PU E
PU E
3
4
E$=e
=
>
R$1
PU E
e
E$=e
e
E$=e
Re + 1
PU1 S
1
= E$=e
1
R$ Re + 1
Quindi nel lungo periodo l’e¤etto di overshooting scompare (…gura 2 ) e l’e¤etto …nale è
un deprezzamento (ma inferiore a quello che abbiamo nella …gura 1 ) del dollaro dovuto
all’aumento dei prezzi.
76