Cristalli fotonici:
teoria ed applicazioni
Caterina Ciminelli
Laboratorio di Optoelettronica, Politecnico di Bari
e-mail: [email protected]
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Benevento, 19-21 giugno 2006
Sommario
Introduzione e concetti generali
Spazio reciproco e zone di Brillouin
Tipologie di strutture e classificazioni
Mapping dei gap
Metodi di analisi
Dispositivi a band gap fotonico
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Bandgap elettromagnetico e bandgap fotonico
Strutture con particolari geometrie ed indici di rifrazione possiedono
un intervallo di frequenze per le quali non è permessa la propagazione
all’interno del mezzo stesso.
A seconda della λ in esame e delle dimensioni delle strutture si possono
distinguere:
EBG: Electromagnetic band gap
PBG: Photonic band gap
Principio di scalabilità in frequenza:
se si riducono le dimensioni di una struttura di un certo coefficiente
α, la soluzione delle equazioni di Maxwell sarà ancora valida ma a
frequenze α volte maggiori.
Le proprietà esibite dalle strutture EBG e PBG sono identiche
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Cristalli fotonici
Un cristallo fotonico è un materiale con una variazione periodica
dell’indice di rifrazione in una, due o tre dimensioni nello spazio.
In base alla periodicità della costante dielettrica si possono
classificare i cristalli fotonici come: monodimensionali (1-D),
bidimensionali (2-D) e tridimensionali (3-D)
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I cristalli fotonici mostrano un comportamento con bandgap fotonico
completo se c’è un intervallo di frequenze (energie fotoniche), cioè una
stop-band, in cui la propagazione dell’onda elettromagnetica è
fortemente inibita, indipendentemente dalla direzione della
propagazione o dalla polarizzazione considerata.
Tipicamente per ottenere questo è richiesto un contrasto dell’indice di
rifrazione pari a ~2:1 o più.
I cristalli fotonici possono essere chiamati microstrutture
(nanostrutture) fotoniche quando essi sono fabbricati con processi
litografici e di etching.
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Un comportamento con PBG incompleto può essere altrettanto utile
un comportamento dipendente dalla direzione e/o dalla polarizzazione può
fornire una selettività utile all’interno della stop-band o ai bordi di essa
PBG unidimensionale
forte direzionalità e piccolo contrasto d’indice
Reticoli di Bragg in fibra, laser DFB, ecc. si basano sull’esistenza di un
‘photonic bandgap’ (stop-band)
variazioni di periodicità (“chirp”) e
variazioni di ampiezza sono spesso usate per fornire le proprietà richieste
nel dominio del tempo e della frequenza
Tali strutture e le relative caratteristiche di trasmissione nella stop-band
possono essere molto utili: formazione di microcavità a cristalli fotonici.
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Applicazioni e dispositivi
I dispositivi a bandgap fotonico possono essere usati nelle
comunicazioni ottiche, nei display, nei sensori e nei rivelatori.
Laser, LED, fotoricevitori, dispositivi per WDM multiplexing e
demultiplexing, circuiti optoelettronici integrati (OEIC) e circuiti
fotonici integrati (PIC), dispositivi per la compressione dell’impulso e
per il ritardo variabile sono alcune applicazioni dei PhC.
L’uso dei cristalli fotonici consente il miglioramento di alcune
prestazioni: ridotta corrente (densità) di soglia, ridotte dimensioni
del dispositivo (compattezza), aumentate non linearità,…….
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Cenni storici
Nel 1987 E. Yablonovitch, [‘Inhibited Spontaneous Emission in SolidState Physics and Electronics’, Phys. Rev.Letts, 58, pp. 2059 - 2062, (18
May 1987)] affermò che il comportamento con “Photonic Bandgap”
poteva essere un effetto potenzialmente utile.
Yablonovitch evidenziò che le strutture a semiconduttore come i LED
(che usano tipicamente semiconduttori III-V a bandgap diretto)
mostrano un’efficienza quantica interna molto alta, superiore al 90%,
per il processo di emissione spontanea.
La luce emessa è tipicamente incoerente in un intervallo spettrale
piuttosto ampio.
La luce generata in un corpo solido deve essere estratta in modo
efficace da esso. Ma i semiconduttori usati hanno un elevato indice di
rifrazione (>3) e si può dimostrare che una grande frazione della luce
prodotta nella regione attiva subirà riflessione interna totale quando
giunge all’interfaccia fra il semiconduttore ed il mezzo esterno
efficienza esterna ridotta al 3-4%.
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Emissione spontanea & emissione stimolata
Yablonovitch sottolineò anche che in tutti i sistemi, in base alle
equazioni di Einstein, c’è sempre emissione spontanea, assorbimento ed
emissione stimolata.
I LED producono prevalentemente emissione spontanea ed i laser
producono prevalentemente emissione stimolata.
La soglia
laser è individuata dalla prevalenza dell’emissione stimolata
sull’emissione spontanea.
Feedback periodici “forti” facilitano l’azione laser poiché riducono la
probabilità di emissione spontanea e, in modo particolare, ciò avviene se
c’è un difetto selettivo in frequenza inserito nella struttura periodica.
comportamento tipico dei cristalli fotonici
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Controllo dell’emissione spontanea
Emissione senza
restrizioni
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Emissione
completamente proibita
Emissione sotto
forma di modi
selezionati
consentita dal
difetto
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Emissione stimolata
Eliminare o limitare in modo significativo la probabilità di emissione
spontanea aumenta la probabilità di ottenere emissione stimolata
La sequenza di figure mostrata rappresenta anche una buona analogia con
il funzionamento di un laser DFB, sebbene il tipico laser DFB abbia solo
periodicità ad una dimensione.
Quando il laser DFB convenzionale raggiunge la soglia laser c’è già una
grande quantità di emissione spontanea.
Sopra soglia, il processo di emissione stimolata cresce molto rapidamente
poiché i nuovi fotoni stimolati sono molto selettivi in direzione.
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Emissione da un PhC con 3D (PBG)-LED
Una struttura a PhC 3D
ottenuta in un ‘box’ con grande
contrasto d’indice può proibire
l’emissione per la maggior parte
delle direzioni/frequenze della
banda.
Una limitata dimensione del
‘canale’ difetto dirige la luce
selezionata in frequenza al di
fuori del box (nel cono di fuga)
che dipende dalla dimensione
del difetto.
Il
fascio
d’uscita
è
sostanzialmente divergente se
il difetto ha uno spot d’uscita
piccolo.
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Definizioni e relazioni fondamentali
Il “Photonic Bandgap” è una caratteristica della propagazione
dell’onda elettromagnetica in strutture periodiche
STRUTTURA A BANDE
La propagazione dell’onda in strutture periodiche è dispersiva, cioè
la velocità di fase dipende dalla frequenza
Usare la parola ‘fotonico’ ha la stessa connotazione della parola
‘elettronico’
quando
semiconduttori
si
fa
riferimento
alle
proprietà
dei
si mescola il linguaggio delle particelle alla
descrizione dei fenomeni dell’onda.
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Velocità di fase
vp = ω/k
rapporto del valore dell’ordinata rispetto al valore dell’ascissa in un
qualsiasi punto della curva di dispersione, dove ω è la frequenza
angolare (radianti per secondo) e k è l’ampiezza del vettore d’onda
Velocità di gruppo
vg = dω/dk
pendenza della curva di dispersione
Velocità di gruppo e velocità di fase sono entrambe proprietà
vettoriali di un mezzo (nello spazio tridimensionale)
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Nel linguaggio quantistico, l’energia del fotone e la frequenza ottica
sono legati come
E = hf = hν = (h/2π) ω = ћ ω
dove l’energia E è in Joules, f o ν sono la frequenza in Hertz.
La frequenza angolare ω è espressa in radianti/secondo e h è la
costante di Planck (~6.6x10-34 Joule*secondo)
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Il (quasi) momento associato alla costante di propagazione k è
espresso come (De Broglie):
p = h/λ =(h/2π)k = ћk
Per i fotoni, il valore in spazio libero (vuoto) di k è:
k0 = ω/c
dove c è la velocità della luce in spazio libero.
In un mezzo con indice di rifrazione n il vettore d’onda è
k = n k0
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Light line
Light line:
line semiretta che passa per l’origine di un diagramma ω-k.
La “light-line” dello spazio libero e la “light-line” del substrato
sono utili riferimenti quando si esamina la propagazione di onde
e.m. in strutture a PhC trasversalmente limitate
La pendenza della light-line dello spazio libero è la velocità della
luce, 3x108 m·s-1
La light-line per un mezzo specifico ha la pendenza data da c/n,
con n indice di rifrazione del mezzo.
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Lo ‘strato’ guidante ha spessore finito a nella direzione z e si
estende all’infinito in tutte le direzioni nel piano
membrana
sottile con ‘aria’ (indice di rifrazione n = 1) sopra e sotto essa.
Affinché esso sia a ‘singolo modo’ sarebbe necessario uno spessore
di circa 0.3 µm!
L’indice di rifrazione della slab potrebbe essere n = 3.5 in
semiconduttore
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Light line e modi per una guida d’onda planare
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Effetti della periodicità: modi di Bloch
Le soluzioni delle equazioni di Maxwell per la propagazione in mezzi
periodici senza perdite sono esse stesse periodiche
soluzioni assumono la forma di onde di Bloch
(modi di Bloch o modi di Floquet-Bloch)
I modi di Bloch ad una data frequenza per una struttura a cristallo
fotonico sono descritti dal prodotto di un termine di propagazione
esponenziale complesso (per ciascuna direzione) moltiplicato per un
termine che ha esattamente la periodicità della struttura del
cristallo fotonico:
Φ
= exp(jkxx)·exp(jkyy)·u(x,y)
u(x,y) ha la periodicità del cristallo fotonico ed uno spettro di
Fourier 2D discreto in uno spazio k per un cristallo fotonico 2D.
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La funzione u(x,y) può avere una dipendenza da z che è determinata dalla
distribuzione ‘verticale’ della struttura 2D PhC, ad esempio uno strato
guidante a con buche, retto da un substrato
I modi di Bloch guidati di una struttura a cristallo fotonico in guida
d’onda stratificata aperta devono avere un indice di rifrazione efficace
maggiore degli indici dei mezzi esterni, in modo che essi siano
opportunamente confinati e giacciano al di sotto delle light-line relative.
In generale la funzione periodica può essere espressa come espansione
in serie di Fourier di componenti esponenziali complessi con termini sia
positivi che negativi del vettore k che sono multipli interi, non nulli del
numero d’onda determinato dalla costante reticolare.
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Zone di Brillouin
Per una struttura con costante reticolare a, il numero d’onda
relativo è 2π/a
In particolare, si può verificare una situazione puramente
stazionaria quando si verifica la condizione di Bragg (= situazione al
bordo della stop-band)
La condizione di Bragg è: k = kB = (+/-) π/a·(intero non nullo)
Questa condizione si verifica a diverse
(frequenze) per diversi modi possibili.
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energie
fotoniche
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Spazio reciproco e zone di Brillouin
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La guida d’onda planare è una traslazione invariante nel piano x-y
Lo strato guidante ha uno spessore finito a nella direzione z e si
estende all’infinito in tutte le direzioni nel piano.
Non esiste in questa guida planare una struttura periodica tale da
dare origine ai modi di Bloch.
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Il reticolo periodico 1D in guida d’onda planare ha la soluzione
funzione di Bloch che è invariante per una qualsiasi traslazione di una
distanza a nella direzione y. Ha simmetria di traslazione continua
lungo x e discreta lungo y
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La struttura NON ha proprietà
di simmetria di traslazione
continua
il periodo base è pari ad a
che è detta costante
reticolare
vettore primitivo del reticolo:
Il vettore che congiunge un punto al suo
identico a distanza di un periodo
ε (r ) = ε (r + R)
Valori differenti di k possono rappresentare
lo stesso modo; es: ky e ky + 2π/α
b = 2π/α
vettore primitivo del reticolo
reciproco
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r
G : insieme di tutti i vettori del reticolo reciproco
Ogni vettore del reticolo si può esprimere come combinazione lineare dei
vettori primitivi del reticolo (a1, a2, a3)
Ogni vettore del reticolo reciproco si può esprimere come combinazione
lineare dei vettori primitivi del reticolo reciproco (b1, b2, b3)
I vettori del reticolo reciproco sono vettori d’onda che verificano la
condizione
exp(jb·a) = 1
b·a = 2πn
La relazione precedente ha un duplice significato:
solo per i vettori d’onda che la verificano l’onda piana ha la stessa
periodicità del cristallo
l’insieme di tali vettori è il reticolo
reciproco
si ha interferenza costruttiva fra due onde ogni volta che la variazione
del vettore d’onda fra onda incidente e diffratta coincide con un vettore
del reticolo reciproco
k - k’ = b
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k e k’ devono avere lo stesso modulo in uno scattering elastico
la
componente del vettore d’onda incidente k lungo la direzione di un
vettore del reticolo reciproco G è pari alla metà della lunghezza di G
si verificano riflessioni di Bragg ogni volta che un vettore k finisce su di
un piano bisettore perpendicolare di un qualsiasi vettore del reticolo
reciproco
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Zone di Brillouin (BZ)
Caso monodimensionale
la condizione di Bragg si realizza quando k finisce sul piano bisettore di un
vettore reciproco, come G = a*.
Poiché a*= 2π/a, k deve essere uguale a π/a.
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Alla stessa conclusione si giunge considerando la condizione per la
riflessione di Bragg nella forma 2d sinθ = nλ
le riflessioni alla Bragg si
Per il caso monodimensionale d = a
realizzano quando k = nπ/a con n = ±1, ±2.
La stessa riflessione di Bragg si verifica quando k raggiunge nπ/a.
Per k = nπ/a si determinano gap di energia dovuti a queste riflessioni.
L’intervallo per k = ±π/a prende il nome di prima zona di Brillouin.
Esternamente a questa vi è la seconda zona di Brillouin, e così via
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Il valore di k è periodico nello spazio k con modulo 2π/a
k può essere sempre sostituito da k + 2πm/a (con m intero).
un valore
Per un’analisi completa della struttura si possono restringere i valori di k
ad un intervallo di lunghezza 2π/a senza la necessità di considerare k al
di fuori di questo intervallo poiché non si guadagna nessuna nuova
informazione.
L’intervallo viene scelto simmetrico attorno a k = 0, cioè -π/a ≤ k ≤ π/a
Zone di Brillouin: definizione introdotta al fine di eliminare ridondanze
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Caso bidimensionale
Il reticolo quadrato con buche/colonne poste a distanza a nelle
direzioni x e y ha il corrispondente reticolo reciproco con punti
spaziati di 2π/a .
La zona di Brillouin è anch’essa quadrata, con siti posti a 2π/a . I
contorni sono a ‘mezza strada’ fra i punti del reticolo.
In principio le linee che formano i contorni sono piani nello spazio
3D recipro.
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Il reticolo triangolare con buche/colonne poste a distanza a nelle
direzioni ad angoli multipli di 60° ha un reticolo reciproco
corrispondente con punti spaziati di 2π/a , anche ad angoli di 60°.
Si noti la rotazione di 30°.
La zona di Brillouin è un esagono regolare, con siti distanziati di
2π/a √3. I contorni sono a ‘mezza strada’ fra i punti del reticolo.
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Reticolo quadrato con buche/colonne spaziate di a nelle direzioni
x e y.
La zona di Brillouin è anch’essa quadrata e si possono sfruttare
opportune simmetrie per restringere ulteriormente la regione di
interesse.
Tale regione si riduce ad un triangolo rettangolo detto zona di
Brillouin irriducibile. Otto di questi triangoli possono riempire la
BZ quadrata.
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Caso tridimensionale
Struttura cubica a facce-centrate ha una BZ nella forma di un
ottaedro troncato
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Tipologie di strutture e
classificazione
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CRISTALLI 1-D
SISTEMA DI RIFERIMENTO:
• Variazioni di ε solo lungo z
• Invarianza a traslazioni nel piano x-y
Modi espressi nella forma di Bloch
H n ,k ,kz (r ) = e
ik ⋅ ρ ik z z
e
un ,k ,kz ( z )
k
Vettore d’onda nel piano x-y può assumere qualsiasi valore
kz
Vettore d’onda lungo z limitato alla 1° regione di Brillouin
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Dispersione dei modi in uno specchio 1D.
La dispersione dipende dal contrasto d’indice.
Nessuna struttura periodica
= no accoppiamento fra le
onde ‘up’ e ‘down’ nello
specchio.
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Struttura periodica
con piccolo contrasto
d’indice = debole
accoppiamento fra le
onde ‘up’ e ‘down’ nello
specchio – piccolo
bandgap.
Struttura periodica
con grande contrasto
d’indice = forte
accoppiamento fra le
onde ‘up’ e ‘down’ nello
specchio - grande
bandgap.
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Distribuzione modale per lo specchio 1D.
Le soluzioni sono onde puramente stazionarie.
Le regioni in blu hanno
costante dielettrica più
alta (ε = 13).
Verde
=
costante
dielettrica più bassa
(ε = 12).
I modi a frequenza più
bassa hanno energia più
concentrata nelle regioni
a più alto indice.
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Struttura a bande per uno specchio 1D.
Si ha sempre una regione di band-gap per il caso 1D.
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Propagazione off-axis
k ≠0
La direzione di propagazione non è più solo z
La radiazione attraversa strati a pari costante dielettrica e non si ha
riflessione coerente che può dare origine ad interferenza distruttiva
INTRODUZIONE DI DIFETTI
“Pbg drogati”
Introducendo irregolarità nella struttura periodica di un PBG,
si possono localizzare dei modi all’interno del gap.
DIFETTO
MATERIALE CON SPESSORE DIFFERENTE
MATERIALE CON INDICE DI RIFRAZIONE DIVERSO
DISTRUZIONE
SIMMETRIA
TRASLAZIONALE
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Lo specchio 1D si trasforma in una microcavità anche semplicemente
cambiando l’indice di rifrazione o lo spessore di un singolo strato.
Dal punto di vista del band-gap fotonico, la struttura periodica ha
ora un difetto e la possibilità di stati nel bandgap = trasmissione.
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STRUTTURE A COLONNA E STRUTTURE A GRIGLIA
STRUTTURE A COLONNE
CON MATERIALE DIELETTRICO A
STRUTTURE A GRIGLIA
PIU’ ALTO
A SECONDA DELLA
CONFIGURAZIONE BG PER:
ε
E’ POSSIBILE UTILIZZARE
ANCHE IL COMPLEMENTARE:
E’ VERO L’OPPOSTO
MODI TE
MODI TM
ENTRAMBI
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In generale:
regioni non connesse di materiale ad alto ε
favoriscono la generazione del BG per la
polarizzazione TM;
regioni connesse di materiale ad alto ε
favoriscono la formazione del BG per la
polarizzazione TE;
entrambe le caratteristiche si produrrà un BG
completo per entrambe le polarizzazioni
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CRISTALLI 2-D
Caratterizzati dalla periodicità della
costante
dielettrica
lungo
due
direzioni.
Nella terza direzione il materiale è
omogeneo.
Modi espressi nella forma di Bloch
ik ⋅ρ ikz z
H n , k , k z (r ) = e
Si ha riflessione per una
direzione d’incidenza
qualunque
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e un,k ,kz ( ρ )
Simmetria: classificazione dei
modi in base alla polarizzazione:
modi trasverso elettrici (TE) e
modi trasverso magnetici (TM).
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Struttura 2D PhC: ‘buche di aria’ in un mezzo
solido ad elevato indice
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Struttura 2D PhC: colonne di un mezzo ad
elevato indice circondate di aria
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Struttura 2D PhC: griglia di un mezzo ad
elevato indice circondata di aria
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Struttura a bande con 2D PBG completo
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Struttura a bande per 2D PBG
Più genericamente, si può dire che ci saranno sempre stop-band
per una struttura a PhC periodica 2D.
Il punto a cui le stop-band si sovrappongono per diverse
direzioni di alta simmetria dipende dalla simmetria del reticolo
cristallino, dal contrasto dell’indice di rifrazione, dalla
dimensione e forma delle ‘colonne’ (e dal fatto che le colonne
abbiano indice più alto o più basso del background).
Il reticolo quadrato è maggiormente anisotropo del reticolo
triangolare.
Anche la polarizzazione, ‘TE’ o ‘TM’, influenza le posizioni di
frequenza della stop-band e la banda.
Il comportamento con PBG completo è già un obiettivo piuttosto
stringente.
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INTRODUZIONE DI DIFETTI
DIFETTO
MATERIALE CON SPESSORE DIFFERENTE
MATERIALE CON INDICE DI RIFRAZIONE DIVERSO
+ IRREGOLARITA’ PUNTUALI O DI LINEA
PUNTUALI: il
campo è localizzato
nel difetto
decadendo
esponenzialmente al
di fuori di esso.
DI LINEA:
possibilità di
realizzare guide
d’onda e percorsi
con varie
sagomature.
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Difetto in una struttura a cristallo fotonico 2D = guida
d’onda.
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Il diagramma mostra la possibilità di stati nel bandgap fotonico (=
trasmissione), per una cavità con difetto formato in un reticolo triangolare 2D
periodico.
Le linee rosse sono modi localizzati per la cavità con difetto formato dal
riempimento progressivo in una singola colonna, portando a zero il raggio della
buca.
Si noti che c’è un numero progressivamente più grande di modi quando il volume
effettivo della cavità aumenta.
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CRISTALLI 3-D
PERIODICITÀ DELLA
COSTANTE
DIELETTRICA IN
TUTTE LE DIREZIONI
A BARRE
STRUTTURE:
A SFERE
Esiste un elevato numero di
strutture e configurazioni però
È difficile avere un BG completo
Una struttura che ha
questa proprietà è l’opale
YABLONOVITE:
ha BG completo, è
una struttura
simile al diamante.
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INTRODUZIONE DI DIFETTI IN STRUTTURE 3-D
PUNTUALI
DIFETTI PUNTUALI: si possono
spostare particolari frequenze dalla banda
d’aria o da quella dielettrica
LOCALIZZANDOLE ALL’INTERNO DEL BG.
DI LINEA
DIFETTI DI LINEA: rimozione di
intere file di dielettrico con la
generazione di percorsi guidanti
allineando il difetto con uno dei
vettori di traslazione del cristallo
vengono mantenute le proprietà di
simmetria traslazionale.
GUIDE
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D’ONDA
Aggiungendo dielettrico creo un
“difetto dielettrico” rimuovendolo
do origine ad un “difetto d’aria”
CAVITA’
RISONANTI
E’ POSSIBILE REALIZZARE UN
ELEVATO NUMERO DI
DISPOSITIVI SFRUTTANDO LE
PROPRIETA’ DEI DIFETTI
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Mapping del band gap
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VARIAZIONE DEI PARAMETRI DI PROGETTO
geometria della cella elementare (quadrata, triangolare, esagonale, ecc.)
rapporto fra gli indici di rifrazione: ε2/ε1
raggio delle colonne: r
valore della costante reticolare: a
“filling factor”: dà una misura della energia elettromagnetica localizzata
nelle regioni dielettriche ad alto indice rispetto all’energia
distribuita in tutto il volume
“MAPPING” DEL BAND GAP
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Mappa dei gap: Reticolo quadrato di colonne con elevata
costante dielettrica
Per il reticolo quadrato di colonne di elevata costante dielettrica,
ci sono grandi aree di comportamento a band-gap TM. Ma nessun
band-gap TE.
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Mappa dei gap: Reticolo quadrato di colonne con bassa
costante dielettrica (aria)
Per il reticolo quadrato di buche di ‘aria’, ci sono significative aree
sia di comportamento a band-gap TM che a band-gap TE. Non c’è
una sovrapposizione per un bandgap completo
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Mappa dei gap: Reticolo triangolare di colonne con
elevata costante dielettrica
Per il reticolo triangolare di colonne di elevata costante
dielettrica, ci sono grandi aree di comportamento a band-gap TM
ed alcune di comportamento a band-gap TE. Le colonne sono più
vicine e accoppiate rispetto al reticolo quadrato
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Benevento, 19-21 giugno 2006
Mappa dei gap: Reticolo triangolare di colonne con
bassa costante dielettrica (aria)
Per il reticolo triangolare di buche di ‘aria’, c’è una regione di
sovrapposizione sia di comportamento a band-gap TM che a bandgap TE. Esiste la condizione di bandgap completo
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Mappa dei gap: Reticolo honeycomb di colonne con
elevata costante dielettrica: struttura a grafite
Per la struttura a grafite di colonne di elevata costante
dielettrica, ci sono grandi aree di comportamento a band-gap TM e
comportamento a band-gap TE. Ma ci sono anche grandi
sovrapposizioni per il PBG completo.
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Dispositivi a
band gap fotonico
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GUIDE
D’ONDA:
ottenute realizzando un
percorso con difetto
Il campo non entrerà nella
regione periodica
ELEVATO
CONFINAMENTO
DEL CAMPO
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GRAZIE ALL’ELEVATO CONFINAMENTO
STRUTTURE CON
CURVATURA FINO A 90° ED
EFFICIENZA 100%
REALIZZAZIONE DI PERCORSI,
CURVE, ACCOPPIATORI,
GIUNZIONI AD Y. ecc
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RIFLETTORI
La formazione delle bande proibite nei cristalli fotonici può essere
sfruttata per la realizzazione di riflettori ottici ad alta efficienza.
Se un fascio ottico incide sulla superficie di una struttura PBG con una
lunghezza d’onda compresa in un intervallo di banda proibita
la
potenza verrà completamente riflessa, a meno di eventuali fattori di
perdita.
L’elevato salto d’indice rende particolarmente efficace questo meccanismo
riflettività anche superiori al 90%
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CAVITA’
RISONANTI:
introduzione di difetti
“d’aria” o “dielettrici”
Localizzazione del campo +
oscillazioni ad elevato Q
DIFETTO
DIELETTRICO
ALLONTANAMENTO
DI UNA
FREQUENZA DALLA
BANDA D’ARIA
DIFETTO D’ARIA
ALLONTANAMENTO
DI UNA
FREQUENZA DALLA
BANDA
DIELETTRICA
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1
0.8
SOI
a.u.
0.6
0.4
0.2
Q≥
150
Q≥
850
0
1500
1510
1520
1530
1540
1550
1560
1570
1580
Wavelength / nm
Spessore core in Si = 340 nm, Spessore strato SiO2 substrato = 3 µm
Diametro delle buche = 250 nm, Periodo = 420 nm
Diametro delle buche interne = 150 nm
Diametro delle buche di accoppamento = 150 nm and 210 nm
H. Chong et al, PD paper, ECIO, Prague, April 2003
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H. Chong et al, Photonic
Europe, 2004
∆λ ~ 5 nm
1
Corrente
0 .9
Q-factor > 500
Transmission / A. U.
0 .8
0 mA
0 .3 m A
0 .5 m A
0 .7 m A
0 .8 m A
0 .9 m A
1 mA
1 .2 m A
0 .7
0 .6
0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0
1520
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1525
1530
W a v e le n g t h / n m
1535
1540
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Comportamento simile ad un
INTERFEROMETRO
Fabry Pérot
⎛ 2π ⎞
(2nL ) ⋅ ⎜ ⎟ = 2mπ
⎝ λ ⎠
Laser ad eterostruttura
GaAs/AlGaAS con tre
strati di quantum dots in
InAs auto-organizzati come
materiale attivo
C.J.M.Smith,
T.F.
Krauss,
R.M.De La Rue ed al., IEE Proc
-Optoelectron, Vol 145, No 6,
December 1998
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∆λ =
λ
mF
Larghezza del picco
di trasmissione
L = Lc + 2Lp
BG completo per la polarizzazione TE
per λ fra 890 e 1120 nm
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GaAs / Alx Oy
C.Ciminelli ed al., Optic Express,
Vol. 13, No. 24, Novembre 2005
C. Ciminelli ed al., IEEE JLT, Vol.
23, No. 2, Febbraio 2005
R/a che massimizza il band gap non
dipende dalla profondità di etching ma
solo dalla geometria del cristallo
Il reticolo di forma quadrata
possiede in massimo valore di
riflettività.
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GaAs / Alx Oy
Aumentando n aumenta la
selettività mentre decresce
l’FSR
FWHM: aumenta con il numero di
dispositivi posti in cascata
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Fabbricazione del dispositivo
Le guide d’onda hanno un core di silicio spesso sia 340 nm che 260 nm ed un
substrato di SiO2 di 3 µm
Uno strato di silice spesso 200 nm è stato depositato per phase enhanced
chemical vapour deposition sullo strato di Si per operare come maschera
durante il processo di dry-etch
La struttura è stata definita con litografia electron-beam ad una tensione
di 50 kV con resist 40 % ZEP-520A, spesso circa 140 nm
La definizione della struttura è avvenuta attraverso il reactive ion etching
della maschera di SiO2 ed infine del core di Si
a = 380, 385, 390 nm (costante reticolare)
Strutture fabbricate
R = 148, 150, 153 nm (raggio delle buche)
W = 3 µm (larghezza della guida ridge)
N = 4 (numero di righe per ciascun riflettore)
d = 8 µm (lunghezza della cavità)
tov= 100 nm (spessore dello strato di SiO2 residuo dopo l’etching)
h = spessore del (il substrato di SiO2 blocca il processo di etching)
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a = 380 nm; R = 148 nm
C.Ciminelli ed al., ECOC 2004,
PD paper
FSR = 37 nm
Lunghezze d’onda di risonanza [nm]
1489.7
1525. 8
1563.2
Q-factor
1900
1400
1500
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Confronto con le simulazioni
Spettro sperimentale
Bloch-Floquet
Risonanze con 2D - FDTD [nm]
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1481.3
1524.5
1571.9
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FILTRO CON TUNING TERMICO
Gli indici di rifrazione dei semiconduttori come silicio, fosfuro
d’indio ed arseniuro di gallio fortemente dipendenti dalla
temperatura.
I processi di formazione delle guide d’onda che comprendono
crescita epitassiale, wafer-bonding ed ossidazione selettiva possono
indurre elevati livelli di stress nei sistemi materiali anche
intenzionalmente.
Spessore NiCr =
Resistenza ~ 1kΩ.
120
nm.
PhC
riflettori
Cr
Ni te r
a
He
Deposizione di un sottile film
metallico come heater sulla
regione della cavità.
Strato buffer di silice con
spessore ~300 nm per ridurre
le perdite ottiche.
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Detector signal / µV
35
30
0V
25
1.5V
Dimostrazione di un
blue
shift
della
risposta del filtro per
una
tensione
sullo
heater di 1.5 V. Piccolo
shift di ~ 0.06 nm.
20
15
10
5
0
1526.4 1526.5 1526.6 1526.7 1526.8 1526.9
1527
1527.1 1527.2
Shift in direzione
opposta rispetto a
quella attesa.
Wavelength / nm
Problemi con il trasporto termico attraverso lo strato di ossido troppo
spesso.
Shift indotto dalle tensioni meccaniche
R. De La Rue ed al., OWTNM14, Luglio 2005
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Evoluzione dei Laser DFB e DBR
grazie alle ridotte dimensioni
LASER
Localizzazione del campo +
oscillazioni ad elevato Q
Possibilità di realizzare sorgenti con
larghezza dell’impulso contenuta
+ elevata purezza spettrale grazie alla
riduzione dell’ASE
Possibilità di realizzare emissioni a diverse λ
variando le dimensioni del difetto puntiforme
Cavità semplice
tunabili con PBG
+
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filtri
Laser a schiera
Unico laser per diverse λ
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Laser e amplificatori di tipo ‘band-edge
Le curve di dispersione si appiattiscono in corrispondenza dei bordi delle
bande proibite
la velocità di gruppo vg deve annullarsi, poiché la
propagazione dei modi ottici è inibita dalla riflessione di Bragg.
Un modo ottico ad una frequenza a bordo banda
è rallentato dalle
continue riflessione parziali causate dalla periodicità dell’indice di
rifrazione
materia
si ha un’interazione molto intensa tra luce e
laser a band-edge
Sono cristalli fotonici in materiale semiconduttore in cui grazie alla
riflessione distribuita nel cristallo si può verificare emissione di un fascio
laser alla frequenza del bordo della banda proibita con alte potenze di
uscita e bassissime correnti di soglia.
Lo stesso principio può essere sfruttato per fabbricare amplificatori
ottici ad alta efficienza quantica.
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VCSEL
L’uso del cristallo fotonico,
consente la soppressione dei
modi laterali più alti in un
VCSEL a grande apertura per
mezzo del meccanismo di
propagazione a singolo modo
che è comune anche alle holey
fiber a PhC
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FIBRE
OTTICHE TRADIZIONALI: Core ad alto
FIBRE
OTTICHE CON PBG: Introduzione di colonnine d’aria lungo tutta
la lunghezza delle fibre
Possibilità di riempire
colonnine con materiali ad:
ε
e cladding a basso
basso ε
Fibre tradizionali
alto ε
cavità
ε
PET (polietilene tereftalato) e Nylon 66
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Metodi di analisi
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I cristalli fotonici 2D in guida slab sono tra le strutture più promettenti per lo
sviluppo dei futuri circuiti ottici a larga scala d’integrazione
Uno dei problemi fondamentali che ancora oggi limita la diffusione di
dispositivi basati su queste strutture consiste nella scarsità di efficienti
tecniche di analisi e simulazione, che permettano di ridurre i tempi di
progettazione fino a livelli competitivi con gli attuali circuiti elettronici.
Ciò dipende soprattutto dalla effettiva tridimensionalità del problema
elettromagnetico che rende l’analisi particolarmente costosa dal punto di vista
computazionale
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METODO FDTD (Finite Differences Time Domain)
Si basa sulla risoluzione numerica delle equazioni di Maxwell attraverso la
discretizzazione dell’asse dei tempi e dello spazio
il
problema
differenziale viene trasformato in un problema puramente algebrico
La tecnica di analisi possiede una notevole generalità ed è stata proposta
anche per lo studio dei cristalli fotonici in guida d’onda planare
Il dominio di integrazione numerica delle equazioni deve essere finito.
La variante bidimensionale del metodo, nota come 2D-FDTD, sfrutta
l’approssimazione dell’indice effettivo per trasformare il problema
tridimensionale di partenza in un più semplice problema 1D o 2D
non
sono richieste grosse risorse computazionali ma l’accuratezza dei risultati è
molto bassa in quanto non si tiene in alcun modo conto delle perdite di potenza
dovute alla irradiazione out-of-plane.
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La versione tridimensionale del metodo consente di superare le limitazioni del
2D-FDTD al prezzo di uno sforzo computazionale molto maggiore.
La tecnica in esame può anche essere impiegata per il calcolo delle curve di
dispersione. Il dominio di integrazione è ridotto alla singola cella elementare
E’ possibile calcolare i diagrammi a bande anche nelle regioni spettrali dove
non esistono modi perfettamente guidati. Tuttavia non viene fornita
direttamente alcuna stima del coefficiente di attenuazione dei modi irradiati,
che rappresenta un utile parametro di progetto.
Simulazioni 3D-FDTD sono state anche utilizzate per lo studio delle guide
d’onda realizzate in cristalli fotonici 2D.
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In generale si può affermare che il metodo 3D-FDTD ha il vantaggio di
consentire un’analisi tridimensionale molto accurata, comprensiva di tutti i
fenomeni di scattering e di irradiazione all’esterno del piano di periodicità.
Tuttavia i costi computazionali sono estremamente alti e crescono
rapidamente all’aumentare delle dimensioni della struttura da analizzare
Per questo motivo il metodo risulta poco conveniente in fase di progettazione
dei dispositivi, essendo soprattutto utile per una successiva ottimizzazione e
verifica accurata dei risultati.
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METODO DELLE SUPERCELLE
I metodi che operano nel dominio del tempo permettono di ricavare dati
relativi ad un ampio intervallo di frequenze con un’unica simulazione.
La risoluzione spettrale è fortemente influenzata dalla durata della
simulazione stessa
Le tecniche che operano direttamente nel dominio della frequenza
consentono, invece, di selezionare a priori la lunghezza d’onda, al prezzo di
una simulazione per ogni frequenza di interesse. Tra queste si ricorda
l’approccio delle supercelle.
Il punto di partenza è rappresentato dalle equazioni di Maxwell nel dominio
della frequenza.
Le componenti del campo elettromagnetico possono essere sviluppate in
serie di Fourier rispetto alle direzioni dello spazio lungo le quali la
struttura PBG esibisce un andamento periodico
il numero di
equazioni aumenta ma si riduce il numero di variabili indipendenti del
problema differenziale
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Nel caso di strutture perfettamente periodiche, ad esempio i cristalli
fotonici 3D, si passa da un sistema di equazioni differenziali ad un sistema
puramente algebrico.
Purtroppo questo non accade per le strutture PBG in guida, che non hanno
un andamento periodico rispetto alla direzione perpendicolare al piano del
reticolo.
L’approccio delle supercelle risolve il problema introducendo una periodicità
fittizia. Ci si riconduce all’analisi di una struttura equivalente, ottenuta
ripetendo periodicamente il cristallo fotonico di partenza lungo la direzione
perpendicolare al piano del reticolo.
L’equivalenza sussiste solo se le supercelle, così definite, sono
sufficientemente distanziate da non creare reciproco accoppiamento.
La condizione è automaticamente soddisfatta nel caso dei modi guidati, ma
in presenza di fenomeni d’irradiazione out-of-plane diviene necessario
isolare dal punto di vista elettromagnetico le supercelle adiacenti
attraverso l’introduzione di strati PML nel substrato e nel superstrato di
ciascuna di esse
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Rispetto alla tecnica FDTD, il metodo è in grado di sfruttare pienamente
l’eventuale periodicità della struttura al fine di ridurre la complessità
computazionale, pur conservando una totale generalità.
Gli svantaggi sono legati alle risorse di calcolo richieste. Le strutture PBG in
guida sono, infatti, caratterizzate da brusche discontinuità dell’indice di
rifrazione, che per essere riprodotte accuratamente richiedono un gran
numero di coefficienti di Fourier. La memoria occupata e il tempo di calcolo
possono essere anche superiori rispetto al metodo 3D-FDTD. Inoltre la
discretizzazione lungo l’asse x fa sì che lo sforzo computazionale cresca
molto rapidamente all’aumentare della lunghezza dei dispositivi analizzati.
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METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
Opera nel dominio della frequenza e si basa sulla discretizzazione della
struttura da analizzare in un insieme di regioni finite, dette elementi,
all’interno delle quali l’indice di rifrazione è considerato costante
Il campo elettromagnetico viene espresso in forma analitica in ciascun
elemento mediante funzioni che soddisfano localmente le equazioni di
Maxwell e dipendono da un certo numero di parametri incogniti.
Imponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenziali di campo
sulle superfici di separazione tra elementi distiniti, si ottiene un sistema
algebrico la cui soluzione permette di determinare tutti i parametri incogniti
del problema.
Si tratta di una tecnica che possiede una totale generalità ed è stata
proposta anche per lo studio delle cavità risonanti in cristalli fotonici in guida
planare
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E’ possibile calcolare direttamente le curve spettrali di trasmissione e
riflessione delle strutture risonanti; al contrario, la procedura per il calcolo
delle curve di dispersione è estremamente laboriosa.
Purtroppo l’implementazione tridimensionale, l’unica utile per un’analisi
accurata dei cristalli fotonici in guida, comporta notevoli costi
computazionali, che aumentano al crescere delle dimensioni delle strutture
studiate. La periodicità nel piano del reticolo non viene, infatti, in alcun modo
sfruttata per diminuire i tempi di calcolo e la memoria occupata.
Anche questo metodo non può essere, quindi, considerato un efficiente
strumento progettuale e risulta più che altro adatto ad una successiva fase
di ottimizzazione e verifica accurata dei risultati.
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METODO DELLA MATRICE DI SCATTERING
Il metodo della matrice di scattering è stato originariamente proposto per
l’analisi dei cristalli fotonici bidimensionali
Il punto di partenza è lo studio dello scattering di un’onda elettromagnetica
da parte di un cilindro omogeneo di altezza infinita.
Il campo elettromagnetico incidente, il campo diffratto all’esterno del
cilindro ed il campo trasmesso al suo interno sono espressi come
combinazioni lineari di opportune funzioni base ortornormali, che soddisfano
localmente le equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza.
Per effetto della geometria cilindrica del problema, la scelta delle funzioni
di Bessel garantisce i risultati migliori in termini di efficienza
computazionale.
Inoltre è possibile soddisfare automaticamente la condizione di
Sommerfield di radiazione all’infinito utilizzando funzioni di Bessel di prima
specie per il campo incidente e trasmesso, e funzioni di Bessel modificate di
seconda specie per il campo diffratto.
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Le incognite del problema sono rappresentate proprio dai coefficienti di
espansione del campo diffratto e del campo trasmesso, essendo invece
assegnato il campo incidente.
Questi ultimi possono essere determinati come superficie del cilindro. E’,
quindi, possibile calcolare la matrice di scattering che moltiplicata per il
vettore dei coefficienti del campo incidente, fornisce i coefficienti del
campo diffratto e del campo trasmesso.
L’estensione del metodo alle strutture PBG 2D è concettualmente molto
semplice, essendo queste ultime interpretabili come insiemi ordinati di
cilindri omogenei.
Molto recentemente è stata sviluppata una variante della tecnica in esame,
che può essere impiegata per lo studio dei cristalli fotonici 2D in guida
planare
Le difficoltà maggiori in questo caso sono rappresentate dalla presenza di
cilindri di altezza finita e dalle variazioni dell’indice di rifrazione lungo la
direzione perpendicolare al piano del reticolo.
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Per risolvere il problema, anzitutto vengono distinte le regioni delle buche
dalla regione della guida slab
Il campo elettromagnetico viene, quindi, espresso come combinazione
lineare dei modi TE e TM della struttura planare multistrato senza reticolo,
calcolati applicando la tecnica della separazione delle variabili in coordinate
cilindriche.
Le variazioni del campo elettromagnetico nel piano del reticolo sono ancora
una volta rappresentate mediante funzioni di Bessel. Si utilizzano, in
particolare, funzioni di Bessel di prima specie per il campo incidente e per i
campi trasmessi nelle regioni delle buche, e funzioni di Bessel modificate di
seconda specie per i campi diffratti.
I vantaggi computazionali rispetto ad altri metodi quali il 3D-FDTD o il
metodo delle supercelle, derivano dall’impiego di una base di espansione
costituita da funzioni di Bessel, particolarmente adatta per problemi di
scattering in geometria cilindrica.
Purtroppo i tempi di calcolo e la memoria occupata sono proporzionali al
quadrato del numero di buche presenti nella struttura. Per tale ragione
anche il metodo della matrice di scattering non può essere utilizzato come
efficiente strumento di progetto per dispositivi PBG di grandi dimensioni,
che contengono un numero elevato di celle elementari.
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METODO DI BLOCH-FLOQUET
Consente il calcolo rigoroso dei diagrammi di dispersione dei cristalli
fotonici 2D in guida planare, fornendo informazioni anche sulle perdite di
irradiazione out-of-plane.
I modi di Bloch del reticolo derivanti da questo tipo di analisi possono
essere utilizzati, inoltre, come base di espansione del campo
elettromagnetico nelle strutture PBG di dimensioni finite, permettendo una
rapida valutazione delle curve di trasmittività e riflettività.
Queste caratteristiche rendono la tecnica in esame uno dei più efficienti
strumenti per il progetto delle microcavità risonanti Fabry-Perot realizzate
in cristalli fotonici in guida planare.
Il metodo è stato inizialmente proposto per lo studio delle strutture PBG
1D. La sua estensione ai cristalli fotonici 2D in guida slab è risultata non
banale per effetto dei notevoli problemi numerici che si manifestano nel
caso di strutture realmente tridimensionali.
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