Induzione
La legge dell’induzione di Faraday combina gli effetti dei campi
elettrici e delle correnti, infatti sappiamo che
Corrente + campo magnetico ⇒ momento torcente motore elettrico
Momento torcente + campo magnetico ⇒ corrente generatore
Osservazioni sperimentali
1. Corrente generata solo se c’è moto relativo tra
spira e magnete, i = 0 quando il moto relativo
termina
2. La rapidità del movimento influisce sull’
intensità della corrente
3. Avvicinando il polo N alla spira la corrente
circola in senso orario, allontanandolo in senso
antiorario, la situazione si inverte con il polo
Sud
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1
Se abbiamo una corrente indotta, allora il lavoro fatto nell’unità di
tempo per far passare gli elettroni di conduzione attraverso la spira è
la f.e.m. indotta. Induzione elettromagnetica
Tutto fermo, spire elettricamente isolate. Chiudo
il circuito e vedo i2 nella seconda spira poi tutto
a zero di nuovo. Apro S e per un istante vedo una
corrente in senso opposto al precedente.
Varia i1 ⇒ ho i2 indotta, i1 stazionaria ⇒ i2 = 0
Fenomeni di induzione dipendono dalla variazione
del flusso del campo magnetico.
Legge di induzione di Faraday
In una spira viene indotta una f.e.m. quando il numero delle linee di
forza del campo magnetico che attraversano la spira varia.
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2
Considerando il flusso di B attraverso la spira, quantitativamente si ha
r r
r r
r
Φ = ∫ B • dA se B ⊥ dA e B uniforme su tutta la spira
r
B
A
Φ Br = BA
[Φ ] = Wb = Tm
r
B
2
La f.e.m. indotta in una spira è uguale alla derivata temporale, cambiata
di segno, del flusso del campo magnetico attraverso quella spira
(Faraday + Lenz)
dΦ Br
f .e.m. = −
dt
La f.e.m. si oppone alla variazione di flusso di B per ripristinare la
situazione originaria. Se abbiamo una bobina con N spire
dΦ Br
f .e.m. = − N
dt
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3
Il flusso magnetico concatenato varia se:
1. varia l’intensità di B attraverso la bobina
2. varia l’area della bobina o la parte di essa interessata da B
3. varia l’angolo tra B e il piano in cui giace la bobina
C’è poi il caso di un tratto rettilineo di circuito che si muove tagliando
le linee di flusso di B (flusso tagliato)
Legge di Lenz (1834)
La corrente indotta nella spira ha un verso tale che il B’, generato dalla
corrente indotta, si oppone alla variazione del B che l’ha originata.
Conservazione dell’energia
La f.e.m. ha il verso della corrente indotta
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4
Avvicino il magnete ⇒ B attraverso
la spira ?, si induce una i che si
oppone all’aumento di B.
Se il magnete si allontana la corrente
è oraria (la spira presenta il Sud
verso il magnete).
Se la barra è lontana il flusso attraverso la spira è piccolo. Quando la
barra si avvicina con il N alla spira, il flusso concatenato aumenta ⇒ si
generano i e Bi che si oppongono alla variazione di flusso
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5
y
B
R
z
S
x
VE
vxB
P
Q
v
l
Consideriamo due conduttori in grado di muoversi
senza attrito uno rispetto all’altro. Il circuito
(PQRS) così realizzato si trova in una zona in cui
∃ un B uniforme e ⊥ al circuito. Il tratto PQ si
muove con velocità v
Sulle cariche di PQ agisce la forza di Lorentz
(qv x B) il cui effetto è quello di creare un campo
elettrico equivalente Eeq tale che
r
r
r r
r r
r r
qv × B = qEeq ⇒ Eeq = v × B ⇒ Eeq = vB v ⊥ B
Tra P e Q esiste una d.d.p. /
∆V = Eeq l = vBl
Sugli altri lati non ci sono cariche in moto ⇒ non ci sono forze
∫
PQRS
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r
r
Eeq • dl = ∆V = vBl
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Poniamo ora SP = x, l’area del circuito vale (lx) e il ΦB è
Φ =∫
r
B
dΦ Br
dt
PQRS
r r
B • u n dS = Blx
= Blv = ∆V relazione tra i moduli
Pertanto abbiamo che il flusso di B aumenta e il segno della d.d.p. è
quello del prodotto vettoriale vxB
ω
Eeq = vB sin θ
vxB
un
l
θ = ωt
P
S
x
R
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v θ
Q
r
r r
E eq = v × B per i punti di PQ e di RS
B
Sui lati orizzontali non ci sono forze dovute a B
(
)
r r
∆V = ∫ E • dl = Eeq PQ + SR = 2lvB sin θ
L
1
v = ω x S = lx
2
1
∆V = 2l ωx B sin ωt = ωB(lx )sin ωt = ωBS sin ωt
2
x = SP
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7
Per il flusso si ha
r r
Φ = B • un S = BS cosθ = BS cos ωt
r
B
−
dΦ Br
dt
= ωBS sin ωt = ∆V
La legge dell’induzione f.e.m.=-(dΦB /dt) può essere impiegata quando
la variazione del flusso di B è dovuta ad una variazione di B, oppure
ad una deformazione del circuito su cui si calcola la f.e.m. (varia S), o
ad entrambe.
Quando, in seguito ad una variazione del flusso
di B, nel circuito viene indotta una f.e.m. e quindi
F una corrente che, circolando, surriscalda il circuito
stesso ⇒ si genera energia termica. Si deve quindi
fornire energia al sistema magnete + spira per
bilanciare la potenza dissipata per effetto Joule
Per far muovere la spira con velocità v bisogna applicare una forza F
che si deve opporre ad F1, la spira si muove con v = costante se F ed F1
sono uguali in modulo.
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La potenza in gioco vale
P = Fv
Sappiamo che f.e.m. = BvL ⇒ i = f.e.m./R = BvL/R, R è la resistenza
globale della spira
F2 ed F3 sono uguali ed opposte ⇒ solo F1 deve essere bilanciata da F
r
F1 = iLB = F
Pm
2
(
BLv )
= iLBv =
R
Potenza meccanica
La potenza termica dissipata è
Pth
2
(
)
BLv
= i2R =
Potenza termica
R
Le due potenze sono uguali quindi il lavoro fatto per spostare la spira
viene convertito completamente in energia termica
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1. Campi elettrici generati da cariche: le linee di forza partono dalla
carica positiva e finiscono su quella negativa
2. Campi elettrici generati da variazioni di flusso: le linee di forza
sono chiuse su se stesse
r r
1.∫ E • dl = 0
L
r r
dΦ Br
2.∫ E • dl = f .e.m. = −
L
dt
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Un induttore od induttanza è un elemento di un circuito in grado di
produrre un campo magnetico noto in una zona predeterminata dello
spazio. L’induttanza è definita come
NΦ Br
L=
i
[L] = Henry
NΦB = flusso concatenato
1H = 1Tm2 A−1
Calcoliamo ora l’induttanza di un solenoide
Prendiamo un solenoide molto lungo di sezione A e ne calcoliamo
l’induttanza per unità di lunghezza. Prendiamo un pezzo di solenoide
di lunghezza l vicino al centro del solenoide stesso, il flusso concatenato
vale
NΦ Br = (nl )( BA)
B = µ 0 in
NΦ Br (nl )µ 0 inA
L=
=
= µ n 2lA
i
i
L
= µ0n 2 A
l
0
L per unita' di lunghezza
L è una quantità puramente geometrica
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Autoinduzione
Se in un’induttanza varia la corrente i, si genera una f.e.m. indotta E L
E L = forza elettromotrice autoindotta
EL = −
d (NΦ Br )
dt
d ( Li )
di
EL = −
= −L
dt
dt
NΦ Br
i
=L
E L dipende dalla rapidità della variazione di i nella bobina.
L’induttanza ideale ha resistenza nulla
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Circuiti RL
Portiamo S in a e chiudiamo il circuito. Abbiamo
una f.e.m = E improvvisa nel circuito e comincia
a circolare una corrente i che cresce nel tempo.
Nell’induttanza si genera un E L indotta in verso
opposto alla di/dt
EL = −
di
L
dt
la corrente nella resistenza R è minore di E/R. Dopo un certo tempo i
arriva asintoticamente al valore massimo ed E L cessa di esistere.
Il ruolo di L è allora quello di contrastare inizialmente il crescere di i
nel circuito, in seguito, raggiunto il valore massimo di i, L si comporta
come un conduttore.
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Nel dettaglio si ha
di
E = iR + L
dt
Abbiamo una equazione differenziale la cui soluzione i(t) deve
soddisfare alla condizione iniziale i(0) = 0
i(t)
E/R
tR
−
E
i(t ) = 1 − e L
R
tL =
R
L
τ C = RC
VR = iR
VR ⇒ E per t ? ∞
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0 per t = 0
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t
t
−
di LE R − τ L
VL = L =
e = Ee τ L
dt
R L
VL ⇒ 0 per t ? ∞
E per t = 0
Vediamo ora la fase di scarica
L
di
+ Ri = 0
dt
t
i (0) =
E
R
i (∞ ) = 0
t
−
E −τ L
i = e = i0 e τ L
R
Energia immagazzinata in un campo magnetico
di
E = iR + L
dt
di Conservazione dell’energia in un
Ei = i R + Li
dt circuito formato da una maglia
2
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15
Se dq passa attraverso un generatore di f.e.m. E nel tempo dt, il
generatore compie un lavoro Edq; potenza sviluppata dal generatore è
E
dq
= Ei ⇒ Ei energia immessa nel circuito dal
dt
del generatore nell' unita' di tempo
La potenza dissipata per effetto Joule vale Ri2
potenza con cui l’energia
dEL
di
= Li
dE L = Lidi
magnetica viene immagazzinata
dt
dt
in L
∫
EL
0
dEL = ∫ Lidi
0
1
EL = i 2 L
2
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i
1 q2
EC =
2C
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Densità di energia del campo magnetico
Consideriamo un tratto di lunghezza l di un solenoide infinito di sezione
A; il suo volume è (Al). In questo volume deve essere racchiusa tutta
l’energia magnetica immagazzinata nel tratto l del solenoide dato che
B = 0 fuori dal solenoide. L’energia deve essere distribuita in modo
uniforme nel volume, essendo B uniforme nel solenoide.
EL densità di energia del
Al campo magnetico
1 2
1 Li 2
L
EL = Li ⇒ u L =
= µ 0n 2 A
2
2 Al
l
1
1 B2
2 2
u L = µ 0n i =
B = µ 0 ni
2
2 µ0
uL =
Per il campo elettrico avevamo ottenuto
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1
uE = ε 0 E 2
2
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Mutua induttanza
Accostiamo due bobine
come in fig. (a)
La bobina 1 è percorsa
dalla corrente i1 e crea
un campo B1 che induce
una f.e.m. nella bobina 2.
Viceversa se nella bob. 2
circola la corrente i2, si
crea un campo B2 che
induce una f.e.m. nella 1
In questi casi si parla di mutua induzione, caratterizzata dal coefficiente
di mutua induzione M
r
NΦ
M 21 = 2 21
i1
NΦ B
L=
i
M 21i1 = N 2Φ 21
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Dato che i1 varia nel tempo si ottiene
M 21
di1
dΦ 21
= N2
dt
dt
Ricordando la legge di Faraday, abbiamo
− N2
dΦ12
di
= E 2 = − M 21 1
dt
dt
Se adesso analizzo come 2 influisce su 1 ottengo
E1 = − M 12
di2
dt
Si può dimostrare che M12 = M 21=M che rappresenta il coefficiente di
mutua induzione del sistema formato dalle due bobine. L’unità di misura
di M è l’Henry (H).
di
di
E1 = − M
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2
dt
E2 = −M
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1
dt
19
