CORSO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA CON LABORATORIO

CORSO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA CON LABORATORIO
Classe A059 – VII ciclo SSIS – Crediti 15, ore totali 130.
Le lezioni si svolgono presso l’aula X del Dipartimento di Matematica, via Campi 213/b
Docente responsabile: N.A. Malara
Collaboratori per i laboratori:
L. Gherpelli, R. Iaderosa, G. Navarra, R. Nasi, S. Marchi.
Calendario
Modulo di didattica della geometria
25 gennaio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (R. Iaderosa)
laboratorio: introduzione al software Cabrì. Costruzione delle principali trasformazioni
geometriche. Individuazione di invarianti per un dato tipo di trasformazioni. Figure mutate in
sé da particolari trasformazioni. Costruire figure utilizzando le trasformazioni.
30 gennaio, lunedì dalle 17,15 alle 19,15
Poliedricità della geometria e problemi del suo insegnamento. Come gestire la complessità del
suo insegnamento: il contributo di F. Speranza.
1 febbraio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (R. Iaderosa)
laboratorio: Argomentare e dimostrare: caratteristiche del discorso argomentativo e
dimostrativo a confronto. Individuazione di attività proponibili nella scuola media ed esame di
prestazioni possibili da parte degli allievi di questo livello scolare.
Le costruzioni geometriche con riga e compasso per avviare ad uno studio teorico della
Geometria. Le costruzioni e il software Cabri. Analisi di procedimenti.
6 febbraio, lunedì dalle 17,15 alle 19,15 (N. Malara)
lo sviluppo del discorso geometrico: il problema del coordinamento dei registri rappresentativi
8 febbraio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (R. Iaderosa)
laboratorio Le rappresentazioni esterne nel fare Geometria: il problema del coordinamento tra
vari registri di rappresentazione (linguistico, grafico, simbolico,..) in costruzioni e attività
geometriche. Il problema geometrico come contesto ricco per apprendere e utilizzare le
rappresentazioni.
13 febbraio, lunedì dalle 17,15 alle 19,15 (N. Malara)
La geometria nello spazio. Individuazione delle principali problematiche didattiche. Sulla
difficoltà di visualizzazione mentale e di rappresentazione di oggetti tridimensionali.
15 febbraio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (R. Iaderosa)
laboratorio: I concetti geometrici: immagini mentali, concetti figurali. Modelli materiali (e
virtuali) per costruire i concetti geometrici. Analisi di modelli e produzione di enunciati
attraverso l’uso di modelli dinamici, materiali e virtuali..
20 febbraio, lunedì dalle 17,15 alle 19,15 (N.A. Malara)
laboratorio Riconoscimento di solidi, proprietà caratterizzanti classi di solidi. Solidi e loro
sviluppi. Alcuni risultati esemplari raggiunti da allievi in attività di gruppo e nel lungo termine.
22 febbraio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (R. Iaderosa)
laboratorio: Aspetti linguistici e logici nell’insegnamento della Geometria. La strutturazione
degli enunciati e la loro formulazione. Esemplificazioni e analisi di attività. I “vincoli” nella
costruzione della figura e le”ipotesi” di un enunciato. Esplorazioni geometriche con Cabrì per
educare l'allievo a formulare congetture e a ragionare sotto ipotesi.
Modulo di didattica del problema
27 febbraio, lunedì dalle 17,15 alle 19,15 (N. A. Malara)
Mutamenti di prospettiva nella didattica del problema. L’analisi del testo. La verbalizzazione del
processo risolutivo. Analisi di protocolli di allievi su problemi logico relazionali, problemi
aritmetici e geometrici. Devoluzione agli allievi della costruzione di problemi in vari ambiti:
risultati di esperienze.
1 marzo, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N. A. Malara)
Laboratorio su problemi probabilistici. Analisi di attività operative e difficoltà incontrate dagli
allievi. L’uso dei grafi ad albero nella risoluzione di problemi probabilistici: riflessioni sul
significato delle varie parti del grafo in relazione al problema modellizzato.
8 marzo, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N. A. Malara)
Problemi moltiplicativi ed esplorazione di prime situazioni di proporzionalità diretta: il ruolo
della discussione per l’attivazione del pensiero proporzionale.
Modulo di didattica degli ambiti numerici
5 aprile, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N. A. Malara)
Analisi di attività salienti di un percorso esperienziale e per problemi di approccio agli interi
relativi. La regola dei segni ed il trattamento delle espressioni.
12 aprile, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N. A. Malara)
Sulla didattica dei razionali: sulla rappresentazione decimale dei razionali. Legami tra
proprietà della frazione ridotta ai minimi termini e caratteri dell’allineamento decimale. La
rappresentazione dei razionali sulla retta e difficoltà riscontrate negli allievi. Rappresentazioni
approssimate di reali. Rivisitazione della teoria delle proporzioni.
19 aprile, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N. A. Malara)
La costruzione mediante discussione di classe delle operazioni di addizione e moltiplicazione nei
razionali. Analisi di protocolli di allievi in relazione a prove individuali di verifica.
L’ordinamento nei razionali, confronto con l’ordinamento nei naturali e negli interi. Analisi di
protocolli di allievi in relazione a prove individuali di verifica.
Modulo laboratoriale su “Lo sviluppo del ragionamento proporzionale”
26 mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (L. Gherpelli)
Sul ragionamento proporzionale: riesame di problemi moltiplicativi nell’ottica della relazione di
proporzionalità.
3 maggio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (L. Gherpelli)
Situazioni problematiche più complesse. Aspetti critici nello sviluppo del pensiero proporzionale
10 maggio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (L. Gherpelli)
Analisi di protocolli di alievi relativi alle strategie da loro attivate nella risoluzione di problemi
di proporzionalità
17 maggio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (L. Gherpelli)
La relazione di proporzionalità e le sue rappresentazioni. La proporzionalità inversa
Modulo di didattica dell’algebra (I parte)
24 maggio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N.A. Malara)
Difficoltà in algebra. L’early algebra e l’approccio linguistico. Vedere il generale nel
particolare. La modellizzazione algebrica, Risoluzione di problemi algebrici e approccio ad
equazioni e disequazioni lineari.
31 maggio, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N.A. Malara)
Relazioni funzionali in contesti vari, rappresentazioni diverse e cordinamento tra le
rappresentazioni. Sequenze come relazioni funzionali, loro modellizzazione algebrica.
Modulo laboratoriale su “Aspetti relazionali dell’aritmetica ed avvio precoce all’algebra”.
7 giugno, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (G. Navarra)
Richiami sulle tematiche connesse con l’avvio precoce al pensiero algebrico (early algebra).
Intrecci fra aritmetica e algebra, relazioni fra linguaggio naturale e linguaggio algebrico, la
metafora di Brioshi e le traduzioni fra linguaggi. Il balbettio algebrico.
Laboratorio: Le piramidi di numeri; lo sviluppo del pensiero relazionale. rappresentazione della
rete di legami fra i numeri presenti nelle piramidi; l’evoluzione dell’attività dall’ambiente
aritmetico a quello algebrico, uso delle lettere e risoluzione ingenua di equazioni.
14 giugno, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (G. Navarra)
Laboratorio: la bilancia a piatti come metafora dell’equazione; si utilizza lo schema della
bilancia come supporto per una rappresentazione simbolica di situazioni che crei i fondamenti
semantici per le equazioni lineari e per i principi di equivalenza; scrittura di equazioni come
rappresentazione di situazioni problematiche, elaborazione della rappresentazione ai fini della
risoluzione della situazione. Studio di problemi verbali sempre più complessi.
21 giugno, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (G. Navarra)
Laboratorio: esplorazione di un quadrato di cento caselle numerate da 0 a 99; attraverso la
scoperta di regolarità, giochi su ‘percorsi numerici’ all’interno della griglia e su frammenti di
essa e situazioni problematiche anche su griglie di dimensioni differenti dall’originale, si
procede verso la generalizzazione attraverso la griglia di dimensioni n _ n.
28 giugno, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (G. Navarra)
Laboratorio sulla ricerca di regolarità: si parte da situazioni nelle quali collezioni di oggetti
sono disposti secondo leggi prestabilite che vengono esplorate e descritte attraverso le
discussioni in classe; costruzione e confronto di tabelle, messa in formula di relazioni osservate.
Confronto di rappresentazioni diverse di una stessa relazione. Esplorazione di successioni
figurali o numeriche in termini di relazioni funzionali.
Modulo laboratoriale di didattica dell’algebra (II parte)
27 settembre, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N.A. Malara)
problemi di indagine in ambito aritmetico, dalla formulazione di congetture alla loro
dimostrazione. Esempi di percorsi attuati con allievi e difficoltà rilevate.
4 ottobre, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N.A. Malara)
Studio ingenuo di equazioni e disequazioni lineari in vari ambiti numerici (naturali, interi,
razionali e reali)
11 ottobre, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (N.A. Malara)
Attività di matematizzazione attraverso problemi. Modellizzazione di semplici problemi di
ottimizzazione lineare: Esempi di percorsi attuati con allievi e difficoltà rilevate.
17 ottobre, mercoledì dalle 14,30 alle 18,30 (R. Nasi, S. Marchi)
laboratorio didattico-metodologico per l’osservazione di classe. La discussione collettiva e la
costruzione di conoscenze: analisi di alcuni protocolli. Il problema della partecipazione della
totalità degli allievi. Il problema della valutazione dei singoli. Il ruolo dell’insegnante.
NOTA BENE: La scelta del tema su cui verterà il progetto di tirocinio per la matematica
potrà essere affrontata solo alla fine del corso di insegnamento.
Materiali di studio
Ad ogni incontro saranno consegnati al responsabile della sala fotocopie i materiali di studio.
Sarà cura degli specializzandi procurarsi le fotocopie.
Valutazioni in itinere ed esame finale
Il questionario di ingresso, concepito per mettere a fuoco concezioni e modi di sentire degli
specializzandi circa la matematica, sarà oggetto di riesame alla fine del percorso di studi.
Il candidato è tenuto a tenere un ‘quaderno di bordo’ in cui raccoglie tutte le attività che si
svolgono durante la lezione e, cosa più importante, in cui annota tutte le sue riflessioni
(perplessità, difficoltà, ecc.) e anche le nuove visioni che via via matura. I quaderni dovranno
essere dati in visione all’insegnante al momento dell’esame.
Per ogni modulo laboratoriale è prevista una prova scritta.
L’esame finale verterà in un colloquio strutturato in due parti: una prima parte dedicata all’esame
sul corso di conoscenze di base; una seconda parte dedicata al corso di didattica. Il candidato
sarà chiamato a rispondere ad una domanda per ognuno dei moduli in cui il corso è articolato.
Bibliografia per il modulo di insegnamento integrato
Dantzing, T.: 1965, Il numero: linguaggio della Scienza, la Nuova Italia, Firenze
Feynman, R.P., 2002, Il piacere di scoprire, Adelphi, Milano
Speranza, F.: 1997, Scritti di epistemologia, Pitagora editrice, Bologna
Bibliografia per i moduli disciplinari
Modulo di didattica della matematica nella scuola media
Aspetti generali
MALARA N.A.: 1992, Il libro di testo per la Matematica, in ORLANDO CIAN D. (a cura di), I libri di testo
nella Scuola Media: linee di analisi pedagogica, Gregoriana libreria editrice, Padova, 527-596
Pesci, A.: 1999, Appunti di didattica della matematica, Goliardica ed. Pavia
Unione Matematica Italiana, 2001, Matematica 2001, Pitagora, Bologna
Zan, R.: 2000, a) Le Convinzioni; b) Emozioni e difficoltà in matematica I e II parte c) Atteggiamenti e
difficoltà in matematica, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol 23A, a) n.2
161-183; b) I parte n.3, 207-232, II parte n. 4, 328-345; c) n.5, 442-465
Logica
Progetto Nuffield, 1973, Logica, Zanichelli
Navarra, G.: 1998, La logica nella Scuola Media: tracce per un percorso didattico triennale, dossier
Scuola e Didattica, n. 17
Navarra, G.: 1998, I sillogismi, Scuola e didattica, n.17, 65-66.
Probabilità e Statistica
MALARA N.A.: 1990, Probabilità e Statistica nella scuola media: analisi di alcuni libri di testo,
quaderno n. 6 collana FMI, progetto TID-CNR, Modena
Pesci, A., Reggiani, M,: 1987, Statistica e Probabilità nella scuola media, progetto TID-CNR, serie FI,
vol. 1
Problem solving
MALARA N.A.: 1990, Affinamento delle capacità di soluzione di problemi in allievi di Scuola Media,
Matem. e sua Did., IV, n. 2, 39-53
MALARA N.A.: 1990, Improvement of the ability to solve problems in pupils aged 11 to 14: some results
of a long lasting research, in CIOSEK M. (a cura di) Proc. CIEAEM 42, Szczyrk Cracow, 46-60
MALARA N.A., 1993, Il problema come mezzo per promuovere il ragionamento ipotetico e la
metaconoscenza, The problem as a Tool for the Promotion of Hypothetical Reasoning and
Metaknowledge, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 16 n. 10, 928-954
MALARA N.A.: 1993, Sulla valutazione di allievi coinvolti in attività di ricerca matematica, Educazione
Matematica anno XVI, serie, IV, vol. 2, n.2, 85-100
MALARA N.A., Navarra G.: 1998, Role of the teacher in promoting interaction among pupils and
metacognition through problem solving abilities , proc. CIEAEM 49, 203-211
MALARA N.A., Pellegrino C., Iaderosa R.: 1994, Avvio ad attività di matematizzazione attraverso
problemi, la Matematica e la sua Didattica, 1994, vol. 2, 169-179
MALARA, N.A, Ponzi, S. 2003, Ragionamenti intuitivi di allievi di fronte a problemi di proporzionalità,
l’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol 28A n. 3, 245-269
Zan, R.:
Pitagora, Bologna
Geometria
IADEROSA R.,1997, Incidenza della visualizzazione sulla concettualizzazione delle simmetrie piane in
Grugnetti L. et alii (a cura di) Dallo Spazio del bambino agli spazi della geometria, Parma, 139-144
Iaderosa R., MALARA N.A.: 1996, La dimostrazione in geometria, in MICALE B., PLUCHINO S. (a cura di)
suppl. Notiziario UMI , XXIII, n. 7, 201-210
MALARA N.A.: 1994, La geometria nei programmi scolastici di alcuni paesi europei per allievi dai 6 ai
16 anni, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 17A-17B, n. 6, 675-700
MALARA N.A.: 1996, L'Insegnamento della Geometria nella scuola media: questioni teoriche e didattico
metodologiche, in L'Insegnamento della Geometria: seminario di formazione per docenti della
istruzione secondaria di primo grado, Quaderno n.19/1 del Ministero della Pubblica Istruzione, 13-76
MALARA N.A.: 1998, On the difficulties of visualization and representation of 3D objects in middle
school teachers, proc. PME 22 vol. 3, 239-246, in versione più ampia su Ins. Mat. Sc. Int., vol. 22A,
n. 2, 141-162
MALARA N.A., Gherpelli L.: 1994, Problem Posing e ragionamento ipotetico in ambito geometrico la
Matematica.e la sua Didattica, n. 3, 229-244
MALARA N.A., Iaderosa R.: 1997, Difficoltà incontrate da allievi nell’apprendimento delel isometrie
piane, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 21A, 235-255
Malara, N.A.: 1998, Sulle difficoltà di visualizzazione e rappresentazione di oggetti tridimensionali in
insegnanti di scuola media, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 22A, n.
2, 141-162
Mariotti, M.A.: 2005, La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e apprendimento della
geometria, Pitagora, Bologna
Pincella M.G., MALARA N.A.: 1995, Lo studio informale delle trasformazioni e degli invarianti come
approccio alla Geometria nella scuola media, Matem. e sua Did., n. 4 , 446-462
AAVV. 1975, School Mathematics Project, Zanichelli
Aritmetica
Ferrari, M. La regola dei segni e la sua storia, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze
Integrate,
UMI1985, Numeri e operazioni nella scuola dibase, Zanichelli, Bologna
Iaderosa, R., 1994. La teoria della divisibilità nella scuola media. Riflessioni, esperienze, proposte" in
Basso et al., Numeri e proprietà, Parma, 101-106
Iaderosa, R., MALARA, N.A.: 2002, Il numero naturale e le sue proprieta’: loro varianza e invarianza
rispetto alla rappresentazione, in Malara N.A. & Al. (a cura di), Processi didattici innovativi per la
matematica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice, 139-152
MALARA N.A.: 2004, Questioni teoriche e didattiche per un approccio ai razionali nella loro struttura, in
stampa su L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate
MALARA, N.A, Gherpelli, L.: 1994, Argomentazione in Aritmetica, in BASSO M. & AL.(a cura di) Numeri
e Proprietà, CSU, Parma, 55-60
MALARA, N.A, Gherpelli, L.: 1997, Argomentazione e dimostrazione in aritmetica: risultati da una
ricerca nel lungo termine, L'Educ. Matem., anno XVIII, serie V, vol. 2, n. 2, 82-102
MALARA, N.A, Gherpelli, L.: 2002, Un approccio ai razionali centrato sugli aspetti di rappresentazione e
sul ragionamento per analogia, in Malara N.A. & Al. (a cura di), Processi didattici innovativi per la
matematica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice, 195-210
MALARA N.A., Pellegrino C., Tazzioli R.: 1992, I fogli elettronici in attività di Matematica per allievi di
11-16 anni, CDE, Modena
Algebra
Iaderosa R.: 2003, Grafici e funzioni: aspetti algebrici, geometrici e di modellizzazione del reale,
Pitagora, Bologna
MALARA N.A.: 1996, Il pensiero algebrico: come promuoverlo sin dalla scuola dell'obbligo limitandone
le difficoltà?, Educazione Matematica, anno XVII, serie V, vol. 1, 80-99
MALARA N.A.: 1997, Problemi nel passaggio Aritmetica-Algebra, Matem. e sua Did., vol. 2, 176-186
MALARA, N.A.: 1999, Un aspetto di una ricerca nel lungo termine di algebra: la soluzione dei problemi
verbali algebrici, L’Educazione Matematica, 1999, anno XX, serie VI, vol.1, n.2, 96-110
MALARA N.A., Iaderosa R.: 1998, L’intreccio aritmetica/algebra: aspetti sintattici, relazionali e
strutturali e questioni del loro insegnamento, in Gomez, P., Rico, L. (a cura di), Iniciación a la
investigación en la Didactica de la Matematica, 2001, Homenajes, Granada, 301-312
MALARA N.A., Iaderosa R.: 2001, Un aspetto di un percorso didattico per l’approccio al concetto di
funzione, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 24A, n.4, 376-387
MALARA, N.A.: 2003, L’esplorazione di situazioni come modalità da privilegiare sin dalla scuola
primaria per dare significato allo studio dell’algebra, in D’Amore, B. (a cura di) La didattica della
Matematica in aula, Pitagora, Bologna, 71-86
MALARA N.A.,.: 2004, Formazione degli insegnanti ed avvio al pensiero algebrico, in Malara, N.A. &
Altri Percorsi di insegnamento in chiave pre-algebrica: rappresentazione di problemi e di processi,
segni simboli e negoziazione dei loro significati, Pitagora, Bologna, 11-36
MALARA, N.A., Navarra, G.: 2002, Esperienze e prospettive di innovazione nella scuola dell’obbligo per
un approccio precoce all’Algebra come linguaggio, Scuola e Città, 83-95
MALARA, N.A., Navarra, G.: 2002, “Brioshi” e altri strumenti di mediazione per un insegnamento
dell’aritmetica nell’ottica di un avvio all’algebra come linguaggio*, in Malara N.A. & Altri (a cura
di), Processi didattici innovativi per la matematica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice, 211222
Bibliografia per i moduli laboratoriali disciplinari
Harper, E. (a cura di) 1987, NMP, Mathematics for secondary school, Longman, Essex
MALARA N.A., Incerti, V., Fiorini, R., Nasi, R.: 2004, Percorsi di insegnamento in chiave prealgebrica: rappresentazione di problemi e di processi, segni simboli e negoziazione dei loro
significati, Pitagora, Bologna
MALARA, N.A., Navarra, G., Giacomin, A.: 2003/05, Progetto ArAl (Quadro teorico di riferimento e
glossario; U1: Brioshi e l’approccio al codice algebrico; U2: Rappresentazioni del numero: le
Mascherine e il Domino; Verso il numero sconosciuto: il gioco della Matematòca; U4: Ricerca di
regolarità: la griglia dei numeri; U5: Le piramidi di numeri; U6: Dalla bilancia a piatti
all’equazione; U7: Studio di regolarità: dai fregi alle successioni aritmetiche; U8: Esplorazioni alla
ricerca di leggi di corrispondenza), Pitagora, Bologna
Ferri, F.: Storie di internalizzazione, in Malara & Al. (a cura di), Processi didattici innovativi per la
matematica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice