Esercizio 2 - Tiro con l`arco Un ragazzo sta per lanciare

Esercizio 2 - Tiro con l’arco Un ragazzo sta per lanciare col suo arco una freccia di
massa m = 32 g. Per scoccare la freccia, l’arciere tende la corda dell’arco e la sposta indietro di
x = 0, 20 m, esercitando una forza media di F = 20 N. Trascurando le dispersioni di energia,
• con quale velocità la freccia viene scoccata dall’arco in direzione orizzontale?
• se viene lanciata verso l’alto, quale altezza raggiunge?
Svolgimento con commento
In figura rappresentiamo il caso orizzontale. Nel caso verticale la
differenza è che il contributo della forza peso agirà nella stessa direzione
della forza che tende l’arco, come vedremo tra poco.
Se trascuriamo l’attrito, sulla freccia compiono lavoro soltanto la
forza peso e la forza elastica della molla, entrambe conservative (l’elastico
lo consideriamo come una molla). Quindi possiamo applicare la conservazione dell’energia meccanica per rispondere alle domande poste.
Ci occupiamo dapprima del caso orizzontale, applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica fra il momento in cui la corda
viene tesa dall’arciere (1) e la fase in cui la freccia viene scoccata (2).
La corda possiede un energia potenziale elastica, un’energia potenziale
gravitazionale e un energia cinetica. Inserendo tutti questi contributi
nel teorema di conservazione dell’energia abbiamo:
F = 20 N
FP
Uel,1 + Ug,1 + K1 = Uel,2 + Ug,2 + K2
Il lavoro W compiuto dall’arciere sulla corda aumenta l’energia potenziale elastica della corda
quindi:
Uel,1 − Uel,2 = W = F x
Fissiamo come livello zero per l’energia potenziale elastica l’energia della corda a riposo:
Uel,2 = 0 J. L’altezza della freccia non cambia durante il lancio per cui i due contributi
della forza peso sono uguali: Ug,1 = Ug,2 .
All’istante iniziale la freccia è ferma quindi K1 = 0 J mentre K2 = 12 mv 2 . Tutta l’energia
potenziale elastica immagazzinata viene trasformata inerenti cinetica della freccia quindi abbiamo Uel,1 = K2 , cioè:
s
r
1
2F
x
2 · 20 N · 0.20 m
F x = mv 2 −→ v =
=
= 16 m/s
2
m
0.032 kg
Cosa succede invece nel caso verticale ? Applichiamo ancora la conservazione dell’energia
meccanica tra i due momenti 1 e 2 per cui abbiamo
Uel,1 + Ug,1 + K1 = Uel,2 + Ug,2 + K2
Analogamente a prima il lavoro W compiuto sulla corda aumenta l’energia potenziale elastica
della corda: Uel,1 − Uel,2 = W = F x. Fissando ancora il livello zero dell’energia potenziale
quando la corda è a riposo, abbiamo Uel,2 = 0 J.
Poniamo alla quota iniziale il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale Ug,1 = 0 J e
dunque Ug,2 = mgh. All’istante iniziale e in quello finale la freccia è ferma, quindi K1 = K2 =
0 J. Gli unici contributi non nulli sono quindi Uel,1 = Ug,2 cioè F x = mgh, da cui si ricava
h=
Fx
(20 N) · (0.20 m)
=
= 13 m
mg
(0.032 kg) · (9.8m/s2 )
1