LO SCONTRINO COME STRUMENTO DI MATEMATIZZAZIONE
Premessa
In questa esperienza si vuole evitare l’usuale prassi scolastica di impostare gli algoritmi di calcolo
secondo una rigida scansione di abilità che si ritiene debbano essere padroneggiate dagli alunni per
poter eseguire le operazioni (vi veda Basso & Bonotto, 1996).
Si impegnano invece gli allievi in attività più complesse, e più significative, nel corso delle quali
sviluppare anche le componenti procedurali implicate, visto che nella matematica dì base, per forza
di cose, "le conoscenze numeriche sono incorporate nelle notazioni e nelle loro regole d’uso, cioè
negli algoritmi relativi a queste notazioni, prima ancora che si abbia il concetto di numero"
(Bonotto, 1995).
A partire dalla classe seconda i bambini hanno avuto modo di lavorare con scontrini del
supermercato imparando a interpretare e decodificare il significato delle parole e dei numeri letti
fino a comprendere i segni e i simboli matematici e non in essi contenuti.
Allo stesso modo sono in grado di comprendere le informazioni riguardanti il peso, la tara, il costo
al chilo del prodotto e l’importo.
Dal punto di vista aritmetico gli alunni sanno eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri
decimali, ma non sono ancora in possesso dell’algoritmo della moltiplicazione.
Obiettivi
- Decodifica del contenuto matematico di uno scontrino
-
Estensione della struttura moltiplicativa dei numeri naturali a quella dei decimali
-
Formalizzazione dell’algoritmo della moltiplicazione con numeri decimali
-
Formalizzazione dell’algoritmo della divisione con numeri decimali
Soggetti
L’esperienza si svolge con alunni di classe IV nel mese di marzo dell’anno scolastico 1993/94 e con
alunni di V nei mesi di febbraio e di marzo nell’anno scolastico 1994/95.
L’attività è condotta dall’insegnante ricercatrice Milena Basso alla presenza dell’insegnante di
classe dell’area logico-matematica.
Procedura
Ad ogni alunno si consegna la fotocopia dello scontrino da analizzare con richieste che variano a
seconda dell’obiettivo fissato dall’insegnante.
Data
consegna Quesiti posti agli alunni
18/3/94
31/1/95
17/2/95
N°1. Fai le tue osservazioni sui dati numerici
dello scontrino. Quale operazione aritmetica
avrà fatto la macchina per trovare l’importo?
N°2. Fai le tue valutazioni, senza ricorrere al
calcolo scritto, sull’importo che si è dovuto
pagare.
N°3. In questo scontrino manca un dato:
scopri il suo valore senza ricorrere al calcolo
scritto.
23/2/95
N°4. In questo scontrino manca un dato.
Esegui l’operazione che fai per trovarlo. Fai
le tue osservazioni.
28/2/95
N°5. Osserva i dati: ne manca uno, scoprilo.
Esegui l’operazione che fai per trovare quel
dato mancante e scrivi il tuo ragionamento.
Scontrino
Scontrino N.1. Si invita il bambino
- ad una lettura “funzionale” dei dati numerici,
- al riconoscimento ed alla nominalizzazione dell’operazione eseguita dalla macchina del
supermercato,
- a ricercare una strategia risolutiva per trovare l’importo 1.
Scontrino N.2. Si chiede all’alunno di fare una valutazione dell’importo che si è dovuto pagare,
senza l’uso del calcolo scritto, onde evitare automatismi troppo consolidati. Si vuole stimolare il
bambino a mettere in relazione i dati, sfruttando abilità usualmente non attivate nel contesto
scolastico.
Nei tre scontrini successivi si sono tolti, di proposito, alcuni dati relativi al peso netto (quesiti
relativi al terzo e quarto scontrino) e al prezzo unitario, al chilogrammo (quesito del quinto
scontrino). Per avvicinare i bambini alla soluzione del problema sono stati scelti dei rapporti
particolari tra le grandezze numeriche coinvolte.
È a questo punto che lo scontrino è diventato un mezzo, a disposizione dell’insegnante, per
- far nascere nuovi problemi matematici,
- creare nuove conoscenze matematiche.
Scontrino N.3. Si richiede al bambino di trovare il peso netto, una volta dato il prezzo al
chilogrammo e l’importo pagato, senza l’uso di calcoli scritti. Si vuole così indurre il bambino a
cogliere relazioni tra i dati e a fare una stima globale del dato mancante.
Scontrino N.4. Anche in questo scontrino si invita il bambino a trovare il peso netto, dato il prezzo
al chilogrammo e l’importo pagato, solo che gli si chiede di esplicitare questa volta l’operazione. Si
vuole far eseguire all’alunno l’operazione, perché in questo scontrino, a differenza del precedente,
l’importo pagato è minore del prezzo al chilogrammo e quindi il dato mancante risulta minore di
uno. Si vogliono analizzare i ragionamenti operati dai bambini, come essi impostano la divisione,
per poi far loro cogliere la differenza con la divisione tra numeri naturali, in cui il dividendo è
sempre maggiore del divisore oppure uguale.
Scontrino N.5. Si chiede al bambino di trovare il prezzo al chilogrammo, una volta noti il peso netto
e l’importo da pagare, cercando apposite strategie. Tutto questo vuole essere solo un avvio per
giungere a
- stabilire dei rapporti tra grandezze numeriche,
- formalizzare l’algoritmo della divisione con i numeri decimali.
1
per gli alunni quale vuol dire anche in che modo, in quanto non esiste la pura nominalizzazione
Metodologia di lavoro
Ogni alunno è chiamato ad osservare e a riflettere personalmente sui dati dello scontrino fornendo
argomentazioni scritte che giustifichino le risposte date.
Si procede alla lettura approfondita dei protocolli degli studenti per avere un monitoraggio dei
ragionamenti effettuati da ciascuno.
Analisi dei risultati
Analizzeremo, esibendo alcuni protocolli esemplificativi, i risultati ottenuti, evidenziando le
conoscenze, i processi di pensiero e le procedure messe in atto dai bambini nel:
A. leggere i dati dello scontrino
B. stimare un dato
C. trovare il valore dei dati mancanti
D. mettere in relazione le grandezze numeriche attraverso opportuni processi, intuendo così il
concetto di proporzionalità
E. cercare gli algoritmi per la moltiplicazione e per la divisione con numeri decimali.
A. Lettura dei dati
In tutte le consegne gli alunni hanno dimostrato di non avere difficoltà nella lettura dei dati; questo
dimostra come lo scontrino sia ormai entrato a far parte dell’esperienza extrascolastica di ogni
bambino.
Lo conferma il fatto che le informazioni presenti nello scontrino e cioè
PESO
PREZZO unitario (L/Kg)
IMPORTO
siano state comprese da tutti i bambini, anche dai più deboli. Essi hanno pure evidenziato come la
TARA (peso del contenitore espresso in grammi)
sia un dato non utilizzato dalla macchina ai fini del calcolo dell’importo.
B. Stima dei dati
Nella consegna del secondo scontrino, la richiesta di fare delle valutazioni sull’importo, senza
l’esecuzione di calcoli scritti, ha stimolato in alcuni bambini l’attivazione e l’utilizzo di risorse
spesso inusuali per la scuola elementare italiana, quali quelle di
- confrontare i dati numerici tra di loro,
- trasformare il peso della merce e il relativo prezzo unitario,
- arrotondare i numeri per dominare meglio i calcoli,
- moltiplicare sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione
(poiché non era permesso l’uso del calcolo scritto, inteso abitualmente dai bambini come
esecuzione di operazioni in colonna, essi sono ricorsi ad una disposizione spaziale, in riga, della
moltiplicazione).
La richiesta “fai le tue valutazioni” ha quindi permesso che si attivassero nei bambini sia
conoscenze scolastiche (ad esempio il ricorso alla proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all’addizione), sia conoscenze extrascolastiche (ad esempio il ricorso all’arrotondamento
che è patrimonio del senso comune più che della pratica scolastica).
Vediamo adesso alcuni protocolli, relativi per l’appunto al secondo scontrino.
Isabella: “Io ho pensato di fare 259X39. Ha pagato meno perché non ha comprato nessun
chilogrammo. Ho pensato di fare 259X39 perché con gli zeri sarebbe stato più difficile e invece
così sarebbe stato più facile.
259X39 = (259X30) + (259X9) = 7 770 + 2 331 = 10 101.
La bilancia ha arrotondato di una lira. Ho fatto 0,39X100 = 39 dag e poi ho fatto
25 900:100 = 259 che sarebbe il costo al dag; 259 lo arrotondo a 260 e 39 a 40 : allora 260X40
= 10 400”. 2
Daniele: “Il risultato è L 10 100 perché ho moltiplicato 0,390X25 900 cioè i chilogrammi che ho
comperato per il costo al chilogrammo. Per verificare che 10 100 è giusto bisogna fare
l’operazione: 0,390X25 900 e poi vedo la differenza tra 10 100 e il risultato così vedo quanto ho
pagato di più. Posso arrotondare i numeri così vedo pressappoco quanto ho pagato in più.
Arrotondando 0,390 a 0,4 e 25 900 a 26 000. Poi l’operazione è più facile e così posso farla
anche a mente. Posso trasformare 0,4 Kg in hg e 26 000 L/Kg in L/hg. Allora 4X2 600 = 10
400. Dovrei aver pagato L. 10 400 invece ho pagato L. 10 100”.
Nella consegna del terzo scontrino gli alunni dovevano trovare il dato mancante, cioè il peso netto.
Qui ha avuto un ruolo importante la stima in quanto ha permesso alla maggioranza dei bambini di
mettere in relazione l’importo e il prezzo unitario.
Generalmente si sono espressi in questa forma intuitiva “l’importo è più del doppio del prezzo
unitario, per cui si è acquistato più di due chilogrammi di merce”. Gli alunni (erano tre)
appartenenti alla fascia più debole, con difficoltà di apprendimento, sono riusciti ugualmente a fare
una stima globale riconoscendo che si è comperato più di un chilogrammo di merce. Sono poi
ricorsi ad un calcolo implicante l’addizione senza tuttavia riuscire alla fine a controllare ed
interpretare convenientemente i risultati ottenuti, come si vedrà nel protocollo seguente.
Maria: “Mi manca il peso netto, non il prezzo, è di 2 290 L/Kg, l’importo è 4 650 lire. L’importo è
più grande del prezzo al chilogrammo quindi ha comperato più di un chilogrammo. Se avesse
comperato un chilo avrebbe speso L 2 290 e se faccio
2
Isabella esibisce due procedure diverse “Una delle facoltà più interessanti e caratteristiche dell’intelligenza sembra
essere proprio la capacità, che non si sa quanto computazionale, di cortocircuitare e di mescolare algoritmi diversi, e
passare disinvoltamente da uno all’altro e da una rappresentazione a un’altra a seconda delle necessità”, Lolli 1996.
2 290+2 290 = 4 580 trovo che ha comperato quasi due chili”.
Per quanto riguarda il quarto scontrino si può dire che per la maggioranza degli alunni la stima
iniziale ha attivato un processo di controllo dei risultati ottenuti attraverso calcoli successivi. Infatti
coloro che hanno impostato così la divisione
15 400÷7 270=2,11 …
hanno ottenuto un risultato ben diverso da quello della loro stima, che era di circa mezzo
chilogrammo. La valutazione precedentemente fatta ha permesso loro di correggere l’impostazione
dell’operazione invertendone i termini, come si può vedere dal protocollo di Thomas, che si serve di
un controllo basato sul rapporto tra i dati, lasciando fisso il prezzo unitario.
Thomas: “L 7 270 è quasi la metà di L 15 400 quindi la signora ha comperato circa mezzo chilo e
un po’. Però non è giusto dire la metà perché c’è una differenza di circa L 1 000, infatti se io
arrotondassi L 7 270 a L 7 200 e lo moltiplicassi per due otterrei L 14 400 e se poi aggiungo L 1
000 il risultato è di L 15 400. Però per trovare l’esatto peso netto bisogna fare: 15 400÷7 270=
2,118.
Secondo me però è più giusto il mio primo ragionamento perché la signora non può aver
comperato più di 2 Kg spendendo meno delle L/Kg. Se avesse comperato 2 Kg avrebbe speso L 30
800 invece il costo della spesa è di L 7 270, quindi avevo ragione nel dire che ha comperato circa 5
hg allora devo dividere così: 7 270÷15 400=0,4”. 3
Vediamo ora il protocollo di Chiara che è una bambina con difficoltà di apprendimento.
Chiara: “Il dato che manca è il peso Netto in Kg.
15 400÷7270=(15 400÷10) ÷ (7 270÷10)=1 540÷727=2,117.4
Io per eseguire questa operazione ho pensato che bisognava fare 15 400÷7270, ma il divisore
aveva 4 cifre, allora ho diviso per 10. Osservando bene, mi sono accorta di avere sbagliato
l’operazione, perché guardando i due dati il prezzo L/Kg è di L 15 400, quindi io ho pagato L 7 270
ho pagato meno di 1 Kg”.
Chiara imposta in modo errato la divisione ma non riesce ad invertire i termini neanche dopo essersi
accorta di “avere sbagliato l’operazione (intesa però come calcolo), perché ...”. Dimostra di
riuscire a fare una stima globale mettendo in relazione i dati che legge nello scontrino, ma non
giunge a correggere l’impostazione della operazione da eseguire. Rivela tuttavia di essere a
conoscenza della proprietà invariantiva della divisione e di saperla utilizzare.
L’errore nell’impostare la divisione, riscontrato nel quarto scontrino, e corretto dalla maggioranza
degli alunni in virtù del fatto che avevano operato una stima globale all’inizio, nasce ovviamente
dal fatto che il dividendo è maggiore del divisore, o uguale, nel caso dei numeri naturali. I bambini
hanno fatto diventare questo fatto, fissato nei primi anni di scuola, una “regola”, da applicare anche
in questo nel caso. Hanno perciò invertito il ruolo dell’importo e del prezzo unitario per trovare il
peso netto, dimostrando così di essere fortemente ancorati al dominio dei numeri naturali.
3
Thomas trova questo risultato eseguendo la divisione ed esibendo l’algoritmo utilizzato, così come aveva fatto in
precedenza quando aveva diviso 15 400 per 7 270.
4
Anche Chiara esibisce l’algoritmo utilizzato.
C. Ricerca dei dati mancanti
Come già sottolineato, negli scontrini N.3, N.4 e N.5 sono stati scelti dei rapporti particolari tra i
numeri coinvolti, al fine di avvicinare gli alunni alla soluzione del problema specifico. Si è notato
che quasi tutti i bambini non hanno subito impostato l’operazione aritmetica richiesta. Hanno però
prodotto processi di pensiero e strategie utili ed efficaci, in grado cioè di farli arrivare ad una
soluzione adeguata al tipo di problema presentato.
Questo dimostra come nella vita pratica, richiamata dallo scontrino, non esistono procedure
algoritmiche generali, ma piuttosto strategie locali, procedure euristiche, sensibili ai contesti
dell’attività pratica e dotate di una loro valenza e coerenza 5, che possono essere la premessa, e forse
dovrebbero essere la premessa, per la costruzione di nuove conoscenze matematiche.
Eccone alcuni esempi. Il primo si riferisce al seguente scontrino:
Netto Tara
kg
g
1,515
0
Prezzo
L/kg
.........
Importo
Lire
3 755
Mauro: “Per fare l’importo totale bisognerebbe avere un peso netto e anche un prezzo al Kg. In
questo caso il prezzo al Kg non c’è ed io devo scoprirlo. Il peso netto è 1,515 Kg e l’importo 3 755.
Se fosse L 1000 al Kg, sarebbe 1,515X1000 e sarebbe 1 515. In questo caso il risultato è troppo
piccolo. Se fosse L 2000 al Kg dovrei moltiplicare primo per due e poi per 1000 cioè
1,515X2=3,030 e poi moltiplico per 1000, 3,030X1000=3030. Adesso però, il prezzo al Kg è 2000
ed è troppo piccolo e quindi bisognerebbe avere un prezzo più alto. Provo 2500 al Kg e allora
faccio così: 1,515X1000=1515 e 1515÷2=750 Lire circa e allora 3000+750=3750 lire (circa).
Infine il prezzo al Kg è 2500 circa”.
Mauro procede per tentativi tra di loro collegati, mantiene fissi i due dati, peso netto ed importo, e
fa variare il prezzo unitario finché giunge ad un risultato il più possibile soddisfacente. Non esegue
l’operazione di divisione, ma preferisce mettere in atto strategie che frantumano le procedure in
azioni sequenziali, giungendo però ad una soluzione globalmente corretta.
Ecco un altro protocollo relativo al seguente scontrino:
Netto
kg
........
Tara
Prezzo
g
L/kg
4
15 400
Importo
Lire
7 270
Martina: “Il dato che manca è il peso netto della merce in chilogrammi. Guardando questi dati a
occhio posso capire più o meno quale sarà il peso netto. La metà di 15 400 è 7 700. Penso che il
peso netto possa essere un po’ meno di 0,500 Kg. Adesso eseguisco una moltiplicazione:
(15 400X0,500)=7 700 però il numero che ho pensato sarebbe un po’ troppo alto, perché
effettivamente non è mezzo chilo esatto. (727÷1540)=0,472 peso di quanto ha speso la persona che
ha acquistato la merce al chilogrammo.
(0,472X15 400)=7 268 quanto ha speso la persona per avere acquistato la merce. Poi viene
arrotondato il prezzo, di 2 lire in più e mi vengono quindi 7 270 lire”.
Martina non esibisce i calcoli, che ha eseguito in un altro foglio, perché più concentrata
sull’esplicitazione del proprio processo di pensiero, del proprio ragionamento matematico.
5
vedi Nunes, Schielmann e Carraher , 1994, e Saxe, 1991, e le loro esperienze con i bambini di strada brasiliani
D. Avvio al concetto di proporzionalità
Per trovare il dato mancante nel quinto scontrino alcuni bambini hanno prodotto dei processi
scalari, anticipando così il concetto di proporzionalità, processi che hanno permesso loro di trovare
il prezzo unitario. Qualcuno ha cambiato unità di misura prendendo il mezzo chilo, meglio
dominabile perché contenuto un numero intero di volte nel peso netto, dimostrando così una buona
integrazione tra numeri interi e frazionari.
Eccone degli esempi.
Nicola: “Per trovare il prezzo al Kg bisogna dividere 3 755 (che sono le lire che pago) per 1,515
(che sono i Kg che prendo). Il costo al Kg sarà minore dell’importo perché ho comprato un Kg e
mezzo. Ho pensato a 1 200 che è un terzo circa dell’importo (3 755). Quindi corrisponde a mezzo
chilo. Quindi 1 200 che è la metà di un chilo devo moltiplicarlo X 2. Il prezzo al Kg è di L. 2 400
circa”.
Daniele: “Ogni chilogrammo e mezzo spendo L. 4 000 circa. Se prendo 3 Kg spendo L. 8 000 circa.
L. 8 000 è il prezzo di 3 Kg , quindi 8 000÷3 = 2 600 circa. Il prezzo al Kg è di L. 2 600 circa. Ho
usato la proprietà invariantiva, infatti ho raddoppiato tutte e due le cifre. Quindi se faccio 4
000÷1,5 dovrebbe venirmi come risultato 2 600 circa”.
E. Le operazioni e le loro esecuzioni
Come già sottolineato abbiamo voluto evitare una prassi consolidata nella scuola elementare
italiana, cioè quella di impostare gli algoritmi secondo una rigida scansione di abilità che devono
essere padroneggiate da parte dell’alunno. Abbiamo invece voluto impegnare gli alunni in attività
più complesse, e più significative, nel corso delle quali sviluppare anche le componenti procedurali
implicate.
Gli scontrini n.1, n.4 e n.5 sono stati un utile mezzo per raggiungere questo obiettivo in una pratica
didattica in cui la moltiplicazione e la divisione hanno acquistato un significato ancor prima che la
loro introduzione venisse giustificata matematicamente. Le procedure usate nell’esecuzione delle
operazioni sono state percepite da qualche alunno in modo diverso da quelle meccanizzate della
macchina del supermercato. Il calcolo automatico è ben diverso da un calcolo ragionato che sfrutta
le proprietà delle operazioni, sembra dire Andrea nel protocollo seguente, che si riferisce al primo
scontrino. 6
6
“Gli algoritmi matematici sono quasi tutti non deterministici, quando anche ci sia un algoritmo deterministico, le
persone un po' allenate cercano sempre di cortocircuitarlo, come se avessero l’idea che alle domande non bisogna
rispondere in modo meccanico”, Lolli 1996.
Protocollo di Andrea.
Vediamo ora la risposta di Mauro.
Mauro
- opera delle trasformazioni: trova il peso netto in grammi e quindi il prezzo in grammi; questo al
fine di ottenere due numeri interi e poterli così moltiplicare più facilmente,
- esegue anche la moltiplicazione con il numero decimale, poi lo confronta con il risultato
ottenuto nella moltiplicazione tra numeri interi e mette la virgola
- giustifica il perché ha messo lì la virgola in questo modo:
a) quello che ha pagato è circa un quarto di 12 000
b) nel numero 0,268 ci sono i decimi, i centesimi, i millesimi,
- analizza la differenza tra la moltiplicazione fra numeri naturali e quella tra numeri decimali
fornendo anche un esempio: 5X5=25 5X0,25=2,5 perché afferma “i numeri decimali senza 1
sono minori di 1 e il risultato in questo caso è minore del moltiplicando”.
Ecco un altro protocollo relativo al seguente scontrino.
Netto Tara
kg
g
1,515
0
Prezzo
L/kg
.........
Importo
Lire
3 755
Martina: “Per fare questa operazione ho pensato che fare una divisione con il numero decimale
come divisore non ci riuscirei, allora ho portato il dato 1,515 in grammi, cioè 1515, ma allora
anche l’importo deve essere in grammi, e così ho aggiunto i tre zeri perché tra chilogrammi e
grammi c’è il rapporto del 1 000. (3 755 000 ÷1 515)=quant’é il prezzo al chilogrammo della
merce. Poi ho eseguito la divisione, e mi è risultato L 2 478, ma poi ovviamente verrà arrotondato,
cioè L 2 480”.
Anche Martina fa delle equivalenze riducendo il peso in grammi e trovando il prezzo unitario al
grammo. Vuole superare la difficoltà costituita dal fatto che il divisore è un numero decimale e
mettersi quindi nella situazione di poter eseguire la divisione tra due numeri interi. Si nota
comunque un avvio alla procedura algoritmica della divisione con i numeri decimali.
Vediamo infine come ragiona Matteo relativamente al seguente scontrino.
Netto
kg
........
Tara
Prezzo
g
L/kg
4
15 400
Importo
Lire
7 270
Matteo: “Il dato mancante è Netto, il peso netto espresso in chili. Per trovare il peso netto dovrò
utilizzare questi dati: 15 400 (PREZZO L/Kg) e 7 270 (IMPORTO LIRE). Farò una divisione: 7
270 ÷15 400 perché dividendo l’IMPORTO con il prezzo al chilo trovo il peso netto:
IMPORTO ÷PREZZO L/Kg = PESO NETTO
IMPORTO ÷NETTO = PREZZO L/Kg
NETTOXPREZZO L/Kg = IMPORTO
Potrei prevedere il risultato sapendo che 7 270<15 400 quindi verrà un risultato come 0, ...
sicuramente minore di uno.
7 270 ÷15 400 = 0, 472 .7
Avevo previsto giusto perché il risultato è minore di 1 Kg. 1>0,472”.
Si può notare che Matteo
- produce dei processi di pensiero che lo portano a trovare regole generali per risolvere non solo
la situazione posta, ma anche altre ad essa correlate,
- fa delle previsioni sulla divisione che deve fare e sul risultato che otterrà, sicuramente minore di
1,
- verifica le sue ipotesi eseguendo la divisione e concludendo che il risultato è minore di 1 un
chilogrammo.
Egli dimostra così
- una grande capacità di categorizzazione, cioè di mettere in evidenza lo schema risolutivo
sottostante il problema dato, spingendosi oltre perché esibisce anche gli schemi relativi a
problemi ad esso associati,
- una grande abilità metacognitiva, un continuo ed attento monitoraggio sulla propria strategia
risolutiva , capacità definita “manageriale” da Schoenfeld (1987).
Tutto questo lo fa rientrare nella categoria “esperto”, secondo la distinzione operata dallo stesso
Schoenfeld.
Matteo, così come altri bambini, sembra operare secondo il modello Ideal di Bransford e Stein
(1993). Tale modello ha come obiettivo quello di sviluppare le abilità di problem solving e di
incrementare la consapevolezza dei processi usati durante la soluzione di problemi sia di tipo
scolastico sia posti dalla vita quotidiana. La parola Ideal è un acronimo il cui significato può essere
così evidenziato:
I= Identificare i problemi e le opportunità
D= Definire gli obiettivi
E= Esplorare le possibili strategie
A= Anticipare i risultati ed agire
L= (Look back and Learn) Ricontrollare il processo ed apprendere dall’esperienza 8.
Tale modello riassume così le cinque fasi che dovrebbero comporre il processo di problem solving.
Cercare ad esempio delle incoerenze nel proprio modo di operare è mettere in atto una strategia del
tipo Look back and Learn. E questo è quello che hanno saputo fare alcuni bambini, ad esempio
Thomas.
Conclusioni
L’esperienza qui esposta si è rivelata decisamente stimolante per le implicazioni didattiche
evidenziate. Ha infatti offerto numerosi spunti di riflessione su come impostare un insegnamento
della matematica in grado di superare la frattura, oggi esistente, tra le abilità matematiche attivate
nel contesto scolastico e quelle che vengono attivate in contesti extra-scolastici.
Il nostro lavoro conferma come nella realtà quotidiana, ed anche quando questa venga
opportunamente richiamata, non si usano procedure scolastiche rigide e generali, ma si attivano e
sfruttano altre risorse, strategie di tipo euristico, procedure molto più flessibili, locali e sensibili al
contesto, ma molto meglio controllate e dominate dal punto di vista cognitivo. Spesso infatti i
bambini hanno dimostrato di lavorare open mind, rivelando elasticità di pensiero e capacità di
esplorare più strategie 9.
L’insegnante allora deve tener conto della realtà quotidiana in cui è immerso l’alunno,
indubbiamente ricca e complessa, superando i limiti della semplificazione della matematica ivi
contenuta, per arrivare a far cogliere le caratteristiche peculiari (ad esempio quelle di
generalizzazione e di astrazione) della matematica stessa.
In questo senso il semplice scontrino di un supermercato si è rivelato un utile strumento. Esso infatti
come artefatto culturale:
- ha richiamato alla memoria attività strutturate, di routine del supermercato
- ha messo in evidenza interazioni sociali (famiglia, venditore, cassiere, ... )
- ha attivato preconoscenze, apprendimenti precedenti
come organizzatore mentale:
- ha favorito processi spontanei di ragionamento ed intuizioni sul concetto di proporzionalità
- ha messo in atto operazioni di stima su grandezze numeriche
- ha attivato procedure di controllo
come strumento di matematizzazione :
- ha permesso di introdurre la struttura moltiplicativa dei numeri decimali come estensione di
quella tra interi
- ha favorito l’avvio al concetto di rapporto
- ha dato significato ad operazioni aritmetiche quali la moltiplicazione e la divisione con numeri
decimali.
Per concludere lo scontrino, come esempio di artefatto culturale presente nella società, ha in sé delle
informazioni evidenti, frutto di convenzioni, di conoscenze cristallizzate. Merita quindi che
l’insegnante di matematica presti la dovuta attenzione alle informazioni ivi contenute ed inviti il
bambino a leggerle in chiave di “fatti matematici”. Lo scontrino può però diventare anche
strumento di mediazione ed integrazione tra conoscenze extrascolastiche e conoscenze matematiche
e, se convenientemente utilizzato, può creare nuovi obiettivi nella pratica didattica. Senza
dimenticare che consente al bambino di riferirsi a delle situazioni concrete, permettendogli di
mantenere la significatività del proprio ragionamento ed il controllo quindi sulle proprie inferenze,
passo dopo passo.
Il suo utilizzo, come quello di altri artefatti culturali, può rivelarsi quindi positivo per
l’insegnamento della matematica.
9
Poyla, nel lontano 1945, osservava come l’obiettivo dell’istruzione dovrebbe essere quello di insegnare a pensare
autonomamente. Spesso invece alcune metodologie di insegnamento della matematica non perseguono questo obiettivo,
