Capitolo 2 - Nozioni base di acustica

Capitolo 2 - Nozioni base di acustica
Indice
- Definizioni
- Pressione e velocità
- Propagazione nei fluidi
- Grandezze acustiche
Metodi numerici per l’acustica
1
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Definizioni (1)
• ACUSTICA:
Scienza del suono
“L’acustica è il campo della scienza che tratta
della generazione, della propagazione e della
ricezione di onde in mezzi elastici (gassosi,
liquidi, solidi)”
Metodi numerici per l’acustica
2
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Definizioni (2)
• I movimenti di un corpo vengono trasmessi
attraverso un mezzo elastico sotto forma di
perturbazione di pressione.
• La variazione di pressione entro una certa
banda di frequenza viene percepita
dall’orecchio umano come sensazione sonora.
• La banda delle frequenze udibili è compresa
all’incirca tra 20 Hz e 20 kHz. Al di sotto si parla
di infrasuoni, al di sopra di ultrasuoni.
Metodi numerici per l’acustica
3
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Definizioni (3)
• Suono:
- vibrazione acustica di un mezzo
• Mezzo acustico:
- può essere fluido o solido
- deve possedere elasticità e inerzia
• Onda sonora:
- È il propagarsi di un moto oscillatorio che
le particelle del mezzo si comunicano
sequenzialmente, oscillando attorno alla
loro posizione media
Metodi numerici per l’acustica
4
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde nei fluidi e nei solidi
• Onde sonore nei fluidi:
sono possibili solo onde longitudinali
• Onde sonore nei solidi:
si possono avere diverse soluzioni
onde longitudinali o
di compressione
Metodi numerici per l’acustica
onde di taglio
5
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Pressione sonora e velocità (1)
• Pressione sonora:
differenza tra la pressione istantanea totale ptot e la
pressione statica p0
p = ptot − p0
• Velocità delle particelle:
velocità delle particelle del mezzo acustico (ipotizzato in
quiete, v0=0)
v = v tot
NOTA Tutte le particelle oscillano intorno alle loro posizioni
medie
c’è solo trasporto dell’energia!
Metodi numerici per l’acustica
6
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Pressione sonora e velocità (2)
• Velocità e spostamento:
dξ
v=
dt
in cui ξ è lo spostamento della particella dalla sua
posizione di equilibrio
Nel caso di un movimento sinusoidale:
v = ω ⋅ξ
Metodi numerici per l’acustica
7
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Pressione sonora e velocità (3)
• Le oscillazioni (o vibrazioni) delle particelle avvengono
con fasi diverse nella direzione della perturbazione
• In particolare:
- in alcune zone le particelle si addensano, in altre si
rarefanno
- densità del gas e pressione variano di conseguenza
pressione
spostamento
lunghezza d’onda λ
Metodi numerici per l’acustica
8
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Pressione sonora e velocità (4)
• Propagazione di un’onda piana
a riposo
in vibrazione
pressione (p)
velocità delle particelle (v)
spostamento (ξ
ξ)
λ
direzione di propagazione
Metodi numerici per l’acustica
9
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Pressione sonora e velocità (5)
• Propagazione di un’onda piana
NB: tra lo spostamento e la pressione c’è una rotazione di
fase di 90o
Quando lo spostamento è massimo o minimo, la distanza
tra particelle contigue è la stessa che si ha a riposo
La pressione sonora è nulla
Metodi numerici per l’acustica
10
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Pressione sonora e velocità (6)
• Lunghezza d’onda λ
velocità del suono c [m/s]
λ=
=
frequenza
f [Hz]
• Esempi
- Aria
c = 340 m/s
f = 20 Hz
- Acqua
c = 1450 m/s
f = 20 Hz
Metodi numerici per l’acustica
λ = 17 m
λ = 72,5 m
11
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (1)
• Si considerano fluidi ideali, cioè
- omogenei,
- isotropi
- perfettamente elastici
- non dissipativi
• Punto di partenza:
- equazione di Eulero
- equazione di continuità
Metodi numerici per l’acustica
12
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (2)
• Equazione di Eulero
E’ la seconda legge della dinamica di Newton applicata
al volume elementare V0 contenente una massa ρV0 di
fluido.
dy
z
fx
y
x
dz
dx
Metodi numerici per l’acustica
∂p
ex
∂x
13
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (3)
• Supponendo che la pressione sonora p cresca secondo
la direzione x con un gradiente ∂p ∂x , si ha che la forza
nella direzione x vale:
∂p
∂p
f x = − dx (dy dz ) = − ⋅ V0
∂x
∂x
La massa nel volume V0 è ρV0 , essendo ρ la densità del
fluido. Applicando la II legge della dinamica (F=ma):
∂p
du x
⋅ V0 = − ρ
V0
dt
∂x
Metodi numerici per l’acustica
14
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (4)
• Nell’ipotesi di piccole variazioni di densità (rispetto alla
densità all’equilibrio ρ0) si ha:
in cui:
∂p
du x
= − ρ0
dt
∂x
du x ∂u x
∂u x
=
+ ux
dt
∂t
∂x
Solitamente il secondo termine è trascurabile, per
cui:
∂p
∂u x
= − ρ0
∂x
∂t
Metodi numerici per l’acustica
15
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (5)
• In tre dimensioni:
∂u y ∂p
∂p
∂u x ∂p
∂u z
= − ρ0
= − ρ0
= − ρ0
;
;
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
∂t
Introducendo i versori degli assi ex ,ey e ez :
∂p
∂p
∂p
∂u
ex
+ ey
+ ez
= − ρ0
∂x
∂y
∂z
∂t
e usando il gradiente:
∂u
grad p = − ρ 0
∂t
Metodi numerici per l’acustica
16
equazione di Eulero o
equazione del moto
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (6)
• Equazione di continuità
Esprime il principio secondo il quale il flusso della massa
che attraversa le pareti del volume elementare deve
uguagliare la variazione della massa al suo interno.
dy
ρ (ξ x +
ρξ x (dy dz )
z
y
x
Metodi numerici per l’acustica
dz
∂p
ex
∂x
dx
17
∂ξ x
dx)(dy dz )
∂x
ξ è lo spostamento
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (7)
La variazione della massa all’interno di V0 dovuta allo
spostamento nella direzione x è
∂ξ x
∂ξ x
ρξ x (dy dz ) − ρ (ξ x +
dx)(dy dz ) = − ρ
dx(dy dz )
∂x
∂x
La variazione totale della massa deve essere uguale alla
variazione di densità del fluido:
∂ξ y
∂ξ x
∂ξ z
ρ
dx(dy dz ) + ρ
dy ( dx dz ) + ρ
dz (dx dy ) =
∂x
∂y
∂z
= −( ρ − ρ 0 ) dx dy dz
Metodi numerici per l’acustica
18
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (8)
Si introduce la condensazione δ come variazione relativa
di densità del fluido.
ρ − ρ0 ρ − ρ0
≈
δ=
ρ
ρ0
Si ottiene:
∂ξ x ∂ξ y ∂ξ z
+
+
= −δ ⇒ div ξ = −δ
∂x
∂y
∂z
e derivando:
∂δ
div u = −
∂t
Metodi numerici per l’acustica
equazione di continuità del flusso
(legge di conservazione della
materia)
19
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (9)
• Equazione di stato
Tiene conto del comportamento termodinamico del
fluido. Si assume che la perturbazione sonora non dia
luogo a variazioni di temperatura (processo
adiabatico):
P è la pressione totale e γ è il rapporto tra i
calori specifici del gas a pressione e a
PV γ = costante
volume costante
Considerando il gas a riposo e in presenza della
perturbazione sonora rispettivamente si ha:
p0V0γ = PV γ
e quindi
γ
 V0 
P = p0  
V 
Metodi numerici per l’acustica
20
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (10)
γ
 ρ 
In funzione della densità: P = p0  
 ρ0 
In termini differenziali (nell’ipotesi di piccole variazioni
γ −1
di densità):
 ρ  dρ
ρ − ρ0
dP = γ p0  
≈ γ p0
ρ0
 ρ0  ρ0
cioè in funzione della pressione sonora p:
p = γ p0δ
e derivando:
Metodi numerici per l’acustica
1 ∂p
∂δ
=γ
p0 ∂t
∂t
21
equazione di stato
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (11)
• Equazioni dell’onda
L’equazione di Eulero, l’equazione di continuità e
l’equazione di stato possono essere combinate tra loro
per ottenere l’equazione dell’onda
∂δ
 1 ∂p
 p ∂t = γ ∂t
0

 div u = − ∂δ

∂t
e derivando:
Metodi numerici per l’acustica
∂p
= −γ p0 div u
∂t
∂2 p
∂u
= −γ p0 div ( )
2
∂t
∂t
22
(*)
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (12)
Applicando l’operatore di divergenza all’equazione di
Eulero:
∂u
div (grad p ) = − ρ 0 div ( )
∂t
2
2
div
(grad
p
)
=
∇
p
∇
cioè (
, in cui
è l’operatore laplaciano):
∂u
2
∇ p = − ρ0 div ( )
∂t
e combinando con la (*):
2
1 ∂ p
∇ p= 2 2
c ∂t
2
Metodi numerici per l’acustica
23
equazione dell’onda
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (13)
p0
c= γ
ρ0
è la velocità di propagazione dell’onda nel gas
L’equazione dell’onda si può estendere a qualunque
fluido (anche liquido) ponendo:
c=
Ks
ρ0
in cui Ks è il modulo di elasticità adiabatico del fluido (1/ Ks
è la compressibilità adiabatica).
Metodi numerici per l’acustica
24
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (14)
Velocità di propagazione nei gas
Se si assume per l’aria:
ρ 0 = 1, 292 kg/m3 , γ = 1, 402, p0 = 1 atm=1,0133 ⋅105 Pa, T = 0o
si trova c0=331,6 m/s, valore molto prossimo a quello
solitamente accettato (331,45 m/s).
Per quanto riguarda la dipendenza dalla temperatura si ha:
c = c0
Tk
T
= c0 1 +
273,16
273,16
in cui Tk è la temperatura in Kelvin. A 23º si ha c=345,4 m/s.
Metodi numerici per l’acustica
25
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Propagazione nei fluidi (14)
Velocità di propagazione nei liquidi
In questo caso si usa la relazione:
c=
Ks
ρ0
Si trova che nell’acqua distillata a 20º c=1481 m/s.
La dipendenza dalla temperatura viene solitamente
rappresentata con relazioni di tipo empirico.
Velocità di propagazione nei solidi
Acciaio: 6095 m/s
Quarzo: 5485 m/s
Legno (abete, faggio): 3300 m/s
Metodi numerici per l’acustica
26
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde piane (1)
Una soluzione importante sono le onde piane, in cui le
grandezze acustiche dipendono da un’unica variabile
spaziale. In tal caso:
∂ 2p 1 ∂ 2p
= 2 2
2
∂x
c ∂t
e la soluzione è la somma di due termini:
 x 
p(x,t) = f  t −  + g t +
 c 
x

c
in cui f e g sono due funzioni arbitrarie e rappresentano
rispettivamente un’onda che si muove nella direzione
positiva delle x e un’onda nella direzione opposta, alla
velocità c.
Metodi numerici per l’acustica
27
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde piane (2)
c(t2-t1)
p
t=t1
x
t=t2
p
x
Esempio di onda piana
progressiva che si
propaga con velocita’ c.
Esempi di onde piane progressive generate da un pistone all’interno di un
condotto:
p
Singolo impulso di
pressione
x
p
x
ω
Metodi numerici per l’acustica
28
Onda armonica
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde piane (3)
Nel caso di onde sinusoidali:
x


p( x, t ) = p cos ω (t − ) + ϕ  = p cos(ωt − kx + ϕ )
c


in cui k = ω/c è il numero d’onda. Per un fissato t la
pressione assume gli stessi valori a intervalli λ= 2π/k,
essendo λ la lunghezza d’onda:
c c
λ = 2π = = cT
ω f
N.B. Nell’aria alla
temperatura di 23 ºC
c = 345 m/s
Metodi numerici per l’acustica
f = 100 Hz
f = 1 kHz
f = 10 kHz
29
λ = 3,45 m
λ = 0,345 m
λ = 3,45 cm
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde sferiche (1)
Un secondo tipo di soluzione è quello delle onde sferiche,
caratterizzate da simmetria radiale ed emesse da una
sorgente puntiforme nello spazio illimitato. In questo caso
le grandezze del campo dipendono dalla distanza r dalla
sorgente.
In coordinate sferiche il laplaciano si scrive:
2
2
∂
p
2
∂
p
1
∂
(rp )
2
∇ p= 2 +
=
r ∂r r ∂r 2
∂r
Metodi numerici per l’acustica
30
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde sferiche (2)
L’equazione dell’onda diventa:
∂ 2 (rp ) 1 ∂ 2 (rp)
= 2
2
c ∂t 2
∂r
La soluzione è analoga a quella delle onde piane scritta
per la variabile rp:
e quindi:
 x
 x
rp = f  t −  + g  t + 
 c
 c
1
p ( x, t ) =
r
Metodi numerici per l’acustica
 x 1  x
f  t −  + g t + 
 c r  c
31
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde sferiche (3)
Nella relazione precedente f e g sono due onde sferiche,
divergente e convergente rispettivamente.
In particolare nel caso di un’onda sferica armonica
divergente:
p
p ( x, t ) = cos(ωt − kr + ϕ )
r
NOTA Contrariamente a quello che avviene con le onde
piane, la pressione sonora di un’onda sferica si attenua
in modo inversamente proporzionale alla distanza.
Metodi numerici per l’acustica
32
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Impedenza acustica (1)
Un’onda piana progressiva è rappresentata dall’equazione:
 x
p ( x, t ) = f  t − 
 c
La velocità di particella può essere calcolata con
l’equazione di Eulero applicata alla direzione x:
∂u x
∂p 1 '  x 
ρ0
=−
= f t − 
∂t
∂x c  c 
1  x
ux =
f t − 
ρ0c  c 
cioè velocità e pressione hanno lo stesso andamento (sono
in fase).
Metodi numerici per l’acustica
33
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Impedenza acustica (2)
Il rapporto tra pressione sonora e velocità della particella è
costante e pari a:
p
Z 0 = = ρ0c
u
 Pa ⋅ s kg ⋅ s 
 m = m2 


Z0 è l’impedenza acustica caratteristica del mezzo.
I valori più elevati si hanno nei solidi (107 Pa ⋅ s/m ).
In aria a 20º si ha Z0 =415 Pa ⋅ s/m .
In acqua Z0 = 1,48 x 106 Pa ⋅ s/m .
Metodi numerici per l’acustica
34
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Impedenza acustica (3)
L’impedenza acustica caratteristica è analoga ad altre
grandezze fisiche come l’impedenza di una linea di
trasmissione, l’indice di rifrazione della luce, l’impedenza
elettrica in un circuito.
NB: l’impedenza acustica caratteristica vale per le onde
piane ed è un caso particolare dell’impedenza acustica
specifica (impedenza acustica per unità di superficie).
L’impedenza acustica specifica in generale è una quantità
complessa Z=R+jX, essendo R la resistenza acustica
specifica e X la reattanza acustica specifica.
Metodi numerici per l’acustica
35
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Impedenza acustica (4)
Esempio
Nelle onde sferiche pressione e velocità non sono in fase,
quindi l’impedenza acustica specifica è una quantità
complessa. In particolare, dipende dal rapporto tra la
distanza r dalla sorgente e la lunghezza d’onda λ.
Quando r >>λ (cioè l’onda è assimilabile ad un’onda piana)
allora:
R → ρ 0c
X →0
Metodi numerici per l’acustica
36
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Riflessione, trasmissione, diffrazione
•Il passaggio di un’onda acustica da un mezzo ad un altro implica la
considerazione di fenomeni di riflessione, trasmissione e diffrazione,
che dipendono in modo essenziale dalle proprietà fisiche della
superficie di separazione e dei due mezzi.
•I due mezzi possono essere entrambi fluidi oppure un fluido e un
solido (in questo caso le proprietà variano in modo brusco).
•Anche le caratteristiche di uno stesso mezzo possono variare
(esempio: aria con gradiente di temperatura).
•In prima approssimazione i fenomeni di riflessione e trasmissione
possono essere trattati con i principi dell’acustica geometrica.
Metodi numerici per l’acustica
37
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Riflessione e trasmissione (1)
Si consideri un’onda piana armonica di ampiezza p che si
propaga nella direzione positiva delle x da un mezzo con
impedenza Z1=ρ1c1 a un mezzo con impedenza Z2=ρ2c2.
pr
pt
pi
ρ1c1
ρ2c2
x
0
Si indicano con pi , pr e pt le ampiezze dell’onda
incidente, riflessa e trasmessa rispettivamente.
Metodi numerici per l’acustica
38
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Riflessione e trasmissione (2)
Si definiscono le quantità:
pr
r=
pi
pt
τ=
pi
coefficiente di riflessione
coefficiente di trasmissione
Siccome la pressione sonora nei due mezzi sulla superficie
di separazione è la stessa si ha:
pi + pr = pt
Analogamente per la velocità di particella:
ui + ur = ut
Metodi numerici per l’acustica
39
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Riflessione e trasmissione (3)
Ricordando che p/u = ± Z (il segno dipende dal verso di
propagazione) si ha:
pi − pr pt
=
Z1
Z2
Usando le relazioni precedenti si ricava:
Z 2 − Z1 1− Z1 /Z 2
r=
=
Z 2 + Z1 1+ Z1 /Z 2
•Z1=Z2
l’onda viene
totalmente trasmessa.
2Z 2
2
τ=
=
Z 2 + Z1 1+ Z1 /Z 2
Metodi numerici per l’acustica
40
•Z1<Z2
r>0
•Z1>Z2
r<0
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Riflessione e trasmissione (4)
Nel caso di incidenza obliqua:
θr
θi
θt
0
x
Come in ottica geometrica, si ha:
sen θ i = sen θ r
Si definisce angolo critico θc :
c1
θc = arcsen( )
c2
Metodi numerici per l’acustica
sen θ t c 2
=
sen θ i c1
legge di Snell
Se c1 < c2 e θi > θc non si ha
trasmissione
41
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Riflessione e trasmissione (5)
In presenza di mezzi solidi il modello è più complicato a
causa della presenza di onde trasversali.
Nell’ipotesi semplificativa di incidenza normale e assenza
di onde trasversali, il solido puo’ essere descritto da una
impedenza acustica specifica normale (complessa):
Z n = Rn + jX n
e si ha:
(Rn − Z1 ) + jX n
r=
(Rn + Z1 ) + jX n
2(Rn + jX n )
τ=
(Rn + Z1 ) + jX n
Metodi numerici per l’acustica
42
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Diffrazione (1)
La riflessione e la trasmissione sono stati trattati nell’ipotesi
che le superfici di separazione tra i mezzi fossero
infinitamente estese.
Tuttavia (a differenza di quanto avviene in ottica) le
lunghezze d’onda sono solitamente confrontabili con le
dimensioni degli oggetti presenti nell’ambiente dove ha
luogo la propagazione
diffrazione
La diffrazione è un fenomeno complesso e ha un ruolo
importante in numerose applicazioni (per esempio nello
studio di barriere acustiche)
Metodi numerici per l’acustica
43
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Diffrazione (2)
Esempio: onda piana che attraversa un’apertura in un divisorio di
impedenza acustica infinita
d
d >>λ: oltre l’apertura l’onda è
limitata spazialmente
λ
d < λ: oltre l’apertura l’onda si
propaga anche nella zona
d’ombra acustica
d
λ
Metodi numerici per l’acustica
44
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Diffrazione (3)
Esempio: onda piana che incide su un ostacolo
d >>λ: oltre l’ostacolo c’è una
zona d’ombra acustica
d
λ
d < λ: oltre l’ostacolo l’onda si
propaga anche nella zona
d’ombra
d
λ
Metodi numerici per l’acustica
45
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Interferenza di onde (1)
Se le perturbazioni sonore sono piccole, in presenza di
più onde si puo’ applicare la sovrapposizione degli effetti.
In tal caso, se le onde hanno la stessa frequenza, il
risultato dipende dalla relazione di fase tra di esse
(interferenza costruttiva o distruttiva).
Caso notevole: battimenti. Si considerino due onde armoniche (per
semplicità si è considerato solo il termine temporale della fase):
p1 = p1 cos(2πf1t)
p2 = p2 cos(2πf 2 t)
Si supponga:
p1 = p2 e f 2 = f1 + ∆f
Metodi numerici per l’acustica
46
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Interferenza di onde (2)
L’onda risultante è:
p = p1 ⋅ [cos(2πf1t) + cos(2πf 2 t)]
cioè:
  f 2 − f1     f 2 + f1  
p = 2 p1 cos π 
t cosπ 
 t
  2    2 
L’onda risultante ha una frequenza che è la media aritmetica delle
frequenze, mentre la sua ampiezza varia sinusoidalmente con una
frequenza data dalla semidifferenza delle frequenze.
Metodi numerici per l’acustica
47
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde stazionarie (1)
Si consideri un’onda piana armonica in un condotto
terminato:
ω
Se la terminazione ha un’impedenza acustica molto
elevata, l’onda riflessa ha la stessa ampiezza p di quella
incidente e l’onda risultante sarà:
Cioè:

p = pcos

Metodi numerici per l’acustica
  x 
 
ω t −  + cosω t +
  c 
 
x 

c 
 ωx 
p = 2 pcos  cosωt

c 
48
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde stazionarie (2)
L’espressione:
 ωx 

2π 
p = 2 pcos  cosωt = 2 p cos
x  cos2πft


c 
λ 
mostra che nel condotto si ha un’onda la cui ampiezza è
2 p cos2πx / λ .
nodi dell’onda
In particolare si ha sempre:
λ
λ
2πx
cos
= 0 per x = + k
, k = 0,±1,...
λ
4
2
ventri dell’onda
(o antinodi)
λ
2πx
cos
= ±1 per x = k
, k = 0,±1,...
λ
2
Metodi numerici per l’acustica
49
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Onde stazionarie (3)
Si hanno onde stazionarie in ogni spazio chiuso di forma
regolare; Si parla in tal caso di modi propri di vibrazione o
modi di risonanza.
In generale la distanza d tra le pareti determina le
frequenze di risonanza possibili. La frequenza più bassa
è data da:
c
f =
2d
mentre le altre frequenze sono multipli interi della più
bassa:
c
fn = n
2d
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (1)
Intensità sonora
L’intensità sonora I è la quantità di energia che attraversa
una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione
di propagazione dell’onda. Si misura in W/m2.
u
Nell’intervallo dt per effetto della
pressione p le particelle vengono
spostate della quantità dx = u dt.
Il lavoro della forza che agisce sulle
particelle (cioè l’energia trasferita nel
mezzo) è:
dL = dE = p u dS dt
dx
Metodi numerici per l’acustica
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (2)
Quindi il prodotto della pressione sonora p per la velocità di
particella u si puo’ interpretare come l’energia trasferita per
unità di superficie e di tempo.
Per un’onda piana progressiva si ha:

x
I = pu cos ω(t − )

c 
2
Solitamente si usa l’intensità media:
1
I =
T
T
∫
0
2


p
x
1
pu cos2 ω(t − )dt = pu =

2ρ0c
c 
2
Metodi numerici per l’acustica
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (3)
Usando il valore efficace pˆ = p
pˆ 2
I =
ρ0c
2 si ha:
W/m2
cioè l’intensità sonora è il rapporto tra la pressione
sonora efficace e l’impedenza acustica caratteristica.
Si dimostra che questa relazione vale anche per le
onde sferiche.
Densità di energia sonora
In molti casi si fa riferimento alla densità di energia sonora D:
I
pˆ 2
D=
=
2
c ρ0c
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W⋅ s/m3
Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (4)
Potenza sonora
La potenza sonora W è l’integrale dell’intensità:
W=
∫ I dS
S
W
S
Nel caso che la sorgente irradi in modo
uniforme nello spazio si ha:
r
dS
sorgente
Metodi numerici per l’acustica
2
ˆ
2
2 p
W = 4πr IS = 4πr
ρ0c
essendo IS l’intensità a distanza r.
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (5)
Livello di pressione sonora (SPL)
E’ definito da:
p2
p
Lp =10 log 2 = 20 log
p0
p0
dB
in cui:
−6
p0 = 20⋅10
Pa
è la soglia di udibilità (media) a 1000 Hz.
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (6)
Approssimativamente si ha:
2
Lp =10 log p + 94 dB
Esempio
p = 2 ⋅10−1 N/m 2 ⇒ SPL = 80 dB
p = 10−1 N/m 2 ⇒ SPL = 74 dB
Raddoppiando la pressione si ha un aumento di 6 dB
del livello di pressione sonora.
Metodi numerici per l’acustica
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (7)
• Perché si usano i dB?
Si usano i dB perchè la dinamica delle pressioni di
interesse è molto estesa: la soglia di udibilità e quella
del dolore (60 Pa) sono separate da 12 ordini di
grandezza!
• NB Il livello di pressione sonora è una misura oggettiva e
non è l’unica grandezza che determina la sensazione
sonora (“loudness”).
La sensazione sonora soggettiva di un tono sinusoidale
dipende anche dalla frequenza (un tono con SPL=120
dB a 1000 Hz è molto forte, ma non è udibile a 30kHz).
Metodi numerici per l’acustica
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (8)
Nella pratica:
- si usano microfoni e idrofoni per misurare il livello di
pressione sonora
- si tiene conto di curve di uguale loudness
- si introducono funzioni di ponderazione standard
(valide per toni sinusoidali):
A: per livelli bassi
B: per livelli medi
C: per livelli elevati
D: speciale per rumore di aeroplani
Metodi numerici per l’acustica
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (9)
Livello di potenza sonora
E’ definito da:
in cui:
W
Lw = 10 log
dB
W0
W0 = 10−12
W
è la potenza sonora di riferimento.
Approssimativamente si ha:
Lw = 10 logW + 120 dB
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (10)
Potenze sonore tipiche e livelli di potenza
Conversazione tra persone:
7x10-6 W
Lw=68 dB
Voce umana (max):
2x10-3 W
Lw=93 dB
Clacson:
5 W
Lw=127 dB
Orchestra di 75 elementi:
70 W
Lw=138 dB
Sirena d’allarme:
1000 W
Lw=150 dB
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (11)
Livello di intensità sonora
E’ definito da:
in cui:
I
LI = 10 log
dB
I0
I 0 = 10−12 W/m2
è l’intensità sonora di riferimento.
Esempio
Una sorgente irradia uniformemente una potenza sonora di 0,1 W.
Alla distanza di 10 m l’intensità sonora è:
I = W / 4πr 2 = 7,95×10−5
W/m2
mentre il livello di intensità sonora è:
7,95×10−5
LI = 10 log
= 79 dB
−12
10
Metodi numerici per l’acustica
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (12)
Relazioni tra i livelli
Nell’ipotesi che sia valida la relazione:
allora si ha:
ˆp 2
I =
ρ0 c
2
W/m
2
pˆ
dB
LI = 10 log
I 0 ρ0 c
Se ρ0c = 400 Pa s/m (impedenza dell’aria a 39º), allora:
2
pˆ
LI = 10 log 2 = Lp dB
p0
cioè i livelli di intensità e di potenza sonora sono uguali
(NB: a 20º ρ0c = 415 Pa s/m).
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica
Grandezze fondamentali (13)
Effetto di più sorgenti
Se le sorgenti non sono correlate si può supporre che non
ci siano relazioni di fase tra i suoni emessi. In tal caso le
energie semplicemente si sommano.
Esempio
Nel caso di due onde sonore a frequenza diversa con Lp1= 90dB e Lp2 =
85dB si trova che il livello di pressione totale è:
p12 + p22
= 91,2 dB
Ltot = 10 log
2
p0
Se Lp1= Lp2 si trova Ltot = Lp1+ 3dB. Analogamente con 4 sorgenti si
troverebbe un aumento di 6 dB rispetto alla sorgente singola, ecc.
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Cap. 2 – Nozioni base di acustica