Equilibrio del punto libero Equilibrio del punto vincolato

STATICA DEL PUNTO LIBERO E DEL PUNTO VINCOLATO
La Statica, l'abbiamo gia accennato nell'introduzione, e la branca della Meccanica che si occupa di
risolvere il problema, di notevole interesse pratico, di stabilire le condizioni, dette di equilibrio, cui devono
soddisfare le forze agenti su un sistema o su un punto materiale perche il moto del sistema o del punto
degeneri nella quiete. Essendo la quiete un particolare moto, appare chiaro come la Statica, sebbene sia
stata sviluppata assai prima della Dinamica, si possa considerare un settore particolare della Dinamica. Per
questo svilupperemo la Statica invocando quanto gia stabilito in Dinamica.
Equilibrio del punto libero
Sia F(P; vp ; t) la forza agente sul punto materiale P misurata da un osservatore in un sistema di
riferimento inerziale. Posta la velocita vp indenticamente eguale a zero nella legge della forza, otteniamo il
campo vettoriale, eventualmente dipendente da t:
P ! F(P; 0; t) 8 t:
Cio posto, si denisce posizione di equilibrio della forza F(P; vp ; t) agente sul punto materiale P , ogni
punto P 0 dello spazio solidale alla terna inerziale tale che
F(P 0 ; 0; t) = 0
(1)
8 t:
Dalla denizione posta discende il seguente teorema:
Se F(P; vp ; t) e la forza agente sul punto materiale P , condizione necessaria e suciente anche il
punto P0 sia un punto di equilibrio della forza e che il punto materiale sia collocato in P 0 con velocita nulla.
Infatti, dalla legge fondamentale
2
= F(P; vp ; t);
m d dtOP
2
(2)
deduciamo:
i) se il punto P e in quiete in P 0 allora essendo l'accelerazione e la velocita di P eguali a zero si ha:
0 = F(P; 0; t)
8 t;
cioe P0 e una posizione di equilibrio; viceversa
ii) se P0 e una posizione di equilibrio
(3)
F(P 0 ; 0; t) = 0
8t
allora per il teorema di unicita, OP = OP 0 e l'unica soluzione dell'equazione (2) compatibile con (3).
Il teorema precedente continua a valere anche se il sistema di riferimento ove si studia l'equilibrio non e
inerziale, purche alla forza agente sul punto si aggiunga la forza apparente di trascinamento, annullandosi
identicamente, per la presenza del vettore velocita, la forza di Coriolis. In questo caso la condizione di
equilibrio si scrive:
(4)
F(P 0 ; 0; t) + F (P 0 ; 0; t) = 0
8 t:
Il problema fondamentale della Statica del punto libero consiste nella determinazione dei punti di equilibrio
della forza che agisce sul punto; il problema si risolve determinando l'incognita P0 nella equazione (4).
Equilibrio del punto vincolato
Se F(P; vp ; t) e la forza, comprensiva eventualmente della forza apparente di trascinamento se
l'osservatore opera in un sistema di riferimento non inerziale, agente sul punto materiale vincolato P , allora
si denisce posizione di equilibrio della forza F(P; vp ; t) ogni posizione P 0 tale che in detta posizione la
forza F(P 0 ; 0; t) appartiene 8 t alla classe () delle reazioni vincolari che il vincolo e capace di esplicare.
Per il punto vincolato vale il seguente teorema:
Se F(P; vp ; t) e la forza agente sul punto materiale P , condizione necessaria anche il punto stia in
quiete in P 0 e che P 0 sia una posizione di equilibrio per la forza.
1
Infatti, dalla
m ddt02P = F(P; vp ; t) + ;
2
segue, se il punto e in quiete in P 0
0 = F(P 0 ; 0; t) + (5)
cioe
8t
F(P 0 ; 0; t) = ;
ovvero 8 t la forza F(P 0 ; 0; t) appartiene alla classe () delle reazioni vincolari che il vincolo puo esplicare.
Poiche per invertire il teorema precedente e necessario considerare di volta in volta il comportamento
del vincolo e tenuto conto che d'ora in poi svilupperemo la Statica facendo costantemente l'ipotesi che i
vincoli siano ssi e che le forze attive di origine non vincolare, compresa la forza apparente di trascinamento,
siano indipendenti dal tempo, ammetteremo a completamento del teorema precedente la seguente regola,
mai contraddetta, di equilibrio.
E suciente (e necessario) mettere con velocita nulla un punto in una posizione di equilibrio per la forza
che su di esso agisce perche il punto vi rimanga in quiete.
Il problema fondamentale della Statica del punto vincolato consiste: nella determinazione delle posizioni
di equilibrio e nella determinazione delle reazioni vincolari esplicate in tali posizioni dal vincolo.
Una qualunque equazione che permetta la determinazione delle posizioni di equilibrio che non contenga
traccia della reazione vincolare incognita e detta equazione pura dell'equilibrio.
Criteri di equilibrio
I coni di attrito e la regola di equilibrio consentono di dare una caratterizzazione della posizioni di
equilibrio di un punto vincolato ad una curva o ad una supercie scabra o lisca.
D'ora in poi intenderemo per posizione di equilibrio di un punto quella della corrispondente forza agente
su esso.
a) Un punto vincolato a stare su una curva scabra (liscia) e in una data posizione P 0 , in posizione di
equilibrio se e solo se la forza agente sul punto e non interna al cono di attrito statico relativo a P 0
(ortogonale alla curva in P 0 ).
b.1) Un punto vincolato bilateralmente a stare su una supercie scabra (liscia) e in una data posizione P 0 ,
in posizione di equilibrio se e solo se la forza agente sul punto e non esterna al cono di attrito statico
relativo a P 0 (ortogonale alla supercie in P 0 ).
b.2) Un punto vincolato unilateralmente a stare su una supercie scabra (liscia) e in una data posizione P 0 ,
in posizione di equilibrio se e solo se la forza agente sul punto e non esterna alla falda interna del cono
di attrito statico relativo a P 0 (ortogonale alla supercie in P 0 e diretta dalla parte non consentita dal
vincolo).
Concludiamo questa unita adattando al caso statico le formule ottenute nel caso del punto vincolato a stare
su una supercie o su una curva.
i) punto vincolato a stare su una supercie liscia e ssa
(6)
8
>> X (x; y; z; 0) + @f = 0
@x
>>
>< Y (x; y; z; 0) + @f = 0
@y
>>
>> Z (x; y; z; 0) + @f = 0
@z
>:
f (x; y; z) = 0:
2
ii) Punto vincolato a stare su una curva ssa e liscia
(7)
8
>> X (x; y; z; 0) + 1 @f1 + 2 @f2 = 0
@x
@x
>>
>> Y (x; y; z; 0) + 1 @f1 + 2 @f2 = 0
<
@y
@y
>> Z (x; y; z; 0) + 1 @f1 + 2 @f2 = 0
>>
@z
@x
>> f1(x; y; z) = 0
:
f2 (x; y; z) = 0
iii) Equazini intrinseche
8 0 = F=^t(s; 0) + A
>>
>< 0 = F=n^ (s; 0) + =n^
>> 0 = F=b^ (s; 0)
>: j A j f q2 + 2 :(8)
s
^
^
=n
=b
Se il vincolo e senza attrito, fs = 0, la prima delle (8) fornisce l'equazione pura dell'equilibrio:
(9)
F=^t (s; 0) = 0:
3