Elaborato Laboratorio Matematica 47-48
Docenti di Riferimento: Prof. Dapueto, Prof.ssa Pesce
Tirocinanti: Cabella, Cesarini, Gustini, Piras, Romano
Sommario
Sommario ............................................................................................................................................. 1
Collocazione del tema nell’arco del curricolo pluriennale .................................................................. 2
Quadro di riferimento: le indicazioni programmatiche.................................................................... 2
La proposta alternativa ..................................................................................................................... 3
Una ipotesi di percorso didattico ..................................................................................................... 4
Interdisciplinarietà (cenni) ............................................................................................................... 7
Descrizione di un’attività ..................................................................................................................... 8
Ricadute didattiche ........................................................................................................................... 9
Descrizione di alcune difficoltà ........................................................................................................... 9
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Collocazione del tema nell’arco del curricolo pluriennale
Quadro di riferimento: le indicazioni programmatiche
Le indicazioni programmatiche prevedono che gli allievi giungano alla scuola secondaria superiore
in possesso di alcuni concetti di base relativi a statistica e probabilità.
Nel periodo della scuola primaria, i maestri attuano un percorso che porta i bambini ad acquisire
confidenza con tabelle di dati, relative alla descrizione di particolari fenomeni e tale percorso
prosegue durante la scuola secondaria di primo grado.
Estrapolando dai programmi ministeriali le indicazioni curricolari relative a questo secondo livello
di scuola , si legge infatti che al termine della stessa gli studenti dovrebbero essere in grado di
comprendere:
Affermazioni del tipo vero/falso e affermazioni di tipo probabilistico. Uso corretto dei
connettivi logici (e, o, non).
Rilevamenti statistici e loro rappresentazione grafica (istogrammi, aerogrammi...);
frequenza; media.
Avvenimenti casuali; nozioni di probabilità e sue applicazioni.
A tal proposito il legislatore aggiunge:
“ L'introduzione degli elementi di statistica descrittiva e della nozione di probabilità ha lo scopo di
fornire uno strumento fondamentale per l'attività di matematizzazione di notevole valore
interdisciplinare. La nozione di probabilità scaturisce sia come naturale conclusione dagli
argomenti di statistica sia da semplici esperimenti di estrazioni casuali.
L'insegnante, evitando di presentare una definizione formale di probabilità, avrà cura invece di
mettere in guardia gli allievi dai più diffusi fraintendimenti riguardanti sia l'interpretazione dei dati
statistici sia l'impiego della probabilità nella previsione degli eventi. Le applicazioni non dovranno
oltrepassare il calcolo delle probabilità in situazioni molto semplici, legate a problemi concreti (ad
esempio nella genetica, nell'economia, nei giochi).”
Per quello che riguarda la scuola secondaria di secondo grado , i temi ovviamente vengono allargati
ed approfonditi. La possibile sintesi degli argomenti che le indicazioni curricolari forniscono
individua:
Per il biennio
Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori, eventi disgiunti e "regola della somma".
Probabilità condizionata, probabilità composta. Eventi indipendenti e "regola del
prodotto".
Elementi di statistica descrittiva: rilevazione di dati, valori di sintesi, indici di variabilità.
Per il triennio
Statistica descrittiva bivariata: matrice dei dati, tabelle a doppia entrata, distribuzioni
statistiche (congiunte, condizionate, marginali). Regressione e correlazione
Valutazioni e definizioni di probabilità in vari contesti
Correlazione, indipendenza, formula di Bayes.
Variabili aleatorie in una e *in due dimensioni* (casi finiti)
Variabili aleatorie discrete: distribuzioni binomiale, *geometrica, di Poisson*
Distribuzioni continue. Distribuzione normale ed errori di misura nelle scienze
sperimentali. Distribuzione uniforme.
Distribuzione esponenziale
Legge dei grandi numeri (Bernoulli)
Confronti tra le distribuzioni binomiale, di Poisson, normale (mediante la costruzione di
tabelle numeriche).
Inferenza statistica: stima dei parametri per modelli semplici.
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La proposta alternativa
Pare opportuno richiamare e commentare alcune annotazioni che si trovano all’interno dei
programmi1: laddove si legge che:
“Gli elementi di calcolo delle probabilità e statistica rispondono all'esigenza di abituare l'alunno
ad effettuare modellizzazioni di situazioni in condizioni di incertezza”si conviene che trattare
razionalmente le proprie informazioni ed assumere decisioni coerenti costituisca un interessante
esempio di matematizzazione Continuando nella lettura tuttavia il legislatore afferma:“A questo fine
è preferibile che la statistica descrittiva (studio dei fenomeni collettivi) preceda il calcolo delle
probabilità, in quanto atta a fornire semplici modelli capaci di aprire la problematica concettuale
delle probabilità. Inoltre la statistica descrittiva bivariata è così largamente utilizzata nella
pubblicistica quotidiana che appare molto opportuno e naturale il suo inserimento precoce nella
scuola.”inoltre si dice che “l'eventuale trattazione della statistica inferenziale, essendo basata
sull'applicazione del calcolo delle probabilità a problemi statistici, deve necessariamente seguire la
trattazione dei due precedenti argomenti.”
Contrapponendosi alle indicazioni appena richiamate, il percorso didattico oggetto del presente
documento segue un’impostazione leggermente diversa.
La domanda che sorge spontanea è “Per quale motivo vige la prassi di separare nettamente i tempi
in cui introdurre la probabilità e la statistica nei programmi di tutti gli istituti?”
Si ritiene al contrario che sia utile svolgere in parallelo i due filoni, tradizionalmente tenuti separati,
di probabilità e statistica.
Nelle indicazioni curricolari si legge:
Lo studio delle probabilità, sviluppa un corretto approccio alla analisi di situazioni in condizioni di
incertezza, e aiuta lo studente nel trattare informazioni e assumere decisioni nella vita corrente.
Nello stesso tempo la statistica agevolerebbe la comprensione di problemi e contesti di tipo
interdisciplinare, tramite le sue applicazioni e quindi permetterebbe l'analisi e l'interpretazione dei
dati presentati in varie forme.
Emerge dalla lettura come i due temi, condividendo gli stessi obiettivi di fondo, appaiono
strettamente legati, tanto da sembrare due lati della stessa medaglia.
Questo avalla l’ipotesi di uno sviluppo contemporaneo di statistica e probabilità che segua un
andamento “a spirale”, per cui nel biennio si raggiunga un primo livello di formalizzazione
adeguato agli strumenti matematici a disposizione degli studenti.
Tale percorso proseguirà poi nel triennio, pervenendo ad un adeguato innalzamento del livello di
formalizzazione; il tutto nel rispetto delle finalità specifiche delle diverse scuole.
In questo senso, occorrerà guardarsi anche dal ridurre la probabilità al puro calcolo combinatorio,
che ha una indubbia utilità ma non permette di affrontare adeguatamente determinate
problematiche.
Il compito dell'insegnante è di fornire all'allievo un'idea adeguata della statistica e della probabilità,
sottolineando come esse siano strumento fondamentale della nostra conoscenza, per quanto riguarda
la capacità di interpretare dati e di inferire l’andamento di un fenomeno.
A tal fine gli esempi e gli esercizi saranno scelti anche in modo da sottolinearne l'importanza nella
vita sociale ed economica del cittadino.
Nel formulare l’ipotesi di percorso, un’ulteriore domanda sorta è stata:
“Il concetto di funzione, dalle sue fasi iniziali sino ai temi trattati nell’analisi, è affrontato in tutti gli
istituti (con le opportune tempistiche) come mai le distribuzioni continue vengono viste solo nel V
anno di alcuni istituti, mentre in altri (quali i licei linguistico e classico) non vengono neppure
menzionate?”
1
In particolare si fa riferimento alla sperimentazione Brocca per i licei e Mercurio per l’istituto tecnico commerciale.
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Vista l’importanza che si ritiene abbia tale tematica, perché allora non proporre un livello di
requisiti di base, comuni a tutti gli indirizzi, in modo che gli studenti possano essere in grado di
cogliere almeno i temi principali di questo argomento, per non trovarsi disarmati di fronte agli
stimoli e ai temi proposti nella vita reale?
Si ritiene che alla base di questa impostazione ci sia l’errore di considerare lo studio dell’analisi
propedeutico alla trattazione del continuo, quando invece per affrontare tale argomento è sufficiente
possedere il concetto di funzione, con pochi aggiustamenti rispetto al caso discreto, differendo
questo dall’altro essenzialmente per il fatto di possedere dominio non continuo.
Se si riflette poi sul fatto che i primi rudimenti del concetto di funzione si possono far risalire
all’utilizzo di semplici tabelle con coppie di valori, si comprende come potrebbe essere possibile
affrontare in un biennio (dopo aver costruito le opportune competenze di base), tale salto dal
discreto al continuo.
Una ipotesi di percorso didattico
Il percorso descritto di seguito è pensato per essere proposto in un biennio di scuola secondaria di
secondo grado.
Esso parte dal verificare le conoscenze pregresse (andando a decostruire eventuali misconcetti,
derivabili in primis dall’uso di termini che appartengono al linguaggio comune, che da esso
ereditano alcune accezioni non sempre adeguate se talvolta ambigue) e colmando eventuali lacune,
in modo da costruire una piattaforma di competenze comuni per la classe.
L’idea chiave del processo è di introdurre la statistica come strumento per descrivere la realtà
utilizzando delle serie complete di dati oppure campioni, esplicitando da subito agli studenti che
tale lavoro è propedeutico ad una attività di studio che richiederà ulteriori approfondimenti.
Con questo presupposto si vuole articolare il percorso in maniera tale che già dal biennio lo studente
comprenda che l’interpretazione dei dati di un campione, nell’ipotesi che questo sia rappresentativo,
permette di inferire informazioni su un’intera popolazione.
In questo modo lo studente prenderebbe coscienza della necessità di porsi criticamente nei confronti
della statistica che gli viene proposta dai mass media.
Data la valenza pratica di tale argomento, la didattica dovrà essere basata su un approccio
focalizzato sulle esperienze di laboratorio, in modo da attivare un processo di “scoperta” da parte
degli allievi, ovvero facendo si che siano gli stessi studenti a sperimentare e raccogliere dati.
Svolta questa fase si affronterebbe un’attività al calcolatore mediante opportuni software (es. Excel)
che rappresentino i dati raccolti in forma di grafici.
In aggiunta o in alternativa, si potrebbe anche proporre l’analisi di dati e tabelle tratte da indagini
pubblicate in rete.
Ad esempio si consideri un’indagine, fatta da un giornale, su un tema come “il cantante pop più amato del
momento”: l’esito dell’indagine è fortemente influenzato dal target dei propri lettori, dal loro numero, che
potrebbe essere limitato, e quindi insufficiente a trarre conclusioni corrette, oltre che condizionato dal
fatto che i votanti sono particolarmente motivati a esprimere la propria opinione.
In questo senso, lo studio dei parametri caratteristici della distribuzione, cioè gli indici (moda,
mediana, media, indici di dispersione…) diverrebbe uno strumento essenziale, ma non l’obbiettivo
da raggiungere.
Se da un lato questo studio ha il vantaggio di non prevedere il ricorso a strumenti formali complessi,
essendo sufficienti elementari abilità di calcolo (quattro operazioni, complemento, percentuali),
dall’altro consente di “avere il polso” di un fenomeno e quindi, con uno sforzo cognitivo adeguato
all’età della classe ipotizzata, permette di cogliere i primi aspetti significativi della scienza
statistica.
In parallelo si potrebbero richiamare alcune delle definizioni di probabilità (classica, frequentista,
soggettivista) leggendole criticamente e discutendone il significato. Frequentemente l’unica idea
formale fornita dalla scuola del concetto di probabilità è quello di “rapporto tra casi favorevoli e
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casi possibili”, senza considerare che generalmente questa è la creazione di un modello ideale che
non tiene conto di fattori reali, imprevedibili, e quindi non così facilmente individuabili.
1) Non si può conoscere a priori con esattezza la distribuzione interna della densità del materiale
con cui è stato realizzato un dado: come possiamo quindi dire che ciascuna faccia abbia la
stessa probabilità di uscire?
2) Affiancando all’immagine di Guglielmo Tell che si accinge a scoccare la sua freccia la frase
“Sono certo che colpirò la mela”, si intavola la discussione in merito ai fattori che influenzano
l’evento.
3) Supponendo di fare un viaggio in aereo, come si potrebbe valutare la possibilità di un errore
del pilota in fase di atterraggio? Ciò che è interessante in casi di questo tipo è l’impossibilità di
contare casi favorevoli e possibili, di valutare parametri complessi quali le capacità, intenzioni,
e condizioni generali del pilota, o lo stato dell’aereo. Al contempo emergerebbe il ruolo delle
preferenze soggettive del viaggiatore.
Per introdurre la legge dei grandi numeri, e quindi la possibilità di considerare la frequenza relativa
come misura della probabilità di un evento, pare particolarmente efficace l’utilizzo del calcolatore.
La forza della simulazione sta nella sua prerogativa di mostrare direttamente allo studente il
fenomeno, permettendogli di fare congetture che portino ad ipotizzare l’esistenza di relazioni, senza
l’appesantimento di una dimostrazione formale, destinata a essere proposta solo in alcuni tipi di
scuola, e di certo, è il caso di dire, in un momento successivo della spirale.
Acquisire una buona capacità di gestione degli istogrammi dovrebbe mettere gli studenti in
condizione di interpretarne correttamente il significato indipendentemente dal metodo di
rappresentazione.
Come retaggio degli studi precedenti, l’allievo costruisce solitamente gli istogrammi a partire da
tabelle di frequenze assolute, e questo comporta una abitudine a leggere soltanto le altezze dei
rettangoli.
Per interrompere questa “cattiva abitudine” ci si propone di introdurre quanto prima l’utilizzo delle
frequenze relative in ordinata agli istogrammi, in modo da facilitare l’importante passaggio
cognitivo che porta al riconoscimento dell’area dei rettangoli come reale rappresentazione della
frequenza e, successivamente, della probabilità. Inoltre esprimere i dati in termini relativi presenta
l’ulteriore vantaggio di associare l’evento certo all’unità.
Considerato che nella scuola secondaria di primo grado vengono solitamente proposti solo
istogrammi in cui i rettangoli hanno tutti basi uguali, si intende mostrare istogrammi che presentino
dati organizzati su rettangoli aventi basi diverse.
Sembra agevolare la comprensione dei suddetti punti chiave l’introduzione del concetto di
percentile.
Ad esempio, un utile esercizio da proporre è, dato un istogramma, individuare mediante l’uso del colore, i
diversi quartili, in quanto il cromatismo evidenzia il ruolo dell’area nella distribuzione dei dati.
Sin dall’inizio del percorso si è mostrata agli studenti l’importanza della scelta di un campione
adeguato sia per chi legge sia per chi costruisce una statistica.
La domanda alla quale si cerca di dare risposta è la seguente “Qual è il campione di dati che, con un
certo grado di confidenza, mi consente di ritenere le conclusioni dedotte da esso valide per l’intera
popolazione che sto analizzando?”.
La popolazione oggetto dello studio può essere finita o infinita, ma si noti che, anche nel primo caso
(numero di aziende, studenti, ecc.), ha egualmente senso avvalersi di un campione, per motivi di
tempi, costi e precisione di analisi dei dati.
La questione posta non è banale, e anzi si può dire che l’intera statistica si poggi su questo tema. Si
noti che non si tratta solo di un problema di numerosità del campione, ma anche di stratificazione
dello stesso.
1) Si prendano ad esempio le indagini di gradimento auditel dei vari programmi televisivi,
condotte attraverso apparecchi installati nelle TV di un campione di utenti in tutta Italia. La
scelta di come distribuire i congegni tiene conto di alcune caratteristiche quali l’età degli
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utenti, la posizione geografica, la tipologia di famiglie, ecc.: si cerca in sostanza di bilanciare il
campione in modo da renderlo rappresentativo della popolazione.
2) Quando compero un’anguria, per sapere se è abbastanza dolce posso chiedere un assaggio al
fruttivendolo, con la convinzione che da quel pezzo potrò prevedere il gusto dell’intero frutto.
In questo modo ho un grande risparmio di tempo e di lavoro, altrimenti per valutarne la bontà
l’unica alternativa sarebbe quella di mangiare l’intero frutto!
Qual è la fetta migliore, più “rappresentativa”? Nuovamente non parliamo solo di dimensioni,
ma anche di posizione della fetta.
In tutti e due gli esempi si intravede il messaggio che va trasmesso agli studenti: la statistica è una
branca della matematica il cui fine è quello di prevedere il comportamento di una popolazione;
conoscendo solo quello di una parte di essa denominata campione.
Sotto queste condizioni appare evidente che non siamo di fronte ad una scienza esatta, ma ad una
serie di teorie che tentano di elevare il grado di approssimazione con cui si rappresentano i
comportamenti dei fenomeni reali.
Le ultime considerazioni consentono di spostare l’oggetto dello studio dalla rappresentatività del
campione alla inferenza2 operata attraverso di esso.
Come si è visto, praticamente per tutti i fenomeni reali non è possibile acquisire la totalità dei dati
che rappresentano un fenomeno: da ciò deriva la necessità di identificare un campione su cui
condurre un’inferenza.
Pertanto per affrontare correttamente il concetto di inferenza è bene che gli studenti abbiano chiaro
il significato di parametro, inteso come indice costante, caratteristico della popolazione.
L’inferenza statistica sarà quindi definita come quel processo induttivo con il quale, dato un
campione osservato di una certa popolazione, si vogliono stimare i parametri che la specificano
completamente.
L’inferenza statistica prende in considerazione due procedimenti:
1. La stima dei parametri: procedimento con il quale dal campione osservato si traggono
informazioni al fine di assegnare un valore (stima puntuale) o un insieme di valori (stima
per intervallo) al parametro scelto come rappresentativo dell’intera popolazione;
2. La verifica dell’ipotesi: procedimento con il quale si individua una congettura sul
parametro, detta ipotesi, e si decidono dei criteri sulla base dei quali tale ipotesi sarà
accettata o rigettata.
Negli esercizi è possibile fare osservare agli studenti come, aumentando via via le classi di
intervallo, e quindi diminuendo le ampiezze delle basi dei rettangoli (dalla base di ampiezza 1 si
passa a quella di ampiezza Δx3) il poligono delle frequenze vari la propria forma. In alcuni casi la
spezzata assomiglia sempre di più a funzioni note ai matematici, con tutti i vantaggi che derivano
dal fatto di conoscerle compiutamente. Assumono un ruolo centrale nel processo da presentare agli
studenti le situazioni in cui la spezzata tenda a confondersi con la funzione di Gauss. In tal caso la
conoscenza dell’espressione analitica f ( x)
1
2
e
( xm)2
2 2
non ha alcun valore aggiunto: di fatto,
indipendentemente dal livello di studio, per fruirla si deve far uso di tabelle.
Nell’introdurre la funzione di Gauss va comunque sottolineato agli studenti che nella realtà non
sempre la distribuzione delle variabili causali assume questo andamento; esistono diversi casi in cui
è possibile identificare un massimo (distribuzione di frequenza unimodale), ma non si ritrova una
gaussiana. In altri casi la presenza di ulteriori fattori può addirittura portare ad andamenti non
prevedibili. Un esempio di ciò è la distribuzione del peso in una popolazione.
Buon esercizio potrebbe essere la costruzione dei grafici a partire dai dati. Svolgendo tale lavoro si
preferisce evitare di misurare i dati biometrici degli studenti (altezze, pesi, etc) per evitare possibili
2
Per inferenza si intende il processo attraverso il quale si arriva ad una conclusione, partendo da un insieme di fatti e
circostanze.
3
Senza accorgersene per la prima volta lo studente viene avvicinato al calcolo differenziale.
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conseguenze psicologiche negative (l’età degli studenti del biennio è ancora delicata). Al contrario si
potrebbe ricorrere a dati facilmente reperibili in rete (sito istat, etc).
Si dovrà porre anche particolare attenzione al fatto che il campione degli individui osservati sia
uniforme per ceppo razziale.
Agli studenti andrà precisato che, in tutti i casi nei quali non ci si può ricondurre ad una gaussiana,
si potrà comunque operare il processo di inferenza, identificando, laddove non sia possibile
ricondursi ad un altro tipo di curva nota, i parametri che si ritengono rappresentativi del fenomeno.
Il fine del procedimento è quello di dare visibilità agli allievi, (ad un livello di dettaglio più o meno
approfondito), di due pilastri della statistica, ovvero:
1. Il Teorema del Limite Centrale, che appartiene ad una famiglia di teoremi di convergenza
nell'ambito della teoria della probabilità. A tutti i teoremi è comune l'affermazione che la
somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita
approssimativamente come una variabile casuale normale standard (Gaussiana). Si dovrà
porre particolare attenzione nel trasmettere agli studenti che non è la variabile casuale a
distribuirsi come una gaussiana, ma la somma di n variabili e solo nel caso in cui n tenda
all’infinito; per fissare questo concetto si utilizzerà l’attività esperienziale in laboratorio
della quale discute in seguito.
2. La legge dei grandi numeri, invece, descrive il comportamento della media di una sequenza
di n variabili casuali indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n
misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta ecc.) al tendere ad infinito della
numerosità della sequenza stessa (n).
La (2) garantisce che la media campionaria è uno stimatore consistente della media di una
popolazione ovvero, grazie alla legge dei grandi numeri, è accettabile ritenere che la media che
calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia ragionevolmente vicina alla media
vera.
Anche per validare questo importante risultato si utilizza l’attività in laboratorio.
Il percorso fino ad ora illustrato viene declinato tramite l’utilizzo di problemi reali, connessi al
vissuto degli studenti e alla tipologia di scuola di riferimento. Ad esempio in un istituto alberghiero
potrebbe avere senso far riferimento a esperienze legate a ditte di ristorazione, in istituti nautici si
potrebbero fare riferimenti alla meteorologia, negli IPSIA alle percentuali di guasto di un motore
(detta curva a “vasca da bagno”).
Interdisciplinarietà (cenni)
Il calcolo della probabilità e statistica ha collegamenti con:
1. In fisica e chimica e in particolare in due argomenti che sono comuni ad entrambe le
discipline, ovvero:
a. la teoria degli errori
b. la teoria cinetica dei gas
2. In economia, in moltissimi aspetti connessi con la vita reale, come ad esempio:
a. studio del rischio connesso alle polizze
3. In psicologia/sociologia:
a. stime di comportamento di popolazioni
b. valutazione dei risultati di analisi mediche
Più in generale tutte le volte che in una materia si debbano considerare dei campioni e delle stime
allora l’utilizzo della statistica diviene irrinunciabile
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Descrizione di un’attività
Il percorso di avvale di un’esperienza di laboratorio di fisica che viene frequentemente condotta
nella secondaria superiore il cui fine è quello di studiare la legge del moto verificandone la
rispondenza al modello teorico.
Quello che si intende fare è prendere spunto dai contenuti strettamente legati ai fenomeni fisici, per
trarne considerazioni nel campo dell’inferenza statistica.
L’obiettivo didattico che ci si pone è passare dal discreto al continuo attraverso misurazioni
cronometriche di corpi che si muovono.
Per i contenuti e le caratteristiche dell’esperienza si ritiene di poterla sottoporre a studenti di un
biennio tecnico.
Materiali occorrenti:
Una rotaia inclinata dotata di fori dai quali è possibile, attraverso l’azionamento di un
piccolo compressore elettrico, far defluire aria e poter quindi ritenere nullo l’effetto
dell’attrito;
Un carrellino, progettato per scorrere sulla rotaia;
Due sensori di posizione posti sulla rotaia e collegati entrambi ad un cronometro digitale,
che consentono di rilevare il tempo in cui il carrellino transita tra le due posizioni fissate
sulla rotaia;
Un centimetro per misurare la distanza tra i sensori;
Il laboratorio ed eventuali strumenti informatici quali Excel, Stat, Maple o altri software per
la gestione dei dati e la produzione di grafici.
Metodologia
L’idea è quella di fissare i sensori in diverse posizioni: in ciascuna delle quali gli studenti
registreranno un certo numero di volte il tempo in cui il carrellino transita tra i due sensori A parità
di distanza tra i sensori, campionando dei tempi, che a causa della precisione dello strumento di
rilevazione, saranno differenti tra loro.
Lo scopo è quello di far riflettere gli allievi sul comportamento dell’errore dello strumento di
misura, nonché trarre considerazioni sulle misure che se ne ricavano.
Avendo a disposizione tutte le serie di dati ci si sposterà nel laboratorio di informatica, dove gli
studenti organizzati per gruppi, saranno sollecitati a riflettere sui seguenti aspetti:
1. Considerare una singola serie di misure, ovvero:
a. ragionare sui tempi di passaggio tra le fotocellule,
b. calcolarne il valor medio
c. osservare come i dati si distribuiscano intorno a questo (in teoria in modo
assolutamente casuale)
2. Validare il Teorema del Limite Centrale, nella totalità delle serie di misure. Gli studenti
andranno a rappresentare graficamente sul piano i valori delle medie calcolate per ogni
singola serie. In questo modo si troveranno davanti ad un andamento di tipo gaussiano.
3. Validare la Legge dei Grandi Numeri, osservando il comportamento dell’errore sperimentale
nella totalità delle serie: l'errore sarà inteso come modulo dello scostamento tra il valor
medio di ogni singola serie e la media complessiva.
Tale errore costituisce una nuova variabile casuale, della quale é possibile calcolare lo scarto
quadratico medio e verificare che esso decresce come l`inverso della radice del numero delle serie.
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Ricadute didattiche
Tutto questo lavoro dovrebbe consentire ai ragazzi di comprendere come, al crescere dei dati a
disposizione le nostre stime divengono via via più precise, si passa dalla frequenza alla probabilità e
quindi, dal discreto al continuo.
Quello che dovrà essere trasmesso agli studenti, attraverso la riorganizzazione in classe del lavoro
svolto è l’utilità di questo passaggio. Lavorare con una distribuzione del continuo qual è ad esempio
nel nostro caso la curva Gaussiana offre molti vantaggi, perché di questa curva noi conosciamo
praticamente tutto.
Si illustrerà loro come calcolare la probabilità che un dato ricada in un determinato intervallo, si
faranno considerazione sulla variabilità dei dati, gli intervalli di confidenza e quindi
Sarà nondimeno importante rappresentare agli allievi che non sempre (anzi in rari casi) si possono
inferire informazioni su una popolazione avvalendosi di distribuzioni delle quali è noto ogni
parametro, spesso i dati non sono rappresentativi, sono in numero insufficiente o semplicemente il
fenomeno non si presta ad essere ricondotto a curve note.
Da questo approccio, gli allievi dovrebbero trarre benefici quali:
Migliorare la capacità di lavorare in gruppo, confrontare le proprie opinioni, suddividere i
compiti e lavorare in modo cooperativo
Imparare a manipolare dati, ordinarli in tabelle e a costruire grafici
Acquisire la competenza connessa alla deduzione di regole, leggi o semplici congetture
partendo dall’osservazione di un fenomeno e dall’analisi dei dati che, con le moderne
tecnologie si possono prelevare durante l’osservazione
Sulla base delle caratteristiche dell’esperienza condotta individuare sia aree di ulteriore
approfondimento che ambiti per nuovi sviluppi.
Descrizione di alcune difficoltà
L’introduzione del calcolo delle probabilità avviene già alle scuole medie inferiori, tramite varie
esperienze legate a situazioni reali in cui possono trovarsi gli allievi.
I concetti vengono presentati con delle approssimazioni che poi causano il nascere di misconcezioni
che vengono corrette solo con una certa difficoltà nella scuola media superiore e poi all’università.
Procediamo ora ad elencare alcune tipologie di errore che, dalle nostre ricerche, abbiamo dedotto
essere molto diffuse.
Elenco degli errori:
1. In genere si tende a considerare che la probabilità sia espressa dalla frazione
Probabilità
Casi favorevoli
Casi possibili
Equazione 1
Questa formula, espressa da Laplace nel suo “Theorie Analytique des Probabilities”, è una
considerazione corretta soltanto nel caso in cui la legge di distribuzione sia uniforme. Poiché la cosa
di solito non viene rimarcata abbastanza, gli allievi sono portati a commettere degli errori di
impostazione.
L’Equazione 1 descrive semplicemente un metodo di calcolo in un caso ben preciso e non è sempre
utilizzabile alla stregua di una definizione.
2. Un altra difficoltà è rappresentata dalla definizione di variabili indipendenti e di variabili
dipendenti in probabilità. Essa non ha nulla a che fare con la nozione di variabile dipendente
e indipendente che si utilizza comunemente nello studio di funzioni, in quanto si tratta di
termini che assumono significati differenti a seconda del contesto in cui sono collocati.
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3. Legato al punto (2) è un’altra ambiguità più sottile, che è rappresentata dal legame tra le
variabili dipendenti. L’errore è considerare dei rapporti di causa-effetto tra le variabili
dipendenti, ma questa è una relazione che non si applica nel caso delle dipendenze
probabilistiche, anzi può portare a considerazioni completamente errate.
Esempio.
Il fatto che chi guida un certo tipo di macchina sportiva abbia più spesso incidenti di altri potrebbe portare
a considerare che statisticamente tale auto non sia sicura, mentre invece le ragioni potrebbero essere
completamente differenti.
Il tipo di macchina potrebbe essere estremamente sicura e questo potrebbe spingere inconsciamente i
possessori ad una guida particolarmente sportiva (senza averne le indispensabili competenze), e ciò
comporterebbe una maggiore facilità di incidenti.
4. L’aspetto forse più complesso di tutta la probabilità delle superiori è il tema del passaggio
dal discreto al continuo.
Il primo problema che si incontra lavorando sul problema (4) è legato al fatto che le variabili casuali
possono assumere valori su un intervallo (a,b) e non più su un insieme discreto di valori. Quindi
risultano meno gestibili dallo studente, che non riesce più a costruire una immagine mentale di tutti
i casi possibili.
5. Alcuni problemi che gli studenti incontrano quando affrontano lo studio delle probabilità
derivano dall’abuso che si fa delle proporzioni nella scuola media. Qui di seguito
presentiamo un problema che può essere risolto agevolmente con le proporzioni, ma il
risultato che si ottiene non è accettabile:
Esempio
lla partita interrotta:
Descrizione del problema:
Due studenti stanno giocando a dadi in classe durante il cambio dell’ora. Per vincere devono arrivare a 6.
Lo studente A è arrivato a 5 punti, lo studente B è arrivato a 3 punti. La posta del gioco è di 2 euro e 40
centesimi (il prezzo della pizza nell’intervallo e di una bibita).
Ad un certo punto arriva il docente e il gioco si interrompe.
Come deve essere divisa la posta tra i due giocatori dato che non c’è nessun vincitore?
Soluzione
Un primo livello di risoluzione prevede l’utilizzo delle proporzioni e quindi se il punteggio totale
raggiunto è di 8 si imposta la proporzione in questo modo:
8 : 5 2, 4 : x
→ proporzione che stabilisce quanto deve prendere il giocatore A
Dal calcolo otteniamo che lo studente A percepirebbe 1,5 euro e l’altro studente 90 centesimi. Tutto
corretto? No! Perché lo studente A è molto più vicino alla vittoria di B e quindi solo 1,5 euro non riporta
correttamente lo stato della partita interrotta.
La soluzione richiede una stima più complessa, che tenga conto della probabilità di vittoria, dato il
punteggio a cui si è giunti.
sia E1 → l’evento che A segni un punto
sia E2 → l’evento che B segni un punto
Se il punteggio era di 5 a 3 per il giocatore A, la vittoria di quest’ultimo si verifica nel caso si presenti una
di queste sequenze:
E1 (il giocatore A segna subito un punto, arrivando a 6 e vince)
E2;E1 (dapprima il giocatore B segna un punto, arrivando a 4, poi ne segna uno il giocatore A,
che arriva a 6 e vince)
E2;E2;E1 (il giocatore B segna due punti di seguito, arrivando a 5, poi il giocatore A ne segna
uno, arrivando a 6 e vince)
1
1 1 1
1 1 1 1
, il caso (b) vale , il caso (c) vale , .
2
2 2 4
2 2 2 8
1 1 1 7
A questo punto la P(A) ovvero la probabilità favorevole ad A sarà:
2 4 8 8
Il caso (a) vale
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Elaborato Laboratorio Matematica 47-48
Docenti di Riferimento: Prof. Dapueto, Prof.ssa Pesce
Tirocinanti: Cabella, Cesarini, Gustini, Piras, Romano
Quindi ad A spettano 2 euro e 10 centesimi, al giocatore B spettano 30 centesimi 4.
Il risultato di questo problema ci pone davanti ad una importante considerazione: il calcolo delle
probabilità non può essere affrontato con le semplici proporzioni. Esse sono accettabili solo in casi
ben determinati, ma in casi come quello appena presentato forniscono una approssimazione non
accettabile.
Il lavoro del docente dovrà essere quello di presentare in classe questo tipo di problematiche e
l’esercizio ben si presta ad una azione diretta di laboratorio, in modo da far lavorare in modo
cooperativo con gli studenti, in modo da ridurre le misconcezioni prodotte da un uso eccessivo delle
proporzioni nella scuola media.
4
Il problema era stato risolto erroneamente da Fra Luca Pacioli con le proporzioni. Pascal e Fermat in maniera
indipendente diedero la soluzione del problema con il metodo che abbiamo descritto.
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