Meccanica Razionale
Invarianza rispetto al sistema di riferimento: tutte le leggi fondamentali della fisica sono le stesse in
tutti i sistemi di riferimento inerziali, lo spazio condivide un tempo comune e la distanza tra due punti è
la stessa per qualsiasi sistema di riferimento si consideri. Un vettore può essere espresso con infinite
basi dello spazio a cui appartiene ma è invariante in quanto tensore.
Un vettore espresso con la base
si chiama mentre con la base
si
chiama . Perciò, definita la matrice di trasformazione tra le due basi si può dire che
e
. Definiamo l'oggetto composto da tre vettori (vettori componenti degli assi ) e tre
vettori (vettori componenti degli assi ) . ha la particolarità di non variare con il cambiamento di
base. Perciò risulta che
: sia che sono tensori doppi.
Tensore: ente invariante rispetto al sistema di riferimento in quanto è definito solo dallo spazio
vettoriale al quale appartiene. Si dice di ordine 1 se si tratta di un vettore, di ordine 2(o doppio) se si
tratta di una matrice quadrata.
Tensore di rotazione di una terna: data una terna fissa , ,
e una terna mobile , , si
definisce il tensore di rotazione della terna mobile rispetto alla terna fissa come la matrice dei coseni
direttori degli angoli tra i versori mobili e quelli fissi
La matrice è ortogonale e unitaria in quanto
Convenzione di Einstein:
, ma non è necessariamente simmetrica
Cinematica
Richiami di cinematica del punto: posizione, traiettoria, velocità, accelerazione
Dato un sistema di riferimento fisso in O ( , , ) si definisce la posizione del punto
dove è la componente del vettore
nella direzione
La traiettoria del punto è definita come
ovvero di
e quindi indica la posizione
del punto (delle sue componenti lungo gli assi del sistema di riferimento) in funzione del tempo.
Se c'è correlazione tra le tre componenti allora la traiettoria può essere descritta come
La velocità del punto
è la variazione della posizione nell'unità di tempo, ovvero
L'accelerazione del punto
è la variazione della velocità nell'unità di tempo, ovvero
Cinematica relativa: velocità angolare terna mobile
Un punto solidale con la terna mobile
non varia la sua posizione rispetto ad essa nel tempo dunque
è la matrice velocità angolare ed è definita come
È una matrice antisimmetrica (
) e ad essa si può associare un vettore
della terna mobile rispetto alla terna fissa tale per cui
detto velocità angolare
e quindi
Cinematica relativa: formule di Poisson
Data una terna mobile e i suoi versori con velocità angolare
Cinematica relativa: velocità relativa e di trascinamento
La velocità di un punto si può esprimere, secondo il Teorema della composizione delle velocità, come
ovvero la somma della velocità relativa e la velocità di trascinamento
Velocità relativa:
, ovvero la velocità del punto
rispetto alla terna mobile;
Velocità di trascinamento:
,
ovvero la velocità che avrebbe il punto se fosse solidale alla terna mobile(quindi la velocità della terna
mobile rispetto alla terna fissa)
Cinematica relativa: accelerazione relativa, accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis
Accelerazione relativa: indica la variazione di velocità del punto rispetto la terna mobile
(il termine
fa parte dell'accelerazione di Coriolis)
Accelerazione di trascinamento: indica la variazione di velocità della terna mobile rispetto a quella fissa
poiché
(il termine
fa parte dell'accelerazione di Coriolis, mentre il termine
indica
l'accelerazione centripeta: infatti è rivolta verso il punto )
l'Accelerazione di Coriolis: i due termini
trovati nel derivare le due tipologie di velocità
rappresentano l'accelerazione
. L'accelerazione di Coriolis dipende sia dal movimento
della terna mobile rispetto alla terna fissa sia al movimento del punto
Cinematica relativa: legge di composizione delle accelerazioni
Il teorema di Coriolis afferma che un punto ha un accelerazione pari a
Vincoli: caratterizzazione dei vincoli
Vincolo olonomo: vincolo di natura non differenziale ma solo intera, esprimibile come una funzione
ad esempio un carrello che scorre lungo una direzione fissa
Vincolo anolonomo: vincolo di natura differenziale, quindi esprimibile come
ad esempio la lama dei pattini di un pattinatore sul ghiaccio
Vincolo bilatero: vincolo che agisce da entrambe le parti della superficie di vincolo, quindi espresso
mediante uguaglianza
Vincolo unilatero: vincolo che agisce solo da una parte della superficie di vincolo, quindi esprimibile
mediante disuguaglianza
Vincolo fisso: vincolo tra coordinate spaziali
Vincolo mobile: vincolo tra coordinate spaziali
indipendente dal tempo
dipendente dal tempo
Vincoli: gradi di libertà e coordinate libere
I gradi di libertà(gdl) di un corpo indicano in quanti modi può un corpo cambiare posizione. Un punto
vincolato da equazioni di vincolo ha
coordinate libere, ovvero necessita solamente di
parametri per descrivere univocamente la sua posizione. Coordinate libere = gradi di libertà
Un punto nel piano ha 2 gdl, mentre nello spazio ha 3 gdl. Un corpo rigido nel piano ha 3 gdl(posizione x
e y, rotazione) mentre nello spazio ha 6 gdl (posizione e rotazione rispetto i 3 assi).
Un sistema di punti ha
gdl
Vincoli: atto di moto e movimento
Atto di moto: è il campo vettoriale delle velocità di ogni punto del sistema.
Determinare l'atto di moto di un sistema significa determinare la velocità di un punto in funzione della
sua posizione(Approccio Euleriano)
e sono coordinate libere
Movimento: è la funzione temporale delle coordinate libere. Determinare il movimento(moto) significa
trovare la posizione di un punto in funzione del tempo(Approccio Lagrangiano)
Vincoli: alcuni tipi di vincoli
Incastro: toglie 3 gdl e crea due reazioni vincolari e un momento vincolare(es. asta incastrata a terra)
Cerniera: toglie 2 gdl e crea due reazioni vincolari(es. asta che può solo ruotare attorno alla cerniera)
Carrello: toglie 1 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento(es. asta il cui
estremo scorre orizzontalmente mediante carrello)
Manicotto: toglie 2 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento e un momento
vincolare che non permette all'asta di ruotare attorno l'estemo vincolato
Bipendolo: toglie 4 gdl ad un sistema di due aste, una vincolata a cerniera fissa e l'altra vincolata alla
prima con cerniera mobile
Cerniera mobile: vincola due punti di due corpi diversi togliendo
gdl ad un sistema di corpi
Corpo rigido: sistema rigido
Un sistema rigido è composto da punti tutti sempre equidistanti e con gli angoli tra i punti invarianti. Se
il sistema ha punti infinitamente vicini si chiama corpo rigido
Corpo rigido: atto di moto rigido(d)
Ogni istante il sistema deve avere l'invarianza delle distanze e degli angoli
Condizione necessaria e sufficiente per descrivere un sistema con un atto di moto rigido è che per ogni
coppia di punti
valga la seguente relazione
Dimostrazione
togliendo il 2 si ha poi
Corpo rigido: velocità angolare, formula fondamentale(d)
Dati due punti
esiste un'unica velocità angolare(vettore)
tale per cui
Dimostrazione
Essendo un corpo rigido
e derivando(dividendo poi per 2)
Ciò vuol dire che i due fattori sono perpendicolari, quindi esiste almeno un vettore
tale per cui
Prendiamo un altro punto appartenente al corpo rigido, quindi
e con lo stesso procedimento di prima si trova un vettore tale per cui
deve valere anche per la coppia
(scegliendo
) perciò
Sottraendo
e quindi necessariamente
il vettore velocità angolare è unico
Prendiamo infine un punto
per ogni coppia di punti, e perciò
del corpo rigido, dunque
Dunque la velocità angolare è indipendente dalla terna di riferimento scelta.
La formula fondamentale di moto rigido è
Corpo rigido: atto di moto traslatorio, rotatorio, rototraslatorio(d)
Atto di moto traslatorio:
e
quindi tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità in
modulo, direzione e verso
Atto di moto rotatorio:
con
. Se esiste un punto a velocità nulla si
dice che questo punto è il centro di istantanea rotazione e l'atto di moto è rotatorio
Atto di moto rototraslatorio: :
e
per qualsiasi punto
Corpo rigido: Invariante scalare cinematico, asse di istantanea rotazione e asse di Mozzi(d)
Dalla formula fondamentale
se premoltiplichiamo scalarmente per
otteniamo
Essendo
per l'ortogonalità tra e
si ha che
detto invariante scalare cinematico dell'atto di moto rigido in quanto vale per
qualsiasi punto.
Atto di moto traslatorio:
poiché
Atto di moto rotatorio:
poiché, sebbene
, esiste un punto tale che
La retta ottenuta è quella di tutti punti con velocità nulla: questa retta si chiama Asse di istantanea
rotazione ed è parallela a .
Atto di moto rototraslatorio:
e
, quindi
per qualsiasi punto
Essendo
vuol dire che la componente di parallela a non è nulla per la natura del
prodotto scalare(altrimenti sarebbe nullo). Tuttavia la componente di perpendicolare a può
essere nulla e perciò cerchiamo dei punti che soddisfino questa condizione, ovvero
.
(
è la componente parallela a ,
è la componente perpendicolare a )
ma
in quanto paralleli
Questo comporta che anche
Scelto un altro punto di cui conosciamo la velocità si ha, per l'atto di moto rigido
I punti appartenenti alla retta appena trovata sono quelli a velocità minima in quanto hanno solo
componente parallela alla velocità angolare(
)
La retta appena trovata si chiama Asse di Mozzi
Corpo rigido: atto di moto piano, centro di istantanea rotazione
Quando tutte le velocità di un corpo rigido sono contenute in un unico piano fisso (detto piano
direttore), e quindi sono parallele ad esso, si dice che il corpo segue un atto di moto rigido piano. Il
punto in cui
si dice centro di istantanea rotazione(CIR), e corrisponde all'intersezione tra
l'asse di istantanea rotazione(che nel caso piano è perpendicolare al piano) e il piano stesso. Esso si
individua con la formula
o mediante il teorema di Chasles
Corpo rigido: teorema di Eulero
Il teorema di Eulero afferma che l'atto di moto rigido piano può essere solo rotatorio e solo traslatorio
Dimostrazione
Se non è traslatorio
quindi esiste tale che
, quindi
rotatorio
Se non è rotatorio
quindi
traslatorio
Corpo rigido: teorema di Chasles(d)
Il teorema di Chasles afferma che in un atto di moto rigido piano il centro di istantanea rotazione si
trova nell'intersezione tra le rette perpendicolari alle velocità di due punti
diversi
Dimostrazione
quindi
ovvero
e
Essendo l'atto di moto piano si ha che
Le rette passanti per
e
si incontrano appunto in , quindi il teorema è dimostrato
Corpo rigido: base e rulletta
Base: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna mobile
Rulletta: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna fissa
Corpo rigido: vincolo di puro rotolamento e rotolamento con strisciamento
Puro rotolamento: vincolo tra due corpi che rotolano insieme con un punto di contatto che ha la
caratteristica di avere la stessa velocità in entrambi i corpi. Se un disco rotola senza strisciare su una
guida fissa la velocità del punto di contatto con la guida è nulla, e quel punto è il CIR. Togliendo due
gradi di libertà le reazioni vincolari nel punto di contatto di puro rotolamento sono due: una tangente e
una normale
Rotolamento con strisciamento: toglie solo un grado di libertà e nel punto di contatto la componente
tangente della velocità è diversa mentre quella normale è uguale su entrambi i corpi.
Dinamica
Leggi di Newton
1. Principio di inerzia: un punto isolato che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un
osservatore inerziale(ovvero che si muove di moto rettilineo uniforme) permane nel suo stato.
2. Legge fondamentale della dinamica: un punto di massa che si muove con un'accelerazione
è sottoposto ad una forza risultante, somma di tutte le forze che agiscono su di esso, pari a
3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione, quindi se un punto
isolato viene sottoposto ad una forza dovuta ad un altro punto isolato , questo punto
sarà sottoposto ad una forza
a causa di .
Determinismo newtoniano
Condizione necessaria e sufficiente per determinare la legge oraria di un punto è conoscere
Alcuni tipi di forze(attive)
Forza peso: forza dovuta all'interazione gravitazionale
con versore uscente dal campo gravitazionale
Interazione tra due punti: se due corpi hanno dimensioni molto ridotte rispetto alla dimensione del
moto, si possono considerare punti formi(es. pianeti del sistema solare)
Forza elastica: forza dovuta al cambiamento di lunghezza di una molla, sempre contraria
all'allungamento
con costante elastica(rigidità della molla) e allungamento della molla. Se la lunghezza
della molla a riposo è nulla allora l'allungamento della molla corrisponde alla sua lunghezza.
Forza di attrito viscoso: forza dovuta all'interazione tra un oggetto il mezzo il cui esso si muove
Mezzi molto viscosi hanno
Mezzi poco viscosi hanno
e la forza viene detta resistenza viscosa
e la forza viene detta resistenza aerodinamica
Reazioni vincolari(reattive)
Le reazioni vincolari sono forze dovute alla presenza di vincoli. Per vincoli bilateri il verso è arbitrario
mentre per vincoli unilateri il verso è sempre concorde con le possibilità di movimento(es. appoggio su
guida orizzontale ha un vincolo sempre verso l'alto e non negativo). Il numero di reazioni vincolari è
pari al numero di gradi di libertà che toglie un vincolo.
Attrito
Un vincolo di appoggio su guida orizzontale liscia presenta solo una reazione vincolare verticale. Un
vincolo di appoggio su guida orizzontale scabra presenta due reazioni vincolari: quella verticale e quella
orizzontale(sempre opposta al moto). Si dice attrito statico se non c'è moto relativo tra i due corpi
vincolati mentre si dice attrito dinamico se avviene un moto relativo tra i corpi.
Attrito statico: persiste fino a che le forze reattive agenti nella direzione tangente sono minori di quelle
reattive in direzione verticale, moltiplicate per un coefficiente
Attrito dinamico: si ha quando le forze reattive tangenti sono uguali a quelle verticali moltiplicate per
un coefficiente
Centro di massa e baricentro
Centro di massa: punto nel quale si possono concentrare tutte le masse e tutte le forze agenti su un
sistema ottenendo lo stesso moto. Preso un punto fisso e punto del sistema di punti, il centro di
massa si trova
Baricentro: è l'equivalente del centro di massa in un corpo continuo, definito come
con
densità puntuale del corpo. In caso di corpo omogeneo
Media dei baricentri:
Il baricentro si trova sempre su un'asse di simmetria, se presente. Nel caso di più assi di simmetria, il
baricentro è nell'intersezione tra essi.
Quantità di moto
La quantità di moto di un punto è pari al prodotto scalare della massa per la velocità del corpo
Dimostrazione per corpo rigido omogeneo
Tuttavia
Quindi
Momento della quantità di moto
Il momento della quantità di moto di punto rispetto ad un punto O appartenente ad una retta
perpendicolare al piano di e è pari al prodotto vettoriale tra la quantità di moto di e il vettore
congiungente e
Per corpo rigido
Dimostrazione per corpo rigido omogeneo
I tre integrali si riscrivono come
Nel caso in cui
è perpendicolare al piano di moto
Se il punto H fosse il CIR allora la formula sarebbe
in quanto la velocità di H è nulla.
Tensore di inerzia
Dati punti materiali si definisce tensore o momento di inerzia rispetto ad un asse
dove
è l' -esima massa e
la quantità
è la distanza del -esimo punti dall'asse . Per corpo rigido invece
Teorema di Huygens
Dove
l'asse
è il momento d'inerzia riferito ad un asse passante per il baricentro mentre
e l'asse
è la distanza tra
Sistemi di punti: forze esterne e forze interne
In un sistema di punti agiscono forze dovute all'interazione tra i punti interni e forze dovute a cause
esterne. La forza interna agente su un singolo punto è la sommatoria di tutte le forze interagenti tra
quel punto e gli altri punti.
Sistemi di punti: Risultante e momento risultante
Dato un sistema di punti per il primo principio della dinamica
Si definisce risultante delle forze interne
La risultante interna è nulla poiché
Perciò per un sistema di punti la risultante è
per il terzo principio della dinamica.
.
L'equazione del momento risultante per un sistema di punti è
poiché agiscono lungo la stessa direzione e quindi
Questo significa(per il terzo principio della dinamica) che
E perciò la risultante dei momenti risulta essere
Sistemi di punti: Sistema cardinale della dinamica
Dimostrazione
Sistemi di punti: Sistema cardinale per la statica
Condizione necessaria all'equilibrio è che
e
Corpo rigido: equazioni cardinali della dinamica
Questo sistema, insieme alle condizioni iniziali, fornisce una condizione necessaria e sufficiente a
determinare il moto del corpo rigido univocamente.
Dimostrazione
Dal primo principio della dinamica
Per la seconda equazione si ha
Corpo rigido: Equazioni della statica
Condizione necessaria per l'equilibrio di un corpo rigido è che
Energia cinetica per sistema di punti
Energia cinetica per il corpo rigido(Teorema di Koenig)
Dimostrazione
Avendo che
Il secondo integrale diventa
e
Il terzo integrale invece si annulla poichè
che nel caso 2D (
)diventa
Lavoro e Potenza
Si definisce lavoro
Il lavoro eseguito su un percorso AB è quindi
mentre la potenza è definita come
Potenza delle forze interne
La potenza delle forze interne ad un sistema di punti è
poiché di solito, sebbene
Per il corpo rigido invece il discorso è diverso in quanto
ma
, si ha che
per atto di moto rigido
La potenza delle forze interne di un corpo rigido è nulla in quanto
Potenza delle reazioni vincolari
Per un sistema di punti
Per corpo rigido
Potenza delle reazioni vincolari per vincoli ideali
per vincoli ideali, fissi e ideali, lisci fissi e bilateri, interni e lisci.
Teorema dell'energia cinetica per corpo rigido
Dimostrazione
se
Sollecitazione conservativa e potenziale
Se una forza è legata ad potenziale tale che
allora questa forza viene detta sollecitazione
conservativa. Il potenziale è
e condizione necessaria e sufficiente alla conservatività di una
forza è che
. Il lavoro di una sollecitazione conservativa è quindi
e quindi il lavoro non dipende dal percorso.
Alcune forze conservative
1. Forza peso:
2. Forza elastica:
con s = allungamento molla
3. Forza elastica spirale:
Conservazione dell'energia totale meccanica
Per un sistema soggetto a vincoli ideali e fissi e a forze conservative(attrattive) si ha che l'energia
meccanica
si conserva.
Dimostrazione
per la conservatività delle forze agenti.
Per il teorema dell'energia cinetica
Forze applicate al corpo rigido: trasformazioni invariantive
1. Comparazione: trasformazione invariantiva che consiste nel cambiare una forza con un sistema
di forze la quale risultante sia proprio la forza di partenza e viceversa.
2. Traslazione: trasformazione invariantiva che consiste nel traslare una forza lungo la direzione in
cui agisce. Questa operazione non cambia l'equilibrio del corpo.
Forze applicate al corpo rigido: sollecitazioni equipollenti
Due sistemi si dicono equipollenti su differiscono solo per operazioni invariantive.
Dati due sistemi e si ha equipollenza se
e
Forze applicate al corpo rigido: invariante scalare dinamico
Prendiamo due punti e
Si dice invariante scalare dinamico la grandezza
1. Sistema a sollecitazioni nulle:
2. Sistema soggetto ad una coppia:
3. Sistema soggetto ad una forza:
Cerchiamo il punto O in cui la risultante dei momenti angolari è nulla:
L'ultima espressione è quella della retta sulla quale si trova il punto O.
4.
Cerchiamo il punto O in cui la risultante dei momenti angolari è minimo:
Tuttavia
in quanto cerco il punto in cui la componente perpendicolare è nulla e quella
rimanente è quella parallela alla risultante(comportando l'annullamento del prodotto
Il punto cercato si trova partendo da
e spostandosi di un vettore
Meccanica Analitica
Spostamento e velocità virtuali:
Lo spostamento virtuale è l'insieme degli spostamenti possibili cosi come la velocità virtuale indica
l'insieme di possibili velocità che un punto può avere; tra le velocità virtuali di sistemi soggetti a vincoli
fissi vi è anche quella effettiva. Nel caso di vincoli mobili si considerano i vincoli congelati e si ha che la
velocità effettiva non è mai contenuta tra quelle virtuali.
Relazione simbolica pura della dinamica
Questa formula nasce dal fatto che il lavoro delle reazioni vincolari non è mai negativo per ogni
spostamento virtuale.
Equazione simbolica pura della dinamica
La relazione nasce dalla relazione simbolica pura per vincoli ideali e bilaterali:
Sistemi onolomi
Prendiamo in considerazione un sistema con
Lo spostamento effettivo è
punti e gradi di vincolo(
gradi di libertà).
Se consideriamo i vincoli onolomi e fissi si ha che
L'equazione simbolica diventa
Avendo che
se e solo se
si arriva ad avere
equazioni pure di moto
Componente generalizzata della sollecitazione attiva
Il significato fisico di questa grandezza è legato al lavoro effettuato dalle forze attive rispetto alle
coordinate libere. La parte
indica invece il lavoro compiuto dalle forze di massa.
Equazioni di Lagrange
Dato un sistema di gradi di libertà si possono ottenere equazioni pure di moto con le equazioni:
Dimostrazione
Sostituendo nell'espressione della componente generalizzata delle forze d'inerzia
Per l'equazione simbolica pura si ha che
e si trova l'equazione di Lagrange.
si ha
Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi
Definiamo la Lagrangiana tale per cui
per un sistema soggetto solo a forze conservative.
Si ottengono un numero di equazioni pure di moto pari a quello delle coordinate libere.
Dimostrazione
Consideriamo le forze conservative:
L'equazione di Lagrange quindi si può scrivere come
Principio dei Lavori virtuali
Dato un sistema con vincoli ideali si ha equilibrio se e solo se vale la seguente relazione
Stazionarietà del potenziale e Teorema di Dirichlet
Condizione necessaria e sufficiente all'equilibrio di un sistema con vincoli olonomi, ideali e bilaterali è
che il potenziale sia stazionario.
Meccanica orbitale
Moto centrale
Si definisce moto centrale il moto di un corpo le cui dimensioni sono molto inferiori alle dimensioni del
corpo. Questo corpo è sottoposto ad una forza centrale, ovvero che punta sempre in un punto. Durante
questo moto il momento angolare si conserva poiché la forza è parallela al vettore tra i due punti.
Costante delle aree e velocità areolare
Si definisce velocità areolare la variazione dell'area spazzata da un corpo durante un moto centrale:
Dimostrazione
Definiamo O il centro del moto e P il corpo rappresentato da un punto in quanto sottoposto a moto
centrale. Consideriamo che il punto si muova su un piano con una certa velocità:
L'infinitesimo di area spazzata(ovvero l'area composta dall'arco della traiettoria e i due segmenti che
uniscono in punto centrale all'inizio della traiettoria e alla fine) vale:
Formula di Binet
La formula di Binet dice che un corpo soggetto a moto centrale è sottoposto ad un'accelerazione
centripeta pari a
Dimostrazione
Essendoci una costante nel rapporto tra
e
un moto centrale è identificabile con una sola coordinata
Leggi di Keplero
1. La traiettoria dei pianeti è un ellisse e il sole è uno dei due fuochi
2. La velocità areolare è costante e quindi in moto è di tipo centrale
3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore è costante
Legge di attrazione universale
In un sistema di due corpi isolati P e S la forza dovuta all'interazione gravitazionale è
dove
è la costante gravitazionale e
è la distanza tra i due corpi.
Dimostrazione
Prendiamo un sistema di riferimento centrato nell'ellisse(di semiassi
mettiamo in uno dei due fuochi il corpo S.
e ) descritta dal corpo P e
Ricordando che
dove
è il periodo di rivoluzione.
L'accelerazione dovuta all'interazione tra i due corpi si può quindi scrivere
Problema dei due corpi
Se due corpi interagiscono mediante forze attrattive e la massa di uno dei due è molto più grande
dell'altra si può ridurre il problema dei due corpi a quello di un moto centrale
Dimostrazione
Prendiamo due corpi sottoposti entrambi ad una forza attrattiva
Il baricentro del sistema dunque segue una traiettoria rettilinea uniforme. Facendo la differenza tra le
due equazioni di partenza, dividendole prima per le rispettive masse, si ottiene
La legge di Newton per il sistema è
Se
e il problema si riduce ad un problema di moto centrale del corpo 2
Studio qualitativo di un orbita
Prendiamo come esempio la Terra e un oggetto che compie un orbita attorno ad essa. L'attrazione
gravitazionale è data da
dove è la costante di attrazione gravitazionale(prima era ),
superficie terrestre e oggetto orbitante.
Approssimando
in quanto
raggio della terra e
si può racchiudere
distanza tra
avendo cosi la ben nota legge
. La forza di attrazione gravitazionale è conservativa poiché(considerando due punti P e S)
L'energia cinetica del punto P
L'energia meccanica totale si conserva
Si trova quindi un'equazione differenziale rispetto al raggio dell'orbita
Definiamo potenziale efficacie
e di conseguenza l'energia potenziale efficacie
Perciò se
A seconda dell'energia meccanica (rappresentabile come una retta
orizzontale) l'orbita avrà un semiasse minore(prima intersezione di
con ) e un semiasse maggiore(seconda intersezione).
Nel caso in cui sia la minima necessaria l'orbita sarà una
circonferenza (a causa dell'unica intersezione nel punto di minimo)
Stabilità
Definizione secondo Liapounov
La soluzione
di un'equazione differenziale sottoposta a determinate condizioni iniziali è stabile se
dato
tale che
se
. In altre parole
è stabile se sta nell'intorno di
per ogni .
Stabilità della soluzione di un sistema lineare autonomo
Un sistema lineare autonomo è un sistema nel quale non c'è dipendenza esplicita dal tempo e dalle
coordinate, ad esempio
Il primo termine dipende dalle condizioni iniziali mentre il secondo da . è autovalore di A
Prendiamo una soluzione del sistema
tenendo conto delle condizioni iniziali
Si ha quindi che
e poiché la stabilità è dovuta a
se
ovvero
Per studiare la stabilità occorre studiare l'andamento di
Il primo termine comporta un esponenziale mentre il secondo ad una sinusoide. Abbiamo quindi 3 casi
o
il contenuto del modulo tende a zero per
. Asintotica stabilità
o
o
il contenuto del modulo tende a
e almeno un
intorno ben definito. Stabilità semplice
per
. Instabilità
il contenuto del modulo rimane limitato in un
Primo metodo di Liapounov
Questo metodo serve per studiare la stabilità di un sistema. Esso sfrutta la linearizzazione del problema
Riscrivendo l'equazione vettoriale per ogni stato e moltiplicando sopra e sotto per
si ha
Sfruttando lo sviluppo di Taylor si può scrivere
Quindi la differenza tra le due soluzioni diventa
Definiamo quindi la matrice Jacobiana
tale che
Nasce quindi un sistema differenziale
della matrice
verificando il segno degli autovalori.
considerata costante per sistemi autonomi.
e per la stabilità si studia il polinomio caratteristico
può risultare quindi instabile o
asintoticamente stabile per il sistema non lineare di partenza, tuttavia nulla si può dire sulla stabilità nel
caso in cui esista un autovalore a parte reale nulla.
Stabilità dell'equilibrio
Nella posizione di equilibrio una generica coordinata libera presenta
. Definiamo piano delle fasi
un piano con ascissa la coordinata e come ascissa la sua derivata . Se parto da un punto del piano
delimitato da un intorno di
e
rimane limitata in un intorno di
fino a raggiungere un punto di
equilibrio(quindi sull'asse delle ascisse) si dice che l'equilibrio è stabile.
Prendiamo per esempio un pendolo: il grafico
presenta delle oscillazioni con punti di minimo
corrispondenti ai punti d'equilibrio sul piano delle fasi
; quest'ultimo presenta delle orbite
simmetriche a forma d'ellisse che non intersecano le une dalle altre. Tuttavia aumentare l'energia
meccanica dell'intero sistema significa aumentare l'ampiezza di queste orbite. Se l'energia meccanica e
pari a quella potenziale mentre quella cinetica è nulla il piano delle fasi presenta delle ellissi che
intersecano tra loro in un solo punto per coppia di orbite: questo punto è sull'asse delle ascisse e quindi
è un punto di equilibrio, tuttavia è instabile. Se l'energia meccanica aumenta ancora il pendolo descrive
delle orbite aperte senza tendere a posizioni di equilibrio in maniera esplicita.
Stabilità dell'equilibrio di un sistema olonomo conservativo e Lagrangiana ridotta
Per un sistema olonomo conservativo si possono fare le seguenti considerazioni
o
Teorema di Dirichlet: se
valutata in
allora quest'ultima è una posizione d'equilibrio
Condizione necessaria alla stabilità in è che
sia punto di massimo
o Teorema di Liapounov: Condizione necessaria per l'instabilità è che il potenziale non sia
massimo nella condizione d'equilibrio
Per poter provare le proposizioni sopra espresse bisogna considerare l'energia cinetica nella forma
dove
è il vettore delle coordinate libere e
poiché
è la matrice di massa. Considerando che
per l'equilibrio.
Il potenziale invece diventa(con Taylor al secondo ordine)
Consideriamo quindi la Lagrangiana ridotta
L'equazione di Lagrange diventa
Definendo il primo termine come e il secondo come otteniamo, in forma vettoriale, il sistema di
Lagrange
i cui autovalori ci danno la stabilità del sistema a seconda del segno delle parti
reali.
è una matrice definita positiva(massa) mentre
è simmetrica(per derivate incrociate).
Piccole oscillazioni intorno alla configurazione di equilibrio stabile
Dato il sistema
con autovalori se l'equilibrio è stabile significa che
può riscrivere come
dove
La soluzione è di tipo periodico con pulsazione
. Il sistema si
e nella condizione di equilibrio diventa
e periodo delle piccole oscillazioni .
Principi Variazionali
Funzionale
Il funzionale di un dominio di funzioni
è un applicazione che associa ad ogni funzione
un valore reale. Non è una funzione composta in quanto il valore del funzionale non dipende da
ma dalla funzione
. Un esempio di funzionale è l'integrale di una funzione, rappresentante l'area
sottesa alla funzione stessa.
Funzione estremante di un funzionale e variazione
I funzionali sono utilizzati nell'ottimizzazione di certe quantità e perciò è solito cercare una funzione
che minimizzi(ad esempio) il funzionale
. In questo caso quindi è detta funzione estremante del
funzionale
se
con
.
Si ha quindi che
dove
è detta variazione mentre è la funzione di controllo.
Funzionali di tipo integrale con estremi fissi
Un funzionale di tipo integrale è un funzionale di dominio
dove sono dette funzioni ammissibili.
è la forma del funzionale(ricordando che
).
Questo funzionale perciò ammette solo funzioni i cui valori agli estremi siano tutti uguali a
. Ciò comporta una variazione nulla negli estremi in quanto
e
.
Equazioni di Eulero-Lagrange
La funzione
è estremante del funzionale se e solo se è verificata l'equazione di Eulero - Lagrange
Dimostrazione
Prendiamo la funzione variazione
riscrivendola come
dove la funzione
è caratterizzata da
. Si riduce quindi lo studio rispetto al solo parametro il quale fa
parte di un intorno di centrato in
. La relazione dell'estremante diventa dunque
La funzione
valutata in
Sviluppando
ha minimo in
vale esattamente
in quanto
. In questo caso
con Taylor al primo ordine centrato in
Perciò si ha che la variazione di
si ha che
rispetto al punto di minimo è
Integrando per parti si ottiene
Per il valore che assume
nei punti estremi si ha che
L'ultima espressione è veritiera per ogni
e perciò
se e solo se è verificata l'equazione di Eulero - Lagrange
Angoli di Eulero
o Prima rotazione: angolo di precessione
o Seconda rotazione: angolo di nutazione
o Terza rotazione: angolo di rotazione propria
Asse dei nodi: intersezione tra il piano equatoriale fisso e il piano equatoriale mobile. La prima
rotazione porta l'asse ad allinearsi all'asse dei nodi , la seconda porta l'asse normale al piano
equatoriale fisso nella posizione dell'asse equatoriale mobile( in ) e la terza fa ruotare il piano
equatoriale mobile.
Corpo rigido nello spazio
Definendo la terna fissa
, la terna mobile solidale al corpo rigido
si ha che la velocità
angolare del corpo rigido è
Matrice d'inerzia
Definendo la terna solidale al corpo rigido
simmetrica
centrata in
si definisce matrice d'inerzia la matrice
una matrice che possiede rispettivamente sulla diagonale e non elementi del tipo
per ogni combinazione dei simboli
. (importante ricordare che
va inteso come
)
Per trovare i momenti d'inerzia( ,
, ) e i prodotti d'inerzia(
diverso da basta scrivere
Angoli di Cardano
o Prima rotazione: angolo di azimuth
o Seconda rotazione: angolo di elevazione
o Terza rotazione: angolo di rollio
Equazioni di Eulero
sono i momenti d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad una terna
) centrati in un punto
principale d'inerzia
centrata in un punto appartenente al corpo rigido stesso.
sono le componenti della velocità
angolare del corpo rispetto alla terna principale d'inerzia e
sono la somma dei
momenti attivi e reattivi rispetto al punto agenti sul corpo stesso.
Dimostrazione
Per dimostrare le equazioni di eulero è sufficiente partire dall'espressione del momento della quantità
di moto rispetto al punto .
Eguagliando con i momenti attivi e reattivi nelle tre direzioni, si può scomporre l'espressione nelle tre
equazioni di Eulero(riferite appunto alle 3 direzioni della terna)
Energia cinetica del corpo rigido nello spazio
Dimostrazione
