METODOLOGIE ELETTROMAGNETICHE
PER LA GEOFISICA
PROPRIETÀ ELETTROMAGNETICHE
DI SUOLI E ROCCE
Elena Pettinelli
Elisabetta Mattei
Andrea Di Matteo
Anno Accademico 2009/2010
1 Densità
La densità è un parametro che varia molto tra i diversi tipi di rocce (mineralogia - porosità):
δ =
M
V
⇒
kg
m3
talvolta
g
cm 3
(1.1)
Si definisce:
Densità bulk (asciutta):
ρb =
Wg
Vb
(1.2)
dove:
Wg è il peso dei grani
Vb è il volume totale (bulk) del campione (volume dei pori + volume dei grani)
Densità bulk naturale:
ρb =
W g + Ww
Vb
(1.3)
dove:
Wg è il peso dei grani
Ww è il peso del fluido che riempie i pori
Vb è il volume bulk
Densità bulk satura:
ρb =
Wg + V p ρ w
Vb
(1.4)
dove:
Wg è il peso dei grani
Vp è il volume dei pori comunicanti
ρw è la densità dell’acqua
Vb è il volume bulk
2
Densità dei grani:
ρb =
Wg
Vb
(1.5)
dove:
Wg è il peso dei grani
Vg è il volume dei grani
In tabella è riportato il peso specifico di alcuni materiali:
Peso specifico (g/cm3)
Montmorillonite
2.6÷2.8
Caolinite
2.6
Illinite
2.6
Quarzo
2.66
Ematite
5.2
Le densità misurate si riferiscono a rocce campionate in superficie (alterate o de-idratate) o da
carote estratte (maggiormente fratturate). Le densità in situ potrebbero essere diverse. Le
rocce sedimentarie sono le meno dense:
media
≈ 2.1 ± 0.3 g / cm3
Il contrasto di densità fra rocce sedimentarie adiacenti è raramente maggiore di 0.25 g/cm3.
Le rocce ignee sono pi dense di quelle sedimentarie. δ cresce al diminuire del contenuto in
silice.
δ rocce plutoniche > δ rocce vulcaniche
La densità delle rocce metamorfiche tende ad aumentare al diminuire dell’acidità e
all’aumentare del grado di metamorfismo (grande variabilità) .
2 Richiami sull’acqua nel terreno
La molecola di acqua è costituita da un atomo di ossigeno e da due atomi di idrogeno
disposti a formare un angolo di circa 104°. L’elevata elettronegatività dell’ossigeno, fa si
che la distribuzione delle cariche elettriche nella molecola non sia uniforme ma polare. Il
suo momento polare elevato e la sua predisposizione per legami idrogeno, rendono
possibili un gran numero di disposizioni diverse tra le sue molecole.
3
Un suolo è un mezzo formato generalmente da una fase solida, una liquida e una gassosa;
in natura è molto frequente il sistema solido-acqua-aria. L'acqua contenuta in un terreno, è
soggetta a diversi tipi di forze (gravità, pressione del gas, pressione osmotica, forze
capillari e igroscopiche, ecc.). La dimensione dei pori che l'acqua va ad occupare è molto
importante; consideriamo quindi i seguenti casi:
Acqua di costituzione
Acqua di cristallizzazione
Acqua di adsorbimento
Acqua di capillarità
Acqua di gravitazione
Analizzeremo di seguito in dettaglio i diversi comportamenti.
Acqua di costituzione e acqua di cristallizzazione
L’acqua di costituzione, si trova nei reticoli cristallini di alcuni materiali (ad esempio nelle
argille) e per spostarla è necessaria un’elevata energia poiché entra a far parte dei legami di
valenza primaria. L’acqua di cristallizzazione, si trova anch’essa nei reticoli cristallini, ma
è necessaria una quantità minore di energia per spostarla poiché entra a far parte dei legami
di valenza secondari, ovvero quei legami che tengono unite molecole diverse.
Acqua di adsorbimento
I minerali argillosi possiedono sulla loro superficie una distribuzione di carica elettrica
negativa; il campo generato da tali cariche elettriche, agisce sulle molecole dipolari
dell’acqua orientandole in modo che i due atomi di idrogeno si trovino dalla parte della
distribuzione di carica negativa come in figura (Fig.1).
Figura 1: Superficie di una particella con uno strato di acqua adsorbito.
4
l’acqua che si trova in questa condizione si chiama acqua adsorbita, e ha spessori di circa
0.1µ.
Lo strato d’acqua posto nelle immediate vicinanze della superficie del cristallo è
caratterizzata da una consistenza tipica dello stato solido; all’aumentare della distanza la
consistenza, passa dallo stato plastico a quello fluido, come illustrato nella Fig.2.
Figura 2: Particella di argilla ricoperto da un sottile film di acqua pellicolare
Acqua di capillarità e acqua di gravitazione
Prendiamo in considerazione il caso di granuli aventi dimensioni superiori ai 2µ, come limi
e sabbie, parzialmente umidi. notiamo che attorno ai punti di contatto dei granuli /Fig.3), si
fissano addensamenti di molecole di acqua, detta appunto acqua di capillarità isolata.
Figura 3: Acqua di capillarità nel punto di contatto tra granuli.
Se questo addensamento invece riempie completamente lo spazio tra i grani, allora si parla
di acqua di capillarità continua. L’acqua capillare è fortemente condizionata dalle tensioni
superficiali che si vengono a creare tra la superficie di separazione liquido-gas. L’acqua
5
che si trova in questo stato è come condizionata da una membrana tesa che separala fase
liquida da quella gassosa.
L’acqua di gravitazione (o acqua libera) occupa gli spazi tra le particelle, ma è libera di
muoversi per effetto della gravità.
Comportamento dei terreni in presenza di acqua
Un suolo possiede una porosità che può essere parzialmente o interamente riempita da una
fase solida e/o gassosa. Definiamo quindi la porosità totale come il rapporto tra il volume
dei vuoti (fase liquida e fase gassosa) e il volume totale:
Φ T (%) =
Vvuoti
⋅ 100
Vtotale
(2.1)
La porosità totale si può separare in due componenti:
ΦT=Φ1+Φ2
(2.2)
dove Φ1 è la porosità primaria che dipende dalla forma, dalle dimensioni e dalla geometria
della parte rocciosa, mentre Φ2 è la porosità secondaria fatta sulle fessure e sui microcrak
causati da forze meccaniche. È possibile anche definire una porosità efficace come:
ΦE =
Vvuoti
Vpori comunicanti
(2.3)
mentre in alcuni casi è preferibile parlare dell’indice dei vuoti definito come:
e=
V vuoti
Vsolido
(2.4)
che non è altro che il rapporto tra il volume dei vuoti e quello della fase solida.
6
La porosità (o volume dei vuoti) può essere calcolata anche attraverso la relazione esistente
tra la densità bulk e la densità dei grani.
Porosità totale (tutti i vuoti):
⎛ Vg ⎞
nt = ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ 100
⎝ Vb ⎠
⎛
ρ ⎞
nt = ⎜1 − b ⎟ ⋅ 100
⎜ ρ ⎟
g ⎠
⎝
(2.5)
(2.6)
ρg è la densità dei grani
Vg è il volume dei grani
Vb è il volume totale (bulk) del campione (volume dei pori + volume dei grani)
Porosità apparente (vuoti interconnessi con la superficie):
⎛Vp
n a = ⎜⎜
⎝ Vb
⎞
⎟⎟ ⋅ 100
⎠
(2.7)
3 Generalità sui dielettrici
I dielettrici ideali sono materiali caratterizzati dall’avere atomi e molecole con tutti gli
elettroni fortemente legati ai rispettivi nuclei. Pertanto i dielettrici ideali non contengono al
loro interno nessuna carica libera di muoversi e le loro molecole o atomi costituenti sono
caratterizzati dall’essere macroscopicamente neutri. Pur essendo elettricamente neutro il
dielettrico può produrre un campo elettrico macroscopico, se possiede un momento di dipolo
diverso da zero. Tale momento di dipolo si annulla in assenza di un campo elettrico esterno,
ma può venir indotto sotto l’azione di tale campo. Questo fenomeno è detto polarizzazione
r
elettrica, e per tenerne conto introduciamo il vettore polarizzazione elettrica P . Questo è
definito come il momento di dipolo elettrico posseduto dal dielettrico per unità di volume,
ovvero:
r
1
P = lim
∆V → 0 ∆V
N e ∆V
r
∑ dp
i =1
i
(3.1)
7
dove ∆V è il volume, N e il numero di dipoli per unità di volume, e dpi sono i vari momenti
che si formano nel volume in considerazione. Più in generale possiamo dire che quando un
dielettrico viene sottoposto a un campo elettrico esterno le sue molecole acquistano un dipolo
r
elettrico medio < dp > non nullo e si orientato parallelamente al campo locale al quale è
sottoposto. Quindi possiamo definire il vettore polarizzazione elettrica anche come:
r
r
P = N e < dp >
(3.2)
Con riferimento alla Figura 4, la polarizzazione elettrica dei dielettrici può avvenire attraverso
i seguenti 3 meccanismi.
Figura 4
Polarizzazione per orientamento: Questo meccanismo è evidente in materiali che in assenza di
un campo applicato ed internamente alla loro struttura posseggono momenti di dipolo permanenti
casualmente orientati. Quando un campo elettrico viene applicato tali dipoli tendono ad allinearsi
parallelamente al campo applicato.
Polarizzazione ionica o molecolare: questa polarizzazione è evidente per materiali che
posseggono ioni positivi e negativi che tendono ad allontanarsi reciprocamente in presenza di un
campo applicato. Ad esempio in strutture ioniche come il NaCl, l'applicazione di un campo
esterno provoca lo spostamento delle cariche positive e negative con conseguente formazione
di dipoli.
8
Polarizzazione elettronica: Questa polarizzazione è evidente in molti materiali, ed esiste quando
un campo applicato sposta il baricentro della nube elettronica rispetto al centro del nucleo.
Polarizzazione per migrazione di cariche In aggiunta a queste, può verificarsi anche una
polarizzazione dovuta alla migrazione locale di cariche nello spazio (detta space charge
polarization) (si veda Fig.5). Tale polarizzazione è un fenomeno comune nei materiali eterogenei
come le rocce saturate da acque salate (brine).
Figura 5
L'applicazione di un campo alternato ad un materiale dielettrico può causare un ritardo nel
raggiungimento dello stato di equilibrio. Questo ritardo è noto come rilassamento. Infatti,
l'applicazione improvvisa di un campo elettrico non è seguita da un istantaneo processo di
polarizzazione. In pratica, si verificano due tipi di polarizzazione: una istantanea dovuta alla
distorsione delle molecole del mezzo ed una dipendente dal tempo che tende asintoticamente al
9
valore di
equilibrio. Il tempo necessario per raggiungere tale equilibrio è detto tempo di
rilassamento τ.
Figura 6
La Figura 6 mostra i vari tipi di polarizzazione, ed il range di frequenze alle quali tali fenomeni
sono dominanti. La costante dielettrica diminuisce all’aumentare delle frequenze, ed a partire dal
suo valore alle basse frequenze ε0, fino a raggiungere il suo valore limite ε∞ alle alte frequenze,
passando attraverso varie transizioni. Nelle regioni di transizione si manifestano fenomeni di
dissipazione di energia descritti, come si vedrà in seguito, attraverso la permettività complessa.
La polarizzazione più rapida
si
manifesta
generalmente come polarizzazione di tipo
elettronico ed è dovuta alla dislocazione degli elettroni rispetto al nucleo all'interno di un
-15
atomo; il tempo di polarizzazione è di circa 10
sec, che corrisponde al periodo della luce
visibile/ultravioletta. La polarizzazione elettronica è indipendente dalla temperatura, fatta
eccezione che per l’espansione termica, che ha l’effetto di diminuire il numero di elettroni per
unità di volume (vedi eq.(3.1)). La pressione ha effetto opposto, aumentando la densità e, quindi,
10
la permettività del materiale. La polarizzazione elettronica si verifica in tutti i materiali, solidi,
liquidi e gassosi. Il contributo della polarizzazione elettronica alla permettività
misurato facilmente alle frequenze visibili, dove
può essere
ε
= n2 .
ε0
Una polarizzazione atomica di entità minore può avvenire per spostamento degli atomi
-12
all'interno delle molecole; si tratta di un processo che richiede un intervallo di tempo di 10
-14
10
-
sec, che corrisponde al periodo della luce infrarossa.
La polarizzazione ionica rappresenta un processo di notevole entità, che si manifesta per
dislocazione di ioni positivi e negativi all'interno del reticolo cristallino. Tale polarizzazione
può manifestarsi, tuttavia, sia nei solidi cristallini che nei materiali amorfi. Poiché le masse
atomiche sono molto più grandi di quelle elettroniche, i tempi di rilassamento sono ben più lunghi
di quelli della polarizzazione elettronica. Ciò implica che alle basse frequenze, la polarizzazione
-12
ionica è molto più importante. Il tempo necessario per tale processo è di circa 10
-13
- 10
sec,
e corrisponde alla radiazione dell'infrarosso lontano. Normalmente, alle radiofrequenze o alle
frequenze più basse, sia la polarizzazione elettronica che quella atomica sono presenti, e la
permettività di molti minerali isolanti ricade in un range di 4-15.
Le sostanze polari omogenee come l’acqua, contengono molecole che posseggono un momento di
dipolo elettrico permanente. L’applicazione di un campo elettrico esterno tende a far allineare tali
molecole con il campo stesso. A tale processo si oppone l’agitazione termica che tende a far
mantenere alle molecole una orientazione random. Ne consegue che in questi tipi di materiali il
grado di polarizzazione è fortemente dipendente dalla temperatura. Generalmente le molecole
polari tendono ad avere un elevato valore di permettività.
Il tempo necessario affinché si manifesti una polarizzazione di tipo orientazionale (rotazione
dei dipoli) dipende dalla resistenza e dalla forza d'attrito all'interno del mezzo che si oppone
all'orientazione delle molecole.
-12
Per un gas, questo tempo è dell'ordine di 10
sec. corrispondente alla banda dell'infrarosso
lontano. Per liquidi poco viscosi costituiti da molecole di piccola dimensione, il tempo di
-11
polarizzazione è dell'ordine di 10
-10
- 10
sec. corrispondente ad una frequenza tipica dello
spettro a microonde.
11
Per liquidi viscosi costituiti da molecole di grande dimensione, il tempo impiegato è dell'ordine
-6
di 10 , corrispondente alle frequenze radio.
Le resistenze d'attrito proprie dei liquidi molto viscosi, dei vetri e dei solidi possono
aumentare l'intervallo di tempo richiesto per la polarizzazione fino ai secondi o ai minuti.
Le sostanze eterogenee costituite, per esempio, da particelle aventi un elevato valore di
conducibilità immerse in una matrice isolante, possono manifestare una elevata polarizzazione
dovuta ad effetti interfacciali. Tali effetti dipendono fortemente dalla struttura del materiale e
dalla sua mineralogia, e sono importanti solo a frequenze minori di 1 kHz. Un campo elettrico
applicato ad un mezzo poroso saturato con una soluzione elettrolitica, produce una migrazione di
ioni in direzioni opposte che si accumuleranno alle interfacce solide. Tale accumulo produrrà una
elevata polarizzazione interfacciale ed un elevato valore della costante dielettrica. Processi di
questo tipo vengono classificati sotto il nome di effetti Maxwell-Wagner, ed in un sistema
acqua-roccia possono produrre un aumento di permettività del materiale dell’ordine di 1000,
molto maggiore di quello della sola acqua (ε = 80) o dei soli grani minerali (ε ∼ 4-15). In termini
di tempi di rilassamento la polarizzazione interfacciale può richiedere un tempo di alcuni secondi
o di minuti.
12
4 Suscettività dielettrica
Consideriamo ora un condensatore piano parzialmente riempito da un dielettrico (Fig.7).
Figura 7
r
Supponiamo di applicare a questo un campo elettrico E a . La densità di flusso elettrico all’interno
del materiale dielettrico sarà diversa da quella che esiste nella parte vuota del condensatore. Nel
r
vuoto la densità di flusso elettrico Do (detto anche vettore spostamento elettrico) è data da:
r
r
D0 = ε 0 Ea
(4.1)
dove ε0 è la permettività del vuoto che vale 8.854 × 10
-12
Farad/metro, mentre nel dielettrico sarà
data da:
r
r
r
D = ε 0 Ea + P
(4.2)
La densità di flusso elettrico può essere anche relazionata direttamente al campo applicato
attraverso la:
r
r
D = ε S Ea
(4.3)
13
r
r
dove εs è un parametro espresso in Farad/metro. Quindi la P risulta essere legata a E a da:
r
r
P = ε 0 χ e Ea
dove χ e =
(4.4)
1 P
è una quantità adimensionale nota come suscettività elettrica. La densità di
ε 0 Ea
flusso elettrico risulta essere uguale a:
r
D = ε 0 Ea + ε 0 χ e Ea = ε 0 (1 + χ e ) Ea = ε S Ea
(4.5)
e si ha:
ε S = ε 0 (1 + χ e )
(4.6)
dove ε S è la permettività statica del mezzo e il suo valore relativo:
keS =
εS
= 1 + χe
ε0
(4.7)
è la permettività relativa, meglio conosciuta come costante dielettrica.
5 Suscettività magnetica
I materiali magnetici sono quei materiali che mostrano una polarizzazione magnetica nel momento
in cui sono sottoposti ad un campo magnetico esterno applicato. Il fenomeno di magnetizzazione è
rappresentato dall’allineamento dei dipoli magnetici del materiale con il campo magnetico
applicato, in analogia all’allineamento dei dipoli elettrici del materiale dielettrico con il campo
elettrico applicato (Figura 8).
14
Figura 8
Un interpretazione quantitativamente soddisfacente, anche se non accurata, riguardante il
comportamento dei materiali magnetici sottoposti a campi magnetici applicati, può essere ottenuta
rappresentando semplicemente gli elettroni come cariche negative orbitanti attorno ad un nucleo
carico positivamente. Gli elettroni sono pertanto assimilabili a spire microscopiche percorse da
corrente, e dunque ognuno di essi equivale ad un dipolo magnetico. In assenza di un campo
magnetico locale internamente alla materia, tutti questi dipoli microscopici sono orientati
casualmente con risultante macroscopica nulla. In presenza di un campo magnetico applicato si
generano dei fenomeni di polarizzazione; il momento magnetico risultante di ogni porzione di
materiale allora non è più nullo. Per tener conto di questo fenomeno macroscopicamente
r
introduciamo il vettore polarizzazione magnetica M definito come:
r
1
M = lim
∆V → 0 ∆V
N m ∆V
r
∑ dm
i =1
i
r
= N m < dm >
(5.1)
r
dove ∆V è il volume, N m il numero di dipoli per unità di volume, dmi sono i vari momenti che si
r
formano nel volume in considerazione e < dm > il loro valore medio (vettoriale).
La densità di flusso magnetico attraverso una superficie è aumentata dalla presenza di M così che la
densità di flusso magnetico effettiva in ogni punto interno alla superficie è data da:
r
r
r
B = µ0 H a + M
(
)
(5.2)
dove µ0=4πx10-7 T⋅m/A, e H a è il campo magnetico applicato. In generale possiamo correlare la
densità di flusso magnetico alla densità di campo magnetico attraverso:
r
r
B = µs H a
(5.3)
dove µs è un parametro espresso in henry/metro; confrontando la (5.2) con la (5.3) troviamo
r
r
M = χm H a
(5.4)
dove χ m è chiamata suscettività magnetica (quantità dimensionale). Sostituendo la (5.4) nella (5.2)
ed uguagliandola alla (5.3) otteniamo:
15
r
r
r
B = µ 0 H a + χ m H a = µ 0 (1 + χ m ) H a = µ s H a
(
)
(5.5)
quindi possiamo definire:
µ s = µ 0 (1 + χ m )
(5.6)
la permeabilità magnetica statica del mezzo ed il suo valore relativo:
kms =
µs
= 1 + χm
µ0
(5.7)
Sostanze magnetiche
PARAMAGNETICHE ⇒ χ m piccolo e funzione di Τ (positiva); χ m positivo, χ m << 1, µ ≥ 1
DIAMAGNETICHE ⇒ χ m piccolo indipendente da Τ (negativa); χ m
negativo, χ m << 1, µ ≤ 1
FERROMAGNETICHE ⇒ χ m dipendente da Bapp e dal precedente stato di
magnetizzazione, χ m positivo, χ m >> 1, µ >> 1
16
6 Parametri Elettromagnetici
Le proprietà elettromagnetiche di un materiale soggetto all'azione di un campo
elettromagnetico vengono identificate
attraverso i parametri permettività complessa ε a
permeabilità complessa µ.
Materiali i cui parametri costitutivi non sono funzione del campo applicato vengono detti
lineari. Generalmente entro un certo range tutti i materiali hanno comportamento lineare.
Inoltre, se i parametri costitutivi non sono funzione della posizione spaziale all'interno del
materiale, questo è omogeneo.
L'omogeneità dipende della scala spaziale presa in considerazione. Materiali disomogenei
a piccola scala possono essere considerati omogenei a scala maggiore. Infine, se i
parametri costitutivi sono funzione della direzione del campo applicato, il mezzo è anisotropo
(altrimenti ha comportamento isotropo).
6.1 Permettività complessa
La permettività ε può essere definita utilizzando approcci differenti, tuttavia in questo ambito
si è preferito utilizzare l'approccio circuitale (Von Hippel, 1954). Si consideri, ad esempio, un
circuito alimentato da una sorgente la cui tensione alternata è data dalla:
V = V0 e jωt
(6.1)
dove ω = 2π f ed in cui sia inserito un condensatore avente il vuoto per dielettrico. La
quantità di carica immagazzinata dal condensatore è data dalla:
Q = C0V
(6.2)
e la corrente che lo attraversa (di carica) è pari alla:
IC =
dQ
= jω C0V = I 0 e j (ωt +π
dt
2)
(6.3)
la quale è in anticipo rispetto alla tensione di un angolo di fase di 90° (Figura 9).
17
Iocosωt
vosinωt
∼
C0
Figura 9
C0 è la capacità nel vuoto (detta anche geometrica) del condensatore. Se si inserisce un
materiale come dielettrico nel condensatore, la sua capacità aumenterà di un valore pari a:
C = C0
dove:
ε′
= C0ε r
ε0
(6.4)
ε' = parte reale della permettività (o costante dielettrica)
ε0 = permettività del vuoto (ε0 = 8.854x10-12 C2/Nm2)
k ′(o ε r′ ) = costante dielettrica relativa del materiale
Oltre alla corrente di carica IC si può generare una corrente di perdita Il data dalla:
I l = GV
(6.5)
in fase con la tensione, in cui G rappresenta la conduttanza del dielettrico. La corrente
totale Itot che attraversa il condensatore è data dalla:
I tot = I C + I l = jωCV + GV
(6.6)
18
Itot sarà inclinata di un certo valore θ < 90° rispetto alla tensione. L'angolo δ formato dalla
corrente totale Itot e la componente della corrente in quadratura con la tensione è detto angolo
di perdita, ed è definito rispetto all’asse +j (Figura 10).
Figura 10
La tangente di perdita è definita come:
tgδ =
Il
1
=
I c ω RC
(6.7)
19
Figura 11
Quanto sopra conduce a dedurre una similitudine di comportamento di un dielettrico con un
circuito RC, tuttavia le perdite e la dissipazione di energia all'interno di un dielettrico
potrebbero essere dovute a fenomeni diversi da quello di migrazioni di cariche elettriche.
Perciò l'esistenza di un fenomeno dissipativo in aggiunta alla corrente di cariche può
essere rappresentato attraverso la permettività complessa. Per definire la permettività
complessa si deve considerare che il termine G tiene conto non solo del movimento dei
portatori di carica, ma può rappresentare ogni altro processo associato ad una dissipazione di
energia. Per cui:
G = ωε ′′
C0
ε0
(6.8)
20
Quindi:
jωε ′ + ωε ′′ → ε = ε ′ − jε ′′
(6.9)
La corrente totale Itot può essere riscritta come:
I tot = ( jωε ′ + ωε ′′)
C0
ε0
v = jωC0 kV
(6.10)
21
dove
k=
ε
= k ′ − jk ′′
ε0
(6.11)
ε è la permettività complessa e k è la permettività complessa relativa.
La tangente di perdita può essere riscritta come (si veda Fig.12):
ωε ′′
tgδ =
C0
Il
ε 0 ε ′′
=
=
I c ωε ′ C0 ε ′
→
ε0
L’Eq.6.10, considerando che C0 =
k′′
k′
(6.12)
A
ε 0 e che E = V / d , può essere riscritta in termini di
d
densità di corrente J che attraversa il condensatore::
J tot = ( jωε ′ + ωε ′′) E = ε
dE
dt
(6.13)
Il prodotto della frequenza angolare per il fattore di perdita è equivalente ad una conducibilità
dielettrica σ = ωε ′′ . Tale conducibilità tiene conto di tutti gli effetti dissipativi e può
rappresentare sia una effettiva conducibilità ohmica dovuta alla migrazione di cariche, che la
perdita di energia associata alla dipendenza dalla frequenza di ε’ (dispersione), come quella
che accompagna, ad esempio, i fenomeni di attrito durante la rotazione delle molecole.
Figura 12
22
6.2 Dielettrici e conduttori
Consideriamo adesso la permettività complessa scritta come:
ε = ε ′ − jε e′′
nella quale:
ε e′′ = ε ′′ +
(6.14)
σs
ω
(6.15)
dove εe è la percettività efficace e σ s è la conducibilità statica del mezzo. Introduciamo il
concetto di conducibilità equivalente:
σ e = σ s + ωε ′′ = σ s + σ a
(6.16)
dove
σ a = conducibilità dovuta al campo alternato = ωε ′′
σ s = conducibilità statica
Il termine σ e definisce, quindi, la conducibilità elettrica totale data dalla somma di un
termine rappresentante la conducibilità elettrica statica e di un termine rappresentante la
conducibilità elettrica dovuta alla presenza di un campo elettrico alternato, conducibilità
causata dalla rotazione dei dipoli nel momento in cui questi tendono ad allinearsi con il
campo elettrico alternato applicato.
La (6.14) può essere espressa anche come:
ε = ε′− j
σe
σ + ωε ′′
= ε′− j s
ω
ω
(6.17)
Ovvero tenendo conto della (6.15) può essere riscritta nella forma:
σ ⎞
⎛
ε = ε ′ − j ⎜ ε ′′ + s ⎟
ω⎠
⎝
(6.18)
23
che risulta essere la formulazione più generale e tiene conto sia delle perdite dielettriche che
di quelle conduttive. Si noti che se i termini delle equazioni vengono divisi per ε0 si ottengono
le parti reali ed immaginarie della permettività relativa k.
Ovviamente anche la conducibilità è una quantità complessa:
σ = (σ s + ωε ′′) + jωε ′
(6.19)
e tale grandezza è legata alla ε dalla relazione σ = jωε .
Molti materiali dielettrici, come ad esempio il vetro e la plastica, posseggono un valore molto
basso della conducibilità statica e si comportano come buoni isolanti, ma se soggetti a campi
elettrici alternati esibiscono un elevato valore della componente alternata della conducibilità,
dissipando una notevole quantità di energia.
Come visto in precedenza, J tot è data dalla:
J tot = J ce + J de
(6.20)
dove J ce = σ e E e J de = jωε ′ . La (6.20) può essere scritta, introducendo la tangente di
perdita, anche come:
jσ ⎞
⎛
J tot = jωε ′ ⎜1 − e ⎟ E = jωε ′ (1 − j tan δ e ) E
⎝ ωε ′ ⎠
(6.21)
dove
tan δ e = tangente di perdita effettiva =
σ e σ s + σ a σ S ε ′′
=
=
+ = tan δ s + tan δ a
ωε ′
ωε ′
ωε ′ ε ′
con tan δ s = tangente di perdita statica =
σs
ωε ′
e tan δ a = tangente di perdita alternata =
σ a ε ′′
=
ωε ′ ε ′
24
I materiali vengono classificati come buoni conduttori o buoni dielettrici proprio sulla base
del valore del rapporto
σe
.
ωε ′
Si hanno:
•
σ
Buoni dielettrici quando: ⎛⎜ e ′ ⎞⎟ << 1
⎝ ωε ⎠
da cui:
σ ⎞
⎛
J cd = jωε ′⎜1 − j e ⎟ E ≅ jωε ′E
ωε ′ ⎠
⎝
Per questi materiali la densità di corrente di spostamento è più grande della densità di corrente
di conduzione, e la densità di corrente totale è approssimativamente uguale a quella di
spostamento.
•
σ
Buoni conduttori quando: ⎛⎜ e ′ ⎞⎟ >> 1
⎝ ωε ⎠
da cui:
σ ⎞
⎛
J cd = jωε ′⎜1 − j e ⎟ E ≅ σ e E
ωε ′ ⎠
⎝
Per questi materiali la densità di corrente di conduzione è più grande che la densità di corrente
di spostamento, e la densità di corrente totale è approssimativamente uguale a quella di
conduzione.
Figura 13 Densità di corrente totale, di conduzione e di spostamento in funzione della frequenza. La frequenza
di transizione è data dalla: ωt
=
σ
ε
.
Come sarà meglio descritto in seguito, la permettività complessa è una grandezza che dipende
dalla frequenza; tale dipendenza produce degli spettri elettrici che descrivono il
25
comportamento del materiale al variare di ω. Ad esempio, la Fig. 14 mostra lo spettro elettrico
dell’acqua distillata misurato a T=25°C, mentre la Fig.15 mostra il comportamento generale
di una roccia parzialmente saturata d’acqua.
Figura 14
Figura 15
26
6.3 Permeabilità complessa
L’analogia circuitale utilizzata per definire la permettività complessa, può essere utilizzata per
definire anche la permeabilità magnetica complessa. Se al posto del campo elettrico
all’interno di un condensatore si considera il campo magnetico all’interno di un induttore, si
ottiene che la tensione V applicata all’induttanza genera una corrente di magnetizzazione Im in
accordo con la legge d’induzione di Faraday ( V = L
Im =
V
=−j
dI
) pari a:
dt
V
(6.22)
µ′
ω L0 km′
jω L0
µ0
Dove L rappresenta l’induttanza (in presenza di materiale all’interno) ed L0 è l’induttanza del
vuoto (induttanza geometrica). La corrente di magnetizzazione Im è in ritardo di 90° rispetto
alla tensione V (Fig.16).
Figura 16
Le permeabilità µ’ e µ0 (4πx10-7 T⋅m/A) sono, rispettivamente, la permeabilità magnetica del
materiale e del vuoto, e rappresentano la loro magnetizzazione. Il loro rapporto km ' = µ '/ µ0
rappresenta la permeabilità relativa del materiale. A causa della resistenza R delle spire che
costituiscono l’induttore, si produce anche una componente
ohmica V/R. Inoltre, può
generasi, in fase con V, una corrente di perdita magnetica Il dovuta alla dissipazione di
energia durante il ciclo di magnetizzazione. Per tener conto di questa perdita magnetica si può
introdurre in analogia alla permettività, la permeabilità complessa:
µ = µ ′ − j µ ′′
(6.22)
27
e la permeabilità complessa relativa:
km =
µ
= km′′ − jk m′′
µ0
(6.23)
La corrente totale sarà data dalla:
I tot = I m + I l =
V
jV ( µ '+ j µ ′′)
=−
L
jω L0 km
ω 0 ( µ ′2 + µ ′′2 )
(6.24)
µ0
La tangente di perdita magnetica è data dalla:
tgδ m =
µ ′′
µ′
(6.25)
Anche la permeabilità magnetica dipende dalla frequenza, come mostrato dalla Fig. 17 dove è
mostrato lo spettro magnetico di una ferrite di nichel misurato a T=25°C. Come si nota, la
permeabilità a bassa frequenza è piuttosto elevata, mentre decresce rapidamente al di sopra
dei 100 MHz (dispersività a più bassa frequenza rispetto ai dielettrici polari).
Figura 17
28
7 Equazioni di Debye
La dipendenza della permettività complessa dalla frequenza è descritta dalle equazioni
di Debye. Attraverso queste equazioni, noti i valori della parte reale della costante dielettrica a
frequenza zero ( ε rs′ ) e a frequenze molto elevate ( ε r′∞ ), è possibile calcolare parte reale,
immaginaria e tangente di perdita di un materiale. La permettività complessa è data dalla:
ε r (ω ) = ε r′ (ω ) − jε r′′ (ω ) = ε r′∞ +
ε rs′ − ε r′∞
1 + jωτ e
(7.1)
dove τ e è legato alla costante di tempo di rilassamento da:
τe =τ
ε rs′ + 2
ε r′∞ + 2
(7.2)
La parte reale ed immaginaria della (/.1) possono essere scritte come:
ε rs′ − ε r′∞
2
1 + (ωτ e )
(7.3)
( ε rs′ − ε r′∞ ) ωτ e
2
1 + (ωτ e )
(7.4)
ε r′ (ω ) = ε r′∞ +
ε r′′ (ω ) =
I valori di ε’ e di ε” a qualsiasi frequenza possono essere calcolate una volta noti i valori di
ε rs′ , ε r′∞ e τ .
La figura 18 mostra l’andamento della parte reale ed immaginaria della permettività in
funzione della frequenza. La figura 19 mostra, invece, parti reali ed immaginarie di acqua e
ghiaccio, in accordo con il modello di Debye
29
Figura 18
Figura 19
30
8 Le equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell, scritte per la prima volta (con simboli diversi) nel 1863, sono
equazioni differenziali che collegano variazioni temporali e spaziali delle varie quantità del
campo in un punto dello spazio. Essendo leggi sperimentali permettono di prevedere i
fenomeni elettromagnetici in moltissime applicazioni fisiche. La forma differenziale delle
equazioni di Maxwell è la rappresentazione più ampiamente utilizzata per descrivere e
correlare i vettori di campo, le densità di corrente e le densità di carica in ogni punto dello
spazio e del tempo. Tuttavia una completa descrizione dei vettori di campo in ogni punto
(includendo le discontinuità) e ad ogni istante, richiede non solo l’utilizzo delle equazioni di
Maxwell in forma differenziale, ma anche delle condizioni al contorno associate.
In forma differenziale le equazioni di Maxwell possono essere scritte come:
r
r r ∂D
∇× H = J +
∂t
(8.1)
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
(8.2)
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
(8.3)
(8.4)
Dove:
r
r
J =σE
r
r
r
D = ε E = ε rε 0 E
r
r
r
B = µ H = µ r µ0 H
(8.5)
(8.6)
(8.7)
31
Simbolo
Quantità
Unità di misura
vettore densità di flusso elettrico (o
spostamento elettrico)
densità di carica
coulomb/metro2
waber/metro=volt⋅sec/metro2
r
E
vettore densità di flusso magnetico
(o induzione magnetica)
vettore campo elettrico
r
H
vettore campo magnetico
ampere/metro
r
J
vettore densità di corrente
ampere/metro2
r
D
ρ
r
B
coulomb/metro3
volt/metro
Tabella 1
La tabella 1 riassume tutte le quantità che compaiono nelle equazioni di Maxwell, con le
relative unità di misura. Si noti che, in generale, le grandezze permettività, permeabilità
magnetica e conducibilità sono grandezze complesse.
Equazioni di Maxwell in regime sinusoidale
Il regime sinusoidale è indubbiamente la variazione temporale più importante sia in ambito
geofisico che in quello delle applicazioni ingegneristiche. In questo caso le equazioni di
Maxwell possono essere riscritte sostituendo il termine
r r
r
∇ × H = J + jω D
r
r
∇ × E = − jω B
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
∂
con il termine jω:
∂t
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
Si noti che, a differenza che nelle equazioni 8.1-8.4, ove i parametri delle equazioni
rappresentano valori istantanei delle quantità scalari e vettoriali indicate, qui questi
rappresentano i moltiplicatori complessi di e jωt . Di conseguenza, per una quantità vettoriale
r
come E , il valore complesso può essere scritto come:
r r
r
E = Er + jEi
(8.12)
32
r
r
dove Er ed Ei sono vettori reali. Per cui:
r
r
r
r
r
E (t ) = Re ⎡ Er + jEt e jωt ⎤ = Er cos ωt − Et sin ωt
⎣
⎦
(
)
(8.13)
8.1 Onde elettromagnetiche
Le equazioni di Maxwell permettono di ricavare le equazioni delle onde elettromagnetiche.
Si consideri una regione di spazio senza sorgenti in modo che non compaiano nelle equazioni
di Maxwell né termini di carica né termini di corrente. In tal caso le equazioni (8.1) ed (8.2),
r
r
scritte per E ed H diventano:
r
r
∂E
∇× H = ε
∂t
r
r
∂H
∇ × E = −µ
∂t
(8.14)
(8.15)
Ricordando che nella forma più generale ε e µ sono grandezze complesse. Al fine di rendere
omogenee le (8.14) ed (8.15) si può calcolare il rotore di entrambe i membri delle equazioni.
Ad esempio per la (8.15) si ha:
r
r
∂H
∇ × ∇ × E = − µ∇ ×
∂t
(8.16)
r
r
r
r
r
r
r ∂2 A ∂2 A ∂2 A
2
2
Poiché ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ A dove ∇ A = 2 + 2 + 2 è il Laplaciano del vettore
∂x
∂y
∂z
(
)
(
)
r
A , si ottiene che:
r
r
r
∂H
2
∇(∇ ⋅ E ) − ∇ E = − µ∇ ×
∂t
(8.17)
33
r
In una regione senza sorgenti ∇ ⋅ E = 0 , per cui sostituendo la (8.14) nella (8.17) e
scambiando l’ordine delle derivate spaziali e temporali si ottiene:
r
r
r
∂
∂2 E
∇ E = µ ∇ × H = µε 2
∂t
∂t
r
Una analoga equazione può essere scritta anche per H , ovvero:
2
r
r
∂2H
∇ H = εµ 2
∂t
2
(8.18)
(8.19)
r
r
Assumendo che i vettori di campo E e H dipendano solamente da x e t , ovvero:
∂E ∂E ∂H ∂H
=
=
=
=0
∂y ∂z
∂y
∂z
(8.20)
la (8.18) e la (8.19) diventano:
∂2E
∂2E
εµ
=
∂x 2
∂t 2
(8.21)
∂2H
∂2H
= εµ 2
∂x 2
∂t
(8.22)
Tra le possibili soluzioni delle equazioni delle onde (8.21) ed (8.22), prendiamo in
considerazione quelle dell’onda piana uniforme (si veda dopo):
E = E0 exp( jω t − γ x )
(8.23)
H = H 0 exp( jωt − γ x )
(8.24)
che varia periodicamente nel tempo con una frequenza:
f = ω 2π
(8.25)
e avanza nella direzione +x dello spazio con un fattore di propagazione complesso (detto
anche costante di propagazione):
γ = jω εµ = α + j β
(8.26)
34
dove α è il fattore di attenuazione e β è il fattore di fase dell’onda. Introducendo questi nelle
(8.23) ed (8.24), si ottengono le:
E = E0 exp( −α x ) exp ⎡⎣ j 2π ( vt − β x 2π ) ⎤⎦
H = H 0 exp(−α x ) exp ⎡⎣ j 2π ( vt − β x 2π ) ⎤⎦
(8.27)
(8.28)
Dove l’onda ha un periodo temporale:
T =1 f
(8.29)
un periodo spaziale:
λ = 2π β
(8.30)
e una velocità di fase:
λ ω
dx
=v= =
dt
T β
(8.31)
r
r
Per mettere meglio in evidenza l’accoppiamento dei vettori E e H ,
consideriamo le
equazioni di campo ed esplicitiamo le componenti di campo. Sulla base della condizione
(8.20), solo le derivate rispetto ad x sono non nulle, per cui si ha:
0=ε
∂Ex
∂t
∂E
∂H z
=ε y
∂x
∂t
∂H y
∂E
=ε z
∂x
∂t
−
∂H x
∂t
∂H y
∂E
− z = −µ
∂x
∂t
∂E y
∂H z
= −µ
∂x
∂t
0 = −µ
(8.32)
Inoltre, poiché le divergenze sono nulle:
∂Ex
=0
∂x
∂H x
=0
∂x
(8.33)
35
Le componenti x dei vettori di campo, ovvero le componenti longitudinali di campo delle
onde elettromagnetiche, sono indipendenti dallo spazio e dal tempo, e perciò possono essere
considerate nulle. Il tipo di onde generate sono onde piane trasversali elettromagnetiche (onde
TEM).
Si ricorda che un'onda TEM (trasversale elettromagnetica) è un'onda in cui il campo elettrico ed
il campo magnetico sono perpendicolari tra di loro e perpendicolari alla direzione di
propagazione dell'onda (Fig.20). Un'onda TEM è piana quando le superfici di equifase sono piani
paralleli tra di loro. Inoltre un'onda è detta piana uniforme quando le superfici di equiampiezza
sono anch'esse dei piani paralleli e coincidono con i piani equifase.
Figura 20
Le componenti trasversali accoppiate delle onde E e H sono, dunque, perpendicolari tra loro, e
formano, insieme con la direzione di propagazione, un sistema di coordinate destrorso +X, Ey,
Hz. Ciò appare evidente quando introduciamo la soluzione per il vettore E e H (eq. (8.23)) in
una delle equazioni di campo scalari. Scegliendo per esempio la relazione
−
∂E y
∂H z
=ε
∂x
∂t
36
otteniamo
γ H z = jωε E y
(8.34)
dalla quale ne segue che la componente E y del campo elettrico è accoppiata con la
componente H z del campo magnetico.
Il rapporto tra i vettori di campo elettrico e magnetico accoppiati permette di definire
l’impedenza intrinseca del mezzo Z come:
E
H
=
γ
≡Z
jωε
(8.35)
che può anche essere scritta, con l’aiuto della (8.26), come:
Z=
γ
µ jωµ
=
=
jωε
ε
γ
(8.36)
dove ε e µ sono quantità complesse. L’impedenza intrinseca del vuoto a sua volta può essere
scritta come:
Z0 =
µ0
= 120π = 376.6Ω
ε0
(8.37)
Si consideri nuovamente l’equazione della costante di propagazione (8.26), ed
esplicitiamone i prodotti delle quantità complesse:
γ = jω εµ = jω
( ε ′ − jε e′′)( µ ′ − j µ ′′ ) = α + j β
(8.38)
Eguagliando parte reale ed immaginaria da entrambi i membri dell’equazione si ottengono le
seguenti due relazioni, che definiscono esplicitamente l’attenuazione α dell’onda e la sua
costante di fase β:
α=
ω ⎡
µ ′2 + µ ′′2 ε ′2 + ε e′′2 − ε ′µ ′ + ε e′′µ ′′ ⎤⎥
⎢
1
β=
ω ⎡
′2 + µ ′′2 ε ′2 + ε e′′2 + ε ′µ ′ − ε e′′µ ′′ ⎤
µ
⎢
⎥
1
2⎣
2⎣
2
⎦
⎦
2
(8.39)
(8.40)
37
La (8.40) può essere utilizzata per riscrivere la velocità di fase sulla base dell’equazione
(6.31), ricordando che εe è stato definito nell’equazione (6.15):
v=
2
⎡ µ ′2 + µ ′′2 ε ′2 + ε ′′2 + ε ′µ ′ − ε ′′µ ′′ ⎤
e
e
⎣
⎦
1
(8.41)
2
Analizziamo adesso alcuni casi specifici di interesse geofisico:
1. Nel caso di materiali senza perdite magnetiche è possibile assumere µ ′′ = 0 . Di
conseguenza la (8.39) e la (8.40) diventano rispettivamente:
ω ⎡
α=
µ ′ ε ′2 + ε e′′2 − ε ′µ ′ ⎤⎥
⎢
2⎣
v=
1
2
(8.42)
⎦
2
⎡ µ ′ ε ′2 + ε ′′2 + ε ′µ ′ ⎤
e
⎣
⎦
1
(8.43)
2
Tali espressioni, attraverso opportuni passaggi algebrici, possono essere ricondotte alla forma
più usuale:
α=
ω
2
(ε e′′µ ′ ) ⋅
v=
1
⎡ ε ′µ ′ ) ⎧
⎤
⎪
⎛ ε ′′ ⎞ ⎫⎪
⎢(
⋅ ⎨1 + 1 + ⎜ e ⎟ ⎬ ⎥
⎢ 2
⎝ ε ′ ⎠ ⎪⎭ ⎥
⎪⎩
⎣
⎦
2
1
⎡ ε ′µ ′ ) ⎧
⎤
⎪
⎛ ε ′′ ⎞ ⎪⎫
⎢(
⋅ ⎨1 + 1 + ⎜ ⎟ ⎬ ⎥
⎢ 2
⎝ ε ′ ⎠ ⎪⎭ ⎥
⎪⎩
⎣
⎦
2
1
1
(8.44)
2
(8.45)
2
38
Inoltre, introducendo la tangente di perdita elettrica effettiva tan δ e =
ε e′′
, come generalmente
ε′
usato nelle applicazioni geofisiche, queste possono essere riscritte come:
α=
ω
2
(ε e′′µ ′ ) ⋅
v=
1
⎡ ( ε ′µ ′ )
⎤
⋅ 1 + 1 + tan 2 δ e ⎥
⎢
⎣ 2
⎦
{
}
1
(8.46)
2
1
⎡ ( ε ′µ ′ )
⎤
⋅ 1 + 1 + tan 2 δ e ⎥
⎢
⎣ 2
⎦
{
}
1
(8.47)
2
2) Per materiali non magnetici, per i quali µ ′ = µ 0 le suddette equazioni possono essere
ulteriormente semplificate (ricordando che la velocità di un’onda nel vuoto è c = 1 ε 0 µ 0 e
che
µ 0 ε 0 = 120π ):
v=
α=
c
⎡ ( k r′ )
⎤
⋅ 1 + 1 + tan 2 δ e ⎥
⎢
⎣ 2
⎦
{
}
1
(8.48)
2
60πωε e′′
⎡ ( k r′ )
⋅ 1 + 1 + tan 2 δ e
⎢
2
⎢⎣
{
}
⎤
⎥
⎥⎦
1
(8.49)
2
3) Infine, nel caso specifico in cui siano trascurabili anche le perdite elettriche, e cioè
quando ε ≅ ε ′ ( ε ′′ = 0 ), ovvero tan δ e << 1 si ha:
α=
60πωε e′′
k r′
(8.50)
c
k r′
(8.51)
v=
39
8.2 Propagazione di onde in mezzi “buoni conduttori” o “buoni dielettrici”
Nella sezione 6.2 sono stati definite le condizioni per materiali considerati buoni conduttori o
buoni dielettrici. Riportiamo qui di seguito in Tab.2 la costante di attenuazione α, la costante di
fase β, l'impedenza dell'onda Zw, l'impedenza intrinseca del mezzo η, la lunghezza d'onda λ, la
velocità v e la profondità di penetrazione δ nel caso di un'onda piana che si propaga in un mezzo
con perdite, classificabile come buon dielettrico (σ/ωε)2 << 1 (densità della corrente di
spostamento maggiore di quella di conduzione) oppure come un buon conduttore (σ/ωε)2 >> 1
(densità di corrente di conduzione molto maggiore di quella di spostamento).
Tabella 2
Si noti che in letteratura la costante di fase β è talvolta espressa anche con k, e che i termini esatti
si riferiscono al caso di mezzo con perdite dielettriche.
40
Un'onda che si propaga all'interno di un mezzo con perdite subisce, quindi, una attenuazione; la
-1
distanza alla quale l'onda si riduce di un valore pari ad e = 0.368=36.8% del suo valore originale
è detta profondità di penetrazione δ (skin depth) (fig.21). Il fenomeno di attenuazione di un'onda
all'interno di un mezzo dissipativo è noto come effetto pelle.
Figura 21
Si noti, inoltre che la costante di attenuazione è spesso espressa in dB/m. La conversione da
Np/m (unità di misura delle espressioni di α che appaiono in Tab.2) a dB/m si ottiene attraverso
la seguente equazione:
dB = 20 log10 ( e −α x ) = 20 ( −α x ) log10 ( e ) = 20 ( −α x )( 0.434 ) = −8.68 (α x ) (8.52)
ovvero:
α ( Np / m ) =
1
α ( dB / m )
8.68
(8.53)
41
Regimi ad alta e bassa frequenza
Quando si opera in regime ad alta frequenza vale la condizione generale σ << ωε ′ , per cui le
correnti di conduzione sono trascurabili rispetto alle correnti di spostamento. Poiché, in
questo regime, ε’ è normalmente molto più grande di ε”, la propagazione delle onde
elettromagnetiche avviene senza apprezzabili effetti di attenuazione o dispersione. In questo
caso la velocità di fase è una diretta misura della parte reale della permettività del mezzo, il
regime viene detto propagativo (Fig.22), ed il campo EM soddisfa l’equazione (in una
Figura 22
dimensione)
∂2 Ey
∂x 2
= εµ
∂2 Ey
∂t 2
. Nel regime propagativi, di solito la velocità è indipendente
dalla frequenza per un elevato intervallo di frequenze (solitamente 1MHz-1GHz) (Fig.23).
Quando si opera in un regime a bassa frequenza, σ >> ωε ′ , ciò implica che le correnti di
spostamento siano trascurabili rispetto a quelle di conduzione. Per i materiali di interesse
geofisico, tale condizione si verifica a frequenze minori di 105 Hz. A tali frequenze la
lunghezza d’onda e la profondità di penetrazione sono dello stesso ordine di grandezza. Tale
42
regime è detto diffusivo, ed il campo EM soddisfa l’equazione di diffusione (in una
dimensione)
∂2 Ey
∂x 2
= σµ
∂E y
∂t
(Fig.22).
Figura 23 Variazione della velocità e della attenuazione in un mezzo
La frequenza di transizione ft fra questi due regimi è data dalla:
ft =
σ
2πε
(8.54)
La Figura 24 mostra l’indipendenza della velocità dalla frequenza a frequenze maggiori di 1
MHz, per diversi materiali di interesse geologico.
43
Figure 24
La Figura 25 mostra, invece il valore di 1/α (indicata in figura come 1/β) in funzione della
frequenza per gli stessi materiali considerati in Fig.24.
Figura 25
44
9 Proprietà dielettriche dei mezzi naturali di interesse geofisico
La Tabella 3 riporta permettività, conducibilità, velocità ed attenuazione di alcuni tipici
materiali di interesse geofisico.
Tabella 3
Dall’analisi di tale tabella si evince che:
•
I minerali e le misture di minerali sono dei buoni isolanti dielettrici. Questi hanno una
permettività relativa che varia da 3 a 8, ed hanno conducibilità praticamente nulla.
•
I suoli, le rocce ed i materiali da costruzione come il cemento o l’asfalto posseggono
degli spazi vuoti tra i loro grani, che possono essere facilmente riempiti di aria, acqua
od altro materiale.
•
L’acqua è il materiale più polarizzabile (alta permettività) contenuto nei materiali di
interesse geofisico ed è inevitabilmente presente nei pori dei materiali terrestri (tranne
che in casi estremi).
•
L’acqua presente nei pori contiene una certa quantità di sali e di elettroliti ad elevata
mobilità, ed è perciò la principale causa della conducibilità di questi materiali.
44
9.1 Proprietà dielettriche delle rocce anidre
Il reperimento di dati relativi alle proprietà dielettriche dei suoli e delle rocce nel campo di
frequenze di diretto interesse delle metodologie tipiche del regime propagativo., è alquanto
complicato, poiché la maggior parte della letteratura relativa alla misura di tali parametri, si
riferisce ad un range di frequenze al di sotto dei 100 MHz, oppure al di sopra del GHz.
Tuttavia, normalmente le rocce anidre presentano solo contributi atomici ed elettronici alla
polarizzazione, di conseguenza in genere la dispersione è minima o trascurabile sino a
frequenze di 1012 Hz. e la permettività reale è indipendente da tutti gli altri parametri tranne
che dalla bulk density (Fig.26).
Figura 26
A titolo esemplificativo, si riportano qui i dati pubblicati sulle rocce anidre in una estesa
rassegna, dove è stata misurata la permettività e la tangente di perdita di un elevato numero
di campioni di rocce (e di polveri), allo stato anidro, a frequenze di 450 MHz e di 35 GHz. La
Figura 27 mostra i valori di ε'ottenuti a 450 MHz, mentre la Figura 28 mostra quelli ottenuti
a 35 GHz per differenti tipi di rocce e di campioni. Nelle figure sono riportati anche i valori
medi, massimi e minimi ottenuti.
45
Figura 27
Figura 28
46
La Figura 29 mostra, invece, il confronto tra i dati relativi agli stessi campioni misurati
rispettivamente a 450 MHz e a 35 GHz. Come si osserva, malgrado le due frequenze
utilizzate siano notevolmente differenti (per quasi un fattore 100), i valori non si discostano
molto tra di loro, dimostrando che le rocce analizzate presentano una bassissima dispersione.
Figura 29
Il comportamento non dispersivo delle rocce secche a frequenze al di sopra dei 100 MHz è
confermato anche in altri lavori sperimentali, nei sono state misurate la ε' e la tanδ su 17
campioni di rocce differenti. La Figura 30 mostra, a titolo esemplificativo, i risultati ottenuti
dagli autori su un campione di dolomite misurato a temperatura ambiente.
Nel caso di rocce anidre, la permettività della roccia, nel suo complesso, è funzione della
permettività dei grani e della porosità (ovvero della quantità di aria presente nei pori).
47
Figura 30
Alle basse frequenze, invece, il valore della permettività ε è funzione della frequenza, come
mostrato in Figura 31 (in figura: 1 diabase, 2 diorite,3 e 4 gabbro, 5 diabase, 6 sienite, 7
olivina, 8 e 10 granito e 9 ossidiana).
Figura 31
48
9.2 Proprietà dielettriche dell'acqua
La presenza dell'acqua all'interno delle rocce e dei suoli ne condiziona fortemente il
comportamento dielettrico. Di conseguenza, al fine di valutare tale effetto è importante
analizzare, innanzi tutto, le proprietà dielettriche dell'acqua allo stato puro o in presenza di
elettroliti.
Come è noto, l'acqua è costituita da molecole dipolari nelle quali un atomo di ossigeno è
legato a due atomi di idrogeno in una organizzazione spaziale tale da formare un angolo HO-H pari a circa 105°. Sebbene le molecole d'acqua considerate singolarmente siano
molecole polari, l'agitazione termica ne determina il continuo movimento vibrazionale e
rotazionale, cosicché le proprietà macroscopiche che ne risultano sono quelle di
un
liquido non-polare.
L'applicazione di un campo elettrico all'acqua liquida, produce la rotazione delle molecole di
H2O che tendono così ad allineare il loro vettore di polarizzazione nella direzione del
campo applicato. Se il campo applicato è un campo alternato a bassa frequenza, le
molecole invertiranno la loro orientazione alla stessa frequenza ed approssimativamente
oscillando in fase con il campo. Tuttavia, all'aumentare della frequenza, le forze di attrito
e l'inerzia causeranno un ritardo nella risposta e l'orientazione dei dipoli tenderà ad
acquisire una componente fuori fase rispetto al campo applicato. A frequenze molto
elevate (frequenze ottiche), i dipoli permanenti perdono la capacità di seguire il campo
applicato, e l'acqua assume un comportamento tipico di un materiale non-polare.
Il picco di assorbimento dell’acqua, mostrato in Fig.19 ha un massimo a temperatura
ambiente alla frequenza ω = 1 >1010 Hz. Al di sotto di questa frequenza k’ è indipendente da
τ
ω ma varia in funzione della temperatura: k ′ = k0 (T ) . All’aumentare di T, k0 diminuisce a
causa dell’agitazione termica che si oppone all’allineamento dei dipoli. La Figura 32 mostra
la dipendenza della permettività statica k0 dalla temperatura, mentre la Figura 33 mostra lo
49
spettro di rilassamento dell’acqua a 0° C ed a 25°C. Si noti che, il valore di permettività
statica misurato a 25 °C temperatura, pari a 78.5.
Figura 32
Figura 33
Infine, la Figura 34 mostra l’andamento della parte reale della permettività del ghiaccio, in
funzione della temperatura. Come si osserva al diminuire della temperatura il tempo di
rilassamento del ghiaccio aumenta, ed a -60°C il contributo del rilassamento dipolare sul
valore di k’ è praticamente trascurabile.
50
Figura 34
La dipendenza dalla frequenza della parte reale ed immaginaria dell’acqua pura, è già stata
illustrata in Fig.19. La determinazione dei
due valori
estremi di permettività relativi
all'acqua pura ( εrs e εr∞) che compaiono delle equazioni di Debye, sono state oggetto di
lunga indagine sperimentale dall'inizio del 1900
sino
alla fine degli anni sessanta.
L'evoluzione nella accuratezza dei risultati è stata ovviamente funzione della precisione
delle misure e quindi del miglioramento delle apparecchiature sperimentali.
Le prime misure di permettività effettuate sono state quelle relative al campo statico. Nel
caso specifico si intende per campo statico un range di frequenze che va da 0 a 100 MHz
ove i valori di εrs sembrano essere indipendenti dalla frequenza; infatti per molti liquidi il
prodotto ωτ (nel suddetto intervallo di frequenze e per un certo range di viscosità) è del
tutto trascurabile; di conseguenza la permettività che si misura ad una certa frequenza è
indistinguibile da quella misurata a frequenza 0 ed anche la perdita
dielettrica
è
praticamente uguale a 0.
51
L'acqua presente nelle rocce e nei suoli è una soluzione elettrolitica di composizione e
concentrazione varia in funzione del tipo di roccia serbatoio e della sua storia geologica.
Al fine di determinare la sua influenza sul comportamento elettromagnetico dei diversi
litotipi è, dunque, importante conoscere
le
proprietà
dielettriche
delle soluzioni
elettrolitiche a cui l'acqua può dare origine in condizioni naturali.
-6
La conducibilità dell'acqua pura in corrente continua è dell'ordine dei 10
presenza di ioni disciolti,
anche per
basse
S/m. La
concentrazioni, modifica notevolmente tale
valore, cosicché una tipica acqua di lago può raggiungere valori di 10
-2
S/m, mentre
l'acqua di mare ha un valore di circa 5 S/m. Questo incremento di conducibilità determina
un incremento nell'attenuazione delle onde elettromagnetiche, sebbene non vari la
frequenza alla quale si ottiene la massima attenuazione.
La conoscenza di ε' e ε'' permette di calcolare la velocità di propagazione e l'attenuazione
delle onde elettromagnetiche in una soluzione elettrolitica, utilizzando la equazioni descritte
nella precedente sezione. A titolo esemplificativo, la Figura 35 mostra i valori di c/v e della
attenuazione espressa in dBm-1
relativi ad una soluzione acquosa di
NaCl
ad
una
temperatura di 15°C.
52
Figura 35
Infine, la Figura 36 mostra la dipendenza di εrs e di εr∞ dalla concentrazione per soluzioni
contenenti sali monovalenti.
Figura 36
53
9.3 Proprietà dielettriche di rocce e suoli in presenza di acqua
La presenza dell'acqua all'interno dei suoli e delle rocce, ne modifica in modo radicale le
caratteristiche dielettriche. La valutazione dell'entità delle variazioni è un problema di
notevole complessità, a causa delle interazioni acqua-suolo (o roccia) che si manifestano, e a
causa dei differenti fenomeni che intervengono alle diverse frequenze. La Figura 37 mostra
l’effetto della presenza di umidità sulla permettività reale e sulla tangente di perdita di un
campione di roccia intatto e polverizzato.
Figura 37
54
L'effetto della variazione del contenuto in acqua su un generico suolo, nel campo di frequenze
di diretto interesse del radar, è illustrato, a titolo esemplificativo, in Figura 38. Tale effetto è
quello di indurre un aumento sia della parte reale che di quella immaginaria della
permettività..
Figura 38
Poiché è principalmente la soluzione acquosa che determina il comportamento dielettrico
delle rocce, e poiché come detto nel precedente paragrafo, le proprietà dielettriche dell'acqua
sono funzione di parametri differenti (concentrazione di elettroliti, temperatura, ecc.), tali
proprietà influenzeranno anche le caratteristiche dielettriche della roccia o del suolo nel loro
complesso. A titolo esemplificativo, verranno citati in questa sede solo i parametri più
importanti, che permettono di fare considerazioni generali. Sono, infatti, vari i fattori che
influiscono sulle suddette proprietà delle rocce e dei suoli, quali la composizione
mineralogica, la tessitura, la densità, ecc., tuttavia, questi sono legati al tipo specifico di suolo
o di roccia e non rientrano quindi tra i parametri generali, intesi in senso lato.
L'effetto della presenza dell'acqua sulle proprietà dielettriche dei suoli e delle rocce, è
funzione della frequenza, come messo in evidenza dalla Figura 39, ove sono mostrati la parte
reale e quella immaginaria della permettività e la tangente di perdita relative ad un limo
argilloso contenete il 15% in peso d'acqua. Come si osserva in figura i valori della parte
55
immaginaria e della tangente di perdita sono piccoli per frequenze intorno ai 100 MHz, e sono
massimi alle basse frequenze. La parte reale, invece, ha un andamento quasi costante nel
7
9
range 10 - 10 Hz.
Figura 39
La Figura 40 mostra, invece, la risposta in frequenza di ε’ di un campione di arenaria saturato
con acqua dolce.
Figura 40
56
I fenomeni fisici che influiscono sulle perdite all'interno dei suoli sono differenti a frequenze
differenti, come illustrato in Figura 41, che si riferisce al caso di miscele eterogenee. Tuttavia,
le proprietà dielettriche delle miscele (terreno - - acqua) sono di difficile valutazione,
soprattutto a frequenze al di sotto del GHz, ove intervengono complicati processi di
interazione tra le diverse fasi.
Figura 41
L'entità della variazione dei parametri dielettrici è funzione, come già sottolineato, anche
della concentrazione ionica della soluzione acquosa. In Figura 42, vengono riportati i valori
della permettività reale ed immaginaria, in funzione della concentrazione di NaCl (quelli
calcolati rappresentati con curve continue, quelli misurati con punti) e per diverse porosità,
relative a campioni di roccia calcarea.
57
Figura 42
Come si osserva, la porosità della roccia, influisce notevolmente sui valori di permettività,
non solo nel caso di soluzioni saline, ma anche nel caso in cui i pori siano riempiti di acqua a
basso contenuto di elettroliti, come nell'esempio mostrato nella Figura 43, che si riferisce ad
un campione di arenaria saturo (fresh water) (frequenza si misura 500 MHz). Al crescere
della porosità (i punti si riferiscono alle misure effettuate) cresce anche la parte reale della
permettività.
58
Figura 43
Anche il grado di saturazione in acqua del campione di suolo o roccia influenza parte reale ed
immaginaria della permettività, come mostrato dalla Figura 44, che si riferisce ad un
campione di arenaria avente una porosità del 22%. In figura viene mostrata la variazione di ε’
misurato alla frequenza di 250MHz.
Figura 44
59
Infine, l'influenza della temperatura sulla permettività dei suoli è messa in evidenza in Figura
45, nella quale viene riportata la variazione della parte reale e di quella immaginaria della
permettività (indicata con K), in funzione della frequenza e per due diverse temperature,
relativa ad un campione di argilla. Come si osserva dalla figura, sia per la parte reale che per
quella immaginaria, l'effetto della temperatura è più forte alla basse frequenze che alle alte
frequenze. Questo fatto è in accordo con il comportamento dell'acqua pura, per la quale
l'effetto della temperatura è forte sulla permettività statica, mentre è praticamente nullo a
frequenze ottiche.
Figura 45
Le caratteristiche dielettriche dei materiali determinano la profondità di penetrazione degli
impulsi elettromagnetici nel terreno (unitamente alla lunghezza d'onda utilizzata), come
messo in evidenza nella sezione 8, e quindi i limiti di applicabilità dei metodi elettromagnetici
di interesse geofisico. A questo proposito, ed a titolo esemplificativo, in Figura 46 viene
mostrata l'influenza della conducibilità in corrente continua sulla profondità di penetrazione,
per frequenze di 10 ,100 e 300 MHz, (utilizzando un modello - CRIM- Comple Refractive
60
Index Model), mentre la dipendenza dal coefficiente di attenuazione (indicato in figura con
A), è mostrata in Figura 47. Le curve riportate sono state calcolate per differenti contenuti in
acqua e per una permettività relativa di 4.
Figura 46
Figura 47
61
Nelle Figure 48 e 49 sono mostrati, invece, per diversi litotipi (anidri), rispettivamente gli
andamenti di α e v delle onde elettromagnetiche, in funzione della frequenza (nel range di
interesse delle tecniche che operano in regime propagativo). Come si osserva, le rocce
analizzate presentano un andamento approssimativamente lineare del coefficiente di
attenuazione. Inoltre, per la maggior parte di queste, la velocità è praticamente costante già a
partire da frequenze di pochi MHz; fanno eccezione il basalto e il gabbro, che presentano
velocità costanti solo al di sopra dei 400 MHz..
Figura 48
Figura 49
62
10 Relazioni fra le proprietà elettriche ed idrogeologiche di suoli e rocce
La corretta caratterizzazione delle proprietà idrauliche delle formazioni sotto-superficiali è
una delle principali finalità delle indagini geofisiche ed, in particolare, dell’idrogeofisica. In
condizioni di suolo saturo d’acqua, la stima della porosità e della conducibilità idraulica sono
tra gli obiettivi principali di indagine; in condizioni di saturazione parziale, risulta
particolarmente importante la caratterizzazione della conducibilità idraulica e del contenuto
d’acqua caratterizzante il mezzo. La caratterizzazione del sottosuolo può essere effettuata
attraverso l’utilizzo integrato di diverse tecniche geofisiche. In particolare, i metodi
elettromagnetici sono ampiamente utilizzati nelle indagini idrogeofisiche al fine di ottenere
informazioni ad alta risoluzione sulle condizioni del sottosuolo. Questi metodi includono:
•
Electrical resistivity (ER);
•
Induced polarization (IP);
•
Elctromagnetic induction (EMI);
•
Ground penetrating radar (GPR);
•
Time-domain reflectometry (TDR).
Questi metodi elettrici, che operano a frequenze oscillanti dalla corrente continua (DC) a >1
GHz, possono essere utilizzati, singolarmente o in combinazione fra loro, per ottenere
informazioni sulla struttura e sulla composizione sotto-superficiale. Sia le informazioni
strutturali che quelle riguardanti le proprietà elettriche forniscono importanti condizioni al
contorno per i processi di modellizzazione idrogeologica inversa. Le informazioni sulle
proprietà elettriche, inoltre, possono essere utilizzate per caratterizzare qualitativamente il tipo
di roccia o suolo e le proprietà dei fluidi in essi contenuti.
Sebbene le proprietà elettriche e le proprietà idrogeologiche delle rocce e dei suoli dipendano
da fattori comuni, le relazioni che le legano sono, spesse volte, non univoche. La non
63
univocità può essere ridotta utilizzando, complementarmente, diversi dati geofisici e ponendo
delle condizioni al contorno basate su informazioni note a priori. In pratica, comunque, è
spesso difficile tenere in considerazione tutte le condizione al contorno necessarie al modello
per effettuare previsioni di carattere quantitativo. Le relazioni teoriche che legano i parametri
elettrici e i parametri idro/petro-fisici sono, solitamente, troppo complesse per essere applicate
in pratica. I modelli teorici, perciò, sono spesso semplificati per ridurre il numero di parametri
liberi e, in alternativa, vengono spesso utilizzate delle semplici relazioni empiriche tra le
proprietà idrogeologiche ed elettriche. Queste relazioni empiriche sono solitamente basate su
le correlazioni ottenute fra le misure elettriche e idrogeologiche effettuate su di un sito
specifico; tali relazioni spesso funzionano bene ma risultano applicabili a studi su siti dalle
caratteristiche simili a quelli per cui sono state sviluppate e non hanno quindi, carattere di
universalità. In conclusione, quindi,:
•
Le relazioni teoriche fra le caratteristiche elettriche e quelle idrogeologiche risultano
essere troppo complesse per essere applicate in pratica (troppi fattori di input nel
modello);
•
Le relazioni empiriche risultano essere valide solamente per alcuni siti aventi
determinate caratteristiche.
A causa di queste problematiche, ciò che solitamente viene fatto è utilizzare le relazioni
teoriche per determinare la connessione intrinseca fra le grandezze elettriche ed
idrogeologiche e, quindi, per essere in grado di sviluppare corretti modelli empirici che,
opportunamente modificati, siano applicabili al più gran numero possibile di contesti
sperimentali.
Proprietà idrogeologiche
64
Le rocce e i suoli sono composti da grani di minerali solidi e da pori. La porosità n può
essere definita come il rapporto fra il volume dei pori V p e il volume totale del campione Vt :
n=
Vp
Vt
1
Alcuni materiali contengono pori isolati. In questi casi, la porosità effettiva dello spazio
connesso dei pori è inferiore alla porosità totale.
Mezzi saturi
Il flusso di un fluido in un mezzo poroso saturo è determinato dalla conducibilità idraulica
satura K s . Per materiali omogenei ed isotropi, K s è data dalla relazione
KS =
ks
ρW g
µ
hyd
2
dove
hyd
•
ks
•
µ la viscosità dinamica del fluido;
•
ρW la densità del fluido;
•
g l’accelerazione di gravità.
è la permeabilità idraulica;
La permeabilità idraulica è, principalmente, funzione della distribuzione della grandezza dei
pori, della loro connettività e della tortuosità del reticolo poroso. Un possibile modello per la
permeabilità idraulica è dato dal modello K-C (Kozeney & Carman) dove il flusso attraverso
un mezzo poroso può essere rappresentato dal flusso attraverso un fascio di capillari. Ciascun
capillare è assunto rappresentare un cammino di flusso indipendente all’interno del campione,
dove l’effettiva lunghezza del cammino La è maggiore o uguale alla lunghezza macroscopica
65
del campione L . La tortuosità è definita come T = (La L ) . Da considerazioni sul flusso di
2
fluidi viscosi laminari attraverso tubi, può essere ottenuta l’espressione
k shyd =
nrh2
3
aT
dove a è il fattore di forma per il tubo (numero dimensionale fra 1.7 e 3) e rh è il raggio
idraulico. Una misura comune per il raggio idraulico è l’inverso dell’area superficiale
specifica S p che rappresenta il rapporto fra il volume e la superficie areale dei pori. Inoltre, la
tortuosità può essere messa in relazione con il fattore di formazione elettrico F tramite la
relazione
2
⎛L ⎞
T = ⎜ a ⎟ = nF .4
⎝ L ⎠
L’equazione 3 può, così, essere espressa come
ks =
1
5
aFS p2
In questa forma l’equazione K-C è posta in forma più pratica rispetto a quella di equazione. 3
in quanto F e S p sono proprietà fisiche ben definite e misurabili, mentre T e rh sono
costrutti teorici che non possono essere misurati direttamente.
Mezzi insaturi
Nella zona insatura, lo spazio dei pori è riempito con aria ed acqua e l’acqua è tenuta in
tensione (pressione negativa). La saturazione d’acqua S è definita come il rapporto fra il
volume di acqua VW e il volume totale dei pori:
S=
VW
.6
Vp
66
Il contenuto d’acqua θ è definito come il rapporto fra il volume di acqua e il volume totale
del campione:
θ=
VW
.7
Vt
La conducibilità idraulica K di rocce e suoli parzialmente saturati è funzione della
conducibilità idraulica satura K s , del livello di saturazione e delle proprietà di ritenzione
idrica del materiale.
Proprietà elettriche: modelli di permettività
Consideriamo alcuni modelli, indipendenti dalla frequenza, per la risposta a misure di
permittività di suoli e rocce. Questi modelli sono, generalmente, applicabili a misure di
permittività effettuate nell’intervallo di frequenze 100 MHz-10 GHz. A frequenze minori,
infatti, diventano non trascurabili i fenomeni di polarizzazione di suoli e rocce, mentre, a
frequenze maggiori, occorre tener conto dei fenomeni di polarizzazione delle molecole
d’acqua. Nei modelli presentati in questo paragrafo, la riposta della permettività per il limite
d’alta frequenza k ∞′ è indicato con la notazione k eff . Come precedentemente detto, la risposta
della permittività ad alta frequenza di suoli e rocce è particolarmente sensibile al contenuto
d’acqua; la permittività relativa dell’acqua, infatti, è molto maggiore ( k w ≅ 80 ) della
permittività relativa dei suoli e delle rocce anidre ( 4 ≤ k s ≤ 8 ) e dell’aria ( k a = 1 ). Fattori
secondari possono comunque influenzare la risposta in permittività di suoli e rocce; tali fattori
possono essere, ad esempio, la forma dei grani e dei pori, la temperatura e la salinità della
soluzione acquosa.
67
Mezzi saturi
Il modello ad indice di rifrazione (RI) è il modello maggiormente utilizzato per determinare il
volume relativo delle frazioni di una mistura a due fasi. Per materiali porosi saturi d’acqua, il
modello RI è dato da
k eff = n kW + (1 − n ) k S .8
Specificando kW e k S , il modello RI può essere utilizzato per predire la porosità n di un
materiale saturo d’acqua attraverso la misura della sua permittività. L’assunzione fisica alla
base del modello RI è che il tempo che impiega un’onda elettromagnetica per viaggiare
all’interno di un materiale poroso è uguale alla somma dei tempi che essa impiega per
viaggiare attraverso i singoli materiali costituenti (grani solidi e acqua nei pori) posti in serie.
L’equazione 8 è spesso indicata come equazione CRIM o come equazione per il tempo di
propagazione. Le leggere variazioni di kW con l’aumentare della temperatura o della salinità
possono essere agevolmente tenute in conto sostituendo, nella equazione 8, l’opportuno
valore di kW = kW (t ) o kW = kW (c ) (dove t e c rappresentano, rispettivamente, la
temperatura in °C e la concentrazione salina in moli/litro di soluzione).
Altri modelli teorici possono essere utilizzati per determinare le proprietà dielettriche di
materiali eterogenei in termini di permittività, di frazione volumetrica e configurazione
microgeometrica delle singole fasi. Le teorie di campo medio continuo sono ampiamente
utilizzate per predire le proprietà dielettriche e conduttive dei suoli e delle rocce. Un esempio
è la mixing formula “universale”
68
⎤
⎡
⎢ (1 − n )(k S − kW ) kW + a(k eff − kW ) ⎥
⎥
⎢
⎢ kW + a (k eff − kW ) + 1 (k S − kW ) ⎥
⎢
3
⎦⎥ 9
= kW + ⎣
1
⎤
⎡
(1 − n )(k S − kW )
⎥
⎢
3
⎥
⎢1 −
⎢ kW + a (k eff − kW ) + 1 (k S − kW ) ⎥
⎥⎦
⎢⎣
3
[
k eff
]
dove i grani minerali vengono considerati come inclusioni sferiche (di permittività relativa k S
e frazione volumetrica 1 − n ) immerse in una soluzione di background (di permittività relativa
kW e frazione volumetrica n ). Il parametro a , che varia da 0 ad 1, tiene conto degli effetti di
vicinanza delle particelle sul campo elettrico interno di una particella di riferimento, mentre il
termine
[k
W
]
+ a (keff − kW ) rappresenta la permittività apparente del background come
percepito da una particella di riferimento. Quando si escludono le interazioni fra le particelle
immerse, il parametro a può essere posto nullo e la mixing formula universale si riduce al
modello Maxwell-Garnett (MG), espresso da
k eff = kW + 3(1 − n )kW
k S − kW
10
k S + 2kW − (1 − n )(k S − kW )
Il modello MG risulta essere un limite superiore per la risposta, in termini di permettività, di
un campione saturo d’acqua. Quando a = 2 3 , la mixing formula universale si riduce a quella
per l’approssimazione di “mezzo efficace simmetrico (PVS)” mentre, quando a = 1 , si riduce
a la mixing formula per il “potenziale simmetrico (CP)”. Le formule PVS e CP tengono conto
delle interazioni fra le particelle immerse ma, solitamente, sottostimano la risposta in termini
di permettività nel caso di materiali altamente porosi. Per tener conto di queste interazioni di
più modesta entità fra le particelle immerse, valori empirici per a sono stati spesse volte
utilizzati per effettuare fit con la risposta di misure di permettività. L’equazione 9 può essere
ulteriormente modificata per tener conto della forma e dell’orientazione delle particelle
69
componenti il mezzo ed ulteriori modelli, che tengano conto anche di queste caratteristiche,
possono essere sviluppati.
Mezzi insaturi
Il modello ad indice di rifrazione (RI) può essere esteso anche a misture trifase. Per esempio
nel caso di mezzi insaturi si può tener conto della presenza di aria ( k a = 1 ) utilizzando la
relazione
keff = θ kW + (n − θ ) k a + (1 − n ) k s .11
Diverse modifiche a tale equazione sono state proposte, dividendo, ad esempio, la fase solida
in due fasi (sabbiosa e argillosa) con differenti permittività, oppure sostituendo l’esponente
1 2 con differenti potenze. Comunque, per determinare il contenuto d’acqua attraverso misure
di permittività è necessario conoscere la porosità del materiale e le permittività delle singole
fasi. Dal momento che la porosità di un suolo dipende da molteplici fattori ed è spesso non
nota, diverse equazioni empiriche sono state sviluppate per determinare la relazione fra k eff e
θ . La maggior parte di queste relazioni empiriche utilizzano funzioni polinomiali, che in
alcuni casi possono tener conto anche dei parametri costitutivi del suolo, quali ad esempio la
percentuale di sabbia e argilla, la densità bulk o il contenuto di materiale organico presente.
La relazione k eff (θ ) maggiormente utilizzata è la formula empirica di Topp
k eff = 3.03 + 9.3θ + 146θ 2 − 76.7θ 3 12
utilizzata anche nella forma
keff = a + bθ + cθ 2 − dθ 3 13
dove i termini a , b , c e d possono essere opportunamente determinati tramite misure di
calibrazione effettuate, solitamente in laboratorio, su un campione del mezzo in esame.
70
Stima della permeabilità idraulica
Diversi tentativi sono stati fatti per cercare di determinare la conducibilità idraulica attraverso
misure di permittività; non si è riusciti, tuttavia, ancora a determinare teoricamente tale
relazione e solamente relazioni empiriche e site-specific sono state sviluppate.
Proprietà elettriche: modelli di conducibilità
Consideriamo alcuni modelli, indipendenti dalla frequenza, per analizzare la risposta di
misure di conducibilità elettrica di suoli e rocce. Questi modelli sono applicabili a misure a
bassa frequenza nelle quali
σ (ω ) ≅ σ DC 14
Dal momento che la dispersione, nella risposta in conducibilità, risulta generalmente molto
minore della conducibilità elettrica statica, i fenomeni dispersivi possono essere trascurati per
frequenze f < 1MHz .
La risposta in conducibilità di suoli e rocce è, principalmente, funzione del contenuto d’acqua,
della conducibilità della soluzione saturante e della litologia del campione. La conducibilità di
soluzioni acquose, generalmente, cresce al crescere della concentrazione e della mobilità degli
ioni in soluzione e al crescere della temperatura della soluzione. Anche la forma dei pori e dei
grani può influenzare la conducibilità così come la conducibilità superficiale dell’interfaccia
grani/soluzione può essere significativa in materiali a grani fini, specialmente se la
conducibilità della soluzione ospite risulta essere bassa. Se la conducibilità della soluzione è
nota, le misure di conducibilità elettrica posso essere utilizzate per determinare la porosità di
71
formazioni sature d’acqua o il contenuto d’acqua di formazioni insature. Spesso le misure di
conducibilità possono essere utilizzate anche per determinare la salinità dell’acqua nel suolo.
Mezzi saturi
La legge empirica di Archie è la relazione maggiormente utilizzata per determinare la
risposta, in termini di conducibilità elettrica efficace, di materiali geologici saturi d’acqua:
σ eff =
σW
F
= σ W n m 15
dove n è la porosità del mezzo, m è l’indice di cementazione e F è il fattore di formazione
elettrico. Il fattore di formazione elettrico è una misura intrinseca della microgeometria del
materiale
F = n − m 16
ed è spesso assunto come un indicatore della tortuosità idraulica di equazione 4. L’indice di
cementazione m è un fattore empirico con valore, determinato sperimentalmente, dipendente
dalla consolidazione del materiale e generalmente compreso fra 1.3 e 2. La legge di Archie
assume, implicitamente, che la porosità effettiva ( ne ) sia uguale alla porosità totale ( n ) del
campione, e che tutta la conducibilità elettrica in suoli o rocce saturi d’acqua sia dovuta dalla
migrazione degli ioni in soluzioni attraverso tutta la matrice porosa. Se ci sono pori isolati,
attraverso i quali gli ioni non possono migrare, quindi ne < n , la legge di Archie porta ad una
sovrastima della conducibilità del campione.
La legge di Archie può essere modificata per includere, come se fosse in parallelo, il termine
di conducibilità superficiale al termine di conducibilità bulk del campione
σ eff =
σW
F
+ σ surface 17
72
Sebbene questi due termini non agiscano propriamente in parallelo, questa assunzione ha
notevoli vantaggi pratici; il principale è che F e σ surface possono essere facilmente, e con
buona approssimazione, calcolati interpolando linearmente σ eff in funzione di σ W .
La mixing formula “universale” per la conducibilità elettrica può essere ottenuta, a partire
dall’equazione 9, sostituendo i termini di permettività relativa con quelli corrispondenti di
conducibilità elettrica. Anche in questo caso, tale formula può essere modificata per tener
conto della forma e dell’orientazione dei grani e dei pori.
Mezzi insaturi
La conducibilità elettrica efficace di un mezzo insaturo può essere legata alla saturazione S
del mezzo tramite la legge di potenza
σ eff (S ) = σ sat S d 18
dove σ sat è la conducibilità del campione completamente saturato e d è l’indice di
saturazione, ovvero un fattore empirico solitamente compreso fra 1.3 e 2. L’equazione 18 si è
mostrato sottostimare la conducibilità elettrica per bassi valori di saturazione (dove gli effetti
di conducibilità superficiale non risultano trascurabili).
In assenza di conducibilità superficiale, la formula di Archie può essere utilizzata per
determinare la conducibilità di suoli e rocce parzialmente saturati, mediante la relazione
(ottenuta sostituendo l’equazione 15 nell’equazione 19)
σ eff = σ W n m S d 19
dove l’indice di saturazione è solitamente maggiore dell’indice di cementazione ( d > m ).
Solitamente la conducibilità elettrica è espressa in termini di saturazione d’acqua. Se
assumiamo, per semplicità, m = d nel modello di Archie, la conducibilità risulta essere data
da
73
σ eff = σ W θ m .20
Se il contenuto d’acqua è determinato indipendentemente, per esempio attraverso misure di
permittività, la relazione di equazione 20 può essere utilizzata per determinare la conducibilità
dell’acqua nel suolo, utilizzando un valore medio di m previamente determinato per lo
specifico suolo analizzato. La relazione empirica maggiormente utilizzata per determinare la
conducibilità elettrica dei suoli, in termini di contenuto d’acqua, è data da
σ eff = σ W θTC (θ ) + σ surface ; TC (θ ) = aθ + b 21
dove il coefficiente di conducibilità superficiale σ surface è considerato indipendente da θ e
σ W . Il coefficiente di trasmissione TC (θ ) è assunto essere una funzione lineare di θ e i
coefficienti empirici a e b risultano essere caratteristici del tipo di suolo analizzato.
Stima della permeabilità idraulica
Il fattore di formazione F e l’area superficiale specifica S p sono due parametri chiavi per la
determinazione della permeabilità idraulica di equazione 5
ks =
1
.22
aFS p2
Dal momento che F può essere stimato attraverso misure di conducibilità elettrica, diversi
tentativi sono stati effettuati per determinare una relazione che permetta di effettuare delle
stime in situ del valore di permeabilità idraulica. Tuttavia, essendo S p (misura della
grandezza efficace dei pori) molto più variabile di F per i diversi suoli e rocce, non è stato
possibile determinare, fino ad ora, nessuna relazione di validità generale. Come nel caso della
permettività, diverse relazioni empiriche sono state, quindi, proposte per determinare la
permeabilità idraulica attraverso misure di conducibilità elettrica, ma, anche in questo caso,
tutte sono risultate altamente site-specific.
74
75
Testi di riferimento
Annan P.A. GPR- Principles, Procedures and Applicatone, Sensors and Software Inc., 2004
Balanis C.A.: Advanced engineering electromagnetics, John Wiley & Sons", 1989.
Gueguen Y., Palciouskas V. Introduction to the physics of rocks Princeton University Press,
1994.
Ramo S,. Whinnery J. R, Van Duzer T. Campi ed Onde nell’elettronica per le
telecomunicazioni, Franco Angeli Editore, 1994.
Pettinelli E. Il georadar: teoria ed applicazioni, Tesi di Dottorato, Università di Trieste,
1993.
Von Hippel A.R. Dielectrics and Waves, John Wiley & Sons", 1954.
76
