La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo

Università degli Studi di Messina
Facoltà di Ingegneria
A.A. 2006/2007
“Statica e Sismica
delle Costruzioni Murarie”
Docente: Ing. Alessandro Palmeri
Lezione n. 9: La muratura come materiale non
omogeneo ed ortotropo
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Le principali caratteristiche della muratura dal punto di vista del comportamento
meccanico sono:
a) Disomogeneità
b) Anisotropia
c) Asimmetria, rispetto al segno delle sollecitazioni (compressione/trazione).
d) Non Linearità del legame sforzi-deformazioni.
La disomogeneità è dovuta al fatto che gli elementi resistenti e la malta di cui è
costituita la muratura possono avere caratteristiche meccaniche fortemente diverse.
Inoltre, spesso non è sufficiente conoscere le caratteristiche dei materiali componenti
presi singolarmente per prevedere il comportamento meccanico dell’insieme, in quanto
un ruolo fondamentale è giocato dall’interfaccia ovvero dall’unione fra i componenti, che
per particolari fenomeni chimico-fisici tende a sviluppare un comportamento meccanico
non necessariamente riconducibile a quello dei singoli componenti.
Il comportamento meccanico macroscopico della muratura può quindi essere
considerato come il risultato dell’interazione meccanica fra gli elementi e la malta,
attraverso la loro interfaccia.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
L’anisotropia è dovuta alla direzionalità intrinseca della muratura, legata alla forma ed
alle proporzioni degli elementi resistenti ed al modo con cui essi vengono disposti,
nonché all’eventuale presenza di fori e alla loro direzione.
La quasi totalità delle murature moderne presentano elementi regolari disposti per
corsi orizzontali, con giunti orizzontali di malta continui, laddove i giunti verticali sono
invece sfalsati per legare meglio la muratura.
L’asimmetria di comportamento meccanico è la diretta conseguenza del fatto che sia
gli elementi resistenti, sia la malta, sia l’interfaccia malta-elemento presentano un
comportamento asimmetrico nei riguardi della trazione e della compressione.
Un particolare ruolo in questo fenomeno è giocato dall’interfaccia, che in molti casi
presenta una resistenza a trazione più bassa e più aleatoria di quella dei singoli
componenti.
È su queste basi che la muratura viene modellata frequentemente come “materiale non
reagente a trazione” (NRT).
Infine, la non linearità, che può essere vista in parte come un risultato di alcune delle
caratteristiche sopra elencate, caratterizza in modo marcato il comportamento della
muratura sia in compressione, sia in trazione, sia in stati di sollecitazione composti.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Nelle applicazioni ingegneristiche, non è sempre possibile, né necessario tenere in
conto tutte le caratteristiche sopra elencate.
• Nella prassi progettuale si utilizzano modelli in cui il materiale viene
idealizzato come un “continuo omogeneo equivalente” al materiale non
omogeneo di riferimento, e l’anisotropia viene tenuta in conto in modo
estremamente semplificato, se non addirittura trascurata.
• In diversi casi, in funzione del tipo di applicazione e del livello di
sollecitazione, può anche essere lecito trascurare la non linearità del
materiale, utilizzando i modelli dell’elasticità lineare.
La principale conseguenza del carattere non omogeneo, o composito, della muratura
consiste nella necessità di distinguere fra le grandezze meccaniche macroscopiche
o medie o nominali, e le grandezze locali, laddove fra le grandezze di interesse si
possono far rientrare in particolare gli sforzi, le deformazioni e i parametri del
legame costitutivo.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Una definizione rigorosa dal punto di vista meccanico e matematico di continuo
omogeneo equivalente e della relazione fra grandezze medie o macroscopiche e
grandezze locali non è un problema di banale soluzione.
Recenti studi hanno cercato di affrontare il problema applicando alla muratura le
tecniche sviluppate per lo studio dei materiali compositi (“tecniche di
omogeneizzazione”).
Qualitativamente si può dire che la definizione di un materiale omogeneo equivalente ha
senso quando il campione di materiale ha dimensioni tali per cui in esso sono contenute
parecchie “eterogeneità”, e la dimensione delle stesse, rapportata alle dimensioni del
campione, è quindi molto piccola. Nella muratura, tuttavia, la definizione di quale tra i
due componenti (elementi resistenti o malta) debba essere considerato come
“eterogeneità” è abbastanza arbitraria.
Si sottolineano due aspetti particolaremente importanti:
• L’uso di grandezze macroscopiche ha senso solo quando i campioni di muratura
considerati sono sufficientemente grandi in rapporto alle dimensioni degli elementi
resistenti, e con gradienti di sforzo macroscopico non eccessivamente elevati.
• Operazioni relativamente semplici e consuete, quale l’interpretazione di una prova
di compressione su un prisma di muratura, si basino su una più o meno dichiarata
operazione di omogeneizzazione del materiale.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il comportamento in compressione monoassiale di un prisma di muratura è intermedio
tra quello del singolo mattone (elemento resistente) e quello della malta, a causa della
coazione che si istaura tra i due componenti.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
1. Compressione (normalmente ai letti di malti)
Si supponga di sottoporre un prisma di muratura ad una prova di compressione
semplice, normalmente ai letti di malta, e definendo una tensione media σ=N/A
riferita all’area lorda del provino, ed una deformazione media ε=∆h/h0 riferita
all’accorciamento del provino ∆h in direzione parallela al carico, su una lunghezza di
riferimento h0, si ottiene una curva sforzo-deformazione intermedia rispetto alle
curve ottenibili da prove di compressione sulla singola malta e sul singolo blocco.
È stato osservato (Hendry; Tassios) che in generale il comportamento in
compressione è determinato, in diversa misura, dai seguenti fattori:
• Resistenza, caratteristiche deformative e geometria degli elementi resistenti.
• Resistenza e caratteristiche deformative della malta.
• Spessore dei giunti.
• Capacità di assorbimento dell’acqua da parte dei mattoni, e capacità di
ritenzione dell’acqua da parte della malta.
• Geometria secondo cui vengono disposti gli elementi (sistema costruttivo, o
“apparecchiatura”) .
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Dal punto di vista fenomenologico, la crisi per compressione si presenta con lo
sviluppo progressivo di fessurazioni verticali (parallele all’asse di carico) negli
elementi, conseguenti allo sviluppo di trazioni ortogonali a quelle di compressione.
La causa di tale stato di trazione indiretta è uno stato di coazione che si instaura
all’interno del materiale in conseguenza del diverso comportamento deformativo
della malta e degli elementi.
In particolare, al crescere del
carico assiale, la malta viene a
trovarsi in uno stato di
compressione triassiale per
effetto del contenimento
esercitato dagli elementi, i
quali a loro volta si trovano
soggetti a trazioni ortogonali
all’asse di carico.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il confinamento triassiale della malta giustifica il fatto che la muratura possa
resistere a sforzi di compressione maggiori della resistenza a compressione
monoassiale della malta stessa.
Sulla base di queste considerazioni, una formulazione elastica può essere formulata
come segue.
Con riferimento ad un prisma di mattoni e malta, soggetto ad una tensione di
compressione σz>0 in direzione z, e supponendo i mattoni e la malta materiali
elastici lineari e isotropi, l’applicazione della legge di Hooke generalizzata
permette di esprimere le deformazioni trasversali εbx e εby del mattone (“brick”) in
direzione x e y, e le analoghe εjx e εjy del giunto (“joint”) di malta come:
εbx =
1
[σ + ν (σz - σby )]
Eb bx b
εjx =
1
[-σ jx + νj (σz + σby )]
Ej
εby =
1
[σ + ν (σz - σbx )]
Eb by b
εjy =
1
[-σ jy + νj (σz + σby )]
Ej
dove Eb ed Ej sono i moduli di Young del mattone e della malta; νb ed νj sono i
rispettivi coefficienti di Poisson; le tensioni normali σbx e σby del mattone sono di
trazione; le tensioni normali σjx e σjy del giunto di malta sono di compressione.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Per la congruenza tra malta e giunto di malta risulta:
εbx = εjx
tj
tb
εby = εjy
Inoltre, per l’equilibrio, la
risultante degli sforzi di
compressione laterali nei
giunti di malta deve essere
uguale alla risultante degli
sforzi di trazione laterale
nel mattone, da cui, nelle
due direzioni x e y:
σbx = α σ jx
σby = α σ jy
dove a=tj/tb è il rapporto
(adimensionale) tra l’altezza
del giunto di malta e quella
del mattone.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Combinando le equazioni di elasticità, di congruenza e di equilibrio, si trova la
relazione che lega gli sforzi trasversali di trazione allo sforzo di compressione
lungo z:
σbx = σby =
a (νj - b νb )
1 + a b - (νj + a b νb )
σz
dove b=Ej/Eb è il rapporto (adimensionale) tra il modulo di Young del giunto di malta
e quello del mattone.
Se si introduce un criterio di rottura del mattone in condizioni di sforzo triassiali,
e si assume che la crisi del mattone coincida con la crisi della muratura, è possibile
pervenire ad una formulazione della resistenza della muratura.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Si assuma, ad esempio, per il dominio di resistenza del mattone una relazione
lineare fra le tensioni di trazione nel mattone σt=σbx=σby e la tensione di
compressione σz, di equazione:
σt
σz
σ
+ t =1
fbc l fbc
fbt
fbc
σz
dove l= fbt/fbc, essendo fbc ed fbt, rispettivamente, la resistenza a compressione ed
a trazione del mattone.
Sostituendo, si trova la seguente espressione per la resistenza a compressione
della muratura:
1
fu =
fbc
a (νj - b νb )
1+
l [1 + a b - (νj + a b νb )]
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Questa formulazione presenta una serie di limitazioni che non ne permettono l’uso
diretto nelle applicazioni. In particolare:
• Si basa sull’ipotesi di comportamento lineare elastico dei materiali fino a
rottura: tale ipotesi risulta poco accettabile, specialmente quando la malta è
molto debole.
• Presuppone una conoscenza quantitativa delle costanti elastiche dei materiali:
le metodologie per una misura sperimentale diretta di tali grandezze
presentano notevoli difficoltà e sono a tutt’oggi oggetto di verifiche e
calibrazioni. L’alternativa alla misura diretta è l’uso di formule empiriche, i cui
risultati solitamente sono soggetti a forte incertezza.
Tuttavia, il valore concettuale dell’approccio descritto è di dare una descrizione,
ancorché approssimata, della rottura per compressione come risultato di uno stato
di coazione fra i materiali componenti il prisma.
Tra l’altro, è stato verificato mediante confronti sperimentali che l’espressione
ricavata sembra descrivere in maniera abbastanza soddisfacente l'influenza dello
spessore del giunto di malta sulla resistenza a compressione della muratura. Si nota
cioè che, mantenendo costanti gli altri parametri meccanici e geometrici, la
resistenza a compressione di un prisma di muratura diminuisce rapidamente
all'aumentare dello spessore del giunto.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
La formulazione appena descritta è stata migliorata da Hilsdorf (1969).
In primo luogo, ha introdotto un coefficiente di disuniformità U>1, definito come
rapporto tra il massimo sforzo normale di compressione σz osservato e lo sforzo
medio σz,m=N/A.
Il coefficiente U varia con il livello dello sforzo normale di compressione e con la
resistenza della malta.
Dipendenza dallo sforzo medio
di compressione σz,m=N/A
Dipendenza dal tipo di malta
[1 psi (pound/inch2) = 0,0703 kgf/cm2]
La dipendenza dalla lavorabilità della malta, anche se rilevante, non è quantificabile.
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
La prima variazione introdotta da Hilsdorf, dunque, è quella di addebitare alle
concentrazioni di sforzo la causa principale della rottura dei mattoni: per cui
questa avrà luogo quando lo sforzo “efficace” σz=U σz,m supera la resistenza a
compressione del mattone.
La seconda variazione è l’ipotesi che la rottura della muratura avvenga quando alla
crisi dei mattoni, soggetti a compressione-trazione, si accompagni la contestuale
crisi della malta, soggetta a compressione triassiale.
In figura, la linea “A” rappresenta la
combinazione dello sforzo di
compressione σz=U σz,m e di trazione
σx=σy che provoca la fessurazione del
mattone.
La linea “C” indica il minimo sforzo
laterale nel mattone sufficiente a
contenere la malta.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Le equazioni che governano le due linee sono, ordinatamente:
σz
σ
+ t =1
fbc l fbc
fi
σ t = l (fbc - σz )
σz = fj + 4,1σ jx
Imponendo l’equilibrio tra la risultante degli sforzi laterali di trazione σt agenti sul
mattone di altezza tb e la risultante degli sforzi laterali di compressione σjx=σjy sul
giunto di malta di spessore tj, si ha:
σ t tb = σ jx tj
fi
σ jx =
tb
1
σt = σt
tj
a
Sostituendo, si trova la tensione verticale σz in condizioni di rottura:
σz = fj +
4,1
l
σ t = fj + (fbc - σz )
a
a¢
fi
σz =
a ¢ fj + l fbc
a¢ + l
dove a′= a/4,1= (tj/ tb)/4,1.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
La resistenza della muratura si ricava dividendo tensione verticale σz per il
coefficiente di disuniformità:
fu =
1 a ¢ fj + l fbc fbc a ¢ fj + fbt
=
U a¢ - l
U a ¢ fbc + fbt
Hilsdorf ha confrontato i risultati sperimentali con i valori di resistenza ottenuti
dal modello teorico nell’ipotesi che la resistenza biassiale a trazione nei mattoni
potesse essere assunta pari a quella monoassiale.
I principali ostacoli nell'utilizzazione del modello derivano dalla valutazione di fbt e
di U. Esistono altre incertezze dovute al fatto che la resistenza del giunto di malta
è diversa dalla resistenza cubica dello stesso materiale.
Secondo Hilsdorf, il coefficiente U dipende dalla posa in opera, dal tipo e dalla
resistenza della malta, dal tipo di mattoni e dalla distribuzione dei fori, nonché dal
reticolo murario.
Prove di Hilsdorf indicano per il coefficiente U valori compresi tra 1.1 e 2.5,
decrescenti al crescere della resistenza della malta.
17
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Sahlin (1971) ha confrontato le curve teoriche di resistenza di Hilsdorf con
risultati sperimentali.
Resistenza a compressione fu della muratura vs resistenza a compressione fbc dei mattoni:
confronto tra valori teorici e risultati sperimentali, dispersi nella zona ombreggiata
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
fu vs tj: confronto tra valori teorici e
risultati sperimentali
fu vs fj: confronto tra valori teorici e
risultati sperimentali
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
L'approccio di Hilsdorf è stato successivamente sviluppato da altri autori mediante un
affinamento dei criteri di resistenza triassiali dei mattoni e della malta.
Raccogliendo le indicazioni ottenute dalla sperimentazione e dalle formulazioni razionali
finora proposte si nota che:
• La resistenza della muratura aumenta al crescere della resistenza dei componenti,
ma in modo non direttamente proporzionale.
• Un aumento della resistenza dei mattoni porta ad un rapido incremento della
resistenza della muratura quando la malta è di qualità molto buona; viceversa, se la
qualità della malta è scarsa, la resistenza della muratura cresce più lentamente al
crescere della resistenza dei blocchi.
• La resistenza della muratura non aumenta in modo direttamente proporzionale
all’aumentare della resistenza della malta, bensì più lentamente.
• Un aumento dello spessore dei giunti fa diminuire la resistenza della muratura, in
misura tanto maggiore quanto più la malta è di scarsa qualità.
Esiste inoltre una serie di altri fattori che possono influenzare la resistenza della
muratura in compressione, quali:
• Presenza dei giunti verticali e del tipo di connessione o orditura dei mattoni.
• Fattori di esecuzione quali la composizione e miscelazione della malta, o
l’esecuzione difettosa dei giunti di malta.
20
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Formulazioni empiriche sono state proposte per compendiare l’influenza dei fattori
principali che concorrono a determinare la resistenza a compressione della muratura.
Tali formulazioni sono finalizzate alla progettazione e alla verifica delle costruzioni.
In tale ambito la valutazione della resistenza deve tenere conto della dispersione di
tale grandezza per introdurre valori cautelativi in metodi di verifica basati su principi
probabilistici.
I procedimenti di calcolo utilizzano, infatti, un frattile inferiore della sua distribuzione
(valore caratteristico).
Ad esempio, la formulazione adottata in Europa nell'ambito dell’Eurocodice 6 si basa
sulla seguente espressione:
fk = K fba fmb
in cui la resistenza caratteristica a compressione della muratura, fk, è espressa in
funzione della resistenza media a compressione dei mattoni, fb, e della malta, fm; K è un
coefficiente dipendente dal tipo di elementi.
Si ipotizza che fk cresca approssimativamente con la radice terza dei mattoni (a=0,65)
e con la radice quarta della resistenza della malta (b=0,25).
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il comportamento deformativo in compressione semplice di un prisma di muratura
ha un andamento non lineare, che nel tratto ascendente può essere approssimato in
modo abbastanza soddisfacente con una relazione σ-ε di tipo parabolico:
Êεˆ Êεˆ
σ
= 2Á ˜ - Á ˜
fu
Ë ε0 ¯ Ë ε0 ¯
2
Prove sperimentali eseguite su
murature di mattoni mostrano come
0.8
questa relazione possa valere anche
per una porzione del ramo decrescente
s 0.6
della curva.
f u 0.4
Tuttavia, fermo restando il fatto che
il ramo decrescente dipende
0.2
sensibilmente dalle dimensioni del
e provino e dal metodo di prova, il
0
e0 comportamento post-picco può
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
differire in modo significativo per
diversi tipi di murature, mostrando in alcuni casi comportamenti marcatamente fragili (è il
caso ad esempio di alcune murature in laterizio forato o in blocchi di calcestruzzo).
1
22
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
La deformazione al picco di resistenza ε0 vale comunemente:
2,5 ÷ 3,5 ¥ 10-3 per murature di mattoni
1,5 ÷ 2,0 ¥ 10-3 per murature in blocchi di calcestruzzo
ed ha ampie variazioni per le murature in pietrame.
In molte applicazioni può rendersi necessaria la definizione di un modulo elastico
della muratura Em, il cui significato è solitamente quello di modulo tangente­secante
alla curva σ-ε per valori di compressione non superiori a 0,35 ÷ 0,40 fu.
Le relazioni empiriche più frequentemente usate per la definizione del modulo
elastico in assenza di misurazione sperimentale diretta riconducono Em alla
resistenza a compressione della muratura:
Em = 500 ÷ 1000 fu
Criteri per la determinazione del modulo elastico della muratura a partire dalle proprietà
elastiche dei componenti sono stati proposti da diversi autori. Si osserva comunque che in
generale risulta più problematica la misurazione sperimentale della deformabilità della malta
e dei mattoni singolarmente, che non di un campione di muratura, e quindi tali formulazioni
analitiche spesso possono dare errori paragonabili a quelli delle formulazioni empiriche.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
2. Trazione (normalmente ai letti di malta)
Il comportamento in trazione della muratura è generalmente caratterizzato dalla
rottura del giunto di malta, che può avvenire per:
• Decoesione all’intefaccia mattone-malta.
• Frattura all’interno del giunto di malta, normalmente alla direzione di trazione,
qualora l’adesione della malta all’elemento sia molto buona.
In generale, la resistenza a trazione del giunto fjt può quindi variare da un massimo,
prossimo alla resistenza a trazione della malta fmt, ad un minimo che può arrivare a
qualche percento di fmt nel caso di decoesione all’interfaccia.
Più raramente, quando la qualità del legante è molto elevata oppure la resistenza degli
elementi è molto scarsa, può aversi la frattura nell’elemento.
La resistenza a trazione è caratterizzata da una estrema aleatorietà: per questo
motivo viene spesso trascurata nelle applicazioni. Tuttavia, essa può avere particolare
rilievo per la resistenza a flessione delle pareti per azioni fuori dal piano.
Un ruolo fondamentale è giocato dall’assorbimento dell’acqua di impasto da parte degli
elementi. Un elevato assorbimento tende a privare la malta dell’acqua necessaria per
l’idratazione del legante cementizio, consentendo quindi solo una parziale idratazione e
conferendo così al materiale una resistenza minore in prossimità dell’interfaccia.
24
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
3. Stati tensionali complessi
A causa dell'anisotropia, nell'analisi del comportamento della muratura soggetta a
stati tensionali complessi è necessario fare riferimento, oltre alle componenti del
tensore degli sforzi macroscopici, anche al loro orientamento rispetto agli assi di
ortotropia del materiale.
Nel caso di stati tensionali le cui risultanti siano contenute nel piano medio della
parete, è possibile fare ricorso al modello di stato di sforzo piano. In tal caso sono
necessari tre parametri per descrivere compiutamente lo stato tensionale
macroscopico.
Una possibilità è di utilizzare le tensioni principali s1 e
s2 unitamente all’angolo q formato da una delle tensioni
principali con la direzione dei letti di malta.
25
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Alternativamente, è possibile utilizzare le tre componenti
del tensore degli sforzi nel sistema di riferimento del
materiale, ovvero con gli assi coincidenti con le normali
alla giacitura dei letti di malta e dei giunti di testa,
comunemente indicate con sn (normale ai letti di malta),
sp (parallela ai letti di malta).
I primi studi sperimentali per l'individuazione di domini di
resistenza per stati di sforzo biassiali risalgono alla fine
degli anni Settanta e ai primi anni Ottanta, con ricerche
svolte su muratura di mattoni in laterizio presso
l’Università di Newcastle in Australia (Page) e l’Università
di Edimburgo nel Regno Unito (Hendry).
Il comportamento ortotropo della muratura risulta particolarmente evidente
quando la malta ha caratteristiche di resistenza nettamente inferiori a quelle degli
elementi.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Modalità di rottura di pannelli in muratura al variare dello stato tensionale biassiale.
27
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Domini di rottura biassiali ottenuti sperimentalmente su muratura di mattoni.
28
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Domini di rottura biassiali ottenuti sperimentalmente su muratura di mattoni.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
4. Criterio di sicurezza di Mohr-Coulomb
Si vuole far vedere che i domini di rottura ricavati sperimentalmente per la
muratura di mattoni sono riconducibili al criterio di sicurezza di Mohr-Coulomb, il
quale, nell’ipotesi semplificativa di materiale omogeneo ed isotropo, si può
enunciare nella seguente forma:
“Il collasso del materiale viene raggiunto quando in un punto qualsiasi il valore
assoluto dello sforzo di taglio t su un piano comunque inclinato passante per
quel punto uguaglia il valore limite, dato dalla somma di una costante, c, detta
coesione, e di un termine proporzionale allo sforzo normale s su quello stesso
piano secondo un coefficiente, che è pari alla tangente di un angolo f detto
angolo di attrito interno del materiale.”
Cioè, assumendo come positivi gli sforzi di compressione, si ha collasso quando:
t £ c + s tan( f)
30
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Dal punto di vista
geometrico, il
collasso avviene
quando lo stato di
sforzo piano {s,t} è
tangente alla coppia
di rette di equazione
|t| = c + s tan(f).
31
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di sicurezza di Mohr-Coulomb
si riscrive in termini di tensioni principali
nella seguente forma:
s1 - s 3
È s1 + s 3
c ˘
f
≥
sin
(
)
+
Í 2
tan( f) ˙˚
2
Î
da cui, indicate rispettivamente con smax
e smin le tensioni normali massima e
minima, positive se di compressione:
s max £ tan2
Ê p fˆ
Ê p fˆ
+
s min + 2c tan
+
Ë 4 2¯
Ë 4 2¯
32
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Siccome le tensioni principali s1, s2 e s3 possono coincidere, ciascuna a turno, con
smax o con smin, si hanno sei condizioni di rottura, che nello spazio {s1,s2,s3}
delimitano un dominio a forma di piramide.
33
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Quando lo stato di sforzo è piano, cioè, ad esempio, s2=0, il dominio di rottura è
rappresentato da una sezione di questa piramide ortogonale all’asse s2.
Posto n=tan2(p/4+f/2), le sei condizioni di rottura diventano:
(4)
(2)
(3)
1) s1 ≥ 0 = s2 ≥ s3 fi
s1 = n s 3 + 2c n
2) s3 ≥ 0 = s2 ≥ s1
s 3 = n s1 + 2c n
fi
3) s1 ≥ s3 ≥ 0 = s2 fi
s1 = 2c n
4) s3 ≥ s1 ≥ 0 = s2 fi
s 3 = 2c n
5) 0 = s2 ≥ s3 ≥ s1
fi
s1 = -2c / n
6) 0 = s2 ≥ s1 ≥ s3 fi
s 3 = -2c / n
Valori indicativi per coesione ed attrito
sono c= 2 kgf/cm2 e f= 30°.
(5)
(6)
(1)
34
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di rottura così formulato, a svantaggio di sicurezza, sopravvaluta la
resistenza a trazione del materiale. Indicata con t<0 la resistenza a trazione della
muratura, occorre considerare le due disuguaglianze:
5') s1 ≥ t
6') s3 ≥ t
(4)
(2)
(3)
Un parametro caratteristico per t è
la resistenza a trazione della malta, il
cui valore assoluto indicativamente
varia tra 1.5 e 5 kgf/cm2.
(5’)
(6’)
(1)
35
La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale
omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica
diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici
che si ottengono al variare dell’angolo q, confrontati con quelli sperimentali.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale
omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica
diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici
che si ottengono al variare dell’angolo q, confrontati con quelli sperimentali.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale
omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica
diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici
che si ottengono al variare dell’angolo q, confrontati con quelli sperimentali.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale
omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica
diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici
che si ottengono al variare dell’angolo q, confrontati con quelli sperimentali.
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La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo
Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale
omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica
diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici
che si ottengono al variare dell’angolo q, confrontati con quelli sperimentali.
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