Grafi 3 - Dipartimento di Matematica
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia IL TORNEO DI CALCIO Avete un gruppo di sei squadre che devono sfidarsi in un torneo di calcio. Il torneo deve essere circolare e di sola andata, cioè ogni squadra deve giocare una partita contro ciascuna altra squadra. Costruite un grafo che rappresenti la situazione del torneo (in modo che siano rappresentate le squadre e le partite). Che tipo di grafo ottenete? 1) Utilizzando il grafo che avete costruito provate poi a determinare quante partite vengono giocate in totale? 2) Rispondete alla domanda precedente nel caso in cui le squadre siano 100? Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia IL P RO BLE MA DEL T RAG HETTO Un traghettatore (t) è stato incaricato di far attraversare un fiume a un lupo (l), un a pecora (p) e un cavolo (c). La sua barca a remi può trasportare soltanto uno di questi carichi all a volta e inoltre non può lasciare il lupo solo con la pecora o la pecora sola con il cavolo. Come dovrà procedere? Esiste una soluzione e se si una sola o quante? Provate a riscri vere il testo del problema precedente utilizzando un grafo, e da questo provate a dedurre se ci sono soluzioni e quante. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia TI CONOSCO O NON TI CONOSCO? Problema 1 Qualcuno raccontò di essersi trovato una volta in una comunità costituita in totale da 12 persone in cui risultava che: 1. Ognuno conosceva esattamente altre 5 persone; 2. Ognuno apparteneva a qualche terna di persone che si conoscevano l’un l’altro a due a due; 3. Non c’ erano quaterne di persone che si conoscevano l’un l’altro a due a due; 4. Non c’erano però nemmeno quaterne di persone che non contenessero almeno una coppia di persone che si conoscevano; 5. Ognuno poteva trovare tra coloro che non conosceva una persona con cui non aveva alcuna conoscenza in comune. È possibil e secondo voi? …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. Il dottor Abracadabrus, sentito questo racconto, aggiunge che a lui era capitato di trovarsi in un’altra comunità in cui erano soddisfatte le stesse condizioni 2., 3., 4., ma, al posto di 1., valeva la seguente 1’. Ognuno conosce esattamente altre 6 persone; inoltre una di queste conoscenze lo può presentare a tutto il resto del gruppo. È possibil e secondo voi? …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia Problema 2 Siamo in treno, in uno scompartimento che contiene sei persone. Provate a dimostrare che, fra queste sei persone, ce ne sono sicuramente: - o tre che si conoscono (nel senso che, comunque si scelgano due persone fra queste tre, allora le due persone si conoscono) - oppure tre che non si conoscono (nel senso che, comunque si scelgano due persone fra queste tre, allora le due persone non si conoscono). Un grafo potrà essere di aiuto… …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. …………………….………………………………………………………………………….. Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia IL CAVALLO DEGLI SCACCHI Sapete tutti come si muove il cavall o nel gioco degli scacchi. Ecco qualche problema per il quale può essere utile una schematizzazione attraverso un grafo: Problema 1 Un problema cl assico è quello di decidere se è possibil e un percorso del cavallo che passi, una e una sola volta, attraverso tutte le caselle della scacchiera. Ve lo proponi amo qui su due mini-scacchiere, una scacchiera quadrata 4×4 e una scacchiera a forma di croce. Se il percorso è possibile, descrivetelo; se non è possibile, giustificate questa impossibilità. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia Problema 2 Partiamo ora da una scacchiera ancora più piccola, di sole 9 caselle (3×3) e disponiamo nei 4 angoli i quattro cavalli, precisamente mettiamo i due cavalli bianchi nei due angoli superiori e i due cavalli neri negli angoli inferiori. È possibile con una serie di mosse spostare i cavalli in modo da arrivare alla situazione invertita (i due cavalli bianchi nei due angoli inferiori e i due cavall i neri nei due angoli superiori)? Ed è possibile spostarli in modo da arrivare alla posizione qui sotto in figura? Se è possibile, descrivete come; se non è possibile, giustificate questa impossibilità. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ C OS TR UIRE POLIEDRI Avete a disposizione dei quadrati, dei pentagoni regolari, degli esagoni regolari, che si possono saldare insieme a formare dei poliedri. Siamo interessati a due tipi di poli edri: Tipo (A) sono poliedri le cui facce sono solo quadrilateri e esagoni, con la condizione che in ogni vertice arrivano esattamente tre facce. Tipo (B) sono poliedri le cui facce sono solo pentagoni e esagoni , con la condizione che in ogni vertice arrivano esattamente tre facce. Fra i poliedri di tipo (A) c’è anche il cubo (6 quadrati e 0 esagoni); fra i poliedri di tipo (B) c’è anche il dodecaedro regolare (12 pentagoni e 0 esagoni); mentre, in entrambi i casi, non è possibi le usare solo esagoni (perché ………………... ………………………………………………………………………………………………). Prima di rispondere alle seguenti domande, provate a costruire un po’ di poli edri di tipo (A) e un po’ di poliedri di tipo (B). Domanda 1 Provate a contare le facce quadrate e esagonali dei poliedri di tipo (A) che avete costruito: Cubo Q = 6 E = 0 Poli edro 1 Q= ……………… E = ……………………. Poli edro 2 Q= ……………… E = ……………………. Poli edro 3 Q= ……………… E = ……………………. Provate a contare le facce pentagonali e esagonali dei poliedri di tipo (A) che avete costruito: Dodecaedro regolare P = 12 E = 0 Poli edro 1 P= ……………… E = ……………………. Poli edro 2 P= ……………… E = ……………………. Poli edro 3 P= ……………… E = ……………………. Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia Domanda 2 Siamo pronti a scommettere che per tutti i poliedri di tipo (A) avete trovato Q=6, e per tutti i poliedri di tipo (B) avete trovato P=12… In realtà nel definire i poliedri di tipo (A) e (B) non abbiamo richiesto che le facce fossero proprio quadrati e esagoni regolari, ovvero pentagoni e esagoni regolari; ci bastavano quadrilateri, pentagoni, esagoni qualsiasi. Non avete qui il materi ale per provare a costruire altri poliedri con facce non necessariamente regolari, però… si può provare a semplificarci la vita disegnandone solo il grafo degli spigoli. Disegnate qui sotto due grafi di poliedri di tipo (A) e due grafi di poliedri di tipo (B) e contatene le facce (A) Q=….., E=…. (A) Q=….., E=…. (B) P=….. , E=…. (B) P=….., E=…. Domanda 3 Avete ancora ottenuto sempre 6 facce di quattro lati per i poligoni di tipo (A) e 12 facce pentagonali per i poliedri di tipo (B)! È legittimo il sospetto che non si tratti di una casualità, ma di una necessità… Provate a dimostrarlo. Un suggerimento: se V è il numero dei vertici, S il numero di spigoli, F il numero delle facce, si ha che V-S+F=2. …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia GERMOGLI E CAVOLINI DI BRUXELLES Vi proponiamo in questa scheda due giochi. Si tratta di giochi carta-e-penna, per due persone. Potete semplicemente provare a giocarci, a coppie; oppure potete provare a rispondere alle domande che vi poniamo in fondo. Il primo gioco: germogli Si parte segnando sul foglio, con disposizione arbitraria, un certo numero di punti. I due giocatori giocano a turno e ciascuna mossa consiste delle operazioni seguenti: • Disegnare un arco, che connetta due dei punti segnati sul foglio (i due punti possono essere anche coincidenti, cioè questo arco potrebbe anche essere un cappio che parte da e arriva in uno dei punti sul foglio) • Segnare un nuovo punto su questo arco Gli archi possono essere disegnati arbitrariamente (non ci sono vincoli su lunghezza e forma) PURCHÉ rispettino le seguenti regole: • Un arco non può intersecare gli altri archi già disegnati; • Da ogni punto escono al massimo tre archi. Perde il primo giocatore che non riesce al suo turno a disegnare un arco valido. Il secondo gioco: cavolini di Bruxelles Si parte segnando sul foglio, con disposizione arbitraria, un certo numero di crocett e a quattro braccia (in questo gioco quindi da ogni punto non potranno uscire più di 4 archi). I due giocatori giocano a turno e ciascuna mossa consiste delle operazioni seguenti: • Disegnare un arco, che connetta due delle braccia che escono da una stessa croce oppure due braccia di due croci diverse. • Segnare su questo arco una nuova croce (che avrà quindi due braccia libere e due già “occupate” dall’ arco che si è disegnato). Come nel gioco precedente, gl i archi possono essere disegnati arbitrari amente (non ci sono vincoli su lunghezza e forma) PURCHÉ non intersechino gli altri archi già disegnati in precedenza. Perde il primo giocatore che non riesce al suo turno a disegnare un arco valido. Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia Alcune domande 1. In uno di questi giochi l’esito è prevedibile in partenza: in qual e e perché? 2. Perché siamo sicuri che entrambi i giochi fini scono (ovvero non è possibile, con le regole dichiarate, andare avanti all’infinito)? 3. Sapete dare una stima, nell’uno e nell’al tro caso, di quando finiscono? ovvero, sapete stimare il numero massimo di mosse del gioco in funzione del numero di punti da cui siete partiti? ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Progetto Lauree Scientifiche Teoria dei grafi e topologia
