UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ʺF. ENRIQUESʺ
Progetto Lauree Scientifiche
Teoria dei grafi e topologia
IL TORNEO DI CALCIO
Avete un gruppo di sei squadre che devono sfidarsi in un torneo di calcio. Il torneo
deve essere circolare e di sola andata, cioè ogni squadra deve giocare una partita
contro ciascuna altra squadra.
Costruite un grafo che rappresenti la situazione del torneo (in modo che siano
rappresentate le squadre e le partite). Che tipo di grafo ottenete?
1) Utilizzando il grafo che avete costruito provate poi a determinare quante partite
vengono giocate in totale?
2) Rispondete alla domanda precedente nel caso in cui le squadre siano 100?
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IL P RO BLE MA DEL T RAG HETTO
Un traghettatore (t) è stato incaricato di far attraversare un fiume a un lupo (l), un a
pecora (p) e un cavolo (c). La sua barca a remi può trasportare soltanto uno di
questi carichi all a volta e inoltre non può lasciare il lupo solo con la pecora o la
pecora sola con il cavolo. Come dovrà procedere? Esiste una soluzione e se si una
sola o quante?
Provate a riscri vere il testo del problema precedente utilizzando un grafo, e da
questo provate a dedurre se ci sono soluzioni e quante.
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TI CONOSCO O NON TI CONOSCO?
Problema 1
Qualcuno raccontò di essersi trovato una volta in una comunità costituita in totale da
12 persone in cui risultava che:
1. Ognuno conosceva esattamente altre 5 persone;
2. Ognuno apparteneva a qualche terna di persone che si conoscevano l’un l’altro a
due a due;
3. Non c’ erano quaterne di persone che si conoscevano l’un l’altro a due a due;
4. Non c’erano però nemmeno quaterne di persone che non contenessero almeno
una coppia di persone che si conoscevano;
5. Ognuno poteva trovare tra coloro che non conosceva una persona con cui non
aveva alcuna conoscenza in comune.
È possibil e secondo voi?
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Il dottor Abracadabrus, sentito questo racconto, aggiunge che a lui era capitato di
trovarsi in un’altra comunità in cui erano soddisfatte le stesse condizioni 2., 3., 4.,
ma, al posto di 1., valeva la seguente
1’.
Ognuno conosce esattamente altre 6 persone; inoltre una di queste conoscenze
lo può presentare a tutto il resto del gruppo.
È possibil e secondo voi?
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Problema 2
Siamo in treno, in uno scompartimento che contiene sei persone. Provate a
dimostrare che, fra queste sei persone, ce ne sono sicuramente:
-
o tre che si conoscono (nel senso che, comunque si scelgano due persone fra
queste tre, allora le due persone si conoscono)
-
oppure tre che non si conoscono (nel senso che, comunque si scelgano due
persone fra queste tre, allora le due persone non si conoscono).
Un grafo potrà essere di aiuto…
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IL CAVALLO DEGLI SCACCHI
Sapete tutti come si muove il cavall o nel gioco degli scacchi. Ecco qualche problema
per il quale può essere utile una schematizzazione attraverso un grafo:
Problema 1
Un problema cl assico è quello di decidere se è possibil e un percorso del cavallo che
passi, una e una sola volta, attraverso tutte le caselle della scacchiera. Ve lo
proponi amo qui su due mini-scacchiere, una scacchiera quadrata 4×4 e una scacchiera
a forma di croce. Se il percorso è possibile, descrivetelo; se non è possibile,
giustificate questa impossibilità.
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Problema 2
Partiamo ora da una scacchiera ancora più piccola, di sole 9 caselle (3×3) e
disponiamo nei 4 angoli i quattro cavalli, precisamente mettiamo i due cavalli bianchi
nei due angoli superiori e i due cavalli neri negli angoli inferiori. È possibile con una
serie di mosse spostare i cavalli in modo da arrivare alla situazione invertita (i due
cavalli bianchi nei due angoli inferiori e i due cavall i neri nei due angoli superiori)?
Ed è possibile spostarli in modo da arrivare alla posizione qui sotto in figura?
Se è possibile, descrivete come; se non è possibile, giustificate questa impossibilità.
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C OS TR UIRE POLIEDRI
Avete a disposizione dei quadrati, dei pentagoni regolari, degli esagoni regolari, che
si possono saldare insieme a formare dei poliedri.
Siamo interessati a due tipi di poli edri:
Tipo (A)
sono poliedri le cui facce sono solo quadrilateri e esagoni, con la
condizione che in ogni vertice arrivano esattamente tre facce.
Tipo (B)
sono poliedri le cui facce sono solo pentagoni e esagoni , con la
condizione che in ogni vertice arrivano esattamente tre facce.
Fra i poliedri di tipo (A) c’è anche il cubo (6 quadrati e 0 esagoni);
fra i poliedri di tipo (B) c’è anche il dodecaedro regolare (12 pentagoni e 0 esagoni);
mentre, in entrambi i casi, non è possibi le usare solo esagoni (perché ………………...
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Prima di rispondere alle seguenti domande, provate a costruire un po’ di poli edri di
tipo (A) e un po’ di poliedri di tipo (B).
Domanda 1
Provate a contare le facce quadrate e esagonali dei poliedri di tipo (A) che avete
costruito:
Cubo
Q = 6
E = 0
Poli edro 1
Q= ………………
E = …………………….
Poli edro 2
Q= ………………
E = …………………….
Poli edro 3
Q= ………………
E = …………………….
Provate a contare le facce pentagonali e esagonali dei poliedri di tipo (A) che avete
costruito:
Dodecaedro regolare
P = 12
E = 0
Poli edro 1
P= ………………
E = …………………….
Poli edro 2
P= ………………
E = …………………….
Poli edro 3
P= ………………
E = …………………….
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Domanda 2
Siamo pronti a scommettere che per tutti i poliedri di tipo (A) avete trovato Q=6, e
per tutti i poliedri di tipo (B) avete trovato P=12…
In realtà nel definire i poliedri di tipo (A) e (B) non abbiamo richiesto che le facce
fossero proprio quadrati e esagoni regolari, ovvero pentagoni e esagoni regolari; ci
bastavano quadrilateri, pentagoni, esagoni qualsiasi.
Non avete qui il materi ale per provare a costruire altri poliedri con facce non
necessariamente regolari, però… si può provare a semplificarci la vita disegnandone
solo il grafo degli spigoli.
Disegnate qui sotto due grafi di poliedri di tipo (A) e due grafi di poliedri di tipo (B)
e contatene le facce
(A) Q=….., E=….
(A) Q=….., E=….
(B) P=….. , E=….
(B) P=….., E=….
Domanda 3
Avete ancora ottenuto sempre 6 facce di quattro lati per i poligoni di tipo (A) e 12
facce pentagonali per i poliedri di tipo (B)!
È legittimo il sospetto che non si tratti di una casualità, ma di una necessità…
Provate a dimostrarlo. Un suggerimento: se V è il numero dei vertici, S il numero di
spigoli, F il numero delle facce, si ha che V-S+F=2.
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GERMOGLI E CAVOLINI DI BRUXELLES
Vi proponiamo in questa scheda due giochi. Si tratta di giochi carta-e-penna, per due
persone. Potete semplicemente provare a giocarci, a coppie; oppure potete provare a
rispondere alle domande che vi poniamo in fondo.
Il primo gioco: germogli
Si parte segnando sul foglio, con disposizione arbitraria, un certo numero di punti.
I due giocatori giocano a turno e ciascuna mossa consiste delle operazioni seguenti:
•
Disegnare un arco, che connetta due dei punti segnati sul foglio (i due punti
possono essere anche coincidenti, cioè questo arco potrebbe anche essere un
cappio che parte da e arriva in uno dei punti sul foglio)
•
Segnare un nuovo punto su questo arco
Gli archi possono essere disegnati arbitrariamente (non ci sono vincoli su lunghezza
e forma) PURCHÉ rispettino le seguenti regole:
•
Un arco non può intersecare gli altri archi già disegnati;
•
Da ogni punto escono al massimo tre archi.
Perde il primo giocatore che non riesce al suo turno a disegnare un arco valido.
Il secondo gioco: cavolini di Bruxelles
Si parte segnando sul foglio, con disposizione arbitraria, un certo numero di crocett e
a quattro braccia (in questo gioco quindi da ogni punto non potranno uscire più di 4
archi).
I due giocatori giocano a turno e ciascuna mossa consiste delle operazioni seguenti:
•
Disegnare un arco, che connetta due delle braccia che escono da una stessa croce
oppure due braccia di due croci diverse.
•
Segnare su questo arco una nuova croce (che avrà quindi due braccia libere e due
già “occupate” dall’ arco che si è disegnato).
Come nel gioco precedente, gl i archi possono essere disegnati arbitrari amente (non ci
sono vincoli su lunghezza e forma) PURCHÉ non intersechino gli altri archi già
disegnati in precedenza.
Perde il primo giocatore che non riesce al suo turno a disegnare un arco valido.
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Alcune domande
1. In uno di questi giochi l’esito è prevedibile in partenza: in qual e e perché?
2. Perché siamo sicuri che entrambi i giochi fini scono (ovvero non è possibile, con
le regole dichiarate, andare avanti all’infinito)?
3. Sapete dare una stima, nell’uno e nell’al tro caso, di quando finiscono? ovvero,
sapete stimare il numero massimo di mosse del gioco in funzione del numero di
punti da cui siete partiti?
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