Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica, 3 / 12 / 2012

Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica, 3 / 12
/ 2012
Esercizio 1
In una sfera isolante di raggio R e densità di carica r sono due fori sferici di raggio R/4, con i centri in
(-R/2;R/2) e (R/2;R/2). All’interno dei due fori sferici sono due cariche negative di uguale valore, Q1 e Q2, tali da rendere il
sistema globalmente neutro. Le due cariche sono nelle posizioni di coordinate:
Q1 (-5R/8; R/2), Q2 (3R/8; R/2).
Calcolare in direzione, modulo e verso, il valore del campo elettrico nei punti A (0,-R/2) e B (-3R/2; 0) indicati in figura.
Calcolare inoltre le componenti Px ed Py del momento di dipolo totale del sistema di cariche.
Dati : R = 0.11 m ; r = 1.5 10-9 C/m3
ü Soluzione:
Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle
sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:
2
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
Soluzione:
Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle
sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:
In[2696]:=
<< PhysicalConstants`
In[2697]:=
e0 = VacuumPermittivity
8.85419 µ 10-12 Ampere Second
Out[2697]=
Meter Volt
ü
Dati:
In[2698]:=
R := 0.11 Meter
In[2699]:=
r := 1.5 10-9 Coulomb ë Meter3
Calcolo dei valori di Q1 e Q2.
Prima di tutto, calcoliamo i valori di Q1 e Q2. Il testo ci dice che le due cariche sono negative ed uguali, e tali da rendere il
sistema globalmente neutro. Quindi calcoliamo la carica presente nella sfera 1 con i fori 2 e 3: tale carica sarà positiva.
Perchè la carica totale sia nulla, Q1 e Q2 dovranno avere ciascuna la metà di questo valore.
Quindi:
Carica totale della Sfera 1 (Sfera di raggio R con densità di carica uniforme r)
In[2700]:=
Out[2700]=
Qtot1 = r
4
3
p R3
8.36292 µ 10-12 Coulomb
Carica totale della Sfera 2 (Sfera di raggio R/4 con densità di carica uniforme -r)
In[2701]:=
Out[2701]=
Qtot2 = - r
4
3
p
R
3
4
-1.30671 µ 10-13 Coulomb
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
3
Carica totale della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 con densità di carica uniforme -r). Vale Qtot3 = Qtot2
In[2702]:=
Out[2702]=
Qtot3 = - r
4
3
R
p
3
4
-13
-1.30671 µ 10
Coulomb
Il valore della carica Q1 (negativa) si trova sottraendo alla sfera 1 la carica delle sfere, cariche negativamente, 2 e 3, e
dividendo per 2:
In[2703]:=
Out[2703]=
In[2704]:=
Out[2704]=
Q1 = -HQtot1 + Qtot2 + Qtot3L ê 2
-4.05079 µ 10-12 Coulomb
Q2 = Q1
-4.05079 µ 10-12 Coulomb
Controllo: la carica totale deve essere 0:
In[2705]:=
Out[2705]=
ü
QtotSistema = Qtot1 + 2 Qtot2 + 2 Q1new
0. Coulomb
Calcolo del campo E in A(0;-R/2):
Modulo del Campo E della Sfera 1 (Sfera di raggio R e densità di carica r, con centro in (0;0))
Per r £ R, il modulo del campo elettrico è dato dal teorema di Gauss applicato ad una superficie sferica di raggio r, concentrica con il guscio sferico:
F(E(r)) = 4pr 2 E(r) = Q(r)/e0
La carica Q(r) è quella della sfera carica compresa tra 0 ed r:
Q(r) = r
4
3
p Ir3 M
per cui:
In[2706]:=
E1int@r_D =
r
1 4
4 p e0 r2 3
p Ir3 M
56.4705 Coulomb r Volt
Out[2706]=
Ampere Meter2 Second
Il modulo di E(r) per r=R/2 è:
In[2707]:=
E1A = E1intB
1
2
RF
3.10587 Coulomb Volt
Out[2707]=
Ampere Meter Second
Il campo E1 è diretto radialmente verso l'esterno, come indicato in figura (vettore blu).
Calcolo del Campo E della Sfera 2 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (-R/2;R/2))
La carica totale Q2 della sfera di raggio R/4 in (-R/2;R/2) è:
Il campo E2 prodotto dalla carica Qtot2 è diretto verso la sfera, come in figura (vettore rosso) ed ha un modulo che varia in
funzione di r come:
4
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2708]:=
E2m@r_D =
-
Out[2708]=
Qtot2 1
4 p e0 r2
0.00117441 Coulomb Meter Volt
Ampere r2 Second
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;R/2) dal punto A (0;R/2) è
In[2709]:=
D2A =
HR ê 2L2 + R2
0.122984
Out[2709]=
Meter2
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;R/2) dal punto A (0;R/2) è quindi R 5 í 2, per cui il modulo di E2 in A è dato
da:
In[2710]:=
E2A = E2m@D2AD
-
Out[2710]=
0.0776469 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E2 forma con l'asse delle y un angolo q tale che:
sin q = (R/2)/(R 5 í 2) = 1/ 5
cos q = R/(R 5 í 2) = 2/ 5
per cui è:
E2x = E2 sin q = E2/ 5 (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)
E2y = E2 cos q = E2 2 í
In[2711]:=
Out[2711]=
In[2712]:=
Out[2712]=
E2Ax = E2A í
-
5
0.0347247 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
E2Ay = E2A 2 í
-
5 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
5
0.0694495 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Calcolo del Campo E della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (R/2;-R/2))
La sfera 3 in (R/2;R/2) ha la stessa carica totale della sfera 2: Qtot3 = Qtot2. Inoltre, la distanza del centro della sfera 3 dal
punto A e la stessa del centro della sfera 2. Quindi il vettore E3 ha lo stesso modulo del vettore E2. Inoltre, anche il vettore
E3 forma con l'asse delle y lo stesso angolo q del vettore E2. L'unica differenza, è che la componente x di E3 ha direzione
opposta alla componente x di E2.
Quindi si ha, nel punto A, per E3:
E3x = - E2x
E3y = E2y
In[2713]:=
E3Ax := -E2Ax
In[2714]:=
E3Ay := E2Ay
Calcolo del Campo E della carica Q1 in (-5R/8; R/2) in A
La carica Q1 dista da A:
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2715]:=
Out[2715]=
5R
DQ1A =
2
R
+
8
2
+
R
2
2
Meter2
0.129717
per cui il modulo del campo elettrico dovuto a Q1 in A è:
In[2716]:=
Out[2716]=
EQ1A =
-
Q1
1
4 p e0 DQ1A2
2.16364 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ1 è diretto verso la carica Q1 e forma con l'asse delle y l'angolo j1 tale che:
sin j1 = (5R/8)/DQ1A
cos j1 = (R/2 + R/2)/DQ1A
per cui è:
EQ1Ax = EQ1A sin j1 (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)
EQ1Ay = EQ1A cos j1 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2717]:=
Out[2717]=
EQ1Ax = EQ1A H5 R ê 8L ê DQ1A
-
1.14673 Coulomb Volt
Meter2 Second
Ampere
In[2718]:=
Out[2718]=
EQ1Ay = EQ1A
-
R
2
+
ì DQ1A
R
2
1.83477 Coulomb Volt
Meter2 Second
Ampere
Calcolo del Campo E della carica Q2 in (3R/8; R/2) in A
La carica Q2 dista da A:
In[2719]:=
Out[2719]=
3R
DQ2A =
8
0.11748
2
+
R
2
+
R
2
2
Meter2
per cui il modulo del campo elettrico dovuto a Q1 in A è:
In[2720]:=
Out[2720]=
EQ2A =
-
Q2
1
4 p e0 DQ2A2
2.63787 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ2 è diretto verso la carica Q2 e forma con l'asse delle y l'angolo j2 tale che:
sin j2 = (3R/8)/DQ2A
cos j2 = (R/2 + R/2)/DQ2A
per cui è:
EQ2Ax = EQ2A sin j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
EQ2Ay = EQ2A cos j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
5
Il vettore EQ2 è diretto verso la carica Q2 e forma con l'asse delle y l'angolo j2 tale che:
sin j2 = (3R/8)/DQ2A
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
cos j2 = (R/2 + R/2)/DQ2A
6
per cui è:
EQ2Ax = EQ2A sin j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
EQ2Ay = EQ2A cos j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2721]:=
Out[2721]=
EQ2Ax = EQ2A H3 R ê 8L ê DQ2A
-
0.926217 Coulomb Volt
Ampere
In[2722]:=
Out[2722]=
Meter2 Second
EQ2Ay = EQ2A
-
R
2
+
R
2
ì DQ2A
2.46991 Coulomb Volt
Ampere
Meter2 Second
Possiamo ora calcolare le componenti del campo totale in A:
EtotAx = E2Ax+E3Ax+EQ1Ax+EQ2Ax = EQ1Ax + EQ2Ax perchè è E2Ax = - E3Ax, come abbiamo visto
EtotAy = E1A + E2Ay + E3Ay + EQ1Ay+EQ2Ay
In[2723]:=
Out[2723]=
EtotAx = -Abs@EQ1AxD + Abs@EQ2AxD
Ampere
In[2724]:=
Out[2724]=
F
Coulomb Volt
-0.220512 AbsB
Meter2 Second
EtotAy = -Abs@E1AD + Abs@E2AyD + Abs@E3AyD + Abs@EQ1AyD + Abs@EQ2AyD êê N
-2.96698 AbsB
Coulomb Volt
Ampere Meter Second
F + 4.30468 AbsB
F
Coulomb Volt
Ampere
Meter2 Second
Il modulo del campo elettrico nel punto A è dato da:
In[2725]:=
Out[2725]=
-2.9669759841706234` + 4.304677034632822`
1.3377
In[2726]:=
EtotA =
Out[2726]=
EtotAx2 + EtotAy2
0.0486255 AbsB
Ampere
-2.96698 AbsB
In[2727]:=
Out[2727]=
ü
F +
2
Coulomb Volt
Meter2 Second
Coulomb Volt
Ampere Meter Second
F + 4.30468 AbsB
Coulomb Volt
Ampere
1.3377010504621984`2 + 0.048625492098938`2
1.33858
Calcolo del campo E in B(-3R/2;3R/2):
Il campo E1B generato dalla sfera 1 in (0;0) in B (-3R/2;0) ha modulo:
2
Meter
Second
F
2
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2728]:=
E1B =
Qtot1
1
I
4 p e0
3R 2
M
2
êê N
2.76078 Coulomb Volt
Out[2728]=
Ampere Meter Second
Il vettore E1B forma un angolo di p/2 con l'asse delle y => E1Bx =E1B; E1By = 0
E1Bx = E1B (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)
La distanza D2B tra il centro della sfera 2 in (-R/2;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
In[2729]:=
Out[2729]=
D2B =
-
3R
2
- -
2
R
2
2
R
+
2
Meter2
0.122984
Il campo E2B generato dalla sfera 2 in (-R/2;R/2), nel punto B in (-3R/2;3R/2), ha modulo:
In[2730]:=
Out[2730]=
E2B =
-
1
Qtot2
4 p e0
D2B2
êê N
0.0776469 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E2B forma un angolo q l'asse delle x tale che:
sin q = R/2/D2B
cos q = R/D2B
E2Bx = E2B cosq (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
E2By = E2B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2731]:=
Out[2731]=
E2Bx = E2B
-
0.0694495 Coulomb Volt
Meter2 Second
Ampere
In[2732]:=
Out[2732]=
E2By = E2B
-
R
D2B
R
2
D2B
0.0347247 Coulomb Volt
Meter2 Second
Ampere
La distanza D3B tra il centro della sfera 3 in (R/2;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
In[2733]:=
Out[2733]=
D3B =
-
3R
0.226771
2
-
R
2
2
+
R
2
2
Meter2
Il campo E3B generato dalla sfera 3 in (R/2;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:
In[2734]:=
Out[2734]=
E3B =
-
1
Qtot3
4 p e0
D3B2
êê N
0.0228373 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E3B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:
sin q = R/2/D3B
cos q = 2R/D3B
per cui è:
E3Bx = E3B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
E3By = E3B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
7
8
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
Il vettore E3B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:
sin q = R/2/D3B
cos q = 2R/D3B
per cui è:
E3Bx = E3B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
E3By = E3B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2735]:=
Out[2735]=
E3Bx = E3B
-
Out[2736]=
Meter2 Second
E3By = E3B
-
D3B
0.0221555 Coulomb Volt
Ampere
In[2736]:=
êê N
2R
Rê2
êê N
D3B
0.00553886 Coulomb Volt
Meter2 Second
Ampere
La distanza DQ1B tra la carica Q1 in (-5R/8;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
In[2737]:=
Out[2737]=
DQ1B =
3R
-
0.110856
- -
2
5R
2
8
+
R
2
2
Meter2
Il campo EQ1B generato dalla carica Q1 in (-5R/8;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:
In[2738]:=
Out[2738]=
EQ1B =
-
Q1
1
4 p e0 DQ1B2
êê N
2.96253 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ1B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:
sin q = R/2/DQ1B
cos q = 7R/8/DQ1B
per cui è:
EQ1Bx = EQ1B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
EQ1By = EQ1B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2739]:=
Out[2739]=
EQ1Bx = EQ1B
-
Out[2740]=
Meter2 Second
EQ1By = EQ1B
-
DQ1B
2.57219 Coulomb Volt
Ampere
In[2740]:=
7R
8
R
2
DQ1B
1.46982 Coulomb Volt
Ampere
Meter2 Second
La distanza DQ2B tra la carica Q2 in (3R/8;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2741]:=
Out[2741]=
DQ2B =
3R
-
0.213457
2
-
2
3R
+
8
R
2
2
Meter2
Il campo EQ2B generato dalla carica Q2 in (-5R/8;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:
In[2742]:=
Out[2742]=
EQ2B =
-
Q2
1
4 p e0 DQ2B2
êê N
0.799022 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ2B forma con l'asse delle y un angolo q tale che:
sin q = (R/2)/DQ2B
cos q = (15R/8)/DQ2B
per cui è:
EQ2Bx = EQ2B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)
EQ2By = EQ2B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2743]:=
Out[2743]=
EQ2Bx = EQ2B
-
Out[2744]=
Meter2 Second
EQ2By = EQ2B
-
DQ2B
0.772043 Coulomb Volt
Ampere
In[2744]:=
15 R
8
7R
8
DQ2B
0.360287 Coulomb Volt
Ampere
Meter2 Second
Possiamo ora calcolare le componenti del campo elettrico EtotB:
EtotBx = -E1B + |E2Bx| + |E3Bx| + |EQ1Bx| + |EQ2Bx| (le componenti x hanno tutte segno concorde, tranne quella della
sfera 1)
EtotBy = |E2By| + |E3By| + |EQ1By| + |EQ2By| (le componenti y hanno tutte segno concorde)
In[2745]:=
Out[2745]=
In[2746]:=
Out[2746]=
In[2747]:=
Out[2747]=
EtotBx = -Abs@E1BD + Abs@E2BxD + Abs@E3BxD + Abs@EQ1BxD + Abs@EQ2BxD êê N
-2.76078 AbsB
Coulomb Volt
Ampere Meter Second
F + 3.43584 AbsB
Coulomb Volt
Ampere
Meter2 Second
-2.760777718935578` + 3.435841303826419`
0.675064
EtotBy = Abs@E2ByD + Abs@E3ByD + Abs@EQ1ByD + Abs@EQ2ByD êê N
1.87038 AbsB
Coulomb Volt
Ampere
Meter2 Second
F
F
9
10
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2748]:=
Out[2748]=
EtotB =
EtotBx2 + EtotBy2
Coulomb Volt
3.4983 AbsB
Ampere
-2.76078 AbsB
In[2749]:=
Out[2749]=
F +
2
Meter2 Second
Coulomb Volt
Ampere Meter Second
F + 3.43584 AbsB
Coulomb Volt
Ampere
F
2
Meter2 Second
0.6750635848908408`2 + 1.8703751473718584`2
1.98847
Notare che le unità fisiche di Etot date da Mathematica corrispondono correttamente a V/m. Infatti è: [Ampere]=[Coulomb/Second].
Calcolo delle componenti Px e Py del momento di dipolo del sistema.
Il momento di dipolo del sistema di cariche non dipende dal sistema di riferimento scelto per rappresentarlo, perchè il sistema
di cariche è globalmente neutro.
Scegliamo quindi un riferimento opportuno per semplificare il calcolo.
Se eseguiamo il calcolo ad esempio nell'origine del sistema di riferimento segnato in figura, si ha:
Px = Q1(-5R/8) + Qtot1(-R/2) + Qtot2(R/2) + Q2(3R/8) = Q1(R/4) (tenendo conto del fatto che Q1=Q2 e Qtot1 = Qtot2)
Py = Q1(R/2) + Qtot1(R/2) + Qtot2(R/2) + Q2(R/2) = (Q1+Q2+Qtot1+Qtot2)(R/2)
In[2750]:=
Out[2750]=
In[2751]:=
Out[2751]=
Px = Q1 H-5 R ê 8L + Qtot1 H-R ê 2L + Qtot2 HR ê 2L + Q2 H3 R ê 8L
-3.55751 µ 10-13 Coulomb Meter
Py = Q1 HR ê 2L + Qtot1 HR ê 2L + Qtot2 HR ê 2L + Q2 HR ê 2L
7.18688 µ 10-15 Coulomb Meter
ESERCIZIO 2
Il sistema di condensatori in figura è mantenuto a potenziale costante dal generatore di tensione Vo. Ad un certo istante, il
condensatore C4 viene riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa k4.
Calcolare le cariche di polarizzazione presenti sul dielettrico inserito in C4, e l’energia guadagnata dal sistema di condensatori dopo l’inserimento del dielettrico.
Dati : Vo = 10 V ; C1 = 1 nF ; C2 = 3 nF ; C4 = 2 nF ; C3 = 0.5 nF ; C5 = 1.5 nF ; k4 = 2.5
ü Soluzione:
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
11
Soluzione:
In[2752]:=
<< PhysicalConstants`
Dati:
In[2753]:=
Vo := 10 Volt
In[2754]:=
k4 := 2.5
In[2755]:=
C1 := 10-9 Farad
In[2756]:=
C2 := 3 10-9 Farad
In[2757]:=
C3 := 0.5 10-9 Farad
In[2758]:=
C4 := 2 10-9 Farad
In[2759]:=
C5 := 1.5 10-9 Farad
ü Sistema in vuoto
La capacità totale del sistema è data da Ctot = C1 serie ((C2 serie C4)//(C3 serie C5))=C1 serie (Ca//Cb)
In[2760]:=
Out[2760]=
In[2761]:=
Out[2761]=
In[2762]:=
Out[2762]=
In[2763]:=
Out[2763]=
Ca =
C2 C4
C2 + C4
êê N
1.2 µ 10-9 Farad
Cb =
C3 C5
C3 + C5
3.75 µ 10-10 Farad
CtotVuoto =
1
1
C1
+
1
Ca
+
1
Cb
2.22222 µ 10-10 Farad
EnTotVuoto = H1 ê 2L CtotVuoto Vo2
1.11111 µ 10-8 Farad Volt2
ü Sistema con dielettrico inserito
La capacità totale del sistema è data da Ctot = C1 serie ((C2 serie k4C4)//(C3 serie C5))=C1 serie (Cadiel//Cb) dato che ora
la capacità C4 è aumentata di un fattore k4 per la presenza del dielettrico
In[2764]:=
Out[2764]=
In[2765]:=
Out[2765]=
In[2766]:=
Out[2766]=
ü
CaDiel =
k4 C4 C2
k4 C4 + C2
1.875 µ 10-9 Farad
CtotDiel =
1
1
C1
+
1
CaDiel
+
1
Cb
2.38095 µ 10-10 Farad
EnTotDiel = H1 ê 2L CtotDiel Vo2 êê N
1.19048 µ 10-8 Farad Volt2
12
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2767]:=
Out[2767]=
DeltaEnergia = EnTotDiel - EnTotVuoto
7.93651 µ 10-10 Farad Volt2
La differenza tra EnTotVuoto - EnTotDiel è positiva per la capacità CtotDiel. La batteria perde una quantità di energia pari a
2 DeltaEnergia. Una quantità pari a Delta Energia viene dissipata, una quantità Delta Energia viene fornita alla capacità per
matenere la tensione invariata ai suoi capi.
La carica Qo4 presente sulle armature del condensatore C4 in vuoto è data da Qo4 = C4 Vo4. Per ricavare la tensione Vo4
dobbiamo calcolare tensioni e cariche su ciascun condensatore.
Senza dielettrico, la capacità totale del sistema è CtotVuoto => QtotVuoto = CtotVuoto Vo. D'altra parte, è QtotVuoto è
uguale alla carica su C1 e alla carica sul parallelo di Ca e Cb. La differenza di potenziale su C1, VC1 è data da: VC1=QtotVuoto/C1, per cui la differenza di potenziale ai capi della serie di C2 e C4, uguale alla differenza di potenziale ai capi della
serie di C3 e C5, è data da: Vo - VC1. Un altro metodo consiste nel trovare la d.d.p. ai capi della capacità (C2 serie C4)//(C3
serie C5) = Ca+Cb, data da Vab = QtotVuoto/(Ca+Cb). Questa d.d.p. è la stessa che si ha sia sul ramo C2-C4, che su quello
C3-C5. Quindi la carica che è sulla serie C2-C4 è data da: Qa=Vab Ca. Questa è anche la carica presente sulle armature di
C4, in assenza di dielettrico, che ha quindi la d.d.p. Vo4=Qa/C4
In[2768]:=
Out[2768]=
In[2769]:=
Out[2769]=
In[2770]:=
Out[2770]=
In[2771]:=
Out[2771]=
QtotVuoto = CtotVuoto Vo
2.22222 µ 10-9 Farad Volt
VabVuoto = QtotVuoto ê HCa + CbL
1.41093 Volt
QaVuoto = VabVuoto Ca
1.69312 µ 10-9 Farad Volt
Vo4 = QaVuoto ê C4
0.846561 Volt
Con il dielettrico inserito nel condensatore C4, la capacità totale del sistema è CtotDiel => QtotDiel = CtotDiel Vo. D'altra
parte, QtotDiel è uguale alla carica su C1 e alla carica sul parallelo di Ca e Cb. La differenza di potenziale su C1, VC1 è data
da: VC1=QtotDiel/C1. La differenza di potenziale ai capi della capacità (C2 serie C4)//(C3 serie C5) = Ca+Cb, è data da Vab
= QtotDiel/(Ca+Cb). Questa d.d.p. è la stessa che si ha sia sul ramo C2-C4, che su quello C3-C5. Quindi la carica che è sulla
serie C2-C4 è data da: Qa=Vab Ca. Questa è anche la carica presente sulle armature di C4, in presenza di dielettrico, che ha
quindi la d.d.p. V4=Qa/k4C4
In[2772]:=
Out[2772]=
In[2773]:=
Out[2773]=
In[2774]:=
Out[2774]=
QtotDiel = CtotDiel Vo
2.38095 µ 10-9 Farad Volt
VabDiel = QtotDiel ê HCaDiel + CbL
1.0582 Volt
QaDiel = VabDiel CaDiel
1.98413 µ 10-9 Farad Volt
Le cariche di polarizzazione sul dielettrico in C4 sono pari alla carica su C4 (che abbiamo chiamato QaDiel) moltiplicata per
il fattore (k4-1)/k4:
In[2775]:=
Out[2775]=
QaDielPol = QaDiel
-9
1.19048 µ 10
k4 - 1
k4
Farad Volt
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2776]:=
Out[2776]=
V4 = QaDiel ê Hk4 C4L
0.396825 Volt
Tabella Riassuntiva dei risultati:
Esercizio 1:
a) Campo in A(0;-R/2): Ex = -0.220512 V/m Ey= 1.3377 V/m
b) Campo in B(-3R/2;0): Ex = 0.675064 V/m Ey=1.87038 V/m
c) Px = -3.55751 µ 10-13 C m ; Py = 7.18688 µ 10-15 C m
E=1.33858 V/m
E=1.98847 V/m
Esercizio 2:
a) Ctot in vuoto: 0.22 nF
b) Etot in vuoto: 1.11 10-8 J
c) Ctot con dielettrico : 0.238 nF
d) Energia totale con dielettrico: 1.19 10-8 J; Variazione dell'Energia totale: 7.94 10-10 J
e) Qp = 1.19 10-9 C
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