FISICA SPERIMENTALE II!
ì Corso di laurea in Chimica (6CFU, 48 ORE)!
Docente: Claudio Melis, Ricercatore a tempo determinato presso
il Dipartimento di Fisica!
Email: [email protected]!
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Telefono Ufficio :070 675 4929!
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Pagina web: http://people.unica.it/claudiomelis/!
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Orario di Ricevimento:Venerdì dalle ore 15:00 alle ore 17:00!
Presso il Dipartimento di Fisica, secondo piano torre C ufficio 24!
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Flusso di un vettore attraverso una
superficie 1/3!
Consideriamo un campo elettrico uniforme (costante in modulo,
direzione e verso) e una superficie piana perpendicolare al campo
elettrico:!
S!
al foglio, con verso entrante !
In questo caso, il flusso del
vettore ___ attraverso la
superficie S è il prodotto:!
PROPORZIONALE AL NUMERO DI
LINEE DI CAMPO CHE
ATTRAVERSANO S!
!
UNITAʼ DI MISURA DEL FLUSSO
ELETTRICO:!
Nm2/C!
Flusso di un vettore attraverso una
superficie 2/3!
Se la superficie non è disposta perpendicolarmente è
necessario introdurre un vettore ___ per orientarla.!
Il modulo del vettore ___ coincide con lʼestensione della
superficie ed è ad essa perpendicolare.!
α!
90
°!
Si definisce flusso del vettore ___
attraverso la superficie S il prodotto
scalare:!
Si intuisce che i valori del flusso dipendono dal valore del cos(α)!
Il calcolo del flusso deve essere generalizzato al caso di superficie non
piana e di superficie chiusa!
S!
Flusso di un vettore attraverso una
superficie 3/3!
Consideriamo una superficie S
qualunque ed un campo elettrico __ !
suddividiamo la superficie in piccole
porzione piane ΔSi tali che:!
!
S!
αi!
In corrispondenza di ogni ΔSi
consideriamo il vettore ___ !
!
Si definisce flusso del campo vettoriale
___ attraverso la superficie S la
sommatoria dei prodotti scalari:!
Facendo tendere lʼarea
della superficie a zero ! !
! E = # E " dS
s
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
Come ulteriore generalizzazione possiamo calcolare il flusso del campo
elettrico attraverso una superficie chiusa che non contiene carica. __ !
Eʼ facile verificare che nel primo caso il flusso è sempre nullo ed
" "
estendere il risultato a tutti gli altri casi. __ !
!E = !
" E # dS
s
Se la superficie chiusa contiene carica si può dimostrare che vale il
teorema di Gauss: __ !
q4!
q1!
q2!
q3!
S!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
Il teorema di Gauss permette di calcolare il flusso del campo elettrico non
il campo elettrico_ !
Il flusso del campo elettrico non dipende dalla forma della superficie che
perciò può essere arbitraria_ !
Il teorema di Gauss è valido perché la forza elettrica dipende da__ !
Eʼ possibile verificare il teorema di
Gauss nel caso di una sola carica: !
● scegliere un sup. sferica di raggio R!
● ricordare che per r = R!
q!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
Consideriamo il campo elettrico di due carica di uguale
intensità ma segno opposto !
Qual è il valore del flusso di E attraverso le superfici chiuse
tratteggiate? !
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
3!
1!
4!
2!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
Il teorema di Gauss permette di ricavare il campo elettrico di alcune distribuzioni
continue di carica (impossibile con il principio si sovrapposizione)!
Si procede così:_ !
1!
Si cerca di intuire la geometria delle linee di forza del campo elettrico_
(usare il principio di sovrapposizione) !
2!
Si sceglie una superficie tale che le linee di forza del campo siano
sempre perpendicolari (oppure tangenti) e il campo abbia lo stesso
valore!
3!
Si esprime il flusso del campo elettrico usando il teorema di Gauss e la
sua definizione!
4!
Si ricava il campo elettrico eguagliando le due espressione del flusso
trovate!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
1!
distribuzione filiforme di
carica di densità λ !
r!
(λ = carica/lunghezza)!
!
2!
3!
r!
distribuzione piana di
carica di densità σ!
(σ = carica/superficie)!
!
doppia distribuzione
piana di carica di
densità σ+ e σ-!
(σ = carica/superficie)!
!
allʼinterno, !
nullo allʼesterno!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
Consideriamo una carica puntiforme q posta al centro di una sfera di raggio r.
Sulla superficie S della sfera risulta:!
dove nˆ è il versore normale uscente dal generico punto posto sulla superficie. Il
flusso elementare attraverso un elemento di superficie ds vale):!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
così, il flusso attraverso lʼintera superficie S vale: essendo pari a 4πr2 eʼ la superficie della sfera, così:!
Quindi il flusso del campo elettrico attraverso la superficie della sfera è
proporzionale alla carica interna alla superficie!
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
Il flusso del campo elettrico attraverso la
superficie della sfera è proporzionale alla carica
interna alla superficie !
!
SPIEGAZIONE SEMPICE!
il flusso attraverso una superficie è proporzionale al
numero di linee di forza che attraversano tale
superficie, dʼaltra parte tale numero è proporzionale
alla carica che le origina, così il flusso risulta
proporzionale alla carica. !
Flusso attraverso superficie chiusa:
teorema di Gauss!
il numero di linee di forza che attraversano le superfici non sferiche S2 e S3!è pari
al numero di linee di forza che attraversano S1 , così il flusso totale attraverso
qualsiasi superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie
stessa. !
!
Se la carica è esterna alla superficie chiusa il numero di linee di forza entranti
è pari a quello delle linee uscenti, così il flusso totale del campo elettrico che
attraversa una superficie chiusa che non contiene alcuna carica è nullo. !
In formule si ha:!
Campo elettrico prodotto da una sfera
carica!
Consideriamo una sfera di raggio R caratterizzata da una distribuzione di carica
uniforme di densitaʼ ρ. !
Calcoliamo il campo elettrico in ogni punto dello spazio. !
Consideriamo una superficie sferica di raggio r concentrica con la sfera data e
valutiamo il campo per r> R e per r< R.!
Se r> R, dallʼapplicazione della legge di Gauss segue:!
dove S = 4π r2è la superficie della sfera di raggio r e q è
la carica contenuta nella sfera isolante.!
Campo elettrico prodotto da una sfera
carica!
Da tale relazione si ricava:!
Quindi allʼesterno della sfera il campo è lo stesso che si avrebbe qualora la
sfera fosse sostituita da una carica puntiforme di uguale valore posta al centro
della sfera. !
!
Inoltre, siccome ρ è uniformemente distribuita nel volume V della sfera, si ha:!
Campo elettrico prodotto da una sfera
carica!
Se r < R dallʼapplicazione della legge di Gauss segue:!
dove q ' rappresenta la carica contenuta allʼinterno del volume V '
delimitato dalla superficie S di raggio r :!
Campo elettrico prodotto da una sfera
carica!
Campo elettrico prodotto da una distribuz.
di carica a simmetria cilindrica!
Consideriamo un filo di lunghezza infinita lungo il quale è uniformemente distribuita
una carica con densità lineare λ . Stabiliamo il valore del campo elettrico in tutto lo
spazio. La simmetria della distribuzione di carica suggerisce che il campo elettrico
deve essere perpendicolare al filo carico e uscente. !
Consideriamo una superficie cilindrica S di raggio r e lunghezza l coassiale col filo;
il flusso attraverso le superfici di base è nullo essendo il campo elettrico parallelo a
tali superfici, quindi:!
Dʼaltra parte per la legge di Gauss risulta:!
Campo elettrico prodotto da una distribuz.
di carica a simmetria cilindrica!
pertanto:!
Se il filo non è infinito viene a cadere la simmetria è diventa inutile lʼapplicazione
della legge di Gauss per la determinazione del campo elettrico; tuttavia questo
risultato resta valido per un filo di lunghezza finita L nel limite r << L per punti
sufficientemente distanti dalle estremità del filo.!
Campo elettrico prodotto da una guscio
sferico!
Consideriamo un guscio sferico di materiale isolante di raggio R sul quale è
uniformemente distribuita una carica con densità σ. Con riferimento ad una superficie sferica S di raggio r concentrica al guscio, per!
r < R il campo elettrico è nullo poiché non è presente carica allʼinterno del
guscio. Per r > R , se q è la carica distribuita sul guscio, si ha:!
E quindi poiche’ Si ha Campo elettrico prodotto da piano infinito!
Consideriamo un piano isolante indefinito sul quale è uniformemente
distribuita una carica positiva con densità superficiale σ. !
Stabiliamo il valore del campo elettrico in ogni punto dello spazio. !
Per simmetria il campo elettrico su entrambe la superfici del piano sarà
normale ed opposto in verso!
Consideriamo una superficie cilindrica S con asse perpendicolare al piano e
superfici di base di area A equidistanti dal piano. !
Il flusso del campo elettrico attraverso ciascuna base è EA , così il flusso totale
attraverso la superficie S vale:!
Campo elettrico prodotto da piano infinito!
dʼaltra parte la carica q interna a questa superficie è pari a quella distribuita
sullʼintersezione tra il volume definito dal cilindro di superficie S ed il piano carico:!
!
così,essendo! !( E) = q / ! 0
Campo elettrico prodotto da piano infinito!
Questo risultato può essere applicato ad una importante configurazione di carica
rappresentata da una coppia di piani infiniti e paralleli uniformemente carichi e
recanti su di essi cariche di segno opposto. !
Con riferimento alla figura si osserva che allʼesterno della regione compresa tra i due
piani, i campi prodotti da ciascun piano sono uguali ma hanno verso opposto;
allʼinterno i campo hanno lo stesso segno e si sommano!
Questa configurazione
elettrostatica consente quindi
di confinare un campo!
uniforme in una regione
limitata dello spazio.!
