6 CAPITOLO VI

- 69 -
6 CAPITOLO VI
6.1 La sovrapposizione delle onde
Nei prossimi capitoli studieremo il fenomeno dell’interferenza e della diffrazione. Il principio
concettuale comune di entrambi i fenomeni si basa sulla concezione ondulatoria della luce e
sulla proprietà di sovrapposizione delle onde. Ci interessa inoltre capire come le proprietà
specifiche di ogni onda (ampiezza, fase, frequenza, etc.) influenzino il risultato della
sovrapposizione che determina l’effetto finale nel punto in cui si studia il campo di radiazione.
Ricordiamo ora che le componenti di un campo elettromagnetico (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz)
soddisfano l’equazione d’onda differenziale scalare:
2
2
2
1
+ 2 + 2 = 2
2
x
y
z
v
2
t2
(6.1)
Una significativa proprietà di questa equazione è la sua linearità. (r, t) e le sue derivate
compaiono solo alla prima potenza. Conseguentemente se 1(r, t), 2(r, t), ..., n(r, t) sono
soluzioni individuali della (5.1) ogni combinazione lineare di esse sarà anch’essa soluzione.
Pertanto,
n
r
r
(6.2)
(r , t ) = Ci i (r , t )
i =1
dove i coefficienti Ci sono costanti arbitrarie. Noto come principio di sovrapposizione, questa
proprietà suggerisce che il risultato di una perturbazione elettromagnetica in un punto dello
spazio è la somma algebrica delle singole onde che la costituiscono. Si tenga a mente che
questo risultato solo nel caso lineare: altri tipi di onde, come quelle sonore, possono in alcuni
casi generare risposte non lineari. Ad esempio un fascio laser collimato ad alta intensità (il
campo elettrico può raggiungere i 1010 V/cm) può produrre effetti non lineari.
In molti casi possiamo trascurare la natura vettoriale della luce. Per esempio se le onde
luminose si propagano tutte lungo una stessa direzione ed hanno un medesimo piano di
vibrazione costante, esse possono essere descritte in termini di una sola componente del
campo, e quindi trattate come quantità scalari. Nel seguito rappresenteremo la perturbazione
elettromagnetica con la quantità scalare E(r, t), soluzione dell’eq. (6.1).
6.2 Somma di onde della stessa frequenza
Ci sono diversi metodi per sommare onde della stessa frequenza; ne esaminiamo alcuni che
possono essere utili in diversi contesti.
6.2.1 Il metodo algebrico
Una soluzione dell’eq. d’onda può essere scritta nella forma:
E ( x, t ) = E0 sin [ t (kx + ) ]
(6.3)
dove E0 è l’ampiezza del disturbo armonico che si propaga lungo l’asse positivo x. Per separare
la parte spaziale da quella temporale scriviamo:
( x, ) = (kx + )
- 70 cosicché:
E ( x, t ) = E0 sin [ t + ( x, ) ]
(6.4)
Supponiamo ora di avere due onde di questo tipo
E1 = E01 sin( t +
E2 = E02 sin( t +
)
2)
1
(6.5)
con la stessa frequenza e velocità di propagazione nella medesima direzione x. Il risultato di
questa perturbazione è la sovrapposizione algebrica:
E = E1 + E2
(6.6)
che per esteso è:
E = E01 (sin t cos
1
+ E02 (sin t cos
2
+ cos t sin
+ cos t sin
1
)
)
2
(6.7)
separando la parte temporale, si ha:
E = ( E01 cos
1
+ E02 cos
+( E01 sin
1
+ E02 sin
2
2
)sin t
(6.8)
) cos t
Poiché le quantità entro parentesi sono costanti nel tempo si può porre:
E0 cos = E01 cos
E0 sin = E01 sin
+ E02 cos
1 + E02 sin
1
2
(6.9)
2
che non è una sostituzione ovvia, ma sarà legittimata quando risolveremo per E0 ed
Quadrando e sommando le (6.9) si ottiene:
E02 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos(
2
1
)
.
(6.10)
mentre dividendole una sull’altra si ha:
tan
=
E01 sin
E01 cos
+ E02 sin
1 + E02 cos
1
2
(6.11)
2
Se la (6.11) e la (6.10) sono entrambe soddisfatte per E0 ed , la posizione (6.9) è corretta e si
può scrivere:
E0 = E0 cos sin t + E0 sin cos t
o anche:
E = E0 sin( t + )
(6.12)
Una singola perturbazione risulta dalla sovrapposizione delle onde sinusoidali E1 ed E2. L’onda
risultante è anch’essa armonica e con la stessa frequenza e velocità, ma la sua ampiezza e la
sua fase sono differenti. Si noti che quando E01 E02 nella (6.11)
1 e quando
- 71 -
E02 E01 è
2 , la risultante è in fase con la componente dominante. Essendo la densità di
flusso proporzionale al quadrato dell’ampiezza, si vede anche che la densità di flusso risultante
dalla sovrapposizione non è semplicemente la somma delle densità di flusso delle singole
componenti, ma c’è un termine addizionale; questo contributo 2 E01 E02 cos( 2
1 ) è detto
= 2
termine di interferenza. Il fattore cruciale è la quantità
Quando
1.
= 0, ±2 , ±4 .... la risultante ampiezza è massima, mentre per = ± , ±3 ... è minima. Nel
primo caso le onde sono in fase e le creste si sovrappongono, nel secondo le creste d’onda sono
fuori fase di 180° . In Fig. 6.1 A e B la linea continua in grassetto rappresenta l’onda risultante.
A.
x
B.
x
Fig. 6.1 La sovrapposizione di due onde armoniche in fase A e fuori fase B.
Si osservi che la differenza di fase può essere introdotta da una differenza nel cammino ottico
attraversato dalle due onde, come pure da una differenza di fase iniziale, cioè:
= (kx1 + 1 ) + (kx2 +
2
)=
2
( x1 x2 ) + (
1
2
)
(6.13)
- 72 dove x1 e x2 sono le distanze dalle sorgenti delle due onde al punto di osservazione e
lunghezza d’onda della radiazione. Se le onde sono inizialmente in fase allora 1 = 2 e:
=
2
è la
(6.14)
( x1 x2 )
Questo vale anche nel caso in cui le perturbazioni provenienti da una stessa sorgente viaggiano
lungo strade differenti. Essendo n = c / v = 0 / si ha:
=
2
(6.15)
n( x1 x2 )
0
La quantità n(x1-x2) è detta differenza di cammino ottico ed indicata con OPD (optical path
/ 0 = ( x1 x2 ) / è il numero di onde nel mezzo
difference) o con . Si noti che
corrispondenti alla differenza di cammino; una strada è diverse lunghezze d’onda più lunga
dell’altra. Poiché ad ogni lunghezza d’onda si può associare una variazione di fase di 2
radianti, = 2 ( x1 x2 ) / o:
= k0
(6.16)
dove k0 è il numero di propagazione nel vuoto. Una strada è quindi radianti più lunga
dell’altra. Onde per le quali 1 2 è costante, indipendentemente dal suo valore, sono dette
coerenti.
Un caso speciale di interesse è quello della sovrapposizione di due onde:
E1 = E01 sin [ t k ( x + x)]
E2 = E02 sin( t kx)
dove E01=E02 e k x =
della sovrapposizione:
2
1
(6.17)
. Lo studente può provare a ricavare quindi il seguente risultato
k x
sin
2
E = 2 E01 cos
t k x+
x
2
(6.18)
Questo mette in luce chiaramente il ruolo svolto dalla differenza di cammino x , specialmente
quando le onde sono emesse in fase ( 1 = 2). Se x
la risultante ha un ampiezza che è
circa 2E01, mentre se x = / 2 è zero. Nel primo caso si parla di interferenza costruttiva, nel
secondo di interferenza distruttiva.
Si può dimostrare che la sovrapposizione di un qualsiasi numero di onde armoniche
coerenti con una medesima frequenza e direzione di propagazione è sempre un’onda armonica
della stessa frequenza, cioè in generale la somma:
E=
n
± t)
(6.19)
E = E0 cos( ± t )
(6.20)
i =1
E0i cos(
i
è data da:
- 73 dove abbiamo usato il coseno al posto del seno e le quantità E0 ed sono date dalle estensioni
delle (6.10) e (6.11).
Consideriamo ora l’emissione di una comune sorgente di luce (quali un bulbo
incandescente, una candela, una lampadina). Possiamo pensare questa sorgente come costituita
di un numero enorme N di atomi che emettono radiazione. Un torrente di fotoni si manifesta
nel suo complesso come un’onda elettromagnetica. E’ utile immaginare il fotone come un
impulso oscillatorio di breve durata. Ogni atomo è una sorgente indipendente di fotoni e quindi
di treni d’onda fatti di brevi impulsi oscillatori. La durata dell’emissione di un singolo fotone
varia da 1 a 10 ns. In altre paralo la fase del treno d’onda è costante al massimo per 10 ns, dopo
di che varia rapidamente e casualmente. Pertanto in ogni evento la fase della luce emessa da un
atomo i(t) rimarrà costante rispetto alla fase della luce di un altro atomo j(t) per al più 10 ns.
Poiché la densità di flusso è proporzionale alla media temporale di E02, presa in un ampio
intervallo di tempo, si avrà in questo caso che:
E02 = NE012
(6.21)
poiché il termine con il coseno in media va a zero. Questo è il medesimo processo che accade
in un orchestra dove diversi strumenti (ad esempio N violini) suonano insieme, ed il risultato
finale dà sempre l’effetto di un violino aumentato di intensità N volte.
Per questo motivo due lampadine, che emettono singolarmente luce che varia rapidamente di
fase, e sarà quindi difficile assistere a fenomeni di interferenza usando questo tipo di sorgenti.
All’estremo opposto se le N sorgenti sono coerenti ed in fase l’intensità totale sarà:
E02 = N 2 E012
(6.22)
6.2.2 Il metodo complesso
Spesso è matematicamente conveniente fare uso della rappresentazione complessa quando si ha
a che fare con la sovrapposizione di onde armoniche. L’onda può scriversi in generale come:
E%1 = E01ei (
1m
t)
(6.23)
Se N di queste onde con la stessa frequenza e direzione di propagazione si sommano l’onda
risultante è data da:
E% = E0 ei (
+ t)
(6.24)
che è equivalente alla (6.20) o per esteso:
E% =
N
j =1
E0 j e
i
j
e+i
t
(6.25)
La quantità
E0 ei =
N
j =1
Eoj e
i
j
è nota come ampiezza complessa dell’onda risultante. Poiché
(6.26)
- 74 E02 = ( E0 ei )( E0 ei )*
(6.27)
possiamo sempre calcolare l’intensità risultante usando la (6.26) e (6.27). Per esempio se N=2
E02 = ( E01ei 1 + E02 ei 2 )( E01e
i
1
+ E02 e
i
2
(6.28)
)
e quindi svolgendo i calcoli
E02 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos(
1
2
(6.29)
)
che è identica alla (6.10).
6.2.3 I Fasori
La somma descritta dall’eq. (6.25) può essere rappresentata graficamente come un’addizione di
vettori nel piano complesso. L’ampiezza complessa è nota come fasore ed è specificata dalla
sua magnitudine e fase (il fasore si descrive quindi con il simbolo E0 1 ). Immaginiamo di
avere una perturbazione descritta dalla
E1 = E01 sin( t +
1
)
In Fig. 6.2 A) l’onda è rappresentata da un vettore di lunghezza E01 che ruota in senso
antiorario con velocità , e la sua proiezione sull’asse verticale è E01sin( t+ 1). In B) è
mostrata la somma di due fasori.
A)
I
B)
I
E02
E0
E01
E01
E1
t
t
R
R
Fig. 6.2 L’addizione dei Fasori.
In modo analogo ai vettori la somma E=E1+E2 si esegue costruendo la diagonale del
parallelogramma di lati E01 ed E02. Per la legge del coseno si ha quindi:
E02 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos(
1
2
)
come abbiamo visto precedentemente. Gli studenti provino a sommare i fasori
5 0°,10 45°,1 15°,10 120° e 8 180° .
- 75 -
6.2.4 Onde stazionarie
Abbiamo già detto che la somma di soluzioni dell’eq. D’onda è essa stessa una soluzione.
Perciò in generale,
( x, t ) = C1 f ( x vt ) + C2 g ( x + vt )
soddisfa l’equazione d’onda. Ad esempio esaminiamo due onde armoniche della stessa
frequenza che si propagano in direzioni opposte (un caso pratico si ha quando l’onda incidente
è riflessa da uno specchio). Immaginiamo che l’onda incidente provenga da sinistra e incida
sullo specchio ad x=0 e sia data dalla:
EI = E0 I sin(kx + t +
I
)
(6.30)
e sia riflessa a destra come:
ER = E0 R sin(kx + t +
R
)
(6.31)
Nella regione in cui si sovrappongono l’onda è E = EI + ER . In altre parole le due onde
esistono simultaneamente nella regione tra la sorgente e lo specchio. Fissiamo la condizione
iniziale I=0 quando t=0. Le due onde si devono quindi sommare in modo tale da dare risultato
nullo quando x=0. Assumendo E0I=E0R le condizioni iniziali richiedono che ad x=0 sia E=0 e
poiché I=0, ne segue che deve essere R=0. L’onda risultante è quindi del tipo:
E = E0 I [sin(kx + t ) + sin(kx
t )]
usando la trigonometria si può scrivere la medesima formula nella forma:
E ( x, t ) = 2 E0 I sin kx cos t
(6.32)
Questa è l’equazione di un’onda stazionaria. Il suo profilo non si muove nello spazio. In ogni
punto x=x’ l’ampiezza è una costante data da 2 E0 I sin kx ' , e E(x’,t) varia armonicamente come
cos t. In certi punti, cioè ad x=0, /2, , 3 /2,... la perturbazione è sempre nulla. Questi sono
detti punti nodali. A metà strada tra i punti nodali, cioè a x= /4, 3 /4, 5 /4,... l’ampiezza ha il
vaolre massimo ±2E0I.
Se la riflessione sullo specchio non è perfetta, l’onda risultante conterrà sia una componente
che si muove sia una componente stazionaria. In quest’ultimo caso si avrà un trasferimento di
energia, cosa che non avveniva nel puro caso stazionario.
Le onde stazionarie esistono anche in due e tre dimensioni. Il fenomeno è assi comune. Si
pensi alle onde prodotte da una chitarra, alla superficie di un tamburo,etc. Con il fenomeno
delle onde stazionarie è associato il ben noto fenomeno della risonanza. L’orecchio umano ad
esempio è una cavità risonante. Il Laser è un altro esempio di sistema che sfrutta la proprietà
della risonanza per costruire la propria potenza emissiva.
6.3 La sovrapposizione di onde con diversa frequenza
Fino ad ora abbiamo visto la sovrapposizione di onde con la stessa frequenza. Nella realtà non
esistono le onde puramente monocromatiche, ma solo le onde quasi monocromatiche, per le
- 76 quali ci dovrà essere un ristretto intervallo di frequenze. Lo studio di questo tipo di luce ci
porterà agli importanti concetti di lunghezza di banda e di tempo di coerenza.
Vediamo ora come si comportano le onde con diversa frequenza.
6.3.1 I battimenti
Consideriamo due onde
E1 = E01 cos(k1 x
E2 = E01 cos(k2 x
t)
2t )
1
(6.33)
con stessa ampiezza e zero fase iniziale. L’onda risultante
E = E01 [ cos(k1 x
t ) + cos(k2 x
1
2
t )]
può essere riscritta:
E = 2 E01 cos
1
[ (k1 + k2 ) x (
2
1
+
2
)t ] cos
1
[ (k1 k2 ) x (
2
1
2
)t ]
Ora definiamo le quantità
e k , che sono la frequenza angolare media e il numero di
propagazione medio, e m e km , che sono la frequenza di modulazione e il numero di
propagazione di modulazione:
+ 2
2
k +k
k ! 1 2
2
!
1
m
!
1
2
2
(6.34)
k k
km ! 1 2
2
per cui,
E = 2 E01 cos(km x
m
t ) cos(kx
L’onda totale può essere pensata come un’onda di frequenza
nel tempo o modulata E0 ( x, t ) = 2 E01 cos(km x
m t ) , tale che:
E ( x, t ) = E0 ( x, t ) cos(kx
(6.35)
t)
ma con un’ampiezza variabile
(6.36)
t)
Nelle applicazioni di interesse qui, 1 e 2 saranno sempre piuttosto grandi. Inoltre, se sono
confrontabili tra loro, 1
2, allora
m e E0 ( x, t ) varierà lentamente, mentre E(x,t)
varierà rapidamente. La densità di flusso è proporzionale a:
E02 ( x, t ) = 4 E012 cos 2 (km x
m
t ) = 2 E012 [1 + cos(2km x 2
m
t )]
Si noti che E02 ( x, t ) oscilla attorno al valore 2E012 con una frequenza angolare 2 m che è nota
come frequenza di battimento. Quindi E0 varia con la frequenza di modulazione, mentre E02
con la frequenza di battimento. Un esempio è dato in Fig. 6.3.
- 77 A.
B.
Fig. 6.3 La sovrapposizione di onde con diversa frequenza. In A si vedono le due onde con diversa frequenza con
due tratteggi diversi. In B la linea continua rappresenta (in modo approssimativo) l’andamento dell’onda
risultante, mentre la linea tratteggiata l’andamento della modulazione.
Con l’avvento del Laser l’osservazione dei battimenti è stata molto facilitata. Frequenze di
battimento da pochi Hz a 1010 Hz possono essere osservate. Il fenomeno dei battimenti è utile
per misurare piccole variazioni di frequenza. L’effetto Doppler è una comune applicazione di
questo fenomeno.
6.4 La velocità di gruppo e di fase
La specifica relazione tra e k determina v, la velocità dell’onda. In un mezzo non dispersivo
come il vuoto v = / k e un grafico di vs. k è una linea retta; la frequenza e la lunghezza
d’onda cambiano in modo da mantenere v costante. Tutte le onde elettromagnetiche viaggiano
con la stessa velocità di fase in un mezzo non dispersivo. Per contrasto, in un mezzo dispersivo
ogni onda si propaga con una velocità che dipende dalla sua frequenza.
Quando un certo numero di onde si combinano per formare la perturbazione composta,
l’inviluppo di modulazione viaggerà con una velocità diversa da quella delle onde costituenti.
Questo introduce il concetto di velocità di gruppo e la sua relazione con la velocità di fase. Il
disturbo esaminato nella precedente sezione,
E ( x, t ) = E0 ( x, t ) cos(kx
t)
consiste di un’onda di alta frequenza , con ampiezza modulata da una funzione coseno.
Supponiamo per un momento che l’onda non sia modulata, cioè che E0=costante. Ogni picco
dell’onda si muoverebbe con la velocità di fase
- 78 v=
/k
Questa è la velocità di fase dell’onda, che sia o non sia modulata. Nel secondo caso i picchi
cambiano ampiezza periodicamente durante il passaggio dell’onda. C’è però un altro moto
importante da considerare, quello della modulazione dell’onda. Supponiamo allora adesso che
le due onde E1(x,t) ed E2(x,t) avanzino con la stessa velocità v1=v2. In questo caso l’onda
risultante, con i battimenti, è stazionaria, e si propagherà con la medesima velocità vg=v=
v1=v2. Con il nome di velocità di gruppo intendiamo la velocità con cui si propaga la
modulazione. Questo avviene nei mezzi non dispersivi in cui la velocità di fase è indipendente
dalla lunghezza d’onda, cosicché le due onde hanno la stessa velocità.
Più in generale essendo E0 ( x, t ) = 2 E01 cos(km x
m t ) possiamo scrivere che la modulazione
viaggia ad una velocità dipendente dalla fase dell’inviluppo, e quindi
vg =
Ma si realizzi che in generale è
, centrato attorno ad
frequenze
m
km
=
1
2
k1 k2
=
k
(6.37)
= (k) (relazione di dispersione). Quando l’intervallo di
, è piccolo, si può anche scrivere:
vg =
d
dk
(6.38)
La modulazione (o segnale) si propaga ad una velocità vg che può essere maggiore, uguale o
minore di v, velocità di fase dell’onda. In un mezzo a dispersione normale vg < v, mentre nel
caso di dispersione anomala vg > v. Essendo =kv la (6.38) dà:
vg = v + k
dv
dk
(6.39)
Di conseguenza in un mezzo non dispersivo in cui v è indipendente da , dv/dk = 0 e vg = v. nel
vuoto =kc, v = c, e vg = c. Nei mezzi dispersivi (v1 v2) in cui n(k) è nota, =kc/n e si può
riscrivere la (6.39) nella forma:
vg =
c
n
kc dn
k dn
=v 1
2
n dk
n dk
(6.40)
Per i mezzi ottici (lenti) l’indice di rifrazione cresce con la frequenza (dn/dk>0) e quindi vg<v.
Lo studente si ponga il problema se un segnale possa viaggiare ad una velocità maggiore di c.
6.5 Onde periodiche anarmoniche
La sovrapposizione di onde armoniche di diversa ampiezza e lunghezza d’onda può dar luogo
ad un onda risultante periodica, ma anarmonica, cioè non sinusoidale. Nella realtà sono le onde
puramente armoniche che non esistono, e quindi occorre sviluppare un metodo per studiare
questo nuovo tipo di onde.
- 79 6.5.1 Le serie di Fourier
Il teorema di Fourier (1768-1830) dice che una generica funzione f(x), di periodo spaziale ,
può essere sintetizzata con una somma di funzione armoniche le cui lunghezze d’onda sono
sottomultipli di (cioè , /2, /3, etc.). Matematicamente si scrive:
2
f ( x) = C0 + C1 cos
x+
+ C2 cos
1
2
x+
/2
2
+ ...
(6.41)
dove le C sono costanti e naturalmente la f(x) può corrispondere ad una f(x-vt). E’ più
conveniente riformulare la (6.41) servendosi dell’identità trigonometrica
Cm cos(mkx +
dove k=2 / , Am = Cm cos
m
m
) = Am cos mkx + Bm sin mkx
, Bm = Cm sin
f ( x) =
. Pertanto,
m
"
A0 "
+ Am cos mkx + Bm sin mkx
2 m =1
m =1
(6.42)
dove il primo termine è stato scritto così per convenienza matematica (si veda oltre). Il
processo di determinazione delle costanti Am e Bm prende il nome di analisi di Fourier. Lo
studente può provare a ricavarsi questi coefficienti integrando la (6.42) tra 0 e , e servendosi
dell’ortogonalità delle funzioni trigonometriche. Si ottiene:
2
A0 =
Am =
2
Bm =
2
#
0
#
0
f ( x)dx
f ( x) cos mkxdx
#
0
(6.43)
f ( x)sin mkxdx
Alcune condizioni di simmetria sono utili da riconoscere, perché portano ad una
semplificazione dei calcoli. Se una funzione è pari, cioè se f(−x)=f(x), o equivalentemente
simmetrica rispetto ad x=0, la serie di Fourier conterrà solo i termini in coseno, cioè Bm=0 per
tutti gli m. Analogamente se è dispari, cioè se f(−x)= −f(x), la serie conterrà solo i termini con
il seno, cioè Am=0 per tutti gli m.
Come esempio calcoliamo la serie di Fourier che corrisponde ad un’onda quadra:
% +1 se 0 < x < / 2
f ( x) = &
' 1 se / 2 < x <
vedi Fig. 6.4. Poiché f(x) è dispari Am=0 e
Bm =
=
2
#
/2
0
1
m
[
(+1) sin mkxdx +
cos mkx ]0 +
/2
2
#
/2
( 1)sin mkxdx =
1
[ cos mkx ]
m
/2
- 80 -
+1
0
/2
/2
x
1
Fig. 6.4 Il profilo di un’onda periodica quadra.
Da qui è facile ricavare i vari coefficienti, che sono:
B1 =
4
B2 = 0 B3 =
B4 = 0 B5 =
4
3
4
,...
5
da cui:
f ( x) =
4
1
1
(sin kx + sin 3kx + sin 5kx + ...)
3
5
(6.44)
La Fig. 6.5 mostra come l’onda sintetizzata si avvicina alla f(x) quanti più termini della serie si
considerano.
+1
/2
0
/2
x
1
Fig. 6.5 La sovrapposizione dei primi due termini della serie. Considerando le armoniche successive si riproduce
sempre meglio l’onda quadra.
Per passare dal dominio spaziale a quello temporale basta sostituire kx con t. Pertanto
abbiamo visto che ogni onda anarmonica può sempre essere pensata come una sovrapposizione
di onde armoniche di diversa frequenza. Possiamo quindi scrivere:
"
"
A
(6.45)
f ( x ± vt ) = 0 + Am cos mk ( x ± vt ) + Bm sin mk ( x ±vt )
2 m =1
m =1
- 81 -
per ogni tipo di onda anarmonica.
Vediamo invece come si comporta l’onda quadra di Fig.6.6 che invece rappresenta una
funzione pari.
+1
/a
0
/a
x
Fig. 6.6 Il profilo di un’onda anarmonica periodica quadra pari.
Tutti i Bm sono zero ed i coefficienti di Fourier divengono:
A0 =
4
a
e
Am =
4 sin m2 / a
a m2 / a
L’espressione entro parentesi che riscriviamo come sinc u = (sin u ) / u è molto importante
perché comparirà da ora in poi in diversi contesti. Lo studente è quindi invitato a ripassarsi le
proprietà di questa funzione (vedi ad es. Hecht 1998, pag. 48). Essendo il limite di questa
funzione 1 per x che tende a zero, gli Am possono rappresentare tutti i coefficienti se m=0,1,2,...
Rispetto alla Fig. 6.4 l’origine è ora in x=0, e la serie contiene tutti termini in coseno anziché in
seno, ma le armoniche sono inalterate: le sinusoidi che danno l’onda quadra dispari divengono
cosinusoidi per l’onda pari.
Se la larghezza dell’impulso dell’ onda quadra è 2( /a), cioè una qualunque frazione della
lunghezza d’onda, la serie di Fourier si scrive:
f ( x) =
2 " 4
+
sinc m2 / a cos mkx
a m =1 a
(6.46)
Se ad esempio a=4 la serie diviene:
f ( x) =
1 2
1
1
+ (cos kx
cos 3kx + cos 5kx ...)
2
3
5
(6.47)
Si noti che al decrescere delle dimensioni dell’impulso occorrono sempre più coefficienti della
serie (cioè più armoniche) per riprodurre l’onda. Questo può essere capito osservando il
rapporto:
Am sin m2 / a
=
A1 m sin 2 / a
(6.48)
- 82 Si vede che per a = 4 il nono termine (m = 9) è piccolo, A9 10%A1. Mentre per a = 400, A9
99%A1. Possiamo quindi ipotizzare che non è il numero totale di termini della serie che è
importante, ma piuttosto le dimensioni relative delle più piccole caratteristiche dell’onda che
devono essere riprodotte rispetto alla lunghezza d’onda. Per un’onda di forma complessa
occorrono molte armoniche, o componenti ad alta frequenza per riprodurre l’onda.
6.6 Le onde non periodiche
Si supponga ora che la lunghezza d’onda dell’impulso quadro di Fig. 6.6 tenda all’infinito e la
dimensione dell’impulso resti costante. Ci troviamo quindi di fronte ad una funzione non più
periodica. E’ possibile generalizzare il metodo di Fourier alle onde non periodiche?
Per vedere come ciò può essere fatto scegliamo inizialmente a = 4 e = 1 cm. L’impulso
ha quindi una larghezza di 0.5 cm centrato in x = 0. Poniamo in un grafico (Fig. 6.7a) i
coefficienti Am in funzione di mk, necessari a riprodurre l’onda quadra.
a)
1
A0
A1
A2
A3
mk
0
0
k
2
2k
4
3k
6
4k
8
5k .....
10 .....
Fig. 6.7 a) L’impulso quadro nel caso a=4 e =1 cm
b)
1/2
mk
0 k 2k 3k 4k 5k .....
0 2 3 4 5 .....
Fig. 6.7 b) L’impulso quadro nel caso a=8 e =2 cm
- 83 c)
1/4
mk
0 2k 4k 6k 8k 10k .....
2 3 4 5 .....
0
Fig. 6.7 c) L’impulso quadro nel caso a=16 e =4 cm
Facciamo la stessa cosa ponendo a=8 e =2 cm, cioè mantenendo inalterata la larghezza
dell’impulso (Fig. 6.7 b) e ponendo a=16 e =4 cm (Fig. 6.7 c). La sola alterazione che
produciamo con questi cambiamenti è quella di allontanare i picchi. Si vede immediatamente
però che lo spettro delle frequenze necessarie per riprodurre l’onda cambia. In particolare
aumenta la frequenza dei coefficienti. Ne concludiamo che quando cresce e la funzione
somiglia sempre di più ad un singolo impulso, lo spazio tra ognuno dei coefficienti A(mk)
decresce. Al limite per ( " potremo scrivere:
f ( x) =
1
#
"
0
"
A(k ) cos kxdk + # B(k ) sin kxdk
0
(6.49)
Naturalmente in questo contesto non ha più significato parlare di frequenza fondamentale e di
sue armoniche.
La (6.49) vale ovviamente se:
A(k ) =
+"
#
f ( x) cos kxdx
"
B(k ) =
(6.50)
+"
#
f ( x) sin kxdx
"
La somiglianza con le serie è quindi ovvia. Si noti anche come le ampiezze dei contributi alla
sintesi variano con la funzione sinc introdotta prima.
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