Numeri e strutture Modulo 3: dall`aritmetica all`algebra, dall`algebra

Numeri e strutture
Modulo 3: dall’aritmetica all’algebra, dall’algebra all’aritmetica
prof. Valentina Barucci
Lezione del 3 novembre
Commentiamo i ruoli dei numeri 4 e 12 nel seguente prodotto:
4 × 3 = 12
4 è un .......divisore............................... di 12
4 è un ..........fattore............................ di 12
4 .........divide............................. 12
12 è .......divisibile.......................... per 4
12 è .......multiplo....................... di 4
Denotiamo con N l’insieme dei numeri naturali
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
Dati due numeri naturali a, b ∈ N, diciamo che a divide b (o anche che a è
un divisore di b o che a è un fattore di b o che b è divisibile per a o che b è un
multiplo di a) se esiste c ∈ N tale che
a×c=b
Esercizio 1. Trovare tutti i divisori di 60. Eccoli: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 20,
30, 60.
Un numero naturale si dice perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi
divisori propri (cioè più piccoli).
Sapete trovare qualche numero perfetto?
Abbiamo verificato che 60 non è un numero perfetto. Invece 6 e 28 sono
numeri perfetti.
Infatti i divisori propri di 6 sono 1, 2, 3 e si ha 1 + 2 + 3 = 6
I divisori propri di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14 e si ha 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
I numeri perfetti sono molto rari. Ad esempio tra 1 e 100.000 ce ne sono
soltanto quattro.
Rappresentazioni concrete della moltiplicazione/attività didattiche:
• sulla linea dei numeri (come addizione ripetuta)
• con schieramenti di oggetti o con l’area del rettangolo
• col prodotto cartesiano (es. in quanti modi diversi mi posso vestire se ho
quattro magliette e tre pantaloni?)
Il prodotto cartesiano di due insiemi, A e B è
A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}
• con situazioni concrete diverse:
Nella quotidianità. Esempio: la mamma vuole dare quattro caramelle
a ogni bambino ed ha tre bambini. Quante caramelle deve comprare?
Nello spazio. Esempio: Ci sono tre auto lunghe 4m. Quanto deve essere
lungo un camion per contenerle tutte?
Nel tempo. Esempio: un ragazzo ha quattro ore di lezione per tre volte
a settimana. Quante ore di lezione per ogni settimana?
• con attività fisiche? Esempio proposto in classe: il gioco ”regina reginella,
quanti passi devo fare...” (ogni animale ha una lunghezza di passo predefinita, la lunghezza totale è data...)
Le diverse rappresentazioni concrete di uno stesso problema rendono la
risposta più o meno facile?
Per la prossima volta, cioè per martedı̀ 8: portate degli esempi di uno
stesso problema con almeno due formulazioni diverse, per esempio in
termini di spazio e di tempo
Osservare che 4 × 3 = 3 × 4.
Comunque scegliamo due numeri naturali a e b allora
a×b=b×a
(proprietà commutativa della moltiplicazione)
La proprietà commutativa non vale sempre: lavarsi le mani e poi mangiare
è diverso da mangiare e poi lavarsi le mani oppure... altri esempi...
Analizzare in quali delle rappresentazioni concrete della moltiplicazione la
proprietà commutativa si verifica più facilmente.
Tra quelle elencate sopra, in classe si è individuata quella con schieramenti di
oggetti come la più adatta per verificare la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Esercizio 2.
1. Quali sono i numeri divisibili per 2?
Sono i multipli di 2, cioè i numeri pari
La somma di due numeri consecutivi è divisibile per 2?
No, pari + dispari è dispari.
In modo più formale: per ogni numero naturale n si ha
n + (n + 1) = 2n + 1
e 2n + 1 è dispari
(abbiamo scritto 2n per indicare 2 × n, cioè due volte il numero n)
2
2. Quali sono i numeri divisibili per 3?
Sono i multipli di 3
La somma di tre numeri consecutivi è divisibile per 3?
Sı̀. In classe abbiamo fatto un disegno...
In modo più formale: per ogni numero naturale n si ha
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3
e 3n + 3 = 3(n + 1) è divisibile per 3.
3. La somma di quattro numeri consecutivi è divisibile per 4?
No, basta dare un esempio: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 non è divisibile per 4.
Domanda. Se passiamo a considerare la somma di cinque numeri consecutivi, poi la somma di sei numeri consecutivi, ecc. e ci facciamo una domanda
simile a quella degli esercizi precedenti, possiamo dare una risposta generale?
Pensateci e ne discutiamo martedı̀ prossimo.
Lezione dell’8 novembre
Rispetto alla consegna lasciata la scorsa lezione: portate degli esempi di uno
stesso problema con almeno due formulazioni diverse, per esempio in termini di
spazio e di tempo, molte persone hanno portato un esempio di un problema che
può essere risolto con ragionamenti di vario tipo (ad esempio: ci sono tre cani,
dare tre biscotti ad ogni cane vuol dire dare 3+3+3=9 biscotti; di questo ci si
può convincere ragionando sulla linea dei numeri, o facendo una distribuzione
concreta o disponendo tre file con tre biscotti ognuna, etc).
Ma non era questo quello che si chiedeva.
La prof. ha proposto questi due problemi, ognuno con due formulazioni
diverse (A e B)
Problema 1, formulazione A E’ autunno e torniamo all’ora solare. L’orologio
va spostato alle 3 di notte: dalle 3 va spostato alle 2. Non ho spostato il mio
orologio la sera, mi sveglio la mattina e vedo che il mio orologio segna le 8. Sono
le 7 o le 9?
Problema 1, formulazione B C’è una lunga strada diritta. I chilometri
sono indicati su dei pilastrini al bordo della strada. Parto dal pilastrino indicato
con Km 3, ma vedo che sul retro c’è una vecchia numerazione ed è invece indicato
Km 2. Arrivo un po’ stanca al pilastrino che segna Km 8. Che cosa mi aspetto
che ci sia scritto sul retro? Km 7 o Km 9?
La risposta per entrambi le formulazioni di questo problema è 7 = 8 − 1. In
classe la prima formulazione ha avuto una risposta più veloce della seconda (ma
forse solo perché il testo della seconda è più lungo).
Problema 2, formulazione A Il mio volo da Roma a S. Paolo in Brasile
dura 10 ore. A S. Paolo l’ora è indietro di quattro ore rispetto alla nostra. Parto
a mezzanotte. Quando arrivo, qual’è l’ora locale?
3
Problema 2, formulazione B Ho una stoffa lunga 10 m, ma devo tagliare
gli ultimi quattro metri che si sono rovinati. Quanti metri di stoffa buona
rimangono?
La risposta per entrambi le formulazioni di questo problema è 6 = 10 − 4.
In classe la seconda formulazione ha avuto una risposta molto più veloce della
prima. L’ipotesi (da confermare sperimentalmente, idee in proposito??) è che
problemi formulati in termini di tempo sono in generale più difficili.
Rispetto alla domanda, che si riallaccia alla lezione precedente: la somma di
cinque numeri consecutivi è divisibile per 5? La somma di sei numeri consecutivi,
è divisibile per 6? ..... La somma di k numeri consecutivi è divisibile per k?
abbiamo dimostrato che, se k è dispari, allora la risposta è affermativa.
Abbiamo ragionato in due modi diversi, innanzi tutto graficamente: prendiamo per esempio k = 5 e i cinque numeri consecutivi 6, 7, 8, 9, 10
6=8−2
7=8−1
8
9=8+1
10 = 8 + 2
questi si dispongono simmetricamente (due sopra e due sotto) rispetto a 8,
che è il numero centrale. Se rappresentiamo ognuno di questi numeri con un
numero corrispondente di pallini messi in una fila orizzontale, e se spostiamo i
due pallini finali dell’ultima riga (del 10 = 8+2) nella prima riga (del 6 = 8−2),
poi il pallino finale della riga del 9 = 8 + 1 nella riga del 7 = 8 − 1, vediamo
che possiamo ridisporre tutti i pallini in cinque file di otto elementi ciascuna e
quindi la loro somma è 8 × 5 = 40, che è divisibile per 5.
Questo ragionamento può essere generalizzato e formalizzato. E’ importante
che k sia un numero dispari, in modo che nella lista dei k numeri consecutivi
k−1
ce ne sia uno centrale, chiamiamolo n, che avrà k−1
2 numeri prima di lui e 2
numeri dopo di lui (osserviamo che, essendo k dispari, k − 1 è pari e quindi k−1
2
è un numero intero).
Allora avremo:
n − k−1
2
.
.
n−2
n−1
n
n+1
n+2
.
.
n + k−1
2
Accoppiando il primo e l’ultimo, poi il secondo e il penultimo etc. possiamo
vedere, come nell’esempio precedente, che la loro somma può essere visualizzata
in uno schieramento di n × k pallini, che quindi è divisibile per k.
4
Ma possiamo ragionare anche cosı̀: abbiamo che la loro somma è:
(n −
k−1
2 )
+ (n +
k−1
2 )
+ · · · + (n − 1) + (n + 1) + n =
2n + 2n + · · · + 2n +n = 2n
|
{z
}
k−1
2
k−1
2
+ n = n(k − 1) + n = nk − n + n = nk
volte
Se invece k è pari, vogliamo vedere che la somma di k numeri consecutivi
non è divisibile per k (nella prossima lezione sarà trattato questo caso).
Esercizio 3. Trovare tutti i divisori di 223. Vogliamo vedere se 223 è divisibile
per qualche numero diverso da 1 e da sé stesso. Possiamo usare una calcolatrice
e vedere se dividendo 223 per qualche numero più piccolo si ottiene un numero
intero. Vediamo che 223 è un numero dispari e quindi non è divisibile per 2,
non è neanche divisibile per 3. E’ inutile verificare se è divisibile per 4 (se lo
fosse, sarebbe pari). Andiamo avanti.... Quante divisioni dobbiamo provare a
fare? Vogliamo far vedere che ne bastano sei: divisione per 2,3,5,7,11,13. Visto
che la divisione per 3 ad esempio non dà un risultato intero, è inutile provare
a dividere 223 per 9 (se fosse divisibile per 9, sarebbe divisibile anche per 3).
Visto che facendo queste sei divisioni non otteniamo mai un risultato intero,
possiamo concludere che 223 non ha divisori propri (cioè diversi da 1 e da sé
stesso). Non dobbiamo cercare divisori più grandi di 13? No, infatti 14 e 16 li
escludiamo in quanto pari, 15 lo escludiamo in quanto multiplo di 3 (o di 5).
Poi osserviamo che 15 × 15 = 152 = 225 è più grande di 223. Quindi, se per
esempio fosse 17 moltiplicato per qualche altro numero (chiamiamolo a) uguale
a 223, avremmo
17 × a = 223 < 225 = 15 × 15
Ma allora a sarebbe di certo più piccolo di 15 e lo avremmo già trovato come
divisore di 223 facendo una delle sei divisioni precedenti. Il ragionamento fatto
per 17 lo possiamo ripetere per qualsiasi altro numero maggiore di 17. Quindi
i divisori di 223 sono soltanto 1 e 223.
Definizione 0.1. Un numero naturale p > 1 si dice primo se ha soltanto i
divisori banali 1 e p.
Esempi di numeri primi: 2,3,5,7,11,13,17,...., 223, ....
Teorema fondamentale dell’aritmetica. Ogni numero naturale si può scomporre in un unico modo (a meno dell’ordine dei fattori) come prodotto di numeri
primi.
Esempio
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 × 22 = . . .
Esercizio 4. Scomporre in fattori primi i numeri 105 e 198.
5
Osservazione. Supponiamo che a divida b. Allora ogni primo p che compare
nella fattorizzazione in primi di a con un certo esponente n comparirà anche
nella fattorizzazione in primi di b con un esponente m ≥ n.
Esempio 0.1. 12 = 22 × 3 divide 180 = 22 × 32 × 5. Infatti
(22 × 3) × (3 × 5) = 22 × 32 × 5
cioè
12 × 15 = 180
Esercizio 5. Trovare il massimo comun divisore tra 60 e 18.
60 = 22 × 3 × 5
18 = 2 × 32
MCD(60, 18) = 2 × 3 = 6
Definizione 0.2. Se a, b ∈ N ( a e b diversi da zero) il MCD(a, b) è quel numero
naturale d tale che:
1) d divide a e d divide b
2) se d0 è un numero naturale che divide sia a che b, allora d0 ≤ d.
Nell’esempio MCD(60, 18) = 6, infatti se d0 è un numero naturale che divide
sia 60 che 18, allora d0 è uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 6 ed ognuno di questi
è minore o uguale a 6.
Esercizio 6. Trovare il minimo comune multiplo tra 60 e 18.
60 = 22 × 3 × 5
18 = 2 × 32
mcm (60, 18) = 22 × 32 × 5 = 180
Definizione 0.3. Se a, b ∈ N ( a e b diversi da zero) il mcm(a, b) è quel numero
naturale m tale che:
1) m è multiplo di a e m è multiplo di b
2) se m0 è un numero naturale che è multiplo sia di a che di b, allora m0 ≥ m.
Problemi concreti/attività didattiche:
Esempi di problemi:
1. Lungo una strada ci sono: un distributore di benzina ogni 60 chilometri, un
bar ogni 18 chilometri, un ristorante ogni 27 chilometri. Un automobilista,
parte da un distributore di benzina, dove c’è anche un bar e un ristorante.
Dopo quanti chilometri si ripeterà questa condizione?
2. Un leone ha un passo lungo cinque e un canguro un passo lungo tre: Sono
partiti dallo stesso punto, andando nella stessa direzione. In quali punti le
impronte si sovrappongono? (questo potrebbe essere mimato dai bambini
più piccoli)
Fare altri esempi di problemi in cui intervengono il MCD e il mcm
Domanda Dati due numeri naturali a, b, se facciamo il prodotto
MCD(a, b) × mcm(a, b)
che cosa otteniamo?
6
Lezione del 10 novembre
Esempio 0.2. Consideriamo a = 60, b = 18.
60 = 22 × 3 × 5
18 = 2 × 32 × 50
60 × 18 = 1080 = 23 × 33 × 5 = MCD(60, 18) × mcm(60, 18) = (2 × 3 × 50 ) ×
2
(2 × 32 × 5).
Abbiamo quindi che il prodotto dei due numeri (60 e 18) è uguale al prodotto
del loro MCD con il loro mcm. Questo avviene sempre e si può dimostrare in
generale per ogni coppia di numeri naturali a e b:
Proposizione 0.1.
a × b = MCD(a, b) × mcm(a, b)
Dimostrazione. Si basa sulla fattorizzazione in numeri primi di a e di b. Supponiamo che
a = ph1 1 × · · · × phnn
b = pk11 × · · · × pknn
(possiamo scrivere gli stessi numeri primi, prendendo tutti quelli che compaiono
nelle due fattorizzazioni, di a e di b, e pensando che p0 = 1)
Nel prodotto a × b abbiamo il primo p1 che compare alla potenza h1 + k1
cioè ph1 1 +k1 è un fattore di a × b. D’altra parte, se per esempio h1 < k1 ,
nel MCD(a, b) compare ph1 1 e nel mcm(a, b) compare pk11 quindi nel prodotto
MCD(a, b) × mcm(a, b) compare pure come fattore p1h1 +k1 . Ripetendo questo
ragionamento per tutti i primi p1 , . . . , pn si ha la tesi.
Torniamo a un problema della lezione precedente. Vogliamo far vedere che,
se k è pari, la somma di k numeri consecutivi non è mai divisibile per k. Cominciamo a far vedere che, per ogni numero naturale k (pari o dispari, non importa)
si ha
k · (k + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + k =
(1)
2
Possiamo facilmente verificare questa formula per alcuni valori di k:
Se k = 3 per esempio: 1 + 2 + 3 = 6 = 3·4
2 .
Altri esempi: se k = 6, si ha 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 6·7
2 , se k = 8, si ha
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 = 8·9
2 .
La formula generale (1) si può dimostrare “per induzione” (questo lo vedrete
nel modulo 1 del corso, tenuto dal prof. Bernardi), ma ci possiamo convincere
della sua validità anche con un ragionamento. Possiamo rappresentare i numeri
da 1 a k con delle aste, diciamo verticali e rosse, corrispondenti a questi numeri,
che possiamo disporre in ordine crescente.
Gli stessi numeri possono essere rappresentati con delle aste, verticali e blu,
che possiamo disporre in ordine decrescente sopra alle rosse, in modo da riempire
un rettangolo, come nella figura qui sotto (dove si è scelto k = 6). La somma
dei numeri da 1 a k, corrispondente alla parte rossa del rettangolo, è uguale alla
somma dei numeri da k a 1, corrispondente alla parte blu del rettangolo. L’area
del rettangolo o, più semplicemente, il numero dei quadratini da cui è composto,
è k × (k + 1) (nell’esempio in figura: 6 × 7), quindi la somma dei numeri da 1 a k,
, come volevamo.
corrispondente alla parte rossa del rettangolo è proprio k·(k+1)
2
7
Ecco il disegno per k = 6.
Ragionamenti molto simili a questi, che conducono alla formula (1) tramite
l’utilizzo delle “aste numeriche” sono presenti nel lavoro di Maria Montessori
(cf. lettura Montessori 2).
Torniamo al nostro problema: vogliamo far vedere che, se k è pari, la somma
di k numeri consecutivi non è mai divisibile per k. Se cominciamo da 1, abbiamo
che 1 + 2 + 3 + · · · + k = k·(k+1)
= k × k+1
2
2 non è divisibile per k perché, essendo
k pari, k + 1 è dispari e quindi k+1
non
è un numero intero.
2
Se cominciamo la somma di k numeri consecutivi subito dopo un qualsiasi
numero n, abbiamo
(n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + k) = k · n + (1 + 2 + 3 + · · · + k)
e, se k è pari, questo numero non è divisibile per k, perché, come abbiamo visto,
1 + 2 + 3 + · · · + k non è divisibile per k.
Questo ultimo passaggio potrebbe essere ulteriormente spiegato, provate a
farlo voi: perché la somma di due numeri, di cui uno è divisibile per k e l’altro
non lo è, risulta non divisibile per k? E’ lo stesso motivo per cui pari+dispari
fa dispari...
Per trovare i numeri primi è utile il crivello di Eratostene: prendiamo ad
esempio i numeri naturali da 1 a 100 e scriviamoli in una tavola. Eliminiamo
poi quelli che sono multipli di due: 4,6,8,10, ..... Poi eliminiamo quelli che sono
multipli di tre: 6 (già eliminato), 9, 12, 15,.... . Elimineremo poi i multipli di
cinque, poi quelli di sette, eccetera. I numeri che rimangono dopo le successive
eliminazioni sono i numeri primi. Il crivello termina quando si arriva ad eliminare i multipli di 10 che è la radice quadrata di 100. In generale, per trovare
tutti i numeri primi minori di√un certo n, è sufficiente eliminare tutti i multipli
dei primi minori o uguali a n, infatti, se a × b = n, almeno uno tra a e b è
8
√
minore o uguale a n (è lo stesso ragionamento che abbiamo fatto per vedere
che 223 non ha divisori diversi da 1 e da sé stesso).
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
—
Teniamo 2, ma eliminiamo adesso i multipli di 2:
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
—
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
—
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
—
segniamo in rosso i multipli di 3 ed eliminiamoli (eccetto 3 stesso)
–
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
–
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
–
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
–
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
–
Dopo aver fatto le successive eliminazioni, ecco i numeri primi da 0 a 100
9
—
11
2
31
41
3
13
23
—
5
—
—
—
19
29
—
37
47
43
53
61
71
7
17
59
67
73
83
79
89
97
Quanti sono i numeri primi?
Partiamo dai numeri primi consecutivi più piccoli, per esempio prendiamo
2,3,5,7. Allora il numero
2×3×5×7+1
non
non
non
non
è
è
è
è
divisibile
divisibile
divisibile
divisibile
per
per
per
per
2
3
5
7
Con questa idea Euclide ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi
Teorema 0.2. Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che ci sia un numero finito di numeri
primi. Sia
P = {p1 , p2 , . . . , pn }
l’insieme di tutti i numeri primi. Allora il numero
p1 × p2 × · · · × pn + 1
non è divisibile per p1
non è divisibile per p2
..........................
non è divisibile per pn
che è un assurdo per il Teorema fondamentale dell’aritmetica
Lezione del 15 novembre
I gruppi n.1 e n. 2 hanno cominciato a lavorare. Ne sono uscite alcune idee
che andranno precisate e messe in forma scritta. L’obbiettivo è la produzione
di un file per ogni gruppo, da caricare sul sito del corso.
I due gruppi sono anche sollecitati a pensare a problemi e/o attività didattiche in cui intervengano i numeri primi.
Una studentessa ha spiegato l’uso della “tavola della moltiplicazione” Montessori, portando un grande cartone con dei tasselli colorati e delle stringhe di perle
(disegnate) raffiguranti numeri. Si è capito il funzionamento della tavola, di cui
10
però deve esserne spiegata la validità, mettendola anche in relazione con il procedimento della moltiplicazione in colonna.
Si è passati poi alla parte più teorica della lezione:
Come si distribuiscono i numeri primi?
Vediamo che i più piccoli numeri primi compaiono l’uno molto vicino all’altro,
ma poi si distanziano maggiormente. Tuttavia la loro frequenza è imprevedibile.
Vediamo come esistono lacune grandissime di numeri primi, cioè come esistono
tanti numeri consecutivi (tanti quanti se ne vuole) che non sono primi.
Il numero 1 × 2 × 3 × 4 + 2 è divisibile per 2 e quindi non è primo
Il numero 1 × 2 × 3 × 4 + 3 è divisibile per 3 e quindi non è primo
Il numero 1 × 2 × 3 × 4 + 4 è divisibile per 4 e quindi non è primo
Come si può generalizzare questo?
Possiamo ad esempio trovare cento numeri consecutivi tali che nessuno di
essi sia un numero primo?
Il numero 1 × 2 × 3 × 4 = 24 si chiama 4 fattoriale e si scrive cosı̀: 4!. In
generale
Definizione 0.4. Dato un numero naturale n ∈ N si definisce il fattoriale di n
come:
n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n
Ecco allora 100 numeri consecutivi che non sono primi:
Il numero 101! + 2 è divisibile per 2 e quindi non è primo
Il numero 101! + 3 è divisibile per 3 e quindi non è primo
Il numero 101! + 4 è divisibile per 4 e quindi non è primo
............................
Il numero 101! + 101 è divisibile per 101 e quindi non è primo
Esercizio 7. Calcolare 2n − 1 per n = 0, 1, 2, . . . , 13 e stabilire per quali valori
di n il numero ottenuto è un numero primo.
20 − 1 = 0
21 − 1 = 1
22 − 1 = 3 primo
23 − 1 = 7 primo
24 − 1 = 15
25 − 1 = 31 primo
26 − 1 = 63
27 − 1 = 127 primo
28 − 1 = 255
29 − 1 = 511
210 − 1 = 1023
211 − 1 = 2047 = 23 × 89
212 − 1 = 4095
213 − 1 = 8191 primo
Definizione 0.5. Un numero primo del tipo 2n − 1, come per esempio 3,7,31,
si chiama primo di Mersenne, dal nome di Marin Mersenne (1588 - 1648).
11
Se 2n − 1 è primo, allora n è primo, ma non vale il viceversa, infatti 11 è
primo ma 211 − 1 non è primo.
E’ sempre vero che se 2n − 1 è primo, allora n è primo anche per numeri n
più grandi di 12?
Proposizione 0.3. Se 2n − 1 è un numero primo, allora n è un numero primo
Dimostrazione. Per qualsiasi numero x e qualsiasi esponente positivo k vale la
seguente uguaglianza:
xk − 1 = (x − 1) × (xk−1 + xk−2 + · · · + x2 + x + 1)
che si scrive anche più semplicemente cosı̀:
xk − 1 = (x − 1)(xk−1 + xk−2 + · · · + x2 + x + 1)
(2)
(fare il conto per convincersene). Vogliamo far vedere che, se n non è un numero
primo, cioè se n = a×b, con a e b maggiori di 1, (scriveremo n = ab) allora anche
2n − 1 si potrà fattorizzare e quindi non sarà un numero primo. Se mettiamo
x = 2a e k = b nell’espressione di sopra otteniamo
2n − 1 = 2ab − 1 = (2a )b − 1 = (2a − 1)(2a(b−1) + 2a(b−2) + . . . 2a2 + 2a + 1)
che, essendo a > 1 e quindi anche (2a − 1) > 1, dà una fattorizzazione non
banale di 2n − 1.
Osservazione 1. Possiamo notare che abbiamo fatto nella dimostrazione precedente un ragionamento per assurdo, cioè abbiamo dimostrato la contronominale
dell’enunciato. Per dimostrare che:
2n − 1 numero primo =⇒ n numero primo
abbiamo mostrato che se, per assurdo, n si fattorizza in modo non banale come
ab, allora anche 2n − 1 si fattorizza, cioè abbiamo mostrato che
2n − 1 numero non primo ⇐= n numero non primo
Esercizio 8. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono equivalenti:
1. Se piove allora vado al cinema
2. Se non piove allora non vado al cinema
3. Se non vado al cinema allora non piove
4. Se vado al cinema allora piove
Osservazione 2. Abbiamo utilizzato i fatti che xh xk = xh+k , (2a )b = 2ab .
Questo, nel caso di esponenti interi, si spiega semplicemente ricordando il significato delle potenze. Per esempio scrivere 57 vuol dire fare
5 × 5 × .. (sette volte)
e questo equivale a fare il prodotto di 5 per sé stesso per esempio 3 volte e
moltiplicare il risultato per 5 moltiplicato per sé stesso 4 volte. Quindi
57 = 53 × 54
12
Per spiegare (2a )b = 2ab , prendiamo ad esempio a = 4 e b = 3. Allora:
2a = 24 = 2 × 2 × 2 × 2, che elevato alla terza dà 2 moltiplicato per sé stesso
12 volte, cioè proprio 2ab = 212 .
Abbiamo inoltre usato la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla
somma, cioè che
s × (t + u) = (s × t) + (s × u) che si scrive anche s(t + u) = st + su
(s + t) × u = (s × u) + (t × u) che si scrive anche (s + t)u = su + tu
Problemi concreti/attività didattiche
La proprietà distributiva vista nella somma delle aree di due rettangoli.
Osservazione 3. Inoltre abbiamo usato delle espressioni algebriche con delle
lettere: una volta che abbiamo verificato che vale l’uguaglianza nella formula
(1) scritta nella dimostrazione della Proposizione 0.3 per qualsiasi numero x e
qualsiasi esponente k, allora possiamo mettere al posto di x e di k qualsiasi
valore e siamo sicuri che l’eguaglianza vale. Questo significa in molti contesti
un grande risparmio di energie.
Esercizio 9. Mettere 3 al posto di x e 2 al posto di k nella formula (1) scritta
nella dimostrazione della Proposizione 0.3 e verificare che si ottiene lo stesso
numero dalle due parti del segno di uguaglianza:
8 = (32 − 1) = (3 − 1)(31 + 30 ) = 8
Mettere 1 al posto di x e 3 al posto di k nella formula (1) e verificare che si
ottiene lo stesso numero dalle due parti del segno di uguaglianza.
Lezione del 24 novembre (le cose scritte in rosso richiedono un lavoro da
parte delle studentesse e degli studenti, che verranno verificate nella prossima
lezione del 29 novembre)
I numeri naturali in base 10. L’utilizzo della scrittura posizionale (che
assegna allo stesso simbolo valore differente a seconda della posizione in cui
scritto) permette di rappresentare un qualsiasi numero naturale attraverso un
numero limitato di simboli. La scrittura dei numeri adottata dagli antichi Romani non aveva, ad esempio, questo pregio, ma si era costretti ad inventare
sempre nuovi simboli per rappresentare numeri di volta in volta più grandi.
Per scrivere un qualunque numero naturale utilizziamo ora, usualmente, la
scrittura posizionale e 10 simboli: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. La scrittura posizionale
si basa sulla possibilità di scrivere i numeri in forma polinomiale. Ad esempio,
nella scrittura in base 10 il numero 3274 corrisponde a
3274 = 3 migliaia +2 centinaia +7 decine +4 unità =
= (3 × 1000) + (2 × 100) + (7 × 10) + 4
Utilizzando le potenze di 10, posso riformularlo come segue:
3274 = (3 × 103 ) + (2 × 102 ) + (7 × 10) + (4 × 100 )
che prende il nome di scrittura in forma polinomiale in base 10; le cifre 3,2,7,4,
sono i coefficienti della forma polinomiale; in particolare, 3 è il coefficiente di
13
103 , 2 di 102 , 7 di 10 = 101 , e 4 di 100 . La scrittura 3274 è semplicemente la
forma abbreviata della scrittura in forma polinomiale; tenendo memoria precisa
dell’ordine in cui compaiono i coefficienti, possiamo evitare di riportare tutte le
potenze di 10 e scrivere semplicemente la successione ordinata dei coefficienti:
la rappresentazione diventa più leggera e maneggevole. Le cifre dei coefficienti
vengono rigorosamente elencate a partire dal coefficiente della potenza maggiore
(e inserendo 0 ove il coefficiente sia nullo). Inoltre la notazione posizionale è
particolarmente utile per le procedure di calcolo.
Come si giustificano le procedure di calcolo per le operazioni di addizione,
sottrazione e moltiplicazione in colonna?
Su questo argomento (trattato anche dal prof. Bernardi) si invitano le studentesse a leggere con attenzione la lettura:
Villani1 (il file è caricato sulla pagina elearning)
Oltre all’abaco, spesso soltanto disegnato nei testi per la scuola primaria,
ci sono altri artefatti utilizzabili in classe. Ad esempio delle cannucce deposte
in bicchieri corrispondenti alle unità, alle decine, alle centinaia, etc. che, come
nel caso dell’abaco, rappresentano un numero (cf. anche il Modulo 2, prof.
Baccaglini, lezione del 17 novembre). Addizionando due numeri, se la somma
delle unità dei due numeri supera la decina, un fascietto di dieci cannucce nel
bicchiere delle unità può essere sostituito con una sola cannuccia nel bicchiere
delle decine (questo è un “riporto”). Se la somma delle decine dei due numeri
con l’aggiunta eventuale di un “riporto” supera la decina, un fascietto di dieci
cannucce nel bicchiere delle decine può essere sostituito con una sola cannuccia
nel bicchiere delle centinaia e cosı̀ via.
Torniamo adesso alla “tavola della moltiplicazione” Montessori, il cui funzionamento ci è stato mostrato da una studentessa nella lezione scorsa, ma che
è anche ben descritto in un video su YouTube:
https://www.youtube.com/watch?v=E8zPAYcy4EQ
Vogliamo discutere due aspetti di questo materiale didattico:
1. Perché il procedimento descritto porta al risultato corretto della moltiplicazione?
2. E’ utile che i bambini lo imparino ad usare?
1. Spieghiamo il funzionamento della “tavola della moltiplicazione” Montessori, prendendo l’esempio della lettura Villani 1:
32 × 143 = 4576
32 × 143 = 32 × (3 unità +4 decine +1 centinaia)=
32 × 3 unità = 96 unità +
32 × 4 decine = 128 decine = 1280 unità +
32 × 1 centinaia = 32 centinaia = 3200 unità
14
Nella somma 96 + 1280 + 3200:
le unità sono 6 (compaiono solo in 96) (le mettiamo nel quadrato verde)
le decine sono 9+8 (che compaiono in 96 e in 1280) (le mettiamo nei quadrati
gialli)
le centinaia sono 2+2 (0 in 96, 2 in 1280, 2 in 3200) (le mettiamo nei quadrati
rossi)
le migliaia sono 1+3 ( 0 in 96, 1 in 1280, 3 in 3200) (le mettiamo nei quadrati
blu )
Poi sommiamo tra loro tutte le unità, che danno 6, tutte le decine, che danno
17 ( 10+7 decine = 1 centinaia + 7 decine, quindi scriviamo 7 decine e passiamo
1 alla casella rossa a sinistra che rappresenta le centinaia). Sommiamo infine
tutte la migliaia che danno 4 e leggiamo sull’ultima riga il risultato: 4576.
15
Una studentessa in classe ha notato come commutando i due fattori (32 e
143) la tavola della moltiplicazione cosı̀ riempita ha un aspetto più simile al
tradizionale algoritmo della moltiplicazione in colonna.
2. La tavola della moltiplicazione Montessori è un artefatto didatticamente
valido? E’ utile che i bambini lo imparino ad usare?
Su questo punto, in classe sono state espresse varie opinioni, anche contrastanti. Alcune studentesse hanno il compito di scrivere una sintesi della
discussione.
Basi diverse da 10. Le modalità della scrittura posizionale possono essere
applicate e utilizzate fissando a piacere il numero di simboli da utilizzare. In
alcuni contesti può essere conveniente selezionare un numero di simboli diverso
da dieci.
Il numero di simboli selezionato (l’analogo della scelta dell’alfabeto con cui
formare tutte le parole) prende il nome di base di numerazione. Ad esempio,
se la base di numerazione fissata è 8, i simboli da utilizzare come cifre saranno
0,1,2,3,4,5,6,7. I numeri naturali (maggiori di zero) in base 8 si scriverebbero in
questo modo:
16
1
11
21
31
41
51
61
71
2
12
22
32
42
52
62
72
3
13
23
33
43
53
63
73
4
14
24
34
44
54
64
74
5
15
25
35
45
55
65
75
6
16
26
36
46
56
66
76
7
17
27
37
47
57
67
77
10
20
30
40
50
60
70
100
Qui per esempio 10 è un “ottina” e zero unità, 11 è un “ottina” e una unità,
67 è 6 “ottine” e 7 unità, eccetera. E poi per esempio:
100 = 1 “sessantaquattrina” +0 ottine +0 unità
dove una “sessantaquattrina” è un’ottina di ottine (di certo il suono sarebbe
diverso) oppure
3076 = 3 ottine di ottine di ottine +0 ottine di ottine +7 ottine +6 unità
Cosı̀ la popolazione con otto dita scriverebbe 3076 per indicare
(3 × 83 ) + (0 × 82 ) + (7 × 81 ) + (6 × 80 )
che, facendo i conti, è il nostro 1598. Attenzione però che il simbolo 8 non
sarebbe usato (sarebbe usato 10, che per loro è 8).
Scriveremo (3076)8 per rappresentare questo numero, dove quell’8 in basso
indica la base con cui stiamo lavorando. In modo analogo si lavora con le altre
basi. Osserviamo che, in generale, riducendo la base, la scrittura del numero
richiede un maggior numero di cifre.
Lezione del 29 novembre
Abbiamo detto ancora qualcosa sui numeri primi. Scrivendo i numeri naturali maggiori di zero in sei colonne
1
7
13
19
25
31
37
43
2
8
14
20
26
32
38
...
3
9
15
21
27
33
39
...
4
10
16
22
28
34
40
...
5
11
17
23
29
35
41
...
6
12
18
24
30
36
42
...
abbiamo notato come tutti i numeri primi ad eccezione del 2 e del 3 appaiono
sulla prima e sulla quinta colonna. Perché?
Sulla sesta colonna ci sono i multipli di 6, cioè quelli del tipo 6 · k, dove
k = 1, 2, 3, . . . che non sono primi in quanto multipli per esempio di 2. Sulla
seconda colonna ci sono quelli del tipo 2 + 6 · k, dove k = 0, 1, 2, 3, . . . , che,
ad eccezione del primo (2 = 2 + 6 · 0) non sono numeri primi, in quanto pari
(2 + 6 · k = 2 · (1 + 3 · k)). Sulla terza colonna ci sono i numeri del tipo 3 + 6 · k,
dove k = 0, 1, 2, 3, . . . , che, ad eccezione del primo (3 = 3 + 6 · 0) non sono
numeri primi, in quanto multipli di 3: abbiamo infatti 3 + 6 · k = 3 · (1 + 2 · k).
Sulla quarta colonna ci sono tutti numeri pari perché 4 + 6k = 2(2 + 3k), per
17
k = 0, 1, 2, 3, . . . . Le colonne che rimangono sono la prima e la quinta, dove
soltanto si possono trovare i numeri primi maggiori di 3.
Quelli che differiscono per due unità come 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, ecc. si
chiamano primi gemelli: il gemello di 5 è 7, il gemello di 11 è 13, ecc. Notiamo
che per esempio 23 è un numero primo ma non è un primo gemello perché 25
non è primo. Anche 37 non è un primo gemello e ce ne sono tanti altri.
Non è stato però mai dimostrato che esistono infiniti primi gemelli.
Abbiamo poi discusso gli esercizi sulle basi diverse da dieci, lasciati la scorsa
lezione.
Esercizio 10.
• Verificare che
1234 = (1 × 54 ) + (4 × 53 ) + (4 × 52 ) + (1 × 5) + (4 × 50 )
e determinare la scrittura in base 5 di 1234.
Soluzione. Verificata l’uguaglianza sopra scritta, si ha 1234 = (14414)5
• Determinare la scrittura in base 5 del numero
(2 × 57 ) + (4 × 56 ) + (0 × 55 ) + (0 × 54 ) + (3 × 53 ) + (1 × 52 ) + (0 × 5) + 4
Soluzione. (24003104)5
• Inventare due nuovi simboli con due nuovi suoni corrispondenti e scrivere
la tabella della numerazione in base 12.
Soluzione. Lo abbiamo fatto in classe.
• Scrivere la tabella della numerazione in base 3 e trovare come si scrive 19
in base 3.
Soluzione. I simboli che abbiamo sono soltanto 0,1,2. La logica è esattamente la stessa della numerazione in base dieci (dove i simboli sono
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Quando arriviamo a un numero che scritto in base
dieci ha come ultima cifra un 9, come ad esempio 79 ( 9 unità e 7 decine),
passando al successivo avremo 0 unità e 8 decine. Oppure, altro esempio
in base dieci: il successivo di 999 è 1000, perché le unità diventano dieci,
quindi si trasformano in una decina, ma cosı̀ facendo le decine diventano a
loro volta dieci e si trasformano in una centinaia e le centinaia diventando
dieci si trasformano in una migliaia.
Nel caso della numerazione in base tre, il 2 ha il ruolo che aveva il 9 nella
numerazione in base dieci. Ecco i numeri naturali scritti in base tre a
partire da 1.
1
11
21
101
111
121
201
...
2
12
22
102
112
122
202
...
18
10
20
100
110
120
200
210
...
Il diciannovesimo numero che abbiamo scritto è 201. Possiamo effettivamente verificare che
(201)3 = 19 = (2 × 32 ) + (0 × 3) + (1 × 30 )
• Scrivere la tabella della numerazione in base 2 e trovare come si scrive 19
in base 2.
Numeri in base due a partire da 1:
1
11
101
111
1001
1011
1101
1111
10001
10011
...
10
100
110
1000
1010
1100
1110
10000
10010
10100
...
Il diciannovesimo numero che abbiamo scritto è 1001. Possiamo effettivamente verificare che
(1001)2 = 19 = (1 × 24 ) + (0 × 23 ) + (0 × 22 ) + (1 × 2) + (1 × 20 )
• Scrivere 37 in base 3.
Soluzione. 37 = (1101)3 . Infatti
37 = (12 × 3) + 1 = (((4 × 3) + 0) × 3) + 1 = = (4 × 32 ) + (0 × 3) + 1 =
(((1 × 3) + 1) × 32 ) + (0 × 3) + 1 = = (1 × 33 ) + (1 × 32 ) + (0 × 3) + 1
Questa scrittura si può rendere più semplice sostituendo il segno × di
moltiplicazione con un puntino ed eliminando qualche parentesi, secondo
le convenzioni esistenti (vedere su questo la prossima lezione e la lettura
Villani 2):
37 = (12·3)+1 = (4·3+0)·3+1 = (4·32 )+(0·3)+1 = (1·3+1)·32 +(0·3)+1 =
(1 · 33 ) + (1 · 32 ) + (0 · 3) + 1
Osseviamo che per ottenere questa scrittura non abbiamo avuto bisogno
di scrivere la tabella della numerazione in base tre fino ad arrivare a 37,
ma è bastato fare delle successive divisioni per 3.
• Scrivere 637 in base 5.
Soluzione. 637 = (10022)5 . Infatti
637 = 127 · 5 + 2 = (25 · 5 + 2) · 5 + 2 = 25 · 52 + 2 · 5 + 2 = · · · =
54 + 0 · 53 + 0 · 52 + 2 · 5 + 2
In questo caso abbiamo usato le parentesi soltanto dove era strettamente
necessario.
19
Osservazione 4. Come si sarà accorto chi ha svolto gli ultimi due esercizi, per
individuare la scrittura in una data base di un numero n di cui conosciamo la
scrittura decimale occorre procedere con una serie di divisioni.
Osservazione 5. I numeri scritti in base 2 utilizzano due soli simboli, 0 e 1. La
base 2 è per questo utilizzata nei computer, dove 0 e 1 corrispondono a “acceso”
e “spento”.
Esercizio 11. Scrivere in base 2 i cinque primi di Mersenne: 3, 7, 31, 127,
8191. Si può osservare qualche particolarità?
Soluzione. 3 = (11)2 , infatti 3 = 1 · 2 + 1 · 20
7 = (111)2 , infatti 7 = 1 · 22 + 1 · 2 + 1 · 20
31 = (11111)2 infatti 31 = 1 · 24 + 1 · 23 1 · 22 + 1 · 2 + 1 · 20
Possiamo andare avanti e ci accorgiamo che nella scrittura in base 2 si ottengono per questi numeri primi di Mersenne una fila di 1. Questo non è casuale.
Ricordando la formula (2) di pagina 12, se mettiamo 2 al posto di x, abbiamo
2k − 1 = (2 − 1)(2k−1 + 2k−2 + · · · + 2 + 1)
Il fattore (2 − 1) = 1 lo possiamo eliminare e quindi abbiamo che
2k − 1 = (2k−1 + 2k−2 + · · · + 2 + 1)
Quindi tutti i numeri naturali della forma 2k − 1 si scrivono in base 2 con una
fila di 1 (tanti 1 quanto è l’esponente k). In particolare i primi di Mersenne
sono di questa forma, quindi avremo anche
127 = 27 − 1 = 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1, da cui 127 = (1111111)2
8191 = 213 − 1 = 212 + 211 + 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1,
da cui 8191 = (1111111111111)2
Le tabelline In classe abbiamo visto il seguente video:
https://www.youtube.com/watch?v=OkOXbJzOCy4
Avevamo lasciato il seguente compito:
1. Capire perché il conto fatto per mezzo delle dita (come mostrato nel video)
porta al risultato corretto di ogni moltiplicazione.
2. Stabilire se questo metodo può essere uno strumento didattico utile.
3. Pensare che cosa altro si può fare con i bambini per rendere un gioco
divertente la memorizzazione delle tabelline.
1. Diamo innanzi tutto una spiegazione di perché il conto fatto per mezzo
delle dita (come mostrato nel video) porta al risultato corretto di ogni moltiplicazione. Cominciamo con un esempio
6 × 8 = 48
cioè
(5 + 1) · (5 + 3) = 48
20
Il gioco con le dita ci dice che il risultato è 1 + 3 = 4 decine e (5 − 1) · (5 − 3) =
4 · 2 = 8 unità, cioè
(5 + 1) · (5 + 3) = (1 + 3) · 10 + (5 − 1) · (5 − 3) = 48
Se al posto di 1 e 3 consideriamo due numeri generici a e b e quindi se al posto
del prodotto 6 · 8 = (5 + 1) · (5 + 3) consideriamo il prodotto (5 + a) · (5 + b), il
trucco con le dita ci dice che questo prodotto è un numero che ha (a + b) decine
e (5 − a) · (5 − b) unità, cioè che:
(5 + a) · (5 + b) = (a + b) · 10 + (5 − a) · (5 − b)
Possiamo verificare che questa eguaglianza è effettivamente sempre vera:
l’espressione a sinistra del segno = è:
(5 + a) · (5 + b) = 5 · 5 + 5 · b + 5 · a + a · b = 25 + 5a + 5b + ab
L’espressione a destra del segno = è:
(a + b) · 10 + (5 − a) · (5 − b) = 10a + 10b + 25 − 5a − 5b + ab = 25 + 5a + 5b + ab
Sono sempre uguali!
2. Stabilire se questo metodo può essere uno strumento didattico utile. In
classe c’è stata una breve discussione su questo. Di certo ai bambini delle prime
classi non si può spiegare perché questo trucco funziona. Potrebbe però essere un
gioco divertente. Qualcuna ha detto che potrebbe essere utile per quei bambini
che hanno difficoltà a memorizzare le tabelline...
3. Giochi e canzoncine per memorizzare le tabelline... Avete qualche buona
idea?
In quello che abbiamo visto abbiamo usato a volte delle espressioni aritmetiche, come ad esempio
(5 + 1) · (5 + 3) = (1 + 3) · 10 + (5 − 1) · (5 − 3) = 48
Le espressioni aritmetiche contengono numeri (anche se non necessariamente
numeri interi): si tratta di eseguire le operazioni indicate, in modo da ottenere
alla fine un numero.
A volte abbiamo usato invece delle espressioni algebriche, come ad esempio
(5 + a) · (5 + b) = 5 · 5 + 5 · b + 5 · a + a · b = 25 + 5a + 5b + ab
Le espressioni algebriche contengono numeri e lettere: si tratta in generale di
trasformare un’espressione algebrica in un’altra equivalente che può essere più
opportuna per il problema che si studia.
Le regole che si usano per manipolare le espressioni algebriche sono esattamente le regole che esistono per le espressioni aritmetiche. Esistono in entrambi i
casi delle convenzioni che è utile conoscere, per rendere più semplice la scrittura.
Per esempio scrivendo
2·3+5
21
si intende (2 · 3) + 5 = 11 e non 2 · (3 + 5) = 16. Tutto il mondo accetta queste
convenzioni ed è quindi bene conoscerle (si rimanda di nuovo alla lettura Villani
2).
Lezione del 6 dicembre
Come abbiamo già accennato nella scorsa lezione, le parentesi a volte sono
necessarie ed a volte no. Per questo argomento, rimandiamo alla lettura Villani 2, dove sono spiegate le principali convenzioni. Facciamo qui soltanto un
esempio. Scrivendo
20 − (8 − 2 + 1)
intendiamo che bisogna fare prima 8 − 2 + 1 (ottenendo 7) e poi 20 − 7, quindi
20 − (8 − 2 + 1) = 20 − 7 = 13
Questo si può ottenere anche cosı̀
20 − 8 + 2 − 1 = 13
facendo le operazioni nell’ordine in cui sono scritte, cioè un segno meno davanti
a una parentesi fa cambiare il segno a tutti gli addendi dentro alla parentesi.
Scrivere invece 20 − 8 − 2 + 1 vuol dire fare le operazioni nell’ordine in cui
sono scritte. In questo caso si ottiene un risultato diverso: 20 − 8 − 2 + 1 = 11.
Nelle espressioni algebriche abbiamo la stessa cosa:
a − (b − c + d) = a − b + c − d
L’introduzione delle lettere e l’uso delle espressioni algebriche è stato un
processo storicamente molto faticoso. Nel medioevo per esprimere ad esempio
2x = 4
si scriveva “due cose uguali a numero 4” o per indicare un’equazione di secondo
grado nell’incognita x, come ad esempio
x2 + 6 = 5x
si parlava di “censo e numeri uguali a cose”. Ancora nel 1500, il matematico
Nicolò Fontana (detto Tartaglia) per svelare il proprio metodo per trovare le
soluzioni di un’equazione di terzo grado del tipo
x3 + px = q
dove p e q sono numeri dati e x è il valore incognito, scriveva addirittura una
poesia che cominciava cosı̀:
Quando che ’l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto ....
Chi ha curiosità di leggere il resto della poesia ed avere qualche informazione
in più su questo argomento, può vedere in rete. Ad esempio digitando su Google
“Tartaglia e le equazioni di terzo grado” si può accedere alla pagina del progetto
Polymath:
areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Feb 02/Cap2.html
22
Anche i simboli, come quelli di uguale (=) o più (+) erano indicati in modo
diverso dall’attuale. Per esempio Girolamo Cardano (1501-1576) per scrivere
l’equazione
x2 = 4x + 32
scriveva
Qdratu aeqtr 4 rebus p:32
(dove Qdratu sta per x2 , aeqtr sta per =, 4 rebus sta per 4x e p:32 sta per +32).
Torniamo adesso sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto
all’addizione o, più in generale, a come si moltiplicano due somme.
Cominciamo da un esempio. Consideriamo il prodotto
(4 + 8 + 3) · (10 + 1)
(al solito la moltiplicazione è indicata con un puntino).
Naturalmente possiamo calcolare 4 + 8 + 3 = 15 e 10 + 1 = 11 e poi fare
15 · 11 = 165. Vogliamo però convincerci che otteniamo lo stesso risultato se
facciamo:
4 · 10 + 4 · 1 + 8 · 10 + 8 · 1 + 3 · 10 + 3 · 1
Questo disegno dovrebbe essere abbastanza convincente:
4 · 10 = 40 sono i puntini grigi, 4 · 1 = 4 sono i puntini rosa, 8 · 10 = 80 sono i
puntini arancioni, 8 · 1 = 8 sono i puntini verdi, 3 · 10 = 30 sono i puntini blu,
3 · 1 = 3 sono i puntini marroni. Sommando tutti i puntini dei vari colori ne
otteniamo come prima
40 + 4 + 80 + 8 + 30 + 3 = 165
Abbiamo semplicemente contato i puntini in modo diverso.
Quanto vale per i numeri vale anche per le lettere, che non indicano dei
numeri precisi, ma dei numeri generici, che può essere opportuno non specificare
23
quali sono. Sostituendo per esempio 4 con a, 8 con b, 3 con c, 10 con d e 1 con
e, possiamo allora affermare che
(a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce
Qui il prodotto viene indicato semplicemente giustapponendo i simboli.
Dovrebbe a questo punto essere più chiara la formula (2) di pagina 12:
xk − 1 = (x − 1)(xk−1 + xk−2 + · · · + x2 + x + 1)
Infatti svolgendo il prodotto scritto a destra dell’= abbiamo:
xk + xk−1 + xk−2 + · · · + x2 + x − xk−1 − xk−2 − · · · − x2 − x − 1
Qui i termini uguali ma con segno opposto come xk−1 e −xk−1 , . . . , x e −x
si possono eliminare (perché la loro somma è nulla) e quindi si ottiene proprio
xk − 1 che è quanto scritto alla sinistra dell’ =. Abbiamo anche usato il fatto
che per esempio
(−1) · x = −x
La regola che moltiplicando un numero positivo per uno negativo si ottiene
un numero negativo, come quella per cui moltiplicando due numeri negativi si
ottiene un numero positivo proviene dall’aritmetica. Per esempio, se vogliamo
calcolare correttamente il prodotto
(8 + 1 − 4) · (5 − 2)
che è 5 · 3 = 15 e se vogliamo “spezzettare” come prima il conteggio in tanti
addendi, dovremo utilizzare proprio queste regole:
(8 + 1 − 4) · (5 − 2) = 8 · 5 − 8 · 2 + 1 · 5 − 1 · 2 − 4 · 5 + 4 · 2
Proposta didattica 1
Esercizio 12. Vogliamo pensare ai vari modi di risolvere i seguenti problemi:
1. Una donna di 30 anni ha un figlio di 3 anni. Dopo quanti anni l’età della
madre è il doppio dell’età del figlio?
2. Una donna di 30 anni ha un figlio di 3 anni. Dopo quanti anni l’età della
madre è il triplo dell’età del figlio?
3. Una donna di 30 anni ha un figlio di 3 anni. Dopo quanti anni l’età della
madre è la metà dell’età del figlio? (problema insensato o no?)
L’esercizio 12 è stato risolto in classe in più di un modo. Ecco le soluzioni.
Soluzione del n.1. Primo modo. Chiamiamo x la quantità di tempo che
chiede il problema. Richiediamo che 30 + x (l’età della madre dopo 30 anni) sia
uguale a due volte 3 + x (l’età del figlio dopo x anni). Quindi richiediamo che
30 + x = 2 · (3 + x)
30 + x = 6 + 2x
x = 24
24
Risposta: dopo 24 anni la madre ha 30 + 24 = 54 anni, che è il doppio
dell’età del figlio, che sarà 3 + 24 = 27.
Secondo modo. Osserviamo che la differenza tra le età di madre e figlio è di
27 anni. Cerchiamo prima l’età del figlio (chiamiamola y) tale che y +y = y +27.
Questa è proprio 27 e quindi, visto che il bambino ha 3 anni, il tempo richiesto
è 27 − 3 = 24.
Soluzione del n.2. Primo modo. Chiamiamo come prima x la quantità
di tempo che chiede il problema. Richiediamo che 30 + x (l’età della madre
dopo 30 anni) sia uguale a tre volte 3 + x (l’età del figlio dopo x anni). Quindi
richiediamo
30 + x = 3 · (3 + x)
30 + x = 9 + 3x
21 = 2x
x = 10, 5 (dieci anni e mezzo)
Risposta: dopo 10, 5 anni la madre ha 30 + 10, 5 = 40, 5 anni, che è il triplo
dell’età del figlio, che sarà 3 + 10, 5 = 13, 5.
Secondo modo. Osserviamo che la differenza tra le età di madre e figlio è
di 27 anni. Cerchiamo prima l’età del figlio (chiamiamola y) tale che
y + y + y = y + 27
y + y = 27
y = 27/2 = 13, 5
Visto che il bambino ha 3 anni, il tempo richiesto è 13, 5 − 3 = 10, 5
Soluzione del n.3. La domanda sembra non avere senso. Ma proviamo a fare
i conti lo stesso. Cerchiamo la quantità di tempo x tale che
30 + x = 1/2 · (3 + x)
2 · (30 + x) = 3 + x
(cioè chiediamo che l’età del figlio sia due volte l’età della madre)
Risolviamo
60 + 2x = 3 + x
60 − 3 = x − 2x
x = −57
Abbiamo trovato una soluzione negativa. Che cosa vuol dire? Possiamo
interpretare questa soluzione negativa come un tempo di attesa. Quanti anni
bisogna andare indietro per arrivare al momento in cui l’attesa per la nascita
del figlio sia due volte l’attesa per la nascita della madre?
Risposta: 57 anni prima, l’attesa per la nascita della madre è di 57 − 30 = 27
anni, mentre l’attesa per la nascita del figlio è di 57−3 = 54 anni, che è il doppio
di 27.
Secondo modo di risolvere il problema cosı̀ posto. Indichiamo per esempio
con y l’attesa per la nascita del figlio. Richiediamo che
y = 2 · (y − 27)
(infatti se l’attesa per la nascita del figlio è y, l’attesa per la nascita della madre,
che nasce 27 anni prima è naturalmente y − 27).
Troviamo
y = 2y − 2 · 27
y = y + y − 27 − 27
da cui y = 54
25
Visto che il bambino ha 3 anni, il tempo di attesa richiesto è 54 + 3 = 57
anni.
Consegna per la prossima volta: dare delle formulazioni diverse, per esempio
in termini di lunghezze, dei problemi dell’Esercizio 12.
Proposta didattica 2 Il gioco “Pensa un numero”.
Il gioco consiste nel far pensare a un altra persona (o a tutta la classe) un
numero, che rimane segreto. Dire di eseguire una serie di operazioni a partire
da quel numero. Indovinare il risultato finale a cui si arriva. Esempio.
• Pensa un numero diverso da 0
• aggiungi 3
• moltiplica per sé stesso quello che hai ottenuto
• sottrai 9
• dividi per quello che hai pensato all’inizio
• sottrai il numero che hai pensato all’inizio
Si può indovinare che il risultato è 6. Infatti, chiamato x il numero iniziale,
si richiede di fare le operazioni seguenti:
• Pensa un numero diverso da 0: x
• aggiungi 3: x + 3
• moltiplica per sé stesso quello che hai ottenuto: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
• sottrai 9: x2 + 6x
• dividi per quello che hai pensato all’inizio: x + 6
• sottrai il numero che hai pensato all’inizio: 6
Consegna per la prossima volta: creare una propria sequenza del tipo di
quella scritta sopra, per indovinare il risultato finale.
Esercizio 13.
1. Se una gallina fa un uovo al giorno, quante uova fanno in
due giorni due galline?
2. Se una gallina e mezzo in un giorno e mezzo fa un uovo e mezzo, quante
uova fanno in due giorni due galline?
Lezione del 13 dicembre
Vogliamo pensare ai vari modi di risolvere l’Esercizio 13.
Vediamo un modo più concreto di esprimere i problemi:
1. Se un’aiuola di 1m × 1m produce 1 Kg di spinaci, quanto produce
un’aiuola di 2m × 2m?
Perché questo problema è lo stesso del problema 1 delle galline? Chiamiamo
a un lato dell’aiuola di 1m × 1m e chiamiamo b un lato perpendicolare ad a.
26
Possiamo pensare ad a = 1 come ad una gallina e a b = 1 come a un giorno.
Infatti se ampliamo l’aiuola per esempio raddoppiando il lato a, l’aiuola cosı̀
ampliata produce 2 Kg di spinaci, esattamente come 2 galline fanno 2 uova in
un giorno.
Ampliare ancora l’aiuola raddoppiando il lato b corrisponde per le galline a
raddoppiare il numero dei giorni. Quindi l’aiuola di 2m × 2m produce 4 Kg di
spinaci, esattamente come 2 galline in 2 giorni fanno 4 uova.
2. Passiamo ora al secondo problema più complicato dell’Esercizio 13. Anche
questo lo possiamo formulare in modo diverso.
Se in un’aiuola quadrata di 1,5 m ×1, 5 m cresce 1, 5 Kg di spinaci, quanti
spinaci crescono in un’aiuola di 2m × 2m?
Procediamo un passo alla volta.
Primo passo. Se una gallina e mezzo fa un uovo e mezzo in un giorno e
mezzo, allora due galline fanno due uova in un giorno e mezzo. E’ come dire:
se allungo il lato a dell’aiuola, portandolo da 1, 5 m a 2 m, allora la produzione
di spinaci passa da 1, 5 Kg a 2 Kg come illustrato qui sotto
Secondo passo. Teniamo ora le due galline ed allunghiamo il tempo da un
giorno e mezzo a due giorni. E’ come dire: lasciamo il lato a dell’aiuola di 2m
e allunghiamo il lato b portandolo a 2 m. Il tempo è aumentato da 1, 5 = 3/2
giorni a 2 giorni, esattamente come il lato b dell’aiuola. L’aumento è stato di
27
1/3 della quantità iniziale (mezza giornata è un terzo di un giorno e mezzo,
oppure mezzo metro è un terzo di un metro e mezzo):
3 1 3
3 1
+ · = + =2
2 3 2
2 2
Quindi anche la produzione di uova (o di spinaci) aumenterà di un terzo rispetto
a quel 2 (siano uova o chili di spinaci) cioè a quanto era già arrivata. Avremo
alla fine
1
2
8
2+ ·2=2+ =
3
3
3
uova (o Kg di spinaci).
Alternativamente potevamo considerare l’aumento in un solo passo. Scriviamo i valori come frazioni 1, 5 = 3/2. L’area dell’aiuola passa da 32 · 32 = 94
metri quadrati (il quadrato A della figura qui sotto) a 2 · 2 = 4 metri quadrati
(il quadrato B della figura qui sotto), quindi indicando con x la aumentata
produzione di spinaci, si ha
9
3
:4= :x
4
2
oppure
9 3
: =4:x
4 2
da cui di nuovo x = 38 .
28
Osservazione 6. Nel problema precedente abbiamo una quantità (la produzione di uova o di spinaci) che cresce in maniera proporzionale rispetto a
due grandezze diverse. Nel caso delle uova, la produzione dipende dal numero
delle galline e dal numero di giorni considerati. Nel caso degli spinaci, i Kg
prodotti dipendono dai due lati dell’aiuola. Per risolvere i problemi precedenti
abbiamo visto che è utile fare variare una alla volta le grandezze che producono
una variazione della produzione. L’aumento della produzione è proporzionale
all’aumento di una delle due grandezze:
Nel primo passo abbiamo tenuto fisso il giorno e mezzo per le galline (o il
lato b dell’aiuola) e l’aumento delle galline, che sono passate da 1, 5 a 2 (o il lato
a dell’aiuola, che è passato da 1, 5m a 2m) determina un aumento proporzionale
della produzione (di uova o di spinaci).
Nel secondo passo abbiamo tenuto fisso il numero di galline (o il lato a
dell’aiuola) e abbiamo aumentato il numero di giorni (o il lato b dell’aiuola).
In entrambi i casi abbiamo a che fare con una quantità che passa da 1, 5 a 2.
Per passare da 1, 5 a 2 abbiamo aggiunto a 1, 5 un suo terzo, che è 0, 5.
Visto che
33, 333..
1
= 0, 333.. =
= 33, 3%
3
100
in modo equivalente si dice che passando da 1, 5 a 2 c’è stato un aumento del
33, 3%.
Le cose si scrivono meglio usando le frazioni (il numero 1, 5 è uguale a 23 ):
Per passare da 32 a 2 abbiamo fatto
3 1 3
+ · =2
2 3 2
Due grandezze sono proporzionali se si modificano nello stesso modo: se ad
esempio la prima si raddoppia anche la seconda si raddoppia, se la prima si
divide per tre, anche la seconda si divide per tre, se la prima si moltiplica per
un qualsiasi numero diverso da zero, anche la seconda si moltiplica per lo stesso
numero.
Passando da 32 a 2, abbiamo moltiplicato per 43 (infatti 32 · 43 = 2). Quindi
potevamo ragionare anche cosı̀: nel secondo passo ad esempio, anziché fare
2+
1
2
8
·2=2+ =
3
3
3
potevamo anche fare
2·
8
4
=
3
3
Del resto si può verificare che:
2+
1
1
3 1
4
· 2 = 2 · (1 + ) = 2 · ( + ) = 2 ·
3
3
3 3
3
Ecco la soluzione del problema 2 dell’Esercizio 13 della studentessa Chiara
Cipriani:
29
Osservazione 7. Possiamo osservare che se prendiamo ad esempio 19 di 27 vuol
dire che dividiamo 27 in 9 parti uguali e ne prendiamo una. Quindi quel “di”
può essere sostituito dal segno della moltiplicazione:
1
27
· 27 =
=3
9
9
Allo stesso modo se prendiamo ad esempio 29 di 27 vuol dire che dividiamo 27
in 9 parti uguali e ne prendiamo due. Quindi
2·
1
54
· 27 =
=6
9
9
Ci siamo chieste perché utilizzare due simboli diversi per indicare la divisione? Ad esempio sia scrivendo 54 : 9 che scrivendo 54
9 vogliamo indicare il
numero 6. In questo caso il 9 entra esattamente 6 volte nel 54 e quindi le due
scritture sono equivalenti.
Se consideriamo invece (26 : 4) o 26
4 , le due scritture hanno un significato un
po’ diverso. Nella prima vogliamo sapere il massimo numero intero di volte che il
4 entra nel 26 e se rimane qualche resto. Avremo quindi che (26 : 4) è 6 col resto
di 2. E diciamo che 6 è il quoziente e 2 è il resto della divisione. Nella seconda
scrittura indichiamo con precisione un numero che non è necessariamente intero:
26
13
=
= 6, 5
4
2
E’ importante e abbastanza difficile per i bambini capire quando un problema
si risolve utilizzando la divisione. Logicamente la divisione si applica in almeno
due situazioni diverse. Vediamolo con un esempio:
30
• Supponiamo di avere 26 carte e volerle dividere in quattro mazzetti. In
questo caso “dividere” vuol dire “distribuire” le carte nei quattro mazzetti.
Avremo 6 carte per mazzetto con l’avanzo di 2 carte.
• Supponiamo di avere 26 carte e voler formare dei mazzetti di 4 carte
ognuno. In questo caso “dividere” vuol dire “raggruppare”. Avremo 6
mazzetti con l’avanzo di 2 carte.
Consegna per giovedı̀ 15: Pensare a tre problemi in cui dividere vuol dire “distribuire” e tre problemi in cui dividere vuol dire “raggruppare”. Sono inoltre
rimaste le altre due consegne scritte in rosso nel testo della lezione precedente.
Lezione del 15 dicembre
Rispondendo alla consegna lasciata, alcune studentesse hanno proposto dei
problemi da risolvere utilizzando la divisione. Eccone uno:
1. La mamma compra 260 confetti per la prima comunione della figlia e
li distribuisce in sacchettini da tre confetti ognuno. Di quanti sacchettini ha
bisogno?
Per risolvere dividiamo 260 per 3 e otteniamo 86 col resto di 2.
Si tratta di distribuire o raggruppare?
Nonostante la parola “distribuisce”, che ha usato la studentessa nel proporre
il problema, si tratta di un dividere come raggruppare.
Con gli stessi numeri e la stessa soluzione, potremmo invece formulare un
problema in cui si tratta di dividere nel senso di distribuire:
2. La mamma compra 260 confetti per la prima comunione della figlia e li
mette in tre scatole (o sacconi). Quanti confetti per ogni scatola?
A proposito del dividere come “distribuire” abbiamo letto in classe la lettura
Divisione Montessori (cf. il file caricato nelle Letture). Nella breve discussione
al termine della lettura, abbiamo sottolineato come una delle funzioni più importanti del materiale didattico in questo caso è aiutare il bambino a comprendere
che il risultato della divisione, il quoziente, è la numerosità delle parti uguali
in cui si è divisa la quantità iniziale. Questa permane nella sua totalità, si è
cambiata solamente nell’aspetto: all’inizio era una quantità unica e poi invece
si è scissa in alcune quantità tra loro uguali.
Si sono poi ritirati i compiti delle studentesse sul gioco “Pensa un numero”
e si è ricordato come si sommano e si moltiplicano le frazioni.
31
Lezione del 10 gennaio
I numeri razionali sono quei numeri che si possono rappresentare con una
frazione. Tante frazioni diverse rappresentano lo stesso numero razionale, ma la
frazione è unica se richiediamo che sia ridotta ai minimi termini. Ad esempio
16
24
8
=
=
6
9
3
8
3
è la frazione ridotta ai minimi termini.
La scuola Pitagorica fondata a Crotone da Pitagora di Samo (VI secolo a.C.)
era una confraternita religiosa, filosofica, scientifica e politica. Per i suoi adepti,
i Pitagorici, i numeri naturali sono il principio di tutte le cose e regolano ogni
settore della natura e della vita umana. Tutte le cose esistenti sono proporzione
e armonia.
Due grandezze omogenee, come ad esempio due lunghezze, si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune.
Sono possibili due casi:
• Una delle due grandezze, chiamiamola a, contiene la seconda, chiamiamola
b, un numero intero, diciamo n, di volte: in tal caso a = nb, o in modo
equivalente il loro rapporto ab è n.
Ad esempio, dati i due segmenti a e b seguenti:
si ha a = 3b, cioè
a
b
=3
• Una delle due grandezze non contiene l’altra un numero intero di volte.
In tal caso occorre cercare una terza grandezza, chiamiamola c che sia
contenuta esattamente un numero intero di volte sia nella prima che nella
seconda (sottomultipla comune).
Se a = nc e b = mc, cioè se questa terza grandezza più piccola c entra
esattamente n volte in a e m volte in b, allora a : b = n : m cioè il rapporto
a
n
b è m , che è una frazione che rappresenta un numero razionale.
Ad esempio, dati i due segmenti a e b seguenti, con sottomultiplo comune
c:
si ha
a
b
=
3
5
Ragionando con il senso comune sembrerebbe che basti prendere come terza
grandezza c una grandezza abbastanza piccola per ottenere una sottomultipla
comune ad a e b. I Pitagorici pensavano inizialmente che due grandezze sono
32
sempre commensurabili. Per Pitagora i numeri erano tutti esprimibili attraverso
semplici e ”rassicuranti” rapporti matematici, frazioni di numeri interi. Ma un
giorno questo universo fatto di solide certezze matematiche vacillò fin quasi a
crollare, sotto il peso di una nuova, terribile scoperta. Qualcuno (probabilmente
Ippaso di Metaponto) si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che
il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un
rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili. Fu un vero e
proprio terremoto: si aprivano nell’universo dei numeri ”buchi neri” impensabili:
i numeri irrazionali, la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.)
non termina mai e non forma una sequenza periodica. Come prima conseguenza
della scoperta, i Pitagorici furono costretti ad ammettere che il punto non ha
dimensioni, contrariamente a quanto avevano sempre creduto e affermato: essi
infatti ritenevano che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e
tutti uguali, ma non nulli. Ora invece risultava evidente che un segmento e in
generale una figura geometrica sono costituiti da infiniti punti di dimensione
nulla.
Pitagora censurò immediatamente la scoperta e l’incauto scopritore fu messo
a tacere. I Pitagorici continuarono a sviluppare e diffondere le loro teorie cercando di tenere nascosta questa verità, nella speranza che prima o poi si potesse
trovare una soluzione. Ma qualcuno parlò. Il traditore fu Ippaso di Metaponto,
proprio colui che, forse, questa incommensurabilità l’aveva scoperta. La reazione
dei Pitagorici fu durissima: Ippaso fu bandito e gli fu costruito, quantunque ancora in vita, un monumento funebre. Morı̀ poco tempo dopo vittima di un
naufragio, secondo la leggenda, ”per volere di Zeus adirato”: sulla sua morte
sorse ben presto una diceria che ne fa un vero e proprio ”giallo” dell’antichità. Si
disse infatti che il suo assassinio fosse stato commissionato da Pitagora. Scrive
il filosofo greco Proclo: “I Pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa
teoria [degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla
credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un
tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel
mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace.
Ma era evidentemente impossibile tenere nascosta per sempre la scoperta, e
lo stesso Pitagora dovette arrendersi all’evidenza.
Prima di vedere in dettaglio la sconvolgente scoperta di segmenti incommensurabili, richiamiamo il famoso teorema di Pitagora, forse precedente, ma
di certo ben conosciuto dai Pitagorici.
Teorema di Pitagora. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa
è equivalente all’unione dei quadrati costruiti sui due cateti.
Due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa area. Il teorema
di Pitagora si può formulare anche cosı̀:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Ecco un esempio:
In questo triangolo rettangolo
33
l’ipotenusa è a = 5 e i due cateti sono b = 3 e c = 4. Abbiamo che
52 = 32 + 42
infatti 25 = 9 + 16. Cioè si ha
a2 = b2 + c2
Vediamo una dimostrazione geometrica di questo teorema:
Dimostrazione. Partiamo dal triangolo rettangolo V1 di cateti b e c e ipotenusa
a e facciamo questa costruzione geometrica:
In questa figura V1 , V2 , B1 , B2 è sempre il nostro triangolo messo in posizioni
diverse. Chiamiamo P la figura punteggiata in rosso. Osserviamo che P +V1 +B1
(per essere precisi, stiamo pensando alla somma delle aree di P , V1 e B1 ) coincide
con la somma (delle aree) dei due quadrati: il quadrato di lato b (in alto) e il
quadrato di lato c (in basso), come mostra la figura nella pagina seguente:
34
quindi
P + V1 + B1 = b2 + c2
Osserviamo anche che che P + V2 + B2 = a2 :
35
Poiché V1 = V2 e B1 = B2 , abbiamo che a2 = b2 + c2 , come volevamo
dimostrare.
Prima di esporre la scoperta sconvolgente dei Pitagorici, facciamo alcune
semplici osservazioni, di cui lasciamo la dimostrazione come esercizio:
Osservazione 8.
1. Il quadrato di un numero pari è un numero pari (esempio 62 = 36) (come si prova in generale?)
2. Il quadrato di un numero dispari è un numero dispari (esempio 92 = 81)
(come si prova in generale?)
3. Se ab è una frazione ridotta ai minimi termini e se a è pari, allora b è
dispari.
La scoperta sconvolgente
Consideriamo il rapporto tra la diagonale a di un quadrato e il suo lato b.
Se questi segmenti sono commensurabili, ci aspettiamo che ab sia una frazione
che possiamo supporre ridotta ai minimi termini.
Per il Teorema di Pitagora, abbiamo b2 + b2 = a2 cioè
2b2 = a2
Quindi nella nostra frazione ridotta ai minimi termini ab , il numero a è pari, dal
momento che il suo quadrato a2 = 2b2 è pari (cf. Osservazione 8, 2.) e quindi b
è dispari (cf. Osservazione 8, 3.)
Essendo a pari, sarà a = 2k, per qualche k ∈ N. Allora abbiamo
2b2 = a2 = (2k)2 = 4k 2
Dividendo per 2 otteniamo
b2 = 2k 2
36
Allora il quadrato di b è pari e b deve essere pari (cf. di nuovo Osservazione 8,
2.) Ma b non può essere contemporaneamente pari e dispari: assurdo!
La conclusione è che non è possibile trovare una lunghezza c (anche piccolissima) che entri un numero intero di volte nella diagonale a del quadrato e un
altro numero intero di volte nel lato b del quadrato. Quindi a e b sono due
lunghezze che non ammettono una lunghezza sottomultipla comune e si dicono
incommensurabili.
Nel caso particolare in cui il lato del quadratoÏ b = 1, la diagonale del
√
√
√
quadrato è a = 12 + 12 = 2, e il rapporto ab = 12 = 2 non è un numero
razionale, perché come abbiamo
visto non può essere rappresentato con una
√
frazione. Concludiamo che 2 è un numero non razionale cioè, come si dice, è
un numero irrazionale.
Vediamo un modo più moderno di dimostrare l’irrazionalità di
√
Proposizione 0.4. 2 non è un numero razionale.
√
2.
Dimostrazione. Sia per assurdo
√
2=
a
b
dove a e b sono numeri interi. Elevando al quadrato abbiamo
2=
a2
b2
e quindi
2b2 = a2
Il fattore 2 compare un numero dispari di volte in 2b2 (esattamente 2k + 1 volte,
se 2 compare k volte come fattore in b) e compare un numero pari di volte
in a2 (esattamente 2h volte, se 2 compare h volte come fattore in a). Questa
è una contraddizione con il teorema fondamentale dell’aritmetica e quindi la
proposizione è dimostrata.
La dimostrazione della Proposizione 0.4 si può generalizzare:
√
Esercizio 14.
1. Dimostrare che la radice quadrata n di ogni numero naturale n è un numero intero oppure un numero irrazionale.
√
Soluzione. Se n non è un numero intero, vogliamo dimostrare che non è
neanche un numero razionale. Supponiamo per assurdo che
√
n=
a
b
dove a e b sono numeri interi. Elevando al quadrato abbiamo
n=
a2
b2
e quindi
nb2 = a2
37
√
Visto che n non è un numero intero, nella fattorizzazione in numeri
primi di n compare di certo un primo p elevato a una potenza dispari.
Avremmo allora che il fattore p compare elevato a una potenza dispari
in nb2 (visto che in b2 il fattore p compare elevato a una potenza pari) e
compare elevato a una potenza pari in a2 . Questa è una
√ contraddizione
con il teorema fondamentale dell’aritmetica. Quindi n è un numero
irrazionale.
2. Stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali:
√
√
√
√
√
√
√
5 · 7 5 − 2, 3√22 + 1,
12,
12 · 33 .
7 2 − 5,
√
Soluzione. 7 2 − 5 è irrazionale (se fosse razionale, sommando 5 e dividendo per 7 avremmo ancora un numero razionale. Invece sappiamo che
√
2 non è razionale).
√
√
5 · 7 5 − 2 = 35 − 2 = 33 è razionale.
√
√2
3 2
√
√
+ 1 = 31 + 1 = 43 è razionale.
√
√
12 = 22 · 3 = 2 3 è irrazionale.
√
12 ·
3
3
=
√
2·( 3)2
3
= 2 è razionale.
3. Confrontare le seguenti coppie di numeri reali, stabilendo per ogni coppia
qual’è il minore. Elencarli poi tutti in ordine crescente:
√
√ 7
√ 9
5 3
2, ;
5,
, ;
7 10
5
4
√
3
, infatti elevando al quadrato (
Soluzione. 75 > 10
500 > 49 · 9.
√
49
.
2 > 75 , infatti elevando al quadrato 2 > 25
√
9
81
5 < 4 , infatti 5 < 16 .
√
5
7 )
=
5
49
>
9
100
perché
Ordiniamo ora questi sei numeri in ordine crescente:
√
√
√
5
3
7
<
2 < 5 < 49
10
7 < 5 <
Non tutti i numeri irrazionali sono delle radici quadrate di numeri interi.
Per esempio il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro
è il numero irrazionale π (pi greco), che ha un numero infinito di cifre decimali,
senza nessuna periodicità:
π = 3, 1415926 . . .
Lezione del 12 gennaio
Laboratorio sui numeri irrazionali
Abbiamo visto che esistono delle lunghezze tra loro incommensurabili.
√
√ Fissata un’unità di misura sulla retta, abbiamo visto che ad esempio 2 o 3 sono
delle lunghezze irrazionali, cioè non si possono rappresentare con delle frazioni
(rispetto all’unità di misura fissata).
In questo laboratorio abbiamo seguito i seguenti passi:
38
1. Fissata come
unità
di misura un metro, abbiamo costruito le lunghezze
√
√
2
3
irrazionali 2 e 2 .
2. Abbiamo riportato queste lunghezze su una striscia di cartone lunga un
metro.
3. Piegando numerose volte a metà la striscia di cartone abbiamo trovato dei
numeri razionali sempre più vicini alla lunghezza irrazionale fissata.
4. Abbiamo richiesto che questo procedimento di approssimazione per difetto
e per eccesso della lunghezza irrazionale finisse quando l’approssimazione
1
di metro, cioè 1 centimetro.
fosse diventata minore di 100
Andiamo ora a descrivere
più in dettaglio il laboratorio, cominciando dalla
√
prima lunghezza scelta: 22 .
Abbiamo disegnato sul pavimento un quadrato di lato un metro prendendo
la misura della
diagonale con lo spago. Questa misura è stata piegata a metà
√
2
ottenendo 2 , che è ancora un numero irrazionale ed è minore 1. Questo ci ha
permesso di poterla riportare su una striscia di cartone lunga un metro.
√
Abbiamo piegato a metà la striscia di cartone e abbiamo osservato che 22
si trovava tra 12 e 1.
Abbiamo piegato a metà la parte di cartone compresa tra 12 e 1 e abbiamo
√
osservato che 22 si trovava tra 12 e 12 + 14 = 43 .
Abbiamo piegato a metà la parte di cartone compresa tra 12 e 43 e abbiamo
√
osservato che 22 si trovava tra 12 + 81 = 58 e 34 .
Abbiamo piegato a metà la parte di cartone compresa tra 58 e 43 e abbiamo
√
1
3
= 11
osservato che 22 si trovava tra 58 + 16
16 e 4 .
11
e 34 e abbiamo
Abbiamo piegato a metà la parte di cartone compresa tra 16
√
3
1
23
osservato che 22 si trovava tra 11
16 e 4 − 32 = 32 .
23
Abbiamo piegato a metà la parte di cartone compresa tra 11
16 e 32 e abbiamo
√
1
45
23
osservato che 22 si trovava tra 11
16 + 64 = 64 e 32 .
45
Abbiamo piegato a metà la parte di cartone compresa tra 64
e 23
32 e abbiamo
√
2
45
23
1
91
osservato che 2 si trovava tra 64 e 32 − 128 = 128 .
91
A questo punto abbiamo osservato che la differenza tra 128
(approssimazione
√
√
2
45
90
1
per eccesso di 2 ) e 64 = 128 (approssimazione per difetto di 22 ) è 128
<
√
2
1
100 , quindi ci siamo fermate: di certo 2 , che si trova in mezzo a queste due
1
approssimazioni dista da entrambe per meno di 100
di metro, cioè per meno di
un centimetro, come volevamo.
Se era richiesta un’approssimazione migliore, il procedimento avrebbe potuto
continuare.
Tutte le diseguaglianze che abbiamo trovato sperimentalmente:
√
2
2 <1
√
2
1
3
2 < 2 < 4
√
2
5
3
8 < 2 < 4
√
2
11
3
16 < 2 < 4
√
2
11
23
16 < 2 < 32
1
2
<
39
45
64
45
64
√
<
<
2
2
√
2
2
<
<
23
32
91
128
possono essere verificate matematicamente. Per esempio per verificare che
√
11
2
3
<
<
16
2
4
basta elevare tutto al quadrato e verificare che
2
32
112
<
<
162
22
42
2
La prima diseguaglianza vale perché 11 · 22 = 484 < 162 · 2 = 512 e la
seconda vale perché 2 · 42 = 32 < 22 · 32 = 36.
In conclusione è stato possibile trovare delle frazioni (con denominatore
una
√
potenza di 2) che distano poco quanto vogliamo dal numero irrazionale 22 .
√
Vediamo un procedimento analogo per la seconda lunghezza irrazionale scelta:
3
2 .
Costruire questa lunghezza è leggermente più difficile (vedere per questo
il file word allegato a parte, scritto dalla studentessa Camilla Straccini). Il
procedimento, del tutto analogo al precedente porta alle seguenti diseguaglianze:
√
3
1
<
2
2 <1
√
3
3
4 < 2 <1
√
3
3
7
4 < 2 < 8
√
3
7
13
16 < 2 < 8
√
3
27
7
32 < 2 < 8
√
3
55
7
64 < 2 < 8
√
3
55
111
64 < 2 < 128
Anche in questo caso ci possiamo fermare qui perché le due approssimazioni,
1
1
per eccesso e per difetto differiscono per 128
< 100
. Anche in questo caso tutte le
diseguaglianze possono essere verificate matematicamente elevando al quadrato.
Terne pitagoriche
Con il Teorema di Pitagora, sapendo (la lunghezza de)i due cateti si può
calcolare (la lunghezza del)l’ipotenusa oppure sapendo l’ipotenusa e un cateto
si può calcolare l’altro cateto. Naturalmente non sempre queste lunghezze sono
numeri interi. Per esempio se i due cateti sono b = 2 e c = 3, l’ipotenusa sarà
quel numero a √
tale che a2 = 22 + 32 , cioè a2 = 13. Con notazioni
moderne
√
scriviamo a = 13 (siccome 32 = 9 e 42 = 16, questo a = 13 è un numero
compreso tra 3 e 4).
Ci sono però molti triangoli rettangoli particolarmente buoni, in cui i due
cateti e l’ipotenusa sono tutti dei numeri interi. Abbiamo già visto
a = 5, b = 3, c = 4 (infatti 52 = 32 + 42 )
Ma ce ne sono molti altri. Ad esempio:
a = 13, b = 5, c = 12 (infatti 132 = 52 + 122 )
a = 17, b = 8, c = 15 (infatti 172 = 82 + 152 )
Questo tipo di terne di numeri interi si chiamano terne pitagoriche.
40
Proposizione 0.5. Se (a, b, c) è una terna pitagorica e se k ∈ N, k 6= 0, allora
anche (ka, kb, kc) è una terna pitagorica.
Dimostrazione. Sappiamo per ipotesi che
a2 = b2 + c2
Vogliamo dimostrare che
(ka)2 = (kb)2 + (kc)2
Basta svolgere: a sinistra abbiamo
(ka)2 = k 2 a2
e a destra
(kb)2 + (kc)2 = k 2 b2 + k 2 c2 = k 2 (b2 + c2 )
Dal momento che a2 = b2 + c2 , moltiplicando questi due numeri uguali per k 2
abbiamo ancora numeri uguali.
Le terne pitagoriche primitive sono quelle che, con il metodo della Proposizione precedente, generano tutte le altre.
Esercizio 15. 1. Dimostrare che, comunque si sceglie un numero naturale
dispari m, allora
2
m +1
m2 − 1
, m,
2
2
è una terna pitagorica.
Soluzione. Vediamo prima un esempio. Se prendiamo m = 5, otteniamo
2
m2 +1
= 13 e m 2−1 = 12 ed in effetti (13, 5, 12) è una terna pitagorica perché
2
132 = 52 + 122
Per dimostrare che si ottiene una terna pitagorica per ogni scelta del numero
dispari m, basta verificare che
2
2
2
m −1
m2 + 1
= m2 +
2
2
sviluppando le due espressioni algebriche a sinistra e a destra del segno =.
2. Dimostrare che, comunque si sceglie un numero naturale pari m, allora
m 2
m 2
+ 1, m,
−1
2
2
è una terna pitagorica.
Soluzione. Vediamo prima un esempio. Se prendiamo m = 10, otteniamo
2
m 2
+ 1 = 26 e m
− 1 = 24 ed in effetti (26, 10, 24) è una terna pitagorica
2
2
perché
262 = 102 + 242
Per dimostrare che si ottiene una terna pitagorica per ogni scelta del numero
pari m, basta verificare che
2
2
m 2
m 2
2
+1 =m +
−1
2
2
sviluppando le due espressioni algebriche a sinistra e a destra del segno =.
41
L’ultimo Teorema di Fermat. Abbiamo visto che esistono infinite terne
di numeri interi (a, b, c) tali che a2 = b2 + c2 : sono le terne pitagoriche, che
abbiamo trattato.
Nel 1637 Pierre de Fermat scrisse, ai margini di una copia dell’Arithmetica
di Diofanto sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie: “non
esistono terne di numeri interi positivi (a, b, c) tali che a3 = b3 + c3 , anzi, più in
generale, non esistono terne di numeri interi positivi (a, b, c) tali che an = bn +cn ,
se n ∈ N, n ≥ 3. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema,
che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.
Nei secoli successivi diversi matematici hanno tentato di fornire una dimostrazione alla congettura di Fermat, e la ricerca di una sua dimostrazione
è stata all’origine dello sviluppo di importanti aree della matematica.
Solo nel 1994, dopo sette anni di dedizione completa al problema Andrew
Wiles, affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscı̀ a
dare finalmente una dimostrazione. Wiles utilizzò tuttavia elementi di matematica e algebra moderna che Fermat non poteva conoscere: la dimostrazione che
Fermat affermava di avere, se fosse stata corretta, era pertanto diversa. Probabilmente non era corretta. La soluzione di Wiles fu premiata con il Premio
Wolfskehl, consistente in una borsa di 50 000 dollari.
Lezione del 17 gennaio
Relazioni e relazioni di equivalenza
Una relazione su un insieme A è ben definita se per ogni coppia di elementi
dell’insieme possiamo dire se i due elementi della coppia sono o non sono in
relazione tra loro.
Una relazione d’equivalenza (indichiamola con ≡) è una relazione
• riflessiva ( a ≡ a)
• simmetrica ( a ≡ b ⇒ b ≡ a)
• transitiva ( a ≡ b, b ≡ c ⇒
a ≡ c)
comunque si scelgano gli elementi a, b, c del nostro insieme A.
Esempi. Consideriamo l’insieme A formato dalle persone che vivono a Roma.
Definiamo una relazione su A in questo modo
a è in relazione con b ⇔ a ama b
Si tratta di una relazione di equivalenza? Di certo NO. Pur ammettendo che
sia riflessiva (ognuno ama sé stesso), di certo non sempre è simmetrica ( se a
ama b non è detto che b ami a) e non è transitiva (se a ama b e b ama c non ne
segue che a ama c, anzi!).
Sullo stesso insieme A delle persone che vivono a Roma definiamo un’altra
relazione in questo modo
a è in relazione con b ⇔ a e b sono nati nello stesso anno
42
In questo caso la relazione è riflessiva (ognuno è nato nello stesso anno di
sé stesso), è simmetrica (se a è nato nello stesso anno di b allora b è nato nello
stesso anno di a), è transitiva (se a è nato nello stesso anno di b e se b è nato
nello stesso anno di c, allora a è nato nello stesso anno di c).
Quando abbiamo una relazione di equivalenza su un insieme A, per dire che
due elementi a e b sono tra loro in questa relazione di equivalenza possiamo
usare un simbolo, ad esempio come prima scrivere a ≡ b.
Quando abbiamo una relazione di equivalenza su un insieme A, allora gli
elementi di A si raggruppano in classi di equivalenza. La classe di equivalenza
di un elemento a ∈ A è formata da tutti gli elementi dell’insieme A che sono in
relazione con a:
{b ∈ A tali che a ≡ b}
Nell’esempio di sopra: abitanti di Roma con la relazione
a è in relazione con b ⇔ a e b sono nati nello stesso anno
avremo per esempio che la classe di equivalenza del nostro presidente Sergio
Mattarella è formata da tutti gli abitanti di Roma che sono nati, come lui, nel
1941.
Consideriamo l’insieme A formato dagli otto oggetti disegnati qui sotto:
Se consideriamo la relazione d’equivalenza
a è in relazione con b ⇔
a e b sono dello stesso colore
avremo tre classi di equivalenza: la classe gialla (che contiene una stella, un
cerchio e un triangolo), la classe rosa (che contiene due triangoli e un quadrato)
e la classe blu (che contiene un quadrato e un cerchio).
Se sullo stesso insieme consideriamo la relazione d’equivalenza
a è in relazione con b ⇔ a e b hanno la stessa forma
43
avremo quattro classi di equivalenza: la classe dei triangoli (che contiene i tre
triangoli), la classe dei quadrati (che contiene i due quadrati), la classe dei cerchi
(che contiene i due cerchi) e la classe della stella (che contiene la sola stella).
Proposta didattica Ogni bambino potrebbe creare una sua “carta d’identità”.
Ad esempio:
Mi chiamo NINA
Sono FEMMINA
Sono nata nel mese di NOVEMBRE
I miei occhi sono CASTANI
I miei capelli sono BIONDI
Il mio sport preferito è ARRAMPICATA
Create tutte le carte d’identità, la maestra dice ad esempio “capelli” oppure “mese di nascita” e i bambini si raggruppano nelle corrispondenti classi di
equivalenza. Questo gioco potrebbe avere variazioni, aggiungendo caratteri o
richiedendo per esempio non solo un’equivalenza per gli occhi, ma per occhi e
capelli. Naturalmente più sono i caratteri che si richiedono uguali e più le classi
di equivalenza sono formate da pochi bambini. Il caso limite è proprio quando si
richiedono tutti i caratteri elencati uguali. Ogni classe di equivalenza in questo
caso sarà formata da un unico bambino (è proprio il senso sociale della carta
d’identità).
Questo gioco può avere anche una valenza sociale, creando raggruppamenti
vari, per caratteri o interessi comuni, proprio come avviene nella società.
Passiamo ora ad esempi matematici.
Le congruenze tra numeri interi
Nell’insieme
Z = {· · · − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
dei numeri interi possiamo definire la relazione di equivalenza:
a è in relazione con b ⇔ a e b sono entrambi pari o entrambi dispari
(verificare che è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva, quindi è una
relazione di equivalenza)
Le classi di equivalenza rispetto a questa relazione sono due: la classe dei
numeri pari (che è rappresentata da un qualsiasi numero pari) e la classe dei
numeri dispari (che è rappresentata da un qualsiasi numero dispari). La classe
di equivalenza di un elemento si può indicare con una barra sopra l’elemento.
Cosı̀ in questo caso abbiamo:
2 = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . . }
dove il rappresentante 2 può essere sostituito con qualsiasi altro elemento della
classe, quindi per esempio:
2 = 0 = 6 = −10
e
1 = {. . . , −3, −1, 1, 3, 5, . . . }
44
dove anche per questa classe il rappresentante può essere cambiato. Per esempio:
1 = −1 = 3 = 5
Questa relazione su Z può essere definita anche cosı̀:
a è in relazione con b ⇔
2 divide (a − b)
Infatti 2 divide la differenza tra due numeri interi se e soltanto se i due
numeri sono entrambi pari o entrambi dispari:
Se
Se
Se
Se
a
a
a
a
è
è
è
è
pari e b è pari allora a − b è pari.
dispari e b è dispari allora a − b è pari.
pari e b è dispari allora a − b è dispari.
dispari e b è pari allora a − b è dispari.
Se a e b sono entrambi pari o entrambi dispari, cioè se 2 divide a − b, si dice
che a e b sono congruenti modulo 2 e si scrive
a ≡ b (mod 2)
Ad esempio
−7 ≡ 35
(mod 2)
perché 2 divide (−7 − 35) = −42.
Possiamo sostituire 2 con un altro numero intero positivo n e definire una
nuova relazione di equivalenza, la congruenza modulo n. Prendiamo ad esempio
n = 3 e definiamo:
a è in relazione con b ⇔
3 divide (a − b)
Se 3 divide (a − b) diciamo che a e b sono congruenti modulo 3 e scriviamo
a ≡ b (mod 3)
Pe esempio
2 ≡ −1
(mod 3)
perché 3 divide (2 + 1) = 3.
Anche questa è una relazione di equivalenza, infatti è
• riflessiva ( 3 divide a − a = 0)
• simmetrica (se 3 divide a − b, allora 3 divide b − a, che è il suo opposto)
• transitiva (se 3 divide a − b e 3 divide b − c, allora 3 divide la loro somma
che è a − c)
Le classi di equivalenza sono tre:
0 = {. . . , −3, 0, 3, 6, 9, . . . }
1 = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . . }
2 = {. . . , −4, −1, 2, 5, . . . }
45
Rappresentando i numeri interi sulla retta reale come nella figura qui sotto,
vediamo che nella classe di 0 ci sono tutti i numeri verdi, nella classe di 1 tutti
i numeri rossi e nella classe di 2 tutti i numeri celesti.
Lezione del 19 gennaio
Per fare ancora un esempio, prendendo n = 4, possiamo definire la congruenza modulo 4:
a ≡ b (mod 4) ⇔ 4 divide (a − b)
Rispetto alla relazione di equivalenza cosı̀ definita, ci sono quattro classi di
equivalenza: 0, 1, 2, 3.
Se avvolgiamo la retta reale in una spirale in cui un giro è lungo quattro le
classi di equivalenza ci appaiono in questo modo:
Nello stesso modo in cui abbiamo definito due numeri interi congruenti modulo 2, modulo 3 e modulo 4, fissato un qualsiasi intero positivo n, possiamo
definire la congruenza modulo n, ponendo:
46
a ≡ b (mod n) ⇔ n divide (a − b)
Esercizio 16. Il mese di gennaio 2017 è cominciato con domenica 1 gennaio. In
quali giorni capitano le altre domeniche del mese? Sono tutte date individuate
da numeri tra loro congrui modulo.... ?
Proposta didattica I bambini si dispongono in circolo. Supponiamo che
siano dieci bambini: A, B, C, D, E, F, G, H, I, L. La maestra estrae un numero
maggiore di 10, per esempio supponiamo che estragga 37, e comincia una conta
dal bambini A in senso orario. Possiamo prevedere il bambino che uscirà nella
conta?
Naturalmente variando il numero dei bambini il gioco pu diventare un po’
più difficile...
Data un’equivalenza su un insieme, l’insieme delle classi di equivalenza si
chiama in matematica l’insieme quoziente modulo la relazione di equivalenza
fissata.
Considerando su Z la congruenza modulo 3 abbiamo quindi l’insieme quoziente
{0, 1, 2}. Su questo insieme possiamo fare i conti considerando la somma e il
prodotto tra classi di congruenza modulo 3, infatti la cosa molto buona che
avviene è che il risultato non dipende dal rappresentante scelto per le classi.
Esempio 0.3. −2 ≡ 1 (mod 3) (−2 e 1 rappresentano la stessa classe modulo
3, classe 1)
5 ≡ 11 (mod 3) (5 e 11 rappresentano la stessa classe modulo 3, classe 2)
Se facciamo −2 + 5 = 3 oppure 1 + 11 = 12, il risultato è lo stesso come
classe, infatti
3 ≡ 12 (mod 3) (3 e 12 rappresentano la stessa classe modulo 3, classe 0)
Se facciamo −2 · 5 = −10 oppure 1 · 11 = 11, il risultato è lo stesso come
classe, infatti
−10 ≡ 11 (mod 3) (−10 e 11 rappresentano la stessa classe modulo 3, classe 2)
Questo avviene sempre. Infatti possiamo dimostrare:
Proposizione 0.6. Se a1 ≡ a2 (mod 3) e se b1 ≡ b2 (mod 3), allora
a1 + b1 ≡ a2 + b2
(mod 3)
e
a1 · b1 ≡ a2 · b2
(mod 3)
Dimostrazione. Per ipotesi 3 divide a1 − a2 e 3 divide b1 − b2 . Quindi 3 divide la
loro somma, che è a1 −a2 +b1 −b2 = (a1 +b1 )−(a2 +b2 ) e quindi a1 +b1 ≡ a2 +b2
(mod 3).
Per il prodotto: usiamo di nuovo l’ipotesi 3 divide a1 − a2 e 3 divide b1 − b2 .
Allora 3 divide
(a1 − a2 )b2 + a1 (b1 − b2 ) = a1 b2 − a2 b2 + a1 b1 − a1 b2 = a1 b1 − a2 b2
quindi a1 b1 ≡ a2 b2 (mod 3)
47
Quindi, tornando all’esempio precedente, possiamo affermare che (per le
classi di congruenza mod 3) si ha:
1+2=0
e
1·2=2
Questo avviene sempre anche considerando le congruenze modulo un qualsiasi numero positivo n
Proposizione 0.7. Sia n ∈ N, n > 0.
Se a1 ≡ a2 (mod n) e se b1 ≡ b2 (mod n), allora
a1 + b1 ≡ a2 + b2
(mod n)
e
a1 · b1 ≡ a2 · b2
(mod n)
Dimostrazione. E’ identica a quella della Proposizione 0.6, sostituendo 3 con
n.
Quindi, come abbiamo fatto per le classi di congruenza modulo 3, possiamo
sommare e moltiplicare senza ambiguità due classi di congruenza modulo un
qualsiasi intero positivo fissato n. Più precisamente:
Dato un intero positivo n, si può ben definire la somma e il prodotto di due
classi di congruenza modulo n in questo modo:
a+b=a+b
a·b=a·b
Criteri di divisibilità
Vediamo adesso a che cosa sono congrue modulo 3 le potenze di 10:
100 = 1 ≡ 1 (mod 3)
10 ≡ 1 (mod 3)
(infatti 3 divide 9)
102 ≡ 1 (mod 3)
(infatti 3 divide 99 oppure: per la Proposizione 0.6, 10 · 10 ≡ 1 · 1 (mod 3))
103 ≡ 1 (mod 3)
(infatti per la Proposizione 0.6, 103 = 10 · 10 · 10 ≡ 1 · 1 · 1 = 1 (mod 3))
104 ≡ 1 (mod 3)
(infatti per la Proposizione 0.6, 104 = 10 · 103 ≡ 1 · 1 = 1 (mod 3))
...
10n ≡ 1 (mod 3), per ogni n ≥ 0
Ci chiediamo:
Il numero 23572 è divisibile per 3? Cioè
23572 ≡ 0 (mod 3)? Cioè
2 · 104 + 3 · 103 + 5 · 102 + 7 · 10 + 2 ≡ 0 (mod 3)?
48
In base alle Proposizione 0.6, possiamo sostituire alle potenze di 10 il numero
1, che come abbiamo visto è congruo a quasiasi potenza positiva di 10 modulo
3. Quindi l’ultima domanda è come chiedere:
2 · 1 + 3 · 1 + 5 · 1 + 7 · 1 + 2 ≡ 0 (mod 3)? cioè
3 divide 2 + 3 + 5 + 7 + 2 = 19?
La risposta è no. Quindi il numero 23572 non è divisibile per 3.
Quello che abbiamo visto in questo esempio vale in generale: sostituendo a
un numero intero la somma delle sue cifre otteniamo un numero congruente a
quello di partenza modulo 3. Quindi:
Critero di divisibilità per 3 Un numero intero è divisibile per 3 se e
soltanto se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
Per trovare un criterio di divisibilità per 4, studiamo le potenze di 10 modulo
4:
100 = 1 ≡ 1 (mod 4)
10 ≡ 2 (mod 4)
(infatti 4 divide 10 − 2 = 8)
102 ≡ 0 (mod 4)
(infatti 4 divide 102 = 100)
103 ≡ 0 (mod 4)
(infatti per la Proposizione 0.7, 103 = 10 · 102 ≡ 1 · 0 = 0 (mod 4))
104 ≡ 0 (mod 4)
(infatti per la Proposizione 0.7, 104 = 10 · 103 ≡ 1 · 0 = 0 (mod 4))
...
10n ≡ 0 (mod 4), per ogni n ≥ 3
Ci chiediamo:
Il numero 23572 è divisibile per 4? Cioè
23572 ≡ 0 (mod 4)? Cioè
2 · 104 + 3 · 103 + 5 · 102 + 7 · 10 + 2 ≡ 0 (mod 4)?
In base alle Proposizione 0.7, possiamo sostituire a 102 , 103 , 104 il numero
0, che come abbiamo visto è congruo a quelle potenze di 10 modulo 4. Quindi
l’ultima domanda è come chiedere:
2 · 0 + 3 · 0 + 5 · 0 + 7 · 10 + 2 ≡ 0 (mod 4)? cioè
72 ≡ 0 (mod 4)? cioè
4 divide 72?
La risposta è sı̀: 72 = 4 · 18. Quindi il numero 23572 è divisibile per 4.
Quello che abbiamo visto in questo esempio vale in generale: sostituendo
a un numero intero il numero formato dalle sue ultime due cifre otteniamo un
numero congruente a quello di partenza modulo 4. Quindi:
49
Critero di divisibilità per 4 Un numero intero è divisibile per 4 se e
soltanto se il numero formato dalle sue ultime due cifre è divisibile per 4.
Esercizio 17.
1. Provare a dare un criterio di divisibilità per 11.
2. Spiegare perché funziona la prova del nove.
3. Scrivere le tabelline dell’addizione e della moltiplicazione per le classi di
congruenza modulo 3 (calcolare cioè i risultati di tutte le possibili somme
e prodotti di due classi di congruenza modulo 3: {0, 1, 2}).
Lezione del 24 gennaio
Per trovare un criterio di divisibilità per 11, studiamo le potenze di 10 modulo
11:
100 = 1 ≡ 1 (mod 11)
10 ≡ −1 (mod 11)
102 ≡ 1 (mod 11)
103 ≡ −1 (mod 11)
(infatti per la Proposizione 0.7, 103 = 10 · 102 ≡ (−1) · 1 = −1 (mod 11))
104 ≡ 1 (mod 11)
(infatti per la Proposizione 0.7, 104 = 102 · 102 ≡ 1 · 1 = 1 (mod 11))
...
Le potenze pari di 10 sono congrue a 1 modulo 11 e le potenze dispari di 10
sono congrue a −1 modulo 11.
Ci chiediamo:
Il numero 23572 è divisibile per 11? Cioè
23572 ≡ 0 (mod 11)? Cioè
2 · 104 + 3 · 103 + 5 · 102 + 7 · 10 + 2 ≡ 0 (mod 11)?
In base alle Proposizione 0.7, possiamo sostituire a 104 , 102 , 100 il numero 1,
che come abbiamo visto è congruo a quelle potenze di 10 modulo 11 e a 103 , 10
il numero −1, che come abbiamo visto è congruo a quelle potenze di 10 modulo
11. Quindi l’ultima domanda è come chiedere:
2 · 1 + 3 · (−1) + 5 · 1 + 7 · (−1) + 2 ≡ 0 (mod 11)? cioè
2 − 3 + 5 − 7 + 2 = −1 ≡ 0 (mod 11)? cioè
11 divide −1?
La risposta è no. Quindi il numero 23572 non è divisibile per 11.
Se invece prendevamo per esempio 51524, ottenevamo che questo numero è
divisibile per 11 perché 11 divide 5 − 1 + 5 − 2 + 4 = 11.
Quello che abbiamo visto in questo esempio vale in generale: sostituendo a
un numero intero il numero formato dalla somma delle sue cifre con segno alterno
otteniamo un numero congruente a quello di partenza modulo 11. Quindi:
50
Critero di divisibilità per 11. Un numero intero è divisibile per 11 se e
soltanto se il numero formato dalla somma delle sue cifre con segno alterno è
divisibile per 11.
Prova del nove. La prova del nove si insegna a volte nella scuola primaria
per verificare la moltiplicazione tra due numeri, ma può essere estesa anche alle
altre operazioni.
Esempio: vogliamo verificare che la moltiplicazione seguente ha un risultato
corretto:
32501 × 786 = 25545786
Il primo passo è quello di sommare tutte le cifre di ogni fattore e del risultato,
fino ad ottenere un valore ad una sola cifra. Nel caso in cui dalla prima somma
si ottenga un valore a più cifre si ripete la procedura fino ad averne una sola.
Nell’esempio abbiamo:
Il primo fattore: 32501 → 3 + 2 + 5 + 0 + 1 = 11 → 1 + 1 = 2
Il secondo fattore: 786 → 7 + 8 + 6 = 21 → 2 + 1 = 3
Il risultato: 25545786 → 2 + 5 + 5 + 4 + 5 + 7 + 8 + 6 = 42 → 4 + 2 = 6
Il secondo passo è quello di moltiplicare le due cifre ottenute dai due fattori
ed eventualmente sommare le cifre del risultato se questo ha più di una cifra
(nell’esempio 2 × 3 = 6) e confrontare la cifra ottenuta con quella venuta fuori
dal risultato (nell’esempio anche questa è 6).
• Se le due cifre sono diverse allora il risultato è senz’altro errato.
• Se le due cifre sono uguali allora il risultato può essere corretto. E’
possibile che ci sia un “falso positivo”, è possibile cioè che il risultato
dell’operazione sia comunque errato nonostante l’esito positivo della prova
(nell’esempio di sopra: se ad esempio invertiamo l’ordine delle cifre del
risultato, la prova del nove dà esito positivo, ma il risultato è errato).
Perché la prova del nove funziona? Perché sostituendo a un numero la somma
delle sue cifre, otteniamo un numero congruente a quello di partenza modulo 9.
Infatti le potenze di 10 sono tutte congrue a 1 modulo 9:
100 = 1 ≡ 1 (mod 9)
10 ≡ 1 (mod 9)
102 ≡ 1 (mod 9)
103 ≡ 1 (mod 9)
(infatti per la Proposizione 0.7, 103 = 10 · 10 · 10 ≡ 1 · 1 · 1 = 1 (mod 9))
104 ≡ 1 (mod 9)
(infatti per la Proposizione 0.7, 104 = 10 · 103 ≡ 1 · 1 = 1 (mod 9))
...
10n ≡ 1 (mod 9), per ogni n ≥ 0
Per esempio
786 = 7 · 102 + 8 · 10 + 6 ≡ 7 + 8 + 6 = 21
51
(mod 9)
21 = 2 · 10 + 1 ≡ 2 + 1 = 3
(mod 9)
da cui (la congruenza modulo 9 è una relazione di equivalenza, quindi è transitiva) si ha
786 ≡ 3 (mod 9)
Anziché il 9 potevamo usare il 3 e fare una “prova del 3” (come abbiamo
visto tutte le potenze di 10 sono congrue a 1 sia modulo 9 che modulo 3), ma
in questo caso era più probabile ottenere nella prova un falso positivo.
Ecco qui sotto la tabellina dell’addizione modulo 3. I risultati delle somme
sono scritti in nero (tutti i numeri della tabella indicano una classe modulo 3,
quindi dovrebbero avere una barra sopra, che per motivi tipografici non è stata
messa):
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Ecco qui sotto la tabellina della moltiplicazione modulo 3. I risultati delle
somme sono scritti in nero (tutti i numeri della tabella indicano una classe
modulo 3, quindi dovrebbero avere una barra sopra, che per motivi tipografici
non è stata messa):
·
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
Ecco qui sotto la tabellina dell’addizione modulo 5. I risultati delle somme
sono scritti in nero (tutti i numeri della tabella indicano una classe modulo 5,
quindi dovrebbero avere una barra sopra, che per motivi tipografici non è stata
messa):
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Ecco qui sottola tabellina della moltiplicazione modulo 5. I risultati delle
somme sono scritti in nero (tutti i numeri della tabella indicano una classe
modulo 5, quindi dovrebbero avere una barra sopra, che per motivi tipografici
non è stata messa):
52
·
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Proviamo adesso a calcolare le quinte potenze delle classi di congruenza
modulo 5:
0̄5 = 0̄, 1̄5 = 1̄
2̄5 = 2̄ · 2̄ · 2̄ · 2̄ · 2̄ = 4̄ · 2̄ · 2̄ · 2̄ = 3̄ · 2̄ · 2̄ = 1̄ · 2̄ = 2̄
3̄5 = 3̄ · 3̄ · 3̄ · 3̄ · 3̄ = 4̄ · 3̄ · 3̄ · 3̄ = 2̄ · 3̄ · 3̄ = 1̄ · 3̄ = 3̄
4̄5 = 4̄ · 4̄ · 4̄ · 4̄ · 4̄ = 1̄ · 4̄ · 4̄ · 4̄ = 4̄ · 4̄ · 4̄ = 1̄ · 4̄ = 4̄
In questo caso la quinta potenza di ogni classe è la classe stessa.
Prendiamo al posto di 5 un altro numero primo, per esempio 7 e andiamo a
calcolare le settime potenze delle classi di congruenza modulo 7:
0̄7 = 0̄, 1̄7 = 1̄
2̄7 = 2̄· 2̄· 2̄· 2̄· 2̄· 2̄· 2̄ = 4̄· 2̄· 2̄· 2̄· 2̄· 2̄ = 1· 2̄· 2̄· 2̄· 2̄ = 2̄· 2̄· 2̄· 2̄ = 4̄· 2̄· 2̄ = 1̄· 2̄ = 2̄
Forse anche in questo caso viene sempre ā7 = ā, per ogni classe di congruenza
modulo 7?
Invece di fare i conti possiamo fare un ragionamento. Per esempio per fare
vedere che 5̄7 = 5̄, mi basterebbe far vedere che 5̄6 = 1̄, cioè che
56 ≡ 1
(mod 7)
Potremmo ragionare cosı̀:
Consideriamo i numeri 1 · 5, 2 · 5, 3 · 5, 4 · 5, 5 · 5, 6 · 5. Nessuno di questi è
multiplo di 7 e neanche la differenza tra due qualsiasi di questi numeri è multipla
di 7. Quindi i sei risultati rappresentano proprio le sei classi di congruenza non
nulle modulo 7. Lo possiamo anche verificare direttamente:
1·5≡5
2·5≡3
3·5≡1
4·5≡6
5·5≡4
6·5≡2
(mod
(mod
(mod
(mod
(mod
(mod
7)
7)
7)
7)
7)
7)
Quindi il loro prodotto è congruo (modulo 7) a 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6, scriviamolo:
(1 · 5)(2 · 5)(3 · 5)(4 · 5)(5 · 5)(6 · 5) = (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6)56 ≡ 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
(mod 7)
Se due numeri sono congrui modulo 7, allora 7 divide la loro differenza.
Chiamando K il numero (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6), possiamo dire che 7 divide:
K · 56 − K = K · (56 − 1)
53
Ma il fattore primo 7 non è un fattore di K, quindi sarà un fattore di 56 − 1,
cioè divide 56 − 1. Allora
56 ≡ 1 (mod 7)
che è proprio quello che volevamo.
Questo ragionamento può essere esteso anche alle altre settime potenze delle
classi di congruenza modulo 7, ma non solo. Possiamo usarlo per dimostrare il
seguente:
Piccolo Teorema di Fermat. Se p è un numero primo, allora
ap ≡ a
(mod p)
per ogni numero intero a.
Dimostrazione. Se prendiamo come numero intero a un multiplo di p, l’enunciato
del teorema si verifica subito, perché a ≡ 0 (mod p) e anche ap ≡ 0 (mod p).
Se a non è un multiplo di p, basta far vedere che
ap−1 ≡ 1
(mod p)
Infatti basterà moltiplicare a destra e a sinistra per a per ottenere ap ≡ a
(mod p).
Consideriamo, come abbiamo fatto nel caso particolare p = 7, i numeri
1 · a, 2 · a, 3 · a, . . . , (p − 1) · a. Nessuno di questi è multiplo di p e neanche la
differenza tra due qualsiasi di questi numeri è multipla di p. Quindi i p − 1
risultati rappresentano proprio le p − 1 classi di congruenza non nulle modulo p.
Quindi il loro prodotto è congruo (modulo p) a 1·2·3·. . .·(p−1), scriviamolo:
(1·a)(2·a)(3·a)·. . .·((p−1)·a) = (1·2·3·. . .·(p−1))ap−1 ≡ 1 · 2 · 3 · . . . · (p − 1)
(mod p)
Se due numeri sono congrui modulo p, allora p divide la loro differenza.
Chiamando K il numero (1 · 2 · 3 · . . . · (p − 1)), possiamo dire che p divide:
K · ap−1 − K = K · (ap−1 − 1)
Ma il fattore primo p non è un fattore di K, quindi sarà un fattore di
(ap−1 − 1), cioè divide (ap−1 − 1). Allora
ap−1 ≡ 1
(mod p)
che è proprio quello che volevamo.
Lezione del 26 gennaio
Si è parlato dell’Infinito in matematica. Per questo tema si rimanda al
file “INFINITO”, caricato su elearning. Vi segnalo anche un breve articolo di
carattere storico del Prof. Bernardi:
http://www.asimmetrie.it/una-tentazione-affascinante
Martedı̀ 31 gennaio (ultima lezione) sarà dedicato a esercizi, ripasso, raccolta
del lavoro dei due gruppi. Una lista di esercizi proposti sarà caricata sul sito a
fine settimana.
54