LA LEZIONE
Propagazione delle onde in un mezzo omogeneo e isotropo. Onde armoniche
progressive.
La luce, le onde radio, il suono, sono esempi di onde nello spazio che si propagano in
tutte le direzioni e nello stesso modo, a causa delle proprietà del mezzo (omogeneità e
isotropia). Anche ipotizzando (per un tempo breve) che l’energia dell’onda sferica non
subisca attenuazioni (dovute al mezzo), per questioni puramente geometriche
(aumento della superficie interessata dall’onda) il flusso di energia si ridurrà
rapidamente in funzione del quadrato della distanza della sorgente. Nel caso di un’onda
circolare che si genera su una superficie (come nel caso di onde sull’acqua) il flusso
dell’energia decrescerà come l’inverso della distanza. Per un’onda ideale in una
dimensione (lungo, ad esempio una corda), trascurando gli effetti del mezzo, l’energia
si propagherà mantenendo costante il valore iniziale. Ritornando all’esempio di un'onda
radio (diciamo televisiva) emessa da un’antenna è chiaro il motivo (convogliare le
informazioni con dissipazione minima) che porta a trasformare, nel punto di ricezione,
l’onda sferica o piana in un’onda a una dimensione che viaggia all’interno del cavo
coassiale schermato (il filo di rame centrale dell’antenna). Noi qui parleremo, per
semplicità, essenzialmente di onde unidimensionali. La loro idealizzazione avviene
attraverso l’introduzione di onde ”elementari” che si propagano lungo la direzione x con
velocità vf. L’onda armonica ha una lunghezza d’onda caratteristica l e una frequenza f
tali che lf= vf. L’equazione dell’onda armonica è A=Amax sen[2p(l-1x-ft)], con A
ampiezza dell’onda1. Il quadrato dell’ampiezza è proporzionale all’energia associata
all’onda armonica. Le caratteristiche di idealità dell’onda sono evidenti. Se si
rappresenta l’onda al tempo t=0 essa non è limitata spazialmente ed è caratterizzata
da un solo valore della lunghezza d’onda.
Così dal punto di vista temporale (se poniamo x=0) la sinusoide non è limitata nel
tempo ed ha una sola frequenza. In altre parole un’onda armonica non è localizzata
nello spazio e nel tempo e per essa valgono principi di incertezza classici (come
abbiamo accennato a esempio nelle lezioni di acustica) sia spaziali che temporali.
Il pacchetto di onde. Velocità di fase e velocità di gruppo.
Sovrapponendo (sommando algebricamente) moltissime onde armoniche (ognuna con
grandezze caratteristiche diverse) si può ottenere un’onda limitata spazialmente: un
pacchetto di onde.2
1
Si può utilizzare in modo equivalente la funzione coseno.
2
Molti autori preferiscono al termine pacchetto di onde, pacchetto d’onda.
Per capire le proprietà dell’insieme delle armoniche, limitiamoci per ora alla somma di
due sole onde monocromatiche con uguale ampiezza. Nel caso del suono l’interferenza,
se le frequenze sono molto vicine, produce il fenomeno dei battimenti.
Le due armoniche soddisfano alle equazioni:
A1=Amax sen[2p(l-1x-f1t)] e A2=Amax sen[2p(l2-1x-f2t)]. Utilizzando la formula di
prostaferesi sena+senb=2sen[½(a+b)]cos[½(a-b)] si può esprimere la somma delle
due ampiezze come:
A=A1+A2= Amax sen[2p(l-1x-f1t)]+ Amax sen[2p(l2-1x-f2t)]=
2Amax cos{p(l-1- l2-1)x-(f1-f2)t)]} sen{p (l-1+ l2-1)x-(f1+f2)t)]}.
L’onda risultante ha una nuova lunghezza d’onda che soddisfa la relazione:
l-1= ½l-1+ l2-1) e una frequenza f pari alla semisomma di f1 e f2 (la media delle
frequenze delle armoniche). L’ampiezza massima dipende dal tempo secondo una
funzione coseno, quindi, anche fissando un valore per x, è modulata, varia
regolarmente nel tempo con una frequenza pari alla semidifferenza tra le frequenze
iniziali.
Si può qui distinguere una velocità di fase, ricavabile dal termine seno, propria
dell’onda:
vf=lf=l1l2(l1+ l2)-1(f1+f2)
e la velocità con cui viaggia l’ampiezza dell’onda (e quindi l’energia) detta velocità di
gruppo vg (ricavabile dal termine coseno):
vg= l1l2(l2- l1)-1(f1-f2).
I due valori della velocità di fase e della velocità di gruppo coincidono se l1f1= l2f2
ovvero se tutte le velocità di fase sono uguali. In questo caso il mezzo non discrimina
le diverse onde armoniche, mentre in mezzi dispersivi i due valori possono essere
diversi. Ritornando al caso del suono i battimenti sono prodotti da due diapason di
frequenza leggermente diversa, le due note musicali viaggiano nell’aria alla stessa
velocità che non dipende dalla frequenza. I battimenti sono percepiti da tutti gli uditori,
indipendentemente dalla posizione, sempre allo stesso modo. Mentre nel caso della
dispersione ottica: il passaggio di luce bianca (composta da moltissime onde
monocromatiche) attraverso un prisma comporta la separazione delle componenti
colorate proprio per la diversa velocità di fase delle onde all’interno del vetro. Il viola si
disperde più del rosso proprio perché la velocità aumenta con la lunghezza d’onda (nel
caso di velocità tutte uguali il raggio di luce non subirebbe una rifrazione, una maggiore
deviazione comporta una velocità inferiore)3.
Per concludere questa parte ricordiamo che anche una particella (libera) dal punto di
vista della meccanica quantistica è descritta da un pacchetto di onde (un insieme di
onde armoniche ciascuna con una propria frequenza f o energia E, e una quantità di
moto p o lunghezza d’onda l). Per la particella quantistica di massa m la velocità di
gruppo deve coincidere con la velocità della particella v, mentre la velocità di fase è la
metà della velocità della particella: vf= l f=v/2. Come è facile dimostrare ricordando
l’espressione di Planck E=hf, quella di de Broglie l h/p e l’espressione per l’energia
cinetica E=p2/2m.
Onde marine
La descrizione della propagazione delle onde sulla superficie marina utilizza
principalmente due schematizzazioni. La prima è quella di acque profonde. Se la
lunghezza d’onda è piccola rispetto alla profondità del fondale, il mezzo risulta
dispersivo4 e la velocità di fase è funzione della lunghezza d’onda. In tal caso viaggiano
più velocemente le onde con maggiore lunghezza d’onda. 5
La forma dell’onda varia a causa delle diverse velocità delle componenti dell’onda.
Il secondo caso limite è quello delle acque basse, per le quali è piccolo il rapporto
profondità lunghezza d’onda. Allora tutte le onde armoniche viaggiano alla stessa
velocità (proporzionale alla radice quadrata della profondità) e la forma risultante
dell’onda, se la profondità non cambia, è sempre la stessa.
Se si analizza una singola onda provocata da un movimento tellurico sottomarino (in
realtà un terremoto provoca una serie di onde che a grande distanza dall’epicentro
presentano una serie di picchi e valli, il primo dei quali non è necessariamente il più
intenso), si nota che il trasporto dell’energia avviene su distanze dell’ordine del migliaio
di kilometri. Inizialmente l’altezza dell’onda è modesta (dell’ordine del metro) e la sua
velocità è elevata 800 km/h (le normali onde oceaniche provocate dal vento hanno
velocità di 90 km/h e periodo dell’ordine della decina di secondi, lunghezza d’onda 100200 metri). In prossimità della terra emersa la velocità dell’impulso, che per semplicità
si suppone a forma di campana, diminuisce e l’altezza dell’onda aumenta.
Gli tsunami (onde del porto) riflettono il principio di conservazione dell’energia. L’onda,
non potendo più trasportare energia su uno spazio molto ampio (a causa della
pendenza del fondo marino in prossimità della spiaggia), concentra l’energia in un
3
4
Sulla dispersione torneremo nella prossima lezione.
La relazione di dispersione in acque profonde tra frequenza e lunghezza d’onda è la seguente f 2=(g/2pl)
con g accelerazione di gravità.
5
La velocità di fase è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza d’onda. La velocità di gruppo è la
metà della velocità di fase.
volume limitato con un abnorme aumento dell’altezza, anche considerando la
dissipazione dovuta alle turbolenze dell’acqua col fondale marino.
Vediamo lo stesso problema dal punto di vista della velocità di fase. Le onde anomale
sulla superficie oceanica, causate dal terremoto, possono essere considerate come la
sovrapposizione di un insieme di onde armoniche. I periodi variano tra 10 minuti e le
due ore. Le lunghezze d’onda possono superare i 500 kilometri. Per un terremoto che si
è verificato a 5 km di profondità moltissime componenti delle onde sono comunque
onde in acque basse. Per tutte queste la velocità di fase è uguale alla velocità di
gruppo. Indicando con h la profondità del fondale e g l’accelerazione di gravità:
vf=vg=(gh)½. Al diminuire della profondità del fondo marino la velocità di ogni singola
armonica decresce, ma continua a valere l’espressione: vf=lf .
Nella figura che segue sono riportati alcuni valori della velocità con il variare della
profondità. Nella stessa figura si rappresenta il movimento locale dell’acqua durante il
passaggio dell’onda a diverse altezze. Il moto sotto la superficie si trasforma da
circolare a ellittico, via via più schiacciato, fino a diventare, in prossimità del fondo,
rettilineo.
Osservando un treno d’onde, fissando il punto di massima ampiezza dell’onda, dove è
concentrata l’energia, si inizia a notare una sorta di riduzione della distanza tra le
creste.
Le creste davanti al treno d’onde rallentano prima di quelle che seguono. I picchi si
infittiscono e il primo tende a salire a causa di un effetto domino in cui l’energia viene
concentrata quasi totalmente sul picco. Non solo, a bassissime profondità, per
opportuni valori, la base dell’onda viaggia ora con una velocità inferiore a quella del
picco, si produce così la caratteristica forma dell’onda (il mezzo è dispersivo) che
s’infrange, con impeto distruttivo, sulla costa. Un muro d’acqua alto trenta metri che si
inoltra per centinaia di metri nell’entroterra. Non più un’onda (trasporto di energia),
ma un flusso di materia dovuto alla discontinuità del passaggio acqua-spiaggia.
