7 Onde elettromagnetiche

7 Onde elettromagnetiche
Sperimentalmente si osserva che l’esitenza di una sorgente di campo elettromagnetico localizzata in una definita regione di spazio e attivata in un determinato istante di tempo,
è rilevabile in un altro punto dello spazio solo dopo un intervallo di tempo finito e non
nullo. Questo significa che se in un punto dello spazio ad un certo istante si verifica una
perturbazione sulle sorgenti di campo, l’effetto risultante in altri punti dello spazio non
è avvertito istantaneamente ma dopo un intervallo di tempo proporzionale alla distanza tra i due punti. Tale fenomeno di propagazione elettromagnetica, cioé l’evoluzione
nello spazio e nel tempo del solo campo elettrico E e del solo campo magnetico B, può
essere descritto teoricamente utilizzando le equazioni di Maxwell. In particolare, la propagazione delle onde elettromagnetiche è una caratteristica fondamentale che distingue i
fenomeni elettrodinamici da quelli elettrostatici e magnetostatici. Infatti, in elettrostatica e magnetostatica è possibile utilizzare il concetto di campo per descrivere e calcolare
l’azione a distanza ma istantanea tra le cariche e correnti elettriche. In elettrodinamica,
invece, l’azione delle cariche e delle correnti elettriche genera campi che variano nello
spazio e nel tempo i quali giustificano l’esistenza delle onde elettromagnetiche.
La propagazione delle onde elettromagnetiche è governata da equazioni simili a quelle
che descrivono la propagazione di un’onda acustica o di un’onda elastica trasversale,
con la differenza che essa si propaga anche nel vuoto senza il supporto di alcun mezzo
materiale. Infatti, dopo una serie di esperimenti focalizzati a dimostrare l’esistenza di un
mezzo particolare detto etere, si dovette accettare il fatto che i fenomeni elettromagnetici
si propagano come se esistesse un mezzo materiale anche se esso in realtà non esiste; ciò
che si propaga è solamente il campo elettromagnetico. Si scoprı̀ inoltre che la velocità di
propagazione dell’onda elettromagnetica nel vuoto è pari a quella della luce e ciò permise
l’interpretazione unitaria di due fenomeni considerati distinti.
Come è noto le soluzioni delle equazioni di Maxwell dipendono sia dalla natura del
mezzo sia dalla distribuzione spaziale delle sorgenti. In presenza di sorgenti, il problema
della propagazione delle onde elettromagnetiche è in generale un problema non omogeneo
in quanto riconducibile alla risoluzione di una equazione differenziale alle derivate parziali in cui è presente il termine noto. Nel caso in cui non ci sono sorgenti, la propagazione
elettromagnetica è un problema di tipo omogeneo in quanto l’equazione differenziale che
ne deriva è priva del termine noto. In particolare, il problema omogeneo consente di
valutare gli effetti del mezzo sulla propagazione dell’onda elettromagnetica. Inolte, tale
problema consente di calcolare tutte le configurazioni di campo elettromagnetico soluzioni dell’equazione differenziale a prescindere dalla natura fisica delle sorgenti necessarie
per il sostentamento di tali onde. Pertanto, da un punto di vista puramente matematico l’obiettivo della risoluzione del problema omogeneo è quello di ricavare un insieme
115
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
116
completo di soluzioni tramite le quali è possibile rappresentare qualunque soluzione che
soddisfa delle assegnate condizioni al contorno.
7.1 Propagazione delle onde elettromagnetiche
Si consideri una regione di spazio sede di un mezzo lineare, isotropo e non dispersivo. In
queste ipotesi, le equazioni da considerare sono
∂B
∂t
∂D
∇×H=J+
+ J0
∂t
∇·D = ρ
∇×E=−
(7.1a)
(7.1b)
(7.1c)
∇·B = 0
(7.1d)
J = σE
(7.1e)
B = µH
(7.1f)
D = ϵE
(7.1g)
dove σ, µ e ϵ sono rispettivamente la conducibilità elettrica, la permeabilità magnetica
e la permittività elettrica. Applicando l’operatore rotazionale ad ambo i membri della
(7.1a) si ha
)
(
∂H
∇ × ∇ × E = ∇∇ · E − ∇2 E = −∇ × µ
∂t
Se il mezzo è anche omogeneo, applicando il teorema dell’inversione dell’ordine delle
derivate di ricava
∂
∇∇ · E − ∇2 E = −µ (∇ × H)
∂t
da cui, inserendo la (7.1b), si ottiene
(
)
∂D
∂J0
∂
2
J+
−µ
∇∇ · E − ∇ E = −µ
∂t
∂t
∂t
Inserendo inoltre la (7.1g) nella (7.1c) si ottiene
∇·E =
ρ
ϵ
che sostituita nell’equazione precedente fornisce
∇2 E − µσ
∂2E
∇ρ
∂J0
∂E
− µϵ 2 =
+µ
∂t
∂t
ϵ
∂t
Nell’ulteriore ipotesi di assenza di cariche libere (ρ = 0) e di densità di corrente di
eccitazione (J0 = 0) si ricava
∇2 E − µσ
Ing. Luciano Mescia
∂E
∂2E
− µϵ 2 = 0
∂t
∂t
(7.2)
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
117
la quale nel caso particolare di assenza di perdite di conduzione si trasforma nell’equazione di D’Alembert
∂2E
∇2 E − µϵ 2 = 0
(7.3)
∂t
Partendo invece dalla (7.1b) e procedendo analogamente a quanto fatto in precedenza si
ottiene
∂H
∂2H
∇2 H − µσ
− µϵ 2 = −∇ × J0
∂t
∂t
che nell’ipotesi di assenza di una densità di corrente di eccitazione si trasforma in
∇2 H − µσ
∂H
∂2H
− µϵ 2 = 0
∂t
∂t
(7.4)
e per un mezzo senza perdite di conduzione si trasforma in
∇2 H − µϵ
∂2H
=0
∂t2
(7.5)
Ognuna delle equazioni (7.2)–(7.5), che ha come argomento il campo vettoriale B o
E, riassume tre equazioni differenziali delle tre componenti scalari del campo. Infatti,
considerando il sistema di coordinate cartesiane si ha nel caso generale
∂ 2 Ej
∂ 2 Ej
∂ 2 Ej
∂ 2 Ej
∂Ej
= 0 j = x, y, z
+
+
−
µϵ
− µσ
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂t
∂t
∂ 2 Bj
∂ 2 Bj
∂ 2 Bj
∂ 2 Bj
∂Bj
= 0 j = x, y, z
+
+
−
µϵ
− µσ
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂t
∂t
(7.6)
(7.7)
Di conseguenza, si ha un sistema di sei equazioni differenziali alle derivate parziali formalmente identiche ed indipendenti tra loro. Ciò significa che ciascuna componente
del campo evolve nello spazio e nel tempo indipendentemente dall’evoluzione delle altre
componenti. Nonostante tutto, i campi E e B sono direttamente collegati tra loro e l’esistenza di certe componenti di E implica l’esistenza di altre componenti di B. Infatti, le
equazioni (7.6)–(7.7), che sono del secondo ordine, non sono equivalenti alle equazioni di
Maxwell (7.1a)–(7.1d), che invece sono del primo ordine, in quanto ammettono soluzioni
non solenoidali. Ciò deriva dal fatto che esse sono state ottenute applicando l’operatore
rotazionale sulle equazioni di partenza. Tali soluzioni, dette spurie, possono però essere
eliminate imponendo le condizioni sulla divergenza del campo elettromagnetico.
Le più semplici soluzioni delle (7.6)–(7.7) sono quelle in cui i ampi E e B dipendono
solo da una coordinata spaziale e la coordinata temporale. Supponendo ad esempio che
il campo elettromagnetico sia costante sul piano (x, y) si ha in tutti i punti dello spazio
e in ogni istante
E = E (z, t) = Ex (z, t) x̂ + Ey (z, t) ŷ + Ez (z, t) ẑ
B = B (z, t) = Bx (z, t) x̂ + By (z, t) ŷ + Bz (z, t) ẑ
e
Ing. Luciano Mescia
∂E
∂B
∂B
∂E
=
=
=
=0
∂x
∂y
∂x
∂y
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
118
Di conseguenza le (7.6)–(7.7) diventano
∂ 2 Ej
∂ 2 Ej
∂Ej
=0
−
µϵ
− µσ
2
2
∂z
∂t
∂t
∂ 2 Bj
∂ 2 Bj
∂Bj
−
µϵ
− µσ
=0
2
2
∂z
∂t
∂t
j = x, y, z
(7.8)
j = x, y, z
(7.9)
Imponendo le condizioni sulla divergenza del campo elettromagnetico si ha
∂Ex ∂Ey
∂Ez
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂Bx ∂By
∂Bz
∇·B =
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∇·E =
da cui
∂Ez
=0
∂z
∂Bz
=0
∂z
(7.10)
(7.11)
Dalle (7.10)–(7.11) se ne deduce che le componenti Ez e Bz , oltre ad essere costanti
sul piano (x, y), sono anche costanti lungo la coordinata z. Nell’imporre la dipendenza
solo da z e t ne deriva un’importante conseguenza delle equazioni di Maxwell. Infatti,
osservando che
x̂ ŷ
ẑ x̂
ŷ
ẑ ∂E
0
1 = ẑ ×
∇ × E = 0 0 ∂/∂z = 0
∂z
Ex Ey
Ez ∂Ex /∂z ∂Ey /∂z ∂Ez /∂z x̂
ŷ
ẑ x̂
ŷ
ẑ = ẑ × ∂H
0 ∂/∂z = 0
0
1
∇×H= 0
∂z
Hx Hy Hz ∂Hx /∂z ∂Hy /∂z ∂Hz /∂z le equazioni di Maxwell (7.1a)–(7.1b) si trasformano come
∂E
∂H
= −µ
∂z
∂t
∂H
∂E
ẑ ×
=ϵ
+ σE
∂z
∂t
ẑ ×
(7.12)
(7.13)
Distinguendo per ogni vettore di campo la componente trasversale Et , Ht da quella
longitudinale Ez , Hz si ha
E = Et + Ez ẑ
H = Ht + Hz ẑ
Ing. Luciano Mescia
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
119
e sostituendo in (7.12)–(7.13) si ricava
∂Ez
∂Ht
∂Hz
∂Et
+ ẑ × ẑ
= −µ
−µ
ẑ
∂z
∂z
∂t
∂t
)
(
∂Ht
∂Hz
∂Et
∂Ez
ẑ ×
+ ẑ × ẑ
=ϵ
+ σEt + ϵ
+ σEz ẑ
∂z
∂z
∂t
∂t
ẑ ×
da cui
∂Et
∂Ht
∂Hz
= −µ
−µ
ẑ
∂z
∂t
∂t
)
(
∂Ht
∂Et
∂Ez
ẑ ×
=ϵ
+ σEt + ϵ
+ σEz ẑ
∂z
∂t
∂t
ẑ ×
Osservando inoltre che i vettori a primo membro delle equazioni ricavate giacciono sul
piano trasverso si ottiene in definitiva
∂Et
∂z
∂Ht
ẑ ×
∂z
∂Bz
∂t
∂Ez
σ
+ Ez
∂t
ϵ
ẑ ×
∂Ht
∂t
∂Et
=ϵ
+ σEt
∂t
= −µ
(7.14)
(7.15)
=0
(7.16)
=0
(7.17)
A questo punto, per determinare le proprietà delle onde elettromagnetiche è opportuno
analizzare separatamente il mezzo senza perdite e quello con perdite
7.1.1 Mezzo senza perdite
Per il mezzo senza perdite (σ = 0) si ha, dalle (7.16)–(7.18)
∂Ez
=0
∂t
∂Bz
=0
∂t
(7.18)
(7.19)
e cioè che le componenti Ez e Bz sono costanti anche rispetto alla coordinata temporale.
Di conseguenza, le componenti longitudinali del campo elettromagnetico sono costanti in
tutto lo spazio e per ogni istante di tempo e quindi rappresentano soluzioni statiche che
non interessano ai fini della propagazione elettromagnetica. In definitiva, la soluzione
dell’equazione delle onde cercata ha, in ogni punto dello spazio e in ogni istante, un campo
elettromagnetico (E, B) che giace sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione
dell’onda. In altre parole, le soluzioni vettoriali del problema sono trasverse rispetto alla
direzione di propagazione.
Ing. Luciano Mescia
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
120
In virtù del risultato ottenuto, il sistema (7.8)–(7.9) delle equazioni differenziali relative
alle componenti del campo elettromagnetico si semplifica in
∂ 2 Ej
1 ∂ 2 Ej
−
= 0 j = x, y
∂z 2
c2 ∂t2
∂ 2 Bj
1 ∂ 2 Bj
−
= 0 j = x, y
∂z 2
c2 ∂t2
(7.20)
(7.21)
√
dove c = 1/ µϵ è la velocità della luce nel mezzo preso in esame.
L’equazione differenziale che individua il comportamento di ogni singola componente
del campo elettromagnetico è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine nella
generica forma
1 ∂2f
∂2f
−
=0
(7.22)
∂z 2
c2 ∂t2
L’equazione (7.22) è detta equazione di D’Alember t o equazione unidemensionale delle
onde. Per calcolare l’integrale generale della (7.22), si consideri una generica funzione
f (ξ) tale che
ξ = z ± ct
La derivata prima di f (z, t) fatta rispetto al tempo è
∂f ∂ξ
∂f
∂f
=
= ±c
∂t
∂ξ ∂t
∂ξ
da cui segue l’identità formale
∂
∂
≡ ±c
∂t
∂ξ
Di conseguenza, la derivata seconda di f (z, t) fatta rispetto al tempo è
(
)
(
)
∂2f
∂
∂f
∂
∂f
∂2f
=
±c
=
±c
±c
= c2 2
2
∂t
∂t
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
Inoltre, la derivata prima di f (z, t) fatta rispetto alla coordinata z è
∂f
∂f ∂ξ
∂f
=
=
∂z
∂ξ ∂z
∂ξ
da cui segue l’identità formale
∂
∂
≡
∂z
∂ξ
Di conseguenza, la derivata seconda di f (x, t) fatta rispetto alla coordinata z è
( )
∂2f
∂ ∂f
∂2f
=
=
∂z 2
∂z ∂ξ
∂ξ 2
Sostituendo quindi quanto ottenuto a proposito della derivata seconda di f (z, t) fatta
sia rispetto al tempo sia rispetto allo spazio nella (7.22), si osserva che essa è sempre
verificata per ogni funzione f (x ± ct).
Ing. Luciano Mescia
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
121
Considerando invece le relazioni
ξ1 = z − ct
ξ2 = z + ct
si ricava
ξ1 + ξ2
2
ξ2 − ξ1
t = t (ξ1 , ξ2 ) =
2c
z = z (ξ1 , ξ2 ) =
da cui si ottiene
f (z, t) = f [z (ξ1 , ξ2 ) , t (ξ1 , ξ2 )] = g (ξ1 , ξ2 )
Ma
∂f ∂z
∂f ∂t
1 ∂f
∂g
1 ∂f
=
+
=
−
∂ξ1
∂z ∂ξ1
∂t ∂ξ1
2 ∂z
2c ∂t
e
(
)
∂ ∂g
∂
1 ∂f
1 ∂f
∂2g
=
=
−
∂ξ1 ∂ξ2
∂ξ2 ∂ξ1
∂ξ2 2 ∂z
2c ∂t
(
)
(
)
∂ 1 ∂f
1 ∂f ∂z
∂ 1 ∂f
1 ∂f ∂t
=
−
+
−
∂z 2 ∂z
2c ∂t ∂ξ2 ∂t 2 ∂z
2c ∂t ∂ξ2
( 2
)
(
)
2
2
2
1 ∂ f
1 1 ∂ f
1 ∂ f
1 ∂ f
=
+
−
−
4 ∂z 2
c ∂z∂t
4 c ∂z∂t c2 ∂t2
(
)
1 ∂2f
1 ∂2f
=
− 2 2
4 ∂z 2
c ∂t
da cui, in virtù della (7.22), si ottiene
∂2g
=0
∂ξ1 ∂ξ2
(7.23)
Di conseguenza, la (7.23) è una nuova forma dell’equazione delle onde la cui soluzione
generale è
g (ξ1 , ξ2 ) = f (z, t) = a1 f1 (ξ1 ) + a2 f1 (ξ2 )
= a1 f1 (z − ct) + a2 f2 (z + ct)
(7.24)
dove f1 e f2 sono funzioni arbitrarie mentre a1 e a2 sono costanti arbitrarie. Si ipotizzi
che all’istante t = t1 la funzione f1 abbia l’andamento riportato in figura 7.1. Per ogni
istante di tempo t2 > t1 si ha
z − ct1 = z − ct1 + ct2 − ct2 = z + c(t2 − t1 ) − ct2
Ing. Luciano Mescia
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
122
f1(x-ct)
t=t1
t=t2
x2
x1
x
Figura 7.1: Evoluzione spazio-temporale della funzione f1 (x − ct).
da cui si osserva che l’argomento di f1 è lo stesso in t1 e t2 purchè i rispettivi valori della
coordinata x differiscano della quantita ∆x = c (t2 − t1 ). Infatti dovendo essere
f1 (z1 − ct1 ) = f1 (z2 − ct2 )
di deve verificare che
z1 − ct1 = (z1 + ∆z) − c (t1 + ∆t)
e cioè ∆z = c∆t. Di conseguenza, all’istante t2 il grafico della funzione f1 ha la stessa
forma di quello relativo all’istante t1 traslato della quantità ∆z = c (t2 − t1 ). In altre
parole, i valori che f1 assume nei vari punti all’istante t1 si trasferiscono, durante l’intervallo di tempo ∆t, nel verso positivo dell’asse z con una velocità c = ∆z/∆t. Le stesse
considerazioni possono farsi per la funzione f2 (z + ct) con la differenza che la traslazione
avviene nel senso delle z decrescenti.
Le equazioni (7.8)–(7.9) sono ovviamente indipendenti tra loro. Pertanto, potrebbe
essere lecito immaginare un’onda elettromagnetica che abbia solo una componente del
campo diversa da zero. In realtà, tale ipotesi non è possibile perchè è necessario considerare i vincoli imposti dalle equazioni di Maxwell. Infatti, proiettando le equazioni di
Maxwell (7.1a)–(7.1b) sugli assi x e y si ha
∂Ey
∂Ez
∂Bx
−
=−
∂y
∂z
∂t
∂By
∂Ez
∂Ex
(∇ × E) · ŷ = −
+
=−
∂x
∂z
∂t
∂By
1 ∂Ex
∂Bz
−
= 2
(∇ × B) · x̂ =
∂y
∂z
c ∂t
∂Bz
∂Bx
1 ∂Ey
(∇ × B) · ŷ = −
+
= 2
∂x
∂z
c ∂t
(∇ × E) · x̂ =
Ing. Luciano Mescia
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
123
da cui
∂Ey
∂Bx
=
(7.25a)
∂z
∂t
∂By
∂Ex
=−
(7.25b)
∂z
∂t
∂By
1 ∂Ex
=− 2
(7.25c)
∂z
c ∂t
∂Bx
1 ∂Ey
= 2
(7.25d)
∂z
c ∂t
Dalle (7.25a)–(7.25d) si osserva che l’esistenza di una particolare componente del campo
elettrico implica l’esistenza di una componente del campo magnetico.
Sfruttando la linearità delle equazioni di Maxwell, si ha che la sovrapposizione di due
onde piane che si propagano in una direzione da luogo ad una nuova onda piana che
si propaga nella stessa direzione. Quindi, una qualunque onda piana che si propaga ad
esempio lungo l’asse z, può essere intesa come la sovrapposizione di due onde piane, di
cui la prima ha il campo elettrico diretto lungo x e il campo magnetico diretto lungo y, la
seconda il campo elettrico diretto lungo y e il campo magnetico diretto lungo x. Considerando la prima onda piana, dovendo ciascuna componete del campo elettromagnetico
soddisfare l’equazione di D’Alembert, si ha
Ex (z, t) = f1 (z − ct) + f2 (z + ct)
(7.26)
By (z, t) = f3 (z − ct) + f4 (z + ct)
(7.27)
dove f1 , f2 , f3 , f4 sono funzioni arbitrarie. Osservando che
∂Ex
∂z
∂By
∂z
∂By
∂t
∂Ex
∂t
∂f1
∂ (z − ct)
∂ (z − ct)
∂z
∂f3
∂ (z − ct)
=
∂ (z − ct)
∂z
∂f3
∂ (z − ct)
=
∂ (z − ct)
∂t
∂f1
∂ (z − ct)
=
∂ (z − ct)
∂t
=
∂f2
∂ (z + ct)
∂ (z + ct)
∂z
∂f4
∂ (z + ct)
+
∂ (z + ct)
∂z
∂f4
∂ (z + ct)
+
∂ (z + ct)
∂t
∂f2
∂ (z + ct)
+
∂ (z + ct)
∂t
+
∂f1 ∂f2
+
∂ξ1
∂ξ2
∂f3 ∂f4
=
+
∂ξ1
∂ξ2
∂f3
∂f4
= −c
+c
∂ξ1
∂ξ2
∂f1
∂f2
= −c
+c
∂ξ1
∂ξ2
=
e sostituendo quanto ottenuto nella (7.25b)–(7.25c), si ricava
∂f1 ∂f2
∂f3
∂f4
+
=c
−c
∂ξ1
∂ξ2
∂ξ1
∂ξ2
∂f3 ∂f4
1 ∂f1 1 ∂f2
+
=
−
∂ξ1
∂ξ2
c ∂ξ1
c ∂ξ2
da cui
∂f3
1 ∂f1
=
∂ξ1
c ∂ξ1
∂f4
1 ∂f2
=−
∂ξ2
c ∂ξ2
Ing. Luciano Mescia
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
124
e quindi
1
f3 = f1 + A
c
1
f4 = − f2 + B
c
Le costanti di integrazione A e B indicano che può essere presente un campo diverso
da z. Esso però non fa parte parte del moto dell’onda e di conseguenza le due costanti
di integrazioni possono essere poste uguali a zero. Sostituendo quanto ottenuto nelle
(7.26)–(7.27) si ottiene in definitiva
Ex (z, t) = f1 (z − ct) + f2 (z + ct)
1
1
By (z, t) = f1 (z − ct) − f2 (z + ct)
c
c
(7.28)
(7.29)
Ragionando in modo analogo per la seconda onda piana avente Ey e Bx si ottiene
Ey (z, t) = F1 (z − ct) + F2 (z + ct)
1
1
Bx (z, t) = − F1 (z − ct) + F2 (z + ct)
c
c
(7.30)
(7.31)
dove F1 , F2 , F3 , F4 sono funzioni arbitrarie. Le (7.28)–(7.29) e (7.30)–(7.31) rappresentano l’onda piana più generale che si propaga lungo l’asse z. In particolare, si può osservare
che essa è costituita da un onda progressiva (le funzioni con argomento z − ct) e da un
onda regressiva (le funzioni con argomento z + ct).
Considerando la sola onda progressiva le sue componenti di campo sono
Ex (z, t) = f1 (z − ct)
(7.32a)
Ey (z, t) = F1 (z − ct)
1
Bx (z, t) = − F1 (z − ct)
c
1
By (z, t) = f1 (z − ct)
c
(7.32b)
(7.32c)
(7.32d)
e considerando il prodotto scalare
1
1
E · B = Ex Bx + Ey By = − f1 F1 + f1 F1 = 0
c
c
si verifica che i campi E e B sono ortogonali tra loro e alla direzione di propagazione
dell’onda. Considerando invece il prodotto vettoriale
x̂
ŷ
ẑ
)
1( 2
E×B = Ex Ey 0 = (Ex By − Ey Bx ) ẑ =
f1 + F12 ẑ
c
Bx By 0
=
Ing. Luciano Mescia
)
(
)
1( 2
Ex + E2y ẑ = c B2x + B2y ẑ
c
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
125
Si vede quindi che i vettori E, B e ẑ formano una terna destrorsa. In particolare, noti
E, B, la direzione e verso di propagazione dell’onda sono determinati seguendo la regola
del cavatappi. Si osservi inoltre che
√ (
√
√
)
(7.33)
|E| = E2x + E2y = c2 B2x + B2y = c B2x + B2y = c|B|
Per l’onda regressiva le componenti del campo sono
Ex (z, t) = f2 (z − ct)
(7.34a)
Ey (z, t) = F2 (z − ct)
1
Bx (z, t) = F2 (z − ct)
c
1
By (z, t) = − f2 (z − ct)
c
(7.34b)
(7.34c)
(7.34d)
per le quali valgono le stesse osservazioni fatte a proposito dell’onda progressiva.
In definitiva per un’onda caratterizzata da un campo elettromagnetico i cui vettori
dipendono solo da una coordinata spaziale e dal tempo, valgono le seguenti proprietà
• le componenti del campo elettromagnetico giacciono sul piano perpendicolare alla
direzione di propagazione;
• il campo elettrico E e il campo magnetico B sono perpendicolari tra loro e alla
direzione di propagazione dell’onda;
• il E, il B e il vettore che individua l’asse di propagazione formano una terna
destrorsa.
7.1.2 Mezzo con perdite
Per il mezzo con perdite (σ ̸= 0) la soluzione della (7.18) è
Ez = Ez0 exp{(−t/τ )}
dove Ez0 è la componente longitudinale per t = 0 e τ = σ/ϵ è il tempo di rilassamento.
Se la conducibilità elettrica assume valori finiti la componente longitudinale del campo
elettrico E tende a zero per t → ∞. Di conseguenza, a differenza del mezzo con perdite,
si ha che solo la componente longitudinale del campo magnetico assume valore costante
in tutto lo spazio e in ogni istante di tempo.
Per questo tipo di problema elettromagnetico le equazioni da risolvere sono
∂ 2 Ej
∂ 2 Ej
∂Ej
−
µϵ
− µσ
= 0 j = x, y
2
2
∂z
∂t
∂t
∂ 2 Bj
∂Bj
∂ 2 Bj
−
µϵ
− µσ
= 0 j = x, y
2
2
∂z
∂t
∂t
Ing. Luciano Mescia
(7.35)
(7.36)
7.1. Propagazione delle onde elettromagnetiche
126
Applicando il metodo della separazione delle variabili, una soluzione particolare della
(7.35) è esprimibile come
Ej = Z(z)T(t)
(7.37)
Sostituendo si ha
d2 Z
d2 T
dT
=
ϵµZ
+ σµZ
dz 2
dt2
dt
e dividendo ambo i membri per ZT si ottiene
T
1 d2 Z
1 d2 T
1 dT
=
ϵµ
+ σµ
2
2
Z dz
T dt
T dt
(7.38)
Essendo il primo membro una funzione solo di z e il secondo membro una funzione solo
di t l’ugualianza è verificata solo se entrambi i membri sono uguali ad una costante −k 2 .
Di conseguenza, la (7.38) può essere divisa nelle due equazioni differenziali
1 d2 Z
= −k 2
Z dz 2
1 d2 T
1 dT
ϵµ
+ σµ
= −k 2
2
T dt
T dt
La soluzione della (7.39) è
Z(z) = Aejkz + Be−jkz
(7.39)
(7.40)
(7.41)
dove A e B sono costanti complesse. Per risolvere la (7.40), si consideri una soluzione
del tipo
T(t) = Ce−pt
(7.42)
Sostituendo (7.42) in (7.40) si ricava l’equazione caratteristica che lega p alla costante
k2
k2
σ
=0
(7.43)
p2 − p +
ϵ
µϵ
Pertanto, la soluzione della (7.35) è
Ex = E1x ejkz−pt + E2x e−jkz−pt
Ey = E1y ejkz−pt + E2y e−jkz−pt
da cui
Et = E1t ejkz−pt + E2t e−jkz−pt
(7.44)
con E1t e E2t costanti complesse. Procedendo in modo analogo per l’equazione (7.36) si
ottiene invece
Ht = H1t ejkz−pt + H2t e−jkz−pt
(7.45)
Sostituendo (7.44)–(7.45) in (7.14) si ricava
(
)
ẑ × jkE1t ejkz−pt − jkE2t e−jkz−pt = µp H1t ejkz−pt + µp H2t e−jkz−pt
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
da cui
127
(jkẑ × E1t − µp H1t ) ejkz−pt − (jkẑ × E2t + µp H2t ) e−jkz−pt = 0
e affinchè questa ugualianza sia soddisfatta per ogni z e t è necessario che i coefficienti
di entrambe le funzioni esponenziali siano nulli
jk
ẑ × E1t
µp
jk
H2t = − ẑ × E2t
µp
H1t =
(7.46)
(7.47)
da cui si ricava immediatamente
jk
ẑ · E1t × E1t = 0
µp
jk
E2t · H2t = − ẑ · E2t × E2t = 0
µp
E1t · H1t =
(7.48)
(7.49)
cioè le componenti trasversali del campo elettromagnetico associato alle onde progressive
e regressive sono ortogonali tra loro. Si osservi che nel caso in cui σ = 0 (mezzo senza
perdite) si ha p = jck e di conseguenza
Et = E1t ejk(z−ct) + E2t e−jk(z+ct)
Ht = H1t ejk(z−ct) + H2t e−jk(z+ct)
che è in accordo con quanto ricavato in precedenza a proposito dei mezzi senza perdite.
7.2 Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
Nell’ipotesi che il campo elettromagnetico sia di tipo sinusoidale è preferibile riformulare
il problema elettromagnetico della propagazione delle onde nel dominio della frequenza.
In particolare, utilizzando le regole di corrispondenza tra le operazioni relative ai campi
n ↔ (jω)n A,
e
sinusoidali e quelle dei rispettivi fasori, in particolare la regola ∂ n A/∂t
l’equazione (7.2) diventa
∇2 E − jωµσE + ω 2 µϵE = 0
e cioé
∇2 E + ω 2 µϵc E = 0
(7.50)
e in modo analogo la (7.4) diventa
∇2 H + ω 2 µϵc H = 0
(7.51)
(
σ)
(7.52)
ϵc = ϵ′ − j ϵ′′ +
ω
è la permittività complessa. Le equazioni (7.50)–(7.51) sono dette rispettivamente equazioni di Helmholtz vettoriali per il campo elettrico e il campo magnetico. Esse raccolgono
dove
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
128
in un’unica equazione le tre equazioni di Helmholtz scalari scritte per le componenti dei
vettori del campo elettromagnetico.
Posto k 2 = ω 2 µϵc e considerando l’equazione (7.50), e in particolare quella per le
componenti scalari
∇2 Ej + k 2 Ej = 0 j = x, y, z
(7.53)
vediamo se essa ammette soluzioni particolari ricavabili con il metodo della separazione
delle variabili. A tale scopo, considerando una soluzione del tipo
Ej = X(x)Y (y)Z(z)
(7.54)
e sostituendola nella (7.50) si ricava
YZ
d2 Y
d2 Z
d2 X
+
XZ
+
XY
+ k 2 XY Z = 0
dx2
dy 2
dz 2
Supponendo XY Z ̸= 0 e dividendo ambo i membri per tale termine si ottiene
1 d2 X
1 d2 Y
1 d2 Z
+
+
= −k 2
2
2
X dx
Y dy
Z dz 2
Si osservi che il secondo membro è una costante, mentre il primo membro è costituito da
tre addendi ognuno dei quali è funzione di una sola coordinata. Di conseguenza, affinchè
l’equazione sia soddisfatta è necessario che ogni addendo sia costante e cioé
1 d2 X
= −kx2
X dx2
1 d2 Y
= −ky2
Y dy 2
1 d2 Z
= −kz2
Z dz 2
dove kx , ky , kz sono tre costanti complesse, dette di separazione, scelte in modo tale che
sia soddisfatta la relazione
kx2 + ky2 + kz2 = k 2
(7.55)
dove k è il numero d’onda. Le equazioni ottenute sono equazioni differenziali ordinarie
di tipo armonico aventi i seguenti integrali generali
X = A1 e−jkx x + A2 ejkx x
Y = B1 e−jky y + B2 ejky y
Z = C1 e−jkz z + C2 ejkz z
Le funzioni complesse trovate sono rappresentative del campo vero e proprio. Considerando ad esempio la funzione X(t), il passaggio nel dominio del tempo da luogo alla
funzione
{(
)
}
e = Re A1 e−jkx x + A2 ejkx x ejωt = A1 cos (ωt − kx x) + A2 cos (ωt + kx x)
X
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
129
Di conseguenza, i primi addendi di ogni funzione X, Y e Z corrispondono a soluzioni
che si propagano nel verso positivo del relativo asse coordinato, i secondi addendi a
soluzioni che si propagano nel verso negativo del relativo asse coordinato. Nell’ulteriore
ipotesi di assenza di ostacoli, essendo assenti le onde riflesse, si possono considerare solo
le soluzioni che corrispondono alla propagazione nel verso positivo di tutti e tre gli assi
coordinati. In questo caso, la soluzione complessiva relativa alla generica componente
del campo elettrico è data dal prodotto delle tre soluzioni trovate e quindi
Ej (x, y, z) = A1 A2 A3 e−jkx x e−jky y e−jkz z = E0j e−j(kx x+kz z+kz z)
dove E0j = A1 A2 A3 è una costante arbitraria. In definitiva, esprimendo il risultato
ottenuto in forma vettoriale si ottiene che una soluzione particolare dell’equazione di
Helmholtz vettoriale può essere espressa nella forma
E = E0 e−j(kx x+ky y+kz z)
(7.56)
dove E0 = Ex x̂+Ey ŷ+Ez ẑ è un vettore costante. Introducendo inoltre il vettore d’onda
k
k = kx x̂ + ky ŷ + kz ẑ
(7.57)
e il vettore posizione
r = xx̂ + yŷ + zẑ
(7.58)
è possibile esprimere la (7.56) nella forma più compatta
E = E0 e−jk · r
(7.59)
Il vettore E0 non è completamente arbitrario in quanto deve soddisfare anche l’equazione di Maxwell della divergenza. In particolare, essendo assenti le sorgenti di campo
elettromagnetico si avrà
(
)
∇ · E = e−jk · r ∇ · E0 + E0 · ∇ e−jk · r = −jk · E0 e−jk · r = 0
da cui
k · E0 = k · E = 0
e cioé
kx Ex + ky Ey + kz Ez = 0
(7.60)
Di conseguenza, cosiderando le equazioni (7.55) e (7.60), se che solo due delle componenti
del vettore E0 sono indipendenti. Per determinare l’espressione del campo magnetico si
può invece partire dall’equazione di Maxwell
∇ × E = −jωµH
e ricavare
H=−
(
)
] jk × E e−jk · r
∇×E
1 [ −jk · r
0
=−
e
∇ × E0 + ∇ e−jk · r × E0 =
jωµ
jωµ
jωµ
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
130
e quindi
k×E
ωµ
H=
(7.61)
Nel caso in cui k = k k̂ (onda piana uniforme) la (7.61) può essere scritta come
√
√
ω µϵc
ϵc
k
H=
k̂ × E =
k̂ × E =
k̂ × E
ωµ
ωµ
µ
e cioé
H=
1
k̂ × E
η
(7.62)
dove è stata definita l’impedenza caratteristica del mezzo tramite la relazione
√
η=
µ
ϵc
(7.63)
che nel vuoto µ = µ0 = e ϵc = ϵ0 vale circa 377 Ω.
Moltiplicando vettorialmente ambo i membri della (7.63) per k̂ si ricava
√
√
ω µϵc
ϵc
k
1
k̂ × H =
k̂ × k̂ × E =
k̂ × k̂ × E =
k̂ × k̂ × E = k̂ × k̂ × E
ωµ
ωµ
µ
η
da cui
η=
k̂ × E × k̂
H × k̂
(7.64)
cioè l’impedenza d’onda vista dal campo elttromagnetico nella direzione definita da k̂
è il rapporto tra il componente del campo elettrico e magnetico appartenenti al piano
ortogonale a k̂.
Si osservi che un campo descritto dalle equazioni (7.59) e (7.61) non soddisfa in generale le condizioni di Sommerfeld. Infatti, all’infinito né il campo elettrico né il campo
magnetico si annullano e pertanto si può affermare che un’onda piana non soddisfa il
teorema di unicità. In ogni caso, anche se tali soluzioni prese singolarmente non sono fisicamente realizzabili, possono nel loro insieme essere utilizzate come ‘base’ per esprimere
campi soddisfacenti condizioni fisiche rigorose.
Dalla (7.61) si ha anche
k · (k × E)
=0
k·H =
ωµ
e
k × (k × E)
(k · E) k − (k · k) E
−k 2 E
k×H=
=
=
= −ωϵc E
(7.65)
ωµ
ωµ
ωµ
cioè
E=−
Ing. Luciano Mescia
k×H
ωϵc
(7.66)
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
131
e nel caso di onde piane uniformi
E = −η k̂ × H
(7.67)
Riassumendo, il campo elettromagnetico definito dalle (7.59) e (7.61) è una soluzione
particolare dell’equazione di Helmholtz solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
k · k = k2
(7.68)
k·E = 0
(7.69)
k·H = 0
(7.70)
cioé i campi E e H sono rappresentati da vettori perpendicolari tra loro ed entrambi
sono perpendicolari alla direzione individuata dal vettore di propagazione k. Onde
elettromagnetiche aventi queste caratteristiche sono dette onde trasverse o TEM lungo
la direzione del vettore k.
Considerando l’espressione del vettore di Poynting, per questo tipo di onda si avrà
(
)∗
1
1
1
1
∗
S= E×H = E×
k×E =
E × (k∗ × E∗ )
2
2
ωµ
2ωµ∗
Si consideri la proprietà del doppio prodotto vettoriale
A × (B × C) = B × (A × C) + C × (B × A) = B (A · C) − C (A · B)
che applicata al caso E × (k∗ × E∗ ) fornisce la relazione
E × (k∗ × E∗ ) = k∗ × (E × E∗ ) + E∗ × (k∗ × E)
Applicando nuovamente la proprietà vettoriale a E∗ × (k∗ × E) si ottiene
E∗ × (k∗ × E) = k∗ (E · E∗ ) − E (E∗ · k∗ ) = k∗ |E|2 − E (E · k)∗
ed essendo dalla (7.70) k · E = 0 segue
E∗ × (k∗ × E) = k∗ |E|2
Di conseguenza, sostituendo quanto ottenuto, si ricava
E × (k∗ × E∗ ) = k∗ × (E∗ × E) + k∗ |E|2
e perciò il vettore di Poynting vale
S=
]
1 [ ∗
2
∗
∗
k
×
(E
×
E
)
+
k
|E|
2ωµ∗
Osservando che il campo elettrico E è un vettore complesso, esso può essere scritto come
E = Er + jEi , dove Er e Ei sono rispettivamente la parte reale e immaginaria. Di
conseguenza si ha
E × E∗ = (Er + jEi ) × (Er − jEi ) = Er × Er + Ei × Ei − jEr × Ei + jEi × Er
= j (Ei × Er − Er × Ei ) = j Im{E × E∗ }
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
e perciò
S=
132
]
1 [ ∗
2
∗
∗
jk
×
Im{E
×
E
}
+
k
|E|
2ωµ∗
Considerando inoltre che
∗
E × E∗ = (E0 × E∗0 ) e−j(k−k ) · r
∗
|E|2 = |E |2 e−j(k−k ) · r
0
si ottiene in definitiva
S=
]
1 [ ∗
∗
2
∗
∗
jk
×
Im{E
×
E
}
+
k
|E
|
e−j(k−k ) · r
0
0
0
∗
2ωµ
da cui si ricava facilmente l’espressione nel dominio del tempo
}
⟨ ⟩ 1 { 1 [
]
2
∗
∗
∗
−j(k−k∗ ) · r
e = Re
S
jk
×
Im{E
×
E
}
+
k
|E
|
e
0
0
0
2
ωµ∗
(7.71)
(7.72)
7.2.1 Proprietà di propagazione delle onde piane
Allo scopo di classificare le onde piane è utile partire dalla condizione di separabilità
(7.55)
k · k = k 2 = kx2 + ky2 + kz2 = ω 2 µϵc
In particolare, separando la parte reale e immaginaria delle componenti di k
kx = βx − jαx
ky = βy − jαy
kz = βz − jαz
e definendo il vettore di fase α e il vettore di attenuazione β come
β = βx x̂ + βy ŷ + βz ẑ
α = αx x̂ + αy ŷ + αz ẑ
il vettore d’onda si può scrivere come
k = β − jα
e di conseguenza
[
(
σ )]
k · k = (β − jα) · (β − jα) = |β|2 − |α|2 − 2jα · β = ω 2 µϵc = ω 2 µ ϵ′ − j ϵ′′ +
ω
da cui separando le parti reale e immaginaria si ricava
{ 2
|β| − |α|2 = ω 2 µϵ(′
2α · β
Ing. Luciano Mescia
= ω 2 µ ϵ′′ +
σ)
ω
(7.73)
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
e esplicitando la (7.71) si ricava per il vettore di Poynting
]
1 [
2
∗
S=
j
(β
+
jα)
×
Im{E
×
E
}
+
(β
+
jα)
|E
|
e−2α · r
0
0
0
2ωµ∗
133
(7.74)
o nel dominio del tempo e per materiali non ferromagnetici
]
⟨ ⟩ e−2α · r [
e =
−α × Im{E0 × E∗0 } + β|E0 |2
S
2ωµ
(7.75)
Nel caso di un mezzo non dispersivo e passivo ϵ′ , ϵ′′ , µ e σ sono numeri reali positivi
o nulli. Di conseguenza, dalla prima ugualianza della (7.73) risulta |β| ≥ |α|. me tre
dalla seconda se ne deduce che i vettori β e α formano un angolo acuto. Sostituendo la
(7.73) nella (7.59) si ha
E = E0 e−j(β−jα) · r = E0 e−α · r e−jβ · r
e la corrispondente funzione vettoriale delle coordinate spaziali e temporali è
e t) = E0 e−α · r cos (ωt − β · r)
E(r,
Da quest’ultima relazione si deduce che, a meno di un fattore di attenuazione nello
e varia periodicamente nel tempo. Inoltre, esiste una precisa relazione tra le
spazio, E
variazioni spaziali e temporali in quanto la funzione coseno ha un argomento di tipo
spazio-temporale. Tale agomento individua la fase del campo elettrico
ϕ = ωt − β · r
Fissato l’istante di tempo t e considerati due punti P1 e P2 , caratterizzati dai vettori r1
e r2 , essi apparterranno al luogo dei punti in cui la fase è costante se ϕ1 = ϕ2 e dunque
ωt − β · r1 = ωt − β · r2
da cui
β · (r1 − r2 ) = 0
Di conseguenza il vettore r1 − r2 deve essere ortogonale a β e perciò deve appartenere al
piano ortogonale a β. Se ne deduce quindi che l’insieme dei piani equifase è individuato
dall’equazione
β · r = costante
La direzione del vettore β è detta direzione di propagazione.
Dalla relazione che esprime la fase si ricava inoltre
dϕ =
∂ϕ
∂ϕ
dt +
dr = ωdt − d (β · r) = ωdt − β · dr
∂t
∂r
da cui, ponendo r = rr̂ e perciò dr = drr̂, si ottiene
dϕ = ωdt − (β · r̂) dr
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
134
Per seguire l’evoluzione nel tempo dei luoghi dei punti in cui il fattore cos (ωt − β · r) è
costante, l’argomento deve essere tale che dϕ = 0 e quindi
ωdt − (β · r̂) dr = 0
da cui può essere ricavata una grandezza avente le dimensioni di una velocità, dr/dt
vf (r) =
ω
ω
dr
=
=
dt
β · r̂
|β| cos θ
(7.76)
detta velocità di fase nella direzione di r̂. Questa grandezza non deve essere intesa nel
senso ordinario della cinematica in quanto dipende dall’angolo θ formato tra i vettori β e
r. Infatti, vf è inversamente proporzionale a cos θ, mentre il componente di una velocità
vettoriale cinematica sarebbe stato direttamente proporzionale a cos θ. Pertanto, la
velocità di fase può essere interpretata come la velocità con cui un osservatore, posto in
un punto P dello spazio e che guarda nella direzione di ar , vede allontanarsi o avvicinarsi
l’intersezione tra il generico piano equifase e la retta avente come direzione ar . Non è
quindi la velocità con cui si muove un punto materiale e non è neanche la velocità di
trasporto dell’energia associata all’onda. Di conseguenza essa non deve necessariamente
soddisfare il postulato fondamentale della teoria della relatività ristretta in cui si fissa
un limite invalicabile alla velocità in natura.
Il fattore exp{−α · r} rappresenta invece un’attenuazione che si verifica in ogni direzione non perpendicolare al vettore α. Di conseguenza, il luogo dei punti in cui il campo
è costante è rappresentato dall’equazione
α · r = costante
che individua un insieme di piani, detti piani equiampiezza, perpendicolari del vettore
α. Si osservi che in generale le superfici equifase ed equiampiezza non coincidono. Di
conseguenza, per una classificazione delle onde piane conviene distinguere il caso senza
perdite da quello con perdite.
7.2.2 Onde piane in mezzi omogenei, isotropi e senza perdite
In questo caso si ha σ = 0, ϵ′′ = 0, ϵ′ = ϵ e perciò la (7.73) diventa
{
|β|2 − |α|2 = ω 2 µϵ
2α · β
=0
(7.77)
Onde piane uniformi. La seconda della (7.77) è verificata quando α = 0, cioè non
c’è attenuazione. Di conseguenza, l’ampiezza dell’onda è costante in tutti i punti dello
spazio e quindi qualunque piano è un piano equiampiezza. In questo caso l’onda si dice
piana uniforme e per convenzione si pone che i piani equiampiezza coincidono con i piani
equifase. Essendo α = 0, si ricava
2π
√
|β| = β = ω µϵ =
λ
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
135
dove λ è la lunghezza d’onda dell’onda elettromagnetica piana che si propaga nel mezzo
in questione. Essendo inoltre
k = k k̂ = β = βaβ =
2π
aβ
λ
risulta che il numero d’onda k = 2π/λ rappresenta il modulo del vettore d’onda k, e la
direzione di k coincide con la direzione del vettore di fase β.
Inolte, la velocità di fase è
vf =
ω
1
=√
√
ω µϵ cos θ
µϵ cos θ
da cui si ricava che la velocià di fase nella direzione del vettore di propagazione β è
1
vf β = √ = c
µϵ
cioè per le onde piane uninformi la velocità di fase è uguale alla velocità della luce nel
mezzo in esame chee non può superare la velocità della luce nel vuoto c ≈ 3 · 108 m/s.
Considerando invece il vettore di Poynting espresso dalla (7.74) si ha
S=
]
1 [ ∗
2
∗
∗
jβ
k̂
×
Im{E
×
E
}
+
β
k̂|E
|
0
0
0
2ωµ∗
(7.78)
e osservando dalla (7.69) che k̂ · E0 = 0 si ha
{
}
{ (
)
(
)}
k̂ × Im{E0 × E∗0 } = Im k̂ × (E0 × E∗0 ) = Im E0 k̂ · E∗0 − E∗0 k̂ · E0
{ (
)∗
(
)}
= Im E0 k̂ · E0 − E∗0 k̂ · E0
=0
Pertanto, sostituendo quanto ottenuto nella (7.78) si ottiene in definitiva
S=
β∗
|E0 |2
2
k̂|E
|
=
k̂
0
2ωµ∗
2η ∗
(7.79)
cioé il vettore di Poynting ha sola parte reale e perciò la potenza trasportata dall’onda
è solo attiva.
Onde piane evanescenti. L’altra possibilità per i mezzi senza perdite che soddisfa la
seconda della (7.77) è α⊥β. In questo caso, l’onda piana è non unniforme è in particolare
l’onda è detta evanescente. I piani equiampiezza e quelli equifase sono ortogonali tra loro
ed inoltre l’onda è attenuata lungo la direzione perpendicolare a quella di propagazione.
Dalla prima della (7.77)si ottiene invece
√
(
)
√
|α| 2
2
2
|β| = ω µϵ + |α| = ω µϵ +
>k
ω
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
136
da cui risulta che la velocità di fase nella direzione del vettore di propagazione β è
vfβ =
1
(
ω
=√
|β|
µϵ +
|α|
ω
)2 < c
Dalla relazione ottenuta si osserva che la velocità di fase vfβ dipende dalla frequenza
angolare ω. Inoltre, intorno alla direzione di β può essere costruito un cono tale che per
direzioni che cadono al suo interno la velocità di fase è minore di c (onda lenta), e che
per direzioni che cadono al suo esterno la velocità di fase è maggiore di c (onda veloce).
Considerando che per questo tipo di onde i vettori α e β sono ortogonali tra loro, è
possibile esprimere il vettore di Poynting in termini delle sue componenti Sα e Sβ lungo
le direzioni di tali vettori
S = Sα α̂ + Sβ β̂
con
]
1 [
2
2
Sα = α̂ · S =
j
α̂
·
(β
×
A)
−
α̂
·
(α
×
A)
+
α̂
·
β|E
|
+
j
α̂
·
α|E
|
e−2jα · r
0
0
2ωµ∗
]
1 [
2
=j
α̂
·
(β
×
A)
+
α̂
·
α|E
|
e−2jα · r
0
2ωµ∗
e
]
1 [
2
2
j
β̂
·
(β
×
A)
−
β̂
·
(α
×
A)
+
β̂
·
β|E
|
+
j
β̂
·
α|E
|
Sβ = β̂ · S =
e−2jα · r
0
0
2ωµ∗
]
1 [
2
β̂
·
β|E
|
−
β̂
·
(α
×
A)
e−2jα · r
=
0
2ωµ∗
con A = Im{E0 × E∗0 }. Si osservi che lungo la direzione del vettore α non si ha trasporto
di potenza attiva in quanto Sα è immaginario, mentre lungo la direzione del vettore β
si ha il solo trasporto di potenza attiva in quanto Sβ è reale.
7.2.3 Onde piane in mezzi omogenei, isotropi e con perdite
In questo caso la (7.73) diventa
{ 2
|β| − |α|2
2α · β
= ω 2 µϵ(′
= ω 2 µ ϵ′′ +
σ)
ω
(7.80)
e dalla seconda equazione si vede α e β devono essere sempre non nulli e non possono
mai essere perpendicolari.
Onde piane uniformi.
In questo caso, α e β sono paralleli e quindi
k = β k̂ − jαk̂ = (β − jα) k̂
Ing. Luciano Mescia
(7.81)
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
137
e perciò l’onda piana è uniforme e si attenua lungo la direzione di propagazione. Inoltre,
esistono piani equiampiezza che sono paralleli ai piani equifase. Per il vettore di Poynting
si ha invece
(β − jα)∗ e−2α · r
|E0 |2 e−2α · r
2
S=
|E
|
k̂
=
k̂
(7.82)
0
2ωµ∗
2η ∗
Dalla (7.81) si ottiene
(
)(
)
k 2 = (β − jα)2 = β 2 − α2 − 2jαβ = ω 2 µϵc = ω 2 µ′ − jµ′′ ϵ′c − jϵ′′c = A − jA
dove
(
)
A = ω 2 µ′ ϵ′c − µ′′ ϵ′′c
(
)
B = ω 2 µ′′ ϵ′c + µ′ ϵ′′c
Ugualiando parte reale e immaginaria di ambo i membri, si ricava il sistema di equazioni
{
β 2 − α2 = A
2αβ = B
Eliminando α e ponendo β 2 = t si ottiene l’equazione
4t2 − 4tA − B 2 = 0
√
A2 + B 2
t1,2 =
2
Osservando che la propagazione del campo elettromagnetico si ha quando β è un numero
reale, è necessario considerare solo la soluzione positiva (quella con il segno ’+’) e perciò
√√
A2 + B 2 + A
β=
2
che ha come soluzioni
A±
da cui si ricava
α =β −a=
2
e quindi
Ma
Ing. Luciano Mescia
2
A+
√
√
A2 + B 2
A2 + B 2 − A
−A=
2
2
√√
A2 + B 2 − A
α=
2
(
) ( ′2
)
′′2
A2 + B 2 = ω 4 ϵ′2
µ + µ′′2
c + ϵc
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
e perciò si ricava in definitiva
v [√
u
(
u1
√
t
′
′
β = ω µ ϵc
1+
2
v [√
u
(
u1
√
t
′
′
α = ω µ ϵc
1+
2
ϵ′′2
c
ϵ′2
c
ϵ′′2
c
ϵ′2
c
)(
)(
µ′′2
1 + ′2
µ
µ′′2
1 + ′2
µ
)
)
)]
(
µ′′ ϵ′′c
+ 1− ′ ′
µ ϵc
(
)]
µ′′ ϵ′′c
− 1− ′ ′
µ ϵc
Nel caso particolare di mezzi non magnetici (µ′′ = 0 e µ′ = µ0 ) si ha invece
v 

√
u
( ′′
)2
u ′
ω uϵ
ϵ
σ
β = t r  1 + r′ +
+ 1
c0 2
ϵr
ωϵ0 ϵ′r
v 

√
u
( ′′
)2
u
ω u ϵ′r 
ϵr
σ
α= t
1+ ′ +
− 1
c0 2
ϵr
ωϵ0 ϵ′r
138
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
√
dove c0 = 1/ µ0 ϵ0 è la velocità della luce nel vuoto, ϵ′r = ϵ′ /ϵ0 e ϵ′′r = ϵ′′ /ϵ0 sono
rispettivamente la parte reale e immaginaria della permittività elettrica relativa.
Passando nel dominio del tempo si ha
E = E0 e−αk̂ · r e−jβ k̂ · r
(7.87)
da cui è possibile calcolare la velocità di fase vfβ e la profondità di penetrazione δ tramite
le relazioni
ω
(7.88)
vfβ =
β
1
δ=
(7.89)
α
e cioé
c0
vfβ = v √

u
( ′′
)2
u ′
ϵ
σ
u ϵr 
1 + r′ +
+ 1
t
2
ϵr
ωϵ0 ϵ′r
δ=
c0
v 

√
u
( ′′
)2
u ′
ϵr
σ
u ϵr 
ωt
1+ ′ +
− 1
2
ϵr
ωϵ0 ϵ′r
(7.90)
(7.91)
Da un punto di vista fisico, la profondità di penetrazione è strettamente legata alla parte
di potenza che il campo elettromagnetico cede al mezzo materiale durante la sua propagazione. Infatti, osservando dalla (7.87) che l’attenuazione è tenuta in conto dal termine
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
139
{
}
exp −αk̂ · r , si vede che essa indica la distanza a cui corrisponde una attenuazione di
circa il 37% del campo elettrico rispetto ai valori all’interfaccia. Inoltre, dalla (7.91) è
evidente la dipendenza della profondità di penetrazione dalle caratteristiche elettriche
del mezzo (σ, ϵ′r , ϵ′′r ) e dalla frequenza dell’onda elettromagnetica. Dalla (7.90) si deduce
invece che il campo elettromagnetico, oltre ad attenuarsi, riduce la propria velocità di
propagazione. Infatti, la lunghezza d’onda è sempre inferiore a λ0 e dipende sia dalle
proprietà del campo elettromagnetico sia dalle caratteristiche elettriche del mezzo.
L’esame delle (7.85), (7.86), (7.90) e (7.91) mostra che il comportamento di α, β, vfβ
e δ dipende dalla grandezza tra parentesi tonde.
ϵ′′r
σ
+
≫1
′
ϵr
ωϵ0 ϵ′
Questo è il caso dei metalli (σ molto grande) per i quali si ha σ/ωϵ0 ϵ′ ≫ ϵ′′ /ϵ′ e perciò
Buon conduttore:
ϵ′′r
σ
σ
+
≈
ϵ′r
ωϵ0 ϵ′r
ωϵ0 ϵ′r
Di conseguenza le relazioni (7.85), (7.86), (7.90) e (7.91) si semplificano notevolmente e
risultano
√
ωµσ
α≈β≈
(7.92)
2
√
2
δ≈
(7.93)
ωµσ
√
2ω
vfβ ≈
(7.94)
µσ
da cui si osserva che l’attenuazione cresce con la frequenza, e la velocità di fase aumenta
con la frequenza e decresce all’aumentare di σ. In questo caso il campo elettrico e
magnetico dell’onda piana sono legati fra loro dalla relazione
√
k
(1 − j) α
σ
H=
k̂ × E =
k̂ × E = (1 − j)
k̂ × E
ωµ
ωµ
2ωµ
da cui si ricava che l’impedenza d’onda è data dalla relazione
√
1
σ
= (1 − j)
η
2ωµ
Buon dielettrico:
Posto
ϵ′′r
σ
+
≪1
′
ϵr
ωϵ0 ϵ′r
ϵ′′r
σ
+
′
ϵr
ωϵ0 ϵ′r
è possibile scrivere con buona approssimazione
√
R2
1 + R2 ≈ 1 +
2
R=
Ing. Luciano Mescia
7.2. Onde elettromagnetiche in regime sinusoidale
140
da cui risulta
√ (
√
)
(
(
)
)
ω µ0 ϵ0 ϵ′r ϵ′′r
ω ϵ′r
R2
ωR √ ′
σ
ω
σ
′′
√
α≈
1+
−1 ≈
ϵr ≈
+
≈
ϵr +
c0 2
2
2c0
2
ϵ′r
ωϵ0 ϵ′r
ωϵ0
2c0 ϵ′r
(7.95)
e quindi
√
2c0 ϵ′r
)
δ≈ (
(7.96)
σ
′′
ω ϵr +
ωϵ0
Per la costante di propagazione si ha invece
√ (
√ (
[
)
( ′′
)2 ]
)
2
√
R2
R
ϵ
σ
ω ϵ′r
ω
1
r
1+
≈ ω µ0 ϵ0 ϵ′r 1 +
+
β≈
+1 ≈
ϵ′r 1 +
c0 2
2
c0
4
8 ϵ′r
ωϵ0 ϵ′r
√
≈ ω µ0 ϵ0 ϵ′r
(7.97)
da cui è facile calcolare la velocità di fase
vfβ
[
(
)2 ]
c0
c0
σ
1 ϵ′′r
[
≈
( ′′
)2 ] ≈ √ ′ 1 − 8 ϵ′ + ωϵ ϵ′
ϵr
√
0 r
r
1
ϵ
σ
r
ϵ′r 1 +
+
′
′
8 ϵr
ωϵ0 ϵr
Nel caso in cui il dielttrico è senza perdite (ϵ′′r = 0 e ϵ0 ϵ′r = ϵ) si ha
√
σ µ0
α≈
2
ϵ
[
]
1 ( σ )2
√
β ≈ ω µ0 ϵ 1 +
2 2ωϵ
√
2
ϵ
δ≈
σ µ0
[
]
c0
1 ( σ )2
vfβ ≈ √
1−
2 2ωϵ
ϵ′r
(7.98)
(7.99)
(7.100)
(7.101)
(7.102)
Nel caso di un dielettrico con perdite e in assenza di perdite di conduzione σ = 0 si ha
invece
√
β ≈ ω µ0 ϵ0 ϵ′r
(7.103)
√
ω µ0 ϵ0 ϵ′r ϵ′′r
ϵ′′r
α≈
=
β
(7.104)
2
ϵ′r
2ϵ′r
[
]
( )
c0
1 ϵ′′r 2
1−
vfβ ≈ √
(7.105)
2 ϵ′r
ϵ′r
da cui
Ing. Luciano Mescia
)
)
(
(
tan δ
ϵ′′r
k = β − jα ≈ β 1 − j ′ ≈ β 1 − j
2ϵr
2
(7.106)
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
141
Tabella 7.1: Caratteristiche dei materiali dielettrici solidi al variare della frequenza.
1 MHz
Materiale
ϵr
Teflon
2
Polietilene
2.25
Polistirene
2.51
Quarzo
3.85 ÷ 4.2
Mica
4.5 ÷ 7.5
Allumina
9.8
Teflon con fi2.56
bre di vetro
Zaffiro
–
GaAs
–
Si
–
100 MHz
tan δ
ϵr
−4
1 GHz
tan δ
10 GHz
tan δ
tan δ
2
2.25
2.51
3.82 ÷ 4.2
4.5 ÷ 7.5
–
2.56
2 × 10
1 ÷ 3 × 10−4
3 × 10−4
2 × 10−4
2 ÷ 4 × 10−4
–
–
2
2.25
2.5
3.8 ÷ 4.2
4.5 ÷ 7.5
–
2.56
2 × 10
2 ÷ 4 × 10−4
4 × 10−4
1 × 10−4
2 ÷ 4 × 10−4
–
9 × 10−4
2
2.25
2.45
3.8 ÷ 4.2
4.5 ÷ 7.5
9.8
2.56
2 × 10−4
2 ÷ 4 × 10−4
5 × 10−4
1 ÷ 5 × 10−4
2 ÷ 4 × 10−4
4 × 10−5
1.8 × 10−4
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
9.4 ÷ 11.6
12.3
11.7
1 × 10−4
1.6 × 10−3
5 × 10−3
S
n
x
−4
ϵr
2 × 10
1 ÷ 3 × 10−4
2 × 10−4
2 × 10−4
2 ÷ 4 × 10−4
10−4
5 × 10−4
ε1,µ 1,σ1
−4
ϵr
ε2,µ 2,σ2
kr
kt
θr
θt
θi
z
ki
Figura 7.2: Riflessione e rifrazione di onde piane.
dove tan δ è la tangente di perdita dielettrica. In Tabella 7.1 sono riportati i valori delle
proprietà dielettriche di alcuni solidi in funzione della frequenza. Si osservi che i materiali
non polari come teflon, polietilene e polistirene hanno una permittività relativa molto
bassa e costante con la frequenza nonché un tan δ molto basso che cresce lentemente con
la frequenza.
7.3 Riflessione e rifrazione di onde piane
Si considerino due mezzi lineari, omogenei, isotropi, dissipativi e di estensione infinita
separati da una superficie piana S (vedi Fig. 7.2). Si indichi come mezzo 1, caratterizzato
dai parametri ϵ1 , µ1 , σ1 , quello che occupa il semispazio a sinistra di S e come mezzo
2, caratterizzato dai parametri ϵ2 , µ2 , σ2 , quello che occupa il semispazio a destra di
S. Sia inoltre n̂ il versore normale a S diretto dal mezzo 2 al mezzo 1. All’interno
Ing. Luciano Mescia
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
142
del mezzo 1 viaggia un’onda piana uniforme di tipo sinusoidale caratterizzata dal campo
elettromagnetico (Ei , Hi ) che si propaga nella direzione k̂i verso il mezzo 2. In piano che
contiene la normale all’interfaccia n̂ e la direzione di propagazione dell’onda incidente
k̂i è detto piano di incidenza. Si consideri ora un sistema di riferimento cartesiano
(Oxyz) tale che il piano x − z coincida con il piano di incidenza, il piano x − y coincida
√
con la superficie S e che l’origine O sia posta su S. Si indichi con k1 = ω µ1 ϵc1 la
√
costante di propagazione nel mezzo 1 e con k2 = ω µ2 ϵc2 la costante di propagazione
nel mezzo 2. Visto che i due mezzi sono caratterizzati da differenti impedenze d’onda,
in corrispondenza di S c’è una discontinuità di impedenza. Di conseguenza, l’onda
incidente che incontra l’interfaccia S è in parte riflessa nel mezzo 1 e in parte trasmessa
all’interno del mezzo 2. Tale fenomeno è fisicamente interpretabile considerando che il
campo incidente induce in prossimità di S un movimento oscillatorio di cariche libere e
legate, il quale genera a sua volta un campo elettromagnetico irradiato secondario sia
in avanti che all’indietro. Si indichi con (Er , Hr ) il campo elettromagnetico riflesso e
con (Et , Ht ) il campo elettromagnetico trasmesso e si ipotizzi che sia l’onda riflessa sia
quella trasmessa siano piane uniformi. In queste ipotesi si avrà che nel mezzo 1 sarà
presente il campo
Hi =
k1
k̂i × E0 e−jk1 k̂i · r
ωµ1
Er = E1 e−jk1 k̂r · r Hr =
k1
k̂r × E1 e−jk1 k̂r · r
ωµ1
Ei = E0 e−jk1 k̂i · r
e nel mezzo 2 il campo
Et = E2 e−jk2 k̂t · r Ht =
k2
k̂t × E2 e−jk2 k̂t · r
ωµ2
dove E0 , E1 , E2 sono le rispettive ampiezze complesse dei campi elettrici incidente, riflesso e trasmesso, tutte indipendenti dalla posizione. L’ampiezza E0 è legata alla sorgente
responsabile dell’onda elettromagnetica e perciò si presume che sia nota, le ampiezza
E1 , E2 sono invece da determinare applicando le condizioni al contorno per il campo
elettrico e il campo magnetico sulla superficie S. Ipotizzando che su S non sia presente
nessuna densità di corrente superficiale, si dovrà imporre che il componente tangente del
campo elettrico e del campo magnetico deve essere continuo sulla superficie S. In particolare, indicando con rs il raggio vettore centrato nell’origine che individua un generico
punto sulla superficie S, con n̂ · rs = 0 la superficie S, e osservando che n̂ = −ẑ si ha
che
(
)
−ẑ × E e−jk1 k̂i · rs + E e−jk1 k̂r · rs = −ẑ × E e−jk2 k̂t · rs
(7.107)
0
1
2
(
)
k2
k1
ẑ × k̂i × E0 e−jk1 k̂i · rs + k̂r × E1 e−jk1 k̂r · rs = −
ẑ × E2 e−jk2 k̂t · rs (7.108)
−
ωµ1
ωµ2
Poiché E0 , E1 , E2 non dipendono da rs , al variare di r su S le (7.107)–(7.108) sono
sempre soddisfatte solo se gli argomenti delle funzioni esponenziali sono uguali e cioé
k1 k̂i · rs = k1 k̂r · rs = k2 k̂t · rs
Ing. Luciano Mescia
(7.109)
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
143
Considerando che
ẑ × (ẑ × rs ) = ẑ (ẑ · r̂s ) − r̂s (ẑ · ẑ) = ẑ (ẑ · r̂s ) − r̂s
si ha
r̂s = ẑ (ẑ · r̂s ) − ẑ × (ẑ × rs )
ed essendo sulla superficie S vale la relazione ẑ · r̂s = 0 si ricava
r̂s = −ẑ × (ẑ × rs )
Sostituendo quanto ottenuto nella (7.109) si ottiene
k1 k̂i · ẑ × (ẑ × rs ) = k1 k̂r · ẑ × (ẑ × rs ) = k2 k̂t · ẑ × (ẑ × rs )
Si consideri ora la seguente proprietà
(A × B) · (C × D) = (A · C) (B · D) − (A · D) (B · C) = A · [C (B · D) − D (B · C)]
da cui ponendo A = k̂i , B = ẑ, C = ẑ e D = rs si ricava
(
)
k̂i · ẑ × (ẑ × rs ) = k̂i × ẑ · (ẑ × rs )
e ponendo prima A = k̂r e poi A = k̂t si ottiene
(
)
k̂r · ẑ × (ẑ × rs ) = k̂r × ẑ · (ẑ × rs )
(
)
k̂t · ẑ × (ẑ × rs ) = k̂t × ẑ · (ẑ × rs )
Sostituendo quanto ottenuto nella (7.109) si ha
(
)
k1 k̂i × ẑ − k2 k̂t × ẑ · (ẑ × r̂s ) = 0
(
)
k̂i × ẑ − k̂r × ẑ · (ẑ × r̂s ) = 0
ed essendo ẑ×rs non nullo perchè rs è sul piano perpendicolare a ẑ, si ricava in definitiva
k1 k̂i × ẑ = k2 k̂t × ẑ
(7.110)
k̂i × ẑ = k̂r × ẑ
(7.111)
Dalle (7.110)–(7.111) si deduce che ẑ, k̂i , k̂r , k̂t sono complanari e perciò i piani equifase
dell’onda riflessa e trasmessa sono perpendicolari al piano di incidenza. Pertanto, per i
mezzi lineari, omogenei e isotropi i vettori k̂i , k̂r , k̂t appartengono al piano di incidenza.
Detti θi , θr e θt gli angoli di incidenza, di riflessione e di trasmissione, dalla (7.111) si
ricava che
sin θi = sin (π − θr ) = sin θr
(7.112)
Ing. Luciano Mescia
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
144
cioé la legge di riflessione in cui l’angolo di incidenza, è uguale all’angolo di riflessione.
Dalla (7.110) si ricava invece
k1 sin θi = k2 sin θt
(7.113)
che esprime la legge di Snell o della rifrazione. Considerando che
√
k1
µ1 ϵ1
sin θt =
sin θi =
sin θi
k2
µ2 ϵ2
si vede che si ottengono soluzioni reali per l’angolo di trasmissione solo se è verificata la
relazione
√
µ 1 ϵ1
sin θi ≤ 1
(7.114)
µ 2 ϵ2
Considerando le componenti tangenziali dei tre vettori d’onda ki , kr e kt (componenti
lungo l’asse x), si osserva che la legge di Snell impone che esse siano uguali tra loro
kix = krx = ktx
Avendo ricavato le condizioni che devono soddisfare ẑ, k̂i , k̂r , k̂t , il calcolo delle ampiezze E1 e E2 è più agevole. Infatti, considerando che gli argomenti delle funzioni
esponenziali sono uguali, le (7.107)–(7.108) si semplificano in
ẑ × (E0 + E1 ) = ẑ × E2
(
)
k1
k2
ẑ × k̂i × E0 + k̂r × E1 =
ẑ × E2
ωµ1
ωµ2
(7.115)
(7.116)
Si osservi che l’onda incidente ha in generale una polarizzazione qualsiasi e perciò la
direzione di E0 è arbitraria e giace sul piano perpendicolare a k̂i . Un onda avente tali
caratteristiche può comunque essere sempre descritta come sovrapposizione di due onde
polarizzate ortogonalmente tra loro di cui una è normale al piano di incidenza e l’altra
giace sul piano di incidenza. Se il campo elettrico è perpendicolare al piano di incidenza
si parla di polarizzazione perpendicolare o trasverso elettrica (TE). Se invece il campo
elettrico è parallelo al piano di incidenza si parla di polarizzazione parallela o trasverso
magnetica (TM).
7.3.1 Polarizzazione TE
Nel caso di polarizzazione TE il campo elettrico dell’onda incidente è diretto lungo la
direzione y mentre il campo magnetico è diretto come indicato in Fig.7.3. Per le onde
riflesse e trasmessa si ha che i rispespettivi campi elettrici sono sempre diretti lungo la
direzione y, mentre i campi magnetici sono orientati come mostrato in Fig. 7.3. In questo
caso particolare, si ha E0 = E0⊥ ŷ, E1 = E1⊥ ŷ, E2 = E2⊥ ŷ e perciò sono verificate le
condizioni
ẑ · E0 = ẑ · E1 = ẑ · E2 = 0
Ing. Luciano Mescia
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
ε1,µ 1,σ1
kr
S
n
x
145
ε2,µ 2,σ2
H1
E1
E2 k t
H2
θt
θr
θi
y
z
ki
E0
H0
Figura 7.3: Riflessione e rifrazione per la polarizzazione TE.
Moltiplicando vettorialmente a sinistra ambo i membri della (7.115) per ẑ si ricava
ẑ × (ẑ × E0 ) + ẑ × (ẑ × E1 ) = ẑ × (ẑ × E2 )
da cui
ẑ (ẑ · E0 ) − E0 (ẑ · ẑ) + ẑ (ẑ · E1 ) − E1 (ẑ · ẑ) = ẑ (ẑ · E2 ) − E2 (ẑ · ẑ)
e cioè
−E1 + E2 = E0
Dalla (7.116) si ricava invece
(
)
(
)]
(
)]
k1 [
k2 [
k̂i (ẑ · E0 ) − E0 ẑ · k̂i + k̂r (ẑ · E1 ) − E1 ẑ · k̂r =
k̂t (ẑ · E2 ) − E2 ẑ · k̂t
ωµ1
ωµ2
e osservando che
ẑ · k̂i = cos θi
ẑ · k̂r = cos (π − θr ) = − cos θr
ẑ · k̂t = cos θt
le ampiezze complesse incognite si ricavano risolvendo il seguente sistema di equazioni

−E1⊥ + E2⊥ = E0⊥
(7.117)
k µ
E1⊥ cos θr + 2 1 cos θt E2⊥ = E0⊥ cos θi
k1 µ 2
Ing. Luciano Mescia
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
146
la cui risoluzione consente di ricavare E1⊥ e E2⊥ in funzione di E0⊥
k1 µ2 cos θi − k2 µ1 cos θt
E0⊥
k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt
2k1 µ2 cos θi
=
E0⊥
k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt
E1⊥ =
(7.118)
E2⊥
(7.119)
A questo punto è possibile definire i coefficienti di Fresnel di riflessione, ρE
T E , e di
E
trasmissione, tT E , per il campo elettrico e per la polarizzazione TE come
E1⊥
k1 µ2 cos θi − k2 µ1 cos θt
=
E0⊥
k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt
E
2k1 µ2 cos θi
△
2⊥
=
=
E0⊥
k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt
△
ρE
TE =
(7.120)
tE
TE
(7.121)
o equivalentemente in termini delle impedenze caratteristiche dei due mezzi
η2 cos θi − η1 cos θt
η2 cos θi + η1 cos θt
2η2 cos θi
=
η2 cos θi + η1 cos θt
ρE
TE =
(7.122)
tE
TE
(7.123)
Si osservi che in generale ρT E e tT E sono dei numeri complessi in quanto i vettori d’onda
nei due mezzi sono dei numeri complessi. Inoltre, è valida la relazione
E
ρE
T E = tT E − 1
Considerando la (7.113) si ricava invece
√
√
µ1 ϵc1
k1
µ1 µ2 ϵc1
µ 1 η2
sin θt =
sin θi = √
sin θi =
sin θi =
sin θi
k2
µ2 ϵc2
µ2 µ1 ϵc2
µ 2 η1
√
da cui
cos θt =
k2
1 − 12 sin2 θi =
k2
√
1−
µ21 η22
1
sin2 θi =
2
2
k2
µ2 η1
√
k22 − k12 sin2 θi
Pertanto, sostituendo quanto ottenuto nelle relazioni dei coefficienti di Fresnel si ricavano
delle relazioni in cui è presente solo la dipendenza dall’angolo di incidenza
√
k1 µ2 cos θi − µ1 k22 − k12 sin2 θi
√
ρE
(7.124)
TE =
k1 µ2 cos θi + µ1 k22 − k12 sin2 θi
tE
TE =
Ing. Luciano Mescia
2k1 µ2 cos θi
√
k1 µ2 cos θi + µ1 k22 − k12 sin2 θi
(7.125)
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
147
o anche
ρE
TE =
η2 cos θi −
η2 cos θi +
tE
TE =
√
√
η12 − η22 sin2 θi
η12
−
(7.126)
η22 sin2 θi
2η2 cos θi
√
η2 cos θi + η12 − η22 sin2 θi
(7.127)
Per il campo magnetico si ha invece
k1
E0⊥ k̂i × ŷ
ωµ1
k1
E1⊥ k̂i × ŷ
H1 = H1∥ â1 =
ωµ1
k2
H2 = H2∥ â2 =
E2⊥ k̂i × ŷ
ωµ2
H0 = H0∥ â0 =
da cui si ricava
k1
E0⊥
ωµ1
k1
=
E1⊥
ωµ1
k2
=
E2⊥
ωµ2
H0∥ =
H1∥
H2∥
Pertanto è possibile definire analoghi coefficienti di riflessione e trasmissione per il campo
magnetico
H1∥
E1⊥
= ρE
=
TE
H0∥
E0⊥
k2 µ1 E
2k2 µ1 cos θi
k2 µ1 E2⊥
△ H2∥
=
=
tT E =
=
H0∥
k1 µ2 E0⊥
k1 µ2
k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt
△
ρH
TE =
(7.128)
tH
TE
(7.129)
7.3.2 Polarizzazione TM
Nel caso di polarizzazione TM il campo magnetico dell’onda incidente è diretto lungo la direzione y mentre il campo elettrico è diretto come indicato in Fig.7.4. Per le
onde riflesse e trasmessa si ha che i rispespettivi campi magnetici sono sempre diretti
lungo la direzione y, H0 = H0⊥ ŷ, H1 = E1⊥ ŷ, H2 = E2⊥ ŷ, mentre i campi elettrici
sono orientati come mostrato in Fig. 7.4. In questo caso particolare, sono verificate le
condizioni
ẑ · H0 = ẑ · H1 = ẑ · H2 = 0
Ing. Luciano Mescia
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
ε1,µ 1,σ1
kr
S
n
x
H1
148
ε2,µ 2,σ2
E2
kt
E1
θr
θi
E0
θt
H2
y
z
ki
H0
Figura 7.4: Riflessione e rifrazione per la polarizzazione TM.
Esprimendo il campo elettrico in funzione del campo magnetico si ha
ωµ1
E0 = −
k̂i × H0
k1
ωµ1
E1 = −
k̂r × H1
k1
ωµ2
k̂t × H2
E2 = −
k2
e perciò le condizioni di continuità da considerare sono
(
) ωµ
ωµ1
2
ẑ × k̂i × H0 + k̂r × H1 =
ẑ × H2
k1
k2
ẑ × (H0 + H1 ) = ẑ × H2
(7.130)
(7.131)
Moltiplicando vettorialmente ambo i membri della (7.131) per ẑ si ha
ẑ (ẑ · H0 ) − H0 (ẑ · ẑ) + ẑ (ẑ · H1 ) − H1 (ẑ · ẑ) = ẑ (ẑ · H2 ) − H2 (ẑ · ẑ)
e cioé
−H1 + H2 = H0
Dalla (7.130) si ricava invece
(
)
(
)] ωµ [
(
)]
ωµ1 [
2
k̂i (ẑ · H0 ) − H0 ẑ · k̂i + k̂r (ẑ · H1 ) − H1 ẑ · k̂r =
k̂t (ẑ · H2 ) − H2 ẑ · k̂t
k1
k2
Essendo ancora valide le relazioni
ẑ · k̂i = cos θi
ẑ · k̂r = cos (π − θr ) = − cos θr
ẑ · k̂t = cos θt
Ing. Luciano Mescia
7.3. Riflessione e rifrazione di onde piane
149
le ampiezze complesse incognite si ricavano risolvendo il seguente sistema di equazioni

−H1⊥ + H2⊥ = H0⊥
(7.132)
k µ
H1⊥ cos θr + 1 2 cos θt H2⊥ = H0⊥ cos θi
k2 µ 1
la cui risoluzione consente di ricavare H1⊥ e H2⊥ in funzione di H0⊥
k2 µ1 cos θi − k1 µ2 cos θt
H0⊥
k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt
2k2 µ1 cos θi
=
H0⊥
k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt
H1⊥ =
(7.133)
H2⊥
(7.134)
H
In questo caso i coefficienti di Fresnel di riflessione, ρH
T M , e di trasmissione, tT M , per il
campo magnetico e per la polarizzazione TM sono definiti come
H1⊥
k2 µ1 cos θi − k1 µ2 cos θt
=
H0⊥
k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt
2k2 µ1 cos θi
△ H2⊥
=
=
H0⊥
k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt
△
ρH
TM =
(7.135)
tH
TM
(7.136)
o equivalentemente in termini delle impedenze caratteristiche dei due mezzi
η1 cos θi − η2 cos θt
η1 cos θi + η2 cos θt
2η1 cos θi
=
η1 cos θi + η2 cos θt
ρH
TM =
(7.137)
tH
TM
(7.138)
Si osservi che anche in questo caso vale la relazione
H
ρH
T M = tT M − 1
Le relazioni dei coefficienti di Fresnel in cui è presente solo la dipendenza dall’angolo
di incidenza sono invece date da
√
k1 µ2 cos θi − µ2 k12 − k22 sin2 θi
√
ρH
(7.139)
TM =
k1 µ2 cos θi + µ2 k12 − k22 sin2 θi
tH
TM =
2k2 µ1 cos θi
√
k2 µ1 cos θi + µ2 k12 − k22 sin2 θi
o anche
ρH
TM
=
η1 cos θi −
η1 cos θi +
tH
TM =
Ing. Luciano Mescia
√
√
η22 − η12 sin2 θi
(7.140)
(7.141)
η22 − η12 sin2 θi
2η1 cos θi
√
η1 cos θi + η22 − η12 sin2 θi
(7.142)
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
150
Considerando invece le relazioni che esprimono il campo elettrico in funzione del campo
magnetico si ha Esprimendo il campo elettrico in funzione del campo magnetico si ha
ωµ1
H0⊥ k̂i × ŷ
k1
ωµ1
H1⊥ k̂r × ŷ
E1∥ a1 = −
k1
ωµ2
E2∥ a2 = −
H2⊥ k̂t × ŷ
k2
E0∥ a0 = −
da cui
ωµ1
H0⊥
k1
ωµ1
H1⊥
=−
k1
ωµ2
=−
H2⊥
k2
E0∥ = −
E1∥
E2∥
Di conseguenza è possibile definire analoghi coefficienti di riflessione e trasmissione per
il campo elettrico
E1∥
H1⊥
= ρH
=
TM
E0∥
H0⊥
k1 µ 2 H
2k1 µ2 cos θi
k1 µ2 E2⊥
△ E2∥
=
=
t
=
=
E0∥
k2 µ1 E0⊥
k2 µ 1 T M
k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt
△
ρE
TM =
(7.143)
tE
TM
(7.144)
7.4 Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
Si ipotizzi che i due mezzi siano dei dielettrici perfetti, tali che σ1 = σ2 = 0, senza
perdite dielettriche e non ferromagnetici, cioé tali che µ1 = µ2 = µ. In questi casi si ha
k12 = ω 2 µϵ1
e
k22 = ω 2 µϵ2
√
√
ϵ1 sin θi = ϵ2 sin θt
Definendo l’indice di rifrazione come
√
si ha
n=
µϵ
c0
=
µ0 ϵ0
vf
k
=
ωµ
√
µϵ
n
=
µ
c0 µ
da cui
k=
Ing. Luciano Mescia
ω
n
c0
(7.145)
(7.146)
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
151
o anche
c0 µ
(7.147)
n
Sostituendo quanto ottenuto nella (7.113) si ricava la legge di Snell per i dielettrici
η=
n1 sin θi = n2 sinθt
da cui
(7.148)
vf
sin θt
n1
=
= 1
sin θi
n2
vf2
Si osservi che se n2 > n1 si ha sin θt < sin θi e cioè ad ogni angolo di incidenza corrisponde
un angolo di rifrazione reale θt < θi . Pertanto, quando l’onda elettromagnetica transita
da un mezzo meno denso ad uno più denso la direzione di propagazione nel mezzo
più denso si avvicina alla direzione della normale alla superficie di separazione. Se
invece n2 < n1 si ha sin θt > sin θi e perciò θt > θi . Di conseguenza, quando l’onda
elettromagnetica transita da un mezzo più denso ad uno meno denso la direzione di
propagazione nel mezzo più denso si allontana dalla direzione della normale alla superficie
di separazione. Tale allontanamento non potendo superare θt = π/2 implica che
n1
sin θi ≤ 1
n2
da cui se ne deduce che affinchè sia presente il fenomeno della rifrazione l’angolo d’incidenza non deve superare un valore limite.
7.4.1 Formule di Fresnel per polarizzazione TE
Sostituendo la (7.146) nelle (7.122)–(7.123) si ricavano le formule di Fresnel per la
polarizzazione TE per i mezzi dielettrici perfetti
n1 cos θi − n2 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
2n1 cos θi
=
n1 cos θi + n2 cos θt
2n2 cos θi
=
n1 cos θi + n2 cos θt
H
ρE
T E = ρT E =
(7.149)
tE
TE
(7.150)
tH
TE
Considerando inoltre che
sin θt =
√
si ricava
cos θt =
Ing. Luciano Mescia
1−
n1
k1
sin θi =
sin θi
k2
n2
k12
1
sin2 θi =
2
n2
k2
√
n22 − n21 sin2 θi
(7.151)
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
152
Pertanto, sostituendo quanto ottenuto nelle relazioni dei coefficienti di Fresnel si ricavano
delle relazioni in cui è presente solo la dipendenza dall’angolo di incidenza
√
n1 cos θi − n22 − n21 sin2 θi
√
(7.152)
ρE
=
TE
n1 cos θi + n22 − n21 sin2 θi
tE
TE =
2n1 cos θi
√
n1 cos θi + n22 − n21 sin2 θi
(7.153)
Le relazioni dei coefficienti di Frenel per la polarizzazione TE possono essere manipolate
ulteriormente considerando che
k1
sin θt
=
k2
sin θi
e cioé
ρE
TE
sin θt
cos θi − cos θt
sin θt cos θi − sin θi cos θt
sin θi
=
=
sin θt
sin θt cos θi + sin θi cos θt
cos θi + cos θt
sin θi
da cui
ρE
TE =
sin (θt − θi )
sin (θt + θi )
(7.154)
Per il coefficiente di trasmissione si ha invece
tE
TE
2 sin θt
cos θi
2 sin θt cos θi
sin θi
=
=
sin θt
sin θt cos θi + sin θi cos θt
cos θi + cos θt
sin θi
da cui
tE
TE =
sin (θt + θi ) + sin (θt − θi )
sin (θt + θi )
(7.155)
Dalla (7.154) si osserva che per θi ≤ π/2 il coefficiente di riflessione non si annulla mai.
Di conseguenza, per la polarizzazione TE esiste sempre on’onda riflessa qualunque sia
l’angolo di incidenza. Inoltre, sempre dalla (7.154) si deduce che per n1 < n2 , essendo
θt < θi e quindi θt − θi < 0, il campo elettrico riflesso è sempre in opposizione di fase
con il campo elettrico incidente.
Ing. Luciano Mescia
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
153
7.4.2 Formule di Fresnel per polarizzazione TM
Sostituendo la (7.146) nelle (7.135)–(7.136) si ricavano le formule di Fresnel per la
polarizzazione TM per i mezzi dielettrici perfetti
n2 cos θi − n1 cos θt
n2 cos θi + n1 cos θt
2n2 cos θi
=
n2 cos θi + n1 cos θt
2n1 cos θi
=
n2 cos θi + n1 cos θt
E
ρH
T M = ρT M =
(7.156)
tH
TM
(7.157)
tE
TM
(7.158)
oppure
ρH
TM
=
n2 cos θi −
√
√
n2 cos θi +
tH
TM =
Considerando che
n21 − n22 sin2 θi
(7.159)
n21 − n22 sin2 θi
2n2 cos θi
√
n2 cos θi + n21 − n22 sin2 θi
(7.160)
k1
sin θt
=
k2
sin θi
è possibile esprimere i coefficienti di Fresnel in funzione dei soli angoli di incidenza e
rifrazione. In particolare, si ha
ρH
TM
sin θt
cos θt
sin θi cos θi − sin θt cos θt
sin (2θi ) − sin (2θt )
sin θi
=
=
=
sin θt
sin θi cos θi + sin θt cos θt
sin (2θi ) + sin (2θt )
cos θi +
cos θt
sin θi
cos θi −
Considerando le formule di prostaferesi
A+B
A−B
cos
2
2
A+B
A−B
sin A − sin B = 2 cos
sin
2
2
sin A + sin B = 2 sin
da cui
A−B
tan
sin A − sin B
2
=
A+B
sin A + sin B
tan
2
e ponendo A = 2θi e B = 2θt si ricava quindi
ρM
TM =
Ing. Luciano Mescia
tan (θi − θt )
tan (θi + θt )
(7.161)
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
154
Per il coefficiente di trasmissione si ha invece
tH
TM =
2 cos θi sin θi
2 cos θi
=
sin θt
cos θi sin θi + sin θt cos θt
cos θi +
cos θt
sin θi
da cui
tH
TM =
sin θi cos θi
sin (θi + θt ) cos (θi − θt )
(7.162)
Dalla (7.161) si vede che per θi + θt = π/2 si ha ρH
T M = 0 e quindi H1⊥ = 0 e E1∥ = 0.
Di conseguenza, nel caso di polarizzazione TM esiste un particolare angolo di incidenza
θB in corrispondenza del quale non esiste campo elettromagnetico riflesso. Tale angolo
prende il nome di angolo di Brewster. Essendo in questo caso θt = π/2 − θB si ha dalla
legge di Snell
n1 sin θB = n2 sin (π/2 − θB ) = n2 cos θB
da cui
(
θB = arctan
n2
n1
)
(7.163)
L’angolo di Brewster è anche detto angolo di polarizzazione. Infatti, se un’onda elettromagnetica piana composta da entrambe le polarizzazioni incide su una suprficie non
magnetica con un angolo pari all’angolo di Brewster, la componente polarizzata parallelamente viene completamente trasmessa nel secondo mezzo e solo la componente
polarizzata perpendicolarmente è riflessa dalla supeerficie di separazione.
Se n2 > n1 si ha θt < θi e peciò θi −θt < π/2. Di conseguenza, essendo tan (θi − θt ) > 0
si avrà che il numeratore della (7.161) è sempre maggiore di zero. Riguardo il denominatore si ha invece che all’aumentare di θi anche θt aumenta pur rimanendo θt < θi . In
particolare, θi + θt < π/2 se θi < θB e θi + θt > π/2 se θi > θB . Di conseguenza, si ha
tan (θi − θt )
> 0 se θi < θB
tan (θi + θt )
tan (θi − θt )
< 0 se θi > θB
tan (θi + θt )
da cui se ne deduce
H1⊥ in fase con H0⊥
se θi < θB
H1⊥ in opposizione di fase con H0⊥ se θi > θB
Dalla (7.162) si vede invece che il campo maggneetico trasmesso è sempre in fase con il
campo magnetico incidente.
Ing. Luciano Mescia
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
155
7.4.3 Densità si potenza riflessa e trasmessa
Considerando che l’onda incidente, riflessa e trasmessa sono onde piane uniformi e che
√
√
il mezzo non ha perdite (k1 = ω µ1 ϵ1 , k2 = ω µ2 ϵ2 ) si ha che il vettore di Poynting
complesso per ogni onda è
k1 |E0 |2
k̂i
2ωµ1
k1 |E1 |2
Sr =
k̂r
2ωµ1
k2 |E0 |2
St =
k̂t
2ωµ2
Si =
da cui si ricava la potenza incidente per unità di superficie S
k |E |2
k1 |E0 |2 1 0
cos θi
Pi = |Si · n̂| =
k̂i · n̂ =
2ωµ1
2ωµ1
k |E |2
k1 |E1 |2 1 1
Pr = |Sr · n̂| =
cos θi
k̂r · n̂ =
2ωµ1
2ωµ1
k |E |2
k2 |E0 |2 2 2
Pt = |St · n̂| =
cos θt
k̂t · n̂ =
2ωµ2
2ωµ2
In virtù del principio di conservazione dell’energia dovrà essere verificata la relazione
Pi = Pr + Pt
e cioé
k1 |E0 |2
k1 |E1 |2
k2 |E2 |2
cos θi =
cos θr +
cos θt
2µ1
2µ1
2µ2
Detto R il coefficiente di riflessione e T il coefficiente di trasmisisone definiti come
Pr
Pi
Pt
T =
Pi
R=
si ricava dalle relazioni precedenti
R=
|E1 |2
|E0 |2
k2 µ1 cos θt |E2 |2
T =
k1 µ2 cos θi |E0 |2
o equivalentemente per il coefficiente di trasmissione
√
k22 − k12 sin2 θi |E2 |2
µ1
T =
k1 µ2
cos θi
|E0 |2
Ing. Luciano Mescia
(7.164)
(7.165)
(7.166)
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
156
Si osservi che è sempre verificata la relazione
R+T =1
(7.167)
Polarizzazione TE . Quando il campo elettrico dell’onda incidente è perpendicolare al
piano di incidenza è possibile utilizzare la (7.122) per esprimere il rapporto E1 /E0 ed
ottenere quindi
E1⊥ 2 E 2 k1 µ2 cos θi − k2 µ1 cos θt 2
= ρT E = R⊥ = (7.168)
k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt E0⊥ e la (7.123) per esprimere il rapporto E2 /E0
2
k2 µ1 cos θt E 2 k2 µ1 cos θt 2k1 µ2 cos θi
T⊥ =
tT E =
k1 µ2 cos θi
k1 µ2 cos θi k1 µ2 cos θi + k2 µ1 cos θt (7.169)
da cui è immediato verificare che
R⊥ + T⊥ = 1
(7.170)
Polarizzazione TM . Per la polarizzazione parallela è importante ricordare la relazione
che lega il campo elettrico al campo magnetico. In particolare, ricordando che
|H0⊥ |2 =
2
|k1 |2 E0∥ 2
2
ω µ1
|H1⊥ |2 =
2
|k1 |2 E1∥ 2
2
ω µ1
|H2⊥ |2 =
2
|k2 |2 E2∥ 2
2
ω µ2
si ricava
E1∥ 2
|H1⊥ |2
|E1 |2
=
=
E0∥ 2
|E0 |2
|H0⊥ |2
E2∥ 2
|E2 |2
|k1 |2 µ22 |H2⊥ |2
=
=
E0∥ 2
|E0 |2
|k2 |2 µ21 |H0⊥ |2
Di conseguenza, utilizzando le (7.135)–(7.136) i coefficienti di riflessione e trasmissione
possono essere scritti come
H1⊥ 2 H 2 k2 µ1 cos θi − k1 µ2 cos θt 2
R∥ = = ρT M = (7.171)
H0⊥ k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt e
2
2k2 µ1 cos θi
k1 µ2 cos θt H 2 k1 µ2 cos θt T∥ =
tT M =
k2 µ1 cos θi
k2 µ1 cos θi k2 µ1 cos θi + k1 µ2 cos θt (7.172)
da cui è immediato verificare che
R∥ + T∥ = 1
Ing. Luciano Mescia
(7.173)
7.4. Interfaccia tra due mezzi dielettrici perfetti
157
Si osservi che per incidenza normale (θi = θt = 0) i casi di campo elettrico incidente
perpendicolare e parallelo al piano di incidenza sono indistinguibili e tali che
k1 µ2 − k2 µ1 2
R = R⊥ = R∥ = (7.174)
k1 µ 2 + k2 µ 1 2
2
T = T⊥ = T∥ = k1 k2 µ1 µ2 (7.175)
k1 µ 2 + k2 µ 1 Polarizzazione in direzione arbitraria. Si consideri il caso generale in cui il campo
elettrico incidente è polarizzato in direzione arbitraria sul piano ortogonale alla direzione
di propagazione ma formante un angolo αi con il piano di incidenza. In questo caso,
il campo elettrico incidente può essere pensato come la sovrapposizione di due campi
polarizzati in direzioni ortogonali lungo la direzione normale e parallela
(
)
Ei = E0⊥ + E0∥ e−jk1 k̂i · r
dove
|E0⊥ | = |E0 | sin αi
E0∥ = |E0 | cos αi
Di conseguenza si ha
Pi =
2 )
k1 (
k1 |E0 |2
cos θi =
|E0⊥ |2 + E0∥ cos θi = Pi⊥ + Pi∥
2ωµ1
2ωµ1
dove
k1
k1
|E0⊥ |2 cos θi =
|E0 |2 sin2 αi cos θi = Pi cos2 αi
2ωµ1
2ωµ1
2
k1 k1
|E0 |2 cos2 αi cos θi = Pi sin2 αi
Pi∥ =
E0∥ cos θi =
2ωµ1
2ωµ1
Pi⊥ =
Analogamente per la potenza riflessa e trasmessa si ha
k1
|E1⊥ |2 cos θi
2ωµ1
2
k1 =
E1∥ cos θi
2ωµ1
Pr⊥ =
Pr∥
e
k2
|E2⊥ |2 cos θt
2ωµ2
2
k2 Pt∥ =
E2∥ cos θt
2ωµ2
Pt⊥ =
Ing. Luciano Mescia
(7.176)
(7.177)
7.5. Riflessione interna totale
158
Considerando la relazione del coefficiente di riflessione si ha invece
R=
Pr⊥ + Pr∥
Pr∥
Pr
Pr⊥ Pr∥
Pr⊥
cos2 αi
=
=
+
=
sin2 αi +
Pi
Pi
Pi
Pi
Pi⊥
Pi∥
da cui
R = R⊥ sin2 αi + R∥ cos2 αi
(7.178)
Procedendo in modo analogo per il coefficiente di trasmissione si ha
T =
Pt⊥ + Pt∥
Pt∥
Pt
Pt⊥ Pt∥
Pt⊥
=
=
+
=
cos2 αi
sin2 αi +
Pi
Pi
Pi
Pi
Pi⊥
Pi∥
da cui
T = T⊥ sin2 αi + T∥ cos2 αi
7.5 Riflessione interna totale
Ing. Luciano Mescia
(7.179)