7d_eaiee_fusione_nucleare_tokamak_multi-fisiche

7d_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
(ultima modifica 24/11/2016)
MULTI-FISICHE DEL TOKAMAK
M. Usai
7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak
1
Fisica del plasma
Quando la corrente del plasma attraversa il campo magnetico le
singole particelle sono vincolate nel loro movimento.
Esse si muovono parallelamente al campo magnetico, ruotando nelle
orbite di Larmor perpendicolari al campo.
M. Usai
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2
Fisica del plasma
La concentrazione delle particelle in un Tokamak è circa 1020 [particelle/m-3].
I plasmi Tokamak tipicamente raggiungono temperature di diversi keV, (1keV
corrisponde a 10 milioni di gradi Kelvin).
Il campo Magnetico Toroidale Bp prodotto dalle bobine esterne al plasma è di
circa 12T (si cercherà di portarlo a 13 T) attraversate da una corrente di 68 kA.
Il campo Magnetico Poloidale Bp prodotto dalla stessa corrente del plasma
toroidale è tipicamente 10 volte più piccolo e la corrente indotta nel plasma Ip è
di 10MA
Le forze dovute alla pressione del plasma sono equilibrate dal campo magnetico
esterno e la stessa corrente del plasma che attraversa il campo magnetico, da
origine essa stessa a una forza magnetica che può bilanciare il gradiente di
pressione del plasma, imprimendo alle cariche un movimento elicoidale .
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3
Fisica del plasma
Molti processi nel plasma sono determinati dalle collisioni delle particelle.
Le collisioni tra ioni ed elettroni causano una resistenza elettrica, che induce un
riscaldamento ohmico del plasma.
Si definisce resistività elettrica ρ del plasma :
E  ρJ
La densità di potenza ohmica puntuale o locale p(r) è:
a
a
p(r )  ρ(r) J 2 (r )  P  2R   ρ(r) J 2 (r )dr
R
0
essendo
P  la potenza totale di riscaldamento
R  raggio del toro e
a  raggio del plasma
M. Usai
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4
Fisica del plasma
La resistività del plasma cresce con la temperatura e la densità di corrente che
sono limitate dalla stabilità magnetoidrodinamica per cui non è utilizzato il
riscaldamento ohmico per portare il plasma alle condizioni di ignizione.
Le collisioni producono trasporto di particelle ed energia che possono causare la
perdita di ioni e di elettroni dal plasma.
All’aumentare delle temperatura i tempi di collisione degli elettroni e degli ioni
diminuiscono e la frequenza di collisione aumenta e conseguentemente
aumentano le perdite per collisione e anche il riscaldamento ohmico.
M. Usai
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5
Fisica del plasma
Le instabilità sono classificate in relazione agli effetti prodotti sul plasma, per
esempio
• a) instabilità sui profili di pressione ( pression driven) e
• b) instabilità sulle linee di corrente ( current driven).
Plasma
Plasma
Un’altra classificazione è fatta rispetto allo spostamento della superficie del
plasma:
fixed boundary (instabilità che hanno effetto all’interno della colonna del plasma
e non incidono sui movimenti della superficie del plasma) e
free-boundary (instabilità che comportano lo spostamento dell’interfaccia
plasma-vuoto)
M. Usai
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6
Analisi Fisica del Plasma
Lo studio del plasma è molto complesso e comporta l’analisi di fenomeni
di natura fisica diversa. I principali campi della fisica da analizzare per
studiare il plasma sono:
• Elettromagnetismo,
• Fluidodinamica e
• Magnetoidrodinamica (dinamica dei fluidi elettricamente conduttori)
• Trasmissione di energia termica (nei solidi, nei liquidi, nei gas, nei plasmi)
• Cinetica dei gas (al variare della pressione e della temperatura)
• Criogenia (studia come ottenere basse temperature e il comportamento dei materiali
alle basse temperature)
M. Usai
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7
Elettromagnetismo
Le equazioni fondamentali relative ai campi elettrici e
magnetici sono le Equazioni di Maxwell.
in forma differenziale vettoriale
e
in forma integrale vettoriale
δB
E  
δt
Legge di Faraday
δD
H  J 
δt
Legge di Ampere
 D 
C H  dl  S  J  t   ds
D  
Legge di Gauss
 D  ds   ρ dv
dB
 ds
dt
S
 E  dl   
C
S
B  0
M. Usai
V
 Bds  0
S
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8
Elettromagnetismo
Le equazioni di Maxwelli in forma differenzi ale vettoriale in funzione di B e E

δB
δ B    E  
E  
δt


δt 
1 δE



B

μ
J

δ D 
0
H  J 

c2 δ t


δt  
B  0
B  0
 
ρ
 


E

D  ρ
 
ε0

con : D  ε 0 E 
1
μ 0c
2
E
B  μ0 H
1
H 
F 
m
μ 0  4  10  7  ;  0  8,854  10 12  ; c 
 2,998  108  
μ 0 0
m
m
s
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9
Elettromagnetismo
Il vettore E può essere espresso in funzione del potenziale scalare elettrico V e
del potenziale vettorial e magnetico A, per cui :
B    A


δA
E



V



δt
dai i valori dei potenziali V e A si possono ottenere
le grandezze di campo elettrico e magnetico B e d E
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10
Elettromagnetismo
La densità d' energia elettromagnetica è uguale alla somma
della densità di energia elettricae densità di energia magnetica :
w
1
1 B2
2
 we  wm  ε 0 E 
2
2 0
dalle relazioni di Maxwell si trova l' espressione della
variazione della densità di energia nel tempo


EB
w

EJ
 

t
 0 
1 δ E

  B  μ0 J  2
c δ t 
Il primo termine è la divergenza del flusso della energia elettromagnetica,
δB
E  
δt
espresso dal vettore di Poynting : P 
EB
0
Il termine E  J rappresenta il trasferimento di energia alle particelle cariche.
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11
Elettromagnetismo
w   1 2 1
E 2
H
 2
  E  H 2   E
 H
t
t  2
2
t 2
t
 2
sostituendo i valori delle derivare di E e di H e tenendo conto che
per le equazioni di Maxwell :




1 δ E
  B  μ0 J  2
c δt 

poichè vale l' uguaglianz a :
δB
E  
δt





EB
w
EJ
 

t
 0 


H   E  E   H   E H
w
  EH  EJ
t
che equivale alla relazione che esprime il Teorema di Poynting



 EH  M. Usai
 1 2 1
2 
 E  H   E
t  2
2

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12
Elettromagnetismo
Per i campi statici, scegliendo A tale che   A  0,
calcolando il rotore della relazione :
B    A si ottiene che

 A  0 J e
2
calcolando la divergenza della relazione :
E  V 
δA
si ottiene che
δt

2
 V-

.
0
Questo modello matematico consente
note le " cause": ρ e J di calcolare

i potenziali V e A e da questi

gli " effetti" o le grandezze di campo B ed E.
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13
Equazioni della teoria cinetica
L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento.
Le equazioni della teoria cinetica descrivono il plasma in movimento in termini
di funzione di distribuzione f(x,v,t) , che è una funzione di 7 variabili.
Per diversi scopi è adatta per descrivere il plasma in termini di variabili del fluido
come la densità delle particelle n(x,t), la velocità del fluido v(x,t) e la pressione
p(x,t) che sono funzioni di sole 4 variabili. Le equazioni richieste sono derivate
per ciascuna specie di particella dalla equazione cinetica di collisione del plasma
o equazione di Fokker- Plank:
ej
f
f
E  v  B  f   f 
v

t
x m j
 v  t  c
e j  carica della particella j
m j  massa della particella j
e indicando con F  e j E  v  B 
la forza di campo elettrico e magnetico che agisce sulla particella :
f
f
F f
 f 
 v '




t
 x m j  v '  t  c
con v  velocità della particella v'  velocità del fluido.
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14
Le equazioni cinetiche e quelle più complesse e specifiche che da queste
possono essere derivate, risultano valide solo se sufficientemente
localizzate, ossia se il percorso libero medio delle particelle è
sufficientemente piccolo rapportato alle lunghezze macroscopiche del
sistema in esame.
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15
Magnetoidrodinamica MHD
La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei fluidi elettricamente
conduttori.
Essa descrive il comportamento dinamico del fluido del plasma come unico
fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due entità separate.
Idea di base e le condizioni della Magnetoidrodinamica MHD consistono nel
considerare
la corrente che trasporta il plasma complessivamente neutra, ma costituita da:
- ioni che trasportano massa, quantità di moto ed energia e
- elettroni che trasportano corrente ed energia termica.
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Magnetoidrodinamica MHD
M. Usai
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17
Magnetoidrodinamica MHD
Le equazioni della Magnetoidrodinamica sono basate su:
•
•
•
•
equazione di conservazione della massa ,
dalla equazione del moto e
dalle equazioni di Maxwell e
dalla equazione delle trasformazioni adiabatiche, considerando il plasma
resistivo.
Quindi da tali equazioni si possono ottenere:
le Equazioni dell’ MHD ideale, che
legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi elettro-magnetici)
M. Usai
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18
Magnetoidrodinamica MHD
Equazioni dell’ MHD ideale
ρ
 ρ   v
t
J  
v
 JB p
t
p
 γ p   v
t
ρ
B
μ0
B
   E
t
E  vB  0
essendo  p la forza dovuta al gradiente di pressione
(presente tra due punti quando si verifica una differenza di pressione)
M. Usai
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Plasma in equilibrio
Le equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi
elettro-magnetici) possono essere utilizzate anche per determinare le condizioni
e configurazioni di equilibrio del plasma, imponendo le condizioni di regime
stazionario, per le quali le grandezze non variano nel tempo ossia  si

trascurano i termini delle derivate temporali dove compare l’operatore
.
t
v
Quindi considerando la velocità del plasma costante   0 , si ottengono le
t
equazioni del plasma in equilibrio.
 v
ρ t  J  B   p


B
J




μ0

  B  0


M. Usai

 p  JB

  B  μ0 J
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20
Plasma in equilibrio
Nella prima equazione,
 p  JB
 p è la forza agente sul fluido dovuta al gradiente di pressione,
stabilisce l’equilibrio delle forze. Essa afferma che quando una corrente fluisce
perpendicolarmente al campo magnetico, essa esercita una forza sull’elemento
fluido.
In condizioni di equilibrio questa forza bilancia la pressione cinetica del plasma,
ossia in ogni punto nel plasma, il gradiente puntuale o locale della pressione è
bilanciato dalla forza di Lorenz.
In particolare , per
 p  0 quando i campi J e B sono paralleli (giacciono sulla stessa linea retta)
si verifica una condizione di force free region ( regione libera dalle forze)
M. Usai
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21
Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
Si consideri un settore del toro del plasma rettificato (equivalente a un cilindro di
lunghezza pari alla lunghezza dell’asse del settore), riportando lo studio al caso
semplice in cui la corrente fluisce in un cilindro nella direzione del suo asse,
coincidente con l’asse di riferimento z. Questa configurazione semplifica lo
studio dell’effetto pinch (effetto di compressione del plasma)
z
 p  J  Bp
z
a
r
per a > 0: J = 0 → p = 0
p(r)
per a<0: J ≠ 0→ p ≠ 0
J
J
Bp
Bp
I 2   r  2 
p(r ) 
1
2 2   a  
2 a 

r
a
M. Usai
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22
Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
In regime stazionario la velocità non varia nel tempo e la forza di campo dovuta
alla corrente del plasma bilancia la forza dovuta al gradiente di pressione .
 p  J  Bp
J
Bp
p
M. Usai
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23
Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
Il campo magnetico è puramente azimutale ( tangente alle linee di forza ossia alle
circonferenze di raggio r, perpendicolari a z) per cui Jz e B sono sempre
perpendicolari e il bilancio delle forze è espresso da:
 p  JB p 
p
 J z  B p
r
Per calcolare come varia p(r) occorre definire come varia Jz(r).
Supponendo che la densità di corrente Jz= J0 sia costante nel plasma di raggio a e
nulla all’esterno per r > a, risolvendo l’equazione per una geometria cilindrica si
ha:
o I

B

r
p

2
p

2a
  J z  B p  
r
B  o I
p

2r






per r  a


2
dove I  J 0a è la corrente che fluisce nel plasma 

M. Usai
per r  a
I 2   r  2 
p(r ) 
1
2 2   a  
2 a 

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Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
p
 J z  Bp
r
a


p(r)   J z  B p dr
r

I
a

I 2
r  dr  
r dr
2 
2
4
r 2 a
 a   2a 
a  I  
  
p(r )   
2
r

a
  I   I r 2  
  I   I a 2   I   I r 2 
    





p(r )   
 2   
2 
2 2 
2 2   2 
2 2 
  a   2a
  r   a   2a
  a   2a


I 2   r  2 
p(r ) 
1  
2 2
4 a   a  
M. Usai
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25
Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak
Se si piega il cilindro per formare un toro si ottiene la geometria del tokamak.
Per un rapporto R/a grande, il Tokamak può essere approssimato a una sequenza
di tronchi cilindrici collegati uno di seguito all’altro. Le proprietà delle linee di
flusso risultante sono caratterizzate dal rapporto di sicurezza q:
q
z
a
numero di rotazioni toroidali * a BT

numero di rotazioni polidali* * R B p
R
q rappresenta il numero di giri toroidali che
la particelladel plasma deve fare
per compiere un giro poloidalecompleto
* Le rotazioni toroidali sono impresse dal campo toroidale BT
** Le rotazioni poloidali sono impresse dal campo poloidale BP
M. Usai
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26
Dalle condizioni di stabilità poiché deve essere BT >B p
risulta che → q >1.
In generale i valori più elevati di q portano ad una maggiore stabilità
Per es. per il Tokamak ASDEX Upgrade con dimensioni tipiche:
a=0.5m R=165m , q = 3  comporta che BT =10 Bp.
z
a
M. Usai
R
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27
Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak
Pertanto, se una linea di campo magnetico ritorna alla sua posizione iniziale dopo
esattamente una rotazione attorno al toro, quindi q = 1.
Se si muove più lentamente nel direzione poloidale ha un valore maggiore di q. I valori
razionali di q svolgono un ruolo importante nella stabilità. Se q = m / n, dove m e n sono
numeri interi, la linea di campo si unisce su se stessa dopo m rotazioni toroidale e n
rotazioni poloidali toro.
La condizione relativa a q = 2 linea è illustrato nella seguente figura:
a) linea di campo superficiale (sulla superficie del toro) per q=2,
b) percorso di integrazione poloidale,
c) anello di flusso contenente il flusso toroidale e poloidale.
M. Usai
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28
The Grad-Shafranov Equation
Le superfici di flusso per la configurazione del Tokamak sono costituite da
un insieme di tubi di flusso toroidali nidificati che rappresentano la soluzione
dell'equazione Grad-Shafranov, che è una equazione differenziale
in termini di una funzione di flusso poloidale Bp.
Le equazione Grad Shafranov possono essere numericamente risolte con ipotesi
geometriche semplificative (come: plasma circolare e grande formato, cioè
grande rapporto tra raggio maggiore e raggio minore raggio), per la
ricostruzione delle linee di flusso in condizioni di equilibrio.
Poiché il plasma racchiuso nella camera da vuoto (vessel) elettricamente
conduttivo, l'effetto più importante associato con il fatto che il plasma tende
ad espandersi verso l'esterno, è che le linee di campo risultano compresse
nel lato esterno.
Questa compressione richiede un aumento della pressione magnetica per
contrastare la tendenza del plasma di espandersi.
M. Usai
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29
The Grad-Shafranov Equation
La stato di equilibrio risultante viene quindi caratterizzato da uno spostamento
del fluido verso l'esterno rispetto al centro geometrico della sezione trasversale
circolare del plasma, che quindi nella configurazione del nuovo stato di
equilibrio, non corrisponde più alla posizione dell’asse magnetico del toro.
La deviazione del centro geometrico della sezione del plasma è definita come lo
Spostamento Shafranov (Shafranov shift) ∆:
M. Usai
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30
The Grad-Shafranov Equation
Per un sistema asimmetrico come il Tokamak il modello matematico che descrive
il bilancio delle forze, deve essere adattato e modificato, tenendo conto dei
seguenti concetti:
 Essendo  p  J  B

 pJ   pB  0
Quindi le linee di campo di J e B giaciono su superfici a pressione costante.

 Gli integrali del flusso B dA,
 J dA hanno un valore sulle superfici
con pressione costante
per una arbitraria curva C su questa superficie , poichè J e B giaciono su questa superficie
ogni parte degli integrali si annulla. Queste superfici sono chiamate superfici di flusso
e possono essere etichettat e con valori di flusso scalari.

 Poichè  J   B  0, ogni intergrale di flusso B dA,
 J dA, ha un valore costante
se la superficie arbitraria A è delimitata dalla stessa curva C e quindi la scelta di A può essere
arbitraria . Ciò comporta che a ciascuna superficie di flusso può essere assegnato un unico
valore di flusso, indipenden temente dalla geometria nella quale il flusso è stato calcolato.
M. Usai
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The Grad-Shafranov Equation
Sul toro si distinguono due tipi di curve di campo: quelle che si avvolgono sul toro in
senso toroidale e quelle si avvolgono sul toro in senso poloidale. Considerando una
curva che si avvolge nella direzione toroidale, integrando l’induzione nel dominio o
superficie delimitato da questa curva, si ottiene il flusso magnetico poloidale ψ e la
corrente totale poloidale Ipol.
Entrambe le funzioni sono costanti sulla
superficie di flusso le componenti del campo
magnetico poloidale e la corrente poloidale
z
possono essere calcolate come:
ϕ
R
μ 0 I pol
1 ψ
1 ψ
Br  
; Bz 
; B pol 
;
2r z
2π z
2r
Vs 
con   flusso poloidale per unità di lunghezza
m
in direzione toroidale.
Con queste espressioni il bilancio delle forze diventa l’equazione di Grad-Shafranov :
  1 ψ   2 ψ
2
2
'
-  *   R 
  2   0 2R  p(ψ)'  0 I pol (ψ)I pol (ψ)
R  R R  z
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32
The Grad-Shafranov Equation
Attraverso l’equazione di Grad−Shafranov che esprime l’effetto del flusso
magnetico poloidale sulle superfici magnetiche del plasma, è possibile
↓
definire le modalità di controllo dello stesso, ossia
↓
i valori
delle correnti delle bobine poloidali e
↓
delle correnti delle bobine di correzione (Corretions Colis ),
che mantengono il plasma confinato e centrato nella camera da vuoto o vessel.
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33
The Grad-Shafranov Equation
M. Usai
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34
The Grad-Shafranov Equation
M. Usai
7c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK_Multi-Fisiche del Tokamak
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The Grad-Shafranov Equation
Il bilancio delle forze risulta espresso dalle equazione di Grad-Shafranov:
  1 ψ   2 ψ
2
2
'
-  *   R 
  2   0 2R  p(ψ)'  0 I pol (ψ)I pol (ψ)
R  R R  z
L’equazione è non lineare e per risolverla
1. si possono specificare p(ψ) e Ipol(ψ) e quindi calcolare ψ(R,z) e inoltre
2. dovranno essere definite le condizioni al contorno.
• Se il plasma è circondato da un contenitore vuoto perfettamente conduttore, esso
costituisce una superficie di flusso e quindi ψ=cost nel contenitore, determina la
forma e la posizione del contorno del plasma.
• Per soddisfare queste condizioni, si deve aggiungere una soluzione della
equazione omogenea cioè una funzione con -  ext  0
Tale campo è prodotto da un avvolgimento esterno, cioè la soluzione della equazione
di Grad-Shafranov con un contorno fissato e funzioni profilo che ci dicono come
definire le correnti esterne di controllo per mantenere il plasma in equilibrio.
M. Usai
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