Introduzione ai convertitori Digitali-Analogici (DAC) Consideriamo il circuito sommatore rappresentato nella figura 1, dove si assumono ideali tutti i componenti (amplificatore operazionale, deviatori Si, resistenze R). - VR S2 D2 D1 R S0 S1 D0 2 R 4R VO RF=R/2 Figura 1 La posizione di ciascun deviatore è controllata dal valore 0 oppure 1 di un bit Di. Al valore 0 corrisponde la condizione di deviatore a massa, al valore 1 la condizione di deviatore collegato a – VR. Chiamiamo D2, D1, D0 i bit di controllo, rispettivamente, dei deviatori S2, S1, S0. Consideriamo la parola digitale costituita dall’insieme dei tre bit Di : sappiamo che può assumere 23=8 configurazioni distinte NK (K=0,…,7), come si vede dalla tabella 1, individuabili con le cifre decimali N da 0 a 7 codificate in binario. Tabella 1 Configurazione N0 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 Numero N 0 1 2 3 4 5 6 7 D2 0 0 0 0 1 1 1 1 D1 0 0 1 1 0 0 1 1 D0 0 1 0 1 0 1 0 1 Aggiungiamo alla tabella una ulteriore colonna Vo, dove riportiamo (tabella 2) i valori dell’uscita in corrispondenza a ciascuna delle possibili configurazioni dei deviatori, assumendo, nel calcolo, VR=10V (suggerimento: far calcolare dagli studenti i valori di Vo). Tabella 2 Configurazione N0 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 Numero N 0 1 2 3 4 5 6 7 D2 0 0 0 0 1 1 1 1 D1 0 0 1 1 0 0 1 1 D0 0 1 0 1 0 1 0 1 Vo (V) 0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 7.5 8.75 Esercizio 1 Ricavare l’espressione letterale generale di Vo in funzione del valore Di dei singoli bit e della tensione di riferimento VR. Sovrapponendo gli effetti dei singoli rami si ottiene facilmente 2 Vo VR ( D2 D1 D0 ) VR ( 2(3i ) Di ) 1 2 1 4 1 8 (1) i 0 In generale, con n bit n1 Vo VR ( 2 ( ni ) Di ) (2) i 0 Si noti che, facendo corrispondere a ciascuna parola D2D1D0 il valore decimale NK equivalente mostrato in tabella [ovvero moltiplicando e dividendo per 23 il 2° membro della (1)], possiamo anche scrivere che Vo VR 2 (2 D2 21 D1 20 D0 ) VR 3 2 NK 8 Commento: il circuito sommatore in esame converte una parola digitale di 3 bit (che chiameremo codice binario in ingresso) in una tensione proporzionale al valore decimale NK corrispondente. Il circuito realizza quindi una conversione digitale-analogica e per questo viene chiamato DAC (Digital-to-Analog Converter) Esercizio 2 Rappresentare in un piano cartesiano Vo in funzione del codice di ingresso. (Questa rappresentazione è detta anche”caratteristica di trasferimento del DAC”). Caratteristica di trasferimento di un DAC a 3 bit con VFS=10V 10,00 8,75 Vo (V) 7,50 6,25 5,00 3,75 2,50 1,25 0,00 000 001 010 011 100 101 110 111 Codice di ingresso Osservazione: in sostanza il sommatore presenta in uscita uno tra i 2n (n= numero dei bit nella parola digitale, 3 in questo esempio) valori che si ottengono dalla suddivisione in 2n parti uguali della tensione VR=10 V. VR corrisponde anche alla tensione di fondo scala VFS del DAC. Notiamo che in questo caso la più piccola variazione di Vo, pari all’incremento dell’uscita da un codice al successivo (incremento che prende il nome di “risoluzione” del DAC), vale 1.25 V , cioè 10/8 V. Esercizio 3 Trovare l’espressione letterale generale della risoluzione di un DAC con tensione di fondo scala VFS e codice di ingresso a n bit Risoluzione = VFS/2n Osservazione: la risoluzione corrisponde al peso del bit meno significativo (LSB) nell’espressione generale 2). [ Per n=3 si vede dalla 1) che il peso di D0 vale 2-3=1/8] Esercizio 4 Calcolare la risoluzione di un DAC a 10 bit con VFS=5 V Risoluzione = 5/210 V=5/1024 V 5 mV. Abbiamo sin qui considerato ideali tanto l’amplificatore operazionale quanto i deviatori; esaminiamo ora gli effetti delle non idealità. L’amplificatore operazionale reale presenta un offset di tensione eo che si riflette su Vo in modo indipendente dal codice di ingresso, come si evince dal seguente esercizio. Esercizio 5 Calcolare la tensione Verr in uscita dal DAC della figura 1, dovuto a una tensione di offset eo=10mV. Osserviamo che, utilizzando la sovrapposizione degli effetti tra i generatori eo e VR, ci si rende immediatamente conto che, indipendentemente dal valore del bit di controllo, i resistori R, 2R, 4R sono tutti a massa quando è presente solo eo. Dobbiamo quindi trovare la tensione di uscita della configurazione non invertente mostrata nella figura 2, dove Req è il parallelo tra R, 2R e 4R. R/2 Req Verr eo Figura 2 Si trova che Req Re quindi Verr= (1+.5R/.57R) eo 19 mV. In questo caso l'errore è piccolo rispetto all'LSB, ma il suo peso cresce al crescere di n. Tenendo conto dell'offset, l'espressione generale 2) diventa: ni Vo VR ( 2 ( ni ) Di ) Verr (eo ) (3) i 0 Domanda Che effetto ha questo errore sulla caratteristica di trasferimento di un DAC? Risposta La caratteristica viene traslata rigidamente di una quantità pari a Verr. Osservazione E’ noto che l’effetto dell’offset di tensione può essere portato a 0 in uscita agendo su opportuni trimmer, ma la regolazione dipende dalle condizioni operative (temperatura, alimentazioni, età del componente) e quindi deve essere periodicamente rifatta. Domanda Nell’esempio della figura 1) le correnti di polarizzazione introducono errori su Vo? Risposta Introduce errori la corrente di polarizzazione del morsetto negativo. Assumendo che anche i deviatori Si siano reali, dobbiamo tener conto che si comportano come resistenze ri in serie al ramo in cui sono inseriti, cambiando così il peso del relativo bit, come si ricava dall’esercizio seguente. Esercizio 6 Calcolo del peso effettivo di ciascun bit Di con Si reale R/2 i=0,...,n-1 ri 2n-1-iR -VR Vo Figura 3 R Vo r 2n21i R (VR ) VR i R 2 ri 2n i R VR 2 ( ni ) ( 12 ( n11i ) ri ) VR 2 ( ni ) (1 2 ( n1i ) Rri ) R Commento Le ri determinano una non linearità nella caratteristica di trasferimento, variando l’incremento dell’uscita da un codice al successivo, incremento che differisce così dal valore ideale di 1 LSB. Domanda Cosa succede se le resistenze R non rispettano rigorosamente i rapporti indicati nella figura 1)? Risposta Si hanno effetti analoghi ai precedenti di non linearità sull’uscita, oltre a errori di guadagno (cambia la pendenza della caratteristica di trasferimento). Nei DAC reali può capitare che un deviatore si guasti, rimanendo sempre collegato a VR o a massa, indipendentemente dal valore che assume il suo bit di controllo. Esaminiamo gli effetti di questo malfunzionamento nel seguente esercizio. (4) Esercizio 7 Si ricalcolino i valori di Vo nella tabella 1) con S1 sempre a massa (caso a) oppure sempre a VR (caso b) e si disegnino le caratteristiche di trasferimento normalizzate. Commentare i risultati Caratteristica di trasferimento di un DAC non monotono D2 0 0 0 0 1 1 1 1 D1 0 0 1 1 0 0 1 1 D0 0 1 0 1 0 1 0 1 Vo/VR 0 0,125 0 0,125 0,5 0,625 0,5 0,625 0,70 0,60 0,50 V o/V R NK 0 1 2 3 4 5 6 7 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 000 001 010 011 100 101 110 111 Codice di ingresso Caso a): Deviatore S1 sempre a massa NK 0 1 2 3 4 5 6 7 D2 0 0 0 0 1 1 1 1 D1 0 0 1 1 0 0 1 1 D0 0 1 0 1 0 1 0 1 Vo/VR 0,25 0,375 0,25 0,375 0,75 0,875 0,75 0,875 Vo/VR Caratteristica di trasferimento di un DAC non monotono 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 000 001 010 011 100 101 110 111 Codice di ingresso Caso b): deviatore S1 sempre a VR Commento Il malfunzionamento produce un comportamento non monotono: l’uscita del DAC non cresce sempre, ma talvolta decresce, al crescere del codice.