ESPERIENZA DI MILLIKAN
Scopo di questa esperienza è dimostrare la quantizzazione della
carica elettrica e trovare il valore della carica elettrica
elementare.
L’ esperienza di Millikan sfrutta ingegnosamente il moto di
caduta di una sfera nel campo gravitazionale terrestre
attraverso un fluido viscoso, con velocità limite costante, in un
recipiente entro il quale è possibile stabilire un campo elettrico
uniforme.
Il dispositivo, simile a quello originariamente utilizzato da
Millikan, consiste in una camera cilindrica all’ interno della quale
può essere spruzzato dell’ olio, che fuoriuscendo da un ugello
posto lateralmente alla camera, entra nella camera in forma di
molte
minuscole
goccioline,
che
risultano
cariche
elettricamente per lo strofinio sia tra loro che con i bordi dell’
ugello; pertanto esse presentano cariche di entrambi i segni e
di valore variabile. Inoltre le goccioline assumono forma sferica
ma di raggio variabile. Tali gocce sono soggette al campo
gravitazionale terrestre ma il loro moto avviene attraverso l’
aria. Inoltre, tra le basi della camera cilindrica si può stabile
una differenza di potenziale; in tal modo la camera costituisce
un condensatore a facce piane e parallele, nel quale si può
stabilire un campo elettrico quasi uniforme. Il dispositivo è
schematizzato in Fig.1, tratta dalla scheda 559 41/42 che
accompagna l’ apparecchio, fornita dalla ditta costruttrice, la
Leybold-Heraeus. A tale scheda rimandiamo per ulteriori
dettagli meccanici e elettrici dell’ apparecchio.
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Fig. 1
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Introduzione
Se un corpo di forma sferica viene abbandonato, inizialmente
con velocità nulla, nel campo gravitazionale terrestre ma in un
mezzo fluido, le forze che in ogni istante agiscono sul corpo
sono: la forza peso, diretta verso il basso, la forza di attrito
viscoso e la spinta di Archimede, queste ultime due entrambe
dirette verso l’ alto. Denotando con m,r,v,a rispettivamente
massa, raggio, velocità e accelerazione istantanea del corpo
sferico, e con il coefficiente di viscosità del fluido, la
seconda legge della dinamica si può scrivere:
4
4
ma FP FA Fv mg fluidoVcorpo g 6rv corpo r 3 g fluido r 3 g 6rv
3
3
(1)
da cui si ricava l’ accelerazione istantanea del corpo:
a
1 4 3
r g corpo fluido 6rv
m 3
(2)
All’ istante iniziale si ha v=0, perciò il termine 6rv è nullo e se,
come accade nell’ esperienza di Millikan, corpo fluido , l’
accelerazione è positiva. Con il sistema di riferimento diretto
verso il basso implicitamente scelto nello scrivere il secondo
termine dell’ eq. (1), questo significa che il corpo inizierà a
scendere verso il basso attraverso il fluido, ma non appena tale
moto inizia, v inizia a crescere e 6rv inizia a crescere. L’
accelerazione pertanto tende a ridursi, fino a quando,
crescendo,
6rv
diventa uguale a
4 3
r g corpo fluido . In quell’
3
istante a diventa nulla, e quindi da quel momento in poi v non
cresce più, rimane con il valore che ha reso nulla l’
accelerazione e da quel momento in poi il corpo prosegue la sua
discesa con velocità costante (moto rettilineo uniforme). In
dispositivi da laboratorio solitamente questo accade entro
frazioni di secondo dall’ istante in cui il corpo viene inizialmente
abbandonato, ossia dopo che ha percorso nel fluido solo una
piccola frazione dello spazio disponibile al moto del corpo.
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Questa velocità costante, detta <<velocità di caduta limite>>, v0,
si calcola facilmente ponendo a=0 nella (1) o nella (2):
v0
2 gr 2
corpo fluido
9
(3)
Se il moto del corpo sferico avviene in una regione in cui è
presente anche un campo elettrico uniforme, verticale, p.es.
diretto verso l’ alto, allora in aggiunta alle forze considerate
nella (1) vi è anche la forza elettrica, che per un corpo carico
positivamente sarà diretta verso l’ alto come la spinta di
Archimede e per uno carico negativamente sarà diretta verso il
basso come la forza peso (l’ opposto avviene se il campo
elettrico è diretto verso il basso). In generale possiamo
riscrivere la (1) così:
4
ma FP FA Fv FE r 3 g corpo fluido 6rv qE
3
(1A)
Anche con il campo elettrico si raggiunge una velocità di caduta
limite costante quando, crescendo, 6rv diventa uguale a
4 3
r g corpo fluido qE , ma il nuovo valore di tale velocità, v1,
3
dipende naturalmente sia dalla carica elettrica della sfera che
dal campo elettrico e si ricava ponendo a=0 nella (1A):
v1
2 gr 2
corpo fluido qE v0 qE
9
6r
6r
(3A)
E’ chiaro che a seconda del valore e del segno sia di q che di E,
qE
può essere >, <, oppure = v0 e che v1 può essere positiva,
6r
cioè diretta verso il basso ma inferiore o superiore a v0, oppure
può essere negativa, cioè diretta verso l’ alto, tendendo a far
risalire il corpo, o nulla. Nell’ ultimo caso il valore del campo
elettrico e quello della carica sono quelli giusti perché la forza
elettrica equilibri la risultante delle altre 3 una volta raggiunto
il regime di velocità limite, e il corpo rimane librato nel fluido.
Ma se un corpo sferico è fermo con un dato campo elettrico
applicato, mentre spegnendo il campo elettrico scende con una
velocità limite misurata v0, allora la sua carica q può essere
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determinata usando opportunamente la (3A), in cui si pone v1=0,
e la (3). Infatti dalla (3A) con v1=0 si ha:
q
6rv 0
E
(4)
in cui compare il raggio della sfera r, il quale se non è noto o non
è misurabile direttamente, come accade nel caso delle gocce d’
olio dell’ esperienza di Millikan, può però a sua volta essere
ricavato indirettamente dalla misura di v0 utilizzando la (3):
9v0
2 g corpo fluido
r
(5)
L’ esecuzione pratica dell’ esperienza di Millikan consiste
essenzialmente nell’ individuare, a campo elettrico acceso, una
goccia di olio ferma (o meglio senza componenti di moto lungo la
verticale), spegnere il campo elettrico e immediatamente
osservare il suo moto (tempo impiegato a percorrere una
distanza fissata) per determinarne la velocità v0. Si sostituisce
quindi v0 nella (5) per determinare r e ancora, insieme a r, nella
(4), determinando così q di quella goccia osservata:
3
q
3
18 2 v 02
E 2 g ( olio aria )
3
3
18d 2 v 02
V 2 g ( olio aria )
(6)
ove si è utilizzato il fatto che in un condensatore piano E=V/d,
d essendo la distanza tra le armature.
I valori appropriati per il dispositivo utilizzato sono: d=6mm;
=aria=1.8110-5 Ns/m2; aria=1.29 kg/m3; olio=875.3 kg/m3.
Con tali valori la (6) si semplifica in:
3
2 10 10 v02
q
V
(7)
che dà q in Coulomb se si esprime V in Volt e v0 in m/s.
Ripetendo questa operazione per molte diverse goccioline
librate con un dato campo E, e inoltre variando anche E, si
raccoglie una collezione di valori discreti di q dai quali la
quantizzazione della carica dovrebbe emergere facilmente.
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Fig. 2
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Modo di operare
Il modo di operare qui suggerito segue il metodo denominato 3.1
nel manuale Leybold-Heraeus 559 41/42. Il metodo 3.2 lì
descritto non viene suggerito, ma lo studente è libero di
provarlo.
I numeri tra parentesi identificano le parti dell’ apparecchio
descritte in Fig. 2 (anch’ essa tratta dal Manuale LeyboldHeraeus 559 41/42).
1. Collegare il dispositivo di illuminazione alla boccola multipla
(15).
2. Collegare le armature del condensatore alle boccole (11).
3. Collegare il cronometro alle boccole (10).
4. Fissare, mediante la manopola (14) un valore di d.d.p. da
applicare tra le armature del condensatore. L’ intervallo utile
è 0-600 V. Si suggerisce di usare valori 300V.
5. Curare che l’ ugello di spruzzo del polverizzatore dell’ olio si
trovi davanti ai due fori praticati nel coperchio della camera,
quindi spruzzare.
6. Attendere 1-2 min affinché la maggior parte delle gocce per
cui l’ accelerazione è diversa da zero raggiungano le
armature del condensatore sgombrando il campo visivo.
7. Concentrare la propria attenzione su una singola goccia che
appare ferma, o almeno che non abbia componenti verticali
della velocità e la cui velocità orizzontale sia la più piccola
possibile. [Si noti che tutte le equazioni scritte in
Introduzione valgono ugualmente se il corpo ha una
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componente orizzontale della velocità, per esempio
impressagli dallo spruzzo, in quanto questa non è soggetta
alle forze descritte, che hanno tutte direzione verticale.]
8. Spegnere il campo elettrico, mediante la manopola (16).
Questa operazione dà anche automaticamente lo START al
cronometro. Rilevare lo spazio percorso dalla goccia
contando gli intervalli della scala del microscopio
attraversati e il tempo, che viene dato dal cronometro
quando si riprese il tasto (16). La seconda pressione di
questo tasto infatti dà lo STOP al cronometro e inoltre
riaccende il campo elettrico.
9. Calcolare q mediante la (7), tenendo conto che lo spazio
percorso è dato dal rapporto tra il numero di intervalli
attraversati e l’ ingrandimento del microscopio: s=x/18750
m e quindi vo=x/(18750 t) con t in secondi.
10. Ripetere la misura molte volte con una data d.d.p.,
osservando ogni volta una goccia diversa.
11. Ripetere il tutto per diversi valori della d.d.p.
12. Raccogliere i diversi valori di q in un istogramma, dal quale la
quantizzazione della carica dovrebbe apparire evidente.
NOTA: Il tempo necessario per raccogliere 50 diversi valori
di q è di circa 3 ore.
13. Calcolare il massimo comune divisore dei diversi valori di
carica per ottenere la carica elementare e.
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