La propagazione delle onde

LA PROPAGAZIONE DELLE ONDE
Lezioni d'Autore
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Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (I)
La luce, le onde radio, il suono, sono
esempi di onde nello spazio che si
propagano in tutte le direzioni e nello
stesso modo, a causa delle proprietà del
mezzo (omogeneità e isotropia). Anche
ipotizzando (per un tempo breve) che
l’energia dell’onda sferica non subisca
attenuazioni (dovute al mezzo), per
questioni puramente geometriche
(aumento della superficie interessata
dall’onda) il flusso di energia si ridurrà
rapidamente in funzione del quadrato
della distanza della sorgente.
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (II)
Nel caso di un’onda circolare che si
genera su una superficie (come nel caso
di onde sull’acqua) il flusso dell’energia
decrescerà come l’inverso della
distanza. Per un’onda ideale in una
dimensione (lungo, ad esempio una
corda), trascurando gli effetti del
mezzo, l’energia si propagherà
mantenendo costante il valore iniziale.
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (III)
Ritornando all’esempio di un'onda radio
(diciamo televisiva) emessa da
un’antenna è chiaro il motivo
(convogliare le informazioni con
dissipazione minima) che porta a
trasformare, nel punto di ricezione,
l’onda sferica o piana in un’onda a una
dimensione che viaggia all’interno del
cavo coassiale schermato (il filo di rame
centrale dell’antenna).
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (IV)
Noi qui parleremo, per semplicità,
essenzialmente di onde unidimensionali.
La loro idealizzazione avviene
attraverso l’introduzione di onde
”elementari” che si propagano lungo la
direzione x con velocità vf.
L’onda armonica ha una lunghezza
d’onda caratteristica  e una frequenza f
tali che f= vf. L’equazione dell’onda
armonica è
A=Amax sen[2(-1x-ft)],
con A ampiezza dell’onda.
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (V)
Se si rappresenta l’onda al tempo t=0
essa non è limitata spazialmente ed è
caratterizzata da un solo valore della
lunghezza d’onda.
Il quadrato dell’ampiezza è
proporzionale all’energia associata
all’onda armonica. Le caratteristiche di
idealità dell’onda sono evidenti.
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (VI)
Se si rappresenta l’onda al tempo t=0
essa non è limitata spazialmente ed è
caratterizzata da un solo valore della
lunghezza d’onda.
Il quadrato dell’ampiezza è
proporzionale all’energia associata
all’onda armonica. Le caratteristiche di
idealità dell’onda sono evidenti.
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (VII)
Rappresentazione di un’onda armonica
al tempo t=0
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (VIII)
Così dal punto di vista temporale (se
poniamo x=0) la sinusoide non è
limitata nel tempo ed ha una sola
frequenza. In altre parole un’onda
armonica non è localizzata nello spazio
e nel tempo e per essa valgono principi
di incertezza classici (come abbiamo
accennato a esempio nelle lezioni di
acustica) sia spaziali che temporali.
Propagazione delle onde in un mezzo
omogeneo e isotropo.
Onde armoniche progressive (IX)
Rappresentazione di un’onda armonica
per x=0
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (I)
Sovrapponendo
(sommando
algebricamente)
moltissime onde
armoniche
(ognuna con
grandezze
caratteristiche
diverse) si può
ottenere un’onda
limitata
spazialmente: un
pacchetto di
onde.
Evoluzione temporale di un pacchetto di onde
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (II)
Per capire le proprietà dell’insieme
delle armoniche, limitiamoci per ora
alla somma di due sole onde
monocromatiche con uguale ampiezza.
Nel caso del suono l’interferenza, se le
frequenze sono molto vicine, produce
il fenomeno dei battimenti.
Le due armoniche soddisfano alle
equazioni:
A1=Amax sen[2(-1x-f1t)] e
A2=Amax sen[2(-1x-f2t)].
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (III)
Utilizzando la formula di prostaferesi
sen+sen=2sen[½(+)]cos[½(-)] si può
esprimere la somma delle due ampiezze
come:
A=A1+A2=
=Amax sen[2(-1x-f1t)] +Amax sen[2(-1x-f2t)]=
=2Amax cos{(-1--1)x-(f1-f2)t)]}·
·sen{(-1+-1)x-(f1+f2)t)]}.
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (IV)
L’onda risultante ha una nuova
lunghezza d’onda che soddisfa la
relazione:
-1=½-1+-1) e una frequenza f pari
alla semisomma di f1 e f2 (la media
delle frequenze delle armoniche).
L’ampiezza massima dipende dal
tempo secondo una funzione coseno,
quindi, anche fissando un valore per
x, è modulata, varia regolarmente nel
tempo con una frequenza pari alla
semidifferenza tra le frequenze
iniziali.
Il pacchetto di
onde.
Velocità di fase e
velocità di
gruppo (V)
Fenomeno dei
battimenti:
sovrapposizione
di onde
sinusoidali di
frequenza molto
vicina
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (VI)
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Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (VII)
Si può qui distinguere una velocità di
fase, ricavabile dal termine seno,
propria dell’onda:
vf=f=12(1+2)-1(f1+f2)
e la velocità con cui viaggia
l’ampiezza dell’onda (e quindi
l’energia) detta velocità di gruppo vg
(ricavabile dal termine coseno):
vg= 12(2-1)-1(f1-f2).
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (VIII)
I due valori della velocità di fase e
della velocità di gruppo coincidono se
1f1=2f2
ovvero se tutte le velocità di fase
sono uguali.
In questo caso il mezzo non
discrimina le diverse onde armoniche,
mentre in mezzi dispersivi i due valori
possono essere diversi.
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (IX)
Ritornando al caso del suono i
battimenti sono prodotti da due
diapason di frequenza leggermente
diversa, le due note musicali
viaggiano nell’aria alla stessa velocità
che non dipende dalla frequenza.
I battimenti sono percepiti da tutti gli
uditori, indipendentemente dalla
posizione, sempre allo stesso modo.
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (X)
Mentre nel caso della dispersione
ottica: il passaggio di luce bianca
(composta da moltissime onde
monocromatiche) attraverso un
prisma comporta la separazione delle
componenti colorate proprio per la
diversa velocità di fase delle onde
all’interno del vetro.
Il pacchetto di onde.
Velocità di fase e velocità di gruppo (XI)
Il viola si disperde
più del rosso proprio
perché la velocità
aumenta con la
lunghezza d’onda
(nel caso di velocità
tutte uguali il raggio
di luce non
subirebbe una
rifrazione, una
maggiore deviazione
comporta una
velocità inferiore)
Dispersione della luce
attraverso un prisma
Onde marine (I)
La descrizione della propagazione
delle onde sulla superficie marina
utilizza principalmente due
schematizzazioni. La prima è
quella di acque profonde. Se la
lunghezza d’onda è piccola
rispetto alla profondità del
fondale, il mezzo risulta dispersivo
e la velocità di fase è funzione
della lunghezza d’onda. In tal
caso viaggiano più velocemente le
onde con maggiore lunghezza
d’onda.
Onde marine (II)
La forma dell’onda varia a causa delle
diverse velocità delle componenti
dell’onda.
Il secondo caso limite è quello delle
acque basse, per le quali è piccolo il
rapporto profondità lunghezza d’onda.
Allora tutte le onde armoniche
viaggiano alla stessa velocità
(proporzionale alla radice quadrata
della profondità) e la forma risultante
dell’onda, se la profondità non cambia,
è sempre la stessa.
Onde marine (III)
Se si analizza una singola onda
provocata da un movimento
tellurico sottomarino (in realtà un
terremoto provoca una serie di
onde che a grande distanza
dall’epicentro presentano una
serie di picchi e valli, il primo dei
quali non è necessariamente il più
intenso), si nota che il trasporto
dell’energia avviene su distanze
dell’ordine del migliaio di
kilometri.
Onde marine (IV)
Inizialmente l’altezza dell’onda è
modesta (dell’ordine del metro) e
la sua velocità è elevata 800 km/h
(le normali onde oceaniche
provocate dal vento hanno
velocità di 90 km/h e periodo
dell’ordine della decina di secondi,
lunghezza d’onda 100-200 metri).
In prossimità della terra emersa la
velocità dell’impulso, che per
semplicità si suppone a forma di
campana, diminuisce e l’altezza
dell’onda aumenta.
Onde marine (V)
Passaggio di un’onda a forma di
campana da una zona in cui
viaggia a grande velocità a una a
bassa velocità
Onde marine (VI)
Gli tsunami (onde del porto) riflettono
il principio di conservazione
dell’energia.
L’onda, non potendo più trasportare
energia su uno spazio molto ampio (a
causa della pendenza del fondo
marino in prossimità della spiaggia),
concentra l’energia in un volume
limitato con un abnorme aumento
dell’altezza, anche considerando la
dissipazione dovuta alle turbolenze
dell’acqua col fondale marino.
Onde marine (VII)
Vediamo lo stesso problema dal punto
di vista della velocità di fase. Le onde
anomale sulla superficie oceanica,
causate dal terremoto, possono essere
considerate come la sovrapposizione
di un insieme di onde armoniche. I
periodi variano tra 10 minuti e le due
ore.
Le lunghezze d’onda possono superare
i 500 kilometri. Per un terremoto che
si è verificato a 5 km di profondità
moltissime componenti delle onde
sono comunque onde in acque basse.
Onde marine (VIII)
Per tutte queste la velocità di fase è
uguale alla velocità di gruppo.
Indicando con h la profondità del
fondale e g l’accelerazione di gravità:
vf=vg=(gh)½.
Al diminuire della profondità del fondo
marino la velocità di ogni singola
armonica decresce, ma continua a
valere l’espressione: vf=f
Onde marine (IX)
Nella figura sono riportati alcuni valori della velocità con il variare
della profondità. Nella stessa figura si rappresenta il movimento locale
dell’acqua durante il passaggio dell’onda a diverse altezze. Il moto
sotto la superficie si trasforma da circolare a ellittico, via via più
schiacciato, fino a diventare, in prossimità del fondo, rettilineo.
Onde marine (X)
Propagazione di uno tsunami
Osservando un treno d’onde, fissando il punto di massima
ampiezza dell’onda, dove è concentrata l’energia, si inizia a
notare una sorta di riduzione della distanza tra le creste.
Onde marine (XI)
Le creste davanti al treno d’onde
rallentano prima di quelle che seguono. I
picchi si infittiscono e il primo tende a
salire a causa di un effetto domino in cui
l’energia viene concentrata quasi
totalmente sul picco. Non solo, a
bassissime profondità, per opportuni
valori, la base dell’onda viaggia ora con
una velocità inferiore a quella del picco, si
produce così la caratteristica forma
dell’onda (il mezzo è dispersivo) che
s’infrange, con impeto distruttivo, sulla
costa. Un muro d’acqua alto trenta metri
che si inoltra per centinaia di metri
nell’entroterra.
Onde marine (XII)
Non più un’onda (trasporto di energia), ma un flusso
di materia dovuto alla discontinuità del passaggio
acqua-spiaggia.
Rappresentazione dell’onda frangente dello tsunami
Altri video:
Video 1 L’origine e la propagazione delle
onde (marine) Clic
Video 2 Geo scienza. Le onde, un movimento
di energia ma non di materia Clic
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onde sonore Clic
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Video 5 Come si manifesta la dispersione
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