La teoria dei giochi non
cooperativi
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
1
Ci occuperemo soltanto di giochi non cooperativi:
cooperativi
l’unità d’analisi è il singolo giocatore che cerca di
compiere le scelte per sé migliori date le regole
del gioco e i vincoli posti dall’interazione
strategica con altri giocatori:
in maniera un po’ imprecisa non possono essere fatti
ex-ante accordi vincolanti con altri giocatori che expost conviene infrangere.
In questo tipo di giochi nulla vieta che i giocatori
possano giocare strategie cooperative.
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2
Rappresentazione di giochi
Nel rappresentare un gioco dobbiamo specificare:
1. il numero dei “giocatori” (cioè degli individui coinvolti);
2. le regole del gioco, ossia
chi sceglie,
quali opzioni ha,
quando agisce e
quale tipo di informazione ha a sua disposizione;
3. il risultato ottenuto da ciascun giocatore, in termini di utilità
o vincita, per ogni possibile esito del gioco.
Questi dati possono modellarsi in due modi:
in forma strategica e
in forma estesa.
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3
Giochi in forma strategica
Un gioco G in forma strategica è definito da una tripla
G = {N, S, Π}
dove
N = 1, 2, ..., n indica il numero dei giocatori,
¾ S l’insieme delle strategie di tutti i giocatori e
¾ Π rappresenta l’insieme delle vincite.
¾
Una strategia è un piano d’azione completo, che prevede
quale azione scegliere per ogni possibile situazione.
Un profilo di strategie è un vettore di scelte strategiche che
prevede una strategia per ogni giocatore.
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4
Quando il gioco coinvolge solamente due giocatori, tutte
le informazioni del gioco in forma strategica possono
essere rappresentate con una bimatrice (matrice a 2
dimensioni), dove
le strategie di un giocatore costituiscono le righe e le
strategie dell’altro giocatore formano le colonne;
all’interno delle varie celle sono indicate le vincite
associate al profilo di strategie corrispondente. Per
convenzione, il primo numero della cella rappresenta
la vincita del giocatore di riga e il secondo numero
quella del giocatore di colonna.
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5
U N E SE M PIO :
ilgioco diSonia e G ianni
Due amici, Sonia e Gianni, devono decidere
simultaneamente ed indipendentemente dove
trascorrere la serata.
Le scelte possibili sono tre:
1) un pub chiamato Old Pros,
2) un museo d’arte e
3) un bar chiamato Cafeen.
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6
Questa situazione è rappresentabile come una matrice 3 × 3:
nelle tre righe sono indicate le strategie di Sonia,
nelle tre colonne quelle di Gianni,
in ogni cella della matrice sono presenti due numeri, che
rappresentano le preferenze dei due amici rispetto ai nove esiti
possibili (il primo numero si riferisce alle preferenze di Sonia, il
secondo a quelle di Gianni).
GIANNI
Old Pros
Museo
Cafeen
Old Pros
6; 4
4; 3
4; 2
SONIA Museo
2; 1
5; 5
2; 2
Cafeen
1; 1
1; 3
3; 6
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7
Nei giochi anche solo moderatamente complessi, il numero di
strategie può assumere dimensioni enormi. Ma, in teoria,
possiamo elencarle tutte.
È questo elenco delle strategie (una per ogni giocatore) che
definisce il gioco “in forma strategica”.
Nel gioco di Sonia e Gianni,
se la scelta è simultanea, i due amici hanno tre strategie
ciascuno e vi sono 3 × 3 = 9 profili di strategie (quelli
elencati nella matrice vista prima);
se la scelta è sequenziale con Gianni che compie la prima
mossa, Gianni ha 3 strategie, Sonia 27 (perché Sonia deve
pianificare l’azione che adotterà a seconda delle
informazioni che ha sulla scelta di Gianni) e vi sono 3 × 27
= 81 profili di strategie.
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8
Strategie di Sonia
1. OP a prescindere da Gianni
2. OP se Gianni va a OP, M se Gianni va a M o C
3. OP se Gianni va a OP, C se Gianni va a M o C
4. OP se Gianni va a OP, M se Gianni va a M, C se Gianni va a C
5. OP se Gianni va a OP, C se Gianni va a M, M se Gianni va a C
6. M se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M o C
7. M se Gianni va a OP, C se Gianni va a M o C
8. M se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M, C se Gianni va a C
9. M se Gianni va a OP, C se Gianni va a M, OP se Gianni va a C
10. C se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M o C
11. C se Gianni va a OP, M se Gianni va a M o C
12. C se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M, M se Gianni va a C
13. C se Gianni va a OP, M se Gianni va a M, OP se Gianni va a C
14. OP se Gianni va a M, M se Gianni va a OP o C
15. OP se Gianni va a M, C se Gianni va a OP o C
16. M a prescindere da Gianni
17. M se Gianni va a M, OP se Gianni va a OP o C
18. M se Gianni va a M, C se Gianni va a OP o C
19. C se Gianni va a M, OP se Gianni va a OP o C
20. C se Gianni va a M, M se Gianni va a OP o C
21. OP se Gianni va a C, M se Gianni va a OP o M
22. OP se Gianni va a C, C se Gianni va a OP o M
23. M se Gianni va a C, OP se Gianni va a OP o M
24. M se Gianni va a C, C se Gianni va a OP o M
25. C a prescindere da G
26. C se Gianni va a C, OP se Gianni va a OP o M
27. C se Gianni va a C, M se Gianni va a OP o M
9
C onsideriam o ora ilseguente gioco e
rappresentiam olo in form a strategica:
Due individui, il giocatore 1 ed il giocatore 2, partecipano
ad un’asta per acquistare un oggetto di valore, ad esempio
un quadro.
Ogni giocatore fa un’offerta in busta chiusa (che viene
poi consegnata al banditore) senza conoscere l’offerta
dell’altro.
Le offerte devono essere in multipli di € 100 ed il
massimo che ogni giocatore può offrire è € 400.
Il quadro vale € 300 per il giocatore 1 e € 200 per il
giocatore 2.
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10
Il quadro viene aggiudicato a chi dei due giocatori offre
la somma maggiore. Se i giocatori offrono la stessa cifra,
il quadro va al giocatore 1.
Il vincitore deve pagare un prezzo p pari alla somma che
ha offerto (si tratta cioè di un’asta di primo prezzo).
Quindi, se il quadro vale vi per il giocatore i (dove v1 =
€ 300 e v2 = € 200) ed il giocatore i vince l’asta, la sua
vincita è vi – p, dove p è il prezzo da lui offerto.
Se, invece, i non vince l’asta, la sua vincita è nulla.
Come possiamo rappresentare questo gioco
in forma strategica?
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11
Insieme dei giocatori:
N = {1, 2}
Strategie di ogni giocatore (assumiamo che i
giocatori possono offrire anche 0):
S1 = S2 ={0, 100, 200, 300, 400}
Vincite dei giocatori (rappresentabili in una matrice):
GIOCATORE 1
0
GIOCATORE 2
200
300
100
400
0
300, 0
0, 100
0, 0
0, −100
0, −200
100
200, 0
200, 0
0, 0
0, −100
0, −200
200
100, 0
100, 0
100, 0
0, −100
0, −200
300
0, 0
0, 0
0, 0
0, 0
0, −200
−100, 0
−100, 0
−100, 0
−100, 0
400 −100, 0
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12
I giochi a somma costante
Un gioco è a somma costante se:
la somma delle vincite dei giocatori è sempre la
stessa (costante) per ogni profilo di strategie.
Se la costante è pari a zero, si parla di giochi a
somma zero.
Ogni gioco a somma costante può essere ricondotto
ad un gioco a somma zero considerando lo
scostamento delle vincite associate ad ogni profilo
di strategie dalla media.
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13
Esempio di gioco a somma costante
S
A
D
U
3; -5
4; -6
D
-3; 1
1; -3
B
La media delle vincite è –1. Sottraendo –1 da ogni
vincita:
Otteniamo un gioco
A
S
D
a somma zero:
4 – 4 = 0;
U (3 + 1); (-5+1) (4+1); (-6+1)
B
5 – 5 = 0;
-2 + 2 = 0;
2 – 2 = 0.
D (-3 + 1); (1 +1) (1+1); (-3 + 1)
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14
Un metodo alternativo per rappresentare una situazione di
interazione strategica (che pone in evidenza le tattiche
dinamiche dei giocatori) è rappresentato dai
Giochi in forma estesa
Iniziamo a considerare la situazione in cui ogni giocatore,
quando è chiamato a compiere la propria mossa, conosce
tutte le scelte precedenti.
Per esempio, quando Gianni sceglie per primo dove recarsi
e Sonia reagisce dopo aver appreso la sua scelta.
Tali giochi sono definiti giochi in forma estesa a
informazione completa e perfetta.
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15
I giochi in forma estesa si rappresentano con un
diagramma ad albero:
Gianni
Old
Pros
Sonia
Old
Pros
6;4
Cafeen
museo
Sonia
Cafeen
museo
2;1
Maria Vittoria Levati
Old
Pros
Sonia
Cafeen
museo
1;1
4;3
5;5
1;3
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Old
Pros
4;2
museo Cafeen
2;2
3;6
16
Nel diagramma ad albero:
i vari pallini (sia quello iniziale in bianco sia quelli
intermedi neri) sono chiamati nodi e rappresentano le
posizioni dove un giocatore deve compiere una mossa;
da ogni nodo partono delle frecce, che rappresentano le
opzioni disponibili al giocatore cui spetta la mossa;
ogni freccia porta a una posizione o intermedia (dove un
altro giocatore deve scegliere) o finale (dove il gioco si
conclude);
le posizioni terminali sono contrassegnate dai vettori
delle vincite dei giocatori.
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17
Un elemento molto importante dei giochi in
forma estesa sono gli “insiemi informativi”.
Se non specificato diversamente e quando
l’informazione è completa e perfetta, gli insiemi
informativi coincidono con i nodi (punti nei quali
gli agenti si trovano a scegliere le loro azioni). In
questo caso, si dice che gli insiemi informazione
sono dei “singleton”.
Alternativamente possono essere insiemi di nodi.
In questo caso i giocatori non sanno in quale dei
nodi appartenenti all’insieme si trovano.
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18
Consideriamo un gioco modificato di Sonia e Gianni dove i due amici devono
scegliere solo fra due strategie: il museo o il pub.
Se Gianni sceglie per primo e Sonia sa cosa ha scelto Gianni quando fa la sua
scelta (gioco a informazione completa e perfetta), gli insiemi di informazione
sono dei singleton. In tal caso, il diagramma ad albero è:
Supponiamo ora che Sonia non sa quale sia stata la scelta di Gianni. Il gioco è
sempre sequenziale ma c’è il problema della mancanza di informazione. In tal
caso, gli insiemi informativi sono insiemi di nodi ed il diagramma ad albero è:
Gianni
Gianni
5; 5
Sonia
Sonia
Sonia
Museo
Pub
Museo
Pub
Museo
Pub Museo
4; 3
Maria Vittoria Levati
2; 1
Pub
6; 4
Museo
5; 5
Pub Museo
4; 3
Kreps: "Microeconomia per manager"
2; 1
Pub
6; 4
19
Quindi, quando l’informazione è imperfetta, gli insiemi di
informazione si rappresentano tramite delle linee tratteggiate che
congiungono quei nodi in cui un giocatore deve prendere una
decisione ma tra i quali il giocatore non può distinguere.
Gianni
È la linea tratteggiata, anziché i due
singoli nodi, ad essere contrassegnata
con il nome del giocatore che deve
muovere per secondo (Sonia).
Sonia
Museo
5; 5
Maria Vittoria Levati
Pub
Museo
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Pub Museo
4; 3
2; 1
Pub
6; 4
20
La dominanza e i giochi in
forma strategica
Dopo aver rappresentato una data situazione come
un gioco o in forma estesa o in forma strategica, il
passo successivo consiste nel prevedere che cosa
accadrà (come si comporteranno i giocatori).
Con i giochi in forma strategica si può stabilire se
determinate strategie non verranno adottate dai
giocatori coinvolti applicando il criterio della
dominanza.
dominanza
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21
'
Formalmente, una strategia si è strettamente dominata da si''
per il giocatore i se
ui ( si' , s−i ) < ui ( si'' , s−i )
∀s−i ∈ S −i
Se il giocatore i ha una strategia strettamente dominata, sembra
ragionevole assumere che non la giochi.
Se l’altro giocatore (−i) anticipa che i non sceglierà la strategia
strettamente dominata, può fare la propria scelta facendo
riferimento solamente alle rimanenti strategie di i.
Potrebbe allora escludere una propria strategia in quanto sua
dominata.
Se un gioco può risolversi applicando più volte il principio di
dominanza, si parla di soluzione per dominanza iterata.
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22
Per spiegare questo procedimento, consideriamo il seguente gioco:
S
A
COLONNA
C
D
7; 3
3; 1
0; 5
5; 1
5; 3
2; 2
RIGA
B
Consideriamo il giocatore di colonna. Possiamo eliminare una delle sue tre
strategie?
Sì, possiamo eliminare S perché S è dominata da D:
se Riga sceglie A, Colonna preferisce D a S (5 > 3);
se Riga sceglie B, Colonna preferisce D a S (2 > 1).
Poiché D domina strettamente S, Colonna non sceglierà S.
Possiamo quindi eliminare S.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
23
S
A
COLONNA
C
D
7; 3
3; 1
0; 5
5; 1
5; 3
2; 2
RIGA
B
Consideriamo ora il giocatore di riga. Possiamo eliminare una delle sue due
strategie?
Se Riga riproduce il ragionamento precedente, anticipa che Colonna non
sceglierà S.
Allora, a prescindere dal fatto che Colonna scelga C o D, Riga è più
soddisfatto con B che con A (se “C”: 5 > 3; se “D”: 2 > 0).
Quindi B domina iterativamente A, dopo aver applicato il criterio di
dominanza per eliminare S.
Sulla base del criterio di dominanza iterata, prevediamo che Riga non sceglierà A.
Maria Vittoria Levati
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24
S
A
COLONNA
C
D
7; 3
3; 1
0; 5
5; 1
5; 3
2; 2
RIGA
B
Avendo eliminato A, C domina iterativamente D (3 > 2).
Possiamo quindi eliminare anche D.
Rimangono solo C per il giocatore di colonna e B per il giocatore di riga.
L’applicazione del criterio di dominanza iterata ci ha portato ad un unico
profilo di strategie; abbiamo cioè eliminato tutte le strategie eccetto una per
ogni giocatore.
Possiamo pertanto affermare che questo gioco è risolvibile per dominanza.
dominanza
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25
Un gioco che può essere risolto col criterio della dominanza è il
dilemma del prigioniero.
Due persone che commettono un reato vengono arrestate dalla polizia.
La polizia sa che i due hanno commesso il reato ma non ne ha le prove e,
senza una confessione, deve rilasciarli.
Allora, per indurli a confessare, li separa e presenta a ciascuno la seguente
offerta:
«Se ci rilasci una confessione in cui coinvolgi il tuo compagno, mentre
lui non confessa, ti concediamo la condizionale e imprigioniamo il tuo
compagno per molti anni.
Se entrambi confessate, entrambi andrete in prigione, ma per un numero
minore di anni.
Se tu non confessi mentre il tuo compagno lo fa, sarà lui a ottenere la
condizionale, mentre tu finirai in prigione per lunghissimo tempo.»
Entrambi i criminali sanno che se rimangono zitti, tutti e due verranno
rilasciati.
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26
Il dilemma del prigioniero
È un gioco a mosse simultanee, due giocatori e due strategie a testa:
“confessare” e “rimanere zitti”.
Le vincite della figura riflettono il seguente ordine di preferenze:
I. confessare mentre il compagno rimane zitto (ui = 8, i = 1, 2);
II. nessuno dei due confessa (ui = 5)
III. confessione di entrambi (ui = 0)
IV. rimanere zitto mentre il compagno confessa (ui = – 3).
zitto
2
confessa
zitto
5; 5
-3; 8
confessa
8; -3
0; 0
1
Maria Vittoria Levati
Qualsiasi cosa faccia “1”,
“2” sta meglio se confessa.
Qualsiasi cosa faccia “2”,
“1” sta meglio se confessa.
Pertanto, “confessare”
domina sul “rimanere zitti”
per entrambi i giocatori.
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27
La dominanza debole
Consideriamo il gioco della figura seguente:
In questo gioco per il giocatore “1” A domina debolmente B:
B
se “2” gioca D, per “1” A è migliore di B (2 > 0) mentre
se “2” gioca S, per “1” A è esattamente uguale a B (3 = 3).
Possiamo concludere che la riga B non sarà scelta? Possiamo iterare
tale ragionamento e dire che, poiché 1 non sceglie B, 2 non sceglierà
S?
2
L’evidenza empirica ci mostra
S
D
che:
3; 0
2; 1
la dominanza debole non
A
funziona bene quanto la
1
dominanza stretta, e
3; 4
0; 0
una dominanza debole iterata
B
può funzionare piuttosto male.
Maria Vittoria Levati
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28
Formalmente, una strategia si' è debolmente dominante per il
giocatore i se
ui ( si' , s−i ) ≥ ui ( si , s −i )
∀si ∈ S i
∀s −i ∈ S −i
In altri termini, una strategia è debolmente dominante se
conduce a vincite non minori rispetto alle altre strategie
indipendentemente da cosa faccia l’altro giocatore.
Maria Vittoria Levati
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29
L’equilibrio di Nash
Gli economisti impiegano il criterio della dominanza e
della dominanza iterata, sia stretta sia debole,
ogniqualvolta ciò sia possibile.
In molti casi, tuttavia, questo procedimento non
conduce a un esito prevedibile.
In questi casi si ricorre agli equilibri di Nash.
Nash
Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che
nessun giocatore può migliorare la propria vincita
modificando la propria strategia in modo unilaterale.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
30
In altri termini, un equilibrio di Nash è un insieme di
strategie, una per ogni giocatore, che sono mutualmente
risposte ottime.
ottime
Formalmente, chiarendo che “*” indica una risposta
ottima, un profilo di strategie ( si* , s−* i ) è un
equilibrio di Nash se vale:
ui ( si* , s−*i ) ≥ ui ( si , s−*i )
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
∀i
31
1.
2.
Nel gioco di Sonia e Gianni ci sono due equilibri di Nash:
entrambi i giocatori si recano all’Old Pros e
Le risposte ottime reciproche (ossia le celle in cui convergono
Ora
passiamo
ad
individuare
“risposta ottima”
entrambi
recano
al museo
d’arte.
Se si
Gianni
sceglie
l’Old
Pros,
qual
è la la
strategia
le frecce
per entrambi
i giocatori)
rappresentano
gli equilibri
E se Gianni
E se Gianni
il museo?
sceglie
il Cafeen?
di Gianni
ad ognisceglie
strategia
scelta
da Sonia.
migliore
per
Sonia?
di Nash del gioco.
Old Pros
Old Pros
SONIA
GIANNI
Museo
Cafeen
6; 4
4; 3
4; 2
2; 1
5; 5
2; 2
1; 1
1; 3
3; 6
Museo
Cafeen
Maria Vittoria Levati
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32
Nel dilemma del prigioniero, l’unico equilibrio di Nash è la
confessione di entrambi.
OBIEZIONE: se entrambe le parti passano alla strategia del silenzio
sono entrambe più soddisfatte.
Vero, ma quando si controlla se un profilo di strategie è un equilibrio
di Nash occorre verificare se un giocatore può migliorare la sua
vincita cambiando unilateralmente strategia.
zitto
zitto
1
confessa
2
confessa
5; 5
-3; 8
8; -3
0; 0
Maria Vittoria Levati
Se 1 confessa, 2 può
migliorare la propria vincita
deviando dall’equilibrio e,
quindi, rimanendo zitto?
Se 2 confessa, 1 può
migliorare la propria vincita
deviando dall’equilibrio?
Kreps: "Microeconomia per manager"
33
Molti giochi presentano più equilibri di Nash.
Nash In alcuni casi, questo
non è un problema perché il gioco in esame presenta un ovvio
metodo di gioco. In altri casi, tuttavia, l’esito del gioco non è
facilmente prevedibile.
Consideriamo, ad esempio, il gioco seguente che è definito
coordinamento semplice.
semplice
S
A
1
2
D
0; 0
5; 5
15; 15
0; 0
B
Maria Vittoria Levati
Sebbene questo gioco abbia
due equilibri di Nash, sembra
ovvio assumere che l’esito
finale sarà il profilo (B, S)
poiché è nell’interesse di
entrambi i giocatori
adottarlo.
Kreps: "Microeconomia per manager"
34
Il gioco seguente, definito coordinamento rischioso,
rischioso è meno chiaro.
I due giocatori possono coordinare le loro azioni secondo i profili
(B,S) e (A, D).
Poiché (B,S) prevede un esito migliore di (A, D) per entrambi i
giocatori, sembrerebbe che possa applicarsi lo stesso “ragionamento”
del gioco precedente.
Tuttavia, se 1 sceglie A, si garantisce perlomeno 5; scegliendo B
invece corre dei rischi poiché se 2 scegliesse D, 1 otterrebbe -10.
2
D
S
A
1
5; -10
10; 10
15; 15
-10; 5
B
Maria Vittoria Levati
Questo ragionamento si autorinforza:
1 è più sicuro se sceglie A e 2 è
più sicuro se sceglie D e i
rischi associati alle scelte non
sicure aumentano se ciascuna
parte ritiene che l’altra
sceglierà l’equilibrio sicuro.
Kreps: "Microeconomia per manager"
35
Il gioco seguente è definito coordinamento difficile.
Esistono tre modi in cui i giocatori possono coordinare le loro
azioni: (A, C), (M, S) e (B, D).
I giocatori non concordano tuttavia sul profilo da scegliere: 1
preferisce il profilo (M, S) mentre 2 preferisce (B, D).
2
A
1
M
B
Maria Vittoria Levati
S
C
D
-5; -5
10; 10
-5; -5
15; 5
-5; -5
-5; -5
-5; -5
-5; -5
0; 30
Kreps: "Microeconomia per manager"
36
Quando i giocatori non possono comunicare prima di
compiere la scelta, solo il primo dei tre giochi di
coordinamento appena visti sembra presentare un
ovvio metodo di gioco.
Se le due parti possono comunicare prima di giocare,
possono mettersi d’accordo sul cosa scegliere.
Ad esempio, una conversazione prima di iniziare il
gioco del coordinamento rischioso è solitamente
sufficiente per portare i due partecipanti a scegliere
(B, S) cioè l’esito rischioso ma migliore per
entrambi.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
37
L’equilibrio di Nash e la dominanza
Abbiamo visto due metodi di analisi dei giochi in forma
strategica: uno basato sulla dominanza e uno basato
sull’equilibrio di Nash.
Qual è il nesso tra i due metodi?
Una strategia che viene eliminata per dominanza
stretta iterata non può mai far parte di un equilibrio di
Nash.
Se eliminiamo alcune strategie per dominanza iterata,
impiegando in alcuni passaggi anche la dominanza
debole, tra le strategie che non vengono eliminate
esiste sempre un equilibrio di Nash.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
38
L’induzione a ritroso nei giochi
in forma estesa a informazione
completa e perfetta
L’analisi di giochi in forma estesa con mosse della
natura e insiemi di informazione può risultare
piuttosto difficile.
Invece, i giochi a informazione completa e perfetta
possono essere analizzati in modo semplice con
l’induzione a ritroso.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
39
In maniera intuitiva, l’idea è la seguente:
Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a
giocare (nodi terminali) e si suppone (coerentemente con
l’ipotesi di razionalità) che in questi nodi il giocatore scelga la
strategia che gli offre la vincita maggiore.
Nei nodi precedenti, il giocatore che è chiamato a giocare sa
cosa farà l’ultimo giocatore in quanto egli conosce il gioco e sa
che l’ultimo giocatore è razionale.
Così lui si comporta come se fosse l’ultimo a giocare in
quanto la vincita che ottiene da ciascuna strategia gli è nota
perché sa quali saranno le conseguenze della sua scelta.
In questo modo si procede passo dopo passo …
In conclusione, il giocatore che è chiamato a scegliere nel primo
nodo sa già cosa succederà in corrispondenza di ogni sua scelta.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
40
ESEMPIO
Consideriamo un gioco con 4 giocatori: Paul, John, George e Ringo.
Paul
John
Y
a
4;4;4;2
k
b
X
c
George
A
1;3;2;2
Paul
x
B
3;4;2;1
2;5;4;0
l
Ringo
y
2;6;6;1
1;2;5;3 6;8;6;1
Le vincite dei quattro giocatori sono nell’ordine: Paul, John, George e Ringo.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
41
Primo stadio
Paul
Y
John
4;4;4;2
k
b
X
c
George
A
a
1;3;2;2
Paul
B
3;4;2;1 2;5;4;0
x
1;2;5;3
l
2;6;6;1
Ringo
y
6;8;6;1
Ordine delle vincite: (P, J, G, R)
Iniziamo con i nodi dove la scelta del giocatore termina il gioco.
• Nodo terminale in cui George è chiamato a giocare: poiché B gli dà una
vincita maggiore di A, George sceglierà B ed il vettore delle vincite sarà
(2; 5; 4; 0).
• Nodo terminale in cui tocca a Ringo giocare: Ringo può scegliere x,
guadagnando 3, o y, guadagnando 1; sceglierà quindi x con un vettore delle
vincite pari a (1; 2; 5; 3).
• Nodo terminale in cui sceglie Paul: Paul sceglie tra k, guadagnando 4, e l,
guadagnando 2: sceglierà k con un vettore delle vincite (4; 4; 4; 2).
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
42
Secondo
Paul
Y
stadio
John
a
1;3;2;2
Paul
4;4;4;2
k
b
X
c
George
Ringo
x
B
2;5;4;0
1;2;5;3
Ordine delle vincite: (P, J, G, R)
Possiamo eliminare quelle strategie che non verranno mai giocate
in quanto chi è chiamato a giocare nei nodi precedenti sa cosa
succederà nei nodi terminali.
• Il giocatore a cui tocca giocare è John che deve scegliere tra “a”,
guadagnando 3, oppure “b”, ripassando il turno a Paul, che termina il gioco
con k e quindi con 4 per John, oppure “c”, passando il turno a Ringo, che
termina il gioco con x che implica 2 per John.
• Pertanto, la scelta migliore per John è b.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
43
Terzo stadio
Paul
Y
John
a
1;3;2;2
Paul
4;4;4;2
k
b
X
c
George
Ringo
x
B
2;5;4;0
1;2;5;3
Ordine delle vincite: (P, J, G, R)
Siamo ora pronti a immaginare come Paul dovrebbe iniziare il gioco.
• Se Paul sceglie “X”, passa il turno a George, che porterebbe al vettore delle
vincite (2; 5; 4; 0), con 2 per Paul.
• Se, invece, Paul sceglie “Y”, passa il turno a John, che porta al vettore delle
vincite (4; 4; 4; 2), con 4 per Paul.
• Quindi, Paul è più soddisfatto con Y, in quanto anticipa che John risponderà
con b e poi lui stesso sceglierà k, portando al vettore (4; 4; 4; 2).
Maria Vittoria Levati
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44
Conclusioni
Paul
Y
John
4;4;4;2
4;4;4;2
k
b
X
c
George
A
a
1;3;2;2
Paul
B
3;4;2;1 2;5;4;0
x
1;2;5;3
l
2;6;6;1
Ringo
y
6;8;6;1
Ordine delle vincite: (P, J, G, R)
•Equilibrio del gioco Yk, b, B, x
•Sentiero di equilibrio Ybk
•Azioni di equilibrio mai giocate B x
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45
Raffinamenti dell’equilibrio di Nash:
equilibrio perfetto nei sottogiochi
Definizione di sottogioco:
In un gioco G in forma estesa a informazione perfetta, un
sottogioco
a. inizia con un nodo di G (la “radice” del nuovo gioco) e
b. include tutti i suoi successori (nodi che possono essere
raggiunti dalla nuova radice).
In pratica, si tratta di considerare un generico nodo e
considerarlo come “radice” del gioco.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
46
Quali sono i sottogiochi del gioco di Paul, John, George e Ringo?
Paul
John
Y
4;4;4;2
k
b
X
c
George
A
a
1;3;2;2
Paul
B
3;4;2;1 2;5;4;0
x
1;2;5;3
l
2;6;6;1
Ringo
y
6;8;6;1
Ordine delle vincite: (P, J, G, R)
1) Quello che inizia col nodo dove George deve giocare e i cui
successori sono solo i nodi terminali.
2) Quello che inizia col nodo dove Ringo deve giocare.
3) Quello che inizia col nodo dove Paul deve giocare.
4) che inizia col nodo dove John deve giocare ed include i due nodi
“Paul” e “Ringo” più i nodi terminali.
Maria Vittoria Levati
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47
Un profilo di strategie rappresenta un equilibrio
perfetto nei sottogiochi se è un equilibrio non solo nel
gioco originale G ma rimane tale anche in ogni
sottogioco di G.
La condizione che imponiamo è quindi che non solo si
abbia un equilibrio, ma che tale resti anche quando
“restringiamo” le strategie ai sottogiochi del gioco
dato.
Il metodo dell’induzione a ritroso per trovare un
equilibrio di Nash in un gioco ad informazione
completa e perfetta fornisce un equilibrio perfetto nei
sottogiochi.
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48
Consideriamo il seguente gioco.
Quale risultato ci si può attendere applicando l’induzione a
ritroso?
Se B sfida A, A deve scegliere tra le vincite 1 (se si arrende) e 0
(se combatte). Quindi, A sceglierà di arrendersi.
B prevede che, quando tocca ad A scegliere, A deciderà di
arrendersi e quindi lo sfida: in tal modo, infatti, ottiene 2 che per
B rappresenta la vincita migliore possibile.
Combattere
A
0; 0
Arrendersi
2; 1
Sfidare A
B
Non sfidare A
1; 2
Maria Vittoria Levati
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49
Riformuliamo il gioco in forma strategica e troviamo gli eq. di Nash.
Questo gioco ha due equilibri di Nash:
1) il profilo sfida-resa,
2) il profilo non sfida-combattimento.
Il primo è perfetto nei sottogiochi (l’induzione a ritroso ci ha portato a
questo equilibrio); il secondo non lo è.
Qual è il senso del nuovo equilibrio che abbiamo trovato, ovvero
(non sfida, combattimento)?
Combatte
Sfida A
A
Si arrende
0; 0
2; 1
1; 2
1; 2
B
Non sfida A
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50
Possiamo interpretarlo come risultato di una minaccia (di
“ritorsione”) da parte di A: se B sceglie di non sfidarlo (che dà a A il
risultato migliore possibile), allora A per ritorsione combatterà,
“punendo” il giocatore B.
Tuttavia, in tal modo, A punisce anche se stesso! Se B lo sfida, il
combattimento non è ottimale per A, che ottiene una vincita maggiore
arrendendosi.
Ma come è possibile che un equilibrio di Nash preveda per un
giocatore una scelta non ottimale?
A
Combatte
Si arrende
Sfida A
0; 0
2; 1
1; 2
1; 2
B
Non sfida A
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51
La risposta è semplice:
l’equilibrio (non sfida-combattimento) non prevede che A
combatta davvero; la scelta di B fa terminare il gioco e quindi
A non deve effettivamente scegliere.
In generale, un equilibrio di Nash può prevedere delle scelte non
ottimali, ma queste scelte avvengono in nodi dell’albero che non
sono mai raggiunti, se viene giocato quanto previsto
dall’equilibrio:
¾
quindi tale equilibrio non è perfetto nei sottogiochi.
sottogiochi
D’altro canto, l’equilibrio (non sfida-combattimento) sembra
meno attendibile dell’equilibrio (sfida-resa). La minaccia di A di
combattere non è credibile: se B la ignora e sfida A, per la sua
stessa razionalità, A sceglierà di arrendersi.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
52
Utilizzando la forma estesa, abbiamo quindi
scoperto che non tutti gli equilibri di Nash
sono uguali.
uguali
Se l’idea di equilibrio perfetto nei sottogiochi
permette di eliminare alcuni equilibri di
Nash, diciamo “inferiori”, non ci si deve
però aspettare che scompaiano tutti i
problemi.
Vediamo un paio di esempi …
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
53
Gioco dell’ultimatum
Il gioco avviene così:
a) Su un tavolo ci sono 100 monete da 1 euro.
b) Il giocatore I deve fare una proposta di spartizione,
indicando quante monete lui vuole prendere (da 1 a 99).
c) Dopo di che tocca a II che può scegliere fra due opzioni:
1. accettare la proposta di spartizione di I;
2. rifiutarla.
d) Nel caso in cui rifiuti, entrambi i giocatori non prendono
nulla.
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54
Possiamo disegnare (in parte) il gioco in forma estesa:
I
1
II
A
II
R
1; 99
3 … 97
2
A
0; 0 2; 98
98
II
R
A
0; 0 3; 97
99
II
R
A
0; 0 97; 3
II
R
A
0; 0 98; 2
II
R
A
R
0; 0 99; 1
0; 0
È immediato verificare che, applicando l’induzione a ritroso, l’unico
equilibrio perfetto nei sottogiochi prevede che I scelga “99 monete per
sé” e che II “accetti”.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
55
Nella realtà effettiva, tuttavia, la probabilità che II
accetti, se I tiene per sé più di una settantina di
monetine, é molto bassa.
Una spiegazione di questi risultati empirici
contrastanti con la predizione della teoria dei giochi
è basata sul fatto che le preferenze del giocatore II
non tengono conto solo del denaro.
denaro Ma esse
incorporano altri fattori quali
¾ aspetti di “giustizia”,
¾ o di rivalsa,
¾ od altro …
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
56
Altro esempio in cui l’equilibrio perfetto nei sottogiochi è
problematico: “gioco del prendere o lasciare”
Il gioco è il seguente (volendo lo si può allungare a piacimento):
a) Vengono poste sul tavolo due monete da € 0,10.
b) Il giocatore 1 può prendere entrambe le monete, lasciando 2
senza alcunché, oppure dire “passo”.
c) Se 1 passa, viene posta sul tavolo una terza moneta da € 0,10 e
spetta a 2 prendere tutto il denaro o passare.
d) Se 2 passa, viene posta una quarta moneta sul tavolo, ed è
nuovamente il turno di 1.
e) Il gioco procede finché uno dei due giocatori prende il denaro
dal tavolo oppure le monete sul tavolo raggiungono € 1.
f) A questo punto è il turno di 1, che può prendere tutto il denaro
oppure “dividere”.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
57
1
Albero di gioco:
C
D
2
D
1
C
D
C
2
D
C
1
D
C
2
D
C
1
D
2
C
C
D
0,20; 0 0; 0,30 0,40; 0 0; 0,50 0,60; 0 0; 0,70 0,80; 0 0; 0,90
1
D
C
1; 0
0,50; 0,50
Strategie: “D” = “defezionare” (prendere il denaro); “C” = “cooperare” (passare)
SOLUZIONE DEL GIOCO PER INDUZIONE A RITROSO
Nell’ultima mossa, 1 può vincere € 1 o € 0,50 (se dividesse). Se
il denaro fosse tutto ciò che conta, 1 prenderebbe € 1.
Nella mossa precedente, 2 può o prendere € 0,90 oppure
passare il turno a 1 (che si prenderà € 1, lasciando 2 con 0);
quindi 2 prenderebbe € 0,90.
Proseguendo questo ragionamento a ritroso, alla prima mossa
1 prenderebbe i € 0,20 senza lasciare nulla a 2.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
58
Teoricamente questo ragionamento funziona, ma empiricamente
la previsione che 1 prenderà i € 0,20 fallisce miseramente.
Le ragioni sono molteplici:
Il risultato è inefficiente:
inefficiente se 1 arrivasse all’ultima mossa il
denaro sul tavolo sarebbe € 1 (anziché € 0,20).
Un po’ di “capacità di vedere lontano”
lontano dovrebbe portare i
giocatori a non uscire subito dal gioco.
Ma c’è un problema ancora più grave: perché un giocatore
dovrebbe conformarsi all’induzione a ritroso (e quindi
defezionare) se sa che l’altro giocatore ha deviato da essa?
essa
Appare un po’ curioso che, ad esempio, 2 esca dal gioco
ipotizzando un comportamento futuro “razionale” da parte di 1,
che se fosse stato adottato in passato non avrebbe certamente
portato 2 a giocare!
Maria Vittoria Levati
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59
È dunque abbastanza problematico giustificare l’unico equilibrio
perfetto nei sottogiochi nel gioco del “prendere o lasciare”. Ma …
Cosa avviene per gli equilibri di Nash?
Nash
Per comodità, consideriamo una versione più “corta” del gioco:
1
D1
C1
2
d1
1 C2
c1
D2
2 c2
(0,25; 0,25)
d2
(0,20; 0) (0; 0,30) (0,40; 0) (0; 0,50)
dove le alternative disponibili in corrispondenza dei vari nodi sono
indicate con simboli diversi:
D1 vuol dire che il giocatore 1 “defeziona” alla prima mossa,
mentre ad esempio
c2 vuol dire che il giocatore 2 “continua” alla seconda mossa.
Per trovare gli eq. di Nash, scriviamo il gioco in la forma strategica.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
60
1
C1
2
d1
D1
1 C2
c1
D2
2 c2
(0,25; 0,25)
d2
(0,20; 0) (0; 0,30) (0,40; 0) (0; 0,50)
G iocatore 1
N = {1, 2}
Insieme dei giocatori:
Strategie di ogni giocatore:
G iocatore 2
D1 D2
D1 C2
C1 D2
C1C2
d1 d2
d 1 c2
c1 d 2
c1 c2
Vincite dei giocatori: descriviamole nella matrice
seguente
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
61
1
C1
2
d1
D1
1 C2
c1
2 c2
(0,25; 0,25)
d2
D2
(0,20; 0) (0; 0,30) (0,40; 0) (0; 0,50)
d1, d2
d 1 , c2
D1, D2
(0,20; 0)
D1, C2
2
c1 , d 2
c1 , c2
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
C1, D2
(0; 0,30)
(0; 0,30)
(0,40; 0)
(0,40; 0)
C1, C2
(0; 0,30)
(0; 0,30)
(0; 0,50)
(0,25; 0,25)
1
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Kreps: "Microeconomia per manager"
62
Questo gioco ha 4 equilibri di Nash:
Gli equilibri di Nash corrispondono alle coppie di strategie per
cui i giocatori “defezionano” alla prima mossa (D1 e d1).
d1, d2
d 1 , c2
D1, D2
(0,20; 0)
D1, C2
(0,20; 0)
C1, D2
(0; 0,30)
C1, C2
(0; 0,30)
2
c1 , d 2
c1 , c2
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0,20; 0)
(0; 0,30)
(0,40; 0)
(0,40; 0)
(0; 0,30)
(0; 0,50)
(0,25; 0,25)
1
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
63
Quindi, l’esito previsto dall’equilibrio di Nash
coincide con quello previsto dall’equilibrio perfetto
nei sottogiochi:
per entrambi questi concetti di soluzione, si
prevede che i giocatori “defezionino” alla prima
mossa.
La differenza è che l’equilibrio di Nash
non pone restrizioni al comportamento dei
giocatori nei nodi seguenti.
L’equilibrio perfetto nei sottogiochi è invece molto
più rigido: infatti ce n’è uno solo!
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
64
Riepilogo
La teoria dei giochi non cooperativi consente di
costruire modelli per studiare situazioni in cui
interagiscono parti diverse con interessi
contrastanti.
La teoria dei giochi non cooperativi impiega due
tipi generali di modelli, quelli in forma strategica e
quelli in forma estesa, e adotta due tipi generali di
analisi, quello della dominanza e quello
dell’equilibrio di Nash.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
65
Un gioco in forma strategica è specificato
1. dall’elenco dei giocatori,
2. dall’elenco delle strategie di ciascun giocatore e
3. dal vettore delle vincite ottenute dai giocatori per
ogni profilo di strategie.
I giochi in forma estesa forniscono una
rappresentazione dinamica del gioco.
Nei giochi in forma estesa a informazione completa
e perfetta i giocatori agiscono uno alla volta e, in
qualsiasi punto del gioco, il giocatore che compie la
mossa conosce le scelte effettuate da coloro che hanno
agito prima di lui.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
66
La strategia di un giocatore domina un’altra
strategia, se, a prescindere dalle strategie altrui,
consente di ottenere un risultato migliore.
Dopo aver eliminato alcune strategie di alcuni
giocatori applicando il criterio della dominanza,
potrebbe essere possibile eliminare altre strategie di
altri giocatori applicando nuovamente la
dominanza. Questo tipo di procedimento è definito
dominanza iterata.
Le previsioni secondo cui un giocatore non
giocherà una strategia dominata né una eliminata
per applicazione iterata della dominanza non
hanno sempre validità empirica.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
67
Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale
che nessun giocatore può migliorare la sua vincita
con una deviazione unilaterale.
I giochi in forma estesa a informazione completa e
perfetta, possono analizzarsi con l’induzione a
ritroso.
Nei giochi a informazione completa e perfetta,
l’induzione a ritroso porta a un equilibrio di Nash,
ma potrebbero esservi altri equilibri di Nash che
non sono perfetti nei sottogiochi.
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
68
