Melis - griaf

UNIVERSITA’
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMO
MASTER II LIVELLO
IN
DIDATTICA DELLE SCIENZE PER INSEGNANTI DI SCUOLE MEDIE ED
ELEMENTARI
Metodi e strumenti per i processi di modellizzazione
Laboratorio interdisciplinare
MOTO RETTILINEO UNIFORME E UNIFORMEMENTE ACCELERATO
DOCENTI : PROF. RE CLAUDIO FAZIO
PROF. RE BENEDETTO DI PAOLA
Il movimento
Il sistema di riferimento
Lo studio del moto
Il moto rettilineo
Il moto rettilineo uniforme
Grafico spazio tempo
La pendenza della retta in un grafico s/t
La velocità media
La velocità istantanea
Il moto uniformemente accelerato
Laboratorio interdisciplinare
ALLIEVA : MELIS BARBARA
Il movimento
Il nostro è un mondo pieno di “movimento”, le nuvole che corrono nel cielo,
le foglie che cadono, i veicoli per strada, i nostri alunni vivono in modo del
tutto normale esperienze che riguardano oggetti in movimento ed il
movimento del proprio corpo e delle sue parti in relazione alle proprie
reazioni ed a quelle del mondo circostante.
Su questo argomento i bambini però si pongono alcune domande che
spesso ci siamo fatti anche noi da piccoli:
- Perchè, se siamo su un treno fermo, abbiamo
l’impressione che parta, ed invece è il treno
vicino che si muove?
- Perché, quando siamo in macchina, ci sembra
che gli alberi si muovono?
Il sistema di riferimento
Proviamo a dare una risposta alla seguente domanda: “In base a quale
criterio diciamo che il treno è fermo e gli alberi si muovono?
Il criterio proposto dalla scienza è il seguente: un corpo è in movimento
quando, nel tempo, cambia la sua posizione rispetto a un osservatore.
L’insieme di tutti i corpi rispetto ai quali valutiamo se un oggetto è fermo
o in movimento è detto sistema di riferimento.
I corpi possono essere in quiete rispetto a un sistema di riferimento e
contemporaneamente, in moto rispetto a un altro.
Ad esempio, un viaggiatore su
un’automobile è in movimento (a)
rispetto a un osservatore a terra
(c), ma è in quiete rispetto al suo
compagno di viaggio (b).
Lo studio del moto
I corpi in movimento possono avere moto con caratteristiche molto diverse
gli uni dagli altri.
Ad esempio, il moto di una persona che cammina (A) è diverso dal moto di
un pallone che rotola (B); il moto descritto dal volo di un uccello (C) è
diverso da quello descritto dalla caduta di un sasso, ecc.
(A)
(B)
(C)
Conoscere un moto significa conoscere le leggi che lo regolano. Queste
leggi sono le relazioni matematiche che sussistono tra le grandezze fisiche
in gioco in ciascun fenomeno di moto. Le grandezze fisiche pertinenti per
lo studio dei moti sono: spazio, tempo, velocità, accelerazione.
Il moto rettilineo
Il caso più semplice di moto è quello
definito “rettilineo” ed è rappresentato dal
movimento di un punto materiale che si
muove lungo un segmento di retta.
Per descrivere questo tipo di movimento, bisogna sapere dove il punto
materiale si trova nei diversi istanti di tempo. Bisogna quindi misurare la
sua posizione da un particolare punto di riferimento in istanti di tempo
successivi.
secondi 0
Km 2
Minuti 3
Km 3
Minuti 6
Km 4
Il moto rettilineo uniforme
Osserviamo il moto rettilineo di un pulmino della scuola che parte:
tempo
0s
1s
0m
25m
2s
3s
4s
50m
75m
100m
posizioni
Misurando le posizioni del pulmino a diversi
istanti di tempo, possiamo costruire una
Tempo
S
Spazio
M
0
0
1
25
2
50
3
75
4
100
tabella che rappresenta la legge del moto
del pulmino.
Il moto rettilineo uniforme
I dati della tabella ci informano che il pulmino, muovendosi in linea retta,
percorre durante ogni secondo un tratto sempre uguale e pari a 25 metri.
Questo è il tipo di moto che viene detto uniforme.
Se dalla tabella calcoliamo il rapporto tra le distanze percorse dal
pulmino e i relativi tempi di percorrenza otteniamo sempre lo stesso
valore: ovvero 25 metri al secondo.
Quindi se il moto è uniforme, si mantiene costante il rapporto ∆s / ∆ t;
cioè la velocità del moto.
∆s rappresenta la distanza percorsa nell’intervallo di tempo ∆t .
Da ciò si deduce che: nel moto uniforme le distanze percorse sono
direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegate per
percorrerle.
Grafico spazio tempo
Questi dati poi, possono essere visualizzati su un diagramma spazio/tempo
relativo al moto dell’oggetto. Sull’asse delle ascisse vengono riportati gli
istanti di tempo, mentre lungo l’asse delle ordinate vengono riportate le
posizioni dell’oggetto di cui si vuole descrivere il moto. Un punto sul
diagramma s-t rappresenta una data posizione ad uno specifico istante di
tempo.
125
P
O
100
S
I
2
75
Z
I
O
2
50
N
E
2
25
K
M
2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
TEMPO (ORE)
La pendenza della retta in un grafico s/t
Per qualsiasi moto uniforme il grafico spazio/tempo è sempre una linea
retta (A). L’inclinazione della retta sull’asse dipende dalla velocità
dell’oggetto in moto (nel nostro esempio, un pulmino). Ossia, maggiore è
la velocità del pulmino, maggiore è l’angolo di inclinazione della retta
rispetto all’asse dei tempi (B); minore è la sua velocità, minore sarà
l’angolo di inclinazione della retta rispetto all’asse dei tempi (C).
(A)
(B)
(C)
P
125
125
O
S
100
S
I
Z
75
I
O
N
N
2
50
K
M
25
02
0
N
50
E
K
K
M
25
0
0,1
0,2
0,3
0,4
ISTANTE DI TEMPO (ORE)
0,5
75
O
E
M
2
100
I
Z
2
75
O
E
100
I
Z
I
P
O
S
I
125
P
O
50
25
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
ISTANTE DI TEMPO (ORE)
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
ISTANTE DI TEMPO (ORE)
0,5
La velocità istantanea
Quindi, possiamo suddividere il percorso in più
tratti e calcolare la velocità media per ciascuno di
essi. Ad esempio, il rapporto tra la lunghezza del
tratto in salita e il tempo che il ciclista impiega per
percorrerlo ci dà la velocità media del ciclista in salita. Lo stesso si
può dire per il tratto piano in discesa. Inoltre, se riduciamo
ulteriormente l’ampiezza di questi intervalli (100m, 10m, 1m, ecc.) si
può giungere a conoscere la velocità del ciclista in ogni punto del
tracciato. In questo caso avremo trovato la velocità istantanea.
La velocità media
Supponiamo che un ciclista percorra una
tappa lunga 180 Km in 5h. La velocità sarà
di 36 Km/h. Ora, se ci pensiamo bene, ci
accorgeremo senz’altro che c’è qualcosa
che non quadra. Infatti il ciclista, lungo il
percorso, avrà affrontato tratti in pianura, in
salita, in discesa, magari si sarà fermato per qualche foratura. È
evidente che in tutte le situazioni citate avrà avuto velocità diverse. E
allora, la velocità di 36 Km/h a quale punto del percorso e a quale
istante si riferisce? Essa non si riferisce a nessun punto e a nessun
istante particolare! La velocità di 36 Km/h è quella che il ciclista
avrebbe avuto se avesse percorso la tappa di 180 Km in 5h con
velocità costante. Tale velocità è definita velocità media e
rappresenta il rapporto tra la distanza che è stata percorsa e
l’intervallo di tempo che è stato impiegato per percorrerla.
Il moto uniformemente accelerato
Studiamo, ora, il
moto
di
carrellino
che
un
si
muove lungo una
lunga rotaia. Per
ridurre l’attrito, ogni
componente del
carrellino deve essere ben lubrificata. Se incliniamo il piano della rotaia, il
carrellino si muoverà verso il basso con una velocità via via crescente. La
rapidità con cui esso aumenta la propria velocità (accelerazione), cresce
all’aumentare dell’inclinazione del piano. Con una inclinazione del piano di
circa 10°, la misurazione degli spazi percorsi dal carrellino e dei tempi da
esso impiegati a percorrerli fornisce i dati riportati nella seguente tabella.
La prima colonna riporta gli spazi (espressi in metri)
Tabella
s (m)
0,0
0,2
0,8
1,9
3,5
5,3
t (s)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
v
0
(m/s)
0,44
1,25
2,17
3,14
3,66
percorsi dal carrellino negli intervalli di tempo
s/t^2
-0,88
0,85
0,86
0,88
0,85
riportati nella seconda colonna.
La seconda colonna riporta gli intervalli di tempo
(espressi in secondi) impiegati dal carrellino per
percorrere gli spazi riportati nella prima colonna.
La terza colonna esprime le velocità del carrellino
nei vari intervalli di tempo e la quarta il rapporto tra
gli spazi percorsi dal carrellino e i quadrati dei tempi
da esso impiegati a percorrerli (espressi in m/s2).
Riportando su due grafici i dati dello spazio e del tempo e quelli della
velocità e del tempo otteniamo, andamenti che ben si adattano,
rispettivamente, ad un arco di parabola (grafico s-t) e ad una retta
(grafico v-t). Tali curve indicano che gli spazi sono direttamente
proporzionali ai quadrati dei tempi e che le velocità sono, invece,
direttamente proporzionali ai tempi.
Dall’analisi dei dati, infine, risulta evidente che il rapporto
tra lo spazio percorso e il quadrato del tempo impiegato a
percorrerlo è abbastanza costante e eguale, in media, a
0,86 m/s2.
Questo tipo di moto, dove i rapporti s/t2 sono costanti e le
variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli
intervalli di tempo in cui avvengono, si chiama moto
uniformemente accelerato.
Laboratorio interdisciplinare
Ipotizziamo di cronometrare l’andamento
di due auto (molto veloci …) A e B che
si muovono lungo un percorso rettilineo.
Auto A
Entrambe le auto partono dalla stessa
Auto B
posizione S=0 e istante t=0.
L’auto A, di massa 200Kg, si muove
L’auto
ad una velocità iniziale di 50m/s ma
velocità costante di 200m/s.
successivamente
incrementa
B,
invece,
procede
alla
la
velocità con un’accelerazione di
7,5m/s². L’auto, è sottoposta ad una
forza di 1500N.
Dati del problema
AUTO A
MASSA AUTO
200 KG
VELOCITA’
INIZIALE
FORZA APPLICATA
50 m/s
ACCELERAZIONE
AUTO
1500 N
7,5 m/s²
VELOCITA’ INIZIALE
720
Km/h
200 m/s
tempo
VALORE INIZIALE
TEMPO
0
S
STEP
0,5
S
VARIABILE
DIPENDENTE
AUTO B
VELOCITA’
VARIABILE
INDIPENDENTE
t
velocità
v
distanza
s
Tabella dei valori
Iniziamo
Velocità istantanea dell’auto A= (v0+at)
Spazio percorso
dall’auto A :
s=vot+(atE2)/2
a
cronometrare quando le
due
auto si trovano
all’inizio del percorso
Velocità
costante
auto B
rettilineo; registriamo i
valori
ogni
secondo
(per
intervallo
di
mezzo
un
Spazio
percorso
dall’auto B :
s=vt
tempo
compreso tra 0 e 10 s)
e
costruiamo
una
tabella.
Descrizione tabella
Nella prima colonna sono riportati i tempi espressi in secondi rilevati con
il cronometro.
Nella seconda e quarta colonna sono riportate la velocità istantanea e lo
spazio percorso dall’auto A.
Nella terza e quinta colonna sono riportate la velocità istantanea e lo
spazio percorso dall’auto B
Commento valori auto A
Analizzando i valori ricavati dalla tabella, osserviamo che l’auto A
nell’istante iniziale T=0 ha già una velocità iniziale Vo≠0 quando
incomincia ad incrementare la velocità con accelerazione costante. In tal
caso è evidente che la velocità da esso acquistata dopo un certo
intervallo di tempo t, è data dalla somma della sua velocità iniziale Vo e
dall’incremento di velocità a·t (cioè l’incremento di velocità da esso subito
nel tempo t a causa dell’accelerazione a) per cui avremo : Vo+a·t. Questo
ragionamento ci consente di ottenere la formula mediante la quale
ricavare i valori degli spazi percorsi dall’auto A con velocità iniziale Vo≠0.
Ovviamente se l’auto avesse mantenuto sempre la stessa velocità iniziale
Vo, nel tempo t avrebbe percorso uno spazio S= Vot. Ma poichè la velocità
è aumentata nello stesso intervallo, l’auto ha percorso una distanza
maggiore. Pertanto, nell’equazione S(t) al termine Vot bisogna sommare il
termine ½ a·t² , che indica lo spazio percorso dall’auto A in seguito
all’accelerazione subita. Avremo quindi: S= V0t + ½ a·t²
2
Commento valori auto A
Inseriti tutti i valori relativi all’andamento dell’auto, calcoliamo il ∆t, il ∆v e il
∆s e notiamo valori uguali tra il ∆t e il ∆v (∆t=0,5s e Vo=13,5Km/h).
In questo modo verifichiamo che, nel moto uniformemente accelerato, la
velocità del corpo varia di quantità uguale in eguali intervalli di tempo.
La relazione che lega s e t nel moto uniformemente accelerato
è la
proporzionalità quadratica, infatti lo spazio percorso è direttamente
proporzionale al tempo elevato al quadrato.
2
2
Commento valori auto B
Analizzando i valori ricavati dalla tabella, osserviamo che l’auto B
procede a velocità costante. Infatti, se calcoliamo il ∆t e il ∆s avremo
valori uguali, in ogni istante di tempo (∆t=0,5s e VB=100m/s).
In questo modo abbiamo verificato la prima legge della dinamica che
afferma che un corpo percorre distanze uguali in intervalli di tempo
uguali.
Nel moto rettilineo uniforme la relazione che lega s e t è la
proporzionalità diretta.
Dall’analisi dei dati ricavati dalla tabella possiamo affermare che le due
auto percorrono moto diversi:
Auto A
Auto B
Moto uniformemente accelerato
dove la costante di proporzionalità
è l’accelerazione
Proporzionalità quadratica
Rappresentiamo
tabella,
Moto rettilineo uniforme dove la
costante di proporzionalità è la
velocità
Proporzionalità lineare
i valori ricavati dalla
attraverso
due
diagrammi
diversi: spazio/tempo e velocità/tempo
Descrizione grafico
Su un diagramma s/t, l'asse dei tempi è
tarato in secondi: il tempo 0 corrisponde
Auto B
s
al momento in cui si comincia a
Auto A
misurare il tempo. L’asse dello spazio è
suddiviso in metri con intervalli di 200 m
t
tra una posizione e l’altra.
Il moto dell’auto B viene rappresentato dalla retta la cui pendenza è legata
alla velocità costante. Più la retta è ripida tanto più spazio percorre l’auto
in un determinato intervallo di tempo.
Il moto dell’auto A viene rappresentato da una parabola che rappresenta
la velocità istantanea che varia in maniera uniforme con il passare del
tempo.
Descrizione grafico
Auto B
v
Auto A
t
Su un diagramma v/t, l'asse dei
tempi è tarato in secondi: il
tempo
0
corrisponde
al
momento in cui si comincia a
misurare il tempo. L’asse della
velocità è suddiviso in (km/h)
con intervalli di 200 (km/h).
Il moto rettilineo uniforme dell’auto B viene rappresentato da una retta
orizzontale e parallela all’asse dei tempi, questo dimostra che in ogni
istante t la velocità è costante. Il moto uniformemente accelerato dell’auto A
viene rappresentato da una retta i cui punti corrispondono a una coppia
ordinata di valori velocità istantanea e un secondo di tempo. Tra i due
intervalli abbiamo un aumento regolare che esprime una relazione lineare
(al crescere della variabile indipendente, cresce anche la variabile
dipendente). Inoltre notiamo che la retta sale; questo dimostra che la
velocità aumenta e l’accelerazione è positiva.