Laboratorio di Fisica con Elementi di Statistica e Informatica

Laboratorio di Fisica con Elementi di Statistica e Informatica - Dispense delle esperienze
Prof. Eleonora Luppi, Dott. Isabella Garzia, Dott. Mirco Andreotti
LaboratoriodiFisicaconElementidi
StatisticaeInformatica
Dispensedelleesperienza
A.A.2016/2017
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Laboratorio di Fisica con Elementi di Statistica e Informatica - Dispense delle esperienze
Prof. Eleonora Luppi, Dott. Isabella Garzia, Dott. Mirco Andreotti
Indice
Strutturadellarelazionedilaboratorio............................................................................................3
Esp.1-Misuradell'accelerazionedigravita'conlacadutadiungrave.................................5
Esp.2-Misuradellacostanteelasticadiunamollaaspirale..................................................11
Esp.3-Determinazionedelcoefficientediattritostaticoconilpianoinclinato.............15
Esp. 4 - Determinazione dell’accelerazione di gravità con il pendolo reversibile di
KATER.........................................................................................................................................................17
Esp. 5 - Misura della tensione superficiale di un liquido con la bilancia di MohrWestphal....................................................................................................................................................21
Esp.6-Misuradellacostanteditempodiuntermometroaliquido....................................25
Esp.7-Calibrazionediunatermocoppia.......................................................................................29
Esp.8-Misuradelcalorespecificodiunsolidoconilcalorimetrodellemescolanze....33
Esp.9-Misuradellavelocitàdipropagazionedelsuononell’aria........................................37
Esp.10-MisuradelPeriododioscillazionediunpendolosemplice...................................41
Esp.11-Misuradelladensita'disolidiregolarienonregolari.............................................43
Esp.12-Misuradell'erroresullamedia.........................................................................................45
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Strutturadellarelazionedilaboratorio
Corso:LaboratoriodiFisicaconelementidistatisticaedinformatica–LT
AnnoAccademico:20XX/20XX
Gruppodilavoro:NomeCognome–matricola–indirizzoemail
NomeCognome–matricola–indirizzoemail
Datadiconsegnadellarelazione:giorno/mese/anno
1. Titolodell’esperienza
Specificareiltitolodell’esperienzacondotta
2. Obbiettivodell’esperienza
Descrivereinmodosinteticogliobbiettividell’esperienza,distinguendotraobbiettivi
principaliesecondari
3. Descrizionedell’apparatostrumentale
Descrivere in modo sintetico l’apparato strumentale utilizzato riferendosi, ove
possibile,adunoschemagraficoriassuntivo
4. Descrizionedellametodologiadimisura
Descrivere in modo sintetico la metodologia di misura specificando la procedura
utilizzataperl’analisideidati
5. Presentazionedeidatisperimentali
Riportaresottoformaditabellee/ograficiidatiraccolti
6. Elaborazionedeidati
Riportareleformuleutilizzateperottenereirisultatieirelativierrori
7. Discussionedeidatisperimentalieconclusioni
Argomentareirisultatiottenutie/oconfrontarliconivaloriattesi
8. Appendici
Riportare nelle appendici tutto ciò che si ritiene non fondamentale per la
comprensionedellarelazionemachecontribuiscearenderepiùcompletol’elaborato
(tabelle e grafici aggiuntivi, approfondimenti, elaborazione dei dati sperimentali
completadituttiipassaggieffettuati,…)
Indicazionigenerali:
• In ognuna delle esperienze tener conto dei possibili errori sistematici per poterli
valutareoeliminare
• Determinare l’intervallo di funzionamento e l’errore di sensibilità degli strumenti a
vostradisposizione
• Per l’analisi degli errori seguire le procedure descritte nelle precedenti lezioni,
considerandoglierroridirettiedindirettialfinediottenerel’erroretotale
• Incasodisemplificazionioassunzioniparticolariènecessariovalutarnelavalidità
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•
•
•
Il risultato dovrà sempre essere dato con il numero di cifre significative coerente
conlemisureeindicandol’intervallodiattendibilità
Siconsiglial’utilizzoR(ovepossibile)
L’usodilaptopnonsaràconsentitodurantelaprovad’esame;èprevistosolol’utilizzo
dei PC presenti in laboratorio per determinate esperienze. Eventuali grafici e/o
istogrammidovrannoesserepresentatisucartamillimetrata.
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Esp.1-Misuradell'accelerazionedigravita'conlacadutadiungrave
Cenniteorici
Selasciamocaderedafermounoggettopesante,essopercorreincadutaliberauncamminoh
neltempoteleduequantitàsonocorrelatetralorodallaseguenterelazione:
1 !
ℎ = 𝑔𝑡 2
con g accelerazione di gravita'. (nell’ipotesi che la resistenza dell’aria abbia effetti
trascurabili).
La validità di tale relazione può essere verificata lasciando cadere, da fermo, un oggetto
qualsiasi (grave) e misurando le distanze percorse in caduta h e i tempi impiegati t. Dalla
precedente relazione si può anche ricavare il valore dell’accelerazione di gravità, obiettivo
principalediquestamisura:
𝑔=
2ℎ
𝑡!
Tecnichedimisura
La tradizionale misura dell’accelerazione di gravita’ con la caduta di un grave si esegue
misurando il tempo per percorrere una determinata distanza dal punto di partenza. Una
misura di questo tipo potrebbe essere affetta da un errore sistematico dovuto al sistema di
sgancio del grave. Per studiare l'errore sistematico si procede alla misura di g utilizzando
misuresimultaneedeitempidicadutaadistanzediverse.
I tempi di caduta del grave sono dell’ordine delle centinaia di millisecondi e la misura di
questi tempi e’ soggetta a fluttuazioni statistiche che dipendono da diversi fattori, quali per
esempio tempo di rilascio della sfera, risposta dei sensori, posizionamento della sfera
sull’elettromagnete,fluttuazionidellecondizionidell’apparatoetcetc
Perrendersicontodiquestefluttuazionibastaripeterequalchevoltalamisuraenotarechei
tempi misurati non sono mai gli stessi. Per poter ottenere una misura dell’accelerazione di
gravita’ e’ quindi necessario acquisire un campione di misure ripetute statisticamente
significativo. Le singole operazioni per una misura dovranno quindi essere ripetute almeno
100volte.
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Apparatosperimentale
L’apparatosperimentalepresenteinlaboratorio,schemaHzzatoinfigura,e’dotat
di 3 sensori di presenza, posizionaH a distanze diverse e la scheda eleAronic
uHlizzatamisurai3tempicheintercorronofrailrilasciodellasferaeilpassagg
aAraversoisensori.
Perconsentirelostudiodiuneventualeeffetto
sistematico, l’apparato sperimentale presente
in laboratorio, e schematizzato in figura, e’
dotato di 3 sensori di presenza, posizionati a
distanze diverse e la scheda elettronica
utilizzatamisurai3tempicheintercorronofra
ilrilasciodellasferaeilpassaggioattraversoi
sensori.
Itempisonomisuratiinmicrosecondi.
EleAromagnete
h1
h2
Sensoridi
presenza
Time
Counter
h3
3
Esecuzionedell'esperienza
1. Accenderelaschedaelettronica;
2. Attendere 5/10 minuti affinche’ l’elettronica e l’elettromagnete raggiungano
l’equilibriotermicodifunzionamento
3. Nell’attesamisurare:
a. Diametrodellasferaconilcalibroventesimale;
b. Distanzadeisensori-traguardidall’eletromagneteconlarigamillimetrata;
4. Posizionarelasferainprossimita’dell’elettromagnetefacendosi’chelasferarimanga
appesapereffettodelcampomagnetico;
5. Premereilpulsantepresentesullaschedapersganciarelasfera;
6. Annotarelemisuredeitretempiindicatisuldisplaydellascheda;
7. Ripeterealmeno100volteilpunti4,5e6.
Elaborazionedeidati
Ladisponibilita’di3tempimisuratiincorrispondenzadi3altezzediversedalapossibilita’di
poter eseguire un’elaborazione dei dati avanzata, la quale permette di poter approfondire
diversi aspetti che possono caratterizzare un esperimento di fisica. A questo proposito
illustriamo diversi tipi di analisi in ordine di difficolta’, mettendo in evidenza gli aspetti che
emergonodallaparticolareanalisi.
Avendoeseguitounamisurastatisticae’chiarocheperesprimereinmodocorrettoirisultati
e’necessarioprocedereconun’elaborazionestatisticadeidatiintuttiItipidianalisi.
Aquestopropositopresentiamotredifferentianalisichesipossonosvolgere:
1. Determinazione di g con un solo traguardo (per questa mostreremo anche i dettagli
dell’analisistatistica).
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2. Determinazione di g con due traguardi a scelta fra i tre disponibili (evidenziamo le
relazioni,tralasciamol’analisistatisticachedevecomunqueessereeseguita).
3. Determinazione di g con tutti e tre i traguardi (evidenziamo le relazioni, tralasciamo
l’analisistatisticachedevecomunqueessereeseguita).
Analisicon1traguardo
Si scelga a piacere uno dei tre traguardi e si considerino le N misure dei tempi relativi al
traguardoscelto.
Siprocedaallarappresentazionegraficadeitempiconl'Istogramma
Ivaloriditiottenutivengonosuddivisiinclassi,ottenutedividendol'intervallodeivaloridit
in vari sottointervalli, o classi, tutti di uguale ampiezza, e considerando equivalenti tutti i
valori ti interni a ciascuna classe. Questa conterrà, quindi, un certo numero Ni di valori
proporzionale alla frequenza fi = Ni/N della classe. Riportando gli Ni, o le frequenze, in
funzione di t in un istogramma, si dovrebbe ottenere un grafico il più possibile simile
all’andamento della funzione di distribuzione normale, tipica delle misure affette da errori
casuali.Perverificarelafondatezzadiquestaipotesi,cioèdiunadistribuzionegaussianadelle
frequenzedeidatisperimentali,siesegueiltestdelχ2.Seiltestda’unesitopositivo,sipuò
esprimerelamisuradeltempoconl’intervallodiattendibilità:
𝑡 = 𝑡 ± 𝜎! con 𝑡 =
!
!!! 𝑡!
𝑁
e 𝜎! =
!
!!!
𝑡! − 𝑡 !
𝑁−1
Determinatoiltmediosiprocededeterminandol’indicedicentralita’diglacorrispondente
dispersioneσg.
Chiamando h l’altezza corrispondente al traguardo scelto g medio si determina con la
seguenterelazione:
2ℎ
𝑔 = !
𝑡
Ladeviazionestandardσg.Sicalcolaconlaleggedipropagazionedeglierroritenendoconto
delladeviazionestandardsutedell’erroresullamisuradih.
Approfondimentisuggeriti.
1. Il valore di g calcolato risulta di solito significativamente piu’ basso del valore di g
tabulato9.8.
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2. Confrontando i tre valori di g ottenuti con i corrispondenti tre tempi si puo’ notare
comegaumentiall’aumentaredih.Itrevalorimostranocomunqueuncomportamento
analogoaquantodettoalpuntoprecedente.
Queste due osservazioni suggeriscono la possibilita’ di un possibile errore sistematico nella
misuradit.
§ g puo’ risultare piu’ piccolo del valore vero se per esempio si misura un tempo piu’
lungo.
§ Se g aumenta all’aumentare di h, quindi di t, potrebbe significare che il tempo
aggiuntivomisuratodiventamenoinfluentepermisureditempipiu’lunghi.
§ Questeconsiderazionisuggerisconolapossibilita’diuntempodisganciononnulloda
attribuireallasmagnetizzazionedelmagnete.
§ Laconfermadiquestaipotesilapossiamoottenerepero’solodaun’analisidiversache
illustriamonelseguito.
Analisicon2traguardi
Si scelga a piacere due dei tre traguardi e si considerino le relazioni che seguono per ogni
coppiaditempimisuratinellastessacaduta.Siprocedapoiconlatrattazionestatistica.
Consideriamolaformuladelmotouniformementeacceleratoconpartenzadafermo:
ℎ=
1 !
𝑔𝑡 2
Sceltiduetraguardiapiacere,peresempio1e2,possiamoscrivereleseguentirelazioni:
1
ℎ! = 𝑔𝑡!! ⟹ 𝑡! =
2
2ℎ!
𝑔
1
ℎ! = 𝑔𝑡!! ⟹ 𝑡! =
2
2ℎ!
𝑔
I tempi indicati non sono necessariamente quelli misurati, in quanto quelli misurati
potrebbero essere affetti da un sistematico, supponiamo quindi di poter esprimere i tempi
misuraticomesegue:
𝑡!! = 𝑡! + 𝑡! ⟹ 𝑡!! =
𝑡!! = 𝑡! + 𝑡! ⟹ 𝑡!! =
8
2ℎ!
+ 𝑡!
𝑔
2ℎ!
+ 𝑡!
𝑔
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Esprimendo g come differenza fra i tempi misurati siamo in grado di eliminare il tempo
sistematico:
!
𝑔=
2ℎ! − 2ℎ!
𝑡!! − 𝑡!!
Perprocedereconlatrattazionestatisticadeidati,sipuo’determinareladifferenzadeitempi
media(nonladifferenzadeitempimedi!Chenoneliminerebbel’eventualetempoaggiuntivo
comuneadognimisura),perdeterminareilvaloremediodig.Perladeviazionestandardsi
procedeinmodoanalogoall’analisiconuntraguardo.
Osservazionieconfrontoconl’analisiconuntraguardo.
§ Sipuo’procedereadeterminarealtriduevaloridigscegliendolealtreduepossibile
coppiedisensori.
§ Interessante confrontare questi valori di g con quelli ottenuti nell’analisi ad un
sensore.Sel’ipotesidiuntempoaggiuntivosistematicoe’vera,alloraquestetrevalori
digdovrebberorisultaresensibilmentemaggioridiquelliprecedentiesensibilmente
piu’vicinialvaloretabulato9.8.
§ E’inoltreinteressanteconfrontareladeviazionestandarddigottenutaconl’analisia
due sensori con quella ottenuta con un sensore. E’ possibile notare una sensibile
differenzafraidue,valoreminorenelcasodeiduesensoriemaggiorenelcasodiuno.
Questopotrebbeessereattribuitoadunasensibilefluttuazionedeltempodidistacco.
Questafluttuazionedipuo’determinare.
Analisicon3traguardi
Consideriamolaformulageneraledelmotouniformementeaccelerato:
1
ℎ 𝑡 = ℎ! + 𝑣! 𝑡 − 𝑡! + 𝑔 𝑡 − 𝑡! ! 2
Facendoriferimentoai3traguardiealle3misurediposizioneeditempipossiamoscrivere
unsistemalinearedi3equazionie3incognite,conilqualee’possibilecalcolaregapartire
dalledifferenzespazialietemporalifra:
1
ℎ! − ℎ! = 𝑣! 𝑡! − 𝑡! + 𝑔 𝑡! − 𝑡! !
2
1
ℎ! − ℎ! = 𝑣! 𝑡! − 𝑡! + 𝑔 𝑡! − 𝑡! ! 2
1
ℎ! − ℎ! = 𝑣! 𝑡! − 𝑡! + 𝑔 𝑡! − 𝑡! !
2
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Utilizziamo le seguenti abbreviazioni per le differenze spaziali e temporali, le quali sono
misurateconl’apparatosperimentale:
ℎ!" = ℎ! − ℎ! ; 𝑡!" = 𝑡! − 𝑡!
ℎ!" = ℎ! − ℎ! ; 𝑡!" = 𝑡! − 𝑡! ℎ!" = ℎ! − ℎ! ; 𝑡!" = 𝑡! − 𝑡!
Ilsistemadiventa:
1 !
ℎ!" = 𝑣! 𝑡!" + 𝑔𝑡!"
2
1 !
ℎ!" = 𝑣! 𝑡!" + 𝑔𝑡!"
2
1 !
ℎ!" = 𝑣! 𝑡!" + 𝑔𝑡!"
2
Leincognitesonov1,v2eg.Esprimiamolasoluzionepercalcolareg:
2 𝑡!" ℎ!" − 𝑡!" ℎ!"
𝑔=
𝑡!" 𝑡!" 𝑡!" − 𝑡!"
Osservazionieapprofondimenti
§ Ovviamenteancheinquestocasosideveprocedereconl’analisistatisticavalutandole
differenzeperognisingolaacquisizionecomenelcasodell’analisiaduesensori.
§ Eventualitempidisganciovengonoannullaticomenell’analisiaduesensori.
§ Ilvaloreottenutodige’confrontabileconilvaloreottenutodall’analisiaduesensori.
o La deviazione standard di g ottenuta e’ maggiore di quella ottenuta con due
sensori,inquantosiutilizzanopiu’variabilerispettoallamisuraaduesensori.
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Esp.2-Misuradellacostanteelasticadiunamollaaspirale
Cenniteorici
L'applicazione di una forza ad un estremo di una molla provoca un allungamento o una
contrazionedellamollacherimanecostantequandosiraggiungelacondizionediequilibrio,
cioe' quando la molla si oppone alla forza con una forza elastica uguale e contraria.
L'allungamentoprovocatodallaforzaapplicae'proporzionaleallaforzastessaelarelazione
e'espressadallaLeggediHooke:
𝐹 = 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑎 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎
𝑘 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎
𝐹 = 𝑘 ⋅ Δ𝑥
Δ𝑥 = 𝑎𝑙𝑙𝑢𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎
L'esperienza di laboratorio si pone come obiettivo la misura della costante elastica di una
mollaaspirale.
Tecnichedimisure
La misura della costante elastica di un una molla si puo' svolgere seguendo due metodi: il
metodostaticoeilmetododinamico.
Il metodo statico si basa sulla condizione di equilibrio di una molla sottoposta a forza
costante e consiste nell'applicare alla molla una forza nota e misurarne il corrispondente
allungamento. Utilizzando la Legge di Hooke si determina il coefficiente k. Per una migliore
accuratezza nella misura e' preferibile misurare gli allungamenti in corrispondenza di forze
diverseedeterminareilcoefficientekdallarelazionelinearefralemisure.
Ilmetododinamicosibasasullostudiodelmotoarmonicosemplicechesiottienelasciando
oscillare la molla sottoposta a forza costante attorno al punto di equilibrio. L'equazione del
motoperlamollainoscillazionesiottienedallaLeggediHookeesplicitandolaforzaapplica,
laqualesara'laforzapesodiunamassaappesa:
𝑑! 𝑥
𝐹 = 𝑘 ⋅ Δ𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 ! 𝑑𝑡
𝑒 Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥! ⇒ 𝑐𝑜𝑛 𝑥! = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜
𝑑! 𝑥
⟹ 𝑚 ! = 𝑚 ⋅ 𝑥 − 𝑥!
𝑑𝑡
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Laprecedenteequazionedifferenzialehacomesoluzione:
𝑥 = 𝑥! cos 𝜔𝑡
𝑐𝑜𝑛
𝜔=
𝑘
𝑚
IlPeriododioscillazionesara'quindi:
𝑚
𝑇 = 2𝜋
𝑘
⟹
4𝜋 ! 𝑚
𝑘=
𝑇!
La misura del periodo di oscillazione e della massa applicata consentono di determinare il
coefficienteelasticodellamolla.
Apparatosperimentale
L'apparato sperimentale e' costituito dal una molla appesa in verticale, vincolata da una
estremita'edotata,all'altraestremita',diunnonioregolabileperlamisuradell'estensione.Un
setdimassenotee'indotazioneperlavariazionedellaforzaapplicata.
Esecuzionedell'esperienza
1. Metodostatico
a. Agganciareallamollalamassaperl'aperturadellespire.
b. Regolareilnonioperazzerarelamisuradell'allungamento.
c. Applicare masse diverse alla molla e misurare i corrispondenti allungamenti
quandoinequilibrio.
2. Metododinamico
a. AgganciareallamollalamassaMperl'aperturadellespire.
b. Applicareunamassanota.
c. Allungare a mano la molla per portarla fuori equilibrio e lasciarla libera di
oscillare,facendoattenzioneadevitarelachiusuradellespire.
d. MisurareiltempoimpiegatoperN(>20)oscillazioni.
e. Ripeterelamisuradelperiodopermassediverse.
Analisideidati
1. Metodostatico
a. Determinareilcoefficienteelasticodellamollaapplicandoilmetododeiminimi
quadrati al set di misure allungamenti in funzione delle masse applicate e
determinareilcorrispondeteerrore.
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b. Eseguireiltestdelchiquadro.
2. Metododinamico
a. Linearizzare l'equazione di T in funzione di m, tenendo conto che oltre alla
massaapplicatabisognaconsiderareanchelamassaaggiuntivaelamassadella
molla.DefiniamoMcomelemassechenoncambianopossiamoesprimereTin
funzionedimsecondolaseguenterelazione:
4𝜋 !
𝑇 =
𝑚+𝑀 𝑘
!
b. Applicare il metodo dei minimi quadrati alle variabili linearizzate per
determinareilcoefficientelineareeilcorrispondenteerrore.
c. Eseguireiltestdelchiquadro.
d. Determinarekdalcoefficientelinearedeterminatoinbconlafunzioneinversa
e applicare la propagazione dell'errore per determinare il corrispondente
errore.
e. DeterminareMdalterminenotoedak.
Confrontarelemisuredikottenuteconiduemetodi.
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Esp. 3 - Determinazione del coefficiente di attrito statico con il piano
inclinato
CenniTeorici
L’attrito è una forza che si esercita tra due corpi posti a contatto e che si oppone al moto
reciproco.Inparticolare,laforzadiattritotrasuperficiinquietetradiloroèdettadiattrito
statico,mentretrasuperficiinmotorelativosiparladiattritodinamico.
L’obbiettivo dell’esperienza consiste nella misura del coefficiente di attrito statico. La forza
minima necessaria per mettere in moto relativo due corpi a contatto che sono inizialmente
fermi l’uno rispetto all’altro è data dal prodotto della forza normale N per il coefficiente di
attritostaticoμs:Fa=Fs=N∙μs
N
α
Tecnicadimisura
Permisurareilcoefficientediattritostaticoμsutilizziamoilmetododelpianoinclinato,ossia
diunpianoche,ruotandoattornoadunasseorizzontale,puòessereinclinatodiunangoloα.
Sulpianovienepostouncorpodimassam,delqualevogliamomisurareμs.Perα=0(piano
orizzontale), il corpo è fermo, ma aumentando man mano l’inclinazione del piano, per un
determinatovalorediαilcorpoinizieràascivolarelungoilpiano.Laforzadiattritoassumeil
valore massimo𝐹! = 𝑁𝜇! = 𝑚𝑔 cos 𝛼 ∙ 𝜇! , con α il massimo angolo di inclinazione per cui il
corporimanefermo.Quandomg∙sinα≥Fsilcorpoiniziaamuoversilungoilpiano.
Quindi, inclinando gradualmente il piano possiamo trovare l’angolo in corrispondenza del
qualeilcorpoiniziaascivolare.Intalicondizioni,laforzapesolungoladirezionedelmoto
saràugualeallaforzadiattritomassima:
𝑚𝑔 ∙ sin 𝛼 = 𝑚𝑔 cos 𝛼 ∙ 𝜇! → 𝜇! = tan 𝛼 In conclusione, dalla lettura dell’angolo α sul goniometro del piano inclinato è possibile
risalirealcoefficientediattritostaticoμs.
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Apparatosperimentale
•
•
Pianoinclinatocongoniometroincorporato(sensibilitàdelcentesimodigrado)
Dischetti di massa m (sceglierne uno ed effettuare le misure utilizzando lo stesso
dischetto)
Esecuzionedell’esperienza
•
•
•
•
La misura è affetta da errori casuali (ogni misura fornisce un diverso risultato). È
quindi necessario effettuare una buona trattazione statistica per ottenere una buona
stimadi𝜇! .Perfarciòoccorreprenderealmeno100misuredell’angoloα
Unavolta posizionato il disco di massa m sul piano, iniziare ad inclinare il piano con
moltacurafinoachel’oggettononiniziaamuoversi
Annotareilvaloredell’angololettosulgoniometro(conunaprecisionedi0.01∘)
Ripeterel’operazionenvolte,conn≥100
o Per ogni misura, il disco deve essere posto con la stessa faccia nello stesso
puntodelpianoeconlastessaorientazione
Elaborazionedeidati
•
•
•
•
•
•
Riportarelemisuredegliangoliinunatabella
Disegnare un istogramma in funzione degli angoli misurati, facendo attenzione ad
individuareleclassiopportune(siconsiglial’utilizzodiR)
Verificare la fondatezza dell’ipotesi di distribuzione di Gauss dei dati sperimentali
eseguendoiltestdel𝜒 ! Suppostounesitopositivodeltest,calcolareilvaloremedioeladeviazionestandard
degliangoli
Calcolareilcoefficientediattritostaticoμsconrelativavalutazionedell’errore
Confrontareilrisultatoottenutoconvaloritabulati.
OSSERVAZIONE:perlaprovapratical’istogrammadovràesserefattosucartamillimetrata
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Esp. 4 - Determinazione dell’accelerazione di gravità con il pendolo
reversibilediKATER
Cenniteorici
Perpendolofisicosiintendeunsolidoqualsiasicheoscillaattorno
ad un asse fisso (asse di sospensione) sotto l’azione della forza
peso.IlperiodoTdell’oscillazionedipendeingeneredallaformae
dalla distribuzione della massa (dal momento di inerzia rispetto
all’asse di sospensione), dall’ampiezza massima delle oscillazioni
(trascurabile nel limite di piccole oscillazioni) e dalla costante di
accelerazionedigravitàlocaleg.E’quindipossibilemisurarega
partire dalla misura del periodo T e del momento di inerzia I del
pendolo. In pratica, misure dirette del momento di inerzia
introduconograndiincertezze.Ilpendoloreversibile,opendolodi
Kater, elimina questa difficoltà, riducendo la misura di g ad una
seriedimisureditempoedilunghezze.
Tecnicadimisura
Il pendolo reversibile di Kater è un particolare pendolo composto, costituito da due masse
metalliche cilindriche uguali m1 ed m2, da una sbarra metallica graduata e da due coltelli
d’acciaio ortogonali alla sbarra e tra loro paralleli (O1 e O2). Il pendolo può essere sospeso
appoggiando ciascuno dei coltelli su un opposito sostegno e oscillare attorno ad assi
orizzontalipassantiperO1eO2,conladistanzaL=O1-O2nota(misurabile).
La massa m1 è fissata alla sbarra esternamente ai coltelli, mentre la massa m2 puó essere
spostaall’internodeiduecoltellilungolasbarra.Lospostamentodim2permette,quindi,di
variareilmomentodiinerziadelpendoloelaposizionedelsuocentrodimassa(cherimane
comunqueall’internodeiduecoltelli).
Appoggiando il coltello O1 al sostegno, il pendolo oscillerà con un certo periodo T. Per
oscillazionidipiccolaampiezza,ilperiodoTèdatoda:
𝑇 = 2𝜋
!
!"!
,
dove I è il momento di inerzia del pendolo rispetto all’asse di rotazione O1, M la massa
complessivadelpendolo,hladistanzadiO1dalcentrodimassa.
Allostessomodo,sesisospendeilpendolosulcoltelloO2siottieneunperiododioscillazione
𝑇 = 2𝜋
17
𝐼′
𝑀𝑔ℎ′
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Notareche,ingenerale,T≠T’poichésonodiversiimomentidiinerziaeladistanzatraassedi
sospensioneecentrodimassa.
Tuttavia,perunadeterminataposizionedellemassecilindrichesipuòottenereT=T’quando:
𝑇 = 𝑇′ ⟹
𝐼
𝐼′
=
= 𝐿
𝑀ℎ
𝑀ℎ′
conLdistanzatraiduecoltelli.Intalicondizioni,ilperiododelpendoloè𝑇
= 2𝜋
!
!
cheèugualealperiododiunpendolosemplicedilunghezzaL(Lprendeilnomedilunghezza
ridottadelpendolocomposto).
Individuatoilperiodocomune,gsiricavada
𝑔 = 4𝜋 !
𝐿
𝑇!
(1)
Apparatosperimentale
•
•
PendolodiKater
Cronometro
Esecuzionedell’esperienza
Obbiettivo:trovareilperiodocomuneT
PRIMAPARTE
• Posizionare la massa m2 in una determinata posizione lungo la sbarra e leggere la
quotay1lettasullascalagraduata(distanzam2dalcoltelloO1)
• SospendereilpendoloperilcoltelloO1
• Misurareiltempot1necessariopern=10oscillazioniericavareilperiodoT1=t1/n
• Senzaspostarelamassam2,capovolgereilpendoloesospenderloperilcoltelloO2.Con
lestessemodalità,calcolareilperiododioscillazioneT1’.
• Far scorrere la massa m2 su una nuova posizione y2 (p.e., spostandola di 10 cm) e
ripeterelemisuredeiperiodiattornoaO1(T2)eO2(T2’)
• Ripetereilprocedimentoperuncertonumerodiposizioniy;
• RiportareinundiagrammaiperiodiTeT’infunzionedellaposizioneydellamassam2
edindividuareilpunto/ipuntidiintersezionedelleduecurve(vedifiguraasinistra).
Leintersezioniindicanolepossibiliposizionidellamassam2chedannoluogoauguali
periodidioscillazioneattornoaiduecentridisospensione;
SECONDAPARTE:migliorarelaprecisionesulcalcolodiT
• Scegliereunodeiduepuntidiintersezionedelleduecurve.Nell’esempioinfigurasiè
sceltoilprimopunto;
• Sceltounintornodelpunto,siripetonolemisurediTeT’
o Spostarem2di1/2cm
o Misurareilperiodocontandounnumerodioscillazionimaggiori(p.e.,n=50)
18
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•
•
DeterminareilnuovopuntodiintersezioneT
Ricavareg
Elaborazionedeidati
•
•
•
•
RiportarelemisurediTeT’siaintabellacheinungrafico(T(T’)vs.y);
UtilizzareilmetododiregressionelinearepercalcolareiparametriAeBdellerette,
conrelativierrori(nellafiguraadestra);
Dall’equazionedellerette,estrarreilpuntodiintersezioneperdeterminareT;
Calcolaregerelativoerroredall’equazione(1).
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Esp.5-Misuradellatensionesuperficialediunliquidoconlabilanciadi
Mohr-Westphal
Cenniteorici
Unaproprietàcaratteristicadellesuperficideifluidièlatensionesuperficiale.
Latensionesuperficialeèlaforzachesiesercitafralemolecolesuperficialidiunliquidoefasi
chelesuperficideiliquidisianomenoestesepossibili.
Sidefiniscecoefficienteditensionesuperficialeτ(osemplicementetensionesuperficiale)di
unliquidoillavoronecessarioaprovocareunaumentounitariodellasuperficielibera:
𝜏=
!
∆!
(1)
doveWèillavorocheoccorrecompiereperaumentarelasuperficiedelliquidodiΔA,eτsi
misurainerg/cm2(cgs)oinJ/m2(SI).
La presenza della tensione superficiale fa in modo che la lunghezza del contorno della
superficieliberadiminuisca(riduzionesuperficielibera).Essapuòancheessereinterpretata
come il risultato di una forza agente sull’unità di lunghezza del contorno della superficie
libera,perpendicolareallalineadicontornoedirettatangenzialmenteallasuperficie,versoil
suointerno.Quindi,inmododeltuttoanalogoalla(1),possiamodefinireτcome:
𝐹
𝜏=
(2)
𝐿
doveFèlaforzaesercitatasulcontornodallatensionesuperficialeeLèlalunghezzatotale
dellalineadicontorno.Notarecheutilizzandoquestadescrizione,τsimisuraindine/cm(cgs)
oinN/m(SI).
Tecnicadimisura
Utilizziamounostalagmometro,simisuralatensionesuperficialediunliquidoperconfronto
conquelladell’acquadistillata.Questometodorichiedeanchelaconoscenzadelladensitàdei
liquidiutilizzati,cheverràottenutaconl’usodellabilanciaidrostaticadoMohr-Westphal.
MISURADIDENSITÀ
La bilancia di Mohr-Westphal è un tipo di
bilancia basata sulla spinta idrostatica che un
opportuno immersore riceve da un liquido. Essa
permettediottenere,perletturadiretta,ilvalore
della densità del liquido in cui si trova
l’immersore.
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LabilanciadiMohr-Westphalècostituitadaunalevaabraccidiseguali;nelbracciocortosono
fissatiunamassaconvenienteeunindiceperverificarel’equilibrio,mentreall’estremitàdel
braccio lungo è sospeso l’immersore (solitamente di vetro). La bilancia è fornita di 4 pesi,
detti“cavalieri”,chepossonoesserepostisui10piolichesuddividonoilbracciolungodella
bilancia in posizioni opportune in modo da ottenere l’equilibrio. I due cavalieri più pesanti
hannomassauguale(m1=m2),ilterzohamassam3=m1/10,ilquartohamassam4=m1/100.I
cavalieri e l’immersore dei quali la bilancia è dotata sono tra loro in relazione: condizione
costruttivafondamentaleècheilvolumeVdell’immersore(incm3)sianumericamenteuguale
allamassam1(ing)delcavalierepiùpesante.
Inizialmente la bilancia è in equilibrio in aria. Quando l’immersore viene introdotto nel
liquido in esame, la spinta idrostatica rompe l’equilibrio che potrà essere ripristinato
posizionandoicavalieriinmodoopportuno.Seciòavvieneconicavalierim1,m2,m3,m4nelle
posizionih,l,m,n(inquest’ordine),lacondizionediequilibriodellabilanciasarà:
𝑚!
𝑚!
𝑉𝜌𝑔 ∙ 10 = 𝑚! 𝑔ℎ + 𝑚! 𝑔𝑙 + 𝑚! 𝑔𝑚 + 𝑚! 𝑔ℎ ⟹ 𝑉𝜌 ∙ 10 = 𝑚! ℎ + 𝑚! 𝑙 +
𝑚+
𝑛 10
100
dacui,ricordandol’uguaglianzatrailvolumediacquaVspostatodall’immersoreelamassa
delcavalierem1,siricava:
𝜌=
ℎ+𝑙
𝑚
𝑛
+
+
,
10
100 1000
(3)
relazionechepermettediottenereladensitàdelliquidodallasolaletturadelleposizionidei
cavalierisullabilanciainequilibrio.L’unitàdimisuradelladensitàcosìtrovataèing/cm3.
OSSERVAZIONE:LabilanciadiMohr-Westphalètarataperacquadistillataa18 ∘C,pertanto,
a seconda della temperatura al momento dell’esecuzione dell’esperienza, si potrebbe
introdurreunerroresistematiconellemisure.Occorredunquedeterminareuncoefficientedi
correzionekperlabilancia,ilcuivaloreèdatodalrapportotrailvalorecorrettodelladensità
dell’acqua alla temperatura T di lavoro (da lettura valori tabulati) e il valore di densità
indicato dalla bilancia all’equilibrio con l’immersore posto in acqua. Ogni misura di densità
dovràesseremoltiplicataperilfattoredicorrezionekperottenereivaloricorretti.
MISURADELLATENSIONESUPERFICIALE
Lostalagmometroinusoècostituitodauntubocorto,ocannello,divetrocheterminacon
unasezioneallargatabenlevigata.Aspirandodall’estremosuperioredeltuboèpossibilefar
entrarenellostalagmometroilliquidodastudiare.
Il liquido, rilasciato, scende formando delle gocce che escono dall’estremo inferiore. La
tensionesuperficialedelliquidopuòessereottenutasfruttandounabennotarelazionetrala
massadellagocciachesistaccadallostalagmometroelatensionesuperficialedelliquido:
𝑚𝑔 = 𝜏𝜋𝑑 (4)
Dalla(4)sievincechelaforzapesodiunagoccia(mg)èugualeallaforzadovutaallatensione
superficialeτapplicataalcontornodellasezionecircolare(πd),condildiametrodidistacco
dellagoccia(notarechesièfattousodell’equazione(2)).
Per un cannello di forma adeguata (sezione finale larga e liscia) il diametro della sezione di
distacco della goccia è praticamente costante per tutti i liquidi e, quindi, non dipende dal
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liquidousato.Ciòpermettediottenerelatensionesuperficialeτ2delliquidoesaminatonota
latensionesuperficialeτ1diunliquidodiriferimento(solitamenteacqua)
!!
!!
=
!!
!!
(5)
unavoltanotelemassem1em2diunagocciadeidueliquidi.
Perlamisuradellemassem1edm2siusailmetododellostalagmometroavolume.Nellaparte
altadelcannelloèpresenteunrigonfiamentoilcuivolumeVèdelimitatodaduesegniincisi
sul cannello. Riempito il rigonfiamento con il liquido, si contano il numero di gocce n
necessariepersvuotareilvolumeV(n1edn2asecondadelliquido).
Lamassadellegoccepuòesseretrovatasullabasedelledensitàρ1eρ2ricavateinprecedenza:
𝑉𝜌!
𝑉𝜌!
𝜌! 𝑛!
𝑚! =
, 𝑚! =
da cui si ricava 𝜏! = 𝜏!
(6)
𝑛!
𝑛!
𝜌! 𝑛!
checonsentediottenereilvalorecercatoditensionesuperficialedelliquidoinesame.
Apparatosperimentale
•
•
•
•
BilanciadiMohr-Westphalconcavalierieimmersore
Stalagmometro
Liquidi:acquadistillataeliquidoincognito
Pipetta
Esecuzionedell’esperienza
•
•
•
Misura della densità mediante la bilancia di Mohr-Westphal come precedentemente
descritto
o Utilizzando l’acqua distillata, calcolare il fattore di correzione k e calcolare le
densitàcorrette
Misuradellamassam1edm2dellegocceutilizzandolostalagmometro
Calcolodellatensionesuperficiale
Elaborazionedeidati
Riportare le posizioni dei
cavalieri(tabellae/odisegno)
• Calcolare le densità secondo la
(3)conrelativierrori
• Determinazione
fattore
di
correzioneerelativoerrore
• Utilizzando l’equazione (6),
ricavarelatensionesuperficialeτdelliquidoinesame,conrelativoerrore
Osservazione:perilcalcolodeglierroriapplicareilmetododipropagazione.
•
23
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Esp.6-Misuradellacostanteditempodiuntermometroaliquido
Cenniteorici
Duecorpiatemperaturadiversapostiacontattoraggiungonodopouncertoperiododitempo
unatemperaturadiequilibriougualeperentrambiicorpi.Definiamoambienteunariservadi
calore a temperatura costante, tale da non risentire della presenza di un corpo immerso in
esso. Immaginiamo quindi di immergere un corpo ad una temperatura T0 in un ambiente a
temperatura TA. La temperatura del corpo immerso tendera' asintoticamente alla
temperaturadiequilibriotermicoTAsecondolaseguenteleggeesponenziale:
!
!
!
𝑇! − 𝑇 𝑡 = 𝑇! − 𝑇! ∙ 𝑒 τe'lacostanteditempodelcorpoimmerso.Se
come corpo immerso utilizziamo un
termometro a liquido, la costante di tempo
rappresenta la prontezza di risposta dello
strumento, quindi quanto velocemente
rispondeadunavariazioneditemperatura.
Laprecedenteleggeesponenzialesidetermina
considerandolaquantita'dicalorecedutanell'unita'ditempoaltermometroinfunzionedella
differenzaditemperatura:
𝑑𝑄
= 𝐾 𝑇! − 𝑇 𝑡
𝑑𝑡
Poiche'Q=CT,conCcapacita'termicadeltermometro,siottiene:
𝑑𝑇 𝑡
𝐾
=
𝑇 −𝑇 𝑡 𝑑𝑡
𝐶 !
eseparandolevariabilisiottienelaseguenteequazionedifferenzialeperlafunzioneT(t):
𝑑𝑇 𝑡
𝐾
= 𝑑𝑡
𝑇! − 𝑇 𝑡
𝐶
Laqualesirisolveintegrando:
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!
𝑑𝑇 𝑡
=
𝑇
−
𝑇
𝑡
!! !
!
!
𝐾
𝑇! − 𝑇 𝑡
𝐾
𝑑𝑡 ⟹ ln
=− 𝑡 𝐶
𝑇! − 𝑇!
𝐶
ponendo
!
1 𝐾
𝑇! − 𝑇 𝑡
𝑡
=
⟹ ln
= − ⟹ 𝑇! − 𝑇 𝑡 = 𝑇! − 𝑇! ∙ 𝑒 !! 𝜏 𝐶
𝑇! − 𝑇!
𝜏
Tecnicadimisura
Lamisuradellacostanteditempodeveessereottenutadallostudiodellacurvaesponenziale
della temperatura misurata da un termometro quando immerso in bagno termostatico in
funzionedeltempo.
Per questioni pratiche non e' facile mantenere la temperatura T0 costante, perche' per
esempio la temperatura dell'ambiente esterno puo' cambiare e il tempo di immersione del
termometropuo'variarefalsandolamisuradeltempo.
La legge esponenziale pero' non cambia se come T0 consideriamo sempre una stessa
temperaturadopoaverimmersoiltermometronelbagnotermostatico.Fissataquindiquesta
temperaturasimisurerannoitempiperandaredaT0atemperatureviaviapiu'elevate.
Apparatosperimentale
L'apparato sperimentale consiste in un termometro a liquido, un bagno termostatico per
ricrearel'ambienteatemperaturacostanteeuncronometrodigitaleperlamisuradeitempi.
Esecuzionedell'esperienza
1. Accendere il bagno termostatico e puntare una temperatura di circa 80 C (TA) e
attendereilraggiungimentodellatemperatura
2. Preparareunbeckerconacquaatemperaturaambienteperraffreddareiltermometro,
quandoestrattodalbagnotermostatico
3. EseguirealcuneprovediimmersionedeltermometroesceglierelatemperaturaT0che
viconsentaunabuonaprontezzaperfarpartireilcronometro.
4. ScegliereunnumeroragionevoleditemperaturaTi(maggioridiT0einferioriaTA),in
corrispondenzadeiqualisimisurerannoitempiconlaseguenteprocedura:
a. Tenereinunamanoiltermometroenell'altrailcronometro
b. Raffreddareiltermometronelbecker
c. Immergereiltermometronelbagnotermostaticoosservandocostantementela
misuradeltermometro
d. FarpartireilcronometroincorrispondenzadiT0
e. FermareilcronometroincorrispondenzadelvaloresceltodiTi.
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Analisideidati
I dati raccolti Ti(ti) vi consentono di rappresentare graficamente il tratto di esponenziale
descritto nei cenni teorici. Per estrarre i parametri della funzione si deve anzitutto
linearizzare la funzione, in modo da poter applicare il metodo dei minimi quadrati per una
funzionelineare.Applicandoillogaritmoallafunzioneesponenzialesiottiene:
𝑡
y = ln 𝑇! − 𝑇 𝑡 = − + 𝑇! − 𝑇! 𝜏
1. Applicare il metodo dei minimi quadrati per determinare -1/τ e con la propagazione
dell'erroredeterminareilcorrispondenteerrore.
2. Eseguireiltestdelchiquadro.
3. Argomentareirisultati.
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Esp.7-Calibrazionediunatermocoppia
Cenniteorici
Una termocoppia, o coppia termoelettrica, è costituita da due
fili metallici di diversa natura (A e B) collegati in modo da
formare due giunzioni. Se le due giunzioni si trovano a due
temperature diverse (t e t0) nella termocoppia si genera una
forza elettromotrice (f.e.m.) E (effetto Seebeck, dal nome del
fisicoestonechescoprìilfenomeno).
La f.e.m. dipende dalla differenza di temperatura tra le due
giunzioni. Grazie a tale proprietà termoelettrica, la
termocoppiaèingradodfornirelamisuradellatemperatura.Inparticolare,seunadelledue
giunzionivienemantenutaadunatemperaturafissadiriferimentot0,solitamentequelladiun
bagnodiacquaeghiacciofondente,laf.e.m.Esaràfunzionesoltantodellatemperaturatdella
secondagiunzionechevienepostanell’ambientedicuisivuoleconoscerelatemperatura.
Inoltre,oltrechedalladifferenzaditemperaturadellegiunzioni,laf.e.m.Edipendeanchedai
metallidellacoppia.Asecondadell’intervalloditemperatura,sonoutilizzatecoppiedimetalli
diverse. In tabella sono riportate le termocoppie in uso in questo laboratorio, dove le
termocoppiediusocomunesonoidentificatedaunalettera.
Il termometro a termocoppia viene spesso usato perché ha considerevoli proprietà, tra cui
unagrandeprontezza,un’altasensibilitàeunapiccolacapacitàtermica.
Per l’impiego della termocoppia come termometro occorre eseguire la sua calibrazione,
ovverotrovarelarelazionecheesistetralaf.e.m.Edellatermocoppiaelatemperaturatchela
genera.
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Apparatosperimentale
•
•
•
•
•
Termocoppia
Bagnotermostatico
Termometroamercurio
Acquaeghiaccio
Voltmetroelettronico
Esecuzionedell’esperienza
Loscopodell’esperienzaèquellodiottenerelacalibrazione
dellatermocoppianell’intervalloditemperatura0-100∘C.
• Immergere la prima giunzione della termocoppia in un bagno di acqua e ghiaccio
fondente,elasecondagiunzionenell’acquacontenutainunbagnotermostatico,incui
unappositoagitatoreminimizzaigradientitermici
• Iniziare a riscaldare l’acqua contenuta nel bagno termostatico e rilevarne la
temperaturaconunappositotermometroamercurio
• Contemporaneamente,rilevareivaloridellaf.e.m.dellatermocoppiaconilvoltmetro
• Ripeterelemisureperdiversivaloriditemperaturadelbagnotermostatico
• Dopo aver tabulato i dati raccolti (temperature e f.e.m.), per poter utilizzare la
termocoppiacometermometroènecessarioindividuarelamigliorerelazioneanalitica
tralaf.e.m.Eelatemperaturat
o PRIMA IPOTESI: relazione lineare delle due grandezze𝐸 = 𝑐! + 𝑐! 𝑡; trovare il
valore dei parametri con il metodo dei minimi quadrati applicato alla
regressionelineareedeterminareilcoefficientedicorrelazioner;
o SECONDAIPOTESI:traleduegrandezzesussisteunarelazionepolinomialedel
secondo grado: 𝐸 = 𝑐! ′ + 𝑐! ′𝑡 + 𝑐! ′𝑡 ! ; anche in questo caso, applicando il
metododeiminimiquadrati(applicatoallaregressioneparabolica)èpossibile
ricavarec0’,c1’,c2’edeterminareilcoefficientedicorrelazioner’;
o TERZAIPOTESI:relazionepolinomialedigradon.Determinareicoefficientied
ilcoefficientedicorrelazionern
Elaborazionedeidati
•
•
•
Presentareirisultatisiainformatabularecheinformagrafica.Inquest’ultimocaso,le
misure riportare le misure di E (in mV) in funzione della temperatura della seconda
giunzione(∘C)
Sia la tabella che il grafico possono essere già considerate come un’utile calibrazione
della termocoppia, nel senso che permettono di collegare ogni valore di f.e.m. ad un
valore di temperatura, rendendo quindi possibile l’uso della termocoppia come
termometro. Tuttavia, una più precisa calibrazione tra le due grandezze richiede
l’individuazionedellamigliorerelazioneanaliticatraEet
Determinareicoefficientici
o Prima ipotesi: metodo dei minimi quadrati applicato alla regressione lineare;
calcolareilcoefficientedicorrelazioner
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o Seconda ipotesi: metodo dei minimi quadrati applicato alla regressione
parabolica; calcolare il coefficiente di correlazione r’ per tale relazione (o
meglioil𝜒2)
o Terzaipotesi:lostessoprocedimentopuòessereripetutoconlestessemodalità
ipotizzandorelazionipolinomialidiordinesuperiore;calcolareilcoefficientedi
correlazione
• Confrontare i valori dei coefficienti di correlazioni trovati e stabilire quale degli
andamenti descrive meglio i dati sperimentali; esprimere, quindi, la relazione di
calibrazionedellacoppiatermoelettricaanalizzata
OSSERVAZIONE: è possibile utilizzare R per i grafici ed il calcolo dei coefficienti rn per
polinomidiordinesuperiorealsecondo
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Esp.8-Misuradelcalorespecificodiunsolidoconilcalorimetrodelle
mescolanze
Cenniteorici
Per calore specifico di un materiale si intende la quantità di calore che bisogna fornire
all’unità di massa di un dato materiale per innalzare la sua temperatura di un grado
centigrado(∘C)oKelniv(K).NelSIl’unitàdimisuraèJ/K∙kg,maèanchemoltousatal’unitàdi
misuracal/∘C∙g,doveuncaloria1cal=4,186J.
Tecnicadimisura
Inquestaesperienzasimisurailcalorespecificocxdiun
materialesullabasedelloscambiodicaloretraunsolido
diuncertomateriale,riscaldatoadunatemperaturaT1,e
un liquido (acqua) alla temperatura T0, all’interno di un
calorimetro delle mescolanze (recipiente termicamente
isolato). In questo caso, il calore ceduto dal solido
uguaglierà il calore assorbito dal sistema calorimetrico:
𝑄!"#$%& = 𝑄!""#$%&'# .
Duranteloscambiodicalorelatemperaturadelsolidoe
quella del sistema calorimetrico variano fino al
raggiungimento di una temperatura comune di
equilibrio. La legge che mette in relazione la quantità di
caloreassorbitoocedutoèdatadallarelazione
𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇,
dove Q è il calore, il prodotto mc (massa per calore
specifico)èlacapacitàtermicadelcorpoeΔTlavariazioneditemperaturadelcorpostesso.
IndicandoconTeqlatemperaturadiequilibrioraggiuntadalsolidoedalsistemacalorimetrico,
l’uguaglianzatracaloreassorbitoecedutopuòesserescrittacome
𝑀! ∙ 𝑐! 𝑇! − 𝑇!" = 𝑀!"!# ∙ 𝑐!"!# 𝑇!" − 𝑇!
(1)
doveMsist∙csistèlacapacitàtermicadelsistema.
Quindi, note le caratteristiche del sistema e misurate le grandezze coinvolte è possibile
ricavareilcalorespecificocercato.
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Apparatosperimentale
•
•
•
•
•
•
•
•
Bilancia
Calorimetrodellemescolanze
Corpodimaterialeignoto
Acquadistillata
Fornellettoelettrico
Becker
Termocoppiaperlamisuradelletemperature
PCperl’acquisizionedeidati
Esecuzionedell’esperienza
•
LaprimaquantitàdaricavareèlacapacitàtermicadelsistemaCsist(quantitàdicalore
che bisogna fornire all’oggetto per innalzare la sua temperatura di un grado). Csist è
data dalla somma delle capacità termiche di tutti i corpi che costituiscono il
calorimetro:vasocalorimetrico,ilmiscelatoreelamassad’acquautilizzataMa(anche
essiassorbonopartedelcalorecedutodalsolido).Pertanto
!
𝐶!"!# = 𝑀!"!# 𝑐!"!# =
𝑀! 𝑐! + 𝑀! 𝑐! = 𝑚!"#$% 𝑐! + 𝑀! 𝑐! !!!
dovesièutilizzataunamassaequivalentemequivperdescriverelevariecomponentidel
calorimetro (il calcolo delle capacità termiche dei singoli elementi sarebbe più
complicato). Si utilizza, quindi, una procedura di calibrazione per determinare
sperimentalmente la massa equivalente mequiv. In questo modo è possibile sostituire
𝑀! 𝑐! con l’equivalente capacità termica di un’opportuna quantità di acqua per
ottenere
𝑐! =
•
•
•
•
•
(𝑚!" + 𝑀! ) (𝑇!" − 𝑇! )
𝑐 (2)
𝑀!
(𝑇! − 𝑇!" ) !
InserirenelcalorimetrounacertaquantitàdiacquaMadistillata(dopoaverlapesata)e
misurarnelatemperaturaT0’(avvioacquisizionedaPC)
Riscaldare un secondo quantitativo di acqua distillata ma’ fino ad una certa
temperatura T1’ scelta arbitrariamente, pesarla ed aggiungerla alla quantità già
presentenelcalorimetro
Unavoltaaggiuntal’acquariscaldata,sichiudavelocementeilcalorimetrosistemando
lasondaperilrilevamentodellatemperaturael’agitatore,econtinuarel’acquisizione
delletemperaturetramiteilsoftware
AcquisirelatemperaturafinoalraggiungimentodellatemperaturadiequilibrioTeq’
Ricavaremequivdall’uguaglianzaQceduto=Qassorbito:
𝑚′! 𝑐! 𝑇′! − 𝑇′!" = (𝑚!"#$% + 𝑚! )𝑐! 𝑇′!" − 𝑇′! ⟹ 𝒎𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗 = 𝒎′𝒂
𝑻!𝟏 !𝑻!𝒆𝒒
𝑻!𝒆𝒒 !𝑻!𝟎
− 𝒎𝒂
(ricavatadamisuredirettedellemasseedelletemperature)
• Terminatalacalibrazione,ripeterelastessaprocedurasostituendol’acquariscaldata
ma’conilsolido
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o PesareunacertaquantitàdiacquaMaedintrodurlanelcalorimetro
o Chiudereilcalorimetroedavviarel’acquisizionedelletemperature(1afase)
o Misurarelamassadelsolidodicuisivuoledeterminareilcalorespecificocxe
riscaldarloponendoloinunriscaldatoreadacquafinoaportarloinequilibrio
conlatemperaturadiebollizione
o Una volta raggiunto la temperatura di ebollizione, trasferire rapidamente il
solidoall’internodelcalorimetro
o 2a fase: il solido cede calore al calorimetro. Agitare regolarmente l’acqua nel
vasocalorimetricofinoachelatemperaturanonsmettediaumentare
o 3afase:inunsistemaperfettamenteisolato,latemperaturadiequilibrioTeqè
costante; in questo caso, si osserva, invece, che essa tende a diminuire
lentamente a causa dell’inevitabile imperfetto isolamento del calorimetro.
Continuarel’acquisizionedeidatiperqualcheminutoancora
Elaborazionedeidati
•
•
•
•
•
•
Con i dati di temperature acquisiti, costruire il grafico delle temperature in funzione
deltempocomeriportatonell’esempio
o Perlaproceduradicalibrazione
o Perlamisuradelcalorespecificodelsolido
Ricavare la temperatura iniziale T0, T’0 e quelle di equilibrio Teq, T’eq utilizzando il
metododeiminimiquadrati(fase1e3).
Calcolareilcalorespecificodelsolidocxutilizzandol’equazione(2)eilrelativoerrore
(propagazionedeglierrori)
Calcolare gli errori sulle temperature utilizzando sempre il metodo dei minimi
quadrati
Per gli errori sulle masse misurate, tenere in considerazione la sensibilità dello
strumentoutilizzatoperlamisura
Perlatemperaturadiebollizionedell’acquaT1,funzionedellapressioneatmosferica,
fareriferimentoaivaloritabulati
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Confrontare il valore cx ottenuto con i valori tabulati e individuare il materiale del
solidoutilizzatoperl’esperienza
OSSERVAZIONE: per la costruzione del grafico delle temperature in funzione del
tempoèpossibileutilizzareancheR
•
•
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Esp.9-Misuradellavelocitàdipropagazionedelsuononell’aria
Cenniteorici
Ilsuonoèunaperturbazioneprodottadaunasorgentesonorache,propagandosiinunmezzo,
provoca una variazione di pressione ed uno spostamento di particelle tale da poter essere
rivelata da una persona o da uno strumento acustico. Il fenomeno ondulatorio connesso al
suonofasìcheleparticelledelmezzovibrino,propagandocosìlaperturbazioneallaparticelle
piùvicine.
Leondesonoresipropaganoconunavelocitàfinita,chedipendedelmezzoditrasmissionee,
nellostessomezzo,dallatemperaturat:v! = v! 1 + 𝛼𝑡,dovetèespressain∘C,vtèlavelocità
allatemperaturat,v0=331.6m/sèlavelocitàa0∘Cinariapura(secca),eα=1/273=3.67∙10-3
∘C-1.
SianoT(periodo)iltemponecessariopercompiereun’oscillazione,elafrequenzaν=1/Til
numerodioscillazionicompiutenell’unitàditempo.Lavelocitàdell’onda,omegliolavelocità
dipropagazionedell’onda,èdatada:
𝜆
v = = 𝜆𝜈 (1)
𝑇
doveλèlalunghezzad’ondaerappresentalaminimadistanzatradueparticellechevibrano
infasetraloro.
EsprimendoλinmetrielafrequenzaνinHertz(s-1),lavnella(1)èinm/s.Lafrequenzaèuna
grandezzapropriadellasorgentedioscillazione;lalunghezzad’onda,invece,ècaratteristica
sia della sorgente che del mezzo di in cui l’onda si propaga poiché dipende dalla velocità di
propagazione.
OSSERVAZIONE:ilimitiinferioreesuperioredellefrequenzaudibilisonocirca18Hze20kHz,
rispettivamente, a cui corrispondono le lunghezze d’onda massima e minima di 18 m e 1.7 cm
(perilcalcolosièassuntav=343m/sa20∘C).
DueondeemessedallastessasorgenteA(stessafrequenza,ampiezzaefase)chearrivanoin
una stessa zona dello spazio dopo aver percorso due cammini diversi (x1 per il percorso
diretto e x2 per il riflesso) si sovrappongono dando luogo ad uno stato di vibrazione che
dipendedalladifferenzadifasedelledueonde.Ledueondesonodescrittedallerelazioni
𝛼! 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝛼! 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
dovek=2π/λepulsazioneω=2πν.
Dallasovrapposizionedelledueonde,siottienelaperturbazionerisultante
𝜶 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕) + 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 = 𝟐𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝒌𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)
avendosfruttatoleproprietàsin 𝛼 + sin(𝛽) = 2𝐴 sin(
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!!!
!
) cos(
!!!
!
).
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Si osserva, quindi, che il punto di coordinata x oscilla di moto armonico con pulsazione ω e
ampiezza2𝐴 sin(𝑘𝑥)indipendentedaltempoedipendentesolodallaposizionex.Questotipo
diperturbazioneprendeilnomedionda stazionaria.Sipossonoidentificarepuntisempre
fermidovel’oscillazioneènulla,dettinodi,persin(kx)=0,epunticheoscillanoconpulsazione
ωeampiezzamassima2Apersin(kx)=±1,dettiventridell’ondastazionaria.
• Persin(kx)=±1⇒kx=(2n+1)π/2conn=0,1,2,…
Sostituendok=2π/λ,ricaviamoladistanzatraduemassimi
∆𝑥 = 𝑛 𝜆 2
cioè uguale ad un numero intero di mezze lunghezze d’onda. In questo caso, il massimo
dell’ondadirettacoincideconilmassimodell’ondariflessa(concordanzadifase)el’onda
risultantepresentaun’ampiezzadoppia.
• Persin(kx)=0⇒kx=nπconn=0,1,2,…⇒∆𝑥 = 𝑛 𝜆 2 ;inquestocasoilmassimodiun’onda
coincide con il minimo dell’altra
(sono in opposizione di fase) e
l’ampiezzarisultanteènulla
• PervaloriintermedidiΔx,l’onda
risultante presenta ampiezza
intermediatraiduecasiindicati
precedentemente e la stessa
frequenza
delle
onde
componenti
Apparatosperimentale
•
•
•
•
•
•
GeneratoredifunzioniFG(frequenzaultrasonicheintornoai40kHz)
Microfonomobile(M)
Altoparlante(A)
Oscilloscopioadoppiofascio(CRO)
Schermoriflettentemobile(S)
Barragraduata(sensibilità0.1mm)
Esecuzionedell’esperienza
•
•
•
•
CollegareMedFG(sulqualeèderivatoinparalleloA)alleplaccheverticalidiciascun
canaledelCRO
SintonizzareisegnaliprovenientidaMedFGfinoadotteneresulloschermodelCRO
duetraccebenleggibili
Leggere la frequenza ν del segnale periodico prodotto dal generatore di funzioni dal
displaydelFG.TalefrequenzapuòancheesserevalutatadalsegnalecampionesulCRO
facendousodellascalabasedeitempi
Collocare in asse M ed A, disponendoli di fronte allo schermo. Il microfono può
scorrere su una riga graduata equipaggiata con un nonio, e riceve il suono sia
direttamentedall’altoparlantesiaperriflessionedalloschermo
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•
•
DalmomentochesuMsiverificailfenomenodell’interferenza,l’ampiezzadellatraccia
delsegnaledaMsulloschermodelCROvariaalvariaredellaposizionexincuisitrova
ilmicrofono
o Individuareunmassimo(picco1)erilevarnelaposizioneleggendosulnonio
o Individuarelaposizionedelpiccoconsecutivo(picco2)
Ladistanzatradueposizioniconsecutiveperlequalisihannodeimassimivicini(Δx),
oanchedueminimi,permettelamisuradellalunghezzad’ondadelsuonoemessodaA:
!
∆𝑥 = ! ⟹ 𝝀 = 𝟐∆𝒙
•
•
Dall’equazione(1),ricavarevdelsuono
Ripetere la misura più volte in modo da ottenere un campione statisticamente
accettabile
Elaborazionedeidati
•
•
•
Tabularetuttiidatiraccolti
Misurastatistica:determinareλmediaerelativoerroresullamedia
Propagazionedeglierroripercalcolarel’erroresullavelocitàdelsuono.
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Esp.10-MisuradelPeriododioscillazionediunpendolosemplice
Cenniteorici
Ilpendolosempliceconsisteinunapiccolasferaappesa
ad un centro di sospensione O mediante un fili
inestensibiledimassatrascurabile.
La configurazione di equilibrio del pendolo è quella
nella quale il centro di sospensione O, il filo teso ed il
centrodellasferettasonoallineatilungolaverticale.
Seafilotesoallontaniamolasferettadallaposizionedi
equilibrio, lasciandola libera essa inizia ad oscillare
attorno a questa posizione in un piano verticale.
L’angolo α tra la verticale e ed il filo individua
l’ampiezzadelleoscillazioni.
Nellimitedipiccoleoscillazioni(αpiccolo)ilmotodel
pendolo semplice è un moto armonico di periodo
indipendente dall’ampiezza α (legge dell’isocronismo
dellepiccoleoscillazioni)edallamassadelpendolo.
IlperiodoTdioscillazionedipende,invece,dallalunghezzaldelfilosecondolarelazione
𝑇 = 2𝜋
𝑙
𝑔
1 .
Se il modello del pendolo semplice risulta adeguato a descrivere il sistema presente in
laboratorio,T2dovràesserepertantoproporzionaleal:
𝑇 ! = 𝑘𝑙 (2)
Ladeterminazionesperimentaledikconsente,quindi,diricavareunastimadell’accelerazione
digravitàgutilizzandolarelazione
4𝜋 !
𝑔=
(3)
𝑘
Apparatosperimentale
• Pendolosemplice
• Cronometro
• Metro
• Calibro
Esecuzionedell’esperienza
•
•
Misurarelalunghezzadelfiloeildiametrodellasfera
Determinarelalunghezzaldelpendolo
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•
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•
•
•
Mettere in oscillazione il pendolo e misurare il tempo t che impiega per effettuare n
oscillazionicomplete(n~10)
CalcolareilperiododioscillazioneT=t/n
Effettuareuncertonumerodimisureditinmododapoterfareunastimastatisticadel
periododioscillazioneTedelsuoerrore(conlamedesimaampiezzaangolare)
Utilizzandol’equazione(1)ottenereunaprimastimadig
Variarelalunghezzadelfilodicirca5cmpervoltaeripeterelamisuradeltempotper
altrenoscillazioni(conlamedesimaampiezzaangolare)
Considerare almeno 5 lunghezza diverse del filo e per ognuna effettuare un certo
numerodimisureditinmododapotereffettuareunamisuraditipostatistico
Utilizzandoilmetododeiminimiquadrati,determinareilcoefficienteangolarekdella
rettaericavaregutilizzandol’equazione(3)
Confrontareilvaloredigcosìottenutoconilvaloredellaprimastima
Elaborazionedeidati
•
•
•
•
•
•
•
Tabularetuttiidatiraccolti
Stimarel’erroresuΔl
Conivalorimisurati,costruireungraficodeivaloridelquadratodeiperiodimisurati
infunzionedellalunghezzadelpendolo(siconsiglial’utilizzodiR)
Utilizzare il metodo dei minimi quadrati per determinare il coefficiente angolare k
dellarettachemegliosiadattaaipuntisperimentali(conrelativoerrore)
Calcolaregutilizzandol’equazione(3)ecalcolareilrelativoerrore
Confrontare il valore così ottenuto con una prima stima di g calcolato utilizzando
l’equazione(1)
Confrontoconilvaloreattesoecommenti
OSSERVAZIONE:perlaprovapratica,saràrichiestoilgraficosucartamillimetrata
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Esp.11-Misuradelladensita'disolidiregolarienonregolari
Cenniteorici
Ladensita’diunsolidosipuo’determinareconoscendomassaevolumedelsolidoinesame
usandolanotarelazione:
𝜌=
𝑚
𝑉
Ilvolumee'unaquantita'chesiprestaadesseremisuratacondiversitecniche. Loscopodi
questa esperienza, oltre alla misura della densita’, e’ quello di confrontare due tecniche di
misura diverse, validarne una sulla base della correttezza della prima, che riteniamo di
riferimento,eriutilizzarelatecnicavalidataneicasiincuinone’possibileutilizzarelatecnica
diriferimento.
Tecnichedimisura
Lamisuradellamassasiesegueconunabilanciaaduepiatticonlatecnicadelconfrontocon
massecampione.
La misura del volume invece puo’ essere eseguita con tecniche diverse a seconda delle
caratteristichedelsolidoinesame:
§ Misura analitica di V.Seilsolidosipresentasottoformadiformageometricasolida
regolare, si puo’ determinare il volume indirettamente con la tecnica analitica. Si
misurano con un calibro le dimensioni caratteristiche del solido e se ne calcola il
volume. Per esempio se il solido e’ un parallelepipedo si devono misurare le
dimensionideitrespigolia,b,cesicalcolaV=aŸbŸc.
§ Misura diretta di V. Se il solido non e’ regolare non e’ possibile calcolare in modo
analiticoilvolume.Sipuo’pero’misuraredirettamenteilvolumeimmergendoilsolido
inunliquidoemisurareilvolumediliquidospostato,ilqualecorrispondealvolume
cercato.
Apparatosperimentale
§
Bilanciaaduepiatti
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§
§
Calibroventesimale
Bekergraduati
Esecuzionedell'esperienza
1. Siconsiderilamisuraanaliticalatecnicadiriferimentoperlamisuradelvolume.
2. Si misurino le dimensioni caratteristiche di diversi solidi regolari e se ne determini
analiticamenteilvolume.
3. Simisuridirettamenteilvolumedeglistessisolidiregolaridelpunto2esiconfrontiil
volumeottenutoconlamisuraanaliticapervalidarelatecnicadimisuradiretta.
4. Simisuriilvolumedidiversisolidinonregolariconlatecnicadimisuradiretta.
5. Simisurinolemassedeisolidiinesame.
6. Si determini la densita’ e il corrispondente errore e si deduca dai valori tabulati i
materialideisolidiinesame.
7. Per la valutazione degli errori si tenga in conto gli errori sulla misura del volume e
dellamassa.
Analisideidati
Validarelamisuradirettadelvolumeconfrontandoconlamisuraanaliticasusolidiregolari.
Calcolareladensita'eilrelativoerroreconlapropagazionedeglierrori.
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Esp.12-Misuradell'erroresullamedia
Cenniteorici
L’analisi statistica di un campione di N misure di una grandezza fisica x con distribuzione
normaleciconsentediesprimerelamisuradixconmedia,deviazionestandardedeviazione
standarddellamedia,secondolenoterelazioni:
𝑥=
!
!!! 𝑥!
𝑁
𝜎! =
!
!!!
𝑥! − 𝑥
𝑁−1
!
𝜎! =
𝜎!
𝑁
§
§
§
§
In condizioni di distribuzione normale di x e in assenza di altri fenomeni di disturbo
dellamisura,ladeviazionestandarddellamediascalaconilnumerodimisurecome
Nellemisurereali,diversifenomenipotrebberoinfluenzarequestoandamento.
Lo scopo di questa esperienza e’ quello di acquisire un campione statisticamente
significativodiMvaloridimediediN(variabile)misuredidati.
CongliMvaloridimediee’possibiledeterminaredirettamenteladeviazionestandard
sullamedia,conlarelazionedelladeviazionestandard.
Tecnicadimisura
Perquesteesperienzautilizziamolemedieottenutedaundispositivoelettronicochemisura
latemperaturafornitadauntermistore.
Apparatosperimentale
§
§
Bagnotermostatico
DispositivoelettronicochefornisceilvaloremediodiNmisureditemperaturadiun
sensore. Il dispositivo elettronico permette di impostare il numero N di misure sulle
quali eseguire la media e fornisce ininterrottamente le medie misurate in tempi
successivi.IvalorimisuratisonosalvatiinopportunifilesuunPC.
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Esecuzionedell'esperienza
1. Portare il bagno termostatico ad una temperatura superiore a quella ambiente e
inferiorea100°C.Impostareperesempio40-50°C.
2. Attendere l’equilibrio termico osservando le misure di temperatura fornite da un
termometroamercurio.
3. Iniziarelasequenzadiacquisizionedati:
a. ImpostareNdesiderato
b. Annotarelamisurafornitadaltermometroamercurio.
c. Acquisire un numero significativo (>100) di misure della temperatura fornite
dallatermocoppia.
d. Annotarelafrequenzadiacquisizionefornitadaldispositivoelettronico.
e. Ripetereipuntia,b,cedpervaloridiversidiN(siconsiglianoiseguentivalori
diN:1,10,50,100,200,500,1000,2000).
Analisideidati
Conidatiacquisitivalutareladipendenzadelladeviazionestandarddellamediainfunzione
diNeconfrontareconl’andamentoatteso.
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