Soluzioni esame del 15/09/2014

Soluzioni esame del 15/09/2014
Domanda 1: Una carica elettrica è distribuita con densità superficiale non uniforme
σ(r) = cr sulla superficie di un disco di raggio R = 10 cm, con c = 25 · 10−6 Cm−3 . (a)
Calcolare la carica totale sul disco. (b) Determinare il flusso del campo elettrostatico
attraverso una concentrica superficie sferica di raggio R1 = 20 cm.
Soluzione: (a) La carica totale è l’integrale sul disco della densità superficiale,
ZR
Z
q=
σdΣ =
2
2
dr(2πr)cr = πcR3 = π(25 · 10−6 Cm−3 )(0, 1 m)3 = 5, 2 · 10−8 C
3
3
0
(b) Siccome l’intera carica q si trova all’interno della superficie sferica, il flusso del campo
elettrostatico è dato dalla legge di Gauss,
Φ(E) =
q
5, 2 · 10−8 C
=
= 5, 9 · 103 Vm
ε0
8, 85 · 10−12 As/(Vm)
Domanda 2: (a) Determinare l’energia elettrostatica Ue necessaria per generare in un
cubo di lato a = 8, 0 cm un campo elettrico uniforme E = 5, 5 · 106 V/m. (b) Se tale
energia fosse l’energia magnetica Um di un campo magnetico uniforme nello stesso cubo,
quale sarebbe il valore di B?
Soluzione: (a) La densità di energia elettrostatica è data da ue = 12 ε0 E 2 , per cui
l’energia elettrostatica Ue nel cubo è
2
1
1
3
2 3
−12 As
6 V
Ue = ue a = ε0 E a =
8, 85 · 10
5, 5 · 10
(0.08 m)3 = 6, 9 · 10−2 J
2
2
Vm
m
(b) La densità di energia magnetica è um = 2µ1 0 B 2 , per cui un campo magnetico con la
stessa energia soddisferebbe
1 2 3
1
ε 0 E 2 a3 =
B a.
2
2µ0
Ne segue
B=
√
ε0 µ 0 E =
p
(8, 85 · 10−12 As/(Vm))(4π · 10−7 H/m) 5, 5 · 106 V/m = 1, 8 · 10−2 T
1
Domanda 3: Durante la fase di accensione di un macchinario con un magnete, in una
determinata zona si forma un campo magnetico uniforme la cui dipendenza temporale
si può descrivere come B(t) = βt, con β = 0, 6 T/s. Nella stessa zona si trova una
spira circolare di raggio r = 4, 0 cm, la cui asse forma un’angolo di 45◦ con la direzione
del campo magnetico. La resistenza interna della spira è R = 0, 2 Ω. Calcolare (a) la
corrente indotta nella spira e (b) il modulo del momento meccanico che agisce sulla spira
all’istante t = 0, 5 s.
Soluzione: La forza elettromotrice indotta segue dalla legge di Faraday,
E =−
dΦ(B)
,
dt
con il flusso del campo magnetico attraverso la spira dato da
Φ(B) = (πr2 )B cos 45◦ =
1√
2 πr2 βt
2
Ne segue che la corrente indotta è
√
√
E
2 πr2 β
2 π(0, 04 m)2 (0, 6 T/s)
i=
=
=
= 1, 1 · 10−2 A
R
2R
2(0, 2 Ω)
(b) Il momento meccanico sulla spira è dato da M = m × B, dove m è il momento
magnetico della spira, m = iπr2 . Tenendo conto del prodotto vettoriale e della direzione
di m rispetto a B, si ottiene
1√
2
◦
2
M = iπr B sin 45 = i
2πr β t = i2 Rt
2
dove abbiamo usato la formula precedente per i. Numericamente,
M = (1, 1 · 10−2 A)2 (0, 2 Ω)(0, 5 s) = 1, 2 · 10−5 Nm
2