Corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria A.A. 2015/2016 Esercizi sulle funzioni di variabile complessa (1) Marco Bramanti Politecnico di Milano October 17, 2015 Esercizio 1 Scrivere esplicitamente le 4 determinazioni fk (k = 0; 1; 2; 3) della la funzione polidroma p f (z) = 4 z. Quindi calcolare f0 ( 1) e osservere cosa succede seguendo i valori di f0 mentre la variabile z compie un giro in senso orario lungo la circonferenza di centro l’origine e raggio 1. In altre parole, calcolare lim f0 (z) : z! 1 Im z<0 Esercizio 2 Sia f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y), con u; v 2 C 1 (A) ; A aperto del piano, e supponiamo che u; v soddis…no le condizioni di Cauchy-Riemann. Provare che f risulta allora di¤ erenziabile in senso complesso, ossia f (z + h) f (z) = h + o (h) (1) per h ! 0 in C, e = ux + ivx . [A lezione abbiamo dimostrato il viceversa, ossia: se f è derivabile in senso complesso valgono le condizioni di CauchyRiemann]. Suggerimento: riscrivere esplicitamente l’espressione f (z + h) f (z) h mediante le parti reali di f; h; , separare parte reale e immaginaria e utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann e la di¤ erenziabilità (in senso reale) di u; v mostrare che questa quantità è e¤ ettivamente o (h). Esercizio 3 Utilizzando p le condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari, veri…care che la funzione 3 z (radice cubica principale) risulta derivabile in senso complesso in C ; e calcolarne la sua derivata. Riesprimere il risultato (che inizialmente si trova espresso in funzione di ; ) in funzione di z. 1 Esercizio 4 Sia f (z) = ez la funzione olomorfa la cui parte reale e immaginaria rappresentano il potenziale di velocità e la funzione di corrente di un moto stazionario piano. Determinare il campo di velocità v. Fare poi lo stesso per la funzione f (z) = 1=z; determinando anche le linee di livello della funzione di corrente, disegnandole. Esercizio 5 Sia u (x; y) = sin x Ch y: a. Veri…care che è una funzione armonica nel piano. b. Determinare la sua armonica coniugata v: c. Riuscite a indovinare chi sia la funzione olomorfa f (z) = u + iv (cioè riscriverla in funzione di z anziché di x; y)? Suggerimento: per y = 0 la funzione di z coincide con una semplice funzione di x; se l’uguaglianza si estendesse a z complesso... Veri…cate analiticamente che l’identità che avete “indovinato” sia corretta. Esercizio 6 Sia u (x; y) = log x2 + y 2 : 1. Veri…care che u è armonica nel piano privato dell’origine. 2. Determinare l’armonica coniugata v di u: 3. La funzione v risulta de…nita e armonica in tutto il piano privato dell’origine? Commentare il risultato ottenuto alla luce della teoria. Esercizio 7 Sia z i : 1 iz a. Stabilire in quale aperto A di C la f è una mappa conforme. b. Posto w = f (z), scrivere esplicitamente la funzione inversa z = f 1 (w), veri…cando che la f è globalmente biunivoca in A. c. Veri…care che la mappa w = f (z) trasforma il disco fjzj < 1g nel semipiano Im w < 0: f (z) = 2