Corso di Metodi Matematici per l`Ingegneria A.A. 2015/2016 Esercizi

Corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria
A.A. 2015/2016
Esercizi sulle funzioni di variabile complessa (1)
Marco Bramanti
Politecnico di Milano
October 17, 2015
Esercizio 1 Scrivere esplicitamente le 4 determinazioni fk (k = 0; 1; 2; 3) della
la funzione polidroma
p
f (z) = 4 z.
Quindi calcolare f0 ( 1) e osservere cosa succede seguendo i valori di f0 mentre
la variabile z compie un giro in senso orario lungo la circonferenza di centro
l’origine e raggio 1. In altre parole, calcolare
lim f0 (z) :
z! 1
Im z<0
Esercizio 2 Sia f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y), con u; v 2 C 1 (A) ; A aperto
del piano, e supponiamo che u; v soddis…no le condizioni di Cauchy-Riemann.
Provare che f risulta allora di¤ erenziabile in senso complesso, ossia
f (z + h)
f (z) = h + o (h)
(1)
per h ! 0 in C, e = ux + ivx . [A lezione abbiamo dimostrato il viceversa,
ossia: se f è derivabile in senso complesso valgono le condizioni di CauchyRiemann].
Suggerimento: riscrivere esplicitamente l’espressione f (z + h) f (z)
h
mediante le parti reali di f; h; , separare parte reale e immaginaria e utilizzando
le condizioni di Cauchy-Riemann e la di¤ erenziabilità (in senso reale) di u; v
mostrare che questa quantità è e¤ ettivamente o (h).
Esercizio 3 Utilizzando p
le condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari,
veri…care che la funzione 3 z (radice cubica principale) risulta derivabile in senso
complesso in C ; e calcolarne la sua derivata. Riesprimere il risultato (che
inizialmente si trova espresso in funzione di ; ) in funzione di z.
1
Esercizio 4 Sia f (z) = ez la funzione olomorfa la cui parte reale e immaginaria rappresentano il potenziale di velocità e la funzione di corrente di un moto
stazionario piano. Determinare il campo di velocità v.
Fare poi lo stesso per la funzione f (z) = 1=z; determinando anche le linee
di livello della funzione di corrente, disegnandole.
Esercizio 5 Sia
u (x; y) = sin x Ch y:
a. Veri…care che è una funzione armonica nel piano.
b. Determinare la sua armonica coniugata v:
c. Riuscite a indovinare chi sia la funzione olomorfa f (z) = u + iv (cioè
riscriverla in funzione di z anziché di x; y)?
Suggerimento: per y = 0 la funzione di z coincide con una semplice funzione
di x; se l’uguaglianza si estendesse a z complesso... Veri…cate analiticamente
che l’identità che avete “indovinato” sia corretta.
Esercizio 6 Sia
u (x; y) = log x2 + y 2 :
1. Veri…care che u è armonica nel piano privato dell’origine.
2. Determinare l’armonica coniugata v di u:
3. La funzione v risulta de…nita e armonica in tutto il piano privato dell’origine?
Commentare il risultato ottenuto alla luce della teoria.
Esercizio 7 Sia
z i
:
1 iz
a. Stabilire in quale aperto A di C la f è una mappa conforme.
b. Posto w = f (z), scrivere esplicitamente la funzione inversa z = f 1 (w),
veri…cando che la f è globalmente biunivoca in A.
c. Veri…care che la mappa w = f (z) trasforma il disco fjzj < 1g nel semipiano Im w < 0:
f (z) =
2